Hệ thống hóa bài tập Spin và hệ hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và ban chủ nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm luận văn. Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cơ trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khĩa học 2004 – 2008 và em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ . Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, đã tạo điều kiện thuận lợi để em thực hiện tốt luận văn này. Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cơ luơn mạnh khỏe và thành cơng trong sự nghiệp giáo dục. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định nếu biết ba tọa độ của nĩ hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton, nơtron… cịn cĩ một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với một mơmen quay riêng của hạt, khơng liên quan đến chuyển động quay của nĩ. Mơmen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay của hạt quanh trục riêng của nĩ. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự do nội tại và spin liên quan đến nĩ cĩ một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi chuyển sang cơ học cổ điển 0 spin sẽ bằng khơng. Do đĩ spin khơng cĩ sự tương tự cổ điển. Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khĩ, địi hỏi việc phân loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật lý Đại học Sư Phạm cĩ một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đĩ nắm được bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất. Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học. 2. Mục tiêu đề tài Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử. 3. Phương pháp nghiên cứu Cĩ 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài này :  Phương pháp thực hành giải bài tập.  Phương pháp phân tích nội dung chương trình cơ học lượng tử.  Phương pháp phân loại bài tập. 4. Cấu trúc luận văn  Mở đầu.  Chương 1: Cơ sở lý thuyết.  Chương 2: Hệ thống bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất.  Kết luận. Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Spin [1] Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc trưng bởi số lượng tử spin S cĩ thể nhận giá trị nguyên dương hay bán nguyên. Cũng giống như các mơmen cơ khác, sự định hướng của mơmen cơ spin bị lượng tử hĩa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đĩ trong khơng gian cĩ thể cĩ hai giá trị 2   . Các trạng thái của spin là các ket véctơ zS    ( trạng thái spin lên) và zS    (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một hệ trực chuẩn: 1 0             Và tính đủ của khơng gian: , 1             . Trạng thái zS   gọi là trạng thái phân cực vì spin cĩ hướng đặc biệt. Trạng thái ban đầu khơng phân cực được mơ tả bởi tổ hợp tuyến tính : a b     Trong đĩ : 2 2a  là xác suất để hạt cĩ spin hướng lên. 2 2b  là xác suất để hạt cĩ spin hướng xuống. Từ điều kiện chuẩn hĩa ta cĩ 2 21 1a b      . Hình chiếu spin lên trục z cĩ giá trị 2   nên ta biểu diễn thơng qua hai trạng thái của spin như sau: ˆ = 2z S   và ˆ =- 2z S   Ma trận của tốn tử ˆzS được viết như sau: 0 2 0 2          Các tốn tử hình chiếu spin của hạt lên các trục tọa độ tuân theo hệ thức giao hốn: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x z y z z y x z x x z y S S S S i S S S S S i S S S S S i S          Đặt 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 2 2 2x x y y z z S S S       Trong đĩ ˆ ˆ ˆ, ,x y z   gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vuơng cấp hai và ˆ z cĩ dạng: 1 0ˆ 0 1z       Các hệ thức giao hốn đối với ma trận Pauli được viết lại: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 x y y x z y z z y x z x x z y i i i                      Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hốn: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y y x y z z y z x x z                 . Vì trị riêng của các tốn tử Pauli ˆ ˆ ˆ, ,x y z   tương ứng bằng 1 , suy ra 2 2 2 1 0ˆ ˆ ˆ 0 1x y z I           Trong zS biểu diễn các ma trận Pauli cĩ dạng : 1 0 0 1 0 ˆ ˆ ˆ , , 0 1 1 0 0z x y i i                      Và 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 3x y z I       Vậy tốn tử bình phương momen spin: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0ˆ 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ 0 14 4 4x y z S S S S I              Trị riêng của tốn tử 2Sˆ là : 2 2 23 1ˆ ( 1) ( 4 2 S s s    với s = số lượng tử spin).  Trị riêng và vectơ riêng của tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,x y zS S S . Xét trong cơ sở , z zS S        , biểu diễn ma trận của cơ sở zS   là :         1 0 , 1 0 , 0 1 0 1 1 0 1 0 =1 0 1 1 0 1                                              và và Vậy 1 0, 0 1           là các spinơ riêng của ˆ zS ứng với các trị riêng 2  . Phương trình trị riêng của ˆxS với ma trận trị riêng cĩ dạng ab     . Thay vào phương trình trị riêng của tốn tử ˆxS , giải phương trình ta thu được hai vector riêng 11 12     và 11 12     ứng với hai trị riêng 2  . Vậy hai spinnơ riêng của tốn tử ˆxS là 11 12     và 11 12     . Trị riêng của tốn tử ˆyS với ma trận trị riêng cĩ dạng cd     . Thay vào phương trình trị riêng của tốn tử ˆyS , giải phương trình ta thu được hai vector riêng 11 2 i     và 11 2 i     ứng với hai trị riêng 2  . Vậy hai spinnơ riêng của tốn tử ˆyS là 112 i     và 11 2 i     . Ta đang xét trong ˆzS biểu diễn, để chuyển từ ˆzS biểu diễn sang ˆxS hay ˆ yS biểu diễn ta tìm một ma trận biến đổi. Trong ˆzS biểu diễn các spinnơ của ˆ xS cĩ dạng 11 12     và 11 12     , trong ˆ xS biểu biễn các spinnơ của ˆxS phải cĩ dạng 1 0     và 0 1     tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của tốn tử ˆxS trong các biểu diễn khác nhau được xác định bởi một ma trận biến đổi U thỏa mãn: 1 12 1 0 2 U               và 1 02 1 1 2 U               Ma trận U cĩ dạng 1 1 2 2 1 1 2 2 U         Các tốn tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở khác khơng làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo tồn xác suất lượng tử. 1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất [2] 1.2.a. Nguyên lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng nhất Các hạt cĩ cùng các đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin, mơmen từ… khơng cĩ thêm một đặc điểm nào để phân biệt các hạt, hệ hạt như vậy gọi là hệ hạt đồng nhất. Theo vật lý cổ điển ta cĩ thể phân biệt các hạt đồng nhất bằng cách phân biệt theo trạng thái của chúng. Trong cơ học lượng tử, ta chỉ biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho cĩ bao nhiêu hạt thuộc hệ hạt đồng nhất. Ta khơng thể phân biệt được các hạt dù cĩ đánh dấu chúng trong một hệ hạt đồng nhất. Việc khơng phân biệt được các hạt đồng nhất cĩ liên quan đến nguyên lí bất định. Nguyên lí khơng phân biệt được các hạt đồng nhất địi hỏi chỉ tồn tại các trạng thái mà chúng khơng thay đổi khi hốn vị hai hạt bất kì. 1.2.b. Các trạng thái đối xứng và phản xứng Xét hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái của hệ được biểu diễn: 1 2 ,a b a b  Trong đĩ 1 2 ,a b là trạng thái của hai hạt 1 và 2. Tốn tử 12Pˆ được coi là tốn tử hốn vị, khi tác dụng lên trạng thái của hệ hai hạt ,a b cho một trạng thái mới trong đĩ tọa độ hai hạt hốn vị cho nhau. 12ˆ , ,P a b b a Theo nguyên lí khơng phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hốn vị hai hạt bất kỳ ta được : 12Pˆ    . Khi hốn vị lần nữa : 2 212Pˆ      2 1 = 1     . Trong cơ sở , , ,a b b a trực chuẩn ta cĩ dạng ma trận của tốn tử 12Pˆ như sau: 12 12 12 12 ˆ ˆ, , , , 0 1 ˆ ˆ 1 0, , , , a b P a b a b P b a b a P a b b a P b a            Phương trình trị riêng của tốn tử 12Pˆ . 