Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

hân thành cảm ơn giảng viên hướng dẫn là thầy Vũ Tiến Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nguồn tài liệu quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này đúng thời hạn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Tôi hy vọng rằng, kết quả nghiên cứu của khoá luận sẽ không phụ lòng mong mỏi của mọi người và giúp ích cho việc tự học, tự nghiên cứu của bạn đọc. ii LỜI NÓI ĐẦU Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết. Trong khi học tập môn vật lý chất rắn đại cương, tôi thấy thích thú và bị lôi cuốn bởi môn học này. Bởi lẽ đó, mà tôi quyết định sẽ tìm hiểu và khám phá hơn nữa về môn. Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, lý thuyết về dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của chất rắn. Tôi quyết định chọn tên của khóa luận là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và tìm hiểu. Trong đề tài này tôi trình bày các kiến thức về cấu trúc của mạng tinh thể, lý thuyết về dao động mạng và trên cơ sở đó đi thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của chất rắn do dao động của mạng tinh thể. Sau đó, sẽ áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương và sẽ giải thích một số hiện tượng vật lý có liên quan ở chương trình phổ thông. Chắc chắn rằng khóa luận này còn có những thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, và bạn đọc để cho khóa luận ngày được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. An Giang, tháng 04 năm 2008 Sinh viên thực hiện Lê Giang Bắc NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN X#"W ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ MỤC LỤC Lời cảm ơn ................................................................................................................... i Lời nói đầu .................................................................................................................. ii PHẦN I. MỞ ĐẦU......................................................................................................1 I. Lý do chọn đề tài...................................................................................................1 II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................1 1. Mục đích nghiên cứu........................................................................................1 2. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................1 III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu....................................................................1 1. Khách thể nghiên cứu.......................................................................................1 2. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................1 IV. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................2 V. Phạm vi nghiên cứu .............................................................................................2 VI. Giả thuyết khoa học ...........................................................................................2 VII. Đóng góp mới của đề tài ...................................................................................2 VIII. Bố cục của khóa luận.......................................................................................2 PHẦN II. NỘI DUNG ................................................................................................3 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .........................................................................3 I. Cấu trúc của mạng tinh thể ...............................................................................3 1. Mạng tinh thể................................................................................................3 1.1. Cấu trúc tinh thể ....................................................................................3 1.2. Mạng không gian...................................................................................3 1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian .......................................4 1.4. Phân loại mạng Bravais .........................................................................6 1.4.1. Hệ lập phương ................................................................................6 1.4.2. Hệ tứ giác .......................................................................................6 1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) ..........................................7 1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác)........................................................7 1.4.5. Hệ đơn tà ........................................................................................8 1.4.6. Hệ tam tà ........................................................................................8 1.4.7. Hệ lục giác......................................................................................8 1.5. Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương...............................................8 1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản ...............................................9 1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối ...............................................9 1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt ................................................9 2. Mạng đảo......................................................................................................9 2.1. Khái niệm mạng đảo..............................................................................9 2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo ......................................................10 2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo.......................................................10 2.4. Ô cơ sở của mạng đảo .........................................................................10 2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo ...............................................................11 3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman...........................................11 II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể................................................12 1. Dao động chuẩn của mạng tinh thể ............................................................12 2. Bài toán dao động mạng.............................................................................12 