Không gian ATSUJI
Tài liệu Không gian ATSUJI: ... Ebook Không gian ATSUJI
Tóm tắt tài liệu Không gian ATSUJI, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phan Hồng Hải
KHÔNG GIAN ATSUJI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phan Hồng Hải
KHÔNG GIAN ATSUJI
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số : 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN HÀ THANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Hà Thanh.
Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tôi những
kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã giảng dạy chúng tôi trong
suốt thời gian học tập. Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ và
Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn.
Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã liên hệ với giáo sư Tanvi
Jain, Khoa toán - Học viện khoa học kỹ thuật Indian - Delhi, tác giả những bài
báo mà chúng tôi trực tiếp dùng để nghiên cứu về đề tài “Không gian Atsuji”,
giáo sư Tanvi đã cung cấp cho chúng tôi một số tài liệu bổ ích và tận tình giải
đáp thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm ơn giáo sư Tanvi Jain.
Tôi cũng xin cảm ơn giáo sư Lubica Hola, Viện khoa học - Toán học
Stefánikova – Slovakia, đã cung cấp cho tôi những tài liệu liên quan về không
gian Atsuji bị chặn.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và
tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học tập,
trao đổi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2009
Tác giả
Phan Hồng Hải
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm liên tục và liên tục đều của hàm số là một trong những khái
niệm cơ bản của giải tích cổ điển cũng như giải tích hiện đại. Khái niệm liên
tục đều được giới thiệu đầu tiên cho các hàm số trên không gian Euclide bởi
Eduard Heine vào năm 1870. Trong giải tích, chúng ta biết rằng mọi hàm liên
tục từ một không gian mêtric compact vào một không gian mêtric bất kỳ thì
liên tục đều. Nhưng tính compact thật sự không cần thiết bởi vì mọi hàm số
liên tục từ một không gian mêtric rời rạc ( , )X d vào một không gian mêtric
bất kỳ thì liên tục đều, với d là mêtric cho bởi:
1 ,
( , ) ; ,
0 ,
x y
d x y x y X
x y
Vấn đề chúng tôi muốn nêu ra ở đây là không gian mêtric ( , )X d phải
thỏa điều kiện gì để một hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , )X d là liên
tục đều.
Những không gian mêtric như thế có lẽ lần đầu tiên được nghiên cứu
bởi Juniti Nagata vào khoảng năm 1950 trong “On the uniform topology of
bicompactifications”. Năm 1951, A.A. Monteiro và M.M. Peixoto đưa ra 4
điều kiện tương đương của không gian mêtric loại này. Đặc biệt, họ đã chứng
minh được rằng mọi hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , )X d là liên tục
đều khi và chỉ khi mọi phủ mở của X có một số Lebesgue. Vì vậy, các không
gian như thế, lúc bấy giờ, được gọi là không gian Lebesgue. Năm 1958, một
vài điều kiện tương đương mới cho không gian loại này được đưa ra bởi
Masahiko Atsuji. Trong bài báo “Metric spaces on which continuous and
Hausdorff distance”,(1985), Gerald Beer gọi những không gian này là không
gian Atsuji. Từ đây các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu về không gian loại
này và đưa thêm điều kiện để một không gian mêtric trở thành không gian
Atsuji. Như trong “On normal metrics”, Amer. Math. Monthy 72 (1965), tác
giả S.G. Mrowka đã chứng minh rằng mọi hàm thực liên tục trên không gian
mêtric ( , )X d là liên tục đều nếu và chỉ nếu với bất kỳ hai tập con đóng khác
rỗng ,A B rời nhau của X thì ( , ) 0d A B .
Năm 2006, S. Kundu và Tainvi Jain đã trình bày, hệ thống lại 25 điều
kiện tương đương để một không gian mêtric trở thành không gian Atsuji.
Năm 2007, S. Kundu và Tainvi Jain lại tiếp tục trình bày về một lớp không
gian mới liên quan đến không gian Atsuji. Đó là không gian Atsuji bị chặn
hay không gian UC bị chặn. Hai ông cũng đã đưa ra một vấn đề thú vị, đó là
tính bảo toàn của không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn qua phép
đồng phôi.
Như vậy, việc nghiên cứu về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị
chặn là một trong những đề tài thu hút nhiều sự chú ý của các nhà toán học.
Chính vì tính chất thời sự của vấn đề nên chúng tôi quyết định chọn đề tài
nghiên cứu là trình bày lại một cách hệ thống về không gian Atsuji, không
gian Atsuji bị chặn. Đề tài của chúng tôi có tên là “Không gian Atsuji”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu kĩ hơn về không gian Atsuji. Trình bày một cách đầy đủ các
điều kiện tương đương cho một không gian Atsuji, không gian Atsuji bị chặn
và tính bảo toàn của loại không gian này qua phép đồng phôi.
3. Đối tượng nghiên cứu
Không gian mêtric.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Đây là cơ sở để nghiên cứu sâu hơn về không gian Atsuji, đó là: sự mở
rộng Atsuji của một không gian mêtric, sự mở rộng Atsuji trên siêu không
gian tôpô, …
5. Cấu trúc luận văn
Về nội dung, đề tài sẽ bao gồm: lời mở đầu, 3 chương và phần kết luận.
1. Lời mở đầu: Nêu xuất xứ đề tài, giới hạn phạm vi và phương pháp
nghiên cứu đề tài.
2. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương.
Gồm các vấn đề về không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian
mêtric compact, không gian chuẩn tắc, không gian đều, hàm số liên tục và
liên tục đều,….
3. Chương 2: Trình bày về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị
chặn.
4. Chương 3: Trình bày về sự bảo toàn của không gian Atsuji và không
gian Atsuji bị chặn qua phép đồng phôi.
5. Phần kết luận: Nêu nhận xét về các vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu
mở rộng.
Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu. Để trích dẫn một kết quả
chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc, chẳng hạn, xem [9, theorem 1,
p. 92] nghĩa là xem định lý 1 trong tài liệu số 9 (trong Tài liệu tham khảo),
trang 92.
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian mêtric và dãy hội tụ trong không gian mêtric
1.1.1. Không gian mêtric
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho X là một tập. Một hàm 2:d X là một mêtric trên X nếu thoả
mãn các điều kiện sau:
1) ( , ) 0, ,d x y x y X
( , ) 0d x y x y (tiên đề đồng nhất)
2) ( , ) ( , ), ,d x y d y x x y X (tiên đề đối xứng)
3) ( , ) ( , ) ( , ), , ,d x z d x y d y z x y z X (tiên đề tam giác)
Tập hợp X cùng với mêtric d trên X được gọi là không gian mêtric
( , )X d .
Nếu ( , )X d là không gian mêtric thì mỗi x X gọi là một điểm. Với
mọi ,x y X ta gọi ( , )d x y là khoảng cách giữa x và y .
1.1.1.2. Ví dụ
a) Tập hợp các số thực và tập hợp các số phức là những không
gian mêtric với mêtric
( , ) ; , d x y x y x y (hoặc ).
b) Không gian Euclide k là không gian mêtric với mêtric d xác định
như sau:
Nếu 1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., )k kx x x x y y y y là hai phần tử thuộc k thì
1
2 2
1
( , ) ( )
k
i i
i
d x y x y
Rõ ràng:
( , ) 0, , kd x y x y và ( , ) 0d x y x y
( , ) ( , ), ,d x y d y x x y X
Ta kiểm tra tiên đề tam giác.
Với 1 2 1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., ), ( , ,..., )k k kx x x x y y y y z z z z là các phần tử thuộc
k . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có:
22 2
1 1
2 2
1 1 1
1 1
2 2 2 22 2
1 1 1 1
1
2 22
1
( , ) ( )
= 2 .
2( ) .( )
=(( ) ( )
k k
i i i i i i
i i
k k k
i i i i i i i i
i i i
k k k k
i i i i i i i i
i i i i
k
i i i i
i
d x z x z x y y z
x y x y y z y z
x y x y y z y z
x y y z
1 22
1
2
)
=( ( , ) ( , ))
k
i
d x y d y z
Suy ra
( , ) ( , ) ( , ), , ,d x z d x y d y z x y z X
Vậy d thật sự là một mêtric trên k .
* Mêtric d được gọi là mêtric Euclide trên k .
c) Cho X là một tập bất kỳ, với mọi ,x y X , đặt
1 ,
( , )
0 ,
x y
d x y
x y
là một mêtric trên X , ta gọi là mêtric rời rạc trên X .
Hiển nhiên d thoả mãn điều kiện 1), 2) của định nghĩa mêtric. Ta kiểm
tra điều kiện 3).
Với mọi , ,x y z X , nếu x z thì hiển nhiên ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z
Nếu x z thì y x hoặc y z nên ta cũng có ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z .
Vậy d là một mêtric trên X , ta gọi là mêtric rời rạc trên X .
1.1.1.3. Không gian mêtric con
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A là một tập con của X . Với
mọi ,x y A ta đặt ( , ) ( , )Ad x y d x y . Khi đó Ad là một mêtric trên A ; mêtric Ad
được gọi là mêtric cảm sinh của mêtric d trên A .
Tập A cùng với mêtric Ad được gọi là không gian mêtric con của
không gian mêtric ( , )X d .
1.1.2. Dãy hội tụ
1.1.2.1. Định nghĩa
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Dãy { }nx những phần tử trong
(X,d) được gọi là hội tụ đến phần tử 0x của X nếu 0lim ( , ) 0nd x x
Kí hiệu: 0lim nn x x hoặc 0lim nx x hoặc 0nx x
Nếu 0lim nx x thì 0x được gọi là giới hạn của dãy { }nx . Nếu 0nx x thì
mọi dãy con { }
kn
x của { }nx cũng hội tụ 0x .