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0                                                Để phương trình cĩ nghiệm khơng tầm thường thì định thức các hệ số bằng khơng: 2 1 0 1 = 1 1          Ta cĩ các trạng thái riêng ứng với các trị riêng trên :     1 , , =1 2 1 , , =-1 2 s a a b b a a b b a         Trạng thái s đối xứng với phép hốn vị hai hạt và trạng thái a phản đối xứng với phép hốn vị hai hạt. 12 12 ˆ ˆ s s a a P P        Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc vào các loại hạt. Các hạt cĩ spin nguyên , 0,1,2...s sS m m  gọi là các hạt bozon, tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt cĩ spin bán nguyên 1 3, ,... 2 2s m  gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac. 1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli Xét hệ hai hạt đồng nhất kí hiệu 1, 2 cĩ phương trình Schrodinger: ˆ (1,2) (1,2)H E  Trong trường hợp (1,2) chứ cĩ tính đối xứng ta phải đối xứng hĩa hàm sĩng. Đối với một trạng thái bất kỳ ta cĩ thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái (1,2), (2,1)  . 1 2(1,2) (2,1)C C    Khi 1 2C C C  ta cĩ hàm sĩng  (1,2) (2,1)s C    . Khi 1 2 'C C C   ta cĩ hàm sĩng  ' (1, 2) (2,1)a C    . Sử dụng điều kiện chuẩn hĩa ta tìm được 1 1, ' 2 2 C C  . Tổng quát cho trường hợp hệ cĩ nhiều hơn hai hạt 2N  . 1, ˆ(1, 2,...., ) (1, 2,..., ) N s ij i j i N C P N      đối với hệ hạt boson. 1, ˆ(1, 2,...., ) ' ( 1) (1, 2,..., ) N i j a ij i j i N C P N      đối với hệ hạt fermion. Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0 (hệ hạt boson) hoặc 1 2 (hệ hạt fermion) chuyển động trong trường thế ( )V r . Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta cĩ Hamiltonian của hệ bằng tổng các Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ. 0 1 1 ˆ ˆ ( ) 2 N N i i i i H H V r m           . Phương trình Schrodinger của một hạt viết dưới dạng: ˆ ( ) ( )i ni ni niH i i   . i là biến số xác định vị trí và spin của hạt thứ i.  ( )ni i là hệ các hàm riêng trực chuẩn của Hamiltonian. Hàm sĩng của hệ đang xét phụ thuộc vào tọa độ của N hạt được ký hiệu là (1,2,...., )N , hàm sĩng này là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm sĩng một hạt : 1 2(1,2,...., ) (1) (2)............... ( )n n nNN N    . Năng lượng của hệ là: 1 N ni i E    . Hàm sĩng đối xứng:  1 2 1, ˆ (1) (2)........... ( ) N s kj n n nN k k j C P N        , và hàm sĩng phản xứng:    1 2 1, ˆ' 1 (1) (2)........... ( ) N k j a kj n n nN k k j C P N        . Từ điều kiện chuẩn hĩa hàm sĩng ta cĩ 1 1, ' ! ! C C N N   Đối với hệ hạt boson cĩ thể cĩ ik hạt cùng ở trạng thái ứng với mức năng lượng ni . Gỉa sử cĩ 1k hạt ở trạng thái 1n , 2k hạt ở trạng thái 2n …với 1 2 ....k k N   . Hàm sĩng của hệ viết lại như sau:  1 1 1 1 2 1 2 1 2 2ˆ (1) (2).... ( ) ( 1) ( 2).... ( )......... ( )s n n n n n n nNC P k k k k N          Trong đĩ hệ số chuẩn hĩa ! ! j j k C N   Đối với hệ hạt fermion hàm sĩng cĩ thể viết dưới dạng định thức Slater 1 1 1 2 2 2 (1) (2) ( ) (1) (2) ( ) (1,......, ) (1) (2) ( ) n n n n n n a nN nN nN N N N N                  Nếu ta hốn vị hai hạt bất kỳ thì tương ứng với việc đổi chỗ hai cột trong định thức Slater. Trong định thức Slater, các bộ số lượng tử phải khác nhau, i jn n nếu i j . Nếu cĩ 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 hay 0a  . Nguyên lí Pauli được phát biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng nhất khơng thể cĩ nhiều hơn một hạt trên một trạng thái. Hệ các boson khơng bị chi phối bởi nguyên lí loại trừ Pauli, trạng thái cơ bản cĩ thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose. 1.2.d. Tương tác trao đổi Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ 1r và spin 1 , hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ 2 2, spin r  …..Hamiltonian của các hạt tương tác điện ( khơng cĩ từ trường) khơng chứa các tốn tử spin, do đĩ khi tác động lên hàm sĩng nĩ khơng tác động lên biến spin. Hàm sĩng của hệ cĩ thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin: 1 2 1 2(1, 2,..., ) ( , ,..., ) ( , ,...., )N NN r r r         Với  là hàm spin của hệ, phụ thuộc biến spin của hạt. Xét hệ hạt boson cĩ spin bằng 0, khi đĩ hàm sĩng chỉ cịn là hàm tọa độ 1 2( , )r r   , hàm này phải là hàm đối xứng. Như vậy khơng phải tất cả các mức năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger đều chấp nhận, chỉ cĩ những mức năng lượng ứng với hàm sĩng 1 2( , )r r   đối xứng được chấp nhận. Việc hốn vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ tọa độ. Do phép nghịch đảo hàm sĩng 1 2( , )r r   phải nhân với  1 l trong đĩ l là mơmen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt. Vì hàm sĩng của hệ là đối xứng nên: ( 1) 'ls s s     . Vậy hệ hai hạt đồng nhất cĩ spin bằng khơng cĩ mơmen quỹ đạo chẵn. Xét hệ hạt fermion (electron) cĩ spin 1 2 khi đĩ hàm sĩng tồn phần của hệ là phản đối xứng đối với sự hốn vị hai hạt. Như vậy nếu hàm tọa độ là đối xứng thì hàm spin là phản đối xứng và ngược lại. Ta viết hàm spinnơ dưới dạng spinnơ hạng hai ( )  , mỗi chỉ số ứng với spin của một hạt. Do đĩ các mức năng lượng tương ứng với các nghiệm đối xứng 1 2( , )r r   của phương trình Schrodinger thực tế cĩ thể được thực hiện khi spin tồn phần của hệ bằng khơng, nghĩa là khi spin của hai electron “ đối song” , khi đĩ 0zS  . Các mức năng lượng tương ứng với hàm sĩng phản đối xứng 1 2( , )r r   địi hỏi spin tồn phần của hệ phải bằng đơn vị , nghĩa là các spin của hai electron phải song song vì các spin cộng lại được theo quy tắc cộng véctơ, khi đĩ 0, 1zS   . Như vậy giá trị năng lượng khả dĩ của hệ electron phụ thuộc vào spin tồn phần của hệ. Ta tìm dạng tổng quát của hàm spinnơ 1 2( , )z zs s tồn phần cho các trạng thái với các S và zS đã cho. Các hàm này thỏa mãn phương trình: 2 2ˆ ( 1) ˆ z s S S S S m           Trong đĩ 1 2ˆ ˆ ˆS S S  là tốn tử spin tồn phần của hệ. Ta biểu diễn hàm  dưới dạng tích các hàm riêng 1 1 1 1 2 2 2 2 (1), (1), (2), (2)       . Trường hợp tổng quát hàm  cĩ thể viết như sau: 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (1, 2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)C C C C                 . Trong đĩ 1 2 3 4, , ,C C C C là các hệ số được xác định bằng điều kiện chuẩn hĩa. Ta cĩ : 1 1 1 1 2 2 (1) (2) S=1, S 1z    1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 (1) (2) (1) (2) S=1, S 0 2 z              1 1 1 1 2 2 (1) (2) S=1, S 1z       0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 (1) (2) (1) (2) S=0, S 0 2 z              Trong đĩ chỉ số trên ký hiệu spin tồn phần của hai hạt, chỉ số dưới ký hiệu hình chiếu của spin tồn phần lên trục z. Ba hàm đầu là hàm đối xứng với phép hốn vị hai hạt, hàm cịn lại là hàm phản đối xứng. Xác định các trị riêng của tích vơ hướng 1 2( . )S S .     