Hàm đơn điệp và một số tính chất của hàm đơn điệp

Em xin chân thành cám ơn tập thể quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học giải tích K17. Quý Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, mang đến cho em những kiến thức bổ ích và thú vị, làm tăng thêm khả năng tìm tòi nghiên cứu khoa học trong em. Em xin chân thành cám ơn quý Thầy Cô đã đọc và góp ý cho luận văn của em thêm sâu sắc. Cuối cùng, em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng KHCN-SĐH trường ĐHSP TP.HCM, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt thời gian học tập cũng như trong suốt thời gian thực hiện luận văn này. Luận văn ắt hẳn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý nhiệt tình của quý Thầy Cô. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của em, các số liệu, các kết quả của luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác. Tác giả luận văn MỞ ĐẦU Giải tích phức đã xuất hiện trong nửa đầu thế kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi của L.Ơle. Đỉnh cao của nó là trong thế kỉ XIX, chủ yếu bằng các công trình của Cauchy, Riemann, Weierstrass. Đến ngày nay, phần cổ điển của giải tích phức - lý thuyết hàm một biến phức - đã phát triển gần như trọn vẹn. Song, cũng chính điều này, thường xuất hiện những vấn đề chưa được giải quyết do cách đặt mới của các bài toán toán học cũng như các ứng dụng của nó trong thực tiễn theo đà phát triển của xã hội. Hàm đơn diệp là một bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hàm một biến phức. Hàm đơn diệp có nhiều tính chất đẹp và được nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâm nghiên cứu. Việc tập hợp các kết quả đó một cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc là việc cần thiết cũng như cần phát hiện thêm những vấn đề mới từ việc nghiên cứu đề tài. Đây cũng là lí do em chọn đề tài này. Mục tiêu của luận văn là trình bày về khái niệm hàm đơn diệp, một số kết quả cơ bản của hàm đơn diệp, để từ đó nêu ra những tích chất quan trọng của hàm đơn diệp. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp và các kết quả cơ bản nhất của hàm đơn diệp; các định lí dùng để tính diện tích trong và ngoài của miền ảnh của hàm đơn diệp; đánh giá cận trên đối với môđun hệ số 2z trong khai triển hàm đơn diệp; các cận đối với môđun của hàm đơn diệp. Chương 2: Từ những kết quả đạt được trong chương 1, trong chương 2 này trình bày một số tính chất của hàm đơn diệp: tính chất của hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vị lên các miền đặc biệt; cực trị của các hàm biến miền thành hình tròn. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ 1. Các khái niệm cơ bản C là mặt phẳng phức, X  C. - Giả sử z 0  C và r > 0. Ta gọi đĩa mở hay hình tròn mở tâm z 0, bán kính r là tập S(z 0, r) = {z  C: | |z-z 0 < r}. Hình tròn S(z 0, r) cũng thường gọi là  - lân cận của điểm z 0. - Giả sử r > 0 bất kỳ, tập hợp các điểm z  C: 0 < | |z-z 0 < r gọi là  - lân cận thủng của điểm z 0  C. - Tập X gọi là mở nếu mọi z 0  X, tồn tại hình tròn tâm z 0, bán kính r > 0 sao cho S(z 0, r )  C. - Điểm z 0 được gọi là điểm biên của X nếu mọi hình tròn S(z 0, r), r > 0 đều chứa những điểm thuộc X và những điểm không thuộc X. Tập tất cả những điểm biên của X được gọi là biên của X, kí hiệu ∂X. - Điểm z 0 được gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn S(z 0, r), r > 0 đều chứa một phần tử nào đó của X. Tập tất cả điểm dính của X gọi là bao đóng