Nếu { }nx không hội tụ đến 0x thì ta ghi nx 0x .
1.1.2.2. Ví dụ
a) Sự hội tụ trên đường thẳng thực là sự hội tụ của dãy số theo nghĩa
thông thường của giải tích cổ điển, nghĩa là 0 0lim lim 0n nx x x x
b) Trong không gian k , giả sử cho dãy { }nx ,
( ) ( ) ( ) (0) (0) (0)
1 2 0 1 2( , ,..., ), ( , ,..., )
n n n
n k kx x x x x x x x , ta có
1
2 2
0
1
( ) (0)
lim lim( ) 0
lim , 1,
k
n i i
i
n
i i
x x x y
x x i n
Vì vậy, người ta nói sự hội tụ trong k là sự hội tụ theo toạ độ.
1.2. Tập mở. Tập đóng
1.2.1. Tập mở
1.2.1.1. Hình cầu mở
Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric, 0x X và r là một số dương.
Tập hợp 0 0( , ) { / ( , ) }B x r x X d x x r gọi là hình cầu mở tâm 0x bán
kính r hay r - lân cận của 0x .
1.2.1.2. Tập mở
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và tập A chứa trong X. Tập A được
gọi là mở nếu với mọi x A đều tồn tại 0r sao cho ( , )B x r A .
Nhận xét: Hình cầu mở là tập mở.
1.2.1.3. Định lý 1.1
Trong họ các tập con của không gian mêtric X, ta có:
a) ,X là tập mở.
b) Hợp tuỳ ý các tập mở là mở.
c) Giao hữu hạn tập mở là mở.
1.2.1.4. Phần trong của một tập hợp
Giả sử A là tập con của không gian mêtric X. Hợp tất cả các tập mở
chứa trong A được gọi là phần trong của tập A.
Kí hiệu: IntA hoặc 0A
Phần trong của một tập hợp có thể là tập rỗng. Theo định nghĩa ta có
kết quả sau:
1) Phần trong của tập A là tập mở lớn nhất chứa trong A.
2) A là mở IntA A
3) Nếu A B thì IntA IntB
1.2.2. Tập hợp đóng
1.2.2.1. Định nghĩa tập đóng
Tập hợp con A của không gian mêtric ( , )X d được gọi là tập đóng nếu
phần bù \A X AC là tập mở.
1.2.2.2. Định lý 1.2
Trong họ các tập con của không gian mêtric X, ta có:
a) ,X là tập đóng.
b) Giao tùy ý các tập đóng là đóng.
c) Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
1.2.2.3. Định lý 1.3
Tập hợp con F của một không gian mêtric X là đóng khi và chỉ khi với
mọi dãy bất kỳ { }nx các phần tử của F nếu 0lim nx x X thì 0x F
Chứng minh:
( ) Giả sử F là đóng,{ }nx F , 0lim nx x và 0x F . Vì X\F là tập mở
nên tồn tại hình cầu mở 0( , ) \B x X F .
Lại vì 0lim nx x nên với mọi 0 tồn tại 0n sao cho 0( , )nd x x với
mọi 0n n . Từ đó suy ra với n đủ lớn thì 0( , ) \nx B x X F . Điều này mâu
thuẫn với giả thiết { }nx F .
Vậy 0x F .
( ) Giả sử với một dãy bất kỳ { }nx F nếu 0lim nx x X thì 0x F .
Ta chứng minh F đóng. Giả sử F không đóng, khi đó X\F không là tập mở.
Do đó, tồn tại ít nhất một điểm 0 \x X F sao cho với mọi n , 0 1( , )B x n
không chứa trong X\F. Ta chọn được dãy { }nx F và 0lim nx x F . Điều này
mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy F đóng.
1.2.2.4. Bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa
Giả sử A là tập con của một không gian mêtric X. Giao của tất cả các
tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của tập hợp A.
Kí hiệu: ClA hoặc A .
Vì X chứa A nên bao đóng của một tập hợp luôn tồn tại. Ta cũng có:
1) A là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
2) A đóng A A .
3) Nếu A B thì A B .
Định lý 1.4
Cho ( , )X d là một không gian mêtric, A X và a X . Khi đó các
khẳng định sau là tương đương.
1) a A
2) ( , ) , 0B a A
3) Tồn tại dãy { }nx A và nx a
Chứng minh:
1) 2) : Giả sử tồn tại 0 0 sao cho 0( , )B a A thì 0\ ( , )X B a là
tập đóng chứa A nhưng không chứa a, suy ra a A . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy
có 2).
2) 3) : Với mọi n ta có 1( , )B a A
n
, chọn 1( , )nx B a An . Ta thu
được dãy { }nx A và 1( , )nd x a n . Suy ra lim nx a .
3) 1) : Giả sử có dãy { }nx A và lim nx a nhưng a A . Khi đó
\a X A là tập mở nên tồn tại 0 sao cho ( , ) \B a X A . Vậy ( , )nx B a với
mọi n và ( , )nd x a . Mâu thuẫn với giả thiết lim nx a . Vậy a A .
1.3. Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi
1.3.1. Ánh xạ liên tục
1.3.1.1. Định nghĩa
Cho hai không gian mêtric ( , )X d và ( , )Y . Một ánh xạ :f X Y được
gọi là liên tục tại 0x X nếu với mọi 0 tồn tại 0 sao cho với mọi x X ,
0( , )d x x thì 0( ( ), ( ))f x f x .
Như vậy, f liên tục tại 0x nếu với mọi 0 tồn tại 0 sao cho
0 0( ( , )) ( ( ), )f B x B f x hay một cách tương đương 1 0 0( ( ( ), )) ( , )f B f x B x .
Ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x X .
1.3.1.2. Ánh xạ liên tục đều
Một ánh xạ :f X Y được gọi là liên tục đều trên X nếu với mọi 0
tồn tại 0 sao cho với mọi 1 2,x x X , 1 2( , )d x x thì 1 2( ( ), ( ))f x f x .
Như vậy, một ánh xạ liên tục đều thì liên tục còn ngược lại nói chung
không đúng.
Định lý 1.5
Ánh xạ :f X Y liên tục tại x X nếu và chỉ nếu mọi dãy
{ } , limn nx x x đều có lim ( ) ( )nf x f x .
Định lý 1.6
Cho ánh xạ :f X Y . Các điều kiện sau là tương đương.
a) f liên tục trên X.
b) 1( )f G là tập mở của X, với mọi tập mở G của Y.
c) 1( )f F là tập đóng của X, với mọi tập đóng F của Y.
Định lý 1.7
Cho , ,X Y Z là ba không gian mêtric. Các ánh xạ :f X Y , :g Y Z là
liên tục. Khi đó :g f X Z là liên tục.
1.3.2. Đường
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một hàm số liên tục : 0;1f X
sao cho (0) (1)f f gọi là một đường trong X. Khi đó, ta nói không gian (X,d)
chứa một đường.
1.3.3. Phép đồng phôi
Cho X, Y là hai không gian mêtric, ánh xạ :f X Y là song ánh. f
được gọi là phép đồng phôi nếu f và 1f liên tục.
Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại phép
đồng phôi :f X Y .
Hai mêtric d và trên X được gọi là tương đương với nhau nếu ánh
xạ đồng nhất : ( , ) ( , )XI X d Y là phép đồng phôi.
Nếu d và là hai mêtric tương đương với nhau thì :
1) Tập con A là mở trong ( , )X d A là mở trong ( , )Y .
2) { }nx là hội tụ trong ( , )X d { }nx là hội tụ trong ( , )Y .
1.4. Không gian mêtric đầy đủ
Dãy cơ bản hay dãy Cô-si (Cauchy)
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một dãy { }nx trong X được gọi là
dãy cơ bản hay dãy Cô–si nếu với mọi 0 tồn tại 0n sao cho với
0,n m n thì ( , )n md x x .
Dãy giả Cô-si:
Một dãy { }nx trong không gian mêtric (X,d) được gọi là giả Cô-si nếu
( 0, , , : ( ) ( , )) ( , )j kn j k j k j k n d x x .
Trong một không gian mêtric, mọi dãy hội tụ là dãy Cô-si. Điều ngược
lại nói chung không đúng.
Một không gian mêtric là đầy đủ nếu mọi dãy Cô-si đều hội tụ.
Cho X là không gian mêtric và A tà tập con của X. Nếu A là tập con
đóng thì A cùng với mêtric cảm sinh gọi là không gian con đóng của X. Nếu A
cùng với mêtric cảm sinh là không gian mêtric đầy đủ thì A gọi là tập con đầy
đủ của X.
1.5. Không gian mêtric compact
1.5.1. Tập compact. Tập bị chặn
1.5.1.1. Tập compact
Định nghĩa:
Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập compact nếu mọi
dãy { }nx A đều có dãy con { }knx hội tụ đến một điểm thuộc A.
Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập compact tương đối
nếu A là compact.
Ví dụ:
a) Với mọi , ,a b a b thì ;a b là compact, ;a b là compact tương
đối; ;a b là compact tương đối.
b) là không compact vì dãy { }nx với ,nx n n không có dãy
con hội tụ.
