Luận án Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: trường hợp liên môn toán – Vật Lí

– VẬT LÍ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn tốn Mã số : 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu. Các số liệu và kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác. Tác giả luận án Ngơ Minh Đức MỤC LỤC DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................. 1 1.1. Một số vấn đề đặt ra cho dạy học giải tích ...................................................... 1 1.2. Dạy học liên mơn Tốn và Vật lí, một xu hướng để khắc phục ...................... 3 1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức ............................................................................. 5 2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu ....................................................................... 6 2.1. Cách hiểu của người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân .................. 6 2.2. Nghiên cứu theo hướng dạy học đạo hàm và tích phân để hỗ trợ cho việc ứng dụng trong Vật lí ..................................................................................................... 9 2.3. Nghiên cứu về việc sử dụng Vật lí để hỗ trợ việc dạy học các khái niệm của Giải tích ................................................................................................................ 11 2.4. Các chương trình dạy học theo hướng liên mơn Giải tích với Vật lí ............ 12 2.5. Nghiên cứu về dạy học giải tích theo quan điểm liên mơn ở Việt Nam ....... 13 2.6. Kết luận và định hướng nghiên cứu .............................................................. 14 3. Cơ sở lí luận ....................................................................................................... 16 4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ....................................................................... 16 5. Giả thuyết khoa học .......................................................................................... 17 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 17 7. Những luận điểm cần bảo vệ ............................................................................ 18 8. Các đĩng gĩp mới của luận án ........................................................................ 18 9. Cấu trúc luận án ............................................................................................... 19 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................... 200 1.1. Liên mơn. Các mơ hình, chiến lược liên mơn Tốn và Khoa học ........... 20 1.1.1. Về khái niệm liên mơn ........................................................................... 20 1.1.2. Liên mơn Tốn và mơn khoa học: một số mơ hình và cách tiếp cận ..... 24 1.1.3. Ba chiến lược dạy học liên mơn Tốn – Khoa học ................................ 27 1.2. Về việc hiểu và ứng dụng một khái niệm tốn học .................................. 28 1.2.1. Hiểu khái niệm tốn học ........................................................................ 29 1.2.2. Ứng dụng khái niệm tốn học ................................................................ 31 1.2.3. Tiểu kết .................................................................................................. 32 1.3. Thuyết nhân học trong Didactic Tốn ...................................................... 33 1.3.1. Về thuyết nhân học ................................................................................ 33 1.3.2. Lý thuyết chuyển hĩa sư phạm .............................................................. 34 1.3.3. Phân tích tri thức luận ............................................................................ 36 1.3.4. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân ...................................................... 37 1.3.5. Tổ chức tri thức ...................................................................................... 39 1.4. Lý thuyết tình huống ................................................................................... 39 1.4.1. Những điểm đặc trưng của lý thuyết tình huống ................................... 39 1.4.2. Tình huống lí tưởng ............................................................................... 41 1.4.3. Biến dạy học .......................................................................................... 42 1.5. Đồ án dạy học .............................................................................................. 43 1.5.1. Khái niệm đồ án dạy học ....................................................................... 43 1.5.2. Các bước để xây dựng một đồ án dạy học ............................................. 44 1.6. Kết luận chương 1: những nghiên cứu cần triển khai ............................. 46 CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ NHÌN TỪ LỊCH SỬ .................................................... 50 2.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện ........................................ 50 2.2. Quan hệ gắn kết giữa Tốn học với Vật lí học trong lịch sử hình thành và tiến triển của đạo hàm, tích phân ..................................................................... 51 2.2.1. Thời kì cổ đại ......................................................................................... 51 2.2.2. Thời kì tiền Giải tích (sau Archimedes và trước Newton – Leibniz) .... 53 2.2.3. Cơ học cổ điển của Newton và vai trị cơng cụ của Giải tích ................ 58 2.2.4. Những đĩng gĩp của Giải tích vào sự phát triển sau đĩ của Vật lí ....... 62 2.3. Đặc trưng tri thức luận của đạo hàm và tích phân .................................. 63 2.3.1. Các bài tốn là động lực nảy sinh và tiến triển của đạo hàm, tích phân 63 2.3.2. Các nghĩa của hai khái niệm đạo hàm và tích phân ............................... 66 2.4. Kết luận chương 2 và những gợi ý sư phạm được rút ra ........................ 66 CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ QUAN ĐIỂM LIÊN MƠN GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ ............................... 70 3.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện ........................................ 70 3.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm đạo hàm nhìn từ định hướng liên mơn ................................................................................................... 71 3.2.1. Đạo hàm trong thể chế IVL ...................................................................... 71 3.2.2. Đạo hàm trong thể chế IT........................................................................ 75 3.3. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tích phân nhìn từ định hướng liên mơn ................................................................................................... 80 3.3.1. Tích phân trong thể chế IVL .................................................................... 81 3.3.2. Tích phân trong thể chế IT ...................................................................... 88 3.4. Kết luận chương 3: mối quan hệ liên mơn Tốn – Vật lí trong việc dạy học hai khái niệm đạo hàm và tích phân .......................................................... 95 CHƯƠNG 4. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM ......................................................... 97 4.1. Cơ sở đề xuất giải pháp ............................................................................... 97 4.1.1. Cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm, tích phân ............................... 98 4.1.2. Ứng dụng khái niệm đạo hàm, tích phân trong Vật lí .......................... 102 4.1.3. Vận dụng các chiến lược liên mơn Tốn – Khoa học trong dạy học khái niệm đạo hàm, tích phân ................................................................................ 105 4.1.4. Sự liên mơn thể hiện trong chuyển hĩa sư phạm hai tri thức đạo hàm, tích phân ................................................................................................................ 107 4.2. Các giải pháp sư phạm .............................................................................. 109 4.2.1. Nhĩm 1: Nhĩm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ hơn cho người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân .......................................................... 110 4.2.2. Nhĩm 2: Nhĩm giải pháp nhằm tăng cường vai trị cơng cụ của đạo hàm và tích phân và giúp người học ứng dụng hiệu quả chúng trong các vấn đề của Vật lí ............................................................................................................... 114 CHƯƠNG 5. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................ 126 5.1. Đồ án dạy học khái niệm đạo hàm ........................................................... 126 5.1.1. Mục tiêu xây dựng đồ án ...................................................................... 126 5.1.2. Các giải pháp được vận dụng ............................................................... 127 5.1.3. Các phân tích ban đầu .......................................................................... 128 5.1.4. Các bài tốn cơ sở của đồ án ............................................................... 130 5.1.5. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 133 5.1.6. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 140 5.1.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm đạo hàm ....................... 149 5.2. Đồ án dạy học khái niệm tích phân ......................................................... 149 5.2.1. Mục tiêu xây dựng đồ án ..................................................................... 149 5.2.2. Các giải pháp được vận dụng............................................................... 150 5.2.3. Các phân tích ban đầu .......................................................................... 151 5.2.4. Các bài tốn cơ sở của đồ án ............................................................... 155 5.2.5. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 158 5.2.6. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 172 5.2.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm tích phân...................... 189 5.4. Kết luận chương 5 ..................................................................................... 189 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN ............................................................................... 191 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ......................................... 