Hàm khả vi, liên tục phi acsimet

N Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, trách nhiệm của PGS.TS.Mỵ Vinh Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn của mình đến PGS.TS.Mỵ Vinh Quang. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 18 trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, BGH trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phòng Khoa học Công nghệ-Sau Đại học trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học và nghiên cứu luận văn này. Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ , khích lệ của gia đình tác giả. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình tác giả. Tác giả MỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T ........................................................................................................... 3 0TMỤC LỤC0T ................................................................................................................ 4 0TKÍ HIỆU0T ................................................................................................................... 5 0TMỞ ĐẦU0T ................................................................................................................... 6 0TCHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN0T ..................................................................... 7 0T1.1 Các khái niệm cơ bản0T ............................................................................................... 7 0T1.2 Trường các số p-adic0T .............................................................................................. 10 0TCHƯƠNG 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 20T ............................... 14 0T2.1 Hàm khả vi liên tục0T ................................................................................................. 14 0T2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm CP1P)0T ....................................................................... 16 0T2.3 Một số kết quả về hàm CP1P0T ....................................................................................... 18 0T2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai0T .................................................................................... 23 0TCHƯƠNG 3: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC n0T ................................................. 33 0T3.1 Hàm khả vi liên tục bậc n0T ....................................................................................... 33 0T3.2 Một số tính chất của hàm khả vi liên tục bậc n0T ..................................................... 34 0T3.3 Công thức Taylor cho các hàm CPnP0T ......................................................................... 43 0T3.4 Một số kết quả của hàm CPnP0T .................................................................................... 45 0TKẾT LUẬN0T ............................................................................................................. 52 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T ..................................................................................... 53 0TDANH MỤC TỪ KHOÁ0T ........................................................................................ 54 KÍ HIỆU { }0,1,2...Ν = { }* 1, 2,3...Ν = { }0, 1, 2,...Ζ = ± ± Q: trường các số hữu tỉ QRpRP:Ptrường các số p-adic ZRpR={ x∈ QRpR, 1x ≤ } là vành các số nguyên p-adic K là trường giá trị phi Acsimet đầy đủ, chứa QRp Rnhư trường con X là tập con khác rỗng của K và không chứa điểm cô lập { } { }1 2 ( , ,..., ), ( , ,..., ), , n n n i i j X x x x x X X x x x x X x x i j ∆ = ∈ ∇ = ∈ ≠ ∀ ≠ ( )nC X K→ : tập các hàm khả vi liên tục bậc n từ X vào K ( )nBC X K→ : tập các hàm khả vi liên tục bị chặn bậc n từ X vào K n fΦ : sai phân bậc n của f MỞ ĐẦU Các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỉ nay nhưng giải tích p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành chuyên ngành độc lập trong lý thuyết số khoảng 40 năm. Trong giải tích thực và phức, các hàm khả vi liên tục đóng vai trò quan trọng, do đó một cách tự nhiên đặt ra cho ta vấn đề nghiên cứu các hàm khả, vi liên tục trong giải tích phi Acsimet. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về các hàm khả vi, liên tục phi Acsimet. Trong luận văn này chúng tôi giới thiệu khá đầy đủ cách xây dựng định nghĩa các hàm khả vi liên tục bậc 1, 2, khái quát lên cho trường hợp bậc n và những tính chất của nó. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ cụ thể cho từng trường hợp. Luận văn gồm những phần như sau: UChương IU: Trình bày các kiến thức cơ bản về các số p-adic và giải tích p-adic. UChương IIU: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc 1 và bậc 2 Xây dựng và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc 1 và bậc 2 và cho một số ví dụ cụ thể. UChương IIIU: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc n Xây dựng và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc n và cho ví dụ minh hoạ. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên có thể vẫn còn thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và quý độc giả góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm cơ bản U1.1.1 Định nghĩaU (Chuẩn trên trường) Cho K là một trường, chuẩn trên K là ánh xạ : K →R thỏa: i) , 0, 0 0x K x x x∀ ∈ ≥ = ⇔ = ii) x, y Kx y x y+ ≤ + ∀ ∈ (bất đẳng thức tam giác) iii) x, y Kxy x y= ∀ ∈ Cặp (K, ) gọi là trường giá trị Trong định nghĩa trên, nếu ta thay ii) bởi ii’) như sau: { }ax , x, y Kx y m x y+ ≤ ∀ ∈ thì khi đó (K, ) gọi là trường giá trị phi Acsimet và ( ii’) gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh) Mêtric cảm sinh bởi chuẩn phi Acsimet gọi là siêu mêtric. Trong luận văn này,(nếu không nói gì thêm) ta chỉ nghiên cứu các trường giá trị K là phi Acsimet. U1.1.2 Ví dụ Mọi trường K cùng với chuẩn tầm thường là trường giá trị phi Acsimet. U1.1.3 Ví dụ Ta xét trường số hữu tỉ Q với chuẩn p :Q→R được xây dựng như sau: p là số nguyên tố, với mỗi n∈Z, ta định nghĩa ordRpRn là số tự nhiên i sao cho pPiP chia hết n và pPi+1P không chia hết n. x∈Q, x= a b , a,b∈Z, ta định nghĩa ordRpRx= ordRpRa- ordRpRb Khi đó p được định nghĩa: p-ord 0, x=0 p , x 0xp x =  ≠ Trường Q cùng với chuẩn p là trường giá trị phi Acsimet. U1.1.4 Mệnh đề i) x x− = ii) 1 1 x x = iii) K1 1, 1K = là phần tử đơn vị của trường K U1.1.5 Định nghĩaU (Đặc số của trường K) Trường K gọi là trường có đặc số 0 nếu n∈N sao cho n K1 =0 thì n=0. Kí hiệu: char(K)=0 Trường K gọi là trường có đặc số p nếu p là số tự nhiên nhỏ nhất (khác 0) sao cho p K1 =0 (ta chứng minh được p là số nguyên tố). Kí hiệu: char(K)=p U1.1.6 Mệnh đềU (Nguyên lý tam giác cân) { }x, y K mà x thì x+y ax ,y m x y∀ ∈ ≠ = U1.1.7 Mệnh đề { }( , ) , B a r x K x a r− = ∈ − < và { }( , ) , B a r x K x a r= ∈ − ≤ là các quả cầu tâm a, bán kính r, vừa là tập đóng vừa là tập mở. Mọi điểm thuộc quả cầu đều là tâm của quả cầu đó. U1.1.8 Mệnh đề Hai quả cầu bất kì thì chứa nhau hoặc rời nhau. U1.1.9 Mệnh đề Nếu K là trường hữu hạn thì có duy nhất một chuẩn trên nó đó là chuẩn tầm thường. U1.1.10 Mệnh đề Hai chuẩn trên trường K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh ra cùng một tôpô. U1.1.11 Mệnh đề Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p-adic. U1.1.12 Định nghĩaU (dãy cauchy) Dãy { }nx K⊂ là dãy Cauchy nếu 1lim 0n nx x+ − = U1.1.13 Định nghĩaU (hội tụ) , : ,X K f X K⊂ → a là điểm tụ của X, b∈K lim ( ) 0 >0: 0< x-a thì ( ) x a f x b f x bε δ δ ε → = ⇔∀ > ∃ < − < U1.1.14 Định nghĩa U(dãy hàm hội tụ từng điểm) Dãy hàm 1 2, ,... :f f X K→ hội tụ từng điểm về f , kí hiệu lim nf f= nếu lim ( ) ( ) x Xnf x f x= ∀ ∈ U1.1.15 Định nghĩa U(dãy hàm hội tụ đều) Dãy hàm 1 2, ,... :f f X K→ hội tụ đều về f , kí hiệu lim nf f= đều nếu 0, : và x X ta có ( ) ( )nm N n m f x f xε ε∀ > ∃ ∈ ∀ > ∀ ∈ − < U1.1.16 Định nghĩaU (hàm liên tục) , : ,X K f X K⊂ → f liên tục tại a∈X nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: i) Với mỗi lân cận U của f (a) thì f P-1P(U) là tập mở ii) 0 >0: 0 ∃ < − < iii) Nếu aR1R, aR2R,… ∈X, lim thì lim ( ) ( )n na a f a f a= = iv) a là điểm cô lập của X v) lim ( ) ( ) x a f x f a → = U1.1.17 Định nghĩaU (hàm liên tục đều) , : ,X K f X K⊂ → f liên tục đều trên X nếu 0 >0: x,y X mà x-y ( ) ( )f x f yε δ δ ε∀ > ∃ ∀ ∈ < ⇒ − < U1.1.18 Định nghĩaU (hàm khả vi) , : ,X K f X K⊂ → f khả vi tại a∈X nếu đạo hàm của f tồn tại và ' ( ) ( )( ) : lim x a f x f af a x a→ − = − f khả vi trên X nếu khả vi tại mọi a thuộc X Hàm f khả vi liên tục nếu f khả vi và đạo hàm liên tục U1.1.19 Định nghĩa Cho X K⊂ Ánh xạ g: X K→ là một đẳng mêtry nếu ( ) ( ) ,g x g y x y x y X− = − ∀ ∈ . Nếu g(X) là không gian Banach thì X là không gian Banach. Ánh xạ h: X K→ là một phép đồng dạng nếu , 0Kα α∃ ∈ ≠ : ( ) ( ) ,h x h y x y x y Xα− = − ∀ ∈ , nếu 0 1α< < thì h là phép co. Nếu h là phép co trên X và K là không gian Banach thì h có điểm bất động trên X. U1.1.20 Mệnh đề U(tích các không gian Banach) Cho 1,..., nE E là các K-không gian Banach lần lượt với chuẩn 1 ,..., n thì 1 ... nE E× × là K-không gian Banach với chuẩn 1: ... nE E R× × → xác định bởi ( )1 1 1,..., ...n n nx x x x= ∨ ∨ trong đó { }1 1 11 1... ax ,...,n n nx x m x x∨ ∨ = 1.2 Trường các số p-adic QRpR là bao đủ của Q theo chuẩn p-adic gọi là trường các số p-adic. Kí hiệu S là tập các dãy số Cauchy thuộc Q theo chuẩn p-adic RpR , trên S ta xác định quan hệ tương đương ~ như sau: {xRnR}~{y RnR} khi và chỉ khi lim (xRn R-yRnR)=0 (theo chuẩn p-adic) Phần tử của QRpR là các lớp tương đương theo quan hệ ~ với phép cộng và phép nhân trên QRpR được định nghĩa như sau: { } { } { } { }{ } { }. . x n n n x n n n x y x y x y x y + = + = QRp R cùng với phép cộng và phép nhân định nghĩa như trên lập thành một trường gọi là trường các số p-adic. Q được xem là trường con của QRpR với ánh xạ nhúng i: pQ Q→ biến mỗi phần tử { } pQ thành a Qa∈ ∈ . Q dày đặc trong QRpRP Với mỗi phần tử pQa∈ suy ra a={ }na và lim na a= QRpR là trường đầy đủ nhưng không đóng đại số QRpR là tập compac địa phương nhưng không là tập compac. U1.2.1 Mệnh đềU (Khai triển p-adic) pQx∈ , x có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau: j, m Z, 0 a j j j m x a p p ∞ = = ∈ ≤ <∑ Biểu diễn trên gọi là khai triển p-adic của x Trong khai triển này, nếu i là số nguyên nhỏ nhất để aRiR ≠ 0 thì ix p−= U1.2.2 Định nghĩaU (Số nguyên p-adic) { }pQ , 1pZ x x= ∈ ≤ là vành con của QRpR gọi là vành các số nguyên p-adic. Nếu px Z∈ thì khai triển p-adic của x có dạng j 0 , 0 ajj j x a p p ∞ = = ≤ <∑ U1.2.3 Mệnh đề ZRpR là tập compac, đầy đủ. U1.2.4 Mệnh đề { }*p pQ Q \ 0= , tập giá trị của *pQ là { }*pQ ,p Zα α= ∈ 1.3 Một số kết quả của giải tích phi Acsimet: U1.3.1 Mệnh đề Cho X K⊂ và { },iU i I∈ là một bao phủ của X (URiRP Pvừa đóng vừa mở trong X), 0r > . Khi đó :j jj IX B B∈= ∪ là các quả cầu có bán kính r≤ . U1.3.2 Mệnh đề ( )C X K→ là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục từ X K→ ( )UC X K→ là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục đều từ X K→ ( )B X K→ gồm các hàm :f X K→ sao cho ( ){ }: sup :f f x x X∞ = ∈ < ∞ . Khi đó ( )B X K→ là không gian Banach với chuẩn ∞ ( )BC X K→ là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục bị chặn từ X K→ bởi chuẩn ∞ ( )BUC X K→ là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục đều, bị chặn từ X K→ bởi chuẩn ∞ U1.3.3 Mệnh đề ( )C X K→ và ( )UC X K→ là các tập đóng với tính hội tụ đều, tức là nếu ( ) ( )( )1 2, ,... f f C X K UC X K⊂ → ⊂ → và lim nf f= đều thì ( ) ( )( ) f C X K f UC X K∈ → ∈ → ( )BC X K→ và ( )BUC X K→ là các không gian con đóng của ( )B X K→ do đó ( )BC X K→ , ( )BUC X K→ là các không gian Banach. U1.3.4 Mệnh đề Xét chuỗi lũy thừa n 0 , ann n a x K ∞ = ∈∑ Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là {x∈K: 0 n n n a x ∞ = ∑ hội tụ} Bán kính hội tụ của chuỗi là ( ) 1: lim n naρ −= , chuỗi hội tụ nếu x ρ< và phân kì nếu x ρ> A={ },x K x ρ∈ = , chuỗi lũy thừa hội tụ trên A hoặc không hội tụ tại bất kì điểm nào thuộc A U1.3.5 Mệnh đề Cho aR1R, aR2R,… là dãy trong K i) Nếu lim aRnR=a và a khác 0 thì na a= với n đủ lớn ii) 0 n n a ∞ = ∑ hội tụ khi và chỉ khi lim a RnR=0 U1.3.6 Định nghĩa x, y ∈K, quả cầu nhỏ nhất chứa x và y kí hiệu [x,y] Tập con X của K gọi là tập lồi nếu với mọi x, y thuộc K thì [x,y] ⊂K U1.3.7 Định nghĩa Cho D là tập lồi mở con của K, hàm f gọi là giải tích trên D nếu tồn tại u thuộc D và aR1R,aR2 R,…thuộc K sao cho ( ) 0 ( ) nn n f x a x u ∞ = = −∑ với mọi x thuộc D U1.3.8 Định nghĩa f : X K→ là hàm giải tích địa phương trên X nếu với mọi a thuộc X đều tồn tại lân cận U ⊂ X sao cho /f U giải tích. U1.3.9 Định nghĩa f : X K→ là hàm hằng địa phương nếu với mọi x thuộc X đều tồn tại lân cận U của x sao cho f là hàm hằng trên U X∩ U1.3.10 Ví dụ Với mỗi tập mở U con X ta xây dựng hàm đặc trưng Uξ như sau: 1, x U : 0, x X\UU ξ ∈ =  ∈ Hàm Uξ là hàm hằng địa phương. U1.3.11 Mệnh đề Nếu f là hàm hằng địa phương trên X thì iiX U= ∪ trong đó f là hàm hằng trên mỗi URiR Hàm hằng địa phương khả vi và có đạo hàm liên tục (đạo hàm đồng nhất 0). U1.3.12 Mệnh đề Cho :f X K→ liên tục, khi đó tồn tại dãy hàm hằng địa phương 1 2, ,... :f f X K→ sao cho lim nf f= đều Tập tất cả các hàm hằng địa phương bị chặn hình thành không gian con dày đặc của ( )BC X K→ UChứng minh Với n N∈ , ta định nghĩa quan hệ ~ trên X như sau: ~x y nếu ( ) ( ) 1f x f y n − < Khi đó ~ là quan hệ tương đương trên X nên X được phân hoạch thành các lớp tương đương iU , i I∈ ( iU vừa đóng vừa mở) Với mỗi iU ta chọn i ia U∈ x X∀ ∈ thì x chỉ thuộc một iU nào đó. Ta định nghĩa :nf X K→ như sau: ( ) ( )n if x f a= ; ( ), i ix a U∈ Rõ ràng nf là hàm hằng địa phương và ( ) ( ) 1 nf x f x n − < Vậy lim nf f= đều. CHƯƠNG 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 2 Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày những điểm khác nhau về hàm khả vi liên tục giữa giải tích thực và giải tích p-adic, từ đó dẫn đến yêu cầu phải có một định nghĩa mới về hàm khả vi liên tục trong trường hợp phi Acsimet nhằm thỏa mãn một số tính chất nền tảng về hàm khả vi liên tục đã biết. Sau đó, chúng tôi trình bày một số kết quả về hàm khả vi liên tục bậc 1 và bậc 2 trong giải tích phi Acsimet. 2.1 Hàm khả vi liên tục Định lý giá trị trung bình trong giải tích thực nói rằng nếu hàm f khả vi liên tục trên đoạn [x,y] thì sẽ tồn tại c thuộc (x,y) sao cho ( )'( ) ( ) ( )f x f y f c x y− = − Hàm khả vi liên tục như đã định nghĩa ở chương 1 là hàm khả vi và có đạo hàm liên tục, theo định lý giá trị trung bình ta có ngay kết quả quen thuộc trong giải tích thực là nếu hàm f có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên một đoạn thì f sẽ là hàm hằng trên đoạn đó. Trong trường hợp phi Acsimet, định lí giá trị trung bình không còn đúng nữa. Tồn tại hàm khả vi, có đạo hàm bằng 0 nhưng không phải hàm hằng. U2.1.1 Ví dụ U(Hàm khả vi, có đạo hàm bằng 0 nhưng không phải hàm hằng) Cho hàm p: Qpg Z → được cho bởi công thức ! 0 0 i i i i i i g a p a p ∞ ∞ = =   =    ∑ ∑ . Khi đó g là hàm khả vi , g’=0 nhưng g không là hàm hằng. UChứng minh Ta có g xây dựng như trên là ánh xạ và nếu , , x-y kpx y Z p−∈ = thì !g(x)-g(y) kp−= nên g là đơn ánh. Mặt khác ! ! ( ) ( ) 0 khi x y (k ) k k k k g x g y p p x y p p − − − = = → → →∞ − hay gP’P=0 Như vậy gP’P=0 và g không phải hàm hằng (vì g đơn ánh). Trong giải tích thực, ta lại có tính chất: hàm f :(a,b) →R khả vi liên tục và đạo hàm f P’P(c)P P khác 0 (c thuộc (a,b)) thì f khả nghịch trong lân cận nào đó của c. Tính chất này không đúng trong trường hợp phi Acsimet. U2.1.2 Ví dụU (Hàm f khả vi liên tục, có ( )' 0 0f ≠ nhưng không khả nghịch trong bất kì lân cận nào của 0) Cho p: Qpf Z → , ( ) 2 , : ,x \ n n p n x p x B f x x Z B  − ∈=  ∈ ∪ với { }2: n nn pB x Z x p p−= ∈ − < . Khi đó f P’P=1 tại mọi điểm và f không khả nghịch trong bất kì lân cận nào của 0 UChứng minh Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu nx p≠ thì { } { } 2ax , ax x ,n n n nx p m x p m p p− −− = = > , vì vậy nếu nx B∈ thì n nx p p−= = . Do đó, nB vừa là tập đóng vừa là tập mở và ,n mB B rời nhau m n∀ ≠ . Mặt khác, do n np B∈ suy ra 2( )n n nf p p p= − mà 2n np p− không thuộc bất kì mB nào nên 2 2( )n n n nf p p p p− = − . Do đó f không đơn ánh trong bất kì lân cận nào của 0. Kế đến ta chứng minh f P’P=1 tại mọi điểm trên ZRpR\{0} Đặt ( ) : ( )g x x f x= − như vậy 2 p n , ( ) 0 , x Z \ B n np x Bg x  ∈=  ∈ ∪ g(x) xây dựng như trên là hàm hằng địa phương trên ZRpR\{0} nên gP’P=0 trên ZRpR\{0}, suy ra f P’P(x)=1 trên ZRpR\{0} f P’P(0)=1, thật vậy lấy x pZ∈ , x≠ 0 thì: ( ) ( ) p 2 0, x Z \ 0 , n n n nn B g x g px p x B p − ∈ ∪ −  =  = ∈  Suy ra ( ) ( ) ( )' 0 0 0 lim 0 x g x g g x→ − = = suy ra ' (0) 1f = Tóm lại ' 1f = px Z∀ ∈ nhưng f không đơn ánh trong bất kì lân cận nào của 0, do đó f không khả nghịch trong bất kì lân cận nào của 0. Ví dụ 2.1.2 được chứng minh xong, kế đến ta sẽ xem xét một tính chất quan trọng khác của hàm khả vi liên tục trong giải tích thực Trong giải tích thực ta cũng có tính chất sau: Dãy hàm 1 2, ,... : ( , )f f a b R→ khả vi liên tục, lim nf f= đều, 'lim nf g= đều thì 'f g= Trong giải tích phi Acsimet, tính chất trên không còn đúng nữa. Ta xét phản ví dụ sau: U2.1.3 Ví dụU (tồn tại dãy hàm khả vi liên tục 1 2, ,...f f hội tụ đều về f và ' ' 1 2, ,...f f hội tụ đều về g nhưng ' g f≠ ) UChứng minh p: Qpf Z → , ( ) pf x x x Z= ∀ ∈ f khả vi liên tục và ( )' p1 x Zf x = ∀ ∈ (1) Do đó, theo mệnh đề 1.3.12 ta có p 1 , : Qn pf Zn ε = ∃ → là hàm hằng địa phương sao cho ( ) ( ) n pf x f x x Zε− < ∀ ∈ , vậy nf f→ đều nf là hàm hằng địa phương nên khả vi liên tục và ' 0nf n= ∀ suy ra 'lim nf g= =0 đều.(2) Từ (1) và (2) suy ra ' g f≠ 2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm C1) Với thực tế như trên, ta thấy định nghĩa hàm khả vi liên tục cũ đã không còn phù hợp trong điều kiện phi Acsimet, cần thiết phải có một định nghĩa tốt hơn về hàm khả vi liên tục phi Acsimet. (Từ đây về sau, trong luận văn này nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu hàm khả vi liên tục chính là hàm khả vi liên tục phi Acsimet) U2.2.1 Định nghĩa U( hàm khả vi liên tục bậc 1) Cho : , a Xf X K→ ∈ Sai phân bậc 1 của f , kí hiệu ( ) ( ) ( )1 , f x f y f x y x y − Φ = − , , ;x y X x y∈ ≠ ( )( )2,x y X∈∇ f khả vi liên tục tại a (viết gọn là CP1P tại a) nếu ( ) ( ) ( )1 , , ,lim x y