Không gian Atsuji (Bản 2)

ng xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian học tập. Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ và Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã liên hệ với giáo sư Tanvi Jain, Khoa toán - Học viện khoa học kỹ thuật Indian - Delhi, tác giả những bài báo mà chúng tôi trực tiếp dùng để nghiên cứu về đề tài “Không gian Atsuji”, giáo sư Tanvi đã cung cấp cho chúng tôi một số tài liệu bổ ích và tận tình giải đáp thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm ơn giáo sư Tanvi Jain. Tôi cũng xin cảm ơn giáo sư Lubica Hola, Viện khoa học - Toán học Stefánikova – Slovakia, đã cung cấp cho tôi những tài liệu liên quan về không gian Atsuji bị chặn. Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học tập, trao đổi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2009 Tác giả Phan Hồng Hải MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm liên tục và liên tục đều của hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của giải tích cổ điển cũng như giải tích hiện đại. Khái niệm liên tục đều được giới thiệu đầu tiên cho các hàm số trên không gian Euclide bởi Eduard Heine vào năm 1870. Trong giải tích, chúng ta biết rằng mọi hàm liên tục từ một không gian mêtric compact vào một không gian mêtric bất kỳ thì liên tục đều. Nhưng tính compact thật sự không cần thiết bởi vì mọi hàm số liên tục từ một không gian mêtric rời rạc ( , )X d vào một không gian mêtric bất kỳ thì liên tục đều, với d là mêtric cho bởi: 1 , ( , ) ; , 0 , x y d x y x y X x y      Vấn đề chúng tôi muốn nêu ra ở đây là không gian mêtric ( , )X d phải thỏa điều kiện gì để một hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , )X d là liên tục đều. Những không gian mêtric như thế có lẽ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Juniti Nagata vào khoảng năm 1950 trong “On the uniform topology of bicompactifications”. Năm 1951, A.A. Monteiro và M.M. Peixoto đưa ra 4 điều kiện tương đương của không gian mêtric loại này. Đặc biệt, họ đã chứng minh được rằng mọi hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , )X d là liên tục đều khi và chỉ khi mọi phủ mở của X có một số Lebesgue. Vì vậy, các không gian như thế, lúc bấy giờ, được gọi là không gian Lebesgue. Năm 1958, một vài điều kiện tương đương mới cho không gian loại này được đưa ra bởi Masahiko Atsuji. Trong bài báo “Metric spaces on which continuous and Hausdorff distance”,(1985), Gerald Beer gọi những không gian này là không gian Atsuji. Từ đây các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu về không gian loại này và đưa thêm điều kiện để một không gian mêtric trở thành không gian Atsuji. Như trong “On normal metrics”, Amer. Math. Monthy 72 (1965), tác giả S.G. Mrowka đã chứng minh rằng mọi hàm thực liên tục trên không gian mêtric ( , )X d là liên tục đều nếu và chỉ nếu với bất kỳ hai tập con đóng khác rỗng ,A B rời nhau của X thì ( , ) 0d A B  . Năm 2006, S. Kundu và Tainvi Jain đã trình bày, hệ thống lại 25 điều kiện tương đương để một không gian mêtric trở thành không gian Atsuji. Năm 2007, S. Kundu và Tainvi Jain lại tiếp tục trình bày về một lớp không gian mới liên quan đến không gian Atsuji. Đó là không gian Atsuji bị chặn hay không gian UC bị chặn. Hai ông cũng đã đưa ra một vấn đề thú vị, đó là tính bảo toàn của không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn qua phép đồng phôi. Như vậy, việc nghiên cứu về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn là một trong những đề tài thu hút nhiều