Hiện tượng gibbs của hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và tại điểm bất kỳ

phản biện: 22/12/2017 Ngày chấp nhận đăng: 28/12/2017 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và mở rộng tại điểm bất kỳ (xem [2]). Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng một họ các nhân xác định dương tổng Cesaro. Từ khóa: Chuỗi Fourier; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn; tổng Cesaro. Abstract In this paper, we research the existence of Gibbs for a function with a discontinuity at the coordinates and at the whether (see [2]). At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use a they multiplication the positive of Cesaro sum. Keywords: Fourier series; Gibbs phenomenon; discontinuity point; Cesaro sum. 1. GIỚI THIỆU Năm 1898, J. Willard Gibbs khi nghiên cứu về sự hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm gián đoạn đã phát hiện ra hiện tượng Gibbs. Tuy nhiên, phải đến năm 1906 Maxime Bocher mới có lời giải chi tiết về mặt toán học. Trong bài báo này, chúng tôi mô tả dáng điệu của chuỗi Fourier của các hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ, tại điểm bất kỳ và đồng thời đưa ra cách khắc phục hiện tượng Gibbs bằng sử dụng tổng Cesaro, trình bày ví dụ khắc phục hiện tượng Gibbs kèm theo. 2. HIỆN TƯỢNG GIBBS Bài toán: Xét hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác định bởi ( ) ( ) 0, 0, 2, 0 2 , 0, 2 . x h x x x x π π π = = − < <  = Dễ dàng tính được, 0na = với mọi n và 1 nb n = Do đó ( )( ) ( ) 1 sin , 0 2 . N n nx h x x n π = ≤ ≤∑ Ta thấy rằng trong bài toán trên h gián đoạn tại 0x = và 2x π= nên chuỗi Fourier của nó không hội tụ đều. Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi các tổng riêng của nó gần với điểm gián đoạn? Thác triển tuần hoàn chu kỳ 2π cho h xác định trên  bởi ( ) 0h x = nếu ( )2 , 2 2x k x kπ π= = + ( ) ( )[ 2 1 ] 2h x k xπ= + − nếu ( )2 2 2 .k x kπ π< < + Như vậy, hàm h liên tục tại tất cả các điểm trừ ra những điểm 2x kπ= , với k∈ . Ở đó ( ) ( )( )2 2 2 ,2h k h k ππ π+ += + = ( ) ( )( )2 2 2 .2h k h k ππ π− −= + = − Xét lân cận phải của điểm ( )0 : 0,π . Ta có tổng riêng ( )( ) ( ) 1 sin . N N n nx S h x n= =∑ Lấy đạo hàm ta được ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1os 1 2 sin 1 2 1 2sin 2 2 sin 2 os 1 2 . sin 2 N N N n S h x c nx D x N x x Nx c N x x = ′ = = −   + = − +  = ∑ C C LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 59 Ở đây, đẳng thức cuối không đúng tại 0x = . Từ đây suy ra ( )( ) 0,NS h x′ = có các không điểm 2 , 0,1,2,.... 1k kx k N π π+ = = + Hàm số ( )( )NS h x′ đổi dấu luân phiên trên hai khoảng liên tiếp của các điểm chia kx . Từ đây suy ra kx là các điểm cực trị của ( )( )NS h x . Điểm đầu tiên 0x là điểm cực đại, do đó hàm số đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Hơn nữa, do ( )0 0NS = nên ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 sin 2 os 1 2 . sin 2 x N N x S h x S h t dt Nt c N t dt t ′= +  = ∫ ∫ C Do trong hàm dưới dấu tích phân, hàm dưới mẫu là tăng trong ( )0,π và hàm tử số đổi dấu luân phiên qua các không điểm kx . Do đó, giá trị lớn nhất trên ( )0,π của ( )( )NS h x đạt tại điểm 0 1 x N π = + . Vậy bên phải của điểm cực đại 0x , biên độ dao động của hàm ( )( )NS h x giảm dần và sau đó dao động xung quanh các giá trị của hàm ( )h x . Xét tại điểm cực đại 0x , ( ) 0 0 2 xh x π −= và ( )( ) ( )0 0NS h x h x− = ( ) ( ) 0 0 sin 1 2 2sin 2 2 x N t dt t π+ = −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 sin 1 2 2sin 2 1 1 sin 1 2 2sin 2 2 . 