a a f x y → Φ tồn tại Nói theo cách khác, f là CP1P tại a nếu f khả vi tại a và ( ) 20 0 : , , ,x a y a x y Xε δ δ δ∀ > ∃ > − < − < ∈∇ thì ( ) ( )'1 ,f x y f a εΦ − < Hàm f là CP1P trên X nếu f là hàm CP1P tại mọi a thuộc X. U2.2.2 Nhận xétU: f khả vi liên tục tại a (CP1P tại a) thì 'f liên tục và ( ) ( ) ( ) '1 , , , ( )lim x y a a f x y f aφ → = Tập tất cả các hàm CP1P trên X kí hiệu là ( )1C X K→ , ( )1C X K→ là không gian con đóng với phép nhân.Thật vậy: f ,g ( )1C X K∈ → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )gf x gf y g x f x g x f y g x f y g y f y x y x y x y − − − = + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y g x g y g x f y x y x y − − = + − − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 , , ,lim x y a a gf x y g a f a f a g aφ → = + Vậy ( )1gf C X K∈ → U2.2.3 Mệnh đề U(Tính chất cơ bản của hàm khả vi liên tục bậc 1) Cho :f X K→ , các phát biểu sau tương đương 1) f là hàm CP1 2) Hàm 1 fΦ có thể mở rộng (duy nhất) thành hàm 1 fΦ liên tục trên X X× 3) Tồn tại hàm liên tục R: X X K× → sao cho ( ) ( ) ( ) ( ), , x,y Xf x f y x y R x y= + − ∈ UChứng minh Để chứng minh 1) suy ra 2) ta xây dựng 1 fΦ như sau: ( )1 ,f x yΦ := ( ) ( ) ' 1 ,x=y , , f x f x y x y   Φ ≠ Sự liên tục của 1 fΦ được suy ra trực tiếp từ sự liên tục của 'f 2) suy ra 3) hiển nhiên bằng cách chọn R= 1 fΦ Ta chứng minh 3) suy ra 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , x,y X , f x f y x y R x y f x f y R x y x y = + − ∈ − ⇔ = − Vì R(x,y) liên tục nên theo định nghĩa của hàm CP1P ta có f là hàm CP1P. 2.3 Một số kết quả về hàm C1 Trong phần này, chúng tôi chứng minh được tính đầy đủ của không gian các hàm khả vi liên tục bị chặn và tính khả nghịch địa phương của hàm CP1P. Từ đó thấy được rằng định nghĩa mới về hàm khả vi liên tục là phù hợp trong trường hợp phi Acsimet. Kế đến, chúng tôi cũng trình bày một phương pháp khác chứng minh bổ đề Hensel. Gọi ( )1BC X K→ là tập tất cả các hàm khả vi liên tục bậc 1 và 11 :f f f ∞ ∞ = ∨ Φ < ∞ ( f thuộc ( )1BC X K→ ), khi đó ( )1BC X K→ sẽ là không gian Banach với chuẩn 1 U2.3.1 Mệnh đề U( Tính đầy đủ của không gian các hàm CP1P bị chặn) ( )1BC X K→ là K-không gian Banach. UChứng minh Để chứng minh mệnh đề 2.3.1) ta sẽ chứng minh mệnh đề sau U2.3.2 Mệnh đề Cho 1 2, ,...f f là dãy hàm CP 1 P trên X Giả sử 1 nfΦ hội tụ đều về g trên 2 X∇ và nf hội tụ về f .Khi đó f là hàm CP 1 P và 1 1nf fΦ →Φ đều. UChứng minh Ta chứng minh g(x,y)= ( )1 ,f x yΦ Do 1 nfΦ hội tụ đều về g nên ( ) ( ) ( ) 21 1 1 10, : , , , , ,n mN m n N f x y f x y x y Xε ε∀ > ∃ ∀ > ⇒ Φ −Φ < ∀ ∈∇ Cho m →∞ , ta được ( ) ( ) ( ) 21 1 10, , , , ,nn N f x y f x y x y Xε ε∀ > ∀ > ⇒ Φ −Φ < ∀ ∈∇ (1) Vậy ( )1 ,nf x yΦ 1 f→Φ đều nên g(x,y)= ( )1 ,f x yΦ Kế đến ta chứng minh ( ) ( )1 1, ,nf x y f x yΦ →Φ , ( ) 2,x y X∈∇ Vì nf hội tụ về f nên ( ) ( )1, ,n f x y f x yΦ →Φ ( ) ( ), , ,k ka X x y a a∈ → trong đó ( ) 2,k kx y X∈∇ Do (1) nên ( ) ( )0 1 0 1 10, : , ,n k k k kN N n N f x y f x yε ε∀ > ∃ > ∀ > ⇒ Φ −Φ < (2) ( ) ( )' '1 1, ,k k k kf x y f x yΦ −Φ ≤ ( ) ( ) ( ) ( )' '1 1 1 1, , , ,k k n k k n k k n k kf x y f x y f x y f x yΦ −Φ ∨ Φ −Φ ( ) ( )' ' ' '1 1, ,n k k k kf x y f x y∨ Φ −Φ ε Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có ( )1 ,k kf x yΦ hội tụ khi k →∞ Đặt ( ) ( )1 1, : lim ,k kf a a f x yΦ = Φ Chứng minh 1 1nf fΦ →Φ đều Hiển nhiên ( ) ( )1 1, ,nf x y f x yΦ →Φ với mọi ( ) 2,x y X∈∇ Với (a,a) X X∈ × , lấy dãy ( ) ( ), ,k kx y a a→ .Khi đó, do (2) ta có ( ) ( ) ( ) 22 2 1 10, : , , ,nN n N f x y f x y x y Xε ε∀ > ∃ ∀ > ⇒ Φ −Φ < ∀ ∈∇ Vậy ( ) ( )2 1 1: , ,n k k k kn N f x y f x y ε∀ > Φ −Φ < , cho k →∞ ta được ( ) ( )1 1 2, ,nf a a f a a n