sự chú ý của các nhà toán học. Chính vì tính chất thời sự của vấn đề nên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là trình bày lại một cách hệ thống về không gian Atsuji, không gian Atsuji bị chặn. Đề tài của chúng tôi có tên là “Không gian Atsuji”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu kĩ hơn về không gian Atsuji. Trình bày một cách đầy đủ các điều kiện tương đương cho một không gian Atsuji, không gian Atsuji bị chặn và tính bảo toàn của loại không gian này qua phép đồng phôi. 3. Đối tượng nghiên cứu Không gian mêtric. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đây là cơ sở để nghiên cứu sâu hơn về không gian Atsuji, đó là: sự mở rộng Atsuji của một không gian mêtric, sự mở rộng Atsuji trên siêu không gian tôpô, … 5. Cấu trúc luận văn Về nội dung, đề tài sẽ bao gồm: lời mở đầu, 3 chương và phần kết luận. 1. Lời mở đầu: Nêu xuất xứ đề tài, giới hạn phạm vi và phương pháp nghiên cứu đề tài. 2. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương. Gồm các vấn đề về không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric compact, không gian chuẩn tắc, không gian đều, hàm số liên tục và liên tục đều,…. 3. Chương 2: Trình bày về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn. 4. Chương 3: Trình bày về sự bảo toàn của không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn qua phép đồng phôi. 5. Phần kết luận: Nêu nhận xét về các vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu mở rộng. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu. Để trích dẫn một kết quả chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc, chẳng hạn, xem [9, theorem 1, p. 92] nghĩa là xem định lý 1 trong tài liệu số 9 (trong Tài liệu tham khảo), trang 92. Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian mêtric và dãy hội tụ trong không gian mêtric 1.1.1. Không gian mêtric 1.1.1.1. Định nghĩa Cho X là một tập. Một hàm 2:d X   là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) ( , ) 0, ,d x y x y X   ( , ) 0d x y x y   (tiên đề đồng nhất) 2) ( , ) ( , ), ,d x y d y x x y X   (tiên đề đối xứng) 3) ( , ) ( , ) ( , ), , ,d x z d x y d y z x y z X    (tiên đề tam giác) Tập hợp X cùng với mêtric d trên X được gọi là không gian mêtric ( , )X d . Nếu ( , )X d là không gian mêtric thì mỗi x X gọi là một điểm. Với mọi ,x y X ta gọi ( , )d x y là khoảng cách giữa x và y . 1.1.1.2. Ví dụ a) Tập hợp các số thực  và tập hợp các số phức  là những không gian mêtric với mêtric ( , ) ; , d x y x y x y   (hoặc  ). b) Không gian Euclide k là không gian mêtric với mêtric d xác định như sau: Nếu 1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., )k kx x x x y y y y  là hai phần tử thuộc k thì 1 2 2 1 ( , ) ( ) k i i i d x y x y    Rõ ràng:  ( , ) 0, , kd x y x y   và ( , ) 0d x y x y    ( , ) ( , ), ,d x y d y x x y X   Ta kiểm tra tiên đề tam giác. Với 1 2 1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., ), ( , ,..., )k k kx x x x y y y y z z z z   là các phần tử thuộc k . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có: 22 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 ( , ) ( ) = 2 . 2( ) .