Lập Picacrd cho hàm tăng mạnh và Lipsit giả co mạnh trong không gian Banach tùy ý

úp tôi hoàn thành luận văn này. Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa. Xin chân thành cảm ơn. Tp Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011 Trang 4 MỤC LỤC 1TLỜI CẢM ƠN1T ............................................................................................................. 3 1TMỤC LỤC1T ................................................................................................................... 4 1TPHẦN MỞ ĐẦU1T ......................................................................................................... 5 1TChương I. Không gian lồi đều và trơn đều1T ................................................................ 6 1T .1 Không gian lồi đều1T ......................................................................................... 6 1T .2 Không gian trơn đều1T ..................................................................................... 13 1TChương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều1T ............... 24 1T2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều1T ........................................................ 24 1T2.2 Bất đẳng thức trong không gian trơn đều1T ...................................................... 37 1TChương III. Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến1T ......................... 44 1T3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach. 1T ........................................................................................................................... 44 1T3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh và hàm lipsit giả co mạnh1T ............................ 58 1T ÀI LIỆU THAM KHẢO1T ........................................................................................ 64 Trang 5 PHẦN MỞ ĐẦU Cho E là không gian Banach thực. Ta xét phương trình Ax f= , với ánh xạ : ( )A D A E E⊂ → , trong đó ( )D A mở. Giả sử rằng phương trình đó có nghiệm x∗ , ta sẽ tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm. Việc này cho phép tính xấp xỉ nghiệm. Dãy lặp ở đây được xem xét là dãy lặp Picard: cố định 0x B∈ ; 1 ( )n n nx x Ax fλ+ = − − ( 0)n ≥ . Để dãy lặp Picard hội tụ, ta xét E trơn đều hoặc p-trơn đều, và A thỏa một số tính chất, chẳng hạn như: lipsit địa phương và tựa-tăng mạnh. Nếu như Ax f= không có nghiệm thì sự cố gắng lặp dãy hội tụ đến nghiệm là vô nghĩa. Tuy nhiên, nếu A tăng mạnh và lipsit thì sự tồn tại nghiệm của phương trình Ax f= là được khẳng định bởi định lý 13.1 xem ở [7]. Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Giới thiệu không gian lồi đều và p-lồi đều, cùng các tính chất của môđun lồi. Giới thiệu không gian trơn đều và q-trơn đều, cùng các tính chất của môđun trơn. Chương II: Chứng minh một số bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong chương III. Chương III: Trình bày cách lặp dãy hội tụ về nghiệm phương trình theo dãy lặp Picard. Trang 6 Chương I. Không gian lồi đều và trơn đều 1.1 Không gian lồi đều Bài này giới thiệu về không gian lồi đều và p-lồi đều và đặc biệt chỉ ra một vài tính chất của môđun lồi. Cho X là không gian định chuẩn và cố định 0x X∈ . Đặt { }0 0( , ) :S x r x X x x r= ∈ − = . Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu cho bất kỳ (0, 2]ε ∈ đều có một 0δ > sao cho nếu ,x y X∈ mà 1, 1x y= = và x y ε− ≥ , thì 1 ( ) 1 2 x y δ+ ≤ − . Nhận xét 1.1.2 Trong định nghĩa trên không khác đi khi thay (0,2]ε ∈ bởi 0ε > . Thật vậy, nếu với mọi 0ε > đều có 0δ > sao cho nếu ,x y X∈ mà 1, 1x y= = và x y ε− ≥ , thì 1 ( ) 1 2 x y δ+ ≤ − . Do đó cũng dúng với (0,2]ε ∈ . Ngược lại, nếu đúng với (0, 2]ε ∈ thì với 2ε > 1, 1x y= = và x y ε− ≥ 2x y⇒ − > , dẫn đến 1 ( ) 1 2 x y δ+ ≤ − . Mệnh đề 1.1.3 Cho số p, 1 p< < ∞ . Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ khi, cho mỗi 0ε > có số ( ) 0pδ ε > sao cho, nếu , mà , 1x y X x y∈ ≤ và x y ε− ≥ thì (*) (1 ( )) 2 2 p pp p x yx y δ ε ++ ≤ − . Trang 7 Chứng minh. Ta chứng minh chiều ngược lại. Cho 0ε > có số ( ) 0pδ ε > sao cho, nếu , mà 1x y X x y∈ = = và x y ε− ≥ thì (1 ( )) 2 2 p pp p x yx y δ ε ++ ≤ − , điều này dẫn đến ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) 2 p p p p x y δ ε δ ε        + ≤ − = − − − , bởi vậy chọn ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ppδ ε δ ε        = − − , ta được ngay X lồi đều. Ta chứng minh chiều thuận. Giả sử X là không gian định chuẩn lồi đều. Nếu p > 1 thì hàm 1( ) (1 ) p p tt t ϕ += + , 0t ≥ đạt giá trị nhỏ nhất khi 1t = . Thật vậy 1 1 1 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( 1)( ) (1 ) (1 ) p p p p p p p p pt t p t t p t tt t t ϕ − − − −+ − + + + −′ = = + + , cho nên dấu của ( )tϕ′ là dấu của 1 1pt − − và do đó 1 0 min ( ) (1) 2 p t tϕ ϕ − ≥ = = . Bởi vậy 11 2 (1 ) p p p t t −+ ≥ + , 0t∀ ≥ , điều này dẫn đến 1 1 (1 ) 2 2 p pt t     + ≤ + , với mọi 0 1t≤ ≤ . Bây giời chúng ta khẳng định rằng nó là đủ để chứng minh (*) cho ,x y X∈ sao cho 1, 1x y= ≤ . Thật vậy giả sử (*) đúng cho ,x y X∈ sao cho 1, 1x y= ≤ . Khi đó Trang 8 với 1 ,x y≥ (xem y x≤ ) và x yx y x x x ε ≤ − = − , (nếu xem x y≤ thì đổi x bởi y ) đúng nếu và chỉ nếu x y x x x εε ≤ ≤ − ta được (1 ( )) 2 2 p p p p x yx y x x δ ε ++ ≤ − . Vì vậy, chúng ta thiết lập (*) cho 1, 1x y= ≤ và x yε ≤ − . Nếu (*) không đúng thì có 0ε > , các dãy ( ),( )n nx y trong X sao cho 1n ny x≤ = và n nx y ε− ≥ sao cho 2( ) 1 2 p n n p p n n x y x y α + → + Vì vậy 1ny → . (Thật vậy, nếu ny không hội tụ về 1 thì có 0 1q< < và dãy con { }ny sao cho 1ny q≤ < cho tất cả n. Thật vậy, giả sử điều trên không đúng thì với 11 2k k q = − , ta có dãy con { }kny của { }ny sao cho 11 1 2 knkk q y− = < ≤ , suy ra 1 kn y → . Ta sẽ chứng minh mọi dãy con hội tụ của { }ny đều hội tụ về 1. Giả sử có dãy con { }kny ′ của { }ny thỏa { }kny ′ hội tụ về phần tử khác 1, thì theo chứng minh trên { }kny ′ có dãy con mà dãy chuẩn của nó hội tụ về 1, suy ra { }kny ′ hội tụ về 1 (mâu thuẫn). Như vậy mọi dãy con hội tụ của dãy { }ny đều hội tụ về cùng giới hạn 1 nên 1ny → (mâu thuẫn)). Do 1ny q≤ < nên, Trang 9 ( ) 11 (1 ) 2 11 p pn p p p n y q qy − + + ≤ ≤ ++ do đó ta có 1 2 2 2 p pp n n nn n x y yx y             + ++ ≤ = . Mặt khác, chọn 1ρ < sao cho ( )1 2 2 p pn p n n y x yρ  +   ≤ +     , n ∗∀ ∈¥ Chọn được vì 1( ) (1 ) p p tt t ϕ += + nghịch biến trên [0,1] nên 1( ) ( ) (1) 2 , [0, ]pt q t qϕ ϕ ϕ −≥ > = ∀ ∈ , suy ra, 1 11 1 (1 ) 12 2 ( ) ( ) 1 ( ) p p p p t t q t qϕ ϕ ϕ − −+≤ < ⇔ ≤ < + điều này dẫn đến: 1 2 1. 2 2 ( ) 2 p p p t t qϕ + +  ≤    . Do đó chọn 2 1 2 ( )p q ρ ϕ = < , ta thu được ( )2 2 p ppn n n n x y x yρ+ ≤ + , điều này mâu thuẫn với ( )α . Trang 10 Đặt nn n yz y = thì 0nn n n n yz y y y − = − → . Vì vậy, / 2n nz x ε− ≥ khi n đủ lớn ( do ( )n n n n n n n n n nz x x y z y x y z y− = − − − ≥ − − − ). Nhưng bởi ( )α , lim 12 n nx z+ = ( vì 1 1 2 2 n n nx z x+ +→ → ), mâu thuẫn với tính lồi đều của X. Định lý 1.1.4 Không gian ( )pL µ với 1 p< < ∞ là không gian Banach lồi đều. Chứng minh. Xem [2] hoặc [3]. Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian định chuẩn với dim 2X ≥ . Môđun lồi của X là hàm : (0,2] [0,1]Xδ → được định nghĩa bởi ( ) inf 1 : 1; 2X x y x y x yδ ε ε + = − = = − =    . Trong trường hợp không gian Hilbert ta có 2 ( ) 1 1 4H εδ ε = − − ( do đẳng thức hình bình hành 2 2 2 22( )x y x y x y+ + − = + ). Nhận xét rằng (0) 0δ = . Bổ đề 1.1.6 Cho X là không gian định chuẩn với dim 2X ≥ . Khi đó ( ) inf 1 : 1, 1; inf 1 : 1, 1; 2 2X x y x yx y x y x y x yδ ε ε ε +   + = − ≤ ≤ − ≥ = − ≤ ≤ − =        Chứng minh. Day, M. M [11]. Bổ đề 1.1.7 Cho mỗi không gian định chuẩn X , hàm ( )Xδ ε ε không giảm trên (0;2]. Chứng minh. Cố định , (0;2], η λ η λ∈ ≤ và , : 1x y X x y∈ = = , x y λ− = . Trang 11 Ta sẽ chứng minh ( ) ( )X Xδ η δ λ η λ ≤ . Đặt: (1 ) và (1 )x y x yu x v y x y x y η η η η λ λ λ λ + + = + − = + − + + . Thì ( ),u v x y u vη η λ − = − − = và 1 2 2 x yu v x y x y ηη λ λ  ++ + = − + +   , điều này dẫn đến: 1 1 1 2 2 2 2 x y x y u vx y u v x y η ηη η λ λ λ λ  + + ++ + − = − = − − + = − +   . Đặc biệt: 1 1 1 2 2 2 x yx y x y x y x y x y   ++ + − = + − = −  + +  . Do đó: 2 21 1 1 2 2 x y u v x y x y x y x yx y x y u v x y ηη η λ λ λ + + + + − − + +   + + = − = − =   − −    . Vì vậy: 1 1 12 2( ) 2 2 2X x y u v x y x yu v x y x y x y x y u v u v x y x y δ η η λ + + + ++ − −− −− − −+ + ≤ = = = = − − − − . Suy ra Trang 12 ( ) ( )X Xδ η δ λ η λ ≤ . Định nghĩa 1.1.8 Cho tập con lồi, mở không rỗng của không gian định chuẩn X . Hàm : ( )f D f → ¡ được gọi là lồi trên ( )D f nếu: [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ), , ( );0 1f x y f x f y x y D fλ λ λ λ λ+ − ≤ + − ∀ ∈ ≤ ≤ . Bổ đề 1.1.9 Mỗi hàm lồi f trên tập con mở ( )D f không rỗng, lồi trong ¡ là liên tục. Chứng minh. Charles Chidume [1]. Định lý 1.1.10 Môđun lồi của không gian định chuẩn X là hàm liên tục và lồi. Chứng minh. Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L [4]. Định lý 1.1.11 Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ khi ( ) 0, (0;2]Xδ ε ε> ∀ ∈ . Chứng minh. Cho X lồi đều thì với (0,2]ε ∈ có số 0δ > sao cho với ,x y X∈ mà 1, 1x y= = và x y ε− ≥ thì 1 ( ) 1 2 x y δ+ ≤ − , do đó ( ) 0Xδ ε > . Ngược lại, cho ( ) 0, (0,2]Xδ ε ε> ∀ ∈ thì với (0,2]ε ∈ chọn (Xδ δ ε= ) ta có: với ,x y X∈ mà 1, 1x y= = và x y ε− ≥ thì 1 ( ) 1 2 x y δ+ ≤ − tức là X lồi đều. Hệ quả 1.1.12 Trong không gian lồi đều, môđun lồi là hàm tăng ngặt. Chứng minh. Từ bổ đề 1.1.7, với 0 2s t< < ≤ ta có ( ) ( )X Xt s s tδ δ< . Do X lồi đều nên theo định lý 1.1.11 ta được ( ) 0, (0,2]Xδ ε ε> ∀ ∈ , bởi vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X X Xt s s t t t s tδ δ δ δ δ< < ⇒ < . Định lý 1.1.13 Nếu X là không gian lồi đều thì 2 ( ) 1 1 4X εδ ε ≤ − − . Trang 13 Chứng minh. Charles Chidume [1]. Định lý 1.1.14 Nếu X là không gian Banach lồi đều thì X phản xạ. Chứng minh. Charles Chidume [1]. Định nghĩa 1.1.15 Cho p > 1. Không gian định chuẩn X được gọi là p-lồi đều nếu có một hằng số 0 : ( ) pXc cδ ε ε> ≥ . Định lý 1.1.16 Ta kí hiệu pδ để chỉ môđun lồi của (1 )pL p< < ∞ . Ta có: (i) Nếu (1, 2)p∈ thì có số 0pk > sao cho 2( )p pkδ ε ε≥ . (ii) Nếu [2, )p∈ ∞ thì có số 0pk > sao cho ( ) p p pkδ ε ε≥ . Chứng minh. [3], trang 66. Từ định lý trên ta thấy không gian (1 )pL p< < ∞ là không gian p-lồi đều. 1.2 Không gian trơn đều Định nghĩa 1.2.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là trơn nếu cho mỗi , 1x X x∈ = , có duy nhất : 1 và ,x X x x x x∗ ∗ ∗ ∗∈ = 〈 〉 = . Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một không gian định chuẩn với dim 2X ≥ . Môđun trơn của X là một hàm :[0, ) [0, )Xρ ∞ → ∞ , ( ) : sup 1: 1; 2X x y x y x yρ τ τ  + + −  = − = =    . Rõ ràng rằng ( ) : sup 1: 1 2X x y x y x y τ τ ρ τ  + + −  = − = =    . Mệnh đề 1.2.3 Môđun trơn của không gian định chuẩn X là hàm lồi. Trang 14 Chứng minh. Cố định 1x y= = và xét , ( ) : 12x y x ty x ty f t + + − = − . Khi đó cho [0,1]λ∈ , ta có: , ( (1 ) ) ( (1 ) ) ( (1 ) ) 1 2x y x t s y x t s y f t s λ λ λ λ λ λ + + − + − + − + − = − (1 ) (1 ) 1 2 x ty x sy x ty x syλ λ λ λ+ + − + + − + − − ≤ − (ta đã sử dụng (1 )x x xλ λ= + − ) , ,( ) (1 ) ( )x y x yf t f sλ λ= + − . Do đó ,x yf là một hàm lồi. Bây giời cho 0ε > có ,x y X∈ , 1x y= = sao cho , , , ( (1 ) ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) X x y x y x y X X t s f t s f t f s t s ρ λ λ ε λ λ λ λ λρ λ ρ + − − < + − ≤ + − ≤ + − Vì 0ε > tùy ý nên Xρ là hàm lồi. Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X được gọi là trơn đều nếu với 0ε > cho trước có 0δ > sao cho với mọi ,x y X∈ và 1,x y δ= ≤ , thì 2x y x y yε+ + − < + . Định lý 1.2.5 Một không gian định chuẩn X là trơn đều nếu và chỉ nếu 0 ( )lim 0X t t t ρ +→ = . Chứng minh. Nếu X là trơn đều và 0ε > thì, có 0δ > sao cho: 1 ; , : 1, 2 2 x y x y y x y X x yε δ + + − − < ∀ ∈ = ≤ . Trang 15 Điều này dẫn đến ( ) , 2X t t tερ δ≤ ∀ < . Ngược lại, cho 0ε > , giả sử có 0δ > sao cho ( ) , 2X t t tερ δ< ∀ ≤ . Với 1,x y δ= ≤ . Đặt yτ = ta có ( ) 2X ερ τ τ< . Do đó ta được 2 ,x y x y y yε δ+ + − < + ≤ . Mệnh đề 1.2.6 Mỗi không gian trơn đều là trơn. (Mệnh đề này cho phép chỉ ra cụ thể ,1pL p< < ∞ là trơn). Chứng minh. Giả sử phản chứng, X không trơn, thì có 0 0: 1x X x∈ = và * * 1 2,x x X∈ sao cho * * 1 2x x≠ , * * 1 2 1x x= = và * * 0 1 0 0 2, ,x x x x x= = . Vì * * 1 2x x≠ nên có * *0 0 0 1 2: 1 và , 0y X y y x x∈ = − > . Cho mỗi 0t > chúng ta có: * * 0 1 2 * * 0 1 0 2 * * 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 , ( , , ) , , 1 1 2 2 t y x x t y x y x x ty x x ty x x ty x ty < − = − + + − + + − = − ≤ − do đó, * *0 1 2 ( )0 , , 0X ty x x t t ρ . Vì vậy X không trơn đều (!). Mệnh đề 1.2.7 Cho X là không gian Banach thực. Với mỗi 0τ > , x X∈ , 1x = và x X∗ ∗∈ với 1x∗ = . Chúng ta có: Trang 16 ( ) sup ( ) : 0 2 2 ( ) sup ( ) : 0 2 2 XX X X τερ τ δ ε ε τερ τ δ ε ε ∗ ∗  = − < ≤     = − < ≤    Chứng minh. Cho 0,0 2; ,x y Xτ ε> < ≤ ∈ với 1x y= = . Bởi định lý Hanh- Banach có * * *0 0,x y X∈ với * * 0 0 1x y= = sao cho *0,x y x x y+ = + và * 0,x y y x y− = − . Khi đó * * 0 0 * * * * 0 0 0 0 * * * * 0 0 0 0 * * * * 2 , , 2 , , 2 2 (do ( ) ) sup 2 : x y x y x y x x y y x x y y x y x y x y f x f x x y x y x τ τ τ τ τ τ τ τ + + − − = + + − − = + + − − ≤ + + − − ≤ ≤ + + − −{ } ** * 1 2 ( )Xy ρ τ= = = Suy ra ( ) 1 2X x y x yτ ρ τ∗ + + − − ≤ − . Cho nên, Nếu x yε ≤ − thì, từ bất đẳng thức sau: * ( ) 12 2X x yτε ρ τ + − ≤ − ; Ta thu được: * ( ) ( )2 XX τε ρ τ δ ε− ≤ và từ 0 2ε< ≤ tùy ý, chúng ta thu được Trang 17 sup ( ) : 0 2 ( ) 2 X X τε δ ε ε ρ τ∗  − < ≤ ≤    . Bây giờ cho , : 1x y X x y∗ ∗ ∗ ∗ ∗∈ = = , và 0δ > . Cho 0τ > thì có 0 0 0 0, :x y X x y∈ ≠ và 0 0 1x y= = sao cho 0 ,x y x x yτ τ δ ∗ ∗ ∗ ∗+ ≤ + + và 0 ,x y x x yτ τ δ ∗ ∗ ∗ ∗− ≤ − + ( do { }sup ( ) : 1f f x x= = ) . Từ những bất đẳng thức đó chúng ta thu được 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 , , 2 2 , , 2 2 2 , 2 x y x y x x y y x y x y x x y y x y x y y τ τ τ τ δ τ δ τ δ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + − − ≤ + + − − + = + + − − + ≤ + − + − + Vì vậy nếu chúng ta đặt 0 0 0: ,x y yε ∗= − , thì 0 0 00 2x yε< ≤ − ≤ và 0 01 ( ) sup ( ) : 0 22 2 2X X x y x yτ τ τε τεδ δ ε δ δ ε ε ∗ ∗ ∗ ∗+ + −  − ≤ + − ≤ + − < ≤    . Vì 