1.5.1.2. Tập bị chặn
Tập con A của không gian mêtric X gọi là bị chặn nếu đường kính
( ) sup{ ( , ) : , }d A d x y x y A
Tập con A của không gian mêtric X gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với
mọi 0 tồn tại hữu hạn điểm 1 2, ,..., nx x x X sao cho
1
( , )
n
i
i
A B x
.
Một tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn.
1.5.1.3. Tập compact bị chặn
Một tập con A của không gian mêtric ( , )X d được gọi là tập compact bị
chặn nếu mọi tập con đóng và bị chặn của A đều là tập compact.
Định lý 1.8
Cho A là một tập con của không gian mêtric ( , )X d . Khi đó các phát
biểu sau là tương đương:
a) A là compact bị chặn trong X .
b) Mọi tập con (vô hạn) bị chặn của A có điểm tụ trong A .
c) Mọi dãy bị chặn trong A có dãy con hội tụ đến một điểm trong A .
Mệnh đề 1.9
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A , B là hai tập con đóng khác
rỗng rời nhau của X thỏa mãn A là compact bị chặn và B là bị chặn. Khi đó,
( , ) 0d A B .
1.5.2. Phủ của một tập hợp
Một họ { } IV các tập con của không gian mêtric X được gọi là một
phủ của tập con A của X nếu
I
A V
.
Nếu mọi V đều mở thì { } IV được gọi là phủ mở của A.
Nếu { } IV là một phủ của A thì ta còn nói A bị phủ bởi họ { } IV .
Cho { } IV là một phủ của A. Nếu có J I mà { } JV cũng là một phủ
của A thì { } JV được gọi là phủ con của phủ { } IV . Nếu J là hữu hạn thì
{ } JV được gọi là phủ con hữu hạn.
Định lý 1.10
Cho X là một không gian mêtric. Với mọi tập con A của X, các điều
kiện sau là tương đương.
a) A là compact.
b) A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
c) Mọi phủ { } IV của A đều có phủ con hữu hạn.
Chứng minh: xem [1, đl 11, p.45-46]
Hệ quả 1.11
Trong không gian mêtric ta có:
a) Tập con compact là đóng và đầy đủ.
b) Tập con đóng của một tập compact là compact.
c) Tập con bất kỳ của một tập compact là compact tương đối.
1.5.3. Hàm số liên tục trên tập compact
1.5.3.1. Định lý 1.12
Hàm số f liên tục trên tập compact K thì liên tục đều trên K.
Chứng minh:
Giả sử f liên tục trên K nhưng không liên tục đều. Khi đó tồn tại 0 0
sao cho với mọi n tồn tại ,n nx y K thỏa mãn 1( , )n nd x y n nhưng
0( ) ( )n nf x f y .
Do K là tập compact nên dãy { }nx có dãy con { }knx hội tụ đến a K
Với mọi k ta có 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
k k k k kn n n n n
k
d y a d y x d x a d x a
n
nên ta cũng có
{ }
kn
y hội tụ đến a .
Vì f liên tục và ,
k kn n
x a y a nên ( ) ( ) ( ) ( ) 0
k kn n
f x f y f a f a . Ta
gặp mâu thuẫn.
Vậy f phải liên tục đều.
Hệ quả 1.13
Cho hàm : ( , ) ( , )f X d Y là liên tục. Nếu ( , )X d là compact thì f là
hàm liên tục đều.
1.5.3.2. Định lý 1.14
Cho ánh xạ :f X Y liên tục và K là tập con compact của X . Khi đó, ( )f K
là compact trong Y .
Chứng minh: xem [1, đl 15, p.49]
1.6. Không gian chuẩn tắc
Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau
bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y
không chứa x.
Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc)
nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong
X, tồn tại các tập mở U và V sao cho ,A U B V và U V .
1.6.1. Bổ đề 1.15 (Bổ đề Urysohn)
Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời
nhau của X. Khi đó tồn tại hàm liên tục f : X 0,1 sao cho f x 0 với
mọi x A và f x 1 với mọi x B .
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh mọi số hữu tỉ dạng .2 0,1nr k , tồn tại
một tập mở rU sao cho
\ , ,r r sA U X B U U r s
Thật vậy, đặt 1 \U X B . Gọi V và W là các tập mở rời nhau sao cho
A V và B W . Đặt 1/ 2U V . Vì X\W đóng nên ta có:
1/ 2 1/ 2 1\ \A U U X W X B U
Bây giờ ta xây dựng rU với .2 nr k bằng qui nạp theo n. Giả sử đã
chọn được rU với .2 nr k , 0 2 , 1 1nk n N
Ta sẽ xây dựng rU với 12 1 2 ,0 2N Nr j j (với
1 ( 1)0 2 , 2 2 2N N Nj r j j , rU đã có theo giả thiết qui nạp). Ta có 12 NjU
và 11 2\ NjX U là hai tập đóng rời nhau (ở đây đặt 0U A ), nên tương tự như
trên, chọn được rU sao cho 1 12 1 2N Nj jr rU U U U
Vậy ta có họ các rU có tính chất đặt ra.
Đặt rU X với mọi 1r và xác định hàm / rf x inf r x U
Vì \rA U X B với 0 1r nên 0f x với mọi x A , 1f x
với mọi x B và 0 1f x với mọi x X . Với mọi 0,1 , do các giá
trị .2 , 0 2n nr k k trù mật trong 0,1 nên
rf x x U với r nào đó, r
r
r
x U
rf x x U với r nào đó, r
sx U với s nào đó, s
\ s
s
x X U
Vì vậy 1 , r
r
f U
và 1 , \ s
s
f X U
là mở. Từ
đó f liên tục.
1.6.2. Định lý 1.17 (Định lý Tietze-Urysohn)
Cho X là không gian chuẩn tắc, A là tập con đóng của X. Khi đó mọi
hàm liên tục : ,f A a b đều tồn tại một hàm liên tục : ,F X a b sao
cho F A f .
Chứng minh: xem [1, đl 18, p.77-78]
Hệ quả 1.18
Cho hàm f liên tục trên tập con đóng A của một không gian chuẩn tắc
X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục F trên X sao cho F A f .
1.7. Không gian đều
1.7.1. Định nghĩa (theo N. Bourbaki)
Cho X là một tập khác rỗng và là họ các tập con của X X . Cặp
( , )X được gọi là không gian đều nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
i) ( , ) ,U x x U x X
ii) Nếu U và U V X X thì V
iii) Nếu ,U V thì U V
iv) Nếu U thì tồn tại V sao cho khi ( , ), ( , )x y y z V thì ( , )x z U
v) Nếu U thì 1 {( , ) : ( , ) }U y x x y U
Họ gọi là cấu trúc đều hay cái đều trên X , mỗi phần tử của gọi là
lân cận.
Chú ý:
Cho U thì hợp thành của U là
{( , ) : ( , ( , ) ( , ) )}U U x y z X x z U z y U
Nếu ( , )X là không gian đều và U thì ta viết
{ : ( , ) }xU y X x y U
Mỗi không gian đều có cấu trúc tôpô tự nhiên (được gọi là tôpô đều)
trên nó. Chúng ta nói rằng O X là mở nếu và chỉ nếu với mỗi x O tồn tại
U sao cho xU O . Vì vậy, một họ các lân cận (không nhất thiết mở)
trong X được cho bởi { / ; }xU x X U .
Cấu trúc đều trên không gian mêtric ( , )X d có thể thu được bằng cách
đòi hỏi H là một lân cận nếu và chỉ nếu với 0 đã cho, ( , )x y H nếu
( , )d x y .
1.7.2. Định nghĩa
Cho ( , )X và ( , )Y là hai không gian đều. Hàm :f X Y thỏa mãn:
với K tồn tại H sao cho nếu ( , ) ( ( ), ( ))a b H f a f b K . Khi đó f là
liên tục đều từ X lên Y .
1.7.3. Định lý 1.18
Ánh xạ : ( , ) ( , )f X d Y là liên tục đều khi và chỉ khi
: ( , ) ( , )df X Y U U là liên tục đều, với dU và U là hai cấu trúc đều sinh ra
bởi d và .
1.7.4. Định lý 1.19
Hàm liên tục đều giữa hai không gian đều là liên tục trên không gian
tôpô, với tôpô được sinh ra bởi cấu trúc đều.
1.7.5. Định nghĩa
Nếu và là hai cấu trúc đều trên X và thì ta nói yếu
(thô) hơn hay mạnh (mịn) hơn .
1.7.6. Định lý 1.20
Nếu ( , )X là một không gian tôpô thì tồn tại một cấu trúc đều mịn nhất
cảm sinh ra .
Cái đều mịn nhất trong định lý 1.20 được gọi là cái đều mịn. X cùng
với cái đều mịn được gọi là không gian đều mịn.
1.7.7. Định lý 1.21
Mọi hàm liên tục từ không gian mịn vào không gian đều là liên tục đều.
1.8. Không gian rời rạc
Một tập con A của không gian mêtric (X,d) được gọi là tập rời rạc nếu
với mọi x A tồn tại 0 sao cho ( , ) , \{ }d x y y A x . Nghĩa là
( , )A B x .
Tập A được gọi là rời rạc đều nếu không phụ thuộc vào x. Nghĩa là
tồn tại 0 sao cho ( , ) ; , ,d x y x y A y x .
Không gian mêtric ( , )X d được gọi là rời rạc đều nếu bản thân X là rời
rạc đều.
Chú ý: Trong một không gian mêtric ( , )X d , bao đóng B của tập con
rời rạc B X là rời rạc nếu và chỉ nếu B B , trong khi đó một tập con rời rạc
đều của X là luôn đóng.
