Khảo sát Tôpô trên không gian các hàm chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ LÝ THỊ LOAN THẢO KHẢO SÁT TÔ PÔ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành Phố Hồ Chí Minh - 2008 1 LÔØI CAÛM ÔN Tröôùc tieân , toâi xin baøy toû loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc ñeán TS . Nguyeãn Haø Thanh . Thaày ñaõ taän tình höôùng daãn , giuùp ñôõ , trang bò nhieàu taøi lieäu vaø truyeàn cho toâi nhöõng kieán thöùc quyù baùu trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø thöïc hieän luaän vaên naøy . Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn söï giaûng daïy nhieät tình quyù baùu cuûa caùc thaày – coâ trong khoa Toaùn trong suoát quaù trình hoïc taäp . Xin gôûi lôøi caûm ôn chaân thaønh ñeán quyù thaày coâ phoøng Khoa hoïc Coâng ngheä – Sau Ñaïi hoïc ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi thöïc hieän luaän vaên . Trong quaù trình hoïc taäp vaø thöïc hieän luaän vaên , Ban Giaùm Hieäu tröôøng THPT chuyeân Löông Theá Vinh ñaõ heát söùc giuùp ñôõ , taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn thaønh toát khoaù hoïc. Toâi xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán Ban Giaùm Hieäu nhaø tröôøng . Cuoái cuøng , toâi xin caûm ôn gia ñình , baïn beø, ñoàng nghieäp vì ñaõ uûng hoä, ñoäng vieân , khích leä toâi trong thôøi gian qua. Tp. Hoà Chí Minh thaùng 10 naêm 2008 Taùc giaû Lyù Thò Loan Thaûo 4 MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù doùùù choïn ñeà taøi ï à øï à øï à ø Caáu truùc khoâng gian vectô toâpoâ H(U) , U laø taäp con môû cuûa CM ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû nhö Grothendieck , G Kothe vaø Martineau . Toâpoâ môû compact laàn ñaàu tieân ñöôïc khaûo saùt treân khoâng gian caùc haøm chænh hình bôûi Alexander vaø Nachbin. Tuy nhieân , khoâng chæ coù caùc toâpoâ thoâng duïng treân ñöôïc khaûo saùt treân khoâng gian caùc haøm chænh hình . Naêm 1969 , Nachbin ñaõ giôùi thieäu toâpoâ ωτ treân khoâng gian caùc haøm chænh hình vaø cuõng trong thôøi gian naøy Coeureù ñaõ ñöa vaøo trong khoâng gian caùc haøm chænh hình toâpoâ δτ döïa treân caùc ñònh nghóa môû roäng cuûa Nachbin. Vieäc nghieân cöùu tính chaát toâpoâ ωτ , δτ treân khoâng gian caùc haøm chænh hình ñaõ ñöôïc quan taâm ñaëc bieät bôûi raát nhieàu nhaø toaùn hoïc trong thôøi gian gaàn ñaây. Luaän vaên cuûa chuùng toâi ñaëc bieät quan taâm ñeán hai toâpoâ naøy : ωτ , δτ treân khoâng gian H(U) vôùi U laø taäp con môû caân cuûa khoâng gian Banach vôùi cô sôû khoâng ñieàu kieän hoaëc laø moät ña ñóa môû trong khoâng gian DN haïch ñaày ñuû coù cô sôû . Vì vaäy, ñeà taøi nghieân cöùu cuûa chuùng toâi laø “ khaûo saùt toâpoâ û ù â âû ù â âû ù â â ωτ , δτ treân khoâng gian caùc haøm chænh hìnhâ â ù øâ â ù øâ â ù ø ”. 5 2. Muïc ñích nghieân cöùu :ï â ùï â ùï â ù Trong luaän vaên naøy , chuùng toâi trình baøy moät soá tính chaát cuûa toâpoâ ωτ , δτ treân khoâng gian caùc haøm chænh hình vaø khaûo saùt ñieàu kieän ñeå ωτ = δτ . 3. Ñoái töôïng vaø noäi dung nhieân cöùu á ï ø ä â ùá ï ø ä â ùá ï ø ä â ù Khoâng gian caùc haøm chænh hình . Cuï theå laø khoâng gian Banach vôùi cô sôû khoâng ñieàu kieän vaø khoâng gian DN haïch ñaày ñuû coù cô sôû . 4. YÙ nghóa khoa hoïc thöïc tieãn :Ù ï ï ãÙ ï ï ãÙ ï ï ã Khaûo saùt caùc toâpoâ ωτ , δτ treân moät soá khoâng gian caùc haøm chænh hình cuï theå vaø tìm ñieàu kieän ñeå ωτ = δτ . 5. Caáu truùc luaän vaên :á ù ä êá ù ä êá ù ä ê Noäi dung cuûa luaän vaên chuùng toâi goàm phaàn môû ñaàu , boán chöông noäi dung vaø phaàn keát luaän . Cuï theå : Phaàn môû ñaàu : Neâu lyù do choïn ñeà taøi . Phaàn noäi dung : Chöông 1 : Trong chöông naøy toâi trình baøy caùc kieán thöùc cô baûn veà khoâng gian toâpoâ , khoâng gian loài ñòa phöông vaø toâpoâ loài ñòa phöông treân khoâng gian caùc haøm chænh hình ñeå chuaån bò cho caùc chöông sau. Chöông 2 : Toâpoâ treân khoâng gian ña thöùc . Trong chöông naøy chuùng toâi ñònh nghóa caùc toâpoâ treân khoâng gian aùnh xaï tuyeán tính vaø caùc toâpoâ treân khoâng gian ña thöùc. 