của X, kí hiệu X . - Điểm z 0 được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại r > 0 sao cho S(z 0, r)  X. Tập tất cả các điểm trong của X gọi là phần trong của X, kí hiệu o X. Dễ thấy X = X  ∂X, o X = X\∂X. - Tập X được gọi là đóng nếu X = X hay nói cách khác X  ∂X. - Tập X được gọi là bị chặn nếu có một số dương R sao cho hình tròn | |z < R chứa toàn bộ tập X. - Điểm z 0 được gọi là điểm cô lập của X nếu có một lân cận thủng của z 0 trong đó không có một điểm nào của X. - Tập X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập hợp mở A, B sao cho X  A ≠  , X  B ≠  ; X  A  B =  ; X  A  B. - Miền là một tập hợp con X của C có hai tính chất: i) Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong X (tính mở). ii) Có thể nối hai điểm bất kì thuộc X bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong X (tính liên thông). - Miền X có biên là một tập liên thông gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X có biên là một tập không liên thông gọi là miền đa liên. - Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng còn gọi là chu tuyến. - Miền X được gọi là miền Jordan nếu biên ∂X của nó gồm những đường cong Jordan đóng. - Giả sử (t) và  (t) là các hàm thực liên tục trên [a,b] của đường thẳng thực. Khi đó phương trình z = z(t) = (t) + i (t), a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham số một đường cong L = z([a,b]) trong mặt phẳng phức C. Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm (t),  (t) có đạo hàm liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng 0 với mọi t  [a,b]. Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là trơn từng khúc. - Xét hàm số  = f(z), với mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số gọi là hàm số đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị của hàm số gọi là hàm số đa trị. - Hàm giải tích: Nếu hàm số  = f(z) có đạo hàm tại z = z 0 và tại mọi điểm trong lân cận của điểm z 0 thì f(z) giải tích tại z 0 và z 0 là một điểm thường của f(z). Một hàm giải tích tại mọi điểm của X được gọi là giải tích trong X. - Điểm chính quy: Giả sử f giải tích trong miền (liên thông) X và z 0 là một điểm biên của X. Ta nói z 0 là điểm chính quy của f nếu tồn tại lân cận mở liên thông  của z 0 và một hàm g giải tích trong  sao cho g trùng với f trong một tập hợp mở khác rỗng của X   nhận z 0 làm điểm biên. Trong trường hợp ngược lại ta nói z 0 là một điểm kì dị của f. - Điểm z 0  C (mặt phẳng phức mở rộng) được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm số f(z) nếu có một lân cận thủng của z 0 (nếu z 0 là điểm hữu hạn thì lân cận thủng đó là 0 < | |z-z 0 0; nếu z 0 là điểm vô hạn thì lân cận thủng là r 0) trong đó hàm số f(z) giải tích, nhưng chính tại z 0 thì hàm số không giải tích. Điểm bất thường cô lập được chia hành ba loại: i) Điểm bất thường bỏ được nếu lim z  z 0 f(z) = A ≠ ∞ ii) Cực điểm nếu lim z  z 0 f(z) = ∞ iii) Điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi z  z 0 - Chuỗi hàm i = +∞ i = -∞ a i(z-z 0)i gọi là chuỗi hàm Laurent và khai triển f(z)= i = +∞ i = -∞ a i (z-z 0)i = i = +∞ i = 0 a i (z-z 0)i + i = -1 i = -∞ a i (z-z 0)i trong lân cận thủng của z 0 gọi là khai triển Laurent. Chuỗi Laurent gồm hai bộ phận: một bộ phận gồm các số hạng có số mũ không âm, gọi là phần đều; một bộ phận gồm các số hạng có số mũ âm, gọi là phần chính. - Điểm bất thường cô lập z 0 của hàm số f(z) là cực điểm của nó khi và chỉ khi phần chính