Khái niệm hàm số Logarit trong trường Trung học phổ thông (THPT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Trưởng phòng Thanh tra đào tạo, các đồng nghiệp trong phòng Thanh tra đào tạo đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng thầy cô trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Hiền, trường THPT Nguyễn Văn Côn đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị và những người thân yêu trong gia đình tôi luôn động viên, nâng đỡ tôi về mọi mặt. Phạm Trần Hoàng Hùng TABLE DES MATIÈRES Page de titre Remerciements Table des matières.......................................................................................................1 Liste des abréviations..................................................................................................3 Liste des tableaux........................................................................................................4 INTRODUCTION.....................................................................................................5 Chapitre 1. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR SAVANT ...........12 1.1. Historique ........................................................................................................12 1.2. Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction logarithmique dans quelque manuels universitaires.........................................14 1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] ...................15 1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [b] ...................20 Chapitre 2. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER........................................................................................25 2.1. Manuel scolaire publié en 1991........................................................................25 2.2. Manuel scolaire (selon le programme de modification fusionnée) publié en 2000 .............................................................................................................37 2.3. Manuel scolaire publié en 2008........................................................................41 Chapitre 3. EXPÉRIMENTATIONS ....................................................................48 Expérimentation A ....................................................................................................49 3.1. Finalité de l’expérimentation ...........................................................................49 3.2. Contenu de l’expérimentation ..........................................................................49 3.3. Analyse des résultats ........................................................................................50 3.4. Conclusion........................................................................................................53 Expérimentation B ....................................................................................................53 3.5. Finalité de l’expérimentation............................................................................53 3.6. Organisation de l’expérimentation ...................................................................53 3.7. Analyse a priori des questions expérimentales ................................................54 3.7.1 Construction des questions expérimentales ...........................................54 3.7.2 Système des questions expérimentales .................................................54 3.7.3 Stratégie et Influence des variables observables ...................................56 3.8. Analyse de la scénario ......................................................................................62 3.9. Analyse a posteriori..........................................................................................62 3.9.1 Fiche 1....................................................................................................63 3.9.2 Fiche 2....................................................................................................64 3.10. Conclusion .......................................................................................................65 CONCLUSION........................................................................................................66 BIBLIOGRAPHIES ANNEXES LISTE DES ABRÉVIATIONS THPT Lycée THCS Collège SGK Manuel scolaire SGV Livre du professeur SBT Livre d’Exercices CLHN Modification fusionnée TCTH Organisation mathématiques [a] Mathématiques avancées, No. 2, Calcul différentiel – Des fonctions usuelles, Guy Lefort [b] Les Logarithmes Et Leurs Applications Par André Delachet Presses Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960 [V1] Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P1] Livre du professeur Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E1] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [V2] Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P2] Guide pédagogique Mathématiques 11e, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E2] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [V3] Analytique 12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P3] Livre du professeur Analytique12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E3] Livre d’Exercices Analytique12e, Vũ Tuấn (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation LISTE DES TABLEAUX Tableau 2.1 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1] 36 Tableau 2.2 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V2] et le livre d’Exercices [E2] 40 Tableau 2.3 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V3] et le livre d’Exercices [E3] 47 Tableau 3.1 Statistique des problèmes dans l’Exercice 1 du professeur 50 Tableau 3.2 Statistique des évaluations des solutions de l’Exercice 2 du professeur 51 Tableau 3.3 Statisque des solutions attendues de l’Exercice 3 du professeur 52 Tableau 3.4 Statisque des évaluations du professeur de l’Exercice 4 52 Tableau 3.5 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 1 (Fiche 1) 63 Tableau 3.6 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 2 (Fiche 1) 64 Tableau 3.7 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 3 (Fiche 1) 64 Tableau 3.8 Statisque des évaluations des élèves (Fiche 2) 65 5 INTRODUCTION 1. Premiers constats et questions de départ Fonction demeure un objet qui joue toujours un rôle important dans le programme des Mathématiques aux lycées. Parmi des types de fonction, nous nous intéressons particulièrement au logarithme pour les raisons ci-dessous : - Le concept du logarithme qui se ramène à la fonction logarithme n’est pas seulement mentionné dans les Mathématiques mais encore dans différents domaines comme : physique, chimie, …etc. Ce fait enmène à poser plusieures questions comme suit : + Quelles sont des ressemblances et des différences entre la définition du logarithme dans les mathématiques et celle dans autres sciences ? + + + + + Au lycée, les définitions du logarithme et de la fonction logarithme se présentent – elles dans les autres disciplines? Existe-il une liaison entre les définitions du logarithme, de la fonction logarithme avec ces disciplines?  Le sujet du logarithme se présente toujours dans le contenu du baccalauréat. Cependant, par rapport aux manuels des mathématiques actuels aux lycées, son rôle a reconnu des changements après les renouvellements des programmes et des manuels : Algèbre et Analyse 11 publié en 1991 (avant la partie de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Logarithme de base a -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10, e. Algèbre et Analyse 11 ( avec ajustements) publié en 2000 (avant la partie de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Fonction réciproque -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10,e. Analyse 12 publié en 2008 ( après la partie de la dérivée, avant la partie de l’intégrale) : Fonction puissance -> Logarithme de base a -> Lgarithme de base 10,e  Fonction exponentielle -> Fonction logarithme 6 Comment paraissent –elles donc les notions du logarithme et de la fonction logarithme au programme mathématique aux lycées. Quel est le rôle de ces objets? Et comment s’évoluent – ils? De manière systématique, nous trouvons la nécessité de poser ces questions comme suit :  Au niveau du savoir savant, comment sont-ils mentionnés, le concept du logarithme et celui de la fonction logarithme? Quels sont leurs caractéristiques?  Au niveau du savoir à enseigner au lycée, pourquoi présente –il le contenu de ces notions en suivant cet ordre mais pas un autre?  Révèle-t-il des ressemblances et des différences entre l’oragnisation des savoirs reliées au logarithme et à la fonction logarithme chez l’université et celle du lycée? Les raisons expliquent ces différences?  Comment explique -t-elle, institution cet ordre du choix?  Quelles sont les conséquences proviennent du choix des types de tâche et des techniques chez les objets de l’institution (élèves et enseignant) ?  Demeure -t- il des différences ou des liaisons entre le concept du logarithme et de la fonction logarithme dans les mathématiques et celui chez les autres disciplines? 2. Objectifs de recherche et cadre théorique Ce mémoire vise à trouver les réponses pour les questions ci –dessus. Pour déterminer les éléments clés de ces questions, nous posons notre étude dans le cadre théorique du didactique des mathématiques, dont les détails sont :  Théorie anthropologique : le rapport institutionnel et le rapport individuel en face d’un savoir, d’une organisation mathématique;  Théorie des situations : contrat didactique.  Théorie anthropologique En ce cas, nous faisons seulement des brièves descriptions de deux notions qui ont besoin d’une référence de la théorie anthropologique pour déterminer les réponses des questions posées. 