Khái niệm diện tích trong dạy học môn toán học ở trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Đức Thuận KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Đức Thuận KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Một trong những món quà tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng ta là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn. Tôi đã trải qua một giai đoạn khó khăn, rất khó khăn. Didactic Toán là một ngành học khó, đòi hỏi rất cao ở người học, người nghiên cứu... Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tôi chưa đưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được nhiều kiến thức quý giá và cần thiết. Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Dẫu bộn bề công việc, Cô vẫn dành nhiều thời gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên về mặt khoa học. Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ bảo, động viên, chia sẻ. Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lớp chúng tôi về didactic toán. Tôi muốn cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã dành thời gian dịch tài liệu, luận văn cho chúng tôi. Tôi muốn cảm ơn những người bạn cùng lớp cao học về sự hợp tác, động viên, giúp đỡ trong toàn khóa học. Tôi muốn cảm ơn những người bạn, những đồng nghiệp đã nhiệt tình giới thiệu, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi triển khai thực nghiệm. Sau cùng, tôi muốn đặc biệt cảm ơn các thành viên trong gia đình, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Nhờ có sự chia sẻ của Ban Giám hiệu Trường, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Khoa Giáo dục Tiểu học, tôi đã có những điều kiện thuận lợi trong việc học, hoàn thành luận văn. Trần Đức Thuận MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 Chương 1. DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC ................... 4 1. Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích......................................... 5 1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử .................................................................................................... 5 1.2. Khái niệm diện tích ................................................................................ 8 2. Từ khoa học luận đến didactic ......................................................................10 2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”..................................10 2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích ...................................................10 2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích.........................................11 2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích .................................................13 Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH .........................................................................................15 1. Diện tích trong chương trình toán bậc phổ thông ..........................................15 1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học ....................................................16 1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở.........................................16 1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thông .................................18 2. Diện tích trong các sách giáo khoa toán tiểu học...........................................18 2.1. Về biểu tượng và tính chất của diện tích ................................................18 2.2. Về đơn vị đo diện tích ...........................................................................19 2.3. Về các công thức tính diện tích..............................................................19 3. Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8..........................................................21 3.1. Về định nghĩa, tính chất của diện tích ....................................................21 3.2. Về các công thức tính diện tích..............................................................23 3.3. Về các tổ chức toán học.........................................................................25 4. Kết luận........................................................................................................32 Chương 3. THỰC NGHIỆM..................................................................................34 1. Thực nghiệm đối với giáo viên .....................................................................34 1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi .............................................................................35 1.2. Phân tích a-posteriori.............................................................................39 1.3. Kết luận.................................................................................................40 2. Thực nghiệm đối với học sinh ......................................................................41 2.1. Thực nghiệm thứ nhất............................................................................41 2.2. Thực nghiệm thứ hai..............................................................................45 3. Kết luận phần thực nghiệm...........................................................................51 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ......................................52 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC 1 MỞ ĐẦU Ø Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu Ø Khung lý thuyết tham chiếu Ø Mục đích nghiên cứu Ø Phương pháp nghiên cứu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc sống hàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý... Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu học, và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Việc dạy học diện tích được chia thành nhiều giai đoạn. Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là những “yếu tố, kiến thức chuẩn bị” [1, tr. 8]. Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được nghiên cứu đối tượng “diện tích”. Vì thế, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy - học khái niệm diện tích ở trung học cơ sở tại Việt Nam. Điều này không có nghĩa chúng tôi sẽ hoàn toàn không quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học. Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: – Khái niệm diện tích được hình thành như thế nào? – Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào? – Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích? – Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào (theo quan điểm nào)? – Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh? 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học. Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thê ̉ chê ́”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”. Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nghiên cứu về mối quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “diện tích” xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì 2 trong thể chế. Nói cách khác, tùy theo thể chế được lựa chọn là thể chế toán học hay thể chế dạy - học toán ở Việt Nam, chúng tôi có thể trả lời được các câu hỏi: “khái niệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”. Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác với O ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) và bị ảnh hưởng, chi phối bởi quan hệ thể chế. Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích” cho phép chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọc sách giáo khoa... Từ đó, chúng tôi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh?”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie. Praxéologie là một khái niệm do Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, t, q, Q], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, t là kỹ thuật cho phép giải quyết T, q là công nghệ giải thích cho kỹ thuật t, Q là lý thuyết giải thích cho công nghệ q. 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1. Khái niệm diện tích có những đặc trưng khoa học luận nào? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm diện tích xuất hiện và tác động? Những đối tượng, khái niệm toán học nào có liên quan, góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này? Q2. Mối quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích? Khái niệm diện tích (một hình phẳng) được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hiện hành? Nó mang những đặc trưng nào? Đặc trưng nào chiếm ưu thế? Các kiểu nhiệm vụ nào được ưu tiên? Các kỹ thuật liên quan nào được giảng dạy, các kỹ thuật nào được ưu tiên? Các phát biểu công nghệ lý giải những kỹ thuật đó? 3 Q3. Những ràng buộc của thể chế dạy học ở Việt Nam có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh? 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3. Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về khái niệm diện tích. Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu gốc mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận án tiến sĩ của Baltar (1996). Để rõ hơn về cách tiếp cận hình học, chúng tôi có tham khảo tác phẩm “Cơ bản”(Euclide), “Cơ sở hình học” (Hilbert). Chúng tôi điểm lại một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ với khái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm... Kết quả thu được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”. Để trả lời câu hỏi Q2, Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, và đặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật, công nghệ gắn với đối tượng diện tích, trả lời được câu hỏi Q2. Chúng tôi so sánh với tổ chức toán học tham chiếu để đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng trong sách giáo khoa. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cũng cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q3, đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong Chương 2: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích”. Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với giáo viên qua các phiếu thăm dò và thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu bài tập. Đây cũng là nội dung của Chương 3: “Thực nghiệm”. 4 Chương 1 DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC Ø Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử Ø Khái niệm diện tích Ø Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích Ø Các quan niệm về khái niệm diện tích Ø Những tổ chức toán học tham chiếu Ø Vai trò của công thức tính Để trả lời cho câu hỏi Q1, chúng tôi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích. Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức, người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri thức đó. Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm diện tích - đối tượng tri thức được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này. May thay, chúng tôi đã tìm thấy những kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các công trình của một số nhà didactic toán. Đặc biệt, ba tác giả sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm này: – Perrin (1992) nghiên cứu về “vấn đề chuyển đổi didactic của khái niệm diện tích trong mặt phẳng”; – Baltar (1996), trong luận án mang tên “Dạy và học khái niệm diện tích trong mặt phẳng: một nghiên cứu về sự lĩnh hội mối quan hệ giữa độ dài và diện tích ở trường phổ thông”, đã làm rõ tiến triển của khái niệm diện tích trong lịch sử, các đặc trưng, các tình huống nảy sinh khái niệm diện tích. Chính trên cơ sở nghiên cứu này mà tác giả đã thiết kế một đồ án dạy học với sự hỗ trợ của Cabri; – Valentina (2005) nghiên cứu vai trò của “các công thức tính diện tích hình phẳng: cầu nối giữa hình học và đại số”. Tham khảo những công trình trên, cùng với việc nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide, “Cơ sở hình học” của D. Hilbert, chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu hỏi Q1. Chính trên cơ sở hiểu rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích, chúng tôi sẽ xác định được những tổ chức toán học liên quan đến nó. Các tổ chức toán 5 học ấy sẽ là cơ sở tham chiếu cho phần phân tích quan hệ thể chế được thực hiện ở chương sau. Hơn thế, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận ban đầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học. Cụ thể, đó là sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trò của các công thức tính. Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu được thực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn. 1. MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH 1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu của Baltar (1996). Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính xác từ thế kỷ XIX. 1.1.1. Bài toán đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cổ đại Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích (đo đạc ruộng đất), so sánh diện tích và cầu phương một hình. – Bài toán tính diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính thuế sau mỗi vụ mùa. Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đều tìm được những công thức riêng để tính chính xác hoặc xấp xỉ diện tích của một số hình thường gặp: tam giác, các loại tứ giác, hình tròn... Những công thức này giúp họ giải quyết được bài toán đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình. Phân tích thành tựu toán học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có một bước chuyển từ hình sang số đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16). Cần phải lưu ý rằng diện tích còn được người xưa sử dụng như một công cụ để giải nhiều phương trình bậc hai. Trong xu hướng sử dụng này, một số dương được gắn với một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích. Nói cách khác, ở đây, diện tích cũng được xem xét theo quan điểm số. – Bài toán so sánh diện tích cũng đã xuất hiện từ thời cổ đại. Đặc biệt, như Baltar đã chỉ ra, trong toán học của người Hy Lạp, “bài toán diện tích được đặt trong phạm vi hình và không có bước chuyển sang số”, hay nói cách khác là họ đã có một cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16). Để làm rõ thêm điều này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide và tìm thấy trong quyển I những tiên đề, mệnh đề được ông đưa ra làm cơ sở cho việc so sánh diện tích của hai hình: 6 · Tiên đề 1: Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau. · Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. · Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. · Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau. · Tiên đề 5. Toàn thể lớn hơn một phần. · Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập I nói về các trường hợp đẳng diện của hình bình hành và hình tam giác (hai hình không bằng nhau nhưng có cùng diện tích). Chẳng hạn : “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng cặp đường thẳng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38). – Bài toán thứ ba là bài toán cầu phương (dựng hình vuông có cùng diện tích với một hình cho trước). Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù hợp, Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vuông đẳng diện (có cùng diện tích) với một đa giác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II). Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương một đa giác cho trước với thước thẳng và com-pa. Bài toán cầu phương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình tròn, với công cụ là com-pa, chưa được giải quyết triệt để. Lưu ý rằng cho đến tận thế kỷ thứ III trước công nguyên, khái niệm “diện tích” vẫn chưa được định nghĩa dù ba bài toán trên đã xuất hiện từ thuở sơ khai của loài người, và dù tác phẩm “Cơ bản” của Euclide được viết với ý đồ xây dựng hình học thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề. Điều cần nói ở đây là Euclide đã đưa ra một số tiên đề cho phép giải quyết nhiều bài toán về diện tích theo quan điểm hình học và “diện tích chưa được biểu thị bằng con số” [14, tr. 6]. Tuy nhiên, như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc biệt là diện tích và các tính chất của diện tích, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số học và đại số dưới dạng hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỷ lệ thức...). 1.1.2. Bài toán cầu phương ở thế kỷ XVII Cho đến tận thế kỷ XVI, khái niệm diện tích vẫn chưa được định nghĩa. Thời kỳ này, với sự phát triển của cơ học, thiên văn học, người ta đặc biệt quan tâm đến diện tích của các parabol, elip... Nổi bật trong giai đoạn này là việc Cavalieri đưa ra phương pháp Indivisible (không thể phân chia) để giải quyết bài toán so sánh hay tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình. Bằng cách tìm tỉ số diện tích của hình với một hình đã biết diện tích, phương pháp Indivisible cho phép tính diện tích hình. Cavalieri xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn thẳng (các indivisible) và tỉ số diện tích hai hình tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible. Tuy nhiên, phương pháp 7 này gặp phải những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục và gây ra nhiều cuộc tranh luận. Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát triển của phép tính vi - tích phân. 1.1.3. Bài toán xác định hàm độ đo từ cuối thế kỷ XIX Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Phép tính tích phân trở thành một công cụ hữu hiệu để giải bài toán tính diện tích. Cũng trong thời kỳ này, bài toán cầu phương hình tròn, bài toán khó có từ thời Hy Lạp cổ đại, được giải quyết. Năm 1882, Lindemann chứng minh được p là số siêu việt, nghĩa là không thể cầu phương hình tròn bằng thước và com-pa. Một sự kiện lớn xảy ra trong thời kỳ này là một định nghĩa toán học cho khái niệm diện tích đã được xây dựng. Hilbert quan tâm đến việc tiên đề hóa hình học, xây dựng nó thành một khoa học mà trong đó mọi khái niệm, không loại trừ diện tích, đều được định nghĩa từ một số khái niệm ban đầu (gọi là khái niệm cơ bản) và những khái niệm đã được định nghĩa ở trước. Nhiều nhà toán học khác, trong đó có Lesbegue, lại quan tâm đến bài toán “xác định một hàm độ đo m từ tập hợp các hình phẳng vào +¡ (có thể bổ sung giá trị vô hạn ¥ tùy theo các hình có bị giới hạn bởi các biên hay không), thỏa mãn tính chất cộng tính và bất biến qua phép dời hình” (Perrin, tr. 19). Diện tích sẽ được định nghĩa sau khi giải quyết được bài toán trên, hay cụ thể hơn là bài toán xác định một hàm độ đo m thỏa các tính chất: · Nếu S1 và S2 rời nhau, thì 1 2 1 2( ) ( ) ( )S S S Sm m mÈ = + ; · ( ) 0Sm ³ với mọi S ; · Với mọi phép đẳng cự g, và với mọi mặt S, ta có: ( ( )) ( )g S Sm m= . Tóm lại, nghiên cứu về lịch sử cho thấy khái niệm diện tích đã trải qua nhiều thế kỷ tiến triển và gắn liền với các bài toán: tính diện tích, so sánh diện tích, cầu phương một hình... Việc giải quyết bài toán cầu phương ở thời cổ đại được thực hiện bằng công cụ hình học. Trong khi đó, đối với các bài toán tính diện tích, so sánh diện tích, người ta lại thường chuyển sang phạm vi số. Thế nhưng, thực ra thì ngay cả đối với nhiều bài toán thuộc dạng so sánh, tìm tỉ số diện tích, nhiều khi không nhất thiết phải chuyển sang phạm vi số, nghĩa là vẫn có thể giải quyết chúng trong phạm vi hình học. Những tiên đề, mệnh đề tìm thấy trong bộ Cơ bản của Euclide cho phép thực hiện điều này. Ở những tiên đề đó diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học. Lý thuyết độ đo mang lại một định nghĩa chính xác cho khái niệm diện tích. Rồi công cụ tích phân cho phép giải quyết các bài toán về diện tích một cách hiệu quả, đặc 8 biệt đối với những hình không phải là đa giác. Đến lúc này, dường như quan điểm số lấn át quan điểm hình trong việc giải các bài toán về diện tích. 1.2. Khái niệm diện tích Trong phần này, trước hết chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa diện tích của một mặt đo được tùy ý, sau đó nêu những cách xây dựng khái niệm diện tích hình đa giác, loại hình đặc biệt mà ở chương sau sẽ được xem xét với tư cách là đối tượng dạy học. Các định nghĩa dưới đây được chúng tôi trích từ công trình của Perrin (1992) và Baltar (1996). 