2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử...................................14 2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1)......................................................16 2.1.2. Trường hợp a q π±= ....................................................................16 2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử ...................................17 3. Dao động mạng ba chiều ............................................................................20 4. Tọa độ chuẩn ..............................................................................................24 III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể ............................................27 1. Lượng tử hóa dao động mạng.....................................................................27 2. Phonon........................................................................................................28 2.1. Phương pháp chuẩn hạt .......................................................................28 2.2. Tính chất của chuẩn hạt.......................................................................28 2.3. Phonon.................................................................................................29 2.4. Tính chất của phonon ..........................................................................29 CHƯƠNG II. THIẾT LẬP BIỂU THỨC TINH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG. ..................................................................................31 I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung......................................................................31 II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung ..................................................................32 1. Hàm phân bố Bose - Einstein .....................................................................32 2. Lý thuyết Einstein ......................................................................................33 2.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao .........................................................34 2.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp........................................................34 3. Lý thuyết Debye .........................................................................................35 3.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao .........................................................38 3.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp........................................................39 III. Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thể lập phương ....................40 1. Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệ mạng lập phương............................40 2. Tính nhiệt dung mol của một số chất .........................................................43 IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông..............43 1. Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình ..................................43 2. Những tính chất nhiệt của vật rắn ..............................................................45 2.1. Sự giãn nở vì nhiệt của vật rắn............................................................45 2.2. Nhiệt dung mol vật rắn........................................................................46 PHẦN III. KẾT LUẬN ............................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................49 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 1 PHẦN I. MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết. Hiện nay, ở nước ta cùng với nhu cầu nghiên cứu và sử dụng các vật liệu rắn, đặc biệt là vật liệu mới ngày càng tăng. Chính vì thế, mà ngành vật lý chất rắn đã được phát triển rất nhanh trong những năm qua. Trong khi học tập môn vật lý chất rắn, tôi thấy mình bị lôi cuốn bởi môn học này, nên tôi thấy mình cần phải tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, các dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của nó. Chính vì những lý do trên, tôi quyết định chọn tên đề tài là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và có được hiểu biết sâu rộng hơn về vấn đề này. II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1. Mục đích nghiên cứu Khảo sát tính chất nhiệt của hệ mạng tinh thể lập phương. Qua đó, giải thích một số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn được trình bày trong chương trình phổ thông. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về cấu trúc tinh thể của hệ lập phương, dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của vật rắn. Lập biểu thức nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương. III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 1. Khách thể nghiên cứu Hệ mạng tinh thể lập phương. Chương trình vật lý phổ thông. 2. Đối tượng nghiên cứu Tính chất nhiệt và thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 2 IV. Phương pháp nghiên cứu Trong khi thực hiện đề tài này, tôi có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau đây: - Phương pháp đọc sách và tài liệu tham khảo. - Phương pháp hệ thống hóa lý thuyết. - Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. - Phương pháp gần đúng. V. Phạm vi nghiên cứu Thiết lập biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương theo quan điểm năng lượng và chỉ xét đến đóng góp của dao động mạng vào tính chất nhiệt của chất rắn. VI. Giả thuyết khoa học Bằng lý thuyết dao động mạng, có thể thiết lập được biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương và giải thích được một số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn trong chương trình Vật lý phổ thông. VII. Dự kiến đóng góp của đề tài Phát triển được hướng tiếp cận về tính chất nhiệt của mạng tinh thể lập phương. Giải thích chính xác và hoàn chỉnh các tính chất vật lý liên quan đến chất rắn trong chương trình vật lý phổ thông, làm tiền đề để nâng cao chất lượng dạy và học ở phổ thông. Làm phong phú thêm tư liệu học tập về vật lý chất rắn. VIII. Bố cục của khóa luận Bố cục của khóa luận gồm có 3 phần: Phần I. Mở đầu (2 trang) trình bày về lý do chọn đề tài, mục đích và nhiệm vụ, đối tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giả thuyết khoa học, đóng góp của đề tài và bố cục của khoá luận. Phần II. Nội dung (43 trang) gồm hai chương. Chương I. Cơ sở lý thuyết. I. Cấu trúc của mạng tinh thể. II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể. III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể. Chương II. Thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng lập phương. I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung. II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung. III. Áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương. IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông. Phần III. Kết luận (1 trang) trình bày kết quả đạt được và những hạn chế của khóa luận. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 3 PHẦN II. NỘI DUNG CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. Cấu trúc của mạng tinh thể 1. Mạng tinh thể Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn một nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử gọi là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử. 1.1. Cấu trúc tinh thể Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng. Trong các tinh thể phân tử ở mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọi là gốc. Do đó, có thể viết một cách tượng trưng như sau: Mạng không gian + gốc = Cấu trúc tinh thể Trong không gian, các nguyên tử phân tử được sắp xếp một cách có trật tự đều đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể. 1.2. Mạng không gian Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi, nó đều chứa những loại nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau. Tinh thể lí tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử. Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử. Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc. Với tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian. Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ 1a , 2a , 3a , gọi là ba vectơ tịnh tiến cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tùy ý có bán kính vectơ r , ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ 'r : 'r = r + n1 1a + n2 2a + n3 3a (1.1.1) Trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên tùy ý. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 4 Tập hợp các điểm có bán kính vectơ 'r (sau này gọi là điểm 'r ) xác định theo (1.1.1) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không gian. Các điểm đó gọi là nút của mạng không gian. Ba vectơ cơ sở 1a , 2a , 3a cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ trong tinh thể. Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc. Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp. Hình 1.1 Minh họa một số cách chọn các vectơ cơ sở cho mạng hai chiều. Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhất. Hình vẽ 1.1 cho ta thấy một vài thí dụ về cách chọn các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong mạng hai chiều. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz). Các ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lân cận. Như vậy, mạng lí tưởng là một khái niệm toán học, nó bao trùm toàn bộ không gian, và có tính tuần hoàn trong không gian đặc trưng bằng vectơ 'r như trên. Từ công thức (1.1.1) ta thấy chỉ cần biết các vectơ cơ sở thì ta có thể xác định được toàn mạng. Mạng tinh thể lí tưởng chỉ là hình ảnh trừu tượng hóa của những tinh thể có thực trong tự nhiên hoặc nhân tạo. Tinh thể thực cũng có cấu trúc tuần hoàn, nhưng khác với tinh thể lí tưởng ở chỗ: nó hữu hạn, nghĩa là có kích thước xác định; sự bố trí các nhóm nguyên tử ở các nút mạng không tuyệt đối giống hệt nhau mà có những sai hỏng. Những sai hỏng này có thể xảy ra trong phạm vi một nút hay một tập hợp nút. Ngoài ra, các nguyên tử không cố định mà thực hiện dao động quanh vị trí cân bằng của chúng. Tuy nhiên, khái niệm mạng tinh thể lí tưởng giúp ta bước đầu hiểu được bản chất dị hướng của các đặc trưng vật lý cũng như ảnh hưởng của cấu trúc tuần hoàn lên các tính chất đó của tinh thể thực. Mạng tinh thể được xác định bởi các chỉ số Miller (hkl). Chỉ số Miller cho phép xác định đường thẳng mạng, mặt phẳng mạng và hướng của mạng tinh thể. Ngoài ra, còn giúp ta xác định thể tích ô cơ sở. 1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến. Ngoài ra, tùy vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất 2a 1a 1a 1a 2a 1a 2a 2a 2a 1a SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 5 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °°°° ° ° ° ° °° 2 π × × Hình 1.2 kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì phép biến đổi này được gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép biến đổi của mạng không gian là: đối xứng với phép tịnh tiến, đối xứng với phép quay quanh một trục xác định, đối xứng với phép nghịch đảo, đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng. Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó. Điều này được thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói một cách khác là mạng trùng lại với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi. Mạng không gian có tính chất đối xứng tịnh tiến. Điều này ta thấy được khi thực hiện một phép dịch chuyển toàn bộ mạng không gian đi một vectơ R , gọi là vectơ tịnh tiến: 332211 anananR ++= (n1, n2, n3 là những số nguyên). Sau phép dịch chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của nút mạng khác. Toàn bộ mạng không có gì thay đổi. Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến R . Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì R là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là vectơ mạng. Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục. Thật vậy, ta hãy xét mạng vuông hai chiều như hình vẽ 1.2, có thể coi nó như hình chiếu của mạng không gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía dưới của mặt phẳng hình vẽ ta có những mạng vuông giống hệt như vậy. Khi ta quay mạng một góc 2 π (hay 4 1 vòng tròn) quanh trục vuông góc với mặt phẳng, đi qua một nút mạng (hoặc một trong các điểm có đánh dấu X như trên hình vẽ 1.2, thì mạng lại trùng với chính nó. Trục quay như vậy, gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép quay quanh trục bậc 4. Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6. Khi quay mạng một góc n πϕ 2= mạng lại trùng với chính nó. Không tồn tại các mạng có trục quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn. Mạng không gian có tính đối xứng nghịch đảo. Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó vectơ vị trí đổi dấu: r biến thành r− . Như vậy, mạng không gian có tâm đối xứng. Mạng vuông hai chiều trên hình vẽ 1.2 bất biến với phép nghịch đảo và có tâm đối xứng. Mạng không gian có thể đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng. Phép nghịch đảo chính là gồm một phép quay góc π và phản xạ qua mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi qua tâm đối xứng. Ở hình vẽ 1.3, ta có O là tâm đối xứng, m là mặt phẳng phản xạ, C là trục ph ản x ạ m ng hịc h đả o A’’ O A A’ C góc quay π Hình 1.3 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 6 quay góc π. Các phép biến đổi đối xứng vừa nói đến ở trên, có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian. Tuy nhiên, thực tế chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó. 1.4. Phân loại mạng Bravais Dựa trên các tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được phân chia ra làm 14 loại. Ngoài tính đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào đó. Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo thành một hệ. Căn cứ vào tính đối xứng với các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais được chia làm 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ cấp khác nhau, đó là các hệ: lập phương, tứ giác, trực giao, trực thoi, đơn tà, tam tà, lục giác. Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa các vectơ cơ sở 321 ,, aaa và các góc α, β, γ giữa các vectơ đó. 1.4.1. Hệ lập phương Hệ lập phương có a1 = a2 = a3 =a ; 090=== γβα . Ô sơ cấp là hình lập phương. Hệ có trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trùng với các đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của các cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng phản xạ chứa trục bậc và song song với các mặt của hình hộp. Hệ lập phương có ba loại mạng: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối (hay còn gọi tâm thể), lập phương tâm mặt (hay còn gọi tâm diện). 1.4.2. Hệ tứ giác Hệ tứ giác có a1 = a2 ≠ a3 ; 090=== γβα . Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy vuông. Hai phương 1a và 2a tương đương nhau. Phương của 3a phân biệt với hai phương trên và gọi là phương c . Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c , bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ. Hệ tứ giác có hai loại mạng: tứ giác đơn và tứ giác tâm khối. 1a γ 2a Hình 1.4 β α 3a Hệ lập phương: a1 = a2 = a3 ; 090=== γβα đơn tâm khối tâm mặt Hình 1.5 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 7 1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) Hệ trực giao có a1≠ a2 ≠ a3 ; 090=== γβα . Ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ nhật. Hệ có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau và ba mặt phẳng phản xạ vuông góc với các trục quay. Hệ trực giao có 4 loại mạng: trực giao đơn, trực giao tâm khối, trực giao tâm đáy, trực giao tâm mặt. 1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác) Hệ trực thoi có có a1 = a2 = a3 ; 090,, ≠γβα . Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục bậc 2, cắt nhau dưới góc 600 và ba mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2. Hệ chỉ có một loại mạng là mạng đơn. Hệ tứ giác: a1 = a2 ≠ a3 ; 090=== γβα đơn tâm khối Hình 1.6 Hệ trực giao: a1 ≠ a2 ≠ a3 ; 090=== γβα đơn tâm khối tâm mặt tâm đáy Hình 1.7 Hệ trực thoi:a1 = a2 = a3 ; 090,, ≠γβα Hình 1.8 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 8 1.4.5. Hệ đơn tà Hệ đơn tà có a1≠ a2 ≠ a3 ; 00 90,90 ≠== αγβ . Hệ có một trục quay bậc 2 và mặt phẳng phản xạ vuông góc này. Hệ có hai loại mạng: đơn và tâm khối. 1.4.6. Hệ tam tà Hệ tam tà có a1≠ a2 ≠ a3 ; 090,, ≠γβα . Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo. Hệ chỉ có một mạng đơn. 1.4.7. Hệ lục giác Hệ lục giác có ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hình thoi, có góc 600. Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng của hệ lục giác, người ta thường ghép thêm vào hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 1200, để có ô dưới dạng lăng trụ._. đứng, đáy lục giác, có nút mạng ở tâm hai đáy. Ô này có a1 = a2 ≠ a3 (a3 gọi là c); α = β = 900; γ = 1200. Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau góc 300, một mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục bậc 6 và sáu mặt phẳng chứa trục bậc 6 và một trục bậc 2. 1.5. Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương Hệ tinh thể lập phương là một hệ tinh thể có các ô sơ cấp hình lập phương. Đây là một trong những tinh thể đơn giản nhất và phổ biến nhất của các tinh thể kim loại. Hệ đơn tà: a1 ≠ a2 ≠ a3 ; 00 90,90 ≠≠= αγβ đơn tâm đáy Hình 1.9 Hệ tam tà: a1 ≠ a2 ≠ a3 ; 090,, ≠γβα đơn Hình 1.10 Hình 1.11 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 9 Phổ biến nhất là lập phương tâm khối với các nguyên tố như: Na, Cr, W,……và lập phương tâm mặt như: Cu, Al, Pb, Fe… 1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản Ô cơ sở (hay ô sơ cấp) hình lập phương, với cạnh là a. Trong một ô mạng cơ sở của tinh thể lập phương đơn giản có 8 nguyên tử ở 8 đỉnh. Mỗi nguyên tử này là chung cho 8 ô mạng cơ sở tiếp xúc nhau ở một đỉnh. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương đơn giản có 1 nguyên tử vì: n = 8 1 .8 =1. Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương đơn giản là : 3avc = . 1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ sở của lập phương tâm khối có thêm một nguyên tử ở tâm của nó. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm khối có 2 nguyên tử. Như vậy, n = 8 1 .8 + 1 = 2 nguyên tử. Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương tâm khối là : 2 3avc = . 1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ sở của lập phương tâm mặt có thêm 6 nguyên tử ở 6 mặt mà mỗi nguyên tử này cho hai mặt tiếp xúc nhau của hai ô mạng cơ sở tiếp xúc qua mặt đó. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm mặt có 4 nguyên tử. Như vậy, số nguyên tử trong một ô cơ sở là n = 8 1 .8 + 2 1 .6 = 4 nguyên tử. Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương tâm mặt là : 4 3avc = . 2. Mạng đảo 2.1. Khái niệm mạng đảo Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất. Sự xuất hiện của mạng đảo là một hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận (mạng tinh thể thực). Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ sở là 1a , 2a , 3a , ta định nghĩa mạng đảo là mạng được xây dựng từ ba vectơ 1b , 2b , 3b , được xác định như sau: Hình 1.12 Hình 1.13 Hình 1.14 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 10 [ ][ ][ ][ ][ ][ ] 321 213 321 13 2 321 32 1 .2 .2 .2 aaa aab aaa aab aaa aab ∧ ∧= ∧ ∧= ∧ ∧= π π π (1.1.2) Các vectơ 1b , 2b , 3b , là các vectơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí các nút mạng đảo được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng: 332211 bmbmbmG ++= (1.1.3) Trong đó: m1, m2, m3 là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0. 