7 Rapport institutionnel, rapport individuel en face d’un savoir Rapport institutionnel : Le raport R(I,O) de l’institution I avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’institution I et le savoir O. Il révèle où, par quel moyen O apparaît, comment O existe et son rôle pour I ? Rapport individuel: La relation R(X,O) de l’individu X avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’individu X et le savoir O. Il révèle ce que X pense et comprend de O, comment il manipule O? L’apprentissage de l’individu X envers le savoir O est le processus d’établir ou d’ajuster la relation (X,O). Évidemment, pour un savoir O, le rapport de l’institution I dans laquelle l’individu X est une part laisse toujours une marque dans le raport (X, O). Pour étudier R(X,O), il nous faut le mettre dans R(I,O). . Organisations mathématiques Activités mathématiques se présentent une partie des activités sociales; la réalité mathémathique est une type de la réalité sociale; il faut donc construire un modèle qui favorit la description et les études de cette réalité. En basant sur ce point de vue, Yves Chevallaerd (1998) a présenté la notion praxéologie. D’après Chevallard, chaque praxéologie est un ensemble de 4 éléments [T,,,], dans lequel T est une type de tâche,  est la technique qui permet à résoudre T;  est la technologie expliquant la technique , et  est la théorie qui explique la technologie . Une praxéologie dont les éléments contiennent des natures mathématiques s’appelle une organisation mathématique. Bosch M. et Y. Chevallard (1999) ont clarifié: “Pour une place institutionnelle définie, le rapport institutionnel envers un sujet est déterminé et transformé par un ensemble des tâches occupées et réalisé par l’individu obtenant cette place, sous l’aide des techniques indiquées. Le fait de réalisation de différentes tâches que l’individu doit faire tout au long de sa vie dans différentes institutions, où l’individu est considéré comme le sujet (alternatiement ou simultanément), produit le rapport entre lui même et le sujet mentionné. » 8 Donc, la recherche des organisations mathématiques qui relient étroitement au savoir O nous aide à clarifier le raport entre R(I,O) de l’institution I envers le savoir O; de ce point, la relation maintenue entre l’individu X et le savoir O devient alors éclaircie. Identifier des organisations mathématiques relatives au savoir O nous aide ainsi à définir des règles du contrat didactique : par exemple chaque individu a le droit de faire telles choses, ne doit pas faire telles choses et comment utilise-il le savoir O.  Théorie des situations Dans cette partie, nous n’aborde que la notion qui a besoin de la référence : le contrat didactique. Contrat didactique Le contrat didactique concerne quelques savoirs qui sont modélisation des droits et des devoirs de l’enseignant et même des élèves envers ces objets. Il est compris comme un ensemble des règles (souvent implicites) qui divisent et limitent les responsabilités de chaque membre (l’élève et l’enseignant) envers un savoir mathématique enseigné. La définition du contrat didactique permet d’expliquer les comportements de l’enseignement et de l’élève, de trouver le sens des activités qu’ils mènent ; de ce point, nous pouvons expliquer exactement les événements observés dans la classe. D’après Annie BESSOT et Claude COMITI (2000), pour reconnaître des effets du contrat didactique, nous pouvons suivre les étapes suivantes:  Créer un bouleversement dans le système éducatif pour mettre les membres principaux (l’enseignant et l’élève) dans une étrange situation appelée situation cassant le contrat : + En changeant les conditions d’utilisation des savoirs, + + + En profitant la maîtrise prématurée de l’élève pour des tels savoirs En se mettant hors du domaine des savoirs examinés ou utilisant les situations que les savoirs examinés sont incapables de résoudre. En posant l’enseignant face aux comportements qui n’accordent pas à leur souhait chez les élèves. 9  Analyser les composantes du système éducatif en vigeur : + + + En étudiant les réponses de l’élève au cours, En analysant des évaluations mathématiques des élèves dans l’utilisation des savoirs, En analysant des exercices resolus ou favoris dans le manuel. En particulier, nous pouvons reconnaître certains éléments représentatifs pour le savoir du contrat didactique en étudiant les critères de validation de l’utilisation des savoirs qui est fixée pas seulement par des textes ou par la définition du savoir, mais encore par des situations d’application, par des conventions tirées de l’enseignement. Les critères décidant la validation du savoir en ce cas ne dépendent plus au\ savoir lui-même mais aux contraintes du système didactique. Le fait d’enseigner un nouveau savoir produit toujours des situations cassant le contrat pour les anciens savoirs et demande de négocier de nouveaux contrats : l’apprentissage est le processus d’habituation des élèves vers ces bouleversements à travers de la négociation avec l’enseignant. D’après Brousseau, cette négociation conduit à une type de jeu dont les règles sont provisoirement stables ; ce jeu permet aux membres principaux, surtout aux élèves de donner leur décision dans la marge de garantie qui est nécessaire pour assurer leur indépendance tout au long de l’acquisition. L’étude des règles du contrat didactique demeure indispensable parce que pour bien préparer le furur, l’enseignant doit examiner le passé dont la forme réelle est le contrat en vigeur. Le contrat sur lequel l’enseignant agit s’évolue discontinuellement, est formé d’une serie des événements venant l’un après l’autre, représetatifs pour les ruptures du contrat. Casser le contrat révèle le principe essentiel pour l’évolution attendue. 3. Reformulation des questions et des buts du recherche Au sein du cadre théorique mentionné, nous reformulons nos questions : Q1. Quels sont les caractéristiques de l’épismologie du logarithme et de la fonction logarithme dans la formation et l’évolution ? 10 Q2. À l’université, quels sont des caractéristiques du rapport entre l’institution avec la notion du logarithme et de la fonction logarithme ? Quel est son rôle ? sa nature ? Q3. Comment se forme t-il et s’évolue-t-il le rapport entre l’institution et la notion du logarithme et de la fonction logarithme chez les lycées aux Vietnam? Quels sont des caractéristiques des oraganisations mathématiques qui renvoient à ces notions ? Comment s’évoluent – elles à l’étape de renouvellement du programme et du manuel ? Quelles sont des conditions et des contraintes de l’institution sur ces notions et les notions relatives ? Quels sont des règles de contrat construits par l’enseignement-l’apprentissage du sujet logarithmique ? Q4. Quelles sont des ressemblances et des différences tirées du rapport entre l’institution et la notion du logarithme, de la fonction logarithme aux universités par rapport aux lycées résidés au Vietnam? Q5. Comment influence -t-il le rapport institutionnel de l’enseignement du logarithme, de la fonction logarirthme chez le lycée sur le rapport l’enseignant - l’élève ? 4. Méthode de recherche En fin d’atteindre des buts de recherche, nous avons déterminé la méthode qui est systématisée comme suit : ÉTUDIER LES SAVOIRS : Mathématiques ÉTUDIER LES SAVOIRS À ENSEIGNER: Institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées vietnamiens EXPÉRIEMENTER: Relation individuelle entre l’enseignant et l’élève Nous pouvons paraphraser le plan de la méthode de recherche comme suit : 11  Premièrement, nous allons étudier des savoirs savants en analysant certains manuels de mathématiques des universités. Cette étude vise à comprendre les présentations des définitions du logarithme et de la fonction logarithme au niveau du savoir savant.  Le résultat de l’étude des savoirs sera le base de réfrérence pour l’analyse de l’institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées. Concrètement, nous allons analyser la notion du logarithme, de la fonction logarithme dans les manuels, les livres de professeurs, les documents supplémentaires relatifs aux lycées.  Les résultats obtenus conduiront aux nouvelles questions et aux hypothèses dont l’adéquation sera justifíée à travers de l’expérimentation. La recherche par l’expérimentation des enseignants et des élèves chase à comprendre des effets de l’institution sur la relation individuelle entre l’enseignant et l’élève. 5. Structure du mémoire Ce mémoire contient 3 parties : l’introduction, 3 chapitres et la conclusion.  L’introduction présente certains constats et questions de départ qui nous enmènent au sujet du mémoire, aux buts de recherche, aux méthodes de recherche et enfin à la structure du mémoire.  Chapitre 1 présente l’analyse des notions du logarithme et de la fonction logarithme au niveau du savoir savant. Concrètement, nous abordons certains éléments historiques relatifs à ces sujets, l’analyse des présentations de ces notions dans certains manuels chez les universités.  Chapitre 2 présente l’analyse du rapport entre l’institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées et la notion du logarithme et de la fonction logarithme.  Chapitre 3 présente les éxpérimentations dont la première est ménée aux enseignants des mathématiques de la classe 12 du lycée vietnamien pour comprendre les effets de l’institution sur le rapport de l’enseignant-l’élève ; la deuxième est ménée sur les élèves de la classe 12 pour trouver leur rapport individuel vers la notion du logarithme et de la fonction logarithme.  La conclusion présente brièvement les résutats obtenus des chapitres 1,2,3 et des nouvelles pistes de recherche tirés du mémoire. 12 Chapitre 11 LA DÉFINITION DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHME AU NIVEAU DU SAVOIR SAVANT Objectif du chapitre Ce chapitre vise à clarifier les caractéristiques de la définition du logarithme et de la fonction logarithme et les définitions qui revoient à ces sujets au niveau du savoir savant. Plus concrètement, en analysant un certain nombre des manuels universitaires, nous avons envie de trouver l’itinéraire et la méthode d’introduire ces définitions, leur rôle et leur fonction et ainsi la liaison de ces sujets (si elle existe) entre les mathématiques et les autres domaines. Par manque des documents à consulter, nous n’avons pas pu creuser l’épistémologie comme notre souhait. Cependant, quelques détails historiques sont abordés au but de supporter l’analyse des manuels de mathématiques chez les universités. 1.1 Quelques traits historiques Cette partie est construite sous l’aide de la consultation des sources d’information suivantes :  Les Logarithmes et Leurs Applications Par André Delachet Presses Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960.  