Hướng dẫn giải bài tập cơ kỹ thuật 2

̉m dọc theo đường cong , sử duṇg các hê ̣toa ̣ đô ̣khác nhau. Yêu cầu đối với sinh viên Nhớ công thức xác điṇh vi ̣ trí, vâṇ tốc, gia tốc dưới daṇg véc tơ. Giải được bài toán động học (xác định các đặc trưng của chuyển động : vị trí , dịch chuyển , vâṇ tốc, gia tốc, quãng đường đi được , xác định tính nhanh chậm của chuyển động,) đối với chất điểm chuyển đôṇg theo đường thẳng. Biết lưạ choṇ hê ̣toa ̣đô ̣phù hơp̣ (hê ̣toa ̣đô ̣Descartes , hê ̣toa ̣đô ̣quỹ đaọ , hê ̣toa ̣ đô ̣cưc̣, hê ̣toa ̣đô ̣tru )̣ cho từng bài toán và giải đươc̣ bài toán đôṇg hoc̣ của chất điểm chuyển đôṇg theo đường cong . HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 3 I. CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM 1. Vị trí  tr r 2. Vâṇ tốc d dt   r v r 3. Gia tốc d dt    v a v r II. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đôṇg thẳng Vị trí  s s t Vâṇ tốc v s  Véc tơ vận tốc v hướng theo chiều chuyển đôṇg . Gia tốc a v s hay ads vdv    Véc tơ gia tốc a cùng chiều chuyển động nếu chất điểm chuyển động nhanh dần , ngươc̣ chiều chuyển đôṇg nếu chất điểm chuyển đôṇg châṃ dần . III. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đôṇg cong Để khảo sát chuyển đôṇg của chất điểm mà quỹ đaọ của nó là đường cong , ta có thể sử dụng hệ toạ độ Descartes , hê ̣toa ̣đô ̣tư ̣nhiên (hê ̣toa ̣đô ̣tiếp tu yến – pháp tuyến) hoăc̣ hê ̣toa ̣đô ̣cưc̣, hê ̣toa ̣đô ̣tru .̣ ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: hê ̣toa ̣đô ̣ Descartes Vị trí x y z  r i j k Dịch chuyển: s s s   Quỹ đạo HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 4 Vâṇ tốc 2 2 2 x y z x y z v x v y v z v x y z          v i j k         v tiếp tuyến với quỹ đạo. Gia tốc 2 2 2 x x y y z z x y z a v x a v y a v z a x y z                a i j k            CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: hê ̣toa ̣đô ̣ quỹ đạo (tiếp tuyến – pháp tuyến) (thường đươc̣ sử duṇg khi đa ̃biết quỹ đaọ chuyển đôṇg của chất điểm).  Vị trí: s = s(t)  Vận tốc: v tiếp tuyến với quỹ đạo, hướng theo chiều chuyển động tv v s   v e   Gia tốc 2 2 t t n n t t n a a a v s hay a ds vdv s v a          a e e    A C  na ta a Quỹ đạo v C A E A t n te t ne t C s Quỹ đạo HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 5 Nếu phương trình của quỹ đạo đã biết thì: 3/ 23/ 2 22 2 2 2 2 11 dxdy dydx d y d x dx dy                        , ρ được gọi là bán kính cong của quỹ đạo tại A.  Gia tốc pháp an luôn hướng về tâm của quỹ đạo.  TH riêng: điểm chuyển động theo quỹ đạo tròn tâm C, bán kính R R   TH riêng: điểm chuyển động theo đường thẳng suyra: 0, .n ta a a v s        TH riêng: điểm chuyển động trên đường cong với tốc độ không đổi 2 0,t n va v a a      CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG GIAN: Hê ̣toa ̣đô ̣ quỹ đạo s = s(t) tv v s   v e  2 2 0 t t n n t t n b a a a v s vdv hay a ds s v a a           a e e    Măṭ phẳng mâṭ tiếp với quỹ đạo tại A Quỹ đạo HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 6 CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: hệ tọa độ cực  Vị trí  Vận tốc  Gia tốc ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: hệ tọa độ trụ R z zR z  r e e e k 2 2 R R R a a a R R v R R             a e e    R R R v v v R v R         v e e   Quỹ đạo RRr e R zR R z  v e e e      2 2R zR R R R z      a e e e     HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 7 CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM  Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm (đường thẳng hay đường cong, chuyển đôṇg phẳng hay chuyển đôṇg trong không gian ba chiều , đa ̃biết hay chưa biết).  Chọn hệ trục toạ độ để khảo sát chuyển động .  