Khảo sát năng lượng tương quan Positron - Electron trong phân tử đồng oxit

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHẢO SÁT NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN POSITRON – ELECTRON TRONG PHÂN TỬ ĐỒNG OXIT CBHD: ThS. Trịnh Hoa Lăng SVTT: Phạm Thị Phú TP. HỒ CHÍ MINH – 2010 LÔØI CAÛM ÔN Sau khi hoaøn thaønh khoùa luaän toát nghieäp vôùi ñeà taøi "khaûo saùt naêng löôïng töông quan electron - positron trong phaân töû ñoàng oxit". Toâi xin chaân thaønh göûi lôøi caûm ôn ñeán: Thaày Trònh Hoa Laêng ngöôøi ñaõ chæ höôùng, cung caáp taøi lieäu tham khaûo vaø söûa chöõa sai soùt cho toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän ñeà taøi. Toaøn theå caùc thaày coâ khoa vaät lyù tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh, ñaõ truyeàn ñaït cho toâi nhöõng kieán thöùc quyù baùu trong suoát boán naêm hoïc taïi tröôøng. Ngöôøi thaân vaø taát caû caùc baïn ñaõ ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh khoùa luaän. Moät laàn nöõa toâi xin caûm ôn taát caû moïi ngöôøi vaø xin nhaän nôi toâi loøng bieát ôn saâu saéc nhaát. Thaønh phoá Hoà Chí Minh thaùng 5 -2010 Sinh vieân thöïc hieän: Phaïm Thò Phuù - K32. DANH MUÏC CAÙC KYÙ HIEÄU, CAÙC CHÖÕ VIEÁT TAÉT  Caùc kyù hieäu. n: soá löôïng töû chính. l: soá löôïng töû quyõ ñaïo. a0: baùn kính Bohr. me: khoái löôïng electron.  : soá PI. EL: naêng löôïng cuïc boä. Z: ñieän tích hieäu duïng.  : haèng soá Planck. : maät ñoä. H: Hamilton. : toaùn töû Gradien. 2: toaùn töû Laplace. : delta Dirac. T : haøm soùng thöû. : haøm soùng cuûa heä. J: haøm Jastrow. N: soá haït electron. T: ñoäng naêng. E: naêng löôïng. pe cE  : naêng löôïng töông quan electron – positron. V: theá naêng.  Caùc chöõ vieát taét. Ps: positronium. e+A: hệ liên kết positron - nguyên tử. : gamma. I: theá ion cuûa nguyeân töû CuO: phaân töû ñoàng oxit a.u: Ñôn vò nguyeân töû (atomic unit). e – p: electron – positron. VMC: Variational Monte Carlo. CAÙC ÑÔN VÒ Caùc ñôn vò tính toaùn trong nguyeân töû Ñaïi löôïng Kyù hieäu Trong heä SI Trong heä ñôn vò nguyeân Baùn kính Bohr a0 5,291 772 108x10-11 m 1 Khoái löôïng electron me 9,109 3826x10 -31 kg 1 Ñieän tích electron. E 1,602 176 53x10-19 C 1 Haèng soá Planck  1,054 571 68x10-34 J s 1 Naêng löôïng tính theo Hartree 1 Hartree 4,359 744 17x10-18 J (27,211 3845 eV) 1 Haèng soá Rydberg Ry 1,0973731568525x 107/m. (13,9056923 eV) 0,5 LỜI MỞ ĐẦU Positron laø phaûn haït cuûa electron ñöôïc khaùm phaù lyù thuyeát bôûi Paul Dirac naêm 1928, sau ñoù ñöôïc Carl D. Andersen quan saùt thöïc nghieäm naêm 1932. Vaø ngaøy 15 thaùng 3 naêm 1933, sau khi taïp chí khoa hoïc Myõ chuyeân ñeà vaät lyù xuaát baûn baøi "electron mang ñieän döông" bôûi Carl D. Andersen cuûa vieän coâng ngheä California, lòch söû thöïc nghieäm positron baét ñaàu. Trong thöïc nghieäm huyû positron, döïa vaøo ñaëc tính huyû electron - positron maø positron coù phạm vi öùng duïng raát lôùn nhö: Söû duïng positron ñeå phaùt hieän khuyeát taät trong vaät lieäu baèng phöông phaùp ño phoå thôøi gian soáng, CT (Computed Tomography) trong coâng nghieäp ñeå phaùt hieän loã hoång vaät lieäu. Trong y học, positron ñöôïc öùng duïng vaøo coâng ngheä maùy PET (Positron Emission Tomography) duøng phổ biến trong chuẩn đoán và theo dõi bệnh ung thư. Caùc keát quaû thöïc nghieäm ñöôïc ño giaùn tieáp thoâng qua thôøi gian soáng cuûa positron hoaëc xung löôïng huyû caëp electron – positron trong moâi tröôøng khaûo saùt. Vaø nhöõng keát quaû thöïc nghieäm naøy seõ ñöôïc giaûi thích chính xaùc hôn neáu chuùng ta xeùt ñeán töông taùc electron - positron. Töø nhöõng naêm 50, ñaõ coù raát nhieàu