1.2.1. Định nghĩa diện tích một mặt đo được S tùy ý Để xây dựng khái niệm diện tích theo lý thuyết độ đo, người ta cần phải xác định sự tồn tại của hàm độ đo thỏa các tính chất nêu ở trên, nói cách khác là cần chỉ ra cách tìm giá trị số tương ứng với mỗi mặt S. Cách tiếp cận giải tích dưới đây cho phép định nghĩa diện tích của một hình phẳng bất kỳ, nhưng đòi hỏi phải sử dụng đến giới hạn. · Chọn một hình vuông đơn vị C ( ( ) 1Cm = ). · Chia nhỏ lưới các ô vuông C bằng những đường thẳng song song với các cạnh, chẳng hạn, chia mỗi cạnh hình vuông C theo lũy thừa của 10: gọi Ci là hình vuông thu được khi chia mỗi cạnh hình vuông C thành 10i phần bằng nhau. · Gọi ni là số hình vuông Ci nằm hoàn toàn trong S, Ni là số hình vuông Ci có ít nhất một điểm chung với S. · Chứng minh được 0 100 i i i N n- ® khi i ® ¥ · Giới hạn chung của 100 i i N và 100 i i n gọi là diện tích của S. Người ta cũng đã chứng minh được: nếu thay hình vuông C bởi C’ có cạnh gấp k lần cạnh của C thì diện tích tính theo C’ bằng diện tích tính theo C chia cho k2; nếu thực hiện một phép vị tự tỉ số k cho mặt thì diện tích của mặt qua phép vị tự gấp k2 lần diện tích mặt ban đầu. 1.2.2. Định nghĩa diện tích đa giác Đối với trường hợp đa giác, việc định nghĩa diện tích không cần thiết phải sử dụng giới hạn. Ø Định nghĩa của Lebesgue Theo Lebesgue, diện tích của đa giác A1A2...An là giá trị 1 2 1 2 1 1 1 ( dist( , ) ... dist( , ) 2 n n A A O A A A A O A A± ´ ± ± ´ 9 trong đó O là một điểm bất kỳ được chọn trước và trước AiAi+1 là dấu + nếu O và đa giác nằm cùng nửa nằm mặt bờ là đường thẳng AiAi+1 và mang dấu – trong trường hợp ngược lại. Điểm mấu chốt ở đây là chứng minh giá trị trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O. Diện tích định nghĩa trong hợp này thỏa mãn các tính chất của hàm độ đo. Tính bất biến của diện tích qua phép dời hình được suy ra từ tính bất biến của độ dài đoạn thẳng qua phép dời hình. Ø Định nghĩa của Hadamard Trong “Les leçons de géométrie”, Hadamard (1902) có cách xây dựng tương tự trên, nhưng xuất phát từ trường hợp tam giác: diện tích tam giác ABC không phụ thuộc vào cách chọn cạnh đáy và cũng không phụ thuộc vào việc chọn điểm O, nó bằng: ± diện tích ABO ± diện tích ACO ± diện tích BCO (mang dấu + nếu O nằm cùng phía với tam giác so với cạnh đáy được xét và dấu – trong trường hợp ngược lại). Từ trường hợp tam giác, Hadamard mở rộng cho trường hợp đa giác. Ø Định nghĩa của Hilbert Lý thuyết về diện tích của Hilbert “cho phép xây dựng khái niệm diện tích cho các đa giác đơn giản, không cần chuyển qua số” (Baltar, tr. 29). Trước hết, Hilbert đưa ra định nghĩa về hai đa giác đẳng hợp, đẳng diện. · Hai đa giác được gọi là đẳng hợp nếu chúng có thể phân hoạch thành hữu hạn các tam giác bằng nhau từng đôi. · Hai đa giác được gọi là đẳng diện nếu có thể thêm vào các đa giác khác đẳng hợp sao cho hai đa giác thu được là đẳng hợp. Sau đó, ông chứng minh các mệnh đề về sự đẳng hợp, đẳng diện của các hình bình hành, tam giác. Đây là những mệnh đề làm cơ sở cho việc so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học. Sử dụng những kết quả quan trọng thu được trước đấy, Hilbert định nghĩa: “Một nửa tích của đáy nhân với chiều cao của tam giác D là độ đo diện tích của tam giác D, ký hiệu bởi F(D)”. Độ đo diện tích F(P) của một đa giác được định nghĩa bằng tổng các độ đo diện tích của các tam giác thu được từ phép phân hoạch đa giác đã cho thành hữu hạn tam giác. O A1 A2 A3 A4 A5 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 5 1 5 1 1 [ . ( , ) . ( , ) 2 . ( , ) . ( , ) . ( , )] A A d O A A A A d O A A A A d O A A A A d O A A A A d O A A + + + - 10 Lưu ý là trước đấy Hilbert đã xây dựng đại số các đoạn thẳng, cho phép xác định đoạn thẳng bằng tích của hai đoạn thẳng khác. Như vậy, với cách xây dựng của Hilbert, diện tích một đa giác có thể hiểu như một bất biến hình học đặc trưng cho đa giác ấy. 2. TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC 2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích” Trong các công trình của Perrin (1992), Baltar (1996), chúng tôi tìm thấy cách tiếp cận khái niệm diện tích theo lớp tương đương và diện tích mang nghĩa đại lượng, đặc trưng cho một lớp các hình và không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo diện tích. “Nếu chọn một mặt đơn vị A và xác định được ánh xạ mA tương ứng, ta có thể xây dựng một quan hệ tương đương rA như sau: SrAS’ nếu mA(S) = mA(S’) Các lớp tương đương này không phụ thuộc vào việc chọn A. Chúng ta gọi diện tích a của A là lớp tương đương của A theo quan hệ tương đương rA và định nghĩa độ đo của diện tích a là độ đo của các mặt của a. Khi đó, chúng ta có biểu đồ giao hoán: A AmX S a m +¾¾®¡ Z] với mọi B thuộc S thì: ( )X B b= , ( ) ( )A Am Bb m= ” Cách tiếp cận theo lớp tương đương vừa nêu có nhiều khả năng xuất hiện trong dạy - học khái niệm diện tích, đặc biệt là khi thiết lập mối quan hệ giữa hình và số. Mối quan hệ hình - số này có thể được thiết lập trực tiếp hoặc qua một hình trung gian có cùng diện tích. 2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích Theo Baltar, trong biểu đồ giao hoán của Perrin (đề cập ở mục 2.1), cần phân biệt diện tích ở 3 cực sau đây: – Cực hình học với các mặt; – Cực “đại lượng”; – Cực số với các độ đo. Tuy nhiên, khi “chọn một đơn vị và đồng nhất diện tích với độ đo”, chúng ta sẽ còn hai cực: “hình học và số”. Dựa theo hai cực hình - số này, chúng ta có các quan niệm về diện tích như sau: – Quan niệm hình học: quan niệm này gắn diện tích với kích cỡ của mặt, tiếp cận theo nghĩa “phần mặt chiếm đóng” hoặc dựa vào tri giác. – Quan niệm số (của Douady và Perrin-Glorian): diện tích là số, phương diện hàm vắng mặt. (Tham khảo Baltar, tr. 49, 52) 11 2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích Điều tra khoa học luận đã chỉ ra cho chúng tôi thấy có ba kiểu bài toán gắn liền với lịch sử tiến triển của khái niệm diện tích: tính diện tích, so sánh diện tích và cầu phương một hình. Nếu như kiểu bài toán thứ ba được người xưa giải quyết trong phạm vi hình học thì với bài toán thứ hai, người ta lại có thể tiếp cận từ một trong hai quan điểm hình hay số, hoặc kết hợp cả hai quan điểm đó. Ở đây thuật ngữ quan điểm số được hiểu theo nghĩa nó đặt tương ứng diện tích với một số, còn quan điểm hình thì dựa trên những khái niệm như đẳng hợp, đẳng diện để xem xét diện diện tích một hình. Những bài toán này chắc chắn sẽ là một phần không thể thiếu trong dạy - học “diện tích”. Việc xác định tổ chức toán học tham chiếu gắn với những bài toán trên sẽ cho chúng tôi một cơ sở để phân tích, đối chiếu, đánh giá các tổ chức toán học cần xây dựng khi phân tích chương trình, sách giáo khoa. Trong nhiều bài toán so sánh diện tích người ta có đề cập đến vấn đề tìm tỉ số diện tích của hai hình. Nếu để trả lời câu hỏi so sánh ta chỉ cần cho biết diện tích hình này lớn hơn hay bé hơn diện tích hình kia, thì bài toán tìm tỉ số diện tích đòi hỏi phải cho một kết quả cụ thể hơn. Cũng vì thế mà kỹ thuật tìm câu trả lời cho bài toán thứ hai này sẽ mang những đặc trưng khác so với lời giải bài toán so sánh. Vì lẽ đó, chúng tôi sẽ tách riêng bài toán tìm tỉ số diện tích ra khỏi bài toán so sánh. Như vậy, chúng tôi sẽ nói đến bốn bài toán: tính, so sánh, tìm tỉ số diện tích và cầu phương một hình. Trong cách tiếp cận của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi gọi đó là bốn kiểu nhiệm vụ. Từ việc nghiên cứu lịch sử, ta có thể chỉ ra những tổ chức toán học (OM) liên quan đến bốn kiểu nhiệm vụ này. Ø Tổ chức toán học OM1 gắn với kiểu nhiệm vụ tính diện tích một hình (Ttính). Kỹ thuật giải có thể là: – Sử dụng công thức đại số (tĐS). Kỹ thuật này áp dụng hiệu quả trong trường hợp có thể phân tích hình thành các hình có công thứ._.c tính diện tích như đa giác, hình tròn, hình vành khăn... Ngày nay, công cụ tích phân cho phép chứng minh các công thức tính đại số ấy. – Sử dụng công cụ tích phân (ttp) để tính diện tích của các hình khả tích. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Công thức tính diện tích hình chữ nhật, các công thức, tính chất của tích phân, ... ttp Các công thức tích phân Giới hạn, định nghĩa và tính chất tích phân, ... Bảng 1.1. Tổ chức toán học OM1 gắn với kiểu nhiệm vụ Ttính 12 Ø Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ so sánh diện tích (Tss). Kỹ thuật giải có thể là: – Kỹ thuật đại số tĐS: tính diện tích mỗi hình, đưa về so sánh số hoặc biểu thức kết quả. Để tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích phân. – Kỹ thuật hình học tHH: tách - ghép, chồng hình để so sánh trong phạm vi hình học. Các mệnh đề như “Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau”, “Toàn thể lớn hơn một phần”, ... được sử dụng trong quá trình giải toán. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Các công thức tích phân Định nghĩa, tính chất, công thức tính tích phân tHH Các tiên đề, mệnh đề về diện tích của Euclide, Hilbert... Các tiên đề, mệnh đề về diện tích của Euclide, Hilbert... Bảng 1.2. Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ Tss Ø Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ tìm tỉ số diện tích (Tts). Kỹ thuật giải có thể là: – Kỹ thuật đại số tĐS: tính diện tích mỗi hình và lập tỉ số hai số đo diện tích. Để tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích phân. – Kỹ thuật hình học tHH: chia mỗi hình thành những phần bằng nhau và tìm được tỉ số diện tích thông qua tỉ số các phần tương ứng. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Các công thức tích phân Định nghĩa, tính chất, công thức tính tích phân tHH Các mệnh đề về sự đẳng diện Các mệnh đề về diện tích (hình) Các công thức tính diện tích (số) Bảng 1.3. Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ Tts Ø Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ cầu phương đa giác (Tcp). Kỹ thuật giải có thể là: – tĐS: tính diện tích hình, từ đó tìm các độ dài cần thiết để dựng hình. – tHH: dựng hình theo các mệnh đề của Euclide. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Tính chất diện tích, công thức tính diện tích hình chữ nhật tHH Mệnh đề 14, tập II, bộ Cơ bản Các mệnh đề của Euclide Bảng 1.4. Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ Tcp 13 2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích Các công thức tính được xem như phương tiện cho phép chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số. Nhờ chúng, người ta tính ra số đo diện tích và cũng thể hiện mối quan hệ hàm số giữa các yếu tố của hình (như cạnh, góc) với diện tích của nó. Về vấn đề này, Valentina (2005) đã đặc biệt quan tâm đến ba kiểu nhiệm vụ sau khi nghiên cứu các sách giáo khoa của Pháp và Ý. · Kiểu nhiệm vụ T1v: Tính diện tích một hình đa giác. · Kiểu nhiệm vụ T2v: So sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ phận của nó. · Kiểu nhiệm vụ T3v: Chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ phận của nó bằng một số cho trước. Đây là các kiểu nhiệm vụ Ttính, Tss, Tts, với hình được xét là đa giác. Valentina chỉ rõ các yếu tố còn lại (ti, qi, Qi) của những tổ chức toán học liên quan đến T1v, T2v, T3v được đưa vào như thế nào trong sách giáo khoa toán ở Pháp và Ý, theo nhiều chương trình khác nhau, áp dụng từ đầu thế kỷ XX đến đầu thế kỷ XXI. Điểm chung của các chương trình, sách giáo khoa là: · Kỹ thuật giải t1 cho kiểu nhiệm vụ T1v là sử dụng công thức tính diện tích đa giác (phạm vi số); · Kỹ thuật giải t2 cho kiểu nhiệm vụ T2v là sử dụng công thức tính diện tích đa giác (phạm vi số). · Kỹ thuật giải t3 cho kiểu nhiệm vụ T3v là chia đa giác thành các tam giác có cùng diện tích (và/hoặc bằng nhau) (phạm vi hình học). Cả hai kỹ thuật giải t1, t2 ở trên đều phải dựa vào các công thức tính diện tích, hay nói cách khác, chúng có chung yếu tố công nghệ q là các công thức tính diện tích. Trên cơ sở đó, Valentina xác định một tổ chức toán học địa phương (gồm hai tổ chức toán học bộ phận [T1v, t1, q, Q], [T2v, t2, q, Q]) gắn liền với các công thức tính diện tích đa giác. Ở đây, các công thức tính diện tích giúp thực hiện bước chuyển từ hình sang số. Khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa Việt Nam, với việc sử dụng các tổ chức toán học tham chiếu theo cách phân chia của Valentina, chúng tôi sẽ có thể: – Tìm thấy những yếu tố công nghệ cho phép chuyển đổi phạm vi; – Đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng là đầy đủ hay không đầy đủ; – Đối chiếu, so sánh với các tổ chức toán học được xây dựng ở Pháp, Ý để làm rõ những đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi nghiên cứu (dạy-học toán ở lớp 8). 