Sử duṇg công thức liên hê ̣giữa toa ̣đô ̣vi ̣ trí với vâṇ tốc và gia tốc tương ứng với hê ̣truc̣ toa ̣đô ̣đa ̃choṇ để xác điṇh các đaị lươṇg đươc̣ yêu cầu (thưc̣ hiêṇ phép tính đạo hàm hoặc tích phân, khi tích phân cần chú ý đến điều kiêṇ đầu). HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 8 CÁC BÀI TẬP MẪU Bài 1 Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương trình 2x 3t 12t 6( m )    , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s, (1) Vẽ đồ thị vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm. Lời giải Phần 1 Do chuyển động là thẳng, vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau: Các hàm này được vẽ trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s. Chú ý đồ thị của x là parabol, nên sau khi đạo hàm ta nhận được hàm bậc nhất đối với vận tốc và hằng số đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) có thể được xác định bằng cách cho dx/dt=0, hay sử dụng phương trình v =–6t+12=0. Ta có kết quả t=2s. Thay t=2s vào phương trình (a), ta tìm được max 6mx  HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 9 Phần 2 Hình (d) cho ta biết chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s. Khi t=0, chất điểm dời điểm A (x =–6m) chuyển động sang phải. Khi t =2s, nó dừng ở B (x = 6m). Sau đó nó chuyển động sang trái, tới C (x =3m) khi t=3s. Do đó, quãng đường đi được bằng khoảng cách mà điểm dịch chuyển sang phải ( AB ) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta có md AB BC 12 3 15     Phần 3 Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban đầu tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này (được chỉ ra là ∆r trong hình (d)) là 9r i  Quan sát thấy rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) lớn hơn so với độ lớn của véctơ dịch chuyển (9m) vì hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã cho. Bài 2 Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong hình (a) trượt dọc theo rãnh cố định dạng parabol y2 =40x, trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ y của P thay đổi theo thời gian t (được đo bằng giây) theo phương trình y =4t2 + 6t mm. Khi y=30mm, tính toán (1) véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của P. Lời giải HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 10 Phần 1 Thay thế vào phương trình quỹ đạo và giải tìm x, ta có: Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là: Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm t ta được t=2.090s. Thay giá trị này vào trong các phương trình (c) và (d) ta nhận được Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây và trong hình (b). Bằng việc tính độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm, dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo. Phần 2 Từ các phương trình (c) và (d), chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc bằng phép tính vi phân: Thay t=2.090s, ta có: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 11 Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là: Hình ảnh véctơ a là: Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b), chúng ta thấy phương của véctơ a không tiếp tuyến với quỹ đạo. Bài 3 Xe ô tô trong hình vẽ chuyển động theo đường thẳng sao cho trong một khoảng thời gian ngắn vận tốc của nó được xác định bởi  3 12 ft/s2v t t  , trong đó t được tính bằng giây. Hãy xác định (1) vị trí và (2) gia tốc của nó khi t = 3s. Khi t =0, s =0. Lời giải Hệ tọa độ: Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc cố định O đến xe ô tô, hướng sang phải là dương. Phần 1 Xác định vị trí Vì  v f t , vị trí của ô tô có thể được xác định từ v ds / dt (vì phương trình này liên quan đến v, s, và t). Chú ý rằng s =0 khi t =0, chúng ta có 23 2 ds v t t dt     2 0 0 3 2 s t ds t t dt    3 2 0 0 s t s t t  3 2s t t  Khi t =3s,     3 2 3 3 36fts    Phần 2 Xác định gia tốc Vì  v f t , gia tốc được xác định từ 6 2a dv / dt t   . Khi t =3s,   26 3 2 20ft/sa    . HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 12 Bài 4 Một chiếc xe đua cho trong hình (a) chạy với vận tốc 90km/h khi vào một đoạn đường cong dạng nửa đường tròn tại A. Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận tốc 144km/h tại C. Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B. Lời giải Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách sử dụng hệ tọa độ quỹ đạo. Như thể hiện trong hình (b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ đạo từ A tới C. Giá trị của gia tốc tiếp tuyến là hằng số từ A tới C, do tốc độ tăng đều. Do đó, tích phân ta ds vdv ta có 2 1 2 t v a s C  (a) trong đó C1 là hằng số tích phân. Hai hằng số at và C1 có thể được xác định bằng việc sử dụng hai điều kiện của chuyển động: Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được:   2 1 25 0 2 C  Từ đó hằng số tích phân C1 =312.5(m/s) 2 (b) Thay điều kiện 2 và giá trị của C1 vào trong công thức (a) ta có at =1.55m/s 2 (c) (b) (a) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 13 Như trong hình (b) hướng của at là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc. Khi thay giá trị của C1 và at vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách s được tìm ra là 2 1.55 312.5 2 v s  (d) Để tính tốc độ của ô tô khi tới B, chúng ta thay vào / 2 50 ms R   phương trình (d), kết quả nhận được là   2 1.55 50 312.5 2 33.35m/s v v    Các thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (b). Giá trị của gia tốc tại B là với hướng được chỉ ra trong hình (b). Bài 5 Một dây đai mềm chạy vòng quanh hai puli đường kính khác nhau. Tại thời điểm như trong hình vẽ, điểm C trên đai có vận tốc 5m/s và gia tốc 50m/s2 hướng như hình vẽ. Tính toán giá trị gia tốc của điểm A và B nằm trên đai tại thời điểm đó. Lời giải Giả thiết rằng dây đai không giãn, chúng ta kết luận như sau: 1. Mỗi một điểm trên dây đai có cùng vận tốc, đó là vA = vB = vC = 5m/s. 2. Tỉ lệ thay đổi của vận tốc (dv/dt) của mỗi điểm trên dây đai là như nhau. Do đó (aA)t = (aB)t = aC = 50m/s 2. Đối với điểm A HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 14 Đối với điểm B Bài 6 Một xe goòng trong hình (a) di chuyển với tốc độ không đổi 90km/h dọc theo một đường ray hình parabol được mô tả bằng phương trình y =x2/500 trong đó x và y được tính bằng mét. Tính toán gia tốc của xe goòng khi nó tại (1) điểm O và (2) tại điểm A. Lời giải Thảo luận ban đầu: Bởi vì tốc độ của xe goòng là không đổi, thành phần gia tốc tiếp tuyến của nó bằng 0 tại tất cả các điểm dọc theo đường ray. Do đó, gia tốc chỉ có một thành phần gia tốc pháp tuyến, được xác định bởi phương trình 2 n v a   a (a) trong đó  là bán kính cong của đường ray tại điểm khảo sát. Nhắc lại rằng an hướng vào tâm của quỹ đạo cong. Bán kính cong ở điểm bất kỳ với tọa độ x và y có thể được tính từ công thức 3/ 2 2 2 2 1 dy dx d y dx            (b) Đạo hàm liên tục phương trình parabol theo x ta có: 2 2 1 250 250 dy x d y dx dx   (c) (a) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 15 Thay các phương trình (c) vào trong phương trình (b), chúng ta tìm ra bán kính cong của đường ray là   3/ 2 2 250 1 / 250x      (d) 90 1000 25m/s 60 60 v     (e) Phần 1 Sử dụng phương trình (d), bán kính cong tại điểm O (xO =0) là Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến trong công thức (a) là Chú ý răng tiếp tuyến của đường ray tại O nằm trên trục x. Do đó (an)O nằm dọc trên trục y hướng vào tâm cong