nhaø khoa hoïc aùp duïng caùc lyù thuyeát löôïng töû ñeå giaûi thích söï huyû positron trong moâi tröôøng chaát raén nhöng haàu nhö raát phöùc taïp vaø khoâng ñaït keát quaû mong muoán. Ngaøy nay, phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo ñang ñöôïc aùp duïng roäng raõi cho caùc heä löôïng töû nhö nguyeân töû, phaân töû, vaät lyù chaát raén. Phöông phaùp naøy tính toaùn ñôn giaûn vaø giaûi quyeát toát caùc vaán ñeà cuûa theá giôùi vi moâ. Vì vaäy trong phaïm vi khoaù luaän naøy, toâi aùp duïng phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo trong moâ hình Born - Oppenheimer ñeå khaûo saùt naêng löôïng töông quan electron - positron trong phaân töû ñoàng oxit . Noäi dung khoùa luaän goàm boán chöông: Chöông 1: Toång quan veà heä positron - electron. Chöông 2: Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo löôïng töû. Chöông 3: Aùp duïng phöông phaùp VMC cho phaân töû ñoàng oxit khi coù positron. Chöông 4: Caùc keát quaû tính toaùn. CHÖÔNG 1 TOÅNG QUAN VEÀ HEÄ ELECTRON - POSITRON Electron laø moät trong nhöõng haït cô baûn caáu thaønh neân vaät chaát, coù phaûn haït laø positron. Positron mang ñieän döông coù cuøng khoái löôïng, cuøng spin, momen töø vaø ñoä lôùn ñieän tích vôùi electron. Neáu positron gaëp electron, chuùng coù xaùc suaát huyû caëp phaàn lôùn taïo ra hai tia gamma naêng löôïng 511 Kev. 1.1.Cô cheá lieân keát positron vôùi vaät chaát Caùc nghieân cöùu gaàn ñaây ñaõ chæ ra raèng moät soá nguyeân töû vaø ion nguyeân töû coù theå lieân keát vôùi moät positron nhö laø liti, heli, natri, canxi, magie, ñoàng, keõm, baïc… Soá nguyeân töû naøy ñöôïc tìm thaáy ngaøy caøng nhieàu. Vaø caáu truùc cuûa caùc heä naøy ñöôïc xaùc ñònh laø lôùn ñeå positron coù theå thaéng löïc ñaåy cuûa haït nhaân vaø lieân keát vôùi caùc electron hoaù trò. Moät soá heä nhö laø e+Be bao goàm moät positron chuyeån ñoäng quanh nguyeân töû beri phaân cöïc. Trong khi trong caùc heä khaùc e+Na, e+Cu, e+O…coù theå ñöôïc moâ taû toát nhaát baèng moät positronium chuyeån ñoäng quanh loõi mang ñieän Na+, Cu+, O+… Ngoaøi ra moät vaøi heä coù khaû naêng coù hai positron ñaõ ñöôïc tìm thaáy. 1.1.1.Positron lieân keát vôùi nguyeân töû Töông taùc giöõa nguyeân töû vaø positron laø ñaåy nhau taïi moïi ñieåm. Ñieàu naøy theå hieän söï khoù khaên trong lieân keát cuûa nguyeân töû vôùi positron. Song ñaùm maây ñieän tích electron cuûa nguyeân töû gaàn positron coù theå töï ñieàu chænh laøm cho töông taùc giöõa positron vaø nguyeân töû laø töông taùc huùt. Khi ñoù ñaùm maây electron khi naøy bò phaân cöïc. Vaø neáu theá huùt phaân cöïc lôùn hôn theá ñaåy cuûa haït nhaân ñoái vôùi positron thì traïng thaùi lieân keát toàn taïi. Hình 1.1. Moâ hình positron lieân keát vôùi nguyeân töû, ñaùm maây ñieän tích cuaû electron ôû g aàn positron thay ñoåi Khi thế ion của nguyên tử I < 0,250 Hartree ( naêng löôïng lieân keát cuûa positronium) thì positron chæ lieân keát vôùi nguyeân töû khi naêng löôïng lieân keát cuûa positron vôùi nguyeân töû lôùn hôn e+ 0,250 - I, ngöôïc laïi heä positron- nguyeân töû seõ taùch thaønh positronium vaø ion döông ( traïng thaùi nguyeân töû khi maát moät electron ) 1.1.2.Lieân keát cuûa positronium vôùi loõi nguyeân töû Caùc electron hoaù trò trong nguyeân töû lieân keát loûng leûo vôùi haït nhaân. Vaø khi thế ion của nguyên tử I < 0.250 Hartree thì moät trong caùc electron hoaù trò naøy seõ bò huùt vaøo positron, taïo thaønh moät positronium ( kí hieäu PS ). Positronium bao goàm moät electron vaø moät positron lieân keát vôùi nhau, noù töông töï nhö nguyeân töû hydro veà maët ñieän tích trong ñoù positron ñöôïc xem nhö proton. Positronium coù khoái löôïng ruùt goïn baèng nöûa khoái löôïng cuûa electron, coù baùn kính baèng hai laàn baùn kính cuûa nguyeân töû hidro. Do positron vaø electron ñeàu coù spin baèng ½ vaø moâ men quyõ ñaïo l=0 neân khi chuùng keát hôïp vôùi nhau coù theå hình thaønh hai traïng thaùi:  Traïng thaùi spin ñoái song coù momen goùc l = 0 vaø spin toaøn phaàn s = 0 ñöôïc goïi laø traïng thaùi singplet, hình thaønh paraPositronium (p-Ps) coù moät traïng thaùi laø 1S0.  