trong khai triển Laurent của f(z) trong lân cận thủng của z 0 chỉ chứa một số hữu hạn số hạng i = + i = -n a i (z-z 0 )i , trong đó a -n ≠ 0 . - Cho hàm số f xác định trên miền X. Xét lim ∆z  0 f(z+∆z)-f(z) ∆z , z, ∆z  X. Nếu tại z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của hàm f tại điểm z, kí hiệu f’(z) hay df(z)dz . Hàm f có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay C-khả vi tại z. - Hàm số f xác định trên miền X được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 nếu tồn tại số dương r sao cho f là C-khả vi tại mọi z  S(z, r). Hàm f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X gọi là chỉnh hình trên X. - Nếu trong mặt phẳng C mọi điểm bất thường của hàm số f(z) đều là điểm cô lập và không phải là điểm bất thường cốt yếu (nghĩa là chỉ có thể là điểm bất thường bỏ được hoặc cực điểm) thì f(z) là một hàm phân hình. - Ánh xạ f gọi là bảo giác tại mọi điểm của tập mở X nếu nó giải tích trong X và f’(z) ≠ 0, z  X. - Hàm số f(z) gọi là khai triển được tại điểm a nếu nó phân tích được thành chuỗi luỹ thừa theo (z-a) tại lân cận của điểm a. - Hàm số f(z) gọi là chuẩn hoá được tại điểm 0z nếu f( 0z ) = 0 và f’( 0z ) = 1. 2. Một số định lí sử dụng trong luận văn - Định lí Ruse: Giả sử f và g chỉnh hình trong miền đóng X với biên liên tục X và giả sử ( )f z > ( )g z với mọi z  X . Khi đó các hàm f và (f + g) có số 0-điểm như nhau trong X. - Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm nf chỉnh hình trong miền X, hội tụ đều trên tập con compắc K  X bất kì đến hàm f ≠ const. Khi đó, nếu f( 0z ) = 0 thì trong hình tròn { 0z z < r}  X bất kì mọi hàm nf , bắt đầu từ hàm nào đó, đều bị triệt tiêu. - Định lí Liouville: Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt phẳng C và giới nội thì nó là hằng số. - Định lí Joukowski: Nếu a là điểm bất thường cốt yếu của hàm f thì với số b  C bất kì, ta có thể tìm dãy điểm nz  a sao cho limf( nz ) = b. - Định lí Weierstrass: Cho 1f , 2f ,…là dãy hàm giải tích trong tập mở A  C. Giả sử dãy hàm này hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến một hàm f. Khi đó f cũng giải tích trong A. Hơn nữa, dãy { 'nf } cũng hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến hàm f’. - Nguyên lí môđun cực tiểu: Nếu hàm f chỉnh hình trong miền X và không bị triệt tiêu trong miền ấy thì f có thể đạt cực tiểu (địa phương) trong X chỉ trong trường hợp f = const. - Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình trong miền X  C, G  X là miền mà biên G là đường cong liên tục và G không chứa 0-điểm và cực điểm của f. Gọi N và P lần lượt là tổng số các 0-điểm và tổng số các cực điểm của f trong G. Khi đó N - P = 1 2 G argf(z). - Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f chỉnh hình trong hình tròn D: z < 1 và ( )f z ≤ 1,  z  D, f(0) = 0. Khi đó  z  D: ( )f z ≤ z . Đẳng thức xảy ra khi f(x) = ie  z,  là hằng số thực. - Bất đẳng thức Lebedev-Milin thứ hai: Gọi  là một hàm giải tích trong một lân cận của 0 mà  (0) = 0 và  (z) = 1 k k k z   , gọi ψ(z) = ( )ze = 0 k k k z   , 0 = 1. Khi đó, với mọi n = 1, 2,…thì 2 0 k k    ≤ (n + 1)exp{ 1 1n  21 1 1( ) n m k m k k k     }. Chương 1: HÀM ĐƠN DIỆP 1.1. Khái niệm hàm đơn diệp 1.1.1. Hàm đơn diệp Một hàm của biến phức z xác định trên tập A  C là một quy luật f, theo nó mỗi giá trị z  A được đặt tương ứng một giá trị f(z)  C. Như vậy, một hàm số f xác định trên A là một ánh xạ f: A  C, z  f(z): = . Khi đó, A gọi là tập xác định của f; tập hợp gồm tất cả các giá trị  của f(z) lấy trên A gọi là tập các giá trị. Khi ánh xạ f: A  C là đơn ánh thì hàm f được gọi là đơn diệp (hay 1-lá). Ví dụ: Ánh xạ  a : D  D với D = {z C: | |z < 1} thoả mãn  a (z) = 1 z a az   ,  a  D là đơn diệp. Có thể xảy ra một hàm không đơn diệp trên C nhưng có thể chia C thành các miền con D 1, D 2,…để trên D 1, D 2,…hàm f đơn diệp. Khi đó mỗi miền D i, i = 1, 2,…được gọi là một miền đơn diệp của f. Ví dụ: Xét hàm  = zn , n ≥ 2. Dễ thấy, nếu A  C không chứa các điểm z 1, z 2 sao cho | |z 1 = | |z 2 và arg(z 1 - z 2) = k2n thì  = z n đơn diệp trên A. Nói riêng, tập A n = {z = rei : 0 ≤ r <  , 0 ≤  < 2n } thoả mãn điều kiện trên. Một hàm f được gọi là đơn diệp trong một lân cận của  nếu và chỉ nếu g(z) = f( 1 z ) đơn diệp trong một lân cận của 0. Ví dụ: Hàm w = z + 1 z đơn diệp trong z > 1; hàm w = az b cz d   (ad-bc ≠ 0) đơn diệp trong C . Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp trên A thì 1 ( )f z cũng đơn diệp trên A và ngược lại. 1.1.2. Một số kết quả cơ bản - Nếu hàm phân hình (trong trường hợp đặc biệt là hàm giải tích)  = f(z) là hàm đơn diệp trong miền A thì tại mọi điểm chính quy của miền này đạo hàm của nó sẽ khác không. Thật vậy, nếu tại điểm z 0 nào đó mà f(z 0) = a, f’(z 0) = 0 thì z 0 là a-điểm có bội lớn hơn 1. Khi đó theo một trong các hệ quả của Định lí Ruse, với b đủ gần a, f(z) sẽ nhận giá trị b nhiều hơn một lần. Điều này trái với giả thiết đơn diệp. Tuy nhiên, khi đạo hàm của hàm w = f(z) khác 0 trên toàn miền xác định A thì chưa chắc là đơn diệp. Chẳng hạn, đạo hàm của hàm w = f(z) = (z-1)n , n ≥ 3 khác 0 trên toàn miền D = {z  C: | |z < 1} nhưng nó không đơn diệp trên D. - Hàm đơn diệp  = f(z) trong miền A có thể có không nhiều hơn một cực điểm, trong đó cực điểm chỉ có thể là cực điểm đơn. Thật vậy, nếu z 0 là một cực điểm đối với hàm  = f(z) thì z 0 là 0-điểm đối với hàm 1f(z) . Vì 1 f(z) cũng là hàm đơn diệp nên z 0 là 0-điểm đơn đối với hàm 1f(z). Suy ra z 0 là cực điểm đơn đối với hàm f(z). - Mọi hàm giải tích  = f(z) đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bất kì mà tại đó đạo hàm của nó khác không. Thật vậy, giả sử f’(z 0) ≠ 0. Nếu tại mọi lân cận của z 0 mà f(z) không đơn diệp thì sẽ tồn tại hai dãy điểm a n, b n sao cho a n  z 0, b n  z 0; a n ≠ b n, f(a n) = f(b n). Khi đó, giả sử  là đường tròn có tâm tại z 0, bán kính , sao cho f(z) ≠ f(z 0) với 0 < | |z-z 0 ≤ . Rõ ràng hàm f(z)- f(z 0) chỉ có một 0-điểm bên trong  (kể cả bội) và không có 0-điểm trên . Mặt khác, do f(z)-f(a n)  f(z)-f(z 0) đều trên  nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn thì f(z)-f(a n) cũng có một 0-điểm bên trong  (kể cả bội). Do đó ta thấy mâu thuẫn vì với n đủ lớn thì hàm này có các 0-điểm là a n, b n bên trong . Chú ý rằng nếu w = f(z) đơn diệp thì hàm số ngược z = f-1 (w) chỉ giải tích trong một lân cận nào đó của w 0 = f(z 0). Chẳng hạn, hàm số w = z2 giải tích trong miền A: 1 1 2 30 arg 2 z z       và trong A có w’ = 2z ≠ 0. Song, qua phép ánh xạ w = z2 biến A thành hình vành khăn 1 14 w  , trong nửa trên của hình vành khăn này hàm số z = f-1 (w) không đơn trị. - Mọi hàm phân hình đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của cực điểm đơn bất kì. Thật vậy, nếu z 0 là cực điểm đơn của f(z) thì z 0 là 0-điểm đơn đối với hàm 1f(z) . Suy ra 1f(z) là hàm đơn diệp trong một lân cận của z 0. Do đó f(z) cũng là đơn diệp trong lân cận này. - Mọi