của đường ray, như trong hình (b). Phần 2 Sử dụng công thức (d) bán kính cong tại A (xA =100m) là Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến là: Sử dụng công thức đầu tiên trong các công thức ở (c), độ dốc của đường ray tại A là Do đó, (an)A có hướng như trong hình (b) vuông góc với đường ray và hướng vào tâm cong. (b) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 16 Bài 7 Một con trượt A trong hình (a) trượt dọc theo một tay quay OB. Góc định vị của tay quay là 2 2 3 t  rad, và khoảng cách của con trượt tính từ O thay đổi theo công thức 418 4mR t  , trong đó thời gian được tính bằng giây. Xác định vận tốc và gia tốc của con trượt tại thời điểm t =0.5s. Lời giải Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của các tọa độ cực của con trượt A và hai đạo hàm đầu tiên của nó ở thời điểm t = 0.5s: Các thành phần của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t =0.5s là Kết quả này được thể hiện trong hình (b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa véctơ v và tay quay được tính toán như sau: (a) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 17 Các thành phần của gia tốc có được từ công thức Véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t =0.5s là Véctơ này được thể hiện trong hình (c). Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán từ công thức: (b) (c) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 18 Bài 8 Sợi cáp nối tời A với điểm B nằm trên xe goòng trong hình (a) được cuốn đều với vận tốc 2m/s. Khi 060  , xác định (1) vận tốc của B và  ; và (2) gia tốc của B và . Bỏ qua bán kính của tời. Lời giải Từ hình (a) chúng ta thấy rằng chiều dài R của sợi cáp và góc  là các tọa độ cực của điểm B. Khi 060  , chúng ta có: Theo đề bài thì R được giảm đều với tốc độ hằng 2m/s . Do đó 2 / 0R m s R    Chú ý rằng điểm B dịch chuyển theo đường thẳng, quỹ đạo nằm ngang. Do đó véctơ vận tốc và gia tốc của nó sẽ theo phương nằm ngang. Phần 1 Hình (b) cho thấy sự phân tích của véctơ vận tốc v của điểm B thành các thành phần hướng kính và trực kính tại góc 060  . Do véctơ vR hướng ngược với véctơ eR (hướng về A) nên 2 /Rv R m s    . Việc biết véctơ vR và phương của véctơ v (nằm ngang) giúp chúng ta hoàn thành sơ đồ vận tốc. Từ quan hệ hình học, vận tốc của B tại thời điểm khi 060  là: (b) (a) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 19 0 2 4m/s cos60 v   (hướng sang trái) Từ sơ đồ vận tốc cũng có được 02 60v tan  . So sánh kết quả này với Rv R  chúng ta tìm ra được: 02tan 60 0.75rad/s 4.619 v R     (ngược chiều kim đồng hồ) Phần 2 Sơ đồ gia tốc của điểm B khi 060  được thể hiện trong hình (c). Thành phần hướng kính theo công thức: Dấu âm chỉ ra rằng véctơ aR hướng ngược chiều véctơ eR. Do véctơ gia tốc a được biết là nằm ngang, sơ đồ gia tốc có thể hoàn thành. Từ sơ đồ gia tốc, giá trị của gia tốc tại 060  là: Tham khảo một lần nữa sơ đồ gia tốc, chúng ta tìm ra được 02 598 60a . tan  so sánh với 2a R R      ta có: (c) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 20 Bài 9 Một khoang hành khách của một công viên giải trí được nối với một cột thẳng đứng OC bằng cánh tay AB. Trong suốt một khoảng thời gian, cột quay với tốc độ không đổi 1 2. rad / s  trong khi cánh tay AB được nâng lên với tốc độ không đổi 0 3. rad / s  . Hãy xác định các thành phần vận tốc và gia tốc của khoang hành khách theo tọa độ trụ tại thời điểm 040  . Lời giải Từ hình vẽ, chúng ta thấy rằng tọa độ R và z của khoang hành khách là R = 4sin (m) và z = 6 – 4sin (m). Chú ý rằng 0 ( const)    , ta có tại 040  và Các thành phần vận tốc theo tọa độ trục là: Nhắc lại rằng  là hằng số, các thành phần gia tốc là: Hình M3.8 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 21 ĐỘNG HO ̣C HỆ CHẤT ĐIỂM Mục đích của bài  Trình bày chuyển động tương đối của hai chất điểm.  