2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo Tính chất 1: 213 132 321 , , , aab aab aab ⊥ ⊥ ⊥ (1.1.4) Tính chất 2: ijji ba πδ2= (1.1.5) Trong đó: ijδ là kí hiệu Kronecker : ij 01 khi i j khi i j δ ≠⎧= ⎨ =⎩ 2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo Tính chất 1: Mạng đảo cũng là một mạng Bravais. Tính chất 2: Mạng đảo của mạng đảo của một mạng Bravais chính là mạng Bravais đã cho. Tinh chất 3: Mỗi một vectơ cơ sở của mạng đảo đều trực giao với một họ mặt phẳng mạng nào đó của mạng thuận. Tính chất 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng thuộc họ (hkl) được xác định theo công thức: hkl hkl b d π2= (1.1.6) 2.4. Ô cơ sở của mạng đảo Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình hộp không gian trên cơ sở các vectơ 1b , 2b , 3b . Ô cơ sở Wigner – Seitz của mạng đảo được gọi là vùng Brillouin (thứ nhất) của mạng thuận. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 11 Có thể tính ra rằng thể tích v của ô cơ sở của mạng Bravais (mạng thuận) và thể tích Ω của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức: ( ) v 32π=Ω (1.1.7) 2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn. Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này sâu sắc và rộng lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi loại chuyển động xảy ra trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến. Có thể nói rằng khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa vật lý sau đây: - Mạng đảo là khung của không gian chuyển động. - Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn. - Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực). 3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử (N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng hạn tính đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể. Trong mạng tinh thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử. Tuy nhiên, nếu mạng tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể gần như khi mạng là vô hạn. Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể. Chúng ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau: Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín. Giả thiết là điều kiện tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả vật lý. Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m + N) là như nhau: ( ) taNmqiNmm Aerr ϖ−++ == ( ) iqNatqmai eAe ϖ−= iNqamer= Muốn vậy: 1=iqNae Hay: πnqNa 2= (với Ζ∈n ) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 12 Hoặc: n LNa nq ππ 22 == (1.1.8) Với L là chiều dài của dãy nguyên tử. Trong mạng một chiều a q a ππ ≤≤− , vì vậy; các giá trị nằm trong khoảng: 22 NnN ≤≤− . Các giá trị này cho ta N giá trị khác nhau của q. Như vậy, điều kiện tuần hoàn đã đưa đến sự gián đoạn của các vectơ sóng q. Các giá trị này cách nhau Na π2 . Trong phổ ω(q) chỉ cho các giá trị của ω ứng với N giá trị của q. II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể 1. Dao động chuẩn của mạng tinh thể Các nguyên tử trong vật rắn thực hiện dao động xung quanh vị trí cân bằng của mình. Khi dao động thì chúng tương tác với nhau mạnh, dao động này rất phức tạp. Việc mô tả một cách chính xác chuyển động của dao động này vô cùng khó khăn. Vì thế, trong đề tài này tôi đã sử dụng phương pháp gần đúng và các cách đơn giản hóa khác nhau để giải bài toán này. Thay cho việc mô tả dao động của từng hạt riêng lẻ, ta khảo sát sự chuyển động của cả hệ trong tinh thể như là chuyển động của một hệ được sắp xếp một cách đều đặn trong không gian. Cơ sở của việc đơn giản hóa này là ở chỗ các lực liên kết giữa các hạt trong hệ mạnh, dao động xuất hiện ở một hạt sẽ nhanh chóng lan truyền đến hạt bên cạnh, bằng cách đó trong tinh thể xuất hiện chuyển động của tất cả các hạt trong hệ dưới dạng sóng đàn hồi. Chuyển động dao động này của cả hệ được gọi là dao động chuẩn. Số các dao động chuẩn có thể xuất hiện trong mạng bằng số bậc tự do của các hạt có trong tinh thể, tức là 3N (trong đó N là số hạt có trong tinh thể). 2. Bài toán dao động mạng Những tính chất quan trọng của vật rắn đều liên quan đến tính dao động của mạng tinh thể. Mỗi nguyên tử ở nút mạng (có thể là ion hoặc phân tử) tương tác với những nguyên tử khác và có một vị trí cân bằng trung bình mà nó dao động xung quanh. Quá trình này không chỉ hạn chế ở nút mạng đó mà nhờ lực tương tác dao động được lan truyền khắp mạng. Đặc trưng của những sóng dao động này phụ thuộc vào hai yếu tố: loại lực liên kết và cấu trúc của mạng. Yếu tố thứ nhất liên quan đến bản chất của nguyên tử trong tinh thể và sự tương tác giữa chúng. Yếu tố thứ hai liên quan đến sự sắp xếp các nguyên tử ở trong mạng. Thực ra hai yếu tố này không hoàn toàn tách rời nhau ra mà có ảnh hưởng lẫn nhau. Với những tinh thể đã cho những dao động tinh thể riêng này, hay nói cách khác phonon quyết định những tính chất quan trọng của chất rắn. Trong tinh thể các nguyên tử phân tử không hoàn toàn nằm cố định tại các nút mạng hay các vị trí xác định mà luôn luôn thực hiện dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Ta xét tinh thể gồm N ô sơ cấp có khối lượng M. Năng lượng dao động của tất cả các nguyên tử trong mạng là: UKE đ += (1.2.1) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 13 Trong đó: ∑ = = N n nđ rMK 1 2 2 1 &r (1. 2. 2) là động năng của các nguyên tử dao động. nr r là độ lệch của nguyên tử khỏi nút thứ n với vectơ mạng nR . nr r& là vận tốc của nguyên tử ở nút nR . Để viết ra dạng tuần hoàn thế năng thì cần phải biết trước lực tác dụng của nguyên tử. Song có thể giải thích một cách tổng quát rằng: Tồn tại một hàm U = U 1 2( , ,..., )Nl l l r ur uur nào đó biểu thị sự phụ thuộc có tính chất tuần hoàn của thế năng tinh thể vào tọa độ của tất cả các nguyên tử trong tinh thể, hay đúng hơn là độ dịch chuyển tức thời của các nguyên tử này. Hàm U = U 1 2( , ,..., )Nl l l r ur uur là thế năng của hệ được tạo nên do tương tác đẩy và hút giữa các nguyên tử trong tinh thể. Vectơ nl ur là vectơ vị trí của nguyên tử thứ n: nnn rRl += (1.2.3) Do đó: ( )NN rRrRrRUU +++= ,...,, 2211 (1.2.4) nr r là độ lệch nhỏ quanh vị trí cân bằng nR , nên có thể phân tích U thành chuỗi Taylor theo nr r . Trong hệ tọa độ Đecac, ta có: 23 3 3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 N N N n n m n n mn n m U UU U r r r l l lα α βα α βα α β= = = = = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∑ ∑∑∑∑ (1.2.5) nr r có hình chiếu trên các trục là rnα ; α =1, 2, 3 ứng với x, y, z. Trong biểu thức (1. 