1.9. Số Lebesgue
1.9.1. Định nghĩa
Cho không gian mêtric ( , )X d , A X và một số dương . U là một
phủ mở của A .
Giả sử rằng với mọi x A ta có ( , )B x U với U U . Nghĩa là
{ ( , )}x XB x là một sự làm mịn của U . Khi đó, số được gọi là số Lebesgue
của A với phủ mở U .
Nếu A thì - quả cầu ( , )B A của A được định nghĩa là:
( , ) { : ( , ) } ( , )
x A
B A x X d x A B x
Nếu A thì ( , )B A .
1.9.2. Định lý 1.22
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A là tập con khác rỗng của X
sao cho A là compact trong X . Khi đó các khẳng định sau là đúng:
a) Mọi phủ của A đều có một số Lebesgue.
b) Nếu A B thì ( , ) 0d A B .
c) Với mọi tập mở U chứa A tồn tại một số 0 sao cho
( , )A B A U .
1.10. Khái niệm hai dãy tiệm cận
1.10.1. Định nghĩa
Hai dãy { }nx và { }ny trong không gian mêtric ( , )X d được gọi là tiệm
cận nhau nếu với mọi 0 tồn tại N sao cho với mọi n N thì
( , )n nd x y .
Kí hiệu: { } { }n nx y© .
1.10.2. Bổ đề 1.23 (Bổ đề Efremovic)
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và một số dương . Giả sử
{( , )}n nx y là một dãy trong không gian tích X X thỏa mãn ( , ) ,n nd x y n .
Khi đó tồn tại dãy con {( , )}
k kn n
x y sao cho ( , ) , ,
4k ln n
d x y k l .
1.10.3. Định lý 1.24
Cho hàm : ( , ) ( , )f X d Y giữa hai không gian mêtric ,X Y . Khi đó các
phát biểu sau là tương đương:
i) f liên tục đều.
ii) f bảo toàn các dãy tiệm cận. Nghĩa là nếu { }nx và { }nz là hai dãy
tiệm cận trong X thì { ( )}nf x và { ( )}nf z là hai dãy tiệm cận trong Y .
iii) Với mỗi cặp hai tập con khác rỗng A và B của X sao cho ( , ) 0d A B
thì ( ( ), ( ) 0f A f B .
Chứng minh:
i) ii): Ta có f liên tục đều và { }nx ,{ }nz là hai dãy tiệm cận trong X .
Do f liên tục đều nên với mọi 0 tồn tại 0 sao cho nếu
( , )d x y thì ( ( ), ( ))f x f y .
Vì { } { }n nx z© nên tồn tại N sao cho ( , )n nd x z với mọi n N . Suy ra
với mọi 0 tồn tại N sao cho với mọi n N thì ( ( ), ( ))n nf x f z . Vậy
{ ( )}nf x và { ( )}nf z là hai dãy tiệm cận trong Y .
ii) iii): Vì ( , ) 0d A B nên với mọi n tồn tại nx A và nz B sao cho
1( , )n nd x z n
. Ta thu được hai dãy { }nx A và { }nz B là hai dãy tiệm cận
trong X . Theo ii) thì { ( )} { ( )}n nf x f z© . Suy ra ( ( ), ( ) 0f A f B .
iii) i): Giả sử f không liên tục đều. Do đó tồn tại 0 sao cho với mọi
0 tồn tại x và z thuộc X thỏa mãn ( , )d x z nhưng ( ( ), ( ))f x f z .
Đặt 1 , n
n
. Ta thu được hai dãy { }nx , { }nz và { } { }n nx z© vì
1( , ) ,n nd x z nn
nhưng ( ( ), ( ))n nf x f z . Theo bổ đề Efremovic, tồn tại
hai dãy con { ( )}, { ( )}
k kn n
f x f z trong Y Y sao cho ( ( ), ( )) , ,
4k ln n
f x f z k l .
Bây giờ đặt { : }
kn
A x k và { : }
kn
B z k thì ( , ) 0d A B nhưng
( ( ), ( ) 0
4
f A f B (mâu thuẫn). Vậy f liên tục đều.
1.11. Điểm tụ
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A X . Điểm x X được gọi là
điểm tụ của A nếu với mọi 0 đều có ( , ) ( \{ })B x A x .
Tập các điểm tụ của A kí hiệu là A .
Ta có các kết quả sau:
a) ' \{ }x A x A x
b) ' { } \{ }:n nx A x A x x x
c) A đóng 'A A
d) A là tập đóng.
Định lý 1.25
Cho không gian mêtric ( , )X d và tập A X . Khi đó, các phát biểu sau
là tương đương:
i) A là tập compact.
ii) Mọi tập con (vô hạn) của A đều có một điểm tụ trong A .
iii) Mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A .
1.12. Điểm cô lập
Cho ( , )X d là một không gian mêtric ,điểm x X được gọi là điểm cô
lập nếu tồn tại 0 sao cho ( , ) { }B x x .
Độ cô lập của một điểm trong không gian mêtric (X,d): Cho ( , )X d là
một không gian mêtric và điểm x X . Độ cô lập của x được kí hiệu là ( )I x .
( ) ( , \{ }) inf{ ( , ) : \{ }}I x d x X x d x y y X x
Nếu x là điểm cô lập trong X thì ( ) sup{ 0 : ( , ) { }}I x r B x r x . Do đó,
nếu x không là điểm cô lập thì ( ) 0I x .
Trong định nghĩa trên nếu x A X thì ta kí hiệu ( ) ( , \{ })AI x d x A x .
Chú ý :
Nếu 0x A với A X thì tồn tại 0xr sao cho ( ) ( ) ( )x A Ar I x I x I x .
Dãy từng cặp điểm cô lập
Một dãy { }nx gồm các điểm cô lập khác nhau trong không gian mêtric
(X,d) được gọi là dãy từng cặp điểm cô lập nếu 2 1 2lim( , ) 0n nn x x .
Chương 2. KHÔNG GIAN ATSUJI
Bây giờ chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn này, đó là nghiên
cứu về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn hay nói cách khác ta
tìm hiểu về các điều kiện tương đương cho một không gian Atsuji hay không
gian Atsuji bị chặn. Trước tiên, ta tìm hiểu về không gian Atsuji.
2.1. Không gian Atsuji
2.1.1 Định nghĩa 2.1
Một không gian mêtric ( , )X d được gọi là không gian Atsuji hay không
gian UC nếu mọi hàm số liên tục trên ( , )X d là liên tục đều.
2.1.2 Định lý 2.2
Nếu không gian mêtric ( , )X d là không gian Atsuji thì ( , )X d là đầy đủ
và tập các điểm tụ, 'X , của X là compact trong ( , )X d .
Chứng minh:
*) Trước tiên, ta chứng minh ( , )X d là đầy đủ.
Giả sử ( , )X d không đầy đủ. Khi đó tồn tại dãy Cô-si { }nx gồm các
điểm phân biệt trong X nhưng không hội tụ trong X . Xét { : }nA x n thì
A là đóng và rời rạc trong X .
Ta định nghĩa hàm
:
( ) ,n n
f A
x f x n n
Vì A là rời rạc nên f là liên tục. Theo định lý thác triển Tietze, f có
thể mở rộng thành một hàm liên tục trên X , ta kí hiệu là f . Nhưng f không
liên tục đều vì { }nx là dãy Cauchy trong X nhưng { ( )}nf x không là dãy
Cauchy trong . Ta gặp mâu thuẫn vì f liên tục trên không gian Atsuji
( , )X d thì f phải liên tục đều. Vậy ( , )X d là đầy đủ.
*) Ta chứng minh 'X là compact. Muốn vậy, ta chứng minh mọi dãy
trong 'X đều có dãy con hội tụ trong 'X , vì 'X là đóng.
Giả sử tồn tại dãy { } 'nx X nhưng { }nx kh._.ông có dãy con hội tụ. Tất
nhiên ta có thể giả thiết rằng n mx x với n m . Đặt { : }n mZ x m n thì nZ là
đóng trong X . Khi đó ( , ) 0,n n nc d x Z n . Lại vì 'nx X nên với mọi n ta
có thể tìm được ny X sao cho 10 ( , ) min{ , }n n nd x y cn .
Ta có, với n m thì ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n m n n n n n n nd x y d x x d x y d x Z d x y
( , ) 0n n nc d x y nên m nx y với n m .
Suy ra: { : } { : }n nx n y n
Do tính chuẩn tắc của X nên tồn tại hàm số liên tục : 0;1f X sao
cho ( ) 0,nf x n và ( ) 1,nf y n . Rõ ràng f như thế là không liên tục
đều vì lim ( , ) 0n nd x y nhưng lim ( ) ( ) 1n nf x f y . Mâu thuẫn, vì f liên tục
trên X thì f phải liên tục đều. Vậy { }nx phải có dãy con hội tụ trong 'X hay
'X là compact trong X .
Vậy định lý 2.2 được chứng minh. Tuy nhiên, điều ngược lại của định
lý 2.2 nói chung là không đúng. Ta xét một ví dụ của A. B. Raha để chứng
minh rằng tính đầy đủ của X và tính compact của 'X chưa đủ để đảm bảo
cho ( , )X d là không gian Atsuji.
Ví dụ: Xét 1 10; { : }
2 2
X n n
n
và xét mêtric khoảng cách
thông thường trên X . Rõ ràng X là đầy đủ và 1' 0;
2
X là compact trên X .