COURS SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES Bac Pro (  1 Note des traducteurs : Pour le chapitre 1 qui s’allonge de la page 12 jusqu’à la page 24, nous n’avons traduit que les 3 pages : 12, 23, 24 23 Conclusion du chapitre 1 Dans le chapitre 1, nous avons étudié certains traits historiques qui renvoient à la fonction logarithme et nous avons clarifié des manières de présentation de ces sujets dans les manuels mathématiques à l’échelle universitaire. Un nombre des résultats principaux trouvés dans le chapitre 1 :  En matière de la définition de la fonction logarithme: + La fonction logarithmique est toujours définie comme une application f venant de *R à R, elle est la solution de l’équation : f(xt) = f(x) + f(t) dans laquelle, x et t quelconque appartiennent à *R . Cette équation révèle la nature de l’application f : transformer la multiplication en l’addition. + + + + La définition de la fonction logarithme paraît dans le but d’introduire un outil qui permet à remplacer la multiplication par l’addition ; la division par la soustraction ; l’extraction de la racine carrée par la division en 2 ; l’extraction de la racine cubique par la division en 3...  L’itinéraire d’introduction des sujets dans le manuel [a] différencie à celle dans [b]: Dans le manuel [a] : Fonction logarithme (généralité)  Fonction logarithme népérien  Fonction logarithme de base a  Fonction exponentielle de base e, a  Fonction puissance  Tableau logarithmique de base 10. Dans le manuel [b]: Fonction logarithme népérien  Fonction exponentielle de base e  Extension de l’exposant et de la puissance  Fonction exponentielle de base a  Fonction logarithme de base a  Tableau logarithmique de base 10.  L’itinéraire d’apparition de la notion du logarithme et de la fonction logarithme dans l’histoire distingue celle dans le manuel universitaire: Dans l’histoire: la notion du logarithme se présente avant celle de la fonction logarithme. 24 + + Dans le manuel universitaire : la notion de la fonction logarithme est introduite avant celle du logarithme.  En matière des caractères de la fonction logarithme de base a: L’ensemble de définition est *R , l’ensemble des valeurs est R. + + Elle coupe toujours l’axe des abscisses au point (1 ; 0) et passe par le point (a ; 1) Elle est fonction continue sur *R et sa dérivée est log 1ad x dx xLoga  Elle est fonction monotone sur *R : +  La base a > 1: fonction croissante.  La base a positif < 1: fonction décroissante. + + + + + Son graphique appartient totalement à droite de l’axe des ordonnées et adopte cet axe comme l’asymptote verticale..  En matière de la nature de la fonction logarithme: Remplacer la multiplication par l’addition.  Au sujet de la notion de la fonction logarithme et les notions relatives, nous avons trouvé 3 types de tâches comme suit: T1: “Calculer la valeur d’une grandeur”. T2: “Trouver la valeur d’une expression calculée par le logarithme décimal”. T3: “Étudier la fonction logarithme népérien”. 25 Chapitre 2 NOTION ET FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER Les objectifs du chapitre Ce chapitre vise à expliciter :  Les caractéristiques de la relation entre l’Institution et le logarithme, sa fonction ainsi que sa position dans l’enseignement des Mathématiques au lycée vietnamien.  Les contraintes de l’Institution sur la notion logarithme, sa fonction et notamment les règles du contrat didactique vis-à-vis de ces notions dans l’enseignement des mathématiques.  Certaines caractéristiques du changement didactique au niveau du logarithme et de la fonction logarithmique. Afin d’atteindre les objectifs susmentionnés, nous avons choisi d’analyser les programmes et les manuels vietnamiens utilisés dans les différentes périodes : période 1991, période de remaniement à l’an 2000 et la période en cours (2008). Les résultats atteints dans le chapitre 1 serviront de référence pour les analyses de ce chapitre qui suit. La fonction logarithmique dans le manuel mathématique utilisé au lycée vietnamien Au moment de notre analyse, le lycée vietnamien se trouve au sein de la transition entre le programme remanié de l’an 2000 (le logarithme est enseigné en première) et le programme d’enseignement par filière (le logarithme est enseigné en terminale). Dans cette partie, en nous basant sur les analyses du chapitre 1, nous analyserons les manuels des 2 programmes susmentionnés ainsi que le manuel de la période 1991. Notre objectif c’est d’éclaircir comment sont présentées dans chaque manuel la notion de logarithme, la fonction logarithmique et ses praxéologies. 26 0.1. Manuels de la période 1991 Dans cette période existent à la fois 3 manuels. Le premier est rédigé par Phan Duc Chinh. Le deuxième par Tran Van Hao et le troisième par Ngo Thuc Lanh. Dans ces 3 manuels, la fonction logarithmique est définie quasiment similaire. Or nous avons choisi d’analyser le logarithme dans le deuxième, vu qu’il est partiellement plus complet. Voici notre liste de documentation :  Algèbre et Analyse 11, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao Duc [V1].  Guide pédagogique de “Algèbre et Analyse 11”, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao Duc [P1].  Livre d’exercices de “Algèbre et Analyse 11”, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao Duc [E1]. Dans le manuel [V1], nous constatons l’ordre d’apparition des notions étant comme ci-dessous : 27 L’ordre d’apparition des notions dans le manuel [V1] est ressemblant à celui du manuel [b] présenté dans le chapitre 1. Cependant, le développement de la notion puissance n’est pas précédé par la présentation de la fonction logarithmique de Neper et la fonction exponentielle de e, autrement dit la fonction exponentielle de a est définie directement à partir du développement de la notion puissance, sans l’intermédiaire de la logarithmique de Neper et la fonction exponentielle de e. Ainsi est écrit dans le guide pédagogique : “Par le développement de façon successive de la notion exponentielle à base d’un nombre entier, d’un rationnel et d’un irrationnel, le manuel a présenté l’exposant réel x d’un nombre réel et positif a. D’où il définit : la fonction exponentielle est identifiée par la formule xy a ”. Nous commençons par une équation exponentielle simple : on a : a > 0 et a ≠ 1, résoudre l’équation avec b étant un nombre réel, à la page 201– [V1]. Par la résolution graphique, le manuel [V1] démontre que cette équation admet toujours une solution avec b étant un nombre positif, et conclut que cette solution est unique car l’équation xa  b xy a est monotone. Cette solution est appelée logarithme à base a du nombre b. A la page 205, le manuel [V1] définit le logarithme à base de a du nombre b comme ci-dessous : “On a : a > 0, a ≠ 1. Le logarithme à base a du nombre b, b > 0, est le nombre c ; or le nombre a puissance c est b”. Ainsi, de façon implicite, le logarithme à base a du nomb._.re b représente également la solution de l’équation exponentielle xa b . C’est une propriété du logarithme : il permet de représenter la solution de toute équation exponentielle (a > 0, a ≠ 1, b > 0), sous forme xa  b logax b . A partir de cette définition, le manuel [V1] a fait une remarque : log 1 0a  , , avec a > 0, a ≠ 1. C’est la deuxième propriété de la fonction logarithmique : elle coupe l'axe des abscisses au (1 ; 0) et passe par (a ; 1). log 0a a  Par la suite, le manuel [V1] définit la fonction logarithmique à base a selon le point de vue de la fonction réciproque : la fonction logarithmique à base a est le 28 réciproque de la fonction exponentielle xy a . Selon la définition du logarithme et la formule de la fonction exponentielle xy a , on a : logax y . Donc : “Avec a > 0, a ≠ 1, la fonction logarithmique à base a est identifiée avec tout valeur de la variable x, étant positive et donnée par l’expression ”. logay x Ceci montre la première propriété de la fonction logarithmique mentionnée dans la définition du logarithme à base a : l’ensemble des définitions est *R  , l’ensemble des valeurs est R. D’ailleurs, la fonction logay x est la réciproque de la fonction xy a , d’où, en se basant sur la propriété de la fonction exponentielle, on déduit la propriété de la fonction logarithmique. Le manuel [V1] a proposé ainsi la troisième propriété de la fonction logarithmique : la fonction logarithmique est continue sur . *R  De plus, à partir de la représentation graphique de la fonction exponentielle, le manuel [V1] déduit la propriété de celle de la fonction logarithmique : La quatrième propriété : la fonction est croissante quand la base est supérieure à 1, la fonction décroissante quand la base étant positive est inférieure à 1. La cinquième propriété : la graphique de la fonction logarithmique est en entier à droite de l’axe des ordonnées et admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale. A la rubrique 3 du chapitre VI, page 124, le manuel [V1] présente le logarithme décimal et sa table. Dans l’application de logarithme décimal pour les opérations réelles ou quand on doit résoudre des expressions contenant les nombres positifs et les opérations : multiplication, division, puissance, extraction, on utilise éventuellement les propriétés de logarithme pour convertir ces expressions en logarithmes. Nous constatons que le nombre e  2,71828 et le logarithme de Neper sont totalement absents dans le manuel [V1]. Il serait probable que le manuel [V1] met plus d’accent sur le calcul (travail de l’élève) à travers la consultation de la table de logarithme que l’étude théorique (la calculette n’est pas considérée comme 29 outil). C’est la raison pour laquelle le rôle du logarithme de Neper n’est pas important.  Les praxéologies liés à la fonction logarithmique Nous constatons avant tout la nécessité de rappeler les types de tâches qui ont des rapports avec le logarithme et la fonction logarithmique en tant que savoir savant. Ce sont les trois types de tâches suivantes : T1: “Calculer la valeur d’une grandeur ”. T2: “Calculer la valeur d’une expression logarithmique ”. T3: “Etudier la fonction logarithmique de Neper ”. Au niveau du savoir enseigné, le type de tâche T1 n’apparaît pas de façon explicite dans le manuel [V1], les traces de T1 ne se révèlent qu’à travers T’1, T”1 và T’”1. Type de tâche T’1: “Calculer la valeur d’une expression contenant un logarithme”. Exemple 1: (exemple 1 à la page 209 - Manuel [V1]) Calculer l’expression 2 2 96 12 log 24 log 192 log 2 log 2 A   Solution : 2 2 2 2log (2.12).log 96 log 12.log (2.96)A   2 2 2 2(1 log 12).log 96 log 12.(1 log 96)    2 2log 96 log 12  2 96log 12  2log 8 3 2log 2 = 3 Exemple 2: (exemple 2 à la page 209 – Manuel [V1]) Réduire l’expression log (log ) log b b b a aB a , với a,b > 0, a,b  1. 