( ) =(( ) ( ) k k i i i i i i i i k k k i i i i i i i i i i i k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i d x z x z x y y z x y x y y z y z x y x y y z y z x y y z                                           1 22 1 2 ) =( ( , ) ( , )) k i d x y d y z    Suy ra ( , ) ( , ) ( , ), , ,d x z d x y d y z x y z X    Vậy d thật sự là một mêtric trên k . * Mêtric d được gọi là mêtric Euclide trên k . c) Cho X là một tập bất kỳ, với mọi ,x y X , đặt 1 , ( , ) 0 , x y d x y x y     là một mêtric trên X , ta gọi là mêtric rời rạc trên X . Hiển nhiên d thoả mãn điều kiện 1), 2) của định nghĩa mêtric. Ta kiểm tra điều kiện 3). Với mọi , ,x y z X , nếu x z thì hiển nhiên ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z  Nếu x z thì y x hoặc y z nên ta cũng có ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z  . Vậy d là một mêtric trên X , ta gọi là mêtric rời rạc trên X . 1.1.1.3. Không gian mêtric con Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A là một tập con của X . Với mọi ,x y A ta đặt ( , ) ( , )Ad x y d x y . Khi đó Ad là một mêtric trên A ; mêtric Ad được gọi là mêtric cảm sinh của mêtric d trên A . Tập A cùng với mêtric Ad được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric ( , )X d . 1.1.2. Dãy hội tụ 1.1.2.1. Định nghĩa Cho (X,d) là một không gian mêtric. Dãy { }nx những phần tử trong (X,d) được gọi là hội tụ đến phần tử 0x của X nếu 0lim ( , ) 0nd x x  Kí hiệu: 0lim n n x x   hoặc 0lim nx x hoặc 0nx x Nếu 0lim nx x thì 0x được gọi là giới hạn của dãy { }nx . Nếu 0nx x thì mọi dãy con { }knx của { }nx cũng hội tụ 0x . Nếu { }nx không hội tụ đến 0x thì ta ghi nx  0x . 1.1.2.2. Ví dụ a) Sự hội tụ trên đường thẳng thực là sự hội tụ của dãy số theo nghĩa thông thường của giải tích cổ điển, nghĩa là 0 0lim lim 0n nx x x x    b) Trong không gian k , giả sử cho dãy { }nx , ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) 1 2 0 1 2( , ,..., ), ( , ,..., ) n n n n k kx x x x x x x x  , ta có 1 2 2 0 1 ( ) (0) lim lim( ) 0 lim , 1, k n i i i n i i x x x y x x i n          Vì vậy, người ta nói sự hội tụ trong k là sự hội tụ theo toạ độ. 1.2. Tập mở. Tập đóng 1.2.1. Tập mở 1.2.1.1. Hình cầu mở Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric, 0x X và r là một số dương. Tập hợp 0 0( , ) { / ( , ) }B x r x X d x x r   gọi là hình cầu mở tâm 0x bán kính r hay r - lân cận của 0x . 1.2.1.2. Tập mở Cho ( , )X d là một không gian mêtric và tập A chứa trong X. Tập A được gọi là mở nếu với mọi x A đều tồn tại 0r  sao cho ( , )B x r A . Nhận xét: Hình cầu mở là tập mở. 1.2.1.3. Định lý 1.1 Trong họ các tập con của không gian mêtric X, ta có: a) ,X  là tập mở. b) Hợp tuỳ ý các tập mở là mở. c) Giao hữu hạn tập mở là mở. 1.2.1.4. Phần trong của một tập hợp Giả sử A là tập con của không gian mêtric X. Hợp tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập A. Kí hiệu: IntA hoặc 0A Phần trong của một tập hợp có thể là tập rỗng. Theo định nghĩa ta có kết quả sau: 1) Phần trong của tập A là tập mở lớn nhất chứa trong A. 2) A là mở  IntA A 3) Nếu A B thì IntA IntB 1.2.2. Tập hợp đóng 1.2.2.1. Định nghĩa tập đóng Tập hợp con A của không gian mêtric ( , )X d được gọi là tập đóng nếu phần bù \ A X AC  là tập mở. 1.2.2.2. Định lý 1.2 Trong họ các tập con của không gian mêtric X, ta có: a) ,X  là tập đóng. b) Giao tùy ý các tập đóng là đóng. c) Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng. 1.2.2.3. Định lý 1.3 Tập hợp con F của một không gian mêtric X là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy bất kỳ { }nx các phần tử của F nếu 0lim nx x X  thì 0x F Chứng minh: ( ) Giả sử F là đóng,{ }nx F , 0lim nx x và 0x F . Vì X\F là tập mở nên tồn tại hình cầu mở 0( , ) \B x X F  . Lại vì 0lim nx x nên với mọi 0  tồn tại 0n  sao cho 0( , )nd x x  với mọi 0n n . Từ đó suy ra với n đủ lớn thì 0( , ) \nx B x X F  . Điều này mâu thuẫn với giả thiết { }nx F . Vậy 0x F . ( ) Giả sử với một dãy bất kỳ { }nx F nếu 0lim nx x X  thì 0x F . Ta chứng minh F đóng. Giả sử F không đóng, khi đó X\F không là tập mở. Do đó, tồn tại ít nhất một điểm 0 \x X F sao cho với mọi n , 0 1 ( , )B x n không chứa trong X\F. Ta chọn được dãy { }nx F và 0lim nx x F  . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy F đóng. 1.2.2.4. Bao đóng của một tập hợp Định nghĩa Giả sử A là tập con của một không gian mêtric X. Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của tập hợp A. Kí hiệu: ClA hoặc A . Vì X chứa A nên bao đóng của một tập hợp luôn tồn tại. Ta cũng có: 1) A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. 2) A đóng  A A . 3) Nếu A B thì A B . Định lý 1.4 Cho ( , )X d là một không gian mêtric, A X và a X . Khi đó các khẳng định sau là tương đương. 1) a A 2) ( , ) , 0B a A      3) Tồn tại dãy { }nx A và nx a Chứng minh: 1) 2) : Giả sử tồn tại 0 0  sao cho 0( , )B a A    thì 0\ ( , )X B a  là tập đóng chứa A nhưng không chứa a, suy ra a A . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy có 2). 2) 3) : Với mọi n ta có 1 ( , )B a A n    , chọn 1 ( , )nx B a A n   . Ta thu được dãy { }nx A và 1 ( , )nd x a n  . Suy ra lim nx a . 3) 1) : Giả sử có dãy { }nx A và lim nx a nhưng a A . Khi đó \a X A là tập mở nên tồn tại 0  sao cho ( , ) \B a X A  . Vậy ( , )nx B a  với mọi n và ( , )nd x a  . Mâu thuẫn với giả thiết lim nx a . Vậy a A . 1.3. Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi 1.3.1. Ánh xạ liên tục 1.3.1.1. Định nghĩa Cho hai không gian mêtric ( , )X d và ( , )Y  . Một ánh xạ :f X Y được gọi là liên tục tại 0x X nếu với mọi 0  tồn tại 0  sao cho với mọi x X , 0( , )d x x  thì 0( ( ), ( ))f x f x  . Như vậy, f liên tục tại 0x nếu với mọi 0  tồn tại 0  sao cho 0 0( ( , )) ( ( ), )f B x B f x  hay một cách tương đương 1 0 0( ( ( ), )) ( , )f B f x B x    . Ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x X . 1.3.1.2. Ánh xạ liên tục đều Một ánh xạ :f X Y được gọi là liên tục đều trên X nếu với mọi 0  tồn tại 0  sao cho với mọi 1 2,x x X , 1 2( , )d x x  thì 1 2( ( ), ( ))f x f x  . Như vậy, một ánh xạ liên tục đều thì liên tục còn ngược lại nói chung không đúng. Định lý 1.5 Ánh xạ :f X Y liên tục tại x X nếu và chỉ nếu mọi dãy { } , limn nx x x  đều có lim ( ) ( )nf x f x . Định lý 1.6 Cho ánh xạ :f X Y . Các điều kiện sau là tương đương. a) f liên tục trên X. b) 1( )f G là tập mở của X, với mọi tập mở G của Y. c) 1( )f F là tập đóng của X, với mọi tập đóng F của Y. Định lý 1.7 Cho , ,X Y Z là ba không gian mêtric. Các ánh xạ :f X Y , :g Y Z là liên tục. Khi đó :g f X Z là liên tục. 1.3.2. Đường Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một hàm số liên tục  : 0;1f X sao cho (0) (1)f f gọi là một đường trong X. Khi đó, ta nói không gian (X,d) chứa một đường. 1.3.3. Phép đồng phôi Cho X, Y là hai không gian mêtric, ánh xạ :f X Y là song ánh. f được gọi là phép đồng phôi nếu f và 1f  liên tục. Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại phép đồng phôi :f X Y . Hai mêtric d và  trên X được gọi là tương đương với nhau nếu ánh xạ đồng nhất : ( , ) ( , )XI X d Y  là phép đồng phôi. Nếu d và  là hai mêtric tương đương với nhau thì : 1) Tập con A là mở trong ( , )X d  A là mở trong ( , )Y  . 2) { }nx là hội tụ trong ( , )X d  { }nx là hội tụ trong ( , )Y  . 