Iđêan nguyên tố đối liên kết và đồng điều địa phương

............................. iii Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................................1 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis ........................................1 1.2 Mơđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương...........................4 Chương 2: IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ................................................................................................19 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết ...............................................................19 2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết và mơđun đồng điều địa phương..........39 KẾT LUẬN .....................................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................49 MỤC LỤC ii Bảng các ký hiệu tốn học thường dùng trong luận văn lim←− t Mt : giới hạn ngược của hệ ngược các mơđun { Mt } lim−→ t Mt : giới hạn thuận của hệ thuận các mơđun { Mt } ΛI(M) : đầy đủ I − adic của mơđun M M̂ : đầy đủm−adic của mơđun M R̂ : vành đầy đủm−adic của vành địa phương (R,m) ΛI : hàm tử làm đầy I − adic LIi : hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛI H iI(M) : mơđun đối đồng điều địa phương thứ i của mơđun M theo iđêan I HIi (M) : mơđun đồng điều địa phương thứ i của mơđun M theo iđêan I E(R/m) : bao nội xạ của R/m D(M) : đối ngẫu Matlis của mơđun M L(M) : tổng tất cả các mơđun con Artin của mơđun M Spec(R) : tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R CoassR(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun M AssR(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với mơđun M Max(R) : tập tất cả các iđêan tối đại của vành R V (p) : tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa p MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck đĩng một vai trị quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hốn. Sau đĩ lý thuyết đồng điều địa phương, được xem như đối ngẫu với đối đồng điều địa phương, được nhiều nhà tốn học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees - May (1992), Alonso Tarrío, Lĩpez, Tang (1994), Lipman (1999),.... Tuy nhiên kết quả rất hạn chế và chủ yếu nghiên cứu trên lớp mơđun artin vì giới hạn ngược lim←− khơng khớp phải trên phạm trù các mơđun. Năm 1999 - 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã phát triển lý thuyết đồng điều địa phương trên các mơđun compăc tuyến tính là lớp mơđun rất rộng, chứa cả lớp mơđun artin và chứa cả lớp mơđun hữu hạn nếu vành R đầy đủ. Và bằng đối ngẫu Matlis, các tác giả đã thu được một số kết quả đối với mơđun đối đồng điều địa phương. Khái niệm về iđêan nguyên tố đối liên kết đã được nhiều nhà tốn học nghiên cứu đến như Chamless (1981), Zo¨schinger (1988), Yassemi (1995),..., đến năm 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã nghiên iii MỞ ĐẦU iv cứu các iđêan nghiên tố đối liên kết với các mơđun compăc tuyến tính. Trong [27], Yassemi đã định nghĩa iđêan nguyên tố đối liên kết như sau: Một R−mơđun L được gọi là cocyclic nếu L là một mơđun con của E(R/m) với m ∈Max(R). Cho M là một R−mơđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu cĩ một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M được gọi là p−đối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn này tiếp tục nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun đồng điều địa phương HIi (M) của mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc M . 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun, mơđun compăc tuyến tính, mơđun đồng điều địa phương. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tìm đươc điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun đồng điều địa phương, và bằng đối ngẫu Matlis, ta thu được MỞ ĐẦU v một số kết quả quan trọng đối với tập các iđêan nguyên tố liên kết với mơđun đối đồng điều địa phương. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương - Chương 1: Kiến thức cơ bản. Phần này ơn lại các kiến thức cơ bản về đối ngẫu Matlis, giới hạn thuận lim−→ , giới hạn ngược lim←− , mơđun com- păc tuyến tính, mơđun đối đồng điều địa phương H iI(M), mơđun đồng điều địa phương HIi (M), cùng một số tính chất quan trọng cần thiết cho chương 2. - Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun đồng điều địa phương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun đồng điều địa phương HIi (M). Phần đầu tiên của chương này dành cho việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm trù các mơđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết Bổ đề 2.1.5: Cho M là một R−mơđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ CoassR(M). (ii) Tồn tại m ∈Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ AssR(D(M)). Bổ đề 2.1.6: Cho M là một R−mơđun. Nếu p ∈ Ass(M) thì p ∈ MỞ ĐẦU vi Coass(D(M)) với mọi m ∈Max(R) ∩ V (p). Đối với các dãy khớp ngắn, tập các iđêan nguyên tố đối liên kết cĩ một số tính chất sau Bổ đề 2.1.8: Cho một dãy khớp ngắn các R−mơđun 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. Khi đĩ CoassR(M”) ⊆ CoassR(M) ⊆ CoassR(M ′) ∪ CoassR(M”). Mệnh đề 2.1.27: Cho một dãy khớp các R−mơđun 0 −→ N −→M −→ K −→ 0. Khi đĩ, nếu K là một R−mơđun hữu hạn thì CoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassM(K) Phần thứ hai là nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với các mơđun compăc tuyên tính, cho ta được một số kết quả quan trọng, cụ thể như sau: Mệnh đề 2.1.29: Cho M là một R−mơđun compăc tuyến tính I−tách. Nếu cĩ một phần tử x ∈ I sao cho CoassR(M/xM) là hữu hạn thì CoassR(M) hữu hạn. Hệ quả 2.1.32: Nếu M là R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, thì tập hợp CoassR(M) hữu hạn. Phần thứ ba là nghiên cứu các điều kiện để tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với mơđun đồng điều địa phương của mơđun compăc tuyến tính nữa rời rạc là hữu hạn. MỞ ĐẦU vii Định lý 2.2.3: Cho M là một R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên khơng âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−mơđun đồng điều địa phương HIi (M) hữu hạn khi R−mơđun HIj (M) hữu hạn với mọi j < i Định lý 2.2.4: Cho M là một R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên khơng âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−mơđun đồng điều địa phương HIi (M) hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR(HIj (M))),∀j < i. Phần cuối, bằng đối ngẫu Matlis ta mở rộng được một số tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với mơđun đối đồng điều địa phương. Hệ quả 2.2.6: Cho (R,m) là một vành địa phương đầy đủ với tơpơ m−adic và M là một R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i là một số nguyên khơng âm. Tập các nguyên tố liên kết với mơđun đối đồng điều địa phương H iI(M) là hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR(HjI (M))),∀j < i. Hệ quả 2.2.8: Cho M là một R−mơđun hữu hạn trên một vành địa phương (R,m) và i là một số nguyên khơng âm. Tập các nguyên tố liên kết của mơđun đối đồng điệu địa phương H iI(M) là hữu hạn khi mơđun HjI (M) là hữu hạn với mọi j<i. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis Iđêan nguyên tố liên kết Cho M là một R−mơđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố liên kết với M nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x ∈M sao cho Ann(x) = p; (ii) M chứa một mơđun con đẳng cấu với R/ p. Tập các nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là AssR(M) hoặc Ass(M). Bổ đề 1.1.1. (xem [14, 7.B]) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan {Ann(x)|x ∈M,x 6= 0}. Khi đĩ p ∈ Ass(M). Bổ đề 1.1.2. (xem [14, 7.B]) Ass(M) = ∅ ⇔M = 0. 