14 Chúng tôi đã trình bày các cách tiếp cận khái niệm diện tích mà chúng tôi tổng hợp được từ các tài liệu tham khảo. Sách giáo khoa Việt Nam chọn cách tiếp cận nào? Sự lựa chọn của sách giáo khoa dẫn đến hệ quả gì? Chúng tôi nỗ lực tìm câu trả lời và trình bày kết quả nghiên cứu trong phần tiếp theo của luận văn. 15 Chương 2 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH Ø Diện tích trong chương trình toán phổ thông Ø Diện tích trong các sách giáo khoa tiểu học Ø Diện tích trong sách giáo khoa lớp 8 Nghiên cứu ở chương 1 đã chỉ ra rằng vấn đề gắn liền với việc định nghĩa diện tích trong lý thuyết độ đo là xác định một ánh xạ từ tập hình vào tập số. Chúng ta cũng đã chỉ ra bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích các hình phẳng. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích. Thể chế mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là việc dạy học toán ở lớp 8 theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách giáo viên, sách bài tập và đặc biệt là sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q2, Q3: · Khái niệm diện tích các đa giác được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hiện hành? · Những tổ chức toán học nào liên quan đến diện tích được đưa vào sách giáo khoa? · Có những quy tắc nào của hợp đồng didactique? 1. DIỆN TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC PHỔ THÔNG Diện tích được đưa vào giảng dạy ở các lớp 3, 4, 5 như những kiến thức chuẩn bị cho việc học chính thức từ lớp 8. Khái niệm giới hạn, tích phân được giảng dạy ở bậc trung học phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh bổ sung kiến thức về diện tích. Luận văn đặt trọng tâm nghiên cứu về dạy học diện tích ở bậc trung học cơ sở, đặc biệt là lớp 8. Tuy nhiên, theo quan điểm sinh thái, cần thiết phải xem xét chương trình trước và sau bậc học mà chúng tôi quan tâm. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu sau đây: – CT để chỉ Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2006; – G3 để chỉ sách giáo viên toán 3, G8 để chỉ sách giáo viên toán 8 - tập một; 16 – M3 để chỉ sách giáo khoa toán 3, M4 để chỉ sách giáo khoa toán 4, M8 để chỉ sách giáo khoa toán 8 - tập một; – E8 để chỉ sách bài tập toán 8 - tập một. 1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học Mục tiêu của bài đầu tiên, “Diện tích của một hình” là giúp học sinh: “– Làm quen với khái niệm diện tích. Có biểu tượng về khái niệm diện tích qua hoạt động so sánh diện tích các hình. – Biết được: Hình này nằm trọn trong hình kia thì diện tích hình này bé hơn diện tích hình kia. Hình P được tách thành hai hình M và N thì diện tích hình P bằng tổng diện tích hai hình M và N.” (G3, tr. 234) Nói cách khác, học sinh biết “so sánh diện tích hai hình trong một số trường hợp đơn giản (bằng cách đếm số ô vuông trong mỗi hình rồi so sánh các số ô vuông đó hoặc bằng cách chồng hình lên nhau)” (CT, tr. 51). Học sinh có thể giải quyết bài toán so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học mà không cần sử dụng công thức để chuyển sang phạm vi số. Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học. Sau đấy, chương trình lớp 3 đưa vào các đơn vị đo diện tích, các quy tắc tính diện tích của hình chữ nhật, hình vuông. Lưu ý rằng, ở lớp 3, học sinh chưa được học về biểu thức chứa chữ nên thay vì “công thức tính”, người ta nói đến “quy tắc tính”. Để tính diện tích, học sinh áp dụng các quy tắc (phát biểu ở dạng lời). Tên gọi công thức chỉ xuất hiện sau khi học sinh học về biểu thức chứa chữ ở lớp 4, và quy tắc tính diện tích hình chữ nhật được trình bày lại dưới dạng một công thức ở trang 74, M4. Lớp 4 đưa vào công thức tính diện tích hình bình hành, hình thoi. Lớp 5 trình bày thêm công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình tròn. Chương trình tiểu học yêu cầu học sinh biết các đơn vị đo diện tích, biết tính diện tích theo quy tắc (công thức). Nói cách khác, đã có bước chuyển từ phạm vi hình sang phạm vi số đối với diện tích. Chúng tôi còn thấy ở chương trình tiểu học của Việt Nam có mối tương quan ràng buộc giữa tập số, hình, đơn vị đo, công thức tính. Quy tắc, công thức tính diện tích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số tự nhiên được hợp thức bởi phép toán trên tập số tự nhiên. Ngược lại, khi mở rộng tập hợp số, bài toán tính diện tích một hình (với việc chuyển đổi đơn vị đo) được sử dụng để xây dựng phép tính trên tập số mới... 1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở Nếu ở bậc tiểu học, diện tích chỉ giữ vai trò kiến thức chuẩn bị, nằm rải rác, đan xen trong các lớp 3, 4, 5 thì ở bậc trung học cơ sở, diện tích đa giác là một chương riêng trong chương trình toán 8. Ở lớp 9, sách giáo khoa thừa nhận công thức tính diện 17 tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn mà không đưa vào định nghĩa, tính chất diện tích trong phần lý thuyết. Do đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu về diện tích đa giác ở lớp 8. Đối với diện tích, chương trình toán trung học cơ sở đặt ra các mục tiêu * Về kiến thức: “Hiểu cách xây dựng công thức tính diện tích của hình tam giác, hình thang, các hình tứ giác đặc biệt khi thừa nhận (không chứng minh) công thức tính diện tích hình chữ nhật” * Về kỹ năng: – Vận dụng được công thức tính diện tích các hình đã học. – Biết cách tính diện tích của các hình đa giác lồi bằng cách phân chia đa giác đó thành các tam giác. (CT, 118) G8 có đề cập đến việc vận dụng các tính chất của diện tích, phân chia một hình thành các đa giác đơn giản thay vì chỉ chia thành các tam giác. Theo mục tiêu trên, việc thiết lập các công thức, sử dụng công thức là trọng tâm của chương trình. Nghiên cứu G8, chúng tôi tìm thấy đoạn tài liệu tham khảo sau ở trang 167: Diện tích đa giác Trong toán học, người ta đã chứng minh được mệnh đề: Mỗi đa giác P bao giờ cũng tương ứng một và chỉ một số thực dương SP thỏa mãn các tính chất sau: 1. Hai đa giác bằng nhau thì hai số tương ứng bằng nhau, nghĩa là: Nếu P = Q thì SP = SQ. 2. Nếu có một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì số tương ứng với đa giác bằng tổng các số tương ứng với các đa giác thành phần, có nghĩa là: Nếu 1 2 ... nP P P P= È È È và các ( 1, )iP i n= không có điểm trong chung thì 1 2 ... nP P P P S S S S= + + + . 3. Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì tương ứng với số 1. Số dương duy nhất thỏa mãn cả ba tính chất trên được gọi là diện tích của đa giác P. Nói cách khác, ta có ánh xạ S từ tập hợp M các đa giác P vào tập hợp +¡ các số thực dương: : P S P S +® ¡ a M thỏa mãn hai điều kiện 2) và 3) nêu trên. Nhờ ánh xạ trên, ta có thể đặt tương ứng mỗi đa giác P với một số dương duy nhất SP mà ta gọi là diện tích của đa giác P. 18 Đưa ra mệnh đề trên, Việt Nam đã lựa chọn xây dựng khái niệm diện tích thông qua giải quyết bài toán trong lý thuyết độ đo. Sự tồn tại và duy nhất của hàm độ đo được thừa nhận. Vấn đề còn lại là xác định quy tắc tìm ảnh của hàm độ đo ấy, hay nói cách khác là cách xác định số thực dương SP gắn với đa giác P. Chính vì thế mà các công thức tính diện tích được quan tâm xây dựng. Chúng ta sẽ làm rõ hơn về việc hình thành các công thức tính diện tích trong phần phân tích sách giáo khoa. Cũng cần lưu ý rằng, ở Việt Nam, học sinh bậc trung học cơ sở được học hình học một cách hệ thống với các định nghĩa, định lý, lập luận chặt chẽ. Những tri thức hình học cần thiết cho dạy học diện tích đa giác ở lớp 8 cũng được đưa vào trước đấy, chẳng hạn: hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của tam giác được đưa vào giảng dạy từ lớp 7... 1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thông Ở lớp 10, ngoài công thức 1 2 a S ah= , học sinh được học thêm một số công thức tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng trong tam giác như: ( )( )( )S p p a p b p c= - - - , 1 sin 2 S ab C= , 4 abcS R = , S pr= . Đến lớp 12, học sinh làm quen với khái niệm diện tích hình thang cong. Tích phân được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để hợp thức các công thức tính diện tích, thể tích đã học và để tính diện tích một số hình phẳng... Như vậy, bậc Trung học phổ thông (lớp 10, lớp 12) cung cấp thêm các công cụ để tính diện tích một hình, mà trong đó tích phân là một công cụ khá mạnh. Chúng ta cũng cần lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông, chương trình không đưa vào các tính chất của diện tích cho trường hợp hình phẳng tổng quát. Các tính chất của diện tích được ngầm thừa nhận, mở rộng cho trường hợp hình không là đa giác. 2. DIỆN TÍCH TRONG CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TIỂU HỌC Do sự kế thừa của chương trình tiểu học, nhiều công thức và tính chất liên quan đến diện tích nghiên cứu ở lớp 8 được mở rộng hoặc thậm chí giữ nguyên những gì đã dạy ở dưới. Vì thế, cần thiết phải nhìn lại sơ bộ các sách giáo khoa tiểu học. 2.1. Về biểu tượng và tính chất của diện tích Trong bài “Diện tích của một hình”, M3, trang 150 có đoạn: 19 Qua hoạt động (1), học sinh được làm quen với khái niệm diện tích, có biểu tượng về khái niệm diện tích. Hoạt động được thực hiện trong phạm vi hình học, chưa có bước chuyển sang phạm vi số. Diện tích của hình (không nhất thiết phải là đa giác) có thể được hiểu như phần mặt phẳng hình chiếm đóng, đặc trưng hình học của các miền trong mặt phẳng. Một kiểu nhiệm vụ đã được đưa vào: so sánh diện tích hai hình (Tss). Kỹ thuật giải là chồng hình lên nhau. Yếu tố công nghệ là tính chất “hình nằm hoàn toàn bên trong có diện tích bé hơn”. Đây là một tính chất quan trọng, được mặc nhiên thừa nhận, cho phép so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học và được sử dụng khi xây dựng khái niệm tích phân ở lớp 12. Kỹ thuật chồng hình tỏ ra kém hiệu quả trong hoạt động (2). Bắt đầu có bước chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ so sánh, học sinh “có ý niệm “đo” diện tích qua các ô vuông đơn vị” (G3, tr. 235). Diện tích mang nghĩa số các ô vuông đơn vị (hình vuông mà cạnh có độ dài bằng đơn vị) không có điểm trong chung, lấp đầy miền đó. Hoạt động (3) đề cập đến tính chất cộng tính của diện tích. Đây là một trong những tính chất rất quan trọng của diện tích. 2.2. Về đơn vị đo diện tích Đơn vị đo diện tích đầu tiên được đưa vào là cm2, “diện tích của hình vuông có cạnh dài 1cm” (M3, tr. 151). Với việc chọn trước một đơn vị đo, diện tích của một hình có thể được quy ra các số đo và diện tích có bước chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số. Ngoài đơn vị đo cm2, học sinh còn học về các đơn vị đo diện tích khác: dm2, m2, km2 (lớp 4), dam2, hm2, mm2, ha (lớp 5). 