Khái niệm lũy thừa trong dạy học Toán ở trường phổ thông

i xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Cơng Khanh, cùng các thầy cơ khác đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic tốn, cung cấp cho chúng tơi những cơng cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tơi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tơi dịch các tài liệu tiếng pháp trong quá trình làm luận văn. Tơi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phịng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi được học tập, nghiên cứu trong suốt khĩa học. - Ban giám hiệu và các thầy cơ, đồng nghiệp ở Trường THPT Xuyên Mộc nơi tơi cơng tác, đã giúp đỡ và luơn động viên để tơi hồn thành tốt khĩa học của mình. - Các anh, các chị và các bạn cùng lớp, những người đã đồng hành cùng tơi chia sẽ những vui buồn trong học tập cũng như trong cuộc sống suốt ba năm học. - Những người thân trong gia đình đã luơn sát cánh cùng tơi trong quá trình học. NGUYỄN THỊ TỐ NHƯ DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thơng SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập CLHN Chỉnh lý hợp nhất TCTH Tổ chức tốn học QTHĐ Quy tắc hợp đồng BKHTN Ban khoa học tự nhiên KNV Kiểu nhiệm vụ TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy ĐKXĐ Điều kiện xác định [A] Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thơng dụng, Guy Lefort [B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet [C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, 2000, NXBGD [M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD MỞ ĐẦU I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát. Lũy thừa là một đối tượng tốn học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3, mặc dù số lượng và nội dung của nĩ rất ít nhưng nĩ cĩ một vai trị rất lớn trong chương trình tốn. Chúng tơi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây: - Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu chương: hàm số mũ-hàm số lơgarit, sau khi học giới hạn. Điều đĩ dẫn chúng tơi đến câu hỏi: Cĩ hay khơng sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa cĩ vai trị gì trong việc nghiên cứu hàm mũ và hàm lơgarit? - Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nĩ được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm”. Sự thay đổi này cĩ ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại cĩ sự thay đổi đĩ? Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK cĩ gì thay đổi hay khơng? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh gặp phải những khĩ khăn gì? - Sau khi tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Hữu Lợi và Phạm Trần Hồng Hùng, tơi thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ và hàm lơgarit cĩ mối quan hệ mật thiết với nhau. Đồng thời, mở rộng khái niệm lũy thừa cĩ thể đưa vào sau khái niệm hàm mũ và hàm lơgarit. Từ đĩ, chúng tơi đặt ra câu hỏi: tại sao SGK hiện hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa của tiến trình đĩ là gì? - Cĩ những tương đồng và khác biệt gì về sự xuất hiện cũng như vai trị của lũy thừa trong chương trình đại học và trong chương trình phổ thơng ? 2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu. Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đặt ra ở trên. Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic tốn. Cụ thể: - Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức tốn học, tổ chức tốn học, chuyển đổi didactic. - Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại. - Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…  Lý thuyết nhân chủng học Ở đây, chúng tơi chỉ mơ tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra.  Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I cĩ với tri thức O. Nĩ cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, cĩ vai trị gì … trong I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X cĩ với tri thức O. Nĩ cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, cĩ thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luơn luơn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nĩ trong R(I,O).  Tổ chức tốn học Hoạt động tốn học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế tốn học cũng là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mơ hình cho phép mơ tả và nghiên cứu thực tế đĩ. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đĩ T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất tốn học được gọi là một TCTH. Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nĩi rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đĩ nĩ là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nĩ với đối tượng nĩi trên”. Do đĩ, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đĩ hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào đĩ trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O. Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactic: mỗi cá nhân cĩ quyền làm gì, khơng cĩ quyền làm gì, cĩ thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn.  Chuyển đổi didactic Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:  Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức) Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã địi hỏi một sự soạn thảo. Ta cĩ thể xem nĩ như kết quả của một hoạt động khoa học. Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nĩ, ơng ta phải khám phá ra những kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, cĩ thể thơng báo cho cộng đồng khoa học. Để thơng báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất cĩ thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng khoa học. Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động tốn học. «Một nhà nghiên cứu, để thơng báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ơng ta nghĩ rằng đã tìm thấy, phải biến đổi nĩ : - trước hết nhà nghiên cứu xĩa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu : những suy nghĩ vơ ích, những sai lầm, những con đường vịng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận thức của mình. Chúng tơi dùng từ phi cá nhân hĩa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này. - nhà nghiên cứu cũng xĩa đi lịch sử trước đĩ đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mị mẫm, những con đường sai lầm), cĩ khi cịn tách nĩ ra khỏi bài tốn đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đĩ kết quả vẫn đúng. Chúng tơi gọi việc làm này là phi hồn cảnh hĩa.» (Arsac 1989)  Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi) Để cho một tri thức cĩ thể đưa ra dạy ở trường được, tức là cĩ thể trở thành một đối tượng cần giảng dạy, thì điều cần thiết là tri thức đĩ phải chịu một số ràng buộc nào đĩ. Sau đây là danh sách mà Chevallard đã đưa ra (1985, theo Verret 1975) : - Tính đơn nhất của tri thức [nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức bộ phận cĩ thể được trình bày trong một bài diễn văn tự do] - tính phi cá nhân hĩa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân] - sự chương trình hĩa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri trức] - tính cơng khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên].  Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy học) Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống dạy học.  Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại Theo Brousseau, nếu cĩ những sai lầm nào đĩ của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng cĩ những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đĩ chính là những sai lầm khơng phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải. Sai lầm khơng chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà cịn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra cĩ ích, đem lại thành cơng, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là khơng cịn thích hợp nữa. Những sai lầm dạng này khơng phải thất thường hay khơng dự đốn được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng gĩp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đĩ, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất quán- nếu khơng nĩi là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành cơng trong một lĩnh vực hoạt động nào đĩ. Đặc trưng của chướng ngại là gì?  Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ khơng phải là một khĩ khăn hay một sự thiếu kiến thức  Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đĩ mà ta thường hay gặp  Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nĩ sản sinh những câu trả lời sai. Để cĩ câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải cĩ những thay đổi đáng kể trong quan điểm.  Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nĩ và chống lại sự thiết lập một kiến thức hồn thiện hơn. Việc cĩ một kiến thức khác hồn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nĩ và đưa việc loại bỏ nĩ vào tri thức mới.  Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự khơng chính xác của kiến thức chướng ngại này, nĩ cũng tiếp tục xuất hiện dai dẳng và khơng đúng lúc.  Lý thuyết tình huống Trong phần này, chúng tơi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic. Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mơ hình hĩa các quyền lợi và nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đĩ. Nĩ là một tập hợp những quy tắc (thường khơng được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức tốn học được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đĩ cĩ thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta cĩ thể tiến hành như sau:  Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho cĩ thể đặt những thành viên chính (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách: + Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức; + Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đĩ; + Tự đặt mình ra ngồi lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét khơng giải quyết được; + Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử khơng phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh.  Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: + Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học; + Phân tích các đánh giá tốn học của học sinh trong việc sử dụng tri thức; + Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa. Đặc biệt, ta cũng cĩ thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hĩa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đĩ khơng chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà cịn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này khơng cịn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic. Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và địi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thơng qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trị chơi cĩ luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an tồn nào đĩ, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội. Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nĩ. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển khơng liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để cĩ sự tiến triển mong đợi. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu. Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tơi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau: 1. Trong thể chế dạy học tốn ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến trình nào? Nĩ cĩ vai trị gì đối với các kiến thức tốn học khác? Ý nghĩa của tiến trình đĩ? 2. Trong thể chế dạy học phổ thơng Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào? Nĩ cĩ vai trị gì trong việc xây dựng khái niệm hàm số mũ và hàm số lơgarit? Các TCTH nào được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Cĩ những thay đổi nào về TCTH được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua các thời kỳ? Cĩ sự khác biệt và tương đồng nào giữa mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và ở bậc trung học phổ thơng? Tìm hiểu sự thay đổi vị trí của lũy thừa trong hai bộ SGK, lí do và ý nghĩa của sự thay đổi đĩ? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học và làm việc với lũy thừa? 3. Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về khái niệm lũy thừa? 4. Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa cĩ ảnh hưởng như thế nào lên mối quan hệ cá nhân giáo viên và học sinh với lũy thừa? 4. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tơi dùng phương pháp nghiên cứu như sau: - Phân tích một số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, con đường mở rộng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa của tiến trình đĩ, cũng như vai trị của nĩ. - Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa ở bậc trung học phổ thơng, so sánh sự khác biệt giữa thể chế đại học và thể chế trung học phổ thơng về con đường mở rộng lũy thừa, qua đĩ tìm hiểu về sự thay đổi vai trị của lũy thừa trong hai lần cải cách SGK gần đây. - Từ những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tơi đề xuất những câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nĩ sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm. 5. Tổ chức luận văn Luận văn gồm các phần sau:  Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu cũng như phương pháp nghiên cứu, và khung lý thuyết tham chiếu.  Chương I: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là phân tích khái niệm lũy thừa trong một số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất hiện nĩ, đặc trưng của các tiến trình này? Vai trị của lũy thừa đối với khái niệm hàm mũ và hàm lơgarit.  Chương II: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Cụ thể, phân tích chương trình, SGK lớp 6, 7 và hai bộ SGK là Đại số và giải tích 11 (CLHN năm 2000) và SGK Giải tích 12 nâng cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa. So sánh vai trị của lũy thừa trong hai bộ sách. So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy. Thơng qua việc phân tích chương trình và các TCTH, chúng tơi sẽ rút ra các QTHĐ liên quan đến việc dạy và học khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi học lũy thừa.  Chương III: Thực nghiệm Chúng tơi thực nghiệm trên học sinh và giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh, cũng như tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của họ về đối tượng tri thức lũy thừa. - Phần kết luận: Trình bày tĩm tắt những kết quả đạt đươc ở ba chương trên và mở ra hướng nghiên cứu mới từ luận văn cĩ thể cĩ. - Tài liệu tham khảo. Chương 1: KHÁI NIỆM LUỸ THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Trong chương này chúng tơi sẽ tìm hiểu tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học thơng qua việc phân tích giáo trình: 1. Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – các hàm thơng dụng, Guy Lefort, Viện đại học Sài Gịn, 1975.[A] 2. Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France, 1960.[B] Việc phân tích này sẽ giúp cho chúng tơi cĩ cơ sở để so sánh với tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở SGK phổ thơng, thấy được ý nghĩa của mỗi tiến trình, cũng như vai trị của lũy thừa đối với việc xây dựng các khái niệm khác cĩ sự thay đổi như thế nào. 1.1. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [A]. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đề cập trong chương 8 với nhan đề “CÁC HÀM LƠGARIT, HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”, thứ tự các mục trong chương như sau: I. Hàm lơgarit II. Hàm mũ III. Hàm lũy thừa Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực khơng được đưa vào một cách tường minh mà nĩ xuất hiện ngầm ẩn thơng qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của hàm mũ. Khái niệm lũy thừa đã được đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau: 1.1.1. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e qua định nghĩa và tính chất của hàm mũ e. Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đưa vào ngầm ẩn trong định nghĩa hàm mũ e nên để hiểu rõ hơn vấn đề này ta hãy xem xét định nghĩa hàm mũ e: “Ta biết rằng (mệnh đề 2) nếu t là một số thực cho trước, thì phương trình: logx=t Hàm lơgarit Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e Hàm mũ cơ số a Lũy thừa cơ số a Hàm lũy thừa Căn bậc n cĩ một và chỉ một nghiệm, nĩ là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pơnen t). Liên hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R+* gọi là hàm mũ e; hàm này là ngược của hàm lơgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở 9-1). Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm : exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s” (tr 79) Theo định nghĩa này thì số e được giới thiệu là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1, nhưng chưa cho biết giá trị thực của nĩ. Mặt khác, để định nghĩa hàm mũ e, trước đĩ giáo trình đã đưa vào khái niệm hàm lơgarit nêpe trong mục I, với kí hiệụ Log (mà SGK Việt Nam thường kí hiệu là ln). Vì vậy, ta hãy quay lại định nghĩa hàm logarit nêpe đã được trình bày trước đĩ để xem số e được giới thiệu như thế nào và giá trị của nĩ bằng bao nhiêu? Hàm logairt được định nghĩa tổng quát như sau: “Một hàm logarit là một ánh xạ từ R*+ vào R nghiệm phương trình: (E) f(xt)=f(x)+f(t) với x và t bất kì trong R*+” [1,trang 71] Sau đĩ, giáo trình [A] đi tìm nghiệm của phương trình (E) với giả thiết hàm f là khả vi. Kết quả chứng minh được rằng: “Các nghiệm của phương trình (E) là: Nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm 1x x  ; hàm này được gọi là logarit nêpe và được kí hiệu Log. Các hàm nhận được bằng cách nhân hàm trên đây với một hằng số tùy ý C (mỗi hàm này là nguyên hàm bằng khơng tại 1 của hàm xC/x )».[tr 72] Mặc dù hàm logarit nêpe đã được định nghĩa nhưng khái niệm cơ số vẫn chưa được đề cập. Khái niệm cơ số chỉ xuất hiện khi định nghĩa hàm logairt cơ số a: “Hàm logarit cơ số a, ký hiệu loga được xác định trong R*+ bởi: loglog loga xx a  (a là một số dương thực sự khác 1)”.[tr76] Tiếp theo giáo trình giới thiệu cơ số e như sau: “Mọi hàm f xác định bởi: f(x)=C.Logx là một hàm logarit mà cơ số a là nghiệm duy nhất của phương trình (mệnh đề 2): C=1/Loga Loga=1/C Đặc biệt hàm Log nhận được với C=1 là một hàm logarit đặc biệt mà cơ số là số vơ tỉ: e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10” [tr.76] Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đĩ hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10. Mặt khác, hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nepe nên Loge=1  e=exp1 (Đúng theo định nghĩa hàm mũ). Do đĩ, số e được định nghĩa trong hai trường hợp này là như nhau. Hàm logarit và hàm mũ e đã được định nghĩa. Tuy nhiên, khái niệm lũy thừa chưa xuất hiện. Sau khi đưa ra định nghĩa hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nêpe, các tính chất của hàm mũ e cũng được trình bày tường minh: “Nếu u, v, u1, …,un là các số thực tuỳ ý và n là một số nguyên dương thì: (1) exp(u+v)=expu.expv (2)         nn i i i 1 i 1 exp u exp u (3) exp(nu)=(expu)n (4) exp(u-v)=expu/expv” [tr 80] Mặc dù kí hiệu e chưa được dùng để thay thế cho kí hiệu exp lúc này, nhưng các tính chất trên cũng cho thấy sự xuất hiện ngầm ẩn các tính chất của lũy thừa với số mũ thực của cơ số e. Thơng qua tính chất (3) exp(nu)=(expu)n ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương của một số thực dương đã được đưa vào trước đĩ: a.a…a=an (tích n số a với aR) Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lơgarit nêpe nên các tính chất trên hồn tồn được suy ra từ tính chất đại số của lơgarit nêpe. Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm: « Nếu u=1 hệ thức (3) cĩ dạng : expn=(exp1)n=en Phương trình này thiết lập với n nguyên dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực : Ký hiệu ex (đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=ex” [tr 80]. Theo trích đoạn trên thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Ngồi ra, ex cịn được hiểu như là lũy thừa của e với số mũ thực x. Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới dạng « expx=ex » chứ khơng trình bày định nghĩa một cách tường minh. Như phần trình bày trên ta thấy nghĩa của lũy thừa với số mũ thực x, cơ số e chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình cũng cho thấy sự khác biệt rõ nét giữa lũy thừa với số mũ thực và số mũ nguyên dương thơng qua chú ý : « Nhưng ký hiệu này khơng cho phép coi ex như một tích các thừa số bằng e trừ trường hợp x là số nguyên dương ». [tr 81] Qua cách trình bày của giáo trình này ta thấy rằng trước khi cĩ một định nghĩa dưới dạng quy ước về lũy thừa với số mũ thực cơ số e thì các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số e đã được đưa vào ngầm ẩn thơng qua tính chất đại số của hàm mũ e. Khái niệm hàm mũ e, tính chất hàm mũ e đã được trình bày một cách tường minh, thơng qua đĩ khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e và các tính chất của nĩ đã ngầm ẩn xuất hiện. Tuy nhiên, nĩ vẫn chưa cĩ tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số e với số mũ thực. Hay ta nĩi rằng, khái niệm và tính chất của hàm mũ e là cơ sở để đưa vào khái niệm và các tính chất của lũy thừa cơ số e với số mũ thực. 1.1.2. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a qua định nghĩa hàm mũ cơ số a. Theo giáo trình này thì «hàm mũ cơ số a là hàm ngược của hàm lơgarit cơ số a » và biểu thức biểu diễn hàm mũ cơ số a được xác định như sau : « Với mọi số thực t, phương trình : logax=t  logx t logx t.logaloga    cĩ một nghiệm duy nhất. x=exp(tLoga) Đặc biệt nếu t là một số nguyên dương n x=exp(nLoga)=(exp(Loga))n=an» [tr82]. Do hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a nên ta luơn cĩ 0<a≠1. Hàm mũ cơ số a được biểu diễn thơng qua hàm mũ e và logarit nêpe. Với t là một số nguyên dương n thì kí hiệu an chính thức được viết thay thế cho exp(nLoga) nhờ vào tính chất exp(nu)=(expu)n của hàm số mũ, an được hiểu như là giá trị của hàm mũ cơ số a tại n, an cịn được hiểu ngầm ẩn là lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương. Ở đây lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương được định nghĩa thơng qua hàm mũ a. Ngồi cách viết hàm mũ a là: x=exp(tLoga), hàm mũ a cịn cĩ cách viết khác theo trích đoạn sau: « Với mọi số thực t ta dùng kí hiệu : x=exp(tLoga)=at Đây là một định nghĩa của kí hiệu at (với t nguyên cách viết đĩ đã được định nghĩa như một tích các thừa số và trong trường hợp này hai định nghĩa là đồng nhất)» [tr83]. Trong trường hợp t là số thực, người ta vẫn dùng kí hiệu at như là exp(tLoga). Hàm mũ a cịn được viết dưới dạng: x=at. Kí hiệu at cũng chính là lũy thừa cơ số a với số mũ thực. Ta thấy lũy thừa cơ số a với số mũ thực vẫn được định nghĩa tương tự như số mũ nguyên dương- định nghĩa thơng qua hàm mũ a. Theo giáo trình [A], lũy thừa với số mũ thực t, cơ số a chính là giá trị của hàm mũ a tại điểm t. Ngồi ra, trong trường hợp t là số n nguyên dương thì lũy thừa cơ số a với số mũ n là tích của n số a. Quá trình phân tích ở trên cho thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a được hiểu ngầm ẩn qua việc biểu diễn hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at. Vì vậy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a cũng được đưa vào ngầm ẩn trong các tính chất của hàm mũ cơ số a. Ta xét các tính chất của hàm mũ cơ số a: « Định lý 2.(các tính chất đại số của các hàm mũ ). Nếu u,v, u1,...,un là các số thực tùy ý, a và b là các số thực dương thực sự, thì : 1 1 (1) . ; (2) ; (3)      n i i i un u uu v u v u v v i aa a a a a a a  (4) . . ; (5) ( ) "[6, tr 83] uu u u v uva b a b a a . Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0<a≠1. Cũng theo giáo trình thì «tất cả các tính chất này là hệ quả trực tiếp của định nghĩa cách viết at=exp(tLoga) và các tính chất của hàm mũ e.» [tr84]. Như vậy việc định nghĩa hàm mũ cơ số a khơng yêu cầu phải trình bày trước đĩ khái niệm lũy thừa với số mũ thực mà ngược lại nĩ cịn sinh ra khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Giống như nhận định ở trên : việc mở rộng lũy thừa trên tập số thực với cơ số e đã được thực hiện bởi khái niệm và tính chất của hàm mũ e, thì ở đây hàm mũ cơ số a và các tính chất của nĩ vẫn là cơ sở cho việc mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ thực. Sau khi chứng minh các tính chất trong định lý 2, giáo trình chính thức đề cập đến lũy thừa với số mũ nguyên: «Các quy tắc cổ điển về lũy thừa nguyên là một trường hợp đặc biệt các kết quả của định lý 2 vì rằng nếu u và v là các số nguyên thì các cách viết au và av là các lũy thừa nguyên bậc u và v của a nghĩa là các tích của u hay v các thừa số bằng a ». [tr 84] Điều đĩ cĩ nghĩa là, lũy thừa với số mũ nguyên đã được đưa vào trước đĩ, nĩ cĩ các tính chất giống tính chất của hàm mũ, nĩ được định nghĩa thơng qua phép nhân các thừa số bằng nhau. Việc phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm hàm mũ a, tính chất hàm mũ a đã được trình bày một cách tường minh, thơng qua đĩ khái niệm và tính chất lũy thừa với số mũ thực cơ số a đã ngầm ẩn xuất hiện. Tuy nhiên, nĩ vẫn chưa cĩ tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số a với số mũ thực. 1.1.3. Hàm lũy thừa. Xét định nghĩa hàm lũy thừa trong trích đoạn sau : « Nếu  là một số thực cho trước, hàm lũy thừa f với số mũ  được xác định bằng : f(x)=x Ta đã định nghĩa ký hiệu x bằng cách đặt x=eLogx và định nghĩa này chỉ cĩ nghĩa khi x>0 »[ tr 89] Hàm lũy thừa được định nghĩa thơng qua phép đặt « x=eLogx », mà bản chất nĩ là một định nghĩa của kí hiệu at, với t là số thực. Cũng do cách định nghĩa x=eLogx nên điều kiện đặt ra là x>0. Ở đây, người ta khơng xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ  thay đổi. Ta thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa. Tuy nhiên, lũy thừa và các tính chất của nĩ khơng được nêu ra một cách tường minh nên việc khảo sát hàm lũy thừa cũng khơng dựa vào tính chất của lũy thừa mà dựa vào hàm mũ và hàm lơgarit, « vì nĩ là hợp của hàm lơgarit và hàm mũ. xu= .Logxf(x)=expu » [tr89] Và để phục vụ cho viêc khảo sát nĩ thì trước đĩ giáo trình này đã đưa vào khái niệm đạo hàm và tích phân. 1.1.4. Hàm ngược của hàm lũy thừa, căn bậc n. Bây giờ ta hãy đi nghiên cứu hàm ngược của hàm lũy thừa. Theo giáo trình thì : « Phương trình : (1) x t  Trong đĩ t là một số dương cho trước, cĩ một và chỉ một nghiệm 1 1 ( )x x t    Hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ  liên hệ mọi số dương t với nghiệm của phương trình (1). Đĩ chính là hàm lũy thừa với số mũ 1/. » [tr 91]. Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với số mũ . Do đĩ, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục. « Đặc biệt nếu  là số nguyên dương n thì số 1nt là nghiệm của phương trình (1) theo định nghĩa là căn bậc n của t, kí hiệu ._.n t » [tr 91]. Như vậy, hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương n là căn bậc n. Nĩi cách khác, hàm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa căn bậc n thơng qua hàm số ngược. Ở đây chỉ định nghĩa căn bậc n của một số thực dương. Căn bậc n của t được nêu ra như là nghiệm của phương trình xn=t, với t>0, x>0. Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao khơng cĩ khái niệm cho căn bậc n của t<0 ? Ta thấy, do căn bậc n được xây dựng là hàm số ngược của hàm lũy thừa, hàm lũy thừa lại được định nghĩa là : f =x=eLogx , nên khơng thể đưa ra khái niệm căn bậc n của một số âm. Theo cách định nghĩa trên thì : 1 n nt t (t>0). Do đĩ, dựa vào các tính chất đại số của hàm mũ cơ số a, ta suy ra được các tính chất của căn bậc n, chẳng hạn : 1 1 1 1 1 1 " . ( . ) . . ( ) " [tr 92]       n n nn n n m n mnn m mn a b a b a b a b a a a a Hàm căn bậc n là hàm ngược của hàm lũy thừa y=xn, n nguyên dương nên việc khảo sát hàm căn bậc n cũng được xem như việc khảo sát một hàm lũy thừa đặc biệt.  Kết luận giáo trình [A] Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a khơng được trình bày một cách tường minh. Nĩ được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : ex  ax. Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đĩ lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng dưới dạng « ex=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thơng qua khái niệm hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, exp(tLoga)=at, t thực. Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thơng qua tính chất của hai hàm mũ cơ số e và cơ số a. Trước khi cĩ khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào. Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa khơng cĩ vai trị gì trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ sở để xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Căn bậc n là hàm ngược của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nĩ được đưa vào sau khi đã biết khái niệm hàm lũy thừa. Do đĩ, căn bậc n khơng cĩ vai trị gì trong việc định nghĩa lũy thừa. Theo giáo trình này thì để định nghĩa cũng như khảo sát hàm mũ và hàm logarit hay hàm lũy thừa người ta dùng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm...Nên các kiến thức tốn học này đã được trình bày trước đĩ. 1.2. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B]. Trong giáo trình này, mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa được đưa vào phần II- Hàm mũ và nằm trong chương 1-Hàm lơgarit và hàm mũ. Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] như sau: 1.2.1. Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số a. Hàm lơgarit nêpe Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Hàm mũ a Hàm logarit cơ số a Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét tính chất của lơgarit, nên để tìm hiểu nĩ, ta đi xét các tính chất của lơgarit. Khơng giống như giáo trình [A], ở giáo trình này khơng đề cập đến hàm số lơgarit tổng quát mà nghiên cứu cụ thể là hàm lơgarit nêpe. Hàm lơgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, cĩ đạo hàm bằng 1/x. Các tính chất của nĩ cũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm. Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lơgairt nêpe : Log(a1a2...an)=Loga1+Loga2+...+Logan với a1, a2,....an >0. Ta cĩ Logan=n.Loga với a>0. Từ đây ta cĩ thể hiểu rằng : với n nguyên dương thì an=a.a...a ( n số a, a>0). Theo giáo trình này thì : « Hệ thức trên cịn đúng với n là số hữu tỷ dương. Thật vậy, xét số hữu tỷ pr q  (p, q nguyên dương), ta cĩ theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ : qp pqa a       Từ đĩ qLogap/q=pLoga tức p q pLoga Loga q  ». [tr3] Theo trích đoạn trên, thì định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương của cơ số a dương đã được đưa vào trước đĩ. Lũy thừa cơ số a>0 với số mũ hữu tỷ pr q  (p, q nguyên dương) được định nghĩa là một số thỏa : qp pqa a       « Đặc biệt, nếu r là số hữu tỷ âm, đặt r=-r’. Với mọi a>0, ta cĩ '1r ra a , Loga r=Log1/ar’=- logar’=-r’Loga=rLoga. Tĩm lại, hệ thức Logar=rLoga đúng với mọi số hữu tỷ dương hoặc âm và với mọi a>0 ».[tr3] Tĩm lại, lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thơng qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương : '1r ra a với r<0, r=-r’. Và định nghĩa này hiển nhiên là đúng trong trường hợp số mũ là số nguyên âm. Các định nghĩa trên đều được xét khi a>0, vậy khi a<0 thì nĩ cịn đúng khơng ? Ta hãy xét chú ý sau : « Nếu a<0, cĩ thể ar tồn tại và dương, chẳng hạn khi r là số nguyên chẵn (dương hoặc âm) hoặc khi r cĩ dạng phân số tối giản p/q với q lẻ, p chẵn và cĩ dấu bất kỳ » [tr4] Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng cĩ những ràng buộc nhất định dành cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ cĩ dạng phân số tối giản thì mẫu số phải là số lẻ, tử số là số chẵn. Như vậy, khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa trước khi cĩ các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nĩ là cơng cụ được dùng để tìm ra một vài tính chất của logarit nêpe. Hay nĩi cách khác nĩ là cơng nghệ để giải thích cho một số tính chất của logarit nêpe. 1.2.2. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e. Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện và được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe : « Khi biến y tăng từ 0 đến +, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ - đến +. Nĩ cĩ hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0 đến + khi x tăng từ - đến +”. Vì vậy, chúng ta cĩ sự đồng nhất giữa hai kí hiệu « x=Logy và y=e(x) ». Cách định nghĩa này hồn tồn giống với giáo trình [A]. Trong định nghĩa hàm mũ, kí hiệu e(x) được sử dụng nhưng khái niệm cơ số chưa xuất hiện. Đến khi trình bày các tính chất của hàm mũ, kí hiệu ex mới được định nghĩa như sau : «Đặc biệt, nếu kí hiệu e(1)=e (số thực dương duy nhất xác định bởi Loge=1) thì với mọi số hữu tỉ r=r.1 e(r)=e(r.1)=[e(1)]r=er Do đĩ, ta sẽ dùng kí hiệu ex để chỉ e(x) ngay cả khi x là vơ tỉ, ta gọi hàm này là hàm mũ Với số e, định nghĩa này là mở rộng cho lũy thừa với số mũ vơ tỉ. Thật vậy, các quy tắc cổ điển của lũy thừa được áp dụng cho ex với x hữu tỷ hoặc vơ tỷ như lũy thừa bình thường» [tr 6]. Giống như giáo trình [A], số e ở đây được hiểu là giá trị mà tại đĩ logarit nepe bằng 1 hoặc e là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1. Tuy nhiên giá trị thực của e chưa được xác định. Sau đĩ, bằng giới hạn và khai triển Mac-Laurin cho hàm mũ e thì e được xác định là số vơ tỉ và cĩ giá trị gần đúng là e 2,71828. Đến đây hàm mũ cơ số e chính thức được viết dưới dạng : y=ex. Lũy thừa với số mũ vơ tỷ cơ số e được định nghĩa là : ex = e(x). Với cách định nghĩa này thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình [B] mở rộng lũy thừa từ er  ex, điều này khác với giáo trình [A]. Đoạn trích trên phần nào nĩi rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e cĩ đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thơng qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nĩ cũng được suy ra từ tính chất của hàm mũ e như : . , , ( ) , , u v u v a r ar e e e u v R e e a R r Q      Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vơ tỷ cơ số e ở giáo trình [B] hồn tồn giống với giáo trình [A], tuy nhiên nĩ được trình bày tường minh. 1.2.3. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a. Trong mục 7 trang 8, lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa như sau : « ogx xL aa e với a>0 và x bất kì ». Vì sao nĩ được định nghĩa như vậy, ta hãy xem lí giải của giáo trình này : « Chúng ta sẽ định nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì cho một số thực dương sao cho các quy tắc tính tốn cũ vẫn cịn áp dụng được. Chúng ta đã chứng minh rằng Logar=rLoga, với r hữu tỉ. Nĩi cách khác, ar=erLoga Nếu thay r bằng một số thực bất kì x, vì a là số thực dương, vế phải của đẳng thức trên cịn cĩ nghĩa trong khi vế trái thì chưa. Do đĩ, ta sẽ định nghĩa rằng ogx xL aa e với a>0 và x bất kì » [tr 8] Lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa thơng qua lũy thừa với số mũ thực cơ số e, mà kiến thức liên quan là logarit nêpe. Do lũy thừa ax được biểu diễn là ogx xL aa e nên cơ số a luơn dương. Dựa vào các tính chất của lũy thừa cơ số e và tính chất của logarit nêpe, người ta chứng minh được các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a >0. Cụ thể : 1, Với mọi a, b dương, với mọi số thực x : ( ). . ( )x Loga LogbxLoga xLogb xLogab x x xe e e e a b ab    2, Với mọi a>0, với mọi x, y : . , ( )x y x y x y xya a a a a  Thật vậy, log log ( ). .x y x a y a x y Loga x ya a e e e a    Ngồi hai tính chất này thì giáo trình khơng trình bày thêm tính chất nào nữa. Như vậy, các tính chất của lũy thừa cơ số a với số mũ thực được trình bày nhưng khơng đầy đủ. Quá trình phân tích trên cho thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, cịn các tính chất của lũy thừa cơ số e và logarit nêpe là cơng nghệ để giải thích cho các tính chất của lũy thừa ax. Một điểm khác biệt của giáo trình này so với giáo trình [A] là định nghĩa ax xuất hiện trước khi hàm mũ cơ số a được định nghĩa. Sau khi mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa, giáo trình đưa ra khái niệm hàm mũ a như sau : « Để nghiên cứu hàm số y=ax với a>0, ta nhắc lại định nghĩa y=ax=exLoga hàm số này xác định với mọi x, tăng nếu a>1, giảm nếu 01, ax tiến đến 0 khi x tiến ra -, ax tiến ra + khi x tiến ra +. Nếu 0<a<1, ax tiến đến + khi x tiến ra -, ax tiến đến 0 khi x tiến ra +. Nếu a=1, y=ax=1 là hàm hằng”. [tr9] Ta thấy, hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực: y=ax=exLoga. Cũng do cách định nghĩa này mà đường biểu diễn của hàm số y=ax được suy ra từ đường biểu diễn của hàm số y=ex. Định nghĩa hàm lơgarit được đưa ra sau khi đã cĩ định nghĩa hàm mũ a. Hàm số y=Logax cĩ thể viết a Logxy Log x Loga  hoặc một cách tương đương là x=a y. Theo giáo trình này thì hàm logarit cơ số a là hàm số ngược cùa hàm mũ cơ số a nên các tính chất của nĩ tương tự như các tính chất của hàm mũ a, đường biểu diễn của nĩ cĩ được nhờ phép lấy đối xứng đồ thị hàm mũ a qua đường phân giác thứ nhất. Trong giáo trình [A], hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a. Cách định nghĩa hàm logarit cơ số a ở đây hồn tồn ngược lại với giáo trình [A]. Hàm mũ a, hàm logarit cơ số a đã được định nghĩa, vậy hàm lũy thừa cĩ được đưa vào giáo trình này khơng? Việc khảo sát nĩ được thực hiện như thế nào? Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên, ta hãy xét trích đoạn trong mục 10, trang 10 của giáo trình này: “Vì lũy thừa với số mũ thực đã được định nghĩa, nên ta cĩ thể khảo sát hàm số y x với  là hằng số thực bất kì. Chúng ta giới hạn việc khảo sát với x>0 vì hàm này chỉ xác định với x<0 trong nhưng trường hợp đặc biệt của  ( nguyên hoặc  hữu tỉ cĩ dạng phân số tối giản và mẫu số là lẻ)”. Điều này khẳng định lại một lần nữa sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ thay đổi. Người ta chỉ xét x,  là số thực bất kì khi x>0, điều này hồn tồn phù hợp với định nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì được đưa vào trước đĩ. Lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa. Căn cứ vào định nghĩa của lũy thừa với số mũ thực thì Logxy x e   . “Dưới dạng này, tính chất của hàm lũy thừa cĩ thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10] Kết luận giáo trình [B] Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thơng qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên lũy thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e  lũy thừa với số mũ thực cơ số a. Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nĩ lại là cơ sở để mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ khơng cịn ngầm ẩn như giáo trình [A]. Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, do đĩ các tính chất của nĩ cũng được suy ra từ tính chất của lũy thừa. Sau đĩ, người ta xem hàm logarit cơ số a là hàm số ngược của hàm mũ a. Thứ tự và cách thức mở rộng khái niệm lũy thừa ở đây hồn tồn giống với giáo trình [A]. Tuy nhiên, tiến trình đưa vào hàm mũ a và hàm logarit cơ số a thì hồn tồn ngược lại. Do các giáo trình này chỉ trình bày lý thuyết mà khơng cĩ ví dụ và bài tập đặc trưng cho phần lũy thừa nên chúng tơi khơng đề cập đến tổ chức tốn học ở hai giáo trình này. KẾT LUẬN CHƯƠNG I Sau đây là một số kết quả chính trong quá trình phân tích chương I: + Tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong hai giáo trình đều giống nhau ở chỗ : mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số e : « ex=expx (hoặc ex=e(x)) rồi đến mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a : ax=exp(xLoga) hoặc ax= exLoga . Ở đây, ta thấy cĩ hiện tượng mở rộng về số mũ lẫn cơ số của lũy thừa. Tuy nhiên cơ sở cho phép thực hiện việc mở rộng lũy thừa trong hai giáo trình là khác nhau. Nếu như giáo trình [A] mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ vơ tỉ dựa trên hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, thì giáo trình [B] lại dựa vào lũy thừa cơ số e. + Ở giáo trình [A] ta khơng thấy được vai trị của lũy thừa trong việc xây dựng hàm mũ và hàm logarit thì ở giáo trình [B] ta thấy được phần nào vai trị của lũy thừa trong việc chứng minh các tính chất của hàm logarit nêpe, cũng như việc định nghĩa hàm mũ cơ số a, hàm lũy thừa. + Khái niệm lũy thừa được đưa vào ngầm ẩn trong giáo trình [A] và trình bày tường minh trong giáo trình [B]. Căn bậc n khơng cĩ vai trị gì trong việc mở rộng khái niệm lũy thừa. Bảng 1.1: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa hai giáo trình [A] và [B]. Giáo trình Khái niệm cần định nghĩa Cơ sở để định nghĩa A Hàm mũ e Hàm logarit nêpe Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ Hàm mũ a Hàm logarit cơ số a Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Hàm mũ a B Lũy thừa với số mũ nguyên dương Phép nhân Lũy thừa với số mũ nguyên âm LT với số mũ nguyên dương Lũy thừa với số mũ hữu tỷ LT với số mũ nguyên dương Hàm mũ e Hàm logarit nêpe Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ e Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ a Lũy thừa cơ số a Chương 2: KHÁI NIỆM LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY 2.1. Mục tiêu của chương 2 Thơng qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thơng chúng tơi muốn làm rõ tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đĩ thấy được vai trị của lũy thừa đối với việc xây dựng các khái niệm liên quan như hàm số mũ và hàm số lơgarit. Trên cơ sở những gì chúng tơi đã phân tích ở chương 1 sẽ làm rõ được những điểm giống và khác nhau giữa cách xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy. Giải thích được lý do vì sao cĩ sự khác biệt giữa hai tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy. Vai trị của lũy thừa trong việc xây dựng các khái niệm hàm mũ và hàm lơgarit cĩ thay đổi như thế nào từ cấp độ tri thức khoa học đến cấp độ tri thức cần giảng dạy. Cụ thể, chúng tơi sẽ phân tích chương trình và SGK ở trường THCS và THPT. Ở trường THCS chúng tơi sẽ phân tích chương trình và SGK lớp 6, 7. Ở trường THPT chúng tơi phân tích chương trình và SGK qua hai thời kì : chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000- Đại số và giải tích lớp 11 và chương trình chuyên ban năm 2005- Giải tích 12 nâng cao. Theo chương trình chỉnh lý hợp nhất thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình lớp 11, với chương trình phân ban thì nĩ được đưa vào chương trình 12. Do đĩ, việc phân tích hai bộ sách của hai thời kì cĩ thể cho chúng tơi thấy mục đích của sự thay đổi này. Qua đĩ làm rõ được vai trị, chức năng của khái niệm lũy thừa. Đối với chương trình phân ban chúng tơi sẽ phân tích bộ sách nâng cao vì sách nâng cao trình bày các vấn đề phong phú hơn, bài tập cũng đa dạng hơn sách cơ bản. Thơng qua quá trình phân tích các tổ chức tốn học, chúng ta sẽ thấy được sự thay đổi của các TCTH qua hai thời kì. Từ đĩ làm rõ các ràng buộc của thể chế và các qui tắc hợp đồng liên quan đến khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi làm việc với đối tượng lũy thừa trong buổi đầu tiếp cận (lớp 6,7) và đã qua một thời gian sử dụng (lớp 12). 