30 Solution : En posant c = , on a logb a log log log log b b a c a c bB a a c a    Technique ’1 : Transformer l’expression contenant un logarithme en loga b ou logb Na + + Transformer a, b dans loga b et logb Na en : ra c và sb c , avec r, s étant les rationnels. Technologie – Théorie ’1- ’1: Définition du logarithme Nous trouvons que le problème de type T’1 peut être résolu d’une autre façon en utilisant la calculette ou la représentation graphique, pourtant n’existe aucun exercice ou exemple qui présente cette résolution. La résolution attendue de l’Institution est : “quand on calcule une expression ou résout une équation contenant les logarithmes de bases différentes, il nous faut les transformer en une seule base” (page 112 – Guide pédagogique [P1]). Selon nos statistiques, dans ce chapitre il n’existe que 3 exemples (parmi 50 exemples et exercices) de type T’1, et tous les trois (soit 100 %) sont résolus avec la technique ’1. Type de tâche Exemple Exercice Total Utilisation de ”1 Taux d’utilisation de ”1 T”1 3 0 3 3 100 % Les caractéristiques du type T’1 dans le manuel [V1]:  Les logarithmes sont sous forme loga b ou logb Na , ou bien susceptibles d’être transformés en une de ces deux formes.  a, b dans loga b et logb Na sont susceptibles d’être transformés en forme : ra c et sb c , avec r, s étant les rationnels.  Le résultat du calcul de l’expression contenant un logarithme est une valeur exacte, et non pas une valeur approchée. A partir de ces caractéristiques, les problèmes de type T’1 proposés sont tous susceptibles d’être transformés en forme lo ou (on peut transformer a, b ga b logb Na 31 dans et en forme : loga b logb Na ra c et sb c , avec r, s étant les rationnels), ce qui donne à une utilisation efficace de la technique ’1. Autrement dit, nous supposons l’existence de manière implicite d’une règle contractuelle de l’Institution : R1: L’expression contenant le logarithme à calculer possède absolument les deux caractéristiques suivantes : Elle est sous forme loga b ou logb Na , ou susceptible d’être transformée en une de ces deux formes. + + a, b dans loga b et logb Na sont susceptibles d’être transformés en forme ra c và sb c , avec r, s étant les rationnels. Selon ce contrat, l’Institution attend à ce que les enseignants proposent aux élèves des problèmes liés à l’expression contenant le logarithme et satisfaisants aux deux caractéristiques susmentionnées. Type de tâche T”1: “Réduire l’expression contenant le logarithme” Sachant que c = . Calculer lo en fonction de c. 15log 3 g25 15 Solution : 25 15log 15 15 1 1 1 1log 15 25 2log g og 3) 2(1 )c    15 15 l5 2(lo    b Technique ”1 : + Transformer l’expression contenant le logarithme en forme irréductible. Technologie – Théorie ’1- ’1: Définition du logarithme Le fait que le manuel [V1] intègre le type de tâche T”1 sert à éclaircir la signification de la notion logarithme. Il permet de trouver la solution de toute équation exponentielle (a > 0, a ≠ 1, b > 0), c’estxa  logax b . Selon nos statistiques, dans ce chapitre il existe 1 exemple et 8 exercices (parmi 50 exemples et exercices) de type T”1, et tous ces neufs sont résolus avec la technique ”1 . Type de tâche Exemple Exercice Total Utilisation de ”1 Taux d’utilisation de ”1 T”1 1 8 9 9 100% 32 En analysant les problèmes de type T”1 du manuel, se révèle une contrainte implicite de l’Institution vis-à-vis de ce type de tâche : l’Institution veut que la réponse de l’élève ne soit pas un nombre réel approché et que le résultat (si le problème contient un logarithme) soit absolument irréductible. Autrement dit, l’Institution n’accepte pas l’utilisation de la calculette pour calculer la valeur approchée ou de la représentation graphique pour lire le résultat du problème. Donc, nous supposons l’existence de manière implicite des règles contractuelles de l’Institution : R2: Le résultat de l’expression contenant un logarithme est une valeur exacte, et non pas approchée. R3: Ne pas utiliser la calculette pour calculer la valeur de l’expression contenant le logarithme. R4: Ne pas utiliser la représentation graphique pour calculer l’expression contenant le logarithme. En plus, dans la partie théorique du logarithme, le manuel [V1] aborde l’utilisation de la représentation graphique dans la résolution d’un logarithme à base a du nombre b. Cependant cette technique est destinée uniquement à illustrer l’existence de la solution (unique) de l’équation exponentielle simple , avec a > 0, a ≠ 1, b étant un réel positif. Cette technique ne s’applique pas pour résoudre les exemples et exercices de ce type de tâche. Cela montre implicitement que l’enseignant est chargé de donner les hypothèses, d’assurer la validité du problème donné ainsi que l’exactitude des solutions de l’élève. De leur part, l’élève donne sa solution en analysant les données du problème. Il n’est pas obligé de bien examiner sa réponse. xa  b Type de tâche T’”1: “Logarithmisation” Exemple : (exemple 1 à la page 215 – Manuel [V1]) α = 3,14 . 103 Solution : On a : lgα = lg(3,14.103) = lg 3,14 + 3 33 = ([lg3,14] + {lg3,14}) + 3 = (0 + {lg31,4}) + 3 En consultant la table XIII (à la page 217 – Manuel [V1]) pour {lg31,4} À la ligne 31, colonne 4, on a : {lg31,4}  0,4969 Donc : lgα  (0 + 0,4969) + 3  3,4969 En consultant la table XIV (à la page 220 – Manuel [V1]) pour 3,4969 À la ligne 49, colonne 6, on a : 3133 À la ligne 49, colonne 9, on a : 7 Or : 3133 + 7 = 3140 Le caractère est 3, il s’ensuit que α possède 4 chiffres devant la virgule. Donc α  3140 Technique ’”1 : + + + Calculer le logarithme décimal de l’expression A. Consulter la table XIII – La mantisse du logarithme décimal pour calculer la valeur de lgA. Consulter la table XIV – La valeur de la fonction 10x pour calculer la valeur de l’expression A. Technologie – Théorie ’1- ’1: Définition du logarithme Le type de tâche T2 consiste à trouver la valeur de l’expression logarithmique à base quelconque. Type de tâche T’2: “Calculer la valeur d’une expression logarithmique ” Exemple : (exercice 6.9 à la page 210 – Manuel [V1]) Démontrer que : 2 2 1log .log (log ) 2a aa x x x Et puis résoudre l’équation : 3 9log .log 2x x  Solution : 34 2 21 1log .log log . .log .(log ) 2 2a a aa a x x x x  x Il s’ensuit que : 2 3 9 3 1log .log 2 (log ) 2 2 x x x   3 3 log 2 log 2 x x     9 1 9 x x    Technique ’2 : Transformer en forme loga x  + loga x x a    + Technologie – Théorie ’1- ’1: Définition du logarithme Les caractéristiques du type T’2:  Les problèmes sont convertis en loga x  , avec x étant l’inconnue à trouver.  L’inconnue x n’existe pas simultanément dans la base et dans l’expression logarithmique. Dans le manuel [V1], le type de tâche T3 n’est pas réalisé d’une façon complète (vu que la notion dérivée n’est pas enseignée), on ne voit que ses traces qui sont : les types de tâche T’3, T”3 và T’”3 . Type de tâche T’3: “Dessiner la représentation graphique d’une fonction » Exemple : (graphique à la page 212 – Manuel [V1]) Dessin 6.2, représentation graphique des fonctions : a) 2xy  b) 1( ) 2 xy  c) d) 2logy x 1 2 logy x Solution : 35 Technique ’3 : Dessiner la graphique de la fonction exponentielle xy a + Dessiner la graphique loga xy  symétrique à la graphique xy a par rapport à la première bissectrice. + Dessiner la graphique 1log a y x+  symétrique à la graphique loga par rapport à l’axe des abscisses. y x Technologie - Théorie ’3- ’3: Propriété graphique de la fonction logarithmique Type de tâche T”3: “Comparer 2 valeurs logarithmiques” Exemple : (exercice 6.13 à la page 213 – Manuel [V1]) Comparer les valeurs : a) 2log 5 et b) 2log 2,5 3 1log 2 et 2 2log 3 c) 5log 3 et 45log 10 Solution : a) On a : 5 < 2,5  2log 5 < 2log 2,5 b) On a : 1 2 > 2 3  3 1log 2 > 3 2log 3 > 2 2log 3  3 1log 2 > 2 2log 3 c) On a : 3 < 4 10  5log 3 < 45log 10 36 Technique ”3 : Si la base a > 1, la fonction loga xy  est strictement croissante. + Si la base 0 < a ≠ 1, la fonction loga xy  est strictement décroissante. + Si a > b > 1, quand x > 1 on a log loga bx x + quand 0 < x <1 on a log loga bx x Si 0 1 on a log loga bx x + quand 0 < x <1 on a log loga bx x Technologie - Théorie ”3- ”3: La monotonie et la graphique de la fonction logarithmique. L’analyse des problèmes de type de tâche T”3 du manuel scolaire [V1] nous affirme que la solution de ces problèmes ne se base pas sur la comparison des valeurs décimales de ces 2 chiffres mais sur les propriétés graphiques de la fonction logarithme. Autrement dit, il est inacceptable que les élèves utilisent la calculette pour calculer les logarithmes en valeurs approchées qui sont ensuite mise en comparaison. En même temps, l’utilisation des graphiques pour comparer les 2 logarithmes n’existe pas. Selon notre statistique dans ce chapitre, il y a 4 exemples et 6 exercices (sur la totalité de 50 exemples et exercices) de type T”1 et ces 10 exemples et exercices (100%) sont résolu d’après la technique ”3 . Type de tâche Exemples Exercices Totalité Utilisation de ”3 Taux d’utilisation de ”3 T”3 4 6 10 10 100% Donc, se révèle une contrainte implicite de l’Institution vis-à-vis de ce type de tâche: R5: Ne pas utiliser la calculette pour comparer les 2 logarithmes. R6: Ne pas utiliser la graphique pour comparer les 2 logarithmes. Type de tâche T’”3: “Identifier l’ensemble de définition de la fonction logarithme” Exemple: (ex. 6.10 page 213––manuel [V1]) Identifier le domaine de définition de ces fonctions 37 a) y = 2 3log ( ) 10 x Solution. La fonction y = 2 3log ( ) 10 x définie  3 10 x > 0  x < 10 Technique ’”3 : Avec 0 0 + Technologie - Théorie ’1- ’1: Définition du logarithme. Tableau 2.1: Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1] Nombre d’ Type de tâche exemples exercices T’1 3 0 T”1 1 8 T’”1 0 10 T’2 1 1 T’3 4 5 T”3 4 6 T’”3 0 7 Conclusion L’analyse du manuel [V1] apporte quelques caractéristiques de la contrainte institutionnelle avec la definition du logarithme et de la fonction logarithme:  La définition du logarithme se présente avant celle de la fonction logarithme.  Logarithme à base a du nombre b qui représente la solution de l’équation exponentielle xa b permet d’écrire la solution de toutes les équations exponentielles de type xa b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) sous forme logax b . 38 Les 2 types de tâche T”1: “Réduire l’expression contenant logerithme” et T”3: “Comparer les 2 logarithmes” sont à renforcer la definition du logarithme: logarithme est une valeur exacte et pour comparer les 2 logarithmes on se base sur les propriétés de la graphique. Le type de tâche T’3: “Dessiner la représentation graphique de la fonction” représente la caractéristique de la fonction logarithme qui est la fonction inverse de la fonction exponentielle. Les propriétés de la fonction logarithme sont déduites de celles de la fonction exponentielle. En analysant les types de tâche apparus dans le manuel [V1], nous prévoyons une existence implicite des règles du contrat didactique: R1: L’expression contenant le logarithme à calculer doit remplir les 2 caractéristiques suivantes:  Avoir la forme loga b ou logb Na , ou pouvoir se transformer en l’une de ces 2 formes.  