Nhưng nếu ta xét hàm số :f X sao cho:
1( ) 0, 0;
2
f x x
( ) 1,f n n
1( ) 2,
2
f n n
n
thì rõ ràng f liên tục trên
X nhưng không liên tục đều vì ( ) 1,f n n và 1( ) 2,
2
f n n
n
.
Bây giờ, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý đầu tiên về các điều
kiện cho không gian Atsuji hay các điều kiện để một không gian mêtric trở
thành không gian Atsuji.
2.1.3. Định lý 2.3
Cho ( , )X d là một không gian mêtric. Các điều kiện sau là tương
đương.
a) Cho { }nx là một dãy không có điểm hội tụ trong X và B = { n : nx
không là điểm cô lập trong X }. Khi đó B là hữu hạn và inf{ ( ) : } 0nI x n B .
b) Bất kỳ hàm liên tục :f X S là liên tục đều, với S là không gian
đều bất kỳ cho trước. Hiển nhiên, cái đều trên X được sinh ra bởi mêtric d .
c) Mọi hàm liên tục : ( , ) ( , )f X d M là liên tục đều, với ( , )M là một
không gian mêtric bất kỳ.
d) ( , )X d là không gian Atsuji.
e) Cho :f X là hàm số liên tục. Khi đó, tồn tại một số nguyên
dương n sao cho mọi điểm của tập { : ( ) }A x f x n là cô lập trong X và
inf{ ( ) : } 0I x x A .
f) Cho { }nA là một dãy các tập con của X thỏa mãn
1
n
n
A
. Khi đó
tồn tại 0r sao cho
1
( , )n
n
B A r
.
g) Cho 1 2,A A là hai tập con của X sao cho 1 2A A . Khi đó tồn tại
0r sao cho 1 2( , ) ( , )B A r B A r .
h) Với mọi tập con đóng khác rỗng A của X và bất kỳ tập con mở G
chứa A của X đều tồn tại 0r sao cho ( , )A B A r G .
i) Nếu 1 2,A A là hai tập con đóng khác rỗng rời nhau của X thì
1 2( , ) 0d A A .
j) Cho A là tập con không có điểm tụ của X . Khi đó 'A X là hữu hạn
và inf{ ( ) : \ '} 0I x x A X .
k) Mêtric d sinh ra cái đều mịn trên X .
Chứng minh định lý 2.3
) )a b : Cho S là không gian đều. Giả sử tồn tại hàm liên tục :f X S
nhưng không liên tục đều. Khi đó có một lân cận V của S sao cho với mọi
n tồn tại ,n nx y X với 1( , )n nd x y n nhưng ( ( ), ( ))n nf x f y V .(*)
Ta chứng minh rằng { }nx không có điểm hội tụ. Giả sử { }nx có điểm hội
tụ thì tồn tại một dãy tăng nghiêm ngặt { }kn sao cho hai dãy con { }knx và
{ }
kn
y của { }nx và { }ny hội tụ về một điểm x nào đó trong X . Do tính liên tục
của f nên với mỗi lân cận W của S thỏa 1W W và 1W W V tồn tại
0n sao cho ( ( ), ( ))knf x f x W và ( ( ), ( ))knf y f x W với mọi 0k n . Do đó
( ( ), ( ))n nf x f y V với mọi 0k n . Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy { }nx không
có điểm hội tụ.
Theo a) thì tồn tại m sao cho với mọi n m thì nx là điểm cô lập
trong X và inf{ ( ) : } 0nI x n m r . Nhưng điều này mâu thuẫn với (*):
1 1( , ) ,n nd x y nn r
. Vậy b) đúng.
) )b c : Điều này là hiển nhiên đúng vì ta có thể xem ( , )M là không
gian đều với cấu trúc đều sinh ra bởi .
) )c d : Hiển nhiên theo định nghĩa không gian Atsuji.
) )d e : Giả sử ( , )X d là không gian Atsuji và hàm số :f X liên
tục trên X thỏa mãn với mọi n tồn tại điểm tụ nx X với ( )nf x n .
Vì ( , )X d là không gian Atsuji nên theo định lý 2.2 thì tập các điểm tụ
'X là compact. Do đó, theo định lý 1.25 thì dãy { }nx có dãy con { }knx hội tụ .
Nhưng { ( )}
kn
f x không hội tụ vì nó không bị chặn. Suy ra f không liên tục. Ta
gặp mâu thuẫn.
Vậy tồn tại 0n để tập 0{ : ( ) }A x f x n là tập các điểm cô lập trong
X .
Bây giờ ta chứng minh inf{ ( ) : } 0I x x A . Chú ý rằng ( ) 0,I x x A do
đó ta chỉ xét trường hợp A là vô hạn. Giả sử inf{ ( ) : } 0I x x A . Khi đó, tồn tại
dãy { }nx A và lim ( ) 0nI x . Ta cũng chú ý ( ) 0,nI x n . Ta xem { }nx là
dãy gồm các điểm phân biệt (nếu cần có thể thông qua dãy con) và với mỗi
n , 1( )
2n
I x
n
. Nếu { }nx có dãy con { }knx hội tụ tới x thì 'x X và do tính liên
tục của f nên ta có 0( ) lim ( ) lim ( )k kn nk kf x f x f x n . Nghĩa là x là một điểm
cô lập nhưng rõ ràng 'x X . Vậy { }nx không có dãy con hội tụ, do đó
{ : }nB x n là tập đóng vô hạn trong X . Theo định lý 2.2, ( , )X d là đầy đủ
và B là đầy đủ. Nhưng B là tập vô hạn gồm các điểm cô lập nên B không
compact. Suy ra B không hoàn toàn bị chặn. Do đó tồn tại 0 và dãy con
{ }
kn
x của { }nx gồm các điểm phân biệt với ( , ) , , ,k ln nd x x k l k l
Bây giờ, vì ( ) 0
kn
I x nên tồn tại m sao cho với mọi k m thì
4 ( )
kn
I x .
Lại có, với mọi k m tồn tại
kn
y X sao cho
k kn n
y x và 1( , ) 2 ( )
k k kn n n
d x y I x
k
.
Với , ,k l m k l ta có :
( , ) ( , ) ( , ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 0
k l k l l l l l ln n n n n n n n n
d x y d x x d x y I x I x I x .
Do đó ; ,
k ln n
x y k l m .
Tập { : }
kn
x k m và { : }
kn
y k m là hai tập đóng rời nhau. Do X là chuẩn tắc nên
tồn tại hàm số : 0;1g X sao cho ( ) 0;
kn
g x k m và ( ) 1;
kn
g y k m . Theo
định lý 1.24 thì g không liên tục đều vì lim ( , ) 0
k kn nk
d x y nhưng
( ) ( ) 1
k kn n
g x g y với mọi k m . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy inf{ ( ) : } 0I x x A .
) )e f : Giả sử tồn tại họ các tập con { : }nA n của X với
1
n
n
A
nhưng
1
1( , )n
n
B A
m
với mọi m . Với mỗi m chọn
1
1( , )m n
n
x B A
m
thì
1( , ) ,m nd x A nm
. Vì vậy, với mỗi n có n nz A sao cho 1( , )m nd x z m .
Nếu ,m nx z n thì
1 1
m n n
n n
x A A
. Nhưng
1
n
n
A
, vậy m nx z . Ta
kí hiệu lại nz bởi my . Vậy có ny X sao cho 10 ( , )m md x y m .
Bây giờ ta chứng minh { }nx không có điểm tụ trong X . Giả sử { }nx có
một điểm tụ x X . Chọn 0 tùy ý, tồn tại k sao cho với 2k thì
( , )
2k
d x x . Khi đó với mỗi n , 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n k k n kd x A d x x d x A d x x k .
Suy ra ( , ) 0nd x A , do đó ,nx A n nghĩa là
1
n
n
x A
. Mâu thuẫn vì giả
thiết
1
n
n
A
. Vậy { }nx không có điểm tụ trong X .
Bây giờ ta có thể xem { }nx là dãy gồm các điểm phân biệt trong X .
Tập { : }nD x n là đóng và rời rạc trong X . Ta xây dựng hàm số liên
tục :f X thỏa mãn ( ) ,nf x n n . Theo c) tồn tại 0n sao cho, tập
0{ : ( ) }A x X f x n là tập các điểm cô lập.
Chú ý rằng 0,nx A n n nên 0inf{ ( ) : } inf{ ( ) : } 0nI x x A I x n n .
Nhưng theo e) thì inf{ ( ) : } 0I x x A (mâu thuẫn). Vậy tồn tại m sao cho
1
1( , )n
n
B A
m
.
) )f g : Hiển nhiên g) là hệ quả trực tiếp của f).
) )g h : Với A là tập đóng khác rỗng của X và G là tập mở chứa A
trong X , ta đặt 1 \A X G thì 1A là đóng. Rõ ràng 1A A nên theo g) thì tồn
tại 0r sao cho 1 1( , ) ( , ) ( , )B A r A B A r B A r . Suy ra ( , )A B A r G .
) )h i : Gọi 1 2, A A là hai tập đóng khác rỗng rời nhau của X . Ta chứng
minh 1 2( , ) 0d A A . Thật vậy, ta có 1 2\A X A , mà 2\X A mở nên theo h) thì tồn
tại 0r sao cho 1 2( , ) \B A r X A hay 1 2( , )B A r A . Vì vậy, với mọi
1 2,x A y A thì ( , )d x y r . Mà 1 2 1 2( , ) inf{ ( , ) : , } 0d A A d x y x A y A r nên
1 2( , ) 0d A A .
) )i j : Trước hết ta chứng minh 'A X là hữu hạn.