2.2. Khái niệm lũy thừa ở chương trình trung học cơ sở. 2.2.1. Khái niệm lũy thừa ở lớp 6 (SGK hiện hành) Trong SGK 6, học sinh được học lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I phần số học. Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau: “Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a: . .......n n thừa số a a a a (n ≠ 0) » [tr26]. a gọi là cơ số và n gọi là số mũ. Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống nhau, phép nhân đĩ được gọi là phép nâng lên lũy thừa. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được định nghĩa hồn tồn giống với giáo trình đại học. Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệt của một phép nhân. Lũy thừa được hình thành từ một phép tốn mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đĩ là phép nhân. Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới. Trong thời gian đầu tiếp cận nĩ, cĩ thể học sinh sẽ khĩ sử dụng. Vì vậy, nên chăng cĩ hoạt động giúp học sinh phân biệt cơ số, số mũ, cũng như cách tính lũy thừa như sau: Chép lại và điền vào bảng sau đây giống như ở cột số 1 « 3 mũ 4 » « 0,7 mũ 5 » « -2 mũ 6 » 34 (-1,2)3 26 3×3×3×3 4×4×4 81 Từ một ví dụ cụ thể, SGK giới thiệu hai phép tốn trên lũy thừa là: .m n m na a a  ; :m n m na a a  (1) Cơng thức (1) hồn tồn cĩ thể chứng minh được bằng cách dùng định nghĩa, nhưng cĩ thể do yêu cầu giảm tải nên SGK khơng chứng minh. Theo tơi nên chứng minh cơng thức (1) nhằm khắc sâu định nghĩa cho học sinh. Thơng qua khái niệm bình phương một số, học sinh biết được một loại số mới trong các số tự nhiên, đĩ là số chính phương-số bằng bình phương của một số tự nhiên. Sau đĩ, SGK trình bày một vài ứng dụng của lũy thừa như:  Lũy thừa được dùng để viết gọn một tích cĩ nhiều thừa số giống nhau.  Thơng qua bài tốn phân tích một số ra thừa số nguyên tố, lũy thừa được dùng để viết gọn lại kết quả phân tích đĩ. Chính nhờ cách viết theo lũy thừa mà học sinh xác định ƯCLN và BCNN một cách nhanh nhất. Ngồi ra, nĩ cịn giúp cho chúng ta xác định được số tự nhiên cĩ bao nhiêu ước số. Ví dụ: Tìm ƯCLN(36, 84, 168) Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố : 36=22.32 ; 84=22.3.7 ; 168=23.3.7 Chọn ra các thừa số chung, đĩ là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1. Khi đĩ : ƯCLN(36, 84, 168)=22.3=12. [tr55] Ví dụ : 263 3 .7 nên số lượng ước của 63 là : (2+1)(1+1)=6 Tổng quát đối với số . . ....x y zm a b c (với a, b, c là số nguyên tố) thì số lượng ước của m bằng : (x+1)(y+1)(z+1)... 2.2.2. Khái niệm lũy thừa ở lớp 7 Ở lớp 7 học sinh được làm quen với khái niệm lũy thừa của một số hữu tỷ với số mũ tự nhiên. Nĩ được đưa vào chương trình sau khi đã học các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỷ. Về cơ bản khái niệm lũy thừa của một số hữu tỷ với số mũ tự nhiên được định nghĩa tương tự như SGK lớp 6, nhưng các tính chất của lũy thừa được đưa vào phong phú hơn. Cụ thể, ngồi phép tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số, SGK trình bày thêm cơng thức lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương : .( ) ; ( . ) . ; ( 0) n n m n m n n n n n x xx x x y x y y y y        (1) Theo sách giáo viên thì « Để giảm nhẹ lý thuyết, SGK cho học sinh « tính và so sánh » rồi đưa ra các quy tắc để học sinh thấy các quy tắc này là hợp lý. SGK khơng chứng minh và cũng khơng yêu cầu học sinh chứng minh. ». [tr28] Như vậy, SGK đưa vào lũy thừa của một số hữu tỷ ở lớp 7 nhằm hồn thiện các phép tốn trên tập hợp số hữu tỷ bao gồm : phép cộng, trừ, nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa, nĩ được nghiên cứu như một đối tượng tốn học mà chưa cĩ một ứng dụng nào rõ nét. SGK cĩ đưa vào định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên âm trong bài đọc thêm như sau: “Cùng với lũy thừa với số mũ tự nhiên, người ta cịn xét cả lũy thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0. Ta cĩ định nghĩa: *1 ( , 0)n nx n N xx     ” [Tr 23]. Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa thơng qua lũy thừa với số mũ nguyên dương. Ở đây, cĩ điều kiện ràng buộc cho cơ số là cơ số phải khác 0. Bài đọc thêm này cũng đưa ra một ứng dụng nhỏ của lũy thừa với số mũ nguyên âm là “Lũy thừa với số mũ nguyên âm của 10 thường được dùng để viết những số rất nhỏ cho thuận tiện. Ví dụ, khối lượng của nguyên tử hydro (0,00…0166g) được viết gọn là 1,66.10-24g”[tr 23] Rõ ràng lúc này cĩ thể đưa khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên âm vào bài học chính thức nhưng vì trong chương trình lớp 7, lũy thừa với số mũ nguyên âm nĩi riêng chưa cĩ nhiều cơng dụng. Trong thực tiễn, lũy thừa với số mũ nguyên âm thường được sử dụng để biểu diễn những đại lượng rất nhỏ, nhưng học sinh lớp 7 vẫn chưa dùng nhiều những đại lượng này trong tốn học và các mơn học khác. Mặc dù vậy, những bài tập về lũy thừa với số mũ nguyên âm vẫn cĩ trong SBT lớp 7. Quá trình phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm lũy thừa từ lớp 6 chuyển qua lớp 7 tuy khơng mở rộng về số mũ nhưng nĩ được mở rộng về cơ số, từ số tự nhiên sang số hữu tỷ. Các quy tắc tính của lũy thừa đều được SGK lớp 6 và lớp 7 thừa nhận mà khơng chứng minh, điều đĩ làm cho học sinh nhớ các quy tắc này một cách máy mĩc. Lũy thừa với số mũ tự nhiên mặc dù được xây dựng từ phép nhân- rất quen thuộc đối với học sinh nhưng nĩ cĩ cách kí hiệu riêng, tên gọi riêng, nên trong những năm đầu học tập và sử dụng nĩ, học sinh cĩ thể mắc phải những sai lầm khi sử dụng các quy tắc tính, cũng như định nghĩa lũy thừa. Một điều nữa làm cho học sinh lớp 6,7 gặp khĩ khăn khi học khái niệm lũy thừa đĩ là cách kí hiệu lũy thừa. Ở đây, SGK đã khơng đưa ra được lý do vì sao phải cĩ cách kí hiệu như thế, mà điều này hồn tồn cĩ thể giải thích được. Chính vì vậy, học sinh khơng hiểu được ý nghĩa của cách ghi khái niệm lũy thừa. Nên khi học các tính chất lũy thừa, học sinh gặp rất nhiều sai lầm. Chúng tơi dự đốn học sinh cĩ thể mắc phải những sai lầm do sử dụng các quy tắc hành động sau: Quy tắc 1: naan  Quy tắc 2: ..m n m na a a Quy tắc 3: . ( . )m n m na b a b  Quy tắc 4: .. ( . )m n m na b a b Quy tắc 5: nmnm aa )( Quy tắc 6: m m n n a a a  hoặc .m m n n a a a  Quy tắc 7: m nm n a a bb      Nguyên nhân nào làm cho học sinh thường xuyên sử dụng các qui tắc này trong quá trình tính tốn trên đối tượng lũy thừa? Theo tơi cĩ những nguyên nhân sau:  Đối với qui tắc 1,2: Học sinh cĩ thể hiểu như sau: an bao gồm tích của n số a, tích của n số a cĩ thể ghi thành na . Hoặc học sinh áp dụng một quy tắc tính của phép cộng sang cho phép nhân là: số a ... n a a a n a     thành số a . ... n a a a n a  Do đĩ: naan  . am.an bao gồm m số a nhân với n số a, kết quả thu được là cĩ m.n số a. Suy ra ..m n m na a a . Hoặc quy tắc 2 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính .m n m na a a  ; .( )m n m na a  Quy tắc 3 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính .m n m na a a  và . ( . )m m ma b a b .  Quy tắc 4 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính . ( . )n n na b a b và .( )m n m na a  Quy tắc 5 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính .m n m na a a  và .( )m n m na a  Quy tắc 6 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính ; ( ) ; . m m n m n mn m n m n n a a a a a a a a      Quy tắc 7 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính ; mm m m n m n a a a a bb a      Liệu những sai lầm mà học sinh THCS gặp phải cĩ cịn tồn tại trên học sinh lớp 12 hay khơng? Câu trả lời sẽ cĩ được qua kết quả thực nghiệm ở chương 3. 2.3. Khái niệm lũy thừa ở trường trung học phổ thơng 2.3.1. Khái niệm lũy thừa trong SGK CLHN năm 2000 [C] 2.3.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên Trong chương trình này “Mở rộng khái niệm lũy thừa” được đưa vào chương “Hàm số mũ” đặt sau chương “Giới hạn”. Mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện qua các giai đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỷ và lũy thừa với số mũ vơ tỉ. Đầu tiên, học sinh được học khái niệm lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm của một số thực thơng qua định nghĩa sau : Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Định nghĩa này hồn tồn tự nhiên, phù hợp với các cơng thức đã biết, đặc biệt là cơng thức : m m n n a a a  (m, n nguyên dương, m>n). Với a ≠0 và n là số nguyên dương ta định nghĩa 0 11; n n a a a   Chú ý ; 00 và 0-n khơng cĩ nghĩa. [tr142] Đĩ cũng là lý do vì sao SGK nhắc lại định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương ở đầu bài. Cách định nghĩa này hồn tồn giống trong SGK lớp 7. Điều cần lưu ý là trong lũy thừa với số mũ nguyên âm, cơ số phải cĩ điều kiện là khác 0.  Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức được trình bày ở mục 3, trang 143 như sau: Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên đều được thừa nhận mà khơng chứng minh vì theo như tài liệu hướng dẫn giảng dạy tốn 11 thì “Chúng cĩ thể suy ra từ định nghĩa một cách khơng khĩ khăn, mặc dù phải xét từng trường hợp” [tr 77]. Ngồi 5 tính chất quen thuộc biểu thị bằng đẳng thức mà học sinh đã được làm quen từ cấp 2, SGK giới thiệu thêm 3 tính chất mới của lũy thừa được biểu thị bằng bất đẳng thức: a) Nếu 00 an >bn, n<0 b) Nếu a>1 thì am > an với m>n c) Nếu 0n Các tính chất trên sẽ là một cơng cụ giúp học sinh giải quyết các bài tốn so sánh hai lũy thừa thuận lợi hơn. Các tính chất này chưa xuất hiện ở SGK lớp 7. Do đĩ, SGK 7 chỉ đưa ra các bài tốn so sánh hai lũy thừa dưới dạng “tính và so sánh”. Các bài tốn so sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng số mũ hoặc cơ số chỉ cĩ trong SBT và rất hạn chế. 2.3.1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Để định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, SGK đưa ra định nghĩa căn bậc n (n nguyên dương) của một số thực a như sau: “Căn bậc n (n N*) của số thực a là số thực b, nếu cĩ, sao cho bn=a. Như vậy, theo định nghĩa, căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a” [tr144] Đây là một khái niêm mới vì ở cấp 2 học sinh chỉ được làm quen với căn bậc hai, bậc ba. Từ định nghĩa trên, ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương là cơ sở để định nghĩa căn bậc n. Vì căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a nên để tìm số nghiệm của phương trình này người ta dùng phương pháp đồ thị, tìm số giao điểm của đồ thị hàm số ny x với đường thẳng y=a. Kết quả thu được từ quá trình biện luận như sau: .) . ; ) ( ) ) ; ) ( ) . ) . m n m n m n m n m m n n n n n n n n a a a a c a a ab a d ab a b a a ac b b            với a, bR, a0; b0, m,n Z 1.