Traïng thaùi spin song song coù l = 0 vaø s = 1, ñöôïc goïi laø traïng thaùi triplet, hình thaønh orthoPositronium coù ba traïng thaùi: 3S-1, 3S0, 3S1. Do vaäy, xaùc suaát hình thaønh orthopositronium laø ¾ coøn xaùc suaát hình thaønh para positronium laø ¼. Hình 1.2. M oâ hình positron lieân k eát vôùi n guyeân töû, Ps bò phaân cöïc do loõi mang ñieän t ích döông. Positronium bò phaân cöïc do töông taùc Culong cuûa loõi nguyeân töû vaø coù theå daãn tôùi söï lieân keát cuûa PS vôùi loõi nguyeân töû. Ñeå Positronium lieân keát vôùi nguyeân töû thì naêng löôïng lieân keát cuûa positron vôùi nguyeân töû phaûi nhoû hôn 0,250 - I. 1.2.Söï huyû positron Positron laø phaûn haït cuûa electron, neân theo thuyeát phaûn haït trong cô hoïc löôïng töû thì khi positron gaëp electron seõ huyû caëp vôùi xaùc suaát naøo ñoù. Khi positron ñi vaøo moâi tröôøng vaät chaát seõ e- e+ va chaïm vôùi caùc electron, ion nuùt maïng vaø caùc phonon dao ñoäng maïng. Quaù trình va chaïm xaûy ra lieân tieáp laøm cho caùc positron nhanh choùng maát naêng löôïng vaø trôû thaønh positron nhieät. Quaù trình naøy ñöôïc goïi laø quaù trình nhieät hoaù positron. Thôøi gian nhieät hoaù phuï thuoäc vaøo naêng löôïng ban ñaàu cuûa positron. Theo Bergersen, Hautojarvi: positron coù naêng löôïng khoaûng 2 Mev coù thôøi gian nhieät hoaù nhoû hôn 20 ps. Trong khi thôøi gian soáng cuûa positron trong kim loaïi laø khoaûng 200ps. Neân positron bò nhieät hoaù tröôùc khi huyû caëp. Hình 2 : Quaù trình huyû positron. Khi positron nhieät gaëp electron trong moâi tröôøng vaät chaát thì chuùng coù theå huyû caëp ngay laäp töùc, hoaëc chuùng keát hôïp vôùi electron hoaù trò cuûa nguyeân töû trong moâi tröôøng vaät chaát taïo thaønh PS. Neáu traïng thaùi spin cuûa caëp huyû laø traïng thaùi singlet ( s = 0 ) thì quaù trình huyû chuû yeáu laø huyû 2 . Coøn traïng thaùi spin cuûa caëp huyû laø traïng thaùi triplet thì söï huyû chuû yeáu laø huyû 3 . Neáu coù maët cuûa moät haït thöù ba laø electron hoaëc haït nhaân nguyeân töû cuûa moâi tröôøng thì coù theå xaûy ra quaù trình huyû 1 ( theo ñònh luaät baûo toaøn ñoäng löôïng ). Trong ñoù tröôøng hôïp huûy caëp sinh hai gamma laø chuû yeáu coøn tröôøng hôïp sinh ra ba gamma vaø moät gamma coù xaùc suaát raát nhoû neân coù theå boû qua. Huyû 2110 Khueách taùn Nhieät hoaù e+ s1210 e+ Nguoàn e+ CHÖÔNG 2 PHÖÔNG PHAÙP bieán phaân MONTE CARLO LÖÔÏNG TÖÛ Muïc ñích: trình baøy toång quan veà phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo, caùch aùp duïng phöông phaùp naøy cho heä löôïng töû, moâ hình haøm Hamilton vaø haøm soùng thöû cho heä e - p. Caùc noäi dung chính:  Nguyeân lyù bieán phaân.  Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo.  Quy trình thuaät toaùn Monte Carlo löôïng töû.  AÙp duïng phöông phaùp VMC cho heä löôïng töû.  Xaáp xæ Hamilton.  Haøm soùng thöû. 2.1.Nguyeân lyù bieán phaân Vieäc tìm lôøi giaûi gaàn ñuùng cho phöông trình Schodinger cuûa heä nhieàu haït xuaát phaùt töø nguyeân lyù bieán phaân, ñöôïc phaùt bieåu nhö sau: Giaù trò trung bình cuûa Hamilton Hˆ ñöôïc tính vôùi haøm soùng thöû t khoâng bao giôø thaáp hôn giaù trò naêng löôïng traïng thaùi cô baûn 0 cuûa Hamilton Hˆ ñöôïc tính vôùi haøm soùng traïng thaùi cô baûn 0. Töø nguyeân lyù bieán phaân ta thaáy, luoân coù khaû naêng tìm ñöôïc moät giôùi haïn treân ñoái vôùi naêng löôïng traïng thaùi cô baûn. Vaø noù laø moät phöông phaùp xaáp xæ toát nhaát trong vieäc tìm kieám caùc naêng löôïng traïng thaùi cô baûn. Giaû söû haøm soùng thöû t laø haøm soùng traïng thaùi cô baûn cuûa Hamilton thì khi ñoù giaù trò trung bình cuûa Hamilton laø:       drrr drrHr E TT TT )()( )()( * * (2.1) Vaø khai trieån haøm soùng thöû T laø söï keát hôïp tuyeán tính caùc haøm rieâng cuûa haøm hamilton coù daïng:  n nnT rcr )()(  (2.2) Thay (2.2) vaøo (2.1) ta ñöôïc       nm nmnm nm nmnm drrraa drrHraa E , ** , ** )()( )()(   (2.3)    n n n nn a Ea E 2 2 (2.4) Trong ñoù nE laø trò rieâng cuûa haøm rieâng n vaø nE vôùi moïi n suy ra: 0 E (2.5) Phöông phaùp VMC tröïc tieáp aùp duïng nguyeân lyù naøy. Trong ñoù choïn haøm soùng thöû phuï thoäc vaøo caùc tham soá bieán phaân, roài thay ñoåi caùc tham soá bieán phaân naøy ñeå cöïc tieåu hoaù naêng löôïng trung bình. Neáu haøm soùng thöû ñöôïc choïn laø toát, coù ñuû baäc töï do bieán phaân thì keát quaû ñaït ñöôïc coù ñoä chính xaùc raát cao. 2.2.Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo (VMC) Trong vaät lyù chaát raén, phöông phaùp VMC thöôøng moâ taû moâ hình heä höõu haïn nhö moâ taû moät oâ moâ phoûng hôn laø moâ hình heä voâ haïn. Ôû ñaây chuùng ta choïn moâ hình haøm Hamilton vaø haøm soùng thöû phuø hôïp cho heä nhieàu haït, aùp duïng nguyeân taéc bieán phaân leân giaù trò trung bình cuûa haøm hamilton:       drrr drrHr H TT TT )()( )()( * * (2.6) Ñeå tìm naêng löôïng trung bình, ta phaûi thöïc hieän caùc pheùp tính tích phaân treân (2.6). Tuy nhieân vieäc tính tích phaân naøy laø raát phöùc taïp maø ta khoâng theå tính toaùn baèng giaûi tích toaùn hoïc. Caùc phöông phaùp tích phaân coå ñieån nhö phöông phaùp Gauss-Legendre khoâng coøn phuø hôïp cho heä nhieàu haït. Hieän nay thuaät toaùn lyù töôûng ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø phöông phaùp VMC. Phöông phaùp VMC goàm coù 3 böôùc cô baûn: Böôùc 1: Xaây döïng haøm soùng thöû ),(  rT cho heä goàm N haït ôû vò trí r = ( r1, r2,...,rN ) vaø phuï thuoäc vaøo boä tham soá  = (1, 2,..., N ) Böôùc 2: Xaùc ñònh giaù trò trung bình cuûa haøm Hamilton    drrrr drrHr H TT TT )())(( )( )( * *   (2.7) Böôùc 3: Thay ñoåi khoaûng chaïy nhoû nhaát cuûa caùc tham soá bieán phaân trong thuaät toaùn roài quay trôû laïi böôùc moät. Sau khi thöïc hieän moät loaït caùc böôùc chaïy tham soá  , ta ghi nhaän giaù trò naêng löôïng vaø phöông sai töông öùng. Veõ ñoà thò bieåu dieãn söï phuï thuoäc cuûa naêng löôïng, sai soá töông ñoái vaøo caùc tham soá. Sau ñoù tìm giaù trò cöïc tieåu cuûa naêng löôïng vaø sai soá töông ñoái trong daûi caùc tham soá bieán phaân. Keát quaû thu ñöôïc phuï thuoäc vaøo daïng xaáp xæ haøm soùng vaø moâ hình haøm Hamilton. Do ñoù vieäc löïa choïn haøm soùng thöû vaø moâ hình hamilton cho oâ moâ phoûng laø raát quan troïng, quyeát ñònh möùc ñoä thaønh coâng cuûa vieäc moâ taû ñaëc tröng cuûa heä voâ haïn. 2.3. Quy trình thuaät toaùn monte carlo löôïng töû Hình 2.1. Sô ñoà quy trình thuaät toaùn Monte Carlo löôïng töû [4]. Thieát laäp nhöõng tham soá cuûa heä Thöïc hieän böôùc dòch chuyeån Chaáp nhaän hoaëc loaïi boû böôùc dòch chuyeån Thöïc hieän böôùc dòch chuyeån Chaáp nhaän hoaëc loaïi boû böôùc dòch chuyeån Tích luõy vaø tính trung bình caùc ñaïi löôïng Nhöõng ñaëc tröng cuûa heä Thieát laäp traïng thaùi caân baèng Thöïc hieän tính toaùn Quy trình thuaät toaùn Monte