2. 5), U0 = U 1 2( , ,..., )nR R R uur uur uur là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng (tức là nằm ở các nút mạng, và mọi rn = 0). Chỉ số 0 là kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng. Ta giới hạn khai triển ở số hạng bậc 2, tức là xét phép gần đúng điều hòa. Khi mọi nguyên tử đều nằm ở vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó, đạo hàm số hạng bậc nhất của thế năng U ở vị trí cân bằng bằng 0: 0 n U l α ⎛ ⎞∂ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ . Mặt khác, ta biết thế năng được xác định sai kém một hằng số. Nếu ta lấy gốc thế năng là giá trị U0, thì có thể bỏ qua số hạng không đổi đó. Khi đó biểu thức (1. 2. 5) sẽ trở thành: 23 3 1 1 1 1 1 2 N N n m n m n m UU r r l l α βα β α β= = = = ⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑∑∑∑ (1.2.6) Thế năng theo (1. 2. 6), chỉ chứa số hạng bậc hai theo độ dời, đó là số hạng điều hòa. Biết được hàm thế năng U, có thể xác định được lực tác dụng. Thành phần β của lực tác dụng lên nguyên tử thứ m là: 23 1 1 N m n nm n m U UF r r l lβ ααβ α β= = ⎛ ⎞∂ ∂= − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑∑ (1.2.7) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 14 Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển nr r của các nguyên tử khác vào các hệ số có dạng 2 0n m U l lα β ⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ . Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử thứ n và thứ m. Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào khoảng cách giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào n mR R− uur uur . Ta có thể viết: ( )2 0 n m n m U U R R l l αβα β ⎛ ⎞∂ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ uur uur (1.2.8) Biểu thức của định luật II Newton cho nguyên tử thứ m theo (1.2.7) và (1.2.8) là các phương trình có dạng: ( )3 1 1 . N m m n m n n Mr F U R R rβ β αβ α α= = = = − −∑∑ uur uur&& (1.2.9) Để biết được chuyển động của mọi nguyên tử, ta phải giải một hệ rất lớn (3N phương trình) các phương trình vi phân liên hệ với nhau có dạng như phương trình (1.2.9). 2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử Ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp “mạng tinh thể một chiều” gồm các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thẳng. Kết quả của bài toán này cũng áp dụng được cho tinh thể ba chiều nếu ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi sóng đàn hồi thuần túy là dọc hoặc thuần túy ngang. Trong sóng dọc các nguyên tử dịch chuyển song song với phương truyền sóng, còn trong sóng ngang các nguyên tử dịch chuyển vuông góc với phương truyền sóng. Trong các trường hợp này, các nguyên tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng thì dao động giống nhau. Vì thế thay cho việc nghiên cứu dao động của mọi nguyên tử trong tinh thể, ta chỉ cần xét trên mỗi mặt phẳng tinh thể một nguyên tử. Bài toán này được quy về trường hợp mạng tinh thể một chiều. Để cho đơn giản, giả thiết với dãy nguyên tử một chiều, ta chỉ xét sóng ngang, và coi như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét với hai nguyên tử gần nó nhất. Các nguyên tử cách đều nhau một khoảng a nên ô mạng có kích thước là a. Ta viết lại rs - 2 q Sóng ngang rs - 1 rs rs + 1 rs + 2 n + 1 rn - 1 rn + 1 rn + 2 rn + 3 rn + 4 n - 1 n n + 2 n + 4 n + 3 q Sóng dọc Hình 1.15 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 15 phương trình chuyển động cho nguyên tử thứ m, nhưng bỏ chỉ số α, β, vì đã giả thiết chỉ xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử. Khi đó, theo (1.2.9), ta có: ( ) nN n mnm rRRUFrM ∑ = −−== 1 && (1.2.10) Vì chỉ có tương tác giữa hai nguyên tử gần nguyên tử m nhất là đáng kể nên trong tổng ở vế phải chỉ còn lại số hạng ứng với n = m, n = m + 1 và n = m – 1. Ta lại giả thiết rằng lực tương tác là lực đàn hồi, tức là tỉ lệ với độ dời khỏi vị trí cân bằng. Ở đây, vị trí cân bằng ứng với rm = rm+1 = rm – 1= 0. Do đó, phương trình chuyển động là: ( ) ( )11 −+ −−−−= mmmmm rrrrrM αα&& (1.2.11) Hay: ( )112 −+ −−−= mmmm rrrrM α&& (1.2.12) Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng: ( )tqRi m mAer ω−= (1.2.13) Ta chọn gốc O sao cho Rm = a.m thì: ( )tqmaim Aer ω−= Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của rm ta được: ( ) ( ) mtiiqmam tiiqma m reiAer eiAer 22 ωω ω ω ω −=−= −= − − && & Sau đó ta thay vào phương trình (1.2.12) và giản ước hai vế ta có: ( )iqaiqa eeM −−−−=− 22 αω (1.2.14) Sử dụng công thức Ơle qaiqaeiqa sin.cos += ta thu được: ( )qaM cos122 −= αω (1.1.15) Từ đó, ta tìm được biểu thức cho tần số góc của dao động: ( ) 2 sin4cos12 22 qa M qa M ααω =−= 2 sin 2 sin.2 max qaqa M hay ωαω == (1.2.16) Trong đó: M αω 2max = Biểu thức (1.2.16) cho ta sự phụ thuộc của tần số góc ω vào q ))(( qωω = và được gọi là hệ thức tán sắc của dao động, với q là độ lớn của a π ω M α2 a π− q O Hình 1.16 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 16 vectơ sóng q . Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng. Hình 1.16 biểu diễn sự phụ thuộc của ω theo q. Sau đây, ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của )(qωω = ; ω là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ a π2 . Thật vậy, nếu có : q’= q + a π2 thì: ( ) ( ) mmmitqamimitamqim rreeAeAer ==== −− πωπω 22' ' vì ei2πm = 1. Như vậy, vectơ sóng q và ' q mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá trị ω của tần số dao động; nghĩa là q và q’ tương đương nhau về tính chất vật lí. Do tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng a π2 trên trục q. Người ta thường chọn khoảng a π2 đối xứng quanh gốc O, tức là a q a ππ ≤≤− , khoảng này chứa mọi giá trị khả dĩ của ω. q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, nên đó chính là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét mạng thuận có chu kì a, thì mạng đảo có chu kì a π2 . Mạng đảo của mạng một chiều là mạng một chiều. Khoảng giá trị a q a ππ ≤≤− trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất. Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kì là bước sóng λ. Dựa vào biểu thức của hàm sóng ( )tqRi m mAer ω−= , ta có: ( ) ( )[ ]tRqitqRi mm AeAe ωλω −+− = hay eiqλ = 1. Điều này chỉ xảy ra khi: q = λ π2 . 