2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2( ) ( ) 2 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( 1) 2 2 2 s s s S S S S S S S S S S S S S S S S S S S                     Ta có: Đối với hàm spin đối xứng cĩ S = 1: 2 1 1 1 2 ˆ ˆ( ) 4 S S    . Đối với hàm spin phản đối xứng cĩ S = 0: 2 0 0 1 2 3ˆ ˆ( ) 4 S S     Hàm tọa độ:     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a n m m n s n m m n r r r r r r r r r r r r               Vậy hàm sĩng tồn phần của hệ hai electron:  11 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) 2a a n m m n r r r r r r r r            11 2 1 2 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) (1) (2) 2a a n m m n r r r r r r r r                        1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) 2 1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) (1) (2) 2 a a n m m n a s n m m n r r r r r r r r r r r r r r r r                                    Tính khơng phân biệt được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của tương tác trao đổi giữa các hạt. Ta xét hệ gồm hai hạt cĩ spin 1 2 , giữa chúng cĩ một tương tác khơng liên quan đến spin của các hạt. Giả sử tương tác này đủ nhỏ để cĩ thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt khơng tương tác. Ký hiệu nhiễu loạn đĩ là tốn tử 12ˆ ( )V r trong đĩ 12r là khoảng cách giữa các hạt. 12 ˆ ( )V r khơng tác dụng lên spin của hệ. Năng lượng trung bình trong phép gần đúng bậc một được tính: (1) (0)* (0)ˆn nn n nE V V dV    . Đối với hệ hai hạt cĩ spin thì cơng thức trên được viết lại: (1) (0)* (0) 1 2ˆE V dV dV  . Hàm (0) mơ tả trạng thái khơng nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái các hạt khơng tương tác. Hàm sĩng của hệ gồm hai thành phần nhưng tốn tử 12 ˆ ( )V r khơng tác động lên hàm spinnơ, do đĩ ta đưa hàm spin ra khỏi dấu tích phân. Ta viết lại dạng ma trận của hàm spin, khi S = 0 hàm spinnơ bằng 1, khi S = 1 thì hàm spinnơ cĩ dạng: 1 0 1 ( ) , :              số lượng tử của hình chiếu spin tồn phần với 2 1i i   . Vậy:   1 2(1) * * * * *1 0 1 0 1 2 1 2 1 * 1 2 ˆ ˆ (1, 2) (1, 2) (1, 2) (1, 2) ˆ(1, 2) (1, 2) i i E V dV dV V dV dV V dV dV                           Với (1, 2) là hàm tọa độ .     1(1,2) (1) (2) (1) (2) 2 1(1,2) (1) (2) (1) (2) 2 a m n n m s m n n m                  *(1) 1 2 * * * * 1 2 1 2 1 ˆ(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) 2 ˆ ˆ(1) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (1) . m n n m m n n m m n m n m n m n E V dV dV V dV dV V dV dV Q A                            Vậy hiệu chính năng lượng của hai hạt cĩ spin 1 2 gồm hai phần. Phần thứ nhất khơng liên quan đến sự cĩ mặt của spin ở các hạt và cĩ sự tương tự cổ điển. Dấu  phụ thuộc vào spin tồn phần của hệ mặc dù tương tác giữa các spin khơng được tốn tử 12ˆ ( )V r xét đến. Phần năng lượng A gọi là tương tác trao đổi. Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước tốn tử Vˆ dưới dấu tích phân và trong các hàm đứng sau tốn tử Vˆ các hạt trao đổi chỗ cho nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái. Năng lượng trao đổi thu được cả trong trường hợp tốn tử Vˆ cĩ xét đến tương tác giữa các mơmen từ spin, tức là tốn tử Vˆ cĩ tác động lên các phần spinnơ của hàm sĩng. 1.3. Kết luận Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất. Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần cĩ một hệ thống bài tập với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khĩ. Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng yêu cầu trên. Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT Bài 1. Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương bất kỳ. Lời giải Vì spin là đại lượng véctơ nên ta cĩ S = S S S    x y zi j k . Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ S.n = S S S   x x y y z zn n n               S.n = S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S                            2 22 2 22 2 x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y x x z z y y x x y y z z z z x x z z y y x x y y z z n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Vì     x y x y y xS ,S S S S S 0 . Ta cĩ: S S S                2 2 2 2 x x 2 2 2 2 y y 2 2 2 2 z z ˆ I 4 4 ˆ I 4 4 ˆ I. 4 4 ˆ ˆ ˆ           S.n S S S            22 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x x y y z z x y z n n n n n n Nhận xét Kết quả bài tốn cho thấy bình phương hình chiếu spin lên một phương bất kỳ đều bằng nhau. Tức là hình chiếu spin lên một phương cĩ thể cĩ hai giá trị là   2 . Do vậy mà ta rất khĩ xác định được trạng thái của spin ˆ S . Nếu xét hệ nhiều hạt thì việc xác định spin tồn phần của hệ rất khĩ khăn. Bài 2. Giả sử ,  là các véctơ trực giao và chuẩn hĩa trong khơng gian hai chiều. Định nghĩa các tốn tử:       x y z S = 2 iS = 2 S = 2                    ˆ ˆ ˆ Hãy chứng minh :         2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , 2i j ijk k i j ijS S i S S S . Lời giải Chứng minh     ˆ ˆ ˆ,i j ijk kS S i S Vì ,  là các véctơ trực giao và chuẩn hĩa nên ta cĩ:              1 0. Để chứng minh các hệ thức trên ta tính các hệ thức giao hốn     x y x y y xˆ ˆ ˆ ˆ ˆS ,S S S S S                                        2 2i i 4 4 i . 2 Vậy         x y z y xˆ ˆ ˆ ˆ ˆS ,S i S S ,S          z y x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆS ,S i S S ,S          x z y z xˆ ˆ ˆ ˆ ˆS ,S i S S ,S . Ta cĩ:             x x y y z zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆS ,S S ,S S ,S 0 . Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng quát sau:     i j ijk kˆ ˆS ,S i S . Trong đĩ ijk là tenxơ phản đối xứng, gọi p là số hốn vị đưa (i, j, k) về tập hợp (1, 2, 3). Khi ấy ijk được định nghĩa như sau: Với ijk 1 nếu i j k và p là số chẵn 1 nếu i j k và p là số lẻ 0 nếu có từ hai chỉ số trở lên trùng nhau        Chứng minh:    2ˆ ˆ, 2i j ijS S Ta cĩ     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2x x x x x x x xS S S S S S S S                       2 2 22 4 2 2 Vì theo hệ thức đĩng: 1 1 n i i i e e    nên       =1. Tương tự:      2y y z zˆ ˆ ˆ ˆS ,S S ,S 2    x y x y y xˆ ˆ ˆ ˆ ˆS ,S S S S S                            2 2i i4 4               2 2i i4 4   x yˆ ˆS ,S 0 . Tương tự:     y z z xˆ ˆ ˆ ˆS ,S S ,S 0 . Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng quát như sau:    2ˆ ˆ, 2i j ijS S Với     ij 1 nếu i j 0 nếu i j. Nhận xét Bài tốn yêu cầu chứng minh các hệ thức giao hốn và phản giao hốn của các tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,x y zS S S , ta cĩ thể sử dụng kết quả trên để áp dụng cho những bài tập khác. Đây là bài tập cơ bản giúp sinh viên vận dụng những kiến thức đã học về lí thuyết spin. Bài 3: Hãy biểu diễn véctơ ˆ. ;S n   như là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ  và  , biết rằng ˆ. ;S n   thoả mãn phương trình: 1ˆ ˆ ˆ. . ; . ; 2 S n S n S n            Ở đây, là véctơ đơn vị được xác định hướng như hình vẽ: z n β y α x Lời giải Ta phân tích véctơ ˆ. ;S n   thành dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ  và  như sau : ˆ   S.n,+ = a + b . Thay vào phương trình trị riêng và sử dụng điều kiện chuẩn hĩa hàm sĩng để xác định hai hằng số a và b. Đặt: ˆ   S.n,+ = a + b . Vì Sˆ  vừa cĩ ý nghĩa spin vừa cĩ ý nghĩa véctơ nên ta tính tích vơ hướng .S n  sau đĩ thay vào phương trình trị riêng x y zn = n i + n j + n k    và x y zS = S i +S j +S k    Với x y z n = nsinβcosα n = nsinβsinα n = ncosβ  ˆ ˆ x y z x y z                      S.n = S .nsin cos + S .nsin sin + S .ncos S.n S.n;+ = (S .nsin cos + S .nsin sin + S .ncos )(a + + b )  sin cos ( ) sin cos ( )2x a b a b              S  sin cos2 a b         sin sin ( ) sin sin ( ) 2 sin sin 2 y ia b a b i a b                          S     cos ( ) cos ( ) 2 cos 2 z a b a b a b                      S Thay kết quả trên vào vế trái của phương trình trị riêng ta được:      . ˆ ˆ. . ; sin cos sin sin cos 2 2 2 S n S n ia b a b a b                            Theo đề bài:          . 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ. . ; . ; 2 2 sin cos sin sin cos 2 2 2 1 2 S n S n S n a b ia b a b a b a b                                       Đồng nhất thức hai vế ta được:         2 2 2 sin cos sin sin cos sin 1 cos sin cos sin sin cos sin 1 cos 1 cos 1 cos i ib i a a b e a ia i b b a e b b e a                                                 Mặt khác từ điều kiện chuẩn hĩa : 2 2 1a b  Nên ta thu được hệ gồm hai phương trình : 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 cos ib e a a b                Giải hệ thu được : 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 cos 1 cos (1 cos )1 1 cos (1 cos ) 1 cos 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 1 cos i i i i i a ee eb e e                                             Vậy: 2 2 . 1 cos 1 cosˆ. ; 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 1 cosi i S n e e                            Nhận xét Đây là bài tốn cơ bản của cơ học lượng tử. Khi spin bị lượng tử hĩa hình chiếu spin cĩ hai giá trị : , 2 2 2 2z z S S           . Như vậy một trạng thái bất kỳ cĩ thể được biểu diễn thơng qua hai véctơ trực chuẩn , z zS S        . a b     Chỉ cần sử dụng phương trình trị riêng và điều kiện chuẩn hĩa ta cĩ thể xác định được hai hằng số a,b. Bài tập này giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn một trạng thái bất kỳ qua hai trạng thái trực chuẩn. Kiến thức Đối với bài tốn này ta cần nhớ phương trình trị riêng và điều kiện chuẩn hĩa hàm sĩng 1 1n n C   . Và cũng chú ý rằng spin Sˆ vừa cĩ ý nghĩa tốn tử vừa cĩ ý nghĩa véctơ. Phương pháp giải Ta cần biểu diễn trạng thái ban đầu của hệ thơng qua các véctơ cơ sở như sau: ˆ. ;S n a b      . Tính tích vơ hướng hai véctơ .S n  sau đĩ thay vào phương trình trị riêng :    1 1ˆ ˆ ˆ ˆ. . ; . ; .2 2S n S n S n S n a b a b                           Đồng nhất hai vế ta thu được hệ phương trình hai ẩn a và b, giải hệ tìm a, b sau đĩ thay vào phương trình ˆ. ;S n a b      . Bài 4. Giả sử hệ nằm tại trạng thái mơ tả bởi véctơ riêng của tốn tử S.n ứng với trị riêng 1 2 , trong đĩ n được xác định bởi các giá trị 0  , 0  . a. Giả sử đo đại lượng ˆxS . Xác suất nhận được giá trị 12 là bao nhiêu? b. Hãy tính 2ˆ ˆ( )x xS S . Lời giải Do xS cĩ hai giá trị là 12 và 1 2  với xác suất tương ứng là 1 2 P và 1 2 P  , mà 1 1 2 2 1P P    . Ta cĩ giá trị trung bình của xS được tính : 1 1 2 2 1 1ˆ 2 2x S P P    . Ta cũng tính được giá trị trung bình của ˆxS theo cơng thức ˆ ˆ x xS S  . Từ hai phương trình trên ta tính được 1 2 P và 1 2 P  . Trạng thái của hệ được mô tả bởi véctơ riêng ˆ. ;S n a b      , từ kết quả trên ta cĩ : 2 2 2 1 cos (1 cos )ˆ. ; . 1 cos (1 cos ) 1 cos (1 cos ) i i i eS n e e                              Chú ý ta cĩ thể viết các tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,x y zS S S như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ( , , )x y zS S S S  trong đó       ˆ 2 ˆ 2 ˆ . 2 x y z S iS S                        a) Xác suất nhận được giá trị 1 2 của ˆxS ? ˆ ˆ * *ˆ ˆ ˆ. ; . ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x xS S n S S n a b S a b a b a b b a ab ab a b ab                                                 Ta biết Sx chỉ có hai giá trị 1 2  , gọi 1( )2 P xác suất để 1 2x S  và 1( )2 P  xác suất để 1 2x S   . Ta cĩ: 1 1 . .( ) 21 1 1 1( ) ( )2 22 2 2 2 ˆ P P P P abxS         . Mặt khác từ điều kiện chuẩn hĩa : 11 1( ) ( )2 2 P P  Ta cĩ hệ phương trình: 1 11 1 1( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 11 1 .( ) ( ) 12 2 ( ) 22 P P P ab P P ab P ab                   Mà :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 cos (1 cos ) 1 cos (1 cos ) 1 cos (1 cos ) 1 cos 1 cos 1 cos (1 cos )1 cos (1 cos ) i i i i i ii eab e e e e ee                                                        Khi 0  , 0  thì : 2 21 cos 2 ab   2 2 2 2 1 1 cos 1( ) 2 22 1 1 cos 1( ) 2 22 P P             b) 2ˆ ˆ( )x xS S = ? 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2x x x x x xS S S S S S    2 22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 2x x x x x x x x x xS S S S S S S S S S       2 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2x x x x x xS S S S S S     . Ta cĩ: 2 21 cosˆ 2x S ab    2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ. ; . ; ( ) ( ) ˆ ˆ( ) ( ) S S n S S n a b S a bx x x a b S S a bx x                           ˆ 2 2 S a b a b b ax                            2 2 2 ˆ ˆ 2 4 4 S a b S b a b ax x a b                         2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 1 cos 1 cos 4 4 2 2 4 S a b S S a b a b a bx x x a b                                Vậy:    2 2 4 22 22 2 2 cosˆ ˆ ˆ ˆ 1 cos4 4 4x x x xS S S S          N._.hận xét Khi giải bài tốn này trước hết chúng ta phải biểu diễn véctơ riêng của hệ qua hệ cơ sở trực chuẩn ,   sau đĩ tính trung bình của ˆxS . Chúng ta cũng cĩ thể tính xác suất bằng cách chuyển trạng thái của hệ sang ˆxS biểu diễn. Kết quả bài tốn cho biết xác suất để ˆxS nhận giá trị 12 khi thực hiện phép đo trên một trục bất kỳ . Đây là bài tốn cơ bản phù hợp với chương trình cơ học lượng tử Đại học Sư Phạm. Kiến thức Cần vận dụng kiến thức về biểu diễn trạng thái qua cơ sở trực chuẩn, tính giá trị trung bình và tính xác suất hình chiếu spin lên một trục nào đĩ. Chúng ta cĩ hai cách tính xác suất, thứ nhất là chuyển sang ˆxS biểu diễn, hai là dùng cơng thức tính trị trung bình. Tùy theo bài tốn mà ta chọn cách làm phù hợp. Phương pháp giải Một trạng thái bất kỳ cĩ thể được biểu diễn thơng qua hai véctơ zS   và zS   như sau: ˆ. ;S n a b      với hai hằng số a, b cĩ thể xác định được bằng phương trình trị riêng. Ta biết rằng ˆxS cĩ hai giá trị riêng là 12 với 12P là xác suất nhận giá trị 1 2 , 1 2 P  là xác suất nhận giá trị 1 2  . Để tính được các xác suất trên ta cần tính giá trị trung bình của ˆxS . 