1.4. Không gian mêtric đầy đủ Dãy cơ bản hay dãy Cô-si (Cauchy) Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một dãy { }nx trong X được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cô–si nếu với mọi 0  tồn tại 0n  sao cho với 0,n m n thì ( , )n md x x  . Dãy giả Cô-si: Một dãy { }nx trong không gian mêtric (X,d) được gọi là giả Cô-si nếu ( 0, , , : ( ) ( , )) ( , )j kn j k j k j k n d x x             . Trong một không gian mêtric, mọi dãy hội tụ là dãy Cô-si. Điều ngược lại nói chung không đúng. Một không gian mêtric là đầy đủ nếu mọi dãy Cô-si đều hội tụ. Cho X là không gian mêtric và A tà tập con của X. Nếu A là tập con đóng thì A cùng với mêtric cảm sinh gọi là không gian con đóng của X. Nếu A cùng với mêtric cảm sinh là không gian mêtric đầy đủ thì A gọi là tập con đầy đủ của X. 1.5. Không gian mêtric compact 1.5.1. Tập compact. Tập bị chặn 1.5.1.1. Tập compact Định nghĩa: Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập compact nếu mọi dãy { }nx A đều có dãy con { } kn x hội tụ đến một điểm thuộc A. Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập compact tương đối nếu A là compact. Ví dụ: a) Với mọi , ,a b a b  thì  ;a b là compact,  ;a b là compact tương đối;  ;a b  là compact tương đối. b)  là không compact vì dãy { }nx   với ,nx n n  không có dãy con hội tụ. 1.5.1.2. Tập bị chặn Tập con A của không gian mêtric X gọi là bị chặn nếu đường kính ( ) sup{ ( , ) : , }d A d x y x y A    Tập con A của không gian mêtric X gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi 0  tồn tại hữu hạn điểm 1 2, ,..., nx x x X sao cho 1 ( , ) n i i A B x    . Một tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn. 1.5.1.3. Tập compact bị chặn Một tập con A của không gian mêtric ( , )X d được gọi là tập compact bị chặn nếu mọi tập con đóng và bị chặn của A đều là tập compact. Định lý 1.8 Cho A là một tập con của không gian mêtric ( , )X d . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: a) A là compact bị chặn trong X . b) Mọi tập con (vô hạn) bị chặn của A có điểm tụ trong A . c) Mọi dãy bị chặn trong A có dãy con hội tụ đến một điểm trong A . Mệnh đề 1.9 Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A , B là hai tập con đóng khác rỗng rời nhau của X thỏa mãn A là compact bị chặn và B là bị chặn. Khi đó, ( , ) 0d A B  . 1.5.2. Phủ của một tập hợp Một họ { } IV  các tập con của không gian mêtric X được gọi là một phủ của tập con A của X nếu I A V   . Nếu mọi V đều mở thì { } IV  được gọi là phủ mở của A. Nếu { } IV  là một phủ của A thì ta còn nói A bị phủ bởi họ { } IV  . Cho { } IV  là một phủ của A. Nếu có J I mà { } JV  cũng là một phủ của A thì { } JV  được gọi là phủ con của phủ { } IV  . Nếu J là hữu hạn thì { } JV  được gọi là phủ con hữu hạn. Định lý 1.10 Cho X là một không gian mêtric. Với mọi tập con A của X, các điều kiện sau là tương đương. a) A là compact. b) A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn. c) Mọi phủ { } IV  của A đều có phủ con hữu hạn. Chứng minh: xem [1, đl 11, p.45-46] Hệ quả 1.11 Trong không gian mêtric ta có: a) Tập con compact là đóng và đầy đủ. b) Tập con đóng của một tập compact là compact. c) Tập con bất kỳ của một tập compact là compact tương đối. 1.5.3. Hàm số liên tục trên tập compact 1.5.3.1. Định lý 1.12 Hàm số f liên tục trên tập compact K thì liên tục đều trên K. Chứng minh: Giả sử f liên tục trên K nhưng không liên tục đều. Khi đó tồn tại 0 0  sao cho với mọi n tồn tại ,n nx y K thỏa mãn 1 ( , )n nd x y n  nhưng 0( ) ( )n nf x f y   . Do K là tập compact nên dãy { }nx có dãy con { }knx hội tụ đến a K Với mọi k ta có 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 k k k k kn n n n n k d y a d y x d x a d x a n      nên ta cũng có { } kn y hội tụ đến a . Vì f liên tục và , k kn n x a y a  nên ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k kn n f x f y f a f a    . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy f phải liên tục đều. Hệ quả 1.13 Cho hàm : ( , ) ( , )f X d Y  là liên tục. Nếu ( , )X d là compact thì f là hàm liên tục đều. 1.5.3.2. Định lý 1.14 Cho ánh xạ :f X Y liên tục và K là tập con compact của X . Khi đó, ( )f K là compact trong Y . Chứng minh: xem [1, đl 15, p.49] 1.6. Không gian chuẩn tắc Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho ,A U B V  và U V  . 1.6.1. Bổ đề 1.15 (Bổ đề Urysohn) Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó tồn tại hàm liên tục  f : X 0,1 sao cho  f x 0 với mọi x A và  f x 1 với mọi x B . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh mọi số hữu tỉ dạng  .2 0,1nr k   , tồn tại một tập mở rU sao cho \ , , r r s A U X B U U r s    Thật vậy, đặt 1 \U X B . Gọi V và W là các tập mở rời nhau sao cho A V và B W . Đặt 1/ 2 U V . Vì X\W đóng nên ta có: 1/ 2 1/2 1 \ \A U U X W X B U     Bây giờ ta xây dựng r U với .2 nr k  bằng qui nạp theo n. Giả sử đã chọn được rU với .2 nr k  , 0 2 , 1 1nk n N     Ta sẽ xây dựng r U với   12 1 2 ,0 2N Nr j j     (với 1 ( 1)0 2 , 2 2 2N N Nj r j j       , r U đã có theo giả thiết qui nạp). Ta có 12 NjU  và   11 2\ NjX U  là hai tập đóng rời nhau (ở đây đặt 0 U A ), nên tương tự như trên, chọn được r U sao cho  1 12 1 2N Nj jr rU U U U    Vậy ta có họ các r U có tính chất đặt ra. Đặt r U X với mọi 1r  và xác định hàm    / rf x inf r x U  Vì \ r A U X B  với 0 1r  nên   0f x  với mọi x A ,   1f x  với mọi x B và  0 1f x  với mọi x X . Với mọi  0,1  , do các giá trị .2 , 0 2n nr k k   trù mật trong  0,1 nên   rf x x U   với r nào đó, r  r r x U      rf x x U   với r nào đó, r  s x U  với s nào đó, s   \ s s x X U     Vì vậy   1 , r r f U       và     1 , \ s s f X U       là mở. Từ đó f liên tục. 1.6.2. Định lý 1.17 (Định lý Tietze-Urysohn) Cho X là không gian chuẩn tắc, A là tập con đóng của X. Khi đó mọi hàm liên tục  : ,f A a b đều tồn tại một hàm liên tục  : ,F X a b sao cho F A f  . Chứng minh: xem [1, đl 18, p.77-78] Hệ quả 1.18 Cho hàm f liên tục trên tập con đóng A của một không gian chuẩn tắc X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục F trên X sao cho F A f  . 1.7. Không gian đều 1.7.1. Định nghĩa (theo N. Bourbaki) Cho X là một tập khác rỗng và  là họ các tập con của X X . Cặp ( , )X  được gọi là không gian đều nếu các điều kiện sau thỏa mãn: i) ( , ) ,U x x U x X    ii) Nếu U  và U V X X   thì V  iii) Nếu ,U V  thì U V  iv) Nếu U  thì tồn tại V  sao cho khi ( , ), ( , )x y y z V thì ( , )x z U v) Nếu U  thì 1 {( , ) : ( , ) }U y x x y U    Họ  gọi là cấu trúc đều hay cái đều trên X , mỗi phần tử của  gọi là lân cận. Chú ý: Cho U  thì hợp thành của U là {( , ) : ( , ( , ) ( , ) )}U U x y z X x z U z y U      Nếu ( , )X  là không gian đều và U  thì ta viết   { : ( , ) }xU y X x y U   Mỗi không gian đều có cấu trúc tôpô tự nhiên (được gọi là tôpô đều) trên nó. Chúng ta nói rằng O X là mở nếu và chỉ nếu với mỗi x O tồn tại U  sao cho  xU O . Vì vậy, một họ các lân cận (không nhất thiết mở) trong X được cho bởi  { / ; }xU x X U  . Cấu trúc đều trên không gian mêtric ( , )X d có thể thu được bằng cách đòi hỏi H là một lân cận nếu và chỉ nếu với 0  đã cho, ( , )x y H nếu ( , )d x y  . 1.7.2. Định nghĩa Cho ( , )X  và ( , )Y  là hai không gian đều. Hàm :f X Y thỏa mãn: với K  tồn tại H  sao cho nếu ( , ) ( ( ), ( ))a b H f a f b K   . Khi đó f là liên tục đều từ X lên Y . 