Luận án Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

m và TS. Nguyễn Phương Chi cùng sự giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Tất cả số liệu và kết quả nghiên cứu được nêu trong luận án là trung thực, chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả luận án Võ Xuân Mai MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phát triển năng lực tư duy toán học là một trong những yêu cầu cần thiết trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông Một trong những định hướng của Nghị quyết Hội nghị lần thứ VIII, Ban chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế là “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện NL và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lí luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” [1], giáo dục theo định hướng phát triển NL cá nhân người học đã trở thành một mục tiêu thiết yếu của giáo dục Việt Nam trong giai đoạn đổi mới hiện nay. Trong bối cảnh đó, giáo dục môn Toán có sứ mệnh và ý nghĩa quan trọng trong quá trình phát triển tư duy nói riêng và sự phát triển toàn diện của người học nói chung. Vì vậy, vai trò của người GV cũng có những thay đổi theo hướng đảm nhận nhiều chức năng, trách nhiệm hơn, GV phải chuyển từ cách truyền thụ tri thức sang cách tổ chức các HĐ cho HS chiếm lĩnh tri thức. Qua những HĐ dạy học, người GV cần thông qua dạy tri thức để dạy cho người học cách phát hiện, ý tưởng đề xuất cách thức, giải pháp GQVĐ, dạy cách suy nghĩ, tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng giải thích, chứng minh, sử dụng các phương pháp lập luận để giải quyết các tình huống của đời sống thực tiễn giúp người học tự hình thành kiến thức thức, kĩ năng, phát triển năng lực và phẩm chất. Vấn đề phát triển tư duy cho HS đã trở thành một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học môn Toán trong nhà trường. Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2018 [2] đã xác định việc hình thành và phát triển NLTH cho HS là một trong những mục tiêu cần đạt qua dạy học môn Toán, mà trong đó có NL GQVĐ và NL tư duy, lập luận toán học. Đặc biệt, trong Kỷ yếu Hội thảo khoa học phát triển NL nghề nghiệp GV Toán phổ thông Việt Nam của Hội giảng dạy Toán phổ thông và Chương trình phát triển Giáo dục trung học [4], tác giả Trần Kiều cho rằng các NL cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông gồm có NL tư duy toán học, NL GQVĐ, NL mô hình hóa toán học, NL giao tiếp, NL sử dụng các công cụ, phương tiện học toán và NL tự học toán. Trong đó NL tư duy toán học và NL GQVĐ cần được chú trọng, chiếm ưu thế hơn so với các NL còn lại. Để phát triển NL tư duy toán học, ông cho rằng “đặc biệt cần lưu ý đến NL tư duy logic trong suy diễn, lập luận; đồng thời coi trọng tư duy phê phán, sáng tạo, cũng như các yếu tố dự đoán, tìm tòi, trực giác toán học, tưởng tượng không gian” [4, tr.9-10]. Tác giả Nguyễn Bá Kim cũng nhấn mạnh “tác dụng phát triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng” [19, tr.45]. Như vậy, trong quá trình dạy học Toán cùng với việc hình thành NL tư duy logic, khả năng lập luận rõ ràng cần chú trọng phát triển cho HS các NL trí tuệ, trí tưởng tượng, hình thành khả năng TGTH, khả năng tìm tòi, khám phá sáng tạo một cách cân đối, hài hòa với nhau giúp HS phát triển NL, phẩm chất một cách toàn diện. Nhận định về vai trò của trực giác và tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực liên quan đến trực giác Vấn đề về TG đã được nghiên cứu nhiều trên thế giới, hầu hết những tài liệu đều liên quan đến những cuộc tranh luận về ý nghĩa, vai trò đa dạng của TG, những biểu hiện đặc trưng cơ bản. Một số tác giả xem TG là nguồn gốc của đổi mới sáng tạo và là một bước đầu tiên và cần thiết cho giáo dục; có thể thấy qua các công trình của các tác giả: Wild (1938), Henri Poincaré (1958), Bruner (1960), Bunge (1962), Descartes và Spinoza (1967), Westcott (1968), Andrea DiSessa (1982). Một số nhà giáo dục cho rằng TG có thể đào tạo được và đã vận dụng TG vào quá trình giáo dục như Tall và Vinner (1980), Fischbein (1987), Tieszen (1989), Jagla (1994), Hogarth (2001), Giardino (2010), Young Hoan Cho và Seo Yon Hong (2015). Mặc dù trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu về TG và TGTH, thế nhưng ở Việt Nam vấn đề này chỉ trình bày về khái niệm trong các tác phẩm về phát triển tư duy toán học cho HS của tác giả như Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Nguyễn Văn Lộc (1997), Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang (2005), Nguyễn Phú Lộc (2014). Cho đến nay vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu đầy đủ và hệ thống về TGTH, chưa làm sáng tỏ và bước đầu vận dụng TGTH vào trong thực tiễn dạy học ở trường THPT Việt Nam. TG có vai trò to lớn trong sáng tạo khoa học cũng như có ý nghĩa quan trọng trong dạy học Toán học. Nhà nghiên cứu người Pháp Edouard Le Roy từng nói “Nhà phát minh trước hết là một người giàu trực giác, một nhà thơ”, còn nhà toán học Henri Poincaré, người đầu tiên nêu lý thuyết về sáng tạo toán học, nhận định trong quá trình sáng tạo toán học của mình, ông cho rằng “Óc logic chỉ là cằn cỗi nếu không được tắm nhuần bằng trực giác”. Trong quá trình lịch sử, xuất hiện ngày càng nhiều những phát hiện thiên tài đột xuất, chính bản thân của các nhà thiên tài cũng công nhận TG đóng vai trò then chốt trong quá trình hình thành các phát minh khoa học. Chẳng hạn, Albert Einstein từng nói “Tôi tin vào trực giác và cảm hứng. Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức. Đối với kiến thức còn hạn chế, trong khi trí tưởng tượng bao trùm toàn bộ thế giới, kích thích tiến bộ, khai sinh ra quá trình tiến hóa. Nói đúng ra, đó là một yếu tố thực trong nghiên cứu khoa học” [14]. Theo tác giả Koliagin, một trong những thành phần cơ bản của tư duy toán học là tư duy trực giác, ông cho rằng “TG là phương pháp đặc biệt của nhận thức, đặc trưng bởi việc tìm ra chân lý một cách trực tiếp, liên quan đến TG đó là những hiện tượng như việc giải quyết vấn đề một cách bất ngờ, chớp nhoáng, không tuân thủ theo các yêu cầu logic của bài toán, kết quả tìm được bằng phương pháp này rất nhanh chóng” [80]. Trong dạy học, nếu quan tâm đến việc hình thành và phát triển TDTG cho người học có thể giúp họ biết đưa ra những phán đoán đột phá về chiến lược giải quyết cho những vấn đề không quen thuộc, tạo điều kiện cho người học biết cách phát hiện và giải quyết vấn đề, cách suy nghĩ, tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng giải quyết các tình huống của đời sống thực tiễn. Thực trạng dạy học Toán ở trường trung học phổ thông còn chú trọng dạy những kiến thức mang tính quy trình, chưa quan tâm đến việc dạy học theo hướng phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh Trong dạy học Toán ở trường THPT hiện nay, khi HS phải đối mặt với một bài toán mới hay một tình huống không quen thuộc, GV thường dành nhiều thời gian để trang bị cho HS những kiến thức mang tính quy trình, phần lớn các em có ít cơ hội được nỗ lực tư duy, khám phá để tự tìm tòi con đường GQVĐ. Điều này dẫn đến nhiều HS có thái độ ỷ lại, trông chờ vào kiến thức GV cung cấp, HS chỉ học những kiến thức một cách hình thức, rập khuôn, chủ yếu sử dụng kiến thức đó để giải các bài toán cùng dạng, mà không biết hoặc ít vận dụng được kiến thức toán học vào GQVĐ trong cuộc sống thực tiễn. Hơn nữa, những giờ học như vậy thật sự cũng chưa gợi được động cơ học tập, tạo niềm tin, gây hứng thú, và thái độ học tập tích cực với các em. Mặt khác, trong dạy học Toán, hầu hết cách dạy của GV và cách trình bày của phần lớn nội dung trong sách giáo khoa cho HS thấy rằng toán học chỉ có các chứng minh, suy luận diễn dịch và bài tập vận dụng. Các định lí, quy tắc, hệ quả và chứng minh của chúng thường được giới thiệu, trình bày như là các sản phẩm có sẵn. Tuy nhiên, cần chú ý rằng Toán học có thể xét theo hai phương diện. “Nếu chỉ trình bày lại những kết quả đã đạt thì Toán học là khoa học chặt chẽ với phương pháp suy diễn và tính logic nổi bật, còn nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển thì phương pháp của nó vẫn có tìm tòi , suy đoán, quy nạp” [19]. Vì vậy, các tác giả Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang đã đề cập việc “nhấn mạnh quá đáng sẽ đi chệch khỏi con đường đúng đắn nếu coi những yếu tố kiến thiết, phương pháp quy nạp, trực giác, tưởng tượng cũng như quá trình tư duy tiền logic chỉ đóng vai trò thứ yếu”, “Phép suy diễn cần được bổ sung bằng trực quan, khát vọng KQH; cần được hạn chế và cân bằng nhờ trân trọng đến cái riêng” [15, tr.14]. Do đó, trong quá trình tiếp cận kiến thức mới, GV cần tổ chức các HĐ cho HS thấy một hình thái khác của toán học với tư tưởng độc lập, suy đoán, sáng tạo, giúp người học thấy được quá trình hình thành kiến thức, trải nghiệm với việc phát hiện ra những mệnh đề mới, nhận thấy được ý nghĩa, vẻ đẹp của tri thức toán học. TG đóng vai trò đặc biệt trong quá trình phát triển nhận thức của HS, giúp người học tích cực và sáng tạo hơn trong việc đưa ra các phán đoán, tự tìm kiếm, khám phá kiến thức mới, hình dung trước được đường lối, chiến lược GQVĐ, đưa ra quyết định trước khi bắt tay vào trình bày vấn đề một cách rõ ràng cụ thể. TG của mỗi cá nhân HS phụ thuộc vào quá trình tích lũy kiến thức, kinh nghiệm cũng như sự phát triển của tư duy và sự đào tạo, rèn luyện có hệ thống trong dạy học Toán. Do đó, nếu có khả năng TG sẽ giúp HS có thói quen suy nghĩ nhanh chóng để hình dung, khám phá, suy ngẫm và phát hiện cách thức giải quyết một vấn đề trước khi bắt đầu thực hiện các bước giải chi tiết, đưa ra những phán đoán đột phá về chiến lược giải quyết cho những vấn đề không quen thuộc, tạo điều kiện cho HS phát triển NL tư duy, lập luận và NL GQVĐ. Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển NL TGTH là một trong những cách dạy tạo tiền đề cho HS biết cách nắm bắt được tri thức trong sự học tập có ý nghĩa, nhận thấy trước và định hướng cách GQVĐ nảy sinh, giúp phát triển các NL tư duy toán học. Như thế, cần xác định được các đặc trưng của NL TGTH và các thành tố của NL TGTH, từ đó thiết kế, tổ chức những HĐNT thích hợp cho HS trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT, đây là vấn đề nghiên cứu được đặt ra để giúp HS nâng cao được khả năng vận dụng kiến thức, khả năng GQVĐ và phát huy được tính sáng tạo, đáp ứng theo yêu cầu dạy học phát triển năng lực người học hiện nay. Chính vì những lí do trên, chúng tôi xác định việc dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS là một trong những vấn đề mới có tính cấp thiết cần được quan tâm nghiên cứu trong quá trình dạy học Toán phù hợp theo định hướng đổi mới giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông”. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề xuất quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS và cách thức tổ chức các HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT, góp phần nâng cao hiệu quả trong dạy và học môn Toán. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi sau: Thế nào là NL TGTH của HS? NL TGTH của HS có những đặc trưng gì trong học tập môn Toán? Phát hiện những NL nào là NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán? Quy trình tổ chức HĐNT cho HS trong dạy học Toán nói chung và việc dạy học Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở trường THPT ra sao? Những cơ hội nào để phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT? Tình hình dạy học môn Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở trường THPT hiện nay như thế nào? Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT gồm các bước nào? Cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT ra sao? Quy trình đã đề xuất và các cách thức tổ chức HĐNT theo hướng phát triển từng NL thành tố của NL TGTH có tính khả thi và hiệu quả trong quá trình thực nghiệm sư phạm hay không? ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: quá trình tổ chức dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT. Phạm vi nghiên cứu: các nội dung dạy học trong chương trình Toán lớp 10, 11 ở trường THPT và quá trình tổ chức HĐNT các nội dung đó cho HS trong dạy học Toán. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu đề xuất được quy trình tổ chức HĐNT và cách thức phát triển từng NL thành tố của NL TGTH cho HS phù hợp với thực tiễn dạy học Toán ở trường THPT thì giúp HS vừa lĩnh hội được những tri thức toán học một cách tích cực và sáng tạo hơn, vừa hình thành phát triển NL TGTH cho HS, góp phần phát triển NL người học đáp ứng yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu, các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài như NL, TGTH, các đặc trưng của TGTH, quá trình dạy học Toán theo hướng phát triển TGTH, việc tổ chức các HĐNT cho người học; nghiên cứu mục tiêu, nội dung chương trình Toán THPT ở Việt Nam. Phương pháp quan sát, điều tra: Thiết kế phiếu điều tra khảo sát; thu thập và phân tích các dữ liệu về dạy và học môn Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS; quan sát quá trình nhận thức, hoạt động của HS qua học tập; khảo sát qua bảng câu hỏi đối với GV Toán; dự giờ, phỏng vấn và trao đổi kinh nghiệm về dạy học theo hướng phát triển NL TGTH với GV Toán THPT. Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia giáo dục học và giáo dục học môn Toán về vấn đề liên quan đến đề tài. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của cách thức tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH trong dạy học Toán đã đề xuất. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: quan sát, theo dõi quá trình phát triển HĐNT theo hướng chú trọng TGTH của một nhóm HS cụ thể trong quá trình thực nghiệm sư phạm. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 7.1. Về mặt lí luận - Làm sáng tỏ được các đặc trưng và các NL thành tố của NL TGTH của HS trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT. - Đề xuất được quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT. - Đề xuất được các cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT. 7.2. Về mặt thực tiễn - Đưa ra được quy trình để GV tiến hành tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học một số nội dung Toán ở trường THPT. - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng chú trọng phát triển NL TGTH cho HS. NHỮNG VẤN ĐỀ CẦN ĐƯA RA BẢO VỆ - Những đặc trưng của NL TGTH của HS và các NL thành tố của NL TGTH của HS trong học tập môn Toán ở trường THPT. - Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT. - Cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận án gồm bốn chương: Chương 1. Cơ sở lí luận. Chương 2. Thực trạng dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT. Chương 3. Tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT. Chương 4. Thực nghiệm sư phạm. Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề Lịch sử nghiên cứu vấn đề trực giác, trực giác toán học 1.1.1.1. Vấn đề trực giác, trực giác toán học trên thế giới Từ những năm 1930, vấn đề trực giác (Intuition) bắt đầu xuất hiện và được nghiên cứu trên những lĩnh vực khác nhau như triết học, tâm lí học, tôn giáo, đạo đức học, mỹ học, toán học và giáo dục học bởi nhiều tác giả nổi tiếng trên thế giới. Với nhiều ý nghĩa quan trọng, cho đến nay TG vẫn tiếp tục được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt là các nhà giáo dục học. Trong khi, một số tác giả cho rằng TG như là một giác quan thứ sáu hay một sức mạnh huyền bí, mang tính thiên phú hay nhờ may mắn, ngẫu hứng thì các nhà khoa học đã nghiên cứu TG như một hiện tượng thực mà có thể xác định trong phòng thí nghiệm được quan sát thông qua quét não. TG không chỉ thể hiện ở chỗ sự lóe sáng các ý tưởng mới, đóng vai trò quyết định trong việc thực hiện những khám phá, sáng tạo trong khoa học, mà hơn thế, các nhà nghiên cứu đã và đang dần dần giáo dục hóa lĩnh vực sáng tạo, cụ thể là có thể đem TG vào trong hoạt động dạy và học. Một số nhà giáo dục nổi tiếng như J. Bruner, E. Fischbein, R. L. Wilder, R. M. Hogarth, Tall và Vinner, Tieszen ... đã sử dụng TG như là một yếu tố quan trọng cần thiết trong quá trình dạy học nói chung và dạy học Toán nói riêng. Mặc dù TG được nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực khác nhau, ở đây chúng tôi trình bày các vấn đề có liên quan đến việc dạy học hướng tới phát triển TG cho người học trong dạy học Toán dựa trên cơ sở triết học, tâm lí học, toán học và giáo dục học: + Trong lĩnh vực triết học - Nhiều triết gia cũng đã đưa ra Thuyết trực giác (Intuitionism) như Kant, Hilbert và Bernays, Husserl, Godel, Parsons, Brouwer. Theo tư tưởng của Husserl về TG trong Toán học, có sự giống nhau giữa “ý định” và TG (Intention and Intuition). - Thuyết trực giác của H. Bergson với tác phẩm “An Introduction to Metaphysics” năm 1946 [60] với hai cách khác nhau để nhận thức thực tại, đó là cách phân tích và cách trực giác (the way of analysis and the way of intuition). Ông cho rằng phân tích có thể nắm bắt đối tượng bằng cách chia nhỏ các yếu tố của đối tượng, còn TG cung cấp ngay lập tức kiến thức của đối tượng trong sự toàn thể của đối tượng đó. - Năm 2000, triết gia M. A. E. Dummett xuất bản cuốn sách “Elements of Intuitionism” [68], giới thiệu kỹ lưỡng về toán học trực giác (Intuitionistic mathematics) và đưa ra nhìn nhận chung về lịch sử TG, dẫn dắt thông qua các khái niệm toán học và triết học, những công việc trước đó của Brouwer cũng được nghiên cứu lại và tính hoàn chỉnh của logic thứ tự TG cũng được làm sáng tỏ. - Mối liên hệ giữa triết lí toán học và Thuyết trực giác trong Toán học (Intuitionism in Mathematics) cũng được nghiên cứu qua những công trình của nhiều triết gia như Wittgenstein, Gonzalez [73], D. C. McCarty,... với những khía cạnh phân tích sâu sắc khác nhau đã làm sáng tỏ thêm khái niệm TGTH. + Trong lĩnh vực tâm lí học - Trong tâm lí học nhận thức, các nhà tâm lí đã cống hiến cho việc nghiên cứu tiến trình nhìn thấu được bên trong sự vật, được định nghĩa là sự hiểu biết ngay lập tức được sự vật, kinh nghiệm “à há” sau khoảng thời gian giải quyết vấn đề không thành công. Trong đó, K. Hammond là một nhà tâm lí học đóng góp to lớn vào nghiên cứu sự phán đoán và đưa ra quyết định (judgment and decision making), ông đưa ra định nghĩa TG bởi sự đối lập với TDPT. - Nhà tâm lí học A. L. Baylor đã đề cập đến sự phát triển TG và đưa ra ba thành phần của TG là sự nhanh chóng, mối liên hệ cảm giác và nguyên nhân, qua nhiều công trình nghiên cứu sâu sắc về TG như [56], [57], [58]. + Trong lĩnh vực toán học: nhiều nhà toán học như Poincaré, Descartes, Hadamard, Koliagin, Kônmôgôrôp, Krutexki... đã đề cập đến TGTH và cho rằng TGTH là cách thức của việc chứng minh sự hiểu biết và vấn đề toán học. - Nhà toán học Poincaré nhận định rằng TGTH là nền tảng xây dựng những công trình toán học và quá trình sáng tạo toán học gồm bốn giai đoạn: Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức: nhà toán học huy động các thông tin hữu ích của một vấn đề cần giải, giai đoạn này các yếu tố suy luận và trực giác của việc tìm kiếm lời giải cùng tồn tại. Giai đoạn tiếp theo là tư duy vô thức, mà còn gọi là “thời gian ấp ủ”. Giai đoạn bừng sáng TG, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức. Giai đoạn kiểm tra giải pháp của TG đề ra. Từ đó, Poincaré nhấn mạnh giá trị của TG khi đưa ra kết luận về quá trình sáng tạo toán học từ kinh nghiệm của bản thân. - Nhà toán học người Pháp J. Hadamard trong tác phẩm “An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field” (1945) [74] đã xây dựng một cuộc khảo sát hệ thống về quá trình làm việc của các nhà toán học từ đó nhận ra rằng nhiều khám phá toán học đã có trong khoảng thời gian dài ấp ủ một cách vô thức, sau đó đột ngột xuất hiện trong tâm trí. Như vậy, các nhà toán học trên đã mô tả quá trình khám phá toán học mà trong đó TGTH xem như là một trong các giai đoạn của quá trình đó tuy nhiên họ vẫn chưa trình bày về khái niệm TGTH một cách rõ ràng. Đến năm 2009, S. Dehaene đã công bố công trình khoa học viết về nguồn gốc của TGTH, trường hợp Số học [67], trình bày khái niệm TG số học - TG của những con số và sự chuyển hóa cơ bản của TG số học, chúng có liên quan đến hệ thống não bộ của con người và đề cập đến vấn đề sự kết nối giữa ngôn ngữ và phi ngôn ngữ trong Số học. + Trong lĩnh vực giáo dục học: các nhà giáo dục học quan tâm đến câu hỏi TG ảnh hưởng như thế nào đến người học trong tiến trình dạy học ở nhà trường, TG có thể đem giáo dục, đào tạo cho người học được hay không và đi tìm câu trả lời cho các vấn đề đó. Một số công trình liên quan đến TG trong quá trình dạy học như: Trong [93], R. L. Wilder nhấn mạnh “TG đóng một vai trò nền tảng và không thể thiếu được trong nghiên cứu Toán cũng như trong PPDH hiện đại” [93, tr.605]. Ông đưa ra khái niệm TGTH và phân biệt ba vai trò của TGTH, từ đó khuyến khích PPDH hiện đại cần được thay thế việc dạy HS “làm điều này, làm điều kia” bởi “điều gì nên làm tiếp theo?” định hướng cho việc sử dụng PPDH tích cực nhằm phát triển nền tảng TGTH cho HS. C. Parsons đã phân tích khái niệm về TGTH từ quan điểm của các tác giả Kant, Husserl, Godel trong công trình khoa học “Mathematical Intuition” [85] được công bố năm 1980, Parsons bắt đầu lý giải sự rõ ràng của khái niệm này. Không giống như tác giả Godel, Parsons không tập trung khái niệm TGTH trên lý thuyết tập hợp, ông trình bày TGTH vào lĩnh vực hình học sơ cấp và số học. Parsons cho rằng khái niệm TGTH của Kant và Husserl đều bị ảnh hưởng bởi nền tảng toán học của giai đoạn vận dụng lý thuyết tập hợp vào tất cả lĩnh vực toán học. Năm 1987, E. Fischbein đã xuất bản cuốn sách “Intuition in Science and Mathematics: An Educational Approach” [70] về việc xây dựng TG như một lĩnh vực nghiên cứu trong giáo dục toán học, tổ chức và đề xuất ý nghĩa giáo dục cho việc học tập và giảng dạy Toán và khoa học. Cụ thể, ông quan tâm đến khía cạnh lí luận như khái niệm TG, sự kết nối TG và các yếu tố khác, đặc điểm và phân loại TG, chỉ ra các yếu tố góp phần hình thành TG: vai trò của kinh nghiệm, các loại mô hình và các yếu tố khác. Fischbein đã có những ý tưởng cho việc hình thành một hướng tiếp cận giáo dục toán với TGTH cả về mặt tâm lí nhận thức và thực tiễn giáo dục. Công trình “Mathematical Intuition - Phenomenology and Mathematical Knowledge” [87] của R. Tieszen (1989) đã đề cập đến khái niệm TGTH, thảo luận vai trò của TG trong cơ sở của toán học. Theo cách tiếp cận riêng của ông, sử dụng sự xem xét hiện tượng để đến được với sự