6 Chöông 3 : Haøm chænh hình treân khoâng gian Banach vôùi cô sôû khoâng ñieàu kieän . Trong chöông naøy keát quaû chính laø ñònh lyù sau : ‘‘ Neáu U laø moät taäp con môû caân cuûa khoâng gian Banach E vôùi cô sôû khoâng ñieàu kieän thì ω δτ τ= treân H(U)’’. Chöông 4 : Haøm chænh hình treân khoâng gian DN coù cô sôû . Trong chöông naøy keát quaû chính laø ñònh lyù sau : ‘‘ Neáu U laø moät ña ñóa môû trong khoâng gian DN haïch ñaày ñuû coù cô sôû E thì 0 δτ τ= treân H(U)’’. Phaàn keát luaän : Ñöa ra nhöõng nhaän xeùt khi khaûo saùt caùc toâpoâ ωτ , δτ treân khoâng gian caùc haøm chænh hình cuï theå . 7 Chöông 1 KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 1. Moät soá lyù thuyeát toâpoâä á ù á â âä á ù á â âä á ù á â â 1.1 . Khoâng gian vectô toâpoââ â ââ â ââ â â 1.1.1. Ñònh nghóa Cho E laø moät khoâng gian vectô treân tröôøng K , τ laø moät toâpoâ treân E . Khi ñoù,(E,τ ) ñöôïc goïi laø khoâng gian vectô toâpoâ neáu : (i). (E,τ ) laø khoâng gian toâpoâ taùch . (ii). Caùc aùnh xaï sau lieân tuïc : ( , ) E E E x y x y × → +֏ ; ( , ) K E E x xα α × → ֏ . 1.1.2. Khoâng gian toâpoâ compac â â ââ â ââ â â Moät hoï S nhöõng taäp con khoâng roãng cuûa moät taäp E goïi laø moät loïc treân E neáu : (i). ,A B S A B S∈ ⇒ ∩ ∈ , (ii). ,A S A B B S∈ ⊂ ⇒ ∈ Cho khoâng gian toâpoâ E . Ta noùi moät loïc S treân E hoäi tuï tôùi x neáu moãi laân caän cuûa E ñeàu bao haøm moät taäp thuoäc S. Khi ñoù x goïi laø giôùi haïn cuûa S. Ta noùi moät loïc S maïnh hôn moät loïc T neáu ⊂T S . Moät khoâng gian toâpoâ E goïi laø compac neáu moãi loïc S treân E ñeàu coù moät loïc maïnh hôn hoäi tuï. 8 1.1.3. Ñònh lyù1ùùù Moät taäp con M cuûa moät khoâng gian toâpoâ E laø compac khi vaø chæ khi noù coù moät trong hai ñieàu kieän döôùi ñaây : (i). Moïi phuû môû cuûa M ñeàu chöùa moät phuû con höõu haïn . (ii). Baát kyø hoï taäp ñoùng naøo trong E maø coù giao khoâng caét M thì phaûi chöùa moät hoï con höõu haïn vaãn coù giao khoâng caét M. 1.2. Khoâng gian loài ñòa phöông â àâ àâ à 1.2.1. Taäp loài ä àä àä à – haáp thuï á ïá ïá ï - caânâââ Cho E laø moät khoâng gian vectô treân tröôøng K vaø moät taäp U chöùa trong E. • Taäp U ñöôïc goïi laø loài ( convex) neáu : , , [0;1]x y U λ∀ ∈ ∀ ∈ ta coù (1 )x y Uλ λ+ − ∈ . • Taäp U ñöôïc goïi laø haáp thuï ( absobent) neáu : 0, 0λ∀ ∈ ∃ >x E sao cho 0,λ λ λ λ∀ ∈ ≥ ⇒ ∈K x U . • Taäp U ñöôïc goïi laø caân (balance) neáu : , 1K U Uαα α∀ ∈ ≥ ⇒ ⊂ . 1.2.2. Ñònh nghóa Khoâng gian vectô toâpoâ ñöôïc goïi laø loài ñòa phöông neáu noù coù moät cô sôû laân caän cuûa goác O goàm caùc taäp loài. 1.2.3. Meänh ñeà ä àä àä à 1 Trong moãi khoâng gian vectô toâpoâ loài ñòa phöông coù moät cô sôû laân caän loài , caân ñoái , haáp thuï vaø ñoùng. 9 1.3. Khoâng gian Frechet âââ 1.3.1. Chuaån ååå –nöûa chuaån û åû åû å Cho E laø moät khoâng gian vectô treân tröôøng R. Aùnh xaï : →p E R ñöôïc goïi laø moät nöûa chuaån neáu : (i). ( ) ( ) ( ), ,+ ≤ + ∀ ∈p x y p x p y x y E . (ii). ( ) . ( ), ,α α α= ∀ ∈ ∀ ∈p x p x R x E . Aùnh xaï : →p E R ñöôïc goïi laø moät chuaån neáu : (i). ( ) 0 0,= ⇔ = ∀ ∈p x x x E . (ii). ( ) ( ) ( ), ,+ ≤ + ∀ ∈p x y p x p y x y E . (iii). ( ) . ( ), ,α α α= ∀ ∈ ∀ ∈p x p x R x E . 1.3.2. Khoâng gian ñeám ñöôïc chuaånâ á ï åâ á ï åâ á ï å Moät khoâng gian vectô toâpoâ loài ñòa phöông maø toâpoâ ñöôïc xaùc ñònh bôûi moâït hoï nöûa chuaån { } Apα α ∈ höõu haïn hoaëc ñeám ñöôïc vaø thoaû ñieàu kieän taùch sau ñaây thì ñöôïc goïi laø khoâng gian ñeám ñöôïc chuaån . 