1.7.3. Định lý 1.18 Ánh xạ : ( , ) ( , )f X d Y  là liên tục đều khi và chỉ khi : ( , ) ( , )df X Y   là liên tục đều, với d và  là hai cấu trúc đều sinh ra bởi d và  . 1.7.4. Định lý 1.19 Hàm liên tục đều giữa hai không gian đều là liên tục trên không gian tôpô, với tôpô được sinh ra bởi cấu trúc đều. 1.7.5. Định nghĩa Nếu  và  là hai cấu trúc đều trên X và   thì ta nói  yếu (thô) hơn  hay  mạnh (mịn) hơn  . 1.7.6. Định lý 1.20 Nếu ( , )X  là một không gian tôpô thì tồn tại một cấu trúc đều mịn nhất cảm sinh ra  . Cái đều mịn nhất trong định lý 1.20 được gọi là cái đều mịn. X cùng với cái đều mịn được gọi là không gian đều mịn. 1.7.7. Định lý 1.21 Mọi hàm liên tục từ không gian mịn vào không gian đều là liên tục đều. 1.8. Không gian rời rạc Một tập con A của không gian mêtric (X,d) được gọi là tập rời rạc nếu với mọi x A tồn tại 0  sao cho ( , ) , \{ }d x y y A x   . Nghĩa là ( , )A B x    . Tập A được gọi là rời rạc đều nếu  không phụ thuộc vào x. Nghĩa là tồn tại 0  sao cho ( , ) ; , ,d x y x y A y x    . Không gian mêtric ( , )X d được gọi là rời rạc đều nếu bản thân X là rời rạc đều. Chú ý: Trong một không gian mêtric ( , )X d , bao đóng B của tập con rời rạc B X là rời rạc nếu và chỉ nếu B B , trong khi đó một tập con rời rạc đều của X là luôn đóng. 1.9. Số Lebesgue 1.9.1. Định nghĩa Cho không gian mêtric ( , )X d , A X và một số dương  .  là một phủ mở của A . Giả sử rằng với mọi x A ta có ( , )B x U  với U  . Nghĩa là { ( , )}x XB x   là một sự làm mịn của  . Khi đó, số  được gọi là số Lebesgue của A với phủ mở  . Nếu A  thì  - quả cầu ( , )B A  của A được định nghĩa là: ( , ) { : ( , ) } ( , ) x A B A x X d x A B x        Nếu A  thì ( , )B A   . 1.9.2. Định lý 1.22 Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A là tập con khác rỗng của X sao cho A là compact trong X . Khi đó các khẳng định sau là đúng: a) Mọi phủ của A đều có một số Lebesgue. b) Nếu A B   thì ( , ) 0d A B  . c) Với mọi tập mở U chứa A tồn tại một số 0  sao cho ( , )A B A U  . 1.10. Khái niệm hai dãy tiệm cận 1.10.1. Định nghĩa Hai dãy { }nx và { }ny trong không gian mêtric ( , )X d được gọi là tiệm cận nhau nếu với mọi 0  tồn tại N  sao cho với mọi n N thì ( , )n nd x y  . Kí hiệu: { } { }n nx y . 1.10.2. Bổ đề 1.23 (Bổ đề Efremovic) Cho ( , )X d là một không gian mêtric và một số dương  . Giả sử {( , )}n nx y là một dãy trong không gian tích X X thỏa mãn ( , ) ,n nd x y n   . Khi đó tồn tại dãy con {( , )}k kn nx y sao cho ( , ) , , 4k l n nd x y k l     . 1.10.3. Định lý 1.24 Cho hàm : ( , ) ( , )f X d Y  giữa hai không gian mêtric ,X Y . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: i) f liên tục đều. ii) f bảo toàn các dãy tiệm cận. Nghĩa là nếu { }nx và { }nz là hai dãy tiệm cận trong X thì { ( )}nf x và { ( )}nf z là hai dãy tiệm cận trong Y . iii) Với mỗi cặp hai tập con khác rỗng A và B của X sao cho ( , ) 0d A B  thì ( ( ), ( ) 0f A f B  . Chứng minh: i)  ii): Ta có f liên tục đều và { }nx ,{ }nz là hai dãy tiệm cận trong X . Do f liên tục đều nên với mọi 0  tồn tại 0  sao cho nếu ( , )d x y  thì ( ( ), ( ))f x f y  . Vì { } { }n nx z nên tồn tại N  sao cho ( , )n nd x z  với mọi n N . Suy ra với mọi 0  tồn tại N  sao cho với mọi n N thì ( ( ), ( ))n nf x f z  . Vậy { ( )}nf x và { ( )}nf z là hai dãy tiệm cận trong Y . ii)  iii): Vì ( , ) 0d A B  nên với mọi n tồn tại nx A và nz B sao cho 1 ( , )n nd x z n  . Ta thu được hai dãy { }nx A và { }nz B là hai dãy tiệm cận trong X . Theo ii) thì { ( )} { ( )}n nf x f z . Suy ra ( ( ), ( ) 0f