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 Cho M là một R−mơđun. Support của M , kí hiệu Supp(M), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp 6= 0 (Mp là địa phương hĩa của M tại p). Bổ đề 1.1.3. (xem [2, §3]) Cho dãy khớp ngắn 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0 Khi đĩ Supp(M) = Supp(M ′) ∪ Supp(M”). Bổ đề 1.1.4. (xem [14, 7.D]) Cho R là một vành Noether và M là một R−mơđun. Khi đĩ Ass(M) ⊆ Supp(M), và bất kỳ phần tử nhỏ nhất của Supp(M) đều nằm trong Ass(M). Bổ đề 1.1.5. (xem [14, 7.F]) Cho một dãy khớp ngắn các R−mơđun 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. Khi đĩ Ass(M) ⊆ Ass(M ′) ∪ Ass(M”). Bổ đề 1.1.6. (xem [14, 7.G]) Cho R là một vành Noether và M là một R−mơđun hữu hạn thì Ass(M) cũng là một tập hữu hạn. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành, với mỗi p ∈ Spec(R′) ta cĩ f−1(p) ∈ Spec(R). Do đĩ, ta cĩ thể xác định được một ánh xạ f ∗ : Spec(R′) −→ Spec(R) liên tục. Điều này dẫn đến các bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Bổ đề 1.1.7. (xem [14, 9.A]) Cho φ : R −→ R′ là một đồng cấu các vành Noether và M là một R′−mơđun. Chúng ta cĩ thể xem M như một R−mơđun theo nghĩa của φ. Khi đĩ AssR(M) = φ ∗(AssR′(M)). Bổ đề 1.1.8. (xem [14, 9.B]) Cho φ : R −→ R′ là một đồng cấu các vành Noether, E là một R−mơđun và F là một R′−mơđun. Giả sử F là một R−mơđun phẳng. Khi đĩ: (i) Với bất kỳ iđêan nguyên tố p của R, φ∗(AssR′(F/ pF )) = AssR(F/ pF ) =  {p} nếu F/ pF 6= 0∅ nếu F/ pF = 0. (ii) AssR′(E ⊗R F ) = ⋃ p∈Ass(E) AssR′(F/ pF ). Đối ngẫu Matlis Định nghĩa 1.1.9. Cho M là một R-mơđun. Đối ngẫu Matlis của M là mơđun D(M) = HomR(M ;E(R/m)) trong đĩ E(R/m) là bao nội xạ của R/m và m ∈Max(R). Bổ đề 1.1.10. (xem [24, 3.4.2]) Với mọi mơđun M ta cĩ Ann(D(M)) = Ann(M) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 Bổ đề 1.1.11. (xem [2, §2]) D(M ⊗N) ∼= Hom(M,D(N)) 1.2 Mơđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương Giới hạn thuận Định nghĩa 1.2.1. Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được gọi là một tập định hướng nếu với bất kỳ t, s ∈ V tồn tại r ∈ V sao cho t ≤ r và s ≤ r. Một họ {Mt, frt} gồm các R-mơđun Mt với t ∈ V và các đồng cấu frt : Mr → Mt với mọi r ≤ t được gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau: ftt = idMt và fstfrs = frt với r ≤ s ≤ t. Cho hai hệ thuận các R−mơđun {Mt, frt} và {M ′t, f ′rt} (trên cùng một tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ thuận ϕ : {Mt, frt} −→ {M ′t, f ′rt} là một họ gồm các đồng cấu {ϕt : Mt →M ′t} thỏa mãn f ′rtϕr = ϕtfrt với r ≤ t. Giới hạn thuận của hệ thuận {Mt, frt} được định nghĩa như sau: Trên một hợp rời nhau ∐ t Mt của các Mt, ta định nghĩa một quan hệ tương CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 đương ≡ như sau x ≡ y ⇔  x ∈Mr, y ∈Mt,∃s,r ≤ s, t ≤ s và frs(x) = fts(y) Mơđun thương (∐ t Mt ) /≡ là giới hạn thuận của {Mt, frt} và được ký hiệu là lim−→ t Mt. Bổ đề 1.2.2. (xem [15, Appendix A, theorem A.1]) Cho N là một R−mơđun, và cho F = {Mt; frt} là một hệ thuận các R−mơđun. Khi đĩ lim−→ t (Mt ⊗R N) = (lim−→ t Mt)⊗R N. Bổ đề 1.2.3. (xem [15, Appendix A, theorem A.2]) Giả sử ta cĩ ba hệ thuận các R−mơđun được đánh thứ tự trên cùng một tập định hướng V , F ′ = {M ′t; f ′rt}, F = {Mt; frt} và F” = {M ”t ; f ”rt} và các ánh xạ {ϕt} : F ′ → F và {ψt} : F → F” sao cho với mỗi t thì M ′t ϕt−→Mt ψt−→M ”t là một dãy khớp thì dãy các giới hạn thuận lim−→ t M ′t ϕ∞−→ lim−→ t Mt ψ∞−→ lim−→ t M ”t cũng là một dãy khớp. Giới hạn ngược Định nghĩa 1.2.4. Một họ {Mt, frt} gồm các R-mơđun Mt với t ∈ V và các đồng cấu frt : Mr → Mt với mọi t ≤ r được gọi là hệ ngược trên V CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 6 nếu thỏa mãn các điều kiện sau: ftt = idMt và fstfrs = frt với t ≤ s ≤ r. Khi các đồng cấu frt đã được ngầm hiểu, ta cĩ thể