Carlo löôïng töû goàm hai böôùc chính:  Thieát laäp traïng thaùi caân baèng M etropolis: Thieát laäp caùc electron ban ñaàu ôû caùc vò trí ngaãu nhieân ñoàng nhaát trong oâ moâ phoûng. Sau ñoù dòch chuyeån, moãi böôùc dòch chuyeån seõ taïo ra caùc böôùc ngaãu nhieân maø chaáp nhaän hay loaïi boû tuaân theo thuaät toaùn Metropolis söû duïng haøm soùng thöû cho heä nhieàu haït. Thöïc hieän moät soá böôùc dòch chuyeån ñuû lôùn ñeå ñaûm baûo heä ñaõ ñaït ñöôïc traïng thaùi caân baèng vaø nhöõng electron ñöôïc phaân boá ngaãu nhieân theo phaân boá   2RT . Ñoái vôùi haàu heát nhöõng tính toaùn ñaõ thöïc hieän thì caàn söû duïng 25% cuûa toång soá böôùc dòch chuyeån Monte Carlo cuûa moãi moät electron ñeå taïo ra nhöõng vò trí caân baèng.  T höïc hieän tính toaùn Monte Carlo: Khi heä ñaït ñöôïc traïng thaùi caân baèng thì caùc ñaïi löôïng quan taâm nhö naêng löôïng cuûa heä ñöôïc tích luyõ. Moãi moät laàn dòch chuyeån ñöôïc taïo ra thì caùc ñaïi löôïng quan taâm ñöôïc tính vaø ñöôïc coäng doàn vaøo quaù trình toång. Khi taïo ra ñuû nhöõng böôùc dòch chuyeån, giaù trò trung bình ñöôïc tính. 2.4.AÙp duïng phöông phaùp VMC cho heä löôïng töû. Ñeå aùp duïng phöông phaùp naøy, ñaàu tieân ta xaây döïng moâ hình cho heä löôïng töû, sau ñoù ta löïa choïn haøm soùng thöû phuø hôïp vôùi moâ hình ñoù. Tieáp ñeán ta tính xaùc suaát phaân boá haøm soùng:   drr r r t T 2 2 )( )( )(p   (2.8) Naêng löôïng trung bình ñöôïc tính theo coâng thöùc:     drrr drrHr E TT TT )()( )()( * *   (2.9) Khi söû duïng haøm soùng thö,û ta ñònh nghóa moät ñaïi löôïng môùi laø naêng löôïng cuïc boä EL: EL(r) = )( )( r rH T T    (2.10)    drr drEr E T LT 2 2 )( )(   (2.11) neân:  drrErpE L )()( (2.12) Phöông trình (2.12) laø böôùc giaûi quyeát ñaàu tieân cuûa phöông phaùp VMC cho heä löôïng töû. Sau khi laøm goïn haøm naêng löôïng )(EL r ta thöïc hieän treân maùy tính caùc böôùc sau: Caùc böôùc thöïc hieän chöông trình tính toaùn VMC Ñaàu tieân coá ñònh soá böôùc Monte Carlo vaø soá böôùc nhieät hoaù. Choïn giaù trò khôûi taïo cho r, caùc tham soá bieán phaân vaø tính 2 )(rT . Xaùc ñònh kích thöôùc böôùc nhaûy ñeå di chuyeån haït töø r ñeán vò trí môùi. Khôûi taïo cuûa EL vaø phöông sai töông öùng. Baét ñaàu tính toaùn Monte Carlo vôùi moät soá chu trình cho tröôùc Böôùc 1: Gieo soá ngaãu nhieân cho vector vò trí r. Böôùc 2: Thöïc hieän böôùc thöû Monte Carlo. Böôùc 3: Di chuyeån vò trí thöû: r’ = r +, vôùi  laø moät soá ngaãu nhieân gieo trong khoaûng [0, 1]. Böôùc 4: Laäp tæ soá p(r)/p(r’), neáu:  )'( )( rp rp thì thieát laäp böôùc nhaûy môùi ngöôïc laïi ta döøng taïi vò trí naøy. Böôùc 5: Neáu böôùc nhaûy ñöôïc thieát laäp ta gaùn: r = r’. Böôùc 6: Tính giaù EL vaø phöông sai öùng vôùi giaù trò cuûa r naøy. Khi pheùp thöû Monte-Carlo keát thuùc, ta tính giaù trò trung bình cuûa EL vaø ñoä leäch chuaån töông öùng. 2.5.Xaáp xæ Hamilton Trong heä e -p, caùc haït ñeàu mang ñieän neân chuùng töông taùc vôùi nhau theo nhieàu cô cheá: löïc Coulomb, töông taùc spin-quó ñaïo, töông taùc töø. Ñeå moâ taû caùc töông taùc phöùc taïp ñoù ta söû duïng tröôøng theá töông taùc caëp )( ji rrU  vôùi i  j, khi ñoù haøm Hamilton coù daïng:    ji ji N i ii N i rrUrV m H )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 (2.13) Ñeå ñôn giaûn ta söû duïng heä qui chieáu nguyeân töû, trong ñoù : 1m vaø haøm Hamilton ñöôïc vieát laïi nhö sau: )( 2 1 )( 2 1 111 2 ji N i N i N i i rrUrVH    (2.14) Trong phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo, ngöôøi ta thöôøng söû duïng xaáp xæ Born – Oppenheimer [8] thì Hamilton cho heä nhieàu haït goàm caùc electron, positron vaø caùc ion coù daïng:               n nm m mn mn i pii ij j ji n np n n i ni n p N i i dd eZZ rr e rr e dr eZ dr eZ H 222 22 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1ˆ (2.15) ri, rp laàn löôït laø veùc tô toïa ñoä cuûa electron thöù i vaø positron. dn, dm laø veùc tô toïa ñoä cuûa ion thöù n vaø m. Zn, Z m laø ñieän tích cuûa ion thöù n vaø m. Soá haïng ñaàu tieân trong (2.15) laø toång ñoäng naêng cuûa N electron, soá haïng thöù hai laø ñoäng naêng cuûa positron; soá haïng thöù ba laø theá naêng töông taùc giöõa electron vaø ion, soá haïng thöù tö laø theá naêng töông taùc giöõa positron vaø ion; soá haïng thöù naêm laø theá naêng töông taùc giöõa electron – electron, soá haïng thöù saùu laø theá naêng töông taùc iöõa positron – electron vaø soá haïng cuoái cuøng laø theá naêng töông taùc giöõa ion – ion. 2.6.Haøm soùng thöû Heä e - p laø heä caùc haït fermion khoâng ñoàng nhaát, trong ñoù coù söï töông taùc giöõa caùc haït vôùi nhau. Löïc töông taùc giöõa electron vaø haït nhaân nguyeân töû tæ leä nghòch vôùi khoaûng caùch. Neân trong tinh theå ta chæ xeùt caùc nguyeân töû laân caän vôùi nguyeân töû chöùa electron maø ta ñang khaûo saùt. Khi ñoù haøm soùng toaøn phaàn cuûa heä electron-positron coù daïng nhö sau:     i ij j ip pe Jij ee Jppii rrrr )()()()(  (2.16) Trong ñoù: )( ii r : haøm soùng cuûa electron thöù i trong oâ moâ phoûng. Haøm soùng naøy ñöôïc xaáp xæ nhö laø toå hôïp tuyeán tính caùc haøm soùng quyõ ñaïo:      n ninii drCr   (2.17)  ni dr   laø haøm soùng ñôn electron trong nguyeân töû thöù n vaø toång ñöôïc laáy treân taát caû caùc nguyeân töû trong oâ moâ phoûng. Cni laø haèng soá chuaån hoùa. )( pp r laø haøm soùng cuûa positron, töông töï haøm soùng cuûa electron nhöng chæ khaùc ôû caùc tham soá trong haøm soùng. Coøn )(),( ip pe Jij ee J rr   laø heä soá Jastrow theå hieän söï töông quan giöõa electron-electron, electron-positron. 2.6.1. Haøm soùng rieâng phaàn Haøm soùng )(r cuûa electron hay positron trong tröôøng nguyeân töû xuyeân taâm coù theå ñöôïc moâ taû baèng moät trong caùc daïng xaáp xæ sau:  Daïng Slater: Haøm soùng kieåu Slater laø haøm soùng thöôøng ñöôïc söû duïng trong nhöõng tính toaùn caáu truùc electron trong nguyeân töû, ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Zrln eNrr )( (2.18) Trong ñoù: n>l+1 Töø ñieàu kieän chuaån hoaù haøm soùng ta ñöôïc:     !2 2 12 n Z N n  (2.19)  Daïng Gaus s : Haøm soùng kieåu Gauss ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: )exp()( 2rNrr ln    (2.20) Töø ñieàu kieän chuaån hoaù ta coù:       !2 2 2 1 2 3 2    n N nn   (2.21)  Daïng Laguerre : Xuaát phaùt töø ña thöùc Laguerre Lk(x) coù daïng: )()( xk k k x k ex dx d exL  (2.22) Laáy ñaïo haøm ña thöùc Laguerre s laàn theo bieán x ta thu ñöôïc ña thöùc Laguerre suy roäng: )()( xL dx d xL ks s s k  (2.23) Ña thöùc Laguerre suy roäng thoûa phöông trình Laguerre coù daïng: 0)()( )( )1( )( 2 2  xLsk dx xdL xs dx xLd x sk s k s k (2.24) Haøm xuyeân taâm ñôn haït ñöôïc bieåu dieãn tröïc tieáp qua ña thöùc Laguerre nhö sau:                      0 12 0 22/3 0 2 22 ])![( )!1(2 )( 0 na r L na r e ln ln an r l jn l na r nl (2.25) trong ñoù 2 2 0 mZe a   Traïng thaùi 1s: 0 2/3 0 10 2 )( a r e a r   (2.26) Traïng thaùi 2p: 02 0 3 0 21 62 1 )( a r e a r a r   (2.27) Haøm soùng Laguerre coù öu ñieåm hôn haøm soùng Slater vaø Gauss laø noù tröïc giao öùng vôùi moãi moät giaù l vôùi moïi n: ''' ,nnlnnl   (2.28) 2.6.2. Heä soá Jastrow Heä soá Jastrow thöôøng ñöôïc söû duïng trong phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo coù daïng:     rJ J er  (2.29) Trong ñoù J(r) coù nhieàu daïng xaáp