Pouvoir transformer a, b dans loga b et logb Na en: ra c et sb c tel r, s sont les nombres rationels. R2: Le résultat du calcul d’une expression contenant le logarithme est une valeur exacte, non pas une valeur approchée. R3: Ne pas utiliser la calculette pour calculer la valeur d’une expression contenant le logarithme. R4: Ne pas utiliser la graphique pour calculer la valeur d’une expression contenant le logarithme. R5: Ne pas utiliser la calculette pour comparer les 2 logarithmes. R6: Ne pas utiliser la graphique pour comparer les 2 logarithmes. 0.2. Manuel scolaire du programme de modification fusionnée publié en 2000 Voici la liste de documentation:  Algèbre et Analytique 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [V2]. 39  Guide pédagogique de Mathématiques 11, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [P2].  Livre d’Exercices de Algèbre et Analytique 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [E2]. Dans le manuel [V2], nous constatons l’ordre d’apparition des notions étant comme ci-dessous : La fonction logarithme mentionée dans le manuel [V2] est la fonction inverse de la fonction exponentielle. Dans cette période, le rôle de la fonction inverse qui se présente à la partie 1 – chapitre VI est très important. Après, le manuel [V2] affirme que la fonction xy a (a > 0, a  1) est une fonction monotone donc sa fonction inverse est la fonction logarithme à base a. Fonction inverse (Partie 1–Chương VI) Fonction logarithme à base a (Partie 2–Chapitre VI) Logerithme à base 10, e (Partie 2–Chapitre VI) Fonction exponentielle de a (Partie 2–Chapitre V) Alors, la fonction logarithme à base a se définie dans le manuel [V2] à la page 160 comme ci-dessous: “La fonction inverse de la fonction xy a s’appelle la fonction logarithme à base a et se symbolyse par logay x (se prononce que logarithme à base a du nombre x)”. De cette définition, la première caractéristique de la fonction logarithme se présente: l’ensemble de définition est *R  , l’ensemble des valeurs est R. La deuxième caractéristique qui est toujours couper l’axe des abscisses à un point (1 ; 0) et passer le point (a ; 1) est clarifiée dans le manuel [V2] (page 162 – 40 manuel [V2]): “Selon la définition de la fonction logarithme à base a (a > 0, a  1) on a: log yay x x   a L’égalité loga xyx a a  nous démontre que le logarithme à base a (a > 0, a  1) du nombre positif x est le nombre y tel que ya x ”. Cette caractéristique se représente à travers ces exemples: Exemple 1: (ex.1 à la page 160 – manuel [V2]) log 1a y  1  y = 0 ya Donc  y = 0 log 1 0a  Exemple 2: (ex.2 à la page 160 – manuel [V2]) loga a y   y = 1 ya a Donc log 1a a  Avec la fonction inverse, toutes les caractéristiques et propriétés de la fonction logarithme sont mentionnées dans le manuel [V2] et sont démontrées presque complètement: “Toutes les propriétés de la fonction logarithme se représentent concrètement sur sa graphique et sont déduites directement des propriétés correspondantes de la fonction exponentielle” (page 162 – manuel [V2]). Finalement, le manuel [V2] compte aussi le logarithme décimal et le logarithme naturel. Ils sont définis à travers la valeur concrète de la base a comme ci-dessous: “Logarithme décimal est le logarithme à base 10. Logarithme naturel est le logarithme à base e  2,71828… ( 1lim(1 )ne n   )” Tel x > 0, le logarithme décimal du nombre x se symbolyse par lgx, logarithme naturel du nombre x se symbolyse par lnx. Le logarithme décimal est utilisé dans les calculs concrets, le logarithme naturel joue un rôle important dans les Mathématiques théoriques. Selon la formule de convertir la base, on a: lgln lg xx e  41  Organisations mathématiques relatives à la definition de la fonction logarithme. À cette période, le manuel [V2] ne mentionne que les 5 types de tâche relatifs à la definition du loarithme et celle de la fonction logarithme. Sauf les 4 types de tâches T’1, T”1, T’2 và T”3 sont non-diminués, les autres sont tous changés. Les 2 types T”’1 et T”’3 sont disparus totalement. Pour le type de tâche T”3 :“Comparer les 2 logarithmes”, la technique de resolution connaît aussi des changements. Technique ”31: Le nombre entier M qui obtient la valeur de 0 (ou 1) aura + + le premier logarithme supérieur à M. le deuxième logarithme inférieur à M. Technologie - Théorie ”31- ”31: R est l’ensemble ordonné total. Caractéristiques du type de tâche T”3 dans le manuel [V2]:  Le nombre entier M est égal à 0 (ou1). Avec cette caractéristique, tous les problèmes de type T”3 proposés sont comparables au nombre entier 0 (ou 1). D’après notre statistique, ce chapitre contient seulement 8 exercices (sur la totalité de 55 exemples et exercices) de type T”3 et tous ces 8 exercices (soit 100%) sont résolu par la technique ”3 . Type de tâche Exemple Exercice Totalité Utilisation de ”3 Taux d’utilisation de ”3 T”3 0 8 8 8 100% Tableau 2.2: Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V2] et le livre d’Exercices [E2] 42 Nombre de Type de tâche exemples exercices T’1 8 17 T”1 7 6 T’2 0 4 T’3 0 5 T”3 0 8 Conclusion L’analyse du manuel [V2] nous permet de retirer quelques caractéristiques suivantes:  Le nombre entier M utilisé dans la technique ”3 est égal à 0 (ou 1).  La fonction logarithme mentionée dans le manuel [V2] est la fonction inverse de la fonction exponentielle. Le rôle de la fonction inverse dans le manuel [V2] est très important. Avec la fonction inverse, toutes les caractéristiques et propriétés de la fonction logarithme se représentent dans le manuel [V2] et sont démonstrées presque complètement. Le tableau 2.2 montre que les types majoritaires dans le manuel [V2] et le livre d’exercices [E2] sont T’1 et T”1. Les types T’2, T’3 et T”3 ne s’apparaissent que dans le Livre d’Exercices. Le type T”’1 est totalement disparu en raison de la calculette qui est utilisée comme un outil de résoudre et la table de logarithme n’est plus dans le manuel [V2]. En outre, le type T”’3 n’existe pas dans le manuel [V2]. Les problèmes de type T”3 :“Comparer les 2 logarithmes” sont demandés à utiliser la technique ”31 pour résoudre, à comparer les 2 logarithmes par intermédiaire qui est le nombre entier 0 (ou 1), à éviter d’utiliser les propriétés de la graphique puisque “Toutes les propriétés de la fonction logarithme se représentent concrètement sur sa graphique et sont déduites directement des propriétés correspondantes de la fonction exponentielle “, mais ces propriétés ne sont pas démonstrées. 43 0.3. Manuel scolaire publié en 2008 Il existe 2 blocs de manuels scolaires dans les lycées actuellement. Le premier (élémentaire) est rédigé par le Directeur de l’éditeur Trần Văn Hạo, le deuxième (avancé) de Đoàn Quỳnh. En raison de limite de temps, nous ne mentionons que le premier (élémentaire) de l’auteur Trần Văn Hạo dans cemémoire. Voici la liste de documentation:  Analytique 12, Trần Văn Hạo (Dir.), 2008, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [V3].  Livre du professeur de Analytique 12, Trần Văn Hạo (Dir.), 2008, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [P3].  Livre d’Exercices de Analytique 12, Vũ Tuấn (Dir.), 2008, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [E3]. Dans le manuel [V3], nous constatons l’odre d’apparition des définitions comme ci-dessous: Fonction exponentielle Fonction logarithme (Partie 4–Chapitre II) Puissance (Partie 1–Chapitre II) Logarithme à base a (Partie 3–Chapitre II) Logarithme décimal, Logarithme naturel (Partie 3–Chapitre II) 44 Quand on propose la définition d’un objet mathématique quelconque, doit démonstrer l’existence de cet objet. Donc, pour définir le logarithme, on doit démonstrer l’existence du logarithme. Calculer le logarithme à base a du nombre b, avec a et b donnés, est de trouver un nombre x tel que xa b , c’est-à-dire résoudre l’équation xa b . L’existence de solution de cette équation est donc équivalent à l’existence du logarithme à base a du nombre b. Pour considérer les solutions de l’équation xa b , on doit construire la fonction exponentielle. Après avoir étudié la variation et dessiné la graphique de la fonction exponentielle xy a xa sur le même repère de coordonnés avec la droite y = b, on voit que: l’équation n’a pas de solutions quand b  0 et possède une seule solution quand b > 0. (Dans ce cas, la solution  de l’équation , b > 0 s’appelle logarithme à base a du nombre b). b b b b  xa  On en déduit que, si b > 0 le logarithme à base a du nombre b existe toujours (et est le seul). Pourtant, selon le programme, comme la definition du logarithme se présent avant celle de la fonction exponentielle, on ne peut pas utiliser les propriétés de la fonction exponentielle pour démonstrer l’existence du logarithme à base a du nombre b > 0, donc le manuel [V3] ne l’illustre que par des exemples concrets. La définition du logarithme à base a se présente comme ci-dessous (page 62– manuel [V3]): “Étant donné les 2 nombres positifs a, b avec a ≠ 1. Le nombre  qui remplit l’égalité est appelé logarithme à base a du nombre b et est symbolysé par . ”. a  logaloga b b a  Cette définition est entièrement logique puisque le manuel [V3] a affirmé que: “On a démonstré que avec les 2 nombres positifs a, b, a ≠ 1, il existe toujours et uniquement un nombre  tel que a b  ”. En outre, le logarithme de base a du nombre b n’est que défini avec la base a positive et différent à 1 pour ces raisons:  Avec  quelconque, la puissance a n’existe que si a > 0. 