Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông

p phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn này. Tơi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS.Trần Lương Cơng Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Tốn. Tơi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS.Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình gĩp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết cho chúng tơi. Tơi cũng xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phịng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi khi được học tập tại trường. - Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân và các đồng nghiệp thuộc Bộ mơn Tốn đã tạo mọi thuận lợi cho tơi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM. Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khĩa 18 đã cùng tơi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khĩ khăn trong khĩa học. Sau cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tơi, luơn động viên và giúp đỡ tơi về mọi mặt. NGUYỄN THIỆN CHÍ DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách bài tập SGV: Sách giáo viên PT: Phương trình QT: Quy tắc BP: Bình phương XD: Xét dấu TL: Trả lời d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 M6: Sách giáo khoa tốn 6 tập 1 E6: Sách bài tập tốn 6 tập 1 G6: Sách giáo viên tốn 6 tập 1 M7: Sách giáo khoa tốn 7 tập 1 E7: Sách bài tập tốn 7 tập 1 G7: Sách giáo viên tốn 7 tập 1 M8: Sách giáo khoa tốn 8 tập 2 E8: Sách bài tập tốn 8 tập 2 G8: Sách giáo viên tốn 8 tập 2 M9: Sách giáo khoa tốn 9 tập 1 E9: Sách bài tập tốn 9 tập 1 G9: Sách giáo viên tốn 9 tập 1 M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản ) E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản ) G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản) 1  MỞ ĐẦU  Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu  Khung lý thuyết tham chiếu  Mục đích nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu. 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình tốn phổ thơng xuyên suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thơng, với một vị trí khá quan trọng. Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khĩ khăn khi học các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, chúng tơi thường nhận thấy hiện tượng sau: Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài tốn tính giá trị tuyệt đối của một số cụ thể (chẳng hạn 7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả a = a, hoặc chẳng hạn ( 5) 5x x    . Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Cịn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm này khơng ? Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau, nhưng cĩ hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên: - Cĩ một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức. - Dấu “ - ” dường như cũng đĩng một vai trị quan trọng tạo nên khĩ khăn và sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống cĩ giá trị tuyệt đối. Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tơi quyết định chọn chủ đề “Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học tốn ở trường phổ thơng” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình. Cụ thể hơn, mục tiêu của luận văn này là trả lời cho các câu hỏi khởi đầu đặt ra sau đây: - Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thơng như thế nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng tốn nào liên quan 2  đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? - Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu? - Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” cĩ vai trị gì đối với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng cĩ phải là yếu tố gắn liền với những khĩ khăn và sai lầm trên của học sinh ? - Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt đối và việc giải quyết các dạng tốn liên quan đến khái niệm này? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tơi được đặt trong phạm vi của didactic tốn, với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây: 2.1. Lý thuyết nhân chủng học Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tơi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức tốn học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thơng qua nghiên cứu các tổ chức tốn học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần   ,,,  , trong đĩ T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ . 2.2. Chướng ngại 2.2.1. Chướng ngại và sai lầm (Theo Lê Thị Hồi Châu [3, tr.4]) Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và Brousseau. Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với 3  tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nĩi đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nĩ. Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nĩ cũng thường mang tính chất tạm thời và cĩ thể là khơng hồn tồn chính xác. Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: “Sai lầm khơng phải chỉ là hậu quả của sự khơng hiểu biết, khơng chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà cịn cĩ thể là hậu quả của những kiến thức đã cĩ từ trước, những kiến thức đã từng cĩ ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là khơng cịn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này khơng phải là khơng dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại. Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm cĩ thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983). Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau cĩ thể cĩ một nguồn gốc chung. Việc phân tích sai lầm cĩ thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập. 2.2.2. Đặc trưng của chướng ngại (Theo Lê Thị Hồi Châu [3, tr.4-5]) Trước tiên, cần phải nĩi rõ rằng khơng phải mọi khĩ khăn đều cĩ thể được xem là chướng ngại. Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà theo đĩ thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở ngồi những ngữ cảnh này. Để cĩ một câu trả lời chính xác và đúng trong mọi trường hợp, cần phải cĩ sự thay đổi trong quan điểm. Sự phân biệt giữa khĩ khăn và chướng ngại cũng đã được nĩi rõ bởi El Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm nhận thức. 4  “Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đĩ, trong một lý thuyết tốn học nào đĩ đã được giải quyết mà khơng cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang nĩi đến, thì người ta nĩi rằng một khĩ khăn đã được vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một khĩ khăn là tốn học ở thời kỳ đĩ đã bị bế tắc, cho dù những phương tiện để giải quyết vấn đề cĩ thể đã cĩ sẵn […]. Người ta cũng cĩ thể nĩi như vậy về những khĩ khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm tốn học […] Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã cĩ một sự xây dựng lại kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nĩi rằng một chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của thời đại đĩ đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra. Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng cĩ thể nĩi về những chướng ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm tốn học” (El Bouazzauori, 1988) Các nhà didactic tốn phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn gốc của chúng: - Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nĩ địi hỏi phải được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh. - Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống giáo dục. - Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đĩ trong quá trình phát triển của nĩ. - Chướng ngại văn hĩa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hĩa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luơn luơn tồn tại. Chỉ cĩ những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt qua chúng đĩng một vai trị quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta cĩ 5  thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái niệm đang được nĩi đến. Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nĩ đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đĩ. 2.3. Quan niệm và quy tắc hành động (Theo Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến [4]) 2.3.1. Quan niệm Ta gọi quan niệm là một mơ hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm tốn học. Mơ hình này cho phép: - Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm cĩ thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đĩ các bài tốn; - Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế được học sinh xây dựng. G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đĩ lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đĩ quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc nĩ gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khĩ khăn trong điều kiện bất lợi”. Việc nghiên cứu quan niệm cĩ thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau): - Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh; - Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau. 2.3.2. Quy tắc hành động Quy tắc hành động là một mơ hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất tốn học gắn bĩ rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. 6  Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn cĩ thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đĩ xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thơng thường thì phạm vi hợp thức này khơng rỗng, thậm chí nĩ cĩ thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nĩ. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngồi phạm vi hợp thức của nĩ. 3. Mục đích nghiên cứu Trong khuơn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tơi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1: Hai khái niệm “chữ” và “số âm” cĩ những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao? Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học tốn ở trường phổ thơng? Đặc trưng của những tổ chức tốn học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức tốn học đĩ tiến triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? Cĩ sự tương đồng và khác biệt nào cĩ thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc phổ thơng? Q4: Những ràng buộc của thể chế dạy học cĩ ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học sinh vận dụng gĩp phần tạo ra sai lầm a a  (với mọi số nguyên a) hoặc ( 5) 5x x    (với mọi số thực x)? Cịn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối khơng? 7  4. Phương pháp nghiên cứu Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tơi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4. Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tơi tham khảo một số luận văn trong didactic đã được cơng bố về vai trị của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Mặt khác, chúng tơi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ cĩ tác dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tơi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đĩ sẽ là cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tơi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trị gì trong thể chế. Nĩ cũng giúp cho chúng tơi xác định nguồn gốc didactic của những khĩ khăn mà học sinh thường gặp. Từ đĩ đưa ra dự đốn kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Các kết quả thu được cho phép chúng tơi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”. Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tơi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm này trong lịch sử. Đĩ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình tốn ở bậc đại học. Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q2 và được trình bày trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”. Để trả lời các câu hỏi Q3, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối. Thơng qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Chúng tơi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được các tổ chức tốn học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học. 8  Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tơi trả lời các câu hỏi Q3 và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”. Với những giả thuyết, chúng tơi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tơi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép chúng tơi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”. 9  Chương 1. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM  Khái niệm chữ  Khái niệm số âm. Mục tiêu của chương Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng. Cụ thể chúng tơi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Hai khái niệm “chữ” và “số âm” cĩ những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm? 2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? 1.1. Về khái niệm chữ Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trị của chữ và bước chuyển từ việc thao tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tơi tìm được các tài liệu sau: 1. Phan Thị Hằng (2002), Vai trị và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số học ở lớp 6 chương trình cải cách giáo dục trường hợp phép chia Euclide, Luận văn Thạc sĩ. [19] 2. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. [21] 3. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 1. [22] 4. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 2. [23] 10  Vì thế trong phần này chúng tơi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tĩm tắt những kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình. 1.1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quyết một số “bài tốn số học” và can thiệp như một cơng cụ giải các bài tốn thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn: Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngơn ngữ thơng thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài tốn, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài tốn mà khơng dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả. Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết tắt tốc ký cho một số phép tốn, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên hơn. Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đại lượng : do đĩ cĩ thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như một cơng cụ để chứng minh các quy tắc tính tốn” [21, tr.5]. Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,  v  chỉ bình phương của ẩn số, x v  chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay lũy thừa của nĩ Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x5 được viết là x v   (trong đĩ  =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch ngang trên đầu, chẳng hạn  =1, =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x. 11  Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ thứ 7) cĩ dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương). Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pacioli dùng kí hiệu p (là chữ đầu của plus cĩ nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là chữ đầu của minus cĩ nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ. Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu tốn học là việc F. Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng khơng đổi tùy ý: đĩ là các phụ âm thơng thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e… Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số cĩ bộ mặt như hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2, a3 …Các kí hiệu của Descartes cĩ ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đĩ nhanh chĩng được thừa nhận rộng rãi. Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tơi xin trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép tốn trên các chữ thay thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là cĩ ý nghĩa cực kỳ quan trọng, khơng cĩ cơng cụ đĩ – ngơn ngữ của các cơng thức – khơng thể cĩ được sự phát triển của tốn học. Đặc biệt ký hiệu chữ và các phép tốn trên những ký hiệu đĩ, ngay từ thế kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra đời của quan điểm coi những đại lượng tốn học là đại lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng của giải tích tốn học, trong đĩ sự biến thiên liên tục của một đại lượng thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nĩ” Tĩm lại, khái niệm chữ cĩ các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau: - Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn (viết tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu. Điều này đã thể hiện bước 12  chuyển quan trọng từ việc thực hiện các phép tốn trên tập hợp các số cụ thể sang tập hợp các số biểu thị bằng chữ. - Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nĩ được sử dụng để biểu thị một tập hợp giá trị. - Các kí hiệu chữ cĩ nhiều vai trị khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ hằng số, ẩn số, biến số, phép tốn cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương của ẩn số.v.v . Điều này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ . 1.1.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu thức 5g cĩ thể được giải thích 5*g trong đĩ g chỉ một số. Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trị của chữ, trong đĩ ơng phân biệt: - Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số - Chữ khơng được xem xét: chữ khơng biết đến trong tính tốn - Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn - Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm - Chữ chỉ một số được khái quát hĩa: chữ cĩ thể nhận được nhiều giá trị - Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6] Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng: Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m cĩ thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 mơtơ (chữ m được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ cĩ nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đĩ chúng được đưa vào để tính tốn (…) 13  Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ khơng bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này khơng hề được làm rõ, hơn thế nữa nĩ được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện tranh luận thơng thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu. Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác cĩ thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11] Phan Thị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trị, ý nghĩa của các ký hiệu chữ” trong dạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục) đã chỉ ra rằng: “Vai trị và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trị là ẩn, khi thì giữ vai trị như một chữ số của một số cĩ nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này cĩ thể gây nên những khĩ khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong đĩ cĩ sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61]. Đặc biệt, tác giả đã đưa ra kết luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới phép chia Euclide mà ở đĩ cĩ sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải những khĩ khăn, lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ. Đặc biệt, học sinh cĩ xu hướng áp dụng các thao tác quen thuộc trên các số cụ thể đã được học ở bậc tiểu học với các chữ.” [19, tr.64] Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tơi rút ra một số đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ như sau: - Chữ giữ nhiều vai trị khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hĩa, chữ chỉ biến số. Điều này cho thấy tính đa nghĩa của kí hiệu chữ. Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong lịch sử. Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong các tình huống cĩ sự hiện diện của a (với a là số nguyên) thì a giữ vai trị gì? Chúng tơi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau. 14  - Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh khác nhau. Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa của “ký hiệu chữ”. - Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số biểu thị bằng chữ. Một điểm quan trọng ở đây là trong chương trình Tốn 6 hiện hành phép chia Euclide được đề cập ở chương 1: “Ơn tập và bổ túc về số tự nhiên”, cịn khái niệm giá trị tuyệt đối mà chúng tơi đang nghiên cứu thuộc chương 2: “Số nguyên”. Do đĩ, từ kết quả này chúng tơi đặt ra câu hỏi: Phải chăng việc tính giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể, tạo nên chướng ngại cho việc tính giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ? Chúng tơi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau. 1.2. Về khái niệm số âm Trong phần này chúng tơi tham khảo các nguồn tài liệu sau: 1. Nguyễn Cang (2001), giới thiệu tĩm tắt cuộc đời và sự nghiệp của các nhà Tốn học [1] 2. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử tốn học. 3. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 1. 4. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 2. 5. Boyé A (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs. 6. Cauchy (1821). Cours d’analyse de l’école royale polytechnique. 7. Schubring G, Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs. 1.2.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số âm Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời đại chúng ta. Thơng thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những số âm chỉ 15  xuất hiện như là hỗ trợ cho tính tốn, nghĩa là cơng cụ trung gian, khơng cĩ số âm trong những phát biểu của bài tốn, cũng khơng cĩ trong các câu trả lời.Trong thời kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”. Diophante (Khoảng thế kỉ thứ 3, sau cơng nguyên). Ơng khơng chấp nhận những phương trình dạng như 4 = 4x + 201, bởi nghiệm của chúng là “vơ lý”. Diophante xem số âm là số “vơ lý” . Brahmagupta (598-660) là nhà tốn học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua tác phẩm của ơng người ta xác nhận rằng: “Ơng là người đầu tiên đưa ra số 0 và những số âm. Và ơng đã dùng những số này trong tính tốn những “khoản tiền” ”. Các nhà tốn học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “mĩn nợ”. Quy tắc cộng các số được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đĩ bằng nhau thì tổng bằng khơng”. Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”. Nĩ khơng được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác Brahmagupta đã sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”. Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445- 1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5 3 m  (m là từ chữ la tinh minus nghĩa là trừ) là kí hiệu của 5-3 , nĩi chung k ma là ký hiệu của ka . Như vậy, trong thời kỳ này ơng dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả số âm. Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa được chấp nhận. Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương trình. Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà tốn học người Ý Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra 1 Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’ (trong đĩ  = 4). Khi cộng ơng viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở trên được viết là s’  l  , với  =20.  16  nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ơng phân biệt các số dương, số âm. Chính ơng đã đề nghị một phương trình bậc hai: x2 + 4x = 21 và nhận thấy các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ơng dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép tốn trừ mà Chuquet đã sử dụng. Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đơi khi một vài nghiệm thì được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nĩ là 5 thì x + 5  2 0, lấy x + 5 nhân với x3 – 9xx + 26x – 24 0 thì được x4 – 4x3 – 19xx + 106x – 120  0. Phương trình này cĩ bốn nghiệm, trong đĩ ba nghiệm ._.thật là 2, 3, 4 và một nghiệm hư là 5”. Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số “thiếu”. Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489). Các số âm đã phải trải qua nhiều khĩ khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được cơng nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm âm của phương trình gọi là số “vơ lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật là số dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình. Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng cĩ hướng (chẳng hạn các đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn). Ơng biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -1,-2, -3,…Từ đĩ kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự xuất hiện của dấu “-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” của phép tốn trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489. 2 Kí hiệu  được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu dấu “=” 17  Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì: n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1) n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2) Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0 Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm (-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0 (-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a) Do đĩ: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0 Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm) Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương” Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng ở đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đĩ chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm. Như vậy đã cĩ thời kỳ mà (-a) luơn được xem là số âm (vì luơn giả thiết a > 0). Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định sự tồn tại phép tốn 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ơng đã xem 2 dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,… …,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành một khái niệm số nguyên. Euler định nghĩa bốn phép tốn trên những số này. Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nĩ cĩ dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+” hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đĩ, gần như là một tính từ đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước cĩ dấu “+” gọi là những số dương, những số mà đằng trước cĩ dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường hợp mà ở 18  đĩ chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a. Theo sự thỏa thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta cĩ: a = +A, b = -A. Ta cĩ: +a = +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A. Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng trong ngoặc đơn thì sẽ cĩ: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A. Trong mỗi cơng thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái. Việc xem xét duy nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”. Từ đoạn trích trên, chúng tơi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Theo chúng tơi đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ. Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ơng đưa ra việc phân biệt rõ ràng giữa dấu của phép tốn với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ơng đề nghị một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác định bởi phương trình: a + a = 0. Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số đối của a, ơng đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nĩ là b được cho bởi phương trình b + b = 0. Vì vậy phép trừ tổng quát trên những số nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ” Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết của số phức”. Ơng giải thích phép nhân hai số đối: “0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb) 0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb) Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab” Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số a. Với cách ký hiệu này thì ơng đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối (trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép tốn trừ 19  Bảng 1. Sự tiến triển của khái niệm số âm Thời điểm Kí hiệu của số âm Đối tượng Đặc trưng của số âm Liu Hiu (220-280) Các que tính màu đen số cụ thể Số âm được hiểu như số “tiền nợ” Diophante (Thế kỉ thứ 3) Khơng cĩ kí hiệu Số cụ thể Số âm được hiểu như số “vơ lý” Brahmagupta (598-660) Dấu chấm (.) Số cụ thể Số âm được hiểu như số “tiền nợ” Chuquet (1445-1500) m  Số cụ thể Số âm được hiểu như số “thiếu” Cardan (1501-1576) m  Số cụ thể Số âm được hiểu như số “hư” Descartes (1596-1650) Dấu “-” Số cụ thể Số âm được chấp nhận, sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng cĩ hướng. Maclaurin (1698-1746) Dấu “-” Chữ chỉ đại diện cho số dương - a được hiểu là số âm Euler (1707-1783) Dấu “-” Số cụ thể Số âm được hiểu như một ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước. Cauchy (1789-1857) Dấu “-” Số cụ thể Số âm được hiểu như một ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước. Dấu “-” Chữ - a được hiểu là số đối của a Tĩm lại, số âm cĩ các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau đây: - Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính tốn các “khoản tiền”, giải phương trình,…Trong một thời gian dài số âm khơng được chấp nhận, chẳng hạn các 20  nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vơ lý”, số “thiếu”. Cuối cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng cĩ hướng. Cuối cùng đã xĩa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc giữa các nghiệm âm và nghiệm dương. - Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que màu đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép tốn trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu “-” (trùng với dấu “-” của phép tốn trừ mà Vidman đã giới thiệu). Điều này cho thấy tính khơng thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số âm. Hơn nữa đã cĩ thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì luơn giả thiết a dương). - Đã cĩ các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một số, chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số đối của a, kí hiệu là ā. Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và dấu của phép tốn trừ. Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Điều này dẫn đến trở ngại trong việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ. Theo chúng tơi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tơi chỉ ra chướng ngại chủ yếu liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể cĩ thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ. 1.2.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm Trong luận văn này, khái niệm số âm được xem xét với tư cách là đối tượng liên quan đến việc nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối. Để tìm hiểu những chướng ngại gắn liền với số âm, trong phần này chúng tơi chỉ đặt trọng tâm đến việc xem xét nghĩa của dấu “-” đã được sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ. 21  Để thuận tiện chúng tơi sẽ dùng các kí hiệu sau đây: M6 để chỉ sách giáo khoa tốn 6, tập 1. G6 để chỉ sách giáo viên tốn 6, tập 1. Số nguyên âm được đưa vào M6, chương 2: “số nguyên”. Ở mục các ví dụ (bài 1), M6 cĩ đoạn viết: “Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên, người ta dùng các số với dấu “-” đằng trước như: -1, -2, -3, … (đọc là âm 1, âm 2, âm 3, …, hoặc trừ 1, trừ 2, trừ 3, …). Những số như thế được gọi là số nguyên âm” [M6, tr.66]. Từ đoạn trích trên, cho thấy số âm chỉ đơn thuần là sự “dán nhãn” dấu “-’’ đặt trước một số dương. Như vậy, đã cĩ sự xuất hiện trong quan niệm của học sinh về đối tượng số âm, tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh cĩ thể gắn vào đối tượng số âm là dấu “-”. Với tình huống trên đã đem lại nghĩa của khái niệm số âm đối với học sinh: “Số nguyên âm được hiểu như một kí hiệu gồm số nguyên dương và dấu “-” đứng trước”. Mặt khác chúng tơi nhận thấy xuất hiện dấu “-” trong ký hiệu của số âm trùng với dấu “-” của phép tốn trừ mà học sinh đã quen biết. Vấn đề đặt ra là tại sao như vậy? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tơi tìm thấy ở G6, trang 94, giải thích như sau: “dấu “-” trong ký hiệu số âm tuy khơng phải là dấu “-” trong phép trừ, nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên khơng cần đề cập đến sự khác nhau đĩ. Nếu vì lý do nào đĩ cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy bản chất hai dấu cĩ khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta sẽ thấy chúng phù hợp với nhau. Vì thế chúng ta khơng sợ nhầm lẫn khi viết hai dấu như nhau” . Việc dùng dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” trong phép trừ đã từng tồn tại trong lịch sử của khái niệm số âm. Mặt khác, nếu xét về cách đọc, chẳng hạn -1 thì đọc là âm 1, hoặc trừ 1. Tại sao M6 lại nêu ra hai cách đọc? Để giải thích cho điều này thì G6 trang 94 cĩ đoạn viết: “Dấu “-” trong số âm đúng ra chỉ đọc là âm, nhưng trên thực tế người ta vẫn đọc cả hai cách “âm” hoặc “trừ”, nên sách giáo khoa yêu cầu học sinh biết đọc cả hai cách” [G6, tr 94]. Đến đây chúng tơi đặt ra câu hỏi: như vậy khi chuyển sang ký hiệu chữ, chẳng hạn (–a) thì cách đọc như thế nào? Để trả lời câu hỏi này chúng tơi tìm thấy ở bài 6: “Tính chất của phép cộng các số nguyên”, M6 đã đề cập đến ký hiệu dấu “-” gắn với 22  ký hiệu chữ như sau: “số đối của số nguyên a được ký hiệu là –a. Khi đĩ số đối của (-a) cũng là a , nghĩa là - (-a) = a. Rõ ràng: Nếu a là số nguyên dương thì –a là số nguyên âm, chẳng hạn a = 3 thì -a = -3. Nếu a là số nguyên âm thì –a là số nguyên dương, chẳng hạn a = -5 thì -a = -(-5)=5 (vì 5 là số đối của -5)” [M6, tr.78]. Đoạn trích trên cho thấy, M6 đã sử dụng kí hiệu dấu “-” để chỉ số đối trùng với dấu “-” trong kí hiệu số âm. Như vậy, các tác giả đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể ) và dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ ). Theo chúng tơi đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ. Cụ thể nếu a là số nguyên dương, chẳng hạn a = 3 thì số đối (-a) trong trường hợp này chính là số nguyên âm -3. Như vậy dấu “-” trong ký hiệu số đối và dấu “-” trong ký hiệu số âm là phù hợp. Tuy nhiên nếu a là số nguyên âm, chẳng hạn a = -5 thì -a = 5 lại là số nguyên dương. Đến đây vấn đề đặt ra: Liệu học sinh cĩ “thốt khỏi” cách hiểu (-a) luơn luơn là số nguyên âm hay khơng, khi dùng dấu “-” để ký hiệu cho cả số âm và số đối? Hơn nữa, đối với học sinh nghĩa của dấu “-” khơng được làm rõ. Trích dẫn sau đây sẽ minh chứng cho điều khẳng định này. “Dấu “-” trong kí hiệu số đối khơng phải là dấu “-” trong kí hiệu số âm, cũng khơng phải là dấu “-” trong kí hiệu phép trừ. Nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên khơng cần đề cập đến. Nếu vì lý do nào đĩ cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy bản chất các dấu cĩ khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta sẽ thấy chúng phù hợp với nhau” [G6, tr.105]. Trong phần phân tích khoa học luận của khái niệm số âm, chúng tơi đã chỉ ra các nhà tốn học đương thời đã sử dụng các kí hiệu khác để chỉ số đối, chẳng hạn opp(a) (theo Hankel), a (theo Wileken). Tại sao M6 sử dụng cùng một dấu “-” với ba nghĩa khác nhau như đã đề cập? Để trả lời câu hỏi này, chúng tơi tìm thấy ở G6, trang 96 đã giải thích như sau: “Trong chương này cĩ sử dụng kí hiệu dấu “-” với ba nghĩa khác nhau, dấu “-” trong phép trừ, dấu “-” của số nguyên âm trong bài 1 thực ra chỉ thuần túy là một kí hiệu gắn với loại số mới đưa ra, vì vậy ta hồn tồn cĩ thể thay bằng kí hiệu khác. Cũng tương tự như vây đối với dấu “-” của số đối (ở 23  bài 6) ta hồn tồn cĩ thể thay bằng kí hiệu khác. Tuy nhiên, sau khi cĩ phép trừ (bài 7) (trừ đi a là cộng với số đối của nĩ, nên cĩ thể kí hiệu số đối của a là –a). Vì thế để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “-” (trùng với dấu của phép trừ) để kí hiệu cho cả số âm và số đối. Sách giáo khoa một số nước cĩ dùng kí hiệu khác để ghi số âm” [G6, tr.96]. Tĩm lại: Qua phân tích thể chế chúng tơi nhận thấy M6 sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-’’ với hai nghĩa khác nhau dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể ) và dấu “-” mang nghĩa số đối (Trong trường hợp ký hiệu chữ ). Vấn đề này đã xuất hiện trong lịch sử (theo Cauchy). Mặt khác theo qui định của thể chế lại khơng yêu cầu học sinh phân biệt rõ nghĩa của dấu “-”. Điều này được thể hiện rõ trong G6, trang 93 như sau: “Khơng địi hỏi học sinh phải phân biệt rõ sự khác nhau giữa các dấu “-” trong số âm, số đối và trong phép trừ”. Do đĩ, theo chúng tơi chính sự khơng phân biệt này sẽ dẫn đến một trở ngại mà học sinh gặp phải là hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ. Từ đây, cho phép chúng tơi chỉ ra chướng ngại didactic gắn liền với âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ. Từ chướng ngại trên, chúng tơi hình thành giả thuyết về kiểu sai lầm gắn liền với khái niệm số âm trong bước chuyển từ số cụ thể sang kí hiệu chữ. H1: Đối với học sinh (-a) là một số nguyên âm với mọi số nguyên a khác 0 24  Chương 2. KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC  Vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối  Khái niệm giá trị tuyệt đối ở một số giáo trình đại học Mục tiêu của chương Mục tiêu của chương này là phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối, nhằm vạch rõ sự tiến triển của khái niệm này cùng với nghĩa tương ứng của chúng. Đĩ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình đại học. Cụ thể là chúng tơi nhắm đến trả lời câu hỏi sau: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế nào? Khái niệm này tiển triển ra sao? Nghĩa của chúng là gì? 2.1. Vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối Trong phần này, chúng tơi tham khảo các nguồn tài liệu sau: 1. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 1. 2. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 2. 3. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử tốn học. 4. Cauchy (1821). Cours d’analyse de l’école royale polytechnique. 5. Duroux (1983), la valeur absolue difficultés majeures pour une notion mireure. 6. Cĩ bốn giai đoạn chủ yếu trong sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối. Cụ thể như sau: Trong giai đoạn thứ nhất: Trong giai đoạn này, giá trị tuyệt đối lấy cơ chế của một khái niệm tiền tốn học. Nghĩa là khơng cĩ tên, khơng được định nghĩa và hoạt động như một cơng cụ ngầm ẩn. Phạm vi hoạt động chủ yếu trong giai đoạn này là: số học. Chẳng hạn 25  Napier (1550-1617) sử dụng giá trị tuyệt đối trong việc hình thành bảng lơgarit, trong cách viết lg0,0032 = 3 ,4800069 cĩ ý nghĩa là trước dấu phẩy người ta ghi phần đặc tính nếu nĩ âm thì dấu “-” được đặt trên đầu giá trị tuyệt đối của nĩ (-3 = 3  ). Do đĩ số 3 ,4800069 thật ra phải viết là -3 + 0,4800069. Mặt khác, Descartes (1596-1650), ngầm ẩn sử dụng giá trị tuyệt đối để đưa ra qui tắc dấu: “Trong dãy các hệ số của phương trình đa thức cĩ bao nhiêu lần đổi dấu thì cĩ bấy nhiêu nghiệm dương và cĩ bao nhiêu lần lặp dấu thì cĩ bấy nhiêu nghiệm âm”. Chẳng hạn phương trình 5 4 2 0x x   cĩ một lần đổi dấu (hệ số đầu dương cả hai hệ số sau đều âm) nên phương trình cĩ một và chỉ một nghiệm dương. Như vậy, các hệ số của phương trình được đề cập ở đây là các số cụ thể gồm hai phần: Phần dấu (dấu +, - ) và phần “số” ngầm ẩn được xem là giá trị tuyệt đối. Trong giai đoạn này giá trị tuyệt đối ngầm ẩn được hiểu theo nghĩa “số khơng dấu” hay là “khoảng cách từ số 0”. Trong giai đoạn thứ hai: Giá trị tuyệt đối lấy cơ chế của khái niệm cận tốn học. Nghĩa là cĩ tên nhưng khơng cĩ định nghĩa. Chúng là khái niệm cơng cụ của hoạt động tốn học nĩi chung nĩ khơng phải là đối tượng nghiên cứu của các nhà tốn học. Sự xuất hiện của giá trị tuyệt đối như là một phương tiện để giải quyết các vấn đề về số âm (do sự mở rộng từ  sang  ). Trong giai đoạn này giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “số bỏ qua các dấu”. Với cách hiểu này giá trị tuyệt đối được sử dụng như một cơng cụ để chuyển một số cĩ dấu “+”, “-” thành số khơng dấu. Trong giai đoạn