xæ khaùc nhau nhö xaáp xæ Page, xaáp xæ Mit, xaáp xæ taâm nguyeân töû, xaáp xæ Willamson… Vôùi moãi tröôøng hôïp ta aùp duïng xaáp xæ phuø hôïp töông öùng. Vaø trong giôùi haïn khoaù luaän naøy ta aùp duïng xaáp xæ Page coù daïng   r r rJ     1 (2.30) Vôùi , , laø caùc tham soá bieán phaân ñöôïc choïn ñeå thoaû ñieàu kieän chaën vaø r laø khoaûng caùch giöõa hai haït. Xaáp xæ Pade laø moät trong nhöõng xaáp xæ ñôn giaûn vaø phoå bieán nhaát. CHÖÔNG 3 AÙP DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP VMC CHO PHAÂN TÖÛ ÑOÀNG OXIT KHI COÙ POSITRON Muïc ñích: xaùc ñònh naêng löôïng töông quan electron - positron. Caùc noäi dung chính:  Xaây döïng haøm soùng thöû cho heä phaân töû CuO khi coù positron.  Xaây döïng haøm Hamilton.  Giaûi phöông trình Schrodinger.  Xaùc ñònh phöông sai cuûa naêng löôïng. Ñeå xaây döïng haøm soùng thöû cho heä tröôùc heát ta ñi khaûo saùt caáu hình vaø caáu truùc cuûa caùc nguyeân töû oxy vaø ñoàng. 3.1. Khaûo saùt nguyeân töû oxy Oxy laø moät nguyeân toá phi kim, coù tính oxy hoùa maïnh, thuoäc phaân nhoùm chính nhoùm VI vaø naèm ôû vò trí thöù taùm trong baûng heä thoáng tuaàn hoaøn. Neân nguyeân töû oxy coù taùm electron chuyeån ñoäng xung quanh haït nhaân vôùi caáu hình electron:1s22s22p4 Trong ñoù, caùc electron ôû phaân lôùp 1s vaø 2s bò laáp ñaày thöôøng khoâng tham gia vaøo caùc lieân keát hoaù hoïc. Neân trong moâ hình xaáp xæ, caùc electron naøy seõ keát hôïp vôùi haït nhaân taïo thaønh loõi nguyeân töû. Coøn boán electron thuoäc phaân lôùp 2p chöa ñöôïc laáp ñaày neân deã daøng tham gia lieân keát. Hình 3.1. Moâ hình ngu yeân töû oxy, tro ng ñoù boán electron phaân lôùp 2p ñang chu yeån ñoäng xu ng quanh loõi nguyeân töû oxy. Ñeå tìm haøm soùng ñôn haït cuûa caùc electron chuyeån ñoäng quanh loõi, ta söû duïng xaáp xæ Slater coù daïng: )exp()( ZrNrr lnnl   (3.1) Boán eletron thuoäc phaân lôùp 2p coù soá löôïng töû chính n=2 vaø soá löôïng töû quó ñaïo l=1 do ñoù haøm soùng ñôn haït coù daïng: )exp(21 rZrN OO  (3.2) Loõi nguyeân töû Phaân lôùp 2p Vôùi r laø khoaûng caùch töø electron ñang xeùt ñeán nguyeân töû oxy. Töø ñieàu kieän chuaån hoùa haøm soùng ta coù: 3 4 5 O O Z N  (3.3) 3.2.Khaûo saùt nguyeân töû ñoàng Ñoàng laø moät nguyeân toá kim loaïi chuyeån tieáp, naèm ôû vò trí thöù 29 trong baûng heä thoáng tuaàn hoaøn neân nguyeân töû ñoàng coù 29 electron chuyeån ñoäng xung quanh haït nhaân vôùi caáu hình electron :1s22s22p63s23p64s13d10. Ngoaøi ra ñeå giaûi thích hoaù trò hai cuûa ñoàng ngöôøi ta coøn chaáp nhaän caáu hình thöù hai laø:1s22s22p63s23p64s23d9. Theo moâ hình xaáp xæ, caùc electron thuoäc ba lôùp beân trong keát hôïp vôùi haït nhaân taïo thaønh loõi nguyeân töû. Nhö vaäy trong nguyeân töû Cu chæ xeùt hai electron trong phaân lôùp 4s chuyeån ñoäng xung quanh loõi nguyeân töû. Hình 3.2. Moâ hình nguyeân t öû ñoàng, hai electron phaân lôùp 4s ñang chu yeån ñoäng xung qua nh loõi nguyeân töû ñoàng. AÙp duïng xaáp xæ Slater cho hai electron phaân lôùp 4s vôùi n = 4, l = 0 ta ñöôïc )exp(41 rZrN CuCuCu  (3.4) Töø ñieàu kieän chuaån hoùa haøm soùng ta coù : 315 4 9 Cu Cu Z N  (3.5) 3.3. Moâ hình phaân töû ñoàng oxit (CuO) Trong phaân töû CuO thì haøm soùng ñôn haït cuûa caùc electron trôû neân phöùc taïp hôn do chuùng chòu taùc duïng cuûa hai tröôøng löïc ñöôïc taïo bôûi hai loõi cuûa ñoàng vaø oxy. Trong ñoù caùc electron laø ñoàng nhaát neân khoâng theå phaân bieät ñöôïc electron naøo laø cuûa ñoàng hay cuûa oxy. Song chuùng ta Loõi nguyeân töû Cu Electron phaân lôùp 4s coù theå tìm ñöôïc xaùc suaát tìm thaáy haït nhôø caùc haøm soùng ñôn haït vôùi moâ hình phaân töû CuO