Lí thuyết Nevanlinna P-Adic và các ứng dụng

Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM ---------------------------------------------------------------------------- LỤC VĂN HÀO LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành : ĐẠI SỐ và LÍ THUYẾT SO Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tơi xin gửi đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Lê Hồn Hố, thầy Đậu Thế Cấp và tất cả các thầy cơ khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tơi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tơi xin cảm ơn các anh chị ở phịng Khoa học cơng nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập trong suốt thời gian qua và hồn thành luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, 08/2009 Lục Văn Hào MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC ............................ 4 1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean ........................................... 4 1.2. Trường các số p-adic p và vành p ......................................................... 7 1.3. Trường các số phức p-adic p ...................................................................... 9 Chương 2. HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC .... 10 2.1. Các hàm đặc trưng ........................................................................................ 10 2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic ...................................... 15 2.3. Nhận xét và một số định lí mở rộng ............................................................. 23 Chương 3. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC ....... 29 3.1. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết giả thuyết abc cho trường hàm p-adic .................................................................................................... 29 3.2. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết bài tốn Waring cho trường hàm p-adic ......................................................................................... 50 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 62 PHỤ LỤC 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích p-adic là một chuyên ngành tốn học mới đang được phát triển và ứng dụng trong lĩnh vực lí thuyết số hiện đại, gĩp cơng lớn vào hai thành tựu nổi bật trong thế kỉ 20 của lí thuyết số hiện đại là chứng minh được định lí lớn Fermat (Andrews Wiles, 1994) và chứng minh được giả thuyết Taniyama – Shimura (1999). Là một nội dung thuộc chuyên ngành giải tích p-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được xây dựng, nghiên cứu và cĩ nhiều ứng dụng trong việc khảo sát tính chất của các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic. Vì lí do đĩ, chúng tơi chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna p-adic và các ứng dụng” nhằm mục đích tiếp cận một lí thuyết tốn học mới đang phát triển. 2. Lịch sử vấn đề Lí thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khối, Mỵ Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỉ cuối của thế kỉ trước (xem [2], [5]) và ngay sau đĩ lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt. Giả thuyết abc và bài tốn Waring là hai vấn đề rất mới của Lí thuyết số hiện đại và hiện vẫn đang được các nhà tốn học trên thế giới tìm tịi hướng giải quyết trong tập hợp các số nguyên. Một thành tựu nổi bật trong việc nghiên cứu hai vấn đề trên trong tập hợp các số nguyên là đã gĩp phần giúp chứng minh được định lí cuối cùng của Fermat một cách đầy đủ và tồn diện. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã ứng dụng thành cơng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề liên quan đến giả thuyết abc và bài tốn Waring cho các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic. 3. Mục đích nghiên cứu 2 Ứng dụng hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài tốn Waring trong trường các hàm p-adic. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp cơ bản của Đại số và Lí thuyết số hiện đại, đặc biệt là căn cứ vào hai định lí cơ bản trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề được đặt ra. 5. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Luận văn đã trình bày được nội dung của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh được các định lí để giải quyết được giả thuyết abc cho trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài tốn Waring trong trường các hàm p-adic. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được phân bố trong ba chương với nội dung cụ thể như sau : Chương 1. Một số vấn đề cơ bản của giải tích p-adic Chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p và vành các số nguyên p-adic , xây dựng trường các số phức p-adic p p . Hầu hết nội dung các phần chứng minh định lí trong chương này được bỏ qua. Các nội dung chứng minh chi tiết đều được trình bày trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối sách. 3 Chương 2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic Chương này trình bày các hàm đặc trưng và hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic. Ngồi ra chúng tơi cịn cung cấp các định lí mở rộng trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng trong chương cuối cùng của luận văn. Chương 3. Những ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tơi giới thiệu lịch sử phát triển cũng như các kết quả nghiên cứu đã đạt được đối với giả thuyết abc và bài tốn Waring trong tập hợp các số nguyên, bên cạnh đĩ ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và bài tốn Waring trong trường các hàm p-adic. Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic , vành các số nguyên p-adic , xây dựng trường các số phức p-adic p p p . Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua và cĩ thể tìm thấy trong những tài liệu tham khảo. 1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean 1.1.1. Chuẩn trên trường Định nghĩa 1.1. Cho F là một trường, ánh xạ : F  được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thoả các điều kiện sau : i) , 0x F x   và 0 0x x   ; ii) , , .x y F xy x y   ; iii) , ,x y F x y x y     . Nếu trường F là một trong các trường , , thì hàm giá trị tuyệt đối thơng thường là chuẩn trên F . Định nghĩa 1.2. Với trường F bất kì, hàm được định nghĩa như sau : : F  x  1 0 0 0 nếu nếu x x x    là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường. Chuẩn trên F cĩ các tính chất cơ bản như sau : i) ,x F x x    ; ii) 1 1 với 1 là đơn vị của F ; iii) 1 1, 0,x F x x x     . Định lí 1.3. Nếu F là trường hữu hạn thì F cĩ chuẩn duy nhất là chuẩn tầm thường. Định nghĩa 1.4. Cho F là trường và là chuẩn trên F . Khi đĩ :d F F     , ,x y d x y y x  là một mêtric trên F và được gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn . 1.1.2. Chuẩn tương đương Định nghĩa 1.5. Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Chuẩn 1 tương đương với chuẩn 2 (kí hiệu 1 2 ) nếu tơpơ cảm sinh bởi 1 và 2 trùng nhau. Định lí 1.6. (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Các phát biểu dưới đây là tương đương. i) 1 2~ ; ii) 1 2, 1x F x x    1 ; iii) 1 2, 1x F x x    1 ; iv) Tồn tại c  sao cho 2 1cx x , x F ; v)  nx là dãy Cauchy đối với 1   nx là dãy Cauchy đối với 2 . 