NεΦ −Φ suy ra 1 1nf fΦ →Φ đều Chứng minh ( )1BC X K→ là K-không gian Banach Cho 1 2, ,...f f là dãy Cauchy trong BCP 1 P, khi đó: nf f→ đều 1 1nf fΦ →Φ đều Áp dụng mệnh đề 2.3.2, ta được: f là hàm CP1P và 1 1nf fΦ →Φ đều, tính bị chặn của f suy ra trực tiếp từ tính bị chặn của nf .Vậy ( )1f BC X K∈ → do đó ( )1BC X K→ là không gian Banach. U2.3.3 Mệnh đề U(Tính khả nghịch của hàm CP1P) Cho ( )1f C X K∈ → , ( )' 0f x x X≠ ∀ ∈ . Khi đó: i) X là hợp của các quả cầu rời nhau ( ) ia i B r và ( )/ a iiB rf là phép đồng dạng và ( )( ) ( ) ( )( )'i ia i i if af B r B f a r= ii) Nếu f đơn ánh thì ánh xạ ngược cũng là hàm CP1P. Ta lần lượt xét các mệnh đề sau: U2.3.4 Mệnh đề Cho ( )1f C X K∈ → , ( )'0, 0a f a≠ ≠ .Khi đó tồn tại lân cận U của a sao cho /U Xf ∩ là phép đồng dạng và ( ) ( ) ( )'f x f y f a x y− = − Hay nói cách khác ( )'/ f af là đẳng mêtry trong lân cận nào đó của a, và hiển nhiên khi đó f là đơn ánh trong lân cận đó. UChứng minh Vì f là hàm CP1P nên 0 : , , , ,x y X x y x a y aδ δ δ∃ > ∀ ∈ ≠ − < − < suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )' '1 2 f x f y f a f a x y − − < − Do đó ( ) ( ) ( )' f x f y f a x y − = − Vậy 0 : , , , ,x y X x y x a y aδ δ δ∃ > ∀ ∈ ≠ − < − < thì ( ) ( ) ( )' .f x f y f a x y− = − U2.3.5 Mệnh đề Cho ( )1f C X K∈ → , f đơn ánh, ( )' 0f x x X≠ ∀ ∈ Giả sử ( ):g f X K∃ → là nghịch đảo của f , g liên tục. Khi đó g cũng là hàm CP1P và ( )( ) ( ) 1' 'g f x f x x X−= ∀ ∈ UChứng minh Lấy ( ),z t f X∈ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1, , g z g t g z t z t f g z f g t f g z g t g z g t − Φ = = = − − Φ − (i) Vì 1 0fΦ ≠ mọi nơi nên ánh xạ biến ( ),z t thành ( ) ( )( )1 1 ,f g z g tΦ xác định trên ( ) ( )f X f X× là sự mở rộng liên tục của 1gΦ vì thế g là hàm CP1P và do (i) nên ( )( ) ( ) 1' 'g f x f x x X−= ∀ ∈ . U2.3.6 Mệnh đề Cho { }:B x K x a r= ∈ − < là quả cầu trong K, :f B K→ Giả sử có Kα ∈ sao cho ( ){ }1sup , , , ,f x y x y B x yα αΦ − ∈ ≠ < Khi đó ( )f B là quả cầu trong K với bán kính .rα và f là phép đồng dạng. UChứng minh Rõ ràng , ,x y B x y∀ ∈ ≠ thì ( )1 ,f x y αΦ = Do đó ( ) ( )f x f y x yα− = − nên f là phép đồng dạng Mặt khác ( ) ( )f x f y x y rα α− = − ≤ nên ( ) ( ){ }:f B z K z f a rα⊂ ∈ − ≤ Ta chứng minh ( ) ( ){ }:f B z K z f a rα⊃ ∈ − ≤ Lấy ( ):c K c f a rα∈ − ≤ , xây dựng ánh xạ ψ như sau: : B Kψ → biến x B∈ thành ( )f x cx α − − Với x B∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x c x a x a f x f a f a c r r r r r ψ α α α α α α α − − ≤ − ∨ − − ≤ ∨ ∨ ≤ ∨ ∨ = Suy ra ( ) ( )ax B rψ ∈ , ,x y B x y∀ ∈ ≠ ,ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x f y x y x y f x f y x y x y ψ ψ α α − − = − − − = − − − ( ) ( ) 1 1 , = 1- 1= . . - , k. x-y , 0<k<1 f x y x y x y f x y α α α Φ − − Φ ≤ Suy ra ψ là phép co nên ψ có điểm bất động 0x ( )0f x c⇒ = Vậy ( ) ( ){ }:f B z K z f a rα= ∈ − ≤ Mệnh đề 2.3.6 chứng minh xong. Tính chất i) được suy ra trực tiếp từ mệnh đề 2.3.6 và 1.3.1 Tính chất ii) là hệ quả của 2.2.5 U2.3.7 Bổ đề Hensel Trong phần này ta sẽ đưa ra cách khác chứng minh bổ đề Hensel bằng việc áp dụng các tính chất trên. Bổ đề Hensel: f là hàm giải tích trên BR0 R(1) được cho bởi: ( )f x = 0 n n n a x ∞ = ∑ ; x∈ BR0 R(1) Giả sử 1na ≤ n∀ ( n pa Z∈ ) và 0a B∃ ∈ (1) sao cho ( ) 1f a 〈 và ( )' 1f a = Khi đó 0 (1)b B∃ ∈ sao cho ( ) 0f b = ( )b a f a− ≤ UChứng minh Giả sử ( ) 1r f a= < Vì f giải tích trên BR0R (1) nên f có thể viết dưới dạng 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ...( 1)f x b b x a b x a x ≤= + − + − + Nhận xét '0 1( ) , ( )f a b b f a= = và 1nb n≤ ∀ Nếu , ( ),ax y B r x y∈ ≠ thì 2 2 3 3 ' 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ...x a y a x a y af x y f a b b x y x y − − − − − − Φ − = + + − − n 2 1ax ( ) ( )n nm x a y a x y≥ ≤ − − − − n 2 ax : , , n nu vm u r v r u v u v≥  −≤ ≤ ≤ ≠ − 1 n 2 ax nm r r− ≥ ≤ = = '( ) ( )f a f a〈 (<1) (=1) Vậy ( )/ aB rf thoả mãn mệnh đề 2.3.6, ta kết luận f biến ( )aB r thành ( ) ( )f aB r . Vì ( )0 ( )f aB r∈ ( vì 0 ( ) ( )f a f a r− = = ) nên ( ) : ( ) 0ab B r f b∃ ∈ = 2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai U2.4.1.Định nghĩaU (Hàm khả vi liên tục bậc hai) :f X K→ , sai phân bậc hai của f là hàm 32 :f X KΦ ∇ → được cho bởi công thức: ( ) ( ) ( )1 12 , , , , f x y f y z f x y z x z Φ −Φ Φ = − f là hàm khả vi liên tục bậc hai (viết gọn là hàm CP2P) tại a X∈ nếu ( ) ( ) ( )2, , , ,lim , ,x y z a a a f x y z→ Φ tồn tại. f là hàm CP2P trên X nếu f là hàm CP2P tại mọi a X∈ . Tập tất cả các hàm CP2P :f X K→ kí hiệu ( )2C X K→ ( ) ( ){ }2 2 2:BC X K f C X K f→ = ∈ → < ∞ là K-không gian vectơ trong đó 1 22 f f f f ∞ ∞ ∞ = ∨ Φ ∨ Φ . U2.4.2 Nhận xét 1 fΦ , 2 fΦ là hàm đối xứng. Vì X không có điểm cô lập nên 3 X∇ dày đặc trong XP3P. f là hàm CP2P trên X thì f là hàm CP1P trên X U2.4.3 Mệnh đề U(Tính chất của hàm CP2P) :f X K→ a) f là hàm CP2P tại a thì f là hàm CP1P tại a. b) ( ) ( )2 2;C X K BC X K→ → lần lượt là các không gian con K-tuyến tính của ( ) ( )1 1;C X K BC X K→ → c) ( ) ( )2 2;C X K BC X K→ → đóng với phép nhân d) ( )2f C X K∈ → khi và chỉ khi 2 fΦ có thể mở rộng thành hàm 2 fΦ liên tục trên XP3P. UChứng minh a) f là 2C tại a ⇒ 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z a a a Lim f x y z → Φ tồn tại Khi đó 0δ∃ 〉 : nếu 3( , , )x y z X∈∇ , ( , ,x a y a z aδ δ δ− 〈 − 〈 − 〈 thì 2 fΦ bị chặn bởi M. Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) f x y f z t f x y f y z f y z f z t f x y f y z f y z f z t x z f x y z y t f y z t Mδ Φ −Φ = Φ −Φ +Φ −Φ ≤ Φ −Φ ∨ Φ −Φ ≤ − Φ ∨ − Φ ≤ Suy ra tồn tại 1( , ) ( , )lim ( , )x y a a f x y→ Φ Vậy f là 1C tại a Dựa vào chứng minh trên ta thấy chỉ cần 2 fΦ bị chặn trong lân cận của ( , , )a a a thì f là 1C tại a b) , Kλ µ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y z x y z f g f g f g f g x y y zf g x z λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ + − + + − + − − −Φ + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f y f y f z g x g y g y g z x y y z x y y z x z x z λ λ λ λ µ µ µ µ− − − − − − − − − −= + − − 2 2f gλ µ= Φ + Φ c) Ta chứng minh 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ). ( )fg x y f x y g x y f x y g yΦ = Φ +Φ Ta có 1 1( , ) ( , ) ( , ). ( )f x y g x y f x y g yΦ +Φ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x g y f x f yf x g y x y x y − − = + − − ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f y g y x y − = − = 1 ( , )fg x yΦ Ta chứng minh 2 2 1 1 2( , , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( )fg x y z f x g x y z f x y g y z f x y z g zΦ = Φ +Φ Φ +Φ 2 ( , , )fg x y zΦ = 1 1( , ) ( , )fg x y fg y z x z Φ −Φ = − 1 1 1 1( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )f x g x y f x y g y f y g y z f y z g z x z Φ +Φ − Φ −Φ = − 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) f x g x y f x g y z f x g y z f y g y z x z x z f x y g y f x y g z f x y g z f y z g z x z x z Φ − Φ Φ − Φ = + − − Φ −Φ Φ −Φ + + − − 2 1 1 1 1 2 ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) x yf x g x y z f x y g y z x z y z f x y g y z f x y z x z − = Φ + Φ Φ − − + Φ Φ +Φ − 2 1 1 2( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( )f x g x y z f x y g y z f x y z g z= Φ +Φ Φ +Φ Vậy 2 2 1 1 2( , , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( )fg x y z f x g x y z f x y g y z f x y z g zΦ = Φ +Φ Φ +Φ Do đó nếu f , g._.