2.3. Về các công thức tính diện tích Sau khi đưa vào cm2 là diện tích hình vuông đơn vị, M3 đưa vào quy tắc tìm diện tích hình chữ nhật, diện tích hình vuông. Để có được quy tắc này, diện tích hình 20 chữ nhật được quy về số ô vuông đơn vị cần phủ kín hình chữ nhật ấy. Diện tích được tính bởi một con số đi kèm với đơn vị đo. Giá trị số được tìm nhanh nhờ thực hiện phép nhân thay vì phép đếm. Các quy tắc tính phát biểu bằng câu văn được trình bày lại dưới dạng công thức ở trang 74, M4. Các công thức cho phép thực hiện bước chuyển từ phạm vi hình học sang số, bài toán so sánh diện tích hai hình đưa về bài toán so sánh hai số, thậm chí không cần đến hình vẽ mà chỉ cần kích thước các cạnh cần thiết. Ở bậc tiểu học, công thức tính diện tích đa giác được đưa vào theo trình tự: 1. Diện tích hình vuông đơn vị (lớp 3); 2. Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật; 3. Quy tắc tính diện tích hình vuông (lớp 3); 4. Công thức tính diện tích hình bình hành; 5. Công thức tính diện tích hình thoi (lớp 4); 6. Công thức tính diện tích hình tam giác; 7. Công thức tính diện tích hình thang (lớp 5). Điểm chung khi thiết lập các công thức mới ở bậc tiểu học là cắt - ghép hình để đưa về hình chữ nhật có cùng diện tích (phạm vi hình học), hay nói cách khác là phải giải quyết một phần kiểu nhiệm vụ cầu phương Tcp. Ví dụ: M4 đưa vào công thức tính diện tích hình bình hành ở trang 103 như sau: Riêng đối với hình thang thì người ta cắt - ghép thành hình tam giác. Kỹ thuật cắt - ghép mảnh bìa được sử dụng vì ở tiểu học, học sinh chưa học về các hình (tam giác) bằng nhau, và do đó chưa thể sử dụng lập luận toán học về sự bằng nhau của hai hình. Với cách thiết lập này, công thức không chỉ là công cụ, phương tiện cho phép chuyển từ phạm vi hình sang phạm vi số, mà còn có thể được hiểu theo một nghĩa 21 khác: tìm được một hình chữ nhật (có chiều dài, chiều rộng là a, h) có cùng diện tích với hình đã cho. Công thức tính diện tích hình chữ nhật được hợp thức trong trường hợp các cạnh là số tự nhiên và được ngầm mở rộng, thừa nhận cho trường hợp phân số, số thập phân... chẳng hạn như trong bài phép nhân phân số: “Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 4 5 m và chiều rộng 2 3 m. Để tính diện tích của hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép nhân: 4 2 5 3 ´ .” (M4, tr. 132) 3. DIỆN TÍCH TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 8 Chương “Đa giác. Diện tích đa giác” trong M8 gồm có sáu bài: · Đa giác. Đa giác đều · Diện tích hình chữ nhật · Diện tích tam giác · Diện tích hình thang · Diện tích hình thoi · Diện tích đa giác Trong đó, bài đầu tiên giới thiệu về khái niệm đa giác, đa giác đều. Diện tích đa giác được trình bày ở các bài sau đó. Tuy nhiên, khái niệm diện tích đa giác chỉ được giới thiệu ở bài “Diện tích hình chữ nhật”, những bài sau đấy chủ yếu xây dựng công thức và thực hành tính toán. 3.1. Về định nghĩa, tính chất của diện tích M8 xem diện tích là một khái niệm quen thuộc đối với học sinh và hướng học sinh hiểu “diện tích cũng là một số đo” (tr. 116): 22 “Xét các hình A, B, C, D, E vẽ trên lưới kẻ ô vuông, mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích. a) Kiểm tra xem có phải diện tích hình A là diện tích 9 ô vuông, diện tích hình B cũng là diện tích 9 ô vuông hay không? Ta nói: diện tích hình A bằng diện tích hình B. b) Vì sao ta nói: diện tích hình D gấp 4 lần diện tích hình C? c) So sánh diện tích hình C với diện tích hình E.” (M8, tr. 116) “Diện tích hình A là diện tích 9 ô vuông”. Như vậy, diện tích của một hình mang nghĩa số ô vuông đơn vị cần phủ kín hình ấy. Sau hoạt động vừa nêu, M8 đưa ra nhận xét (tr. 117): · Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó. · Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương. Chúng tôi nhận thấy, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm diện tích theo tinh thần của lý thuyết độ đo. Hai nhận xét ở trên thừa nhận sự tồn tại của một ánh xạ m đi từ tập hợp các đa giác vào tập hợp các số thực dương +¡ , và số đo ( )Pm được gọi là diện tích của đa giác P. Vấn đề là ánh xạ m ấy có những tính chất gì, và tìm số đo ( )Pm của đa giác P ra sao? Các tính chất đặc trưng của diện tích đa giác được thừa nhận ở trang 117: 1. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. 2. Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. 3. Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1 cm, 1 dm, 1 m, ... làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là 1 cm2, 1 dm2, 1 m2, ... Tính chất (2) là tính chất cộng tính. Tính chất (1) là tính bất biến qua phép đẳng cự (dời hình). Tính chất này được đề cập trong toán học với trường hợp “đa giác”, còn trong sách giáo khoa được trình bày với trường hợp “tam giác”. Tam giác là một trường hợp đặc biệt của đa giác. Hơn nữa, mọi đa giác đều có thể phân hoạch thành các tam giác và nhờ tính cộng tính, tính chất (1) trong sách giáo khoa mở rộng đến trường hợp đa giác. Như vậy, ánh xạ diện tích m được ngầm nhắc đến thỏa các tính chất của hàm độ đo. Theo cách tiếp cận này, phải chăng sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơn cho quan điểm số về diện tích? 23 Sự tồn tại và thỏa các tính chất cần thiết của ánh xạ diện tích m đã được thừa nhận. Hình vuông đơn vị C được chọn làm đơn vị đo diện tích ( ( ) 1Cm = ). Vấn đề tìm số đo ( )PS Pm= tương ứng với mỗi đa giác P được giải quyết bằng cách đưa vào các công thức tính diện tích. 3.2. Về các công thức tính diện tích – Hình đầu tiên được đưa vào công thức tính diện tích ở bậc trung học cơ sở cũng là hình chữ nhật. Công thức được thừa nhận, không chứng minh: Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S = a.b (M8, tr. 117) Chúng tôi nhắc lại rằng, trong tình huống thiết lập quy tắc tính diện tích hình chữ nhật ở tiểu học, số đo các cạnh là số tự nhiên. Sau đó, ngầm mở rộng cho trường hợp số đo các cạnh là phân số, số thập phân. Vì lý do sư phạm và chứng minh chặt chẽ đòi hỏi các kiến thức về giới hạn, sách giáo khoa lớp 8 thừa nhận, không chứng minh định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật. Ở thời điểm đưa vào công thức, học sinh đã hoàn thiện tập hợp số hữu tỷ và cũng đã học những số vô tỷ. Như thế, chúng ta có thể xem công thức được thừa nhận cho trường hợp số đo cạnh là số thực dương. – Với quan điểm “hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật, tam giác vuông là nửa hình chữ nhật” (tr. 117), M8 đưa vào: · Công thức tính diện tích hình vuông: 2S a= . · Công thức tính diện tích hình tam giác vuông: 1 . . 2 S a b= – Công thức tính diện tích tam giác 1 . . 2 S a h= được chứng minh bằng cách xét các trường hợp tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác tù. Tuy có sự chia hình, làm xuất hiện các tam giác vuông, nhưng công thức tính diện tích tam giác được ưu tiên chứng minh dựa trên các tính toán đại số thay vì đưa về hình chữ nhật tương đương. Ví dụ về trường hợp tam giác nhọn được trình bày ở trang 121: “Tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà: 1 . 2BHA S BH AH= , 1 . 2CHA S HC AH= Vậy 1 1( ). . 2 2ABC S BH HC AH BC AH= + = ” – Với các tứ giác đơn giản khác (hình thang, hình bình hành, hình có hai đường chéo vuông góc/hình thoi), đa giác n cạnh, công thức tính diện tích được đưa vào bằng b a 24 cách chia đa giác thành các tam giác và dựa vào tính chất cộng tính để thực hiện tính toán đại số. Để nhìn rõ sự tiến triển của chương trình, nét đặc trưng của các sách giáo khoa tiểu học và lớp 8 về diện tích đa giác phẳng, chúng tôi lập bảng so sánh sau: Tiểu học Trung học cơ sở Trình tự đưa vào công thức 1. Diện tích của hình chữ nhật 2. Diện tích hình vuông 3. Diện tích hình bình hành 4. Diện tích hình thoi 5. Diện tích hình tam giác 6. Diện tích hình thang 1. Diện tích hình chữ nhật 2. Diện tích hình vuông/tam giác vuông 3. Diện tích hình tam giác 4. Diện tích hình thang/hình bình hành 5. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc/hình thoi 6. Diện tích đa giác bất kỳ Kỹ thuật chủ yếu được dùng khi đưa vào công thức mới Cắt - ghép hình để có hình chữ nhật tương đương - cùng diện tích (phạm vi hình học) Phân chia hình thành các tam giác và thực hiện tính toán đại số trên các công thức (phạm vi đại số) Bảng 2.1. Công thức tính diện tích trong chương trình tiểu học, trung học cơ sở Giống như bậc tiểu học, ở lớp 8, việc xây dựng các công thức tính diện tích đa giác cũng bắt đầu từ định nghĩa diện tích hình vuông đơn vị, tiếp theo, sách giáo khoa đưa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật. Sau đấy thì có khác biệt. Chẳng hạn, công thức tính diện tích tam giác được đưa vào sau hình bình hành ở bậc tiểu học, nhưng ở bậc trung học cơ sở, trình tự có đảo ngược. Theo chúng tôi, kỹ thuật được sử dụng thiết lập công thức tính cũng là một trong những yếu tố tác động đến trình tự đưa vào các công thức. Bậc tiểu học sử dụng phương pháp cắt - ghép, tạo hình chữ nhật cùng diện tích. Bậc trung học cơ sở sử dụng kỹ thuật “phân chia đa giác đó thành các tam giác” và tính toán trong phạm vi đại số để thiết lập công thức, tìm ra số đo tương ứng với đa giác đó. Đưa vào các công thức tính diện tích các tứ giác đơn giản, dường như sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc tính toán, chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số. Ngoài ra, phần lý thuyết chỉ có tính chất “hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích”, thiếu vắng các mệnh đề cho phép so sánh diện tích của hai hình không bằng nhau trong phạm vi hình học. 25 3.3. Về các tổ chức toán học Trong phần này, chúng tôi phân tích những ví dụ, bài tập được đưa vào M8 và E8. Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra các tổ chức toán học hiện diện trong sách giáo khoa. 3.3.