1.1.3. Chuẩn phi Archimedean Định nghĩa 1.7. Chuẩn trên trường F được gọi là chuẩn phi Archimedean nếu thoả điều kiện sau : iii’)  , , max ,x y F x y x y    . Một chuẩn khơng phải phi Archimedean được gọi là chuẩn Archimedean. Ví dụ 1.8. Xây dựng một chuẩn phi Archimedean trên trường . Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới dạng với  1m p m  1, 1m p  ,   . Khi đĩ  được gọi là số mũ của p trong m, kí hiệu ( )mpord  . Với *, mr r n   , ta định nghĩa = – . ( )pord r ( )pord m ( )pord n Nếu biểu diễn 1 1 . mr p n  với 1 1( , ) 1 ( , ) 1, , n p m p    thì ( )pord r  . Quy ước : . (0)pord   Ta cĩ các tính chất sau : i) ; ( ) ( ) ( )p pord rs ord r ord s  p ii)    ( ) min , ,p p pord r s ord r ord s r s    . Với 0 1  cố định, ta xây dựng chuẩn p trên như sau : :p  0 0 0. khi khi pord xp x x x x     Chuẩn p như trên là một chuẩn phi Archimedean trên . Định lí 1.9. (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimedean) Cho F là một trường và là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là tương đương : i) là chuẩn phi-Archimedean ; ii) 2 1 ; iii) 1,n n   ; iv) Tập các số tự nhiên bị chặn ( 0 : ,A n n A     ) . Nhận xét 1.10. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Archimedean . i)  max ,x y x  y nếu x y . ii) Mọi tam giác đều là tam giác cân. iii) Mọi điểm thuộc hình trịn đều là tâm của hình trịn. iv)  ( , ) / pB a r x F x a r    - vừa đĩng vừa mở. v)  ( , ) / pB a r x F x a r    - vừa đĩng vừa mở. Định lí 1.11. (Định lí Ostrowsky) Mọi chuẩn khơng tầm thường trên trường số hữu tỉ hoặc tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường trên . 1.2. Trường các số p-adic p và vành p 1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic p và vành p Theo định lí Ostrowsky, trên chỉ cĩ hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thơng thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean p . Mặt khác, làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thơng thường, ta nhận được trường các số thực , làm đầy đủ theo p ta được trường các số p-adic (tương tự p-adic của trường số thực ). Ta sẽ mơ tả chi tiết hơn về cách xây dựng p p trong mục này. Kí hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỉ theo p . Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau :     lim 0n n n n pnx y x y   . Ta gọi là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên : p     p n nS x x S   . Trang bị cho hai phép tốn cộng và nhân như sau : p            ; . . n n n n n n n n .x y x y x y x y    Rõ ràng là một trường, trường này gọi là trường các số p-adic ( , ,.p  ) p . Chuẩn p trong được mở rộng trong p như sau : Với  n px  ( nx là dãy Cauchy trong ), x =  nx thì lim np pnx x . Rõ ràng p là chuẩn phi-Archimedean. Một phần tử x trong với p mpx p cĩ biểu diễn p-adic là : 1 1 0 1... ... ... m m n m m nx b p b p b b p b p              với  , 0, 0,m im b b p 1    . Tập hợp  1p p px x   cùng với phép tốn cộng và phép tốn nhân trong lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic. p 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành p , p Định lí 1.12. (Các tính chất cơ bản của vành p , p ) i) là vành chính, mọi ideal của p p cĩ dạng là . (m )m pp  ii) p là tập compact đối với chuẩn p . iii) p là tập compact địa phương. 