1 1ˆ 1 12 2 2 2 S P Px    Dựa vào đề bài ta cĩ thể tính giá trị trung bình của ˆxS bằng cơng thức ˆ ˆˆ ˆ. ; . ;S S n S S nx x      . Từ hai phương trình trên ta tính được xác suất nhận giá trị 1 2 của ˆxS . Bài 5 Tìm trạng thái là tổ hợp tuyến tính của các véctơ  và  mà tích 2 2ˆ ˆ( ) ( )S Sx y  là cực đại. Lời giải Ta viết trạng thái tổ hợp của hai véctơ  và  như sau: 1 2C C     . Tính tích 2 2ˆ ˆ( ) ( )S Sx y  ta thu được một hàm số theo 1C , 2C , khảo sát hàm số để xác định điểm cực đại của tích 2 2ˆ ˆ( ) ( )S Sx y  . Sử dụng điều kiện chuẩn hĩa để xác định hệ số 1C , 2C . Gọi trạng thái tổ hợp của các tốn tử  và  cĩ dạng tổ hợp : 1 2C C     . Trong đĩ 1C và 2C phải thỏa: 2 21 2| | | | 1C C  . Tính: 2ˆ( )Sx Ta cĩ:  Sˆ = 2x      .     2 22ˆ = 4 4xS                   2 2ˆ ˆ S = Ψ S Ψx x    2 2 2 21 2 1 2 1 2+ += C C C C (C +C )4 4           1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + + ˆ ˆS = Ψ S Ψ = (C C )( )(C C ) 2 = (C C +C C ) = C C 2 x x            2 2 2 2 x 2 2 2 2 x 22 2 2 2 2 2 2 2 x 1 2 1 2 . ˆ ˆ ˆ ΔS = S S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(ΔS ) = (S S ) = S + S 2S S ˆ ˆ ˆ ˆ(ΔS ) = S + S 2 S ˆ ˆ ˆ(ΔS ) = S S = (C +C ) C C 4 x x x x x x x x x x x x x x           Tính : 2ˆ(ΔS )y Ta cĩ:  iSˆ =y 2           2 2 22y iˆ S = 4 4                          2 2 y y 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2+ + ˆ ˆ S Ψ S Ψ C C C C (C + C ) 4 4                   1 2 1 2+ + ˆ ˆ S = Ψ S Ψ i= C C C C = 0 2 y y           22 2 2 2 2 y 1 2 ˆ ˆ ˆ(ΔS ) S S (C + C )4y y      . Đặt 2 2ˆ ˆF = (ΔS ) (ΔS )x y 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1ˆ ˆF = (ΔS ) (ΔS ) (C + C ) (C + C ) C C 4 4 1 1 1C (1 C ) C C + (C ) 4 4 4 4 4 2 x y                        14 2 4 2 ' 1 1 1 1 1 4 2 1 4 1 4 1 max 1 2 = = C = 0 1 1'F = .2(C )(2C ) = C (C ) khi F = 0 1C = ±4 2 2 2 1''F 3C 2 1''F (C ± ) > 0 22 ''F (C = 0) < 0 F khi C = 0 C ±1. 2                    Tính tương tự cho 2C thì ta được ax 2 10 1mF C C     . Vậy ta cĩ 4 trạng thái tổ hợp tuyến tính của các véctơ  và  là: 1 2 3 4 1 1 1 1 .               Nhận xét Bài tốn tìm trạng thái tổ hợp tuyến tính của hai véctơ ,   sao cho thỏa mãn điều kiện nào đĩ là một trong những bài tốn cơ bản của cơ học lượng tử. Đối với dạng bài tốn này cần nhớ kiến thức về khảo sát hàm số và tìm cực trị của hàm số . Hàm số đạt cực đại khi y’ = 0 và y” < 0. Phương pháp giải Viết hàm sĩng dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ ,   : 1 2C C     , tính các giá trị 2 2, , ,x x y yS S S S thay vào biếu thức    22x yS S  ta thu được một hàm số đối với hai hằng số 1 2,C C . Sử dụng điều kiện chuẩn hĩa để hàm số chỉ phụ thuộc vào một biến. Khảo sát hàm số ta tìm được điểm cực đại của hàm số, suy ra các giá trị 1 2,C C cần tìm. Phân tích (nhĩm bài 1 → 6) 1. Nhận xét Do hình chiếu của spin lên một trục bất kỳ cĩ thể cĩ hai giá trị 2   , chính vì vậy mà rất khĩ xác định hướng của spin Sˆ . Vì hình chiếu spin cĩ hai giá trị, nên ta cĩ thể biểu diễn trạng thái của spin thơng qua hai cơ sở trực chuẩn ,  dưới dạng a b     , trong đĩ 2a là xác suất để hình chiếu spin bằng 2   và 2b là xác suất để hình chiếu spin bằng 2   . Ta cũng cĩ thể biểu diễn trạng thái bất kỳ qua hệ cơ sở trực chuẩn ,  với một điều kiện xác định. 2. Kiến thức Với những bài tốn này chúng ta cần chú ý điều kiện chuẩn hĩa hàm sĩng, tính trung bình của một đại lượng vật lý. Để tính xác suất nhận giá trị nào đĩ của một đại lượng vật lý ta cĩ hai cách tính. Một là sử dụng cơng thức 1 i i i A a P    , hai là sử dụng hệ số chuẩn hĩa. Đối với dạng bài tốn cĩ điều kiện, ví dụ bài 5, lưu ý kiến thức khảo sát hàm số và tìm cực trị của hàm số . Hàm số đạt cực đại khi y’ = 0 và y” < 0, và đạt cực tiểu khi y’ = 0 và y” > 0. Một điều cần lưu ý khi làm các bài tốn về spin là spin vừa cĩ ý nghĩa véctơ vừa cĩ ý nghĩa tốn tử. 3. Phương pháp giải Để xác định véctơ trạng thái bất kỳ ta viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véctơ cơ sở, dựa vào điều kiện bài tốn cho và điều kiện chuẩn hĩa ta tìm được các hệ số biểu diễn. 4. Kỹ năng Nhĩm bài tập này giúp người học hiểu những tính chất cơ bản của spin, cĩ kỹ năng biểu diễn một trạng thái bất kỳ qua hệ cơ sở trực chuẩn. Bài 6. Hãy kiểm tra hệ thức bất định 22 2 1( ) ( ) , 4 A B A B     Với A xS , B yS đối với trạng thái riêng của xS ứng với giá trị riêng 12 . Lời giải Ta cần chứng minh 22 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ(ΔS ) (ΔS ) S ,S 4x y x y      Với 2 22 2 2 2x yˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(ΔS ) = S S , (ΔS ) = S Sx x y y  và ˆ ˆ ˆS ,S = i Sx y z     . Vì trạng thái riêng của ˆxS ứng với giá trị riêng là 12 nên trạng thái này được biểu diễn bởi véctơ           . Ta cĩ:       Sˆ = 2 iSˆ = 2 Sˆ = 2 x y z                         2 2 x x 2 2 2 ˆ ˆS = χ S χ = 4 4 4                           ˆ ˆS = χ S χ = 02x x          2 Sˆ = 0x 2 2 ˆ(ΔS ) = 4x        2 2 y y 2 2 2 2 2 ˆ ˆS χ S χ i i = = = 4 4 4                             =iˆ ˆS χ S χ 02y y           2 Sˆ = 0y 2 2ˆ(ΔS ) = 4y   4 2 2ˆ ˆ(ΔS ) (ΔS ) = 16x y   . Cĩ : 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆS ,S = i S = Sx y z z       ˆ ˆS = χ S χ = 2 2z z           2 42 2ˆ ˆ ˆ S ,S = S = 4x y z      . Vậy: 22 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ(ΔS ) (ΔS ) S ,S 4x y x y      . Nhận xét Bài tốn này vận dụng các cơng thức tính trị trung bình của các đại lượng vật lý để kiểm tra lại hệ thức bất định. Cĩ thể sử dụng cho sinh viên rèn luyện kỹ năng tính tốn. Bài 7. Ta biết hai hạt spin 1 khơng đồng nhất, cùng ở trạng thái s (l=0) cĩ mơmen xung lượng tổng cộng J với giá trị khả dĩ của j là 0,1,2, nếu hai hạt này đồng nhất thì giá trị khả dĩ của j cĩ thay đổi khơng ? Lời giải Hàm sĩng của hệ hai hạt đồng nhất khi khơng tương tác spin cĩ thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin 1 2(1, 2) ( , ) (1, 2)r r     . Các hạt cĩ spin nguyên thì hàm sĩng tồn phần là đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt, hàm sĩng tồn phần cĩ dạng : 1 2 1 2 (1, 2) ( , ) (1, 2) (1,2) ( , ) (1, 2) s s s s a a r r r r             Do hai hạt cĩ cùng trạng thái spin nên hàm (1,2) 0a  do đĩ hàm tọa độ và hàm spin phải cùng đối xứng. Khi hốn vị hai hạt hàm tọa độ được nhân với hệ số ( 1)S trong đĩ S là spin tổng cộng của hệ : 1 2 2 1 2 1( , ) ( 1) ( , ) ( , ) Sr r r r r r          Do đĩ S = 0,2 Cĩ J S L   mà 0 0,2l j S    . Vậy đối với hệ hạt đồng nhất thì j khơng cĩ giá trị 1 như hệ hạt khơng đồng nhất. Nhận xét Bài tốn này cho thấy sự khác nhau giữa hệ hạt đồng nhất và hệ hạt khơng đồng nhất. Đây cũng là một bài tốn cơ bản của cơ học lượng tử được giảng dạy trong chương trình cơ học lượng tử của Đại học Sư Phạm. Kiến thức Ở đây ta chú ý rằng chỉ cĩ hệ hạt đồng nhất mới cĩ sự đối xứng hĩa hàm sĩng do đĩ khơng phải nghiệm nào cũng được chấp nhận là nghiệm vật lý. Cịn đối với hệ hạt khơng đồng nhất hàm sĩng khơng đối xứng hĩa. Bài 8. Hai hạt fermion spin 1 2 chuyển động 1 chiều dưới tác dụng của thế V(x). 0 0 x L( ) V x    a. Viết hàm sĩng và năng lượng trạng thái cơ bản của hệ 2 hạt này. b. Giả sử tương tác giữa hai hạt được mơ tả bởi thế : 1 2 1 2( , ) ( )V x x x x    ( 0)  Coi tương tác này như là nhiễu loạn, hãy xét sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản. Lời giải a) Hàm sĩng và năng lượng của một hạt tự do chuyển động trong hố thế sâu vơ hạn bề rộng L cĩ dạng : 2( ) sin ; 0 .n nx x x L L L     Và 2 2 2 2 ; 1, 2,3...2n E n n mL   Vì hệ hai hạt là đồng nhất nên chúng ta tìm hàm sóng cho một hạt và hạt còn lại thì tương tự 1 1 1 2 2 2 2 2( ) sin ; ( ) sinn k n kx x x x L L L L     . Hai hạt khơng tương tác nhau và Hamiltonian của hệ khơng phụ thuộc vào spin của hạt nên hàm sĩng của hệ cĩ thể viết dưới dạng    1, 2 . 1, 2  . Hệ hạt là hạt fermion nên tích    1, 2 . 1, 2  phản đối xứng với phép hốn vị hai hạt. Thay vào định thức Slater :   1 11 1 2 22 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )1(1,2) ( ) ( )2 1 ( ) ( ) 2 n n n n n n x x x x x x                  Ở trạng thái cơ bản : n = 1 ; do đĩ hàm sĩng cĩ dạng :     1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 sin sin . 1(1,2) ( ) ( ) 2 1= 2 x x L L L x x                Năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản: 2 2 2 2 2 2 0 2 2(1 1 )2 E mL mL      b) Bổ chính năng lượng bậc 1 cho trạng thái cơ bản cĩ dạng:      10 1, 2 ' 1, 2E V   Trong đĩ:    1 2 1 2' ,V x x x x   ( 0)  Như vậy:    21 2 20 1 2 1 2 1 20 02 sin sin .L LE dx dx x x x xL L L            2 2 22 2 1 2 1 10 02 sin sinL Lx dx x x x dxL L L           2 2 2 2 2 20 2 4 2 20 2 4 2 20 2 2 2 20 2 sin sin 2 sin 2 sin 2 1 3 2 1 4 32cos cos . 4 2 2 2 L L L L x dx x L L L x dx L L x dx L L x x dx L L L L                                                      Nhận xét Hạt chuyển động trong hố thế một chiều sâu vơ hạn hàm sĩng gồm hai phần: tọa độ và spin. Do hai hạt khơng xảy ra tương tác spin nên cĩ thể viết hàm sĩng tồn phần dưới dạng tích của hàm tọa độ và spin. Nếu xảy ra tương tác spin giữa hai hạt thì bài tốn phức tạp hơn. Kiến thức Vì Hamiltonian của hệ khơng phụ thuộc vào spin nên khi giải phương trình Schrodinger ta được hàm sĩng tọa độ của mỗi hạt. Sau đĩ đối xứng hĩa hàm sĩng tồn phần của hệ, với hệ hạt fermion thì hàm sĩng tồn phần là hàm phản đối xứng, với hệ hạt boson thì hàm sĩng tồn phần là hàm đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt bất kỳ. Ngồi ra hệ hạt fermion cịn tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli cịn hệ hạt boson thì khơng. Khi giải bài tốn trên ta bỏ qua tương tác spin giữa các hạt nên năng lượng của hệ khơng chính xác. Do đĩ ta tính bổ chính năng lượng cho hệ và lấy gần đúng đến bậc 1, cơng thức: * ˆ(1, 2) (1,2)E V dV   Vì thế 1 2 1 2( , ) ( )V x x x x    khơng tác dụng lên hàm spin nên ta đưa hàm spin ra khỏi dấu tích phân, như vậy bổ chính năng lượng được tính: * 1 2 1 2 1 2ˆ( , ) ( , )E x x V x x dx dx   vì * 1   . Bài 9. Xét một hệ gồm 3 fermion bị giam trong thế một chiều : 0 (0 )( ) x LV x    ` Giả sử các hạt khơng tương tác với nhau. Hãy viết véctơ trạng thái cơ bản của hệ trong 2 trường hợp: a. Giả định là các hạt khơng cĩ spin. b. Các hạt cĩ spin ½. Lời giải Các hạt khơng tương tác nên hàm sĩng của hệ cĩ thể viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sĩng của một hạt. Hàm tọa độ và năng lượng của một hạt trong hố thế một chiều cĩ dạng 2 2 2 2 2 sin , 0 x L E = n = 1,2,... 2 ( )n n n x L L n mL x       a) Véctơ trạng thái cơ bản khi các hạt khơng cĩ spin ? Vì các hạt là hạt fermion nên hàm sĩng tọa độ phản đối xứng với phép hốn vị hai hạt bất kỳ, hàm sĩng cĩ thể viết dưới dạng định thức Slater 1 1 2 1 3 1 0 1 2 3 1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 1( , , ) ( ) ( ) ( ) 3! ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x            1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3 2 1 3 1 2 3 3 3 1 1 2 2 3 1 3 2 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 { ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] 3! ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]} 2 1 2 3 3 2 2 3(sin sin sin sin sin sin sin sin sin 3! x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L L L L L L L L L L                                     1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 3 2 2 3 sin sin sin sin sin sin sin sin sin ).x x x x x x x x x L L L L L L L L L            Năng lượng của hệ là : 2 2 2 2 2 2 2 20 02 2 2 24 9 14 142 2 2 2E mL mL mL mL             . b) Véctơ trạng thái cơ bản khi các hạt cĩ spin ½ ? Các hạt cĩ spin 1 2 : ký hiệu i  là trạng thái spin của hạt thứ i, ký hiệu i  tức là hạt thứ i cĩ thể ở trạng thái i  hoặc i  . Hàm sĩng trạng thái cơ bản viết dưới dạng định thức Slater: 1 1 1 1 2 11 1 1 0 1 2 3 1 2 1 2 2 22 2 2 1 3 1 3 2 33 3 3 ( ) ( ) ( ) 1( , , ) ( ) ( ) ( ) 3! ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x                     1 1 1 2 2 3 1 3 2 21 2 3 3 2 1 1 2 2 1 3 1 2 2 31 3 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 3 1 21 2 3 3 2 1 { ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 3! ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]} x x x x x x x x x x x x x x x                                     3 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2{sin sin sin [ ] 3! 2 sin sin sin [ ] 2 sin sin sin [ ] } x x x L L L L x x x L L L x x x L L L                                   Năng lượng của hệ là : 2 2 2 2 2 2 2 20 02 2 2 24 6 62 2 2 2E mL mL mL mL             Nhận xét Đối với hệ hạt fermion thì khơng thể cĩ nhiều hơn một hạt trên cùng một trạng thái. Do đĩ khi viết hàm sĩng cho hệ ta phải chú ý nguyên lý loại trừ Pauli. Đối với hệ hạt khơng cĩ spin thì mỗi hạt ở một mức năng lượng khác nhau để khơng vi phạm nguyên lí loại trừ Pauli. Cịn đối với hệ hạt cĩ spin, do spin cĩ hai trạng thái là ,  nên hai hạt cĩ thể ở cùng mức năng lượng nhưng khác trạng thái spin. Qua bài tập này ta thấy sự khác biệt giữa trạng thái của hệ hạt cĩ spin và hệ hạt khơng cĩ spin. Bài 10. Một hệ gồm hai hạt đồng nhất. Giả sử rằng 2 hạt này nằm ở các trạng thái một hạt trực chuấn khác nhau. Hãy tìm hàm mật độ một hạt  (r) và hàm mật độ hai hạt 1 2( , )r r trong hai trường hợp: a. Các hạt bơson. b. Các hạt cĩ spin 1 2 . Lời giải Vì khơng cĩ sự tương tác spin giữa các hạt nên hàm sĩng của hệ cĩ thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin ( ) ( )r     Từ điều kiện chuẩn hĩa hàm sĩng ta cĩ : 2 1 2 1 2 * * * 1 2 1 2 1 2 1 (1, 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1, 2) (1,2) r r r r drdr drdr drdr drdr drdr                                  Vì *( ) ( ) 1     . Vậy hàm mật độ các hạt được tính : 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )r r r r r r r rdrdr drdr                 . Trong đĩ: 21 2 1 2( , )r r drdr     là xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích 1dr hạt kia ở thể tích 2dr ( ), ( )r r   là hai trạng thái trực chuẩn khác nhau. a) Đối với các hạt bơson. Đối với các hạt bơson hàm sĩng là hàm đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt bất kỳ nên hàm sĩng tọa độ cĩ dạng : 1 2 1 2 2 1 1( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 r r r r r r           . Ta cĩ : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) 1 * * * * [ ( ) ( ) ( ) ( )][ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 r r drdr r r drdr r r r r r r r r drdr r r drdr r r                                               1 2.drdr   Vậy mật độ 2 hạt được xác định bởi hàm mật độ : 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r r r r             . Mật độ 1 hạt được xác định như sau : 2 21( ) ( ) ( ) 2 r r r         . b) Đối với các hạt cĩ spin 1 2 . Đối với các hạt cĩ spin bán nguyên hàm sĩng là hàm phản đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt bất kỳ, hàm sĩng tọa độ cĩ dạng : 1 2 1 2 2 1 1( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 r r r r r r           2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) 1 * * * * [ ( ) ( ) ( ) ( )][ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 r r drdr r r drdr r r r r r r r r drdr r r drdr r r                                              1 2drdr   Vậy mật độ 2 hạt được xác định bởi hàm mật độ : 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r r r r             . Mật độ 1 hạt được xác định như sau : 2 21( ) ( ) ( ) 2 r r r         . Nhận xét Mật độ các hạt khơng phụ thuộc spin của hạt, chỉ phụ thuộc vào hàm tọa độ của từng hạt. Do đĩ hàm mật độ của hệ hạt bơson hay fermion là như nhau. Bài 11. Hai electron bị giam trong một hố thế một chiều cĩ cạnh là a. Gỉa sử cả hai electron đều nằm ở cùng một trạng thái spin. Bỏ qua tương tác Coulomb giữa chúng. a) Viết hàm sĩng trạng thái cơ bản của hệ. b) Xác suất tìm thấy cả hai electron trong cùng một nửa hố là bao nhiêu. Mở rộng cho hố thế 3 chiều cạnh a. Lời giải a) Hàm sĩng của hệ hai hạt electron bỏ qua tương tác Coulomb được viết dưới dạng tích các hàm sĩng  chỉ phụ thuộc vào các tọa độ và hàm  chỉ phụ thuộc vào các spin của chúng. Hàm sĩng tồn phần của hệ là phản đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt. Do hai hạt cĩ cùng trạng thái spin nên hàm tọa độ phải là phản xứng, hàm sĩng tồn phần của hệ cĩ dạng : 1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , ) ( , )a z z a s z zr r s s r r s s   . Xét trường hợp hạt chuyển động trong hố thế một chiều cạnh a. Trong trường hợp này thế năng cĩ dạng: 0 (0 )( ) x aV x    Vì hệ hai hạt là đồng nhất nên chúng ta tìm hàm sĩng cho một hạt và hạt cịn lại thì tương tự. Hàm sĩng của một hạt chuyển động trong hố thế một chiều cĩ dạng : 2( ) sin( )n nx x a a   . Hàm tọa độ của hệ được viết như sau: 1 2 1 2 2 1 1( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2a n m n m x x x x x x      . Xác định hàm spin tồn phần cho các trạng thái S và zS , hàm này thỏa phương trình: 2 2ˆ ( 1) ˆ S S S S Sz z           Và theo đề bài thì hai hạt ở cùng trạng thái spin nên ta nhận các nghiệm sau: 1 1 2 , 1, 1s z z zS S S S        2 1 2 , 1, 1s z z zS S S S         Hàm sĩng của hệ hạt trong hố thế một chiều cạnh a cĩ dạng: 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1( , , , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 1( , , , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] . 2 a z z n m n m z z a z z n m n m z z x x s s x x x x S S x x s s x x x x S S                       Xét trường hợp hạt chuyển động trong hố thế ba chiều cạnh a. Trong trường hợp này thế năng cĩ dạng: x y zV V V V   Với ( ), ( ), ( )x y zV V x V V y V V z   0 (0 )x x aV    ; 0 (0 )y y aV    ; 0 (0 )z z aV    Ta cĩ : ( ) ( ). ( ). ( )r x y z    2( ) ( ) sin 2( ) ( ) sin 2( ) ( ) sin n n n nx x x a a ny y y a a nz z z a a                         Hàm sĩng tọa độ của hệ cĩ dạng : 1 2 1 2 2 1 1( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2a n m n m r r r r r r      Xác định hàm spin tồn phần cho các trạng thái S và zS , hàm này thỏa phương trình: 2 2ˆ ( 1) ˆ S S S S Sz z           Và theo đề bài thì hai hạt ở cùng trạng thái spin nên ta nhận các nghiệm sau: 1 1 2 , 1, 1s z z zS S S S        2 1 2 , 1, 1s z z zS S S S         Vậy hàm sĩng của hệ cĩ hạt trong hộp cĩ cạnh a là; 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1( , , , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 1( , , , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] . 2 a z z n m n m z z a z z n m n m z z r r s s r r r r S S r r s s r r r r S S                                   b) Xác suất tìm thấy hai hạt trong nửa hộp ? Khi hạt chuyển động trong hố thế một chiều cạnh a : 1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , ) ( , )a z z a s z zx x s s x x s s   . Với 1 2 1 2 2 11( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]2a n m n mr r r r r r      1 1 2 2 2( ) sin 2( ) sin n m nx x A a a mx x B a a             1 1 2 2 2( ) sin 2( ) sin m n mx x C a a nx x D a a             Xác suất tìm thấy cả hai hạt trong nửa hố thế là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( 2 ) 2 a a a a a a a a a a I II III p x x dx dx A B C D ABCD dx dx A B dx dx C D dx dx ABCDdx dx                           Giải I, II, III 22 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 0 0 0 0 22 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 00 0 0 2 2 2 0 2 sin 2 1 2 1 21 cos sin 2 2 1 1 2 4 a a a a aa a a a nI B dx A dx B dx x dx a a n a nB dx x dx B dx x x a a a n a B dx                                  Tương tự ta cĩ : 2 2 2 2 2 1 0 0 1 4 a a II D dx C dx   2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 0 0 0 0 22 2 sin sin a a a a n mIII BDdx ACdx BDdx x x dx a a a                 2 2 2 1 1 1 0 0 2 ( ) ( )cos cos a a n m n mBDdx x x dx a a a                   22 2 1 1 0 0 2 ( ) ( )sin sin ( ) ( ) aa a n m a n mBDdx x x a n m a n m a                     2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 1 ( )2 sin sin 2 2 ( ) 2 ( ) 2 a an m n mBDdx BDdx n m n m                           Thay vào ta cĩ:   2 21 1 12 2 4 4 2 p I II III              Khi m, n cùng chẵn hoặc cùng lẻ 10 2 p     Khi m, n khơng cùng chẵn hoặc cùng lẻ : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 8 ( ) 2 ( ) m mp n m n m       . Khi hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều cạnh a 1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , ) ( , )a z z a s z zr r s s r r s s       1 2 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2( ) sin sin sin 2( ) sin sin sin 2( ) sin sin a n m m n n m m r r r r r r n n nr x y z A a a a a m m mr x y z B a a a a m mr x y a a a                                                                           1 3 2 2 2 2 2 sin 2( ) sin sin sinn m z C a n n nr x y z D a a a a                                     Xác suất tìm thấy hai electron trong nửa hộp là:   1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22 ( , ) 2 V V V V p r r dV dV A B C D ABCD dV dV       1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22 V V V V V V I II III A B dV dV C D dV dV ABCDdV dV           2 1 2 1 2 2 23 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 sin sin sin V V V V n x n y n zI B dV A dV B dV dV a a a a                             2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 3 3 2 2 2 2 2 sin sin sin 2 1 1 4 8 64 a a a V V V n x n y n zB dV dx dy dz a a a a aB dV B dV a                                           Tương tự 1 64 II  2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 13 0 0 0 3 2 3 6 2 23 0 2 16 sin sin sin sin sin sin 16 2 2 2 V V a a a V a V III BDdV ACdV n x m x n y m y n z m z BDdV dx dy dz a a a a a aa aBDdV BDdV a                                                           Vậy xác suất : 6 61 1 12 2 64 64 32 p           Nhận xét Bài tốn tìm hàm sĩng và xác suất tìm hạt là bài tốn cơ bản trong phần hệ hạt đồng nhất. Ta đã biết dạng hàm sĩng của một hạt chuyển động trong hố thế một chiều. Để xác định hàm sĩng tồn phần của hệ ta dựa vào tính đối xứng của hàm sĩng. Hệ hạt fermion cĩ hàm sĩng phản xứng, hệ hạt boson cĩ hàm sĩng đối xứng. Xác suất tìm thấy một hạt trong nửa hố thế là 1 2 , vậy xác suất tìm thấy hai hạt trong cùng nửa hố thế là 1 1 12. . 2 2 2  , hai hạt ở cùng nửa đầu hoặc nửa cuối. Bài tốn này để kiểm tra kết quả trên. Bài 12. Hệ hai hạt electron tương tác yếu với nhau cĩ thể bỏ qua. Hạt A ở trong trạng thái riêng với 1 2z S  và hạt B ở trong trạng thái riêng với 1 2x S  . Tìm xác suất để phép đo spin tồn phần của hệ bằng khơng ? Lời giải Hệ hai electron là hệ hai hạt đồng nhất cĩ spin 1 2 . Hàm sĩng của hệ hạt fermion là hàm phản đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt. Bỏ qua tương tác yếu giữa các spin, trạng thái của hệ với spin tồn phần bằng khơng cĩ thể viết dưới dạng: 1 1 1 1 10 2 2 2 22 Az Bz Az Bz S S S S           Trong đĩ ,Az BzS S là thành phần theo phương Oz của tốn tử spin của hai hạt A và B tương ứng. Hệ đang ở trạng thái được mơ tả bởi hàm spin như sau: 1 1 2 2Az Bx S S    Xác suất để hệ cĩ spin tồn phần bằng khơng là: 2 0P  . Ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 2 22 1 1 1 = 2 22 Az Bz Az Bz Az Bx Bz Bx S S S S S S S S                  Trong zS biểu diễn tốn tử hình chiếu spin ˆxS cĩ dạng ma trận: 0 1ˆ ˆ 1 02 2x x S          Giải phương trình trị riêng của xS , ứng với trị riêng bằng 12 ta cĩ véctơ riêng là 11 12     . Vậy véctơ 1 2x S  cĩ thể được biểu diễn qua hai véctơ trực chuẩn như sau: 1 1 1 1 2 2 22x z z S S S         1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2z x z z z S S S S S               . Vậy: 1 1 1 10 = 2 2 22 Bz Bx S S     . Xác suất để spin tồn phần của hệ bằng khơng là: 2 10 4 P   . Nhận xét Hàm spinnơ của hệ hai electron thỏa mãn hệ phương trình: 2 2ˆ ( 1) ˆ z s S S S S m           Trong đĩ 1 2ˆ ˆ ˆS S S  là tốn tử spin tồn phần của hệ. Giải hệ ta được các hàm spinnơ của hệ như sau : 1 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 (1) (2) S=1, S 1 1 (1) (2) (1) (2) S=1, S 0 2 (1) (2) S z z                          0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 =1, S 1 1 (1) (2) (1) (2) S=0, S 0 2 z z              Ta dễ dàng thấy rằng xác suất để hệ ở trạng thái cĩ spin tồn phần bằng khơng là 1 4 , phù hợp với kết quả bài tốn. Bài 13. Trạng thái cơ bản của nguyên tử Heli thực khơng suy biến. Tuy nhiên hãy xét nguyên tử heli giả định, trong đĩ hai electron được thay bởi hai hạt đồng nhất spin 1 và cũng cĩ điện tích âm. Hỏi khi đĩ trạng thái cơ bản cĩ bậc suy biến là bao nhiêu ? Bỏ qua các lực phụ thuộc spin. Lời giải Với nguyên tử heli ở trạng thái cơ bản, electron cĩ spin 1 2 nên nĩ tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli. Hàm sĩng tồn phần là hàm phản đối xứng đối với phép hốn vị hai hạt bất kỳ.  1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 11 1 12 2a s s s s s s           Do hàm tọa độ là hàm đối xứng nên hàm spin phải là hàm phản đối xứng. Năng lượng của hệ: 1 2E E E  . Chỉ cĩ một mức năng lượng ứng với một véctơ trạng thái của hệ : khơng suy biến. Với nguyên tử heli giả định (spin = 1, khơng tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli). Hàm sĩng s s s     1 2 2 11 12 1 1 1 1 s s s s s s           Cĩ 3 véctơ trạng thái ứng với một giá trị năng lượng, vậy bậc suy biến là 3. Phân tích (nhĩm bài 7 → 13) 1. Nhận xét hĩm bài tập này giúp người học biết cách xác định hàm sĩng của hệ hạt đồng nhất, hàm mật độ của hệ hạt, xác suất tìm hạt chuyển động trong hố thế. Đây là những bài tập cơ bản, giúp người học vận dụng được lí thuyết spin và hệ hạt đồng nhất, qua đĩ hiểu rõ hơn lí thuyết về spin và hệ hạt đồng nhất. 2. Kiến thức Đối với những bài tốn này chúng ta phải vận dụng kiến thức về hệ hạt đồng nhất như nguyên lí loại trừ Pauli, đối xứng hĩa hàm sĩng, biểu diễn trạng thái qua cơ sở trực chuẩn. Bên cạnh đĩ cịn phải nắm được xác suất của một giá trị xác định trong một phép đo : xác suất để khi đo đại lượng vật lý F trong trạng thái  tùy ý nhận giá trị 1 2, ,...  là các trị riêng của tốn tử Fˆ thì bằng bình phương mơđun của các hệ số khai triển hàm  theo các hàm riêng tương ứng. 3. Phương pháp giải Trước hết ta viết hàm sĩng cho một hạt sau đĩ đối xứng hĩa hàm sĩng cho hệ hạt ta sẽ tìm được hàm sĩng cho hệ. Sau đĩ thay vào cơng thức tính xác suất để tìm xác suất đạt một giá trị xác định. 4. Kỹ năng Đối với những bài tốn này ta cĩ nhiều kỹ năng hơn, kỹ năng tìm hàm sĩng của hệ dưới dạng định thức Slater, tính tích phân trong hố thế ba chiều, Bài 14. Hamiltonnian của một hệ cĩ hai trạng thái là:  1 1 2 2 1 2 2 1H         Trong đĩ α là hằng số cĩ thứ nguyên năng lượng, 1 và 2 là các ._.