này Lagrange (1736-1813) và Gausse (1777-1855) sử dụng giá trị tuyệt đối để tính tốn sai số và xây dựng lý thuyết số. Phạm vi hoạt chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là số học, đại số. Trong giai đoạn thứ ba: Giá trị tuyệt đối mang cơ chế của khái niệm tốn học. Chúng vừa là đối tượng nghiên cứu của các nhà tốn học vừa là cơng cụ tường minh để giải quyết các bài tốn trong nhiều lĩnh vực tốn. Cụ thể là giá trị tuyệt đối được định nghĩa một cách 26  tường minh cho mỗi số (số thực, số phức). Khi đĩ chúng được hiểu theo nghĩa “hàm số” và các tính chất của nĩ đã được đề cập. Chẳng hạn Argand (1768-1822)-nhà tốn học Thụy Sĩ đã cho một cách minh họa hình học các số phức trên mặt phẳng tọa độ và ơng đã đưa vào thuật ngữ “modul của số phức”. Vào năm 1821 Cauchy đưa vào khái nịêm modul số phức : “Xét số phức a+b 1 và M(a, b) .Khi đĩ OM được xác định hồn tồn bởi độ dài  của nĩ và gĩc mà nĩ tạo ra với trục Ox. Ta cĩ: a+b 1 (cos 1sin ); cos ; sin (a b             >0) Suy ra 2 2 2 2 2 2(cos sin )a b        . Vậy 2 2 , 0a b    gọi là modul của số phức 1a b  ” (Ở đây i = 1 là do Euler đề xuất năm 1777 và cơng bố năm 1794). Cauchy cịn sử dụng giá trị tuyệt đối để định nghĩa dãy số và chứng minh sự hội tụ của dãy số. Phạm vi hoạt động chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là: số học, đại số, giải tích. Giai đoạn sau cùng: Khái niệm giá trị tuyệt đối đã được hình thức hĩa. Nghĩa là người ta đề cập đến giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự, giá trị tuyệt đối trong một trường, khái niệm hàm khoảng cách, chuẩn của một vectơ. Phạm vi hoạt động chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là: Đại số hiện đại, các khơng gian trừu tượng (khơng gian mêtric, khơng gian định chuẩn). Chẳng hạn Weierstrass (1815-1897) đưa ra tiêu chuẩn sau về sự hội tụ của chuỗi trong khơng gian định chuẩn (Khơng gian vectơ trên đĩ đã xác định một chuẩn). Chuỗi 1 n n a    được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương 1n na    hội tụ . * Nhận xét: - Sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối gắn liền với sự mở rộng các tập số cũng như sự xuất hiện của các khái niệm trừu tượng như vành, trường, khơng gian vectơ. 27  - Việc chuyển từ giai đoạn thứ hai sang giai đoạn thứ ba đã cĩ sự thay đổi về nghĩa của khái niệm giá trị tuyệt đối. Cụ thể là + Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “số cụ thể”. Với cách hiểu này thì khi tính giá trị tuyệt đối chỉ cần loại bỏ các dấu “+”, “-” đằng trước số đĩ . + Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “hàm số”. Theo cách hiểu này việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối luơn gắn với điều kiện của biến . 2.2. Khái niệm giá trị tuyệt đối ở một số giáo trình đại học Ở đây chúng tơi chọn phân tích các tài liệu sau: - Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm. [2] - Ngơ Thúc Lanh (1986), Đại số và số học tập 2. [20] - [34] 2.2.1. Khái niệm giá trị tuyệt đối trong absolue. Trước tiên tài liệu [34] đưa vào tiếp cận ban đầu như sau: “mỗi số thực được xác định bởi dấu (+ hoặc -) và giá trị tuyệt đối của nĩ. Chẳng hạn giá trị tuyệt đối của (+7) là 7, giá trị tuyệt đối của (-5) là 5, tức là số đối của (-5)”. Như vậy, tài liệu [34] đã xem một số cụ thể gồm hai phần: phần dấu và phần số (Tương tự như quan điểm của Cauchy), mà phần số chính là giá trị tuyệt đối của nĩ. Cách tiếp cận trên thuộc giai đoạn thứ hai trong sự tiển triển lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối. Do đĩ giá trị tuyệt đối được đề cập tường minh theo nghĩa “số cụ thể”. Sau đĩ, tài liệu [34] đưa vào 2 định nghĩa sau : Định nghĩa 1. “Đối với số thực bất kỳ x, giá trị tuyệt đối của x (ký hiệu là x ) được xác định bởi: x   x nếu x 0 - x nếu x < 0 28  Định nghĩa 2. Với x là số thực bất kỳ thì max( , )x x x  . * Nhận xét : - Hai định nghĩa hình thức ở trên về bản chất xuất hiện như một hàm số (hàm cho bằng cơng thức) trên tập hợp số thực. Điểm khác biệt ở chỗ giá trị tuyệt đối của số thực x ở định nghĩa 2 được xác định duy nhất bởi một biểu thức, cịn định nghĩa 1 thì được xác định bởi 2 biểu thức. - Về mặt tốn học hai định nghĩa trên là tương đương. Thật vậy Dựa vào quan hệ thứ tự trên  : x y x z y z     (1) ( , ,x y z  ), ta cĩ : +Nếu x 0 thì ( ) 0 ( )x x x     (theo (1)) Suy ra 0 0x x x      Vậy x x  .Do đĩ max(-x,x)=x +Nếu x < 0 thì ( ) 0 ( )x x x     Suy ra 0 0x x x      Vậy x x  . Do đĩ max (-x, x)= -x +Như vậy max( , )x x x     -Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu ngầm ẩn theo nghĩa “hàm số”, các biến nhận giá trị trong  . Cơng thức tính x đã được xác định. Vấn đề cịn lại là hàm số này cĩ những tính chất gì? Các tính chất quan trọng về giá trị tuyệt đối đã được tài liệu [34] thừa nhận như sau: 0a , với mọi a  00  aa , với mọi a  baab . , với mọi a, b  b a b a  , với mọi a, b  baba  , với mọi a, b  x nếu x 0 -x nếu x < 0 29  baba  , với mọi a, b     n K K n K K aa 11 , với mọi a, b  Cho f: I     liên tục trên I, ( ) ( ) I I f t dt f t dt  2aa  , với mọi a  Như vậy từ tiếp cận ban đầu để đi đến hai định nghĩa ở trên, đã cho thấy một bước chuyển quan trọng từ việc xét giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể sang tập hợp các số hiện diện dưới dạng biến. Tương ứng với bước chuyển này là sự tồn tại hai nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối, nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số”. Tuy nhiên nghĩa “hàm số” chỉ được đề cập ngầm ẩn. Tiếp tục tài liệu [34] đưa vào định nghĩa modul của số phức: “Với số phức bất kỳ z = x + iy, trong đĩ x, y là số thực, giá trị tuyệt đối hoặc modul của z, ký hiệu là z được định nghĩa z = 22 yx  ” Định nghĩa trên đã cho thấy, sự tồn tại một hàm số:   +, z  z = 22 yx  . Ở đây người ta đã sử dụng ký hiệu giá trị tuyệt đối của số thực để chỉ modul của số phức. Điều này khơng phải ngẫu nhiên, vì nếu số phức z là thực, tức là cĩ dạng z = x + 0i thì ta cĩ: z = xxx  222 0 . Vậy trong trường hợp số thực thì khái niệm modul và giá trị tuyệt đối trùng nhau. Mặt khác, tài liệu [34] cũng đề cập đến giá trị tuyệt đối xác định trong một trường như sau: “Giá trị tuyệt đối xác định trên một trường là một hàm:    +, x  x sao cho thỏa mãn các tính chất: x ≥ 0; x = 0 0 x , với mọi x  yxyx  , với mọi x, y  yxyx ..  , với mọi x, y  ” 30  Trong định nghĩa trên nghĩa “hàm số” được đề cập tường minh. Đây là định nghĩa tổng quát của khái niệm giá trị tuyệt đối trong một trường mà giá trị tuyệt đối của một số thực, số phức là ví dụ. Kết luận Khái niệm giá trị tuyệt đối mà tài liệu [34] đã đề cập thuộc các giai đoạn từ thứ hai đến thứ tư trong sự tiển triển lịch sử của khái niệm này. Đặc biệt làm nổi bật hai nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối đã từng xuất hiện trong lịch sử là nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số” (ngầm ẩn và tường minh ). 2.2.2. Khái niệm giá trị tuyệt đối trong giáo trình đại số và số học, tập 2 Giáo trình [20] đưa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành số nguyên  : “Xét hàm số xác định như sau:  , a  a   a gọi là giá trị tuyệt đối của a” [20, tr.107] Như vậy, giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành số nguyên  được định nghĩa một cách tường minh bằng ngơn ngữ hàm số. Khi đĩ giá trị tuyệt đối được đề cập một cách tường minh theo nghĩa “hàm số”. Hàm số này cĩ các tính chất: a = 0 0 a , với mọi a  ; bababa  ; baba ..  . Mặt khác tập  các số hữu tỉ và tập  các số thực với phép cộng và nhân thơng thường là những vành giao hốn cĩ đơn vị. Do đĩ giáo trình [2] cũng thừa nhận sự tồn tại các định nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong các vành  và  . Tiếp theo, giáo trình định nghĩa vành sắp thứ tự: “Giả sử V là một vành sắp thứ tự. Đặt P = / 0x V x  , thế thì nếu gọi - P là tập hợp các phân tử đối của P, ta cĩ - P = / 0x V x  . Hiển nhiên P và – P cĩ các tính chất: 1. aP và bP  a + bP 2. a P và b P  a.bP 3. P  (-P) =  0 a nếu a 0 -a nếu a < 0 31  4. P  (-P) = V Đảo lại, nếu trong một vành giao hốn V ta cho một bộ phận P cĩ các tính chất 1, 2, 3, 4 thì ta được một vành sắp thứ tự, với quan hệ thứ tự  xác định bởi: ba  b a  P ” [20, tr.197] Định nghĩa vành sắp thứ tự được đưa vào nhằm mục đích làm cơ sở để định nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự V. “Trong một vành sắp thứ tự V, giá trị tuyệt đối a của aV được định nghĩa như sau: a = 0 nếu a = 0 ; nếu a ≠ 0 thì a là phần tử dương trong hai phần tử a và – a” [20, tr.198] Định nghĩa này chính là sự mở rộng của định nghĩa giá trị tuyết đối của một phần tử trong  (bởi vì  là vành sắp thứ tự), về thực chất giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự là một hàm số a  a , xác định trên V và nhận giá trị trong tập P. Từ định nghĩa, bằng cách xét các trường hợp aP, a = 0, và –aP . Người ta chứng minh các tính chất sau: babababa  ;.. . Tương tự ở đây người ta cũng đề cập đến giá trị tuyệt đối của một phần tử trong trường thứ tự. Việc đưa vào các định nghĩa giá trị tuyệt của một phần tử trong vành, trường thứ tự nhằm tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu định nghĩa và các tính chất hội tụ của dãy số hữu tỉ và dãy số thực. Kết luận Khái niệm giá trị tuyệt đối được giáo trình [20] đề cập thuộc giai đoạn thứ tư (phạm vi đại số hiện đại ) trong sự tiến triển lịch sử của khái niệm này. Hơn nữa giá trị tuyệt đối chỉ được hiểu duy nhất theo nghĩa “hàm số” (ngầm ẩn và tường minh). Đây cũng chính là điểm khác biệt so với tài liệu [34]. 2.2.3. Khái niệm giá trị tuyệt đối trong giáo trình giải tích hàm Giáo trình [2], đưa vào định nghĩa một mêtríc trên tập hợp X như sau : “Cho X là một tập hợp. Một mêtric trên X là một hàm d: X × X  thỏa mãn các tính chất sau (m1) d(x, y) 0 ; d(x, y)=0 x y  ; 32  (m2) d(x, y) = d(y, x) (m3) d(x, z )  d(x, y)+d(y, z) Với mọi x, y, z X Khơng gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với mêtríc d trên nĩ . Trường  là một khơng gian mêtric với mêtric d(x, y)= x y ” [2, tr.8] Nhận xét: - Từ đoạn trích trên cho thấy sự tồn tại một hàm d:     , được xác định bởi d(x, y)= x y là một mêtric thơng thường trên  và số d(x, y) gọi là khoảng cách thơng thường gữa hai điểm x và y (x, y ). Cụ thể là bằng cách dựa vào các tính chất sau của khái niệm giá trị tuyệt đối một số thực sẽ kiểm tra được ( ,d ) là một khơng gian mêtric. 