2 x x N t dt t N tdt t t I x J x π π + = +   + − + −     = + − ∫ ∫ Trong đó ( ) ( )( ) 0 0 0 0 sin 1 2 2sin 2 sin 1,85, x N t I x dt t udu u π + = = ≈ ∫ ∫ và ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1sin . 2sin 2 2 x J x N tdt t t    = − +        ∫ Tích phân này bị chặn trong lân cận gần 0t = nó dần tới 0 khi t →∞ và do đó ( )0J x hội tụ về 0 khi N →∞ . Do vậy ( )( )0 0 sinlim 1,85,NN uS h x du u π →∞ = ≈∫ ( )0lim 1,57.2N h x π →∞ = ≈ Với mỗi N cho trước, tổng riêng ( )( )NS h x có giá trị cực đại trên ( )0,π . Khi N →∞ thì dãy những giá trị cực đại đó dần tới 1,85, còn những giá trị cực trị khác của hàm tổng riêng này dao động xung quanh các giá trị của h . Xét lân cận trái của điểm 0 ( )0 : ,0π− . Dáng điệu tương tự cũng xảy ra đối với ( )( )NS h x . Cụ thể, khi x dần tới 0 từ bên trái, đồ thị hàm ( )( )NS h x không dao động nữa mà nó bất chợt giảm quá giá trị 2 π − để đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x− sau đó tăng liên tục đến bước nhảy bên lân cận phải, nó vượt quá đà giá trị 2 π để đạt cực đại tại 0x rồi sau đó mới dao động ổn định xung quanh các giá trị của h cho tới trước điểm gián đoạn kế tiếp, trong bài toán này là điểm 2π. Điều này được gọi là hiện tượng bước nhảy Gibbs hay hiện tượng Gibbs. Định nghĩa 1 (xem [1]) Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Với N là số nguyên dương, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của hàm f được xác định bởi ( )( ) ( )ˆ . N inx N n N f nS f x e =− = ∑ Định nghĩa 2 (xem [3]) Cho các tổng riêng ( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 1, ,...., NS f x S f x S f x− . Ký hiệu ( )( )N f xσ là tổng Cesaro thứ N của chuỗi Fourier. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 1.... . N N f x S f x S f x S f x N σ − = + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 1.... . N N f x S f x S f x S f x N σ − = + + + Định nghĩa 3 (xem [2]) Cho hàm ( )f x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π sao cho hạn chế của nó trên ( ),π π− là hàm thuộc ( )1 ,L π π− . Khi đó f thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc 0α > tại 0x nếu tồn tại một hằng số C sao cho 60 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 ( ) ( )0 0f x f x C x x α − ≤ − trong lân cận của 0x thì f được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều. Định lý 1 (xem [4]) Cho ( )1 ,f L π π∈ − là hàm tuần hoàn và [ ] 1 ,h C α b∈ hàm sao cho[ ] [ ], ,α b π π∈ − . Khi đó ( ) ( ) ( )sinf x u h u u du b α l−∫ hội tụ đều đến 0 khi l →∞. Định lý 2 (xem [3]) Cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz phải và trái tại 0x . Khi đó ( )( ) ( ) ( )0 0 0 .2N f x f x S f x khi n + −+ → →∞ Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong lân cận thì hội tụ đều đến f trong lân cận của 0x khi .n →∞ Định lý 3 (xem [4]) Giả sử f thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều bậc 0 1α< < trong ( ),a b . Khi đó ( )NS f hội tụ đều đến f trong khoảng con đóng bất kỳ [ ] ( ), ,c d a b⊂ . Chứng minh: Lấy { }min ,c a b dd < − − . Theo định lý 2, ta có ( )( ) ( )NS f x f x−   ( ) ( ) ( )1 2 N f x u f x D u du π ππ − = − −  ∫ Đặt ( ) ( ) ( )0 0 0 2 f x f x f x + −+ = , 0 d π< < , ta có ( )( ) ( )0 02 NS f x f xπ  −  ( ) ( ) ( )0 0 N f x u f x uD u du u d π + − − − − = ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 N f x u f x uD u du ud + − − − +∫ ( ) ( ) ( )0 0 0 N f x u f x uD u du u d −− − +∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 N f x u f x uD u du ud −− − +∫ 1 2 3 4 J J J J= + + + . Suy ra 1 10 2 3 0 J J C u du C u du α αd d − − − + ≤ +∫ ∫ 1 10 02 2 C Cu du u du α αd d − − − ≤ +∫ ∫ 1 1 02 C u du C u du α αd d d − − − = =∫ ∫ . 