Luận án Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác của electron - Phonon trong giếng lượng tử

VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. TRẦN CÔNG PHONG 2. PGS.TS. LÊ ĐÌNH HUẾ - NĂM 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Huế, tháng 04 năm 2018 Tác giả luận án Nguyễn Đình Hiên ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TS Trần Công Phong và PGS.TS Lê Đình, là những người thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Đào tạo Sau Đại học-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban đào tạo Sau Đại học, Ban Giám đốc Đại học Huế đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả cũng xin cảm ơn PGS.TS Trương Minh Đức cùng quý Thầy, Cô thuộc Tổ bộ môn Vật lý lý thuyết-Khoa Vật lý-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế đã đóng góp ý kiến cho luận án. Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Dự bị đại học dân tộc trung ương Nha Trang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian cũng như hỗ trợ một phần kinh phí cho tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn sự động viên, chia sẻ của bạn bè, đồng nghiệp và người thân trong qúa trình hoàn thiện luận án. Luận án được hoàn thành tại Tổ bộ môn Vật lý lý thuyết-Khoa Vật lý-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế. Tác giả luận án iii MỤC LỤC Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 MỞ ĐẦU 16 NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . 24 1.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 24 1.1.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi không có từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi có từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế parabol khi không có từ trường 26 1.2.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế parabol khi có từ trường . . . 27 1 1.3. Tương tác electron-phonon quang khối trong giếng lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1. Đối với giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . 30 1.3.2. Đối với giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . 30 1.4. Tương tác electron-phonon quang giam giữ trong giếng lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài . . . . . . . . . 31 1.4.1. Đối với giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . 32 1.4.2. Đối với giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . 32 1.5. Phương pháp chiếu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6. Biểu thức của tenxơ độ dẫn khi không có từ trường . . . 35 1.6.1. Biểu thức của độ dẫn tuyến tính . . . . . . . . . 42 1.6.2. Biểu thức của hàm suy giảm tuyến tính . . . . . 45 1.6.3. Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính . . . . . . . 47 1.6.4. Biểu thức của độ dẫn phi tuyến . . . . . . . . . . 48 1.6.5. Biểu thức của các hàm suy giảm phi tuyến . . . . 56 1.6.6. Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến . . . . . . . 57 1.7. Biểu thức của tenxơ độ dẫn khi có từ trường . . . . . . . 60 1.7.1. Biểu thức của tenxơ độ dẫn . . . . . . . . . . . . 60 1.7.2. Biểu thức của hàm suy giảm . . . . . . . . . . . . 60 1.7.3. Biểu thức tốc độ hồi phục . . . . . . . . . . . . . 62 1.8. Độ rộng của vạch phổ hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chương 2. ẢNHHƯỞNGCỦA SỰGIAMGIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG ELECTRON - PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ . . . . . 64 2.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 64 2 2.1.1. Công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . . . . . . . 64 2.1.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.3. Công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . . . . . . . 76 2.1.4. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon thành phần phi tuyến . . . . . . 84 2.2. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.2.1. Công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . . . . . . . 87 2.2.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 90 2.2.3. Công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . . . . . . . 96 2.2.4. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon thành phần phi tuyến . . . . . . 101 2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Chương 3. ẢNHHƯỞNGCỦA SỰGIAMGIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ . . . . . . . . . . . . 107 3.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 107 3.1.1. Biểu thức của công suất hấp thụ . . . . . . . . . 107 3.1.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng từ-phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.1. Biểu thức của công suất hấp thụ . . . . . . . . . 118 3.2.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng từ-phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Chương 4. ẢNHHƯỞNGCỦA SỰGIAMGIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ . . . . . . . . . . . . 130 4.1. Độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 130 4.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1 4 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt SQW Square quantum well Giếng lượng tử thế vuông góc PQW Parabolic quantum well Giếng lượng tử thế parabol EPR Electron-phonon resonance Cộng hưởng electron-phonon MPR Magneto-phonon resonance Cộng hưởng từ-phonon CR Cyclotron resonance Cộng hưởng cyclotron ODEPR Optically detected Cộng hưởng electron-phonon electron-phonon resonance dò tìm bằng quang học ODMPR Optically detected Cộng hưởng từ-phonon magneto-phonon resonance dò tìm bằng quang học LW linewidth Độ rộng vạch phổ ODEPRLW ODEPR linewidth Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR ODMPRLW ODMPR linewidth Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR CRLW CR linewidth Độ rộng vạch phổ của đỉnh CR 5 DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Đại lượng tương ứng Lz Bề rộng của giếng lượng tử theo phương z V0 Thể tích của hệ m0 Khối lượng tĩnh của electron m∗ Khối lượng hiệu dụng của electron ϵ0 Hằng số điện môi χ0 Hằng số điện môi tĩnh χ∞ Hằng số điện môi cao tần n Chỉ số lượng tử của electron m Chỉ số lượng tử của phonon giam giữ N Chỉ số mức Landau ωc Tần số cyclotron ac Bán kính cyclotron B Từ trường E0 Biên độ điện trường ~ω Năng lượng photon tới ~ωLO Năng lượng phonon quang dọc ~ωm,q⊥LO Năng lượng phonon quang dọc giam giữ B0(ω) Phần ảo của hàm suy giảm tuyến tính P0(ω) Công suất hấp thụ tuyến tính P1(ω) Thành phần công suất hấp thụ phi tuyến B1,2(2ω) Phần ảo của hàm suy giảm phi tính PNLn(ω) Công suất hấp thụ phi tuyến ODEPRLWSQW LW của đỉnh ODEPR tuyến tính trong SQW 6 Kí hiệu Đại lượng tương ứng ODEPRLWPQW LW của đỉnh ODEPR tuyến tính trong PQW ODEPRLW SQW1 LW của đỉnh ODEPR thành phần phi tuyến trong SQW ODEPRLW PQW1 LW của đỉnh ODEPR thành phần phi tuyến trong PQW ODMPRLWSQW LW của đỉnh ODMPR trong SQW ODMPRLWPQW LW của đỉnh ODMPR trong PQW CRLWSQW LW của đỉnh CR trong SQW CRLWPQW LW của đỉnh CR trong PQW Bulk Kí hiệu cho phonon khối Confine (Conf.) Kí hiệu cho phonon giam giữ 7 DANH SÁCH BẢNG 2.1 Sự phụ thuộc của ODEPRLWSQW vào T . . . . . . . . . . 72 2.2 Sự phụ thuộc của ODEPRLWSQW vào Lz. . . . . . . . . 74 2.3 Sự phụ thuộc của ODEPRLWSQW1 vào Lz. . . . . . . . . 86 2.4 Sự phụ thuộc của ODEPRLWPQW vào T . . . . . . . . . . 93 2.5 Sự phụ thuộc của ODEPRLWPQW vào ωz. . . . . . . . . 94 2.6 Sự phụ thuộc của ODEPRLWPQW1 vào ωz. . . . . . . . . 104 3.1 Sự phụ thuộc của ODMPRLWSQW vào T . . . . . . . . . 115 3.2 Sự phụ thuộc của ODMPRLWSQW vào Lz. . . . . . . . . 117 3.3 Sự phụ thuộc của ODMPRLWPQW vào T . . . . . . . . . 125 3.4 Sự phụ thuộc của ODMPRLWPQW vào ωz. . . . . . . . . 127 4.1 Sự phụ thuộc của CRLWSQW vào T . . . . . . . . . . . . 133 4.2 Sự phụ thuộc của CRLWSQW vào Lz. . . . . . . . . . . . 134 4.3 Sự phụ thuộc của CRLWSQW vào B. . . . . . . . . . . . 135 4.4 Sự phụ thuộc của CRLWPQW vào T . . . . . . . . . . . . 139 4.5 Sự phụ thuộc của CRLWPQW vào ωz. . . . . . . . . . . . 141 4.6 Sự phụ thuộc của CRLWPQW vào B. . . . . . . . . . . . 142 8 DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Sơ đồ chuyển mức của electron giữa trạng thái trung gian η và các trạng thái cơ bản α và β. . . . . . . . . . . . . . 46 1.2 Cách xác định độ rộng vạch phổ từ sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon. . . . . . . . . . . . 63 2.1 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm. b) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODEPR (đỉnh 4 của hình 2.1a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODEPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của T : T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR vào T : mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, Lz = 12 nm. 73 2.3 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODEPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của Lz: Lz = 12 nm (đường nét liền), Lz = 13 nm (đường gạch gạch) và Lz = 14 nm (đường 9 chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phỏ của đỉnh ODEPR vào Lz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.4 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến PNlnSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm. b) Sự phụ thuộc của thành phần công suất hấp thụ phi tuyến PODEPR−SQW1 (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODEPR phi tuyến (đỉnh 2d của hình 2.4a)). . . . . . . . . . . . . 85 2.5 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR thành phần phi tuyến vào Lz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.6 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO. b) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODEPR (đỉnh 3 của hình 2.6a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.7 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODEPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của T : T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm 10 chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR vào T : mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, ωz = 0.5ωLO. 93 2.8 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODEPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của ωz: ωz = 0.5ωLO (đường nét liền), ωz = 0.6ωLO (đường gạch gạch), ωz = 0.7ωLO (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR vào ωz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.9 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến PNlnPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO. b) Sự phụ thuộc của thành phần công suất hấp thụ phi tuyến PODEPR−PQW1 (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODEPR phi tuyến (đỉnh 2c của hình 2.9a)). . . . . . . . . . . . . 