45  Si a = 1, l’équation 1x b n’a des solutions que quand b = 1 et à ce moment-là, elle obtient une infinité de solutions. Avec la finalité et la demande: “Connaître la définition, les règles de calculer le logarithme et les règles de convertir les bases. Savoir appliquer le logarithme pour résoudre les problèmes“ (page 78–livre du professeur [P3]). Les exemples dans le manuel [V3] aident les élèves à exercer les compétences de résolution de quelques types d’exercices en appliquant le logarithme. En réalité, les logarithms usuels sont les logarithme décimal et logarithme naturel. Dans quelques documents de mathématiques, on symbolyse le logarithme décimal par lg, dans les calculettes, la touchette est notée log ; le symbol du logarithme naturel est Log, dans les calculette, la touchette est notée ln. Alors, pour faciliter l’utilisation des calculette et la lecture des livres, le manuel [V3] utilise tous les 2 symbols log et lg pour le logarithme décimal; le symbol ln pour le logarithme naturel. La définition du logaritme est déduite de la définition de la puissance exposant d’un nombre réel. La finalité est d’aider les élèves à comprendre que le logarithme est défini par un nombre positif différent à 1 et par la puissance de cette base. On voit aussi que les operation d’élever d’un nombre à la puissance et de logarithmiser selon la meme base sont inverses. À partir de l’activité 1 de l’élève: “Trouver x pour: a) 2 8x  , b) 12 4 x  , c) 3 81x  , d) 15 125 x  ” (page 61– manuel [V3]), on fait une remarque: “Étant donné le nombre positif a et l’équation on a les 2 problèmes contraires: a  b + + Sachant α , calculer b. Sachant b, calculer α.” Avec lê deuxième problème, le nombre α à trouver est la définition du logarithle de base a du nombre b mentionné dans ce chapitre. “On démonstre que avec les 2 nombres a, b, a ≠ 1, il existe uniquement un nombre  tel que ”. a b  Donc, le manuel [V3] définit le logarithme de base a du nombre b (page 62– manuel [V3]): 46 “Étant donné les 2 nombres positifs a, b avec a ≠ 1. Le nombre  qui remplit l’égalité est appelé le logarithme de base a du nombre b est symbolysé . a  b b loga b loga b a     ”. Pour finir la définition, le manuel [V3] continue à l’activité 2 pour les élevès: “a) Calculer 1 2 log 4 , 3 1log 27 ; b) Y a-t-il les nombres x, y pour 3 0 , ?” x y 0 3  2 3  Avec a), le livre du professeur [P3] donne les solutions de -2, -3 et il n’y a pas de nombres pour 3 et 2x  y   car 3x et 2y sont toujours positifs. Alors, quand on parle du logarithme, c’est le logarithme d’un nombre positif, “il n’existe pas de logarithme d’un nombre négatif et de 0” (page 62–manuel [V3]). Autrement dit, la première caractéristique de la fonction logarithme est: l’ensemble de définition est *R  , l’ensemble des valeurs est R. La deuxième caractéristique de la fonction logarithme: couper l’axe des abscisses en point (1 ; 0) et passer le point (a ; 1), est dite dans le manuel [V3] et démonstrée par l’activité 3 des élèves (page 62–manuel [V3]). “Étant donné les 2 nombres positifs a, b avec a ≠ 1. On a des propriétés suivantes log 1 0a  , log 1a a  loga ba b , log ( )a a  Démonstrer ces propriétés”. Après, par les autres activités des élèves, le manuel [V3] continuellement propose les propriétés et les règles de convertir des bases du logerithme. Dans l’exemple appliqué (page 66–manuel [V3]), il y a un problème comparant les 2 logarithmes. Ce problème est résolu par l’application la propriété de puissance et de la définition du logarithme. Le livre du professeur [P3] explique “Il faut faire attention que l’on n’a pás encore les propriétés pour comparer les logarithmes, donc on doit appliquer les propriétés de puissance. Après le chapitre §4, il est possible de demander aux eleves d’appliquer la monotonie de la fonction logarithme pour comparer directement”. ._.ải HS1: 3 3 32 7 = 3 3 3log 7 log 7 log 7  = 3log 7 Đáp số: A = 3log 7 1 1log 7 log 49 log  2 Lời giải HS2: A = 3 3 3log 7 log 49 log2 7    1,771243749+1,771243749 - 1,771243749  1,771243749 1 1 2 Đáp số: A  1,771243749 Lời giải HS3: A = 3 3 32 7 = 3 3 3log 7 log 7 log 7  1 12log 7 log 49 log  = 3log 7 Dùng máy tính bỏ túi, ta có: 3log 7  1,771243749 Đáp số: A  1,771243749 Lời giải HS4: A = 3 3 3 1 12log 7 log 49 log 2 7   = 3 3 3og 7 log 7 log 7  = 3log 7 l Vẽ đồ thị hàm số y = 3log x Theo đồ thị, ta có: 3log 7  1,771244 Đáp số: A  1,771244  Cho bài toán: S và Thầy Cô hãy cho một lời giải mà Thầy Cô mong đợi từ học sinh.  Thầy cô có ra bài toán sau đây cho học sinh không: So sánh và ? ầy cô hãy cho biết rõ lý do vì sao không. ó, Thầy cô hãy cho một lời giải mong đợi t học sinh. Phân tích kết quả thực nghiệm ên dạy Toán lớp 12 thuộc trường TH n Tp.HCM và trường THPT Nguyễn Văn Côn Huyện Gò Công u đây là phân tích chi tiết sản phẩm thu được từ thực 1 Bảng 3.1: Bảng thống kê các bài toán trong Câu 1 của giáo viên ến lược o sánh 3log 5 7log 4 3log 4 4log 5 - Nếu không, Th - Nếu c ừ 3.3. Thực nghiệm được tiến hành với 15 giáo vi PT Nguyễn Hiề Đông Tỉnh Tiền Giang. Sa nghiệm. Câu Chi Câu S’11 S’12 S’13 Bỏ trống Tổng số 1 15 15 Tất cả các bài toán về tính giá trị biểu thức chứa logarit mà các giáo viên đề đưa ra lời giải mong đợi u tập trung vào chiến lược S’11 (tổng số 15/15 giáo viên chiếm 100%). K t quả cuối cùng của các bài toán này đều là một giá trị hữ ỷ (là ết quả chính xác). Một cách ngầm ẩn, giáo viên tuân thủ trách nhiệm đề mãn hai đặc trưng của R1. Câu 2 Bảng 3.2: Bảng thống kê các đánh giá lời giải Câu 2 của giáo viên Chiến lược nghị và đề ế u t k nghị các bài toán thỏa S’11 S’12 S’11 + S’12 S’11 + S’13 Lời Giải Câu 2 Chấp nhận Không chấp nhận Chấp nhận Không chấp nhận Chấp nhận Không chấp nhận Chấp nhận Không chấp nhận Bỏ trống Tổng số HS1 13 2 15 HS2 3 12 15 HS3 8 7 15 HS4 4 11 15 Từ ô n thấ ến lược S’ vẫn chiếm ưu thế. Hầu hế là số gần đúng giải bài toán chứa biểu thức log Vớ ận lời giải và đưa ra nhận n nhất”. Còn ận xét: “chưa có kết quả cuối cùng, ng nên dạy học sinh”. i lời giải HS3-HS4, đa số các giáo viên đều không đồng ý học sinh cho kết quả bài to n đúng, không cần thiết sử dụng đồ t trị biểu thức” hay “không nên dùng đồ thị tìm nghiệm đúng ng m ời u hính xác”; hoặc giải thích: “chắc ch ọc sinh không thể hìn đồ t ị mà suy ược  1,7…” bảng thống kê trên chúng t i nhậ y chi 11 t giáo viên không chấp nhận kết quả của biểu thức chứa logarit , và họ không khuyến khích học sinh dùng đồ thị để arit. i lời giải HS1, có 13/15 giáo viên (chiếm 86,67%) chấp nh xét như sau: “vận dụng tốt các công thức đưa về kết quả gọ 2/15 giáo viên còn lại (chiếm 13,33%) cho nh không biết sử dụng máy tính bỏ túi”. Với lời giải HS2, có đến 12/15 giáo viên (chiếm 80%) không chấp nhận lời giải này. Trong đó, có 8 giáo viên cho điểm 0, các giáo viên cho nhận xét là: “cho điểm bấm máy tính” hay “chỉ biết bấm máy tính mà không biết công thức logarit” hoặc “khô Vớ án ở số gần đúng với lời giải thích: “không cần ghi đáp số ở số gầ hị để tính giá vì đồ thị tươ đối: ất th gian, kết q ả không c ắn h n h ra đ 3log 7 + Ở lời giải HS3, trong số 8 giáo viên chấp nhận lời giải thì có 6 giáo viên dừng phần đánh giá của mình ở 3log 7 (kết quả gọn nhất). + Ở lời giải HS4, có đến 11 giáo viên không chấp nhận lời giải này. Câu 3 Bảng 3.3: Bảng thống kê các lời giải mong đợi ở Câu 3 của giáo viên Chiến lược Câu Bỏ trống Tổng số S”31 S”32 S”33 S”34 3 15 15 Với bài y, giáo viên chỉ hư sinh tìm guy n M làm tr g o 2 ar x c y t giải quy ểu y ch on Vì vậy, trách c iáo v n khi a ra đ ế có) th ộc kiểu nhiệm ụ này là phải cho bài án so nh đư với (hoặc 1). 4 Bả ảng th ng kê ý kiến c ở C 4 toán dạng nà 0 hoặc ớng học it. Đây mà thể ra số n em là g đợi. ê un gian (là ết bài toán thu 1) để s ộc ki sánh nhiệm số log vụ nà có thể ế m ách du nhấ nhiệm ủa g iê đư ề bài (n u u v phép to sá ợc số 0 Câu ng 3.4: B ố ủa giáo viên âu Ý kiến Câu Cần thiết Không cần thiết Bỏ trống Tổng số 4 15 15 Như vậy việc cho ra đề toán so sánh 2 số logarit có hợp thức hay không là trách nhiệm của giáo viên, học sinh chỉ biết giải quyết bài toán này bằng cách so sánh chúng với số nguyên trung gian là 0 (hoặc 1). Do đó 15/15 giáo viên (chiếm 100%) đã đưa ra ý kiến là không cần thiết cho đề toán như câu 4 với lời giải thích: “Tôi ết quả sẽ chỉ là số gần đúng nên không được chấp sẽ không cho học sinh làm bài tập này vì:  Khó có thể so sánh 3log 4 và 4log 5 bằng các tính chất của logarit (vì số trung gian không nguyên).  Nếu dùng máy tính để so sánh thì k nhận.  Nếu dùng đồ thị thì kết quả trên đồ thị (đối với học sinh) khó chính xác vì hai hoành độ khác nhau.” 3.4. p thức về sự tồn tại củ ày ở cuối 2. 3.5. Mục đích thực nghi Thực ngh à m đích nghiên cứu cá ọc sinh với khái niệm logar hàm ogarit. Đ ệt, nó nhắm tới kiểm ng tính hợp thức của g uyễn Văn Côn Huyện Gò Công Đông n Giang sau khi đã học xong chương II: “Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Học sinh được đặt trong tình h ải (cá nhân) một số bài toán quen thuộc và bài toán không quen thu Học si được phát giấy nháp. ấy nháp này được thu l ực nghiệm kết thúc. Pha 1: ếu số 1 và cùng học sinh tổng kết trên bảng (5 phút). n phiếu số 2.  Tổ chức: Kế a c t luận Những phân tích trên chứng tỏ thực nghiệm A đã cho phép hợ ác quy tắc của hợp đồng didactic về phía giáo viên được trình b chương THỰC NGHIỆM B ệm iệm n y có ục quan hệ nhân của h it, số l ặc bi chứ iả thuyết về sự tồn tại các quy tắc của hợp đồng didactic mà chúng tôi đã trình bày ở cuối chương 2. 3.6. Hình thức và tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm được dành cho học sinh lớp 12B12 trường THPT Nguyễn Hiền Tp.HCM và học sinh lớp 122 trường THPT Ng Tỉnh Tiề ”. uống gi ộc. nh Gi ại sau khi th Mặt khác, học sinh không được phép dùng cục tẩy, mà chỉ có thể gạch bỏ nếu thấy cần thiết. Điều này cho phép giữ lại dấu vết ứng xử mà học sinh thể hiện trong suốt quá trình làm bài. Việc giải quyết các bài toán thực nghiệm được triển khai theo kịch bản sau:  Yêu cầu: thực hiện phiếu số 1.  Tổ chức: + Phát phiếu số 1 và yêu cầu học sinh làm việc độc lập (20 phút). + Thu phi Pha 2:  Yêu cầu: thực hiệ + Phát phiếu số 2 và yêu cầu học sinh làm việc độc lập trong (10 phút). ựng câu hỏi thực nghiệm Các câu hỏi trong thực n ự lựa chọn giá trị của hoặc và không thể biến đổi về một trong 2 ủa a, b trong và + Thu phiếu số 2 và cùng học sinh tổng kết trên bảng (5 phút). 3.7. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các câu hỏi thực nghiệm 3.7.1 Xây d ghiệm này được xây dựng trên s một số biến didactic sau đây : V1: Hình thức của biểu thức tính chứa logarit + Chứa loga b , logb Na , hoặc có thể biến đổi về một hoặc hai dạng đó. + Không có dạng logloga b b Na dạng đó. V2: Đặc trưng của biểu thức tính logarit. + Kết quả cuối cùng là một số thực. + Kết quả cuối cùng là một biểu thức chứa logarit. V3: Đặc trưng c loga b logb Na + Có thể biến đổi a, b trong log và logb Na về dạng: ra c và a b sb c với r, s là các số hữu tỷ. + Không thể biến đổi a hoặc b trong , về dạng: , loga b logb Na ra c sb c với toán bằng máy tính bỏ túi hay không ? thống câu hỏi thực nghiệm PHIẾU SỐ 1 r, s là các số hữu tỷ. V4: 2 số logarit có so sánh được với một số nguyên M là 0 (hoặc 1) không ? V5: Có thể giải bài V6: Có thể giải bài toán bằng phương pháp đồ thị hay không ? 