1.3. Trường các số phức p-adic p Ta đã biết, theo định lí Ostrowsky, trên chỉ cĩ hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thơng thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean p . Làm đầy đủ theo chuẩn thơng thường, ta được trường . Trường số thực khơng đĩng đại số, bao đĩng đại số của là trường số phức . Làm đầy đủ theo p , ta được trường các số p-adic . Trường đầy đủ nhưng khơng đĩng đại số. Ta kí hiệu bao đĩng đại số của trường p p p là p . Chuẩn trên p được xây dựng như sau : Với thì p   là phần tử đại số trên p . Do đĩ tồn tại một đa thức 1 1 1 0... ( )n ix a a x a      an nx Irr( , , x) = p p bất khả quy nhận  làm nghiệm. trên p như sau : Ta định nghĩa 0: .np p pax x  p p là một chuẩn trên p và p  p trên p . Trường p đĩng đại số nhưng nĩ khơng đầy đủ theo chuẩn p vừa xây dựng. Nếu ta tiếp tục làm đầy đủ p theo p thì sẽ nhận được trường các số phức p- adic, được kí hiệu là pp   . Trường số phức p-adic cĩ các tính chất cơ bản sau : p p đĩng đại số, đầy đủ và cĩ vai trị tương tự như trường số phức trong giải tích phức. Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC Trong chương này chúng tơi trình bày một số hàm đặc trưng, hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục vụ cho chương 3. 2.1. Các hàm đặc trưng 2.1.1. Chuẩn trên trường Kí hiệu   0 ( ) np n n z f z a z a             n p  là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức. Với , đặt 0r    0 ( ) , 0nn nr p n n p n p n A f z a z a a r             . Nhận xét 2.1. là vành con của vành (r pA )  p z   . Với 0 ( ) ( )nn r n f z a z A     f hội tụ và p thì f là hàm giải tích p-adic trên    0,r p p pD r z  z r  ) . Với và (r pf A 0f  , ta đặt ( , ) max nn pn r f a r   . Định lí 2.2.  ,.r là chuẩn phi Archimedean trên vành A , nghĩa là (r p ) i)  ,r f 0  khi và chỉ khi 0f  ; ii)      , . , . ,r f g r f r g   ; iii)  (r, f + g)     max , , ,r f r g  . Cho D là tập mở trong p , kí hiệu  DH là tập các hàm giải tích trên D,  M D là trường các thương của  DH . Định nghĩa 2.3. Hàm f thuộc  M D được gọi là hàm phân hình trên D . Kí hiệu  ( ) , , 0p pgM g h A hh       . Với (( )pf M  0    ), tồn tại , ( pg h A ) sao cho gf h . Ta đặt   ( , ), ( , ) r gr f r h   ( 0 r   ). Nhận xét 2.4. 1 1, ( , ) r f r f        . Ta cũng cĩ một định lí tương tự như định lí 2.2. như sau : Định lí 2.5. Với 0r   , hàm  (r,.) là chuẩn phi Archimedean trên  pM  , nghĩa là i)  ,r f 0  khi và chỉ khi 0f  ; ii)      1 2 1 2, ,r f f r f r f,   ; iii)       1 2 1 2, max , , ,r f f r f r f    . Định lí 2.6. (Định lí Weierstrass) Cho    0r pf A  với . Tồn tại đa thức 0r     p z0 1 ... vvg z b b z b z     cấp  ,v v r f và một chuỗi luỹ thừa với hệ số trong 1 1 nn n h c z     p , thoả mãn : i)      f z g z h z ; ii)  , vvr g b r  ; iii)  r ph A ; iv)  , 1r h 1   ; v)    , ,r f g r f   . Đặc biệt, khơng cĩ nghiệm trong h  0,p r và f chỉ cĩ v nghiệm trong .  0,p r 2.1.2. Các hàm đặc trưng Cho ( ) ( )nn p n m f z a z A     (0 , 0, 0)a mm     và pa . Ta định nghĩa các đại lượng sau  1,n r f a   là số các nghiệm (tính cả nghiệm bội) của    f a trên  0,p r ;  1,n r f a   là số các nghiệm phân biệt của    f a trên  0,p r . Với 00 r  , ta định nghĩa các đại lượng sau  0 1, 1, r n t f aN r dt ; f a t           0 1, 1, r n t f aN r dt . f a t          Cho ( )p và f M   pa   , 0 r     , tồn tại )r p0 1, (f f A , khơng cĩ nhân tử chung trong vành ( )r pA sao cho 1 0 ff f  . Với hàm f như trên, ta định nghĩa các đại lượng sau    0 1 0 1, , 1, 1, khi khi n r f n r a f n r f a n r a f af                       ;    0 1 0 1, , 1, 1, khi khi N r f N r a f N r f a N r a f af                       ;        , log , max 0,log ,m r f r f r f   ;       , , ,T r f m r f N r f  . Các hàm n và N cũng được định nghĩa tương tự như trường hợp trên. Định lí 2.7. Cho ( )i pf M   1,2,...,i k , với 0 r     , ta cĩ i)   1 1 , , k k i i i i N r f N r f          ,  11, , k k i i ii N r f N r f         ; ii) , ;   1 1 , max k i ii k i m r f m r f         ,  11, , k k i i ii m r f m r f         iii) , và   1 1 , , k k i i i i T r f T r f          11, k k i i ii T r f T r f          , ,T r f là một hàm tăng theo . r Ví dụ 2.8. Cho đa thức   0 k j j j A z a   z  0ka  . Ta sẽ tìm  ,T r A . Đặt   1 1 0 1max , k k jj j k k kp a r A a a                     . Nếu  r r A , ta được k j k jp p a r a r  0 j k  và do đĩ  , 1kk pr A a r   . Suy ra :      , , log , log log kT r A m r A r A k r a    . Cho  , j pf a M , 1,2,..., 0và kj k a  . Với đa thức  A z được xác định như trong ví dụ 2.8., ta định nghĩa :        0 , k j j j A f z A z f z a z f    . Định lí 2.9. Nếu  pf M khác hàm hằng thì ta cĩ : i)       0 1, , , , k j jj N r A f kN r f O N r a N r a                 ; ii)       0 1, , , k j kj m r A f km r f O m r a m r a             , , ) ; iii) .       0 , , k j j T r A f kT r f O T r a          2.1.3. Cơng thức Jensen Cho và ( pf A 00 r      , ta cĩ cơng thức Jensen như sau :    01, log , log ,N r r ff          f ) . Cho và ( pf M  00 r      , áp dụng cơng thức Jensen trong trường hợp này, ta cĩ :      01, , log , log ,N r N r f r f ff           và cĩ thể biểu diễn lại như sau :    01, , logT r T r f ff         , với lưu ý rằng :         1 1log , log , log , , . , r f r f m r f m r r f f              2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic 2.2.1. Định lí cơ bản thứ nhất Định lí 2.10. Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên  0,p  với 0    . Khi đĩ, với mọi pa , ta cĩ :   1 1, , ,m r N r T r f O f a f a             1 khi r  . Chứng minh Áp dụng cơng thức Jensen, ta cĩ :      0 1 1 1, , , , log , m r N r T r f a f a f a T r f a f a                         1 Mặt khác :               ( , ) ( , ) ( , ) , , , , log , , log p T r f a T r f T r a T r f m r a N r a T r f r a T r f a             2 Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ :  ( , ) ( , ) log 3pT r f T r f a a   Từ (1), (2) và (3), ta cĩ được điều phải chứng minh.  2.2.2. Định lí cơ bản thứ hai Trước khi vào nội dung chính của định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau : Bổ đề 2.11. Cho chuỗi luỹ thừa     0 n n p n f z a z z        cĩ bán kính hội tụ 0  và phần tử pz . Nếu  f z hội tụ thì  f z tồn tại và   1 1 n n n f z na z      (*). Mặt khác bán kính hội tụ của  f z bằng với bán kính hội tụ của f và thoả   1,r f r f r    , với mọi 0 r   . Chứng minh Đặt   1 1 n n n g z na z     . Theo định lí Ostrowsky, định lí về các điều kiện tương đương của chuẩn và định lí về các điều kiện tương đương của chuẩn phi- Archimedean, ta cĩ : 1 1, : p p n n nn         1 1 lim 1npn n  1 1 1lim sup lim supn nn np pn n a n    a . Do đĩ, cĩ cùng bán kính hội tụ với g f . Vì  f z hội tụ nên 0nnna z  . Nếu thì hiển nhiên 0z   g z hội tụ. Nếu , lưu ý rằng 0z  1 1 1 0nn n nn n np p p p na z a z a z z     . Qua đĩ cũng suy ra được  g z hội tụ. Trong trường hợp  f z hội tụ trên  0,p  , ta chọn R  . Trong trường hợp  f z hội tụ trên  0,p  , ta chọn R sao cho pz R   . Nếu , ta cĩ thể giả sử 0z  p ph z R  . Nếu , ta cĩ thể giả sử 0z  ph R . Như vậy, ta luơn cĩ  max ,p p pz h z h R   và  f z h hội tụ thoả : 1 1 1 ( ) ( ) n n j j n n j nf z h f z a z h jh             . Vì R  nên ta cĩ 1 1 0n j j nn n p p n a z h a R j         Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều theo h . Qua đĩ, ta cĩ thể lấy giới hạn theo từng hạng tử và thu được       1 0 1 lim .nnh n f z h f z f z n h         a z Cuối cùng, nếu 0 r   thì    1 1 1, max max ,n nn np pn nr f na r a r r fr r     .  