102 2.10 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR thành phần phi tuyến vào ωz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.1 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm, B = 20.97 T. b) Sự 11 phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODMPR (đỉnh 4 của hình 3.1a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.2 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODMPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của T : T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào T : mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, Lz = 12 nm và B = 20.97 T.116 3.3 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh ODMPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của Lz: Lz = 12 nm (đường nét liền), Lz = 13 nm (đường gạch gạch) và Lz = 14 nm (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào Lz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K và B = 20.97 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO, B = 20.97 T. b) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODMPR (đỉnh 4 của hình 3.4a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 12 3.5 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODMPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của T : T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào T : mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, ωz = 0.5ωLO và B = 20.97 T.126 3.6 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh ODMPR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của ωz: ωz = 0.5ωLO (đường nét liền), ωz = 0.6ωLO (đường gạch gạch), ωz = 0.7ωLO (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào ωz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K và B = 20.97 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm, B = 10 T. b) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh CR (đỉnh 1 của hình 4.1 a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.2 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh CR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị 13 khác nhau của T : T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào T : mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, Lz = 12 nm, B = 10 T. . . 133 4.3 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh CR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của Lz: Lz = 12 nm (đường nét liền), Lz = 13 nm (đường gạch gạch) và Lz = 14 nm (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào Lz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K và B = 10 T. . 134 4.4 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCRSQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong SQW tại đỉnh CR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của từ trường B: B = 10 T (đường nét liền), B = 11 T (đường gạch gạch) và B = 12 T (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào B: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K và Lz = 12 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW đối với mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO, B = 10 T. b) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW (~ω) vào năng lượng 14 photon ~ω trong PQW tại đỉnh CR (đỉnh 1 của hình 4.5a)).138 4.6 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh CR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của T : T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào T : mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, ωz = 0.5ωLO, B = 10 T. . 140 4.7 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh CR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của ωz: ωz = 0.5ωLO (đường nét liền), ωz = 0.6ωLO (đường gạch gạch) và ωz = 0.7ωLO (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào ωz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K, B = 10 T. . . 141 4.8 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCRPQW (~ω) vào năng lượng photon ~ω trong PQW tại đỉnh CR đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác nhau của từ trường B: B = 10 T (đường nét liền), B = 11 T (đường gạch gạch) và B = 12 T (đường chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào từ trường B: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K, ωz = 0.5ωLO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 15 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khoa học và Công nghệ nano là một ngành khoa học và công nghệ mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng như đời sống - kinh tế xã hội ở thế kỉ 21. Đây là lĩnh vực mang tính liên ngành cao, bao gồm vật lí, hóa học, y dược - sinh học, công nghệ điện tử tin học, công nghệ môi trường và nhiều công nghệ khác. Theo trung tâm đánh giá công nghệ thế giới (World Technology Evaluation Centre), trong tương lai sẽ không có ngành công nghiệp nào mà không ứng dụng công nghệ nano. Khoa học và Công nghệ nano được định nghĩa là khoa học và công nghệ nhằm tạo ra và nghiên cứu các vật liệu, các cấu trúc và các linh kiện có kích thước trong khoảng từ 0.1 đến 100 nm, với rất nhiều tính chất khác biệt so với vật liệu khối. Thật vậy, các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của chất bán dẫn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều thì các tính chất vật lý như: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang thay đổi một cách đột ngột. Chính điều đó đã làm cho các cấu trúc nano trở thành đối tượng của các nghiên cứu cơ bản, cũng như các nghiên cứu ứng dụng. Các tính chất của các cấu trúc nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích thước cỡ nanomet của chúng. Khi kích thước của vật rắn theo một phương nào đó (chẳng hạn như phương z) giảm xuống chỉ còn vào cỡ nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với bước sóng de Broglie của hạt tải điện) thì các electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng (x, y), nhưng chuyển 16 động của chúng theo phương z sẽ bị giới hạn. Hệ electron như vậy gọi là hệ electron chuẩn hai chiều và chất bán dẫn được gọi là bán dẫn chuẩn 2 chiều. Nếu kích thước của vật rắn theo phương y cũng giảm xuống chỉ còn vào cỡ vài nanomet, khi đó các electron chỉ có thể chuyển động tự do theo phương x, còn chuyển động của chúng theo các phương z và y đã bị lượng tử hóa. Hệ electron như vậy gọi là hệ electron chuẩn một chiều và chất bán dẫn như vậy gọi là bán dẫn chuẩn 1 chiều hay dây lượng tử. Tương tự, nếu kích thước của vật rắn theo cả 3 phương đồng thời giảm xuống chỉ còn vào cỡ vài nanomet thì chuyển động của các electron theo cả 3 phương (x, y, z) đều bị giới hạn hay nói cách khác các electron bị giam giữ theo cả 3 chiều, thì hệ được gọi là chấm lượng tử. Những vật liệu có cấu trúc như trên gọi là vật liệu thấp chiều hay bán dẫn chuẩn thấp chiều. Cấu trúc này có nhiều tính chất mới lạ so với cấu trúc thông thường, cả về tính chất quang cũng như tính chất điện. Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron chuẩn thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật lý trong đó có tính chất quang, điện của vật liệu; đồng thời cũng đã làm xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà hệ electron 3 chiều không có. Sự giam giữ electron trong các cấu trúc thấp chiều đã làm cho phản ứng của hệ đối với trường ngoài xảy ra khác biệt so với trong hệ electron 3 chiều. Các vật liệu bán dẫn với cấu trúc như trên đã tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắc hoàn toàn mới, từ đó hình thành nên một công nghệ hiện đại có tính cách mạng trong khoa học, kỹ thuật nói chung và trong lĩnh vực quang-điện tử nói riêng. Đó là lý do tại sao bán dẫn có cấu trúc thấp chiều, trong đó có cấu trúc chuẩn hai chiều đã, đang và sẽ được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu. 17 Cộng hưởng electron-phonon (EPR) xảy ra trong chất bán dẫn dưới tác dụng của điện trường ngoài khi hiệu hai mức năng lượng của electron bằng năng lượng phonon. Nếu quá trình hấp thụ photon kèm theo sự hấp thụ hoặc phát xạ phonon thì ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng electron- phonon dò tìm bằng quang học (ODEPR). Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong các thiết bị lượng tử hiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểu biết tính chất chuyển tải lượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn. Hiệu ứng này trong giếng lượng tử đã được quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết [29, 27] lẫn thực nghiệm [46] với giả thiết phonon là phonon khối. Cộng hưởng từ-phonon (MPR) là sự tán xạ cộng hưởng electron gây ra bởi sự hấp thụ hay phát xạ phonon khi khoảng cách giữa hai mức Landau bằng năng lượng của phonon quang dọc. Hiệu ứng này đã và đang được các nhà khoa học rất quan tâm vì nó là công cụ phổ mạnh để khảo sát các tính chất như cơ cấu hồi phục hạt tải, sự tắt dần của các dao động, đo khối lượng hiệu dụng, xác định khoảng cách giữa các mức năng lượng kề nhau của các chất bán dẫn. Hiện tượng MPR có thể được quan sát trực tiếp thông qua việc dò tìm cộng hưởng từ-phonon bằng quang học (ODMPR). Hiệu ứng này trong giếng lượng tử đã được quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết [18, 36, 32] lẫn thực nghiệm [11] khi xét phonon khối. Cộng hưởng cyclotron (CR) xảy ra trong bán dẫn khi có mặt cả điện trường và từ trường, đồng thời tần số điện trường (tần số photon) bằng tần số cyclotron hay nói cách khác năng lượng photon bằng năng lượng cyclotron. Điều kiện và các đặc trưng của hiện tượng phụ thuộc vào nhiệt độ, cường độ từ trường và tính chất của cơ chế tán xạ hạt tải. Vì vậy, hiệu ứng này cho phép chúng ta thu thập được nhiều thông tin 18 hữu ích của hạt tải và phonon. Hiệu ứng CR đã được quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết [22] lẫn thực nghiệm [30] trong bán dẫn khối, trong giếng lượng tử [43, 45] về mặt lý thuyết và [20] về thực nghiệm cũng với giả thiết phonon là phonon khối. Việc nghiên cứu các hiệu ứng EPR/ODEPR, MPR/ODMPR, CR trong các hệ electron chuẩn hai chiều đã và đang được các nhà khoa học rất quan tâm. Sở dĩ như vậy là đối với những bán dẫn có độ thuần khiết cao thì tương tác electron-phonon là loại tương tác chủ yếu. Nó sẽ góp phần làm sáng tỏ các tính chất mới của khí electron hai chiều dưới tác dụng của trường ngoài, từ đó cung cấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của hệ electron chuẩn hai chiều cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang tử. Ngày nay, đối với các bán dẫn thấp chiều nói chung và giếng lượng tử nói riêng, các nhà vật lý thường quan tâm đến việc nghiên cứu nhằm phát hiện thêm các hiệu ứng mới mà chưa đi sâu nghiên cứu để tìm thêm các đặc tính mới trong các hiệu ứng quen thuộc do tương tác electron- phonon gây ra dưới tác dụng của trường cao tần như hiệu ứng EPR, MPR và CR khi xét đến phonon giam giữ. Bên cạnh hệ electron bị giam giữ thì sự giam giữ phonon chắc chắn sẽ làm gia tăng tốc độ tán xạ electron-phonon, từ đó có thể làm xuất hiện thêm các đặc tính mới thú vị hơn. Vì vậy, các bài toán về EPR/ODEPR, MPR/ODMPR, CR khi tính đến phonon bị giam giữ trong giếng lượng tử đang còn bỏ ngỏ, chưa được nghiên cứu nhiều. Chính vì vậy, “Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác của electron- phonon trong giếng lượng tử ” là cần thiết. 19 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon, cộng hưởng từ-phonon và cộng hưởng cyclotron trong hai loại giếng lượng tử (giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và giếng lượng tử thế parabol) dưới tác dụng của trường ngoài. 