“Nếu n lẻ thì mọi số thực a đều cĩ căn bậc n duy nhất, cùng dấu với a, kí hiệu là n a . 2. Nếu n chẵn thì số âm khơng cĩ căn bậc n; số 0 cĩ căn bậc n bằng 0; số dương cĩ hai căn bậc n đối nhau. Người ta quy ước viết căn dương bậc n (n chẵn) của số dương a là n a , căn âm là - n a .”[SGV, tr77-78] Việc dẫn dắt để đi đến kết luận trên được SGK trình bày khá chi tiết, tuy nhiên các tính chất của căn bậc n khơng được đề cập đến trong [C]. Cĩ sự khác biệt giữa định nghĩa căn bậc n trong SGK và giáo trình đại học [A]. Trong giáo trình [A] căn bậc n được định nghĩa là hàm số ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, khơng cĩ căn bậc n của số âm. SGK khơng thể xây dựng khái niệm căn bậc n giống giáo trình đại học vì tại thời điểm này khái niệm hàm lũy thừa chưa được đưa vào chương trình. Từ định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên người ta mở rộng ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ: “a là một số thực dương, r là một số hữu tỉ cĩ dạng mr n  , trong đĩ m là một số nguyên, n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa Lũy thừa với số mũ hữu tỷ được định nghĩa gián tiếp thơng qua khái niệm căn bậc n của một số dương. Theo định nghĩa trên thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ luơn biểu diễn được qua căn bậc n, tuy nhiên khơng phải lúc nào căn bâc n của một số cũng cĩ thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, nĩ chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là số dương, do khơng chú ý đến điều kiện của cơ số nên học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển đổi một biểu thức từ căn sang lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ. Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ trong SGK hồn tồn khác với giáo trình đại học. Ở bậc đại học thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương được định nghĩa dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên dương: ( ) p q pqa a (p, q nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thơng qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương: ' 1r r a a  với r=-r’<0. Như vậy khơng cĩ khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ của một số a  0. Trong giáo trình đại học người ta vẫn đề cập đến lũy thừa với cơ số a<0 trong các trường hợp đặc biệt của số mũ như số mũ là số nguyên chẵn hoặc cĩ dạng phân số tối giản với mẫu là số lẻ và tử là số chẵn. m nr mna a a  (a>0)” [tr 147] Trong định nghĩa này nêu rõ điều kiện của cơ số a>0. Sở dĩ cĩ điều kiện này là vì n a , (n chẵn) chỉ cĩ nghĩa khi a≥0 và am (m nguyên) chỉ xác định khi a≠0. Tại sao SGK khơng đưa ra lũy thừa của số a<0 với số mũ hữu tỷ ? Theo tài liệu hướng dẫn giảng dạy lớp 11 thì: “Nếu a<0, và số mũ là phâ._.c bài hàm số mũ và hàm số lũy thừa vì sẽ gặp những khĩ khăn sau đây: sự tồn tại của ax và sự xác định duy nhất của nĩ, khơng biết được tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số nên gặp khĩ khăn trong việc xét tính đơn điệu của hàm số mũ…” Điều này cho thấy giáo viên bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi cách biên soạn của SGK. Các giáo viên này lý giải rằng vì phải dùng kiến thức về lũy thừa mới cĩ thể đưa ra khái niệm hàm số mũ. Chỉ cĩ 1/10 giáo viên trả lời cĩ thể được, lý do mà giáo viên này đưa ra là: ta sắp xếp lại thứ tự chương trình tốn trong SGK, ví dụ như đạo hàm lúc đầu đưa vào sau khi học lũy thừa, nhưng SGK 2005 lại đưa vào trước khi học lũy thừa. Điều này phản ánh đúng như dự đốn của chúng tơi, tất cả giáo viên đều cho rằng “Mở rộng khái niệm lũy thừa” cĩ một vai trị rất lớn trong việc xây dựng hàm số mũ và hàm số lơgarit. Tĩm lại: Kết quả thực nghiệm trên giáo viên đã kiểm chứng tính thỏa đáng của qui tắc hợp đồng R1. THỰC NGHIỆM B (Đối với học sinh) 3.5. Mục đích thực nghiệm Chúng tơi tiến hành thực nghiệm B nhằm kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết H1 mà chúng tơi đã trình bày ở cuối chương 2. Ngồi ra thực nghiệm này cũng nhằm kiểm chứng xem học sinh thường mắc phải những sai lầm nào khi sử dụng định nghĩa cũng như các quy tắc tính của lũy thừa. 3.6. Hình thức thực nghiệm Để thấy được sự tồn tại của qui tắc hợp đồng R1 trên đối tượng học sinh, chúng tơi đưa ra các bài tốn 4,5,6,7 và đề nghị học sinh lớp 12 làm việc cá nhân trong thời gian 30 phút. Để kiểm chứng giả thuyết H2, chúng tơi tiến hành thực nghiệm trên học sinh lớp 7 và học sinh lớp 12. Đối với lớp 7: Thời điểm thực nghiệm là sau khi học sinh lớp 7 đã học xong bài lũy thừa của một số hữu tỉ. (gồm ba bài 1,2,3) Đối với lớp 12: Chúng tơi tiến hành thực nghiệm sau khi các em học xong bài lũy thừa với số mũ thực. Thời gian thực nghiệm cho học sinh lớp 7 là 20 phút. Thời gian thực nghiệm cho học sinh lớp 12 là 15 phút (đối với các bài tốn 1,2,3). Học sinh sẽ làm việc cá nhân với các bài tốn này. 3.7. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các câu hỏi thực nghiệm 3.7.1. Xây dựng câu hỏi thực nghiệm Các câu hỏi trong thực nghiệm này được xây dựng trên sự lựa chọn giá trị của một số biến didactic và biến tình huống sau đây: V1: Độ lớn của số + Đủ nhỏ để tính bằng tay. + Đủ lớn để ngăn cản khả năng tính tốn bằng tay. V2: Việc sử dụng máy tính bỏ túi + Dùng máy tính bỏ túi để tìm câu trả lời. + Khơng dùng máy tính bỏ túi. V3: Đặc trưng của biểu thức cần tính giá trị. + Biểu thức đã cho chứa biến. + Biểu thức đã cho chỉ chứa số. V4: Kết quả rút gọn biểu thức + Kết quả sau khi rút gọn khơng chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ (khi thay giá trị của biến vào, học sinh khơng thể nhận ra biểu thức này khơng tồn tại) + Kết quả sau khi rút gọn chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ (khi thay số vào học sinh cĩ thể biết biểu thức khơng xác định và giải lại bài tốn theo chiến lược “miền xác định”) V5: Giá trị đã cho của biến + Là một số nguyên (tạo điều kiện cho chiến lược S13-thay giá trị và tính) + Là một số khơng nguyên (tạo điều kiện cho chiến lược S14-Rút gọn và tính) V6 : Dạng phương trình + Phương trình cĩ chứa biểu thức dạng : ( ) p m ma hoặc ( ) p mma . + Phương trình khơng chứa biểu thức dạng : ( ) p m ma hoặc ( ) p mma . V7: Đặc điểm của hàm số lũy thừa. + Cĩ số mũ khơng là số tự nhiên. + Cĩ số mũ là số tự nhiên. V8 : Dấu của số nằm dưới dấu căn + Là một số dương (lũy thừa với số mũ nào cũng cĩ nghĩa) + Là một số âm (lũy thừa với số mũ hữu tỷ khơng cĩ nghĩa) 3.7.2. Nội dung các bài tốn thực nghiệm Bài 1: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D, E: a. 2 73 .3  A) 314 ; B) 39 ; C) 99 ; D) 914 ; E) 69 b. 76: 73= A) 13 ; B) 718 ; C) 79 ; D)73 ; E) 72 Bài 2: Tính a. 43 b. 2 33 .2 c. (23)2 d. 2 2 128 . 7     e. 3 3 6 3 Bài 3: Trong vở bài tập của bạn Mai Khơi cĩ bài làm sau: a. 2 3 62 .2 2 b. 42 6 1 1 3 3                c. 5 35 2 3 4 4 2 22      d.     5 4 0.5 : 0.5 0.5 Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai ( nếu cĩ) Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: 1 1 4 3 3 3 21 1 a a a aA a a     Với a= -2 Bài 5: Giải các phương trình sau: a.   14 42 4 2 4x x      ; b.   61 2 61 5x         Bài 6: Tìm tập xác định của các hàm số a.   524y x   ; b.  121y x  ; c.   132 3y x   Bài 7: Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ. 73 53. 3. 3   3.7.3. Các chiến lược cĩ thể S11: Chiến lược “dùng quy tắc tính và định nghĩa của lũy thừa” + Đối với bài 1: Dùng quy tắc tính hoặc định nghĩa của lũy thừa để tính 32.3; 76:73 và chọn đáp án đúng với kết quả vừa tính. + Đối với bài 2: Kết hợp việc dùng định nghĩa và các quy tắc tính của lũy thừa để đưa ra kết quả. + Đối với bài 3: Căn cứ vào các quy tắc tính đã học để phát hiện ra sai lầm trong bài làm của bạn Mai Khơi. S12: Chiến lược “dùng máy tính” + Đối với bài 1: Dùng MTBT để tính kết quả của tích 32.37 ; 76:73 và kết quả của các đáp án. Từ đĩ, so sánh chúng và chọn ra đáp án đúng. + Đối với bài 2: Nhập các số đã cho vào máy tính và ghi kết quả thu được. + Đối với bài 3: Dùng MTBT để kiểm tra kết quả hai vế của đẳng thức. Từ đĩ đưa ra nhận xét. Bài 4 cĩ thể giải theo các chiến lược S13, S14, S15 như sau: S13: Chiến lược “ thay giá trị và tính”. Khơng rút gọn biểu thức A, thay giá trị a vào biểu thức A rồi tính. S14: Chiến lược “Rút gọn và tính” Rút gọn biểu thức A, sau đĩ thay giá trị a vào biểu thức đã rút gọn để tính. S15: Chiến lược “Miền xác định” Dựa trên nhận xét: Nếu cơ số a<0 thì khơng tồn tại lũy thừa với số mũ hữu tỷ cơ số a. Kết luận: biểu thức trên khơng tồn tại khi a= -2. S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa” cĩ thể áp dụng đối với các bài tốn: Bài 5: Giải pt tìm x, khơng quan tâm đến điều kiện của pt. Bài 6: Chỉ đặt điều kiện khi cĩ căn bậc chẵn và mẫu của phân thức. Bài 7: Khơng tính đến dấu của số nằm dưới dấu căn, vẫn chuyển biểu thức đã cho về dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ. S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định lũy thừa” cĩ thể áp dụng đối với các bài tốn: Bài 5: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Sau đĩ, giải phương trình để tìm nghiệm. Bài 6: Dựa vào số mũ, đặt điều kiện cho cơ số của lũy thừa. Bài 7: Nhận định dấu của số nằm dưới dấu căn, sau đĩ kết luận khơng thể viết biểu thức đã cho dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. 3.7.4. Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược. Bảng 3.1: Tĩm tắt sự lựa chọn giá trị của biến trong các bài tốn. V1:Độ lớn của số. V2:việc sử dụng MTBT V3:Đặc trưng của biểu thức cần tính V4: Kết quả rút gọn biểu thức V5: giá trị đã cho của biến V6: Dạng phương trình V7: Đặc điểm của hàm số lũy thừa. V8: Dấu của số nằm dưới dấu căn. Bài 1 Đủ lớn để ngăn cản khả năng tính bằng tay Khơng dùng MTBT Bài 2 Đủ nhỏ để tính bằng tay Khơng dùng MTBT Bài 3 Đủ nhỏ để tính bằng tay Khơng dùng MTBT Bài 4 Biểu thức đã cho chứa biến Khơng chứa LT với số mũ hữu tỷ Là số nguyên Bài 5 Cĩ chứa biểu thức dạng ( ) và (a ) p p m mm ma Bài 6 Cĩ số mũ khơng là số tự nhiên Bài 7 Là một số âm. Bài 1,2,3. Bài 1,2,3 được xây dựng sao cho học sinh phải sử dụng 5 qui tắc phép tốn đối với lũy thừa trong quá trình làm bài: Qui tắc 1 : .m n m na a a  . Đĩ là bài tốn 2 7 2 3 63 .3 và 2 .2 2 . Qui tắc 2 : a a a nm n m  . Đĩ là bài tốn 6 37 : 7 và 5 4(0.5) : 0.5 (0.5) Qui tắc 3 :  nm nma a . Đĩ là bài tốn   42 6 23 1 12 và 3 3                . Qui tắc 4 : . . ( . )n n na b a b . Đĩ là bài tốn 2 2 128 . 7     . Qui tắc 5 : mm m a a bb      . Đĩ là bài tốn 3 3 6 3 và 5 35 2 3 4 4 2 22      Ngồi ra tơi cịn đề nghị bài tốn chỉ sử dụng định nghĩa lũy thừa của một số. Đĩ là các bài : Tính 4 2 33 ; 3 .2 . Số được lựa chọn thế nào để cĩ thể làm tốn mà khơng cần đến máy tính, do đĩ trong thời gian làm bài HS đã khơng được sử dụng máy tính. Các bài tốn này chúng tơi thực hiện trên hai lớp 7 và 12 nhằm mục đích kiểm tra xem khi học và làm việc trên các tính chất của lũy thừa, học sinh thường mắc phải những sai lầm nào? những sai lầm mà học sinh lớp 7 (mới bắt đầu học lũy thừa) mắc phải cĩ cịn lập lại trên học sinh lớp 12 hay khơng. Bài 4 Kiểu nhiệm vụ “ tính giá trị biểu thức” khá phổ biến trong SGK. Học sinh được đặt trong phạm vi của hợp đồng didactic của khái niệm lũy thừa: Khi giải các bài tốn liên quan đến lũy thừa, học sinh khơng cĩ trách nhiệm kiểm tra điều kiện của cơng thức dùng trong định nghĩa của khái niệm lũy thừa (nếu bài tốn khơng cĩ yêu cầu trực tiếp. Chúng tơi lựa chọn giá trị a=-2 khơng thuộc tập xác định của biểu thức. Sự ngắt quãng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh hưởng của nĩ trên ứng xử của học sinh. Chúng tơi lựa chọn giá trị của biến nhắm đến việc tạo cơ hội cho học sinh sử dụng chiến lược S13, S14, cụ thể như sau: + Giá trị của a cho dưới dạng số nguyên, nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ theo hướng thay số vào rồi tính giá trị biểu thức. + Biểu thức A cĩ thể rút gọn đơn giản nên sẽ tạo điều kiện cho học sinh thực hiện rút gọn rồi mới thay giá trị của a. Ở đây, lũy thừa với số mũ hữu tỷ luơn chuyển về theo căn bậc lẻ . + Kết quả sau khi rút gọn A= 2a 1 a  : khơng cịn lũy thừa của a với số mũ hữu tỷ nên học sinh khĩ phát hiện ra giá trị a=-2 khơng thuộc miền xác định của biểu thức. Vì vậy, chiến lược S15 khơng cĩ cơ hội xuất hiện. + Nếu cho biểu thức cần tính chỉ chứa số thì học sinh cĩ thể nhận ra biểu thức đĩ khơng tồn tại với cơ số của lũy thừa âm bằng cách dùng định nghĩa lũy thừa hoặc bấm máy tính. Do đĩ, chúng tơi lựa chọn biểu thức cần tính chứa biến tạo cơ hội cho chiến lược S14 xảy ra, hạn chế khả năng xảy ra của chiến lược S15. Bài 5 Dạng bài tập đưa ra là “giải phương trình”. Đây là một dạng tốn vừa quen mà vừa lạ đối với học sinh. Nĩ quen vì bài tốn “giải phương trình” hoc sinh đã được biết qua hầu hết các cấp học. Nĩ lạ vì kiểu bài tốn này học sinh ít gặp khi làm việc với đối tượng lũy thừa. Để giải đúng các phương trình này, địi hỏi học sinh phải biết đặt điều kiện cho cơ số của lũy thừa căn cứ vào số mũ của nĩ. Đề bài đưa ra khơng đặt nặng về các thao tác giải phương trình, mà chỉ yêu cầu học sinh nhận định được điều kiện xác định của lũy thừa. Chúng tơi lựa chọn phương trình cĩ chứa biểu thức dạng: ( ) p m ma và ( ) p mma , nhằm tìm hiểu ứng xử của học sinh khi áp dạng tính chất: lũy thừa của lũy thừa cĩ tính đến điều kiện xác định của lũy thừa hay khơng. Ở câu a, dấu của cơ số phụ thuộc vào biến x, nhưng câu b chúng tơi cho lũy thừa mà cơ số luơn âm với mục đích tạo cơ hội cho các em nhớ lại điều kiện của cơ số trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Bài 6 Bài này chúng tơi muốn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh về khái niệm lũy thừa khi cĩ sự mở rộng về số mũ. Như phân tích ở chương 2, hệ thống bài tập mà SGK đưa ra hầu như cho sẵn điều kiện cơ số hoặc là khơng đề cập đến điều kiện của cơ số trong đề bài cũng như trong lời giải mong đợi. Do đĩ, sự thay đổi điều kiện cơ số khi cĩ sự mở rộng về số mũ khơng được học sinh tính đến. Bài này sẽ cho phép chúng tơi tìm hiểu vấn đề vừa nêu. Liệu rằng với cách đưa ra yêu cầu một cách trực tiếp như đề bài 6 thì học sinh cĩ tìm được điều kiện xác định của lũy thừa hay khơng? Câu trả lời của học sinh sẽ cho chúng ta biết điều đĩ. Biểu thức trong hàm số mà chúng tơi đưa ra đều chứa lũy thừa với số mũ khơng phải là số tự nhiên nhằm tìm hiểu khả năng nhận biết của học sinh về sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ của nĩ thay đổi trên các tập hợp số. Bài 7 Kiểu nhiệm vụ “Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ” chiếm một vị trí khá lớn trong phần bài tập của SGK. Chúng tơi lựa chọn căn bậc lẻ để biểu thức đưa ra luơn tồn tại. Khi đưa ra bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, SGK luơn cho sẵn điều kiện của biến nằm dưới dấu căn là dương hoặc luơn cho số dương. Vì vậy, chúng tơi lựa chọn số nằm dưới dấu căn là số âm (-3). Sự ngắt quãng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh hưởng của nĩ trên ứng xử của học sinh. 3.7.5. Phân tích chi tiết các bài tốn Bài 1: Câu trả lời cĩ thể nhận được theo các chiến lược sau: S11: Chiến lược “dùng quy tắc tính hoặc định nghĩa của lũy thừa” Bài 1:           2 7 9 2 7 2 7 9 3 .3 3.3 . 3.3.3.3.3.3.3 3 ) 3 .3 3 3 a . Vậy B đúng. 2 7 2 7 2.7 14 3 .3 3.2.3.7 126 3 .3 (3.3) 9      . Mà 914=9.14=126 nên D đúng. 2 7 2.7 143 .3 3 3  . Vậy A đúng. 6 3 3 6 3 6 3 3 7.7.7.7.7.77 : 7 7.7.7 7 ) 7.7.7 7 : 7 7 7 b        . Vậy D đúng. 6 3 6 3 377 : 7 1 7      . Vậy A đúng. 6 3 3 6 97 : 7 7 7  . Vậy C đúng. 6 3 3.6 187 : 7 7 7  . Vậy B đúng. 6 3 6:3 27 : 7 7 7  . Vậy E đúng. Bài 2: 4 4 4 * 3 3.3.3.3 81 3 3.4 12 3 4.4.4 64       2 3 2 3 2 3 6 6 2 3 5 5 * 3 .2 3.2.2.3 36 3 .2 3.3.2.2.2 72 3 .2 (3.2) 6 6.6 36 3 .2 (3.2) 6           3 2 5 3 2 2 3 2 * (2 ) 2 32 (2 ) 8 64 (2 ) 2.3.2 12                                             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.2 2 4 1 1* 28 . 28. 4 16 7 7 1 128 . 28.2. .2 16 7 7 1 1 128 . 28. 28. 4 256 7 7 7 Bài 3: a. 2 3 52 .2 2 . Từ đĩ, kết luận a sai 2 3 62 .2 2 .Từ đĩ, kết luận a đúng. b. 42 8 1 1 3 3                .Từ đĩ, kết luận b sai 42 6 1 1 3 3                .Từ đĩ, kết luận b đúng. 25 2 3 4 4) 2 22 c      . Từ đĩ, kết luận c đúng. 5 10 7 3 3 5 3 4 2 2 2 2 4 4.5 10 2.3 32      . Từ đĩ, kết luận c sai.    5 4) 0.5 : 0.5 0.5d  . Từ đĩ kết luận d đúng.    5 50.5 : 0.5 0.5 .Từ đĩ kết luận d sai. S12: Chiến lược “dùng máy tính” Bài 1: Nhập vào MTBT tích: 2 73 .3 và 6 37 : 7 . Sau đĩ, dùng MTBT kiểm tra các đáp án cho bên dưới. Từ đĩ, chọn đáp án giống kết quả. Bài 2: Nhập lũy thừa cần tính vào MTBT và ghi lại kết quả thu được. Bài 3: Dùng MTBT tính lũy thừa ở vế trái của đẳng thức và so sánh kết quả với vế phải để đưa ra nhận xét. Bài 4 Câu trả lời cĩ thể nhận được theo các chiến lược như sau S13: chiến lược “ thay giá trị và tính” Với a= -2 ta cĩ: 3 3 3 3 3 03 3 6* 2 8 3 6 6.3 2 3.33 6 6 1 33          1 1 4 1 1 4 3 3 3 3 3 3 2 1 1 4 1 4 3 3 3 3 3 4 4 3 3 ( 2) ( 2) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 1 1 3( 2) 1 3.( 2) ( 2) ( 2) 2 ( 2).( 2) ( 2) 2 3 3 ( 2) ( 2) 2 2 3 3 A                                     S14: Chiến lược “ Rút gọn và tính” 1 1 4 1 1 4 3 3 3 3 3 3 2 2 4 1 1 4 3 3 3 3 2 2 ( 1) 1 1 1 1 1 a a a a a a a a aA a a a a a a a a a a a                 Với a=-2 thì 2A 3  S15: Chiến lược “Miền xác định” Với cơ số a<0 thì khơng tồn tại lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Vậy biểu thức trên khơng tồn tại khi a= -2. Bài 5: Câu trả lời cĩ thể nhận được theo các chiến lược sau: S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa”   14 42 2 2 . 4 2 4 4 2 4 2 8 0 2 4 a x x x x x x x x                    Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x=-2 và x=4.   612 6 2 2 . 1 5 1 5 4 2 b x x x x                   Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x=2. S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định của lũy thừa” S17a: “Sử dụng phép biến đổi tương đương” a.   14 42 4 2 4x x      (1) Điều kiện: 2 4 0 2 và x -2x x     2 2 2 2 2 4 0 2 4 (1) 4 2 4 2 8 0 4 0 2 0 0 x x x x x x x x x x x x x                            Vậy phương trình cĩ nghiệm x=4 và x=0 b.   612 61 5x        Ta cĩ 2 1 0x   nên  12 61x  khơng tồn tại.Vậy phương trình vơ nghiệm. S17b: Chiến lược “phương trình hệ quả”   14 42 2 2 2 . 4 2 4 4 2 4 2 8 0 2 0 2 4 0 a x x x x x x x x x x x                       Thử lại: ta được x=4 và x=0 là nghiệm của phương trình.   612 6 2 2 . 1 5 1 5 4 2 b x x x x                   Thử lại: Với x=2:   6165 5      (sai) Với x=-2:   6165 5      (sai). Vậy phương trình vơ nghiệm. Bài 6: Câu trả lời cĩ thể nhận được theo các chiến lược sau: S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa” a. TXĐ: D R . b. Ta cĩ:  121 1y x x    Hàm số  121 1y x x    xác định khi 1 0 1x x     Vậy TXĐ: [ 1; )D    . c. Ta cĩ:   13 3 12 3 2 3 y x x      Hàm số   13 3 12 3 2 3 y x x      xác định khi 32 3 0 2 x x     Vậy TXĐ: 3\ 2 D R      . S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định của lũy thừa”. a. Hàm số   524y x   xác định khi 24 0 2x x     Vậy TXĐ:  \ 2; 2D R  . b. Hàm số  121y x  xác định khi x+1>0x>-1 Vậy TXĐ:  1;D    c. Hàm số   132 3y x   xác định khi 32 3 0 2 x x     Vậy TXĐ: 3( ; ) 2 D   . Bài 7: Câu trả lời cĩ thể nhận được theo các chiến lược sau: S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa” 1 1 1 43 73 5 3 15 105 1053. 3. 3 ( 3) .( 3) .( 3) ( 3)         S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định của lũy thừa”. Vì -3<0 nên khơng tồn tại lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số -3. Do đĩ, khơng thể viết biểu thức đã cho dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. 3.8. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài tốn thực nghiệm Chúng tơi tiến hành thực nghiệm trên 129 học sinh lớp 12 của trường THPT Xuyên Mộc (Bà Rịa- Vũng Tàu) và 58 học sinh lớp 7 của trường THCS Bầu Lâm, Xã Bầu Lâm, huyện Xuyên Mộc. Bài 1: Bảng 3.2: Thống kê các lời giải bài 1 học sinh lớp 7 A B C D E Tổng cộng Câu 1a 11 18.96% 32 55.17% 8 13.79% 5 8.62% 2 3.45% 58 100% Câu 1b 4 6.9% 8 13.79% 10 17.24% 35 60.34% 01 1.73% 58 100% Mặc dù, hai quy tắc tính tích và thương hai lũy thừa cùng cơ số đã được học ở lớp 6 lẫn lớp 7 nhưng từ kết quả thống kê ta thấy số học sinh mắc sai lầm do sử dụng các quy tắc hành động R2, R3, R4, R6, R7 là tương đối nhiều (>40%). Điều này hồn tồn đúng với dự đốn ban đầu của chúng tơi. Bài 2: Bảng 3.3: Thống kê các lời giải bài 2 học sinh lớp 7 Yêu cầu tính Kết quả đúng Tần số na a n  . ( . )m n m na b ab  .. ( . )m n m na b ab  nm m na a  m nmna abb      Trả lời khác Khơng trả lời 43 81 55.17% 3.4=12 29.31% 4.4.4=64 15.51% 2 33 .2 72 39.65% (3.2).(2.3)=36 25.86% (3.2)5=65 12.06% (3.2)2.3=66 13.79% 2 3 53 .2 5 8.62% 2 3(2 ) 64 58.62% (2.2)3=4.3=12 8.62% 25=32 25.86% (23)2 =26=12 5.17% 2 2 128 . 7     16 36.20% (21) 2 2 128 . 7 228.2. 8 14       31.03% 2 2 4 4 128 . 7 128. 4 7           8.62% 2 2 4 4 128 . 7 128. 4 7           12.06% 2 2 2 128 . 7 228. 14      12.06% 3 3 6 3 8 32.76% 3 3 6 6.3 2 3.33   17.24% 3 33 0 3 6 6 2 1 33       46.55% 3 0 3 6 2 2 3   3.45% Thơng qua bài tốn 2, ta tìm thấy được rất nhiều sai lầm từ bài làm của học sinh. Bài 3: Trong số 58 học sinh tham gia làm bài thực nghiệm: + Cĩ 10/58 (chiếm 17.24%) học sinh khơng nhận ra câu a sai. + Cĩ 24/58 (chiếm 41.38%) học sinh khơng nhận ra câu b sai. + Cĩ 53/58 (chiếm 91.38%) hoc sinh khơng nhận ra câu c sai. + Cĩ 47/58 (chiếm 81.03%) học sinh nhận biết được d là một đáp án đúng. Nhận xét: Từ kết quả thống kê ba bài tốn 1, 2, 3, ta thấy đa số học sinh gặp sai lầm do vận hành các quy tắc tính lũy thừa vượt quá phạm vi hợp thức của nĩ hoặc cĩ sự “pha trộn” giữa các cơng thức trong quá trình tính tốn. Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh lớp 7 gặp rất nhiều khĩ khăn khi làm việc trên đối tượng lũy thừa. Qua bài làm của học sinh, ta thấy cĩ đến 3 học sinh cho rằng (0.5)5: (0.5)=(0.5)5 vì 0.5=(0.5)0. Tuy nhiên, khi lấy bài tập này thực nghiệm trên học sinh lớp 12 thì những sai lầm mà học sinh lớp 7 gặp phải ít xuất hiện ở học sinh lớp 12. Theo tơi, vì học sinh mười hai đã cĩ một lượng kiến thức tốn học tương đối nhiều, nên những bài tốn này tỏ ra đơn giản so với trình độ học sinh 12. Số liệu thu nhận được đã kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết H2. Bài 4: Bảng 3.4: Bảng thống kê các lời giải bài 4 của học sinh. Chiến lược Bỏ trống Tổng số S13(Thay giá trị và tính) S14(Rút gọn và tính) S15(Miền xác định) 30 70 15 14 129 Qua kết quả thực nghiệm, chúng tơi nhận thấy, đa số học sinh sử dụng chiến lược S14 (Cĩ 70/129 chiếm 54,29%). Mặc dù giá trị của biến a được cho là một số nguyên nhưng số học sinh chọn lựa chiến lược S13 vẫn khơng cao (cĩ 30/129 chiếm 23,25%). Trong khi đĩ, chỉ cĩ 15/129 (chiếm 11,6%) nhận ra biểu thức A khơng tồn tại khi a=-2. Cĩ 3/15 em sau khi thay giá trị a vào đã nhận ra sai, cĩ thể học sinh đã dùng MTBT để phát hiện ra điều này. Cĩ 14/129 (chiếm 10,85%) học sinh khơng biết cách giải bài tốn này. Từ thống kê, chúng tơi thấy rằng, khi giải quyết kiểu nhiệm vụ tính giá trị của biểu thức, học sinh hầu như ít quan tam đến điều kiện xác định của biểu thức đĩ, mà chỉ biết tìm một cách tối ưu để giải mà thơi. Điều này phù hợp với nhận định ban đầu của chúng tơi, lý do là SGK và giáo viên luơn cho học sinh giải quyết các bài tốn thuộc kiểu nhiệm vụ này mà giá trị của biến đã thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức. Kết quả thực nghiệm đã kiểm chứng được tính thỏa đáng của qui tắc hợp đồng H1 đối với kiểu nhiệm vụ T2. Bài 5: Bảng 3.5: Thống kê các lời giải bài 5 của học sinh. Câu Chiến lược Bỏ trống Tổng số S16 Bỏ qua ĐKXĐ của lũy thừa S17 Tính đến ĐKXĐ lũy thừa a 95 9 25 129 b 95 9 25 129 Từ kết quả thống kê ta thấy: + Cĩ 95/129 học sinh (chiếm 73,64%) khơng tìm điều kiện xác định của phương trình. Tất cả các học sinh này đều cĩ chung lời giải là:   14 42 2 2 24 2 4 4 2 4 2 8 0 4 x x x x x x x x                    Tức là học sinh đều suy nghĩ là : ( ) ( ) p p m m pm ma a a  với mọi giá trị của a. + Chỉ cĩ 9/129 học sinh (chiếm 6,97%) cĩ tìm điều kiện của cơ số trong lũy thừa. Tuy nhiên 9 học sinh này chỉ giải đúng câu b, cịn câu a các em đều khơng bỏ giá trị tuyệt đối cho biểu thức x2-4. Tức là học sinh khơng vận dụng được một tính chất của căn thức là 1 nếu m lẻ ( ) nếu m chẳn mm mm a a a a    . + Cĩ 25 học sinh khơng đưa ra được lời giải cho bài tốn này. Cĩ thể do dạng tốn này các em ít khi gặp. Bài 6: Bảng 3.6: Thống kê các lời giải bài 6 của học sinh. Câu Chiến lược Bỏ trống Tổng số S16: Bỏ qua ĐKXĐ của lũy thừa S17: Tính đến ĐKXĐ của lũy thừa a 0 129 0 129 b 29 100 0 129 c 25 104 0 129 Theo kết quả thống kê: + Cĩ 129/129 (chiếm 100%) học sinh giải quyết câu a cĩ tính đến điều kiện xác định của lũy thừa. Tuy nhiên, cĩ đến 20 học sinh chuyển hàm số đã cho về dạng     52 52 14 4 y x x     rồi mới đặt điều kiện 24 0x  . Điều này cho thấy, vẫn cĩ một số rất ít học sinh khơng nhận ra điều kiện cơ số của lũy thừa với số mũ nguyên âm là khác 0. + Cĩ 29/129 (chiếm 22,48%) học sinh biến đổi hàm số đã cho ở câu b về dạng  121 1y x x    . Sau đĩ, đặt điều kiện cho biểu thức trong căn là 1 0x   . 29 học sinh này đều thuộc các lớp nâng cao trong trường. Cĩ thể do SGK nâng cao khơng đưa ra dạng bài tốn này, trong khi đĩ SGK cơ bản lại cĩ, nên học sinh khối cơ bản làm bài tập dạng này cĩ phần chiếm ưu thế hơn. + Cĩ 25/129 (chiếm 19,37%) học sinh biến đổi hàm số đã cho ở câu c về dạng   13 3 12 3 2 3 y x x      , rồi mới đặt điều kiện cho 2 3 0x   . Đa số học sinh giải được bài tập 6, điều này cho thấy, khi đặt học sinh trước nhiệm vụ là phải tìm điều kiện xác định của lũy thừa thì học sinh sẽ biết được sự thay đổi điều kiện cơ số của lũy thừa khi số mũ thay đổi. Nhưng nếu ta khơng yêu cầu trực tiếp thì hầu như các em khơng mấy quan tâm, đĩ là trách nhiệm của giáo viên. Kết quả này một lần nữa khẳng định tính thích đáng của giả thuyết H1. Bài 7: Bảng 3.7: Thống kê các lời giải bài 7 của học sinh. Chiến lược Bỏ trống Tổng số S16: Bỏ qua ĐKXĐ của lũy thừa S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa 105 6 18 129 Kết quả thống kê bài tốn này phản ánh rất rõ giả thuyết H1 của chúng tơi. Cĩ đến 105/129 (chiếm 81,39%) học sinh chuyển biểu thức đã cho về dạng lũy thừa của -3 với số mũ hữu tỷ. Hầu như học sinh khơng hề quan tâm đến điều kiện xác định của lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Chỉ cĩ 6 (chiếm 4,65%) học sinh khơng đưa về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, mà vẫn để biểu thức đã cho dưới dạng căn: 7 1053 53. 3. 3 3     , tuy nhiên khơng giải thích gì thêm. Cĩ 18/129 (chiếm 13,95%) học sinh khơng biết cách giải quyết kiểu nhiệm vụ này.  Kết luận chương 3 Thực nghiệm được tiến hành trên hai đối tượng giáo viên và học sinh THPT đã cho phép chúng tơi kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H1. Kết quả của sự phân tích phiếu trả lời học sinh từ các bài tốn 1, 2, 3 đã cho phép hợp thức giả thuyết H2. KẾT LUẬN Quá trình phân tích con đường mở rộng lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy đã cho phép chúng tơi trả lời các câu hỏi đặt ra ở đầu luận văn. Kết quả thực nghiệm ở chương 3 khẳng định tính thích đáng của các giả thuyết được đặt ra.  Các kết quả chính của việc nghiên cứu được tĩm tắt như sau: 1. Ở cấp độ tri thức khoa học: cĩ hai tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa. Tiến trình 1: Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e Hàm mũ a Lũy thừa cơ số a. Tiến trình 2: Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e Lũy thừa cơ số a Hàm mũ a. Trong giáo trình A thì exp( )xa xLoga và trong giáo trình B: ex xLogaa  . Khái niệm lũy thừa luơn được xây dựng trên cơ số e trước khi cĩ lũy thừa cơ số a>0. Dù theo tiến trình nào thì để mở rộng khái niệm lũy thừa người ta đều dùng đến kiến thức của hàm mũ. Trong giáo trình đại học, lũy thừa khơng cĩ vai trị gì trong việc xây dựng định nghĩa hàm mũ, hàm lơgarit và lơgarit. Căn bậc n là hàm số ngược của hàm lũy thừa, nĩ được đưa ra sau khi đã cĩ khái niệm lũy thừa. Vì vậy, nĩ khơng cĩ vai trị gì trong việc xây dựng khái niệm lũy thừa. 2. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, qua hai lần cải cách vẫn chỉ cĩ một con đường mở rộng khái niệm lũy thừa là: Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Lũy thừa với số mũ thực. Kiến thức dùng để mở rộng là giới hạn và căn bậc n. Tiến trình mở rộng lũy thừa ở phổ thơng cĩ phần giống với giáo trình B nhưng cơ sở dùng để mở rộng là hồn tồn khác nhau. Trong SGK lớp 12 thì lũy thừa cơ số e chỉ là một trường hợp đặc biệt của lũy thừa cơ số a, nĩ khơng cĩ vai trị gì trong việc xây dựng khái niệm lũy thừa cơ số a. Hàm mũ khơng cĩ vai trị gì trong việc mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc THPT ngược lại lũy thừa là cơ sở trực tiếp để định nghĩa hàm số mũ và hàm số lơgarit. Cĩ sự khác biệt lớn giữa giáo trình đại học và SGK phổ thơng là vì ở bậc đại học thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào sau khi đã học đạo hàm và nguyên hàm, cịn ở bậc THPT mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào trước khi cĩ nguyên hàm. Mặc dù ở bậc THPT lũy thừa với số mũ thực cĩ lúc được đưa vào trước khi học đạo hàm hoặc sau khi học đạo hàm, tuy nhiên tiến trình mở rộng lũy thừa hồn tồn khơng thay đổi, tổ chức tốn học thì cĩ một vài thay đổi nhỏ. Việc thay đổi chương trình, dạy học đạo hàm trước khi dạy lũy thừa trong SGK năm 2005 ít nhiều ảnh hưởng đến vai trị của lũy thừa. Khi đã học đạo hàm thì người ta dùng nĩ để tìm ra các tính chất của hàm mũ và hàm lũy thừa, chứ khơng dùng tính chất của lũy thừa như SGK CLHN năm 2000. Mặc dù vậy, khái niệm đạo hàm chỉ tác động trong việc khảo sát hàm mũ và hàm logarit, cịn định nghĩa hàm mũ vẫn phải dùng đến kiến thức lũy thừa. Quá trình phân tích SGK cho phép chúng tơi rút ra hai giả thuyết H1 và H2. 3. Kết quả thực nghiệm của chương 3 đã kiểm chứng tính hợp thức của hai giả thuyết đã nêu ra. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố cơ bản của didactic tốn, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh. 2. Cục nhà giáo và cán bộ quản lí Giáo dục (2008). Hướng dẫn thực hiện chương trình và sách giáo khoa lớp 12 THPT, Giáo dục. 3. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy tốn 11, Giáo dục. 4. Phan Đức Chính, Tơn Thân, Tốn 6, tập 1, Giáo dục. 5. Phan Đức Chính, Tơn Thân, Tốn 7, tập 1, Giáo dục. 6. Phan Đức Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 6, tập 1, Giáo dục. 7. Phan Đức Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 7, tập 1, Giáo dục. 8. Nguyễn Huy Đoan (2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Ban KHTN, Giáo dục. 9. Guy Lefort (1975), Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thơng dụng, Viện đại học sài gịn. 10. Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh (2000), Đại số và giải tích 11, Giáo dục. 11. Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh (2000), Bài tập đại số và giải tích 11, Giáo dục. 12. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Giải Tích 12, Giáo dục. 13. Phạm Trần Hồng Hùng, Khái niệm hàm số lơgarit ở trường trung học phổ thơng, 2008. 14. Nguyễn Hữu Lợi, Khái niệm hàm số ở trường trung học phổ thơng, 2008. 15. Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục. 16. Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), SGV Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục. 17. Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Giáo dục Tiếng Pháp 18. André Delachet (1960), Les Logarithmes et leurs applications, Presses Universitaire de France. ._.