Hệ phương trình vi phân Đại số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỤC LỤC Trang Mở đầu ................................................................................................ 2 Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24 Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37 3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55 Kết luận .............................................................................................. 59 Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: '( ) + ( ) 0t tA x t B x t ở đó, , , , : , , ,n nA B C I L x I I aR R a là hằng số, det 0 A t t I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006. Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau. Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng '( ) - ( ) 0Ax t Bx t trong đó A, B là các ma trận thực, det 0.A Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 ' , 0A t x t B t x t t trong đó . 0, ;loc n nA L K , . 0, ;loc n nB L K , ở đây công thức bán kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1. Cho . P L P được gọi là một phép chiếu nếu 2P P . Nhận xét 1.1.2. i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: Im nKerP P  . ii) Mỗi phân tích n U V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận) Cho nA L  . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà 1k kKerA KerA. 1min : k kindA k KerA KerA Định lý 1.1.4. Với mọi nA L  ta luôn có: k k nimA KerA  với mọi k thoả mãn 0<k<indA. k k k k nimA KerA imA KerA  với k indA . Định nghĩa 1.1.5. Cho , nA B L  . Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính quy nếu c  sao cho det 0cA B . Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà det 0cA B . Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là ,ind A B , là chỉ số của ma trận 1 cA B A . 1 ,ind A B ind cA B A (Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Định lý 1.1.7. Nếu nQ L  không suy biến thì: , , ,ind QA QB ind AQ BQ ind A B . Nếu A, B là giao hoán được thì ,ind A B ind A . Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c R sao cho cA + B khả nghịch, đặt 1 Q cA B . Khi đó, QA và QB là giao hoán được. Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và 1 k rank cA B A r thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho: , , r A Pdiag I U Q , n r B Pdiag W U Q ở đó 1 1 ij,..., , max , s r r l l l l s i rU diag U U l k U u L  với ij 1 khi 1 ; 0 khi 1 j i u j i 0kU còn 0 lU l k . Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1. 2) x KerA và Bx ImA suy ra x = 0 3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B). 4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi nW L  . 5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA . 6) Với : :nS x Bx ImA thì nS KerA . 7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp nE L  thoả mãn: 1 , 0 A EA 1 2 , B EB B 1rankA rankA , ta nhận được ma trận không suy biến 1 2 n A L B  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 2 , 3 , 9 Xét hệ phương trình vi phân dạng: , , ' 0F t x t x t (1.2.1) trong đó: : nx I  , ,I a  : n nF I D   , , , ,t x y F t x y D là tập mở trong ,n ,n nF C I D   , ' ', ,n nx yF F C I D L  . Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn ' ' , , ' 0xKerF t x t x t với mọi , , ' nt x x I D  . Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính: 'A t x t B t x t q t (1.2.2) trong đó: , , nA B C I L  , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi ,t I là hệ phương trình vi phân đại số. Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này. Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9]). Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng: , , ' 0F t x t x t (1.2.3) trong đó: : nx I  , ;I a  , : n nF I D   , , , ,t x y F t x y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 D là tập mở trong ,n ,n nF C I D   , ' ', ,n nx yF F C I D L  ' ' , , ' 0xKerF t x x , , ' nt x x I D  . Giả thiết ' ' , , 'xKerF t x x không phụ thuộc vào x và x’ tức là: ' ' , , 'xKerF t x x N t , , ' nt x x I D  . Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch N t được gọi là trơn trên I nếu có ma trận hàm khả vi liên tục 1 , nQ C I L  sao cho 2 Q t Q t , ImQ(t) = N(t) t I . Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt 1 , nnP t I Q t P C I L  . Ta có: 1 ' ' 0 , , , , , , 1xF t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds và từ ' ' ' ', , ' , , 0x xQ t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y . Từ đó ta suy ra: 1 ' ' 0 , , , , , , 1 0xF t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds hay , , , ,F t x y F t x P t y , , ' , , ' , , ' 'F t x x F t x P t x F t x Px t P t x t Điều này cho thấy, để hàm : nx I  là nghiệm của (1.2.3) thì cần phải có 1 , ,nPx C I  , nQx C I  . Bây giờ ta quan tâm tới không gian hàm sau: 1 1 1, , : ,n n nNC I x C I Px C I   . Đặt ' ', , : , , , ,n x yS t x y z F t x y z ImF t x y ' ' 1 , , : , , , ,y xG t x y F t x y F t x y Q t ' 1 1, , : , , , , 'yA t x y G t x y F t x y P t Q t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 1 1 , , : , ,N t x y KerA t x y ' 1 1, , : , , , , n xS t x y z F t x y P t z ImA t x y Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 1 trên tập mở nG I D  nếu , , nN t S t x y  , ,t x y G . Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 2 trên tập mở nG I D  nếu: 1 dim , , 0N t x y const và 1 1, , , , nN t x y S t x y  , ,t x y G Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng: ' 0A t x t B t x t (1.2.4) trong đó : nx I  , , , nA B C I L  , det 0A t với mọi t I . N t KerA t trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên tục. Đặt :P t I Q t . : :nS t z B t z ImA t 1 : 'A t A t B t A t P t Q t 1 1 :N t KerA t 1 1: : nS t z B t P t z ImA t Gọi 1 Q t là phép chiếu khả vi liên tục lên 1 N t dọc theo 1 S t , 1 1 :P t I Q t . 1 1 1: 'B t B t A t PP P t Đặt 2 1 1 1 :A t A t B t Q t Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi nN t S t  t I tức là 1 det 0A t t I . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi 1 1 1 dim 0 n N t const N t S t t IR tứ là 1 2 det 0 det 0 A t t I A t t I Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng: ' 0Ax t Bx t (1.2.5) trong đó: : nx I  , , nA B L  , det 0A . Khi đó: :N KerA : :nS z Bz ImA Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA). 1 :A A BQ , 1 1:N KerA , 1 1: : nS z B z ImA Gọi 1Q là phép chiếu lên 1N dọc 1S , đặt 1 1:P I Q . 1 :B BP , 2 1 1 1 1 1 :A A BQ A BPQ Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi nN S  1det 0A . Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ khi 1 1 1 dim 0 n N const N S R tức là 1 2 det 0 det 0 A A 1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số 1 , 3 Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số. Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 'Ax t Bx t q t (1.3.1) trong đó: : nx I  , , nA B L  , det 0A , . , nq C I R . 1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên KerA , : nP I Q . Khi đó, AQ = 0. QP = 0. A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P. B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP Do vậy, hệ (1.3.1) 1 1 'APx t AQx t BPx t q t . Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với 1 1PA và 1 1QA ta được hệ tương đương: 1 1 1 1 1 1 1 1 'Px t PA BPx t PA q t Qx t QA BPx t QA q t Đặt u t Px t , v t Qx t ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau: -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 'u t PA Bu t PA q t v t QA Bu t QA q t ( ) ( ) trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, còn ( ) là hệ phương trình đại số. Đặc biệt, khi 0q t ta được hệ: -11 -1 1 ' 0 ( ') ( ')0 u t PA Bu t v t QA Bu t 1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó 1det 0, A 2det 0.A Xét vế trái của (1.3.1) ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 ' ' 'Ax t Bx t APx t Bx t A Px t Bx t = 1' 'A BQ P Px Qx BPx A P Px Qx BPx = 1 1 1 1 1 1'A BPQ PP Px t PQx Q x BPx BPQ x = 2 1 1 1 1'A PP Px t PQx Q x BPPx Do vậy, hệ (1.3.1) 2 1 1 1 1'A PP Px t PQx Q x BPPx q t Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với 1 1 2 ,PPA 1 1 2 ,QPA 1 1 2Q A ta được hệ phương trình tương đương: -1 -1 1 1 1 2 1 1 2 -1 -1 1 1 1 2 1 1 2 -1 -1 1 1 2 1 1 2 ' ' PPP Px PPQx PP A BPPx PP A q QPP Px QPQx QP A BPPx QP A q Q x Q A BPPx Q A q Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ1, PP1 cũng là các phép chiếu đồng thời 1 1, ,Q PQ PP đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có: -1 1 1 2 ,Q Q A BP 1 0,Q Q 1 1,PPP PP 1 0,PPQ 1 1,QPP QQ 1QPQ Q 1 1 ,Q Q P 1 1QQ P QQ và hệ trên trở thành: -1 -1 1 1 2 1 1 2 -1 -1 1 1 2 1 1 2 -1 1 1 2 ' ' PPx PP A BPPx PP A q QQ x Qx QP A BPPx QP A q Q x Q A q Đặt 1 ,u PPx 1 ,v Q x w Qx x u Pv w ta nhận được hệ sau: -1 -1 1 2 1 2 -1 -1 1 2 1 2 -1 1 2 ' ' u PP A Bu PP A q Qv w QP A Bu QP A q v Q A q Đặc biệt, khi 0q t ta nhận được hệ: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 -1 1 2 -1 1 2 ' 0 0 0 u PP A Bu w QP A Bu v 1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số 3 14 , 15 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: ' 0A t x t B t x t (1.4.1) trong đó: : nx I  , , nA B L  , det 0A , . , nq C I R Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường 0x t . 1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và KerA t trơn. Gọi Q t là phép chiếu khả vi liên tục lên KerA t , đặt : n P t I Q t . Ký hiệu 0 0 ; ,x t t x là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu 0 0 0 0 0 0, , nP t x t P t x t I x  Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường 0x t của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và với mọi 0t I đều tồn tại 0 , 0t sao cho nếu 0 nx  thoả mãn 0 0P t x thì 0 0; ,x t t x với mọi 0t t . Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường 0x t của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số 0 0 0t sao cho nếu 0 0 0 0P t x t thì 0 0; , 0x t t x khi t . Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường 0x t của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số 0 cho trước Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 đều tồn tại số 0 , 0t sao cho nếu 0 nx  thoả mãn 0 0P t x thì 0 0 0; , t t x t t x e với mọi 0t t . 1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA t trơn. Các phép chiếu ,P t 1 P t như ở mục 1.3.2. Ký hiệu 0 0 ; ,x t t x là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0, , nP t P t x t P t P t x t I x  . Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường 0x t của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và mọi 0t I đều tồn tại 0 , 0t sao cho nếu 0 nx  thoả mãn 0 1 0 0P t P t x thì 0 0; ,x t t x với mọi 0t t . Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường 0x t của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số 0 0 0t sao cho nếu 0 1 0 0 0 0P t P t x t thì 0 0; , 0x t t x khi t . Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường 0x t của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số 0 cho trước đều tồn tại số 0 , 0t sao cho nếu 0 nx  thoả mãn 0 1 0 0P t P t x thì 0 0 0; , t t x t t x e với mọi 0t t . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 CHƢƠNG II BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng '( ) - ( ) 0Ax t Bx t , trong đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và phức bằng nhau cũng được chứng minh. 2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình '( ) - ( ) 0Ax t Bx t (2.1.1) trong đó , , ,(m m mx A B K K hoặc ) , det A = 0, cặp ( , )A B là chính quy chỉ số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho 1 - -1 -1 0 0 ; , 0 0 r m r BI A W T B W T IU (2.1.2) ở đây. Is là ma trận đơn vị trong 1, , s s r rBK K U là ma trận k- luỹ linh có dạng U = diag(J1, J2,..., Jl) với 0 1 ... 0 0 ... 0 , 1,2,... . . . ... 1 0 0 ... 0 i ip p iJ R i l (2.1.3) sao cho 1 1 max , - . l i i i l i p k p m r Nhân hai vế (2.1.1) với -1W ta được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 (2.1.4) (2.1.5) (2.1.5) trong đó Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó, hệ trên trở thành 1' - 0, 0, y t B y t z t trong đó , .r m ry t z tK K Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường 0x của (2.1.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu mP L K và các hằng số dương ,c sao cho bài toán giá trị ban đầu (IVP): có nghiệm x t duy nhất, thoả mãn Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = Im – Q, trong đó Q là phép chiếu lên KerA dọc theo : .S z Bz ImA Ký hiệu ,A B là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là ,A B là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình det A B 0. Trường hợp A = Im,ta viết B thay cho , m I B . Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái 1' 0, ' 0, y t B y t Uz t z t 1 , , .r m r y t T x t y t z t z t K K 0 0' ' 0 0 Ax t Bx t P x x 0 , 0. tx t c Px e t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 (xem[9]). Nếu ,A B = thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm x 0 vì khi đó với mọi s ta có 1 1 det det .det det detr m rsA B W sI B sU I T 0. Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ. Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0. Trong trường hợp này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im. Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma trận ổn định tiệm cận {A,B}. Giả sử ; m p q mE FK K cố định, ta xét hệ có nhiễu: A ' tx B E F x t 0, (2.1.6) trong đó p qK . Ma trận E F được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc. Kí hiệu: p q K KV sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc không ổn định tiệm cận}. Nghĩa là, KV là tập các nhiếu “xấu”. Kí hiệu inf : ,dK KV trong đó . là một chuẩn ma trận tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta gọi dK là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F} Nếu K ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K ta gọi d là bán kính ổn định thực. Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt 1 G s F sA B E và ta sẽ chứng minh rằng 1 sup s d G s  Trước hết, ta chứng minh 1 sup s d G s  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Lấy V bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp : (i) Cặp ,A B E F là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị ,s A B E F , sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng x 0 là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng s, tức là sA B E F x 0. Điều này tương đương với 1 x sA B E Fx , từ đó ta suy ra 1 .Fx F sA B E Fx G s Fx Vì vậy, 1 1 sup , s G s G s   V Do đó, 1 sup s d G s  (ii) Cặp ,A B E F là không chính quy, khi đó s  ta có det sA B E F 0, tức là đa thức det sA B E F 0, s , do đó với mọi s  luôn tồn tại vectơ x 0 sao cho sAx B E F x 0. Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được 1 sup s d G s  . Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại 1 sup s d G s  Với mỗi >0, ta tìm giá trị 0s  sao cho 11 0 sup s G s G s  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Khi đó tồn tại pu  : 1u và 0 0G s u G s . Theo một hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính *y xác định trên *: 1q y và * 0 0 0 .y G s u G s u G s Đặt 1 * 0 . p qG s uy  Rõ ràng, 1 1 * 0 0 0 0 0.G s u G s uy G s u G s u G s u Vì vậy, 1 0G s . Mặt khác, từ 1 * 0G s uy ta có 1 0G s u . Kết hợp hai bất đẳng thức ta có 1 0 .G s Hơn nữa, từ 0G s u u ta nhận được 0E G s u Eu 0. Đặt 1 0x s A B Eu , khi đó 0s A B x Eu . Vậy 0E Fx s A B x , hay là 0s A B E F x 0. Điều đó có nghĩa là, 0 ,s A B E F , hoặc cặp ,A B E F không chính quy. Do đó, hệ '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy. Nghĩa là, .V Mặt khác, ta có, 11 0 sup s d G s G s  . Vì là bé tuý ý, nên 1 sup s d G s  . Do đó, 1 sup s d G s  . Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng  . Do đó theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s hoặc trên biên i . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Vậy, 1 sup s i d G s  . Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu 0s  sao cho 0 sup s G s G s  thì 11 0 max ,s d G s G s  và ma trận 1 1 * 0 ,F s A B E uy sẽ là ma trận “xấu” với d . Trường hợp hàm G s không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm hữu hạn s thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao cho d như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường (ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s ). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận nào thoả mãn điều kiện d và hệ '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 là không ổn định tiệm cận. Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế. Lấy 0 ,s A B E F  và x là vectơ riêng của nó, nghĩa là, 0s Ax B E F x 0. Lập luận như trên ta thấy 1 1 0 0sup s G s G s d  . Điều này là mâu thuẫn. Hơn nữa, giả sử ns  sao cho ns và lim sup .n s i G s G s  Giả sử n tương ứng với ns được xây dựng như trên, khi đó hệ 0'-Ax B E F x = 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 tại 0lim n n , vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con kn của dãy bị chặn n sao cho 0lim .k k nn ) Vì tập hợp các ma trận sao cho cặp ,A B E F có chỉ số 1 là mở nên ta suy ra chỉ số của 0,A B E F phải lớn hơn 1. Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó mE F I (nhiễu không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là 1 sup s i d G s  , trong đó 1 .G s sA B Ta chứng minh rằng, nếu , 1ind A B k , thì ma trận hàm G(s) là không bị chặn trên i . Thật vậy, 1 1 1 -1 00 W 00 r m r BsI sA B T IsU G s 1 1 -1 1 0 W 0 r m r sI B T sU I 1 1 -1 1 0 0 W 0 r k i i sI B T sU khi s Tính không bị chặn của G s kéo theo d = 0. Nghĩa là với những nhiễu dù rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể không còn ổn định tiệm cận được nữa. Nếu , 1ind A B , dễ dàng chứng minh được rằng , G s là bị chặn trên  , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu” nào, sao cho d . Ta có định lý sau đây Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Định lý 2.1.2. i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức 1 sup s i d G s  , trong đó 1 .G s F sA B E ii) Tồn tại ma trận “xấu” : d khi và chỉ khi G s đạt được giá trị lớn nhất trên i . iii) Trong trường hợp , mE F I d 0 khi và chỉ khi ,ind A B 1. Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G s đạt được giá trị lớn nhất tại một giá trị hữu hạn 0s ? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào việc chọn chuẩn của m vì G s có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác. Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta không thực hiện ở đây. Các ví dụ Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích. Ví dụ 2.1.3. Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 trong đó là nhiễu và 1 0 1 0 1 1 , 0 0 0 A 2 1 0 1 1 0 , 1 0 1 B 1 1 1 1 1 1 , 0 0 0 E 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 F Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Ta thấy ,ind A B 2, 1 , 3 A B . Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận. Tính toán trực tiếp, ta nhận được 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 . 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 s s s s s s s s s G s F sA B E s s s s s s s s s Vậy, 3 1 1 3max , 3 1 s s s G s s đạt được max tại 0s = 0 và 0G 3. Vì vậy, 1 . 3 d Chọn 1 1 1 u thì 0 0G u G3. Giả sử * 0 1 0y và ta có: 1 * 1 0 0 3 1 0 0 0 . 3 1 0 0 3 G uy Hơn nữa, det 2sA B E F s 0 khi s 0. Ví dụ 2.1.4. Xét phương trình '( ) - ( )Ax t Bx t 0, trong đó 1 2 2 4 A và 1 2 . 2 0 B Rõ ràng ,ind A B 1 ,A B -1 và 1 1 1 2 1 1 2 4 s sG s sA B Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 vì vậy, 3 1 ax , 4 2 1 s G s m s không đạt được giá trị lớn nhất trên  . Hơn nữa, 3 lim 2s G s nên ta suy ra 2 3 d . Chọn 2 1 1 s i u s rõ ràng u 1 và G s u G s khi phần thực của s đủ lớn. Với * 1 0 ,y ta có 1 *G s uy hội tụ về 2 0 3 2 0 3 khi s . Dễ thấy, 8 det , 3 sA B s nghĩa là ,A B và phương trình '( ) - ( )Ax t B x t 0. Tức là hệ ' ' 1 2 1 2 ' ' 1 2 1 5 2 2 0, 3 4 2 4 0, 3 x x x x x x x có duy nhất nghiệm 1 2 0 0 x x vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa chọn không “xấu”. 2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi d d  . Đối với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương n có thể không còn bất biến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt. Giả sử rằng , , .m m mA B E F I Định nghĩa 2.2.1. i) Ma trận ij m mH  được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu ij 0, , .i j ii) Ma trận ij m mH  được gọi là không âm, ký hiệu H 0, nếu ij 0, , .i j iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận ij ,M m ký hiệu M , là ma trận ij ,m tức là M = ij ,m với 1 2, ,..., .mx x x x Trong m m ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau. Định nghĩa 2.2.2. i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là ,M N nếu M N 0. ii) Số , ax Re : ,A B m A B được._.