3. Nội dung nghiên cứu Tính công suất hấp thụ trong hai loại giếng lượng tử nói trên dưới tác dụng của điện trường và dưới tác dụng của cả điện trường và từ trường trong hai trường hợp phonon không giam giữ và phonon giam giữ. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR, ODMPR, CR vào nhiệt độ và các thông số của giếng khi tính đến sự không giam giữ và giam giữ phonon. So sánh kết quả vừa thu được về độ rộng vạch phổ của các đỉnh nêu trên trong hai trường hợp phonon không giam giữ và phonon giam giữ để đánh giá ảnh hưởng của sự giam giữ phonon. 4. Phương pháp nghiên cứu Đã có nhiều phương pháp khác nhau được đề xuất để nghiên cứu các tính chất mới của electron trong bán dẫn thấp chiều như phương pháp gần đúng tích phân đường của Feynmann, mô phỏng Monte-Carlo, hàm Green, phương trình động lượng tử, chiếu toán tử, ... . Mỗi phương pháp đều có những ưu, nhược điểm riêng, nên việc sử dụng phương pháp nào là ưu việt hơn thì chỉ có thể được đánh giá tùy vào từng bài toán 20 cụ thể. Với bài toán tìm độ dẫn và công suất hấp thụ, chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt trong vật lý thống kê, trong đó tập trung nhiều vào phương pháp chiếu toán tử. Phương pháp này cho phép đưa ra được biểu thức tường minh của độ dẫn và công suất hấp thụ, trong đó chứa các thông tin về mô hình tương tác và có thể tính toán giải tích đến mức độ cần thiết. Với bài toán xác định độ rộng vạch phổ, chúng tôi sử dụng “phương pháp profile”. Đây là phương pháp tính số cho phép xác định độ rộng vạch phổ từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon thông qua xác định profile của đường cong với sự hỗ trợ của phần mềm tính toán Mathematica. Phương pháp chiếu toán tử đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước sử dụng có hiệu quả vào nghiên cứu các tính chất quang và tính chất chuyển tải trong bán dẫn. Phương pháp này có ưu điểm là trong kết quả giải tích có chứa các hàm phân bố của electron, phonon nên dưới tác dụng của điện trường và từ trường các quá trình dịch chuyển của electron do hấp thụ hoặc phát xạ photon kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ phonon được thể hiện một cách trực quan. Phương pháp profile được nhóm tác giả Trần Công Phong, Huỳnh Vĩnh Phúc và cộng sự phát triển từ gợi ý của Cho Y. J. và cộng sự [15], đã thu được độ rộng vạch phổ với độ chính xác cao và được công nhận ở nhiều công trình, chẳng hạn như công trình [37, 39]. 5. Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên cộng hưởng electron-phonon, cộng hưởng từ-phonon, cộng hưởng 21 cyclotron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và thế parabol với giả thiết tương tác electron-phonon là tương tác chủ yếu trong hệ và chỉ xét đối với phonon quang dọc. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Nội dung của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ p...ong (1.93) thể hiện một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch chuyển electron giữa các mức. Chẳng hạn, với số hạng thứ ba, fµ(1−fβ) thể hiện quá trình một electron ở trạng thái trung gian µ chuyển về trạng thái cơ bản β. Quá trình dịch chuyển này kèm theo phát xạ một phonon năng lượng ~ωq⃗ và hấp thụ một photon năng lượng ~ω¯, trong đó 1 +Nq⃗ xuất hiện như là điều kiện phát xạ phonon. Mẫu số thể hiện quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa là Eβ = Eµ − ~ωq⃗ + ~ω¯. |Cα,µ(q⃗)|2 thể hiện trạng thái trung gian η bị nhiễu loạn bởi tương tác với các phonon [24, 26, 27, 31]. Các số hạng còn lại cũng có thể giải thích hoàn toàn tương tự. Nghĩa là các electron 45 hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng lượng ~ω¯ rồi dịch chuyển giữa các mức cơ bản α, β và mức trung gian η kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ một phonon có năng lượng ~ωq⃗. Ta có thể lập bảng và vẽ sơ đồ các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái như sau: SH Chuyển mức Định luật BTNL Phonon ~ωq Photon ~ω 1 β → µ Eβ − ~ωq − ~ω = Eµ phát xạ phát xạ 2 µ→ β Eµ + ~ωq + ~ω = Eβ hấp thụ hấp thụ 3 µ→ β Eµ − ~ωq + ~ω = Eβ phát xạ hấp thụ 4 β → µ Eβ + ~ωq − ~ω = Eµ hấp thụ phát xạ 5 η → α Eη − ~ωq − ~ω = Eα phát xạ phát xạ 6 α→ η Eα + ~ωq + ~ω = Eη hấp thụ hấp thụ 7 α→ η Eα − ~ωq + ~ω = Eη phát xạ hấp thụ 8 η → α Eη + ~ωq − ~ω = Eα hấp thụ phát xạ Hình 1.1: Sơ đồ chuyển mức của electron giữa trạng thái trung gian η và các trạng thái cơ bản α và β. Trong hình 2.1, các dấu mũi tên thẳng nằm ngang chỉ phonon năng lượng ~ωq và mũi tên lượn sóng chỉ photon năng lượng ~ω. Mũi tên nằm trước quá trình chuyển mức chỉ sự hấp thụ và nằm sau chỉ sự phát xạ. Các con số chỉ thứ tự các số hạng trong biểu thức tính hàm suy giảm. 46 1.6.3. Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính Hàm suy giảm tuyến tính Γαβ0 (ω¯) thu được ở phương trình (1.93) là một biểu thức phức do có chứa ω¯ = ω− i△, nên có thể phân tích thành Γαβ0 (ω¯) = A αβ 0 (ω) + iB αβ 0 (ω), (1.94) trong đó Aαβ0 (ω) = Re{Γαβ0 (ω¯)} và Bαβ0 (ω) = Im{Γαβ0 (ω¯)} lần lượt được gọi là độ dịch vạch phổ và tốc độ hồi phục trong độ dẫn tuyến tính. Để tìm các đại lượng này ta áp dụng đồng nhất thức Dirac [24] lim s→0+ (x− is)−1 = P (1/x) + ipiδ(x), (1.95) trong đó P (1/x) là giá trị chính Cauchy của 1/x và δ(x) là hàm delta- Dirac. Đặt ký hiệu cho biểu thức ở mẫu số các số hạng M1(±) ≡ ~ω − Eβη ± ~ωq⃗, M2(±) ≡ ~ω − Eηα ± ~ωq⃗. (1.96) Biểu thức độ dịch vạch phổ tuyến tính ứng với Γαβ0 (ω¯) Aαβ0 (ω) = 1 ~(fβ − fα) ∑ q⃗,η |Cαη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]P(M−11(+)) + [Nq⃗fβ(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)]P ( M−11(−) )} + 1 ~(fβ − fα) ∑ q⃗,η |Cβη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]P(M−12(+)) + [Nq⃗fη(1− fα)− (1 +Nq⃗)fα(1− fη)]P ( M−12(−) )} . (1.97) Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính ứng với Γαβ0 (ω¯) Bαβ0 (ω) = pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗,η |Cαη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]δ(M1(+)) + [Nq⃗fβ(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)]δ ( M1(−) )} 47 + pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗,η |Cβη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]δ(M2(+)) + [Nq⃗fη(1− fα)− (1 +Nq⃗)fα(1− fη)]δ ( M2(−) )} . (1.98) 1.6.4. Biểu thức của độ dẫn phi tuyến Biểu thức của độ dẫn phi tuyến được cho bởi (1.75) σkℓp(ω1, ω2) = − 1 ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ α,β ∑ γ,δ ∑ ξ,ϵ jαβℓ j γδ p j ξϵ k U γδ αβ(ω¯1, ω¯2), với Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) trong (1.74) có dạng Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) = TR { ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[(~ω¯12 − Leq)−1a+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}. Để tìm biểu thức của độ dẫn phi tuyến ta sử dụng phương pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái, trong đó các toán tử chiếu được định nghĩa như sau [26] P1X ≡ 〈X〉γδαβ 〈a+ξ aϵ〉γδαβ a+ξ aϵ, (1.99) Q1 ≡ 1− P1, (1.100) trong đó 〈X〉γδαβ được định nghĩa bởi 〈X〉γδαβ ≡ TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[X, a+γ aδ], a+αaβ]}. (1.101) Với định nghĩa toán tử chiếu như vậy, ta có 〈(~ω¯12 − Leq)−1a+ξ aϵ〉γδαβ = Uγδαβ(ω¯1, ω¯2). (1.102) Trị trung bình của toán tử phụ thuộc vào bốn trạng thái |α〉, |β〉, |γ〉 và |δ〉. Toán tử P1 chiếu toán tử X bất kỳ lên phương a+ξ aϵ, tức là luôn phụ thuộc vào hai trạng thái |ξ〉 và |ϵ〉. Bây giờ ta tính Uγδαβ(ω¯1, ω¯2). 48 Thay P1 + Q1 = 1 và áp dụng đẳng thức (AB) cho (~ω¯12 − Leq)−1 rồi cho (~ω¯12 − LeqQ1)−1, ta được (~ω¯12 − Leq)−1a+ξ aϵ = a+ξ aϵ ~ω¯12 + LeqQ1(~ω¯12 − LeqQ1)−1a+ξ aϵ ~ω¯12 + (~ω¯12 − LeqQ1)−1Leqa+ξ aϵ 〈(~ω¯12 − Leq)−1a+ξ aϵ〉γδαβ 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = SH1(1.103) + SH2(1.103) + SH3(1.103). (1.103) Số hạng SH2(1.103) bằng 0 do Q1a + ξ aϵ = 0. Thay biểu thức của Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) trong (1.102) và Leq = Lv + Ld, số hạng SH3(1.103) được viết lại SH3(1.103) = (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lda+ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) 〈a+ξ aϵ〉γδαβ + (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = SHa+ SHb. (1.104) Từ Phụ lục 10 và đẳng thức (AB), ta tìm được SHa trong (1.105): SHa = (~ω¯12 − LeqQ1)−1Eξϵa+ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = Eξϵa + ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉γδαβ + EξϵLeqQ1(~ω¯12 − LeqQ1)−1a+ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉γδαβ = Eξϵa + ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉γδαβ (1.105) do Q1a + ξ aϵ = 0. Số hạng SHb giữ nguyên không biến đổi. Biểu thức (1.103) trở thành (~ω¯12 − Leq)−1a+ξ aϵ = a+ξ aϵ ~ω¯12 + Eξϵa + ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉γδαβ + (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) 〈a+ξ aϵ〉γδαβ . 49 Lấy trung bình hai vế biểu thức này theo định nghĩa ở (1.101) và viết gọn lại Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) = 〈a+ξ aϵ〉γδαβ ~ω¯12 − ~ω¯12W γδαβ(ω¯1, ω¯2)/〈a+ξ aϵ〉γδαβ , (1.106) trong đó ta đã đặt W γδαβ(ω¯1, ω¯2) ≡ Eξϵ〈a+ξ aϵ〉γδαβ ~ω¯12 + TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}. (1.107) Tính số hạng thứ hai ở vế phải (1.107). Sử dụng đẳng thức (AB) để khai triển (~ω¯2 − Leq)−1, ta được SH2(1.107) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯2 + TR{ρeq[Leq(~ω¯2 − Leq)−1[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯2 = SH2.1 + SH2.2. Thay Leq = Lv + Ld, sử dụng hệ thức TR{ρeq(Heq)[LeqA,B]} = TR{ρeq(Heq)[LeqB,A]}, ta thu được số hạng SH2.2 như sau: SH2.2 = − TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], Lva+αaβ]}/~ω¯2 − TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], Lda+αaβ]}/~ω¯2 = −Mαβ1 (ω¯1, ω¯2)/~ω¯2 − Eαβ[W γδαβ(ω¯1, ω¯2)− Eξϵ〈a+ξ aϵ〉γδαβ/~ω¯12]/~ω¯2, trong đó ta đã sử dụng Lda + αaβ = Eαβa + αaβ (Phụ lục 10), biểu thức của W γδαβ(ω¯1, ω¯2) trong (1.107) và đặt Mαβ1 (ω¯1, ω¯2) ≡ TR{ρeq[(~ω¯2−Leq)−1[(~ω¯12−LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], Lva+αaβ]}. (1.108) 50 Ngoài ra, nếu đặt Mαβ2 (ω¯12) ≡ TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], Lva+αaβ]}, (1.109) thì SH2.1 = Mαβ2 (ω¯12)/~ω¯2. Cuối cùng biểu thức (1.107) được viết lại W γδαβ(ω¯1, ω¯2) = Eξϵ〈a+ξ aϵ〉γδαβ/~ω¯2 + [Mαβ2 (ω¯12)−Mαβ1 (ω¯1, ω¯2)]/~ω¯2 − Eαβ[W γδαβ(ω¯1, ω¯2)− Eξϵ〈a+ξ aϵ〉γδαβ/~ω¯12]/~ω¯2. (1.110) Bây giờ ta khai triển cụ thể hơn biểu thức của W γδαβ(ω¯1, ω¯2). Trong biểu thức (1.106) và (1.110), số hạng 〈a+ξ aϵ〉γδαβ được tính bằng (Phụ lục 21) 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = (fβ − fα)δξβδδαδϵγ ~ω¯2 − Eβα − ~Γαβ0 (ω¯2) − (fβ − fα)δγβδϵαδξδ ~ω¯2 − Eβα − ~Γαβ0 (ω¯2) , (1.111) với Γαβ0 (ω¯2) = TR{ρeq[Lva+αaβ, (~ω2 − Ld)−1Lva+β aα]}/~(fβ − fα) (1.112) có giá trị cho bởi (1.93) trong đó thay ω¯ bởi ω¯2. Sử dụng đẳng thức (AB) cho (~ω¯12 − LeqQ1)−1 trong Mαβ2 (ω¯12), ta thu được Mαβ2 (ω¯12) = TR{ρeq[[Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯12 + TR{ρeq[[LeqQ1(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯12 = SH1(1.113) + SH2(1.113). (1.113) Bây giờ ta lần lượt tính các số hạng trong (1.113). Để tính số hạng SH1(1.113), từ phụ lục 16 ta có Lva + ξ aϵ = ∑ q ∑ η (bq⃗ + b + −q⃗)(Cηξ(q⃗)a + η aϵ − Cϵη(q⃗)a+ξ aη. (1.114) 51 