Phân tích chuyển động ràng buộc của hai hay nhiều chất điểm: đưa ra các khái niêṃ về ràng buôc̣ đôṇg hoc̣ , số bâc̣ tư ̣do của cơ hê ̣ ; trình bày cách xác định các ràng buộc động học, số bâc̣ tư ̣do. Yêu cầu đối với sinh viên Nhớ công thức liên hê ̣tương đối giữa hai chất điểm về vi ̣ trí , vâṇ tốc và gia tốc. Giải được bài toán chuyển động tương đối của hai chất điểm . Viết đươc̣ phương trình ràng buôc̣ giữa các chất điểm trong bài toán cu ̣thể , từ đó đưa ra đươc̣ liên hê ̣vâṇ tốc và gia tốc của chúng . Xác định được số bậc tự do của hê ̣chất điểm. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 22 Tóm tắt nội dung ĐỘNG HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM 1. Động học của chuyển đôṇg tương đối /B A B A r r r /B A B A v v v /B A B A a a a / / / / / / B A A B B A A B B A A B       r r v v a a 2. Động hoc̣ của chuyển đôṇg ràng buôc̣  Ràng buộc động học : các hạn chế hình học đặt lên các chất điểm.  Phương trình ràng buôc̣ : Phương trình liên hê ̣giữa các toa ̣đô ̣vi ̣ trí của các chất điểm mô tả các ràng buộc động học đặt lên các chất điểm.  Toạ độ độc lập về mặt động học : Toạ độ vị trí của các chất điểm mà không phụ thuộc vào các ràng buộc động học .  Số bâc̣ tư ̣do : Số toa ̣đô ̣đôc̣ lâp̣ về măṭ đôṇg hoc̣ cần để mô tả đầy đủ cấu hình của môṭ hê ̣chất điểm. Quỹ đạo của A Quỹ đạo của B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 23 CÁC BÀI TẬP MẪU Bài 1 Hai máy bay A và B đang bay với vận tốc không đổi ở cùng độ cao. Vị trí của hai máy bay tại thời điểm t = 0 được biểu diễn trong hình (a) (hệ quy chiếu xy là cố định trong không gian). Hãy xác định (1) vận tốc tương đối của máy bay A so với máy bay B; (2) véc tơ định vị tương đối của A so với B như là hàm của thời gian; và (3) khoảng cách gần nhất giữa hai máy bay và thời điểm điều đó xảy ra. Lời giải Phần 1 Từ hình (a), vận tốc của các máy bay là 40 30 580 464 348 km/h 50 A         i j v i j 40 30 260 208 156 km/h 50 B         i j v i j Vận tốc tương đối của A so với B là    / 464 348 208 156 256 504 km/h A B A B        v v v i j i j i j Độ lớn và hướng của véc tơ này là 2 2 / 256 504 565.3km/hA Bv    1 0 256 tan 26.93 504    Véc tơ vận tốc tương đối này được biểu diễn trong hình (b). Lưu ý rằng /A Bv là vận tốc của máy bay A khi được nhìn bởi một người quan sát (không quay) trong máy bay B – tức là, vận tốc của A trong hệ toạ độ không quay x y  gắn với máy bay B. Vì /A Bv là véc tơ hằng, quỹ đạo tương đối của A đối với hệ toạ độ tính tiến x y  là một đường thẳng như biểu diễn trong hình (b). Phần 2 Quỹ đạo tương đối của A HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 24 Véc tơ định vị tương đối của A so với B có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc tương đối:    / / 0256 504 256 504A B A Bdt dt t      r v i j i j r trong đó t tính bằng giờ và r0 là hằng số tích phân. Từ điều kiện đầu, / 30 kmA B  r j khi t =0, chúng ta có 0 30 kmr j  . Do đó, véc tơ định vị tương đối trở thành  / 256 504 30 kmA B t t  r i j Phần 3 Ký hiệu khoảng cách giữa hai máy bay là s, chúng ta có     2 2 22 2 / 256 504 30 kmA Bs t t   r (a) Giá trị nhỏ nhất của s xảy ra khi 2( ) / 0d s dt  , hay      2 2 256 2 504 30 504 0t t   Giải phương trình này chúng ta được 0.04732h =170.3st  Thay giá trị này của t vào phương trình (a), chúng ta được khoảng cách gần nhất giữa hai máy bay     2 2 256 0.04732 504 0.04732 30 13.59kms           Chú ý Các kết quả trong phần 3 cũng có thể nhận được từ hình (b). Khoảng cách gần nhất giữa hai máy bay xảy ra khi máy bay đến vị trí C. Từ tam giác ABC, chúng ta có 0 min 30sin 26.93 13.59kms BC   Thời gian cần thiết để tới vị trí đó là 0 / 30cos 26.93 0.0743h =170.3s 565.3A B AC t v    Bài 2 Hình (a) biểu diễn một hệ gồm hai khối hộp A và B được nối với nhau bởi một dây không giãn vắt qua hai ròng rọc. Xác định liên hệ động học giữa vận tốc và gia tốc của các khối hộp. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 25 Lời giải Cơ hệ trong hình (a) có một bậc tự do vì một toạ độ (yA hoặc xB), xác định cấu hình của hệ. Để thuận tiện, ta đánh số các ròng rọc và ký hiệu khoảng cách cố định, h, như đã chỉ ra trên hình (b). Đặt L là chiều dài của dây, chúng ta có L = yA + (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 1) + (yA – h) + (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 2) + xB Vì L, h, và chiều dài của đoạn dây cáp quấn quanh mỗi ròng rọc là không đổi, đạo hàm hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta có 2B Av v  Đạo hàm phương trình này theo thời gian, ta nhận được 2B Aa a  Bài 3 Hai vòng khuyên A và B được nối với nhau bởi một sợi dây có chiều dài L. Vòng khuyên A đang di chuyển sang phải với vận tốc không đổi vA. Xác định vận tốc và gia tốc của vòng khuyên B như là hàm của vA và góc θ. Lời giải Hệ có một bậc tự do vì chỉ một toạ độ (xA, yB, hoặc θ) xác định cấu hình của hệ. Phương trình ràng buộc thể hiện liên hệ giữa các toạ độ là 2 2 2 A Bx y L  (a) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 26 Đạo hàm phương trình này theo thời gian (lưu ý rằng A Ax v và B By v ) chúng ta có 2 2 0A A B Bx v y v  . Phương trình này được rút gọn thành 0A A B Bx v y v  (b) Đạo hàm phương trình (b) theo thời gian, ta có    2 2 0A A A A B Bx a v y a v    (c) Giải phương trình (b) đối với vận tốc của B, ta được sin cos A B A A B x L v v v y L       hay tanB Av v   (d) Bởi vì aA = 0, gia tốc của điểm B từ phương trình (c) là 2 2 A B B B v v a y    Thay vB từ phương trình (d) và yB = Lcosθ, chúng ta nhận được    2 2 22 1 tantan cos cos AA A B vv v a L L          Sử dụng đồng nhất thức  2 21 tan 1/cos   , phương trình này rút gọn thành 2 3cos A B v a L    HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 27 ĐỘNG HỌC PHẲNG VẬT RẮN Mục đích của bài  Giới thiệu về các chuyển động phẳng của vật rắn bao gồm chuyển động tịnh tiến, chuyển đôṇg quay quanh trục cố định và chuyển động phẳng tổng quát (chuyển đôṇg song phẳng)  Khảo sát vật chuyển động tịnh tiến và vật quay quanh một trục cố định .  Khảo sát vật chuyển động phẳng tổng quát . Trình bày cách xác định tâm vận tốc tức thời và cách xác điṇh vâṇ tốc của môṭ điểm sử duṇg tâm vâṇ tốc tức thời.  Phân tích chuyển động phức hơp̣ của chất điểm. Yêu cầu đối với sinh viên Nhâṇ biết đươc̣ loaị chuyển đôṇg của mỗi vâṭ rắn trong từng bài toán cu ̣thể . Nhớ tính chất của vâṭ chuyển đôṇg ti ṇh tiến. Nhớ các công thức xác điṇh vâṇ tốc , gia tốc của điểm thuôc̣ vâṭ quay quanh môṭ trục cố định. Nhớ công thức liên hê ̣vâṇ tốc và gia tốc giữa hai điểm thuôc̣ vâṭ chuyển đôṇg phẳng tổng quát. Giải được bài toán động hoc̣ phẳng vâṭ rắn (xác định vận tốc góc và gia tốc góc của vật, vâṇ tốc và gia tốc của điểm thuôc̣ vâṭ , ). Xác định được tâm vận tốc tức thời của vật chuyển động phẳng tổng quát và sử dụng nó để tìm vận tốc của điểm bất kì thuôc̣ vâṭ. Nhâṇ biết đươc̣ bài toán hơp̣ chuyển đôṇg . Nhớ công thức liên hê ̣vâṇ tốc và gia tốc của điểm tham gia hơp̣ chuyển đôṇg . Giải được bài toán hợp chuyển động của điểm (xác định vận tốc tuyệt đối , vận tốc tương đối, vâṇ tốc theo, gia tốc tuyêṭ đối , gia tốc tương đối, gia tốc theo, gia tốc coriolis của điểm, vâṇ tốc góc, gia tốc góc của các vâṭ trong bài toán,). HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 