0δ > tùy ý nên chúng ta thu được: ( ) sup ( ) : 0 2 2 XX τερ τ δ ε ε∗  ≤ − < ≤    . Vậy đẳng thức thứ nhất được chứng minh xong. Ta chứng minh đẳng thức thứ hai, cho 0τ > và , : 1x y X x y∗ ∗ ∗ ∗ ∗∈ = = . Cho bất kỳ 0η > , từ định nghĩa của trong X ∗ có 0 0 0 0, : 1x y X x y∈ = = sao cho 0 0, , ,x y x x y x y x x yη η ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ − ≤ + − − ≤ − . Khi đó Trang 18 0 0 0 0 0 0 2 , , 2 (1 ) , , 2 (1 ) x y x y x x y y x y x y x x y y τ τ η τ τ τ η τ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + − − ≤ + + − − + + = + + − − + + Vì X là không gian Banach nên { }sup , : 1x x x x∗ ∗= = . Do đó ta có { } 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 (1 ) sup 2 : 1 (1 ) 2 ( ) (1 )X x y x y x y x y x y x y x y τ τ τ η τ τ τ η τ ρ τ η τ ∗ ∗ ∗ ∗+ + − − ≤ + + − − + + ≤ + + − − = = + + = + + Suy ra (1 )( ) 1 2 2X x y x yτη τρ τ ∗ ∗ ∗ ∗+ + −+ − − ≤ − . Bởi vậy, nếu 0 2x yε ∗ ∗< ≤ − ≤ ta có (1 )( ) 1 2 2 2X x yτε η τρ τ ∗ ∗+ + − − ≤ − , điều đó dẫn đến (1 )( ) ( ) 2 2X X τε η τρ τ δ ε∗ + − − ≤ . Do η tùy ý nên chúng ta thu được ( ) ( ), (0,2] 2 X X τε ρ τ δ ε ε∗− ≤ ∀ ∈ . Vì vậy sup ( ) : 0 2 ( ) 2 XX τε δ ε ε ρ τ∗  − < ≤ ≤    . Trang 19 Bây giờ lấy ,x y trong X với 1x y= = và cho 0τ > . Bởi định lý Hahn-Banach có 0 0 0 0, : 1x y X x y ∗ ∗ ∗ ∗∈ = = và sao cho 0 0, , ,x y x x y x y x x yτ τ τ τ ∗ ∗+ = + − = − . Khi đó, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 , , 2 , , 2 , 2 x y x y x y x x y y x x y y x y x y y x y τ τ τ τ τ τ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + − − = + + − − = + + − − ≤ + + − − Vì vậy, nếu 0 0 0,y x yε ∗ ∗= − thì 0 0 00 2x yε< ≤ − ≤ và 0 0 0 0 0 00 , 1 1 2 2 1 2 2 sup ( ) : 0 2 2 X x y y x yx y x y x y ττ τ τε τε δ ε ε∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + −+ + − − ≤ −  +  = − −      ≤ − < ≤    Do đó ( ) sup ( ) : 0 2 2X X τερ τ δ ε ε∗  ≤ − < ≤    . Vậy hệ thức thứ hai đã được chứng minh. Hệ quả 1.2.8 Cho không gian Banach thực X . Hàm ( )X t t ρ không giảm và ( )X t tρ ≤ . Chứng minh. Lấy 1 2,τ τ dương và giả sử 1 2τ τ≤ . Từ mệnh đề 1.2.7 ta thu được: Trang 20 1 2 1 1 2 2 ( ) ( )( ) ( )sup : 0 2 sup : 0 2 2 2 X XX X δ ε δ ερ τ ε ε ρ τε ε τ τ τ τ ∗ ∗    = − < ≤ ≤ − < ≤ =        . Vậy ( )X t t ρ không giảm. Bây giờ với 0τ > , ta có ( ) ( ), (0,2] 2 X X τε δ ε τ δ ε ε∗ ∗− ≤ − ∀ ∈ . Do đó kết hợp với mệnh đề 1.2.7 ta thu được ( )X t tρ ≤ . Định lý 1.2.9 Cho X là không gian Banach thực. (a) X là không gian trơn đều nếu và chỉ nếu X ∗ là lồi đều. (b) X là lồi đều nếu và chỉ nếu X ∗ là trơn đều. Chứng minh. Ta chứng minh (a). (a) → . Nếu X ∗ không lồi đều thì có 0 (0,2]ε ∈ sao cho 0( ) 0δ ε = , và bởi mệnh đề 1.2.7 ( ) sup ( ) : 0 2 2 ( ) sup ( ) : 0 2 2 XX X X τερ τ δ ε ε τερ τ δ ε ε ∗ ∗  = − < ≤     = − < ≤    ta thu được 0( ) 0, 0 2 X ερ τ τ τ ≥ > ∀ > , điều này có nghĩa là X không trơn đều. (a) ← . Giả sử X không trơn đều, tức là 0 ( )lim 0X t t t ρ +→ ≠ , điều này dẫn đến có 0ε > sao cho mỗi 0δ > tồn tại (0, )tδ δ∈ thỏa ( )Xt tδ δε ρ≤ . Bởi vậy, ta chọn Trang 21 { } (0,1) : 0n nτ τ⊂ → và ( ) 2X n n ερ τ τ> . Bởi công thức thứ hai của mệnh đề 1.2.7, với mỗi n có (0,2]nε ∈ sao cho * ( )2 2 n n n nX τ εε τ δ ε≤ − điều này dẫn đến *0 ( ) ( )2 n n nX τδ ε ε ε< ≤ − , suy ra nε ε< và * ( ) 0nXδ ε → . Bởi vì *Xδ không giảm nên * *( ) ( ) 0nX Xδ ε δ ε≤ → , do đó * ( ) 0Xδ ε = , tức là *X không lồi đều (!). Chứng minh (b). Tương tự Hệ quả 1.2.10 Mỗi không gian Banach trơn đều thực X và mỗi không gian Hilbert H ta đều có 2 2( ) sup 1 1 : 0 2 1 1 ( ) 2 4H X τε ερ τ ε τ ρ τ   = − + − < ≤ = + − ≤     . Chứng minh. Do H là không gian Hilbert nên H ∗ cũng là không gian Hilbert, suy ra 2 ( ) 1 1 4H εδ ε∗ = − − . Do đó theo mệnh đề 1.2.7 ta được 2 ( ) sup 1 1 : 0 2 . 