Không gian Tôpô đối xứng - Không gian τ - đối xứng

gian mêtric. Mục đích của khoá luận là nghiên cứu các tính chất của không gian tôpô đối xứng, từ đó nghiên cứu xem các tính chất của không gian tôpô đối xứng có còn thoả mãn với lớp không gian rộng hơn là không gian τ -đối xứng nữa hay không? Với mục đích trên, khoá luận được trình bày theo ba phần §1. Các khái niệm cơ bản Mục này dành cho giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. §2. Không gian tôpô đối xứng Mục này dành cho việc định nghĩa và chứng minh các tính chất của không gian tôpô đối xứng, mối quan hệ của nó với một số không gian tôpô đặc biệt. §3. Không gian τ -đối xứng Đây là nội dung chính của luận văn. Trong mục này, chúng tôi đề xuất và chứng minh một số tính chất của không gian τ -đối xứng, nghiên cứu mối quan hệ của nó với không gian tôpô đối xứng và các không gian tôpô đặc biệt khác. Sau đó, xét đến tính d-hội tụ và tính Cauchy của các dãy trong không gian τ -đối xứng. Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu thực hiện khoá luận, chúng tôi còn đặt ra một số vấn đề khác nữa nhưng do điều kiện thời gian và năng 2lực cùng khuôn khổ của khoá luận không cho phép nên chúng chưa được giải quyết. Chúng tôi hy vọng sẽ giải quyết trong thời gian tiếp theo. Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại Học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận này chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được thầy, cô và các bạn góp ý bổ sung. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 3§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trước khi đi vào nội dung chính,chúng ta cần nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của tôpô đại cương được sử dụng trong luận văn. ở đây, chúng ta chỉ trình bày các kết quả, còn phần chứng minh có thể tham khảo trong các tài liệu. 1.1 Định nghĩa ([1]). Họ P các tập con của không gian X được gọi là phủ của tập con A trong X nếu A ⊂ ∪{P : P ∈ P}.Ta viết ∪{P : P ∈ P}. Họ P các tập con của không gian X được gọi là một phủ của không gian X nếu X ⊂ ∪ P. Phủ P của không gian tôpô X được gọi là phủ đếm được theo điểm nếu mỗi điểm x ∈ X chỉ thuộc nhiều nhất là đếm được tập thuộc P . 1.2 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y sao cho y /∈ Ux và x /∈ Uy. Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y sao cho Ux ∩ Uy = ∅. Không gian tôpô X được gọi là không gian chính quy nếu đối với mọi tập đóng F ⊂ X và với x /∈ F tồn tại các tập mở U, V sao cho F ⊂ U, x ∈ V và U ∩ V = ∅. Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu đối với hai tập đóng rời nhau F1, F2 đều tồn tại các tập mở U1, U2 sao cho F1 ⊂ U1, F2 ⊂ U2 và U1 ∩ U2 = ∅. 1.3 Định lý. Không gian tôpô X là T1-không gian khi và chỉ khi mỗi tập con một điểm là đóng. Chúng ta giới thiệu một số khái niệm về phủ. Cho không gian tôpô X, P là một phủ của X. Ký hiệu P<w là họ tất cả các tập con hữu hạn của P . Ta có các định nghĩa sau. 41.4 Định nghĩa. P được gọi là một lưới nếu với bất kỳ U mở trong X, x ∈ U thì tồn tại F ∈ P<w sao cho x ∈ ∪ F ⊂ U . 1.5 Định nghĩa. Giả sử phủ P của không gian tôpô X được xác định bởi P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là họ các tập con chứa x của X sao cho i) Mỗi Px đều là một lưới tại x, nghĩa là với mọi lân cận U của x đều tồn tại P ∈ Px mà P ⊂ U . ii) Nếu P1, P2 ∈ Px thì đều tồn tại P3 ∈ Px mà P3 ⊂ P1 ∩ P2. Phủ P được gọi là một sn-lưới của X nếu mỗi P ∈ Px là một lân cận dãy của x. Phủ P được gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con G của X là tập mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G luôn tồn tại P ∈ Px mà P ⊂ G. 1.6 Định nghĩa. Tập con P của không gian tôpô X được gọi là một lân cận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ về x thì luôn tồn tại n0 sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ n0. 