194 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 195 CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ DH Dạy học GT Giải tích GV Giáo viên HS Học sinh LM Liên mơn SGK Sách giáo khoa SV Sinh viên TN Thực nghiệm tr Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Kiểu nhiệm vụ vật lí cĩ sử dụng cơng cụ tích phân....93 Bảng 5.1. Thống kê kết quả bài tốn 2a144 Bảng 5.2. Kết quả cuộc thi ở pha 4..145 Bảng 5.3. Khung lý thuyết của tích phân trong ngữ cảnh vật lí...153 Bảng 5.4. Khung lý thuyết về đa biểu diễn của tích phân....162 Bảng 5.5. Kết quả TN bài tốn 1 và 2......174 Bảng 5.6. Kết quả các chiến lược giải xuất hiện trong bài tốn 6182 DANH MỤC HÌNH ẢNH, SƠ ĐỒ Sơ đồ 1.1. Ba mắt xích của quá trình chuyển hĩa sư phạm35 Sơ đồ 1.2. Tình huống lí tưởng..43 Hình 1.1. Những lựa chọn trong việc tích hợp Tốn và Khoa học26 Hình 2.1. Tính diện tích tam giác Parabol.52 Hình 2.2. Stevin xác định trọng tâm tam giác.54 Hình 2.3. Oresme mơ tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc.55 Hình 2.4. Quãng đường trong chuyển động nhanh dần đều55 Hình 2.5. Đồ thị vận tốc theo thời gian của Oresme..56 Hình 2.6. Cơng của lực biến đổi.63 Hình 2.7. Bài tốn xác định tiếp tuyến...64 Hình 4.1. Khung của Zandieh cho khái niệm đạo hàm.98 Hình 4.2. Mơ hình cách hiểu khái niệm đạo hàm .99 Hình 4.3. Khung lý thuyết về khái niệm tích phân của Habineza100 Sơ đồ 5.1. Tĩm tắt chuỗi tình huống DH tích phân trong ngữ cảnh vật lí..154 Hình 5.1. Lời giải bài tốn 1 của nhĩm 4.141 Hình 5.2. Lời giải bài tốn 1 của nhĩm 1141 Hình 5.3. Lời giải bài tốn 1’ của nhĩm 4.143 Hình 5.4. Lời giải bài tốn 3 của nhĩm 5.147 Hình 5.5. Lời giải bài tốn 2 của nhĩm 1174 Hình 5.6. Lời giải bài tốn 2 của nhĩm 3175 Hình 5.7. Lời giải bài tốn 3 của nhĩm 2177 Hình 5.8. Lời giải bài tốn 4 của nhĩm 1178 Hình 5.9. Lời giải bài tốn 5 của nhĩm 5180 Hình 5.10. Lời giải bài tốn 6 của nhĩm 5..183 Hình 5.11. Lời giải bài tốn 6 của nhĩm 1..183 Hình 5.12. Lời giải bài tốn 6 của nhĩm 6..184 Hình 5.13. Lời giải bài tốn 7 của nhĩm 1..186 Hình 5.14. Lời giải bài tốn 8 của nhĩm 1..187 1 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Một số vấn đề đặt ra cho dạy học giải tích Giải tích (GT) luơn được xem là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của trí tuệ lồi người. Nĩ khơng chỉ chứa đựng những ý tưởng lớn làm thay đổi tốn học mà cịn đem đến một sức mạnh thực tiễn to lớn thể hiện qua các ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực. Điều này giải thích cho sự cơng nhận rộng rãi của các nhà nghiên cứu giáo dục về vai trị quan trọng của dạy học (DH) GT trong nhà trường ở cả bậc phổ thơng lẫn đại học. Mỗi khái niệm tốn học nĩi chung và GT nĩi riêng đều cĩ hai mặt là đối tượng và cơng cụ, vì thế hai mục tiêu cơ bản thường được bàn đến trong DH là làm cho học sinh (HS) hiểu khái niệm và sử dụng được nĩ như một cơng cụ. Tuy nhiên, do sự trừu tượng của các khái niệm GT mà mục tiêu “hiểu” chúng cĩ lúc bị việc DH bỏ qua. Cĩ lẽ vì thế mà Hội nghị cải cách giáo dục tổ chức ở đại học Tulane năm 1986 đã xác định “hiểu khái niệm” là một mục tiêu trọng tâm của DH GT (Douglas, 1986). Kể từ đĩ, mục tiêu này luơn nhận được sự quan tâm của cộng đồng giáo dục tốn. Đối với mục tiêu cịn lại, trong vài thập kỉ gần đây nhiều nhà nghiên cứu giáo dục kêu gọi DH Tốn dành sự quan tâm lớn hơn cho ứng dụng của GT vào các ngữ cảnh ngồi tốn học. Theo các nhà nghiên cứu, điều đĩ trước hết mang lại động cơ thực tiễn cho việc học GT và giúp người học sử dụng được GT trong các lĩnh vực khác. Rồi chính việc làm chủ được những ứng dụng đĩ lại giúp người học hiểu một cách sâu sắc và đầy đủ hơn các khái niệm GT vốn rất trừu tượng. Tuy nhiên, trong thực tế, nếu nhìn từ hai mục tiêu nĩi trên thì việc DH GT ở trường Trung học phổ thơng (THPT) hiện nay phải đối mặt với nhiều vấn đề. Dưới đây là những vấn đề cơ bản đã được cộng đồng các nhà nghiên cứu chỉ ra. 1.1.1. Người học thành thạo tính tốn nhưng khơng hiểu được các khái niệm và kĩ thuật của giải tích Ở chương trình DH Tốn phổ thơng, hai trong số những bước chuyển quan trọng mà HS phải trải qua, đĩ là từ Số học vào Đại số và từ Đại số vào GT. Ở mỗi bước chuyển HS đều phải đối diện với những khĩ khăn. Nhưng khĩ khăn ở hai bước chuyển này khơng giống nhau. Bước chuyển thứ nhất làm nảy sinh ở HS nhiều sai lầm liên quan đến sự khái quát hĩa (các tính chất, quy tắc tính tốn trên các số cho các biểu thức đại số). 2 Tuy nhiên, bản chất hữu hạn và rời rạc của đối tượng vẫn khơng thay đổi và vì thế phương pháp nghiên cứu khơng cĩ quá nhiều sự khác biệt. Điều này khơng cịn đúng ở bước chuyển từ Đại số vào GT. GT nghiên cứu các đại lượng, các quá trình vơ hạn, biến thiên liên tục, và phải sử dụng những phương pháp và kĩ thuật khác hẳn với Đại số như chia nhỏ, lập tổng vơ hạn, xấp xỉ, đĩng khung (chặn trên, chặn dưới). Nhiều nghiên cứu cho thấy những khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân và các kĩ thuật của GT khĩ hiểu khơng chỉ với HS phổ thơng mà thậm chí cịn cả với sinh viên (SV) đại học (Orton, 1983a; 1983b; Tall, 1993). Mặc dù vậy các phép tốn lấy giới hạn hay tính tốn đạo hàm và tích phân lại cĩ thể được thực hiện theo những quy trình đại số mà khơng bắt buộc phải hiểu khái niệm một cách đầy đủ. Ở điểm này, Doorman và Van Maanen (2008) nhận định rằng “GT là một trong những chủ đề tốn học mà những thao tác thuật tốn trên các kí hiệu thì dễ dàng hơn việc hiểu thấu bản chất khái niệm” (tr. 4). Những ghi nhận nĩi trên đã dẫn đến một xu hướng khá phổ biến trong DH GT ở bậc THPT – xu hướng đại số hố GT. Theo xu hướng này, người ta khơng chú trọng vào yêu cầu hiểu khái niệm mà chỉ tập trung vào các tính tốn đại số (theo quy tắc, chẳng hạn như đạo hàm của hàm hợp hay tích phân từng phần), nhằm mục đích tránh cho HS phải đương đầu với những khĩ khăn của phương pháp GT. Dù cĩ thể giúp người học thành thạo trong tính tốn hay giải quyết những dạng tốn theo quy trình cĩ sẵn, xu hướng DH này vẫn vấp phải sự phê phán từ nhiều nhà giáo dục tốn học. Họ cho rằng đĩ khơng phải là DH GT, bởi lẽ người học cĩ thể khơng thật sự hiểu được ý nghĩa và cấu trúc của các khái niệm cũng như những kĩ thuật mà mình đang sử dụng. Zandieh (2000) đưa ra thuật ngữ “giả khái niệm” để nĩi về điều này. Tall (1993) cũng cho rằng việc hạ thấp cách hiểu khái niệm xuống thành các kĩ thuật tính tốn đại số là một sự đánh tráo vấn đề trong DH GT. Đĩ là cịn chưa nĩi kiểu DH này cĩ thể dẫn HS đến việc thao tác trên các đối tượng vơ hạn như với các đối tượng hữu hạn của Đại số, từ đĩ phạm phải nhiều sai lầm. Nhiều cơng trình nghiên cứu ở các nền giáo dục khác nhau trên thế giới đã xác nhận một sự hiểu biết khơng đầy đủ của cả HS phổ thơng lẫn SV đại học về các khái niệm của GT, dù các em thể hiện sự thành thạo đáng kể trong các nhiệm vụ tính tốn (Orton, 1983a; 1983b; Bezuidenhout, 1998; Bezuidenhout và Olivier, 2000; Jones, 2015a; 2015b; Wagner, 2017). 3 1.1.2. Người học khơng vận dụng được kiến thức giải tích trong ngữ cảnh ngồi tốn học, nĩi riêng là ngữ cảnh vật lí GT cĩ một sức mạnh thực tiễn to lớn. Điều này thể hiện ở những ứng dụng đa dạng và hiệu quả của nĩ trong thực tế và nhiều lĩnh vực khoa học, đặc biệt là Vật lí, vốn cĩ mối liên hệ mật thiết nhất với GT trong suốt lịch sử. Thậm chí theo Kleiner (2001) thì GT là “cơng cụ định lượng chủ yếu cho việc nghiên cứu các vấn đề khoa học trong ba thế kỉ gần đây () mà nếu khơng cĩ nĩ thì Vật lí và kĩ thuật hiện đại sẽ khơng thể tồn tại” (tr. 138). Vì thế, việc DH GT khơng thể chỉ tập trung vào nhiệm vụ giải các bài tốn tốn học thuần tuý mà bỏ qua cơ hội giúp người học thấy được vai trị cơng cụ quan trọng của GT trong Vật lí. Từ điểm này, nhiều nghiên cứu lại cho thấy người học gặp khĩ khăn khi vận dụng kiến thức GT mà mình được học ở lớp học tốn để giải quyết các nhiệm vụ của Vật lí. Chẳng hạn, theo điều tra của Redish et al. (1996) thì nhiều SV mặc dù cĩ thể sử dụng kiến thức GT để giải quyết thành cơng các vấn đề tốn học nhưng lại khơng thể làm được điều tương tự trong ngữ cảnh vật lí. Nghiên cứu của Jones (2010, 2015a) xác nhận rằng dường như kiến thức tốn của người học đã khơng được kích hoạt thành cơng trong các lớp học khoa học. Vấn đề khơng hẳn là ở sự thiếu hụt kiến thức. Chẳng hạn, như Bajracharya và Thompson (2014), hay Ngơ Minh Đức (2019), đã chỉ ra, kể cả khi cĩ đầy đủ kiến thức tốn và vật lí cần thiết, người học vẫn gặp khĩ khăn trong việc nối kết những hiểu biết này để giải quyết các vấn đề của Vật lí bằng cơng cụ GT. Thậm chí, nhiều HS khơng biết những kiến thức GT các em được học cĩ ứng dụng gì trong Vật lí, khi nào và tại sao nĩ lại được sử dụng trong những vấn đề đĩ (Lĩpez-Gay & Torregrosa, 2015). Giải thích hiện tượng này, Jones (2010) nhận định nguyên nhân nằm ở chỗ “các khĩa học GT thành cơng trong việc cung cấp cho SV một dạng của kiến thức, dạng cần thiết để giải quyết các nhiệm vụ trong lớp học tốn, nhưng lại khơng chuẩn bị cho việc sử dụng kiến thức này một cách thành cơng trong các lớp học khoa học” (tr. 2). 1.2. Dạy học liên mơn Tốn và Vật lí, một xu hướng để khắc phục Hai vấn đề chính cần giữ lại từ các phân tích ở trên. Thứ nhất, cần tìm một cách DH cĩ thể giúp HS hiểu đầy đủ hơn về bản chất khái niệm và giúp các em làm quen với các kĩ thuật của GT. Thứ hai, cần làm cho HS vận dụng được kiến thức GT vào Vật lí, hay ít ra là hiểu được những ứng dụng đa dạng của GT xuất hiện trong chương trình vật lí THPT. Giải pháp nào giúp đạt được hai mục tiêu này? 4 Nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đã tiến hành xem xét sự hình thành và tiến triển của GT trong lịch sử để tìm kiếm những cách tiếp cận phù hợp hơn trong DH (Kaput, 1994; Lê Thị Hồi Châu, 2004; Doorman & Van Maanen, 2008; Bressoud, 2011). Việc phân tích lịch sử cho thấy một mối liên hệ chặt chẽ giữa GT với những động lực đến từ thực tiễn và các ngành khoa học. Nĩi riêng, đã cĩ một gắn kết vơ cùng mật thiết giữa GT và Vật lí trong suốt lịch sử. Nhiều vấn đề mà Vật lí đặt ra đã là động cơ thúc đẩy sự nảy sinh và tiến triển các khái niệm của GT. Ở chiều ngược lại, cơng cụ mà GT mang đến giúp Vật lí giải quyết nhiều vấn đề của mình. Mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau giữa hai khoa học này đã tạo ra những bước phát triển vượt bậc trong lịch sử văn minh lồi người. Các nhà nghiên cứu cho rằng nĩ nên được tận dụng trong việc DH các kiến thức GT ở nhà trường hiện nay. Ta tìm thấy ở đây một giải pháp để vượt qua hai khĩ khăn kể trên trong việc hiểu và ứng dụng các khái niệm của GT: đĩ là tận dụng sự gắn kết giữa Tốn học và Vật lí học vào quá trình DH để hai mơn học cĩ thể hỗ trợ lẫn nhau. Hướng nghiên cứu này đưa đến một xu hướng DH thường được gọi là “tích hợp (TH) – liên mơn (LM) tốn và các mơn khoa học1”. Đây là hướng nghiên cứu mà theo Berlin và White (1999) đã được đề cập từ đầu thế kỉ 20 và cịn được quan tâm nhiều hơn trong vài thập kỉ trở lại đây. Nằm trong xu hướng nĩi trên, nhiều mơ hình bàn về sự gắn kết giữa tốn và các mơn khoa học đã được các nhà nghiên cứu xây dựng. Trong đĩ, người ta thường nhấn mạnh đến hai tương tác LM chủ yếu sau đây: 1/Tốn học – ngữ cảnh khoa học (Math – Science context): khoa học cung cấp những ngữ cảnh, nguyên lí, nội dung đem lại ý nghĩa và lí do ra đời cho khái niệm tốn học. 2/Khoa học – ứng dụng Tốn học (Science – apply Math): nhấn mạnh Tốn học như là cơng cụ giúp giải quyết các vấn đề của các khoa học. Bị thu hút bởi xu hướng nghiên cứu trên, chúng tơi đặt ra câu hỏi xuất phát sau đây: Làm thế nào tận dụng những gắn kết giữa Tốn và Vật lí vào DH GT ở trường THPT, nhằm mang lại nhiều lợi ích hơn cho cả hai mơn học? Cụ thể hơn là nhằm giúp HS vừa vượt qua được những khĩ khăn trong việc hiểu các khái niệm trừu tượng của GT, vừa ứng dụng được GT vào các vấn đề của Vật lí. Câu hỏi xuất phát này chính là 1 Các mơn khoa học ở đây chỉ những mơn học được dạy trong chương trình giáo dục phổ thơng như: Vật lí, Hĩa, Sinh, 5 động lực đưa chúng tơi đến với hướng nghiên cứu DH một số khái niệm của GT ở trường THPT theo cách tiếp cận LM Tốn và Vật lí. 1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức Những bài học mở đầu về GT phải đi từ một số khái niệm cơ bản là giới hạn, liên tục, đạo hàm và tích phân. Trong những khái niệm này, chúng tơi lựa chọn hai khái niệm đạo hàm và tích phân cho định hướng tiếp cận LM Tốn và Vật lí. Lý do lựa chọn đĩ được hình thành từ năm luận điểm dưới đây. - Đạo hàm và tích phân, hai khái niệm nền tảng của GT: đạo hàm và tích phân là hai trong số những khái niệm nền tảng nhất, thể hiện hai mặt đảo ngược vi phân và tích phân trong bức tranh tổng thể của GT tốn học. Những phản ánh từ lịch sử cho thấy rằng việc hiểu được các ý tưởng ẩn dưới hai khái niệm này và phát hiện ra mối quan hệ mật thiết giữa chúng là một chặng đường quan trọng đánh dấu sự phát minh ra GT. Liệu cĩ thể nĩi đến GT mà bỏ qua đạo hàm và tích phân hay khơng? Câu trả lời là gì cĩ lẽ mọi người biết về GT đều đã rõ. Đây cũng là lý do để hai khái niệm này chiếm được sự quan tâm của DH GT ở mọi nền giáo dục tốn. Ở Việt Nam, những nội dung liên quan đến chúng chiếm một thời lượng học tập lớn trong suốt hai năm cuối cấp THPT. - Vai trị đạo hàm và tích phân trong các lĩnh vực ngồi tốn học: Sự quan trọng của đạo hàm, tích phân khơng chỉ giới hạn trong phạm vi GT, thậm chí trong Tốn học. Tầm quan trọng của đạo hàm, tích phân cịn nằm ở những ứng dụng rộng rãi của chúng trong nhiều lĩnh vực như Vật lí, Kinh tế, Chính vai trị đĩ khiến chúng tiếp tục tác động vào các bậc giáo dục cao hơn ở đại học, trong đào tạo Tốn học – hiển nhiên, và trong cả các lĩnh vực đào tạo nghề khác. Việc giúp HS cuối cấp THPT hiểu và sử dụng được hai khái niệm này là cần thiết cho các em về sau. - Sự gắn kết giữa đạo hàm, tích phân với Vật lí nhìn từ lịch sử: Xét riêng tác động của đạo hàm, tích phân vào Vật lí. Một phần động lực quan trọng cho sự ra đời và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm và tích phân đến từ những vấn đề đặt ra trong ngành khoa học này. Sau khi ra đời, hai khái niệm đang nĩi tới cịn mang lại những cơng cụ tốn học mạnh mẽ giúp Vật lí phát triển và giải quyết thêm nhiều vấn đề khác của mình. Sự gắn kết này rõ ràng là nên được phản ánh trong việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở trường THPT nếu nhìn từ lợi ích của cả hai mơn học. - Đạo hàm và tích phân, cơng cụ tốn học cho nhiều vấn đề của Vật lí THPT: Tiếp tục luận điểm trên, chúng tơi đã xem xét chương trình vật lí THPT ở Việt Nam và tìm thấy nhiều vấn đề mà việc giải quyết chúng cần đến cơng cụ đạo hàm, tích phân. Cĩ 6 thể kể ra đây những bài tốn cần sử dụng đạo hàm như: tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời, cường độ dịng điện, suất điện động cảm ứng, Các bài tốn sử dụng tích phân: tìm độ dời khi vận tốc biến đổi, tìm độ thay đổi vận tốc khi biết gia tốc, tìm cơng của lực biến đổi, Và nếu như vậy thì việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở mơn Tốn cần phải tính đến nhiệm vụ giúp đỡ cho HS vận dụng hay ít ra là hiểu được những ứng dụng đa dạng của hai khái niệm này trong các bài tốn vật lí vừa kể trên. - Đạo hàm, tích phân và mối quan hệ mật thiết: Lí do cuối cùng giải thích cho việc chọn đồng thời cả hai khái niệm đạo hàm và tích phân nằm ở mối liên hệ đảo ngược mật thiết giữa chúng, thể hiện qua định lý cơ bản của GT. Chính nhờ mối quan hệ đảo ngược này mà ứng với một vấn đề của Vật lí cĩ thể được giải quyết với cơng cụ đạo hàm, người ta luơn tìm được một vấn đề “ngược lại” mà ở đĩ tích phân là phương tiện tìm lời giải. Chúng tơi gọi đây là hai bài tốn thuận – nghịch. Vì thế, việc nghiên cứu song hành hai đối tượng đạo hàm và tích phân trong sự gắn kết, theo cách tiếp cận LM giữa GT với Vật lí cĩ thể sẽ giúp hai khái niệm này soi sáng lẫn nhau. Sự lựa chọn này xác định đối tượng nghiên cứu của chúng tơi là: DH khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên mơn Tốn – Vật lí cho HS THPT. 2. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Từ câu hỏi xuất phát đặt ra và hướng nghiên cứu đã chọn, nghiên cứu tổng quan của chúng tơi sẽ tìm hiểu trước tiên về cách hiểu của người học về đạo hàm, tích phân và những khĩ khăn trong việc ứng dụng chúng vào Vật lí. Tiếp đĩ, chúng tơi sẽ xem xét các kết quả nghiên cứu đã cĩ về sự hỗ trợ lẫn nhau giữa hai mơn học Tốn và Vật lí liên quan đến hai khái niệm đạo hàm, tích phân. Và cuối cùng là tổng hợp các nghiên cứu về DH liên mơn trong và ngồi nước cũng như một số chương trình DH liên mơn giữa GT và Vật lí đã được xây dựng trên thế giới. 2.1. Cách hiểu của người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân 2.1.1. Cách hiểu của người học về khái niệm đạo hàm Orton (1983a) là một trong những người đầu tiên tiến hành nghiên cứu về cách hiểu của người học về khái niệm đạo hàm. Ơng nhận thấy đa số HS và SV tham gia thực nghiệm (TN) thành thạo với các nhiệm vụ yêu cầu tính tốn hoặc áp dụng các quy trình quen thuộc để giải quyết. Tuy nhiên người học lại cho thấy một sự thiếu hụt trong kiến thức về khái niệm, đặc biệt là quan niệm đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời và độ 7 dốc2 của tiếp tuyến. Orton cho rằng nguyên nhân là ở cách hiểu nghèo nàn của người học về giới hạn cũng như về tỉ số và tỉ lệ của sự thay đổi. Việc người học khơng nhận ra được sự liên hệ giữa đạo hàm với ý nghĩa tốc độ biến thiên cịn được xác nhận bởi nhiều tác giả khác (Bezuidenhout, 1998; Bingolbali et al., 2007; Hankiưniemi, 2006; Sahin et al., 2015). Chẳng hạn, Sahin et al. (2015) chỉ ra rằng mặc dù HS biết đến định nghĩa hình thức của đạo hàm là giới hạn của tỉ sai phân ( ) 0 ' lim x f f x x →   =    nhưng khơng thể giải thích được sự liên quan giữa nĩ với ý nghĩa tốc độ biến thiên tức thời. Hankiưniemi (2006) cũng nhận thấy khĩ khăn mà người học gặp phải với khái niệm giới hạn để hiểu được cách mà tốc độ biến thiên trung bình tiến đến tốc độ biến thiên tức thời hay cách mà độ dốc cát tuyến dần đến độ dốc tiếp tuyến. Thompson (1995), sau đĩ là White và Mitchelmore (1996) đã tìm ra một trong những nguyên nhân quan trọng giải thích cho khĩ khăn mà người học gặp phải với khái niệm đạo hàm là ở cách hiểu về khái niệm hàm số của mình. Họ thường chỉ xem hàm số như một đối tượng tĩnh và các biến là những kí hiệu để thao tác hay tính tốn. Trong khi đĩ, theo các tác giả này thì đặc trưng biến thiên đồng thời của hàm số (sự biến thiên của biến số kéo theo sự biến thiên của hàm số) mới là điều then chốt để phát triển cách hiểu về đạo hàm như là tốc độ thay đổi. Một số nghiên cứu trong nước cịn chỉ ra sự thiếu hụt trong quan niệm của HS THPT với cách hiểu đạo hàm theo nghĩa tốc độ biến thiên và sự xấp xỉ hàm số bởi tiếp tuyến (Ngơ Minh Đức, 2013; ...hối hợp giữa nhiều mơn học. Sự kết hợp này xoay quanh một bài học hay vấn đề chung mà việc giải quyết hay nghiên cứu về chúng địi hỏi kiến thức của nhiều mơn học khác nhau. Sự phân loại giữa đơn mơn, đa mơn, LM và xuyên mơn đơi khi được các nhà nghiên cứu thực hiện dựa trên mức độ của sự tích hợp diễn ra trong DH. Chẳng hạn theo Xavier Roegiers (2001) và Drake (2007) thì sự phân biệt giữa đa mơn và LM nằm ở mức độ gắn kết giữa các mơn học. Với đa mơn, các mơn học được dạy riêng biệt dù vẫn hướng đến một chủ đề hay vấn đề chung nào đĩ. Trái lại ở mức độ LM, cĩ sự phối hợp giữa các mơn học với nhau về phương pháp, khái niệm, ý tưởng trong việc tổ chức DH hoặc giải quyết một vấn đề chung nào đĩ. • Khuynh hướng đặt liên mơn làm khái niệm cơ sở để nghiên cứu sự gắn kết giữa các mơn học trong giáo dục 21 Khuynh hướng này bắt nguồn từ việc ghi nhận sự gắn kết giữa các ngành khoa học khác nhau. Sự gắn kết ấy là đương nhiên, bởi lẽ theo nguyên lí triết học duy vật biện chứng về các mối quan hệ phổ biến thì mọi sự vật, hiện tượng đều tồn tại và phát triển vừa với tư cách là một thực thể độc lập, vừa đặt trong mối liên hệ đa dạng giữa các bộ phận cấu thành cũng như liên hệ giữa sự vật đĩ với các sự vật khác. Mỗi khoa học, với phương pháp riêng của mình, sẽ nghiên cứu chúng từ những gĩc độ khác nhau. Để cĩ một sự hiểu biết đầy đủ về sự vật, hiện tượng, con người phải biết kết hợp kết quả nghiên cứu của nhiều khoa học lại. Phân tích trên cho thấy LM cĩ nguồn gốc từ lịch sử phát triển của các khoa học, vì thế người ta muốn đặt nĩ làm cơ sở để nghiên cứu sự gắn kết giữa các mơn học trong DH tri thức ở nhà trường. Để làm điều này chúng ta cần một định nghĩa khái quát nhất cho khái niệm LM vừa cho thấy phương diện tri thức luận vừa cho thấy phương diện tổ chức DH một tri thức tốn học trong nhà trường. Một định nghĩa khái quát như vậy được đưa ra ở hội thảo quốc tế về LM trong DH phổ thơng do Unesco tổ chức năm 1985: LM được xem như một dạng hợp tác giữa những mơn học khác nhau. Các mơn học này đĩng gĩp vào một nhiệm vụ chung và qua sự kết hợp giữa chúng mà tạo điều kiện cho tri thức mới hình thành, tiến triển” (trích theo D’Hainaut, 1986, tr. 7). Với định nghĩa này, D’Hainaut (1986) làm rõ hai cách hiểu thuật ngữ LM: cách hiểu thứ nhất gắn với quan điểm tri thức luận, liên quan chủ yếu đến vấn đề khám phá và tổ chức tri thức; cách hiểu cịn lại thiên về cách thức, phương pháp để tổ chức DH. Tuy nhiên, do việc DH vốn gắn bĩ mật thiết với quá trình khám phá và tổ chức tri thức, nên D’Hainaut cho rằng cách hiểu thứ hai chỉ là một phương diện của quan điểm đầu. Cùng theo xu hướng đặt LM làm khái niệm cơ sở và tách biệt với khái niệm tích hợp, Jacobs (1989) đưa ra một định nghĩa khác cho khái niệm LM như sau: LM là một cách xem xét tri thức và tiếp cận DH, trong đĩ áp dụng một cách cĩ chủ ý các phương pháp và ngơn ngữ từ nhiều hơn một mơn học để nghiên cứu các bài tốn, chủ đề, đề tài trung tâm nào đĩ. (tr. 8). Tương tự như định nghĩa của Unesco (1985), định nghĩa về LM của Jacobs cũng nhấn mạnh việc xem xét sự gắn kết giữa các mơn học ở cả hai mặt, tri thức luận và tiếp cận DH. Hơn nữa, sự gắn kết này cĩ thể thực hiện bằng cách sử dụng chung các phương pháp, ngơn ngữ, khái niệm của nhiều mơn học để giải quyết một nhiệm vụ chung nào đĩ hoặc để làm nảy sinh và tiến triển tri thức trong quá trình DH. 22 • Khuynh hướng phân biệt liên mơn với tích hợp ở sự bảo tồn ranh giới các mơn học trong sự gắn kết giữa chúng Hai khuynh hướng nĩi trên cho thấy, LM thường được tiếp cận như là một hình thức của tích hợp, ngồi ra cũng cĩ thể đặt LM vào vị trí xuất phát điểm để xem xét sự gắn kết của nhiều mơn học ở cả phương diện tri thức luận và tổ chức DH. Tuy nhiên ngay cả khi đặt khái niệm LM ở vị thế tách rời khỏi tích hợp, việc phân biệt rạch rịi hai khái niệm này vẫn là một việc khĩ khăn vì chúng đều là những xu hướng DH nhắm đến sự kết hợp các yếu tố từ nhiều mơn học trong một mục đích DH nhất định. Cĩ lẽ vì vậy mà nhiều tài liệu trong nước thường dùng lẫn lộn hai khái niệm này và đơi khi sử dụng song hành tổ hợp từ “tích hợp – liên mơn” hay “tích hợp liên mơn” để đặt hai quan điểm DH này trong sự gắn kết với nhau. Nằm trong nỗ lực phân biệt hai khái niệm tích hợp và LM, cĩ một khuynh hướng của nhiều nhà nghiên cứu giáo dục trên thế giới muốn làm rõ hai khái niệm này dựa trên việc biên giới của mỗi mơn học cĩ bị làm mờ đi trong quá trình kết hợp hay khơng. Loepp (1999) dùng hình ảnh ẩn dụ về một cái bánh thập cẩm và một cái bánh cĩ nhiều lớp để phân biệt mức độ kết nối, hợp nhất trong cách hiểu tương ứng về tích hợp và LM. Trong đĩ, LM được minh họa bởi loại bánh thứ hai, mỗi lớp bánh đại diện cho một mơn học và hình ảnh tổng thể của cái bánh ám chỉ rằng biên giới giữa các mơn học vẫn được duy trì khi chúng kết hợp với nhau. Trong khi đĩ tích hợp gắn với hình ảnh của cái bánh thập cẩm và nĩ cho thấy sự xố nhồ biên giới của các mơn học khi sự gắn kết được thực hiện. Sự phân biệt này được giải thích rõ ràng bởi Mathison và Freeman (1998): Việc DH LM cĩ thể thực hiện theo nhiều cách tiếp cận như: phối hợp nội dung giữa các mơn học, dạy hai mơn học cùng với nhau, hoặc khám phá một chủ đề chung qua những hoạt động dựa trên các mơn học khác nhau. Tuy nhiên, các nội dung, phương pháp, quy trình hoặc kĩ năng được dạy trong cách tiếp cận LM vẫn nằm trong biên giới của mỗi mơn học ban đầu mà chúng được phối hợp. (tr. 9) Các tác giả nhấn mạnh rằng mặc dù cách tiếp cận LM luơn kết nối cĩ chủ ý hai hoặc nhiều hơn các mơn học tuy nhiên vẫn giữ cho chúng riêng biệt và rõ nét. Điều này cĩ nghĩa là khi phối hợp và liên kết các mơn học trong học tập, người học vẫn nhận ra kiến thức hay phương pháp được sử dụng thuộc về mơn học nào mà khơng cĩ sự hồ trộn hay tạo ra mơn học mới. Sự tồn vẹn của biên giới mỗi mơn học cũng được Frykholm và Glasson (2005) xem xét khi bàn về cách tiếp cận tích hợp và LM giữa tốn và các mơn khoa học trong DH. Theo hai tác giả thì LM được xem là vẫn giữ gìn tính 23 tồn vẹn này trong quá trình khám phá những ngữ cảnh chung nhằm thúc đẩy việc học ở cả hai mơn học. Trái lại, nhiều định nghĩa về tích hợp lại ngụ ý rằng “sự trộn lẫn giữa tốn và khoa học đạt đến mức liền mảnh hơn, đến nỗi khĩ để nĩi nơi nào tốn học ngừng lại và nơi nào khoa học bắt đầu” (Frykholm & Glasson, 2005, tr. 130). Nguyễn Thị Nga (2018) cho rằng, trong sự tương tác LM giữa các mơn học “tác động tổng thể của các yếu tố định tính và định lượng khơng đủ để tạo nên một mơn học mới. Đây là sự kết hợp giữa các mơn học khác nhau đối với các vấn đề mà tính phức tạp của chúng chỉ cĩ thể được giải quyết bởi sự hội tụ và kết nối chặt chẽ của nhiều quan điểm khác nhau” (tr. 40-41). 1.1.1.2. Cách hiểu và cách tiếp cận của chúng tơi về khái niệm liên mơn Tổng kết lại, chúng tơi tìm thấy ba hướng tiếp cận khái niệm LM khi xem xét sự gắn kết giữa các mơn học trong DH. Một hướng lấy tích hợp làm cơ sở và LM như là một dạng của tích hợp mà trong đĩ diễn ra sự tương tác chặt chẽ giữa các mơn học. Cách thứ hai lấy bản thân khái niệm LM làm cơ sở để nghiên cứu sự hợp tác giữa các mơn học cả về phương diện tri thức luận và tổ chức DH. Khuynh hướng thứ ba thừa nhận sự tương đồng giữa nội hàm của hai thuật ngữ “tích hợp” và “liên mơn”, tuy nhiên sự phân biệt nằm ở chỗ quá trình DH LM vẫn bảo tồn biên giới của mỗi mơn học trong quá trình kết hợp. Tuy nhiên, chúng tơi nhận thấy rằng dù cho LM được hiểu theo khuynh hướng nào thì đặc trưng cốt lõi của nĩ vẫn là tận dụng sự gắn kết, phối hợp giữa các mơn học trong DH nhằm mục đích khám phá tri thức mới hoặc giải quyết một vấn đề chung nào đĩ. Dựa trên đặc trưng cốt lõi này và tổng hợp những luận điểm từ ba khuynh hướng đã trình bày, chúng tơi đưa ra cách hiểu của mình và làm rõ khái niệm LM khi tiếp cận nĩ trong DH như sau: - LM là sự hợp tác giữa nhiều mơn học từ cả phương diện khám phá và tổ chức tri thức cũng như phương pháp tổ chức DH. - Mục đích của sự hợp tác nĩi trên là nhằm mang lại lợi ích cho mỗi mơn học trong việc nảy sinh và tiến triển tri thức, hoặc để giải quyết một bài tốn, vấn đề, đề tài chung nào đĩ. - Phương thức để đạt mục đích này là phối hợp sử dụng các kiến thức, phương pháp, quy trình hoặc kĩ năng của nhiều mơn học tuy nhiên các yếu tố này vẫn nằm vẹn nguyên trong biên giới của mỗi mơn học mà chúng đến. 24 Với cách hiểu này, LM ngụ ý giữ gìn tính tồn vẹn của mỗi mơn học đặt trong sự hỗ trợ lẫn nhau và sẽ phù hợp để chúng tơi tiếp cận việc DH hai khái niệm đạo hàm, tích phân bằng cách tận dụng những gắn kết giữa Tốn và Vật lí. 1.1.2. Liên mơn Tốn và Khoa học: một số mơ hình và cách tiếp cận Ở trên chúng tơi đã bàn về LM, một xu hướng nhấn mạnh sự gắn kết và tác động tương hỗ giữa các mơn học. Phần này sẽ dành để bàn về LM giữa Tốn và các mơn Khoa học trong DH. Để ngắn gọn, từ nay chúng tơi gọi nĩ là LM “Tốn – Khoa học”. Nĩi riêng thì sự gắn kết giữa Tốn học và các ngành khoa học như Vật lí học, Hĩa học, Sinh học, đã diễn ra xuyên suốt lịch sử phát triển lâu dài của chúng. Các khoa học đem đến những tài nguyên (vấn đề, ngữ cảnh, nguyên lí, đối tượng nghiên cứu,) là động lực phát triển Tốn học. Ở chiều ngược lại, Tốn học cung cấp ngơn ngữ và cơng cụ để các ngành khoa học thực hiện những nghiên cứu định lượng của mình. Bên cạnh đĩ, cũng cần phải nhấn mạnh thêm ở đây về tư tưởng phương pháp luận nhận thức thế giới khách quan bằng Tốn học. Theo đĩ, phương pháp chủ yếu để nhận thức hiện thực khách quan nhờ sử dụng tốn học là sử dụng mơ hình tốn của các hiện tượng trong thế giới thực. Nhận thức các hiện tượng trong nghiên cứu Khoa học tất nhiên cũng sử dụng các mơ hình tốn học với tư cách là những cơng cụ nhận thức. Mối quan hệ gắn kết vừa đề cập ở trên hồn tồn thích hợp để vận dụng vào DH và nĩ làm nên đặc thù riêng cho sự LM giữa Tốn và các mơn khoa học trong nhà trường. Sự phát triển của các ý tưởng tốn học và việc áp dụng tốn trong các mơn học khác được quyện vào nhau. Thỉnh thoảng, một ý tưởng mới phát triển trong ngữ cảnh tốn và người học áp dụng nĩ để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. Nhưng cũng cĩ khi khái niệm mới được nảy sinh ngồi ngữ cảnh tốn học, trong các mơn khoa học hoặc trong ngữ cảnh thực tế Những ứng dụng đa dạng của tốn học trong nhiều ngữ cảnh giúp HS nhận thức được sức mạnh thực tiễn và tính tổng quát của nĩ. (NCTM, 2000, tr. 202) Sau đây chúng tơi sẽ bàn đến một số mơ hình LM Tốn – Khoa học để tìm ra một cách tiếp cận LM phù hợp cho mục đích nghiên cứu của mình. Vì tích hợp và LM cĩ sự gắn bĩ, thậm chí được dùng theo một cách khơng thực sự rạch rịi bởi một số nhà nghiên cứu, nên những mơ hình mà họ gọi là “mơ hình tích hợp” cũng được chúng tơi xem xét. Nghiên cứu về DH Tốn và khoa học trong sự gắn kết đã được quan tâm từ lâu trên thế giới. Từ năm 1967, hội nghị ở Cambridge về tích hợp Tốn và Khoa học trong giáo dục (Education Development Center, 1970) đã đưa ra một mơ hình dựa trên tiêu chí là 25 sự hỗ trợ của mơn học này cho mơn học khác, gồm năm loại sau (tr. 65): 1/Tốn học cho tốn học (math for math); 2/Tốn hỗ trợ cho khoa học (math for science); 3/Tốn và Khoa học (math and science); 4/Khoa học hỗ trợ cho tốn (science for math); và 5/Khoa học cho khoa học (science for science). Đây chỉ là một phân loại chung nhất về những hình thức DH cĩ thể tổ chức để kết hợp các mơn học với nhau. Nhiều mơ hình khác được xây dựng sau đĩ đã làm rõ hơn sự kết hợp LM này giữa Tốn và các mơn khoa học. Berlin và White (1994) đưa ra mơ hình về tích hợp Tốn và Khoa học gồm sáu mặt sau: cách học, cách để hiểu, nội dung kiến thức, kĩ năng về quy trình và tư duy, thái độ và nhận thức, các chiến lược DH. Bàn về những nội dung cĩ thể tích hợp, các tác giả này gợi ý rằng một số ý tưởng tổng quát như sự thay đổi, bảo tồn, các mơ hình, quy luật, tỉ lệ, đối xứng, và hệ thống cĩ thể tìm thấy ở cả Tốn học và nhiều ngành khoa học. Việc xem xét các “ý tưởng lớn” này cĩ thể giúp tìm ra những nội dung chung để tích hợp Tốn và Khoa học trong nhà trường. Trong số những nghiên cứu sau đĩ để phát triển mơ hình này, Berlin (2007) đưa ra một cách biểu diễn cho sự tương tác LM giữa Tốn và Khoa học. Ơng dùng chữ hoa để biểu thị cho mơn học chính được nhấn mạnh, và chữ thường biểu thị cho mơn học cĩ vai trị hỗ trợ (tr. 87): 1/M: Tốn học (Math); 2/Ms: Tốn – ngữ cảnh khoa học (Math-science context); 3/MS: Tốn và Khoa học (Math and Science); 4/Sm: Khoa học – ứng dụng tốn (Science-apply math); và 5/S: Science. Trong năm loại này, chúng tơi thấy rằng loại đầu và loại cuối muốn nĩi đến hình thức tích hợp trong nội bộ từng mơn học. Loại thứ ba (MS) nhắm đến cách tiếp cận “tích hợp” theo nghĩa mà Berlin và White (1992) đã đề cập: “trộn lẫn Tốn và Khoa học lại với nhau từ sự liên kết các khái niệm, nguyên lí và sử dụng chung các phương pháp nghiên cứu” (tr. 8). Hai loại cịn lại, Ms và Sm, chỉ ra dạng gắn kết LM Tốn – Khoa học mà việc DH cĩ thể tiếp cận. Berlin (2007) giải thích rõ hai tương tác LM này như sau (tr. 85): Ms tập trung vào Tốn học, sử dụng các ngữ cảnh khoa học như là một cách để tăng cường cách hiểu và ứng dụng tốn học của học sinh. Tương tự, Sm tập trung vào khoa học, trong đĩ áp dụng các cơng cụ tốn học để nghiên cứu định lượng các quy luật và mối quan hệ. Lonning và DeFranco (1997) cũng đưa ra một mơ hình tương tự dựa trên sự nhấn mạnh vào lợi ích của một mơn học chính đặt trong sự hỗ trợ của các mơn cịn lại. Theo đĩ, các tác giả này đưa năm hình thức sau: 26 1/Tốn học độc lập: DH Tốn thuần túy. 2/Tập trung vào tốn học: Khoa học hỗ trợ cho việc học các khái niệm tốn học. 3/Tốn học và khoa học cân bằng: Các khái niệm và các hoạt động trong tốn và khoa học được tích hợp. 4/Tập trung vào khoa học: Các khái niệm tốn học là cơng cụ hỗ trợ khoa học. 5/Khoa học độc lập: DH thuần túy khoa học. Huntley (1998) tiếp tục phát triển một mơ hình theo cách phân loại tương tự và đưa ra lược đồ sau đây mơ tả các hình thức cĩ thể lựa chọn khi kết hợp Tốn và Khoa học trong DH: Hình 1.1. Những lựa chọn trong việc tích hợp Tốn và Khoa học Trong mơ hình này, cái ở chính giữa thể hiện sự hịa trộn giữa Tốn và Khoa học đến mức liền mảnh và khơng cịn phân biệt được từng mơn học trong việc giải thích tự nhiên. Tương tác LM theo hướng hỗ trợ lẫn nhau nhưng vẫn giữ nguyên biên giới của mỗi mơn học theo chúng tơi thể hiện ở loại thứ hai và thứ tư trong lược đồ này: tốn với khoa học (Ms) và khoa học với tốn học (Sm). Huntley làm rõ hai gắn kết LM này như sau (tr. 8): Tốn với khoa học: việc DH Tốn trong đĩ Khoa học (nội dung và/hoặc phương pháp) được sử dụng để cung cấp các vấn đề, ngữ cảnh thích hợp. Khoa học với Tốn: việc DH Khoa học mà nhấn mạnh Tốn học (nội dung và/hoặc phương pháp) như một cơng cụ để giải quyết các vấn đề của khoa học. Những mơ hình nĩi trên cĩ điểm chung là mơ tả sự chuyển dịch liên tục dựa vào ý đồ nhấn mạnh lợi ích một mơn học chính với sự hỗ trợ của mơn cịn lại. Hơn nữa, các tác giả cịn cố gắng làm rõ những hỗ trợ mà tốn cĩ thể cung cấp cho khoa học và ngược lại trong sự kết hợp giữa chúng. Tuy nhiên, phải tổ chức DH các mơn học này như thế nào để những hỗ trợ LM đã nĩi cĩ thể diễn ra? Hurley (2001) cố gắng trả lời câu hỏi này bằng cách đưa ra một mơ hình gồm năm loại tổ chức và nĩ cho thấy sự phù hợp với cách hiểu thuật ngữ “LM” mà chúng tơi sử dụng. 1/Tuần tự: Tốn học và khoa học được dạy theo thứ tự, cái này đến cái kia. 27 2/Song song: Tốn học và khoa học được sắp xếp và được dạy cùng lúc thơng qua các khái niệm tương đương. 3/Bộ phận: Tốn học và khoa học được dạy một phần cùng với nhau và phần cịn lại được dạy tách biệt trong cùng một lớp học. 4/Tăng cường: Tốn học hoặc khoa học là lĩnh vực chính, các lĩnh vực cịn lại hỗ trợ xuyên suốt việc DH. 5/Hồn tồn: Tốn và khoa học được dạy cùng nhau một cách cân bằng và bình đẳng. (Hurley, 2001, tr. 263) Chúng tơi kết thúc mục này bằng cách đưa ra một cách tiếp cận LM Tốn – Khoa học cho nghiên cứu của mình. Cách tiếp cận này dựa trên những cơ sở sau đây: - Định nghĩa về LM mà chúng tơi sử dụng trong nghiên cứu này (theo đĩ LM là sự hợp tác giữa các mơn học khác nhau từ cả phương diện khám phá, tổ chức tri thức cũng như phương pháp tổ chức DH); - Các mơ hình tích hợp Tốn – Khoa học vừa đề cập; - Mục đích DH nhằm đem đến nhiều lợi ích hơn cho cả mơn Tốn và Vật lí. Trong cách tiếp cận LM của mình, chúng tơi sẽ sử dụng hai cặp tương tác Ms và Sm để tạo ra sự hỗ trợ lẫn nhau một cách thích hợp cho mỗi mơn học. Sự hỗ trợ này đã được làm rõ bởi những mơ hình mà các tác giả nĩi trên đã xây dựng. Theo đĩ, ngồi những mục tiêu trong nội bộ mơn học, việc DH Tốn cũng cần phải cung cấp các khái niệm, ý tưởng, phương pháp là cơng cụ giải quyết các vấn đề của khoa học nĩi chung, Vật lí nĩi riêng. Theo chiều ngược lại, một số vấn đề vật lí cĩ thể được sử dụng để đem đến động cơ nảy sinh và ý nghĩa cho các khái niệm tốn học. Hơn nữa những ngữ cảnh và kiến thức từ Vật lí cịn cĩ thể giúp người học thấu hiểu hơn kiến thức tốn học vốn trừu tượng và thường địi hỏi chứng minh chặt chẽ. 1.1.3. Ba chiến lược dạy học liên mơn Tốn – Khoa học Nikitina và Mansilla (2003) đã chỉ ra ba chiến lược LM nhằm vượt qua sự cơ lập giữa các mơn khoa học và tốn học trong trường THPT truyền thống. Ba chiến lược lần lượt là: thiết lập khái niệm cốt lõi (essentializing), bối cảnh hĩa (contextualizing) và xây dựng các bài tốn – tâm (problem – centering). Thiết lập khái niệm cốt lõi: Đây là chiến lược nâng tầm các khái niệm, nguyên lý, lý thuyết trong tốn học và các khoa học lên thành những khái niệm cốt lõi, nền tảng từ đĩ cĩ thể tạo ra những liên kết nội tại thống nhất trong tốn học và các khoa học. Một khái niệm tốn học càng cốt lõi (tổng quát) thì phạm vi ứng dụng trong các khoa học 28 càng rộng và cĩ thể tìm được nhiều điểm kết nối thích hợp. Chẳng hạn, các khái niệm hàm, khái niệm biến hình, dãy số hay đa thức cĩ khái niệm cốt lõi là ánh xạ. Khái niệm cốt lõi cho phép nhìn nhận những kiến thức hay ứng dụng riêng lẻ của nĩ theo một quan điểm thống nhất, từ đĩ cho phép mở rộng khả năng ứng dụng vào nhiều ngữ cảnh khác nhau. Bối cảnh hĩa: Đặt bối cảnh cho một khái niệm, một ý tưởng, là đưa nĩ vào một mơi trường, một hồn cảnh rộng lớn hơn, ở đĩ nĩ cĩ được ý nghĩa thật sự và đầy đủ. Chiến lược này đặt kiến thức tốn học và khoa học vào trong bối cảnh lịch sử hình thành và phát triển của các ý tưởng. Việc tìm hiểu lịch sử tiến triển của một khái niệm tốn học cĩ thể giúp tìm ra những ngữ cảnh thích hợp cho phép tích hợp Tốn học với các lĩnh vực cĩ nhiều liên hệ mật thiết như Vật lí, Hĩa học, Bài tốn – tâm: Là chiến lược xây dựng các bài tốn tâm điểm, theo nghĩa là cần huy động kiến thức và kỹ năng của cả tốn học lẫn các khoa học khác để giải quyết. Kiến thức của nhiều mơn học sẽ hội tụ về một bài tốn này, từ đĩ tạo ra hồn cảnh thuận lợi cho việc tích hợp chúng lại với nhau. Các bài tốn – tâm cĩ thể tìm thấy từ thực tiễn cuộc sống, từ ứng dụng của cơng cụ tốn học vào các khoa học hoặc đến từ phân tích nguồn gốc lịch sử để thấy được đâu là những vấn đề đem đến động lực cho sự hình thành của khái niệm. Để vận dụng chiến lược thiết lập khái niệm cốt lõi trong nghiên cứu của mình, chúng tơi cần chỉ ra những cách hiểu tổng quát về đạo hàm và tích phân mà cho thấy được sự tác động của chúng trong việc giải quyết nhiều vấn đề của các khoa học, nĩi riêng là Vật lí. Điều này chỉ thực hiện được khi cĩ các kết quả phân tích tri thức luận được chúng tơi trình bày ở chương 2. Hơn nữa, phân tích tri thức luận cũng cho thấy sự gắn kết mật thiết giữa GT với Vật lí trong lịch sử và giúp gợi ra những bối cảnh LM mà việc DH cĩ thể tận dụng để làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, tích phân và đem đến ý nghĩa đầy đủ hơn cho chúng. Bên cạnh đĩ, việc tìm hiểu một số ứng dụng hiệu quả của đạo hàm và tích phân trong chương trình vật lí THPT cĩ thể cung cấp các gợi ý để xây dựng những bài tốn – tâm mà ở đĩ HS phải kết hợp kiến thức và kĩ năng của cả Tốn và Vật lí để giải quyết chúng. 1.2. Về việc hiểu và ứng dụng một khái niệm tốn học Từ những mơ hình và chiến lược DH LM Tốn – Khoa học nĩi trên, chúng tơi nhận thấy rằng việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân theo cách tiếp cận LM Tốn – Vật lí ở trường THPT là hồn tồn thích hợp để đạt được mục đích đặt ra ban đầu của 29 mình. Cụ thể hơn, chúng tơi muốn xây dựng tiến trình DH theo hướng LM Tốn – Vật lí để đem đến một cách hiểu đầy đủ hơn cho hai khái niệm đạo hàm và tích phân đồng thời giúp HS vận dụng được những tri thức này trong ngữ cảnh vật lí. Để đạt được điều này, trước hết cần làm rõ thế nào là “hiểu” và “ứng dụng” được một khái niệm tốn học. 1.2.1. Hiểu khái niệm tốn học 1.2.1.1. Ảnh khái niệm Những điều ta dạy cho HS về một khái niệm tốn học thơng qua định nghĩa so với những gì mà các em hiểu và quan niệm về khái niệm đĩ cĩ thể là khơng hồn tồn đồng nhất. Để đưa ra một mơ hình cho sự khác biệt này, Tall và Vinner (1981) xây dựng khung lý thuyết về “ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm”. Họ định nghĩa thuật ngữ “ảnh khái niệm” (concept image) là tổng nhận thức của một cá nhân về khái niệm bao gồm “tất cả các bức tranh tinh thần, các quá trình và thuộc tính gắn với khái niệm đĩ” (tr. 152). Bức tranh tinh thần liên quan đến một khái niệm cĩ thể là những hình ảnh, kí hiệu hay một cái gì đĩ khác, nĩ cùng với các hoạt động và thuộc tính gắn với khái niệm làm nên ảnh khái niệm mà một HS sở hữu. Chẳng hạn khi đề cập đến khái niệm hàm số, một HS cĩ thể gợi ra kí hiệu 𝑓(𝑥) hay nghĩ về nĩ chỉ như là một cơng thức để tính tốn. Một HS khác cĩ thể gợi ra hình ảnh một đồ thị hoặc hiểu về nĩ như một mối liên hệ giữa hai đại lượng. Các HS này cĩ thể hồn tồn khơng hề nhớ đến định nghĩa chính thức của hàm số như là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị 𝑥 thuộc tập 𝑋 với một và chỉ một giá trị 𝑦 thuộc tập 𝑌 HS cĩ thể học thuộc lịng định nghĩa một khái niệm hoặc tự xây dựng một định nghĩa riêng cho mình tuy nhiên những định nghĩa này chỉ là một phần của ảnh khái niệm. Hơn nữa, trong mỗi tình huống cĩ thể chỉ cĩ một số mảnh nào đĩ của ảnh khái niệm được gợi ra hoặc được kích hoạt trong tâm trí HS và những mảnh này sẽ ảnh hưởng đến cách hiểu và sử dụng khái niệm của các em. 1.2.1.2. Khung quá trình – đối tượng Phân tích sâu hơn về các thuộc tính đặc trưng của một khái niệm tốn học, Sfard (1991) phân chia chúng thành hai loại: khái niệm cĩ thuộc tính cấu trúc và khái niệm cĩ thuộc tính hoạt động (structural and operational conceptions). Theo sự phân chia này thì một cá nhân được xem là cĩ quan niệm cấu trúc về một khái niệm tốn học khi anh ta hiểu về khái niệm đĩ như một đối tượng trừu tượng. Ở một mặt khác, cá nhân được xem là cĩ quan niệm hoạt động về khái niệm khi anh ta tập trung suy nghĩ vào các quá trình, thuật tốn và các hoạt động gắn liền với khái niệm. Chẳng hạn, với trường hợp khái 30 niệm đạo hàm, HS cĩ quan niệm hoạt động cĩ thể thực hiện được thành thạo việc tính tốn đạo hàm theo định nghĩa (giới hạn của tỉ số sai phân) hay áp dụng các quy tắc tính tốn cĩ sẵn. Sfard sau đĩ đã xây dựng “khung quá trình – đối tượng” (process – object framework) để chỉ ra bản chất kép này của các khái niệm tốn học. Rõ ràng là hai loại thuộc tính này phải gắn bĩ tương hỗ với nhau và tác giả cho rằng người học trước hết phải thơng qua hoạt động để nắm được quá trình mà khái niệm là kết quả. Quá trình này sau đĩ mới cĩ thể được trừu tượng hố và kết tinh lại trong bản thân khái niệm và mang lại ý nghĩa cho nĩ. Người học khơng thể hiểu được đầy đủ về khái niệm nếu chỉ được cung cấp một định nghĩa hình thức. Họ cần biết đâu là lí do mà tri thức đĩ xuất hiện, nĩ cĩ thể dùng để giải quyết những vấn đề gì? Từ điểm nhìn này, việc hiểu một khái niệm tốn học cĩ thể đến từ chính những bài tốn hay tình huống mà khái niệm này đĩng vai trị là cơng cụ để giải quyết. 1.2.1.3. Các biểu diễn của một khái niệm Một nhân tố quan trọng giúp người học hiểu và sử dụng được các khái niệm tốn học chính là những biểu diễn của nĩ. Pape và Tchoshanov (2001) phân chia các biểu diễn thành hai loại: một loại là kết quả của “sự trừu tượng bên trong” các ý tưởng và thiết lập những lược đồ nhận thức trong quá trình học tập. Loại thứ hai là những biểu lộ bên ngồi của các khái niệm tốn học như các biểu diễn số, phương trình đại số, đồ thị, bảng, biểu đồ, lời, Loại này đĩng vai trị kích thích nhận thức, giúp người học hiểu và sử dụng được khái niệm. Hội GV tốn của Mỹ (NCTM, 2000) cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của các biểu diễn đa dạng đối với việc hiểu một khái niệm tốn học. Họ cho rằng các biểu diễn khác nhau sẽ làm sáng tỏ những mặt khác nhau của cùng một khái niệm. Vì thế, để cĩ một cách hiểu đầy đủ người học cần phải biết các biểu diễn này cũng như cĩ khả năng kết nối và chuyển đổi giữa chúng. 1.2.1.4. Kiến thức về khái niệm Để mơ tả những gì mà người học cĩ thể hiểu về một khái niệm, Hiebert và Lefevre (1986) chia kiến thức về đối tượng tốn học này thành hai loại: kiến thức khái niệm (conceptual knowledge) và kiến thức quy trình (procedural knowledge). Theo các tác giả thì kiến thức khái niệm là: Kiến thức được làm giàu trong những mối liên hệ. Nĩ cĩ thể được hiểu như là một mạng lưới kết nối các kiến thức, một mạng lưới mà trong đĩ những mối quan hệ liên kết cũng cần phải được quan tâm nhiều như những mẩu thơng tin riêng lẻ. (Hiebert & Lefevre, 1986, tr. 3-4). 31 Cùng với đĩ, Hiebert và Lefevre định nghĩa kiến thức quy trình theo hai dạng. Dạng đầu tiên là những hiểu biết về kí hiệu biểu diễn cho khái niệm tốn học và cú pháp theo quy ước để thao tác trên các kí hiệu đĩ. Dạng thứ hai bao gồm các “cơng thức, thuật tốn hay quy trình để giải quyết những vấn đề tốn học. Nhiều quy trình mà HS sở hữu cĩ thể chỉ là một chuỗi mệnh lệnh thao tác trên các kí hiệu” (Hiebert & Lefevre, 1986, tr. 7-8). Trong nhiều trường hợp, những hoạt động trên các quá trình liên quan đến khái niệm khơng đem đến một cách hiểu về bản thân khái niệm, mà cĩ thể chỉ hình thành ở người học một dạng kiến thức quy trình về khái niệm đĩ. Chẳng hạn một HS cĩ thể biết về sự tồn tại của một khái niệm cĩ tên là tích phân, biết kí hiệu và vận dụng được các cơng thức hay quy trình để tính tốn và giải các dạng tốn, tuy nhiên lại khơng thật sự hiểu được khái niệm. Với mục đích nghiên cứu của mình, chúng tơi muốn xây dựng một hiểu biết về khái niệm đầy đủ hơn cho HS về đạo hàm và tích phân. Một kiến thức khái niệm đầy đủ như vậy theo định nghĩa của Hiebert và Lefevre cần phải được làm giàu trong những kết nối. Hơn nữa, Hiebert và Carpenter (1992) cịn cho rằng, mức độ của việc hiểu khái niệm phụ thuộc vào số kết nối và độ mạnh của những kết nối giữa các sự kiện, các biểu diễn, quá trình và các ý tưởng. 1.2.2. Ứng dụng khái niệm tốn học Anderson et al. (2001) định nghĩa việc ứng dụng một kiến thức là thực hiện những quy trình để giải quyết một vấn đề trong một tình huống nào đĩ. Tuy nhiên việc ứng dụng khái niệm tốn học lại cĩ thể địi hỏi những mức độ hiểu kiến thức khác nhau như Lauritzen (2012) đã chỉ ra: “Trong những bài tốn áp dụng, cĩ khi chỉ cần ghi nhớ làm theo các quy trình, cĩ khi địi hỏi nhiều hơn nhận thức về bản chất khái niệm, địi hỏi sự quan tâm đến những mối liên hệ” (tr. 23). Anderson et al. (2001) làm rõ rằng, trong những nhiệm vụ quen thuộc HS thường sẽ biết kiến thức quy trình nào sẽ sử dụng. Tuy nhiên khi nhiệm vụ là một vấn đề khơng quen thuộc (chẳng hạn trong ngữ cảnh vật lí), HS sẽ cần phải cĩ một mức độ hiểu nhất định về bài tốn cũng như về khái niệm tốn học sẽ sử dụng để tìm ra quy trình cĩ thể giải quyết. Lúc này thì “hiểu về kiến thức khái niệm sẽ là điều kiện tiên quyết để cĩ thể áp dụng được kiến thức quy trình” (Anderson et al., 2001, tr. 77). Vai trị của kiến thức khái niệm cịn được nhấn mạnh bởi kết luận của Mahir (2009): 32 Sự ghi nhớ những kiến thức theo quy trình nhưng khơng được hỗ trợ bởi việc hiểu khái niệm chỉ tạo ra được những thành cơng hạn chế. Sự linh hoạt cần thiết để giải quyết nhiều kiểu bài tập khác nhau chỉ cĩ thể đạt được bởi một hiểu biết đầy đủ về khái niệm. (tr. 202) Để giải quyết một bài tốn vật lí Jones (2010) cho rằng cần phải xây dựng được một mơ hình tốn học cho nĩ, từ đĩ chuyển đổi được vấn đề đặt ra thành các phương trình tốn học trước khi cĩ thể xây dựng và thực hiện được các quy trình giải. Tuy nhiên, những bài tốn vật lí thường đặt trong ngữ cảnh thế giới thực, sử dụng các biểu diễn khác nhau như các từ ngữ, bảng số, đồ thị, hình ảnh để diễn đạt vấn đề. Vì thế, để tìm được các cơng cụ tốn học phù hợp thì người học cần phải cĩ hiểu biết cũng như sử dụng được các biểu diễn khác nhau của khái niệm tốn học tương ứng. Bên cạnh việc nhấn mạnh vai trị của hiểu kiến thức tốn học, nhiều nhà nghiên cứu cịn quan tâm đến sự biến chuyển của cách hiểu và kiến thức này khi người học ứng dụng chúng vào vật lí. Chẳng hạn, HS đã biết về tích phân nhưng cách hiểu về tích phân sẽ như thế nào khi hàm số lấy tích phân cĩ một ý nghĩa vật lí cụ thể. Vận dụng lý thuyết về “sự hịa trộn nhận thức” (cognitive blending) của Fauconnier and Turner (2002), Jones (2010) chỉ ra rằng cĩ một sự trộn lẫn trong nhận thức của người học giữa cách hiểu về một khái niệm tốn học với những đại lượng cĩ liên quan trong Vật lí hay các ngữ cảnh ứng dụng khác. Theo Jones thì sự hịa trộn này cĩ thể giúp kết nối các kiến thức tốn học với các hiểu biết mà người học tiếp nhận từ lĩnh vực vật lí. Chúng tơi cũng cho rằng “sự hịa trộn nhận thức” này sẽ đĩng vai trị là chất keo kết d...rning. Tưrner, G., Potari, D., & Zachariades, T. (2014). Calculus in European classrooms: curriculum and teaching in different educational and cultural contexts. ZDM, 46(4), 549-560. Trần Anh Dũng. (2013). Dạy học hàm số liên tục ở trường trung học phổ thơng. Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. 204 Trần Văn Học. (2018). Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học tốn theo quan điểm liên mơn: trường hợp khái niệm tích phân. Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 15(10), 145-158. Trịnh Thị Bách Tuyết. (2016). Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thơng theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thơng qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh. Luận án Tiến sĩ khoa học giáo dục. Viện khoa học giáo dục Việt Nam. Weber, E., Tallman, M., Byerley, C., & Thompson, P. W. (2012). Introducing derivative via the calculus triangle. Mathematics Teacher, 104(4), 274-278. White, P., & Mitchelmore, M. (1996). Conceptual knowledge in introductory calculus. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 79-95. Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103-127. PL1 PHỤ LỤC 1 MỘT SỐ MINH HỌA BỔ SUNG CHO NGHIÊN CỨU VỀ MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIẢI TÍCH – VẬT LÍ Ở CHƯƠNG 2 1. Archimedes xác định thể tích hình cầu bằng phương pháp “cơ học” Dựa trên các cơng thức đã biết về thể tích hình trụ và hình nĩn, Archimedes xây dựng được cơng thức tính thể tích hình cầu dựa trên ý tưởng lập tổng các “lát cắt nhỏ” và nguyên lí cân bằng moment ở hai đầu địn bẩy. Chúng tơi trình bày ở đây phương pháp ơng đã thực hiện trong đĩ cĩ sự tác động ngầm ẩn của tư tưởng tích phân và sự hỗ trợ từ các nguyên lí của Cơ học23. Trong hình bên, ta quay lần lượt hình chữ nhật ABNS, tam giác NCS và một nửa đường trịn đường kính NS quanh trục x (trùng với đường thẳng NS và nhận N làm gốc) để nhận được tương ứng một hình trụ, hình nĩn và hình cầu. Cắt ba hình khối đĩ thành những lát mỏng và xem chúng (gần đúng) như những hình trụ dẹt cách N một đoạn bằng x và cĩ độ dày (chiều cao) là x . Thể tích của các lát mỏng của hình cầu, hình trụ và hình nĩn này lần lượt xấp xỉ bằng: ( ) 2 22 ; ; x r x x r x x x  −    . Archimedes đặt hai lát cắt hình cầu và hình nĩn tại điểm T trên trục x cách N một đoạn 2TN r= và vẫn để lát cắt của hình trụ ở chỗ cũ. Với cách sắp đặt này ơng thấy rằng tổng moment của hai lát cắt cầu và nĩn bằng bốn lần moment của lát cắt hình trụ. Thật vậy: ( ) 2 22 2 4x r x x x x r r x x   −  +  =   Cộng tất cả các lát cắt này lại với nhau (đối với hình trụ thì tổng các x sẽ bằng 2NS r= ) ta được: 2𝑟. (𝑉𝑐ầ𝑢 + 𝑉𝑛ĩ𝑛) = 4𝑟. 𝑉𝑡𝑟ụ. Vì thể tích hình trụ và hình nĩn đã biết từ trước nên Archimedes suy ra được cơng thức tính thể tích hình cầu là: 𝑉𝑐ầ𝑢 = 4 3 𝜋𝑟3. 2. Stevin xác định trọng tâm tam giác bằng phương pháp “vét kiệt” 23 Tham khảo từ Eves (1976), tr. 383-385. PL2 Simon Stevin (1548 – 1620) sử dụng phương pháp chia nhỏ thành các hình nguyên tố của Archimedes trong các cơng trình về xác định trọng tâm vật rắn. Để minh họa phương pháp của Stevin, chúng tơi trình bày ở đây cách mà ơng đã thực hiện để xác định trọng tâm của một hình đơn giản, tam giác24. Stevin vẽ các đường song song với đáy BG và với trung tuyến AD của tam giác ABG để tạo ra các dải hình bình hành như hình vẽ ở bên. Theo kết quả đã biết từ trước thì trọng tâm của mỗi hình bình hành đều nằm trên đường nối trung điểm của hai cạnh đối, vì thế sẽ thuộc cạnh AD. Như vậy hình tạo bởi hợp tất cả các dải hình bình hành này ghép lại cũng cĩ trọng tâm nằm trên AD. Thực hiện liên tiếp việc tạo ra các dải hình bình hành mới mỏng hơn, hình tổng hợp của chúng sẽ càng ngày càng phủ kín tam giác ABG và hơn nữa trọng tâm của nĩ vẫn nằm trên AD. Vì quá trình này cĩ thể thực hiện liên tục đến vơ hạn, Stevin kết luận rằng trọng tâm của tam giác ABG sẽ nằm trên đường trung tuyến AD. Ơng cố gắng tránh việc hai lần đưa đến vơ lí (chứng minh phản chứng) của phương pháp vét kiệt bằng cách trực tiếp cho qua giới hạn, và từ đĩ thu được những kết quả hợp lí. 3. Phương pháp đồ thị để mơ tả sự phân bố nhiệt độ của Oresme Nichole Oresme (Thế kỉ 14) phát minh ra phương pháp đồ thị để mơ tả một sự biến thiên liên tục bằng cách biểu diễn giá trị của đại lượng tại mỗi điểm bằng một đoạn thẳng (hoặc dải hình chữ nhật mỏng) vuơng gĩc với trục ngang. Biểu diễn đồ thị nĩi trên cịn cho phép Oresme tìm ra một cách thức mới để xác định tổng lượng thay đổi trong một biến đổi liên tục: đĩ là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị. Dưới đây là cách mà Oresme dùng để diễn đạt sự phân bố nhiệt trên một cái xà: 24 Tham khảo từ Boyer (1959), tr. 99-100. PL3 Nghĩ về một đường thẳng dọc theo cái xà và tưởng tượng tại mỗi điểm trên đường thẳng này, nhiệt độ tại mỗi vị trí trên xà biểu diễn bằng một đoạn thẳng vuơng gĩc với xà. Chiều dài của các đoạn thẳng thể hiện nhiệt độ tại các điểm trên xà. Những đoạn thẳng vuơng gĩc này tạo thành một hình dạng hình học phẳng. Hình dạng này biểu thị sự phân bố của nhiệt và diện tích của miền đĩ là độ đo cho tổng lượng nhiệt của xà. Một nhiệt độ khơng đổi được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, trong lúc đĩ một sự biến đổi đều từ thấp lên cao được biểu diễn bởi một hình tam giác (hoặc hình thang). (trích theo Doorman và VanMaanen, 2008, tr. 6) 4. Phương pháp xác định quãng đường rơi tự do của Beeckman và Galileo25 Năm 1618, Isaac Beeckman đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ của Archimedes và phương pháp đồ thị hĩa chuyển động của Oresme để thiết lập mối quan hệ giữa quãng đường rơi tự do và thời gian. Ơng xấp xỉ một lực liên tục bằng những lực gián đoạn giống như những cái “giật ngắn” kéo vật rơi xuống. Sau mỗi khoảng thời gian 𝑡, một cái giật như vậy làm tăng vận tốc lên bởi một lượng khơng đổi 𝑔. Quá trình này được hình dung bằng diện tích của các thanh tương ứng. Khi chiều dài của khoảng thời gian 𝑡 tiến dần đến 0, các quãng đường đi được trong tổng thời gian 𝑂𝐴1 và 𝑂𝐴2 được biểu diễn bởi diện tích tam giác 𝑂𝐴1𝐵1 và 𝑂𝐴2𝐵2. Tỉ lệ hai diện tích này bằng với tỉ lệ diện tích hai hình vuơng cĩ cạnh lần lượt là 𝑂𝐴1 và 𝑂𝐴2, từ đĩ suy ra quãng đường tỉ lệ với bình phương khoảng thời gian đi được. Chúng ta cĩ thể gom mối quan hệ giữa thời gian và quãng đường đi trong một phương trình: 𝑠(𝑡) = 𝑐. 𝑡2. Như vậy, Beeckman đã sử dụng một sự xấp xỉ rời rạc về diện tích tương tự như cách mà Stevin đã dùng để xác định trọng tâm. 25 Tham khảo từ Doorman & Van Maanen, 2008, tr. 7-8. Oresme mơ tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc Lập luận của Beeckman về quãng đường rơi tự do PL4 Galileo cũng thơng báo một kết quả tương tự như của Beeckman (độ dời của một vật rơi tự do từ trạng thái nghỉ 𝑡 = 0 thì tỉ lệ với 𝑡2) trong một bức thư gửi đi năm 1604. Galileo khơng chỉ giải thích được mối quan hệ bậc hai này từ phương pháp đồ thị mà cịn tìm ra cách kiểm tra nĩ bằng TN. Galileo lập luận rằng chuyển động rơi tự do thì tương tự với chuyển động của một vật lăn xuống theo một mặt phẳng nghiêng (theo dạng của các tỉ lệ), nhờ đĩ chuyển động cĩ thể bị làm chậm đi và sẽ dễ dàng nghiên cứu bằng TN. Galileo thiết kế một đường trượt theo mặt phẳng nghiêng với các đinh gắn trên đoạn đường chuyển động sao cho quãng đường giữa các đinh tỉ lệ với các số lẻ liên tiếp (1,3,5,7,). Bằng TN, Galileo phát hiện ra rằng một quả bĩng lăn sẽ cần một lượng thời gian giống như nhau để vượt qua mỗi cái đinh. Từ đĩ suy ra các quãng đường đi được sau mỗi giây sẽ tỉ lệ lần lượt với các số lẻ liên tiếp: 1, 3, 5, 7,... Mặt khác, bởi vì tổng các số lẻ liên tiếp lại là một bình phương: 1 + 3 + 5 + ⋯+ (2𝑡 − 1) = 𝑡2, cho nên quãng đường sẽ tỉ lệ với bình phương của thời gian chuyển động. Hơn nữa, bằng cách kết hợp một vận tốc theo chiều đứng tăng đều với một vận tốc theo chiều ngang khơng đổi, Galileo (1638) lần đầu tiên thu được quỹ đạo đúng cho viên đạn bắn ra đĩ là đường parabol. 5. Phương pháp động học để tìm tiếp tuyến Parabol của Torricelli Torricelli đã phát hiện ra mối quan hệ giữa hai cặp bài tốn: vận tốc – quãng đường trong Vật lí và tiếp tuyến – diện tích trong Hình học. Dưới đây là minh họa phương pháp động học mà Torricelli sử dụng để xác định tiếp tuyến của đường Parabol26. Giả sử rằng một điểm cĩ vị trí ban đầu tại O và cùng lúc tham gia hai chuyển động: rơi tự do với gia tốc 𝑔 (vận tốc là 𝑔𝑡, với 𝑡 là thời gian) và chuyển động theo phương ngang với vận tốc khơng đổi 𝑢. Chúng ta cĩ: 2 1 ; 2 x gt y ut= = . Loại trừ 𝑡 từ hai phương trình ta được 2 2 2 u y x g   =     , cho nên quỹ đạo của điểm là một parabol. Tỉ số 26 Tham khảo từ Fikhtengol'ts (1965), tr. 459-460. PL5 giữa vận tốc theo phương dọc và theo phương ngang là: 2 2gt gt x u ut y = = . Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại M với trục Ox, vì tam giác TPM đồng dạng với tam giác tạo bởi hai vận tốc 𝑔𝑡 và 𝑢. Lập tỉ lệ đồng dạng ta cĩ: 2 2 2 . TP gt x TP x TP x OT x PM u y y y = =  =  =  = Từ mối quan hệ này, chúng ta xác định được điểm T, nghĩa là xác định được tiếp tuyến TM của parabol tại điểm M. 6. Chứng minh định luật đảo ngược bình phương của Newton bằng vi phân Định luật đảo ngược bình phương nĩi rằng các vật hút nhau bởi một lực tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Để rút ra định luật này, Newton xem xét lực hút giữa mặt trời với các hành tinh và mối quan hệ của nĩ với quỹ đạo chuyển động. Để đơn giản, ổng xét trường hợp quỹ đạo là một đường trịn. Trong trường hợp này, ta biết rằng hành tinh chuyển động với tốc độ khơng đổi theo hướng tiếp tuyến. Giả sử bán kính của quỹ đạo là r và tốc độ theo hướng tiếp tuyến là v(r). Định luật 2 Newton nĩi rằng lực tác động bởi mặt trời thì tỉ lệ với gia tốc của hành tinh hướng về phía mặt trời, vì thế chúng ta cần đi tìm gia tốc hướng về tâm của đường trịn. Newton đã sử dụng vi phân để giải quyết vấn đề này: Xét 2 điểm rất gần nhau trên quỹ đạo trịn cĩ vận tốc là 𝑣1 và 𝑣2. Số gia hai vận tốc này dv, sẽ cĩ độ lớn là ( )v r d khi 0d → và cĩ hướng vuơng gĩc với cả 𝑣1và 𝑣2, suy ra gia tốc này sẽ hướng về tâm của đường trịn. Gia tốc của các hành tinh sẽ là ( )dv v r d dt dt  = . Mặt khác ( ) ( ) ds d rd d v r r dt dt dt   = = = . Xác định gia tốc của một hành tinh trên quỹ đạo của nĩ PL6 Từ đĩ suy ra gia tốc:   2 ( )v r a t = . Bởi vì chu vi quỹ đạo là 2 r nên chu kì quay của hành tinh sẽ là: 2 ( ) r v r  . Tuy nhiên theo định luật thứ ba mà Kepler đã tìm ra thì chu kì này bằng 3/2.C r , với C là một hằng số nào đĩ. Suy ra: 3/2 1/2 2 ' . ( ) ( ) r C C r v r v r r  =  = , C’ là một hằng số khác. Từ đây gia tốc sẽ là   2 2 ( ) 'v r C r r = , mà theo định luật hai của Newton thì lực sẽ bằng tích khối lượng với gia tốc và sẽ bằng: 2 'mC r . Tức là tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách và hướng về phía mặt trời. PL7 PHỤ LỤC 2 PHIẾU HỌC TẬP Ở CÁC PHA CỦA ĐỒ ÁN DẠY HỌC ĐẠO HÀM PHIẾU HỌC TẬP PHA 1 Tên nhĩm:.. Bài tốn 1. Một bình nuơi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ 00𝐶. Tại thời điểm 𝑡 = 0 người ta cung cấp nhiệt cho nĩ. Nhiệt độ của bình bắt đầu tăng lên và trong khoảng thời gian đầu được ước tính bởi hàm số sau: 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 1)3 + 1. Trong đĩ 𝑓(𝑡) (đơn vị độ C) là nhiệt độ của bình nuơi cấy ở thời điểm 𝑡 giây. a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuơi cấy trên trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡0 = 0,5 giây đến thời điểm 𝑡 sau đĩ 1 giây (∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 = 1). b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuơi cấy trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡0′ = 1,25 đến thời điểm 𝑡′ sau đĩ 1 giây (∆𝑡′ = 𝑡′ − 𝑡0′ = 1). c. Tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25 , theo dự đốn của em thời điểm nào nhiệt độ của bình nuơi cấy tăng nhanh hơn? PL8 PHIẾU HỌC TẬP PHA 2 Tên nhĩm:.. Bài tốn 1’. Cho biết hàm số nhiệt độ 𝑓(𝑡) cĩ đồ thị như hình bên trái dưới đây: Bên phải là hình ảnh phĩng to đồ thị hàm số 𝑓(𝑡) tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25. Quan sát và trả lời lại câu hỏi: Tại hai thời điểm 𝑡0 = 0,5 và 𝑡0′ = 1,25 , thời điểm nào nhiệt độ của bình nuơi cấy tăng nhanh hơn? Giải thích câu trả lời. PHIẾU HỌC TẬP PHA 3 Tên nhĩm:.. Bài tốn 2. Với thơng tin đã cho từ bài tốn 1: Hàm số nhiệt độ của bình nuơi cấy theo thời gian được cho bởi: 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 1)3 + 1 Em hay tìm một khoảng thời gian ∆𝑡 sau thời điểm 𝑡0 = 0,5 và một khoảng thời gian ∆𝑡′ sau thời điểm 𝑡0′ = 1,25 để tốc độ tăng nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian thứ nhất sẽ trở nên lớn hơn trong khoảng thời gian thứ hai (thay vì nhỏ hơn như khi ta chọn ∆𝑡 = ∆𝑡′ = 1 ở bài tốn 1)? PL9 PHIẾU HỌC TẬP PHA 5 Tên nhĩm:.. Bài tốn 3. a. Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuơi cấy trong khoảng thời gian từ thời điểm 𝑡0 = 0,5 đến thời điểm 𝑡 = 0,5 + ∆𝑡 (kết quả tính tốn phụ thuộc vào ∆𝑡). b. Tính tốc độ tăng nhiệt độ tức thời tại thời điểm 𝑡0 = 0,5 nĩi trên. PHIẾU HỌC TẬP PHA 7 Tên nhĩm:.. a. Gọi hàm số biểu diễn vận tốc và gia tốc theo thời gian lần lượt là: 𝑣(𝑡) và 𝑎(𝑡). Trong SGK Vật lí lớp 10 ta biết rằng tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc theo thời gian chính là gia tốc. Gia tốc đặc trưng cho mức độ biến thiên nhanh chậm của vận tốc. Bên cạnh đĩ, để tính độ lớn của gia tốc tức thời SGK Vật lí lớp 10 đưa ra cơng thức sau đây: v a t  =  , với ∆𝑡 rất nhỏ. Theo em, để tính được chính xác gia tốc tức thời tại một thời điểm thì cơng thức đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau. b. Phát biểu sau được trích dẫn trong bài “Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ” SGK Vật lí 11 NC (tr.186) “độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên của từ thơng qua mạch Nếu trong khoảng thời gian ∆𝑡 đủ nhỏ, từ thơng qua mạch biến thiên một lượng  thì t   là tốc độ biến thiên của từ thơng. SGK Vật lí lớp 11 đưa ra cơng thức tính độ lớn suất điện động cảm ứng ce như sau: ce t  =  , với ∆𝑡 đủ nhỏ. Nếu tính đến dấu của 𝑒𝑐 (theo định luật Len-xơ) thì cơng thức xác định suất điện động cảm ứng tại một thời điểm được viết dưới dạng sau: ce t  = −  , với ∆𝑡 đủ nhỏ. PL10 Theo em, cơng thức trên đã giúp xác định chính xác suất điện động cảm ứng tại mỗi thời điểm hay chưa? Hãy đưa ra một cơng thức cĩ thể xác định chính xác suất điện động tức thời nĩi trên. Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau. c. Trong bài hiện tượng “Tự cảm”, SGK Vật lí 11 cơ bản phát biểu định luật về suất điện động tự cảm xuất hiện trong mạch như sau: “Suất điện động tự cảm cĩ độ lớn tỉ lệ với tốc độ biến thiên của cường độ dịng điện trong mạch” (tr. 156) Theo đĩ, suất điện động tự cảm được xác định bởi cơng thức sau đây: tc i e L t  = −  , với 𝐿 là độ tự cảm và ∆𝑡 rất nhỏ. Theo em, để tính được chính xác suất điện động tự cảm tại một thời điểm thì cơng thức đúng phải là gì? Giải thích đề xuất của mình bằng ít nhất hai lí lẽ khác nhau. PL11 PHỤ LỤC 3 PHIẾU HỌC TẬP Ở CÁC PHA CỦA ĐỒ ÁN DẠY HỌC TÍCH PHÂN PHIẾU HỌC TẬP PHA 1 Tên nhĩm:.. Bài tốn 1. Một vật chuyển động thẳng trong đĩ quãng đường 𝑠 (cm) đi được tại thời điểm 𝑡 (giây) được xác định bởi hàm số 3( )s t t= (coi 0t = là thời điểm bắt đầu chuyển động). Tính vận tốc của vật tại thời điểm 2t = giây, 3t = giây? PHIẾU HỌC TẬP PHA 1’ Tên nhĩm:.. Bài tốn 2. Một vật bắt đầu chuyển động theo đường thẳng từ thời điểm 0t = , vận tốc của vật tại thời điểm 𝑡 được xác định bởi hàm số: ( ) 2v t t= (cm/s). a. Tính quãng đường vật đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến thời điểm 2t = giây. b. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm 2t = giây đến thời điểm 4t = giây. PL12 PHIẾU HỌC TẬP PHA 2 Tên nhĩm:.. Bài tốn 3. Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc khơng đổi ( ) 2v t = (cm/s). Đồ thị vận tốc theo thời gian được cho dưới đây: a. Tính quãng đường vật đi được sau 3 giây từ lúc bắt đầu (thời điểm 0t = đến thời điểm 3t = ) b. Theo em, đại lượng hình học nào (chu vi, diện tích, ) trên đồ thị biểu diễn cho quãng đường vật đi được ở câu a? PL13 PHIẾU HỌC TẬP PHA 3 Tên nhĩm:.. Bài tốn 4. Trong xứ sở thần tiên, các bạn nhỏ tí hon cĩ tổ chức một cuộc thi chạy tiếp sức. Mỗi đội gồm một số vận động viên chạy nối tiếp nhau trong tổng thời gian là 6 giây. ▪ Đội 1 gồm 3 bạn X, Y và Z chạy tiếp sức theo thứ tự đĩ. Mỗi bạn đều chạy trong 2 giây rồi chuyền gậy cho bạn kế tiếp. Vì mỗi bạn chỉ chạy trong một thời gian ngắn nên cĩ thể xem như chạy với vận tốc khơng đổi như sau: Bạn X: 1𝑐𝑚/𝑠, bạn Y: 1,5𝑐𝑚/𝑠, bạn Z: 2𝑐𝑚/𝑠. Đồ thị hàm số vận tốc của ba bạn cĩ thể vẽ như hình dưới: ▪ Đội 2 gồm 6 bạn: A, B, C, D, E, F chạy tiếp sức theo thứ tự đĩ. Mỗi bạn chỉ chạy trong 1 giây rồi chuyền gậy cho bạn tiếp theo. Vận tốc của 6 bạn là một cấp số cộng với cơng sai là 0,25 /cm s và bạn A chạy đầu tiên với vận tốc 1 /cm s . a. Hãy tính tổng quãng đường mỗi đội chạy được. Đội nào chạy được quãng đường dài hơn? b. Tơ màu phần diện tích của hình biểu diễn quãng đường chạy được của mỗi đội. PL14 PHIẾU HỌC TẬP PHA 4 Tên nhĩm:.. Bài tốn 5. Các bạn nhỏ tí hon cũng tổ chức thi chạy cá nhân tính thành tích, mỗi bạn tham gia thi đấu sẽ chạy một mình trong 5 giây và so sánh quãng đường chạy được với nhau. Trong quá trình thi chạy của bạn Tom, người ta ghi nhận được vận tốc của bạn ấy cứ mỗi 0,5 giây một lần. Dữ liệu được cho theo bảng sau: Thời điểm 𝑡 (giây) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Vận tốc 𝑣 (cm/s) 1 1,1 1,2 1,3 1,31 1,35 1,36 1,37 1,38 1,4 Hãy tính xấp xỉ quãng đường mà Tom chạy được trong 5 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. PHIẾU HỌC TẬP PHA 5 Tên nhĩm:.. Bài tốn 6. Bạn Jerry thi chạy sau đĩ và chúng ta biết được vận tốc của Jerry biến đổi theo hàm số 2 1 ( ) 1 25 v t t= + (cm/s). Đồ thị hàm số này được cho dưới đây: Hãy tính gần đúng quãng đường mà Jerry chạy được trong 5 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. PL15 PHỤ LỤC 4 THỰC NGHIỆM KIỂM TRA KHẢ NĂNG VẬN DỤNG CƠNG CỤ TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TỐN VẬT LÍ CỦA SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TỐN 1. Đối tượng thực nghiệm và mục tiêu thực nghiệm Ba bài tốn dưới đây chính là các ví dụ về kiểu nhiệm vụ LM Tốn – Vật lí mà chúng tơi dùng để minh hoạ cho giải pháp 8 (ví dụ 8.3; 8.4; 8.5). TN tiến hành trên đối tượng là SV năm thứ ba khoa tốn trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. Cĩ 32 SV được lựa chọn cho TN, các em này đã được học nhiều học phần về GT trước đĩ và chuẩn bị tham gia kì kiến tập sư phạm ở các trường phổ thơng. Với những kiến thức tốn được trang bị như vậy, TN của chúng tơi muốn kiểm tra xem SV Sư phạm tốn cĩ khả năng vận dụng chúng để giải quyết được các bài tốn với ngữ cảnh vật lí hay khơng. 2. Các bài tốn thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm và kết quả Bài tốn 1. Hai xe ơ tơ xuất phát đồng thời từ cùng một vị trí và bắt đầu chuyển động trên cùng một đường thẳng theo cùng một hướng với vận tốc cho bởi đồ thị sau: a. Theo em, vào thời điểm 𝑡 = 3 phút, xe nào đi được quãng đường dài hơn? Giải thích câu trả lời của em. b. Tại thời điểm 𝑡 = 8 phút, xe nào đi được quãng đường dài hơn? Giải thích. Phân tích: Hàm số vận tốc được cho theo biểu diễn đồ thị trong đĩ vận tốc xe A cĩ thể nội suy ra biểu thức đại số cịn xe B thì khơng. Một trong những ý nghĩa vật lí của tích phân được đưa vào chương trình tốn phổ thơng đĩ là quãng đường bằng tích phân hàm vận tốc. Bên cạnh đĩ tích phân cĩ ý nghĩa hình học là diện tích dưới đường cong. Chúng tơi muốn kiểm tra xem các SV cĩ biết so sánh quãng đường thơng qua so sánh hai tích phân và nối kết với việc so sánh diện tích dưới đường cong vận tốc hay khơng? Việc sử dụng diện tích để tính tốn hoặc so sánh các đại lượng là một kĩ thuật PL16 quan trọng trong Vật lí nhất là khi các đại lượng cần so sánh khơng phải lúc nào cũng cho trước biểu thức đại số. Các chiến lược giải cĩ thể xuất hiện: - Chiến lược tích phân – diện tích (𝑺𝑫𝒊ệ𝒏 𝒕í𝒄𝒉): So sánh hai quãng đường thơng qua so sánh hai diện tích dưới đường cong vận tốc. - Chiến lược tích phân – đại số (𝑺Đạ𝒊 𝒔ố): Tìm biểu diễn đại số cho hàm vận tốc rồi tính quãng đường bằng tích phân rồi so sánh. - Chiến lược vật lí (𝑺𝑽ậ𝒕 𝒍í): So sánh quãng đường bằng các lí lẽ trong ngữ cảnh vật lí (vận tốc lớn hơn thì quãng đường sẽ lớn hơn). Kết quả với bài tốn 1: Bài tốn 1 Câu a Câu b Chiến lược 𝑺Diện tích và 𝑺Đại số 𝑺Vật lí Khơng trả lời 𝑺Diện tích 𝑺Đại số Cách giải sai hoặc khơng trả lời Số SV 0 28 4 6 4 22 Tỉ lệ 0% 87,5% 12,5% 18.8% 12,5% 68,8% Ở câu a, hầu hết SV (87,5%) đều sử dụng 𝑺Vật lí để giải thích rằng quãng đường xe B dài hơn vì vận tốc lớn hơn và cách giải này cho thấy cơng cụ tích phân vẫn chưa tác động. Tuy nhiên với câu b thì 𝑺Vật lí khơng sử dụng được, lúc này chỉ cĩ 19% (6/32) số SV biết sử dụng 𝑺Diện tích để giải thích được xe A đi được quãng đường dài hơn vì diện tích hình phẳng dưới đồ thị lớn hơn. Đa số khơng gợi ra được cơng cụ tích phân trong tình huống này và vẫn cố gắng sử dụng các lí lẽ vật lí để trả lời nhưng khơng thành cơng. Ngồi ra, cĩ 4 SV nghĩ đến việc sử dụng tích phân để so sánh hai quãng đường đi được, tuy nhiên thay vì kết nối nĩ với diện tích thì họ lại cố gắng nội suy ra hàm số vận tốc để cĩ thể tính tốn bằng đại số. Như vậy, trong tình huống hàm số vận tốc được cho theo biểu diễn đồ thị thay vì biểu diễn đại số thì nhiều SV trong TN của chúng tơi đã khơng thể gợi ra tích phân cũng như nối kết quãng đường cần so sánh với diện tích để cĩ được câu trả lời hợp lí. PL17 Bài tốn 2. Đồ thị gia tốc – thời gian của hai vật được cho dưới đây: Vật 1 Vật 2 c. Cho biết vật 1 cĩ hàm số gia tốc trên đoạn [0; 2] là 𝑎(𝑡) = −𝑡 + 2. Vận tốc của vật 1 thay đổi một lượng bao nhiêu từ thời điểm 𝑡 = 0 đến thời điểm 𝑡 = 2 giây. d. Trong hai vật, vật nào cĩ sự thay đổi vận tốc lớn hơn trong khoảng thời gian chuyển động từ thời điểm 𝑡 = 0 giây đến thời điểm 𝑡 = 2 giây? Giải thích tại sao. Phân tích Các SV đã rất quen thuộc với cơng thức Newton – Leibniz, vốn là một dạng phát biểu của định lí cơ bản của giải tích. Trong đĩ, tích phân được tính bằng hiệu hai nguyên hàm ở hai cận: '( ) ( ) ( ) b a f x dx f b f a f= − =  . Ở chương trình phổ thơng, các SV cũng biết rằng gia tốc là đạo hàm của vận tốc: '( ) ( )v t a t= . Vì thế trong ngữ cảnh của bài tốn này cơng thức Newton – Leibniz sẽ trở thành: '(t) ( ) b b a a v v dt a t dt = =  . Nghĩa là lượng thay đổi vận tốc bằng tích phân hàm gia tốc. Ở bài tốn này chúng tơi đặt câu hỏi về lượng thay đổi vận tốc giữa hai thời điểm, và liệu SV cĩ sử dụng được kiến thức về tích phân và vật lí của họ để giải quyết hay khơng? Các chiến lược giải cĩ thể xuất hiện - Chiến lược tích phân (𝐒𝐓í𝐜𝐡 𝐩𝐡â𝐧): Vận tốc thay đổi một lượng là: 2 0 ( ) ( 2) 2( / ) b a v a t dt t dt m s = = − + =  . - Chiến lược tính tích phân bằng diện tích (𝑺𝑫𝒊ệ𝒏 𝒕í𝒄𝒉): Vì hàm số gia tốc cịn được cho theo biểu diễn đồ thị nên chúng ta cĩ thể tính tích phân bằng diện tích hình phẳng dưới đồ thị. Kết quả với bài tốn 2: PL18 Bài tốn 2 Câu a Câu b Chiến lược giải 𝑺Diện tích 𝐒Tích Phân hoặc 𝐒Nguyên hàm Cách giải sai/ khơng trả lời 𝑺Diện tích 𝐒Tích Phân Cách giải sai/ khơng trả lời Số SV 3 11 18 6 0 26 Tỉ lệ 9,4% 34,4% 56,3% 18.8% 0% 81,3% Ở câu a, kết quả thu được cho thấy một tỉ lệ đáng kể (56,3%) SV khơng sử dụng tích phân để tính lượng thay đổi vận tốc ∆𝑣. Trong số 14 SV vận dụng được cơng cụ tích phân vào việc giải quyết bài tốn thì cĩ đến 11 em thực hiện việc tính tích phân theo nguyên hàm và ba em cịn lại sử dụng diện tích để đi đến kết quả. Với câu b, khi hàm số gia tốc được cho ở biểu diễn đồ thị, chỉ cĩ 18,8% (6/32) SV tìm ra được chiến lược tối ưu là 𝑺Diện tích để giải thành cơng bài tốn. Đáng chú ý là khi xem xét lời giải câu b của 14 SV đã áp dụng tích phân ở câu a, chúng tơi nhận thấy cĩ đến 8 em tìm cách nội suy hàm số gia tốc của vật 2 để tìm được biểu thức GT cho chúng. Đa số các em này mặc nhiên thừa nhận đường cong gia tốc của vật 2 cĩ dạng parabol để nội suy rồi tính ra giá trị số của tích phân trước khi so sánh. Kết quả TN với bài tốn 2 cho thấy, mặc dù SV sở hữu những kiến thức tốn và vật lí cần thiết tuy nhiên phần lớn khơng thể vận dụng chúng vào bài tốn yêu cầu xác định lượng thay đổi vận tốc. Nhưng nếu khĩ khăn mà các SV gặp phải khơng bắt nguồn từ sự thiếu kiến thức tốn và vật lí, vậy thì nĩ bắt nguồn từ đâu? Theo chúng tơi nguyên nhân nằm ở dạng kiến thức cơ lập mà SV sở hữu. Việc học kiến thức tốn của SV thường diễn ra một cách tách biệt với những ngữ cảnh vật lí và thực tiễn mà ở đĩ nĩ được áp dụng. Bên cạnh đĩ, dường như các SV sư phạm vẫn cịn xa lạ với các kiểu nhiệm vụ địi hỏi ứng dụng kiến thức về tích phân vào các ngữ cảnh ngồi tốn học, đặc biệt là vật lí. Điều này dẫn đến việc cách hiểu tích phân theo hiệu nguyên hàm mặc dù được kích hoạt dễ dàng trong các kiểu nhiệm vụ tính tốn nhưng lại “ít hoạt động” với các bài tốn cĩ ngữ cảnh ứng dụng. PL19 Bài tốn 3. Cơng 𝐴 do lực F khơng đổi kéo vật dịch chuyển một độ dời 𝑠 (cùng phương với lực) được tính bởi cơng thức: 𝐴 = 𝐹. 𝑠. a. Một vật dịch chuyển trên đoạn đường thẳng dưới tác dụng của một lực kéo khơng đổi cĩ độ lớn F = 10N cùng phương với chiều chuyển động. Tính cơng của lực khi kéo vật từ vị trí ban đầu 𝑠 = 0 đến vị trí 𝑠 = 5 (m). b. Trong thực tế, khi kéo vật di chuyển quãng đường càng lớn thì người kéo càng mệt nên lực kéo giảm dần theo hàm số 2 1 ( ) 10 25 F s s= − (đơn vị của lực là Newton và đồ thị cho ở bên). - Hãy tìm cách tính gần đúng cơng của lực kéo này khi vật dịch chuyển từ vị trí 𝑠 = 0 (m) đến vị trí 𝑠 = 5 (m). Giải thích cách tính của mình. - Bạn hãy đề nghị một phương pháp tốn học cho phép tính chính xác cơng cần tìm. Hãy giải thích đề nghị của bạn. Kết quả với bài tốn 3: Từ đầu bài tốn chúng tơi đã cung cấp cơng thức tính cơng trong trường hợp lực tác động khơng đổi. Vì thế khơng ngạc nhiên khi tất cả các HS và SV tham gia TN đều dễ dàng áp dụng và đưa ra được kết quả đúng cho yêu cầu ở câu a. Đối với yêu cầu ở câu b, kết quả chúng tơi ghi nhận với nhĩm SV như sau: Khơng cĩ SV nào đưa ra được chiến lược 𝑺Riemann đối với yêu cầu tính gần đúng. Với yêu cầu tính chính xác, chỉ cĩ 6 SV (18,8%) trên tổng số 32 SV biết sử dụng tích phân để tính cơng cần tìm trong khi các em cịn lại khơng đưa ra được câu trả lời. Đáng nĩi hơn, chúng tơi đã tiến hành phỏng vấn 6 SV thành cơng này và phát hiện ra rằng chỉ cĩ duy nhất một em biết được lí do sử dụng tích phân dựa trên cấu trúc tổng Riemann. Các em cịn lại cho biết rằng, họ biết cơng thức tính cơng theo tích phân từ các sách tham khảo vật lí nhưng vẫn chưa hiểu tại sao cĩ cách tính này 3. Kết luận cho thực nghiệm Để dạy học tích phân theo hướng LM Tốn – Vật lí, điều quan trọng là GV phải dạy được tích phân theo cách mà người học cĩ thể sử dụng nĩ để giải quyết các vấn PL20 đề của Vật lí. Mà nếu như thế thì các SV sư phạm sắp trở thành những GV trong tương lai liệu cĩ sử dụng được tích phân trong các bài tốn của Vật lí hay khơng? Kết quả TN của chúng tơi cho thấy các SV gặp khĩ khăn trong việc áp dụng kiến thức tốn học của mình vào ngữ cảnh vật lí. Hơn nữa, điều đáng chú ý là khĩ khăn họ gặp phải lại khơng đến từ sự thiếu hụt kiến thức tốn hay vật lí. Thật vậy, ở bài tốn 1 đa số các SV biết ý nghĩa vật lí của tích phân là quãng đường vì đã được giới thiệu trong SGK tốn lớp 12. Bên cạnh đĩ, những SV này cũng biết ý nghĩa hình học của tích phân là diện tích hình phẳng dưới đường cong. Tuy nhiên, trong một tình huống mà hàm số vận tốc được cho theo biểu diễn đồ thị thay vì biểu diễn đại số thì nhiều SV trong TN của chúng tơi đã khơng thể gợi ra tích phân cũng như nối kết quãng đường cần so sánh với diện tích để cĩ được câu trả lời hợp lí. Đến bài tốn 2, mặc dù SV sở hữu những kiến thức tốn và vật lí cần thiết như cơng thức Newton – Leibniz hay mối quan hệ giữa gia tốc và vận tốc. Phần lớn các em khơng thể vận dụng chúng vào bài tốn vật lí mà yêu cầu là xác định lượng thay đổi vận tốc. Nhưng nếu khĩ khăn mà các SV gặp phải khơng bắt nguồn từ sự thiếu kiến thức tốn và vật lí, vậy thì nĩ bắt nguồn từ đâu? Theo chúng tơi nguyên nhân cĩ lẽ là ở dạng kiến thức cơ lập mà SV sở hữu. SV học một kiến thức tốn, nhưng kiến thức tốn này được họ học tập và nhận thức một cách tách biệt với những ngữ cảnh trong thực tế và khoa học mà kiến thức này cĩ thể được áp dụng. Vì vậy mặc dù cĩ đủ kiến thức về cả tốn và khoa học nhưng SV cĩ thể gặp khĩ khăn trong việc nối kết các hiểu biết mà họ cĩ được để giải quyết vấn đề. Điều tương tự cũng xảy ra trong kết quả với bài tốn 3. SV sư phạm tốn ở bậc đại học được dạy tích phân theo định nghĩa giới hạn tổng Riemann, tuy nhiên việc tách biệt dạng kiến thức này khỏi những ứng dụng đa dạng của nĩ đang làm cho quan niệm của SV về tích phân bị hạn chế. Hầu hết SV khơng thể sử dụng cách hiểu tích phân theo tổng Riemann này vào một ngữ cảnh ứng dụng khơng quen thuộc đĩ là bài tốn tính cơng của lực biến đổi. PL21 4. Hình ảnh minh hoạ một số bài làm của sinh viên trong thực nghiệm Bài tốn 1. Bài làm 1. Bài làm 2. PL22 Bài làm 3. Bài làm 4. PL23 Bài làm 5. PL24 Bài tốn 2. Bài làm 1. PL25 Bài làm 2. Bài làm 3. PL26 Bài tốn 3 Bài làm 1. Bài làm 2. PL27 Bài làm 3.