3.7.2 Hệ (làm việc cá nhân trong 20 phút)  Tính 3 1log 27 a) A = c) C = 5 5log 3 log 12 log 50  5 b) B = 3 3 1 12log 7 log 49 log 2 7   12( ) 32 d) D = log 71 3  So sánh  Có th Xé 3log 5 và 7log 4 ể so sánh 3log 4 và 4log 5 được không? - Nếu không, em hãy giải thích vì sao. - Nếu có, hãy trình bày lời giải của em. PHIẾU SỐ 2 phút) (làm việc cá nhân trong 10 t bài toán: “Tính A = 3 3 3 1 12log 7 log 49 log 2 7   ” Dưới đây là lời giải của học sinh lớp 12 trường THPT, em hãy đánh giá bằng cách cho điểm (theo thang điểm 10) và kèm theo lời giải thích (nếu cần) của em. Giải thích vì sao em cho điểm như vậy (nếu cần) Lời giải Điểm Lời giải 1: A = 3 3 3g 7 log 49 log2 7   = 3 3 3log 7 log 7 log 7  1 1 = Đ 2lo og l 3 7 áp số: A = 3log 7 Lời giải 2: A = 3 3 32 7 1 12log 7 log 49 log   1,771243749+1,771243749-1,771243749  1 ,771243749 Đáp số: A  1,771243749 Lời giải 3: A = 3 3 3 7 1 12log 7 log 49 log 2   = 3 = Dùng m bỏ túi, ta có:  1,771243749 Đáp số: 712437 9 3 7 log 3log 7 log 7 3log 7 áy tính 3log 7 A  1,7 4 Lời g A = iải 4: 3 3 3 1 12log 7 log 49 g 2 7  lo = = Vẽ đồ thị hàm số y = 3 3 37 log 7 log 7  log 3 7 log 3log x Theo đồ thị, ta có: ,771243749 Đáp số: A  1,771243749 3g 7  1lo 3.7.3 Chiến lược và ảnh hưởng của biến, cái có thể quan sát được  T’1: “Tính giá trị biểu thứ ứa logarit” Đối với kiểu nhiệm v này, chúng tôi dự đoán có thể có các chiến lược sau: S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” c qu tắc tính logarit để biến đổi các logarit trong biểu thức cần tính hoặc c ch ụ Dùng cá y về dạng loga b logc c , logcc  . Sau đó dự đoán giá tr ủa  để . Kết luận:  là kết quả của bi u thức cần tính. để tính logarit. hiến lược “dùng đồ thị” Dựa vào đồ thị để đọc giá tr ủa logarit.  T”3: “So sánh 2 số ogarit” Đối v i kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi dự đoán có thể có các chiến lược sau: ố nguyên M có giá trị là 0 (hoặc 1)” nh rằng số logarit thứ nhất lớn hơn một số nguyên M có giá trị là 0 (hoặc 1) và số logarit thứ hai thì nhỏ hơn số nguyên này. a b ị c ể S’ : Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” 12 Dùng máy tính bỏ túi S’13: C ị c l ớ S”31: Chiến lược “so sánh với s Dự đoán và chứng mi S”32: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi tính giá trị của 2 số logarit và so sánh trên 2 giá trị này. S”33: Chiến lược “dùng đồ thị” Xác nh tọa độ của 2 số logarit trên cùng một hệ trục tọa độ và so sánh. khác  Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược Phiếu số 1 Câu 1  Các câu 1a, 1b, 1c đều được chúng tôi lựa chọn giá trị của biến nhắm đến việc tạo cơ hội cho học sinh sử dụng chiến lược S’11, cụ thể như sau: + Câu 1a, tình huống là bài toán có dạng , trong đó a và b đều có thể biến đổi về dạng: đị S”34: Chiến lược loga b ra c và sb c , vớ ố hữu tỷ. Ở đây, r =1, ợc b i r, s là các s sb a . Lựa chnghĩa là b đư iến đổi về dạng ọn này còn dẫn đến hạn chế ược S’ , S’ . , trong ề dạng: học sinh dùng chiến l 12 13 + Câu 1b, tình huống là bài toán chứa logarit trên mũ và có dạng logb Na đó a và b cũng đều có thể biến đổi được v ra c và sb c , với r, s là n đều có cùng cơ số. hăn c n lược S’12. H vận hành. ãng hợp đồng, bài toán biến đổi đ n đổi được a, b trong về dạng các số hữu tỷ. Ở đây, b = c, nghĩa là a được biến đổi về dạng ra b . + Câu 1c, các biểu thức logarit được cho trong bài toá Bài toán có nhiều số hạng chứa logarit có biểu thức là căn thức nên gây khó k ho chiế ơn nữa, chiến lược S’13 không thể + Câu 1d, chúng tôi tạo ra tình huống ngắt qu ược về dạng loga b , nhưng không biế loga b ra c , sb c với r, s là các số hữu tỷ. Dẫn đến không thể n hành chiến lượ ến lược S’12. Từ đó, chúng tôi sẽ quan ự tôn trọng của họ trên các kỹ thuật của thể chế Câu 2 ng so sá h đơn điệu của h cũng là lời giải vậ c S’11, S’13; gây khó khăn cho chi sát ứng xử của học sinh và s về việc tính logarit. Trong câu 2, chúng tôi đưa ra bài toán so sánh 2 số logarit. Chúng có thể cù nh với số nguyên M (là 1) một cách dễ dàng, nhanh chóng bằng tín àm số logarit. Từ đó, tạo cơ hội cho chiến lược S”31 nảy sinh; hạn chế chiến lược S”32 và S”33 ; ngăn cản sự xuất hiện của chiến lược S”34. Đây mong Bài toán giúp học sinh hiểu rõ nhiệm vụ m Câu sánh 2 số l r ng thể so sánh với cùng một số nguyên. Nó được dẫn dắt y. ống được đưa ra ở câu 1d của phiếu số 1, để quan sát ứng xử của ải thích (nếu có) của mình  đợi của thể chế về so sánh 2 số logarit. à họ tiếp cận, cũng như kỹ thuật mà họ vận dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ. 3 Đây là một tình huống ngắt quãng hợp đồng, bài toán được đưa ra cũng là so oga it, nhưng chúng khô với câu hỏi mở giúp học sinh bộc lộ được ứng xử của mình trong tình huống nà Phiếu số 2 Đây là tình hu học sinh và sự tôn trọng của họ trên các kỹ thuật của thể chế về việc tính logarit. Chúng tôi đưa ra nhiều chiến lược giải cho bài toán (kết quả cuối cùng là một biểu thức chứa logarit), và yêu cầu học sinh đánh giá kèm theo lời gi qu 1a: a việc đánh giá này.  Phân tích chi tiết cái có thể quan sát được Câu 1 Những câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược như sau S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” Vì 31 3 nên 27 3 27 1log = -3. Hoặc A = 31log log 3 33 327    Đáp số: A = -3 S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi, ta có: 3 1 27 Đáp số: A = -3 S’13: Chiến lược “dùng đồ thị” Theo đồ thị, ta có: log 3  3log 327   Đáp số: A = -3  1b: Những câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược như sau 1 S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” B = 1log 71 2( ) 32 = 15log 71 2( ) 2 = 1log 7 51 52(( ) ) 2 = = 16807 máy tính bỏ túi, ta có 7 Đáp số: B = 16807 S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng 1log 71 2,80735491( ) 32  = 16807 2( ) 32 = Đáp số: B = 16807  1c: Những câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược như sau S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” C = 5 5log 3 log 1 52 log 50 = 5 5 5 5 1 1 1log 3 log 4 log 3 log 25 log    5 22 2 2 = 5 5 5 5 5log 3 log 2 log 3 2log 5 log 22 2     1 1 số: C = S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” C = = 5 5log 2 2 log 2   = 2 Đáp 2 5 5 5log 3 log 12 log 50   655 + 2,430676558 = 2 Đáp số: C = 2  1d ời có thể nhận được theo các chiến lược như sau ĩa – tính chất – quy tắc” = 0,341303097 – 0,771979 : Những câu trả l S’11: Chiến lược “dùng định ngh D = 3 3 3 1g 49 log 2 7  = 3 12log 7 lo 3 3log 7 g 7 log 7  lo = 3log 7 Đáp số: D = 3log 7 S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” A = 3 3 1 12log 7 log 49 log 2 3 7 1,771243749 - 1,771243749 S’ và S’ kết hợp D =   = 1,771243749 + = 1,771243749 11 12 3 2 3 3 2log 7 log 49 log 7   máy tính bỏ túi, ta có: = 1,771243749 Đáp số: D = 1,771243749 S’11 và S’13 kết hợp D 1 1 = 3 3 3log 7 log 7 log 7  = 3log 7 Dùng 3log 7 = 3 3 3 1 1log 7 log 4 2 7   3 thị hàm số y = 2 9 log = 3log 7 lo 3g 7 log 7 = 3log 7 Vẽ đồ 3log x Từ  1,771243749 ư sau S” iến lược “so sánh với số nguyên M là 0 (hoặc 1)” Đặ =  = Ta có đồ thị ta có: 3g 7 lo Đáp số: D = 1,771243749 Câu 2 Những câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược nh 31: Ch t α 3log 5, 7log 4 = 5 > nên α > 1; 13 7 = 4 < nên  < 1 173 Vậy 3log 5 > 7log 4 S”32: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng = máy tính bỏ túi, ta có: 1,464974 và = 0,712414 Vậy > S”33: Chi Vẽ 3log 5 7log 4 3 7 ến lược “dùng đồ thị” log 5 log 4 đồ thị y = log3 x và y = 7log x trên cùng hệ trục tọa độ. đồ thị ta có điểm có tọa độ (5 ) nằm trên điểm c ọa độ ). Câu 3 Nh được theo các chiến lược như sau sánh với số nguyên M (0 hoặc 1)” Họ ận thấy > 1, > 1 và kết luận rằng không thể so sánh được 2 số logarit . S”32: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi, ta có: = 1,2186 và = 1,10964 S” ùng đồ thị” Vẽ đồ Theo ; lo ó t3g 5 (4 7 4; log Vậy 3log 5 > 7log 4 ững câu trả lời có thể nhận S”31: Chiến lược “so c sinh nh 43log 4 và 4log log 5 3log 4 5 3log 4 4log 5 Vậy 3log 5 > 7log 4 33: Chiến lược “d thị y = 3log x và y = 4log x trên cùng Theo đồ thị ta có điểm có tọa độ (4 ; S” lược lờ ủa c ợc nêu trên. Ghi chú: Dấu u của việc vận dụng chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” là giá trị của logarit được học sinh tính ra số thập phân. hệ trục tọa độ. 3log 4 ) nằm trên điểm có tọa độ (5 ; 4log 5 ). Vậy 3log 4 > 4log 5 34: Chiến khác Là các i giải c học sinh không thuộ các chiến lư hiệ 3.8. Kị iếu s ực hiện phiếu số cấp cho học sinh những bài toán đối chứng ở những tình huống quen thuộc và tình huống không quen thuộc. Những tình huống quen th inh hi iệm v ọ tiếp cận. Thông qua việc nghiên cứu và nh sẽ nắm vững hơn kỹ thuật mà họ vận dụng để giải quy học sinh làm việc, giáo viên sẽ quan sát và nếu sinh đề toán, giáo viên sẽ có sự can thiệp kịp thời để ỉnh. S ắt quãng hợp đồng được thực hiện ở tình huống không quen thu ận xét ứng xử của học sinh và sự tôn trọng các kỹ thuật của thể chế c giải quyết ki ệm vụ. c chúng tôi thực hiện thêm pha thứ 2 là để tránh học sinh sử dụng các lời giải đ à phương pháp đồ thị để gi ức của h u nhiệm vụ. Cụ thể, thông qua câu 1a và câu 1b, chúng tôi mong muốn học sinh hiểu và vận d để giải quyết bài toán. Câ ức đ số, thuận lợi hơn tron c biế i tổng các logarit về logarit của tích. Mục đích là thông qua việc thức cần tính chứa logarit có thể đưa về dạng . Trong ể bi ề dạng Phân tích kịch bản ch bản được chia thành 2 pha: pha 1 thực hiện ph ố 1, pha 2 th 2. Pha 1 nhắm đến mục đích cung uộc giúp học s ểu rõ nh ụ mà h trả lời các câu hỏi, học si ết kiểu nhiệm vụ. Trong quá trình học có sự hiểu nhầm nào về điều ch ự ng ộc cho phép nh về việ ểu nhi Việ ược gợi ý trong pha 2 để giải quyết các bài toán trong pha 1. Pha 2 ngầm ẩn đưa vào việc vận dụng máy tính bỏ túi v ải quyết bài toán tính giá trị biểu th chứa logarit, nhắm tạo cơ hội cho học sinh bộc lộ ứng xử ọc trên kiể ụng được định nghĩa, tính chất của logarit u 1c, các logarit trong biểu th ều có cùng cơ điều này làm g việ n đổ biến đổi này, họ thấy được biểu loga b ra c sb cđó a, b có th ến đổi v , với r, s là các số hữu tỷ. Câ ạo ra sự ngắt quãng hợp đồng bằng cách học sinh có thể biến đổi bi , nhưng a và b lại không thể biến đổ u 1d, chúng tôi t ểu thức cần tính chứa logarit và dạng a i được về dạng: ra c và log b sb c v r, s số hữu tỷ. Như vậy ứng xử của học sinh ra sao ? Điều này sẽ làm phong phú hơn cho các câu trả lời của học sinh ở pha 2. 