1.7 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian dãy nếu thoả mãn: mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉ khi không có dãy {xn} trong A hội tụ về điểm x không thuộc A. Không gian tôpô X được gọi là không gian Frechet nếu với mỗi tập con A của X và mọi phần tử x ∈ A luôn tìm được dãy {xn} trong A hội tụ về x. 1.8 Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô. Tập con M của X được gọi là một cái quạt tại x của X, nếu M có thể biểu diễn dưới dạng: M = {x} ∪ { ∪ {xnm : m ∈ N} : n ∈ N}, trong đó {xnm : m ∈ N}n∈N là vô hạn đếm được dãy rời nhau của X, mà mỗi dãy đều hội tụ về x. Tập con C của quạt M tại x được gọi là một đường chéo của M nếu C có giao với vô hạn dãy của quạt M và đồng thời C là một dãy hội tụ về một điểm trong quạt M . 5Một quạt mà không có đường chéo nào được gọi là một tập Sw. Không gian tôpô X được gọi là α4-không gian nếu với mỗi điểm x trong X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụ về x. 1.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là snf-không gian đếm được nếu X có một sn-lưới ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếm được. Không gian tôpô X được gọi là gf-không gian đếm được nếu X có một cơ sở yếu P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếm được. Không gian tôpô X được gọi là A-không gian nếu {An : n ∈ N} là một dãy giảm với x ∈ An\{x} với mọi n ∈ N thì tìm được Bn ⊂ An sao cho ∪{Bn : n ∈ N} không đóng trong X. 6§2. KHÔNG GIAN TÔPÔ ĐỐI XỨNG Trong mục này, ta sẽ trình bày một loại không gian đặc biệt, đó là không gian tôpô đối xứng. Nó được nghiên cứu bởi G.Grnenhage [3] và nhiều nhà toán học khác. ở đây, ta sẽ đưa ra và chứng minh một số tính chất của không gian tôpô đối xứng, không gian nửa mêtric trong mối quan hệ với các loại không gian đã đưa ra trong các mục trước và các phủ, đặc biệt là các phủ đếm được theo điểm.Các kết quả trong mục này được lấy trong các tài liệu [1] và [4]. 2.1 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian đối xứng nếu tồn tại hàm số d : X ×X → R thoả mãn 1)d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y. 2)d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X. 3)U ⊂ X, U mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ U , trong đó Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1 n }. 2.2 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là nửa mêtric nếu thay điều kiện 3) của Định nghĩa 2.1 bằng điều kiện 3’) Với mọi A ⊂ X, x ∈ A khi và chỉ khi d(x,A) = 0, trong đó d(x,A) = inf a∈A d(x, a). Sau đây ta xét một số tính chất của không gian tôpô đối xứng và không gian nửa mêtric. 2.3 Ví dụ. Không gian tôpô (X, τ) với X là tập số thực R, τ = {∅, X,∪i∈I(ai, bi)}, trong đó (ai, bi) ⊂ R. Ta xác định hàm d : X × X → R là khoảng cách thông thường trên R. Khi đó (X, τ) là không gian đối xứng. 2.4 Mệnh đề. Không gian tôpô đối xứng là T1-không gian. 7Chứng minh. Ta cần chứng minh với mọi x ∈ X thì {x} là tập đóng, hay M = X\{x} là tập mở. Thật vậy, với mọi y ∈ M thì y 6= x nên d(x, y) = ε > 0. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho 1 n < ε. Do đó x /∈ Sn(y) = {z ∈ X : d(y, z) < 1 n }. Vì thế nên Sn(y) ⊂ X\{x} = M . Vậy M là tập mở. 2.5 Mệnh đề. [1]. Không gian tôpô đối xứng không phải là T2-không gian. 2.6 Nhận xét. a.Không gian tôpô đối xứng không phải là không gian chính quy. b.Tập Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1 n } không đóng, không mở. c.Tập S ′n(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ 1 n } không đóng, không mở. d.Không gian tôpô đối xứng không phải là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. a. Trong Mệnh đề 2.4, dễ thấy tập một điểm {x} là tập đóng vì X\{x} ∈ τ . Kết hợp với (X, τ) không phải là T2 - không gian ta suy ra (X, τ) không phải là không gian chính quy. b. Với không gian tôpô (X, τ) trong Ví dụ 2.3. Lấy x = 1 ∈ Ox. Ta có S1(1) = (0, 2)x∪ (0,∞)y /∈ τ , trong đó (0, 2)x ⊂ Ox, (0,∞)y /∈ Oy. Do đó S1(1) không mở. Vì X\S1(1) = [2,∞)x /∈ τ nên S1(1) không là tập đóng. c. Với không gian tôpô (X, τ) trong Ví dụ 2.3. Lấy x = 1 ∈ Ox. Ta có S ′1(1) = (0, 2]x ∪ (0,∞)y /∈ τ . X\S ′1(1) = (2,∞)x /∈ τ . Do đó S ′1(1) không đóng, không mở. d. Vì X không chính quy nên X không chuẩn tắc. 2.7 Mệnh đề. Không gian tôpô đối xứng là gf-không gian đếm được. Chứng minh. Giả sử X là không gian tôpô đối xứng. Xét phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N}. Giả sử U là lân cận của x. Khi đó tồn tại V mở sao cho x ∈ V ⊂ U . Do đó tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ V ⊂ U , hay tồn tại P = Sn(x) ∈ Px sao cho P ⊂ U . Vậy Px là một lưới tại x. 8Giả sử U, V ∈ Px với U = Sn(x), V = Sm(x),m ≤ n. Ta có U ∩ V = U = Sn(x). Chọn n0 ∈ N sao cho n0 > n. Khi đó W = Sn0(x) ⊂ Sn(x) ⊂ U ∩ V . Vậy với U, V ∈ Px thì tồn tại W ∈ Px sao cho W ⊂ U ∩ V . Với G ⊂ X, ta có G mở khi và chỉ khi mỗi x ∈ G luôn tồn tại P = Sn(x) ∈ Px sao cho P ⊂ G. Như vậy P là một cơ sở yếu của X. Mặt khác, với mỗi x thì Px là tập đếm được. Vậy X là gf -không gian đếm được. 2.8 Hệ quả. Mọi không gian tôpô đối xứng là A-không gian. 2.9 Mệnh đề. Không gian tôpô đối xứng Hausdorff là không gian dãy. Chứng minh. Giả sử X là không gian tôpô đối xứng. Xét phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N}. Theo chứng minh Mệnh đề 2.7 thì P là một cơ sở yếu của X. Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉ khi mọi dãy trong A nếu hội tụ thì hội tụ về một điểm trong A. Thật vậy, giả sử A là tập con đóng của X. Khi đó X\A là tập mở nên với mọi x ∈ X\A, tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ X\A. Do đó không thể tồn tại một dãy trong A hội x ∈ X\A, bởi vì nếu xn → x thì tồn tại n0 sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0. Vì thế mọi dãy trong A nếu hội tụ thì sẽ hội tụ về một điểm trong A. Ngược lại, giả sử mọi dãy hội tụ trong A đều hội tụ về một điểm trong A. Ta chứng minh A đóng bằng phản chứng. Giả sử A không đóng. Khi đó X\A không mở nên tồn tại x ∈ X\A sao cho Sn(x) ∩ A 6= ∅ với mọi n ∈ N. Từ đó ta xây dựng dãy {xn : n ∈ N} trong A như sau: Với mỗi n ∈ N ta lấy xn ∈ Sn(x) ∩ A. Khi đó với U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại n0 ∈ N sao cho Sn0(x) ⊂ U , suy ra xn ∈ Sn(x) ∩ A ⊂ Sn0(x) ⊂ U,∀n ≥ n0. hay xn ∈ U với mọi n ≥ n0. Do đó {xn : n ∈ N} là dãy hội tụ về x. Mặt khác, {xn} ⊂ A nên x ∈ A, mâu thuẫn với x ∈ X\A. Từ đó suy ra A 9đóng. Vậy X là không gian dãy. 2.10 Mệnh đề. Không gian tôpô đối xứng Hausdorff là snf-không gian đếm được. Chứng minh. Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Hausdorff. Xét phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N}. Ta có P là một cơ sở yếu của X. Ta chứng minh P là một sn-lưới, hay mỗi P ∈ Px là một lân cận dãy của x. Giả sử tồn tại P0 ∈ Px mà P0 không phải là lân cận dãy của x. Khi đó ắt tồn tại dãy {xn : n = 1, 2, ...} ⊂ X\P0 sao cho xn → x. Từ đó {xn : n = 1, 2, ...} không phải là tập đóng vì x /∈ {xn : n = 1, 2, ...}. Suy ra X\{xn : n = 1, 2, ...} không phải là tập mở. Mặt khác, ta lại có {xn : n = 1, 2, ...} ∪ {x} là tập đóng nên X\({xn : n = 1, 2, ...} ∪ {x}) là tập mở. Khi đó, lấy một điểm bất kỳ y ∈ X\{xn : n = 1, 2, ...