0 u CC α αd d α α = = Ta viết lại 1J ( ) ( )1 0 1 sin 2 sin ( 2) J f x u uN u du u d π − − = − +∫ ( ) ( )0 1 sin 2sin ( 2)f x uN u duu d π − + − − +∫ 1 2K K= − . Do [ ] 1 , 1 sin ( 2) C u π d− − ∈ Theo định lý 1, do tính trù mật của [ ] 1 ,C π d− − trong [ ] 1 ,L π d− − nên với ,α π b d= − = − và 1 2 Nl = + cho tích phân 1K thì 1K hội tụ đều đến 0 khi .l →∞ Tích phân 2K cũng hội tụ đều về 0 . Do vậy, 1J hội tụ đều đến 0 khi .N →∞ Tương tự với 4J . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bây giờ, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn 0 của một hàm trơn từng khúc g. Xét hàm ( )g x trơn từng khúc với bước nhảy tại 0 sao cho ( ) ( ) 0 0 lim ; x g g x + + → = ≠ ±∞ ( ) ( ) 0 0 lim x g g x − − → = ≠ ±∞ khi đó, loại điểm gián đoạn 0 và xác định hàm ( )h x mới như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0g g h x g x f x π + − −  = −     . Trong đó ( )f x là hàm là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π được xác định bởi ( ) ( ) 0, 0, 2, 0 2 , 0, 2 . x f x x x x π π π = = − < <  = Cho 0x +→ ta được LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 61 ( ) 0 lim x h x +→ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim x x g g g x f x π+ + + − → →  −  = −     ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 g g g π π + − +  −  = −     ( ) ( )0 0 . 2 g g+ −+ = Tương tự, khi 0x −→ thì ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim 2x g g h x − + − → + = . Bây giờ, ta xác định ( )0h có ( ) ( ) ( )0 0 0 2 g g h + −+ = . Khi đó h liên tục tại 0 và thỏa mãn giả thiết định lý 1. Do đó ( )NS f hội tụ tại 0. Thực ra, nó hội tụ đều trong lân cận của 0, vì vậy ta có thể chỉ ra rằng xảy ra hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn 0. Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn bất kỳ 0x của một hàm trơn từng khúc g. Xét hàm ( )g x trơn từng khúc với bước nhảy tại 0x x= và trơn từng khúc mọi nơi trừ ra 0x sao cho ta xác định hàm ( )h x bởi với 0x x≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 , g x g x h x g x f x x π + − −  = − −     với 0x x= ( ) ( ) ( )0 0 . 2 g x g x h x + −+ = Khi đó ( )f x là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π được xác định như bài toán trên. Ta cho 0x x +→ ta thu được ( ) 0 lim x x h x +→ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0lim limx x x x g x g x g x f x x π+ + + − → →  −  = − −     ( ) ( ) ( )0 00 2 g x g x g x π π + − +  −  = −     ( ) ( )0 0 . 2 g x g x+ −+ = Tương tự, khi 0x x −→ thì ( ) ( ) ( ) 0 0 0lim . 2x x g x g x h x − + − → + = Bây giờ ta xác định ( ) ( ) ( )0 0 0 .2 g x g x h x + −+ = Khi đó ( ) 0 lim x x h x +→ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0lim .2x x g x g x h x h x − + − → − = = Vậy ( )h x liên tục tại 0x do đó ( )NS f hội tụ đều trong lân cận của 0x . Do vậy hàm g xảy ra hiện tượng Gibbs tại 0x x= do ( )0f x x− cũng thế. Trường hợp g có số các điểm gián đoạn nhảy hữu hạn 1,..., jx x và trơn từng khúc mọi nơi trừ ra các điểm đó thì ta xác định ( )h x bởi với jx x≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 ,j j h x g x g x g x f x x π + − =    − − −     ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 ,j j h x g x g x g x f x x π + − =    − − −     ∑ với jx x= ( ) ( ) ( ) . 