Cho A X và A không có điểm tụ trong X . Giả sử 'A X là tập vô
hạn. Do đó tồn tại dãy { }nx gồm các điểm phân biệt trong 'A X . Với mỗi
'nx X luôn tồn tại ny X sao cho n ny x và 1( , )n nd x y n . Vì A không có
điểm tụ trong X nên dãy { }nx không có điểm tụ và do đó dãy { }ny cũng
không có điểm tụ.
Ta có thể xem các điểm của { }nx là khác nhau. Bây giờ ta sẽ xây dựng
hai dãy { ' }
kn
x và { ' }
kn
y sao cho ' '
k ln n
x y với mọi ,k l và 1( ' , ' )
k kn n
d x y
k
. Ta
bắt đầu bằng phương pháp quy nạp.
Với 1n , đặt
1 1
'nx x , 1 1'ny y và đặt 11 { ' }nS x , 11 { ' }nT y . Khi đó
1 1S T .
Giả sử ta chọn được
1 2
' , ' ,..., '
kn n n
x x x và
1 2
' , ' ,..., '
kn n n
y y y và
1 2
{ ' , ' ,..., ' }
kk n n n
S x x x ,
1 2
{ ' , ' ,..., ' }
kk n n n
T y y y thỏa mãn k kS T .
Tiếp theo ta chọn 1 min{ : }k k m k k m kn m n x S T y S T . Giả sử 1kn
không tồn tại, nghĩa là với mọi kn n thì ,n n k kx y S T . Điều này dẫn đến
{ ( , ) : }n n kd x y n n hữu hạn và lim ( , ) 0n nd x y . Mâu thuẫn với cách chọn ,n nx y .
Vậy tồn tại 1kn . Bây giờ đặt 1 1' k kn nx y và 1 1' k kn ny x nếu 1kn kx T hoặc
1kn k
y S , ngược lại ta đặt 1 1' k kn nx x và 1 1' k kn ny y .
Xét { ' : }
kn
B x k và { ' : }
kn
C y k . Vì { : } { : }n nx n y n không
có điểm tụ trong X nên cả B và C cũng không có điểm tụ. Hơn nữa, B và C
là đóng trong X . Cũng do cách xây dựng dãy { ' }
kn
x và { ' }
kn
y nên B C .
Theo i) thì ( , ) 0d B C . Nhưng vì 1( ' , ' ) ( , )
k k k kn n n n
d x y d x y
k
nên ( , ) 0d B C . Ta
gặp mâu thuẫn. Vậy 'A X là tập hữu hạn.
Tiếp theo ta chứng minh inf{{ ( ) : \ '} 0I x x A X .
Nếu \ 'A X là hữu hạn thì inf{ ( ) : \ '} min{ ( ) : \ '} 0I x x A X I x x A X .
Bây giờ ta xét \ 'A X là vô hạn. Giả sử inf{{ ( ) : \ '} 0I x x A X , khi đó tồn tại
dãy { }nx gồm các điểm phân biệt trong A và dãy { }ny X sao cho n ny x và
1( , )n nd x y n
. Tương tự như trước ta chứng minh được { }nx và { }ny không có
điểm tụ. Lập luận như trên ta thu được hai tập con đóng rời nhau với khoảng
cách bằng không. Điều này mâu thuẫn với i). Vậy inf{{ ( ) : \ '} 0I x x A X .
) )j a : Hiển nhiên.
) )b k : Đặt S là không gian X với cấu trúc đều mịn nhất và xét ánh
xạ đồng nhất :Id X X . Chúng ta có thể kết luận rằng cấu trúc đều trên X
được sinh ra bởi mêtric d là mịn nhất.
) )k b : Hiển nhiên theo định lý 1.21
Như vậy ta đã chứng minh được 10 điều kiện để một không gian mêtric
trở thành không gian Atsuji. Tiếp theo ta sẽ phát biểu và chứng minh 7 điều
kiện tương đương nữa.
2.1.4. Định lý 2.4
Với một không gian mêtric ( , )X d các phát biểu sau là tương đương:
a) ( , )X d là không gian Atsuji.
b) Mọi hàm số liên tục và bị chặn trên X là liên tục đều.
c) Mọi tập con đóng và rời rạc của X là rời rạc đều trong X.
d) Tập các điểm tụ X’ trong X là compact và với mỗi 0 , tập
\ ( , )X B X là rời rạc đều.
e) Tập các điểm tụ X’ trong X là compact và với mọi dãy { } \nx X X
không có điểm tụ thì inf{ ( ) : } 0nI x n .
f) Tập các điểm tụ X’ trong X là compact và với mọi 1 0 tồn tại
2 0 sao cho với mọi x X thỏa mãn 1( , )d x X thì 2( )I x .
g) Mọi phủ mở của X có một số Lebesgue.
h) Mọi phủ mở của X bởi hai tập hợp có một số Lebesgue.
Chứng minh định lý 2.4
a) b): Hiển nhiên theo định nghĩa của không gian Atsuji.
b) c): Giả sử T là tập con đóng rời rạc của X nhưng T không rời rạc
đều. Dĩ nhiên, T phải vô hạn vì nếu T hữu hạn thì T là rời rạc đều.
Với mỗi n ta tìm được ,n nx y T sao cho n nx y và 1( , )n nd x y n .
Hơn nữa ta có thể xem xn và yn khác với 2n – 2 điểm trước đó là 1 2 1, ,..., nx x x
và 1 2 1, ,..., ny y y . Thật vậy, nếu ngược lại: với mọi ,m m n và với mọi
,x y T thỏa mãn 10 ( , )d x y
m
thì ta có 1 2 1 1 2 1{ , ,..., , , ,..., }n nx x x x y y y hoặc
1 2 1 1 2 1{ , ,..., , , ,..., }n ny x x x y y y . Vì 1 2 1 1 2 1{ , ,..., , , ,..., }n nx x x y y y là hữu hạn nên ta tìm
được 1 2 1 1 2 1{ , ,..., , , ,..., }n nz x x x y y y và một dãy tăng nghiêm ngặt { }kn sao
cho với mọi k tồn tại kz T thỏa mãn 10 ( , )k
k
d z z
n
. Điều này dẫn đến z
là một điểm tụ của T. Nhưng T là rời rạc và z T nên z không thể là điểm tụ
của T. Mâu thuẫn.
Bây giờ ta xét { : }nA x n và { : }nB y n thì A, B là hai tập đóng
rời nhau của X. Hơn nữa chúng còn là tập con của tập đóng và rời rạc T. Do
tính chuẩn tắc của X nên tồn tại hàm liên tục bị chặn : 0;1f X sao cho
( ) 0,f x x A và ( ) 1,f x x B . Rõ ràng f không liên tục đều vì
( , ) 0n nd x y nhưng ( ) ( ) 1n nf x f y . Điều này mâu thuẫn với b). Vậy c) đúng.
c) d): Ta có mọi tập con đóng rời rạc của X là rời rạc đều. Ta chứng
minh tập các điểm tụ X của X là compact trong X.
Giả sử X không compact, theo định lý 2.3 tồn tại dãy { }nx không có
điểm tụ trong X . Vì với mỗi n thì nx là một điểm tụ trong X nên có
ny X sao cho n ny x và 1( , )n nd x y n . Vậy ta có { } { }n nx y© . Vì { }nx không có
điểm tụ trong X nên { }ny cũng không có điểm tụ trong X. Cho nên
{ : } { : }n nx n y n không có điểm tụ trong X , hơn nữa nó còn là tập đóng
và rời rạc trong X. Nhưng nó không rời rạc đều. Điều này mâu thuẫn với c).
Vậy X là compact.
Bây giờ, với mọi 0 , tập \ ( , )X B X là đóng và rời rạc. Theo c) thì
\ ( , )X B X phải rời rạc đều.
d) e): Ta cần chứng minh nếu { }nx là một dãy trong \X X và không
có điểm tụ thì inf ( ) 0nn I x .
Giả sử inf ( ) 0nn I x . Tập { : }nA x n là không có điểm tụ, do dó nó là
tập đóng. Hơn nữa, A X và X là compact. Theo định lý 1.22 thì
( , ) 0d A X . Bây giờ, vì inf ( ) 0nn I x nên chúng ta có thể xét dãy con { }knx
của { }nx và một dãy { }ky X sao cho 10 ( , ) min{ , }2kn kd x y k
. Khi đó, với mỗi
k , với mỗi x X ta có ( , ) ( , ) ( , )
2 2k kk n n k
d y x d x x d x y .
Xét { : } { : }
kn k
C x k y k . Ta có \ ( , )
2
C X B X do đó nó rời rạc
đều. mâu thuẫn với cách chọn dãy { }
kn
x và { }ky . Vậy inf ( ) 0nn I x .
e) f): Giả sử tồn tại 1 nhưng không tồn tại 2 . Nghĩa là với mọi
n , ta có nx X thỏa mãn 1( , )nd x X nhưng 1( )nI x n . Ta có thể xem { }nx
bao gồm các điểm phân biệt của X. Vì { }nx là dãy chứa trong tập đóng
1\ ( , )X B X mà 1\ ( , )X B X và X là rời nhau nên { }nx không có điểm tụ
trong X. Theo e) thì inf ( ) 0nn I x . Mâu thuẫn với cách chọn nx sao cho
1( )nI x n
. Vậy f) đúng.
f) g): Xét { : }O là một phủ mở của X. Vì X là tập con
compact của X nên theo định lý 1.22 thì tồn tại 0 sao cho với mọi x X có
x thỏa mãn ( , ) xB x O .