}. Nếu y = x thì tồn tại P0 ∈ Px sao cho P0 ⊂ X\{xn : n = 1, 2, ...}. Nếu y 6= x thì y ∈ X\({xn : n = 1, 2, ...} ∪ {x}). Do đó tồn tại P ∈ Py sao cho y ∈ P ⊂ X\({xn : n = 1, 2, ...} ∪ {x}) ⊂ X\{xn : n = 1, 2, ...}. Vậy với mọi y ∈ X\{xn : n = 1, 2, ...} tồn tại P ∈ Py sao cho y ∈ P ⊂ X\{xn : n = 1, 2, ...} hay với mọi y ∈ X\{xn : n = 1, 2, ...} tồn tại n ∈ N sao cho Sn(y) ⊂ X\{xn : n = 1, 2, ...}, suy ra X\{xn : n = 1, 2, ...} mở. Đây là điều mâu thuẫn. Do đó P là một sn-lưới. Hiển nhiên Px là đếm được với mỗi x ∈ X. Vậy ta có X là snf -không gian đếm được. 2.11 Mệnh đề. Không gian tôpô đối xứng Hausdorff là α4-không gian. Chứng minh. Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Hausdorff. Ta cần chứng minh với mỗi x ∈ X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụ tới x. Giả sử M là cái quạt tại điểm x bất kỳ trong X. Khi đó M có thể biểu diễn dưới dạng M = {x} ∪ {∪{xnm : m ∈ N} : n ∈ N}, trong đó 10 {xnm : m ∈ N}n∈N là đếm được dãy rời nhau của X và xnm → x khi m → ∞;n = 1, 2, .... Do X là không gian tôpô đối xứng nên phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N} là một sn-lưới. Do đó mỗi Sn(x) là một lân cận dãy của x. Suy ra với mỗi k ∈ N và mỗi Sn(x) ắt tồn tại mnk sao cho xkm ∈ Sn(x) với mọi m ≥ mnk. Vì thế với mỗi k ∈ N và mỗi n ∈ N thì {xkm : m ∈ N} ∩ Sn(x) 6= ∅. Ta xây dựng đường chéo như sau: C = {yn : n ∈ N} như sau: với mỗi n ∈ N chọn yn ∈ Sn(x) ∩ {xnm : m ∈ N}. Khi đó, với mỗi n ∈ N thì C ∩ {xnm : m ∈ N} = {yn} 6= ∅. Do đó C là tập có giao với vô hạn dãy của M . Nếu U là lân cận của x thì tồn tại n0 ∈ N sao cho Sn0(x) ⊂ U . Suy ra yn ∈ Sn(x) ⊂ Sn0(x) ⊂ U với mọi n ≥ n0 hay yn ∈ U với mọi n ≥ n0. Từ đó ta có {yn} là một dãy hội tụ về x. Như vậy, mọi cái quạt tại x ∈ X đều có đường chéo hội tụ về x. Vậy X là α4-không gian. 2.12 Mệnh đề. Không gian nửa mêtric là không gian Frechet. Chứng minh. Giả sử X là không gian nửa mêtric và A ⊂ X. Ta chứng minh với mọi x ∈ A luôn tồn tại dãy {xn} trong A hội tụ về x. Thật vậy, nếu x ∈ A thì d(x,A) = 0. Ta xây dựng dãy {xn} ⊂ A hội tụ về x như sau: Xét hình cầu Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1 n }. Từ d(x,A) = 0 suy ra Sn(x) ∩ A 6= ∅ với mọi n ∈ N. Lấy xn ∈ Sn(x) ∩ A, n = 1, 2, ..., ta xây dựng được {xn} ⊂ A. Giả sử U là lân cận của x. Khi đó tồn tại tập mở V ⊂ U sao cho x ∈ V , do đó tồn tại n0 ∈ N sao cho Sn0(x) ⊂ V ⊂ U . Vì thế xn ⊂ Sn(x) ⊂ V ⊂ U với mọi n ≥ n0, tức là xn → x khi n → ∞. Vây X là không gian Frechet. 2.13 Mệnh đề. Không gian nửa metric là không gian tôpô đối xứng, Frechet. 11 Chứng minh. Giả sử X là không gian nửa mêtric. Khi đó tồn tại hàm số d : X ×X → R, thoả mãn ba điều kiện: 1) d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y. 2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X. 3) A ⊂ X, x ∈ A ⇔ d(x,A) = 0. Ta sẽ chứng minh hàm số d thoả mãn điều kiện: A ⊂ X,A mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ A, tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ A. Giả sử A ⊂ X,A mở. Khi đó X\A đóng nên X\A = X\A. Từ đó, ta có y ∈ X\A khi và chỉ khi d(y,X\A) = 0 và x ∈ X\A khi và chỉ khi d(x,X\A) > 0. Từ đó, với x ∈ A ta có d(x,X\A) = ε > 0. Chọn n ∈ N sao cho 1 n < ε. Khi đó Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1 n } ⊂ A. Vậy tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ A. Ngược lại, giả sử A ⊂ X sao cho với mọi x ∈ A, tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ A. Ta chứng minh A là tập mở. Đặt H = X\A \(X\A). Giả sử H 6= ∅. Khi đó tồn tại x ∈ H. Điều này tương đương với{ x ∈ X \ A x ∈ A. Do x ∈ A nên tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ A. Vì thế d(x,X\A) > 0. Mà x ∈ X\A nên d(x,X\A) = 0. Đây là một điều mâu thuẫn. Do đó H = ∅, tức là X\A = X\A vì thế X\A đóng, hay A mở. Vậy (X, d) là không gian tôpô đối xứng. Giả sử A ⊂ X và x ∈ A khi đó d(x,A) = 0, với mọi n = 1, 2, ... vì d(x,A) = 0 nên Sn(x) ∩A 6= ∅. Lấy xn ∈ Sn(x) ∩A, n = 1, 2, .... Ta được {xn} ⊂ A. Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho Sm(x) ⊂ U. Do đó xn ∈ Sm(x) ⊂ U với mọi n > m. Như vậy xn → x và do đó X là không gian Frechet. 12 2.14 Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô đối xứng. Khi đó X là không gian nửa mêtric khi và chỉ khi với x ∈ X, r > 0, B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} là lân cận của x. Chứng minh. X là không gian nửa mêtric. Khi đó với mọi A ⊂ X, x ∈ A khi và chỉ khi d(x,A) = 0 tức là với mọi A ⊂ X,A = Ad trong đó A d = {x ∈ X : d(x,A) = 0}. Ta chứng minh mọi B(x, r) là lân cận của x. Đặt E = X\B(x, r). Ta có d(x,E) ≥ r > 0 nên x /∈ E. Từ đó x ∈ X\E mở hay là tồn tại U mở sao cho x ∈ U ⊆ X\E. Ta chứng minh U ⊆ B(x, r). Lấy z ∈ U , thế thì z ∈ X\E nên z /∈ E. Vì vậy z /∈ E cho nên z ∈ B(r, x). Từ đó U ⊆ B(x, r). Vậy B(x, r) là lân cận của x. Ngược lại, giả sử B(x, r) là lân cận của x với mọi r > 0. Ta chứng minh A = A d . Ta có A ⊆ Ad. Vì với x ∈ A thì tồn tại dãy {xn} ⊂ A hội tụ tới x, do đó d(xn, x) → 0 nên d(x,A) = 0 hay x ∈ Ad. Ta chứng minh A d ⊆ A. Thật vậy: Lấy x ∈ Ad thì d(x,A) = 0. Giả sử x /∈ A thế thì x ∈ X\A - mở. Khi đó tồn tại B(x, r) ⊂ X\A nên d(x,A) ≥ d(x,A ≥ r(vô lý). Do đó x ∈ A cho nên A d ⊆ A. Vậy A = A d . 13 §3. KHÔNG GIAN τ - ĐỐI XỨNG Trong §2, chúng ta đã nghiên cứu một số tính chất của không gian đối xứng. Trong mục này, chúng ta sẽ xây dựng một lớp không gian tổng quát hơn không gian đối xứng và xét xem các tính chất tương tự như đối với không gian đối xứng còn đúng cho lớp không gian này nữa hay không? 3.1 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và hàm d : X × X → R. Hàm d được gọi là hàm τ -đối xứng trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau 1) d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X, 2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X, 3) Với mỗi x ∈ X và với mỗi lân cận U của x đều tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ U , trong đó B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}. Không gian tôpô (X, τ) cùng với một hàm τ -đối xứng trên nó được gọi là không gian τ -đối xứng. 3.2 Nhận xét. Từ định nghĩa không gian đối xứng và Định nghĩa 3.1 suy ra rằng, mỗi không gian đối xứng là không gian τ -đối xứng. Ví dụ sau cho thấy tồn tại không gian τ -đối xứng nhưng không đối xứng. 3.3 Ví dụ ([2]). Cho X = [0,∞) và d(x, y) = |x − y|(mêtric thông thường). Xét hàm p : X ×X → R+ được xác đinh bởi p(x, y) = e|x−y|, ∀x, y ∈ X. Từ mỗi x ∈ X,Bp(x, ε) ⊂ Bd(x, ε), ε > 0. Suy ra rằng hàm p là τ -đối xứng trên X, ở đây τ là tôpô thông thường. Bp(x, ε) = {y ∈ X : p(x, y) < ε}, Bd(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}. 14 Ngoài ra, (X, p) không là không gian đối xứng vì p(1, 1) = 1. Chúng ta nhớ lại rằng, dãy {xn} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0. Khi đó ta viết xn → x. 3.4 Định nghĩa. Giả sử {xn} là dãy trong không gian τ - đối xứng với hàm τ - đối xứng d. Ta nói dãy {xn} là d - hội tụ tới x ∈ X nếu d(x, xn) → 0 khi n → ∞. Khi đó ta viết xn d−→ x. Mệnh đề sau nói lên mối quan hệ giữa tính d-hội tụ và tính hội tụ của một dãy trong không gian τ - đối xứng. 3.5 Mệnh đề. Giả sử {xn} là dãy trong không gian τ -đối xứng (X, τ) và x ∈ X. Khi đó, nếu xn d−→ x thì xn → x. Chứng minh. Giả sử lim n→∞ d(xn, x) = 0. ta cần chứng minh mọi lân cận U của X đều tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0. Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của x. Khi đó tồn tại tập mở V chứa x sao cho x ∈ V ⊂ U . Suy ra tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ V . Mặt khác, do lim n→∞ d(xn, x) = 0 nên với ε trên, tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn, x) < ε với mọi n ≥ n0, tức là xn ∈ B(x, ε) ⊂ V ⊂ U với mọi n ≥ n0. Điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng, tức là tồn tại dãy hội tụ trong không gian τ -đối xứng nhưng không d-hội tụ. Ví dụ sau chứng minh điều đó. 3.6 Ví dụ. Giả sử X = [0,∞) với τ là tôpô thông thường trên R. Ta xác định hàm d : X ×X → R với d(x, y) = e|x−y|. Khi đó d là τ -đối xứng trên X. Lấy dãy {xn} trong X sao cho xn → x ∈ X(theo tôpô thông thường). Ta có d(xn, x) = e |xn−x| → 1. 15 Do đó {xn} không là d-hội tụ tới x. Từ Ví dụ 3.6 có một câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào thì từ xn → x suy ra xn d−→ x. Mệnh đề sau trả lời câu hỏi này. 3.7 Mệnh đề. Giả sử (X, τ) là không gian với hàm d là τ -đối xứng trên X. Khi đó, với mỗi x ∈ X và với mỗi ε > 0, B(x, ε) là lân cận dãy của x khi và chỉ khi mỗi dãy hội tụ trong X là d - hội tụ. Chứng minh. Giả sử với mỗi x ∈ X, với mọi ε > 0, B(x, ε) là lân cận dãy của x và {xn} là dãy trong X, xn → x ∈ X. Ta cần chứng minh xn d−→ x. Với mỗi ε > 0,vì B(x, ε) là lân cận dãy của x nên tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ B(x, ε) với mọi n ≥ n0. Do đó d(xn, x) < ε,∀n ≥ n0. Từ đó suy ra lim n→∞ d(xn, x) = 0, tức là xn d−→ x. Ngược lại, giả sử với mỗi dãy hội tụ trong X là d - hội tụ nhưng tồn tại x ∈ X và ε > 0 sao cho B(x, ε) không là lân cậm dãy của x. Khi đó, tồn tại dãy xn trong X \ B(x, ε) và xn → x. Vì xn → x nên xn d−→ x. Do đó tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn, x) < ε, với mọi n ≥ n0, tức là xn ∈ B(x, ε) với mọi n ≥ n0. Từ đó suy ra B(x, ε) là lân cận dãy của X(Mâu thuẫn với giả thiết). Từ đó ta có điều phải chứng minh. Ta đã biết rằng, mỗi không gian đối xứng là τ -đối xứng (Nhận xét 3.2). Vấn đề được đặt ra ở đây là với điều kiện nào thì mỗi không gian τ -đối xứng là đối xứng? Để giải quyết vấn đề này ta cần bổ đề sau. 3.8 Bổ đề. Giả sử X là không gian dãy và T2. Khi đó X là không gian snf - đếm được khi và chỉ khi X là không gian gf - đếm được. Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên vì mỗi cở sở yếu là sn - lưới. Bây giờ ta chứng minh điều kiện cần. Giả sử X là snf - không gian đếm được. Khi đó X có một sn - lưới P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếm được với mỗi x ∈ X. Ta chỉ cần chứng minh P là cở sở yếu 16 trong X. Ta chỉ cần chứng minh A mở trong X khi và chỉ khi với x ∈ A tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A. Giả sử A mở trong X. Khi đó, với x ∈ A thì A là lân cận mở chứa x nên tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A. Ngược lại, giả sử A ⊂ X mà x ∈ A luôn tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A nhưng A không mở, tức là X \A không đóng. Khi đó tồn tại dãy {xn} ⊂ X \A sao cho xn → x mà x /∈ X \ A hay x ∈ A. Mặt khác theo giả thiết, tòn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A. Vì P là sn-lưới nên P là lân cận dãy của x. Do đó tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ P ⊂ A với mọi n ≥ n0. Điều này mâu thuẫn với {xn} ⊂ X \ A. Vậy A là mở trong X. 3.9 Định lý. Giả sử (X, τ) là không gian dãy và T2. Khi đó X là không gian đối xứng khi và chỉ khi X là τ -đối xứng và mỗi dãy hội tụ trong X là d-hội tụ. Chứng minh. Điều kiện cần được suy ra từ Nhận xét 3.2, Mệnh đề 2.10 và Mệnh đề 3.7. Điều kiện đủ: Giả sử X là không gian τ -đối xứng với hàm τ -đối xứng d sao cho mỗi dãy hội tụ trong X là d-hội tụ. Khi đó, với mỗi x ∈ X đặt Px = {B(x, 1 n ) : n = 1, 2, ...