2 j jg x g xh x + −+ = Chứng minh tương tự như trường hợp tại 0x x= ta cũng chứng minh cho hiện tượng Gibbs cho hàm g tại điểm bất kỳ 1,..., jx x . 3. KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS Để khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng phương pháp xây dựng hàm số không trực tiếp bằng tổng riêng của chuỗi mà từ trung bình cộng của chúng. Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều tới chính hàm f . Phương pháp này được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng hay lấy tổng Cesaro. Định lý sau chỉ ra rằng tích chập với nhân xác định dương loại bỏ được hiệu ứng Gibbs. Định lý 4 Cho { } 1n nK ∞ = là một họ các nhân xác định dương và ( )m f x M≤ ≤ với ( ),x a b∈ . Khi đó, với mọi 0ε > và 0 2 b ad −< < , tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n N> và mọi ( ),x a bd d∈ + − ta có ( )( )Nm f x Mε σ ε− ≤ ≤ + trong đó 62 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 ( )( ) ( )( )*N nf x f K xσ = . Chứng minh: Do f liên tục tại x nên với 0ε > cho trước, tồn tại 0d > sao cho y d< thì ( ) ( )f x y f x ε− − < . Áp dụng tính chất của nhân tốt ta được ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 1 2 n n n f K x f x K y f x y dy f x K y f x y f x dy π π π π π π − − − = − − = − −   ∫ ∫ Trong đó B là hệ số bị chặn của f . Do tính chất của nhân tốt nên tồn tại 0M > sao cho ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 1 2 1 2 2 2 2 n n ny ny n ny f K x f x K y f x y f x dy K y f x y f x dy K y f x y f x dy BK y dy K y dy π π d d π π π d π π π π ε π π − < ≤ ≤ − ≤ ≤ − = − −   ≤ − − + − − ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )2 . 2 2 ny M B K y dy d π ε π π ≤ ≤ ≤ + ∫ Theo tính chất của nhân tốt thì với n đủ lớn ( )2 . 2 2 ny M B K y dy d π ε π π ≤ ≤ ≤ + ∫ Theo tính chất của nhân tốt thì với n đủ lớn ( )ny K y dyd π ε≤ ≤ <∫ . Do đó với hằng số C nào đó và n đủ lớn ta có ( )( ) ( )* nf K x f x Cε− ≤ . Nếu f liên tục mọi nơi thì liên tục đều nên ta có thể chọn 0d > không phụ thuộc x khi đó ( )( )* nf K x hội tụ đều đến f đpcm. Ví dụ 1: Xét hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác định bởi ( ) ( ) 0, 0, 2, 0 2 , 0, 2 . x h x x x x π π π = = − < <  = Ta thấy rằng trong ví dụ này h gián đoạn tại 0x = nên chuỗi Fourier của nó không hội tụ đều và xảy ra hiện tương Gibbs. Bây giờ sử dụng tổng Cesaro của hàm này để khắc phục hiện tượng này. Ta có ( )( ) ( ) 1 sinN N n nx S h x n= =∑ . Do đó tổng Cesaro thứ N là ( )( ) ( ) 1 1 sin 1 N N n nxnh x N n σ − =  = −    ∑ 4. KẾT LUẬN Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối với hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và điểm bất kỳ, đưa ra cách khắc phục hiện tượng, ví dụ minh họa. Ngoài ra, khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm tổng quát còn có phương pháp tìm tổng riêng. Tuy nhiên, do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Anders Vretblad (2003). Fourier analysis and its applications. SpingerVerlag, New York. [2]. Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003).Fourier analysis an introduction. Princeton university Press, Princeton and Oxford. [3]. H.T. Shim (1994). On Gibb’ phenomenon in wavelet subspaces and summability. Ph.D. thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee. [4]. Kourosh Raeen (2008). A study of the Gibbs phenomenon in Fourier series and wavelets, M.A.thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico.