Luận án Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

NG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. TRẦN LUẬN 2. PGS.TS. §µo Th¸i Lai HÀ NỘI, 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực. Những kết luận khoa học của luận án chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả luận án Thịnh Thị Bạch Tuyết LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong và ngoài Viện khoa học giáo dục Việt Nam, Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng Viện khoa học giáo dục Việt Nam đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh cũng như đã đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án. Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS. Trần Luận và Thầy giáo PGS.TS. Đào Thái Lai những người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua. Tác giả xin trân trọng cám ơn sự tạo điều kiện, giúp đỡ từ phía Ban Giám hiệu Trường Dự bị Đại học Dân tộc Sầm Sơn trong quá trình làm luận án. Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án này. Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận án chắc chắn còn thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng luận án. Hà Nội, ngày 25 tháng 7 năm 2016 Tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ MỞ ĐẦU.....................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài..................................................................................................... 1 2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu........................................................................... 4 3. Mục đích nghiên cứu............................................................................................ 10 4. Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu......................................10 5. Giả thuyết khoa học............................................................................................. 10 6. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................................10 7. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................... 11 8. Những đóng góp mới của luận án........................................................................11 9. Nội dung đưa ra bảo vệ........................................................................................ 12 10. Cấu trúc của luận án.......................................................................................... 12 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.....................................................13 1.1 Về năng lực giải quyết vấn đề............................................................................ 13 1.1.1 Dạy học giải quyết vấn đề.................................................................................13 1.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề.............................................................................. 16 1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề............................................................................... 18 1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức......................................................................... 23 1.2.1 Quan điểm hoạt động....................................................................................... 23 1.2.2 Hoạt động nhận thức........................................................................................24 1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động............................................25 1.2.4 Về cách hiểu quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức................................. 26 1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể.................................. 29 1.2.6 Đặc điểm của thủ pháp hoạt động nhận thức................................................. 48 1.2.7 Mức độ biểu hiện thủ pháp hoạt động nhận thức của học sinh...................... 50 1.3 Vấn đề về trang bị các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông............................................................ 51 1.3.1 Trang bị một số ý tưởng về vận dụng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh............................................................................................................................51 1.3.2 Trang bị kiến thức về thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh................ 51 1.3.3 Thiết kế hệ thống một số nội dung đặc biệt để trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh.............................................................................................52 1.4 Nội dung giải tích trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông ...................................................................................................................................53 1.4.1 Vài nét về giải tích cổ điển................................................................................53 1.4.2 Nội dung và đặc điểm giải tích trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông hiện hành................................................................................................. 54 1.4.3 Cơ hội hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua dạy học giải tích.............................................................................................................................56 1.4.4 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức được sử dụng trong giải tích ở trường trung học phổ thông.................................................................................................. 60 1.4.5 Mối liên hệ giữa thủ pháp hoạt động nhận thức và năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học giải tích...............................................................................................64 1.5 Thực trạng dạy học giải tích cho học sinh ở trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức.................................................................................................66 1.5.1 Mục đính khảo sát........................................................................................... 66 1.5.2 Đối tượng khảo sát.......................................................................................... 66 1.5.3 Phương pháp khảo sát.....................................................................................66 1.5.4 Kết quả khảo sát thực trạng............................................................................ 67 1.5.6 Nguyên nhân dẫn đến những hạn chế............................................................70 1.6 Kết luận chương 1.............................................................................................. 71 Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT THEO HƯỜNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GQVĐ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC.............................................72 2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức.................................................................................72 2.2 Một số biện pháp dạy học giải tích ở Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức.................................................................................................................. 72 2.2.1 Biện pháp 1. Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp.......................................... 72 2.2.2 Biện pháp 2. Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS trong dạy học một số tình huống vận dụng kiến thức giải tích thông qua tìm hiểu và nhận biết vấn đề, tìm giải pháp................................................................................................. 91 2.2.3 Biện pháp 3. Lựa chọn tình huống ứng dụng kiến thức giải tích tập luyện cho HS sử dụng một số thủ pháp hoạt động nhận thức thực hiện hoạt động nghiên cứu sâu giải pháp........................................................................................................... 112 2.3 Kết luận chương 2...........................................................................................1412 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.............................................................. 143 3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm.................................................................143 3.2 Tổ chức thực nghiệm........................................................................................ 143 3.3 Nội dung thực nghiệm...................................................................................... 145 3.4 Kết quả thực nghiệm........................................................................................ 152 3.4.1 Đánh giá định tính......................................................................................... 152 3.4.2 Đánh giá định lượng...................................................................................... 159 3.5 Kết luận chương 3............................................................................................ 164 KẾT LUẬN.............................................................................................................167 CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC........................................................................169 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................170 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, viết tắt Viết đầy đủ DT : Dẫn theo ĐH : Đại học GQVĐ : Giải quyết vấn đề GV : Giáo viên HĐNT : Hoạt động nhận thức HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở TPHĐNT : Thủ pháp hoạt động nhận thức Tr : Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.3: Phân bố điểm của nhóm nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng sau khi thực nghiệm vòng 1...............................................................................................161 Bảng 3.4: Phân bố tần số lũy tích hội tụ lùi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng sau khi thực hiện vòng 1....................................................................................................161 Bảng 3.5: Phân bố điểm của nhóm nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng sau khi thực nghiệm vòng 2...163 Bảng 3.6: Phân bố tần số lũy tích hội tụ lùi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng sau khi thực hiện vòng 2....164 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.3: Đồ thị biểu diễn đường tần suất lũy tích hội tụ lùi của nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau thực nghiệm vòng 1................................................ ..161 Biểu đồ 3.4: Đồ thị biểu diễn đường tần suất lũy tích hội tụ lùi của nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau thực nghiệm vòng 2..................................................164 DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Các thành tố của năng lực GQVĐ............................................................. ..23 Hình 1.2 Sơ đồ cấu trúc chung của hoạt động.......................................................... ..24 (1)n Hình 1.3. Biểu diễn dãy số u  , n 1....41 n n Hình 1.4. Minh họa hình phẳng....43 Hình 2.1. Minh họa đồ thị hàm số............76 Hình 2.2. Minh họa đồ thị hàm số.77 Hình 2.3; Hình 2.4; Hình 2.5. Minh họa đồ thị hàm số.80 Hình 2.6. Minh họa đồ thị hàm số.........................................81 Hình 2.7; Hình 2.8; Hình 2.9; Hình 2.10; Hình 2.11; Hình 2.12. Minh họa đồ thị hàm số....................................................................................................................................84 Hình 2.13. Minh họa đồ thị hàm số.............................................................................101 Hình 2.14; Hình 2.15; Hình 2.16. Minh họa đồ thị hàm số........................................102 Hình 2.17. Hình vẽ của tình huống trong ví dụ 2.18...107 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1 Hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh là một mục tiêu quan trọng của môn toán Mục tiêu giáo dục trong thời đại mới là không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những kiến thức, kỹ năng có sẵn cho HS mà điều đặc biệt quan trọng là phải trang bị cho HS cách học và bồi dưỡng cho HS năng lực sáng tạo, năng lực GQVĐ. Nghị quyết Trung ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo khẳng định: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức kĩ năng sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất của người học. Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ một chiều ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực” [18]. Ở nhiều nước trên thế giới, các nhà giáo dục toán học đã nhấn mạnh rằng giáo dục toán học phải lấy việc nâng cao năng lực GQVĐ làm trọng tâm và được thể hiện rõ trong quan điểm trình bày kiến thức và phương pháp dạy học thông qua chương trình và sách giáo khoa. Cụ thể: Năm 1980, Hội đồng Quốc gia GV toán (DT [114]) ở Mỹ đã đề nghị trong chương trình nghị sự của họ “hoạt động GQVĐ phải là trọng tâm của toán học trong nhà trường”. Chương trình giảng dạy và đánh giá Toán của Hội đồng Quốc gia GV Toán Mỹ yêu cầu HS THPT được dạy xây dựng kiến thức toán học mới thông qua GQVĐ (DT [102]). Chuẩn môn Toán của Bang New Jersey - Mỹ khẳng định tất cả HS sẽ phát triển khả năng đặt ra và GQVĐ trong toán học, trong ngành khác và trong cuộc sống hàng ngày (DT [67]). Báo cáo Cockerroft (DT [114]) của Anh nhìn nhận khả năng GQVĐ là một mục tiêu có tính trọng điểm của giáo dục toán học và là yếu tố quan trọng trong việc dạy toán cho mọi lứa tuổi và mọi khả năng. Chương trình giảng dạy lớp 11, 12 của Canada [120] coi GQVĐ là trung tâm của học tập Toán và nên trở thành trụ cột chính của giảng dạy Toán. Năm 2001, Bộ Giáo dục Singapore (DT [102]) khẳng định, mục tiêu chính của chương trình giảng dạy toán học là giúp HS phát triển khả năng GQVĐ Toán học (GQVĐ toán học bao gồm sử dụng và áp dụng toán học vào các nhiệm vụ thực tế, các vấn đề thực tế cuộc sống và trong chính toán học) của 2 HS. Sách giáo khoa Singapore tập trung vào GQVĐ, từng chủ đề được đi sâu và đưa ra những phương pháp rất hữu ích để hiểu khái niệm toán học. GQVĐ được đề cập đến trong chương trình của nhiều nước, cụ thể: Chương trình toán phổ thông của bang Quebec, Canada; Chương trình New Zealand (chú trọng đến các phương pháp tiếp cận để giải quyết các vấn đề liên quan đến toán học, phát triển khả năng tư duy, suy luận hợp lý); Chương trình toán của Pháp (nhấn mạnh tới yếu tố GQVĐ trong học toán); Chương trình toán của Úc (đề cập tới: Sự hiểu biết về kiến ​ ​ thức, kĩ năng toán học; GQVĐ; Lập luận). (DT [39]) Vương Dương Minh [54] khẳng định phương pháp phát hiện và GQVĐ có giá trị to lớn và có khả năng vận dụng rộng rãi trong nhà trường để trở thành một phương pháp chủ đạo. Trần Luận [44] đã đề xuất: Nội dung toán ở nhà trường phổ thông phải là môi trường rèn luyện năng lực GQVĐ và ứng dụng toán học trong cuộc sống hằng ngày. Nghiên cứu về mối quan hệ giữa nội dung môn toán ở trường phổ thông Việt Nam và các năng lực chung cần hình thành và phát triển cho HS, Trần Kiều [35] xác định năng lực GQVĐ là một trong 6 năng lực đặc thù môn toán cần hình thành và phát triển cho HS. Như vậy, GQVĐ có ý nghĩa quan trọng trong giảng dạy toán và được đưa vào chương trình giảng dạy toán của nhiều nước trên thế giới. Năng lực GQVĐ là một năng lực quan trọng cần hình thành và phát triển cho HS trong dạy học toán. Do đó, bồi dưỡng năng lực GQVĐ là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông nước ta hiện nay. 1.2 Giải tích là một nội dung có nhiều tiềm năng để bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề Giải tích là một ngành đóng vai trò chủ đạo trong toán học. Nguồn gốc ra đời của giải tích là để giải quyết 4 bài toán lớn là tìm tiếp tuyến của một đường cong, tìm độ dài của một đường cong, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng, tìm vận tốc và gia tốc của chuyển động theo thời gian. Giải tích ra đời trong quá trình tìm tòi, phát hiện, xây dựng các công cụ để giải quyết những tình huống có vấn đề, những bài toán đặt ra trong vật lí, trong khoa học kĩ thuật và trong nội bộ toán học. Các kiến thức về giải tích có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Kiến thức giải tích được xây dựng thông qua quá trình tìm tòi, phát hiện mối liên hệ giữa các kiến thức đã có để biến đổi các đối tượng nhằm giải quyết tình huống có vấn đề được đặt ra. Chẳng 3 hạn, khái niệm đạo hàm được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn, đạo hàm là công cụ để khám phá các tính chất của hàm số, nguyên hàm được xây dựng thông qua tình huống tìm giải pháp của bài toán ngược tìm hàm số khi biết đạo hàm. Các tính chất, định lí giải tích có thể được xây dựng thông qua giải quyết các tình huống có vấn đề. Như vậy, nội dung giải tích chứa đựng nhiều bối cảnh nảy sinh tình huống có vấn đề và có thể khai thác để bồi dưỡng năng lực GQVĐ. 1.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức có vai trò quan trọng đối với học sinh trong lĩnh hội kiến thức toán học, cũng như giải quyết các vấn đề đặt ra trong học toán Trong bài nói chuyện của Polya (DT [10]), ông cho rằng: Việc học kết thúc bằng việc hình thành các thói quen suy nghĩ tích cực và mục đích chung cho giáo dục toán học là phát triển càng nhiều càng tốt những thói quen suy nghĩ có giá trị trong việc đương đầu với bất kì loại thử thách, vấn đề nào. Ông nhận định, cần phải có một luật cơ bản các chiến thuật giải quyết mọi loại vấn đề khác nhau và điểm cốt yếu trong giáo dục toán học là phải phát triển được những chiến thuật GQVĐ này. Như vậy, có thể nói rằng Polya đã khẳng định dạy chiến thuật (gọi là TPHĐNT) thì phát triển được khả năng GQVĐ cho HS. Thực tế dạy học toán, những cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính độc đáo, khéo léo để tìm kiếm giải pháp đúng đắn, tìm kiếm giải pháp tối ưu giúp HS cảm nhận được vẻ đẹp của toán học, hình thành cho HS cảm xúc thẩm mỹ, khơi dạy niềm say mê và hứng thú học toán. Những cách thức này có vai trò như là phương tiện, như là công cụ giúp HS chiếm lĩnh trọn vẹn tri thức toán học và giải quyết thành công các vấn đề trong học toán. Và những cách thức này được xem là TPHĐNT. Nếu HS được trang bị TPHĐNT thì có thể giải quyết các vấn đề tốt hơn, HS sẽ thành công trong GQVĐ. Tuy nhiên, hiện nay GV chưa quan tâm đến trang bị TPHĐNT cho HS. Trong dạy học toán, GV thường chú trọng cung cấp kiến thức cho HS mà chưa quan tâm nhiều đến cung cấp cho HS cách thức hiệu quả để lĩnh hội và vận dụng các kiến thức. Vì vậy, trang bị TPHĐNT cho HS là việc làm cần thiết và có thể xem là một trong những con đường góp phần hình thành và phát triển năng lực GQVĐ. 4 Xuất phát từ những vấn đề trên chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học Giải tích ở trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh”. 2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 2.1 Một số nghiên cứu về thủ pháp và thủ pháp hoạt động nhận thức *) Nghiên cứu ngoài nước - Quan niệm về “tactic” trong tiếng Anh, về Pri-om trong tiếng Nga và một số nghiên cứu khác về thủ pháp Những nghiên cứu ngoài nước hiện nay, có nhiều quan điểm khác nhau về thủ pháp, TPHĐNT, cụ thể: Shufelt và Smart (DT [2]) cho rằng thủ pháp liên quan đến GQVĐ. Len Frobisher, Backhouse, Robert Mills Gragne (DT [3]) cho rằng thủ pháp là một khái niệm thuộc lĩnh vực phương pháp, đó chính là cách thức mà con người ta làm, xử lí và sử dụng hiệu quả các thông tin. Việc xử lí và sử dụng hiệu quả thông tin đòi hỏi lối suy nghĩ riêng biệt, linh hoạt, khéo léo, độc đáo. Thủ pháp được vận dụng trong GQVĐ. Hầu hết các thủ pháp đều độc lập với nội dung toán học và đều bổ ích đối với các vấn đề có liên quan đối với các lĩnh vực và các môn học. D.N.Perkins (DT [2]) cho rằng thủ pháp thuộc lĩnh vực phương pháp và nó là một trong các thành tố của trí thông minh và có thể được biểu diễn bằng sơ đồ như sau: Trí thông minh = Năng lực + Thủ pháp + Trình độ chuyên môn. Thủ pháp được vận dụng khi người ta cần giải quyết một nhiệm vụ nào đó. D.N. Perkins [105] khẳng định thủ pháp (tactic) rất quan trọng nên cần phải xác định thuật ngữ này càng rõ càng tốt. Và ông cho rằng thuật ngữ thủ pháp (tactic) thông thường được hiểu rất mơ hồ và có nghĩa hẹp ở những phạm vi nhất định khuyến khích việc giới thiệu một suy nghĩ mới và thuật ngữ này được cải thiện hơn, được định nghĩa là cách hướng dẫn quy trình tổ chức và hỗ trợ quá trình suy nghĩ. Ông cho rằng các phương pháp để nâng cao tư duy phụ thuộc phần lớn vào bài tập để nâng cao tư duy, tìm kiếm cách dạy các thủ pháp và nội dung để nâng cao tư duy. Khi được dạy những thủ pháp, chiến lược để thực hiện một nhiệm vụ, một người có trí tuệ phát triển chậm làm được gần như một người bình thường. Việc hướng dẫn tỉ mỉ đối với những thủ pháp được lựa chọn kỹ lưỡng có thể nâng cao đáng kể hiệu quả. Cơ hội tốt nhất đối với giáo dục là trang bị kiến thức có 5 tính thủ pháp cho HS. Như vậy, thủ pháp hỗ trợ, nâng cao hiệu quả tư duy va mang lại lợi ích về sự phát triển trí tuệ. TPHĐNT được các nhà Tâm lý học Xô viết nghiên cứu và phát triển, ứng dụng trong Tâm lý học và được các nhà Sư phạm Liên bang Nga vận dụng và phát triển trong giáo dục học các bộ môn trong đó bộ môn toán có Itova Irina. Itova Irina [118] cho rằng trong hoạt động học tập của HS gồm: sự hình thành kiến thức và quá trình hình thành thủ pháp làm việc với các tài liệu học tập. Itova Irina khẳng định rằng: “TPHĐNT là những cách thức mà người học dùng để thực hiện (thủ pháp trừu tượng, tổng hợp,) và là những cái mà có thể được thể hiện trong một loạt hành động”. TPHĐNT thường có tính hướng dẫn hoặc quy định, khuyến cáo chỉ ra cách làm thế nào để tiến hành hoạt động nhận thức, quy trình nào cần có trong việc giải quyết một số các nhiệm vụ cụ thể. Việc nắm vững một thủ pháp thể hiện ở chỗ sử dụng thủ pháp một cách có ý thức khi giải quyết những nhiệm vụ mới. Trong nghiên cứu về những yêu cầu của giáo dục trong việc phát triển hoạt động nhận thức, cũng như trong việc phát triển trí tuệ của HS, bà cho rằng: Mục đích chính của hoạt động nhận thức của HS là nắm bắt kiến thức; Để dạy trẻ em học một cách thông minh cần hình thành cách thức suy nghĩ hợp lý hay các thủ pháp, nó trở thành “công cụ" độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập. TPHĐNT nên được dạy cho HS bởi vì nó giúp HS tiếp thu đầy đủ được nội dung học tập. L.M.Phơritman, E.N.Turetxki, V.Ia.Xtetxencô (DT [46]) cho rằng khi tìm kiếm lời giải các bài toán, nếu bài toán là không chuẩn thì hành động theo hai hướng: Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành những bài toán nhỏ dạng chuẩn (thủ pháp chia nhỏ); Diễn đạt bài toán theo một cách khác, dẫn đến một bài toán dạng chuẩn (thủ pháp mô hình hóa); Việc dẫn một bài toán dạng không chuẩn đến một bài toán dạng chuẩn bằng các thủ pháp chia nhỏ hoặc mô hình hóa là một nghệ thuật, mà chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải toán và thường xuyên luyện tập giải các bài toán khác nhau. Xét từ một phương diện nào đó có thể xem thủ pháp có tính “nghệ thuật” nghĩa là nó đòi hỏi sự linh hoạt, sự tài tình và sự khéo léo riêng của người sử dụng và kết quả đạt được mang tính đặc biệt, độc đáo. 6 - Về đặc điểm của dạy học môn Toán Toán học được hình thành là kết quả của sự suy diễn có hệ thống và là kết quả của sự tìm tòi, sáng tạo thông qua thực nghiệm và quy nạp. Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, có quá trình tìm tòi phát minh, có cả thực nghiệm và quy nạp. Phương pháp toán học là sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn. Descartes (DT [66]) đã thử tự mình tìm các phát minh tài tình mà không đọc công trình trình bày phát minh đó và thấy các phát minh đều theo những quy tắc nhất định. Như vậy, nếu HS nắm được các “quy tắc” tài tình của các phát minh các em có thể thực hiện hiệu quả hoạt động nhận thức Toán học. Đặc điểm môn Toán ở trường THPT cũng không nằm ngoài đặc điểm của Toán học. Khi dạy học các tình huống Toán học điển hình, GV cần chú ý cho HS nhìn thấy các kiến thức trong quá trình hình thành phát triển và phát sinh. Trong dạy học toán, cần trang bị cho HS các tri thức phương pháp, đặc biệt là các tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán. Tùy thuộc vào tình huống dạy học, mà GV có thể trang bị cho HS các cách thức tìm hiểu, biến đổi linh hoạt phù hợp với từng tình huống cụ thể để lĩnh hội khái niệm, định lý, tính chất và giải bài tập toán. Những cách thức biến đổi linh hoạt, tài tình hay những “quy tắc” tài tình giúp cho hoạt động nhận thức đạt hiệu quả cao gọi là các TPHĐNT. - Về tư tưởng sư phạm của Polya Shuard (DT [2]) khẳng định “mối quan tâm lớn nhất hiện nay về thủ pháp là xuất phát từ công trình của Polya về GQVĐ toán học”. Công trình nghiên cứu của Polya là một công trình nghiên cứu Ơritxtic, thể hiện mong muốn tìm cách lôi HS vào giải toán, thôi thúc HS suy nghĩ về các phương pháp, cách thức sử dụng và dạy cho HS cách suy nghĩ có tính chất cơ động, linh hoạt, không theo một khuôn mẫu cứng nhắc. Polya cho rằng: nhà trường không chỉ cung cấp cho HS các kiến thức toán học mà còn phải rèn luyện cho họ kĩ năng vận dụng, tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo [64]. Cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào” thể hiện phương pháp dạy học giải toán thông qua bảng hệ thống các câu hỏi và lời khuyên để phát triển các kĩ năng Ơritxtic cho HS. Polya khẳng định phương pháp đưa đến lời giải các bài toán nói chung là phức tạp và có nhiều khía cạnh khác nhau. Khi giải một bài toán, ta lần lượt xét các khía cạnh của nó, lật đi lật lại vấn đề trong trí óc, cần thiết phải biến đổi bài toán. Biến đổi bài toán bằng cách phân chia hoặc tổ hợp lại các yếu tố của bài toán, 7 cũng có thể sử dụng các phương tiện của phép tổng quát hóa, phép tương tự, ... Để phân chia, tổ hợp bài toán cần phải có sự khéo léo để đạt hiệu quả. *) Nghiên cứu trong nước - Về nghĩa của cụm từ “thủ pháp” và cách dùng trong tiếng Việt Theo đại từ điển Tiếng Việt: “Thủ pháp là cách thức tiến hành việc gì, thực hiện ý định nào. Thủ pháp làm việc phải kết hợp nhiều thủ pháp khác” [98]. Theo [119] đặt khái niệm thủ pháp dạy học trong mối quan hệ với phương pháp dạy học: “Phương pháp dạy học là những cách thức làm việc giữa thầy giáo và HS, nhờ đó mà HS nắm vững được kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, hình thành được thế giới quan và năng lực. Thủ pháp dạy học là cách thức giải quyết một vấn đề cụ thể nào đó thuộc một phương pháp nhất định hay nói khác đi, thủ pháp chính là thao tác bộ phận của một phương pháp”. Nếu phương pháp chú ý tới cả quá trình thì thủ pháp là việc chú ý chủ yếu tới một thời điểm nhất định nào đấy trong quá trình đó. Trong văn học, các nhà văn thường sử dụng các hình ảnh, từ ngữ, các lối ví von, một cách khéo léo, tài tình để đạt được dụng ý nghệ thuật, các cách thức sử dụng đó gọi chung là thủ pháp nghệ thuật (như so sánh, ẩn dụ, hoán dụ, nhân hóa, thậm xưng, ). Việc sử dụng thủ pháp nghệ thuật ghi dấu ấn cá nhân của từng nhà văn. Như vậy, từ nghĩa của từ “thủ pháp” trong tiếng Việt và cách sử dụng từ “thủ pháp” trong các tình huống của tiếng Việt, có thể thấy rằng thủ pháp là cách thức thực hiện có tính chất khéo léo, độc đáo và khác biệt với cái thông thường để thực hiện một nhiệm vụ cụ thể. - Về thủ pháp hoạt động nhận thức trong dạy học toán: Có một số nghiên cứu đề cập đến TPHĐNT, trong đó đáng chú ý là kết quả nghiên cứu của Trần Luận. Trần Luận [46] đưa ra một hướng dạy học sáng tạo thông qua việc trang bị các TPHĐNT cho HS. Ông liệt kê ra tên gọi một số thủ pháp nhưng không đưa ra khái niệm thủ pháp. Ông chỉ ra một số thủ pháp quan trọng như thủ pháp phân chia các dấu hiệu cơ bản và không cơ bản của khái niệm, thủ pháp xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau (cùng là một đoạn thẳng trong một tam giác cân có thể được xem như là đường cao, như là đường phân giác hoặc trung tuyến), thủ pháp tạo lập hình ảnh ghi nhớ hoặc tưởng tượng (khác với khái niệm các hình ảnh biểu thị cái mà HS hình dung trong đầu). Ông cho rằng thông qua việc bồi dưỡng cho HS mà phát triển năng lực trí tuệ của HS. Ông khẳng định “các thủ pháp cần thiết cho việc độc lập giải quyết các nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến thức”. Các thủ pháp đóng vai trò 8 chính yếu trong sự phát triển trí tuệ của HS. Tác giả nhận định rằng để HS lĩnh hội tốt đẹp các tri thức, họ cần phải lĩnh hội các thủ pháp. Như vậy, từ một số nghiên cứu về TPHĐNT cho thấy khi được trang bị TPHĐNT thì việc nắm bắt vấn đề hiệu quả hơn; TPHĐNT được vận dụng trong quá trình GQVĐ; TPHĐNT là một công cụ hiệu quả để đưa khái niệm, tri thức và kĩ năng vào GQVĐ; HS không chỉ cần phải “học” về TPHĐNT mà cần có khả năng chọn xem TPHĐNT nào là thích hợp nhất trong từng thời điểm của quá trình GQVĐ. Nghiên cứu về trang bị TPHĐNT để bồi dưỡng năng lực GQVĐ là vấn đề cần thiết. 2.2 Một số nghiên cứu về bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và về dạy học giải tích ở trường Trung học Phổ thông - Trong nh...Đ của HS trong học toán là tổ hợp các năng lực được bộc lộ qua các hoạt động trong quá trình GQVĐ”. Chương trình Đánh giá HS Quốc tế của Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế đưa ra khái niệm [98, tr. 22]: Năng lực GQVĐ là năng lực của một cá nhân để sử dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các bối cảnh thực tế xuyên suốt các 22 môn học ở đó còn đường tìm ra lời giải là không rõ ràng ngay tức thì và ở đó các lĩnh vực hiểu biết hay chương trình có thể áp dụng được không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán, khoa học hay đọc. Trong luận án này chúng tôi quan niệm năng lực GQVĐ trong học toán của HS như sau: Năng lực GQVĐ của HS là khả năng huy động kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác của HS để thực hiện hoạt động GQVĐ khi phải đối mặt với các vấn đề trong học toán mà ở đó con đường tìm ra lời giải không rõ ràng ngay lập tức. 1.1.3.4 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề Tiếp cận quá trình GQVĐ trong dạy học toán, Phan Anh Tài [81] cho rằng năng lực GQVĐ của HS trong dạy học toán THPT được cấu thành bởi các thành tố sau: Năng lực hiểu VĐ, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác để GQVĐ và năng lực phát hiện vấn đề mới. Tiếp cận theo quá trình GQVĐ, luận án quan niệm năng lực GQVĐ gồm có 4 thành tố sau: *) Năng lực hiểu vấn đề: Là khả năng của cá nhân xác định và hiểu được vai trò của các thông tin đưa ra, đưa ra các phán xét có cơ sở, gắn kết các thông tin và các kiến thức đã biết. Năng lực hiểu vấn đề gồm các thành phần: năng lực nhận dạng và phát biểu vấn đề, Năng lực xác định và giải tích thông tin (bao gồm hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề và toán học hóa vấn đề). *) Năng lực tìm ra giải pháp: Là khả năng của cá nhân sử dụng các thông tin và kiến thức đã biết để rút ra những kết luận và đưa ra những quyết định đi đến giải pháp. Năng lực tìm giải pháp gồm các thành phần: năng lực thu thập và đánh giá thông tin (là khả năng phân tích mối liên hệ giữa các đối tượng), năng lực xác định cách thức GQVĐ (là khả năng định hướng kết nối các kiến thức, kĩ năng đã có với cái cần tìm). *) Năng lực thực hiện giải pháp: Là khả năng của cá nhân sắp xếp các thông tin và các kiến thức đã biết để triển khai giải pháp; năng lực này gồm hai thành phần là năng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và điều chỉnh. *) Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp: Là khả năng của cá nhân xem xét, kiểm nghiệm để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có được từ GQVĐ. Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng lực đề xuất giải 23 pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng giải pháp vào tình huống mới, năng lực phát triển giải pháp. Sơ đồ sau đây mô tả các thành tố của năng lực GQVĐ: Quá trình GQVĐ Thành tố năng lực GQVĐ Tìm hiểu và nhận biết vấn đề Năng lực hiểu vấn đề Tìm giải pháp Năng lực tìm ra giải pháp Thực hiện giải pháp Năng lực thực hiện giải pháp Nghiên cứu sâu giải pháp Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp Hình 1.1 Các thành tố của năng lực GQVĐ 1.1.3.5 Mối quan hệ giữa hoạt động giải quyết vấn đề và năng lực giải quyết vấn đề Năng lực không mang tính chung chung, khi nói về năng lực là gắn với một hoạt động cụ thể nào đó, chẳng hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học, năng lực giảng dạy của hoạt động giảng dạy, năng lực GQVĐ trong dạy học Toán của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán,... Giữa hoạt động GQVĐ và năng lực GQVĐ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, năng lực GQVĐ được thể hiện thông qua kết quả của hoạt động GQVĐ và hoạt động GQVĐ làm bộc lộ năng lực GQVĐ. Như vậy, để hình thành và phát triển năng lực GQVĐ cần phải cho HS được thực hiện các hoạt động GQVĐ. 1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức 1.2.1 Quan điểm hoạt động Nhà tâm lý học Leonchiev (DT [61]) cho rằng: “hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực chủ thể và khách thể”. Phạm Minh Hạc [23] chỉ ra ba đặc điểm của hoạt động: Hoạt động có đối tượng là hoạt động luôn nhằm tác động vào cái gì đấy, để thay đổi nó hoặc để tiếp nhận nó chuyển vào đầu óc mình; Hoạt động có chủ thể là con người có ý thức tác động vào khách thể - đối tượng của hoạt động, chủ thể hoạt động có thể do một hay nhiều người thực hiện; Hoạt động có tính mục đích là tạo ra sản phẩm có liên quan trực tiếp hay gián tiếp với việc thỏa 24 mãn nhu cầu của con người và xã hội. Tính mục đích là quy luật điều khiển mọi hoạt động. Leonchiev (DT [61]) cho rằng đặc trưng cơ bản cấu thành hoạt động là tính đối tượng của nó. Ông đã xác định và mô hình hóa được cấu trúc chung của một hoạt động bất kì, gồm 6 thành tố và có mối quan hệ biện chứng với nhau. Chủ thể Đối tượng Hoạt động Động cơ Hành động Mục đích Thao tác Phương tiện Hình 1.2 Sơ đồ cấu trúc chung của hoạt động Cấu trúc của hoạt động là cấu trúc chức năng và sự chuyển hóa chức năng của các thành tố của hoạt động. Đối tượng hoạt động là khách thể có đặc tính chức năng kích thích, hướng dẫn hoạt động của chủ thể trong quá trình chiếm lĩnh nó. Về phía đối tượng có thể là động cơ (có chức năng kích thích hoạt động của chủ thể), là mục đích (chức năng hướng dẫn chủ thể tới đối tượng thỏa mãn nhu cầu) hoặc phương tiện (chức năng là cơ cấu kĩ thuật của hành động, là phương thức triển khai hành động). Về phía chủ thể, các động tác cá nhân có thể trở thành hoạt động, hành động hoặc thao tác. Việc phát hiện ra cấu trúc chung của hoạt động và mối liên hệ biện chứng giữa các thành tố của nó có ý nghĩa rất lớn về lý luận và thực tiễn. 1.2.2 Hoạt động nhận thức Lênin (DT [30]) cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động của ba yếu tố: trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn; Mỗi yếu tố đều cần thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được; Sự tác động lẫn nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức, trong đó yếu tố thực tiễn là cơ sở và là yếu tố quyết định; nhận thức diễn ra theo con đường “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức hiện thực khách quan”. Tư duy là một hình thức nhận thức điển hình của con người. Theo tâm lý học [97], tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực 25 khách quan, mà trước đó ta chưa biết. Trần Thúc Trình [92] cho rằng có ba loại hình tư duy: tư duy trực quan, tư duy trừu tượng, tư duy trực giác. Nhận thức là hiểu được điều gì đó, tiếp thu được những kiến thức về điều nào đó, hiểu biết những quy luật về những hiện tượng, quá trình nào đó. Con người phải nhận thức, thông qua hoạt động nhận thức. Hoạt động học tập là một hoạt động nhận thức đặc biệt của con người. Mà chủ thể là HS và đối tượng là tri thức, kĩ năng, kĩ xảo. Trong học tập Toán, HS phải thực hiện các hoạt động nhận thức Toán học. Đào Tam - Trần Trung [84] cho rằng: “hoạt động nhận thức toán học là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: Xác định được các mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm; quan hệ; quy luật toán học); từ đó vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn”. Như vậy, hoạt động nhận thức toán học có đối tượng là tri thức toán học. Mục đích là tư duy để lĩnh hội tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức Toán học và vận dụng các tri thức toán học. Để nhận thức đầy đủ và sâu sắc một tri thức Toán học nào đó, cần phải xem xét đặc điểm của tri thức đó, phải có lối tư duy phù hợp và cách thức suy nghĩ khéo léo. 1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất: những phương pháp về thuật giải và những phương pháp có tính chất tìm tòi. Ông cũng khẳng định tri thức phương pháp định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng. Ông đã chỉ ra một số tri thức phương pháp thường gặp là: - Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng với những nội dung cụ thể như cộng, trừ, nhân, chia, các số hữu tỉ, giải phương trình trùng phương, dựng tam giác biết độ dài ba cạnh của nó, - Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học phức hợp như định nghĩa, chứng minh, - Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp,.. - Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như so sánh, khái quát hóa, trừ tượng hóa, 26 - Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ logic như thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành tuyển hội của chúng, Như vậy, xét trên quan điểm hoạt động tri thức phương pháp trong dạy học môn toán là những tri thức về phương pháp thực hiện các hoạt động nhận thức toán học. Cụ thể đó là những tri thức về việc thực hiện hoạt động lĩnh hội tri thức toán học, hiểu tri thức toán học và vận dụng các tri thức toán học. 1.2.4 Về cách hiểu quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức Trong quá trình giải bài tập toán, HS phải thực hiện các hoạt động tìm hiểu đối tượng và biến đổi đối tượng một cách hợp lí để tìm được giải pháp. 2 3 Ví dụ 1.1. Bài toán: “Giải bất phương trình log2 x.log 1 9x .log3 8x  0 ”. 4 Dạng toán, giải bất phương trình dạng A.B.C  0 . Nếu giải bài toán này theo cách làm thông thường, HS sẽ thực hiện hoạt động phân chia trường hợp (hoạt động trí tuệ phổ biến). Phân chia trường hợp để giải bất phương trình, HS sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình. Để đi đến đáp số, HS phải đi giải một phương trình và 4 hệ bất phương trình một ẩn. Việc giải bất phương trình này rất phức tạp, cồng kềnh, tốn thời gian, dễ bỏ sót các trường hợp và có thể gây tâm lý tiêu cực cho HS. Nếu HS linh hoạt hơn chuyển hướng suy nghĩ, không làm bài toán này theo lối thông thường nữa mà nghĩ theo chiều hướng khác, nhìn biểu thức vế trái là biểu thức 2 3 xác định một hàm số f (x)  log 2 x.log 1 9x .log3 8x , hàm số f (x) triệt tiêu tại các điểm 4 1 1 x  1; x  ; x  . Nên ta chỉ cần xét dấu của f (x) trong các khoảng 3 2 1 1 1 1 (0; );( ; );( ;1);(1; ) nhờ tính liên tục, dễ dàng tìm được nghiệm của bất phương 3 3 2 2 trình. Lời giải này ngắn gọn, thể hiện lối suy nghĩ riêng biệt, độc đáo khác với cách làm thông thường. Với cách làm này, biểu thức vế trái của bất phương trình được nhìn là biểu thức xác định của một hàm số. Để có thể nảy sinh ra cách thức giải quyết linh hoạt, độc đáo, HS cần phải tìm hiểu, xem xét đặc điểm của biểu thức trong bất phương trình và kết hợp khéo léo với các kiến thức đã biết. Trong từng thời điểm cụ thể của quá trình tìm lời giải, nếu HS suy nghĩ linh hoạt hơn thì sẽ đưa đến những cách làm 27 hiệu quả. Nếu HS cứ biến đổi giản đơn theo cách thông thường có thể không đưa tìm được lời giải hoặc có lời giải tương đối dài. Ví dụ này đã thể hiện cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng dẫn đến sản phẩm là một lời giải mang tính độc đáo, khác biệt. Lời giải này là một thể hiện cụ thể của phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số để giải bất phương trình dạng A  0 . Hay là tri thức phương pháp về cách thức giải bất phương trình A  0 . Cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính độc đáo để giải bài toán trên được xem như là một TPHĐNT. Như vậy, từ phân tích trên cho thấy: TPHĐNT có biểu hiện là độc đáo hoặc khéo léo (hay gọi là tính “thủ pháp”) để biến đổi các thông tin; Kết quả của việc thực hiện TPHĐNT là mang lại hiệu quả trong quá trình lĩnh hội tri thức, hiểu tri thức và vận dụng tri thức. Xét trên bình diện tri thức phương pháp thì TPHĐNT thuộc lĩnh vực tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán. Xét trên bình diện quan điểm hoạt động thì TPHĐNT là tri thức về phương pháp thực hiện các hoạt động nhận thức toán học. Xét trên bình diện tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động, có thể hiểu TPHĐNT như sau: TPHĐNT toán học là tri thức về cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động nhận thức toán học. Điều này có nghĩa là TPHĐNT có đặc điểm là thuộc về cách thức thực hiện của HS, nó là cái riêng, là sản phẩm của HS do trải nghiệm mà có được, sản phẩm này mang tính độc đáo hoặc khéo léo. Tri thức phương pháp là sản phẩm đằng sau là kết quả của thực hiện TPHĐNT. Kết quả này được vận hành trên một lớp đối tượng nó trở thành tri thức phương pháp. TPHĐNT được triển khai, thực hiện trên một lớp vấn đề nó trở thành tri thức phương pháp. Tri thức này được sử dụng để giải quyết một tình huống cụ thể trong quá trình thực hiện hoạt động nhận thức toán học. TPHĐNT vừa là tri thức về cách thức thực hiện hoạt động tìm hiểu đối tượng để hiểu những thuộc tính của đối tượng, những mối quan hệ mang tính “quy luật” của các đối tượng trong trình huống cụ thể; Đồng thời vừa là tri thức về cách thức thực hiện hoạt động biến đổi đối tượng về dạng hợp lí, có lợi cho giải quyết tình huống cụ thể. 28 Ví dụ 1.2. Sử dụng cách thức suy nghĩ khéo léo để giải hệ phương trình: (4x2 1)x  (y 3) 5  2y  0 (1)  2 2 4x  y  2 3  4x  7 (2) - Tình huống cụ thể 1: Hệ phương trình có dạng không quen thuộc, chứa cả đa thức bậc cao và căn thức. Khó khăn, chướng ngại gặp phải lựa chọn phương trình trong hệ để biến đổi. Tìm hiểu đối tượng: Tìm hiểu 2 phương trình trong hệ. Phương trình (2), không thể rút x theo y, còn nếu rút y theo x sẽ rất cồng kềnh, vì chứa hai lần căn bậc 2. Từ đặc điểm này sẽ lựa chọn biến đổi phương trình (1). Phương trình (1) có đặc điểm, chia được hai phần, một phần chứa x và một phần chứa y và có thể đưa về dạng giá trị của cùng một hàm số. Nảy sinh suy nghĩ sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Biến đổi đối tượng: (1)  2x(4x2 1)  5  2y(5  2y 1) (3) Hàm số f(t)=t(t2+1) là hàm số đồng biến trên trên  . x  0  Nên (3)  f (2x)  f ( 5  2y)  2x  5  2y   5  4x2 y   2 2  5  Thế vào (2), ta được: 4x2    2x2   2 3  4x  7  0 (4)  2  - Tình huống cụ thể 2: Giải phương trình (4). Đây là phương trình phức tạp, không quen thuộc, chưa có phương pháp giải. Chướng ngại gặp phải là: Phương trình này có chứa căn bậc 2 và đa thức bậc 4; Nếu đưa về đa thức bằng cách “cô lập” căn thức bằng một ẩn mới thì dẫn đến phương trình bậc tám, khó có thể giải được. Tìm hiểu đối tượng: Như vậy không thể quy lạ về quen được. Tuy nhiên, sử 1 dụng máy tính cho thấy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x  . Từ đây, nảy ra suy 2 nghĩ chứng minh nghiệm này là duy nhất. Điều này gợi ngay ra liên tưởng sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 2  5  Biến đổi đối tượng: Xét hàm số g(x)  4x2    2x2   2 3  4x  7 nghịch  2  3 1 1 biến trên đoạn [0; ] và g( )  0 . Vậy x  là nghiệm duy nhất của hệ đã cho. 4 2 2 Trong ví dụ trên, để giải hệ phương trình HS phải vận dụng kiến thức giải tích. Quá trình tìm lời giải, xuất hiện hai tình huống cụ thể với những chướng ngại, khó 29 khăn, HS muốn vượt qua phải tìm hiểu và biến đổi phương trình một cách khéo léo. Với cách thức biến đổi khéo léo, nhìn biểu thức trong phương trình là một biểu thức của hàm số đơn điệu đã giúp việc giải hệ tương đối hiệu quả. Cách thức biến đổi khéo léo để giải hệ phương trình hiệu quả được nảy sinh là kết quả của quá trình tìm tòi để hiểu đặc điểm của các phương trình và thực hiện các hoạt động biến đổi phương trình. Như vậy, TPHĐNT vừa là tri thức về quá trình tìm tòi đặc điểm của đối tượng, phát hiện ra mối liên hệ của các đối tượng, lại vừa là tri thức về hoạt động biến đổi đối tượng để giải quyết một tình huống cụ thể. Các cách thức tìm tòi, biến đổi mang tính chất hoặc độc đáo, hoặc khéo léo, có vai trò quan trọng trong nhận thức toán học và được tổng hợp lại thành tri thức để trang bị cho HS. Kết quả của hoạt động nhận thức toán học là lĩnh hội được tri thức Toán học, hiểu được ý nghĩa của các tri thức đó và vận dụng được tri thức Toán học vào giải các bài toán. TPHĐNT là tri thức về cách thức tìm tòi, biến đổi đối tượng giúp cho HS lĩnh hội tri thức, hiểu ý nghĩa của tri thức và vận dụng tri thức đạt hiệu quả cao. TPHĐNT nảy sinh khi HS gặp những khó khăn, chướng ngại và giúp HS giải quyết những khó khăn chướng ngại trong thực hiện hoạt động nhận thức Toán học. 1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể Trên bình diện tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động, luận án đề xuất một số nhóm TPHĐNT Toán học sau đây: 1.2.5.1 Thủ pháp hoạt động nhận thức thuộc tri thức về phương pháp thực hiện hoạt động trí tuệ chung a) Thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp *) Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Khi lĩnh hội và tìm hiểu ý nghĩa của một tri thức toán học nào đó, ta tiến hành phân chia thành các phần nhỏ, để hiểu và lĩnh hội từng phần nhỏ, từ đó hiểu cái tổng thể. Trong vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết một vấn đề phức tạp, nên chia nhỏ vấn đề đó ra thành các vấn đề đơn giản để giải quyết. Có nhiều cách “chia nhỏ” và nhưng cách chia nhỏ mang tính khéo léo đạt hiệu quả được gọi là thủ pháp. Có thể hiểu rằng: Thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích phân chia khéo léo một vấn đề phức tạp thành các vấn đề đơn giản có thể giải quyết được. Thủ pháp này có cấu 30 trúc gồm các bước: Tìm hiểu thu thập các kiến thức liên quan đến vấn đề cần giải quyết; Phân chia vấn đề cần giải quyết thành các vấn đề đơn giản hơn; Đưa ra giải pháp giải quyết từng vấn đề đơn giản. Trong lời phát biểu của thủ pháp chia nhỏ không chỉ ra chia như thế nào, tùy thuộc vào các đối tượng trong từng tình huống cụ thể, mà HS có thể lựa chọn cách chia phù hợp. Thủ pháp chia nhỏ đem lại nhiều lợi ích cho HS, cụ thể như: Giúp HS thay vì giải quyết một vấn đề rộng có tính khái quát bằng giải quyết một vấn đề hẹp có tính cụ thể hơn; Giúp HS luyện tập khả năng liên tưởng, trí tưởng tượng và linh động hơn trong nhìn nhận và giải quyết các vấn đề. Cho HS luyện tập với thủ pháp chia nhỏ giúp HS ghi nhớ, tái hiện, hiểu, nắm vững và vận dụng kiến thức tốt hơn. Khi dạy khái niệm, việc chia nhỏ các thuộc tính bản chất của khái niệm giúp HS nắm vững nội hàm của khái niệm hơn. Trong chia nhỏ đối tượng đòi hỏi sự khéo léo của người phân chia nếu chia quá nhiều và quá nhỏ sẽ làm cản trở suy nghĩ, không tập trung được vào điểm mấu chốt và nhìn ra được điểm mấu chốt. Theo Polya [64] đó chính là trường hợp người thấy cây mà không thấy rừng. Khi chia nhỏ vấn đề, điều quan trọng là phải nhận ra chi tiết nào là hữu ích và cần thiết. Để làm được điều này ta phải xem xét vấn đề một cách tổng thể, phải nghiên cứu thật sát, thật hiểu vấn đề, phân chia từng bước và không đi quá xa khi chưa cần thiết. Ví dụ 1.3. Sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp trong tính giới hạn dạng .0 :  x  2 x  3  I  lim x 2   3     x  x x  Khi tính giới hạn này chướng ngại đầu tiên gặp phải là gặp biểu thức phức tạp x  2 x  3  3 trong hàm số cần tính giới hạn. Nên nảy sinh ý nghĩ phải chia nhỏ biểu x x thức dưới dấu giới hạn này thành các giới hạn cùng dạng nhưng đơn giản hơn.  2   3  Nếu chia thành hai giới hạn lim x2  1 1 , lim x2 1 3 1  cùng dạng, vẫn       x  x  x  x  còn gặp chướng ngại. Hai giới hạn mới không thể tính được bằng cách sử dụng nhân liên hợp, vì x2 là vô cùng lớn bậc 2 không thể “khử” được với vô cùng nhỏ bậc 1. 31 x  2 x  3 Tình huống cụ thể: Tính giới hạn của hàm số chứa biểu thức  3 x x dạng phức tạp (chứa ẩn ở cả căn bậc 2 và căn bậc 3). Chướng ngại gặp phải là hàm số cần tính giới hạn chứa ẩn ở căn thức nhưng chưa thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp để tính. Tìm hiểu đối tượng: Cần tìm đặc điểm của hàm số dưới dấu giới hạn để phân x  2 x  3 chia thành những giới hạn đơn giản hơn. Giới hạn chứa biểu thức  3 : x x  x  2 x  3  - Thỏa mãn lim   3   0 ;    x  x x  2 3 - Viết dưới dạng dễ nhìn hơn: 1  3 1 ; x x - Phải chia thành các biểu thức cùng dạng, đơn giản hơn (chỉ chứa ẩn ở một loại căn bậc 2 hoặc căn bậc 3) sao cho “khử” được với thành phần vô cùng lớn bậc hai x2 . Biến đổi đối tượng : 2 1 1 3 - Chia thành 2 biểu thức: 1  (1 ) và (1 )  3 1 ; x x x x 2  2 1  2  1 3  - Tính hai giới hạn: lim x  1   (1  )  và lim x (1 )  3 1  . x  x x  x  x x  Khi gặp một tình huống cần phải xem xét để tìm hiểu thuộc tính của tất cả các đối tượng và mối quan hệ của chúng để biến đổi cho hiệu quả. Thay về việc tính các giới hạn phức tạp, ta có thể phân chia thành các phần đơn giản hơn. Thủ pháp chia nhỏ thể hiện tính độc đáo ở chỗ cùng là chia nhỏ nhưng có cách phân chia sẽ không giải quyết được vấn đề, có cách phân chia giải quyết được vấn đề nhưng không nhanh, còn cách phân chia dẫn đến việc GQVĐ hiệu quả tương đối dễ dàng và thuận lợi là “thủ pháp”. Có nhiều cách chia khác nhau cùng có thể giải quyết được vấn đề và mỗi cách có những thế mạnh và nét độc đáo riêng. Thủ pháp chia nhỏ nó chính là một “nghệ thuật”, mà mục tiêu của nó là thay vì GQVĐ phức tạp ta đi giải quyết những vấn đề đơn giản. *) Tình huống sử dụng: Thủ pháp chia nhỏ được sử dụng trong trường hợp khi gặp vấn đề phức tạp, mà các cách giải quyết đã biết không thực hiện được, nhưng từng thông tin trong vấn đề là quen thuộc. Khi đó, căn cứ vào các thông tin đã cho và kiến thức đã có suy nghĩ cách phân chia thành những vấn đề đơn giản hơn có thể giải quyết 32 được. Việc phân chia một vấn đề thành các vần đề đơn giản hơn, làm cho các vấn đề này có thêm các tính chất mới thuận lợi hơn để giải quyết. b) Thủ pháp kết hợp *) Nghiên cứu về phân chia và tổ hợp lại bài toán, Polya [66] cho rằng: có nhiều cách để tổ hợp lại một bài toán; Đặc biệt là đối với những bài toán khó, ta có thể có những cách tổ hợp riêng biệt, độc đáo và ta có thể nhìn thấy khả năng của một người giải toán qua cách tổ hợp độc đáo của họ; Tuy nhiên, cũng có một số tổ hợp điển hình, thông dụng tương đối đơn giản và cũng đủ dùng trong trường hợp các bài toán ít phức tạp; những cách tổ hợp đó ta cần biết rõ và trước hết nên tìm cách sử dụng chúng đã, nếu không được hãy nhớ đến những phương tiện ít hiển nhiên hơn. Thủ pháp kết hợp liên quan đến cách thức tổ hợp mang tính độc đáo để được bài toán mới giải quyết dễ hơn. Có thể hiểu rằng: Thủ pháp kết hợp là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích tổ hợp các đối tượng thành đối tượng mới thuận lợi hơn trong GQVĐ. Thủ pháp này gồm các bước: Tìm hiểu thu thập các kiến thức liên quan đến vấn đề cần giải quyết; Thiết lập mối liên kết các đối tượng lại với nhau hay hợp lại các vấn đề đã được tách ra để thu được đối tượng mới; Kết hợp đối tượng mới và kiến thức đã có để đưa ra cách giải quyết. Thủ pháp này thường được sử dụng khi gặp bài toán có nhiều điều kiện, nhiều đối tượng. Ví dụ 1.4. Sử dụng thủ pháp kết hợp giải hệ phương trình: x3  3x2  9x  22  y3  3y2  9y (1)   2 2 1 x  y  x  y  (2)  2 Phương trình (2) không thể biến đổi để rút x theo y hoặc ngược lại, nên chỉ còn biến đổi phương trình (1). Tình huống 1: Biến đổi phương trình (1). Chướng ngại gặp phải là bậc của x và y ở hai vế bằng nhau, nhưng hệ số lại khác nhau nên không là dạng f (x)  f (y) và khó đưa về dạng tích được. Tìm hiểu đối tượng: Cần tìm đặc điểm và mối liên hệ của các hạng tử trong phương trình. - Trong hai biểu thức của (1), có chứa các số hạng dạng của hằng đẳng thức (a  b)3 . - Kết hợp các số hạng thành hằng đẳng thức. 33 Biến đổi đối tượng: Kết hợp x3 3x2  3x 1 và y3  3y2  3y 1, ta có: (x 1)3 12(x 1)  (y 1)3 12(y 1) Tình huống 2: Phương trình dạng: f (x 1)  f (y 1) , với f (t)  t 3 12t Chướng ngại gặp phải là hàm số f (t) không đơn điệu trên  nên không thể sử dụng tính chất: f (u)  f (v)  u  v Tìm hiểu đối tượng: Cần tìm điều kiện của x và y. - Phương trình (2) là phương trình đường tròn nên sẽ tìm được điều kiện của x và y. - Kết hợp với điều kiện xét tính chất của hàm số. Biến đổi đối tượng : 1 1 3 1 1 3 (2)  (x  )2  (y  )2  1 nên tìm được:   x 1 ;  y 1 2 2 2 2 2 2 3  3 3 Hàm số f (t)  t 12t , nghịch biến trên đoạn  ;  , suy ra x 1  y 1 hay  2 2 y  x  2 . Thay vào (2) tìm được nghiệm của hệ phương trình. Để giải được hệ phương trình này đòi hỏi HS phải khéo léo kết hợp các số hạng với nhau để biến đổi phương trình thành dạng mới, có tính chất mới, thuận lợi hơn trong giải hệ. Có nhiều cách kết hợp đối tượng, HS phải xem xét, tìm hiểu các đối tượng kết hợp với kiến thức đã biết để tìm ra cách biến đổi như thế nào thuận lợi cho việc tìm hướng giải. Sau đó là kết hợp đối tượng mới và kiến thức đã biết để tìm ra cách giải quyết. *) Tình huống sử dụng: Thủ pháp kết hợp sử dụng khi gặp tình huống chứa đựng nhiều đối tượng có các đặc điểm riêng biệt, khi đó cần xem xét tổ hợp các đối tượng thành đối tượng mới sao cho việc giải quyết tình huống thuận lợi và hiệu quả. Thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp và thủ pháp kết hợp là hai thủ pháp trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất. Nhiều chi tiết, đối tượng được tổ hợp với nhau thành một thể thống nhất. Sau khi đã phân chia vấn đề ra thành nhiều vấn đề nhỏ, ta có thể tổ hợp lại một cách khác các yếu tố để tạo ra một vấn đề mới đơn giản hơn cũng có thể sử dụng như một vấn đề phụ, ta cũng có thể giải quyết từng vấn đề nhỏ rồi tổ hợp lại với nhau. Thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp và kết hợp thường được sử dụng cùng nhau và đóng vai trò quan trọng trong hoạt động GQVĐ. Hai thủ pháp này có mối liên hệ gắn bó chặt chẽ với nhau, việc chia 34 nhỏ các vấn đề cần sự kết hợp, dựa vào sự kết hợp và thực hiện thông qua sự kết hợp, kết hợp cần có sự chia nhỏ. 1.2.5.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức thuộc tri thức về thực hiện những hoạt động ngôn ngữ logic a) Thủ pháp đảo ngược Polya [66] cho rằng để giải được một bài toán con người cần phải có cách suy nghĩ hành động thông minh, tránh được cái trở ngại không khắc phục trực diện được, có khả năng nghĩ ra bài toán phụ thích hợp. Theo Polya [66], việc chuyển từ bài toán đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là một phép rút gọn thuận nghịch hoặc là hai chiều, hoặc là tương đương nếu như bài toán ban đầu vì bài toán phụ là tương đương. Tôn Thân [86] xây dựng bài tập thuận và nghịch, gồm một cặp bài có nội dung ngược nhau, để rèn luyện tính thuận nghịch của tư duy. Khi giải quyết một vấn đề gặp khó khăn ta chọn giải quyết vấn đề khác có tính chất ngược lại. Để làm được điều này, cần phải có cách thức suy nghĩ khéo léo để lựa chọn và sử dụng thông tin có tính chất ngược so với thông tin đã có. Có thể hiểu rằng: Thủ pháp đảo ngược là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích chuyển đổi đối tượng theo chiều hướng ngược để giải quyết tình huống thuận lợi hơn. Thủ pháp gồm các bước sau: Tìm hiểu thu thập các kiến thức liên quan đến vấn đề cần giải quyết; Thực hiện phép chuyển đổi đối tượng theo chiều hướng ngược; Đưa ra hướng GQVĐ. Ví dụ 1.5. Vận dụng thủ pháp đảo ngược xây dựng phương pháp tìm giới hạn của hàm số bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm. - Tình huống cụ thể là bài toán tính giới hạn ta gặp phải khó khăn, chướng ngại. Khi tính giới hạn của hàm số được biểu diễn bằng biểu thức căn thức phức tạp, phải sử dụng nhân liên hợp, hoặc kết hợp với việc thêm bớt một cách hợp lí để tách thành tổng các giới hạn, việc tính toán như thế tương đối cồng kềnh. Chẳng hạn, tính 2x 1  5 x2 1 lim ta có thể tính thông qua 3 giới hạn đơn giản hơn. Tuy nhiên, ta gặp x0 sin 7x phải một khó khăn khi tính giới hạn này là tính toán cồng kềnh và dễ sai sót. Tìm hiểu đối tượng: Xuất phát từ khó khăn này, cần phải suy nghĩ cách khắc phục. Trong giải tích, phép tính giới hạn được dùng để định nghĩa đạo hàm “Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng a;b và x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu f (x)  f (x0 ) có) của tỉ số khi x dần tới x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x  x0 35 điểm x0 ”. Như vậy, khái niệm đạo hàm của hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm giới hạn của hàm số và để tính đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x0 ta đi tính giới f (x)  f (x ) hạn lim 0 . Như vậy, ngược lại muốn tính giới hạn của một hàm số dạng xx 0 x  x0 f (x)  f (x ) 0 có thể đưa về tính đạo hàm của hàm số f (x) tại một điểm hay không? x  x0 Câu trả lời là hoàn toàn có thể: Nếu bài toán yêu cầu tính giới hạn có dạng f (x)  f (x ) lim 0 thì ta có thể chỉ ra giá trị của giới hạn này chính là đạo hàm của hàm xx 0 x  x0 số f (x) tại điểm x0 . Biến đổi đối tượng: Sử dụng đảo ngược có thể tính được giới hạn theo các bước sau: f (x)  f (x ) 1) Xác định hàm số f (x) . Đưa giới hạn cần tính về dạng lim 0 . xx 0 x  x0 2) Tính f '(x0 ) và kết luận. f (x)  f (0) 2x 1  3 x2 1 f '(0) 1 Chẳng hạn: Tính lim ta biến đổi thành lim x   , x0 sin 7x x0 g(x)  g(0) g '(0) 7 x với f (x)  2x 1  3 x2 1 và g(x)  sin 7x . Thủ pháp đảo ngược giúp HS tìm tòi, khám phá ra một con đường mới để tìm giới hạn của hàm số, đặc biệt là các bài tính giới hạn của các hàm số phức tạp. Thủ pháp đảo ngược giúp HS xây dựng nên một phương pháp tương đối dễ hiểu, dễ nhớ để tính giới hạn của hàm số. *) Tình huống sử dụng: Trong toán học thủ pháp này được sử dụng trong việc xây dựng các khái niệm mới, hình thành các định lý toán học, chứng minh các bài toán bằng phương pháp phản chứng, chứng minh các bài toán bằng phương pháp gián tiếp, giải bài toán bằng phương pháp gi... 1 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  . 3 Ví dụ 2. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa GV: Nêu ví dụ mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: HS: Tìm điều kiện của biến và dự đoán dấu bằng xảy ra (a;b;c)  (1;0;0). 1 a 1 b 1 c    2 1 a 1 b 1 c 1 x HS: Xét hàm đặc trưng f (x)  . Lời giải 1 x + Điều kiện 0  a,b,c 1. GV: Yêu cầu HS lựa chọn tiếp điểm điểm + Dự đoán dấu bằng xảy ra (a;b;c)  (1;0;0) để viết phương trình tiếp tuyến. HS: 1 x + Xét hàm đặc trưng f (x)  1 x + Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm     + Phương trình tiếp tuyến tại điểm x 1 là x 1 là y x 1. y  x 1 1 x + So sánh và x 1 với x[0;1] 1 x 1 x + Nhận xét:  x 1, x[0;1] 1 x + Dựa vào đánh giá chứng minh bất đẳng thức. Thật vậy, với x[0;1] bất đẳng thức 1 x  x 1 1 x  1 x.x2  0 (Bất đẳng thức luôn đúng x [0;1] ) Dấu bằng xảy ra khi x 1 hoặc x  0 . + Áp dụng nhận xét ta có: 1 a 1 b 1 c    (a b c) 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Hay    2 1 a 1 b 1 c Dấu bằng xảy ra khi (a;b;c)  (1;0;0). Ví dụ 3. Cho các số a,b,c dương thỏa mãn GV: Yêu cầu HS kết hợp điều kiện và bất a2  b2  c2 1. Chứng minh rằng: đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng tổng của hàm số. a b c 3 3    b2  c2 c2  a2 a2  b2 2 HS: Bất đẳng thức cần chứng minh thành: Lời giải xxvii xxviii + Đặt x  a2 , y  b2 , z  c2 . Bài toán thành “Cho a b c 3 3    2 2 2 x, y, z dương thỏa mãn x  y  z 1 . Chứng minh 1 a 1 b 1 c 2 GV: Yêu cầu HS chuyển về dạng toán để rằng: sử dụng phương trình tiếp tuyến. x y z 3 3    ”  2  2  2 1 x 1 y 1 z 2 HS: Đặt x a , y b , z c . Bài toán Suy ra 0  x, y, z 1. thành “Cho x, y, z dương thỏa mãn x  y  z 1. Chứng minh rằng: x 3 3 + Nhận xét:  x (*) x (0;1) 1 x 2 x y z 3 3    ” Thật vậy. Với x (0;1) , ta có: 1 x 1 y 1 z 2 3 GV: Yêu cầu HS sử dụng quy trình giải (*)  3x 3 3x  2  0 bài toán  ( 3x 1)(3x 2  3x  2)  0 HS:  ( 3x 1)2 ( 3x  2)  0 (Đúng x (0;1) ) x + Hàm đặc trưng f (x)  + Áp dụng nhận xét ta có: 1 x x y z 3 3 + Điều kiện xác định 0  x, y, z 1 , dấu    (x y  z) 1 x 1 y 1 z 2 1 bằng xảy ra khi x  y  z  x y z 3 3 3 Hay    1 x 1 y 1 z 2 3 3 + Phương trình tiếp tuyến y  x 1 2 Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  . 3 + Chứng minh: x 3 3 1  x (*) x (0; ] 1 x 2 3 + Áp dụng vào giải quyết bài toán. Ví dụ 4. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng GV: Nêu ví dụ và hướng dẫn HS sử dụng a  b  c a minh rằng: yếu tố trung gian A  , x  , 3 A (b  c  a)2 (c  a  b)2 (a  b  c)2 3    2 2 2 2 2 2 b c (b  c)  a (c  a)  b (a  b)  c 5 y  , z  , biến đổi bất đẳng thức đã A A Lời giải. cho theo ẩn mới về dạng có vế trái là tổng a  b  c a b c + Đặt A  , x  , y  , z  . Suy ra của các hàm số. 3 A A A HS: + Tìm được điều kiện của x, y, z : x, y, z dương, x  y  z  3 nên 0  x, y, z  3. 0  x, y, z  3 + Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 + Biến đổi thu gọn bất đẳng thức. (y  z  x) (z  x  y) (x  y  z) 3    (y  z)2  x2 (z  x)2  y 2 (x  y)2  z 2 5 + Dự đoán dấu bằng xảy ra x  y  z 1 xxviii xxix (3  2x)2 (3  2y)2 (3  2z)2 3 + Chọn hàm đặc trưng:     2 2 2 2 2 2 (3  x)  x (3  y)  y (3  z)  z 5 1  f (x) 2 1 1 1 3 2x  6x  9     2x2  6x  9 2y2  6y  9 2z 2  6z  9 5 + Phương trình tiếp tuyến tại điểm x 1 1 2x 3 2x  3 + Ta có:  (*), x (0;3) là: y  2x2  6x  9 25 25 1 2x  3 Thậy vậy, (*) tương đương với: + So sánh và 2x2  6x  9 25 (x 1)2 (2x 1)  0 bất đẳng thức đúng với + Áp dụng so sánh để chứng minh bất x (0;3) . đẳng thức. 1 1 1 + Do đó:   2x2  6x  9 2y2  6y  9 2z 2  6z  9 2(x  y  z)  9 3   (Dấu bằng xảy ra khi 25 5 x  y  z 1). (b  c  a)2 (c  a  b)2 (a  b  c)2 3 Vậy    (b  c)2  a2 (c  a)2  b2 (a  b)2  c2 5 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c HĐ 4. Củng cố kiến thức và bài tập về nhà 1) Sử dụng bản đồ tư duy củng cố lại phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến. 2) Giải các bài toán sau: Bài 1. Cho bốn số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  4 . Chứng minh rằng: a b c d 1     . 5  3a2 5  3b2 5  3c2 5  3d 2 2 Bài 2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng: 1 1 1    a2  b2  c2 a2 b2 c2 3 Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z  . Chứng minh rằng: 2 x2 1 y2 1 z 2 1 15    x y z 2 Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z  3. Chứng minh rằng: 81 81 81 x2   y2   z 2   3 82 x2 y2 z 2 xxix xxx Bài 5. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z 12 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1    8  x 8  y 8  z 2 Bài 6. Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: 1 1 1  a b c     3    3a 3b 3c  3a 3b 3c  Bài 7. Cho a,b,c là các số thực dương và a  b  c  3 . Chứng minh rằng : a2  9 b2  9 c2  9    5 2a2  (b  c)2 2b2  (c  a)2 2c2  (a  b)2 Bài 8. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (2a  b  c)2 (2b  c  a)2 (2c  a  b)2    8 2a2  (b  c)2 2b2  (c  a)2 2c2  (a  b)2 Bài 9. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 9  1 1 1      4    a b c a b c  a b b c c  a  3) Đưa ra nhận xét đặc điểm của các bài toán có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến. 4) Sưu tầm, phân loại và xây dựng các bài toán sử dụng phương pháp tiếp tuyến. 5) Tìm cách giải khác cho Ví dụ 2. Đề xuất phương pháp giải mới. Mở rộng phương pháp giải toán (Phương pháp tiếp xúc, phương pháp nghiệm bội, Phương pháp hàm đặc trưng). Phụ lục 7: GIÁO ÁN TỰ CHỌN 3 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TIẾP XÚC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài học 1. Kiến thức - Phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất đẳng thức. 2. Kĩ năng: - Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số để tìm bất đẳng thức trung gian. 3. Một số yêu cầu cần đạt - Trang bị các thủ pháp đồ thị hàm số, thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian, thủ pháp so sánh, thủ pháp chia nhỏ, thủ pháp kết hợp. - Học sinh tự mình sáng tạo ra được các bài toán mới, hứng thú, tích cực và phát huy tính độc lập trong học tập. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh xxx xxxi - Giáo viên sử dụng các thủ pháp đồ thị, biểu tượng hóa, tạo tình huống, sử dụng yếu tố trung gian, thiết kế bài giảng. - Sử dụng bản đồ tư duy hệ thống lại các bài toán về phương trình đồ thị và phương pháp giải. II. Tiến trình dạy học HĐ 1. Hình thành phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ. GV: Yêu cầu HS nêu điều kiện để hai đồ a) Tìm hàm số g(x)  Ax 2  B, A  0 có đồ thị tiếp thị hàm số tiếp xúc với nhau. x HS: Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm được  xúc với đồ thị hàm số f (x) 2 với tại tiếp 1 x 3 3 A  và B  0 . 1 2 điểm x0  ; 3 GV: Vẽ hình ảnh hai đồ thị y  f (x) và x 3 3 y  g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm x . b) Chứng minh  x2 ,x (0;1) 0 1 x2 2 Hướng dẫn HS nhận xét về mặt hình đồ c) Cho các số a,b,c dương thỏa mãn thị vị trí của hai đồ thị và đưa ra bất đẳng 2 2 2 a  b  c 1. Chứng minh rằng: thức so sánh f (x) và g(x) trong khoảng a b c 3 3    (0;1) . b2  c2 c2  a2 a2  b2 2 HS: Chứng minh câu b) bằng biến đổi đại Lời giải số. a) Đồ thị hàm số g(x)  Ax 2  B, A  0 tiếp xúc với GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện của x 1 a,b,c ? Áp dụng b) để chứng minh bất đồ thị hàm số f (x)  với tại điểm x0  1 x2 3 đẳng thức?  f (x)  g(x)  hệ phương trình  có nghiệm HS: Tìm được điều kiện:  f '(x)  g '(x) 0  a,b,c 1. 1 3 3 Áp dụng câu b) để chứng minh câu c) x0  . Tìm được A  và B  0 . 3 2 3 3 Vậy g(x)  x 2 . 2 x 3 3 b) Với x(0;1), ta có:  x2 1 x2 2  ( 3x 1)2 ( 3x  2)  0 (Đúng với mọi x(0;1)) x 3 3 Vậy  x2 ,x (0;1) , dấu bằng xảy ra 1 x2 2 xxxi xxxii 1 khi x  3 c) Do a2  b2  c2 1 , nên bất đẳng thức đã cho thành: a b c 3 3    1 a2 1 b2 1 c2 2 Theo giả thiết, ta có: 0  a,b,c 1. Áp dụng câu b) ta được: a b c 3 3    (a2  b2  c2 ) 1 a2 1 b2 1 c2 2 a b c 3 3 Hay    1 a2 1 b2 1 c2 2 1 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  3 HĐ 2. Phát biểu phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS *) Quy trình chứng minh bất đẳng thức bằng GV: Yêu cầu HS từ ví dụ trên xây dựng phương pháp tiếp xúc phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất B1. Tìm điều kiện của biến và dự đoán dấu bằng đẳng thức. Và GV chính xác lại quy trình. xảy ra. B2. Từ bất đẳng thức xây dựng hàm đặc trưng y  f (x) . GV: Yêu cầu HS xây dựng quy trình B3. Tìm hàm số y  g(x) có đồ thị tiếp xúc với đồ tương tự cho bài toán tìm giá trị lớn nhất thị hàm số y  f (x) tại điểm xảy ra dấu bằng. và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến. B4. Với những x thỏa mãn điều kiện của biến, so sánh f (x) và g(x) . Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức đã cho. HĐ 3. Vận dụng phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ 1. Cho các số thực dương a,b,c,d,e thỏa mãn GV: Nêu ví dụ 1 1 1 1 1 HS: Tìm điều kiện của biến      1 . Chứng minh 4  a 4  b 4  c 4  d 4  e a,b,c,d,e  0 và dự đoán dấu bằng xảy rằng: ra khi a  b  c  d  e 1. HS: Xác định hàm đặc trưng: xxxii xxxiii a b c d e x      1 f (x)  4  a2 4  b2 4  c2 4  d 2 4  e2 4  x2 Lời giải A HS: Tìm hàm số g(x)   B có đồ *) Điều kiện: a,b,c,d,e  0 4  x thị tiếp xúc với đồ thị hàm số x 3 4 *) Nhận xét:    , x  0.  2  x 4 x 4 x 5 f (x)  . 4  x2 Thậy vậy, với x  0 , ta có: 3 4 x 3 4       HS. Tìm được g(x) 2 4  x 5 4  x 4  x 5 GV: Yêu cầu HS sử dụng biến đổi đại số  (x 1)2 (x 1)  0 (Luôn đúng với mọi x  0 ) chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: Dấu bằng xảy ra khi x 1 . x 3 4      *) Áp dụng nhận xét ta có: 2 , x 0 . 4  x 4  x 5 a b c d e     HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng 4  a2 4  b2 4  c2 4  d 2 4  e2 chứng minh bất đẳng thức đã cho.  1 1 1 1 1   3       4  4  a 4  b 4  c 4  d 4  e  a b c d e Hay      1 4  a2 4  b2 4  c2 4  d 2 4  e2 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  d  e 1 . Ví dụ 2. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn GV: Nêu ví dụ và yêu cầu HS vận dụng a2  b2  c2  3. Chứng minh rằng: quy trình giải bài toán. HS: 3 a  3 b  3 c  (a  b  c)  3 + Xác định hàm đặc trưng Lời giải f (x)  3  x  x *) Nhận xét: 3 11 + Xác định điều kiện 0  a,b,c  3 và 3  x  x   x 2  ,x(0; 3) (1) 8 8 dấu bằng xảy ra khi a  b  c 1. Dấu bằng xảy ra khi x 1 . 2 + Tìm hàm số g(x)  Ax  B, A  0 có 3 11 Thật vậy, 3  x  x   x 2  đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số f (x) 8 8 3 11  3(x 1)2  2(4 3  x  x  7)  0 tại điểm x 1 là g(x)   x 2  . 8 8 2(x 1)2  3(x 1)2   0 GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp so 4 3  x  x  7 sánh, chia nhỏ và kết hợp để chứng (x 1)2  12 3  x  3x 19  0 minh:    4 3 x x 7 3 11 3  x  x   x 2  ,x(0; 3) 8 8 xxxiii xxxiv (Bất đẳng thức đúng với mọi x (0; 3) ) HS: Áp dụng vào chứng minh bất đẳng Dấu bằng xảy ra khi x 1 . thức. GV: Yêu cầu HS nhận xét dạng của biểu *) Từ giả thiết suy ra: 0  a,b,c  3 thức ở bất đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng (1), ta có: HS: Có dạng tổng của các hàm số. 3 a  3 b  3 c  (a  b  c) 3 33   (a2  b2  c2 )  8 8 Hay 3 a  3 b  3 c  (a  b  c)  3 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c 1. Ví dụ 3. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn GV: Nêu ví dụ. 1 1 1 HS: Tìm điều kiện của biến a,b,c  0 và    3 . Chứng minh rằng: a b c xác định dấu bằng xảy ra a  b  c 1. 2a 1 2b 1 2c 1 9    HS: Xác định hàm đặc trưng 3a 1 3b 1 3c 1 2 2x 1 f (x)  Lời giải 3x 1 2x 1 7 31 A *) Nhận xét:    , x  0 . HS: Tìm hàm số g(x)   B có đồ thị 3x 1 16x 16 x Thật vậy, x  0 ta có: tiếp xúc với đồ thị hàm số 2x 1 7 31 2x 1    f (x)  tại điểm x 1 . 3x 1 16x 16 3x 1  32x2 16  (31x  7) 3x 1 HS: Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có 2 nghiệm x 1:  32(x  1)  31(x  1)(2  3x  1)  6(3x  5  4 3x  1)  0  2x 1 A 2 2   2 93(x 1) 54(x 1)  B  32(x 1)    0  3x 1 x 2  3x 1 3x  5  4 3x 1  6x 1 A    3 2 2  93 54   x  (x 1) 32     0 2 3x 1  2  3x 1 3x  5  4 3x 1  7 31 Tìm được A   và B  . 2  32 3x 1  29 54  16 16  (x 1)     0       2 3x 1 3x 5 4 3x 1  7 31 Và g(x)    Luôn đúng với mọi x  0 16x 16 Dấu bằng xảy ra khi x 1 . GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp *) Áp dụng nhận xét ta có: phân nhỏ, thủ pháp kết hợp, thủ pháp so 2a 1 2b 1 2c 1 7  1 1 1  93 sánh chứng minh bất đẳng thức đặc         3a 1 3b 1 3c 1 16  a b c  16 trưng: xxxiv xxxv 2a 1 2b 1 2c 1 9 2x 1 7 31 Hay       , x  0. 3a 1 3b 1 3c 1 2 3x 1 16x 16 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c 1. HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức đã cho. Ví dụ 4. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc  3 . GV: Nêu ví dụ Chứng minh rằng: HS: Xác định điều kiện a,b,c  0 và dự 3 1 1 1  log3 a log3 b log3 c  đoán dấu bằng xảy ra a  b  c  3    3    a b c  a b c  HS: Xác định hàm đặc trưng Lời giải 1 log x f (x)  3 3 *) Ta có: abc  3  log3 a  log3 b  log3 c 1 x x *) Nhận xét: GV: Hướng dẫn HS đưa điều kiện về dạng tổng log a  log b  log c 1 1 log3 x 3 1 3 3 3  3   9 log 3 x , x  0 x x 3 3 HS: Tìm hàm số g(x)  Alog 3 x  B sao Thật vậy, x  0, ta có: cho đồ thị của nó tiếp xúc với đồ thị hàm 1 log3 x 3 1  3   9 log x 1 log3 x 3 x x 3 3 số f (x)  3 tại điểm x  3 . 3 x x 3  (1 3log3 x)( 3  x)  0 (*) HS: Tìm được: 3 3 1 Xét hàm số h(x)  (13log 3 x)( 3  x) với x  0 . g(x)   9 log 3 x  3 3 Ta có: h(x)  0  x  3 3 . Hàm số h(x) liên tục GV: Hướng dẫn HS chứng minh bất 3 3 mỗi khoảng (0; 3) và ( 3; ) và trong mỗi đẳng thức đặc trưng: khoảng đó không có giá trị nào làm cho hàm số triệt 1 log3 x 3 1  3   9 log 3 x , x  0 tiêu. Do đó trên mỗi khoảng hàm số giữ nguyên dấu. x x 3 3 Do đó (*) luôn đúng. HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng *) Áp dụng nhận xét, ta được: chứng minh bất đẳng thức đã cho. 1 1 1 log a log b log c 3 3 3 3 3    3     9 (log a  log b  log c)  9   3 3 3 a b c a b c 1 1 1  log3 a log3 b log3 c  Hay    3    a b c  a b c  Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  3 3 . HĐ 4. Củng cố kiến thức và bài tập về nhà 1) Sử dụng bản đồ tư duy củng cố lại phương pháp tiếp xúc trong chứng minh bất đẳng thức. 2) Đưa ra nhận xét đặc điểm của các bài toán có thể sử dụng phương pháp tiếp xúc. 3) Giải các bài toán sau: xxxv xxxvi Bài 1. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a2  b2  c2  3. Chứng minh rằng:  1 1 1  3     (a  b  c)  6  a b c  Bài 2. Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a2  b2  c2  d 2  4 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1     2(a  b c d)  12 a b c d 1 1 1 9 15 3 Bài 3. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn    (a  b  c)  . Chứng minh rằng a b c 2 2 a2  b2  c2 1. 3 Bài 4. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a2  b2  c2  . Chứng minh rằng: 4 2a2  a 2b2  b 2c2  c    1 4a2  2a 1 4b2  2b 1 4c2  2c 1 Bài 5. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a2  b2  c2  3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3 3    3  a 3  b 3  c 2 Bài 6. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a b c 3 2    1 a 1 b 1 c 2 4) Sưu tầm, phân loại và xây dựng các bài toán sử dụng phương pháp tiếp xúc. 5) Nghiên cứu đề xuất phương pháp giải mới. Mở rộng phương pháp giải toán (Phương pháp nghiệm bội, Phương pháp hàm đặc trưng). Phụ lục 8: HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC 1. Hệ thống bài toán có tình huống sử dụng tính chất liên tục của hàm số để hình thành phương pháp giải bất phương trình dạng A(x)  0 Bài 1. Giải bất phương trình: (x  2) x2 1  x2  4 5x2  x  3x 2  5x  6 Bài 2. Giải bất phương trình:  0 3x1 1   5  3        x 2.x 8 x 6log 1 x 5 2  3  Bài 3. Giải bất phương trình:  0 x 2  4x  3 3.2 x2  7x 17log (x  4)  log (x  7)  2 Bài 4. Giải bất phương trình: 4 7  0 . x 2  9 xxxvi xxxvii Bài 5. Giải bất phương trình: 3x  2 x  3x  2 Bài 6. Giải bất phương trình: xlog7 11  3log7 x  2x Bài 7. Giải phương trình: 2013x  2015x  2014x  x  Bài 8. Giải bất phương trình: log 2 x  xlog (x  3)  log x  2log (x  3) 2 7 2  2 7  Bài 9. Giải bất phương trình: 2(x  2)( 3 4x  4  2x  2)  3x 1 Bài 10. Giải bất phương trình: x 1 x2  4x 1  3 x 4x  4 Bài 11. Giải bất phương trình: 4 x 1   (x 1)(x 2  2x)  0 2x  3 1 Bài 12. Giải bất phương trình x 1  3 7  x  2 2. Hệ thống bài toán có tình huống sử dụng tính đơn điệu của hàm số để phát triển phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số x2  2x  8 Bài 1. Giải phương trình  (x 1)( x  2  2) x2  2x+3 x3  3x2  9x  22  y3  3y2  9y  Bài 2. Giải hệ phương trình  2 2 1 x  y  x  y   2 3 2 3 x  6x 13x  y  y 10 Bài 3. Giải hệ phương trình  3 2  2x  y  5  3  x  y  x 3x 10y  6  x 1  4 x 1  y 4  2  y Bài 4. Giải hệ phương trình  2 2 x  2x(y 1)  y  6y 1  0 xy2  2  (2y2  x) x2  4y2  3 Bài 5. Giải hệ phương trình  , biết y  0. 2 (y  x)(y 1)  (y  2) x 1 1 x2  y3  y2  2 3 x4  3 x2  2y y 1(x  3 x2 ) Bài 6. Giải hệ phương trình  4 3 2 3 x  x  x 1  x(y 1) 1 x(x  y)  x  y  2y( 2y 3 1) Bài 7. Giải hệ phương trình  2 2 x y  5x  7(x  y)  4  6 3 xy  x 1 x2  y2  2 3 x4  3 x2  y3  2y y 1(x  3 x ) Bài 8. Giải hệ phương trình  4 3 2 3 x  x  x 1  x(y 1) 1 xxxvii xxxviii x3  3x2  5x 1  4y  Bài 9. Giải hệ phương trình y3  3y2  5y 1  4z  3 2 z  3z  5z 1  4x Bài 10. Chứng minh rằng với mọi a  0 , hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ex  e y  ln(1 x)  ln(1 y)  y  x  a Bài 11. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0  x  y   . Chứng minh rằng (x3  6x)sin y  (y3  6y)sin x 3. Hệ thống bài toán sử dụng chiều biến thiên của hàm số hình thành phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số Bài 1. Tìm m để phương trình 4 2x  2x  24 6  x  2 6  x  m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Bài 2. Tìm m để phương trình x1993  1995  x 2  m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Bài 3. Tìm m để phương trình mx  x  3  m 1 có nghiệm. Bài 4. Tìm m để phương trình x  m  m x 2 1 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Bài 5. Tìm m để phương trình x x  x 12  m 5  x  4  x  có nghiệm. Bài 6. Tìm m để phương trình 2x  x  x  7  2 x 2  7x  m có nghiệm. Bài 7. Tìm m để phương trình x2  2m  2 x2 1  x có nghiệm. x  x  Bài 8. Tìm m để phương trình sin x  2cos  mcos x  2sin  có nghiệm trong khoảng [0; 2  2   ]. 2 Bài 9. Chứng minh rằng phương trình 4x (4x2 1) 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. 4. Hệ thống bài toán sử dụng chiều biến thiên của hàm số phát triển phương pháp đánh giá thông qua sử dụng hàm số 1 Bài 1. Giải phương trình: 1 2015x  1 2015x  x 1  x 1 Bài 2. Giải phương trình: 1 20142014 x  2014 x1 1007(2015x  2015 x ) Bài 3. Giải phương trình: x3  3x2 8x  40 8 4 4x  4  0 2x2 (4x 1)  2y2 (2y 1)  y  32  Bài 4. Giải hệ phương trình:  2 2 1 x  y  x  y   2 xxxviii xxxix 4x 2  ( x2 1 1)(x2  y3  3y  2)  Bài 5. Giải hệ phương trình:  1 x2 x2  (y 1)2  2(1 )  y  12  2x2  4  y Bài 6. Giải hệ phương trình:  2  1 2y  y  5  2x  1  5  x2  5   y2  3  x2 Bài 7. Giải hệ phương trình:  1 1 (x  )  2y  3 2 x xy  2y  3  y  x 1  y  3x  5 Bài 8. Giải hệ phương trình:  (1 y) 2x  y  2(x 1)  (2x  y 1) y 5. Hệ thống bài toán sử dụng đồ thị hàm số xây dựng phương pháp tiếp xúc trong chứng minh bất đẳng thức 3 Bài 1. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a,b,c   và a  b  c  1 . Chứng minh rằng: 4 a b c 9    . 1 a2 1 b2 1 c2 10 Bài 2. Cho bốn số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  4 . Chứng minh rằng: a b c d 1     . 5  3a2 5  3b2 5  3c2 5  3d 2 2 Bài 3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng: 1 1 1    a2  b2  c2 a2 b2 c2 Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 x2   y2   z 2   82 x2 y2 z 2 Bài 5. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z 12 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1    8  x 8  y 8  z 2 Bài 6. Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: 1 1 1  a b c     3    3a 3b 3c  3a 3b 3c  Bài 7. Cho a,b,c là các số thực dương và a  b  c  3 . Chứng minh rằng : xxxix xl a2  9 b2  9 c2  9    5 2a2  (b  c)2 2b2  (c  a)2 2c2  (a  b)2 Bài 8. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (2a  b  c)2 (2b  c  a)2 (2c  a  b)2    8 2a2  (b  c)2 2b2  (c  a)2 2c2  (a  b)2 Bài 9. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (b  c  a)2 (c  a  b)2 (a  b  c)2 3    (b  c)2  a2 (c  a)2  b2 (a  b)2  c2 5 Bài 10. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 9  1 1 1      4    a b c a b c  a b b c c  a  Phụ lục 8: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 1 Bảng 3.1. Thống kê kết quả học tập của HS nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 1 Tổng số HS xi 2 3 4 5 6 7 8 9 48 fi (TN) 1 4 7 12 10 8 4 2 49 fi (ĐC) 0 4 9 11 12 7 5 1 Biểu đồ 3.1. Đa giác đồ của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 1 Nhìn vào biểu đồ 3.1, ta thấy đỉnh của hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều này chứng tỏ chất lượng của nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là tương đương nhau. Phụ lục 9: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 2 Bảng 3.2. Thống kê kết quả học tập của HS lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 2 xl xli Tổng số HS xi 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 51 fi (TN) 2 3 6 14 13 9 2 2 52 fi (ĐC) 2 2 7 13 14 10 3 1 Biểu đồ 3.2. Đa giác đồ của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 2 Nhìn vào biểu đồ 3.2 ta thấy đỉnh của hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều này chứng tỏ chất lượng của nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là tương đương nhau. Phụ lục 10: ĐỀ KIỂM TRA Thực nghiệm sư phạm đợt 1 và thực nghiệm sư phạm đợt 2 Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ nhất Bài kiểm tra Thời gian: 120 phút 8 Bài 1. Cho hàm số y  x3  2(m  3)x2  (m  5)x 1 . Tìm m để hàm số nghịch biến 3 trong khoảng (0;1). a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc nhất và xác định dạng của đồ thị hàm đa thức bậc hai? b) Dựa vào hình ảnh của hàm đa thức bậc hai, xác định cách giải bài toán? c) Trình bày cách giải bài toán? d) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên; Sử dụng tam thức bậc hai? 1 1 Bài 2. Cho hàm số f (x)  mx3  (m  2)x 2  (2  m)x  . Tìm m để hàm số có cực 3 3 đại bé hơn cực tiểu. a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc nhất và xác định các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc 3? b) Dựa vào các dạng hình ảnh của đồ thị hàm số đa thức bậc ba, xác định cách giải bài toán? c) Trình bày cách giải bài toán? xli xlii d) Mở rộng bài toán: Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba không có cực trị; Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực trị phụ thuộc điều kiện? Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức 3 3 2 3 2 2 2 52  6  x  2x  9x  5x  6  7x 11  ,x   ;3  3 15 21 7  5  a) Bài toán này có giải được bằng biến đổi đại số thông thường không? Đưa về bài 2 2 3 2 3 toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x)  x3  2x 2 9x  5x  6  7x 11 trong 3 15 21  6  khoảng   ;3 .  5  b) Giải phương trình f '(x)  0 . c) Trình bày cách giải bài toán? d) Đưa ra phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng sử dụng chiều biến thiên của hàm số? Bài 4. Giải bất phương trình nghiệm thực sau 5x 16  5  x  2x 2  7x  9  0 3x  5  x  2  3 a) Bài toán này có đưa được về bài toán xét dấu của biểu thức ở trái của bất phương trình hay không? b) Hãy so sánh dấu của các biểu thức sau: 5x 16  5  x  2x 2  7x 9 và x  4 3x  5  x  2  3 và x  3 c) Trình bày cách giải? d) Tìm giải pháp khác (gợi ý dựa vào tính liên tục xét dấu của hàm số)? 3 Bài 5. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x  y  z  . Chứng minh rằng: 2 x2 y2 z 2 1    x 1 y 1 z 1 2 a) Tìm điều kiện của x, y, z ? Dự đoán dấu bằng xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức là dạng của tổng hàm số nào? x2 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số f (x)  tại điểm x  ? Chứng minh x 1 2 x2 5x 1 3 bất đẳng thức  , x  (0; ) và xét dấu bằng xảy ra. x 1 9 2 c) Trình bày cách giải? xlii xliii d) Tìm cách giải khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki? Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ hai Bài kiểm tra số 1 GV và HS vấn đáp tìm giải pháp giải các bài toán sau: Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  mx  2 cắt trục hoành tại đúng một điểm. + Tìm hiểu bài toán: Xác định các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc ba? + Tìm giải pháp: Quan sát đồ thị của hàm số xác định cách giải bài toán? + Thực hiện giải pháp: Trình bày cách giải bài toán? + Tìm cách giải khác: Viết phương trình hoành độ giao điểm? Đưa phưuơng trình về dạng g(x)  m ? Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) và tìm m ? + Đưa ra phương pháp sử dụng chiều biến thiên trong bài toán tìm điều kiện có nghiệm của phương trình và bất phương trình? 2x 1 Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số y  cắt đường thẳng d có hệ số góc là m và đi qua x 1 A(2;2) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. + Tìm hiểu bài toán: Xác định phương trình đường thẳng d ? Xác định và biến đổi phương trình hoành độ giao điểm? + Tìm giải pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm và quan sát dạng đồ thị hàm số xác định cách giải bài toán? Sử dụng chiều biến thiên tìm điều kiện? + Thực hiện giải pháp: Trình bày cách giải bài toán? + Tìm cách giải khác: Đặt ẩn phụ t  x 1 và xác định bài toán tương đương? Bài 3. Giải phương trình nghiệm thực sau: 15 3 x7  30x 2 18 3 x  2 6 x 8( 3 x  2) 15x 2 1  35  0 + Tìm hiểu bài toán: Đưa biểu thức 15 3 x7  30x 2 về dạng tích; So sánh với 8( 3 x  2) 15x 2 1 và biến đổi phương trình? + Tìm giải pháp: Đưa phương trình về dạng hai hàm số f ( 15x2 1)  g( 6 x) . Xét sự biến thiên của hai hàm số và tìm nghiệm? + Thực hiện giải pháp: Trình bày cách giải bài toán? + Tổng quát bài toán: Phương pháp chiều biến thiên trong giải phương trình? Bài kiểm tra số 2 Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho hàm số y  (m 1)x 4  (m2  2m 8)x 2  m4 . Tìm m để hàm số có 3 cực trị, trong đó có 2 cực đại và 1 cực tiểu. xliii xliv a) Xác định thông tin liên quan đến bài toán: Đạo hàm bậc nhất; Các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc bốn? b) Quan sát dạng hình ảnh của đồ thị hàm đa thức bậc bốn và xác định cách giải bài toán? b) Trình bày cách giải bài toán? c) Mở rộng bài toán: Xác định điều kiện để hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu, hàm số có 1 cực đại. Bài 2. Cho hàm số y  x3  3mx  m . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. a) Xác định các thông tin liên quan đến bài toán: Phương trình hoành độ giao điểm có nhẩm được nghiệm không? Vẽ các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc ba hệ số a dương và hình ảnh của trục Ox ? b) Quan sát hình ảnh của đồ thị hàm số bậc ba và xác định cách giải? c) Trình bày cách giải? d) Mở rộng bài toán: Dựa vào hình ảnh của đồ thị hàm số, tìm cách giải bài toán “Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d , a  0 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn x0 ”? e) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên của hàm số? Bài 3. Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y  2x4  4x2  5 . a) Xác định các thông tin: Điểm thuộc trục trung có hoành độ bằng mấy? Nêu tính chất đối xứng của hàm đa thức bậc bốn trùng phương? b) Nêu tính chất của tiếp tuyến đi qua A . Tìm điều kiện cần để hàm số có ba tiếp tuyến? c) Thực hiện giải pháp? d) Đề xuất bài toán mới và cách giải? Bài 4. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: 1 1 1 5 2 a3  3a   b3  3b   c3  3c   2 2 2 2 a) Tìm điều kiện của a,b,c ? Dự đoán dấu bằng xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức là dạng của tổng hàm số nào? xliv xlv 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số f (x)  x3  3x  tại điểm x 1 ? 2 1 1 Chứng minh bất đẳng thức x3  3x   2x  , x [0;1] và xét dấu bằng xảy ra? 2 2 c) Trình bày cách giải? 1 d) Tìm cách giải khác: Tìm bất đẳng thức x3  3x   ax  b, x [0;1] theo cách 2 khác? Bài 5. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  2abc . Tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của P    . a(2a 1)2 b(2b 1)2 c(2c 1)2 a) Tìm điều kiện của a,b,c ? Dự đoán dấu bằng xảy ra? Biến đổi biểu thức điều kiện về dạng tổng hàm? Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức là dạng của tổng hàm số nào? 1 1 1 b) Đặt ẩn phụ x  , y  , z  và đưa bài toán về bài toán ẩn mới. Chọn “hàm số a b c đặc trưng” và viết phương trình tiếp tuyến tại điểm xảy ra dấu bằng? Xác định và chứng minh bất đẳng thức đặc trưng? c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác (Sử dụng phương pháp tiếp xúc)? xlv