0; 0a a b a b     ; a a  ; a b a c c b     . Điều này nĩi lên rằng định nghĩa mêtric trên một tập X bất kỳ xem như là sự tổng quát hĩa từ các tính chất về khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực . - Vì d(x, y) = x y nên d(x, 0) = x . Như vậy, cĩ thể xem như giá trị tuyệt đối của một số thực được định nghĩa thơng qua khái niệm khoảng cách như sau: d: × 0   , (x, 0) ( ,0)d x x Giáo trình [2] đưa vào định nghĩa chuẩn của một vectơ như sau : “Cho E là một  (= ;  ) khơng gian vectơ. Một chuẩn trên E là một hàm x x từ E vào  thỏa mãn các điều kiên sau với mọi x, y E , mọi  (n1) 0x  , 0 0x x   (n2) x x  (n3) x y x y   Nếu x x là một chuẩn trên E thì d(x, y)= x y là một mêtric trên E” [2, tr.18] * Nhận xét: - Khi  xem như là một khơng gian vectơ một chiều thì giá trị tuyệt đối là một chuẩn vì 2x x x  . Do đĩ chuẩn chính là sự mở rộng giá trị tuyệt đối của một số. 33  - Trong điều kiện (n2) của định nghĩa trên xuất hiện ký hiệu  cĩ 2 vai trị : + Nếu xét   thì ký hiệu  để chỉ giá trị tuyệt đối của một số thực + Nếu xét  thì ký hiệu  để chỉ modul của số phức, tức là 2 2z a b  với a bi   . Như vậy giá trị tuyệt của một số thực và modul của số phức tài lịêu [2] đã thừa nhận và xem như đã biết . Kết luận Giáo trình [2] đã đề cập đến các định nghĩa mêtric trên một tập X, chuẩn của một vectơ, bằng ngơn ngữ hàm số. ._.a khác 0”.Trong đĩ: +Cĩ 3/180 (1,66%) học sinh sử dụng chiến lược “Số”, 9/180 (5,00%) học sinh chỉ đưa ra câu trả lời nhưng khơng giải thích. Đặc biệt, cĩ 79/180 (43,89%) sử dụng chiến lược dấu “-”. - Cĩ 88/180 (48,89%) trả lời “(-a) cĩ thể là số hữu tỉ dương hoặc số hữu tỉ âm”. Trong đĩ: Cĩ 14/180 (7,78%) học sinh sử dụng chiến lược “số” và 68/180 (37,78%) chọn chiến lược “Biến” và cho kết quả đúng. Điều này cho thấy học sinh 100  lớp 7 đã quan tâm nhiều hơn đến vai trị của chữ so với học sinh lớp 6 (chỉ cĩ 20,83 %), cĩ 6/180 (3,33%) đưa ra câu trả lời, nhưng khơng giải thích. - Chỉ cĩ 1/180 (0,56%) học sinh trả lời “(-a) luơn luơn là số hữu tỉ dương”. Tĩm lại, cĩ 50,55% học sinh cho rằng “(-a) luơn luơn là số hữu tỉ âm với mọi a khác 0”. Trong đĩ cĩ 79/180 (43,89%) giải thích rằng do cĩ dấu “-”. Tỷ lệ này thấp hơn so với lớp 6 (cĩ 66,67%). Tuy nhiên điều này cũng chứng tỏ rằng dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể thật sự trở thành chướng ngại cho việc học tập số âm xét trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ. Như vậy, phần nào chúng tơi đã được kiểm chứng được giả thuyết H1. Bài 2: Tìm a (với a là số hữu tỉ). Giải thích cách làm của em. Bảng 4.5: Thống kê các câu trả lời bài 2 của học sinh Chiến lược quan sát được Kiểu câu trả lời Tổng TL1 TL2 TL3 S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-” ” S1a. Dựa vào cách tìm giá trị tuyệt đối của số cụ thể 46 0 0 46 S1b. Quan niệm (-a) là số hữu tỉ âm 87 0 0 87 S2: “Cơng thức” 0 0 7 7 S3: “Định nghĩa” 0 26 0 26 S4: “Tính chất” 0 9 0 9 Khơng giải thích 5 0 0 5 Tổng 138 35 7 180 * Nhận xét: - Cĩ 138/180 (76,67%) học sinh trả lời “ a a  với mọi số hữu tỉ a” .Trong đĩ: + Cĩ 46/180 (25,56%) học sinh sử dụng chiến lược S1a, tức là gán cho a một giá trị số cụ thể là số dương. Lời giải điển hình trong trường hợp này là: “ 3 3 2 2 a a     ” (ở đây học sinh cịn gán cho a các giá trị số dương khác). Điều này chứng tỏ học sinh áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho giá 101  trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ. Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này là do học sinh thường xuyên gặp phải các tình huống trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể ở lớp 6 và tiếp tục gặp lại ở lớp 7. + Cĩ 87/180 (48,33%) học sinh sử dụng chiến lược S1b. Các giải thích điển hình quan sát được là: “ Vì (-a) là số âm nên a a  ”; “ Vì giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ dương”; “ ( )a a a     ”. + Cĩ 5/180 (2,78%) học sinh đưa ra kết quả mà khơng giải thích - Chỉ cĩ 35/180 (19,44%) trả lời “ a a  nếu a 0 ; a a   nếu a < 0”. Trong đĩ: + Cĩ 26/180 (14,44%) học sinh sử dụng chiến lược S3. Điều này chứng tỏ rất ít học sinh quan tâm đến vai trị của chữ. + Cĩ 9/180 (05,00%) học sinh sử dụng chiến lược S4. Số liệu này đã chứng tỏ rằng tính chất “Hai số đối nhau thì cĩ giá trị tuyệt đối bằng nhau” giữ vai trị mờ nhạt. - Cĩ 7/180 (3,89%) học sinh chọn chiến lược S2, trả lời “ a a  ; a a   ”. Các học sinh này chỉ quan tâm đến số trường hợp xảy ra khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Tĩm lại, cĩ đến 76,67% học sinh phạm phải sai lầm khi cho rằng : a a  với mọi số hữu tỉ a khác 0. Tỉ lệ phần trăm học sinh phạm sai lầm cĩ giảm đi so với lớp 6 (88,69%). Cĩ 2 nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là: + Học sinh quan niệm (-a) là số hữu tỉ âm với mọi số hữu tỉ a khác 0. Thống kê cho thấy cĩ đến 87/180 (48,33%) học sinh giải thích theo hướng này. Đến đây cùng với kết quả thực nghiệm của bài tốn 1 đã cho phép kiểm chứng giả thuyết H1. Hơn nữa một vấn đề đáng quan tâm là số âm thật sự tạo nên chướng ngại cho việc học tập khái niệm giá trị tuyệt đối. + Áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho các số biểu thị bằng chữ. Thực nghiệm cho thấy cĩ 46/180 (25,56%) học sinh gán cho a một giá trị số cụ thể rồi đưa ra kết luận tổng quát. Như vậy, khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “Số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu theo nghĩa “hàm số”. 102  Vậy: Qui tắc R1 vẫn tồn tại ở học sinh lớp 7. Điều này cho thấy sai lầm tồn tại dai dẳng ở học sinh lớp7. Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm tương tự như ở lớp 6. Bài 3: Tìm x , biết 32 4 x   Bảng 4.6.Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh. Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “cơng thức” S1a: x = 11 4  37 20,55% S1b: x = 11 4  hoặc x = 5 4  92 51,11% S2: Chiến lược “dùng tính chất”. Kết quả là khơng tồn tại x 43 23,89% Khơng trả lời 8 4,45% Tổng 180 100% * Nhận xét: - Chỉ Cĩ 43/180 (23,89%) vận dụng tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối (sử dụng chiến lược S2) để giải đúng câu này. Điều này chứng tỏ tính chất của giá trị tuyệt đối giữ vai trị mờ nhạt. - Cĩ 129/180 (71,66%) sử dụng chiến lược S1, nghĩa là học sinh phạm phải sai lầm khi cho rằng: Tồn tại các giá trị của x thoả mãn đẳng thức ( )A x m (Với m là số cụ thể và m < 0). Điều đáng quan tâm ở đây là tỷ lệ học sinh phạm sai lầm cao hơn ở lớp 6 (chỉ cĩ 54,76%). Đặc biệt là đã cĩ 92/180 (51,11%) áp dụng quy tắc hành động sau: ( ) ( )A x m A x m    . Như vậy quy tắc R2a đã được kiểm chứng ở lĩp 7. 4.3.3. Các bài tốn dành cho học sinh lớp 8 Chúng tơi tiến hành thực nghiệm trên 108 học sinh (3lớp) ở trường Trung Học Cơ Sở Võ Việt Tân (Tiền Giang) Bài 1: a (với a ) cĩ tồn tại khơng? Vì sao? Chúng tơi sử dụng các ký hiệu sau đây để chỉ định các câu trả lời: TL1: Để chỉ câu trả lời: a khơng tồn tại với mọi a 103  TL2: Để chỉ câu trả lời: a tồn tại khi a 0 TL3: Để chỉ câu trả lời: a tồn tại khi a 0 , khơng tồn tại khi a > 0 Cách ký hiệu trên vẫn tiếp tục sử dụng cho lớp 10 Bảng 4.7. Thống kê các câu trả lời bài 1 của học sinh. Chiến lược quan sát được Kiểu câu trả lời Tổng TL1 TL2 TL3 S1: Chiến lược dấu “- “ 65 0 0 65 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a các giá trị số cụ thể S2a. Chỉ gán cho a một giá trị dương 0 0 0 0 S2b. Chỉ gán cho a một giá trị âm 0 0 0 0 S2c. Gán cho a các giá trị dương, âm 0 0 4 4 S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện của biến a S3a. Chỉ xét a 0 0 22 0 22 S3b. Xét a > 0 và a 0 0 0 17 17 Tổng 65 22 21 108 * Nhận xét: - Cĩ 22/108 (20,37%) sử dụng chiến lược S3a đưa ra câu trả lời “ a tồn tại khi a 0 ” - Chỉ cĩ 17/108 (15,74%) sử dụng S3b trả lời “ a tồn tại khi a 0 ; a khơng tồn tại khi a > 0”. Những học sinh này đã quan tâm đến việc xét điều kiện của a. - Cĩ đến 65/108 (60,19%) sử dụng chiến lược S1 cho rằng “ a khơng tồn tại với mọi a”. Các giải thích điển hình là: “Vì khơng cĩ căn bậc hai của số âm”; “Vì trong dấu căn bậc hai khơng thể cĩ dấu “-” ”; “Vì (-a) là số âm”. Điều này chứng tỏ tồn tại ở học sinh lớp 8 quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0. Như vậy cĩ thể nĩi dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể đã thật sự tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Đến đây giả thuyết H1 đã đựơc kiểm chứng đối với học sinh lớp 8. 104  Bài 2: Rút gọn biểu thức M= ( 3) 1 3 x x    (Với x và x 3  ) Bảng 4.8. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-”” S1a. Dựa vào số cụ thể. Kết quả là M = 0 11 10,19% S1b. Lý do – (x+3) là số âm. Kết quả là M = 0 62 57,40% S2: Chiến lược “Cơng thức” S2a. Kết quả là M = -2 6 5,56% S2b. Kết quả là M = 0 ;M = -2 3 2,78% S3: Chiến lược “dùng định nghĩa ” 18 16,67% S4:Chiến lược “dùng tính chất” 3 2,78 S5: Chiến lược khác S5a. Xét dấu của cả biểu thức chứa giá trị tuyệt đối 2 1,85% S5b. Chỉ xét x 0 , x < 0 khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2 1,85% Khơng trả lời 1 0,92% Tổng cộng 108 100% * Nhận xét: - Cĩ 73/108 (67,59%) sử dụng chiến lược chiến lược S1.Trong chiến lược S1 này vấn đề mà chúng tơi quan tâm là các giải thích khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cụ thể cĩ 11/108 (10,19%) học sinh đã áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang biểu thức chữ. Tỷ lệ này thấp hơn ở các lớp 6, 7, bởi vì đối tượng học sinh lớp 8 thường xuyên gặp phải các tình huống trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu thức chữ. Cĩ 62/108 (57,40%) bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giải thích – (x+3) là số âm. So sánh với kết quả thực nghiệm ở bài tốn 1 thì cĩ 60,19% học sinh quan niệm (-a) luơn là số âm. Với quan niệm này cĩ thể họ đã đưa vào giải thích cho cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở bài tốn 2. Như vậy, giả thuyết H1 đã được kiểm chứng đồng thời cho thấy số âm đã tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối. - Chỉ cĩ 9/108 (8,34%) học sinh sử dụng chiến lược S2. - Cĩ 21/108 (19,45%) học sinh sử dụng chiến lược S3 và S4. 