0, : ( ) 0αα∀ ≠ ∃ ∈ >x A p x 1.3.3 Ñònh lyùùùù 2 Caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông : (i). E laø khoâng gian ñeám ñöôïc chuaån. (ii). E laø khoâng gian loài ñòa phöông coù moät cô sôû laân caän ñeám ñöôïc. (iii). E laø khoâng gian loài ñòa phöông meâ–tríc hoaù ñöôïc. 10 1.3.4. Ñònh nghóa Moät khoâng gian ñeám ñöôïc chuaån vaø ñaày ñuû goïi laø khoâng gian Frechet. 1.3.5. Ñònh lyùùùù 3 Trong khoâng gian Frechet, moãi taäp V loài, caân ñoái, haáp thuï, ñoùng laø moät laân caän cuûa goác. 1.4. Khoâng gian Banacâââ h 1.4.1. Ñònh nghóa Caëp (E , p ) , trong ñoù E laømoät khoâng gian tuyeán tính vaø p laø moät chuaån treân E, goïi laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån. Khi ñoù haøm soá thöïc ρ xaùc ñònh treân E×E bôûi coâng thöùc ( , ) ( )ρ = −x y p x y laø moät meâtric. Neáu {xn} laø moät daõy phaàn töû cuûa E vaø x0∈ E thì 0lim n n x x →∞ = coù nghóa laø ( )0lim 0 →∞ − =n n p x x . Khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån (E, p ) ñaày ñuû ñoái vôùi meâtric xaùc ñònh nhö treân goïi laø moät khoâng gian Banach. 1.4.2. Ñònh lyù Hahn ùùù – Banach Cho E laø moät khoâng gian loài ñòa phöông , p laø moät nöûa chuaån lieân tuïc treân E vaø F laø khoâng gian con cuûa E . Khi ñoù: (i). Vôùi moãi '∈y F , toàn taïi '∈Y E sao cho =EY y . (ii). Vôùi moãi ∈z E ,toàn taïi '∈y E sao cho ( ) ( ), ( ) ( ),= ≤ ∀ ∈y z p z y x p x x E . (iii). Vôùi moãi ,∈ ≠ Ex E x O , toàn taïi '∈y E sao cho ( ) 0≠y x . 11 1.5.Toâpoâ â ââ ââ â loài ñòa phöôngààà 1.5.1. Toâpoâ hoäi tuï ñeàu â â ä ï àâ â ä ï àâ â ä ï à Cho E laø khoâng gian vectô toâpoâ , goïi E* laø khoâng gian caùc phieám haøm tuyeán tính treân E vaø E’ laø khoâng gian caùc phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân E . Ta goïi E’ laø khoâng gian ñoái ngaãu (toâpoâ) cuûa E. Cho M laø hoï con (baát kyø) cuûa hoï caùc taäp bò chaën trong E . Vôùi moãi M ta coù moät hoï sô chuaån { }( ), ' :∈ ∈Mp f f E M M , hoï naøy xaùc ñònh moät toâpoâ loài ñòa phöông treân E’ , nhaän laøm cô sôû laân caän caùc taäp coù daïng { }1: ( ) ,ε =< ∀ ∈ ni if f x x U M vôùi n laø soá töï nhieân baát kyø , ε laø soá nguyeân döông baát kyø vaø Mi laø nhöõng taäp baát kyø trong hoï M . Ta goïi nhöõng toâpoâ naøy laø M- toâpoâ treân E’ hay toâpoâ hoäi tuï ñeàu treân caùc taäp thuoäc hoï M . 1.5.2. Giôùi haïn xaï aûnhù ï ï ûù ï ï ûù ï ï û Giaû söû cho tröôùc : (i). Moät khoâng gian tuyeán tính E. (ii). Moät hoï khoâng gian loài ñòa phöông Ei , i∈I . (iii). Vôùi moãi i∈I , cho moät aùnh xa ïtuyeán tính fi : E → Ei . Khi ñoù toâpoâ loài ñòa phöông yeáu nhaát treân E sao cho taát caû caùc aùnh xaï fi lieân tuïc goïi laø toâpoâ loài ñòa phöông khôûi ñaàu cuûa hoï caùc toâpoâ cuûa caùc Ei vaø khoâng gian E vôùi toâpoâ ñoù ñöôïc goïi laø giôùi haïn xaï aûnh cuûa caùc khoâng gian loài ñòa phöông Ei ñoái vôùi caùc aùnh xaï fi . 1.5.3. Giôùi haïn quy naïp ù ï ïù ï ïù ï ï Giaû söû cho tröôùc : (i). Moät khoâng gian tuyeán tính E. (ii). Moät hoï khoâng gian loài ñòa phöông Ei , i∈I . 12 (iii). Vôùi moãi i∈I, cho moät aùnh xa ïtuyeán tính gi : Ei → E . Khi ñoù toâpoâ loài ñòa phöông maïnh nhaát treân E sao cho taát caû caùc aùnh xaï gi lieân tuïc goïi laø toâpoâ loài ñòa phöông taän cuøng cuûa hoï caùc toâpoâ cuûa caùc Ei vaø khoâng gian E vôùi toâpoâ ñoù ñöôïc goïi laø giôùi haïn quy naïp cuûa caùc khoâng gian loài ñòa phöông Ei ñoái vôùi caùc aùnh xaï gi . 