28 Tóm tắt nội dung Bảng tổng hợp các trƣờng hợp chuyển động phẳng của vật rắn 1. Chuyển động tịnh tiến Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó một đoạn thẳng bất kỳ vẽ trong vật luôn luôn song song với phương ban đầu của nó. Trong chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo các điểm giống hệt nhau, vận tốc và gia tốc của chúng tương ứng bằng nhau. A B A B   v v a a 2. Chuyển động quay quanh trục cố định Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định là chuyển động trong đó vật luôn có 2 điểm cố định, do đó có một đường thẳng nối hai điểm đó cũng cố định. Đường thẳng nối hai điểm đó gọi là trục quay của vật. Phương trình chuyển động của vật:  t  Vận tốc góc:    Gia tốc góc:      Điểm thuộc vật q.q. một trục cố định có quỹ đạo là đường tròn (nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay và tâm nằm trên trục quay). Vận tốc: v vuông góc với đường bán kính (của đường tròn quỹ đạo), theo chiều ω. v R Tịnh tiến theo đường cong Tịnh tiến theo đường thẳng Quay quanh trục cố định Tịnh tiến Tịnh tiến Chuyển động phẳng tổng quát ta R ω α HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 29 Gia tốc: 2 2 t n n t v a R R a R        a a a t a vuông góc với đường bán kính, theo chiều α (giả sử nếu chiều của α chưa biết). n a hướng về tâm của đường tròn quỹ đạo. 3. Chuyển động phẳng tổng quát (chuyển đôṇg song phẳng) Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm của nó luôn luôn nằm trong một mặt phẳng. Như thế, tất cả các mặt phẳng chuyển động của các điểm song song với nhau, có tính chất chuyển động giống nhau và do đó ta chỉ cần khảo sát một tiết diện phẳng thuộc vật. Phương trình chuyển động của vật       O O O O x x t y y t t       ; O là điểm bất kỳ thuộc vật. Vận tốc góc:    Gia tốc góc:      Liên hệ vận tốc, gia tốc giữa hai điểm /B A B A v v v / / / B A B A t n A B A B A      a a a a a a Trong đó / 2 / / . . . B A n B A B A v AB a AB a AB       Tâm vận tốc tức thời: điểm mà tại thời điểm khảo sát có vận tốc bằng không, ký hiệu P. Tại thời điểm khảo sát: + Nếu 0  thì  ! điểm P: 0Pv  . Khi đó: . M M MP v MP    v + Nếu 0  thì không tồn tại tâm vận tốc tức thời, vận tốc mọi điểm (tại thời điểm đó) bằng nhau. /B Av / t B Aa / n B Aa A B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 30 Cách xác định tâm vận tốc tức thời + Biết vận tốc 1 điểm và phương vận tốc điểm thứ 2 + Biết vận tốc hai điểm + Vật lăn không trượt trên đường cố định: điểm tiếp xúc là tâm vận tốc tức thời Ov R   và O a R    Không  P 0  Bv Av P A B ω Bv Av P A B ω Không  P 0 A B     v v Ví dụ, biết Bv và biết phương của Av Bv BP   , chiều của ω theo chiều Bv . .Av AP  , chiều của Av theo chiều ω. A BAv P Bv  HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 31 TRUYỀN ĐỘNG ĐƠN GIẢN Cơ cấu cam Cơ cấu cam là cơ cấu dùng để biến đổi chuyển động nhằm đạt được các chuyển động có dạng đặc biệt: phổ biến nhất là biến các chuyển động đều đặn thành các chuyển động dừng từng đoạn - chuyển động bước. Do đó nó thường có mặt trong các máy tự động. Bộ phận chính của cơ cấu cam là cam và cần. Cần là một thanh tỳ trên bề mặt cam và quy luật chuyển động của nó phụ thuộc vào hình dạng cam - gọi là biên dạng cam. Cơ cấu bánh răng – thanh răng Cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích A HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 32 CÁC BÀI TẬP MẪU Bài 1 Thanh hình chữ L quay cùng chiều kim đồng hồ với vận tốc góc giảm dần với tỷ lệ 4 rad/s 2 . Hãy xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của điểm A khi 2rad/s  . Lời giải Theo đề bài ta có giá trị của vận tốc và gia tốc góc là 24rad/s 2rad/s   Độ lớn vận tốc của điểm A