hiểu biết rõ ràng hơn về vai trò của TG trong kiến thức toán, phân tích những quan điểm về TG trong Toán học của các tác giả đã đưa ra Thuyết trực giác từ đó phát triển một số ý tưởng của Husserl về TG trong toán học, theo Tieszen TG được hiểu là “sự thực hiện của ý định”. V. M. Jagla đã đưa ra các khái niệm về TG, tưởng tượng, sự cần thiết kết hợp giữa TG và tưởng tượng, đặc biệt, Jagla đã tìm tòi cách thức để bồi dưỡng TG và tưởng tượng trong dạy học, từ đó nâng cao giá trị sử dụng TG và tưởng tượng của GV trong dạy học, xem xét trên một số chủ đề khuyến khích HS sử dụng quá trình TG và tưởng tượng trong cuốn sách “Teachers’ Everyday use of Imagination and Intuition: In Pursuit of the Elusive Image” [78] xuất bản năm 1994. Trong cuốn sách “Educating Intuition” [76], R. M. Hogarth đã khái niệm về TG một cách sâu sắc hơn, đó là cấu trúc gồm tiến trình, nội dung và các yếu tố liên quan. Kết luận chính của sách này chính là TG có thể đào tạo được và những cách thức để làm điều đó. Hỗ trợ cho kết luận này, ông cung cấp năm ý tưởng then chốt trong việc giáo dục TG ở mỗi con người. Năm ý tưởng đó là (1) Một tổ chức (con người) nhưng nhiều hệ thống xử lý thông tin, (2) Học tập định hình bởi kinh nghiệm, (3) Hai hệ thống cho việc học tập và thực hành, (4) TG như sự thành thạo và (5) Tiến hành phương pháp khoa học TG. B. Torff và R. J. Sternberg (2008) biên tập quyển “Understanding and teaching the Intuitive Mind: Student and Teacher Learning” [90] đã tiếp cận lí luận và sư phạm về nguồn gốc, cấu trúc, chức năng, sự phát triển của khái niệm TG, kết nối các lí luận và các nghiên cứu về mối quan hệ giáo dục, không chỉ tập trung trên TDTG cho HS mà hướng đến niềm tin dạy học TG cho GV và sự vận dụng trong lớp học, tổ chức dạy học TG bởi giáo viên – niềm tin về dạy và học ảnh hưởng trong thực tiễn giáo dục. Trong nghiên cứu “Intuition and Visualization in Mathematical problem solving” [72] của V. Giardino cũng thảo luận về khái niệm TGTH, chỉ ra mối liên hệ giữa TGTH và trực quan toán học trong HĐ GQVĐ toán học. Tác giả thừa nhận rằng TGTH phụ thuộc vào nền tảng kiến thức và kinh nghiệm của mỗi cá nhân, giúp cho người học thấy được sự tổng thể của kết luận được chứa đựng bởi phương tiện của trực quan. Một công bố của các tác giả Y. H. Cho và S. Y. Hong (2015) “Mathematical Intuition and Storytelling for Meaningful Learning” [65] trình bày khái niệm và vai trò TGTH, đưa ra hai hướng tiếp cận dạy học dựa trên TGTH. Các tác giả đã đưa ra một số ví dụ về vấn đề trong thực tiễn để khuyến khích HS sử dụng kiến thức TGTH và kinh nghiệm để hiểu khái niệm toán học và GQVĐ toán học. 1.1.1.2. Vấn đề trực giác, trực giác toán học trong nước Tại Việt Nam, một số tác giả cũng đề cập đến khái niệm TG trong tài liệu về phát triển tư duy toán học, NLTH, chẳng hạn như tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Văn Lộc, Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang, Trần Luận, Nguyễn Phú Lộc, cụ thể: Nhóm tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình [12] đã đề cập đến TGTH như là sự bừng sáng đột nhiên trong quá trình sáng tạo, trình bày các giai đoạn của quá trình sáng tạo theo nhà toán học Hadamard, một số NLTH ở HS với những phong cách tư duy toán học theo nhà toán học A. Ia. Khin-xin và A. N. Kônmôgôrôp, tóm tắt cấu trúc các NL học toán của HS qua nghiên cứu của tác giả V. A. Krutexki. Trong [22], tác giả Nguyễn Văn Lộc đã trình bày khái niệm TG và TDTG trong quá trình phát triển tư duy toán học cho HS. Ông cũng có ý tưởng đầu tiên nghiên cứu về sự phát triển TGTH cho HS qua dạy học hình học [23]. Tác giả Trần Luận [24] đã đề cập đến TG và vai trò của TG trong quá trình nhận thức và sáng tạo toán học của HS trong dạy học Toán. Với các tác giả Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang trong [14] trình bày vấn đề phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học Toán có đề cập đến TG và vai trò của TG trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS. Thế nhưng trong hai công trình nghiên cứu này, khái niệm TGTH và các vấn đề liên quan đến TGTH chỉ mang tính chất giới thiệu để làm nền tảng cho vấn đề phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học Toán. Trong tài liệu [21], tác giả Nguyễn Phú Lộc đã trình bày khái niệm TG có liên hệ với thuật ngữ “Bức tranh khái niệm” và phân loại TG, nội dung này được trích dịch từ tác phẩm của Fischbein [70] và Tall [86], tuy nhiên chưa có những phân tích sâu sắc cũng như chưa có những ví dụ minh họa việc sử dụng TGTH trong thực tiễn dạy học Toán ở trường THPT Việt Nam. 1.1.1.3. Nhận định rút ra từ các kết quả nghiên cứu về TGTH trong và ngoài nước Qua quá trình phân tích các kết quả nghiên cứu về TG trên các lĩnh vực triết học, tâm lí học, toán học và giáo dục học trên thế giới, chúng tôi thấy rằng vấn đề về TG và TGTH như quan niệm, vai trò, ý nghĩa của nó được nghiên cứu khá sâu sắc dưới những góc độ khác nhau. Đặc biệt trong lĩnh vực giáo dục, các tác giả đã đề xuất những định hướng cho việc sử dụng TGTH vào dạy học, các công trình này đã khai thác việc dạy học hướng tới phát triển TGTH cho người học ở một số nội dung cụ thể của môn Toán như số học, hình học sơ cấp, giới hạn. Dựa trên những đặc trưng của TGTH, nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định TG cũng như TGTH hoàn toàn có thể đào tạo, rèn luyện và phát triển được cho con người. Điều này đã được cụ thể qua những chỉ dẫn của các nhà giáo dục học cho việc vận dụng vào quá trình dạy học với những ý tưởng tiến hành và cách thức tổ chức dạy học nhằm phát triển TG, TGTH cho người học. Thế nhưng vai trò to lớn của TGTH và những đặc trưng của TGTH trong dạy học và nghiên cứu ở Việt Nam vẫn còn chưa được khai thác và chưa có những công trình nghiên cứu hướng tới việc vận dụng TGTH vào trong thực tiễn dạy học Toán ở trường THPT. 1.1.2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề về tổ chức hoạt động nhận thức Ở Việt Nam, nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu đến vấn đề tổ chức, tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh như trong các tài liệu sau: - Luận án Tiến sĩ Giáo dục về “Nghiên cứu sử dụng phương tiện trực quan theo hướng tích cực hóa HĐNT của HS trong giờ học ở trường Trung học cơ sở” của Phạm Minh Tiến (1999) đã đưa ra hệ thống các biện pháp và quy trình sử dụng có hiệu quả các phương tiện trực quan theo hướng tích cực hóa HĐNT của HS học tập. - Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Mạnh Chung (2001) với đề tài “Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS (thông qua dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới hạn” cho HS trường THPT” [10], đã đề xuất quy trình dạy học khái niệm toán học theo hướng tích cực hóa HĐNT của HS nhằm nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học ở trường THPT. - Luận án Tiến sĩ của Trần Trung (2009) “Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông hỗ trợ dạy học hình học theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh Dự bị Đại học dân tộc” [49] đã đề xuất những yêu cầu sư phạm đối với hệ thống E-learning, phương pháp, hình thức ứng dụng E-learning hỗ trợ dạy học hình học ở trường Dự bị Đại học dân tộc theo hướng tích cực hóa HĐNT của HS. - Trong tài liệu “Tổ chức hoạt động nhận thức tr...o rằng có bốn loại liên tưởng: liên tưởng giống nhau, liên tưởng tương phản, liên tưởng gần nhau về không gian và thời gian, liên tưởng nhân quả. Theo sơ đồ 1.1, tư duy là một quá trình gồm nhiều giai đoạn, mà các mối liên tưởng là thành phần cốt lõi của hoạt động tư duy, từ đó sàng lọc những liên tưởng, gạt bỏ những cái không cần thiết, hình thành giả thuyết về cách GQVĐ, sau đó HS tiến hành kiểm tra giả thuyết, khẳng định hoặc phủ định nó rồi đi đến kết quả. Cụ thể khi HS gặp một tình huống có vấn đề đối với bản thân, phát hiện ra mâu thuẫn, khó khăn chứa đựng trong tình huống, tạo ra nhu cầu phải giải quyết, tìm thấy và huy động tri thức, kinh nghiệm đã biết có liên quan, làm xuất hiện trong đầu chủ thể những mối liên tưởng xung quanh vấn đề đang cần giải quyết. Trong quá trình học tập, liên tưởng có vai trò đặc biệt trong quá trình phát triển nhận thức tri thức cũng như quá trình hình thành, phát triển NL TGTH của HS do sự phát triển nhận thức của người học tùy thuộc vào quá trình tích lũy các mối liên tưởng và trình độ nhận thức phụ thuộc vào số lượng các mối liên tưởng và tốc độ hoạt hóa các liên tưởng đó. Vì vậy, liên tưởng là nền tảng để HS thực hiện được khả năng TGTH, nếu không có năng lực liên tưởng tốt thì sẽ không có TG, khả năng GQVĐ cũng hạn chế. Trong học tập Toán của HS, để việc huy động kiến thức có hiệu quả, có cơ sở để nảy sinh TGTH thì phải có sự sàng lọc liên tưởng. Khi đó, chủ thể nhận thức cần có NL liên tưởng nhanh chóng với tốc độ và chất lượng của các liên tưởng ở mức độ nhuần nhuyễn, thành thạo mới tạo điều kiện cho TG tốt và chính xác. Việc bồi dưỡng NL này góp phần phát triển, mở rộng kiến thức và bồi dưỡng phương thức khám phá cho HS trên cơ sở các kiến thức đã có, phát hiện tìm tòi kiến thức mới thông qua HĐ và luyện tập cho HS HĐ chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác có tác dụng phát triển NL tư duy để chủ thể HS xuất hiện các ý tưởng, TG phát hiện tri thức mới. c) Phán đoán và khái quát hóa Theo logic học, “phán đoán là hình thức logic của tư duy, trong đó các khái niệm được liên kết với nhau để khẳng định hay phủ định một dấu hiệu nào đó của đối tượng. Phán đoán vừa có chức năng nhận thức, nhận định nhưng vừa có chức năng dự báo”. Chúng tôi thừa nhận rằng “phán đoán là hình thức của tư duy trong đó khẳng định một dấu hiệu nào đó thuộc hay không thuộc về một đối tượng. Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai hình thức trực tiếp và gián tiếp. Theo phương thức trực tiếp thì phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu quá trình tri giác của một đối tượng, còn theo phương thức gián tiếp thì phán đoán hình thành thông qua suy luận” [50, tr.11]. Còn “KQH là quá trình dùng trí óc hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính nhất định, những quan hệ chung nhất định” [19, tr.46]. Từ những sự kiện cụ thể riêng biệt ta so sánh đối chiếu các sự kiện với nhau để phát hiện ra các sự kiện chung rồi KQH thành kết luận tổng quát, sau đó suy diễn giúp kiểm nghiệm, chứng minh kết luận đã phát biểu là đúng hay sai, giúp điều chỉnh, bổ sung, phát hiện ra vấn đề mới, sự kiện mới. Nhiều tác giả đã nghiên cứu về KQH và phân loại KQH gồm hai loại: KQH kinh nghiệm và KQH lí luận. “Trong khi KQH kinh nghiệm là kết quả của sự so sánh và tách ra cái tương tự, cái giống nhau về bề ngoài trong các sự vật, thì KQH lí luận là kết quả của sự phân tích một hay một vài sự vật để phát hiện và tách ra được cái bản chất, cái bên trong của các sự vật” [16]. Về mặt triết học, cái riêng là phạm trù được dùng để chỉ sự vật, một hiện tượng, một quá trình riêng lẻ nhất định. Cái chung là phạm trù được dung để chỉ những mặt, những thuộc tính chung không những có mặt ở một kết cấu vật chất nhất định mà còn lập lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác. Do đó, KQH chính là tìm cái chung từ một hay một số sự vật, hiện tượng cụ thể, đơn nhất. Theo [21, tr.56], quy trình KQH như sau: Quan sát cái riêng Kiểm chứng phán đoán và ứng dụng vào tình huống mới Phân tích tìm mối liên hệ Phán đoán KQH tìm cái chung Sơ đồ 1.2. Quy trình khái quát hóa TGTH là nhận thức trực tiếp đối tượng, quan hệ toán học không cần thông qua những bước biện minh và phân tích chi tiết rõ ràng, do đó trong quá trình học tập môn Toán, chủ thể nhận thức có thể đưa ra được những phán đoán về đối tượng, quan hệ toán học đó thông qua suy luận quy nạp, KQH, mà chưa cần tiến hành các thao tác phân tích theo trình tự nghiêm ngặt của quá trình suy diễn. Trong một số trường hợp, HS có thể đưa ra được dự đoán về bản chất của đối tượng, phỏng đoán ngay được kết quả của vấn đề, từ đó có thể phát hiện được chiến lược giải quyết, thực hiện nhiệm vụ học tập môn Toán. 1.2.4. Vai trò của trực giác toán học trong dạy học Toán Các nhà khoa học đều khẳng định về vai trò quyết định của tưởng tượng và TG đối với việc phát minh sáng tạo. Nhà toán học H. Poincaré trong quá trình sáng tạo Toán học của mình đã nhận xét rằng “Óc logic chỉ là cằn cỗi nếu không được tắm nhuần bằng TG” hay “Bằng khoa học mà chúng ta chứng minh, nhưng bằng TG mà chúng ta khám phá”. Theo Libikhơ, “trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày, những thao tác trí lực không diễn ra theo các nguyên tắc logic mà sự hình dung về một chân lí nào đó, hoặc về những nguyên nhân của một hiện tượng bao giờ cũng đi trước sự chứng minh; người ta không xuất phát từ những tiền đề để đi đến kết luận cuối cùng mà trái lại, kết luận đó có trước, các tiền đề của nó chỉ sau này mới được tìm ra với tính cách là những chứng minh” [15, tr.27]. Khẳng định về vai trò của TG trong nghiên cứu khoa học, L. D. Broglie cho rằng “Nhờ những bước nhảy vọt phi lí, ta có thể bẻ gãy được cái vòng cứng nhắc, trong lối suy luận diễn dịch vẫn giam hãm chúng ta, phép quy nạp dựa trên tưởng tượng và TG cho phép ta thể hiện những chinh phục vĩ đại của tư duy; nó là cơ sở của tất cả những thành tựu thực sự của khoa học” [15, tr.28]. TG đóng vai trò quyết định trong việc thực hiện những khám phá trong hoạt động khoa học, trong đó lĩnh vực giáo dục, vì vậy TG và tưởng tượng đã được quan tâm một cách rộng rãi hơn. TGTH đóng một vai trò quan trọng và cần thiết trong dạy học, một số nhà giáo dục học đã nhận định như sau: R. L. Wilder nhấn mạnh “TG đóng một vai trò nền tảng và không thể thiếu được trong nghiên cứu Toán cũng như trong PPDH hiện đại” [93, tr.605]. Ông đã phân biệt ba vai trò của TG: trong sự phát triển khái niệm, trong nghiên cứu và dạy học. Vai trò chính của TG là cung cấp nền tảng nhận thức định hướng cho những nghiên cứu mới. Các nhà toán học rất quan tâm sự tồn tại của các khái niệm Toán học được cung cấp bởi TG. Trong dạy học Toán, ông cho rằng “công cụ Toán học của HS ở trường phổ thông gồm có hai thành phần chính: thành phần kiến thức (knowledge component) và thành phần TG (intuitive component). Để tách biệt hai thành phần này rất khó, bởi vì thành phần TG phụ thuộc vào sự phát triển của thành phần kiến thức” [93, tr.609]. Kết luận trong bài viết của mình, ông đã nhấn mạnh “PPDH hiện đại cần nhận ra được vai trò của TG bằng cách thay thế việc dạy “làm điều này, làm điều kia” bởi “điều gì nên làm tiếp theo”. Đó là cách tiếp cận để nền tảng TG sẵn sàng phát triển, với cách này sự hiểu biết và phê phán kiến thức có thể thấm nhuần đúng đắn trong HS” [93, tr.610]. Tác giả E. Fischbein [70] nhấn mạnh ba thành phần của kiến thức toán: kiến thức hình thức, kiến thức thuật toán và kiến thức TG và khẳng định mối quan hệ của chúng đóng một vai trò quan trọng trong hoạt động học toán của HS. J. Howarth cho rằng “Giải pháp TG của vấn đề là quan trọng. Chủ yếu đó là việc tìm kiếm câu trả lời cho một vấn đề trước khi bạn giải quyết nó. Người học cần được cám dỗ để tin rằng TG là cái gì mà bạn có thể có. Chúng tôi chắc chắn rằng tất cả đều có những tài năng khác nhau, nhưng quá trình khơi gợi tài năng đó cần được khuyến khích. Đó là một trong những điều mà dạy học cần làm. GV có thể khuyến khích tài năng bằng cách ví dụ hay mô tả cách tiếp cận riêng để giải quyết vấn đề” [64, tr.30]. Đối với Burton [64, tr.31] nhận định “Nghiên cứu của nhà toán học đã cung cấp cho chúng ta những chỉ dẫn rõ ràng để định hướng tới một phương pháp sư phạm toán học một cách thú vị và bổ ích cho người học cũng như hoạt động thực tiễn của người học. Những chỉ dẫn này trước hết hướng tới giá trị và bồi dưỡng TG, và công nhận tầm quan trọng của việc kết nối, liên kết trong xây dựng ý nghĩa toán học”. Theo chúng tôi, vai trò của TGTH trong dạy học Toán là cung cấp cho người học những dự đoán giúp cho HS phát hiện được vấn đề, ý nghĩa của tri thức, tạo cầu nối giữa trực quan với trừu tượng, cung cấp cho HS cách suy nghĩ nhanh và hình dung được tổng thể của vấn đề trước khi giải quyết. Hiển nhiên những dự đoán này có thể đúng hoặc sai; trong hai trường hợp đều có khả năng kích thích tư duy toán học của người học một cách hiệu quả, vì đối với dự đoán sai thì cũng có thể dẫn đến sự phát triển nhất định trong quá trình nhận thức của HS. Đặc biệt, khi HS đối mặt với những vấn đề khó khăn chưa gặp trước đó (chẳng hạn bài toán không mẫu mực, một khái niệm mới trừu tượng) thì TGTH thể hiện được vai trò ưu thế của mình trong việc định hướng GQVĐ hay cách tiếp cận vấn đề. Tóm lại, vai trò của TGTH đối với việc tiếp cận hiện đại trong nghiên cứu giáo dục toán ở trường phổ thông gồm: sử dụng TGTH như là cách thức để đưa ra các dự đoán hay phán đoán, giả thuyết khoa học cho việc phát hiện vấn đề toán học; sử dụng TGTH để định hướng đường lối giải quyết vấn đề toán học; sử dụng TGTH để thấy rõ ý nghĩa của tri thức toán học. Các vấn đề này giúp HS biết cách tiếp cận kiến tạo kiến thức, khám phá kiến thức trong học tập môn Toán. Do đó, dựa trên các hướng tiếp cận này, chúng tôi xác định việc xây dựng các HĐ được tổ chức cho HS trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT nhờ các vai trò của TGTH. Ví dụ 1.1. Xét bài toán sau: “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ”. Đối với HS lớp 10, không gian vấn đề của các em về việc tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến các kiến thức sử dụng các tính chất của BĐT, các BĐT quen thuộc như BĐT tam giác, BĐT Cauchy. Trong vấn đề này, GV yêu cầu HS khám phá cách giải quyết và mô tả ngắn gọn về ý tưởng giải quyết đó. - HS có thể phát hiện như sau: Do biểu thức trong dấu căn có thể đưa về dạng bình phương đủ, đánh giá được giá trị của biểu thức như sau: . Do đó khi . Từ đó HS đưa ra dự đoán về kết quả bài toán. Tuy nhiên, các em mắc sai lầm ở chỗ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điều kiện không phải với mọi số thực . Do đó HS cần biết quan sát kỹ, huy động kiến thức linh hoạt đưa ra phán đoán để định hướng tìm giải pháp phù hợp cho bài toán: - GV: Chú ý cần tìm giá trị nhỏ nhất trên tập xác định đã cho, các em hãy quan sát mỗi biểu thức trong dấu căn, đó là biểu thức có chứa bình phương và tích của hai số dương. Kiến thức nào liên quan đến những biểu thức như vậy? Từ đó phát hiện cách thức nào để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức? - Câu trả lời mong đợi từ HS: phát hiện kiến thức nhờ định lí Côsin trong tam giác để giải quyết vì bình phương độ dài của một cạnh của tam giác bằng tổng các bình phương và tích của hai cạnh. Khi đó GV hướng dẫn HS có thể hình dung biểu thức là tổng độ dài hai cạnh nên ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức thông qua sử dụng BĐT trong tam giác: . - HS tiến hành sử dụng các thao tác phân tích cụ thể để kiểm tra lại phán đoán đưa ra của HS: Giả sử hai tam giác lần lượt có và ; và . Khi đó ta có Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có , với . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thuộc cạnh khi đó . 1.2.5. Một số đặc trưng của năng lực trực giác toán học của học sinh trong quá trình học tập Toán ở trường trung học phổ thông Trong quá trình nghiên cứu việc tổ chức dạy học theo hướng phát triển NL TGTH của HS qua các nội dung cụ thể môn Toán, cần xác định được những đặc trưng riêng của NL TGTH của HS nhằm hiểu được sâu sắc hơn và phân biệt NL TGTH trong các đặc trưng chung của NLTH của HS trong học tập Toán ở trường THPT. Trên cơ sở các nghiên cứu, chúng tôi phát hiện một số đặc trưng của NL TGTH của HS trong quá trình học tập Toán ở trường THPT như sau: 1.2.5.1. Đặc trưng 1: NL TGTH đặc trưng bởi sự nhanh chóng nhận thức trực tiếp các đối tượng, quan hệ, vấn đề toán học NL TGTH là NL tư duy đặc trưng bởi sự nhận thức trực tiếp các vấn đề toán học, nhờ HS biết suy nghĩ nhanh để phát hiện được vấn đề cần giải quyết, nhanh chóng đề xuất được cách thức GQVĐ trong quá trình họ tiếp xúc với vấn đề. Do đó, HS có NL TGTH được biểu hiện ở chỗ người học có sự bừng sáng trong việc nắm bắt ngay vấn đề, giải được ngay bài toán hay phát hiện cách giải quyết được vấn đề toán học ngay lập tức, có khả năng nhìn thấy ngay kết quả của vấn đề toán học dù chỉ mới đối diện với vấn đề. Đặc trưng NL TGTH này được thể hiện nhờ người học có khả năng phát hiện, hình dung được vấn đề toán học, khả năng liên tưởng tới các vấn đề quen thuộc, biết KQH vấn đề tương tự, khả năng đưa ra những dự đoán, phán đoán suy luận một cách nhanh chóng từ đó đưa ra những chiến lược cho giải pháp GQVĐ toán học. b Hình 1.1 Ví dụ 1.2. Khi đứng trước việc giải một bài toán hình học sau “Cho hình vuông và hai đường thẳng vuông góc nhau. Đường thẳng cắt và lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt và lần lượt tại . Chứng minh rằng ”, đối với HS có NL TGTH sẽ biểu hiện ở chỗ bừng sáng ý tưởng giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng bằng việc phát hiện ngay đường lối GQVĐ, cụ thể là biết cách vẽ được đường phụ thích hợp hoặc sử dụng phép quay để giải bài toán.a + Đặc trưng NL TGTH của HS THCS thể hiện khi các em có thể phát hiện được cách vẽ đường phụ thích hợp để giải bài toán: ở đây, việc kẻ đường thẳng vuông góc (hoặc song song) với các cạnh của hình vuông để tạo ra hai tam giác vuông nhận làm cạnh huyền, do có phương pháp giải trước đó với ý tưởng chỉ ra được hai tam giác bằng nhau chứa các cạnh để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Kẻ . Khi đó, HS chứng minh được (g-c-g) do đó . + Nếu đối với HS THPT, bài toán trên HS có NL TGTH có thể hình dung ra được tính chất vuông góc của hình vuông và liên hệ với giả thiết vuông góc của hai đường thẳng đã cho cắt các cạnh của hình vuông đó, từ đó trực giác phát hiện đường lối giải quyết bài toán là vận dụng phép quay vào bài toán này. Giải bài toán bằng sử dụng phép quay: Gọi là tâm của hình vuông (các đỉnh sắp theo chiều kim đồng hồ như Hình 1.1) do đó với và với . Theo tính chất của phép quay ta có: . Theo giả thiết: hoặc . Vậy . 1.2.5.2. Đặc trưng 2: NL TGTH đặc trưng bởi việc rút gọn quá trình lập luận hoặc không cần sử dụng các bước lập luận logic đầy đủ, rõ ràng Trong dạy học Toán, nếu có NL TGTH sẽ giúp cho chủ thể người học có thể thấy ngay kết luận trực tiếp của bài toán, nắm bắt ngay vấn đề toán học mà chưa cần thông qua các bước phân tích hình thức, hay không sử dụng những lập luận dài dòng hoặc có thể hình dung chiến lược giải quyết khi chỉ cần tiến hành vài bước suy luận ngắn gọn. Theo Krutexki, “TGTH được hiểu như là NL rút ngắn quá trình lập luận toán học và các phép toán tương ứng hay NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn” [20, tr.129]. Còn theo Nguyễn Văn Lộc “TGTH là một yếu tố của một phương thức tư duy mà dựa trên sự tri giác toàn bộ vấn đề ngay lập tức, có khả năng thực hiện dưới dạng biến đổi đột ngột, chuyển hóa nhanh, lược bỏ các khâu bộ phận” [22, tr.32]. Đặc trưng này của HS được thể hiện của quá trình “tư duy rút gọn” nhờ các bước trung gian trong quá trình lập luận, diễn giải đã được lược bỏ, rút ngắn, suy luận theo sơ đồ logic ngắn gọn giúp HS đưa ra ngay định hướng giải quyết được vấn đề toán học đặt ra khi chủ thể đang đối mặt. Trong một số trường hợp, người học hình dung, phát hiện ra kết quả của vấn đề hoàn toàn ngắn gọn mà chưa cần tiến hành qua các thao tác chi tiết theo trình tự nghiêm ngặt của quá trình suy diễn, việc nhìn thấy được kết quả của vấn đề có thể HS không giải thích được. Tuy nhiên, do không dựa trên những lập luận và chứng minh rõ ràng nên kết quả của trực giác của HS đưa ra có thể là đúng đắn, cũng có thể là sai lầm, nên cần phải sử dụng suy diễn để kiểm nghiệm lại kết quả của TG. Ví dụ 1.3. Trong quá trình giải bài toán cho HS lớp 10 sau “Giải phương trình: ”. GV hướng dẫn HS rút gọn các bước biến đổi không cần thông qua nhiều bước phân tích lập luận chi tiết, để dự đoán đưa ra kết quả của bài toán như sau: - Đối với HS có chưa có khả năng trực giác tốt, HS có thể nhận dạng đây là phương trình chứa căn thức có biểu thức dưới căn dạng khá phức tạp, với phương pháp giải đã biết là đặt ẩn phụ rồi bình phương hai vế để khử căn thức có thể sử dụng trong tình huống này. Chẳng hạn, có thể đặt , điều kiện . Khi đó phương trình tương đương với . Đây là dạng phương trình căn thức cơ bản, HS có thể dễ dàng bình phương hai vế và thực hiện các thao tác biến đổi tương đương để giải phương trình, tuy nhiên lời giải khá dài dòng với nhiều thao tác phân tích, biến đổi chi tiết. - Đối với HS có khả năng trực giác sẽ phát hiện kết quả của bài toán theo hướng rút gọn quá trình lập luận và biết lược bỏ những biến đổi chi tiết như sau: Khi quan sát vào các biểu thức trong mỗi dấu căn thì HS có thể biến đổi ngay được về dạng , với là các hằng số. Do đó, có thể tính nhanh giá trị nhỏ nhất của vế trái, từ đó suy ra được kết quả bài toán qua một số bước suy luận ngắn gọn trong suy nghĩ của HS: + Vế trái của phương trình sẽ lớn hơn bằng một hằng số, và biến đổi nhanh gọn thấy ngay là vế trái lớn hơn hoặc bằng 4 vì căn thứ nhất lớn hơn hoặc bằng 1 và căn thứ hai lớn hơn hoặc bằng 3. + Vế phải của phương trình bằng 4, do đó phương trình có nghiệm khi dấu bằng xảy ra. Từ đó đưa ra nghiệm của phương trình là . + Sau đó có thể trình bày các bước phân tích, lập luận rõ ràng như sau: Ta có . Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi . Vậy là nghiệm của phương trình. Với cách đánh giá này, HS có thể giải bài toán với lời giải ngắn gọn và nhanh chóng hơn so với cách giải bằng phương pháp đã biết vì không cần phải thông qua những bước lập luận, biến đổi hình thức trên các biểu thức của phương trình. 1.2.5.3. Đặc trưng 3: NL TGTH đặc trưng bởi khả năng hoạt hóa các liên tưởng và huy động kiến thức linh hoạt nhờ quá trình tích lũy, suy ngẫm trong quan sát, GQVĐ đã có trước đó Sự phát triển tư duy của HS nói chung diễn ra trong quá trình lĩnh hội kiến thức, bởi vậy muốn hình thành và phát triển TDTG, NL TGTH của HS thì phải gắn với phạm vi HĐ toán học cụ thể, hơn nữa, tính chất trực tiếp của nhận thức TGTH có tính lịch sử, được xem xét trong mối liên hệ với tri thức của môn học cũng như vốn kiến thức và kinh nghiệm mà HS tích lũy với độ nhuần nhuyễn, thành thục của tri thức, độ nhanh chóng của các liên tưởng. Do đó, NL TGTH của HS trong quá trình học tập Toán có đặc trưng ở chỗ là khả năng hoạt hóa các liên tưởng, huy động kiến thức một cách linh hoạt do quá trình tích lũy kiến thức đến “ngưỡng”, suy ngẫm cao độ trong quan sát, nghiên cứu của HS với những kinh nghiệm thành công và thất bại trong quá trình GQVĐ trước đó. Từ đó, HS có thể đưa ra những cách thức giải quyết bài toán, hay có thể giải bài toán một cách đột ngột. Theo Krutexki, “hiện tượng giải toán đột ngột là kết quả của sự HĐ trí óc lâu dài từ trước, là kết quả của kinh nghiệm, kĩ năng, tri thức đã tích lũy được từ trước, là kết quả của sự chế biến, sử dụng thông tin mà người giải đã tích lũy được trước kia” [20, tr.125]. Tác giả Fischbein cũng khẳng định “Kinh nghiệm là yếu tố nền tảng trong việc hình thành TG” [70, tr.85]. Trong dạy học Toán, nhờ dựa trên quá trình tích lũy kinh nghiệm, vốn hiểu biết, kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo đã có, NL TGTH của HS biểu hiện qua khả năng hoạt hóa các liên tưởng và KQH nhanh chóng các đối tượng, quan hệ toán học; khả năng HS nắm bắt ngay được vấn đề, giải toán đột ngột do trình độ tích lũy và huy động kiến thức của họ ở mức cao, nhuần nhuyễn và sâu sắc với việc hiểu được ý nghĩa bản chất của tri thức trong quá trình nhận thức toán học. Đặc trưng này của HS còn thể hiện ở sự tư duy linh hoạt, tốc độ hoạt hóa các liên tưởng nhanh chóng có thể chuyển hướng tư duy này sang hướng tư duy khác trong quá trình GQVĐ không hiệu quả, ngoài ra biểu hiện tính ứng biến cao của HS khi biết tìm cách GQVĐ một cách linh hoạt trong bối cảnh mới của vấn đề. Ví dụ 1.4. Xét bài toán “Cho tam giác vuông tại , đường cao . Chứng minh rằng: ”. - Với bài toán có liên quan đến tam giác vuông, yêu cầu chứng minh BĐT liên hệ giữa đường cao và các cạnh của tam giác, HS có thể liên tưởng và huy động đến kiến thức, kinh nghiệm đã có như BĐT trong tam giác, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, công thức diện tích tam giác. - Việc sử dụng BĐT trong các tam giác và khi bắt tay vào làm sẽ không dẫn đến được BĐT cần phải chứng minh. Nếu HS nhận định các cặp và vuông góc nhau nên liên tưởng đến diện tích vì thế có thể sử dụng bình phương hai vế để biến đổi tương đương BĐT. Việc huy động các kiến thức được tích lũy sau những lần va chạm trước đó có liên quan đến dữ kiện của bài toán giúp HS suy nghĩ và phát hiện đến việc sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác vuông . - Nhờ việc liên tưởng đến kiến thức tích lũy đã có để phát hiện hướng giải quyết vấn đề, khi đó HS có thể thực hiện các thao tác cụ thể, BĐT tương đương với: Như vậy với vốn kiến thức, kinh nghiệm va chạm các bài toán về tam giác vuông, HS có thể trực giác phát hiện việc sử dụng kiến thức định lí Pytago và công thức diện tích tam giác trong tình huống mới này là hiệu quả. Sự tích lũy kiến thức, kinh nghiệm của HS và khả năng hoạt hóa các liên tưởng huy động những kiến thức liên quan chính là nền tảng cho việc đưa ra các giải pháp hợp lí để giải quyết được bài toán. 1.2.5.4. Đặc trưng 4: NL TGTH đặc trưng của sự sáng tạo, đột phá trong việc đưa ra ý tưởng, chiến lược giải quyết vấn đề NL TGTH cũng được đặc trưng bởi một số tính chất của tư duy sáng tạo, đó là sự lóe sáng những ý tưởng mới mang tính đột phá trong điều kiện tình huống mới không quen thuộc mà người học đang đối mặt. Trong những tình huống đó, người học có khả năng xuất hiện những ý tưởng sáng tạo thông qua việc đưa ra những giải pháp mới vượt qua những quy trình khuôn khổ đã biết trong quá trình học tập môn Toán. Cụ thể, theo Krutexki, đó là “khả năng người học thấy được việc chuyển các kiến thức và phương pháp đã biết vào tình huống mới, khả năng nhìn thấy được ngay vấn đề toán học trong tình huống không quen thuộc, khả năng nhìn thấy được chức năng mới của đối tượng, độc lập tổ hợp các cách thức hoạt động đã biết thành cách thức mới, khả năng nhìn thấy được cấu trúc của đối tượng, khả năng nhìn thấy được giải pháp có thể của vấn đề đã cho, các cách giải khác nhau, khả năng thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ trong những bối cảnh có ý nghĩa mới, khả năng tìm giải pháp mới khi những giải pháp đã biết không còn hiệu quả trong tình huống mới” [20]. Ví dụ 1.5. Sau khi HS đã có kiến thức và kinh nghiệm nhất định về việc giải các phương trình [39, tr.81], xét một phương trình sau yêu cầu HS đề xuất các ý tưởng mới cho việc giải quyết bài toán: “Giải phương trình ”. - Kiến thức và phương pháp đã biết không tương thích trong tình huống mới: Phương trình đã cho có dạng nhưng rõ ràng không thể dùng các phép biến đổi tương đương thông thường khử căn thức để giải phương trình vì sẽ làm tăng bậc một cách đáng kể, khi đó vấn đề trở nên phức tạp hơn. Do đó, HS cần nhìn thấy được giải pháp mới sáng tạo cho vấn đề chưa quen thuộc. Trước hết, HS có thể mò mẫm thấy ngay thỏa mãn phương trình, tuy nhiên cần suy nghĩ đến một vài định hướng để đưa ra phương pháp giải: + Hướng 1: Nảy sinh ý tưởng biến đổi phương trình về dạng do hai vế của phương trình có chứa dạng bình phương. Khi đó, phương trình tương đương với với + Hướng 2: Nảy sinh ý tưởng đột phá là đặt ẩn phụ không hoàn toàn, kết hợp đặt ẩn chính và ẩn phụ để giải quyết. Điều kiện: . Đặt . Khi đó phương trình tương đương với: với . Khi đó ta có hệ phương trình . Bài toán giải phương trình đưa về giải hệ phương trình đối xứng quen thuộc. Trừ vế theo vế ta có: . Vì , nên . Thay vào phương trình còn lại trong hệ ta được (thỏa điều kiện). Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Nhờ những đặc trưng nói trên của NL TGTH của HS, chúng tôi định hướng việc xác định các thành tố, cách thức phát triển, bồi dưỡng NL TGTH thông qua những HĐ học tập và trải nghiệm của bản thân người học, thể hiện qua sự vận dụng kiến thức, kĩ năng và biểu hiện qua hành động, thái độ, tình cảm trong những tình huống cụ thể. Ngoài ra, cần chú ý rằng NL của mỗi người nói chung, NL TGTH nói riêng dựa trên tố chất sẵn có của cá nhân và được phát triển, thể hiện trong HĐ tích cực của con người dưới sự tác động của dạy học và rèn luyện. 1.2.6. Các thành tố của năng lực trực giác toán học của học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông Trên thế giới, cho đến nay vẫn chưa có công trình khoa học nào đưa ra các thành tố của TGTH cũng như NL TGTH, tuy nhiên nhiều tác giả đã đề cập và khai thác từng khía cạnh khác nhau liên quan đến TG, TGTH. Trước hết, NL TGTH của HS là một thành phần của NLTH của HS, do đó dựa trên những thành phần đã được đề xuất trong cấu trúc NLTH mà các tác giả đã đề cập và dựa trên các đặc trưng của NL TGTH, chúng tôi sẽ phát hiện một số NL được xem như là NL thành tố của NL TGTH. Theo Krutexki [20], “cấu trúc NLTH của HS gồm những thành phần sau: - Về mặt thu nhận những thông tin toán học: gồm NL tri giác hình thức hóa các tài liệu toán học, NL nắm được cấu trúc hình thức của bài toán. - Về mặt chế biến thông tin toán học: gồm có các NL như + NL tư duy logic trong phạm vi các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu và các kí hiệu số, NL suy nghĩ với các kí hiệu toán học; + NL KQH nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ, các phép toán của toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, + NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn; Tính mềm dẻo của các quá trình tư duy trong HĐ toán học; + Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lí của lời giải; + NL thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy nghịch”. Trong các NL thành phần đó, Krutexki đưa ra cơ sở dẫn đến sự giải toán đột ngột, khả năng giải quyết bài toán một cách ngay lập tức đó là do chủ thể nhận thức có được NL rút gọn quá trình lập luận và NL KQH nhanh chóng. Mặt khác, khi đề cập đến các yếu tố liên quan ảnh hưởng đến việc hình thành và phát triển TGTH, các tác giả sau cũng khẳng định: - Tác giả Fischbein [70] cho rằng kinh nghiệm, các yếu tố của sự nhanh chóng, (như trực quan, mô hình) cũng góp phần hình thành trực giác. Theo Fischbein, một số đặc trưng của TGTH như sự nhanh chóng, sự hiển nhiên, sự tổng thể. - Còn các tác giả Kapurnin [79] và Giardino [72] nhấn mạnh yếu tố trực quan toán học như là một phương tiện giúp chủ thể nhận thức tiến hành TGTH. - Cùng quan điểm với Fischbein, tác giả Tall [86] cho rằng trực giác là sản phẩm của các bức tranh khái niệm của mỗi cá nhân. Trong đó, bức tranh khái niệm để diễn tả cấu trúc nhận thức tổng thể kết hợp với khái niệm, bao gồm tất cả các bức tranh về tinh thần, kết hợp với các tính chất và quá trình. - Tác giả Kônmôgôrôp [20], Jagla [78] và Nguyễn Văn Lộc [22] cùng đề cập đến tưởng tượng trong việc sử dụng TGTH cho HS, trong đó Kônmôgôrôp cho rằng trí tưởng tượng hình học - một thành phần của NLTH được xem như là trực giác hình học, đó là năng lực tưởng tượng như nhìn thấy các hình và những biến đổi của chúng. Ngoài ra các tác giả khác cũng có nhiều ý tưởng cho việc tổ chức những nội dung cụ thể môn Toán nhằm hình thành TGTH cho HS như Tieszen, Parson, Hogarth, Torff và Sternberg, Ben-Zeev và Jon Star, Cho và Hong. Tóm lại, dựa trên những đặc trưng của NL TGTH của HS trong học tập Toán và các NL thành phần của NLTH cũng như các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành TGTH đã phân tích, chúng tôi lựa chọn các NL sau là NL thành tố của NL TGTH: Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề; Năng lực KQH nhanh chóng; Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định; Năng lực rút gọn quá trình lập luận. Hiển nhiên, mỗi NL thành tố trên đều có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy toán học cho HS qua dạy học Toán nói chung, tuy nhiên ở đây, chúng tôi nhấn mạnh yếu tố “nhận thức vấn đề một cách nhanh chóng” trong mỗi NL đó để thấy sự tác động đến việc hình thành TGTH trong quá trình HS lĩnh hội kiến thức cụ thể. Các NL này có thể giúp người học hình dung, nắm bắt được vấn đề, đưa ra phán đoán để phát hiện đường lối giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng, góp phần phát triển tư duy trực giác cho người học. Trong dạy học Toán ở trường THPT, khi tổ chức dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS, các NL thành tố này không tách biệt một cách rành mạch mà cần có sự kết hợp và liên hệ chặt chẽ với nhau tạo điều kiện cho việc hình thành và phát triển NL TGTH cho HS một cách hiệu quả. Do đó GV cần chú trọng tổ chức các HĐ sao cho cần kết hợp hài hòa các NL thành tố trong dạy học một cách thích hợp. Sau đây chúng tôi trình bày cụ thể từng thành tố: 1.2.6.1. Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề Trong dạy học môn Toán, khi muốn giải quyết những vấn đề phức tạp, trừu tượng, quá trình nhận thức của HS diễn ra dễ dàng hơn nếu họ có thể liên tưởng đến những vấn đề đã biết (vấn đề tương tự hay đối lập, quan hệ nhân quả) có liên quan đến nó và hình dung ra được việc sử dụng hình ảnh trực quan để thấu hiểu vấn đề phức tạp hay thấy được mô hình cụ thể biểu diễn làm cho vấn đề đó trở nên đơn giản, gần gũi hơn để có thể nắm bắt được vấn đề hay cách thức giải quyết của vấn đề. Do đó, NL liên tưởng và hình dung được vấn đề được hiểu như là chủ thể HS có khả năng liên hệ những kiến thức quen thuộc liên quan đến vấn đề, kết nối được các đối tượng, quan hệ toán học với nhau trong những tình huống nhận thức cụ thể, đồng thời có khả năng hình dung được trong đầu về không gian vấn đề, để chủ thể có thể nắm bắt hay giải quyết được vấn đề toán học đang xem xét. Trong học tập mô...nh: “Ngoài các biểu thức quen thuộc, biến đổi thêm vài bước em tìm ra được một biểu thức mới nữa, đó là , cái này nhìn giống với tính chất trọng tâm của tam giác đó cô”. - Trong câu 3, Em chọn hình ảnh nào để biểu diễn cho cấp số đã cho, em mô tả cụ thể hơn quá trình vẽ như thế nào? + Câu trả lời của em Lê Huỳnh Bảo Trâm: “Em vẽ được hình vuông có diện tích 1 để biểu diễn cho cấp số đã cho, hôm trước có học bài giống thế này ạ”. + Câu trả lời của em Nguyễn Hoài Ân: “Em chọn đoạn thẳng có độ dài 1 để biểu diễn, cứ lấy trung điểm sau mỗi bước tương ứng là các số hạng của cấp số, như vậy tổng là 1”. + Câu trả lời của em Đinh Tấn Thạnh: “Em vẽ hình vuông có diện tích 1 rồi sau đó chia đôi hình vuông, được hình có diện tích là số hạng 1/2, cứ tiếp tục quá trình như vậy em được hình như thế này ạ (đưa GV xem hình biểu diễn trên bài làm), khi đó tổng của cấp số ta được biểu diễn tô kín cả hình vuông”. - Trong câu 4, từ biểu diễn ý nghĩa hình học của định lí mà các em đã làm được, các em có thể diễn đạt bằng lời ý nghĩa của định lí? + Câu trả lời của em Lê Huỳnh Bảo Trâm: “Em thấy tiếp tuyến tại điểm C song song với đường thẳng AB”. GV yêu cầu em phát biểu đầy đủ hơn, rõ hơn, nhưng em không diễn đạt được. + Câu trả lời của em Nguyễn Hoài Ân: “Tồn tại điểm C trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng AB cho trước”. + Câu trả lời của em Đinh Tấn Thạnh: “Vẽ được tiếp tuyến tại điểm C trên đồ thị hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng AB”. Phân tích hậu nghiệm bài thực nghiệm vòng 2 Qua đó, chúng tôi nhận xét các em bước đầu đã có sự suy nghĩ, tư duy mới mẻ, sáng tạo, có thể vận dụng và biểu diễn kiến thức toán học dưới nhiều góc độ khác nhau. Một số HĐ của HS được biểu hiện trong bài thực nghiệm này gồm: - HĐ hình dung được hình ảnh, mô hình của vấn đề toán học, HĐ sử dụng hình ảnh trực quan để phát hiện vấn đề toán học, HĐ tìm ra, phối hợp những liên tưởng về mối liên hệ giữa các sự kiện để GQVĐ (NL liên tưởng và hình dung được vấn đề). - HĐ phát hiện ý nghĩa của kiến thức toán học, HĐ nhanh chóng nhận thức được nội dung của tri thức toán học qua các hình thức biểu diễn khác nhau (NL KQH nhanh chóng). - HĐ thu gọn, bỏ bớt những bước lập luận trung gian trong quá trình giải quyết vấn đề quen thuộc đã biết cách giải trước đó (NL rút gọn quá trình lập luận). - HĐ đưa ra phán đoán về cách giải quyết bài toán nhờ sử dụng các thao tác trí tuệ, HĐ đưa ra phán đoán về vấn đề, cách thức GQVĐ sử dụng các tình huống trực quan cho HS (NL phán đoán và đưa ra quyết định). Tổng hợp mức độ trả lời qua các HĐ của từng NL thành tố của NL TGTH với 3 mức độ (chưa tốt, trung bình, tốt) của nhóm HS nghiên cứu trường hợp trong hai vòng thực nghiệm được thể hiện qua bảng 4.2 như sau: Bảng 4.2. Kết quả mức độ trả lời câu hỏi của nhóm HS qua các HĐ của NL thành tố của NL TGTH trong hai vòng thực nghiệm NL thành tố của NL TGTH Các HĐ của NL thành tố Mức độ trả lời của HS HS Trâm HS Ân HS Thạnh NL liên tưởng và hình dung được vấn đề HĐ liên tưởng và chuyển hóa các liên tưởng Chưa tốt Trung bình Tốt HĐ hình dung được hình ảnh, mô hình của vấn đề toán học Tốt Tốt Tốt HĐ hình dung trong đầu các hình và tính chất của chúng Trung bình Tốt Tốt NL KQH nhanh chóng HĐ phát hiện các yếu tố chung, tổng quát của đối tượng từ việc xem xét trường hợp riêng Trung bình Trung bình Tốt HĐ phát hiện ý nghĩa của kiến thức toán học Trung bình Trung bình Trung bình HĐ nhanh chóng nhận thức được nội dung của tri thức qua các hình thức biểu diễn khác nhau Trung bình Trung bình Tốt NL phán đoán và đưa ra quyết định HĐ sử dụng các thao tác trí tuệ để đưa ra phán đoán giả thuyết Tốt Tốt Tốt HĐ sử dụng các tình huống trực quan cho HS đưa ra phán đoán về vấn đề, cách thức GQVĐ Tốt Tốt Tốt NL rút gọn quá trình lập luận HĐ thu gọn, bỏ bớt những bước lập luận trung gian trong quá trình GQVĐ quen thuộc Tốt Tốt Tốt HĐ nhìn thấy được những biến đổi, những quan hệ của giữa các đối tượng toán học Trung bình Trung bình Trung bình HĐ rút gọn các bước phân tích lập luận để hình dung được sơ đồ suy luận tổng quát, hình dung kết quả của bài toán. Trung bình Trung bình Tốt 4.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm 4.5.1. Đánh giá định lượng Để tiến hành đánh giá định lượng, chúng tôi đã chấm điểm bài làm thực nghiệm vòng 1 và vòng 2 của HS ở hai lớp thực nghiệm với thang điểm 10, tổng hợp được kết quả như bảng 4.3 như sau: Bảng 4.3. Kết quả thực nghiệm vòng 1 và vòng 2 Điểm Thực nghiệm 0 - 3 3,5 - 4 4,5 - 5 5,5 - 6 6,5 - 7 7,5 - 8 8,5 - 9 9,5 -10 Vòng 1 0 1 4 14 25 21 5 1 6,88 1,24 Vòng 2 0 0 3 8 22 26 9 3 7,30 1,23 Từ kết quả hai vòng thực nghiệm, chúng tôi thu được biểu đồ 4.1 như sau : Biểu đồ 4.1. Kết quả thực nghiệm vòng 1 và vòng 2 Sử dụng phương pháp thống kê Toán học, chúng tôi có được điểm trung bình và phương sai trong bảng số liệu đã cho như sau: Trong kết quả hai vòng thực nghiệm, điểm trung bình của 2 lớp thực nghiệm vòng 1 và vòng 2 tương ứng là , . Phương sai trong thực nghiệm vòng 1 và vòng 2 lần lượt là , như vậy điểm trung bình trong vòng thực nghiệm thứ hai cao hơn vòng 1, phương sai không chênh lệch lớn giữa hai vòng. Mặch khác, tổng số HS đạt điểm trên 6,5 của thực nghiệm vòng 2 cũng tốt hơn so với thực nghiệm vòng 1 với số lượng tương ứng là 52 và 60 HS. Với kết quả như vậy, rõ ràng kết quả thực nghiệm ở vòng 2 cao hơn kết quả thực nghiệm ở vòng 1. Từ đó, chúng tôi suy ra mức độ biểu hiện của các HĐ của một số NL thành tố của NL TGTH qua hai lần thực nghiệm được thể hiện qua biểu đồ 4.2 sau: Biểu đồ 4.2. Đường biểu diễn thể hiện mức độ biểu hiện NL TGTH của HS qua thực nghiệm vòng 1 và vòng 2 Qua biểu đồ 4.1 và 4.2, chúng tôi nhận thấy khả năng biểu hiện qua HĐ của từng NL thành tố qua thực nghiệm vòng 2 cao hơn thực nghiệm vòng 1. Từ kết quả đó, chúng tôi nhận định được rằng, sau thực nghiệm vòng 2 nhóm HS đã có sự tiến bộ về việc sử dụng các HĐ trực giác tương thích được chỉ ra trong cách thức tổ chức nhằm phát triển một số NL thành tố của NL TGTH qua các biểu hiện cụ thể đó. Ngoài ra, trong lần thực nghiệm sau, GV tiến hành dạy học theo quy trình tổ chức HĐNT đã đề ra tốt hơn, rõ ràng các bước hơn của quy trình, việc thiết kế các câu hỏi và khuyến khích câu trả lời từ HS đạt hiệu quả hơn. 4.5.2. Đánh giá định tính 4.5.2.1. Qua quan sát những biểu hiện hoạt động và thái độ của HS: Qua các tiết học thực nghiệm và qua quá trình làm bài thực nghiệm của HS, chúng tôi tiến hành quan sát các HĐ trên lớp của HS, chúng tôi nhận thấy HS được tạo cơ hội nhiều hơn tham gia vào các HĐNT, đặc biệt là các HĐ trực giác được thể hiện qua việc phát biểu ý kiến cá nhân, các em được mô tả và giải thích sự hiểu biết vấn đề của mình trên lớp, thảo luận cùng nhau để phát hiện vấn đề cũng như “lóe sáng” ý tưởng nào đó phát hiện đường lối giải quyết bài toán, các em được làm việc nhóm và trình bày sản phẩm của nhóm. Về phía GV: sau vài tiết dạy thực nghiệm, GV đã thực hiện tốt hơn và hiệu quả hơn GV khuyến khích người học bộc lộ các ý tưởng với các câu trả lời của HS (cả câu trả lời đúng hoặc sai) nên giúp các em rất tự tin, hăng hái phát biểu. Do đó đánh giá chung đa số HS trên hai lớp thực nghiệm đều hứng thú học tập và tham gia tích cực vào các HĐ mà GV tổ chức. Như vậy, theo đánh giá định tính, chúng tôi bước đầu cho rằng HS được tích cực hơn, mạnh dạn đưa ra ý kiến của mình hơn. Một số HĐ được các em tiến hành nổi bật trong lớp như các HĐ sử dụng hình ảnh trực quan để phát hiện vấn đề, HĐ nắm bắt được ý nghĩa của vấn đề toán học, các HĐ biến đổi nhanh chóng các biểu thức hình thức khác nhau cho nội dung Toán học, HĐ rút gọn quá trình lập luận để thấy được đường lối GQVĐ, HĐ KQH,... khi các em được dạy học theo quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS. 4.5.2.2. Qua phỏng vấn HS, nghiên cứu trường hợp Phỏng vấn một số HS về sự hứng thú với cách tổ chức dạy học của GV (các bước dạy học quy trình tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH cho HS), đa số HS đều nhận định các em có nhiều cơ hội để suy nghĩ, trao đổi, thảo luận làm sáng tỏ vấn đề, tích cực hơn với nhiều HĐ như được đưa ra nhiều dự đoán, ý tưởng cho vấn đề, được hình dung, tưởng tượng vấn đề; tìm kiếm, khám phá và mô tả đường lối cho cách thức giải quyết vấn đề, đặc biệt đối với các bài toán dạng không mẫu mực hoặc các tình huống không quen thuộc, đôi khi xuất hiện ý tưởng mới, sáng tạo không rập khuôn khi GQVĐ. Qua nghiên cứu trường hợp: sau khi nghiên cứu bài làm của HS, chúng tôi tiến hành trao đổi, nghiên cứu sâu hơn các câu trả lời của một số HS như HS Lê Huỳnh Bảo Trâm, Nguyễn Hoài Ân, Đinh Tấn Thạnh,... để làm sáng tỏ hơn sự hiểu biết và cách suy nghĩ của các em về vấn đề, các câu hỏi bài tập. Qua đó, chúng tôi nhận thấy các em đã hình thành được cách suy nghĩ vấn đề, đường lối giải quyết trước khi bắt tay vào giải bài toán, thấy được ý nghĩa, bản chất của vấn đề toán học. Một số NL tư duy toán học cũng được hình thành và phát triển rõ rệt như tương tự, so sánh, KQH, phán đoán, liên tưởng, tưởng tượng, điều này đã góp phần phát triển NL TGTH cho HS qua các HĐ đó. Mặc dù, việc đánh giá một NL nào đó không phải là dễ dàng và đó là cả một quá trình lâu dài mới có thể kiểm chứng được, nhưng qua quá trình thực nghiệm trên hai lớp thực nghiệm, trên kết quả thực nghiệm được phân tích về mặt định lượng và định tính, bước đầu chúng tôi nhận thấy được các em có sự tiến bộ về cách tiếp cận tri thức mới, cách hiểu ý nghĩa của vấn đề toán học trong học tập, nắm bắt được kiến thức và biết cách tìm kiếm chiến lược GQVĐ trước khi tiến hành thực hiện các thao tác phân tích cụ thể. Điều này được thể hiện thông qua một số HĐ tương thích với các NL thành tố của NL TGTH như đã được trình bày và phân tích. Ngoài ra, mức độ biểu hiện các HĐ của NL TGTH của HS không còn ảnh hưởng sâu sắc bởi trình độ xếp loại môn Toán trong lớp, một số HS có trình độ trung bình và khá về toán cũng thể hiện được khả năng trực giác qua việc tự phát hiện vấn đề, đáng kể có vài HS yếu cũng có những ý tưởng mới khi tham gia phát biểu về vấn đề. Tuy nhiên, kết quả thực nghiệm mức độ biểu hiện các HĐ của NL thành tố chủ yếu ở trên trung bình. Như vậy, qua quá trình thực nghiệm, các HĐ trực giác của HS trong cách tiếp cận, cách hiểu biết về vấn đề, cách vận dụng tri thức và cách giải quyết vấn đề được hình thành và ngày càng có sự tiến bộ khi họ được tiến hành những HĐNT phát triển các NL thành tố của NL TGTH. Do đó, bước đầu chúng tôi có thể kết luận được quy trình tổ chức các HĐNT phát triển NL TGTH thông qua các NL thành tố của nó là khá hiệu quả và khả thi. Kết luận chương 4 Trong chương 4, luận án đã trình bày quá trình thực nghiệm và bước đầu đánh giá kết quả thực nghiệm trên 71 HS lớp 11 tại hai trường THPT khác nhau qua hai vòng thực nghiệm (học kì 1 và học 2 của năm học 2017- 2018). Quá trình tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính hiệu quả và khả thi của quy trình tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học một số nội dung môn Toán đối với HS lớp 11, bước đầu chúng tôi đưa ra một số kết luận như sau: + Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS (bắt buộc tiến hành với các bước 1, 2, 3) là phù hợp, bước đầu nhìn thấy được hiệu quả qua việc HS được tích cực HĐ trực giác nhiều hơn, các em có cơ hội được khám phá, tìm tòi, suy nghĩ, tư duy và làm việc nhiều hơn khi tiếp cận phát hiện và giải quyết vấn đề. + Một số HĐ tương thích được đề xuất từ cách thức tổ chức nhằm phát triển các NL thành tố của NL TGTH được thể hiện qua thực nghiệm giúp HS vượt qua được những thói quen ỷ lại, không trông chờ bài giải và phương pháp giải bài toán được cung cấp từ GV, các em tự tin và tích cực hơn khi trình bày ý tưởng của mình, từ đó HS thấy hứng thú, nhẹ nhàng khi học môn Toán hơn. Hơn nữa, các HĐ trực giác ở HS cũng được thể hiện nhanh chóng hơn trước, mô tả giải pháp của vấn đề tốt hơn, HĐ chú trọng vào việc giúp các em hiểu sâu sắc kiến thức toán học và học tập trở nên có ý nghĩa hơn khi vận dụng thiết thực vào trong thực tiễn. Như vậy, chúng tôi có thể khẳng định, việc thực hiện quy trình tổ chức các HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS đã đề xuất trong luận án bước đầu nâng cao được hiệu quả dạy học, hình thành niềm đam mê và hứng thú học toán cho HS, tăng cường tính chủ động, tích cực và sáng tạo hơn ở người học. Do đó, mục đích thực nghiệm đã hoàn thành, quy trình và cách thức tổ chức các HĐ của từng NL thành tố qua việc tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH cho HS là hiệu quả và khả thi. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua quá trình nghiên cứu, luận án đã đạt những kết quả chủ yếu sau: Luận án đã làm rõ quan niệm về TG và TGTH, đưa ra khái niệm NL TGTH của HS, xác định được bốn đặc trưng của NL TGTH của HS và phát hiện bốn NL thành tố của NL TGTH trong quá trình học tập môn Toán ở trường THPT. Luận án đã nghiên cứu thực trạng, phân tích những thuận lợi và hạn chế trong quá trình dạy học theo hướng chú trọng phát triển NL TGTH ở trường THPT. Luận án đã đề xuất quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán và xác định cách thức tổ chức HĐNT nhằm phát triển từng NL thành tố của NL TGTH theo quy trình đề xuất thông qua các HĐ tương thích trong dạy học một số nội dung Toán THPT. Bước đầu kiểm nghiệm tính hợp lí, tính khả thi của quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH đã đề xuất và sự tiến triển của HS trong việc sử dụng các HĐ tương thích với từng NL thành tố qua hai vòng thực nghiệm sư phạm đối với HS lớp 11 tại hai trường THPT trên địa bàn tỉnh Đồng Tháp. Một số kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trên các Tạp chí chuyên ngành uy tín: Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam và Tạp chí Giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo và bài đăng trên Kỷ yếu Hội thảo quốc tế tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Những kết quả của luận án trên cho phép rút ra các kết luận sau: Trong dạy học Toán ở trường THPT nói chung, việc chú trọng phát triển NL TGTH cho HS giúp HS biết suy nghĩ nhanh chóng về vấn đề toán học, có khả năng liên tưởng đến các kiến thức toán học, hình dung được chiến lược GQVĐ, có khả năng đưa ra những phán đoán về cách thức giải quyết một vấn đề trước khi thực hiện chương trình giải, đặc biệt đối với những vấn đề chưa quen thuộc; tạo cơ hội cho HS tích cực và sáng tạo hơn khi tiếp cận cũng như chiếm lĩnh tri thức toán học, từ đó HS hiểu được tri thức toán học một cách bền vững và sâu sắc. Hơn nữa, có NL TGTH giúp HS kết nối được giữa trực quan với trừu tượng, phát triển trí tưởng tượng, bồi dưỡng NL tư duy toán học và NL giải quyết vấn đề toán học. Vì vậy, TGTH có vai trò tích cực trong việc phát triển tư duy tiền logic và trong HĐ khám phá, sáng tạo tri thức mới cho người học, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán THPT theo định hướng phát triển NL người học trong giai đoạn hiện nay. Việc tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH góp phần giúp HS thấy được một hình thái nữa của Toán học, đó là hình thái của phán đoán, tìm tòi, suy luận trực giác và sáng tạo, bên cạnh hình thái của sự suy diễn với những quy tắc suy luận nghiêm ngặt, chặt chẽ và đúng đắn. Tuy nhiên, trong dạy học Toán ở trường THPT, chúng tôi khuyến nghị GV cần tổ chức những HĐNT cho HS nhằm phát huy vai trò bổ sung cho nhau giữa trực giác và suy diễn giúp HS biết sử dụng hợp lý giữa khả năng trình bày, lập luận các vấn đề và khả năng phán đoán, hình dung, tưởng tượng vấn đề, tạo cơ hội cho HS được suy luận trực giác thông qua các HĐ học tập và trải nghiệm khi giải quyết tình huống trong những bối cảnh mới. Những kết quả rút ra từ nghiên cứu lí luận và thực tiễn đã bước đầu chứng tỏ giả thuyết khoa học của luận án đề ra là chấp nhận được, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận án đã hoàn thành./. DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN Võ Xuân Mai (2016), Sử dụng liên tưởng trong quá trình khám phá tri thức mới cho học sinh qua dạy học hình học, Tạp chí Giáo dục, số 382, Tháng 5/2016, tr. 55-58. Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016), Hướng tới sự hiểu biết về trực giác và vai trò của trực giác trong dạy học Toán, Tạp chí Giáo dục, số 389, Tháng 9/2016, tr. 46-49. Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016), Đảm bảo sự cân đối giữa tư duy trực giác và tư duy phân tích cho học sinh trong dạy học Toán, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam, số 134, Tháng 11/2016, tr. 46-49. Nguyen Phuong Chi, Vo Xuan Mai (2017), Learning by intuiting – The way to solve unforeseen problems in mathematics education, Vietnam Journal of Science, Hanoi National University of Education, June 2017, pp. 3-8. Võ Xuân Mai (2018), Xây dựng tình huống dạy học sử dụng trực quan hỗ trợ học sinh trực giác toán học giải quyết vấn đề, Tạp chí Giáo dục, số 431, Tháng 6/2018, tr. 36-40. Vo Xuan Mai (2018), Developing students’ mathematical intuitive competence based on learning meaningful knowledge in mathematics education, Proceedings The first International Conference on Mathematics Education, An Integrated Approach in Mathematics Education and Teacher Training, Hanoi National University of Education, September 18-19th, 2018, Hanoi, Vietnam. Vo Xuan Mai (2018), Developing students’ mathematical intuitive competence based on learning meaningful knowledge in mathematics education, Vietnam Journal of Education, No 5, December 2018, pp. 88-93. Võ Xuân Mai (2019), Khái niệm và một số đặc trưng của năng lực trực giác toán học trong dạy học Toán ở trường phổ thông, Tạp chí Giáo dục, số 448, Tháng 2/2019, tr.42-47. Võ Xuân Mai (2020), Tổ chức hoạt động nhận thức nhằm phát triển tư duy trực giác cho học sinh qua dạy học hình học ở trường phổ thông, Tạp chí Giáo dục, số 476, Tháng 4/2020, tr.43-48. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu bằng Tiếng Việt Nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế, 2013. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, tháng 8/2018. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục môn Toán, tháng 12/2018. Hội Giảng dạy Toán học phổ thông và Chương trình phát triển Giáo dục trung học (2014), Kỷ yếu Hội thảo khoa học phát triển năng lực nghề nghiệp giáo viên Toán phổ thông Việt Nam, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. M. Alecxêep, V. Onhisuc, M. Crugliăc (1976), Phát triển tư duy học sinh, NXB Giáo dục, Hà Nội. T. Armstrong (2014), Đa trí tuệ trong lớp học, Người dịch Lê Quang Long, NXB Giáo dục Việt Nam. Hoàng Hòa Bình (2015), Năng lực và cấu trúc của năng lực, Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 117, Tháng 6/2015, tr. 4-7. Vũ Thị Bình (2016), Bồi dưỡng năng lực biểu diễn Toán học và năng lực giao tiếp Toán học cho HS trong dạy học môn Toán lớp 6, lớp 7, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam. Vũ Đình Chinh (2016), Bồi dưỡng cho học sinh năng lực phán đoán và lập luận có căn cứ trong dạy học hình học ở trường THPT, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Nguyễn Mạnh Chung (2001), Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới hạn” cho HS trường THPT, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục. Hoàng Chúng (1991), Rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học ở trường phổ thông, NXB Thành phố Hồ Chí Minh. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. V. V. Đa-Vư-Đôv (2000), Các dạng khái quát hóa trong dạy học, Người dịch Nguyễn Mạnh Hưởng, Dương Diệu Hoa, Nguyễn Thị Mùi, Phan Trọng Ngọ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quang (2005), Đổi mới PPDH môn Toán THCS nhằm hình thành và phát triển năng lực sáng tạo cho HS, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quang (2007), Giáo trình Lịch sử Toán học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Phạm Thị Đức (1996), Phát hiện năng lực KQH ở học sinh Tiểu học, Đề tài Cấp Bộ, Viện Khoa học Giáo dục. M. Gladwell (2007), Trong chớp mắt – Sức mạnh của việc nghĩ mà không suy nghĩ, người dịch Hà Minh Hoàng, NXB Lao động. D. Kahneman (2013), Tư duy nhanh và chậm, nên hay không nên tin vào trực giác?, NXB Trẻ. Nguyễn Bá Kim (2017), PPDH môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. V. A. Krutexki (1973), Tâm lí năng lực toán học của học sinh, NXB Giáo dục. Nguyễn Phú Lộc (2014), Giáo trình Hoạt động dạy và học môn Toán, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Nguyễn Văn Lộc (1997), Tư duy và hoạt động tư duy toán học, Đại học Vinh. Nguyễn Văn Lộc (1996), Trực giác và sự phát triển trực giác toán học cho học sinh qua dạy học hình học, Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, Tháng 3/1996. Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Pôlya xây dựng nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của HS chuyên Toán cấp II, Luận án Phó Tiến sĩ Khoa học sư phạm – Tâm lí, Viện Khoa học giáo dục Việt Nam. B. Meier, Nguyễn Văn Cường (2011), Lí luận dạy học kỹ thuật - Phương pháp và Quá trình dạy học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. B. Meier, Nguyễn Văn Cường (2016), Lí luận dạy học hiện đại - Cơ sở đổi mới mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình PPDH những nội dung cụ thể môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Phan Trọng Ngọ (2003), Các lý thuyết phát triển tâm lí người, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và PPDH trong nhà trường, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Phan Trọng Ngọ (2011), Cơ sở triết học và tâm lí học của đổi mới phương pháp dạy học trong trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Hoàng Phê (1988), Từ điển Tiếng Việt, NXB Khoa học xã hội Hà Nội. Nguyễn Thị Lan Phương (chủ biên) (2017), Chương trình tiếp cận năng lực và đánh giá năng lực người học, NXB Giáo dục Việt Nam. G. Polya (1997), Sáng tạo Toán học, Người dịch: Nguyễn Sĩ Tuyển - Hồ Thuần - Phan Tắc Đắc - Nguyễn Giản, NXB Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Văn Quang (2005), Hình thành một số biểu hiện của tư duy sáng tạo Toán học cho HS Trung học cơ sở thông qua dạy học chủ đề đa giác, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên) (2009), Hình học 10 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên) (2009), Hình học 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên) (2009), Hình học 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2008), Đại số 10 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2008), Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2008), Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Đức Sơn, Lê Minh Nguyệt, Nguyễn Thị Huệ, Đỗ Thị Hạnh Phúc, Trần Quốc Thành, Trần Thị Lệ Thu (2015), Giáo trình Tâm lí học Giáo dục, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Đào Tam (2004), Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Đào Tam (chủ biên), Lê Hiển Dương (2008), Tiếp cận các PPDH không truyền thống trong dạy học Toán ở trường Đại học và trường Phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Đào Tam (chủ biên), Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường THPT, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Chu Cẩm Thơ (2014), Phát triển tư duy thông qua dạy học môn Toán ở trường Phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Nguyễn Cảnh Toàn (2004), Khơi dậy tiềm năng sáng tạo, NXB Giáo dục, Hà Nội. Lê Đình Trung, Phan Thị Thanh Hội (2016), Dạy học theo hướng hình thành và phát triển năng lực cho người học ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Trần Trung (2009), Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông hỗ trợ dạy học hình học theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh Dự bị Đại học dân tộc, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Vinh. Nguyễn Anh Tuấn (2012), Giáo trình logic Toán và lịch sử Toán học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Trần Vui (2009), Biểu diễn trực quan trong việc học Toán, Tạp chí Giáo dục, số 227, kì 1 tháng 12/2009. Trần Vui (2018), Đánh giá trình độ Toán hiểu sâu khái niệm và thành thạo kĩ năng cơ bản trong giải quyết vấn đề, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. F. E. Weinert (1998), Sự phát triển nhận thức học tập và giảng dạy, NXB Giáo dục, Hà Nội. Tài liệu bằng Tiếng nước ngoài The National Council of Teachers of Mathematics (2000), Principles and standards for school mathematics, United State of America. T. Bastick (1982), Intuition: How we think and act, New York: John Wiley & Sons. A. L. Baylor (1997), A three-component conception of intuition: Immediacy, sensing relationships, and reason, New Ideas in Psychology, 15 (2), pp. 185-194. A. L. Baylor (1997), A non-linear model for development of mature intuition in the expert, Manuscript in preparation. A. L. Baylor (2001), Development of Intuition, New Ideas in Psychology, 19(3), pp. 237-244. T. Ben-Zeev and Jon Star (2001), Intuitive Mathematics: Theoretical and Educational Implications, pp. 29-55. H. Bergson (1946), The Creative Mind: An Introduction to Metaphysics, New York: Dover Publications. P. Birgerstam (2002), Intuition - The way to meaningful knowledge, Studies in Higher Education, 27(4), pp. 431-444. L. A. Burke and E. Sadler-Smith (2006), Instructor Intuition in the educational setting, Academy of Management Learning & Education, 5 (2), pp. 169-181. J. Bruner (1960), The process of education, Havard University Press. L. Burton (1999), Why Is Intuition so Important to Mathematicians but Missing from Mathematics Education?, For the Learning of Mathematics, 3, pp. 27-32. Y. H. Cho and S. Y. Hong (2015), Mathematical intuition and Storytelling for Meaningful Learning, Disciplinary Intuitions and the Design of Learning Environments, Springer Science, pp. 155-168. F.P. Cholle (2012), The intuitive compass: why the best decisions balance reason and instinct, Published by Jossey-Bass, A Wiley Imprint. S. Dehaene (2009), Origins of mathematical intuitions – The case of Arithmetic, Annals of the New York Academy of Sciences, 1156, pp. 232-259. M. A. E. Dummett (2000), Elements of Intuitionism, Oxford University Press. M. Ebersbach and F. Wilkening (2007), Children’s intuitive mathematics: The development of knowledge about nonlinear growth, Child Development, 78(1), pp. 296-308. E. Fischbein (1987), Intuition in Science and Mathematics, An Educational Approach, D. Reidel Publishing Company. E. Fischbein (1993), The interaction between the formal, the algorithmic and the intuitive components in a mathematical activity, Didactics of mathematics as a scientific discipline, pp.231-345, Kluwer, Dordrecht. V. Giardino (2010), Intuition and visualization in mathematical problem solving, Topoi, 29(1), pp. 29-39. W. J. Gonzalez (1991), Intuitionistic mathematics and Wittgenstein, History and Philosophy of Logic, 12 (2), pp. 167-183. J. Hadamard (1945), An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field, Princeton, NJ: Priceton University Press. D. Harlan (1986), The role of Intuition in the Teaching/Learning process, University of Massachusetts at Amherst. R. M. Hogarth (2001), Educating Intuition, University of Chicago Press. L. D. Isenman (1997), Toward an understanding of Intuition and its importance in scientific endeavor, Perspectives in Biology and Medicine, 40, pp. 395-403. V. M. Jagla (1994), Teachers’ Everyday use of Imagination and Intuition: In Pursuit of the Elusive Image, State University of New York Press. V. A. Karpunin (1974), Tư duy hình thức và trực giác trong nhận thức Toán học, NXB Đại học Tổng hợp Xtalincrat (Tiếng Nga). Iu. M. Koliagin và các tác giả khác (1978), Phương pháp giảng dạy Toán ở trường Phổ thông, NXB Giáo dục Matxcơva (Tiếng Nga). D. Kuhn (1989), Children and Adults as Intuitive Scientists, Psychological Review, 96(4), pp. 674-689. G. Leinhardt (1988), Getting to know: Tracing students’ mathematical knowledge from intuition to competence, Educational Psychologist, 23(2), pp.119-144. G. Longo and A. Viarouge (2010), Mathematical intuition and the cognitive roots of mathematical concepts, Topoi, Special issue on Mathematical knowledge: Intuition, visualization, and understanding, 29(1), pp. 15-27. N. Noddings and P. Shore (1984), Awakening the Inner Eye: Intuition in Education, New York, NY: Teachers College Press. C. Parsons (1980), Mathematical Intuition, Proceedings of the Aristotelian Society, 80, pp. 145-168. D. Tall (1980), Mathematical Intuition, with special reference to Limiting processes, Published in Proceedings of the Fourth International Conference for The Psychology of Mathematics Education. R. L. Tieszen (1989), Mathematical Intuition: Phenomenology and Mathematical Knowledge, Kluwer Academic Publishers. D. Tirosh and P. Tsamir (2014), Intuition in Mathematics Education, Encyclopedia of Mathematics Education, pp. 325-330. D. Tirosh and R. Stavy (1999), Intuitive rules: a way to explain and predict students’ reasoning, Educational Studies in Mathematics, 38, pp. 51-66. B. Torff and R. J. Sternberg (2008), Understanding and teaching the Intuitive Mind: Student and Teacher Learning, Lawrence Erlbaum Associates Publishers, London. M. Gr. Voskoglou (2007), Formalism and Intuition in Mathematics: the role of the problem, Quaderni di Ricerca in Didattica, 17, pp. 113-120. J. Welch IV (2007), The role of intuition in interdisciplinary insight, Issues in intergrative studies, 25, pp. 131-155. R. L. Wilder (1967), The role of Intuition, Science, 156(3775), pp. 605-610. E. Wittmann (1981), The complementary roles of intuitive and reflective thinking in mathematics teaching, Educational Studies in Mathematics, 12(3), pp. 389-397.