Khi khai triển ra ta được bốn số hạng, mỗi số hạng chứa số toán tử sinh electron bằng số toán tử hủy electron nhưng chứa chỉ một toán tử sinh hoặc một toán tử hủy phonon nên khi lấy trung bình sẽ bằng không, do đó SH1(1.113) = 0. Đối với SH2(1.113), thay Q1 = 1− P1, ta được SH2(1.113) = TR{ρeq[[Leq(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯12 − TR{ρeq[[LeqP1(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯12 = SH21(1.115) + SH22(1.115). (1.115) Số hạng SH21(1.115): Sử dụng đẳng thức (phụ lục 22) TR{ρeq(Heq)[[LeqX,A], B]} = TR{ρeq(Heq)[[LeqA,X], B]} + TR{ρeq(Heq)[LeqB, [X,A]]}, với X = (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, A = a+γ aδ, B = a+αaβ, ta được SH21(1.115) = TR{ρeq[[Leqa+γ aδ, (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+αaβ]}/~ω¯12 + TR{ρeq[Leqa+αaβ, [(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ]]}/~ω¯12 = −TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, Lva+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯12 − TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], Lva+αaβ]}/~ω¯12 = −(Eγδ + Eαβ)TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}/~ω¯12. (1.116) Trong biểu thức trên ta đã đổi vị trí các toán tử trong giao hoán tử, thay Leq = Lv +Ld, Lda + η aν = Eηνa + η aνa + η aν và sắp xếp lại vị trí của các số hạng. Để ý biểu thức của Mαβ2 (ω¯12) và đặt Vαβ(ω¯12) ≡ TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, Lva+γ aδ], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, a+γ aδ], Lva+αaβ]}, (1.117) 52 biểu thức (1.116) được viết gọn lại thành SH21(1.115) = −Vαβ(ω¯12)/~ω¯12 − (Eγδ + Eαβ)Mαβ2 (ω¯12)/~ω¯12. (1.118) Số hạng SH22(1.115): tác dụng toán tử P1 lên biểu thức toán tử bên trái nó và thay Leq = Lv + Ld, ta được SH22(1.115) = −〈(~ω¯12 − LeqQ1) −1Lva+ξ aϵ〉γδαβ ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉γδαβ × TR{ρeq[[(Lv + Ld)a+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]}. Biến đổi các biểu thức trong SH22(1.115) và chú ý đến (1.107), ta được 〈(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ〉γδαβ = W γδαβ(ω¯1, ω¯2)− Eξϵ ~ω¯12 〈a+ξ aϵ〉γδαβ, tương tự như lập luận SH1(1.113) = 0, ta có TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aϵ, Lva+γ aδ], a+αaβ] = 0, TR{ρeq[[Lda+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]} = EξϵTR{ρeq[[a+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]} = Eξϵ〈a+ξ aϵ〉0, trong đó 〈a+ξ aϵ〉0 ≡ TR{ρeq[[a+ξ aϵ, a+γ aδ], a+γ aδ]}. Thay các kết quả vừa tính được vào biểu thức của SH22(1.115), ta nhận được SH22(1.115) = −W γδ αβ(ω¯1, ω¯2)− Eξϵ~ω¯12 〈a+ξ aϵ〉 γδ αβ ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉γδαβ Eξϵ〈a+ξ aϵ〉0. (1.119) Thay tất cả các số hạng vào (1.115) và biến đổi gọn lại, ta được Mαβ2 (ω¯2) = −1 ~ω¯12 + Eγδ + Eαβ [ Vαβ(~ω¯12) + W γδαβ(ω¯1, ω¯2)Eξϵ〈a+ξ aϵ〉0 〈a+ξ aϵ〉γδαβ − E 2 ξϵ〈a+ξ aϵ〉0 ~ω¯12 ] . Trong biểu thức (1.110) của W γδαβ(ω¯1, ω¯2), nếu chỉ xét nghiệm ở gần miền cộng hưởng, tức là những chuyển mức thỏa mãn ~ω¯2 = Eβ −Eα thì một 53 số số hạng triệt tiêu nhau (Eξϵ〈a+ξ aϵ〉γδαβ/~ω¯2, Eξϵ〈a+ξ aϵ〉γδαβ/~ω¯12) và cuối cùng còn lại Mαβ2 (ω¯2)−Mαβ1 (ω¯2) = 0. (1.120) Thay kết quả tính Mαβ2 (ω¯2) ở trên và biến đổi, ta suy ra W γδαβ(ω¯1, ω¯2) = − 〈a + ξ aϵ〉γδαβ 〈a+ξ aϵ〉0Eξϵ [(~ω¯12 + Eγδ + Eαβ)Mαβ1 (ω¯1, ω¯2) + Vαβ(ω¯12)] + Eξϵ 〈a+ξ aϵ〉γδαβ ~ω¯12 . (1.121) Thay (1.121) vào (1.106), ta được Uγδαβ(ω¯1, ω¯2) = 〈a+ξ aϵ〉γδαβ ~ω¯12 − Eξϵ + ~ω¯12〈a+ξ aϵ〉0 1 Eξϵ [(~ω¯12 + Eγδ + Eαβ)Mαβ1 (ω¯1, ω¯2) + Vαβ(ω¯12)] . (1.122) Từ biểu thức trị trung bình phụ thuộc vào bốn trạng thái (1.111), do có các hàm delta-Dirac nên các chỉ số trong các biểu thức được thay thế khi lấy tổng. Thay (1.122) vào biểu thức định nghĩa của tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc một, ta có kết quả σkℓp(ω1, ω2) = −1 ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ α,β ∑ γ,δ ∑ ξ,ϵ jαβℓ j γδ p j ξϵ k (fβ − fα) ~ω¯2 − Eβα − ~Γαβ0 (ω¯2) × [ δξβδδαδϵγ ~ω¯12 − Eβγ − ~Γαβγ1 (ω¯12) − δγβδϵαδξδ ~ω¯12 − Eδα − ~Γαβδ2 (ω¯12) ] , (1.123) trong đó Γαβγ1 (ω¯12) và Γ αβδ 2 (ω¯12) là các hàm suy giảm (damping terms), đối với tenxơ độ dẫn phi tuyến, có dạng Γαβγ1 (ω¯12) ≡ − ~ω¯12 ~〈a+ξ aϵ〉0 1 Eβγ [(~ω¯12 + Eγα + Eαβ)Mαβ1 (ω¯1, ω¯2) + Vαβ(ω¯12)], Γαβδ2 (ω¯12) ≡ − ~ω¯12 ~〈a+ξ aϵ〉0 1 Eδα [(~ω¯12 + Eβδ + Eαβ)Mαβ1 (ω¯1, ω¯2) + Vαβ(ω¯12)]. 54 Nhận xét: Biểu thức của σijk(ω1, ω2) có hai số hạng trong đó mỗi số hạng chứa một hàm suy giảm phi tuyến. Số hạng thứ nhất thể hiện các quá trình chuyển mức khác nhau giữa ba trạng thái α, β, γ và số hạng thứ hai thể hiện các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái α, β, δ. Trường điện từ tương tác với bán dẫn gồm hai sóng có các tần số lần lượt là ω1 và ω2, ở trên ta đã giới hạn chỉ xét các quá trình chuyển mức giữa hai trạng thái α và β gần miền cộng hưởng, tức là ~ω¯12 ≈ Eβ − Eα. Đối với các quá trình chuyển mức khác ta cũng đưa thêm vào giới hạn xét gần các miền cộng hưởng sao cho ~ω¯12 ≈ Eβ − Eγ trong số hạng thứ nhất và ~ω¯12 ≈ Eδ − Eα trong số hạng thứ hai. Với điều kiện đó, ~ω¯12 + Eγα + Eαβ = 0 trong Γαβγ1 (ω¯12) và ~ω¯12 + Eβδ + Eαβ = 0 trong Γαβδ2 (ω¯12). Như vậy các hàm suy giảm phi tuyến chỉ còn lại Γαβγ1 (ω¯12) = V1αβ(ω¯12)/~(fβ − fα), Γαβδ2 (ω¯12) = V2αβ(ω¯12)/~(fβ − fα), (1.124) trong đó từ (1.117), ta có V1αβ(ω¯12) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+β aγ, Lva+γ aα], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+β aγ, a+γ aα], Lva+αaβ]}, V2αβ(ω¯12) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+δ aα, Lva+β aδ], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+δ aα, a+β aδ], Lva+αaβ]}. (1.125) Như vậy trong phần này ta đã tìm được biểu thức của độ dẫn phi tuyến bậc một có dạng cho bởi (1.123), trong đó có chứa hàm suy giảm tuyến tính Γαβ0 (ω¯12) có biểu thức được cho bởi (1.93), các hàm suy giảm phi tuyến Γαβγ1 (ω¯12) và Γ αβδ 2 (ω¯12). 55 1.6.5. Biểu thức của các hàm suy giảm phi tuyến Theo Phụ lục 25, ta được Γαβγ1 (ω¯12) = ∑ q⃗ ∑ η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) ~(fβ − fα) × { (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ + (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ } − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) ~(fβ − fα) × { (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ } . (1.126) Γαβδ2 (ω¯12) = ∑ q⃗ ∑ η Cηδ(q⃗)Cδη(−q⃗) ~(fβ − fα) × { (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eηα + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηα + ~ωq⃗ + (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eηα − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eηα − ~ωq⃗ } + ∑ q⃗ ∑ η Cαη(q⃗)Cηα(−q⃗) ~(fβ − fα) × { (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eδη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eδη + ~ωq⃗ } . (1.127) Như vậy ta đã thiết lập đầy đủ biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính và tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc một. Những biểu thức này chứa các hàm suy giảm dạng phức nên có thể phân tích thành hai thành phần nhờ đồng nhất thức Dirac. Tương tự như đã làm trong phần tuyến tính, phần thực của khai triển tương ứng với hàm dịch chuyển phổ còn phần ảo tương ứng với hàm độ rộng phổ. Từ đây ta cũng có thể tính phần 56 thực của tenxơ độ dẫn để tìm công suất hấp thụ cũng như các đại lượng khác mà các đại lượng này có thể xác định bằng thực nghiệm, cho phép so sánh với các kết quả thực nghiệm và giải thích nhiều hiệu ứng thú vị trong bán dẫn khi có điện (từ) trường mạnh chiếu vào. Các hàm suy giảm (1.126) và (1.127) chứa các hàm phân bố thể hiện tất cả các quá trình dịch chuyển có thể có của electron giữa các mức năng lượng và mỗi số hạng ứng với một quá trình chuyển mức. ý nghĩa vật lý của các số hạng có thể được giải thích như phần tuyến tính. Chẳng hạn với số hạng đầu tiên trong (1.126), ta có quá trình electron chuyển từ mức β sang mức trung gian η kèm theo phát xạ một photon và một phonon. Các quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo toàn năng-xung lượng được thể hiện ở mẫu số. Mặc dù các số hạng có thể rút gọn lại được nhưng ta không làm như vậy vì lúc đó sẽ không thấy rõ các quá trình xảy ra trong vật chất và ý nghĩa vật lý của các đại lượng. Đây chính là ưu điểm của phương pháp nghiên cứu được chọn mà các phương pháp tính toán khác không thể có được. Trong chương sau ta sẽ đi sâu hơn những tính toán từ các hàm suy giảm thu được và áp dụng để tính giá trị cụ thể cho mô hình giếng lượng tử. 1.6.6. Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến Biểu thức của hàm suy giảm phi tuyến Γαβγ1 (ω¯12) và Γ αβδ 2 (ω¯12) trong (1.126) và (1.127) cũng có dạng tương tự như Γαβ0 (ω¯) của trường hợp tuyến tính nên quá trình tính toán thực hiện hoàn toàn tương tự như 57 phần trên. Đặt ký hiệu cho biểu thức ở mẫu số các số hạng M3(±) ≡ ~ω12 − Eβη ± ~ωq⃗, M4(±) ≡ ~ω12 − Eηγ ± ~ωq⃗, M5(±) ≡ ~ω12 − Eηα ± ~ωq⃗, M6(±) ≡ ~ω12 − Eδη ± ~ωq⃗. (1.128) Sử dụng đồng nhất thức Dirac, ta tìm được phần thực và phần ảo của các hàm suy giảm. Biểu thức độ dịch vạch phổ phi tuyến ứng với Γαβγ1 (ω¯12) Aαβγ1 (ω12) = 1 ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cγη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]P (M−13(+)) − [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]P (M−13(+)) + [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]P (M−13(−)) − [(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]P (M−13(−))} − 1 ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cηβ(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]P (M−14(−)) − [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]P (M−14(+))}. (1.129) Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến ứng với Γαβγ1 (ω¯12) Bαβγ1 (ω12) = pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cγη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]δ(M3(+)) − [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]P (M−13(+)) + [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]P (M−13(−)) − [(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]P (M−13(−))} 58 − pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cηβ(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]P (M−14(−)) − [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]P (M−14(+))}. (1.130) Biểu thức độ dịch vạch phổ phi tuyến ứng với Γαβδ2 (ω¯12) Aαβδ2 (ω12) = 1 ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cηδ(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]P (M−15(+)) − [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]P (M−15(+)) + [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]P (M−15(−)) − [(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]P (M−15(−))} + 1 ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cαη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]P (M−16(−)) − [(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]P (M−16(+))}. (1.131) Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến ứng với Γαβδ2 (ω¯12) Bαβδ2 (ω12) = pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cηδ(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]δ(M5(+)) − [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]δ(M5(+)) + [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]δ(M5(−)) − [(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]δ(M5(−))} + pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗ ∑ η |Cαη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]δ(M6(−)) − [(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]δ(M6(+))}. (1.132) 59 1.7. Biểu thức của tenxơ độ dẫn khi có từ trường 1.7.1. Biểu thức của tenxơ độ dẫn Khi một sóng điện từ có tần số góc ω được đặt vào hệ, tenxơ độ dẫn của hệ electron trong chất bán dẫn được cho bởi [21] σ+−(ω) = i ω TR{ρeq[(~ω¯ − Leq)−1J+, J−]}, (1.133) trong đó J± là thành phần vuông góc của toán tử mật độ dòng điện hệ nhiều hạt và được biểu diễn theo toán tử mật độ dòng điện một hạt như sau J+ = ∑ α j+α a + α+1aα, J− = ∑ α (j+α ) ∗a+αaα+1, (1.134) với j± = jx ± ijy, Xα = 〈α+ 1|X|α〉 và 〈X〉α = TR{ρeq[X, a+αaα+1]}. Khi đó (1.133) trở thành σ+−(ω) = i ω ∑ α (j+α ) ∗〈(~ω¯ − Leq)−1J+〉α. (1.135) 1.7.2. Biểu thức của hàm suy giảm Để thu được biểu thức độ dẫn ở phương trình (1.135) một cách tường minh, ta sử dụng phương pháp chiếu toán tử của Badjou và Argyres với trục của phương chiếu là toán tử J+. Bằng cách tác dụng Pα+Qα = 1 về bên phải của toán tử Leq ở phương trình (1.135) và sử dụng QαJ+ = 0, LdJ+ = ~ωcJ+ với ωc là tần số cyclotron, ta được (~ω¯ − Leq)−1J+ = J+ ~ω¯ + 〈(~ω¯ − Leq)−1J+〉α 〈J+〉α { ωc ω¯ J+ + LvJ+ ~ω¯ + LeqQα(~ω¯ − LeqQα)−1LvJ+ ~ω¯ } . (1.136) 60 Lấy trung bình hai vế của (1.136) theo trạng thái |α〉 rồi thay vào (1.135), ta thu được σ+−(ω) = i ~ω ∑ α (j+α ) ∗ 〈J+〉α ω¯ − ωc − Γα(ω¯) , (1.137) Sau một số bước tính toán ta được 〈J+〉α = j+α (fα+1 − fα), (1.138) Cuối cùng ta thu được biểu thức tenxơ độ dẫn có dạng σ+−(ω) = i ~ω ∑ α |j+α |2 fα+1 − fα ω¯ − ωc − Γα(ω¯) . (1.139) trong đó hàm suy giảm Γα(ω¯) có dạng Γα(ω¯) = 1 ~(fα+1 − fα) × {∑ q⃗,η |Cαη(q⃗)|2[(1 +Nq⃗)fα+1(1− fη)~ω¯ − Eα+1,η + ~ωq⃗ − Nq⃗fη(1− fα+1) ~ω¯ − Eα+1,η + ~ωq⃗ −(1 +Nq⃗)fη(1− fα+1) ~ω¯ − Eα+1,η − ~ωq⃗ + Nq⃗fα+1(1− fη) ~ω¯ − Eα+1,η − ~ωq⃗ ] + ∑ q⃗,η |Cη,α+1(q⃗)|2[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)~ω¯ − Eηα + ~ωq⃗ − Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯ − Eηα + ~ωq⃗ −(1 +Nq⃗)fα(1− fη) ~ω¯ − Eηα − ~ωq⃗ + Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯ − Eηα − ~ωq⃗ ] } . (1.140) Biểu thức (1.140) là biểu thức giải tích của hàm suy giảm theo các hàm phân bố của electron và phonon. Mỗi số hạng trong (1.140) biểu diễn một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng và có thể được mô tả tương tự như mục (1.6.2.). 61 1.7.3. Biểu thức tốc độ hồi phục Hàm suy giảm Γα(ω¯) thu được ở phương trình (1.140) là một biểu thức phức do có chứa ω¯ = ω − i△, nên có thể phân tích thành Γα(ω¯) = Aα(ω) + iBα(ω), (1.141) trong đó Aα(ω) = Re{Γα(ω¯)} và Bα(ω) = Im{Γα(ω¯)} lần lượt được gọi là độ dịch vạch phổ và tốc độ hồi phục trong độ dẫn. Thực hiện các bước tính toán tương tự như mực (1.6.3.), ta thu được biểu thức tốc độ hồi phục ứng với Γα(ω¯) Bα(ω) = pi ~(fα+1 − fα) ∑ q⃗,η |Cα,η(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fα+1(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα+1)]δ(~ω − Eα+1,η + ~ωq⃗) + [Nq⃗fα+1(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fα+1)]δ(~ω − Eα+1,η − ~ωq⃗) } + pi ~(fα+1 − fα) ∑ q⃗,η |Cα+1,η(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]δ(~ω − Eηα + ~ωq⃗) + [Nq⃗fη(1− fα)− (1 +Nq⃗)fα(1− fη)]δ(~ω − Eηα − ~ωq⃗) } . (1.142) 1.8. Độ rộng của vạch phổ hấp thụ Độ rộng vạch phổ được xác định bởi khoảng cách giữa hai giá trị của biến phụ thuộc (thường là tần số hoặc năng lượng photon) mà tại đó giá trị của công suất hấp thụ bằng một nửa giá trị cực đại của nó. Độ rộng vạch phổ có liên quan mật thiết đến tốc độ hồi phục, chúng phụ thuộc vào tính chất cụ thể của cơ chế tán xạ của hạt tải trong chất rắn. Vì vậy, việc nghiên cứu độ rộng vạch phổ cho phép ta thu được thông tin về các cơ chế tán xạ này. Về nguyên tắc, độ rộng vạch phổ chỉ được 62 Hình 1.2: Cách xác định độ rộng vạch phổ từ sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon. thu nhận từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon. Để tìm sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào giá trị x của đại lượng X, chẳng hạn như nhiệt độ, kích thước của mẫu, tần số giam giữ, từ trường, ... chúng tôi sử dụng phương pháp Profile. Đây là một chương trình Mathematica gồm các bước sau: (i) Dùng lệnh Plot để vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (~ω) vào năng lượng photon (~ω) ứng với các giá trị khác nhau xi của X; (ii) Dùng lệnh FindMaximum để tìm giá trị cực đại của công suất hấp thụ, sau đó dùng lệnh FindRoot để tìm hai giá trị ~ω1, ~ω2 ứng với một nửa giá trị cực đại của P (~ω), mỗi cặp giá trị (xi, ~ω2 − ~ω1) biểu diễn một điểm trên đồ thị; (iii) Nối các điểm này lại với nhau ta được quy luật mô tả sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào đại lượng X. 63 Chương 2 ẢNHHƯỞNGCỦA SỰ GIAMGIỮ PHONON LÊN HIỆU ỨNGCỘNGHƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ Chương này trình bày ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và thế parabol trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. 2.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn 2.1.1. Công suất hấp thụ tuyến tính Khi một sóng điện từ có tần số ω và biên độ E0z được đặt vào hệ, công suất hấp thụ tuyến tính trong giếng lượng tử được cho bởi [33, 42] P0(ω) = E20z 2 Re[σzz(ω)], (2.1) từ phương trình (1.92) ta xác định được tenxơ độ dẫn theo phương z như sau σzz(ω) = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω¯ − Eβα − ~Γαβ0 (ω¯) , (2.2) trong đó jαβz = 〈α|jz|β〉; fα là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron có năng lượng Eα ở trạng thái |α〉, với Eα và |α〉 được xác định ở phương trình (1.2) và (1.1); ω¯ = ω − i∆(∆→ 0+); Eβα = Eβ − Eα; và hàm suy giảm tuyến tính Γαβ0 được cho bởi biểu thức (1.93). Để tính cụ thể hơn biểu thức của công suất hấp thụ tuyến tính ở phương trình (2.1) với σzz(ω) được cho ở phương trình (2.2), ta cần tính 64 jαβz (Phụ lục 26) jαβz =  i 2pie~nβ m∗V0 [1− (−1)nα+nβ nα + nβ + 1− (−1)nα−nβ nα − nβ ] δkβ⊥,kα⊥ khi nβ ̸= nα, 0 khi nβ = nα, trong đó e và V0 = SLz lần lượt là điện tích của một electron và thể tích của hệ. Hàm suy giảm tuyến tính Γαβ0 (ω¯) chứa trong biểu thức (2.2) là một hàm phức nên có thể được viết dưới dạng Γαβ0 (ω¯) = A αβ 0 (ω) + iB αβ 0 (ω), sau đó thực hiện một số bước tính toán ta thu được phần thực của tenxơ độ dẫn theo phương z như sau (Phụ lục 28) Re[σzz(ω)] = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 (fα − fβ)~Bαβ0 (ω) [~ω − (Eβ − Eα)]2 + [~Bαβ0 (ω)]2 , (2.3) lúc này, biểu thức của công suất hấp thụ tuyến tính ở phương trình (2.1) được viết lại thành P0(ω) = E20z 2ω ∑ α,β |jαβz |2 (fα − fβ)~Bαβ0 (ω) [~ω − (Eβ − Eα)]2 + [~Bαβ0 (ω)]2 , (2.4) trong đó Bαβ0 (ω) là biểu thức tốc độ hồi phục ở phương trình (1.98), có dạng Bαβ0 (ω) = pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗,η |Cαη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]δ(~ω − Eβη + ~ωq⃗) + [Nq⃗fβ(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)]δ(~ω − Eβη − ~ωq⃗) } + pi ~(fβ − fα) ∑ q⃗,η |Cβη(q⃗)|2 × {[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)]δ(~ω − Eηα + ~ωq⃗) + [Nq⃗fη(1− fα)− (1 +Nq⃗)fα(1− fη)]δ(~ω − Eηα − ~ωq⃗) } . (2.5) 65 + Trường hợp phonon khối Từ phương trình (1.20), các yếu tố ma trận tương tác Cαη(q⃗) và Cβη(q⃗) trong phương trình (2.5), có dạng |Cαη(q⃗)|2 = |Vq〈α| exp (iq⃗.r⃗)|η〉|2 = |Vq|2|Inαnη(qz)|2δkα⊥,kη⊥+q⊥, (2.6) trong đó Vq và Inαnη(qz) được xác định ở phương trình (1.21) và (1.22). Thay (2.6) vào (2.5) đồng thời thực hiện chuyển tổng thành tích phân∑ q⃗ · · · → V0 4pi2 ∫ ∞ 0 q⊥dq⊥ ∫ ∞ −∞ dqz · · · , ∑ η · · · → ∑ nη ∑ kη⊥ · · · → S 2pi ∑ nη ∫ ∞ 0 kη⊥dk η ⊥ · · · , (2.7) sau đó lấy tích phân theo qz rồi theo q⊥ và k η ⊥, ta thu được Bαβ0 (ω) = e2~ωLOχ∗ 4ϵ0S(fβ − fα) ∑ nη × { 2mFnαnη ~2|k1+| [(1 +Nq)fβ(1− fη,k1+)−Nqfη,k1+(1− fβ)] + 2mFnαnη ~2|k1−| [Nqfβ(1− fη,k1−)− (1 +Nq)fη,k1−(1− fβ)] + 2mFnβnη ~2|k2+| [(1 +Nq)fη,k2+(1− fα)−Nqfα(1− fη,k2+)] + 2mFnβnη ~2|k2−| [Nqfη,k2−(1− fα)− (1 +Nq)fα(1− fη,k2−)] } , (2.8) trong đó Fnαnη , Fnβnη được cho ở phương trình (1.27), có dạng Fnαnη ≡ ∫ ∞ −∞ dqz|Inαnη(qz)|2 = pi Lz (2 + δnα,nη), Fnβnη ≡ ∫ ∞ −∞ dqz|Inβnη(qz)|2 = pi Lz (2 + δnβ ,nη) (2.9) và k±1 = { (kβ⊥) 2 + 2m∗ ~2 [(n2η − n2β)ε0 + ~ω ± ~ωLO)] }1/2 , k±2 = { (kα⊥) 2 − 2m ∗ ~2 [(n2α − n2η)ε0 + ~ω ± ~ωLO] }1/2 . (2.10) 66 Thay (2.8) vào (2.4) ta sẽ thu được biểu thức tường minh của công suất hấp thụ tuyến tính khi xét phonon khối trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn. Như vậy, biểu thức của công suất hấp thụ tuyến tính khi xét phonon khối trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn P0(ω) ở (2.4) với B αβ 0 (ω) ở (2.8) là tường minh. + Trường hợp phonon giam giữ Từ phương trình (1.30), các yếu tố ma trận tương tác Cα,η(q⃗) và Cη,β(q⃗) trong phương trình (2.5), có dạng |Cα,η(q⃗)|2 = |Vmφ(q⊥)|2|Gmφnα,nη |2δkη⊥,kα⊥±q⊥, (2.11) trong đó Vmφ(q⊥) vàGmφnα,nη được xác định ở phương trình (1.31) và (1.39). Thay (2.11) vào (2.5) đồng thời thực hiện chuyển tổng thành tích phân∑ q⃗ · · · → S 2pi ∑ m ∑ φ=± ∫ ∞ 0 q⊥dq⊥ · · · , ∑ η · · · → S 2pi ∑ nη ∫ ∞ 0 kη⊥dk η ⊥ · · · , (2.12) sau đó lấy tích phân theo q⊥ và k η ⊥, ta thu được Bαβ0 (ω) = pie2~ωm,q⊥LO χ∗ 2ϵ0V0(fβ − fα) ∑ m ∑ φ=± ∑ nη × { 2m∗k21+|Gmφnαnη |2 ~2|k1+|(amφk21+ + bmφL2z ) [(1 +Nm,q⊥)fβ(1− fη,k1+)−Nm,q⊥fη,k1+(1− fβ)] + 2m∗k21−|Gmφnαnη |2 ~2|k1−|(amφk21− + bmφL2z ) [Nm,q⊥fβ(1− fη,k1−)− (1 +Nm,q⊥)fη,k1−(1− fβ)] + 2m∗k22+|Gmφnβnη |2 ~2|k2+|(amφk22+ + bmφL2z ) [(1 +Nm,q⊥)fη,k2+(1− fα)−Nm,q⊥fα(1− fη,k2+)] + 2m∗k22−|Gmφnβnη |2 ~2|k2−|(amφk22− + bmφL2z ) [Nm,q⊥fη,k2−(1− fα)− (1 +Nm,q⊥)fα(1− fη,k2−)] } , (2.13) 67 trong đó k±1 = { (kβ⊥) 2 + 2m∗ ~2 [(n2η − n2β)ε0 + ~ω ± ~ωm,q⊥LO )] }1/2 , k±2 = { (kα⊥) 2 − 2m ∗ ~2 [(n2α − n2η)ε0 + ~ω ± ~ωm,q⊥LO ] }1/2 . (2.14) Cuối cùng, thay (2.13) vào (2.4) ta sẽ thu được biểu thức tường minh của công suất hấp thụ tuyến tính khi xét phonon giam giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn. Như vậy, biểu thức của công suất hấp thụ tuyến tính khi xét phonon giam giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn P0(ω) ở (2.4) với B αβ 0 (ω) ở (2.13) là tường minh. Ta thấy rằng, kết quả giải tích thu được là rất phức tạp. Tuy nhiên, các kết luận vật lý có thể thu nhận được từ việc tính số và vẽ đồ thị. 2.1.