105  Tĩm lại, giả thuyết H1 và qui tắc R1 đã được kiểm chứng ở học sinh lớp 8. Bài 3: Giải phương trình: 2 3 5x x   Bảng 4.9.Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “Cơng thức” S1a: Giải phương trình 2x-3 = x-5, tìm được x = -2 11 10,19% S1b: Giải 2 phương trình 2x-3 = x-5; 2x - 3= - (x-5). a) Kết luận phương trình cĩ hai nghiệm -2 và 8 3 . 68 62,96% b) Chưa tìm được hai giá trị của x 2 1,86% S2: Chiến lược “dùng tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối”. Kết luận phương trình vơ nghiệm 7 6,48% S3: Chiến lược “dùng định nghĩa”. S3a. Kết luận phương trình đã cho vơ nghiệm 16 14,81% S3b. Chưa đến kết quả 4 3,70% Tổng 108 100% * Nhận xét : - Chỉ cĩ 27/108 học sinh sử dụng các chiến lược S2 và S3, trong đĩ cĩ 23/108 (chiếm 21,29%) học sinh giải đúng câu này. -Cĩ đến 68/108 (62,96%) học sinh sử dụng chiến lược S1b. Như vậy qui tắc hành động sau đây vẫn tồn tại ở học sinh lớp 8. ( ) ( ) ( ) ( )A x B x A x B x    4.3.4. Các bài tốn dành cho học sinh lớp 10 Chúng tơi tiến hành thực nghiệm trên 118 học sinh (3 lớp ) ở trường Trung học phổ thơng Vĩnh Kim (Tiền Giang). 106  Bài 1: Bảng 4.10. Thống kê các câu trả lời bài 1 của học sinh Chiến lược quan sát được Kiểu câu trả lời Tổng TL1 TL2 TL3 S1: Chiến lược dấu “-” 69 0 0 69 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a các giá trị số cụ thể S2a. Chỉ gán cho a một giá trị dương 3 0 0 3 S2b. Chỉ gán cho a một giá trị âm 0 0 0 0 S2c. Gán cho a các giá trị dương và âm 0 0 12 12 S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện của biến a S3a. Chỉ xét a 0 0 19 0 19 S3b. Xét a > 0 và a 0 0 0 15 15 Tổng 72 19 27 118 * Nhận xét: - Cĩ 19/118 (16,11%) sử dụng chiến lược S3a trả lời “ a tồn tại khi a 0 ” - Chỉ cĩ 15/118 (12,71%) sử dụng S3b và 12/118 (10,17%) sử dụng S2c trả lời “ a tồn tại khi a 0 ; a khơng tồn tại khi a > 0”. - Cĩ đến 72/118 (61,01%) sử dụng chiến lược S1 và S2a cho rằng “ a khơng tồn tại với mọi a”. Đặc biệt cĩ 69/118 (58,47%) sử dụng chiến lược S1 với các giải thích điển hình đối với chiến lược S1 là: “Vì khơng thể lấy căn bậc hai của số âm”; “Vì trong dấu căn bậc hai khơng thể cĩ dấu “-” được”; “Vì (-a) là số thực âm”. Điều này chứng tỏ tồn tại ở học sinh lớp 10 quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0. Như vậy, cĩ thể nĩi dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể đã thật sự tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Đến đây giả thuyết H1 phần nào đã đựơc kiểm chứng đối với học sinh lớp 10. 107  Bài 2: Rút gọn biểu thức M= ( 3) 1 3 x x    (Với x và x 3  ) Bảng 4.11.Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1:Chiến lược “Bỏ dấu “-”” S1a. Dựa vào số cụ thể. Kết quả là M = 0 7 5,94% S1b. Vì –(x+3) là số âm. Kết quả là M = 0 67 56,78% S2: Chiến lược “Cơng thức” S2a. Kết quả là M = -2 19 16,10% S2b. Kết quả là M = 0 hoặc M = -2 16 13,56% S3:Chiến lược “dùng định nghĩa” 4 3,39% S4: Chiến lược “dùng tính chất” 0 0% S5: Chiến lược khác S5a. Xét dấu của cả biểu thức chứa giá trị tuyệt đối 3 2,54% S5b. Chỉ xét x 0 , x < 0 khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2 1,69% Tổng cộng 118 100% * Nhận xét: - Cĩ 74/118 (62,72%) sử dụng chiến lược chiến lược S1.Trong chiến lược S1 này vấn đề mà chúng tơi quan tâm là các giải thích khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cụ thể cĩ 7/118 (5,94%) học sinh đã áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối của số sang chữ. Cĩ 67/108 (56,78%) bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giải thích – (x+3) là số âm hoặc cho rằng: ( 3) ( ( 3)) 3x x x        . So sánh với kết quả thực nghiệm ở bài 1 cĩ 61,01% học sinh quan niệm (-a) là số âm. Cĩ thể với quan niệm này họ đưa vào giải thích khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở bài tốn 2. Như vậy, giả thuyết H1 đã được kiểm chứng đồng thời số âm đã tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối. - Cĩ 35/118 (29,66%) học sinh sử dụng chiến lược S2. Đặc biệt, cĩ 16/118 (13,56%) cho đúng kết quả rút gọn, nhưng họ chỉ quan tâm đến số trường hợp xảy ra khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, mà khơng quan tâm đến điều kiện tương ứng của biến. - Chỉ cĩ 4/118 (3,39%) học sinh sử dụng chiến lược S3 và khơng cĩ học sinh nào sử dụng chiến lược S4. 108  Tĩm lại, giả thuyết H1 và qui tắc R1 đã được kiểm chứng ở học sinh lớp 10. Bài 3: Giải phương trình: 2 3 5x x   Bảng 4.12. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “cơng thức” S1a: Giải phương trình 2x-3 = x-5, tìm được x = -2 1 0,85% S1b: Giải 2 phương trình 2x-3 = x-5; 2x-3 = -(x-5). a) Kết luận phương trình cĩ hai nghiệm -2 và 8 3 . 62 52,54 b) Tìm sai một giá trị của x, kết luận hai giá trị tìm được là nghiệm 3 2,54 S2: Chiến lược “dùng tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối”. Kết luận phương trình vơ nghiệm 10 8,47% S3: Chiến lược “dùng định nghĩa”. Kết luận phương trình vơ nghiệm 7 5,93% S4: Chiến lược “bình phương” S4a. Đưa đến phương trình hệ quả, kết luận phương trình vơ nghiệm 2 1,70% S4b. Đưa đến phương trình tương đương, kết hợp với điều kiện x 5 để loại nghiệm.Từ đĩ kết luận phương trình đã cho vơ nghiệm 5 4,24% S4c. Đưa đến phương trình tương đương 23 2 16 0x x   (1). a) Kết luận phương trình cĩ hai nghiệm -2 và 8 3 . 21 17,80% b) Giải sai phương trình (1). 6 5,08% Khơng trả lời 1 0,85% Tổng cộng 118 100% * Nhận xét : - Chỉ cĩ 24/118 (20,34%) học sinh sử dụng các chiến lược S2, S3, S4a, S4b. - Cĩ đến 65/118 (55,08%) học sinh sử dụng chiến lược S1b cho lời giải sai. Các học sinh này kết luận phương trình đã cho cĩ nghiệm, trong khi phương trình này vơ nghiệm. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm là học sinh đã sử dụng quy tắc hành 109  động sau ( ) ( ) ( ) ( )A x B x A x B x    , mà khơng quan tâm đến phạm vi hợp thức: B(x)0 Như vậy, quy tắc R2a đã được kiểm chứng đối với học sinh lớp 10. Sự tồn tại của quy tắc này đã chứng tỏ rằng khi giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối dạng ( ) ( )A x B x ”, với tình huống vế phải là số cụ thể (số dương) đã tạo nên chướng ngại cho việc giải phương trình trong tình huống vế phải là biểu thức chứa ẩn. - Cĩ 27/118 (22,88%) học sinh sử dụng chiến lược S4c, tức là quy tắc R2b đã được kiểm chứng. 2 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )]A x B x A x B x   .Phạm vi hợp thức B(x) 0 . Tĩm lại, Cĩ 55,08% đã sử dụng quy tắc hành động R2a (Đã tồn tại ở các lớp Trung học cơ sở) và 22,88% học sinh đã áp dụng quy tắc hành động R2b (Chỉ tồn tại ở lớp 10). Mặc dù chỉ cĩ 55,08% sử dụng R2a thấp hơn so với lớp 8 (cĩ 62,96%). Tuy nhiên lại nhường chỗ cho sai lầm khác là cĩ 22,88% sử dụng R2b. Như vậy, quy tắc hành động R2 được kiểm chứng ở học sinh lớp 10. Bảng 4.13. Thống kê tỉ lệ phần trăm các sai lầm của học sinh trung học cơ sở và lớp 10. Lớp R1 R2a ( ) ( ) ( ) ( )A x B x A x B x    R2b 2 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )]A x B x A x B x   6 88,69 % 43,45% 7 76,67 % 51,11% 8 67,59 % 62,96% 10 62,72 % 55,08% 22,88% * Nhận xét: Sai lầm khi cho rằng (-a) < 0 (Với mọi a 0 ) đã tồn tại dai dẳng ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10. Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm này là: sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với 3 nghĩa khác nhau: để chỉ phép trừ, số âm, số đối. Vấn đề này đã từng xuất hiện trong lịch sử của khái niệm số âm cũng như trong thể chế phổ thơng, cụ thể là ngay từ lớp 6. Từ đĩ dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập 110  hợp các số cụ thể đã trở thành chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Qui tắc hành động R1 vẫn tồn tại dai dẳng ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10. Qui tắc này sinh ra từ quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0 và học sinh hiểu khái niệm giá trị tuyệt đối mang nghĩa “số cụ thể” (nghĩa này đã từng xuất hiện trong lịch sử và thể chế phổ thơng). Như vậy, số âm và việc học tập giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối xét trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Tuy nhiên tỷ lệ phần trăm học sinh phạm sai lầm cĩ xu hướng giảm dần qua các khối lớp bậc học. Cĩ thể lý giải điều này, bởi vì học sinh các lớp 8, 10 thường xuyên tiếp cận với các kiểu nhiệm vụ mà trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu thức chứa biến. Chính điều này làm cho họ quan tâm hơn đến nghĩa “hàm số” của khái niệm giá trị tuyệt đối. Qui tắc hành động R2a vẫn tồn tại dai dẳng ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10. Qui tắc này cĩ nguồn gốc từ việc học sinh đã tiến hành giải nhiều bài tập dạng như “Tìm x, biết ( )A x m , với m 0 là số cụ thể ” ở các lĩp 6, 7 và tiếp tục gặp lại ở lớp 8. Chính điều này đã gây nên trở ngại khi chuyển sang phương trình dạng ( ) ( )A x B x (với B(x) là biểu thức chứa ẩn), họ khơng quan tâm đến điều kiện B(x) 0 . Đây là nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm mà cụ thể là qui tắc R2a vẫn tiếp tục xuất hiện ở các lớp 8, 10 với tỷ lệ khá cao. 111  KẾT LUẬN Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3, 4 cho phép chúng tơi tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra trước đĩ. Sau đây là những kết quả nghiên cứu chính đã đạt được: 1. Phân tích khoa học luận lịch sử của khái niệm số âm (với tư cách là đối tượng liên quan để nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối ), Chúng tơi đã chỉ ra tính phức tạp về nghĩa của dấu “-”. Cụ thể là nĩ cĩ ba nghĩa khác nhau như: dấu “-” để chỉ phép trừ được giới thiệu bởi Vidman (1489) và cũng là dấu để chỉ số âm và số đối (theo Cauchy (1821)). Đặc biệt với số đối cĩ các ký hiệu sau: Dấu “-” (theo Cauchy), “ a ” (theo Wilekens), “oppa” (theo Hanken). Tuy nhiên Cauchy lại sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Mặt khác qua phân tích thể chế, chúng tơi đã chỉ ra tính đa nghĩa của ký hiệu dấu “-”. Cụ thể dấu “-” mang ba nghĩa khác nhau như đã tồn tại trong lịch sử. Từ đĩ dẫn đến chướng ngại didactic gắn liền với khái niệm số âm: Dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Từ chướng ngại này đã biểu hiện dưới dạng sai lầm là tồn tại ở học sinh quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0. Điều này đã được chúng tơi kiểm chứng bằng thực nghiệm ở các lớp 6, 7, 8, 10. 2. Phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu khoa học luận và thể chế về khái niệm chữ cho phép chúng tơi chỉ ra tính đa nghĩa của ký hiệu chữ, chẳng hạn : chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số,…Từ đĩ khi nghiên cứu thể chế trong trường hợp cụ thể là đối tượng “giá trị tuyệt đối”, chúng tơi nhận thấy ký hiệu chữ trong dấu giá trị tuyệt đối cĩ các vai trị khác nhau, cụ thể là chữ được gán giá trị (người ta thay bằng một giá trị số), chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số. Mặt khác từ phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối đã cho thấy tồn tại hai nghĩa khác nhau của khái niệm này, nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số”. 112  Qua phân tích thể chế thì hai nghĩa này vẫn xuất hiện ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10. Thực nghiệm của chúng tơi đã chứng tỏ rằng nghĩa “số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu “hàm số” trong học tập của học sinh. Cụ thể là sai lầm tồn tại dai dẳng ở học sinh các lớp trunh học cơ sở và lớp 10, khi cho rằng a a  với mọi a. Hai lý do dẫn đến sai lẩm này là xuất phát từ quan niệm (-a) là số âm và học sinh áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể cho các chữ. Từ đây cho phép chúng tơi khẳng định số âm đã thật sự tạo nên chướng ngại cho việc học tập khái niệm giá trị tuyệt đối. Việc tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. 3. Đối với kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối dạng ( ) ( )A x B x ”, nghiên cứu của chúng tơi đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh trung học cơ sở và học sinh lớp 10 với các quy tắc hành động : R2a: ( ) ( ) ( ) ( )A x B x A x B x    . Phạm vi hợp thức B(x) 0 . R2b: 2 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )]A x B x A x B x   . Phạm vi hợp thức B(x) 0 . Quy tắc hành động R2a sinh ra từ việc học sinh đã tiến hành giải nhiều bài tốn với tình huống vế phải là số cụ thể (số dương). Quy tắc hành động R2b sinh ra từ quan niệm sau khi bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối thì luơn thu được phương trình tương đương với nĩ . Thực nghiệm đã chỉ ra các sai lầm tồn tại dai dẳng ở các học sinh trung học cơ sở và lớp 10. Điều này đúng như Perrin-Glorian đã nĩi: “Những sai lầm gây nên bởi chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và cĩ thể tái xuất hiện ngay cả khi chủ thể đã cĩ ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình” *Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn : Do hạn chế về thời gian nên chúng tơi chưa thực nghiệm để kiểm chứng sự tồn tại các giả thuyết H1, H2 đối với học sinh lớp 9. Mặt khác, luận văn cũng chưa đề cập đến các sai lầm của học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ: “Giải bất phương 113  trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối”. Nếu sau này cĩ điều kiện, Chúng tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề như đã nêu. Việc học sinh phạm phải sai lầm tồn tại dai dẳng khi học tập khái niệm “giá trị tuyệt đối”. Điều này tạo ra cho chúng tơi câu hỏi gợi ý. Cĩ thể xây dựng các tình huống xung đột nhận thức, cho phép làm mất ổn định và dẫn tới phá hủy kiến thức cũ, địa phương, nguồn gốc của sai lầm như đã đề cập hay khơng? Đây là câu hỏi mà chúng tơi cần nghiên cứu trong thời gian tới. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt 1. Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tĩm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà tốn học, NXB Trẻ. 2. Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXBGD. 3. Lê Thị Hồi Châu (1997), Nghiên cứu lý luận dạy học và khoa học luận về việc dạy học vectơ trong hai thể chế : lớp mười ở Việt Nam và lớp tương ứng ở Pháp. Luận án Tiến sĩ. 4. Lê Thị Hồi Châu, Lê văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic tốn, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 5. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2002), Tốn 6 Tập 1, NXBGD 6. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2002), SGV Tốn 6 Tập 1, NXBGD 7. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2003), Tốn 7 Tập 1, NXBGD 8. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2003), SGV Tốn 7 Tập 1, NXBGD 9. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2004), Tốn 8 Tập 2, NXBGD 10. Phan Đức Chính,Tơn Thân (2005), SGV Tốn 8 Tập 2, NXBGD 11. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2005), Tốn 9 Tập 1, NXBGD 12. Phan Đức Chính, Tơn Thân (2005), SGV Tốn 9 Tập1, NXBGD 13. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), Giáo trình lịch sử tốn, NXBĐHSP 14. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), Đại số 10, BKHXH, NXBGD 15. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), Bài tập Đại số 10, BKHXH, NXBGD 16. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), SGV Đại số 10, BKHXH, NXBGD 17. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2008), Giải tích 12, BKHXH, NXBGD 18. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2008), SGV Giải tích 12, BKHXH, NXBGD 19. Phan Thị Hằng (2002), Vai trị và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số học ở lớp 6 chương trình cải cách Giáo dục trường hợp Phép chia Euclide, Luận văn thạc sĩ giáo dục học. 20. Ngơ Thúc Lanh (1986), Đại số và số học Tập 2, NXBGD. 21. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. 22. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học 1, NXBGD. 23. Hồng Quý, Nguyễn văn Ban, Hồng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơngTốn học 2, NXBGD. 24. Tơn Thân (2003), Bài tập Tốn 6 Tập 1, NXBGD. 25. Tơn Thân (2003), Bài tập Tốn 7 Tập 1, NXBGD. 26. Tơn Thân (2004), Bài tập Tốn 8 Tập 2, NXBGD. 27. Tơn Thân (2005), Bài tập Tốn 9 Tập 1, NXBGD. 28. Lê văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 29. Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm của học sinh nhìn từ gĩc độ lý thuyết về học tập”, nghiên cứu Giáo dục số 137. Tiếng pháp 30. Boýe (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs, pp.127-141 31. Cauchy A (1821), Cours d’analyse de l’école royale Polytechniques, Paris 32. Duroux (1983), La valeur absolue difficultés majeures pour une notion mineure, petit x numéro 3, pp. 43-67. 33. Schubring G (1986), Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs, petit x numéro 12, pp. 5-32. 34. PHỤ LỤC Phụ lục 1. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 6 Các em thân mến! Phiếu này gồm 3 bài tốn. Các em cĩ 20 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới phần bài làm.Tuy nhiên đối với Bài 1 các em đánh chéo vào ơ thích hợp và giải thích. Lời giải khơng nhằm để đánh giá các em mà để gĩp phần cải thiện việc dạy và học Tốn. Xin cám ơn sự tham gia của các em. Bài 1: “Cho số nguyên a khác 0. Sau đây là phát biểu của 3 bạn học sinh lớp 6  Bạn Nam nĩi: “ (-a) luơn luơn là số nguyên âm ”  Bạn An nĩi : “ (-a) luơn luơn là số nguyên dương ”  Bạn Bình nĩi : “ (-a) cĩ thể là số nguyên dương hoặc số nguyên âm” Hãy cho biết ý kiến của em về phát biểu của 3 bạn trên bằng cách đánh chéo vào ơ thích hợp trong bảng sau đây và giải thích . Đúng sai Giải thích vì sao em đánh giá như vậy Phát biểu của bạn Nam Phát biểu của bạn An Phát biểu của bạn Bình Bài 2:Tìm : a (với a là số nguyên ) .Giải thích cách làm của em. Bài 3: Tìm x , biết rằng : 2010x   BÀI LÀM Bài 2: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Bài 3: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Phụ lục 2. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 7 Các em thân mến! Phiếu này gồm 3 bài tốn các em cĩ 20 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới phần bài làm. Tuy nhiên đối với bài 1 các em đánh chéo vào ơ thích hợp và giải thích. Lời giải khơng nhằm để đánh giá các em mà để gĩp phần cải thiện việc dạy và học Tốn. Xin cám ơn sự tham gia của các em. Bài 1: “Cho số hữu tỉ a khác 0 . Sau đây là phát biểu của 3 bạn học sinh lớp 7  Bạn Nam nĩi: “ (-a) luơn luơn là số hữu tỉ âm ”  Bạn An nĩi : “ (-a) luơn luơn là số hữu tỉ dương ”  Bạn Bình nĩi : “ (-a) cĩ thể là số hữu tỉ dương hoặc số hữu tỉ âm” Hãy cho biết ý kiến của em về phát biểu của 3 bạn trên bằng cách đánh chéo vào ơ thích hợp trong bảng sau đây và giải thích . Đúng sai Giải thích vì sao em đánh giá như vậy Phát biểu của bạn Nam Phát biểu của bạn An Phát biểu của bạn Bình Bài 2:Tìm : a (với a là số hữu tỉ ) .Giải thích cách làm của em. Bài 3: Tìm x ,biết rằng : 32 4 x   BÀI LÀM Bài 2: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Bài 3: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Phụ lục 3. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 8 và lớp 10. Các em thân mến! Phiếu này gồm 3 bài tốn. Các em cĩ 30 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới phần bài làm. Lời giải khơng nhằm để đánh giá các em mà để gĩp phần cải thiện việc dạy và học Tốn. Xin cám ơn sự tham gia của các em. Bài 1: a ( với a ) cĩ tồn tại khơng ? Vì sao ? Bài 2: Cho biểu thức M= ( 3) 1 3 x x    (Với x và x 3  ) Hãy rút gọn biểu thức trên (cần giải thích rõ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối) Bài 3: Giải phương trình sau: 2 3 5x x   BÀI LÀM Bài 1: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Bài 2: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Bài 3: _____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ._.