Với  pf M  , tồn tại  0 1, pf f A , 0 0f  sao cho 1 0 ff f  . Khi đĩ f  được xác định theo cơng thức sau : 1 0 0 1 2 0 f f f ff f    . Với 0 r   , ta xây dựng đại lượng  ,RamN r f như sau :       1, 2 , , ,RamN r f N r f N r f N r f        . Định lí 2.12. (Định lí cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên  0,p  và đặt , …, là các số khác nhau trong 1a qa p . Đặt  min 1, i j pi j a a   và  max 1, i piA a . Khi đĩ, với 0 r   , ta cĩ :           1 1 11 , , , , log 1, , log q Ram f jj q f jj q T r f N r f N r N r f r S f a N r f N r r S f a                       trong đĩ      0 0 1 log , log , 1 log q f j j AS f a f q          . Chứng minh Lấy ' p pr  với 0 'r   . Vì f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên  0,p  nên tồn tại 0 1 ' (r pf f A,  ) khơng cĩ nhân tử chung sao cho 1 0 ff f  . Đặt 0 0F f , 1 0i iF f a f   1,2,...,i q . Khi đĩ ta được : 0 0( ) ( )p pf z F z và     1 0 0 ( ) ( ) ( ) max ( ) , ( ) .max ( ) , ( ) . i i i ip p p p i p p f z F z a F z F z a F z A F z F z     0 p Suy ra       0max ,k ip p pif z A F z F z  0,1k  .  1 Kí hiệu   0 10 1 0 1 1 0 0 1 , f f W W f f f f f f f f       là định thức Wronskian của 0f và 1f . Khi đĩ ta cĩ :  0 1 0 0 1 0 0, ( ) . ( ).i i i iW W F F f a f f f a f f W      . Chọn    00, ' 0,p pz r   thích hợp sao cho  W z ,  1f z và ( ) 0iF z  với 0,1,...,i q . Khi đĩ tồn tại  1,2,...,j q sao cho 1 ( ) min ( )j i pp i q F z F  z . Mặt khác, ta cĩ :      0 0 0i j i jpp pa a f z a f z a f z   1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i j ip pjf z F z f z F z F z F z             0 1i j p ip p j i p F z F z f z F a a      z  i j . Do đĩ ta cĩ thể lấy các chỉ số 1 , …, 1q  với l j   1,2,..., 1l q  phân biệt sao cho :         1 100 max , ... qjp p p pf z F z F z F z        .  2 Từ (1) và (2), ta cĩ :         0max , lk jp p p pA Af z f z F z F   z với và . 0,1k  1,2,..., 1l q  Suy ra      max lk pp pk Af z f z F z 0,..., 1l q  ,   với   20 1, : p pf f f  . Do nên : jW W 0 ( ).... ( ) log ( ) q p p F z F z W z            1 1 0log ... log log logq jp ppp F z F z F z F z W      z = 1 1 0 ( ) log ( )... ( ) log ( ). ( )q p p j p W z F z F z F z F z    =     1 1 log ... log ( ) q jp F z F z D z    với 0 00 j p j j jj pp W F FD F FF F     . Suy ra :           1 1 0 ... log ... log log q q p jp p F z F z F z F z D z W z     . Dẫn đến :    1 logq f z     1 1 log ... log ( 1) log qp p AF z F z q       = 1 1 log ( )... ( ) ( 1) log q p AF z F z q      0 ( ).... ( ) log log ( ) ( 1) log ( ) q p j p F z F z AD z q W z    .  3 Hơn nữa, đặt pr z . Theo bổ đề 2.11., ta cĩ :          0 0 1max , jp p j jp p F zF z D z rF z F z        . Suy ra  log logjD z r  . Mặt khác, theo cơng thức Jensen, ta cĩ :             0 0 0 0 0 0 0 log log , log , 1, log , , log , , p 0 F z r F r f N r f f N r f f                           0 1 1 0 0 0 0 log log , log , 1, log , 1, log , 2log , p W z r W r f f f f N r W W 0 ,N r fW                         f          1 0 0 0 log log , log , 1, log , log , i i ip i i F z r F r f a f N r f a f f a                 0 với , 1,2,...,i q       0 1log , max log , , log ,r f r f r f       0 01 , max 0,log log , , r f r f r f              0max 0,log , log ,r f r f      0, log ,m r f r f  . Suy ra :      0log , , log ,r f m r f r f   . Ta cĩ :   0 0 0 1, log , log , 0N r r ff          f     0 0( , ) log ( , ) , log ,N r f r f m r f f             0 0, , log , log ,N r f m r f r f f           0 0, log , log ,T r f r f f    .  