ký hiệu gọn hệ ngược ở trên là {Mt}. Cho hai hệ ngược các R−mơđun {Mt, frt} và {M ′t, f ′rt} (trên cùng một tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ ngược ϕ : {Mt, frt} −→ {M ′t, f ′rt} là một họ gồm các đồng cấu {ϕt : Mt →M ′t} thỏa mãn f ′rtϕr = ϕtfrt với t ≤ r. Giới hạn ngược của hệ ngược {Mt, frt} được định nghĩa như sau: Tập con của tích trực tiếp ∏ t Mt gồm tất cả các phần tử (xt) thỏa mãn frt(xr) = xt với mọi r, t ∈ V, t ≤ r lập thành một R-mơđun. Ta gọi mơđun này là giới hạn ngược của {Mt, frt} và kí hiệu là lim←− t Mt. Phép lấy giới hạn ngược nĩi chung khơng phải là hàm tử khớp, nĩ chỉ là hàm tử khớp trái. Một hệ ngược {Mt, frt} của các R−mơđun được gọi là thỏa mãn tiêu chuẩn Mittag-Leffler (ML) nếu với mỗi t, tồn tại t0 > t sao cho nếu r, r′ > t0, thì frt(Mr) = fr′t(Mr′). Chúng ta cĩ tiêu chuẩn sau đây về tính khớp của giới hạn ngược: Bổ đề 1.2.5. (xem [7, 2.2]) Cho dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−mơđun 0 −→ {Mt} −→ {Nt} −→ {Pt} −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 7 (i) Nếu {Nt} thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì {Pt} cũng thỏa ML. (ii) Nếu {Mt} thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì dãy sau đây khớp 0 −→ lim←− t Mt −→ lim←− t Nt −→ lim←− t Pt −→ 0. Cho F là một hàm tử hiệp biến cộng tính trên phạm trù các R−mơđun. Hàm tử dẫn xuất trái thứ i LiF của F được xác định như sau: với mỗi mơđun M , LiF (M) là mơđun đồng điều thứ i của phức F (P∗), trong đĩ P∗ là giải thức xạ ảnh của M . Nếu F là hàm tử khớp phải, thì LiF = F . Cho I là một iđêan của R. Họ tồn cấu chính tắc M/I t+1M →M/I tM, t ∈ N cảm sinh ra một hệ ngược các R−mơđun {M/I tM}. Đầy đủ I−adic của M là mơđun ΛI(M) = lim←− t M/I tM . Khi đĩ hàm tử làm đầy I−adic ΛI là hiệp biến, cộng tính trên phạm trù các R−mơđun. Để ý rằng M/I tM ∼= R/I t ⊗RM. Vì hàm tử tenxơ ⊗ khơng khớp trái và hàm tử giới hạn ngược lim←− t khơng khớp phải, nên hàm tử làm đầy I−adic khơng khớp trái cũng khơng khớp phải. Gọi LIi là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛI , Khi đĩ L I i cũng là hàm tử hiệp biến, cộng tính. Đặc biết LI0 là hàm tử khớp phải, nhưng nĩi chung LI0 6= ΛI , vì hàm tử ΛI khơng khớp phải. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ N f−→ F g−→M −→ 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 8 với F là mơđun tự do. Ta cĩ dãy khớp sau bằng cách nhân tenxơ với R−mơđun R/I t N/I tN ft−→ F/I tF gt−→M/I tM −→ 0 Lấy giới hạn ngược ta thu được dãy sau ΛI(N) ΛI(f)−→ ΛI(F ) ΛI(g)−→ ΛI(M) −→ 0. Dãy này thỏa mãn điều kiện ImΛI(f) ⊆ kerΛI(g), nhưng khơng nhất thiết là khớp. Để ý rằng kergt = Imft ∼= f(N)/(f(N) ∩ I tF ), tức là hệ ngược {kergt} thỏa điều kiện ML vì các đồng cấu cảm sinh là tồn cấu. Theo bổ đề 1.2.5(ii), ΛI(g) là tồn cấu. Vì thế LI0(M) ∼= ΛI(F )/ImΛI(f) và ΛI(M) ∼= ΛI(F )/kerΛI(g). Như vậy ta cĩ tồn cấu tự nhiên ϕM : L I 0(M)→ ΛI(M). ϕM nĩi chung khơng phải là đẳng cấu. Bổ đề 1.2.6. (xem [7, 2.3]) Cho M là một R−mơđun và I là một iđêan của R. Giả sử rằng hệ {I tM} là dừng, nghĩa là, tồn tại một số nguyên dương n sao cho I tM = InM với mọi t > n. Khi đĩ tồn cấu tự nhiên ϕM : L I 0(M) −→ ΛI(M) là một đẳng cấu. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 9 Bổ đề 1.2.7. (xem [7, 2.4]) Nếu M là R−mơđun Artin, thì tồn cấu tự nhiên ϕM : L I 0(M) −→ ΛI(M) là một đẳng cấu. Bổ đề 1.2.8. (xem [7, 2.5]) Cho M là R−mơđun. Khi đĩ các điều kiện sau đây là tương đương: (i) IM = M. (ii) LI0(M) = 0. (iii) ΛI(M) = 0. Mơđun compăc tuyến tính Định nghĩa 1.2.9. Cho M là một R-mơđun. M được gọi là tơpơ tuyến tính nếu M cĩ một cơ sở M các lân cận của phần tử 0 bao gồm các mơđun con. M được gọi là Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của phần tử 0 bằng 0. Một R-mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff M được gọi là compăc tuyến tính nếu F là một họ các phủ đĩng (nghĩa là các phủ của các mơđun con đĩng) trong M mà cĩ tính giao hữu hạn, thì các phủ trong F cĩ giao khác 0. Rõ ràng R-mơđun Artin là compăc tuyến tính và rời rạc. Nếu (R,m) là một vành đầy đủ thì R-mơđun hữu hạn cũng compăc tuyến tính và rời rạc. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 10 Chú ý 1.2.10. (xem [5, 2.2]) Cho M là một R−mơđun. NếuM là một họ các mơđun con của M mà thỏa các điều kiện sau: (i) Với mọi N1, N2 ∈M thì cĩ một N3 ∈M sao cho N3 ⊆ N1 ⋂ N2. (ii) Với mỗi phần tử x ∈ M và N ∈ M thì cĩ một lân cận U của phần tử 0 của R sao cho Ux ⊆ N , thìM là một cơ sở của một tơpơ tuyến tính trên M . Bổ đề 1.2.11. (xem [5, 2.3]) (i) Cho M là một R−mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff và N là R−mơđun con đĩng của M . Khi đĩ M là compăc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M/N là compăc tuyến tính. (ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R−mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff. Nếu M là compăc tuyến tính, thì f(M) là compăc tuyến tính và f là ánh xạ đĩng. (iii) Nếu {Mi}i∈I là một họ các R−mơđun compăc tuyến tính. thì ∏ i∈I Mi cũng là compăc tuyến tính với tơpơ tích. (iv) Giới hạn ngược của một hệ ngược các R−mơđun compăc tuyến tính và các đồng cấu liên tục cũng là compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.12. (xem [6, 2.2]) Cho M là một R−mơđun compăc tuyến tính. Chúng ta cĩ (i) M ∼= lim←− U∈M M/U trong đĩ M là cơ sở lân cận của phần tử 0 gồm các mơđun con. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 11 (ii) Nếu N là một mơđun con đĩng của M và {Pi} là một họ các mơđun con đĩng của M sao cho với mỗi cặp Pi, Pj cĩ một Pk ⊆ Pi ∩ Pj, thì⋂ i (N + Pi) = N + ⋂ i Pi. Bổ đề 1.2.13. (xem [5, 2.4]) Cho {Mt} là một hệ ngược các mơđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Nếu 0 −→ {Mt} −→ {Nt} −→ {Pt} −→ 0 là dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−mơđun thì dãy các giới hạn ngược 0 −→ lim←− t Mt −→ lim←− t Nt −→ lim←− t Pt −→ 0 là khớp. Cho M là một R−mơđun compăc tuyến tính và F là một R−mơđun tự do với một cơ sở {ei}i∈I . Chúng ta cĩ thể định nghĩa tơpơ trên HomR(F,M) như một tơpơ tích thơng qua đẳng cấu HomR(F,M) ∼= MJ , trong đĩ MJ = ∏ i∈J Mi với Mi = M với mọi i ∈ J . Khi đĩ HomR(F,M) là một R−mơđun compăc tuyến tính theo 1.2.11(iii). Hơn nữa, nếu h : F −→ F ′ là một đồng cấu của các mơđun tự do thì nĩ cảm sinh đồng cấu liên tục h∗ : HomR(F ′,M) −→ HomR(F,M). Cho F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 là một phép giải tự do của một R−mơđun N . Khi đĩ ExtiR(N,M) là một R−mơđun tơpơ tuyến tính với tơpơ thương của Hom(Fi,M). Tơpơ này trên ExtiR(N,M) được gọi là tơpơ cảm sinh bởi phép giải tự do F• của N . Bổ đề 1.2.14. (xem [5, 2.5]) Nếu M là một R−mơđun compăc tuyến tính và N là một R−mơđun. Khi đĩ với mọi i > 0, ExtiR(N ;M) cũng là R−mơđun compăc tuyến tính với tơpơ cảm sinh bởi một phép giải tự do của N và tơpơ này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N ′ là một đồng cấu của các R−mơđun, thì đồng cấu cảm sinh ExtiR(N ′;M) −→ ExtiR(N ;M) là liên tục. Cho N là một R−mơđun hữu hạn sinh và F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. là một phép giải tự do của N với các mơđum tự do hữu hạn sinh. Như trên, chúng ta cĩ thể định nghĩa đối với một mơđun compăc tuyến tính M một tơpơ trên TorRi (N,M) được cảm sinh từ tơpơ tích của Fi ⊗RM . Bổ đề 1.2.15. (xem [5, 2.6]) Cho N là một R−mơđun hữu hạn sinh và M là một R−mơđun compăc tuyến tính. Khi đĩ TorRi (N ;M) là một R−mơđun compăc tuyến tính với một tơpơ được sinh bởi một phép giải tự do của N (bao gồm tất cả các mơđun tự do hữu hạn sinh) và tơpơ này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N ′ là CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 13 một đồng cấu của các