A f B  . iii)  i): Giả sử f không liên tục đều. Do đó tồn tại 0  sao cho với mọi 0  tồn tại x và z thuộc X thỏa mãn ( , )d x z   nhưng ( ( ), ( ))f x f z   . Đặt 1 , n n     . Ta thu được hai dãy { }nx , { }nz và { } { }n nx z vì 1 ( , ) ,n nd x z n n    nhưng ( ( ), ( ))n nf x f z  . Theo bổ đề Efremovic, tồn tại hai dãy con { ( )}, { ( )}k kn nf x f z trong Y Y sao cho ( ( ), ( )) , , 4k l n nf x f z k l      . Bây giờ đặt { : } kn A x k  và { : } kn B z k  thì ( , ) 0d A B  nhưng ( ( ), ( ) 0 4 f A f B     (mâu thuẫn). Vậy f liên tục đều. 1.11. Điểm tụ Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A X . Điểm x X được gọi là điểm tụ của A nếu với mọi 0  đều có ( , ) ( \{ })B x A x    . Tập các điểm tụ của A kí hiệu là A . Ta có các kết quả sau: a) ' \{ }x A x A x   b) ' { } \{ }:n nx A x A x x x     c) A đóng  'A A d) A là tập đóng. Định lý 1.25 Cho không gian mêtric ( , )X d và tập A X . Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: i) A là tập compact. ii) Mọi tập con (vô hạn) của A đều có một điểm tụ trong A . iii) Mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A . 1.12. Điểm cô lập Cho ( , )X d là một không gian mêtric ,điểm x X được gọi là điểm cô lập nếu tồn tại 0  sao cho ( , ) { }B x x  . Độ cô lập của một điểm trong không gian mêtric (X,d): Cho ( , )X d là một không gian mêtric và điểm x X . Độ cô lập của x được kí hiệu là ( )I x . ( ) ( , \{ }) inf{ ( , ) : \{ }}I x d x X x d x y y X x   Nếu x là điểm cô lập trong X thì ( ) sup{ 0 : ( , ) { }}I x r B x r x   . Do đó, nếu x không là điểm cô lập thì ( ) 0I x  . Trong định nghĩa trên nếu x A X  thì ta kí hiệu ( ) ( , \{ })AI x d x A x . Chú ý : Nếu 0x A với A X thì tồn tại 0xr  sao cho ( ) ( ) ( )x A Ar I x I x I x  . Dãy từng cặp điểm cô lập Một dãy { }nx gồm các điểm cô lập khác nhau trong không gian mêtric (X,d) được gọi là dãy từng cặp điểm cô lập nếu 2 1 2lim( , ) 0n n n x x   . Chương 2. KHÔNG GIAN ATSUJI Bây giờ chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn này, đó là nghiên cứu về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn hay nói cách khác ta tìm hiểu về các điều kiện tương đương cho một không gian Atsuji hay không gian Atsuji bị chặn. Trước tiên, ta tìm hiểu về không gian Atsuji. 2.1. Không gian Atsuji 2.1.1 Định nghĩa 2.1 Một không gian mêtric ( , )X d được gọi là không gian Atsuji hay không gian UC nếu mọi hàm số liên tục trên ( , )X d là liên tục đều. 2.1.2 Định lý 2.2 Nếu không gian mêtric ( , )X d là không gian Atsuji thì ( , )X d là đầy đủ và tập các điểm tụ, 'X , của X là compact trong ( , )X d . Chứng minh: *) Trước tiên, ta chứng minh ( , )X d là đầy đủ. Giả sử ( , )X d không đầy đủ. Khi đó tồn tại dãy Cô-si { }nx gồm các điểm phân biệt trong X nhưng không hội tụ trong X . Xét { : }nA x n  thì A là đóng và rời rạc trong X . Ta định nghĩa hàm : ( ) ,n n f A x f x n n        Vì A là rời rạc nên f là liên tục. Theo định lý thác triển Tietze, f có thể mở rộng thành một hàm liên tục trên X , ta kí hiệu là f . Nhưng f không liên tục đều vì { }nx là dãy Cauchy trong X nhưng { ( )}nf x không là dãy Cauchy trong  . Ta gặp mâu thuẫn vì f liên tục trên không gian Atsuji ( , )X d thì f phải liên tục đều. Vậy ( , )X d là đầy đủ. *) Ta chứng minh 'X là compact. Muốn vậy, ta chứng minh mọi dãy trong 'X đều có dãy con hội tụ trong 'X , vì 'X là đóng. Giả sử tồn tại dãy { } 'nx X nhưng { }nx không có dãy con hội tụ. Tất nhiên ta có thể giả thiết rằng n mx x với n m . Đặt { : }n mZ x m n  thì nZ là đóng trong X . Khi đó ( , ) 0,n._.