2.1 Suy ra :      0 0log , log ,pf z T r f f   . Bên cạnh đĩ, ta cĩ : 20 1 1 0 0W f f f f f f         1 1, 2 , , ,n r n r f n r f n r W f               1, ,RamN r N rW      f . Từ (3) và các điều trên ta cĩ :         1 11 , , , ( , ) log 4 q Ram f jj q T r f N r f N r N r f r S f a           và     1 1 1 1 1, , , , , q q j jj j n r f n r n r n r f n r . f a W f a                       Như vậy, kết hợp lại, ta được :     1 1, , , log q Ram f jj N r f N r N r f r S f a          1 1( , ) ( , ) log q f jj N r f N r r S f a    . Lưu ý rằng tập các giá trị của thoả (4) là một tập dầy đặc trong r  0,r  . Như vậy, do tính liên tục của các hàm trong bất đẳng thức, (4) sẽ đúng với mọi 0 r r   . Vì được chọn tuỳ ý nên định lí được chứng minh. r 2.3. Nhận xét và một số định lí mở rộng 2.3.1. Nhận xét Nhận xét 2.13. Kí hiệu 1 1 1 1 1 1, ; ,..., , , , q q q j jj j n r a a n r n r n r 1 f f f a f                                a và đặt 0 1 1 1, ; ,..., 1, ; ,..., qr q n t a a fN r a a d f t          t . Khi đĩ, ta cĩ bất đẳng thức sau : 1 1 10 , ; ,..., ,qn r a a n rf f            và bất đẳng thức trong định lí cơ bản thứ hai cĩ thể được viết lại như sau :       1 1 11 , , , 1, ; ,..., log . q jj q f q T r f N r f N r f a N r a a r S f                 Thật vậy : 1 1( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) log q Ram f jj q T r f N r f N r N r f r S f a       1 1 1( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ') ( , ) log ' q f jj N r f N r N r f N r f N r r S f a f        1 1 1 1( , ') ( , ) ( , ) ( , ; ,..., ) log ' q q f jj N r f N r f N r N r a a r S f a f       1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ; ,..., ) log ' q q f jj N r f N r N r a a r S f a f      . 2.3.2. Một số định lí bổ sung Mở rộng bổ đề 2.11. với các đạo hàm bậc cao, ta được kết quả như sau : Định lí 2.14. Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên  0,p  . Với mọi số nguyên dương k , ta cĩ :   1, k k fr f r        . Đặc biệt, ta cĩ :   1, lo kfm r k g f r       . Chứng minh Với  pf A , áp dụng bổ đề 2.11., ta được     , 1, , r ffr f r f r         , dẫn đến (quy ước  0f f ) :          1 1 1 1 1, , , k kk i i ki i i i f f fr r r f rf f                               . Với  pgf Mh    , ta cĩ : 2, , . , f hg gh h g hr r r f q gh                   h     1max , , ,g hr r g h                r . Lập luận tương tự như trên, ta nhận được :   1, k k fr f r        .  Định lí 2.15. Cho  r pf A và đặt   , 0s r f f  . Khi đĩ ta cĩ :     0, 0 ,p pf r f s    . Chứng minh Dễ thấy,     0, 0 ,p pf r f  s  . Ngược lại, lấy  0 ,pb f   s và đặt hàm    g z f z b  . Định lí 2.15. trở nên tầm thường khi 0s  . Giả sử 0s  , khi đĩ ta cĩ     , , 0v r g v r f f 1   vì     0 ,f b s r f f    0  . Theo định lí 2.6., nhận ít nhất một nghiệm trong và do đĩ g 0,p r   0,pb f r .  Định lí 2.16. Với  r pf A cĩ nghiệm trong với (tính cả nghiệm bội) và k 0,p r  1k    0,pb f r . Khi đĩ f b cũng cĩ nghiệm trong (tính cả nghiệm bội). k 0,p r  Chứng minh Ta cĩ   0 n n n f z a    z , áp dụng định lí 2.6., ta cĩ  ,k v r f và do đĩ n k n kp pa r a r  n k , n kn kp pa r a r  n k . Theo giả thiết và áp dụng định lí 2.15., ta được 0 1 sup n kn kp p n a b a r a r     p suy ra    , ,v r f b k v r f   . Áp dụng định lí 2.6., ta được điều phải chứng minh.  Hệ quả 2.17. Xét hàm  pf A  0    khơng bị chặn. Với mỗi , ta cĩ : pb  1 1, ,N r N r O f b f            1 r (khi  ). Chứng minh Lưu ý rằng f và f b cĩ ít nhất một nghiệm vì f b cũng là hàm khơng bị chặn. Vậy tồn tại r   sao cho f cĩ ít nhất một nghiệm trong  0,p r và   0,pb f r . Theo định lí 2.16., ta cĩ : 1, 1n r n r, f b f           r r . Vì vậy, khi thì : r r 1, 1._.