hàm phân hình f(z) đơn diệp trong miền A đều cho ta một ánh xạ bảo giác  = f(z) từ miền A lên miền giá trị tương ứng của hàm f(z). Điều này được suy từ điều kiện: Đạo hàm của hàm đơn diệp khác không tại mọi điểm chính quy và cực điểm có thể có là cực điểm đơn. Ngoài ra còn được suy từ ánh xạ là bảo giác tại điểm mà tại đó hàm số biểu diễn ánh xạ đó có đạo hàm khác không (hoặc có cực điểm đơn). Chú ý: Cho hàm f(z) = ez xác định trên A. Khi đó, f’(z) = ez ≠ 0, z  A . Suy ra f(z) bảo giác trên A. Tuy nhiên, f(z) không đơn diệp trên A, vì f(z + k2) = f(z), z  A. Do đó, chiều ngược lại của ý trên là không đúng. - Nếu f(z) là hàm phân hình trên cả mặt phẳng thì f(z) là hàm hữu tỉ. Thật vậy, giả sử z 1, z 2,…, z n là các cực điểm của f(z) (số lượng của chúng là không âm và trong số chúng có thể có ). Từ f(z) ta tính tổng các phần chính của f(z) tại các điểm z 1, z 2,…, z n. Khi đó ta được hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng. Theo Định lí Liouville thì hàm này là hàm hằng. Suy ra f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của nó tại các điểm z 1, z 2 ,…, z n . Vậy f(z) là hàm hữu tỉ. - Nếu hàm f(z) là hàm phân hình và đơn diệp trên toàn mặt phẳng thì f(z) là hàm phân tuyến tính (nghĩa là có dạng az+bcz+d ). Thật vậy, f(z) có thể có không quá một cực điểm và đó chỉ có thể là cực điểm đơn. Theo nhận xét trên, f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của f(z) tại các cực điểm. Suy ra, ở trường hợp đang xét, f(z) chỉ có thể có dạng c + kz-a ( nếu có cực điểm hữu hạn a), hoặc c + kz (nếu  là cực điểm). Trường hợp không có cực điểm không xảy ra vì khi đó f(z) là hàm hằng. Do vậy f(z) là hàm phân tuyến tính. Để ý rằng tất cả các điểm của mặt phẳng đều là giá trị của f(z). Ta còn có một lưu ý khác dành cho hàm đơn diệp. Nếu f(z) là hàm đơn diệp trong miền thu được từ A bằng cách bỏ đi một tập hợp điểm nào đó không có giới hạn bên trong A, thì sau khi xác định thêm một cách thích hợp tại các điểm của tập hợp đó f(z) sẽ là hàm đơn diệp trong miền A. Thật vậy, các điểm của tập hợp đó là điểm cô lập đặc biệt đối với f(z). Để ý đến tính đơn diệp của f(z) và Định lí Joukowski, dễ thấy rằng các điểm đặc biệt này không thể là điểm đặc biệt cốt yếu. Suy ra ta có thể xác định thêm f(z) tại các điểm này một cách tự nhiên để f(z) trở thành hàm phân hình trong A. Nếu tại hai điểm của A, f(z) nhận giá trị a giống nhau thì tại lân cận bất kì đủ nhỏ của hai điểm này f(z) sẽ nhận các giá trị gần với a. Điều này trái với giả thiết f(z) là đơn diệp trên miền xác định ban đầu. - Từ những ví dụ cơ bản nhất đã chỉ ra rằng tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm đơn diệp trên miền A có thể không đơn diệp trên A. Đạo hàm, tích phân của một hàm đơn diệp trên A cũng vậy. Chẳng hạn, f(z) + g(z)= z(1-z)-1 + z(1+iz)-1 có đạo hàm triệt tiêu tại 12 (1+i). Tuy nhiên, nếu f(z) và g(z) đơn diệp trên A thì hàm hợp g[f(z)] (với điều kiện là g(z) được xác định trên miền giá trị của f(z)) cũng đơn diệp trên A. Nói cách khác, hợp của hai hàm đơn diệp là hàm đơn diệp. - Nếu dãy hàm f n chỉnh hình và đơn diệp trong miền A, hội tụ đều trên mỗi tập con compắc K  A, thì hàm giới hạn f của dãy ấy hoặc là đơn diệp hoặc là hằng số. Thật vậy, giả sử f(z 1) = f(z 2) nhưng z 1 ≠ z 2 (z 1, z 2  A) và f là hằng số. Ta xét dãy hàm g n(z) = f n(z)-f n(z 2) và hình tròn  = {z  C: | |z-z 1 < r}, trong đó r ≤ | |z 1-z 2 ; hàm giới hạn g(z) = f(z)- f(z 2) bằng không