Xét tập ( , )
2
B X . Với mọi ( , )
2
x B X có x X sao cho ( , )
2
d x x ,
suy ra ( , ) ( , )
2 x
B x B x O
.
Từ f) suy ra với mọi 0
2
, tồn tại 0 sao cho với mọi \ ( , )
2
x X B X
thì ( , ) { } ,B x x O .
Cuối cùng, ta đặt min{ , }
2
thì chính là số Lebesgue của X với
phủ { : }O .
g) h): Ta có:h) là hệ quả trực tiếp của g).
h) a): Giả sử A là tập con đóng khác rỗng của X và G là tập con mở
của X chứa A. Khi đó, ( \ )X G X A . Theo h) thì tồn tại 0 sao cho mọi
x X ta có ( , )B x G hoặc ( , ) \B x X A . Nếu x A thì ( , )B x G và do đó
( , )B A A . Theo định lý 3.3_h) thì ( , )X d là không gian Atsuji.
Chú ý: Điều kiện c) trong định lý 2.4 có thể được phát biểu như
sau:
“Nếu A là tập con vô hạn không có điểm tụ của X thì A là rời rạc đều
trong X.”
Ta sẽ tiếp tục phát biểu và chứng minh 4 điều kiện nữa cho không gian
Atsuji, các điều kiện này liên quan dãy điểm trong không gian X.
2.1.5. Định lý 2.5
Cho ( , )X d là không gian mêtric, các phát biểu sau là tương đương:
a) Tồn tại một không gian mêtric ( , )M chứa một đường sao cho bất
kỳ hàm liên tục : ( , ) ( , )f X d M là liên tục đều.
b) Nếu { }nx và { }ny là hai dãy tiệm cận trong X thỏa mãn ,n nx y n
thì dãy { }nx (hay tương đương { }ny ) có một điểm hội tụ trong X.
c) Mọi dãy từng cặp điểm cô lập trong X có một điểm hội tụ và mọi
dãy trong X có một điểm hội tụ.
d) Mọi dãy giả Cô-si, gồm các điểm khác nhau trong X có một điểm hội
tụ.
e) ( , )X d là không gian Atsuji.
Chứng minh định lý 2.5.
a) b): Giả sử b) không đúng, nghĩa là tồn tại hai dãy tiệm cận { }nx và
{ }ny trong X, ,n nx y n nhưng { }nx (tương đương { }ny ) không có điểm
hội tụ. bằng phương pháp tương tự như trong chứng minh định lý 2.3 phần i)
j), ta thu được hai tập đóng rời nhau B và C từ hai dãy { }nx và { }ny thỏa
mãn ( , ) 0d B C .
Do tính chuẩn tắc của X , tồn tại hàm : 0;1f X sao cho { } 0f B và
{ } 1f C . Bây giờ vì ( , )M có chứa một đường nên tồn tại hàm : 0;1 M
sao cho (0) (1)a b . Xét ánh xạ . : ( , ) ( , )g f X d M thì g là ánh xạ
liên tục nhưng g không liên tục đều. (Mâu thuẫn). Vậy b) phải đúng.
b) c): Giả sử { }nx là dãy các cặp điểm cô lập trong X. Xét hai dãy
2 1{ } { }n nz x và 2{ } { }n ny x . Khi đó, { }nz và { }ny là hai dãy tiệm cận trong X.
Theo b) thì { }nz và { }ny phải có chung điểm hội tụ. Do đó, { }nx cũng có điểm
hội tụ.
Bây giờ, nếu { }nx là một dãy trong X thì tồn tại dãy { }ny trong X sao
cho 10 ( , ) ,n nd x y nn
. Do đó, { }nx và { }ny là hai dãy tiệm cận trong X
nên { }nx có điểm hội tụ.
c) d): Giả sử, { }nx là một dãy giả Cô-si gồm các điểm phân biệt
trong X. Nếu với mọi n , nx X thì { }nx có dãy con { }knx trong X , theo c)
thì { }
kn
x có điểm hội tụ trong X . Do đó, { }nx có điểm hội tụ.
Bây giờ, nếu x X chỉ với hữu hạn n nào đó thì tồn tại 0n sao
cho với mỗi 0n n , nx là điểm cô lập trong X. Vì { }nx là dãy giả Cô-si và gồm
các điểm phân biệt nên tồn tại dãy con { }
kn
x của { }nx sao cho với mỗi k , knx là
điểm cô lập và
2 1 2
1( , )
k kn n
d x x
k
, nghĩa là { }
kn
x là dãy của các điểm cô lập trong
X. theo c) thì { }nx có điểm hội tụ.
d) e): Giả sử tồn tại một phủ mở { : }O của X không có số
Lebesgue. Khi đó, với mỗi n , 1
n
không là số Lebesgue của phủ. Do đó,
với mỗi n tồn tại 2 1nx X sao cho 2 1 1( , )nB x On Ú , với mọi . Vì
{ : }O là một phủ mở của X nên tồn tại n sao cho 2 1 nnx O . Nhưng
vì, 2 1
1( , )
nn
B x O
n
Ë nên tồn tại 2 2 1 1( , ) \ nn nx B x On sao cho 2 1 2
1( , )n nd x x n
.
Như vậy, ta thu được dãy { }nx là dãy giả Cô-si trong trong X. Do
2 1 2 ,n nx x n nên ta có thể tìm được dãy con { }knx , gồm các điểm phân biệt
của { }nx . Theo d) thì { }knx có điểm hội tụ và do đó { }nx cũng có điểm hội tụ,
gọi a là điểm hội tụ của { }nx . Lại vì { : }O là một phủ mở của X nên
a O , với nào đó thuộc . Suy ra, có 0 sao cho ( , )B a O .
Mặt khác a là một điểm hội tụ của { }nx nên tồn tại m sao cho 2m
và 2 1 ( , )2m
x B a . Khi đó, 2 1 1( , ) ( , )mB x B a Om . Nhưng điều nầy mâu thuẫn
với thực tế là với mọi n , 2 1 1( , ) ,nB x On Ë . Như vậy, mọi phủ mở của
X đều có một số Lebesgue. Theo định lý 2.4 thì (X,d) là không gian Atsuji.
e) a): Hiển nhiên theo định nghĩa không gian Atsuji.
Chú ý:
Điều kiện b) trong định lý trên còn có thể phát biểu theo cách khác như
sau: Với mọi dãy {xn} không có dãy con hội tụ trong X, chỉ có những dãy {x’n}
trong X thỏa mãn limd(xn,x’n)=0 là những dãy hầu như bằng với {xn} trong
trường hợp xn = x’n với hữu hạn giá trị của n .
Chúng ta đã biết rằng một không gian mêtric compact là không gian
Atsuji trong khi một không gian Atsuji là đầy đủ. Do đó, với một không gian
mêtric (X,d), tính chất làm cho nó thành không gian Atsuji liên quan giữa tính
compact và tính đầy đủ. Bởi vì một không gian mêtric là compact khi và chỉ
khi nó là compact đếm được, do đó với một không gian metric (X,d), các điều
kiện sau là tương đương:
a) (X,d) là compact.
b) Mọi họ các tập con đóng của X có tính chất giao hữu hạn thì có giao
khác rỗng.
c) Mọi dãy giảm các tập con đóng khác rỗng của X có giao khác rỗng.
Chú ý : Một họ các tập hợp F được gọi là có tính chất giao hữu hạn
nếu mọi giao hữu hạn của các tập hợp thuộc F là khác rỗng.
Mặt khác, định lý Cantor nói rằng một không gian mêtric ( , )X d là đầy
đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm các tập đóng khác rỗng, 1 2 ... ...nF F F ,
của X sao cho lim ( ) 0nn d F thì
1
n
n
F
.
Vào năm 1930, trong quyển “Sur les espaces complets”, Casimir
Kuratowski đã đưa ra một kết quả tương tự, thậm chí tổng quát hơn định lý
Cantor. Trước khi phát biểu kết quả của Kuratowski, ta cần có một số khái
niệm sau:
Định nghĩa 2.6: Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A là tập con
khác rỗng của X. Khi đó ta định nghĩa ( )A và ( )A như sau:
a) ( )A = inf{ 0 : A có thể được phủ bởi một số hữu hạn tập hợp có
đường kính nhỏ hơn }.
b) ( )A = inf{ 0 : ( , )A B F , với F là tập con hữu hạn của X}.
Quy ước: ( ) ( ) 0 .
Kí hiệu được hiểu là độ đo Kuratowski của tính không compact. Kí
hiệu được hiểu là độ đo Hausdorff hoặc độ đo cầu của tính không compact.
Chú ý: Một tập con A của X là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu
( ) 0 ( )A A . Thực ra, cả và là không hoàn toàn bị chặn. Ngoài ra,
và là tương đương nhau trong một số trường hợp vì
( ) ( ) 2 ( ),A A A A X .
Định lý 2.7 (Định lý Kuratowski):
a) ( , )X d là không gian mêtric đầy đủ.
b) Với mọi dãy giảm 1 2 ... ...nF F F các tập con đóng, khác rỗng
của X sao cho lim ( ) 0nn F thì
1
n
n
F
và là tập compact.
c) Với mọi dãy giảm 1 2 ... ...nF F F các tập con đóng, khác rỗng
của X sao cho lim ( ) 0nn F thì
1
n
n
F
và là tập compact.
Để phát biểu và chứng minh các kết quả tiếp theo về không Atsuji, ta
cần một vài định nghĩa và bổ đề.