2 4H τε ερ τ ε   = − + − < ≤     Bây giờ xét hàm số 2 ( ) 1 ,0 2 2 4 x xf x xτ= + − < ≤ , Trang 22 ta có: 2 ( ) 2 4 1 4 xf x x τ′ = − − 2 2( ) 0 1 f x x τ τ ′ = ⇔ = + (do 0 2x< ≤ ) Và với 0 2x< ≤ thì 2 2 22 1 0 4 1 x x x ττ τ − − > ⇔ < + . Bởi vậy, 2 (0,2] max ( ) 1f x τ= + , điều này dẫn đến 2 2( ) sup 1 1 : 0 2 1 1. 2 4H τε ερ τ ε τ   = − + − < ≤ = + −     Tiếp theo, ta chứng minh 2( ) 1 1Xρ τ τ≥ + − . Từ X trơn đều nên theo định lý 1.2.9 X ∗ lồi đều, từ điều này và theo định lý 1.1.13 ta được 2 ( ) 1 1 4X εδ ε∗ ≤ − − . Mặt khác: 2 ( ) sup 1 1 : 0 2 2 2 ( ) sup ( ) : 0 2 2 H X X τε ερ τ ε τερ τ δ ε ε∗ ∗   = − + − < ≤      = − < ≤    Do đó: Trang 23 2( ) ( ) 1 1HXρ τ ρ τ τ∗ ≥ = + − . Định nghĩa 1.2.11 Cho q > 1. Một không gian Banach X được gọi là q – trơn đều nếu có một hằng số c > 0 sao cho ( ) , 0qX t ct tρ ≤ > . Định lý 1.2.12 Không gian Hilbert là 2-trơn đều với 2 2 1/ 2( ) (1 ) 1 , 0 2H τρ τ τ τ= + − ≤ ∀ > . Chứng minh. Từ hệ quả 1.2.10 ta có 2 1/ 2( ) (1 ) 1Hρ τ τ= + − . Mà 2 2 1/ 2(1 ) 1 2 ττ+ − ≤ , suy ra 2 2 1/ 2( ) (1 ) 1 , 0 2H τρ τ τ τ= + − ≤ ∀ > . Trang 24 Chương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều 2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều Trong chương này nếu không nói gì về X thì ta ngầm hiểu X là không gian Banach thực. Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm :f X → ¡ . Tập { }( ) : : ( )D f x X f x= ∈ < +∞ được gọi là miền hữu hiệu của f. Ở đây { }= ∪ ±∞¡ ¡ . Định nghĩa 2.1.2 Hàm :f X → ¡ được gọi là chính thường nếu ( )D f ≠ ∅ . Định nghĩa 2.1.3 Hàm chính thường :f X → ¡ được gọi là lồi trên ( )D f nếu [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ), , ( );0 1f x y f x f y x y D fλ λ λ λ λ+ − ≤ + − ∀ ∈ ≤ ≤ . Định nghĩa 2.1.4 Đặt [0, )+ = ∞¡ . Một hàm lồi f trên ( )D f được gọi là lồi đều trên D nếu có một hàm : [0, )µ + += +∞ →¡ ¡ với ( ) 0 0t tµ = ⇔ = sao cho [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ), , ( );0 1f x y f x f y x y x y D fλ λ λ λ λ λ µ λ+ − ≤ + − − − − ∀ ∈ ≤ ≤ . Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi ,x y D∈ khi 1 2 λ = , thì f được gọi là lồi đều ở trung tâm trên D. Định nghĩa 2.1.5 Dưới vi phân của hàm f là một hàm : 2Xf X ∗∂ → được định nghĩa bởi { }( ) : ( ) ( ) , ,f x x X f y f x y x x y X∗ ∗ ∗∂ = ∈ ≥ + 〈 − 〉 ∀ ∈ . Định nghĩa 2.1.6 Một hàm tăng ngặt và liên tục :φ + +→¡ ¡ sao cho (0) 0 và lim ( ) t tφ φ →∞ = = ∞ được gọi là hàm định cỡ. Trang 25 Định nghĩa 2.1.7 Cho một hàm định cỡ φ , hàm : 2XJ Xφ ∗ → được định nghĩa bởi : { : , ; ( )}J x u X x u x u u xφ φ ∗ ∗ ∗ ∗= ∈ = = , nó được gọi là hàm đối ngẫu của hàm định cỡ φ với X là không gian định chuẩn bất kỳ. Trong trường hợp ( )t tφ = , hàm đối ngẫu :J Jφ= được gọi là hàm đối ngẫu chuẩn hóa. Bổ đề 2.1.8 Trong một không gian định chuẩn X, cho mỗi hàm định cỡ φ , ( )J xφ là khác rỗng với bất kì x trong X. Chứng minh. Trường hợp 0x = là hiển nhiên bởi 0u∗ = . Với 0x ≠ thì ( ) 0x xφ ≠ . Bởi định lý Hahn-Banach, ta tìm được x X∗ ∗∈ sao cho 1 và ( ), ( )x x x x x xφ φ∗ ∗= = . Ghi chú rằng ( ) ( )x x xφ φ∗ = và , ( ) ( ), ( ) ( )x x x x x x x x x x xφ φ φ φ∗ ∗ ∗= = = , do đó : ( ) ( )u x x J xφφ ∗ ∗= ∈ . Định nghĩa 2.1.9 Cho mỗi 1p > , ta xét hàm định cỡ 1( ) pt tφ −= . Chúng ta định nghĩa hàm đối ngẫu suy rộng : 2XpJ X ∗ → bởi { }1( ) : : , . , ( ) ppJ x J x X x x x x x x xφ φ −∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = ∈ 〈 〉 = = = . Mệnh đề 2.1.10 Cho mỗi 0x ≠ trong không gian Banach thực X , { }: , ; 1x u X x u x u∗ ∗ ∗ ∗∂ = ∈ 〈 〉 = = . Chứng minh. Từ định nghĩa 2.1.5, ta có: { }: , ,x u X y x u y x y X∗ ∗ ∗∂ = ∈ 〈 − 〉 ≤ − ∀ ∈ . Do đó: { }: , ; 1u X x u x u u x∗ ∗ ∗ ∗ ∗∈ 〈 〉 = = = ⊂ ∂ ( vì ,y u y∗〈 〉 ≤ ). Trang 26 Ngược lại, nếu u x∗ ∈∂ thì , ( ) ,y u y x x u y x x y∗ ∗〈 〉 = 〈 + − 〉 ≤ + − ≤ , dẫn đến 1u∗ ≤ . Mặt khác, với y = 0 trong định nghĩa của x∂ ta có ,x x u∗≤ 〈 〉 . Bởi vậy 1, ,u x x u∗ ∗= = 〈 〉 . Định lý 2.1.11 ( )J x xφ ψ= ∂ cho mỗi x trong không gian Banach thực X, với 0 ( ) ( ) x x s dsψ φ= ∫ . Đầu tiên ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 2.1.12 Cho φ là hàm định cỡ. Khi đó hàm 0 ( ) ( ) t t s dsψ φ= ∫ lồi trên +¡ . Chứng minh. Cho 0 và 0h t> > chúng ta có ( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) t h t h t t t h t ts ds ds t h h h ψ ψ φφ φ + ++ − = ≥ =∫ ∫ và ( ) ( ) 1 ( ) ( ) t t h t t h s ds t h h ψ ψ φ φ − − − = ≤∫ . Cho 1 2 1 20 , [0,1] và (1 )t t t t tλ λ λ≤ < ∈ = + − ; thì 2 1 2 1 2 1 , 1t t t t t t t t λ λ− −= − = − − , và từ những điều trên thu được hai bất đẳng thức 2 2( ) ( ) ( ) ( )t t t t tψ ψ φ− ≥ − (do 2t t≥ ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )t t t t tψ ψ φ− ≤ − ( do 1t t≤ ) Nhân bất đẳng thức thứ nhất bởi 1 λ− , bất đẳng thức hai bởi λ , chúng ta thu được 2 2 2 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 )( ) ( ) (1 )( ) ( )t t t t t t t tλ ψ λ ψ λ φ λ λ φ− − − ≥ − − = − − Trang 27 và 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) ( )t t t t t t t tλψ ψ λ φ λ λ φ− + ≥ − − = − − − Tổng hai bất đẳng thức ở trên ta được 1 2( ) (1 ) ( ) ( ) 0t t tλψ λ ψ ψ+ − − ≥ dẫn đến 1 2( ) ( ) (1 ) ( )t t tψ λψ λ ψ≤ + − 1 2 1 2( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )t t t tψ λ λ λψ λ ψ⇒ + − ≤ + − Bây giời ta chứng minh định lý 2.1.11. Do φ tăng ngặt và liên tục nên ψ khả vi và ( ) ( )t tψ φ′ = . Do bổ đề trên nên ta có ψ lồi, cho nên nếu s t≠ thì, ( ) ( ) ( ) ( )s t t s tψ ψ ψ′− ≤ − (Thật vậy, từ bất đẳng thức 2 2( ) ( ) ( ) ( )t t t t tψ ψ φ− ≥ − (do 2t t≥ ) ở bổ đề trên). Bây giờ cho u Jφ ∗ ∈ và cho y X∈ . Nếu y x≠ thì ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )u y x x y x y x x y xφ ψ ψ ψ∗ ′− = − = − ≤ − , điều này dẫn đến , , , ( ) ( )y x u y u x u u y u x y xψ ψ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗〈 − 〉 = 〈 〉 − 〈 〉 ≤ − ≤ − ( do , và ,y u u y x u u x∗ ∗ ∗ ∗〈 〉 ≤ 〈 〉 = ) Nếu y x= thì , ( ) 0 ( ) ( )y x u u y x y xψ ψ∗ ∗〈 − 〉 ≤ − = = − . Do đó, với mỗi , , ( ) ( )y X y x u y xψ ψ∗∈ 〈 − 〉 ≤ − . Trang 28 Vì vậy { }( ) : , ( ) ( );u x x X y x x y x y Xφ ψ ψ ∗ ∗ ∗ ∗∈∂ = ∈ 〈 − 〉 ≤ − ∀ ∈ . Chúng ta đã chứng minh ( )J x xφ φ⊂ ∂ . Ngược lại, với ( )u xψ∗ ∈∂ , 0x ≠ . { } { } { } sup , : 1 sup , : sup , ( ) ( ) : , u x y u x y y u y x x u y x y x x u ψ ψ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = 〈 〉 = = 〈 〉 = ≤ 〈 〉 + − = ≤ điều này dẫn đến ,x u u x∗ ∗〈 〉 = . Bây giờ chúng ta muốn chứng minh rằng ( ) ( )u x xφ ψ∗ ′= = . Nếu 0t x> > thì: ( ) , 1 , ( ) ( ) u t x t u x u tx u x tx x u x t xψ ψ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − = −   = −     = − ≤ − điều này dẫn đến ( ) ( )t xu t x ψ ψ∗ −≤ − . Làm tương tự, với 0 t x< < chúng ta có Trang 29 ( ) ( )t x u t x ψ ψ ∗− ≤ − . Bằng cách cho t x→ chúng ta có, nếu 0, ( ) ( )x u x xψ φ∗ ′≠ = = Trong trường hợp 0x = thì { }( 0 ) : , ( );u X y u y y Xψ ψ∗ ∗ ∗∂ = ∈ 〈 〉 ≤ ∀ ∈ và chúng ta phải chứng minh rằng { }( 0 ) 0ψ∂ = . Bây giời ta có: 0 , ( ) ( ) ( ) y y u y t dt y yψ φ φ∗〈 〉 ≤ = ≤∫ , điều này dẫn đến ( ),u y y Xφ∗ ≤ ∀ ∈ . Do đó 0u∗ = , và định lý chứng minh xong. Mệnh đề 2.1.13 Cho 1p ≥ , khi đó pJ là dưới vi phân của hàm 1 p p . Chứng minh. Bởi định nghĩa của hàm pJ , chúng ta chú ý rằng pJ Jφ= , với 1( ) ps sφ −= . Bởi định lý 2.1.11, chúng ta có 1 ( ) 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) x x pp p sJ x J x x s ds s ds xpφ ψ φ −   = = ∂ = ∂ = ∂ = ∂    ∫ ∫ Vậy mệnh đề đã được chứng minh xong. Định lý 2.1.14 Cho X là một không gian định chuẩn thực, và : 2 ,1XpJ X p ∗ → < < ∞ , hàm đối ngẫu hóa. Khi đó, cho bất kỳ ,x y X∈ , bất đẳng thức sau là đúng , ( ) p p px y x p y j x y+ ≤ + 〈 + 〉 , ( ) ( )p pj x y J x y∀ + ∈ + Trong trường hợp 2p = thì 2 2 2 , ( ) , ( ) ( )x y x y j x y j x y J x y+ ≤ + 〈 + 〉 ∀ + ∈ + Trang 30 Chứng minh. Bởi mệnh đề 2.1.13, pJ là dưới vi phân của 1 p p , nếu p > 1. Vì vậy, bởi bất đẳng thức dưới vi phân, cho tất cả ,x y X∈ và ( ) ( )p pj x y J x y+ ∈ + , chúng ta thu được 1 1 ( ), ( )p p px x y x x y j x yp p − + ≥ 〈 − + + 〉 Vì vậy , ( )p p px y x p y j x y+ ≤ + 〈 + 〉 . Trường hợp 2p = là tầm thường. Bổ đề 2.1.15 Cho X là không gian Banach thực. Thì, ( ) pX cδ ε ε≥ với số 0c > nếu và chỉ nếu ( )1 , ,2 p p p px y x y x c y x y X+ + − ≥ + ∀ ∈ . Chứng minh. Charles chidume [1]. Định lý 2.1.16 Cho X là không gian Banach thực. Thì với hằng số 0c > , ( )1 , ,2 p p p px y x y x c y x y X+ + − ≥ + ∀ ∈ nếu và chỉ nếu p là lồi đều ở trung tâm trên X. Chứng minh. Giả sử với 0c > , ( )1 , ,2 p p p px y x y x c y x y X+ + − ≥ + ∀ ∈ . Cho và x u v y u v= + = − , thì bất đẳng thức ở trên trở thành ( )12p p p ppu v c u v u v−+ + − ≤ + . Trang 31 Vì vậy, ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 2 4 p p p pp p p u v u v c u v u v u vµ −+ ≤ + − − = + − − với :µ + +→¡ ¡ được định nghĩa bởi 2( ) 2p pt t cµ − += . Vì vậy p là lồi đều ở trung tâm. Ngược lại, giả sử p là lồi đều ở trung tâm, tức là ( ) ( ) 1 1 ( ) , 2 2 4 1 2 2 p p p p p pp x y x y x y x y X x y c x y µ − + ≤ + − − ∀ ∈ = + − − Đặt và x u v y u v= + = − cho bất kỳ ,u v X∈ ta thu được bất đẳng thức mong muốn. Định lý 2.1.17 Cho p > 1. Hàm p là lồi đều trên không gian Banach thực X nếu và chỉ nếu X là p-lồi đều. Nghĩa là, nếu và chỉ nếu có một hằng số 0 : ( ) , (0, 2]pXc cδ ε ε ε> ≥ ∀ ∈ . Chứng minh. Giả sử hàm p lồi đều trên X. Chúng ta chỉ ra rằng X là p-lồi đều. Từ p là lồi đều trên X nên bởi định nghĩa 2.1.4 có hàm : , ( ) 0 0t tµ µ+ +→ = ⇔ =¡ ¡ thỏa (1 ) (1 ) (1 ) ( ) p p px y x y x yλ λ λ λ λ λ µ+ − ≤ + − − − − . Trang 32 Bây giời chúng ta định nghĩa, với mỗi t > 0, :µ + +→¡ ¡ bởi (1 ) (1 ) ( ) inf : 0 1, , , ( ) p p p p x y x y t x y X x y t W λ λ λ λ µ λ λ  + − − + − = < < ∈ − =     với ( ) : (1 ) (1 )p ppW λ λ λ λ λ= − + − . Rõ ràng (0) 0µ = . Chúng ta khẳng định rằng ( ) ( ) , 0pct c t c tµ µ= ∀ > . Thật vậy (1 ) (1 ) ( ) inf : 0 1, , , ( ) p p p p u v u v ct u v X u v ct W λ λ λ λ µ λ λ  + − − + − = < < ∈ − =     Đặt ,u vx y c c = = . Khi đó : (1 ) (1 ) ( ) inf : 0 1; , , ( ) p p p p p x y x y ct c x y X x y t W λ λ λ λ µ λ λ  + − − + − = < < ∈ − =     . Vì vậy, ( ) ( )pct c tµ µ= . Đặc biệt, chúng ta viết ( ) ( .1) (1), 0pt t t tµ µ µ= = ∀ > . Từ định nghĩa của ( )tµ , chúng ta có: ( ). ( ) (1 ) (1 )p p ppw t x y x yλ µ λ λ λ λ≤ + − − + − vì vậy (1 ) (1 ) ( ). ( ) (1 ) ( ) p p p p p p p p x y x y w t x y w c x y λ λ λ λ λ µ λ λ λ + − ≤ + − − = + − − − với (1) 0c µ= > . Do đó, cho 0 1λ≤ ≤ và cho bất kỳ ,x y X∈ , chúng ta có (1 ) (1 ) ( ) p p p p px y x y w c x yλ λ λ λ λ+ − ≤ + − − − Trang 33 Đặc b._.