R−mơđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu cảm sinh TorRi (N ;M) −→ TorRi (N ′;M) là liên tục. Bổ đề 1.2.16. (xem [5, 2.7]) Cho N là một R−mơđun hữu hạn sinh và {Mt} là một hệ ngược của các R−mơđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Khi đĩ với mọi i > 0, {TorRi (N ;Mt)} tạo thành một hệ ngược các mơđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Hơn nữa, ta cĩ TorRi (N ; lim←− t Mt) ∼= lim←− t TorRi (N ;Mt) Định nghĩa 1.2.17. Một R−mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff M được gọi là nửa rời rạc nếu mọi mơđun con của M đều đĩng. Do đĩ một R−mơđun rời rạc là nửa rời rạc. Lớp các R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc chứa tất cả các mơđun Artin. Hơn nữa, nĩ cịn chứa tất cả các mơđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ. Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các mơđun con Artin của M , chúng ta cĩ tính chất sau của các mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Bổ đề 1.2.18. (xem [5, 2.8]) Cho M là R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đĩ L(M) là một mơđun Artin CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 14 Đồng điều địa phương Với mỗi R-mơđun M, mơđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I, ký hiệu H iI(M), được xác định theo cơng thức H iI(M) = lim−→ t ExtiR(R/I t;M). Từ đây ta đưa ra một định nghĩa về đồng điều địa phương như một đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều địa phương. Định nghĩa 1.2.19. Cho I là một iđêan của R, mơđun đồng điều địa phương thứ i của một R−mơđun M theo I, ký hiệu HIi (M), được xác định theo cơng thức HIi (M) = lim←− t TorRi (R/I t,M). Kí hiệu ΛI(M) = lim←− t M/I tM là một đầy đủ I−adic của M , khi đĩ HI0 (M) ∼= ΛI(M). Chú ý 1.2.20. (xem [5, 3.1]) (i) Khi I tTorRi (R/I t,M) = 0 thì TorRi (M/I tM,N) cĩ một cấu trúc tự nhiên như một mơđun trên vành R/I t với mọi t > 0. Khi đĩ HIi (M) = Tor R i (R/I t,M) cĩ một cấu trúc tự nhiên như một mơđun trên vành ΛI(M) = lim←− t R/I t. (ii) Nếu M là một R−mơđun hữu hạn sinh thì HIi (M) = 0,∀i > 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 15 Bổ đề 1.2.21. (xem [7, 3.3]) Cho M là một R-mơđun. Các khẳng định sau là đúng (i) Với mọi i > 0, mơđun đồng điều địa phương HIi (M) là I−tách, nghĩa là: ⋂ s>0 IsHIi (M) = 0 (ii) Giả sử (R,m) là một vành địa phương. Khi đĩ với mọi i ≥ 0, HIi (D(M)) ∼= D(H iI(M)), trong đĩ D(M) = HomR(M,E) là mơđun đối ngẫu Matlis của M và E = E(R/m) là bao nội xạ của trường đồng dư R/m. Sau đây là một số tính chất của mơđun đồng điều địa phương đối với các mơđun compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.22. (xem [5, 3.3]) Nếu M là R−mơđun compăc tuyến tính, thì HIi (M) cũng là R−mơđun compăc tuyến tính với mọi i > 0. Bổ đề 1.2.23. (xem [5, 3.4]) Nếu {Ms} là hệ ngược các mơđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục, thì HIi (lim←− s Ms) ∼= lim←− s HIi (Ms) Bổ đề 1.2.24. (xem [5, 3.5]) Cho M là R−mơđun compăc tuyến tính. Khi đĩ LIi (M) ∼= HIi (M),∀i ≥ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 16 Bổ đề 1.2.25. (xem [5, 3.6]) Cho 0→M ′ →M →M”→ 0 là dãy khớp các mơđun compăc tuyến tính. Khi đĩ ta cĩ dãy khớp dài các mơđun đồng điều địa phương · · · −→ HIi+1(M”) −→ HIi (M ′) −→ HIi (M) −→ HIi (M”) −→ · · · −→ HI1 (M”) −→ HI0 (M ′) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M”) −→ 0 Bổ đề 1.2.26. (xem [5, 3.7]) Cho M là R−mơđun compăc tuyến tính. Khi đĩ các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là I−tách, nghĩa là ⋂ t>0 I tM = 0 (ii) M là đầy đủ theo tơpơ I−adic, nghĩa là ΛI(M) ∼= M (iii) HIi (M) ∼=  M nếu i = 00 nếu i > 0 Bổ đề 1.2.27. (xem [5, 3.8]) Cho M là R−mơđun compăc tuyến tính. Khi đĩ với mọi j > 0 HIi (H I j (M)) ∼=  HIj (M) , i = 00 , i > 0 Bổ đề 1.2.28. (xem [5, 3.9]) Cho M là một R−mơđun compăc tuyến tính. Khi đĩ: HIi (⋂ t>0 I tM ) ∼=  0, i = 0HIi (M), i > 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 17 Bổ đề 1.2.29. (xem [5, 3.10]) Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M là một R−mơđun hữu hạn sinh. Khi đĩ M là R−mơđun compăc tuyến tính khi và chỉ khi M là đầy đủ trong tơpơ m−adic. Bổ đề 1.2.30. (xem [5, 4.1]) Cho M là R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đĩ, HI0 (M) = 0 khi và chỉ khi cĩ một phần tử x ∈ I sao cho xM = M . Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các mơđun con Artin của M, khi đĩ ta cĩ bổ đề sau Bổ đề 1.2.31. (xem [5, 4.5]) Cho M là R−mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đĩ HIi (M) ∼= HIi (L(M)),∀i > 0 và dãy sau đây khớp 0 −→ HI0 (L(M)) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M/L(M)) −→ 0. Bổ đề 1.2.32. (xem [5, 4.13]) Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M là một mơđun compăc tuyến tính nửa rời rạc khác khơng. Khi đĩ Hmi (M) = 0 với mọi i ≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại một phần tử x ∈ m sao cho xM = M và 0 :M x = 0. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành Noether và M là một R′−mơđun. Khi đĩ M cĩ thể xem như một R−mơđun theo f , nên HIi (M) cĩ một cấu trúc tự nhiên như một ΛI(M)−mơđun. Từ đây ta cĩ bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 18 Bổ đề 1.2.33. (xem [7, 3.7]) Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành Noether và M là một R′−mơđun. Khi đĩ ta cĩ đẳng cấu của các ΛI(R)−mơđun HIi (M) ∼= HIR′i (M),∀i ≥ 0. Bổ đề 1.2.34. (xem [7, 4.6]) Cho (R,m) là một vành địa phương và M là một R−mơđun Artin. khi đĩ Hmi (M) là một Rˆ−mơđun với mọi i ≥ 0. Bổ đề 1.2.35. (xem [7, 4.7]) Cho M là một R-mơđun Artin và s là một số nguyên dương. Khi đĩ các khẳng định sau là tương đương (i) HIi (M) là Artin với mọi i < s. (ii) I ⊆ Rad(AnnR(HIi (M))) với mọi i < s. Chương 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 2.1.1. Một R−mơđun L được gọi là cocyclic nếu L là một mơđun con của E(R/m) với m ∈ Max(R). Cho M là một R−mơđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu cĩ một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M được gọi là p−đối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}. Bổ đề 2.1.2. (i) Nếu M là một mơđun cocyclic thì bất kỳ mơđun con của M cũng là cocyclic. (ii) Nếu M là một R−mơđun Artin thì M cĩ thể nhúng được vào trong một tổng trực tiếp hữu hạn của các mơđun con cocyclic của M . 19 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 20 Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Vì M là Artin nên ta cĩ E(M) = n⊕ i=1 E(R/mi) trong đĩ mi ∈Max(R) với 1 6 i 6 n. Chúng ta cĩ các dãy khớp 0 −→M −→ E(M) và E(M) ϕi−→ E(R/mi) −→ 0 với mỗi 1 6 i 6 n. Dẫn đến ta cĩ dãy khớp 0 −→M −→ n⊕ i=1 ϕi(M) và M −→ ϕi(M) −→ 0. Vì ϕi(M) ⊆ E(R/mi) là cocyclic nên ta được điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.3. Cho K là một mơđun Artin với Ann(K) = p. Khi đĩ, tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của K sao cho Ann(L) = p. Chứng minh. Vì K là Artin nên tồn tại các mơđun đơn S1, S2, . . . , Sn sao cho K ⊆ E(S1)⊕ E(S2)⊕ · · · ⊕ E(Sn). Chúng ta cần tìm một ảnh đồng cấu L của K và m ∈ Max(R) sao cho L ⊆ E(A/m) và Ann(L) = p. Chúng ta chứng minh điều này bằng qui CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 21 nạp theo n. Nếu n = 1, đặt L = K và m = Ann(S1). Nếu n > 1, đặt G = E(Sn) và E = E(S1) ⊕ · · · ⊕ E(Sn−1). Dẫn đến ta cĩ một sơ đồ giao hốn G δ ↗ ↑ K −→ E ⊕G ε↘ ↓ E trong đĩ các ánh xạ thẳng đứng là các phép chiếu và ánh xạ ngang là các phép nhúng. Điều này cho ta một dãy khớp 0 −→ K −→ Imδ ⊕ Imε nên Ann(K) = Ann(Imδ) ∩ Ann(Imε). Vì p = Ann(K) nên ta cĩ hoặc là p = Ann(Imδ) hoặc p = Ann(Imε). Nếu Ann(Imδ) = p thì ta đặt L = K/Kerδ và m = Ann(Sn). Nếu Ann(Imε) = p thì ta dùng giả thiết quy nạp. Bổ đề 2.1.4. Cho M là một R−mơđun. Khi đĩ p ∈ Coass(M) nếu và chỉ nếu tồn tại một ảnh đồng cấu Artin K của M sao cho p = Ann(K). Chứng minh. (⇒) là hiển nhiên. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 22 (⇐) K là Artin mà p = Ann(K) nên tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L sao cho p = Ann(L) (theo 2.1.3). Vì K là ảnh đồng cấu của M nên L cũng là một ảnh đồng cấu của M mà Ann(L) = p, dẫn đến p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.5. Cho M là một R−mơđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ CoassR(M). (ii) Tồn tại m ∈Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ AssR(D(M)). Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Nếu p ∈ Coass(M) thì tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho Ann(L) = p. Cho ϕ : M → L là một tồn cấu. Dẫn đến Ann(ϕ) = p. Vì L ⊆ E(R/m) với m ∈ Max(R) nên ϕ ∈ Hom(M,E(R/m)) = D(M). Do đĩ, ta cĩ ϕ ∈ Ass(D(M)) với cùng m ∈Max(R). (ii) ⇒ (i). Nếu p ∈ Ass(D(M)) thì tồn tại ϕ ∈ D(M) sao cho p = Ann(ϕ). Đặt L = ϕ(M) ⊆ E(R/m). Dẫn đến L là cocyclic và Ann(L) = Ann(ϕ) = p. Do đĩ, p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.6. Cho M là một R−mơđun. Nếu p ∈ Ass(M) thì p ∈ Coass(D(M)) với mọi m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. Cho p ∈ Ass(M), tồn tại một mơđun con của M đẳng cấu CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 23 với R/ p. Dẫn đến ta cĩ dãy khớp 0 −→ R/ p −→M cảm sinh dãy khớp D(M) −→ D(R/ p) −→ 0 với m ∈Max(R)∩V (p). Vì Ann(D(R/ p)) = p nên p ∈ Coass(D(R/ p)). Dẫn đến p ∈ Coass(D(M)). Bổ đề 2.1.7. Cho M là một R−mơđun. Khi đĩ Coass(M) 6= ∅ nếu M 6= 0. Chứng minh. Giả sử M 6= 0. Khi đĩ D(M) 6= 0 với m ∈Max(R). Do đĩ Ass(D(M)) 6= ∅. Dẫn đến Coass(M) 6= ∅ theo 2.1.5 Bổ đề 2.1.8. Cho một dãy khớp ngắn các R−mơđun 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. (2.1) Khi đĩ CoassR(M”) ⊆ CoassR(M) ⊆ CoassR(M ′) ∪ CoassR(M”). Chứng minh. Nếu p ∈ CoassR(M”) thì theo 2.1.5 tồn tại m ∈Max(A)∩ V (p) sao cho p ∈ Ass(D(M”)). Từ dãy khớp 2.1, do tính chất nội xạ của E(R/m) ta cĩ dãy khớp ngắn cảm sinh 0 −→ D(M”) −→ D(M) −→ D(M ′) −→ 0 (2.2) Do đĩ, p ∈ AssR(D(M)). Dẫn đến p ∈ CoassR(M) theo 2.1.5. Nếu p ∈ CoassR(M) thì tồn tại m ∈ Max(A) ∩ V (p) sao cho CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 24 p ∈ AssR(D(M)) theo 2.1.5. Xét dãy khớp 2.2, theo 1.1.5 ta cĩ p ∈ AssR(D(M”)) hoặc p ∈ Ass(D(M ′)), và do đĩ p ∈ CoassR(M”) hoặc p ∈ CoassR(M ′) theo 2.1.5. Bổ đề 2.1.9. Với các R−mơđun M1, . . . ,Mn ta cĩ Coass(M1 ⊕ · · · ⊕Mn) = Coass(M1) ∪ · · · ∪ Coass(Mn). Chứng minh. (⊆) Cho p ∈ Coass(M1 ⊕ · · · ⊕Mn). Khi đĩ tồn tại một dãy khớp M1 ⊕ · · · ⊕Mn µ−→ L −→ 0 trong đĩ L là cocyclic và Ann(L) = p. Hơn nữa L = µ(M1) + . . .+ µ(Mn) nên ta cĩ Ann(µ(Mi)) = p với i nào đĩ và dẫn đến p ∈ Coass(Mi). (⊇) Rõ ràng Mi là một ảnh đồng cấu của M1 ⊕ · · · ⊕Mn với mọi i. Bổ đề 2.1.10. Với mọi R−mơđun M ta cĩ⋃ p∈Coass(M) p = {x ∈ R| xM 6= M}. Chứng minh. Nếu a ∈ ⋃ p∈Coass(M) p thì tồn tại p ∈ Coass(M) sao cho a ∈ p. Vì p ∈ Coass(M) nên ta cĩ ảnh đồng cấu M/N của M sao cho p = Ann(M/N). Dẫn đến aM ⊆ N 6= M , và do đĩ a ∈ {x ∈ R| xM 6= M}. Ngược lại, cho a ∈ {x ∈ R| xM 6= M}. Vì M/aM 6= 0 nên ta cĩ CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 25 Coass(M/aM) 6= ∅ theo 2.1.7. Cho p ∈ Coass(M/aM). Khi đĩ, a ∈ p và p ∈ Coass(M) theo 2.1.8. Do đĩ, a ∈ ⋃ p∈Coass(M) p . Một R−mơđun M 6= 0 được gọi là mơđun thứ cấp nếu với mỗi a ∈ R hoặc aM = M hoặc aM = 0. Khi đĩ p = √ Ann(M) là một iđêan nguyên tố và M được gọi là p−thứ cấp. Chúng ta nĩi rằng M cĩ một biểu diễn thứ cấp nếu cĩ một số hữu hạn các mơđun con thứ cấp M1,M2, · · · ,Mn sao cho M = M1 + M2 + . . . + Mn. Giả sử rằng các iđêan nguyên tố pi = √ Ann(Mi), i = 1, 2, · · · , n, là rời nhau và bằng việc bỏ các số hạng thừa, thì biểu diễn đĩ là nhỏ nhấ._.