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1 (tính diện tích của một đa giác) T1. Tính diện tích của một đa giác Đây chính là kiểu nhiệm vụ đầu tiên, T1v, mà Valentina đã đề cập đến khi phân tích các sách giáo khoa của Ý và Pháp. Nếu cần phân biệt một cách rạch ròi kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này, chúng ta có thể dựa vào đặc trưng của đa giác cần tính diện tích. * Đa giác đã có công thức tính diện tích (đa giác đơn giản): Ví dụ: Bài tập 14 (M8, tr. 119) “Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m. Hãy tính diện tích đám đất đó... Giải: Diện tích: 700 400 280000S = ´ = (m2)” + Kỹ thuật giải t1: – Xác định các độ dài cần thiết – Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có. + Yếu tố công nghệ q1: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản. Đối với dạng này, các hình vẽ ít có ý nghĩa, thậm chí không cần đến sự xuất hiện của hình vẽ. * Đa giác chưa có công thức tính diện tích: Ví dụ: Bài tập 37 (M8, tr. 130) “Thực hiện các phép đo cần thiết (chính xác đến mm) để tính diện tích hình ABCDE ” Hướng dẫn giải: “Đa giác ABCDE được chia thành tam giác ABC, hai tam giác vuông AHE, DKC và hình thang vuông HKDE. 26 Cần đo các đoạn thẳng (mm): BG, AC, AH, HK, KC, EH, KD. Tính riêng SABC, SAHE, SDKC, SHKDE, rồi lấy tổng bốn diện tích trên.” (G8, tr. 179) + Kỹ thuật giải t1bs: – Phân chia đa giác cần tính diện tích về các đa giác đơn giản – Xác định các độ dài cần thiết – Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có. Đoạn “có thể chia đa giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác nào đó có chứa đa giác”, “trong một số trường hợp [...] ta có thể chia đa giác thành nhiều tam giác vuông và hình thang vuông”... (M8, tr. 129) có thể xem như lời hướng dẫn, giải thích cho học sinh cách phân chia. + Yếu tố công nghệ q1bs: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản, các tính chất của diện tích. + Yếu tố lý thuyết Q1: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)... Trong toàn bộ hệ thống bài tập, chỉ có duy nhất một câu ở bài 41b (M8, tr. 132), hình cần tính diện tích là một hình thang - có sẵn công thức tính - nhưng kỹ thuật giải lại dựa vào việc đưa về tính diện tích hai tam giác rồi sử dụng tính chất diện tích, thực hiện phép trừ để tìm diện tích hình thang ấy. Tuy nhiên, chúng ta cần chú ý rằng, trong trường hợp này, sách giáo khoa đã “quên” đi hình đấy là hình thang mà chỉ sử dụng câu lệnh “tính diện tích tứ giác EHIK”. Ở đây, chúng tôi tìm thấy vết của tổ chức toán học OM1 được xây dựng từ kiểu nhiệm vụ Ttính. Như bảng 1.1 đã chỉ ra, có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Hiển nhiên, kỹ thuật dùng tích phân phải chờ đến lớp 12 mới xuất hiện. 3.3.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2 (so sánh diện tích các đa giác) Trong M8, chúng tôi cũng tìm thấy những nhiệm vụ thuộc kiểu T2v mà Valentina đã chỉ ra khi nghiên cứu sách giáo khoa Ý và Pháp. Đó là “so sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ phận của nó”. Kỹ thuật giải là sử dụng công thức tính, chuyển sang so sánh trong phạm vi số. Ngoài ra, phân tích hệ thống bài tập, chúng tôi nhận thấy có những bài về so sánh diện tích hai đa giác thuộc kiểu nhiệm vụ Tss, chẳng hạn: “Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm. [...]. So sánh diện tích hình chữ nhật với hình vuông có cùng chu vi...” , (M8, tr. 119, bài tập 15) Lời giải được đưa ra trong G8 là: “SABCD = 15cm2. 27 Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật là (3 5).2 4 4 + = (cm). Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (cm2) Vậy Shình chữ nhật < Shình vuông.” (G8, tr. 166) + Kỹ thuật giải t2: – Sử dụng công thức để tính diện tích mỗi hình; – So sánh các kết quả thu được và kết luận. + Yếu tố công nghệ q2 là các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản đã được trình bày ở phần lý thuyết. + Yếu tố lý thuyết Q2: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)... Từ T2, sách giáo khoa đã xây dựng một tổ chức toán học với các yếu tố công nghệ, lý thuyết mà chúng tôi nêu trên. Đó chính là vết của OM2. Đối chiếu với bảng 1.2, ta thấy sách giáo khoa cũng chỉ sử dụng kỹ thuật tĐS, kỹ thuật tHH không được khai thác. 3.3.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3 (Chứng minh tỉ số diện tích của hai đa giác bằng một số cho trước) Từ T3, M8 đã xây d._.khả năng dẫn đến sai số do làm tròn sau nhiều bước tính và không thấy được đặc trưng của bài toán: “diện tích của tam giác AEG bằng nửa diện tích tứ giác CEFG”. Có 42/73 học sinh theo chiến lược SCT, vẽ thêm đường cao GH, thực hiện đo GH, AE và áp dụng vào công thức tính diện tích tam giác AEG. 45 31/73 học sinh còn lại theo chiến lược SHH-CT, tận dụng các đường vuông góc có sẵn thay vì vẽ thêm đường cao GH. Trong số 31 học sinh đó, có 15 học sinh tính SAEG bằng tổng diện tích hai tam nhỏ (chiến lược 1HH CTS - ) và 16 học sinh tính SAEG bằng tổng diện tích hai hình vuông trừ đi diện tích các tam giác khác (chiến lược 2HH CTS - ). Các lời giải theo chiến lược SCT và 1HH CTS - đều cho kết quả sai do sai số khi đo và tính toán, lời giải theo chiến lược 2HH CTS - cho kết quả đúng vì số đo cạnh hai hình vuông được cho là số tự nhiên. Câu b tạo điều kiện cho học sinh đưa ra lời giải tốt hơn. Có 13 học sinh thay đổi từ chiến lược SHH-CT sang chiến lược SCT, và ngược lại, cũng có 13 học sinh thay đổi từ chiến lược SCT sang chiến lược SHH-CT. Chúng ta nhận thấy ở đây, cho dù đã tạo sẵn các đường vuông góc, tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho việc phân chia hình thì phần lớn học sinh (42/73) vẫn nghĩ ngay đến việc sử dụng công thức tính mà không quan tâm đến việc phân chia. Số học sinh còn lại có sự chi phối của các đường vuông góc sẵn có và dùng đến tính chất cộng tính để tính được kết quả chính xác hơn. Tuy nhiên, không có học sinh nào nghĩ đến việc tìm một tam giác đặc biệt (CEG), dễ tìm diện tích hơn và có cùng diện tích với tam giác AEG. Thậm chí, do thế số ngay sau khi đưa vào công thức, học sinh cho rằng để tìm diện tích tam giác AEG, cần đo ít nhất 2 đoạn thẳng. 2.1.3. Kết luận Thực nghiệm thứ nhất đối với học sinh cho chúng ta thấy quan niệm số về diện tích chiếm ưu thế. Giả thuyết H2 được kiểm tra. 2.2. THỰC NGHIỆM THỨ HAI Những nghiên cứu, thực nghiệm trước đây cho thấy: – Quan niệm số chiếm ưu thế so với quan niệm hình học về diện tích. – Các tính chất được đưa vào sách giáo khoa chỉ đề cập đến trường hợp đa giác và chưa đầy đủ. Điều đó khiến học sinh phải sử dụng đến công thức hoặc thực hiện bước chuyển qua số ngay cả khi có thể giải bài toán hoàn toàn trong phạm vi hình (so sánh, tìm tỉ số), hoặc đắn đo khi sử dụng lập luận để giải trong phạm vi hình học. Các đa giác có thể quy về các tam giác nên chúng ta có thể thấy việc so sánh diện tích của hai tam giác là rất quan trọng. Sách giáo khoa chỉ mới thừa nhận “hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau” và chúng ta cần thể chế hóa, bổ sung tính chất về trường hợp hai tam giác không bằng nhau nhưng có cùng diện tích (ở đây là trường hợp đỉnh di chuyển trên đường thẳng song song với đáy), hoặc hai tam giác có những yếu tố cho phép lập được tỉ số hai diện tích không mấy khó khăn. 46 A D G I B C E Với thực nghiệm thứ hai này, chúng tôi muốn: – Tổ chức lại một lần gặp gỡ với khái niệm diện tích để nhấn mạnh đặc trưng hình học của khái niệm. – Mở rộng và thể chế hóa các tính chất của diện tích, bổ sung yếu tố công nghệ cho tổ chức toán học mang đặc trưng hình. Từ đó, học sinh có thể giải một số bài toán so sánh diện tích trong phạm vi hình học, không cần thực hiện bước chuyển qua số... Đối tượng thực nghiệm: học sinh trung học cơ sở đã học xong chương Diện tích (giữa lớp 8 hoặc đầu học kỳ I lớp 9). Do điều kiện khách quan, chúng tôi không thể trở lại với những lớp học sinh đã tham gia thực nghiệm 1. Như thế, lớp tham gia thực nghiệm lần này chưa được đặt trước những câu hỏi sử dụng trong thực nghiệm 1. 2.2.1. Dàn dựng kịch bản Thực nghiệm tiến hành trong một tiết (45 phút). Gồm 3 pha: v Pha 1(10 phút) Giáo viên phát phiếu và cho học sinh làm bài toán sau (làm việc cá nhân) “Câu 1. “Trong hình dưới đây, ta có: · B, A, F, E thuộc đường thẳng (d); · CD // (d); BC // AD; CF // DE; So sánh diện tích của: · Hai hình bình hành ABCD và CDEF; · Hai tam giác BCD và FCD.” B A F E (d) C D Trình bày tất cả các cách em tìm được.” v Pha 2 (làm việc nhóm, khoảng 20 phút) Giáo viên chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 4-5 người. Sau khi thu phiếu làm bài cá nhân ở pha 1, giáo viên phát phiếu làm việc cho từng nhóm. Trong phiếu có đề bài toán dưới đây. “Câu 2. Trong hình bên, ABCD, CEFG là những hình thoi. Gọi SAEG là diện tích tam giác AEG và SCEFG là diện tích tứ giác CEFG. Em hãy: 47 · So sánh diện tích hai tam giác AIG và CIE; · Tìm tỉ số AEG CEFG S S Trình bày tất cả các lời giải mà nhóm em tìm được.” Chúng tôi đã cho học sinh làm theo nhóm nhằm tạo thuận lợi cho học sinh tìm được nhiều lời giải trong thời gian ngắn và tìm ra lời giải tối ưu. v Pha 3 (làm việc cả lớp, khoảng 15 phút) Giáo viên cho học sinh trình bày các câu trả lời tiêu biểu, hướng học sinh tìm ra lời giải tối ưu (thuộc phạm vi hình học) cho câu 2... Cuối cùng, giáo viên tổng kết và nhấn mạnh ý nghĩa của đặc trưng hình học. 2.2.2. Phân tích a-priori Hai bài toán thực nghiệm được chúng tôi cải biên từ hai câu 3, 5 trong phần thực nghiệm đối viên giáo viên. Do sử dụng lại hai bài toán trong thực nghiệm trước, chúng tôi sẽ không trình bày lại một cách chi tiết các phân tích (biến, chiến lược...) mà chỉ đề cập đến một số khác biệt. v Pha 1 Ø Mục tiêu: tìm hiểu ràng buộc của thể chế đối với cá nhân. Đưa vào tính chất về hai tam giác không bằng nhau nhưng có cùng diện tích (đỉnh thuộc đường thẳng song song với đáy chung), làm cơ sở để tìm ra lời giải tối ưu cho câu sau. Ø Môi trường hợp thức cho câu trả lời: kết quả trong phiếu làm việc cá nhân của học sinh. Ø Nội dung câu hỏi: chúng tôi yêu cầu so sánh diện tích hình bình hành trước, diện tích tam giác sau nhằm tạo điều kiện xuất hiện cho chiến lược giải trong phạm vi hình học. Ø Các chiến lược - các câu trả lời có thể: tương tự như đã phân tích trong phần thực nghiệm giáo viên, có thể có các chiến lược sau: – SCT: sử dụng công thức để tìm ra lời giải. Có thể có các khả năng: + SCT-Số: tính ra số và so sánh số (vì cho phép dùng thước đo). + SCT-ĐS: so sánh biểu thức đại số. – SHH: sử dụng các tam giác bằng nhau, tính chất diện tích để chứng minh (xem phần lời giải 1, câu 3, thực nghiệm đối với giáo viên). v Pha 2 Ø Mục tiêu: tạo tình huống (câu 2b) để học sinh chú ý đến đặc trưng hình học của diện tích và sự cần thiết của tính chất đã được thiết lập ở hoạt động 1. Điều này có 48 nghĩa là tạo điều kiện