}. và đặt P = ∪x∈XPx. Rõ ràng P thoả mãn hai điều kiện 1),2) của định nghĩa sn-lưới. Theo Mệnh đề 3.7, mỗi B(x, 1 n ) là lân cận dãy của x. Do đó P là sn-lưới. Vì mỗi Px là đếm được nên X là snf -không gian đếm được. Vì X là không gian dãy và T2 nên theo Bổ đề 3.8, X là gf -không gian đếm được và P cũng chính là cơ sở yếu trong X. Bây giờ ta xác định hàm d′ : X×X → R 17 bởi công thức d′(x, y) =  0 nếu x = y inf { 1 inf{n : x ∈ B(y, 1 n )} , 1 inf{n : y ∈ B(x, 1 n )} } nếu x 6= y. Hiển nhiên d′(x, y) ≥ 0, d′(x, x) = 0 và d′(x, y) = d′(y, x) với mọi x, y ∈ X. Giả sử x 6= y.Vì X là T2-không gian nên tồn tại lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅. Do X là τ -đối xứng nên tồn tại B(x, 1 n ) và B(y, 1 m ) sao cho B(x, 1 n ) ⊂ U,B(y, 1 m ) ⊂ V. Vì thế B(x, 1 n ) ∩B(y, 1 m ) = ∅ và do đó ta có d′(x, y) > 0. Cho G là tập con của X. Giả sử G mở. Khi đó, với mỗi x ∈ G, vì P là cơ sở yếu nên tồn tại n0 ∈ N sao cho B(x, 1 n0 ) ⊂ G. Với mỗi y ∈ X \G ta có y /∈ B(x, 1 n0 ). Do đó inf {n : y /∈ B(x, 1 n )} ≤ n0, tức là 1 inf {n : y /∈ B(x, 1 n )} ≥ 1 n0 (1) Với mỗi z ∈ X và r > 0 đặt B′(z, r) = {t ∈ X : d′(z, t) < r}. Khi đó, tồn tại n ∈ N sao cho B′(x, 1 n ) ⊂ G. Thật vậy, giả sử B′(x, 1 n ) ⊂ G với mọi n > n0. Khi đó ta chọn được dãy {xn} với n > n0 sao cho xn ∈ B′(x, 1 n ) ∩ (X \G) ∀ n > n0. Vì xn ∈ X \G với mọi n > n0 nên theo (1) ta có 1 inf {j : xn /∈ B(x, 1 j )} ≥ 1 n0 > 1 n ∀ n > n0. 18 Do đó để d′(x, xn) < 1 n thì 1 inf {j : xn /∈ B(x, 1 j )} < 1 n ∀ n > n0. Từ đó suy ra x ∈ B(xn, 1 n )∀ n > n0. tức là d(x, xn) < 1 n với mọi n > n0. Do đó lim n→∞ d(xn, x) = 0. Hay xn d−→ x. Theo Mệnh đề 3.5, xn → x. Điều này mâu thuẫn với G là tập mở chứa x và xn ∈ X \G với n > n0. Do đó B′(x, 1 n ) ⊂ G với n ∈ N nào đó. Bây giờ giả sử với mỗi x ∈ G tồn tại B′(x, r) ⊂ G. Ta cần chứng tỏ G mở trong X. Chọn n ∈ N sao cho B′(x, 1 n ) ⊂ B′(x, r). Với mỗi y ∈ B(x, 1 n ta có inf {j : y /∈ B(y, 1 j )} > n Từ đó suy ra d′(x, y) < 1 inf {j : y /∈ B(y, 1 j )} < 1 n , tức là y ∈ B′(x, 1 n ). Do đó B(x, 1 n ) ⊂ B′(x, 1 n ) ⊂ B′(x, r) ⊂ G. Từ P là cơ sở yếu suy ra G là tập mở trong X. Như vậy hàm d′ thoả mãn Định nghĩa 2.1 và do đó X là không gian đối xứng. 19 3.10 Mệnh đề. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô với hàm τ -đối xứng d. Khi đó 1) Nếu (X, τ) là T1-không gian thì từ d(x, y) = 0 kéo theo x = y. 2) Nếu (X, τ) là T2-không gian thì từ dãy {xn} trong X mà lim d(xn, x) = lim d(xn, y) = 0 kéo theo x = y. Chứng minh. 1) Giả sử (X, τ) là T1-không gian, d(x, y) = 0 nhưng x 6= y. Khi đó từ (X, τ) là T1-không gian suy ra tồn tại τ -lân cận V của X sao cho y /∈ V . Vì V là τ -lân cận của x nên tồn tại Bd(x, ε) ⊂ V . Ta có d(x, y) ≥ ε > 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x = y. 2) Từ Mệnh đề 3.5, lim d(xn, x) = 0 và lim d(xn, y) = 0 kéo theo xn → x và xn → y. Do X là T2-không gian nên x = y. 3.11 Định lý. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô với hàm τ -đối xứng d trên nó và {xn} là một dãy trong X. Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu d(xn, xm) → 0 khi m và n → ∞, tức là với mọi ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn, xm) < ε với mọi n,m ≥ n0. Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Tập con Y được gọi là tập đầy đủ nếu {xn} là một dãy Cauchy trong Y thì xn → x ∈ Y . 3.12 Nhận xét. Mỗi tập con đóng của không gian τ -đối xứng, đầy đủ là tập đầy đủ. Chứng minh. Giả sử Y là tập con đóng của không gian τ -đối xứng, đầy đủ X và {yn} là một dãy Cauchy trong Y . Khi đó vì X đầy đủ nên yn → x ∈ X. Từ {yn} ⊂ Y và Y đóng suy ra x ∈ Y . Vậy Y là tập đầy đủ. 3.13 Định lý. Với không gian τ -đối xứng (X, τ) các điều kiện sau là tương đương. 