ñöôïc moâ taû treân hình 3.3 Hình 3.3. M oâ hình phaân töû CuO, caùc electron ñang chuyeån ñoäng quanh hai loõi nguyeân töû ñoàng vaø oxy. Trong ñoù ta gaén heä truïc Descarses trong khoâng gian 3 chieàu vaøo moâ hình vôùi goác toaï ñoä naèm giöõa hai loõi nguyeân töû. Thì theo moâ hình treân ta coù: Toïa ñoä cuûa loõi nguyeân töû oxy laø (-d1, 0, 0). Toïa ñoä cuûa loõi nguyeân töû ñoàng laø (d2, 0, 0). Toïa ñoä vector vò trí cuûa electron thöù i: ),,( iiii zyxr  (3.6) Toïa ñoä vector khoaûng caùch giöõa electron thöù i vaø haït nhaân oxy: ),,( 1 iiiiO zydxr  (3.7) Toïa ñoä vector khoaûng caùch giöõa electron thöù i vaø haït nhaân ñoàng: ),,( 2 iiiiCu zydxr  (3.8) Toaï ñoâ vector khoaûng caùch giöõa electron thöù i vaø electron thöù j: ),,( jijijiij zzyyxxr  (3.9) x z riCu d2 d1 y ei O Cu ri riO Vaø haøm soùng ñôn haït cuûa caùc electron laø toång hai haøm soùng theo hai tröôøng loõi nguyeân töû Cu vaø O. Suy ra haøm soùng cuûa electron treân quó ñaïo cuûa nguyeân töû oxy coù daïng: )exp()exp( iCuiO rZrNrZrN CuiCuOOiOOiO  (3.10) Vaø haøm soùng cuûa electron treân quó ñaïo cuûa nguyeân töû ñoàng coù daïng: )exp()exp( 44 iCuiO rZrNrZrN CuiCuCuOiOCuiCu  (3.11) Khi ñoù haøm soùng cuûa heä caùc haït electron trong phaân töû ñoàng oxit laø tích cuûa caùc haøm soùng ñôn haït vaø heä soá Jastrow:         4 1 6 1 1 2 1 i ij i ee ijiO i iCu  (3.12) Vôùi ee ij  laø heä soá töông quan electron - electron, theo xaáp xæ Pade coù daïng: ij ijee ij r r      1 exp (3.13) vôùi ,  laø caùc haèng soá bieán phaân. Vaäy haøm soùng cuûa heä laø            6 1 4 1 2 1 4 1 4 1 1 exp)exp()exp( )exp()exp( 11 ji i ij ij i CuiCuOOiOO i CuCuCuOOCu r r rZrNrZrN rZrNrZrN iCuiO CuO   (3.14) Töø phöông trình (3.14) ta thaáy, Haøm soùng cuûa heä trong moâ hình phaân töû CuO ngoaøi chöùa caùc bieán vector vò trí coøn chöùa caùc tham soá bieán phaân ZO, ZCu, , . 3.4. Moâ hình positron trong phaân töû CuO Khi ñöa positron vaøo tröôøng phaân töû CuO, heä taêng theâm moât haït mang ñieän döông. Khi ñoù positron chuyeån ñoäng trong tröôøng taïo bôûi loõi cuûa hai nguyeân töû ñoàng vaø oxy, vôùi haøm soùng ñôn haït coù daïng soùng s laø toång hôïp caùc haøm soùng ñôn haït taïo bôûi hai tröôøng löïc Cu vaø O. Hình 2.4. M oâ hình positron t rong phaân töû CuO, caùc electron vaø positron ñang chuyeån ñoäng quanh hai loõi nguyeân töû ñoàng vaø oxy. Theo moâ hình treân ta coù: Toïa ñoä veùctô vò trí cuûa positron: ),,( pppp zyxr  (3.15) Toïa ñoä vector khoaûng caùch giöõa positron vaø loõi nguyeân töû oxy laø ),,( 1 ppppO zydxr  (3.16) Toïa ñoä vector khoaûng caùch giöõa positron vaø loõi nguyeân töû ñoàng laø ),,( 2 ppppCu zydxr  (3.17) Toïa ñoä vector khoaûng caùch giöõa positron vaø vaø electron thöù i laø ),,( pipipiip zzyyxxr  (3.18) Khi ñoù haøm soùng ñôn haït cuûa positron laø )exp()exp( pCupCupCuppOpOpOpp rZrNrZrN  (3.19) Haøm soùng toång coäng cuûa heä baây giôø laø tích caùc haøm soùng ñôn haït cuûa electron, positron, heä soá Jastrow eeij  vaø heä soá Jastrow peip  :         6 1 6 1 4 1 2 1 ij i i p pe ip ee ij i iO i iCu  (3.20) Vôùi caùc heä soá Jastrow ee ij  vaø pe ip  ñöôïc tính theo xaáp xæ Pade nhö sau: z ri Cu rpO rp riCu ri d2 d1 p y x ei O Cu riO ij ijee ij r r      1 exp (3.21) ip ippe ip r r '1 ' exp      (3.22) Töø phöông trình (3.20) ta thaáy, haøm soùng cuûa heä sau khi ñöa positron vaøo thì soá tham soá bieán phaân taêng theâm: ZpO, ZpCu, ’, ’. Ñeå ñôn giaûn coâng thöùc (3.20), ta vieát laïi haøm soùng cho heä nhö sau: )().()()( 6 1 6 1 6 1 ppip i ipij ij i ij i ie rfrgrgrf      (3.23) Trong ñoù:       6,5,4,3 2,1 ikhi ikhi f iO iCu e   (3.24) e._.