Định nghĩa 2.8
Cho (X,d) là một không gian mêtric và A là tập con khác rỗng của X.
Khi đó ta định nghĩa:
( ) sup{ ( , \{ }) : }d A d a X a a A
( ) inf{ ( , \{ }) : }d A d a X a a A
Theo định nghĩa ta thấy ngay ( ) ( )d A d A và ( ) ( )d A d B nếu
A B X . Ta cũng dễ chứng minh được ( ) ( )d A d A . Nếu { }A x thì
( ) ( ) ( )d A d A I x .
Trong định nghĩa trên nếu A B X thì ta kí hiệu:
( ) sup{ ( , \{ }) : }Bd A d a B a a A
( ) inf{ ( , \{ }) : }Bd A d a B a a A
Bổ đề 2.9
Cho (X,d) là một không gian mêtric và { }nx X thỏa mãn lim ( ) 0nn I x .
Nếu { }nx có điểm hội tụ x X thì x cũng là điểm tụ của X.
Bây giờ ta tiếp tục phát biểu và chứng minh 4 điều kiện nữa cho không
gian Atsuji.
2.1.6. Định lý 2.10
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Các phát biểu sau là tương đương:
a) ( , )X d là không gian Atsuji.
b) Cho { }nx là một dãy trong X sao cho dãy { ( )}nI x hội tụ đến 0 , khi đó
{ }nx có điểm hội tụ.
c) Cho F là một họ các tập con đóng của X có tính chất giao hữu hạn.
Nếu tồn tại dãy { }nA F sao cho lim ( ) 0nn d A thì { : }F F F .
d) Với mọi dãy giảm 1 2 ... ...nF F F các tập con đóng, khác rỗng
của X sao cho lim ( ) 0nn d F thì
1
n
n
F
.
e) Với mọi dãy giảm 1 2 ... ...nF F F các tập con đóng, khác rỗng
của X sao cho lim ( ) 0nn d F thì
1
n
n
F
.
Chứng minh định lý 2.10
a) b): Ta có ( , )X d là không gian Atsuji và { }nx là một dãy trong X
sao cho lim ( ) 0nn I x . Ta chứng minh { }nx có điểm hội tụ.
Giả sử { }nx không có điểm hội tụ. Theo định lý 2.2 thì tập
{ : }nB X x n và hữu hạn và inf{ ( ) : } 0n nI x x B . Dễ thấy, khi đó
lim ( ) 0nn I x . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy { }nx có điểm hội tụ.
b) c): Giả sử F là họ các tập con đóng của X có tính chất giao hữu
hạn. Giả sử tồn tại dãy { }nA F sao cho lim ( ) 0nn d A . Ta cần chứng minh rằng
{ : }F F F .
Chú ý rằng nếu b) đúng thì X là compact vì x X nếu và chỉ nếu
( ) 0I x . Như vậy, nếu { }nx là một dãy trong X thì { }nx có một dãy con hội tụ
và điểm hội tụ này phải thuộc X vì X đóng.
Bây giờ, giả sử là một họ con hữu hạn của F . Với mọi n , đặt
1
( ) ( { : })
n
n i
i
E A F F
. Vì F có tính chất giao hữu hạn nên nE .
Với mọi n , lấy n nx E . Do tính đơn điệu của d nên
( ) ({ }) ( ) ( )n n n nI x d x d E d A . Nhưng lim ( ) 0nn d A nên lim ( ) 0nn I x , do đó, theo
b) thì { }nx có một điểm hội tụ x X .
Vì lim ( ) 0nn I x nên theo bổ đề 2.9 ta có x X . Bây giờ vì nx x nên
{ }nx có dãy con { }knx sao cho knx x . Chú ý là với mỗi m
thì ,
kn m
x E k m . Nhưng mE là đóng nên ,mx E m nghĩa là
1
n
n
x E
và điều này kéo theo
1
( )n
n
x E X
. Nhưng
1( ) ( { : }) { : }n
n
E X F F X F X F
. Do đó, họ các tập đóng
{ : }F X F F có tính chất giao hữu hạn. Nhưng X là compact do vậy
{ : }F X F F và điều này kéo theo { : }F F F .
c) d): Hiển nhiên.
d) a): Giả sử { }nx là dãy giả Cô-si gồm các điểm phân biệt trong X.
Nếu cần, bằng cách thông qua dãy con, ta có thể giả thiết rằng với mỗi n ,
2 1 2
1( , )n nd x x n
. Với mỗi n , đặt { : }n kB x k n và n nA B . Vì các điểm của
{ }nx là khác nhau nên
2( ) ( ) ( )n n nd A d B d B n
và do đó lim ( )nn d A . Ta cũng có
{ }nA là dãy giảm. theo d) thì
1
n
n
A
. Lấy
1
n
n
x A
. Khi đó, với 0 , với
n tồn tại k n sao cho ( , )kd x x . Do đó, x là điểm hội tụ của { }nx . Theo
định lý 2.5 thì (X,d) là không gian Atsuji hay a) đúng.
b) e): Cho { }nF là dãy giảm các tập con đóng khác rỗng của X thỏa
mãn lim ( ) 0nn d F . Với mỗi n chọn n nx F sao cho
1( ) ( )n nI x d F n
. Vì
lim ( ) 0nn d F nên lim ( ) 0nn I x . Theo b) thì { }nx có điểm hội tụ x . Vì { }nF là dãy
giảm nên với mỗi k thì { : }n kx n k F . Do đó, ,k kx F F k . Suy ra
1
n
n
x F
hay
1
n
n
F
.
e) d): Là hiển nhiên đúng do nhận xét ( ) ( ),d A d A A X .
Như vậy, ta đã phát biểu và chứng minh 25 điều kiện tương đương để
một không gian mêtric trở thành không gian Atsuji. Và ta cũng có thêm một
nhận xét như sau:
Hệ quả 2.11:
Mọi tập con đóng của không gian Atsuji là không gian Atsuji.
Chứng minh:
Giả sử A là tập con đóng của X và { }nx A là dãy giả Cô-si. Do (X,d)
là không gian Atsuji nên { }nx có điểm tụ x trong X. Lại vì A là đóng trong X
nên x A . Vậy ( , )AA d là không gian Atsuji.
Nhận xét:
Ta đã biết rằng nếu (X,d) là không gian Atsuji thì X là compact. Bây
giờ, ta muốn đặt vấn đề là khi nào điều ngược lại là đúng. Cụ thể hơn là nếu
X là compact trong một không gian mêtric X thì khi đó liệu có một mêtric
tương thích nào đó làm cho ( , )X trở thành không gian Atsuji không? Và
câu trả lời là có thể. Vấn đề này xin giành cho độc giả có quan tâm (có thể
xem [9], [14], [17]).
Như vậy, chúng ta đã trình bày 25 điều kiện tương đương cho một
không gian Atsuji.
Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu về một lớp các không gian tương tự. Đó là
không gian Atsuji bị chặn.
2.2. Không gian Atsuji bị chặn (hay không gian UC bị chặn)
2.2.1. Định nghĩa 2.13
Một không gian mêtric ( , )X d được gọi là không gian Atsuji bị chặn
(hay UC bị chặn) nếu mọi tập con đóng và bị chặn của ( , )X d là không gian
Atsuji.
2.2.2. Định nghĩa 2.14
Cho ( , )X d là một không gian mêtric và A là tập con khác rỗng của X .
Hàm số f trên ( , )X d được gọi là hội tụ-bị chặn trên A nếu với 0r tập
{ ( ) : , ( ) }f x x A I x r bị chặn.
Chú ý: Với không gian mêtric ( , )X d trù mật trong chính nó (nghĩa là
X X ) thì mọi hàm hội tụ-bị chặn trên X đều bị chặn.
2.2.3. Định lý 2.15
Với một không gian mêtric ( , )X d , các phát biểu sau là tương đương:
a) Cho { }nx là một dãy bị chặn, không có điểm hội tụ trong X và
B={ n : nx không phải là cô lặp trong X }. Khi đó, B là hữu hạn và
inf{ ( ) : } 0nI x n B .
b) Với một không gian đều S đã cho, mọi hàm liên tục :f X S là liên
tục đều trên mọi tập con bị chặn của X. Hiển nhiên, trên X ta xét cấu trúc đều
sinh bởi d .
c) Tồn tại x X sao cho với mọi 0r , bất kỳ hàm số liên tục trên X là
liên tục đều trên quả cầu ( , )B x r .
d) ( , )X d là không gian Atsuji bị chăn.
e) Mọi hàm số liên tục trên ( , )X d là hội tụ-bị chặn trên mọi tập con bị
chặn của X.
f) Cho { }nA là dãy các tập con của X thỏa mãn: với k , kA bị chặn và
1
n
n
A
. Khi đó, tồn tại 0r sao cho
1
( , )n
n
B A r
.
g) Cho { }nA là dãy các tập con khác rỗng, bị chặn của X thỏa
1
n
n
A
.
Khi đó, tồn tại 0r sao cho
1
( , )n
n
B A r
.
h) Với mọi tập con A , khác rỗng, đóng và bị chặn của X và với mọi tập
mở G của X chứa A , tồn tại 0r sao cho A B G .
i) Cho A là tập con bị chặn, không có điểm tụ của X . Khi đó, A X là
hữu hạn và inf{ ( ) : \ } 0I x x A X .
Chứng minh định lý 2.15:
a) b): Giả sử A là tập con khác rỗng, bị chặn của X. Đặt ( ,1)C ._.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
LA7597.pdf