20 1) Mọi dãy d-hội tụ đều là dãy Cauchy. 2) Nếu {xn}, {yn} là hai dãy trong X sao cho xn d−→ x, yn d−→ x ∈ X thì lim n→∞ d(xn, yn) = 0. Chứng minh. Giả sử điều kiện 1) được thoả mãn và {xn}, {yn} là hai dãy trong X sao cho xn d−→ x, yn d−→ x ∈ X. Với mỗi n = 1, 2, .., . đặt z2n−1 = xn, z2n = yn. Khi đó từ d(x, xn) → 0 và d(x, yn) → 0 suy ra lim n→∞ d(x, zn) → 0, tức là zn d−→ x. Theo điều kiện 1), {zn} là dãy Cauchy. Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho d(zn, zn+m) < ε với mọi n ≥ n0,m ∈ N. Từ đó suy ra d(xn, yn) = d(z2n−1, z2n) < ε với mọi n ≥ n0. Do đó lim n→∞ d(xn, yn) = 0. Ngược lại, giả sử điều kiện 2) được thoả mãn và {xn} là dãy d-hội tụ tới x ∈ X. Ta cần chứng minh {xn} là dãy Cauchy. Giả sử {xn} không là dãy Cauchy. Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N tồn tại mn > n và kn ∈ N thoả mãn d(xmn, xmn+kn) > ε. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết mn + kn < mn+1 với mọi n. Khi đó {xmn} và {xmn+kn} là hai dãy con của dãy {xn}. Từ d(x, xn) → 0 suy ra lim n→∞ d(x, xmn) = limn→∞ d(x, xmn+kn) = 0. Theo điều kiện 2) ta có lim n→∞ d(xmn, xmn+kn) = 0. Ta có một điều mâu thuẫn. Do đó {xn} là dãy Cauchy. Ta đã biết rằng, trong không gian mêtric đầy đủ mỗi dãy giảm các hình cầu đóng và đường kính của chúng dần tới 0 có điểm chung duy 21 nhất. Định lý sau cho thấy điều này cũng đúng trong không gian τ -đối xứng, đầy đủ. 3.14 Định lý. Giả sử (X, τ) là không gian τ -đối xứng, đầy đủ. Khi đó, nếu {An} là dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng của X sao cho lim n→∞ d(An) = 0, trong đó d(An) = sup {d(x, y) : x, y ∈ An}, thì các An có điểm chung. Hơn nữa, nếu thêm giả thiết X là T1-không gian thì điểm chung của các An là duy nhất. Chứng minh. Với mỗi n = 1, 2, ..., lấy xn ∈ An. Vì d(An) → 0 nến với mọi ε > 0 ắt tồn tại n0 ∈ N sao cho d(An) < ε với mọi n ≥ n0. Do đó với mọi n ≥ n0,m ∈ N, từ xn, xn+m ∈ An0 suy ra d(xn, xn+m) < ε. Như vậy {xn} là dãy Cauchy trong không gian đầy đủ. Vì thế xn → x ∈ X. Với mỗi n = 1, 2, ..., dãy {xn+k}k nằm trong An với mọi k, từ tính đóng của An suy ra xn+k → x ∈ An. Do đó x ∈ ∩∞n=1An. Giả sử tồn tại y ∈ ∩∞n=1An. Khi đó x và y thuộc An với mọi n. Do đó d(x, y) = 0. Vì X là T1-không gian nên theo Mệnh đề 3.10, x = y. Vậy ∩∞n=1An = {x}. 22 KẾT LUẬN Khoá luận đã đạt được các kết quả chính sau đây. -Dựa vào các tài liệu tham khảo trình bày lại khái niệm và một số tính chất của không gian đối xứng, sau đó xét mối quan hệ giữa không gian đối xứng và một số không gian tôpô đặc biệt khác. -Trình bày định nghĩa và ví dụ về không gian τ -đối xứng. -Đưa ra và chứng minh được một số tính chất của không gian τ -đối xứng, đó là Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.7, Bổ đề 3.8, Định lý 3.9, mệnh đề 3.10, Nhận xét 3.12, Định lý 3.13 và Định lý 3.14. Khoá luận có thể tiếp tục nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của các loại phủ đếm được theo điểm trong không gian τ -đối xứng như k-lưới, cs-lưới, cs∗-lưới,... 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Khánh Hưng, Không gian tôpô đối xứng, Khoá luận tốt nghiệp ĐH, ĐH Vinh, 2005. [2] M. Amri and D. El. Moutawakil, Normal structure and fixed points of nonexpansive maps in general topolagical spaces, Acta.Math. Academiae Paedagogicae Nyíregypháziensis , 18(2002), 71-76. [3] G. Grnenhage, Generalized metric spaces, in K. Kunen and Z.E. Vaughan, eds, Hanbook of Set-thoeretic Topology, North-Halland, (1984). [4] Dinh Huy Hoang and Le Khanh Hung, Symmetric space and point - countable covers, VNU. J. of science, Mathematics-Physics. XXII, No 3- 2006, 28-30. ._.