2. Khoâng gian aùnh xaï tuyeán tính vaø khoâng gian ña thöùc thuaàn nhaátâ ù ï á ø â ù à áâ ù ï á ø â ù à áâ ù ï á ø â ù à á 2.1. Khoâng gian âââ ( , )na E FL , ( , )a s n E FL Cho E ,F laø caùc khoâng gian vectô treân tröôøng soá phöùc. Vôùi moãi ∈n N , ta kyù hieäu ( , )n a E FL laø khoâng gian aùnh xaï n-tuyeán tính töø E vaøo F . Khi F = C ta vieát ( )na EL . Moät aùnh xaï n-tuyeán tính L töø E vaøo F ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu 1 (1) ( )( , ..., ) ( , ..., )σ σ=n nL x x L x x vôùi moïi 1( ,..., )∈nx x E vaø moïi hoaùn vò σ cuûa n soá töï nhieân ñaàu tieân . Ta kyù hieäu ( , ) a s n E FL laø khoâng gian vectô caùc aùnh xaï n- tuyeán tính ñoái xöùng töø E vaøo F. 2.2. Khoâng gian âââ ( , )na E FP , ( , )a E FP Moät aùnh xaï töø khoâng gian loài ñòa phöông E vaøo khoâng gian loài ñòa phöông F laø söï hôïp thaønh cuûa aùnh xaï ñöôøng cheùo töø E vaøo En vaø aùnh xaï n- tuyeán tính töø E vaøo F ñöôïc goïi laø moät ña thöùc n-thuaàn nhaát . Ta kyù hieäu ( , )na E FP laø khoâng gian vectô caùc ña thöùc n -thuaàn nhaát töø E vaøo F . 13 Nhö vaäy moät aùnh xaï : →p E F laø moät ña thöùc n- thuaàn nhaát khi vaø chæ khi toàn taïi moät aùnh xaï n- tuyeán tính L töø E vaøo F sao cho tam giaùc sau giao hoaùn: Trong ñoù ( ) , ∆ = ∀ ∈nx x x E . Moät ña thöùc töø E vaøo F laø toång höõu haïn cuûa caùc ña thöùc thuaàn nhaát töø E vaøo F . Ta kyù hieäu ( , ) a E FP laø khoâng gian vectô caùc ña thöùc töø E vaøo F. 2.3. Khoâng gian âââ ( , )n E FP , ( , )n E FL , ( , )s n E FL Cho E , F laø caùc khoâng gian toâpoâ vaø cuõng laø khoâng gian vectô treân tröôøng soá phöùc . Khi ñoù ta kyù hieäu ( , )n E FP , ( , )n E FL , ( , )s n E FL laàn löôït laø khoâng gian ña thöùc n - thuaàn nhaát lieân tuïc töø E vaøo F ; khoâng gian aùnh xaï n - tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo F vaø khoâng gian aùnh xaï n - tuyeán tính ñoái xöùng lieân tuïc töø E vaøo F. Khi E , F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông , ta kyù hieäu cs(E) laø taäp hôïp caùc nöûa chuaån lieân tuïc treân E. 2.4. Khoâng gian âââ ( , )nHY E FP , ( , )nM E FP Phaàn töû P cuûa ( , )na E FP ñöôïc goïi laø noäi lieân tuïc neáu noù lieân tuïc treân caùc taäp con compac cuûa E . Ta kyù hieäu ( , )nHY E FP laø khoâng gian vectô caùc ña thöùc n- thuaàn nhaát noäi lieân tuïc töø E vaøo F. E En ( , )n a E FP ∆ F L p 14 Phaàn töû P cuûa ( , )a E FP ñöôïc goïi laø lieân tuïc Mackey (hoaëc Silva) neáu noù laø aùnh xaï töø taäp con bò chaën cuûa E vaøo taäp con bò chaën cuûa F . Ta kyù hieäu ( , )nM E FP laø khoâng gian vectô caùc ña thöùc n- thuaàn nhaát lieân tuïc Mackey töø E vaøo F. 2.5. Khoâng gianâââ nöûa ûûû – Montel , khoâng gian âââ bonrnological Moät khoâng gian loài ñòa phöông laø khoâng gian nöûa – Montel neáu moïi taäp bò chaën ñoùng cuûa noù ñeàu laø taäp compac. Moät khoâng gian loài ñòa phöông E ñöôïc goïi laø bonrnological khi vaø chæ khi ( , ) ( , )=M E F E FL L . 2.6. Khoâng gian âââ N ( , )n E FL , N ( , )n E FP Cho E , F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông . (i). ( , )∈ nL E FL ñöôïc goïi laø aùnh xaï n-tuyeán tính haïch töø E vaøo F neáu toàn taïi moät laân caän U loài ,bò chaën cuûa 0 trong E , moät taäp con bò chaën B cuûa E , ( ) 11 λ ∞= ∈k k e vaø daõy ( ), 1 , 1,...,φ ∞= =i k k i n vaø ( ) 1γ ∞=k k trong ñoù 0 , , ,φ ∈ ∀i k U i k vaø ,γ ∈ ∀k B k sao cho : 1 1, 1 , 11 ( , ..., ) ( )... ( ) , ( , ..., )λ φ φ γ∞ = = ∀ ∈∑ nn k k n k n k nkL x x x x x x E . Ta kyù hieäu N ( , )n E FL laø khoâng gian caùc aùnh xaï n-tuyeán tính haïch töø E vaøo F. (ii). ( , )∈ nP E FP ñöôïc goïi laø moät ña thöùc n-thuaàn nhaát haïch töø E vaøo F neáu toàn taïi moät laân caän U loài ,bò chaën cuûa 0 trong E , moät taäp con bò chaën B cuûa E , ( ) 11 λ ∞= ∈k k e vaø daõy ( ) 01φ ∞= ⊆k k U vaø ( ) 1γ ∞= ⊆k k B sao cho: 1 ( ) ( ) ,λ φ γ∞ = = ∀ ∈∑ k k kkP x x x E . 15 Ta kyù hieäu N ( , )n E FP laø khoâng gian caùc ña thöùc n-thuaàn nhaát haïch töø E vaøo F. 2.7 Khoâng gian haïch â ïâ ïâ ï 2.7.1. Ñònh nghóa Vôùi n =1 trong 2.6 (i) ta coù ñònh nghóa aùnh xaï tuyeán tính haïch töø E vaøo F. Moät khoâng gian loài ñòa phöông E ñöôïc goïi laø khoâng gian haïch neáu vôùi moãi ( )α ∈ cs E ñeàu toàn taïi ( ),β β α∈ ≥cs E sao cho aùnh xaï chính taéc töø βE vaøo αE laø aùnh xaï haïch. Moät khoâng gian loài ñòa phöông E ñöôïc goïi laø khoâng gian haïch ñoái ngaãu neáu 'βE laø khoâng gian haïch . 2.7.2. Ñònh lyù ùùù 4 Neáu E laø moät khoâng gian loài ñòa phöông haïch vaø ∈n N thì N ( ) ( )=n nE EL L vaø N ( ) ( )=n nE EP P . 3. Caùc toâpoâ loài ñòa phöông treân khoâng gian caùc haøm chænh hình ù â â à â â ù øù â â à â â ù øù â â à â â ù ø 3.1. Haøm chænh hìnhøøø 3.1.1.Taäp môû höõu haïn ä û õ ïä û õ ïä û õ ï Taäp con U cuûa khoâng gian vectô E ñöôïc goïi laø môû höõu haïn neáu U F∩ laø moät taäp con môû höõu haïn cuûa khoâng gian Euclide F vôùi moïi khoâng gian con höõu haïn chieàu F cuûa E. 3.1.2. Haøm G øøø - chænh hình : Moät haøm f xaùc ñònh treân moät taäp con môû höõu haïn U cuûa khoâng gian vectô E ,laáy giaù trò treân khoâng gian loài ñòa phöông F ñöôïc goïi laø G -chænh hình (chænh hình Gaâteaux) neáu vôùi moãi a∈ U , b∈ E vaø F∅ ∈ , haøm giaù trò 16 phöùc cuûa moät bieán phöùc ( )f a bλ λ→ Φ + laø chænh hình trong moät vaøi laân caän cuûa 0. Kyù hieäu HG(U,F) laø taäp caùc aùnh xaï G – chænh hình töø U vaøo F. 3.1.3. Boå ñeàå àå àå à Neáu E laø moät khoâng gian vectô , U laø moät taäp con môû höõu haïn chieàu cuûa E , F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø f ∈ HG(U,F) thì f lieân tuïc khi U ñöôïc cho bôûi toâpoâ môû höõu haïn . Chöùng minh : Deã thaáy fτ laø toâpoâ giôùi haïn quy naïp ñöôïc cho bôûi caùc aùnh xaï G E→ trong ñoù G laø khoaûng treân caùc khoâng gian con höõu haïn chieàu cuûa E. Do ñoù haøm f xaùc ñònh treân moät toâpoâ fτ taäp con môû U cuûa E laø lieân tuïc khi vaø chæ khi haïn cheá cuûa noù leân caùc nhaùt caét höõu haïn chieàu cuûa U laø lieân tuïc. Khi ñoù moät haøm giaûi tích bieán phöùc laø lieân tuïc vaø boå ñeà ñöôïc chöùng minh.
3.1.4.Ñònh nghóa (haøm øøø chænh hình ) Cho E vaø F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông vaø U laø moät taäp con môû cuûa E. Moät haøm f :U→ F ñöôïc goïi laø chænh hình neáu noù laø G -chænh hình vaø vôùi moãi Uξ ∈ , haøm 0 ( ) ( ) ! ξγ γ∞ = → ∑ m m d f m hoâïi tuï vaø xaùc ñònh moät haøm lieân tuïc treân laân caän cuûa 0. Ta kyù hieäu H(U,F) laø khoâng gian vectô caùc haøm chænh hình töø U vaøo F. 17 3.1.5. Boå ñeà å àå àå à 1 Neáu U laø moät taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E , F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø f ∈ HG(U,F) thì f ∈ H(U,F) khi vaø chæ khi ( , )n f H U Fα α∈ vôùi moïi α trong cs(F) . 3.1.6. Boå ñeà 2å àå àå à Neáu U laø moät taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E , F laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån vaø f ∈ HG(U,F) thì f ∈ H(U,F) khi vaø chæ khi f bò chaën ñòa phöông. 3.2. Caùc toâpoâ loài ñòa phöông ù â â àù â â àù â â à 3.2.1. Toâpoâ môû compacâ â ûâ â ûâ â û oτ Cho U laø moät taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông . Toâpoâ môû compac ( hay toâpoâ cuûa daïng hoäi tuï treân caùc taäp con compac cuûa U ) treân H(U,E) laø toâpoâ loài ñòa phöông sinh bôûi nöûa chuaån : , ,( ) sup ( ( )B K B K x K f f B f xρ ∈ = = . Trong ñoù K bieán thieân treân caùc taâïp con compac cuûa U vaø B bieán thieân treân nöûa chuaån lieân tuïc treân F . Ta kyù hieäu toâpoâ naøy laø oτ . 3.2.2. Toâpoâ â ââ ââ â ωτ 3.2.2.1. Ñònh nghóa 1 Cho U laø moät taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E vaø F laø moät khoâng gian tuyeán tính chuaån taéc . Moät nöûa chuaån ρ treân H(U,F) ñöôïc coi laø töïa treân taäp con compac K cuûa U neáu vôùi moãi taäp môû V , K V U⊂ ⊂ toàn taïi ( ) 0V >c sao cho ( ) ( ) V f V fρ ≤ c vôùi moïi f thuoäc H(U,F). 18 Toâpoâ ωτ treân H(U,F) laø toâpoâ loài ñòa phöông sinh bôûi taát caû caùc nöûa chuaån töïa treân caùc taäp con compac cuûa U. 3.2.2.2. Ñònh nghóa 2 Cho U laø moät taäp con môû cuûa moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông. Ta ñònh nghóa ωτ treân H(U,F) bôûi : ( ) ( )( )( ; ) , l im ( ; ) ,BB c s FH U F H U Fω ωτ τ∈= . 3.2.3. Toâpoâ â ââ ââ â δτ 3.2.3.1. Ñònh nghóa 1 Cho U laø moät taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E vaø F laø moät khoâng gian tuyeán tính chuaån taéc . Moät nöûa chuaån ρ treân Há(U,F) ñöôïc coi laø δτ lieân tuïc neáu vôùi moãi phuû môû ñeám ñöôïc taêng cuûa U, ( ) 1n nV ∞= , toàn taïi moät soá nguyeân döông n0 vaø c>0 sao cho 0 ( ) nV f fρ ≤ c vôùi moïi f trong H(U,F). Toâpoâ δτ treân H(U,F) laø toâpoâ loài ñòa phöông sinh bôûi toâpoâ δτ nöûa chuaån lieân tuïc. 3.2.3.2. Ñònh nghóa 2 Cho U laø taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông . Ta ñònh nghóa δτ treân H(U,F) bôûi : ( ) ( )( )( ; ), lim ( ; ),BB cs FH U F H U Fδ δτ τ∈= . 3.2.4. Boå ñeà å àå àå à Cho E vaø F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông vaø U laø moät taäp con môû cuûa E . Treân H(U,F) ta coù : 0δ ωτ τ τ≥ ≥ . 19 Chöùng minh : Khoâng maát tính toång quaùt , giaû söû raèng F laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån . Do ε ε≤ K V vôùi moïi V chöùa trong K neân 0ωτ τ≥ . Baây giôø giaû söû raèng ρ laø moät ωτ nöûa chuaån lieân tuïc treân H(U;F) töïa treân taäp con compac K cuûa U . Laáy ( ) 1nV n∞= laø moät phuû môû ñeám ñöôïc taêng cuûa U. Do K compac neân ta coù theå choïn n0 sao cho 0nV laø moät laân caän cuûa K . Khi ñoù toàn taïi c > 0 sao cho 0 ( )ρ ε ≤ Vnfc vôùi moïi f trong H(U;F). Ñieàu naøy chæ ra raèng ρ laø moät δτ lieân tuïc vaø boå ñeà ñöôïc chöùng minh.
3.2.5. Toâpoâ â ââ ââ â piτ Neáu U laø taäp con môû cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông thì toâpoâ piτ treân H(U;F) ñöôïc ñònh nghóa nhö laø giôùi haïn xaï aûnh cuûa H(K;F), trong ñoù K chaïy treân caùc taäp con compac cuûa U. 3.3. Ña ñóa Cho ( )≅ ΛE P laø moät khoâng gian daõy haïch vaø ( )∈ ΛA P . Khi ñoù A ñöôïc goïi laø moät ña ñóa neáu A coù moät trong hai daïng sau : (i). ( ) 1 ( ); sup 1n n nn n z P z β∞ = ∈ Λ < , (ii). ( ) 1 ( ); sup 1n n nn n z P z β∞ = ∈ Λ ≤ Trong ñoù [ ]0;β ∈ +∞n vôùi moïi n , .( )+∞ = +∞a neáu a > 0 vaø 0.( ) 0+∞ = . Moät ña ñóa coù daïng (i) laø môû khi vaø chæ khi ( )β ∈ n Pn vaø moät ña ñóa coù daïng (ii) thì luoân ñoùng. 20 3.4. Troïng soá ï áï áï á Cho p laø moät taäp hôïp caùc daõy soá thöïc khoâng aâm sao cho vôùi moãi soá nguyeân döông 0≥r toàn taïi ( ) 1α α ∞== ∈n n p vôùi 0α >r . Khoâng gian daõy ( )Λ p laø taäp taát caû caùc daõy soá phöùc ( ) 1∞=n nx sao cho 1 α ∞ = < ∞∑ n n n x vôùi moïi ( ) 1α α ∞== n n trong p . Chuùng ta cho ( )Λ p moät toâpoâ sinh bôûi nöûa chuaån αp , ( ) 1α α ∞== ∈n n p , trong ñoù ( )( )1 1 n n nn n p x xα α ∞ ∞ = = = ∑ vôùi moïi ( ) 1∞=n nx trong ( )Λ p . Khi ñoù phaàn töû cuûa p ñöôïc goïi laø troïng soá . Neáu ( ) 1β ∞=n n laø moät daõy soá khoâng aâm tuyø yù vaø ( ) 1 1 ( ); 1n n nn n x p x β∞∞ = =   ∈ Λ ≤    ∑ laø moät laân caän cuûa 0 thì ñöôïc goïi laø moät troïng soá lieân tuïc treân ( )Λ p . 21 Chöông 2 TOÂPOÂ TREÂN KHOÂNG GIAN ÑA THÖÙC Trong chöông naøy chuùng ta xeùt caùc toâpoâ treân caùc khoâng gian ña thöùc khaùc nhau maø ta ñaõ ñònh nghóa trong chöông tröôùc . Do ñònh lyù ñoái ngaãu cuûa khoâng gian loài ñòa phöông neân ( ) '=L E EP . Toâpoâ höõu ích nhaát laø toâpoâ maïnh nhaát – ñoù laø toâpoâ hoäi tuï ñeàu treân caùc taäp con bò chaën cuûa E . Toâpoâ naøy ñöôïc kyù hieäu laø β . 1. Caùc toâpoâ trù â âù â âù â â eân âââ ( ; )n E FP 1.1. Toâpoâ â ââ ââ â β treân âââ ( ; )nM E FP 1.1.1. Ñònh nghóa Cho E vaø F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông . Toâpoâ maïnh hoaëc toâpoâ β treân ( ; )nM E FP ñöôïc ñònh nghóa laø toâpoâ hoäi tuï ñeàu treân caùc taâïp con bò chaën cuûa E . ( )( ; ), βnM E FP laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø toâpoâ cuûa noù ñöôïc sinh bôûi nöûa chuaån ,α β , trong ñoù α bieán thieân treân cs(F) vaø β bieán thieân treân caùc taäp con bò chaën cuûa E. 1.1.2. Meänh ñeà ä àä àä à 1: Neáu E laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån vaø F laø moät khoâng gian Banach thì ( )( ; ), βn E FP laø moät khoâng gian Banach. 22 1.1.3. Meänh ñeà ä àä àä à 2: Neáu E laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông ñaày ñuû thì ( )( ; ), βnM E FP laø moät khoâng gian loài ñòa phöông ñaày ñuû. 1.2. Toâpoâ â ââ ââ â 0τ treân âââ ( ; )nHY E FP 1.2.1. Ñònh nghóa Cho E,F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông. Toâpoâ môû compac treân ( ; )nH Y E FP laø toâpoâ hoäi tuï ñeàu treân caùc taäp con compac cuûa E . Ta kyù hieäu toâpoâ naøy laø 0τ . ( )0( ; ),τnH Y E FP laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø toâpoâ cuûa noù ñöôïc sinh bôûi nöûa chuaån ,α K , trong ñoù α bieán thieân treân cs(F) vaø K bieán thieân treân caùc taäp con compac cuûa E . Vì moïi taäp con compac cuûa moät khoâng gian loài ñòa phöông ñeàu bò chaën neân ta coù 0β τ≥ treân ( ; )nHY E FP . Theo ñònh lyù Hahn – Banach ta coù 0β τ= khi vaø chæ khi bao loài ñoùng cuûa moãi taäp con bò chaën cuûa E laø compac, nghóa laø khi vaø chæ khi E laø khoâng gian nöûa – Montel. Vì giôùi haïn ñeàu cuûa caùc haøm lieân tuïc treân moät taäp compac laø lieân tuïc neân ta coù meänh ñeà sau : 1.2.2. Meänh ñeà ä àä àä à 3: Cho E laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông ñaày ñuû thì ( )0( ; ),τnH Y E FP laø moät khoâng gian loài ñòa phöông ñaày ñuû. 23 Do haïn cheá β vaø 0τ xaùc ñònh caùc toâpoâ loài ñòa phöông treân ( ; )n E FP neân chuùng ta caàn moät toâpoâ khaùc treân ( ; )n E FP . Toâpoâ naøy , kyù hieäu ωτ , laø toâpoâ maïnh nhaát treân ( ; )n E FP . Döïa vaøo coâng thöùc phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ta ñònh nghóa toâpoâ maïnh treân ( ; )n E FP khi E laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån vaø coù caùc tính chaát cuûa haøm giaûi tích trong lyù thuyeát bieán soá phöùc. Tröôùc tieân chuùng ta xeùt caùc ña thöùc coù giaù trò trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån. 1.3. Toâpoâ â ââ ââ â ωτ treân âââ ( ; )n E FP 1.3.1. Ñònh nghóa 1 Cho E laø moät khoâng gian loài ñòa phöông vaø F laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån. Toâpoâ ωτ treân ( ; )n E FP ñöôïc ñònh nghóa nhö moät toâpoâ giôùi haïn quy naïp trong phaïm truø caùc khoâng gian loài ñòa phöông vaø caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc cuûa ( ; ), ( )n E F cs Fα α ∈P , ñoù laø : ( ) ( ) ( ) ( ; ), lim ( ; ),n n cs F E F E Fω α α τ β → ∈ =P P . Nhö vaäy , moät nöûa chuaån p treân ( ; )n E FP laø ωτ lieân tuïc khi vaø chæ khi vôùi moïi laân caän V cuûa 0 trong E toàn taïi c(V) > 0 sao cho : ( ) ( ) ( ; )n V p P V P P E F≤ ∀ ∈c , P . Vì ( )( ; ),α βn E FP luoân laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån neân ( )( ; ), ωτn E FP laø moät khoâng gian bornological khi F laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån . Khi F laø moät khoâng gian Banach thì ( ; )αn E FP laø khoâng gian Banach vaø ( )( ; ),α ωτn E FP laø moät giôùi haïn quy naïp cuûa khoâng gian 24 Banach, nghóa laø moät khoâng gian ultrabornological. Ñaëc bieät khi ( )( ; ),α ωτn E FP laø moät khoâng gian loài ñòa phöông thuøng , nghóa laø moïi taäp con haáp thuï , loài , caân , ñoùng laø laân caän cuûa 0. Ta ñònh nghóa toâpoâ ωτ treân ( ; )n E FP . 1.3.2. Ñònh nghóa 2 Cho E vaø F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông. Khi ñoù ωτ ñöôïc ñònh nghóa treân ( ; )n E FP nhö sau : ( ) ( )lim lim ( ; ), lim ( ; ), ( ) ( ) ( ) n nE F E F cs F cs F cs F β τα γ ω γ α γ = ← → ← ∈ ∈ ∈         P P . Keát quaû sau seõ cho ta thaáy moái quan heä giöõa caùc toâpoâ ñaõ ñònh nghóa . 1.3.3. Meänh ñeà ä àä àä à 4: Cho E vaø F laø caùc khoâng gian loài ñòa phöông tuyø yù vaø n laø moät soá nguyeân döông baát kyø , ta coù a) 0ωτ β τ≥ ≥ treân ( ; )n E FP . b) β vaø 0τ cuøng xaùc ñònh treân caùc taäp con bò chaën cuûa ( ; )n E FP vaø do ñoù coù cuøng toâpoâ bornological . Baây giôø chuùng ta cho moät soá ví duï cô baûn lieân quan ñeán caùc toâpoâ treân. 1.4. Ví duïïïï 1.4.1. Ví duïïïï1 Neáu E laø khoâng gian Banach höõu haïn chieàu vaø F laø moät khoâng gian loài ñòa phöông thì 0ωτ β τ= ≥ treân ( ; )n E FP . Tuy nhieân 0τ vaø ωτ coù cuøng caùc taäp bò chaën vaø do ñoù ωτ laø toâpoâ bornological lieân keát vôùi 0τ . 25 1.4.2. Ví duï ïïï 2 Cho E laø moät giôùi haïn quy naïp ñeám ñöôïc cuûa caùc khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån vaø F laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån . Khi ñoù 0τ , β vaø ωτ cuøng xaùc ñònh treân caùc taäp con bò chaën cuûa ( ; )n E FP . Vì E chöùa trong moät heä cô baûn ñeám ñöôïc cuûa caùc taäp bò chaën neân ( )( ), βn EP meâtric hoaù ñöôïc vaø do ñoù laø khoâng gian bornological . Vì theá τ βω = treân ( ; )n E FP . 1.4.3. Ví duïïïï 3 Cho ( )= ×N NE C C . Chuùng ta chæ ra raèng ωτ vaø 0τ khoâng cuøng xaùc ñònh treân caùc taäp con bò chaën cuûa 2( )EP neân chuùng khoâng baèng nhau. Cho : →np E C ñöôïc xaùc ñònh bôûi ( )( ) , ( ) =n n n n n n np x y x y vaø 1( )n nB p ∞== . Neáu K laø moät taäp con compac cuûa E thì toàn taïi caùc taäp con compac 1K vaø 2K cuûa NC vaø ( )NC sao cho 1 2⊂ ×K K K . Khi ñoù , moïi taäp con compac cuûa ( )NC ñeàu höõu haïn chieàu vaø do ñoù 0=n Kp vôùi moïi n ñuû lôùn . Nhö vaäy B laø moät taäp con bò chaën cuûa ( )2 0( ),τEP . Cho (0, ...,1, 0, ...)= ∈ Nnu C vaø ( , ...,1, 0, ...)= ∈ Nnv p C , trong ñoù 1 ôû vò trí thöù n vaø p laø nöûa chuaån treân 2( )EP xaùc ñònh bôûi : 2 1 ( ) ( , ) (0, ) , ( )∞ = = − ∀ ∈∑ n n nnp P p nu v p v p EP Neáu ( )α ∈ cs F thì ( , 0) 0α =nu vôùi moïi n ñuû lôùn . Do ñoù ( , ) (0, )=n n np nu v p v vôùi moïi n ñuû lôùn vaø ( ) < ∞p P vôùi moïi 2( )P E∈P . Vì nöûa chuaån ñi töø 2( )∈p EP ñeán ( , ) (0, )−n n np nu v p v laø 0τ neân noù laø ωτ lieân tuïc vaø ( )2( ), ωτEP laø thuøng , suy ra p laø ωτ nöûa chuaån lieân tuïc treân 26 2( )EP . Do ( ) =np p n vôùi moïi n neân ta coù B khoâng phaûi laø taäp con ωτ bò chaën cuûa 2( )EP . Vì theá ta coù ( )2 0( ),τEP laø moät khoâng gian bornological vaø ωτ laø toâpoâ thuøng lieân keát vôùi 0τ treân 2( )EP . Keát quaû naøy cuõng deã daøng ñöôïc môû roäng cho ( )n EP . 2. Caùc toâpoâ treân ù â â âù â â âù â â â ( )nN EL Baây giôø chuùng ta seõ ñònh nghóa 3 toâpoâ treân ( )nN EP , 0 , Bpi pi vaø ωpi . Caùc toâpoâ naøy laàn löôït töông öùng vôùi 0τ , β vaø ωτ treân ( )n EP . Neáu B laø moät taäp con loài , caân cuûa khoâng gian loài ñòa phöông E vaø ( )∈ nNL EL , ta coù : { }1 1 ,1 , ,( ) inf ... ; ... ; ',1 ,k kB k k n k iB BL L Ek k npi ψ ψ ψ ψ ψ∞ ∞= == = ∀ ∈∑ ∑ vaø neáu ( )nNP E∈P ta coù : { }1 1( ) inf ; ; ' , B n n k kB k kP P E kkpi ψ ψ ψ ∞ ∞ = = = = ∈ ∀∑ ∑ . Ta coù ( )B Lpi vaø ( )B Ppi coù theå voâ haïn . Tuy nhieân , neáu B bò chaën thì ( )B Lpi vaø ( )B Ppi luoân höõu haïn . Hôn nöõa , töø ñònh nghóa neáu ( )∈ nNL EL ( töông öùng ( )nNP E∈P ) thì toàn taïi moät laân caän V cuûa 0 sao cho ( )pi < ∞V L vaø ( )pi < ∞V P . Töø ñoù chuùng ta coù ñònh nghóa sau : 2.1. Toâpoâ â ââ ââ â 0pi , Bpi , ωpi a) Toâpoâ 0pi treân ( )nN EL ( töông öùng ( )nN EP ) laø moät toâpoâ loài ñ._.