3.9. m (a posteriori) Th T Nguyễn Hiền ới là các Phân tích hậu nghiệ ực nghiệm được tiến hành với 43 học sinh lớp 12B12 trường THP Tp.HCM và 34 học sinh lớp 122 trường THPT Nguyễn Văn Côn Huyện Gò Công Đông Tỉnh Tiền Giang vào đầu tháng 11 năm 2008. Dữ liệu thu được qua thực nghiệm bao gồm: bài làm cá nhân của học sinh trên phiếu c sinh. số 1, bảng đánh giá các lời giải của học sinh trên phiếu số 2 cùng một số giấy nháp của họ Qua các bài làm của học sinh, chúng tôi nhận thấy hầu hết các học sinh đều trả lời được các câu hỏi được đặt ra. 3.9.1 Phiếu số 1 Câu 1 Bảng 3.5: Bảng thống kê các lời giải Câu 1 của học sinh (phiếu số 1) Chiến lược Câu S’11 S’12 S’13 S’11 +S’12 S’11 +S’13 Bỏ trống Tổng số a 75 2 77 b 73 4 77 c 76 1 77 d 60 17 77  Chiến lược được học sinh sử dụng ở câu 1 là S’11. Các chiến lược khác không thấy xuất hiện trong lời giải của học sinh, đặc biệt học sinh không sử dụng máy tính bỏ tú  Câu 1d, p đồng nên chúng tôi nh lưỡng (tối g ụng m ính bỏ ần đúng. Như vậy, trong nhận thức của học sinh có sự đấu tranh giữa t đơn giản nhất hay tiếp tục sử dụng máy â i và đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit trong tình huống này. Cụ thể học sinh đã sử dụng chiến lược S’11 như sau: + Ở câu 1a, có 75/77 học sinh (chiếm 97,40%). + Ở câu 1b, có 73/77 học sinh (chiếm 94,81%). + Ở câu 1c, có 76/77 học sinh (chiếm 98,70%). đây là tình huống ngắt quãng hợ ận thấy có sự lự trong ứng xử của học sinh. Có 60/77 học sinh (chiếm 77,92%) dừng lại ở kết quả bài toán là biểu thức chứa logarit gọn nhất iản), 17/77 học sinh (chiếm 22,08%) học sinh đã sử d áy t túi để tính tiếp kết quả này ra số gần đúng. Nhưng tuyệt đối không có học sinh nào sử dụng phương pháp đồ thị để đọc kết quả bài toán ra số g giữ lại kết quả của bài toán ở dạng chứa logari tính bỏ túi để tính kết quả của bài toán ra số gần đúng. Đ y cũng là câu hỏi đặt ra cho chúng tôi và được giải quyết qua việc chúng tôi gởi đến học sinh phần thực nghiệm ở phiếu số 2. Câu 2 Bảng 3.6: Bảng thống kê các lời giải Câu 2 của học sinh (phiếu số 1) Chiến lược Câu S”31 S”32 Bỏ trống Tổng số S”33 S”34 2 73 4 77 Qua bài làm c để giải b ủa học sinh, chúng tôi nhận thấy họ đều sử dụng chiến lược S”31 ài toán. Với 73/77 học sinh (chiếm 94,81%) có lời giải và các lời giải này giống n uật họ dùng trùng khớp với nhận đị g tôi trong phần phân tích tiên nghiệm. Câu ảng 3.7: Bả g thố i giải Câu 3 của học sinh (phiếu số hiến lượ hau ở điểm là cùng so sánh 2 số logarit đã cho với số nguyên 1. Kỹ th nh của chún 3 B n ng kê các lờ 1) C c Câu 31 S”32 S”33 34 Bỏ rống Tổ số S” S” t ng 3 46 4 9 7 18 7 Đây là tình huống ngắt quãng hợp đồng, chúng tôi đưa ra một tình huống không quen thuộc nên có sự lưỡng lự trong ứng xử của học sinh. Có 46/77 học sinh (chiếm 59,74%) không thể giải quyết được bài toán và đưa ra lời nhận xét như sau: “không thể so sánh được 3log 4 và log4 5 trên cơ sở lý thuyết vì > 1 và h đã sử dụng m ỏ túi để so n đúng vừa tính được với lời giải t ; được khi dùng máy tính bỏ S’12. 3log 4 áy tính b4log 5 > sá híc 1”. Có 4/77 học sinh (chiếm 5,19%) học sin nh 2 số logarit bằng cách so sánh trên 2 số gầ h: “không được trên cơ sở lý thuyết đã học túi”. Có 9/77 học sinh (chiếm 11,69%) học sinh đã dùng chiến lược khác để giải bài toán nhưng không đi đến kết quả cuối cùng. Còn lại 18/77 học sinh (chiếm 23,38%) bỏ trống câu này. 3.9.2 Phiếu số 2  Lời giải HS1 đã sử dụng chiến lược S’13, với lời giải này được 43/43 học sinh (chiếm 100%) nhất trí chấp nhận. Ngầm ẩn tồn tại ở học sinh: “Kết quả tính toán của biểu thức chứa logarit là một giá trị chính xác, chứ không phải là giá trị gần đúng”.  Lời giải HS2 có đến 25/43 học sinh (chiếm 65,12%) không chấp nhận, bài toán đã sử dụng chiến lược Số học sinh chấp nhận lời giải cũng đã đưa ra lời giải thích như sau: “ nh bỏ túi” “sử dụng tín lấy sai số r ễ b ầ n nh nên có thể bấm ra dễ dàng, nhưn khác khi l sai số sẽ không chính xác” “chỉ tính ra kết qu ần đúng chứ không chính xác”. phải làm theo quy tắc, tính chất của logarit, không được sử dụng máy tí máy h g nếu ất d ị nh ấy m. Do bài ày số dễ tí ở bài ả g Bảng 3.8: Bảng thống kê các đánh giá của học sinh (phiếu số 2) Chiến lược S’11 S’12 S’11 + S’12 S’11 + S’13 Lời Bỏ T Giải Chấp Không chấp Chấp Không chấp Chấp Không chấp Chấp Không chấp trống ổng số nhận nhận nhận nhận nhận nhận nhận nhận HS1 43 43 HS2 28 43 15 HS3 4 39 43 HS4 6 37 43  Lời giải HS3 là sự kết hợp của hai chiến lược S’11+ S’12. Tình huống này có đến 39/43 học sinh (chiếm 90,70%) không chấp nhận sử dụng máy tính bỏ túi để đưa kết quả của bài toán về số gần Chỉ c 3 học sinh (chiếm 9,30%) ấp nhận iải quyết này.  Lời giải HS4 cũng rơi vào tình huống tương tự lời giải HS3. Nó là sự kết hợp của hai chiến lược S’11+ S’13. Có 37/43 học sinh (chiếm 86,05%) không chấp nhận dùng đồ thị để đọc kết quả bài toán là số gần đúng. Chỉ có 6/43 học sinh (chiếm 13,95%) là chấp nhận lời giải. Điều này đã đúng. ó 4/4 là ch cách g chứng tỏ học sinh chỉ chấp nhận sử dụng các quy tắc tính logarit toán về dạng gọn nhất, không chấp nhận sử dụng máy tính bỏ túi và đưa kết quả bài hoặc đồ thị để ghi kết quả bài toán ở số gần đúng. 3.10. Kết luận Những phân tích trên đã cho phép hợp thức các giả thuyết về sự tồn tại các quy tắc của hợp đồng didactic về phía học sinh mà chúng tôi đã trình bày ở cuối chương 2. KẾT LUẬN Việc phân tích khái niệm logarit, hàm số logarit đồng thời ở cấp độ tri thức khoa lời cơ bản cho nh ận văn này. Sau đây là một số kết quả chính của nghiên cứu. 1. V logarit, hàm số logarit và phân tích một Toán ở bậc Đại học, cho phép làm rõ ặc trưng sau đây của các khái niệm H u ợ gh của ph + i x và t b ro học và cấp độ tri thức cần giảng dạy cũng như các kết quả thu được từ hai thực nghiệm trên giáo viên và trên học sinh cho phép tìm được các yếu tố trả ững câu hỏi hình thành nên mục tiêu nghiên cứu của lu iệc tìm hiểu một vài yếu tố lịch sử liên quan đến các khái niệm số giáo trình các đ này:  àm số ương trình: f(xt) logarit l ôn đư = f(x) c định n f(t) vớ ghĩa là một ánh ất kỳ t xạ f từ ng *R *R vào R, là n iệm  . trình thể hiện ấ ánh ạ f là bi n đổi phép tính tích thành phép tính tổng. Động cơ nả sinh i niệ garit à hàm ố logarit là đư côn hép n giả hóa cá tính to ư g rất c tạp trong các vấn đề ủa khoa ng như cuộ ống. Cụ thể nó cho phép thay thế phép tính nhân bằng phép tính giáo trình đại học mà chúng tôi xem xét hai khái niệm này lại số lũy thừa Bảng logarit cơ số 10 (trong giáo logarit cơ số 10 (trong giáo trình  Phương bản ch t của x ế  y khá m lo v s a vào một g cụ cho p đơ n c án, th ờn phứ c học cũ c s cộng; phép tính chia bằng phép tính trừ; phép khai căn bậc hai bằng phép chia đôi; phép khai căn bậc ba bằng phép chia ba, v.v…  Nếu như trong lịch sử, khái niệm logarit xuất hiện trước khái niệm hàm số logarit, thì trong hai được đưa vào theo thứ tự ngược lại. Hơn nữa, ở cấp độ tri thức ở bậc Đại học này, người ta cũng có thể tiếp cận hàm số logarit theo các tiến trình khác nhau, chẳng hạn: + Hàm số logarit (tổng quát) Hàm số logarit neper Hàm số logarit cơ số a  Hàm số mũ e, a Hàm trình [a]) + Hàm số logarit neper Hàm số mũ e Mở rộng số mũ và lũy thừa Hàm số mũ a Hàm số logarit cơ số a Bảng [b]) Nói cách khác, trong mối quan hệ với khái niệm hàm số mũ, khái niệm hàm số logarit có thể xuất hiện trước hoặc sau khái niệm hàm số mũ. 2. Ở cấp độ tri thức c Việt Nam: dù có sự thay đổi cơ bản về vị trí của khái niệm hàm số logarit trong các thời kỳ khác nhau (ở lớp 11 trong  niệm hàm số logarit và luôn gắn li g dạy khái niệm logarit, hàm số logarit ản hóa các tính tích m các quy t c iến đổi a, b trong và về dạng: ần giảng dạy ở bậc THPT các chương trình trước đây và ở lớp 12 trong chương trình hiện hành, nghĩa là trước hoặc sau khi đưa vào khái niệm đạo hàm), nhưng mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit và hàm số logarit dường như không có nhiều thay đổi. Cụ thể, nó luôn có những đặc trưng chủ yếu sau: Khái niệm logarit luôn được trình bày trước khái ền với khái niệm hàm số mũ, hàm số ngược. Khái niệm logarit luôn lấy nghĩa (ngầm ẩn hoặc tường minh) như nghiệm của phương trình mũ xa b . Và như vậy, một trong các ràng buộc cho việc đưa vào giản là phải đưa vào nội dung mở rộng khái niệm lũy thừa.  Tiếp cận khái niệm logarit và hàm số logarit trong SGK không cho phép làm rõ ý nghĩa thực sự của các khái niệm này như là công cụ cho phép đơn gi toán phức tạp mà ta đã thấy trong phân tích ở chương 1.  Trong chương trình hiện hành, dù xuất hiện trước khái niệm hàm số logarit, nhưng khái niệm đạo hàm chỉ tác động trong việc khảo sát hàm số logarit. Đạo hàm, cùng với khái niệm nguyên hàm và tích phân không đóng vai trò gì trong việc đưa vào định nghĩa khái niệm logarit và hàm số logarit.  Vị trí, vai trò của khái niệm hàm số logarit ngày càng mờ nhạt trong các SGK. Đặc trưng hình học của hàm số logarit không thể hiện được tính công cụ của nó. Dẫn đến, các SGK chỉ hạn chế vào việc nghiên cứu các bài toán gắn liền với logarit dạng loga b hoặc logb Na , hoặc có thể biến đổi về một trong hai dạng đó. Cụ thể hơn, phân ối R1 quan hệ thể chế với khái niệm này đã cho phép đặt giả thuyết về sự tồn tại ắc hợp đồng didactic sau đây, thể hiện phần nào các ràng buộc lên khái niệm ần giảng dạy: : Biểu thức chứa logarit cần tính phải thỏa mãn hai đặc trưng sau:  Chứa loga b , logb Na , hoặc có thể biến đổi về một hoặc hai dạng đó.  Có thể b loga b logb Na ra c và sb c với r, s là t giá trị chính xác, chứ không phải là giá trị gần đúng. các số hữu tỷ. R2: Kết quả tính toán của biểu thức chứa logarit là mộ cứu thực nghiệm. hàm số logarit. Kết quả thực nghiệm đã chứng tỏ tính hợp thức của giả thuyết về sự tồn tại các quy tắc của hợp học sinh) đã cho phép khẳng định về sự tồn tại các quy tắc hợp đồng nêu trên, thể R3: Không sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị biểu thức chứa logarit. R4: Không sử dụng phương pháp đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit. R5: Không sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh 2 số logarit. R6: Không sử dụng phương pháp đồ thị để so sánh 2 số logarit. 3. Chương 3 dành cho hai nghiên Thực nghiệm A trên giáo viên Toán lớp 12 trường THPT Việt Nam làm rõ giả thuyết về sự tồn tại các quy tắc của hợp đồng didactic trên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh. Thực nghiệm B trên học sinh lớp 12 trường THPT Việt Nam đã làm rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm logarit, đồng didactic mà chúng tôi đã trình bày. 3. Hai nghiên cứu thực nghiệm trong chương 3 (một với giáo viên, một với hiện ảnh hưởng mạnh của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của hai thành viên chủ chốt trong hệ thống dạy học (giáo viên và học sinh). Hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn Xây dựng một đồ án didactic đưa khái niệm logarit và hàm số logarit vào chương trình Toán phổ thông với định hướng làm nổi bật vai trò và ý nghĩa của chúng như là công cụ đơn giản hóa các tính toán. ._.