để đưa thêm vào yếu tố công nghệ của tổ chức toán học mang đặc trưng hình học, để tổ chức toán học này ít khiếm khuyết hơn. Ø Môi trường hợp thức cho câu trả lời: các tính chất của diện tích, các tính chất của hình thoi, các công thức tính, định lý Thalès. Ø Các chiến lược và những câu trả lời có thể Câu 2 trong thực nghiệm thứ hai đối với học sinh gồm có hai nhiệm vụ nhỏ: so sánh diện tích và tìm tỉ số diện tích. Nếu quan niệm diện tích là số, giải bài toán trong phạm vi số, đấy là hai nhiệm vụ tách rời. Ngược lại, nếu chú ý đến đặc trưng hình, giải bài toán trong phạm vi hình học thì cả hai chỉ là một nhiệm vụ duy nhất: so sánh diện tích hai tam giác AEG và CEG. Tương tự như đã phân tích trong phần thực nghiệm giáo viên, có thể có các chiến lược sau: – SSố: vẽ đường cao, sử dụng công thức, tính ra số và thực hiện trên số... Đây là chiến lược cơ sở. – SĐS: chứng minh dựa vào tỷ lệ, tam giác đồng dạng... Vì chưa có sẵn các đường vuông góc nên lời giải trong trường hợp này có thay đổi và “phức tạp” hơn rất nhiều so với trường hợp hai hình vuông. Với việc sử dụng hình thoi thay cho hình vuông, loại bỏ các đường vuông góc có sẵn, chúng tôi dự đoán học sinh sẽ khó thành công với chiến lược này và vì thế không trình bày chi tiết các lời giải ở đây. – STCHH: sử dụng tính chất hình học vừa thiết lập để đưa ra nhận xét SAEG = SCEG và trả lời được cả hai nhiệm vụ. Đây là lời giải mà chúng tôi mong đợi. Ø Lựa chọn giá trị của các biến – Biến gắn với dạng câu hỏi: chúng tôi chọn kiểu nhiệm vụ “so sánh diện tích”, “tìm tỉ số diện tích” vì đây là các kiểu nhiệm vụ cho phép thực hiện lời giải trong phạm vi hình học hoặc chuyển qua giải trong phạm vi số. Chiến lược cơ sở để giải là tính số đo và thực hiện so sánh số đo, tìm tỉ số số đo. – Biến gắn với hình vẽ: bản chất của câu 5 trong thực nghiệm của giáo viên là diện tích tứ giác CEFG gấp đôi diện tích tam giác AEG khi đảm bảo điều kiện AC // EG. Hai hình thoi vẫn đảm bảo được AC // EG, đồng thời không tạo ra các đường vuông góc có sẵn. Điều này sẽ ngăn cản các chiến lược sử dụng công thức với các tỷ lệ, biến đổi đại số. – Biến gắn với dụng cụ được phép sử dụng: Chúng tôi cho phép học sinh sử dụng thước đo để học sinh ít ra tìm được chiến lược cơ sở. v Pha 3 Ø Mục đích: tạo tình huống đánh giá các câu trả lời để học sinh thấy được sự hiệu quả trong việc sử dụng tính chất để giải một số bài toán diện tích. Hoàn thiện hơn tổ chức toán học mang đặc trưng hình học. 49 Ø Môi trường hợp thức cho câu trả lời: các tính chất của diện tích, các tính chất của hình thoi, các phiếu kết quả. 2.2.3. Phân tích a-posteriori Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm này tại lớp 9A1 trường THCS Nguyễn Văn Luông, Quận 6. Lớp học gồm 38 học sinh. Các học sinh này đã học diện tích đa giác. v Pha 1 Học sinh làm bài vào phiếu cá nhân. Có 2 học sinh (5,23%) không viết kết quả vào phiếu, 36 học sinh còn lại đều sử dụng công thức để lý giải cho sự bằng nhau về diện tích của hai hình bình hành. Chúng tôi thống kê được: – 35 học sinh (92,11%) dùng công thức và so sánh các biểu thức đại số (công thức được dùng trong phạm vi đại số). – 01 học sinh tính ra số và thực hiện so sánh số (chiến lược SCT-Số). Để lý giải SBCD = SFCD, chỉ có 3 học sinh sử dụng kết quả SABCD = SCDEF và hai tam giác bằng nhau (phạm vi hình học), những học sinh khác vẫn sử dụng công thức tính diện tích tam giác (phạm vi đại số). v Pha 2 Chúng tôi đã chia lớp thành 10 nhóm, thu về được 10 phiếu kết quả. Có 4 nhóm để phiếu trắng. Dựa vào nháp, chúng tôi thấy có 3 nhóm tỏ ra bế tắc khi cố gắng thiết lập mối quan hệ giữa hai biểu thức tính diện tích thông qua các tỷ lệ, tam giác đồng dạng (SĐS), 1 nhóm dường như đã tìm được điểm mấu chốt của bài toán nhưng không kịp trình bày. Những nhóm này không thực hiện đo đạc để kết luận. Bài toán trở nên khó khăn khi học sinh không chú ý đến yếu tố hình học, không xem bài toán so sánh diện tích AIG và CIE cũng là so sánh diện tích AEG và CEG (chưa chú ý đến tính chất cộng tính của diện tích). Một số học sinh đã hỏi về khả năng sử dụng chiến lược cơ sở SSố: “Thầy, được dùng thước đo phải không thầy?”. Với 6 phiếu kết quả của 6 nhóm còn lại, chúng tôi nhận thấy có: – 3 nhóm thực hiện đo, thay số vào và kết luận (SSố). – 3 nhóm sau một quá trình thảo luận, thay đổi thứ tự giải các ý đã nhìn ra chiến lược giải STCHH: chứng minh AC // GE, kết luận được hai tam giác AEG, CEG có cùng diện tích và cho được câu trả lời đối với câu 2. Dựa theo biên bản làm việc trong pha 2 của nhóm 10, chúng tôi biết được nhóm 10 trước hết nghĩ tới việc kẻ các đường cao và so sánh đáy, đường cao. Tuy nhiên, hai tam giác AIG và CIE “rời nhau”, không chung đáy, không chung đường cao, việc so sánh không dễ dàng. Nhóm 10 đã chuyển qua giải ý thứ hai, tìm tỉ số. Nhóm cũng đã nghĩ tới việc đặt ẩn cho các số đo và phải đương đầu với một vòng luẩn quẩn “chứng minh cái này (SAEG) bằng bao nhiêu phần diện tích cái này (SCEFG) rồi mình lấy cái này 50 (kết quả câu b) chứng minh cái này (câu a)” và “phải chứng minh câu a thì hai diện tích này bằng nhau thì mới tính được câu b”. Nhóm đã tranh luận và phát hiện được cần so sánh diện tích AEG và CEG. Việc chứng minh AC // EG không quá khó khăn với nhóm. Với các nhóm theo chiến lược SSố, chúng tôi tìm được hai cách xử lý khác nhau: – Hai nhóm làm tròn số và kết luận hai tam giác cùng diện tích: – Một nhóm hạn chế làm tròn số và kết luận SAIG > SCIE: v Pha 3 Học sinh đã giải thích sự bằng nhau về diện tích của các cặp hình trong câu 1 thông qua công thức. Tuy mong đợi lời giải không dùng đến công thức, nhưng với câu trả lời của học sinh, chúng tôi cũng đã đạt được mục tiêu đưa vào tính chất: “khi hai tam giác có cùng đáy và hai đỉnh trên cùng một đường thẳng song song với đáy thì diện tích của chúng bằng nhau”. Tính chất này cho phép so sánh diện tích của hai tam giác không đồng nhất, nhưng thỏa điều kiện trong phát biểu. Chúng tôi đề nghị học sinh về nhà tìm thêm cách giải không dùng đến công thức, để dành thời gian còn lại cho học sinh trình bày lời giải đối với câu 2. Bắt đầu từ kết quả mâu thuẫn giữa hai nhóm, SAIG > SCIE và SAIG = SCIE, giáo viên cùng học sinh tìm lời giải cho câu 2. Nhóm 10 không đồng ý với việc đo đạc dẫn đến kết quả so sánh SAIG > SCIE và cử đại diện trình bày kết quả thảo luận của nhóm... 51 – Nối A với C – Chứng minh được AC // GE – Suy ra SAEG = SCEG – Từ SAEG = SCEG, suy ra SAIG = SCIE và tỉ số 1 2 AEG CEFG S S = . 2.2.4. Kết luận Thực nghiệm thứ hai đối với học sinh đã không thành công như mong đợi. Tuy nhiên, những gì đã diễn ra cũng có thể giúp học sinh quan tâm hơn đến yếu tố hình học khi giải toán diện tích. 3. KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM Kết quả thực nghiệm đã giúp chúng tôi kiểm nghiệm hai giả thuyết H1. “Trong hoạt động giảng dạy, giáo viên ưu tiên cho cách tiếp cận diện tích từ quan điểm số”. H2. “Các chiến lược mang bản chất hình học không thực sự sẵn có ở học sinh trung học cơ sở nói chung, lớp 8 nói riêng. Ở họ, quan niệm gắn diện tích của một hình với số chiếm ưu thế so với quan niệm xem diện tích là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hình đó”. Những kết quả này cho thấy: các công thức có nhiều tác động đến học sinh, các lời giải trong phạm vi hình học chỉ xuất hiện khi có sẵn các cặp tam giác bằng nhau, và học sinh gặp trở ngại khi chỉ có các tam giác cùng diện tích nhưng không đồng nhất. 52 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Phần nghiên cứu chính của luận văn tập trung trong các chương 1, 2, 3 đã cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra. Cụ thể, chúng tôi đã thực hiện được: – Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán về sự hình thành và phát triển của khái niệm diện tích, các cách xây dựng khái niệm diện tích một hình... – Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích ở Việt Nam. Chúng tôi nhận thấy ở Việt Nam, diện tích có sự chuyển dần từ phạm vi hình học sang số mà các công thức tính diện tích giữ vai trò phương tiện cho phép chuyển đổi. Việc xây dựng các công thức diện tích được xem như nhiệm vụ trọng tâm còn các mệnh đề, tính chất cho phép so sánh diện tích hai hình bị xem nhẹ trong phần lý thuyết. Tương tự chương trình của Pháp (1996), ở Việt Nam, các công thức không chỉ giữ vai trò yếu tố công nghệ trong tổ chức toán học OMCT (phạm vi số) mà nó còn ngầm giải thích cho kỹ thuật giải trong tổ chức toán học OMHH (phạm vi hình) khi thiếu vắng các yếu tố công nghệ. Nghiên cứu sách giáo khoa cũng cho thấy các công thức được sử dụng để tính toán số, tính toán đại số (các biểu thức) và biểu diễn mối tương quan hàm số giữa độ dài và diện tích, độ dài và độ dài... Sách giáo khoa Việt Nam luôn xuất phát từ công thức tính diện tích hình chữ nhật để xây dựng công thức tính diện tích các hình khác. Trong khi đó, nhiều nhà toán học xây dựng khái niệm diện tích từ diện tích tam giác, công thức tính diện tích tam giác... Chúng tôi tự hỏi: liệu có thể sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học hình học như Cabri để khảo sát nhiều trường hợp và đưa vào khái niệm diện tích một hình như một bất biến hình học của hình ấy thông qua thực nghiệm? Nếu được, các đơn vị tính diện tích sẽ có ý nghĩa như thế nào trong cách xây dựng ấy? Kết quả thực nghiệm cũng cho thấy nhiều học sinh bị nhầm lẫn giữa độ dài và diện tích. Chúng ta nên chăng thực hiện một nghiên cứu về việc dạy - học mối quan hệ giữa độ dài - diện tích - thể tích nhằm giúp học sinh phân biệt và tránh nhầm lẫn? TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, Nxb. Giáo dục. 2. Nguyễn Cang (1999), Lịch sử Toán học, Nxb. Trẻ, TP. Hồ Chí Minh. 3. Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy - học Hình học ở trường trung học phổ thông, Nxb. Đại học Quốc gia, TP. Hồ Chí Minh. 4. Nguyễn Định (2001), Hàm số biến số thực (Cơ sở giải tích hiện đại), Nxb. Giáo dục. 5. Nguyễn Văn Đoành (1999), Hình học, Nxb. Giáo dục. 6. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb. Giáo dục. 7. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2008), Giải tích 12 - sách giáo viên, Nxb. Giáo dục. 8. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Toán 3, Nxb. Giáo dục. 9. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Toán 3 - sách giáo viên, Nxb. Giáo dục. 10. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2006), Toán 4, Nxb. Giáo dục. 11. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2008), Toán 4 - sách giáo viên, Nxb. Giáo dục. 12. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2008), Toán 5, Nxb. Giáo dục. 13. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2008), Toán 5 - sách giáo viên, Nxb. Giáo dục. 14. Nguyễn Mộng Hy (2002), Xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề, Nxb. Giáo dục. 15. Hoàng Phê (chủ biên) (1992), Từ điển tiếng Việt, Viện Ngôn ngữ học Việt Nam. 16. Tôn Thân (chủ biên) (2005), Bài tập Toán 8 - tập một, Nxb. Giáo dục. 17. Tôn Thân (chủ biên) (2007), Toán 8 - tập một, Nxb. Giáo dục. 18. Tôn Thân (chủ biên) (2007), Toán 8 - tập một - sách giáo viên, Nxb. Giáo dục. 19. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nxb. Đại học Quốc gia, TP. Hồ Chí Minh. Tiếng Anh 20. Fitzpatrick, R. (2007), Euclide’s Elements of Geometry, Ebook, 21. Hilbert, D. (2005), The Foundations of Geometry (English version by Townsend, E. J.), . Tiếng Pháp 22. Baltar, P. (1992 ), Enseignement et apprentissage de la notion d’aire de surfaces planes : une étude de l’acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège, Thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1. 23. Perrin, M. J (1992), Aires de surfaces planes et nombres dècimaux. Questions didactiques lièes aux èlèments eu difficulté aux niveaux CM-6ème, Thèse de Doctorat D’Êtat, Université Paris 7. 24. Valentina, C. (2005), Les formules de calcul d’aires planes : un trait d’union entre le géométrique et le numérique, 13ème Ecole d’été de didactique des mathématiques, Ste Livrade. PHỤ LỤC 1. Phiếu tham khảo ý kiến của giáo viên 2. Thực nghiệm thứ nhất đối với học sinh 3. Thực nghiệm thứ hai đối với học sinh PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN Thưa Quý Thầy Cô, Chúng tôi đang thực hiện một nghiên cứu nhỏ về việc dạy học diện tích. Những ý kiến quý giá của Quý Thầy Cô là một phần không thể thiếu để nghiên cứu của chúng tôi được hoàn thiện hơn. Rất mong Quý Thầy Cô vui lòng giúp chúng tôi bằng cách trả lời các câu hỏi dưới đây hoặc đánh dấu X vào ô tương ứng. Chân thành cảm ơn! 1. Theo ý kiến của Thầy Cô, nên giải thích cho học sinh hiểu thế nào về diện tích một hình phẳng? .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. 2. Liên quan đến việc dạy học “diện tích” ở bậc trung học cơ sở, theo ý kiến của Thầy Cô: Không quan trọng Ít quan trọng Quan trọng Rất quan trọng Cung cấp cho HS định nghĩa về diện tích Chứng minh các công thức tính diện tích Cho HS làm nhiều bài tập về diện tích với cách giải không cần dùng đến công thức Yêu cầu HS thuộc công thức và ưu tiên dùng công thức để giải toán về diện tích 3. Có ý kiến cho rằng “có thể đưa ra một cách chứng minh khác về diện tích hình bình hành” thông qua việc trả lời câu hỏi ở bài tập 27 (SGK 8, tr. 125): “Vì sao hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF lại có cùng diện tích?”. D C F E A B Đối với bài tập này, Thầy Cô mong đợi ở học sinh câu trả lời nào sau đây? Lời giải 1. DBCE = DADF (c-g-c) Þ SBCE = SADF Þ SABED – SBCE = SABED – SADF Þ SABCD = SABEF. Lời giải 2. Hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF có đáy chung là AB và có chiều cao bằng nhau, vậy chúng có diện tích bằng nhau. Lời giải khác: .............................................................................................. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 4. “Gọi O là điểm nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác ABO và CDO bằng tổng diện tích của hai tam giác BCO và DAO.” (Bài tập 44, SGK 8, tr. 133) Thầy Cô ưu tiên trình bày lời giải nào? Lời giải 1. Qua O, kẻ hai đường thẳng song song với các cạnh, các giao điểm là M, N, P, Q (như hình vẽ). Ta có: DOBM = DOBN, DOCN = DOCP, DODP = DODQ, DOAQ = DOAM (g-c-g) Suy ra: SOBM = SOBN, SOCP = SOCN, SODP = SODQ, SOAM = SOAQ Do đó: SOBM + SOAM + SOCP + SODP = SOBN + SOAQ + SOCN + SODQ Vậy SABO + SCDO = SBCO + SDAO. Lời giải 2 Gọi khoảng cách từ O đến AB là x, khoảng cách từ O đến CD là y. Thế thì x + y = h. Ta có: OAB 1 . . 2 S a x= ; ODC 1 . . 2 S a y= Suy ra, OAB ODC ABCD 1 . 1. .( ) . 2 2 2 a hS S a x y S+ = + = = Tương tự: OAD OBC ABCD 1 . 2 S S S+ = Vậy SABO + SCDO = SBCO + SDAO. Lời giải khác: .............................................................................................. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 5. “Trong hình vẽ bên, ABCD, CEFG là những hình vuông và ta chưa biết độ dài bất kỳ đoạn nào. Hãy đưa ra công thức tính SDBEG sao cho số đoạn cần đo là ít nhất.” Với bài toán trên (học sinh có thể lấy thêm điểm, kẻ thêm đường, nếu cần), Thầy Cô mong đợi học sinh tìm SDBEG theo cách nào? .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. A M B D P C Q O N A a B D C x O y B A G F C D E THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT ĐỐI VỚI HỌC SINH Thực nghiệm thứ nhất gồm có ba câu, mỗi câu in trên một trang giấy. Nội dung phiếu thực nghiệm: Quy ước: · Được lấy thêm các điểm, kẻ thêm các đoạn thẳng mà em cho là cần thiết. · Không tẩy xóa, chỉ gạch chéo những phần muốn bỏ. Câu 1. Bạn An thắc mắc “thế nào là diện tích của một hình?”. Em hãy viết tiếp vào phần chừa trống để giải thích cho An và nếu cần thì em có thể cho ví dụ minh họa. * Diện tích của một hình là ....... Câu 2. Cho tam giác ABC; M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm giá trị n sao cho ta có đẳng thức: SABC = n.SMNP Trình bày tất cả các cách làm mà em tìm được. A M P B N C Câu 3. “Trong hình vẽ bên, ABCD, CEFG là những hình vuông. Chúng ta cần tính SDAEG. a) Người ta chưa cho số đo của bất kỳ đoạn thẳng nào trong hình. Em hãy đo độ dài các đoạn thẳng mà em cho là cần thiết và tính SDAEG. b) Em cần phải đo bao nhiêu đoạn thẳng trong cách làm trên? Hãy tìm thêm những cách giải khác sao cho số đoạn thẳng phải đo là ít nhất (để sai số nhỏ nhất). MỘT SỐ CÂU TRẢ LỜI CỦA HỌC SINH Câu 1 * Diện tích là bề mặt * Diện tích gắn với số đo, công thức * Nhầm lẫn giữa diện tích với chiều dài (chu vi) Câu 2 * Tìm tỉ số từ các tam giác bằng nhau * Tìm tỉ số bằng cách dùng công thức * Tìm tỉ số diện tích qua tỉ số độ dài (học sinh đã cho đáp số sai) Câu 3 * Tính diện tích tam giác... Ngay lập tức học sinh nghĩ đến công thức 1 2 S ah= Kết quả có thể sai số nhiều hoặc ít, nhưng tất cả đều không chính xác: * Khi tách hình, sử dụng những đường vuông góc có sẵn, học sinh thay số trước khi rút gọn: THỰC NGHIỆM THỨ HAI ĐỐI VỚI HỌC SINH Thực nghiệm thứ nhất gồm có hai câu, mỗi câu in trên một tờ giấy. Nội dung phiếu thực nghiệm: Quy ước: · Được lấy thêm các điểm, kẻ, đo các đoạn thẳng mà em cho là cần thiết. · Không tẩy xóa, chỉ gạch chéo những phần muốn bỏ. Câu 1. “Trong hình dưới đây, ta có: o B, A, F, E thuộc đường thẳng (d); o CD // (d); BC // AD; CF // DE; So sánh diện tích của: · Hai hình bình hành ABCD và CDEF; · Hai tam giác BCD và FCD.” Trình bày tất cả các cách em tìm được. B A F E (d) C D Câu 2. Trong hình bên, ABCD, CEFG là những hình thoi. Gọi SAEG là diện tích tam giác AEG và SCEFG là diện tích tứ giác CEFG. Em hãy: · So sánh diện tích hai tam giác AIG và CIE; · Tìm tỷ số AEG CEFG S S Trình bày tất cả các lời giải mà nhóm em tìm được. BÀI LÀM CỦA NHÓM ......... A D G F I B C E TIẾN TRÌNH THẢO LUẬN CỦA NHÓM 10 HS1. Diện tích... thì phải có đường cao HS2. Có kẻ đường cao thêm được không? HS3 (Quân). Không, cái này khác cạnh đáy, mình phải so sánh đường cao chung HS1. Không, chung cạnh đáy nè HS2. ... Khác cạnh đáy ..... HS4 (nữ). Lấy thước này kẻ nè... Lấy viết này kẻ nè HS2. Thôi, vẽ ngoài nháp đi HS1. Có cho sẵn đường cao nè... HS Quân. Chứng minh 2 đường chéo song song được mà, phải không ta? HS1. Được HS2. Không có HS1. Song song đó... HS4. Hình thoi kìa... Hình thoi là nó song song với nhau rồi HS1. Đường chéo... HS4. Phải vẽ lại cái hình nữa .... HS2. Gợi ý ở đây có cho S(AEG) nè... HS Quân. Nó giải thích tỷ số ở câu b ra, hổng có xài HS2. Thì đó... CEFG HS1. Diện tích cái này bằng cái nào vậy? HS2. Bằng cạnh này bình phương HS Quân. Chứng minh... HS4. Coi đi... Quân HS1. Diện tích này bằng nửa hình thoi.... ...... HS4. Kẻ ra luôn... HS Quân. Đường cao... Cái này có chung trung điểm... Trung điểm này với đường cao... Được không ta? ...... HS2. Không có bằng nhau... HS1. Mày đo cũng không được luôn... Đâu có dễ dàng... HS Quân. Hai mặt phẳng này tách nhau khó lắm... .... HS Quân. Cái này hình bình hành đúng không? Nếu kẻ hai cái này bằng nhau, vậy hình bình hành này chia cái này thành hai tam giác này. Vậy so sánh diện tích của... HS1. Ê... cái này tính chất bắc cầu được không? ...... HS2. Hai cái này bằng nhau rồi.... HS1. Ê khoan... mình chứng minh cái này bằng bao nhiêu phần diện tích cái này rồi mình lấy cái này chứng minh cái này được không? HS2. Được, miễn sao ra thì thôi .... HS1. Chứng minh IE.... HS2. Tao làm câu b cho HS4. Làm trước câu b đi HS2. Ừ, sao cũng được... HS1. Tỷ số này bằng 2 hả Quân? HS Quân. Dĩ nhiên HS1. Chứng minh làm sao? HS Quân. Biết cái này bằng 2, chứng minh thông qua cái nào? HS1. Đặt số đo... Cạnh này là x, cạnh này là y nè... HS Quân. Vậy nếu cái này 1/2 thì diện tích này bằng diện tích này rồi... Tao chứng minh câu a trước... Mày phải chứng minh câu a thì hai diện tích này bằng nhau thì mới tính được câu b. Tại đường chéo chia cái này thành hai diện tích đúng không? Coi như cái này bằng 1/2 cái này... (Đúng đúng...) HS Quân. Đó... xong rồi... Còn nếu diện tích này bằng diện tích này để mày thế vô là xong. Phải tính câu a trước.. HS1. Bây giờ giả sử cho hai cái này bằng nhau đi... Bây giờ tìm các mối liên hệ nè HS Quân. Phải kẻ thêm... HS1. Bằng nhau đi... Cho bằng nhau đi... Í í í... ........... Bây giờ mình phải tìm cách chứng minh AGE bằng diện tích này chia đôi... HS Quân. Không... Vậy chứng minh luôn câu này rồi... Chứng minh diện tích AGE bằng diện tích cái này nè... HS1. Thì đó... HS Quân. Kẻ cái này xuống... Kẻ cái này xuống... Không được, làm sao chung đường cao đây? AGE bằng cái này... ... HS1. Ê Quân, mày chỉ cần chứng minh hai đường chéo này bằng nhau thôi HS Quân. Cái gì? HS2. Mày chứng minh hai đường chéo này song song với nhau là tao ra rồi đó... HS Quân. Nếu giả thiết nó song song thì sao? HS2. Từ đây mày kẻ đường cao, nếu cái này song song thì có hai cái này bằng nhau, chung cạnh... Bây giờ... HS Quân. Nếu hai cái này song song thì sao? HS2. Bây giờ nối đây nè... quan trọng là cách nối đây nè... HS Quân. Cái này hình thoi phải không? Vậy góc này bằng góc này. Xong rồi... HS Quân. Ghi trong đây nè... Nối hai đường... HS Quân. Quá hay... Nhờ suy nghĩ câu b trước đó.. Suy ngược ra câu a được HS1. Mày lo viết đi... HS Quân. Nối đường chéo A, C lại... Kéo dài EG ra... HS4. Để chứng minh hình chữ nhật. Sau đó chứng minh hai cạnh bằng nhau rồi quy ra độ đo... Hai cái đường chéo của hình thoi song song với nhau và chứng minh được các tam giác bằng nhau (hs ghi kết quả vào phiếu...) ._.