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng electron- phonon tuyến tính Biểu thức tốc độ hồi phục Bαβ0 (ω) ở phương trình (2.13) cho ta dạng đầy đủ các quá trình tương tác giữa các hạt và quá trình dịch chuyển của electron giữa các mức trong trường hợp tuyến tính. Các quá trình dịch chuyển này phải thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng, tức là đối số của các hàm delta trong (2.13) phải bằng không, tức là ~ω ± (n2β − n2α)ε0 ± ~ωLO = 0, (2.15) trong đó (n2β − n2α)ε0 = Eβ − Eα ≡ ∆Enβnα là hiệu hai mức năng lượng của trạng thái cuối |nβ〉 và trạng thái đầu |nα〉 trong mỗi quá trình dịch chuyển của electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn. Phương trình (2.15) là điều kiện dò tìm cộng hưởng electron-phonon tuyến tính trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn. Biểu thức 68 này có dạng tương tự như kết quả của Kim S. W. và cộng sự đã tìm ra trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn [29]. Khi điều kiện này được thỏa mãn, sau quá trình tương tác, electron ở trạng thái |nα〉 có thể dịch chuyển đến trạng thái |nβ〉 bằng cách hấp thụ một photon có năng lượng ~ω kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ một phonon có năng lượng ~ωLO. Trong trường hợp không có điện trường ngoài, tức là ω = 0, khi đó phương trình (2.15) trở thành (n2β − n2α)ε0 = ~ωLO. (2.16) Biểu thức (2.16) chính là điều kiện cộng hưởng electron-phonon tuyến tính [29]. Khi đó, electron hấp thụ hoặc phát xạ một phonon có năng lượng ~ωLO đúng bằng hiệu hai mức năng lượng (Eβ − Eα) thì electron ở trạng thái |nα〉 có thể dịch chuyển đến trạng thái |nβ〉. Như vậy hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon là trường hợp riêng của hiệu ứng dò tìm cộng hưởng electron-phonon khi không có điện trường ngoài. Để làm rõ ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng, các đặc trưng vật lý của các kết quả giải tích vừa thu được, chúng tôi sử dụng phương pháp tính số và vẽ đồ thị của công suất hấp thụ P0(ω) ở phương trình (2.4) trong giếng lượng tử GaAs/AlAs thế vuông góc sâu vô hạn. Công suất hấp thụ được xem l... = TR { ρeq[HeqXa + γ aδ − a+γ aδHeqX] } − TR { ρeq[XHeqa + γ aδ − a+γ aδXHeq] } = TR { ρeqHeqXa + γ aδ }− TR {ρeqa+γ aδHeqX} − TR { ρeqXHeqa + γ aδ } + TR { ρeqa + γ aδXHeq } = SH1.1 + SH1.2 + SH1.3 + SH1.4 SH1.1 = TR { ρeqHeqXa + γ aδ } = TR { HeqρeqXa + γ aδ } = TR { Xa+γ aδHeqρeq } SH1.3 = −TR { ρeqXHeqa + γ aδ } = −TR { XHeqa + γ aδρeq } SH1.4 = TR { ρeqa + γ aδXHeq } = TR { Heqρeqa + γ aδX } = TR { ρeqHeqa + γ aδX } Thay SH1.1, SH1.3, SH1.4 vào SH1, ta được: SH1 = TR { Xa+γ aδHeqρeq }− TR {ρeqa+γ aδHeqX} − TR { XHeqa + γ aδρeq } + TR { ρeqHeqa + γ aδX } = TR { X(a+γ aδHeq −Heqa+γ aδ)ρeq } + TR { ρeq(Heqa + γ aδ − a+γ aδHeq)X } = TR { X[a+γ aδ, Heq]ρeq } + TR { ρeq[Heq, a + γ aδ]X } P.21 = −TR { XLeqa + γ aδρeq } + TR { ρeqLeqa + γ aδX } = −TR { ρeqXLeqa + γ aδ } + TR { ρeqLeqa + γ aδX } = TR { ρeq(Leqa + γ aδX −XLeqa+γ aδ) } = TR { ρeq[Leqa + γ aδ, X] } = TR { ρeq[(Ld + Lν)a + γ aδ, X] } = TR { ρeq[Lda + γ aδ, X] } + TR { ρeqLνa + γ aδ, X] } = Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] } + TR { ρeqLνa + γ aδ, X] } Thay Leq = Ld + Lν vào SH2, ta có: SH2 = −TR { ρeq[(Ld + Lν)P0X, a + γ aδ] } = −TR { ρeq[LdP0X, a + γ aδ] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} = SH2.1 + SH2.2 SH2.1 = −TR { ρeq[Lda + γ aδ, P0X] } = −Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, P0X] } = Eα,βTR { ρeq[P0X, a + γ aδ] } = Eα,β〈P0X〉γ,δ = Eα,β〈 〈X〉γ,δa+γ aδ 〈a+αaβ〉γ,δ 〉γ,δ = Eα,β 〈X〉γ,δ〈a+γ aδ〉γ,δ 〈a+αaβ〉γ,δ = Eα,β 〈X〉γ,δ〈a+γ aδ〉γ,δ 〈a+δ aγ〉γ,δ = Eα,β〈X〉γ,δ = Eα,βTR { ρeq[X, a + γ aδ] } = −Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] } Thay SH2.1 vào SH2, ta có: SH2 = −Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} Thay SH1 và SH2 vào, ta được: TR { ρeq[LeqQ0X, a + γ aδ] } = Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] } + TR { ρeq[Lνa + γ aδ, X] } − Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} = TR { ρeq[Lνa + γ aδ, X] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} (P.66) Phụ lục 14 Ta tính biểu thức hàm suy giảm Γαβ0 (ω¯) trong (1.89). P.22 Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết và tính chất giao hoán của ρeq với Heq, ta có hệ thức (Phụ lục 13) TR { ρeq[LeqQ0X, a + αaβ] } = TR { ρeq[Lva + αaβ, X] }− TR {ρeq[LvP0X, a+αaβ]} . (P.67) Thay X = (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ vào (P.67), ta được TR { ρeq[LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } − TR { ρeq[LvP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } . (P.68) Thay (P.68) vào (P.63), ta có Γαβ0 (ω¯) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ − TR { ρeq[LvP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = SH1(P.69)− SH2(P.69). (P.69) Toán tử P0 tác dụng lên các toán tử trong SH2(P.69) SH2(P.69) = TR { ρeq[LvP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρeq[Lv(~ω¯ − LeqQ0)−1 〈Lva+γ aδ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ, a + αaβ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = 0. (P.70) Thay (P.70) vào (P.69), ta có Γαβ0 (ω¯) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.71) Thay LeqQ0 = Leq(1 − P0) = Leq − LeqP0 vào (P.71), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB) [28]: (A+B)−1 = A−1 − A−1B(A+B)−1, ta được Γαβ0 (ω¯) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq + LeqP0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ − TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1LeqP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = SH1(P.72)− SH2(P.72). (P.72) Giả sử tương tác là yếu, khi đó ta có thể lấy gần đúng ρeq ≈ ρd. Thay Leq = Ld+Lv vào SH1(P.72), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB) SH1(P.72) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld − Lv)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ + TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lv(~ω¯ − Leq)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.73) Xét gần đúng thế tán xạ bậc hai thì L2v ≈ 0, nên (P.73) được viết lại SH1(P.72) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.74) P.23 Toán tử P0 tác dụng lên các toán tử ở bên phải của nó trong SH2(P.72) SH2(P.72) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1LeqP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1Leq(~ω¯ − LeqQ0)−1 〈Lva+γ aδ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = 0. (P.75) Thay (P.74) và (P.75) vào (P.72), ta được Γαβ0 (ω¯) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.76) Phụ lục 15 〈a+αaβ〉γ,δ = TR { ρd[a + αaβ, a + γ aδ] } = TR { ρd(a + αaδδβ,γ − a+γ aβδα,δ) } = TR { ρda + αaδ } δβ,γ − TR { ρda + γ aβ } δα,δ = fαδα,δδβ,γ − fγδγ,βδα,δ = (fδ − fγ)δα,δδγ,β (P.77) Phụ lục 16 Lva + αaβ = [V, a + αaβ] = [∑ η,µ,q⃗ (bq⃗ + b + −q⃗)Cη,µ(q⃗)a + η aµ, a + αaβ ] = ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)[a + η aµ, a + αaβ] = ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)(a + η aβδµ,α − a+αaµδη,β) = ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)a + η aβδµ,α − ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)a + αaµδη,β = ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)a + η aβ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −⃗q)a + αaµ = ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)bq⃗a + η aβ + ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)b + −q⃗a + η aβ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)bq⃗a + αaµ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)b + −q⃗a + αaµ P.24 ⇒ Lνa+β aα = ∑ η,q⃗ Cη,β(q⃗)bq⃗a + η aα + ∑ η,q⃗ Cη,β(q⃗)b + −q⃗a + η aα − ∑ µ,q⃗ Cα,µ(q⃗)bq⃗a + β aµ − ∑ µ,q⃗ Cα,µ(q⃗)b + −q⃗a + β aµ (P.78) Phụ lục 17 Ldb + −q⃗a + η aα = [Hd, b + −q⃗a + η aα] = [He +Hp, b + −q⃗a + η aα] = [He, b + −q⃗a + η aα] + [Hp, b + −q⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ [a + η′aη′ , b + −q⃗a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq′ [(b + q⃗′ bq⃗′ + 1 2 ), b+−q⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ b + −q⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq′ [b + q⃗′ bq⃗′ , b + −q⃗]a + η aα = ∑ η′ Eη′ b + −q⃗[a + η′aαδη,η′ − a+η aη′δη′ ,α] + ∑ q⃗′ ~ωq′ (b + q⃗′ [bq⃗′ , b + −q⃗] + [b + q⃗′ , b + −q⃗]bq⃗′ )a + η aα = ∑ η′ Eη′ b + −q⃗a + η′aαδη,η′ − ∑ η′ Eη′ b + −q⃗a + η aη′δη′ ,α + ∑ q⃗′ ~ωq′ (b + q⃗′ [bq⃗′ , b + −q⃗])a + η aα = Eηb + −q⃗a + η aα − Eαb+−q⃗a+η aα + ~ω−q⃗b+−q⃗a+η aα = (Eη − Eα + ~ω−q⃗)b+−q⃗a+η aα = (Eη,α + ~ω−q⃗)b+−q⃗a + η aα (P.79) Phụ lục 18 Ldbq⃗a + η aα = [Hd, bq⃗a + η aα] = [He +Hp, bq⃗a + η aα] = [He, bq⃗a + η aα] + [Hp, bq⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ [a + η′aη′ , bq⃗a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ [(b + q⃗′ bq⃗′ + 1 2 ), bq⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ [b + q⃗′ bq⃗′ , bq⃗]a + η aα P.25 = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ (b + q⃗′ [bq⃗′ , bq⃗] + [b + q⃗′ , bq⃗]bq⃗′ )a + η aα = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ (−δq⃗,q⃗′ )bq⃗′a+η aα = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aαδη,η′ − a+η aη′δη′ ,α]− ∑ q⃗′ ~ωq⃗′δq⃗,q⃗′ bq⃗′a + η aα = (Eη − Eα)bq⃗a+η aα − ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ bq⃗′δq,q′a + η aα = (Eη,α − ~ωq⃗)bq⃗a+η aα ⇒ Ldbq⃗a+β aµ = (Eβ,µ − ~ωq⃗)bq⃗a+β aµ ⇒ Ldb+−q⃗a+β aµ = (Eβ,µ − ~ω−q⃗)b−q⃗a+β aµ (P.80) Phụ lục 19 SH1(P.83) = ∑ η,q⃗ Cη,β(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1bq⃗a+η aα = ∑ η,q Cη,β(q⃗)[ 1 (~ω¯) + Ld ~ω¯(~ω¯ − Ld) ]bqa + η aα = ∑ η,q Cη,β(q⃗)[ 1 (~ω¯) + Eη,α − ~ωq ~ω¯(~ω¯ − Ld) ]bqa + η aα Chuyển vế và rút nhân tử chung, ta được: SH1(P.83) = ∑ η,q Cη,β(q⃗) bqa + η aα ~ω¯ − Eη,α + ~ωq (P.81) Phụ lục 20 Theo Phụ lục 13-17 ta có các hệ thức sau Lva + αaβ = ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)bq⃗a + η aβ + ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)b + −q⃗a + η aβ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)bq⃗a + αaµ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)b + −q⃗a + αaµ, (P.82) P.26 Lva + γ aδ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)bq⃗a + η aδ + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)b + −q⃗a + η aδ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)bq⃗a + γ aµ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)b + −q⃗a + γ aµ, Ldb + −q⃗a + η aδ = (Eη,δ + ~ω−q⃗)b+−q⃗a + η aδ. Ldbq⃗a + η aδ = (Eη,δ − ~ωq⃗)bq⃗a+η aδ, Ldb−q⃗a+γ aµ = (Eγ,µ + ~ωq⃗)bq⃗a+γ aµ, Ldb + q⃗ a + γ aµ = (Eγ,µ − ~ω−q⃗)b+−q⃗a+γ aµ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1bq⃗a+η aδ + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1b+−q⃗a+η aδ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1bq⃗a+γ aµ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1b+−q⃗a+γ aµ = SH1(P.83) + SH2(P.83)− SH3(P.83)− SH4(P.83), (P.83) SH1(P.83) = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) bq⃗a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ + ~ωq⃗ , SH2(P.83) = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) b+−q⃗a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ − ~ω−q⃗ , SH3(P.83) = ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) bq⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ + ~ωq⃗ , SH4(P.83) = ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) b+−q⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ − ~ω−q⃗ . Thay các số hạng SH1(P.83), SH2(P.83), SH3(P.83) và SH4(P.83) vào (P.83), ta được (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) bq⃗a + η aδ (~ω¯ − Eη,δ + ~ωq⃗) + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) b+−q⃗a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ − ~ω−q⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) bq⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ + ~ωq⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) b+−q⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ − ~ω−q⃗ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) bq⃗a + η aδ (~ω¯ − Eη,δ + ~ωq⃗) + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) b+q⃗ a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ − ~ωq⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) bq⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ + ~ωq⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) b+q⃗ a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ − ~ωq⃗ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)G (+) η,δ (q⃗)bq⃗a + η aδ + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)G (−) η,δ (q⃗)b + q⃗ a + η aδ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)G (+) γ,µ (q⃗)bq⃗a + γ aµ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)G (−) γ,µ (q⃗)b + q⃗ a + γ aµ, (P.84) P.27 trong đó G (±) α,β(q⃗) = [~ω¯ − Eα,β ± ~ωq⃗]−1. (P.85) Thay (1.91), (P.82), (P.84) vào (1.90), rồi lấy tổng theo γ và δ, ta được (fβ − fα)~Γαβ0 (ω¯) = 16∑ n=1 SHn(P.86), (P.86) trong đó SH1(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, bq⃗a+η aα]} SH2(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα]} SH3(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, bq⃗a+β aµ]} SH4(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+β aµ]} SH5(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, bq⃗a+η aα]} SH6(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα]} SH7(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗ ′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, bq⃗a+β aµ]} SH8(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+β aµ]} SH9(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+η aα]} SH10(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+η aα]} SH11(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+β aµ]} SH12(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+β aµ]} SH13(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+η aα]} SH14(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+η aα]} SH15(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗ ′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+β aµ]} SH16(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+β aµ]} P.28 Trong (P.86) có 16 số hạng, trong đó có 8 số hạng chứa hoặc 2 toán tử sinh phonon hoặc 2 toán tử hủy phonon, đó là SH1(P.86), SH3(P.86), SH6(P.86), SH8(P.86), SH9(P.86), SH11(P.86), SH14(P.86), SH16(P.86). Tám số hạng này sẽ cho đóng góp bằng 0 vì trị trung bình của hai toán tử cùng sinh phonon hoặc cùng hủy phonon bằng không. Thật vậy, chẳng hạn từ (P.86) ta chứng minh với SH1(P.86), áp dụng khai triển giao hoán tử, ta có TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, bq⃗a+η aα]} = TR{ρd(bq⃗′ [a+η′aβ, bq⃗a+η aα] + [bq⃗′ , bq⃗a+η aα]a+η′aβ)} = TR{ρdbq⃗′ bq⃗[a+η′aβ, a+η aα]}+ TR{ρd[bq⃗′ , bq⃗]a+η aαa+η′aβ} = TR{ρdbq⃗′ bq⃗}TR{ρd(a+η′aαδβ,η − a+η aβδη′ ,α)} = 0. (P.87) Trong tám số hạng còn lại có bốn số hạng cho đóng góp bằng không đó là SH2(P.86), SH5(P.86), SH12(P.86), SH15(P.86). Thật vậy, ta chứng minh với SH2(P.86) TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα]} = TR{ρd(bq⃗′ [a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα] + [bq⃗′ , b+q⃗ a+η aα]a+η′aβ)} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ [a+η′aβ, a+η aα]}+ TR{ρd[bq⃗′ , b+q⃗ ]a+η aαa+η′aβ} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ (a+η′aαδβ,η − a+η aβδη′ ,α)}+ TR{ρda+η aαa+η′aβδq⃗′ ,q⃗} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ a+η′aαδβ,η} − TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ a+η aβδη′ ,α}+ TR{ρda+η aαa+η′aβδq⃗′ ,q⃗} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ }TR{ρda+η′aα}δβ,η − TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ }TR{ρda+η aβ}δη′ ,α + TR{ρda+η aαa+η′aβδq⃗′ ,q⃗} = (1 +Nq⃗)δq⃗,q⃗′fη′δβ,ηδη′ ,α − (1 +Nq⃗)δq⃗,q⃗′fηδη′,αδη,β + fηδη,β(1− fαδη′,αδq⃗′ ,q⃗) = 0. Vì η ̸= β nên δη,β = 0 Đối với 4 số hạng còn lại khác 0, ta tính cụ thể cho một số hạng rồi suy ra tương tự cho các số hạng còn lại. Theo Phụ lục 19, ta có SH4(P.86) = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+β aµ]} = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd(bq⃗′a+η′aβb+q⃗ a+β aµ − b+q⃗ a+β aµbq⃗′a+η′aβ)} = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd(bq⃗′ b+q⃗ a+η′aβa+β aµ − b+q⃗ bq⃗′a+β aµa+η′aβ)} P.29 = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ a+η′aβa+β aµ} − TR{ρdb+q⃗ bq⃗′a+β aµa+η′aβ}] = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ }TR{ρda+η′aβa+β aµ} − TR{ρdb+q⃗ bq⃗′}TR{ρda+β aµa+η′aβ}] = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)δq⃗,q⃗′fη′δη′ ,µ(1− fβ)δβ,β −Nq⃗δq⃗,q⃗′fβδβ,β(1− fη′ )δη′ ,µ] = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)fη′ (1− fβ) −Nq⃗fβ(1− fη′ )]δq⃗,q⃗′δβ,βδη′ ,µ = − ∑ q⃗,µ Cµ,α(q⃗)Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)fµ(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fµ)], Tính tương tự cho SH7(P.86), SH10(P.86) và SH13(P.86), ta được SH7(P.86) = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, bq⃗a+β aµ]} = − ∑ q⃗,µ Cµ,α(q⃗)Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)[Nq⃗fµ(1− fβ)− (1 +Nq⃗)fβ(1− fµ)], SH10(P.86) = − ∑ µ′ ,q⃗′ ,η,q⃗ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+η aα]} = − ∑ η,q⃗ Cβ,η(q⃗)Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)[(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)], SH13(P.86) = − ∑ µ′ ,q⃗′ ,η,q⃗ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+η aα]} = − ∑ η,q⃗ Cβ,η(q⃗)Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)[Nq⃗fα(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fα)]. Từ kết quả tính toán được, ta có (fβ − fα)~Γαβ0 (ω¯) =− ∑ q⃗,µ |Cα,µ(q⃗)|2G(−)β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)fµ(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fµ)] − ∑ q⃗,µ |Cα,µ(q⃗)|2G(+)β,µ(q⃗)[Nq⃗fµ(1− fβ)− (1 +Nq⃗)fβ(1− fµ)] − ∑ η,q⃗ |Cη,β(q⃗)|2G(−)η,α(q⃗)[(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)] − ∑ η,q⃗ |Cη,β(q⃗)|2G(+)η,α(q⃗)[Nq⃗fα(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fα)]. (P.88) P.30 Thay (P.85) vào (P.88), sau đó nhóm các số hạng lại, ta được Γαβ0 (ω¯) = 1 ~(fβ − fα) × {∑ q⃗,µ |Cα,µ(q⃗)|2[ (1 +Nq⃗)fβ(1− fµ)~ω¯ − Eβ,µ + ~ωq⃗ − Nq⃗fµ(1− fβ) ~ω¯ − Eβ,µ + ~ωq⃗ −(1 +Nq⃗)fµ(1− fβ) ~ω¯ − Eβ,µ − ~ωq⃗ + Nq⃗fβ(1− fµ) ~ω¯ − Eβ,µ − ~ωq⃗ ] + ∑ q⃗,η |Cη,β(q⃗)|2[ (1 +Nq⃗)fη(1− fα)~ω¯ − Eη,α + ~ωq⃗ − Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯ − Eη,α + ~ωq⃗ −(1 +Nq⃗)fα(1− fη) ~ω¯ − Eη,α − ~ωq⃗ + Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯ − Eη,α − ~ωq⃗ ] } . Phụ lục 21 Chứng minh rằng 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = (fβ − fα)δξβδδαδϵγ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) − (fβ − fα)δγβδϵαδξδ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) . (P.89) Từ định nghĩa trung bình trong bài toán phi tuyến, ta có 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[a+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]} = TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1a+ξ aδ, a+αaβ]}δϵγ − TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1a+γ aϵ, a+αaβ]}δξδ. (P.90) So sánh các số hạng trong (P.90) với (1.66) ta thấy có dạng của biểu thức Λαβ(ω¯), trong đó thay ω¯ bởi ω¯2, ξ(γ) và δ(ϵ) trong số hạng 1(2) lần lượt bởi γ và δ. Trong phần độ dẫn tuyến tính ta đã tìm được biểu thức cuối cùng của Λαβ(ω¯), Γ αβ 0 (ω¯) và 〈a+γ aδ〉αβ ở phương trình (1.88), (1.90) và (1.91) lần lượt như sau Λαβ(ω¯) = 〈a+γ aδ〉αβ ~ω¯ − Eγδ − ~Γαβ0 (ω¯) , (P.91) Γαβ0 (ω¯) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ, (P.92) 〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρd[a + γ aδ, a + αaβ] } = (fβ − fα)δα,δδγ,β. (P.93) Thay (P.93) vào (P.92), sau đó lấy tổng theo γ và δ, ta được Γαβ0 (ω¯) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+β aα] } /[~(fβ − fα)]. (P.94) Vậy 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = 〈a+ξ aδ〉αβδϵγ ~ω¯2 − Eξδ − ~Γαβ0 (ω¯2) − 〈a + γ aϵ〉αβδξδ ~ω¯2 − Eγϵ − ~Γαβ0 (ω¯2) (P.95) P.31 = (fβ − fα)δξβδδαδϵγ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) − (fβ − fα)δγβδϵαδξδ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) . (P.96) Trong đó ta đã áp dụng kết quả tính trung bình 〈a+γ aδ〉αβ = (fβ − fα)δδαδγβ ở phương trình (1.91) và biểu thức của Γαβ0 (ω¯2) có dạng được cho bởi (1.93). Phụ lục 22 Cần chứng minh rằng TR{ρeq[[LeqX,A], B]} = TR{ρeq[[LeqA,X], B]}+ TR{ρeq[LeqB, [X,A]]}. (P.97) Khai triển các số hạng ở vế phải, ta được V P1 = TR{ρeq[[LeqA,X], B]} = TR{ρeq[[[Heq, A], X], B]} = TR{ρeqHeqAXB − ρeqAHeqXB − ρeqXHeqAB + ρeqXAHeqB − ρeqBHeqAX + ρeqBAHeqX + ρeqBXHeqA− ρeqBXAHeq}, V P2 = TR{ρeq[LeqB, [X,A]]} = TR{ρeq[[Heq, B], [X,A]} = TR{ρeqHeqBXA− ρeqXAHeqB − ρeqHeqBAX + ρeqAXHeqB − ρeqBHeqXA+ ρeqXABHeq + ρeqBHeqAX − ρeqAXBHeq}. Cộng V P1 và V P2, giản ước các số hạng, ta được V P = TR{−ρeqAHeqXB − ρeqXHeqAB + ρeqBAHeqX − ρeqBXAHeq − ρeqHeqBAX + ρeqAXHeqB − ρeqBHeqXA+ ρeqXABHeq}. Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết, [ρeq, Heq] = 0 để biến đổi số hạng thứ năm và tám rồi sắp xếp lại các số hạng, ta được V P = TR{ρeqHeqXAB − ρeqXHeqAB − ρeqAHeqXB + ρeqAXHeqB − ρeqBHeqXA+ ρeqBXHeqA+ ρeqBAHeqX − ρeqBAXHeq} = TR{ρeq[(HeqX −XHeq)A− A(HeqX −XHeq), B]} = TR{ρeq[[[(Heq, X], A], B]} = TR{ρeq[[(LeqX,A], B]} = V T. (P.98) Phụ lục 23 Từ hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy phonon (b1, b2) và hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy điện tử (a1, a2, a3, a4) ta tìm được biểu thức khai triển giao hoán tử như sau: [b1a1a2, b2a3a4] = b1[a1a2, b2a3a4] + [b1, b2a3a4]a1a2 = b1b2[a1a2, a3a4] + b1[a1a2, b2]a3a4 + b2[b1, a3a4]a1a2 + [b1, b2]a3a4a1a2 = b1b2[a1a2, a3a4] + [b1, b2]a3a4a1a2 (P.99) P.32 Phụ lục 24 Ta tính giá trị của G11− 3.2, với G11− 3.2 = ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b+−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/(~ω¯12 −Eβη + ~ωq⃗). (P.100) Áp dụng biểu thức khai triển trong Phụ lục 9 và 23, ta có [bq⃗a + β aη, b + −ℓa + ν aα] = [bq⃗, b + −ℓ]a + β aηa + ν aα + b + −ℓbq⃗[a + β aη, a + ν aα] = a+β aηa + ν aαδq⃗,−ℓ + b + −ℓbq⃗a + β aαδνη − b+−ℓbq⃗a+ν aηδβα. (P.101) Do xét quá trình chuyển mức giữa các mức α, β, η nên δβα = 0. [[bq⃗a + β aη, b + −ℓa + ν aα], a + αaβ] = a + β aβa + ν aαδηαδq⃗,−ℓ − a+αaηa+ν aαδq⃗,−ℓ + a+β aηa+ν aβδq⃗,−ℓ − a+β aβa+αaαδνβδq⃗,−ℓ + b+−ℓbq⃗a+β aβδνη − b+−ℓbq⃗a+αaαδνη. (P.102) G11− 3.2 = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ [0− fα(1− fη) + fβ(1− fη)− 0 +Nq⃗fβ −Nq⃗fα] = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]− [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]}, (P.103) trong đó ta đã cộng trừ vào vế phải một lượng. Phụ lục 25 Biểu thức của các hàm suy giảm phi tuyến Để biến đổi các số hạng V1αβ(ω¯12) và V2αβ(ω¯12) trong Γ αβγ 1 (ω¯12) và Γ αβδ 2 (ω¯12) cụ thể hơn, ta thay Q = 1 − P , áp dụng đẳng thức (AB) để khai triển, sau đó thay Leq = Ld + Lv và áp dụng đẳng thức (AB) lần nữa, (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aη = (~ω¯12 − Leq)−1Lva+ξ aη − (~ω¯12 − Leq)−1LeqP1(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aη = (~ω¯12 − Ld − Lv)−1Lva+ξ aη − 0 = (~ω¯12 − Ld)−1Lva+ξ aη + (~ω¯12 − Ld)−1Lv(~ω¯12 − Leq)−1Lva+ξ aη = (~ω¯12 − Ld)−1Lva+ξ aη, P.33 trong đó ta đã bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc lớn hơn hai của V hay Lv. Thay vào các biểu thức của V1αβ(ω¯12) và V2αβ(ω¯12), ta suy ra Γαβγ1 (ω¯12)(fα − fβ) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ, Lva+γ aα], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ, a+γ aα], Lva+αaβ]}, = G11(P.104) +G12(P.104), (P.104) Γαβδ2 (ω¯12)(fα − fβ) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+δ aα, Lva+β aδ], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+δ aα, a+β aδ], Lva+αaβ]} = G21(P.105) +G22(P.105). (P.105) Tính số hạng G11(P.104): Bầy giờ ta tính các giao hoán tử và trị trung bình trong các số hạng. Sử dụng các biểu thức toán tử trong các Phụ lục 21, 22, 23 như ở phần tuyến tính, ta có các khai triển (~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ = ∑ η,q⃗ Cηβ(q⃗) bq⃗a + η aγ (~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗) + ∑ η,q⃗ Cηβ(q⃗) b+−q⃗a + η aγ ~ω¯12 − Eηγ − ~ω−q⃗ − ∑ η,q⃗ Cγη(q⃗) bq⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − ∑ η,q⃗ Cγη(q⃗) b+−q⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη − ~ω−q⃗ Lva + γ aα = ∑ ℓ,ν (bℓ + b + −ℓ)(Cνγ(ℓ)a + ν aα − Cαν(ℓ)a+γ aν). (P.106) Thay các biểu thức toán tử này vào biểu thức của G11(P.104) và để viết gọn hơn ta đặt ký hiệu cho các biểu thức ở mẫu số Ma(±) ≡ ~ω¯12 − Eηγ ± ~ωq⃗, Mb(±) ≡ ~ω¯12 − Eβη ± ~ω−q⃗, (P.107) ta có G11(P.104) = ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, bℓa+ν aα], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.1) + ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, b−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.2) − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, bℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.3) − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, b−ℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.4) +G11− 2.1 +G11− 2.2 +G11− 2.3 +G11− 2.4 − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, bℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.1) − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.2) P.34 + ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, bℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.3) + ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b−ℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.3) +G11− 4.1 +G11− 4.2 +G11− 4.3 +G11− 4.4. Trong đó G11-2.1, G11-2.2, G11-2.3 và G11-2.4 (G11-4.1, G11-4.2, G11-4.3 và G11-4.4) lần lượt bằng G11-1.1, G11-1.2, G11-1.3 và G11-1.4 (G11-3.1, G11-3.2, G11- 3.3 và G11-3.4) nhưng thay bq⃗ bởi b + −q⃗ và Ma(+) (Mb(+)) bởi Ma(−) (Mb(−)). Biểu thức của G11(P.104) có tất cả mười sáu số hạng, trong đó có tám số hạng G11-1.1, G11-1.3, G11-2.2, G11-2.4, G11-3.1, G11-3.3, G11-4.2 và G11-4.4 bằng không. Mỗi số hạng đó chứa hoặc hai toán tử sinh phonon hoặc hai toán tử hủy phonon nên giao hoán tử và lấy trung bình thống kê đều bằng không. Trong tám số hạng còn lại chỉ có hai số hạng cho đóng góp khác không là G11-3.2 và G11-4.1 (Phụ lục 24), G11− 3.2 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(+) = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗)/M4(+){[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη −Nq⃗fη(1− fβ)] − [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]}, G11− 4.1 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[b+−q⃗a+β aη, bℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(−) = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗)/M4(−){[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)] − [(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]}, các số hạng còn lại đều cho đóng góp bằng không (tính toán hoàn toàn tương tự các số hạng khác không). Vậy G11 = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) × {(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ + (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ } . Tính số hạng G12(P.104): Thay (P.106) vào (P.104), ta được G12(P.104) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ, a+γ aα], Lva+αaβ]} = TR{ρeq[[ ∑ q⃗,η (Cηβ(q⃗) bq⃗a + η aγ ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ + Cηβ(q⃗) b+−q⃗a + η aγ ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − Cγη(q⃗) bq⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − Cγη(q⃗) b+−q⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ ), a + γ aα],∑ ℓ,ν (bℓ + b + −ℓ)(Cνα(ℓ)a + ν aβ − Cβν(ℓ)a+αaν)]}. P.35 Khai triển các giao hoán tử ta được 32 số hạng nhưng chỉ có hai số hạng cho đóng góp khác không là SH1.4 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cβν(ℓ) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗TR{ρeq[bq⃗a + η aα, b + −ℓa + αaν ]} = − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)], SH3.3 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cβν(ℓ) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗TR{ρeq[b + −q⃗a + η aα, bℓa + αaν ]} = − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]. Vậy G12 = − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗){(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ }. Hàm suy giảm phi tuyến bậc một nhận được bằng cách thay các biểu thức của G11 và G12 vào (P.104), Γαβγ1 (ω¯12) = ∑ q⃗ ∑ η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ + (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ } − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ } . (P.108) Biểu thức (P.108) là biểu thức của một hàm suy giảm phi tuyến Γαβγ1 (ω¯12) suy ra từ biểu thức (P.104). Hàm suy giảm Γαβδ2 (ω¯12) cho bởi (P.105) cũng có dạng tương tự như (P.104). Do đó, ta có thể áp dụng quá trình tính toán tương tự như đối với Γαβγ1 (ω¯12) để lần lượt tìm các biểu thức của G21 và G22 rồi thay vào (P.105), ta nhận được Γαβδ2 (ω¯12) = ∑ q⃗ ∑ η Cηδ(q⃗)Cδη(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eηα + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηα + ~ωq⃗ P.36 + (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eηα − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eηα − ~ωq⃗ } + ∑ q⃗ ∑ η Cαη(q⃗)Cηα(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eδη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eδη + ~ωq⃗ } . Phụ lục 26 Yếu tố ma trận jαβz trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn jαβz = 〈α|jz|β〉 = 2 V0 〈eik⃗α⊥r⃗⊥ sin(nαpi Lz z + nαpi 2 )|ie~ m∗ ∂ ∂z |eik⃗β⊥r⃗⊥ sin(nβpi Lz z + nβpi 2 )〉 (P.109) = 2 V0 ie~ m∗ ∫ ∞ −∞ dr⃗⊥ei(k⃗ β ⊥−k⃗α⊥)r⃗⊥ ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ) nβpi Lz = 2 V0 ie~ m∗ 2piδkβ⊥,kα⊥ ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ) nβpi Lz = 4pi2nβie~ m∗LzV0 δkβ⊥,kα⊥ × I, (P.110) trong đó I = ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ). Khi nα ̸= nβ I = 1 2 ∫ Lz/2 −Lz/2 dz { sin [(nα + nβ)pi Lz z + (nα + nβ)pi 2 ] + sin [(nα − nβ)pi Lz z + (nα − nβ)pi 2 ]} = 1 2 { − Lz (nα + nβ)pi cos [(nα + nβ)pi Lz z + (nα + nβ)pi 2 ]|Lz/2−Lz/2 − Lz (nα − nβ)pi cos [(nα − nβ)pi Lz z + (nα − nβ)pi 2 ]|Lz/2−Lz/2} = 1 2 { − Lz (nα + nβ)pi cos(nα + nβ)pi + Lz (nα + nβ)pi cos 0 − Lz (nα − nβ)pi cos(nα − nβ)pi + Lz (nα − nβ)pi cos 0 } = 1 2 { − Lz (nα + nβ)pi (−1)nα+nβ + Lz (nα + nβ)pi − Lz (nα − nβ)pi (−1) nα−nβ + Lz (nα − nβ)pi } = Lz 2pi [1− (−1)nα+nβ nα + nβ + 1− (−1)nα−nβ nα − nβ ] . (P.111) P.37 Khi nα = nβ I = ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ) = 1 2 ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( 2nαpi Lz z + nαpi) = 1 2 [− Lz 2nαpi cos( 2nαpi Lz z + nαpi)|Lz/2−Lz/2 ] = − Lz 4nαpi (cos 2nαpi − cos 0) = 0. (P.112) Kết hợp (P.110), (P.111) và (P.112) ta được jαβz = i 2pie~nβ m∗V0 [1− (−1)nα+nβ nα + nβ + 1− (−1)nα−nβ nα − nβ ] δkβ⊥,kα⊥ , nβ ̸= nα 0, nβ = nα. (P.113) Phụ lục 27 Yếu tố ma trận jαβz trong giếng lượng tử thế parabol jαβz = 〈α|jz|β〉 = 〈kα⊥, nα| ie~ m ∂ ∂z |kβ⊥, nβ〉 = ie~ m 〈kα⊥|kβ⊥〉〈nα| ∂ ∂z |nβ〉 = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ 〈nα| ∂ ∂z |nβ〉, (P.114) bây giờ ta tính ∂ ∂z |nβ〉 = ∂ ∂z [( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 exp(− z 2 2a2z )Hnβ( z az ) ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2[− z a2z exp(− z 2 2a2z )Hnβ( z az ) + exp(− z 2 2a2z ) ∂ ∂z Hnβ( z az ) ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2[− z a2z exp(− z 2 2a2z )Hnβ( z az ) + exp(− z 2 2a2z )H ′nβ( z az ) 1 az ] , (P.115) đặt u = z az ⇒ z = uaz, khi đó (P.115) được viết lại ∂ ∂z |nβ〉 = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2[− 1 az exp(−u 2 2 )uHnβ(u) + exp(− u2 2 )H ′nβ(u) 1 az ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 ) [− uHnβ(u) +H ′nβ(u)], (P.116) áp dụng [17] Hn+1(u) = 2uHn(u)− 2nHn−1(u)⇒ uHn(u) = 1 2 Hn+1(u) + nHn−1(u), H ′n(u) = 2nHn−1(u), P.38 lúc này (P.116) được viết lại ∂ ∂z |nβ〉 = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 ) [− 1 2 Hnβ+1(u) + nβHnβ−1(u) ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 )nβHnβ−1(u) − ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 ) 1 2 Hnβ+1(u) = ( 1 22nβ−1nβ(nβ−1)! √ piaz )1/2 nβ 1 az exp(−u 2 2 )Hnβ−1(u) − ( 1 2−12nβ+1(nβ + 1)−1(nβ + 1)! √ piaz )1/2 1 2az exp(−u 2 2 )Hnβ+1(u) = √ nβ 2 1 az ( 1 2nβ−1(nβ−1)! √ piaz )1/2 exp(−u 2 2 )Hnβ−1(u) − √ nβ + 1 2 1 az ( 1 2nβ+1(nβ + 1)! √ piaz )1/2 exp(−u 2 2 )Hnβ+1(u) = √ nβ 2 1 az |nβ − 1〉 − √ nβ + 1 2 1 az |nβ + 1〉, (P.117) thay (P.117) vào (P.114), ta thu được jαβz = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ 〈nα| ∂ ∂z |nβ〉 = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ 〈nα| √ nβ 2 1 az |nβ − 1〉 − √ nβ + 1 2 1 az |nβ + 1〉 = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ (√ nβ 2 1 az 〈nα|nβ − 1〉 − √ nβ + 1 2 1 az 〈nα|nβ + 1〉 ) = ie~ maz δkα⊥,k β ⊥ (√ nβ 2 δnα,nβ−1 − √ nβ + 1 2 δnα,nβ+1 ) . (P.118) Phụ lục 28 Phần thực của tenxơ độ dẫn σzz(ω) = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω¯ − Eβα − ~Γαβ0 (ω¯) , (P.119) trong đó Γαβ0 (ω¯) = A αβ 0 (ω) + iB αβ 0 (ω). (P.120) Thay (P.120) vào (P.119), ta được σzz(ω) = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω¯ − Eβα − ~[Aαβ0 (ω) + iBαβ0 (ω)] = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω − Eβα − ~Aαβ0 (ω)− i~[Bαβ0 (ω) + ∆] . (P.121) P.39 Sử dụng điều kiện gần đúng Lorentz [24], ta bỏ qua đại lượng Aαβ0 (ω), khi đó (P.121) được viết lại như sau σzz(ω) = i ω ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω − Eβα − i~Bαβ0 (ω) . (P.122) Nhân tử và mẫu số của (P.122) với lượng liên hợp phức ~ω−Eβα+ i~Bαβ0 (ω), ta được σzz(ω) = i ω ∑ α,β |jαβz |2 (fβ − fα)[~ω − Eβα + i~Bαβ0 (ω)] (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 [ i(fβ − fα)(~ω − Eβα) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 − (fβ − fα)~B αβ 0 (ω) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 ] = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 [ (fα − fβ)~Bαβ0 (ω) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 + i(fβ − fα)(~ω − Eβα) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 ] , suy ra Re[σzz(ω)] = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 (fα − fβ)~Bαβ0 (ω) [~ω − (Eβ − Eα)]2 + [~Bαβ0 (ω)]2 . (P.123) P.40