2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1) Ở gần tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1, thì sin 22 qaqa ≈ . Do đó: qa M qa M ααω == 2 2 (1.2.17) Ta đi tính vận tốc nhóm của sóng, tức là vận tốc truyền năng lượng dao động trong môi trường: consta Mdq dvg === .αω (1.2.18) Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là dao động với bước sóng λ lớn, vận tốc truyền năng lượng dao động là một hằng số. Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn hồi truyền trong môi trường liên tục. 2.1.2. Trường hợp a q π±= Với những giá trị q lớn, vận tốc truyền sóng không còn là hằng số. Khi đó: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 17 2 cos. qa M a dq dvg αω == (1.2.19) Ở giá trị q = qmax = a π± , vận tốc truyền sóng vg = 0. Như vậy, ở biên vùng Brillouin vận tốc truyền sóng bằng 0, ứng với sự tạo thành sóng đứng. Với qmax = a π± , ta có λmin = 2a. Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược pha nhau nhưng với biên độ bằng nhau. 2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử Ta xét trường hợp phức tạp hơn, là trường hợp mạng một chiều có chứa hai loại nguyên tử khác nhau. Để cho xác định ta giả thiết, hai loại nguyên tử có khối lượng khác nhau. Giả sử các nguyên tử có khối lượng M1 và M2 đặt xen kẽ nhau, cách đều nhau một khoảng a. Ta giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang. Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a và mỗi ô chứa hai nguyên tử. Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r1,m và r2,m, ta có thể viết hệ phương trình như sau: ( ) ( )( ) ( )⎩⎨ ⎧ −−−−= −−−−= +− − 1,1,21,1,2,22 ,2,11,2,1,11 mmmmm mmmmm rrrrrM rrrrrM αα αα && && (1.2.20) Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng sóng chạy, mà biên độ sóng cho hai loại nguyên tử A1 và A2: ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = = − − tamqi m tamqi m eAr eAr ω ω 2 1,1 2 1,1 (1.2.21) Thay (1.2.21)vào (1.2.20), sau khi giản ước ta có hệ phương trình : ( )( )⎩⎨ ⎧ ++−=− ++−=− − qai qai eAAAM eAAAM 2 1222 2 2 2111 2 12 12 ααω ααω (1.2.22) Biến đổi hệ phương trình trên ta được: ο ο ο ο a a M1 M2 M2 M1 M2 M1 M2 m - 1 m + 1 m r1m Hình 1.17 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 18 ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ =++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 021 012 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 A M Ae M Ae M A M qai qai αωα ααω (1.2.23) Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A1, A2 và ω(q). Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A1, A2 phải bằng o. Tức là: ( ) ( ) 021 12 2 22 2 2 11 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − M e M e MM qai qai αωα ααω (1.2.24) Đây là phương trình trùng phương đối với ω: ( ) 02cos1 . 2 . 2 21 2 2 21 214 =−++− qa MMMM MM αωαω giải phương trình này ta có hai nghiệm: qa MMMMMM 2 21 2 2121 2 sin. . 41111 −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=± ααω (1.2.25) * Ta xét nghiệm ω-: + Khi q = 0, ω- = 0 + Khi q nhỏ, sin2qa ≈ q2a2. Do đó: qa MM . 21 + =− αω (1.2.26) Như vậy, ở gần tâm vùng Brillouin ω tỉ lệ với q (ω∼q). + Khi a q 2 π±= , thì sin2qa = 1 và khi đó: 2 2 M αω =− (1.2.27) * Ta xét nghiệm ω+: + Khi q = 0, 21 21 . 2 MM MM +=+ αω (1.2.28) + Khi a q 2 π±= , 2 2 M αω =+ (1.2.29) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 19 Giả thiết M1 > M2, thì sự phụ thuộc của ω theo q trong trường hợp mạng có hai nguyên tử được biểu diễn như trên hình 1.18. Ta nhận thấy rằng ω phụ thuộc vào q một cách tuần hoàn với chu kì a π . Vì vậy, ta cũng chỉ xét với các giá trị của q nằm trong vùng Brillouin thứ nhất a q a 22 ππ ≤≤− (vì hằng số mạng là 2a). Đồ thị ω(q) gồm hai nhánh. Nhánh dưới ứng với ω- có dạng giống như trường hợp mạng tinh thể có chứa một loại nguyên tử. Ở q = 0, ω = 0. Với các giá trị q bé, ω∼q. Ở các giá trị a q 2 π±= , ω = ωmax. Như vậy, ở vùng gần tâm vùng Brillouin, vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số, và chính là bằng vận tốc truyền âm. Vì vậy, nhánh ứng với ω- còn được gọi là nhánh âm học. Dựa vào hình vẽ ở trên, ta có thể rút ra một nhận xét quan trọng. Trên phổ ω(q) có một khoảng giá trị từ 21 22 MM αωαω =÷= +− không ứng với nghiệm nào của phương trình truyền sóng trong mạng tinh thể. Hay là, trong mạng tinh thể không có dao động ứng với tần số trong khoảng đó. Đó là đặc điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô sơ cấp. Trong trường hợp này, ở biên vùng Brillouin thứ nhất có một khu vực cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không lan truyền trong tinh thể được, mà bị hấp thụ mạnh. Nhánh trên biểu diễn ω+. Ở nhánh này, ω ít thay đổi theo q. Ở q = 0, ta có 21 21 max 2 MM MM +=+ αω . Còn ở a q 2 π±= , ta có 2 min 2 M αω =+ , nhánh này gọi là nhánh quang học. Ta trở lại xét các nghiệm r1,m và r2,m ở (1.2.21) xét khi q = 0, thay giá trị ω+ ở (1.2.28) vào (1.2.23), ta thu được: 1 2 2 1 M M A A −= . Mà m m r r A A ,2 ,1 2 1 = nên hai loại nguyên tử q O a2 π− ω 1 2 M α 2 2 M α 21 21 . 2 MM MM +α a2 π Vùng Briloanh thứ nhất Nhánh quang ω+ Nhánh âm ω- Hình 1.18 + + + - - - - + + q Nhánh dao động quang + + + - - -- + + Nhánh dao động âm q Hình 1.19 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 20 M1 và M2 dao động ngược pha nhau (vì r1,m và r2,m trái dấu nhau). Trong tinh thể ion, các nguyên tử M1 và M2 mang điện tích trái dấu nhau. Khi chúng dao động, mômen lưỡng cực điện do chúng tạo nên cũng biến đổi tuần hoàn. Ánh sáng (sóng điện từ) tương tác mạnh với dao động mạng thuộc loại này. Nói cụ thể hơn, vectơ điện trường E của ánh sáng tương tác mạnh nới mômen lưỡng cực của tinh thể, nếu ánh sáng có tần số bằng ω+. Chính vì lí do đó, mà nhánh này được gọi là nhánh quang học. Khi q ≈ 0, thì với nhánh âm học (ω-), các nguyên tử dao động gần như cùng pha với nhau giống như các dao động âm học có bước sóng lớn. Sự xuất hiện hai nhánh: âm học và quang học trong phổ dao động của mạng tinh thể là kết quả của việc mạng tinh thể có gốc, tức là trong ô sơ cấp có hai nguyên tử hoặc nhiều hơn. 3. Dao động mạng ba chiều Đối với bài toán dao động của mạng ba chiều chứa một loại nguyên tử ta cần tìm nghiệm cho hệ phương trình có dạng như sau: ( )3 1 1 . N m m n m n n Mr F U R R rβ β αβ α α= = = = − −∑∑ uur uur&& (1.2.30) Xét mạng không gian có N nguyên tử thể tích V, mỗi ô cơ sở có một nguyên tử (tất cả các nguyên tử giống nhau). Phương trình định luật II Newton: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 3 1 3 1 3 2 1 3 1 2 1 1 3 1 1 =−+ =−+ =−+ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = β β αβα β β αβα β β αβα mm N m mm N m mm N m rRRUrM rRRUrM rRRUrM && && && (1.2.31) Như vậy, ta sẽ có 3N phương trình, giải hệ phương trình có 3N phương trình đó ta thu được nghiệm tổng quát của độ lệch so với vị trí cân bằng của nguyên tử thứ N theo phương α (chuyển từ tọa độ không gian sang số vectơ sóng). Như đã thấy, nói chung tần số ω và biên độ A của dao động đều là hàm của vectơ sóng q . Trong trường hợp ba chiều, mr là vectơ có hình chiếu lên ba phương của không gian là rmβ (β = 1,2,3 ứng với x, y, z). Nghiệm của hệ phương trình trên được tìm dưới dạng sóng, là tổng hợp các sóng có ω khác nhau và A khác nhau: ( ) ( ) ( )[ ]tqRqi q m meqAqe NM r ωββ −∑= 1 (1.2.32) Với ( )qeβ là các hệ số thực và ( )qA là biên độ dao động. Tổng lấy theo các giá trị của q trong vùng Brillouin thứ nhất. ta giả thiết mạng tinh thể đơn giản, trong mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử. Tinh thể có N1, N2, N3 nguyên tử lần lượt theo các phương x, y, z. Ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho cả ba phương, thì các giá trị hình chiếu của q lên các phương cũng trở nên gián đoạn. Tinh thể chứa N = N1.N2.N3 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 21 nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ sóng q . Mặt khác, thể tích của vùng Brillouin thứ nhất (cũng là thể tích của ô sơ cấp mạng đảo) là v 38π với v là thể tích ô sơ cấp của mạng thuận. Nếu tinh thể có thể tích V, và chứa N ô sơ cấp thì thể tích của ô sơ cấp là N Vv = . Do đó, thể tích của vùng Brillouin là N V .8 3π và ứng với mỗi vectơ sóng là một ô nhỏ có thể tích V 38π của vùng Brillouin. Các vectơ q có gốc ở tâm vùng Brillouin và có ngọn ở một trong các ô này. Như vậy, trong một đơn vị thể tích không gian đảo, có 38π V giá trị của vectơ q ở phương trình (1.2.32) NM 1 được gọi là hệ số chuẩn hóa, với M là khối lượng nguyên tử. Ta thay rmβ ở (1.2.32) vào phương trình (1.2.30), ta có: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tqRqi q N n mn tqRqi q nm eqAqeRRUeqAqeqM ωα α αβ ω βω − = = − ∑∑∑∑ −= . 1 3 1 2 Sau khi rút gọn ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. 1 3 1 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − = = −∑ ∑∑ tqi q N n RRqi mn eqAeqeRRUqeqM mn ω α ααββω (1.2.33) Đây là phương trình để tìm ( )qA vì ( ) ( )tqieqA ω−. khác không, nên hệ phương trình được thỏa mãn nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ = = −−= N n RRqi mn mneqeRRUqeqM 1 3 1 2 . α ααββω (1.2.34) Phương trình này liên hệ với nút mạng thứ m đang xét với tất cả các nút mạng khác thông qua khoảng cách mn RR − . Nên ta đặt: mn RRh −= (1.2.35) Và: ( ) ( ) hiq h ehU M qG ∑= αβαβ 1 (1.2.36) Thì ta sẽ có được: ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. 3 1 2 =+− ∑ = qeqGqeq α α αββω (1.2.37) đây là hệ phương trình tìm ( )qeβ với β = 1, 2, 3. Muốn có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng 0: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 22 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 02 2 2 = +− +− +− qGqqGqG qGqGqqG qGqGqGq zzyzxz zyyyxy zxyxxx ω ω ω (1.2.38) Định thức này là phương trình bậc 3 đối với ( )q2ω nên nói chung có ba nghiệm: ( )q21ω ; ( )q22ω ; ( )q23ω , ứng với các tần số ω = ( )qsω , s = 1, 2, 3 ( chỉ lấy nghiệm ω > 0). Vậy có 3 nghiệm ( )qω , chúng ứng với ba nhánh trong phổ của ( )qω . Muốn xác định được các ( )qω , ta phải biết các ma trận ( )qGαβ , rức là biết ( )hUαβ . Khi biết được các ( )qsω , thay giá trị của nó vào (1.2.37) ta tìm được các hình chiếu ( ) ( )qe sβ của vectơ ( ) ( )qe s . Vì có ba nghiệm ( )qsω (s =1, 2, 3), nên cũng có ba vectơ ( ) ( )qe s . Ta sẽ xét đến một số tính chất của ( ) ( )qe s . Các hình chiếu của chúng là nghiệm của phương trình (1.2.37) nên cũng là hàm riêng của ma trận ( )qGαβ . Ma trận ( )qGαβ là ma trận tự liên hợp. Bởi vì: ( ) ( )nmmn RRURRU −=− βααβ (1.2.39) Nên: ( ) ( )hUhU −= βααβ (1.2.40) Từ (1.2.36) và (1.2.40) ta suy ra ( )qGαβ là tự liên hợp. Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( )qGehU M qG hiq h αβαββα =−= −∗ ∑ .1 (1.2.41) Ta đã biết hàm riêng của các ma trận tự liên hợp ứng với các trị riêng khác nhau. Ở đây ( )qsω chính là các trị riêng. Do đó các nghiệm ( ) ( )qe 1 , ( ) ( )qe 2 , ( ) ( )qe 3 của hệ phương trình (1.2.37) trực giao nhau. Ta có thể chuẩn hóa các vectơ ( ) ( )qe s sao cho bình phương của vectơ bằng đơn vị. Điều kiện trực giao là: ( ) ( ) ( ) ( ) 11. ssss qeqe δα α α =∑ (1.2.42) Các vectơ ( ) ( )qe s xác định sự phân cực của sóng. Mỗi vectơ đó cho biết ứng với giá trị vectơ sóng q và ứng với tần số ( )qsω thì nguyên tử dao động theo phương nào. Với các phương q tùy ý, nói chung sự phân cực là phức tạp. Tuy nhiên, trong một số trường hợp có thể phân biệt được trong dao động của tinh thể một vectơ phân cực (chẳng hạn ( ) ( )qe 1 ) dọc theo vectơ sóng q và hai vectơ còn lại ( ( ) ( )qe 2 và ( ) ( )qe 3 ) vuông góc với nhau và vuông góc với phương vectơ q . Điều này xảy ra khi vectơ q hướng theo q ( ) qe 1 ( ) qe 2 ( ) qe 3 Hình 1.20 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 23 các phương đối xứng của tinh thể, hoặc ở giới hạn sóng dài (ứng với các giá trị q nhỏ), khi tinh thể có thể coi như môi trường đẳng hướng. Trong trường hợp này, có một sóng dọc và hai sóng ngang. Nói chung với phương q bất kì, không có sóng thuần túy dọc hoặc sóng thuần túy ngang. Các yếu tố ma trận ( )0αβG có eiqh = 1. Do đó: ( ) ( )hU M G h ∑= αβαβ 10 (1.2.43) Từ phương trình (1.2.7) và (1.2.8), nếu mọi nguyên tử dịch chuyển đi một khoảng b như nhau theo cùng một phương, chẳng hạn phương α thì mọi rnα = b và lực Fmβ sẽ là: ( )bRRUF N n mnm . 1 ∑ = −−= αββ (1.2.44) Như vậy, có nghĩa là toàn bộ tinh thể đều dịch đi một đoạn b theo phương α, và do đó không có lực tác dụng lên nguyên tử thứ m. Khi đó phương trình (1.2.44) sẽ là: ( ) ( ) ( ) 00. 11 ==−=− ∑∑∑ == hURRUhayRRUb h N n mn N n mn αβαβαβ Từ đó, suy ra: Gαβ(0) = 0 (1.2.45) Như vậy, theo (1.2.37) và (1.2.45) ( )qsω tiến đến không khi q→0. Đó là đặc trưng của sóng âm truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng. Vì vậy, ( )qsω ứng với ba nhánh âm học trong phổ ( )qω . Theo các phương đối xứng ta có một nhánh âm ứng với sóng dọc và hai nhánh âm ứng với sóng ngang. Trong trường hợp chung không phân được nh._.