tại z 1, do đó theo Định lí Hurwitz, mọi g n(z) bắt đầu từ chỉ số nào đó đều bằng không trong hình tròn này. Điều này trái với tính đơn diệp của các hàm f n . - Điều kiện f’(z 0) ≠ 0 là cần và đủ của tính đơn diệp địa phương của hàm f chỉnh hình tại z 0. Tính đủ của điều kiện này cũng có thể thu được từ định lí tổng quát về sự tồn tại hàm ẩn trong giải tích thực (Jacobian ∂(u,v)∂(x,y) = | |f’(z) 2 của ánh xạ (x,y)  (u,v) là khác không tại các điểm được xét ). Song, đối với các ánh xạ khả vi theo nghĩa giải tích thực bất kỳ, điều kiện ∂(u,v) ∂(x,y)| z 0 ≠ 0 không phải là điều kiện cần cho tính đơn diệp. Điều này thấy rõ từ ví dụ: Ánh xạ f = x3 + iy có Jacobian bằng không tại z = 0, tuy thế nó là đơn diệp. Một hàm giải tích f có thể đơn diệp địa phương trên toàn miền A không phải là đủ để f đơn diệp trên A. Ví dụ: Hàm giải tích f(z) = z2 đơn diệp địa phương trên A ={z:1 < | |z < 2, 0 < argz < 32 } nhưng f không đơn diệp trên A. - Nếu f giải tích và Re{f’(z)} > 0 trong một miền lồi A thì f đơn diệp trên A. Thật vậy, cho z 1, z 2  D, z 1 ≠ z 2 . Khi đó: f(z 2) - f(z 1) = 2 1 '( ) z z f z dz = (z 2 - z 1) 1 2 1 0 '( (1 ) )f tz t z dt  ≠ 0, vì Re{f’(z)} > 0 . - Mọi hàm gần lồi là đơn diệp. Thật vậy, vì f là hàm gần lồi nên có hàm lồi g sao cho Re{ f’(z) g’(z) } > 0. Gọi A là miền xác định của g và xét hàm h(w) = f(g-1 (w)), w  A. Thế thì h’(w) = 1 1 '( ( )) '( ( )) f g w g g w   = '( ) '( ) f z g z . Suy ra Re{h’(w)} > 0 trong A. Theo kết quả trên thì h đơn diệp. Vì vậy, f cũng đơn diệp. 1.2. Định lí diện tích Chúng ta đã biết rằng Jacobian của một ánh xạ trơn có thể được xem như hệ số khuếch đại của diện tích. Vì vậy, nếu f giải tích và đơn diệp trong miền A thì diện tích của miền ảnh B = f(A) được tính S = 2'( ) dxd A f z y . Nếu A là một miền Jordan bị chặn bởi một đường cong Jordan trơn và f giải tích, đơn diệp trong bao đóng của nó thì theo một ứng dụng của Định lí Green, diện tích của miền ảnh B = f(A) có thể được tính bằng tích phân theo chu tuyến: S = 1 w 2 wd i   = 1 ( ) '( )2 C f z f z dzi  với = f(C) là ảnh của C. Đạo hàm của một hàm giải tích có nhiều ý nghĩa hơn nữa về mặt hình học. Môđun của nó được xem như hệ số khuếch đại của độ dài cung hoặc độ đo của sự biến dạng. Vì vậy, nếu f giải tích trên một đường cong trơn C và = f(C) thì chiều dài cung  là = '( ) C f z dz . 1.2.1. Định lí diện tích trong Gọi f: D → G, z  f(z) := w, D = {z: z < 1}, trong đó f giải tích, đơn diệp trên D và có khai triển f(z) = z + a 2z2 + a 3z3 +…+ a nzn +…Gọi S là lớp các hàm f có tính chất như trên. Định lí 1: Nếu f  S thí diện tích của f(D) là A =  2 1 n n n a    . Chứng minh Ta có: w = f(z) = z + a 2z2 + a 3z3 +…+ a nzn +…, z < 1. Gọi C r = {z: z = rei , 0 < r < 1, 0 ≤  ≤ 2},  r = f(C r), D r = Int(C r),  r = Int( r), A r là diện tích của  r. Hình 1 Khi đó: A r = dud r v   = 2'( ) dxd rD f z y = 2 2 0 0 '( ) drd r if re r     (1.1) Vì f’(rei ) = a 1 + 2a 2 rei +…+ na n rn-1 ei(n-1) +… = 1 ( 1) 1 n i n n n na r e       và '( )if re  = 1 ( 1) 1 n i m m m ma r e        nên 2'( )if re  = f’(rei ) f’(re i ) = 22 2 2 1 n n n n a r     + 0 ik k k c e    , c k phụ thuộc vào a n và r. Suy ra 2 '( )ir f re  = 22 2 1 1 n n n n a r     + 0 ik k k rc e    . Thế vào (1.1), sau khi tính tích phân ta được A r =  2 1 n n n a    r2n ( vì 2 0 ike d    = 0 với k ≠ 0 ). - Nếu A r bị chặn, với 0 < r < 1 thì gọi M là cận trên của A r, ta sẽ có  2 1 N n n n a   r2n < M (1.2) Với N là số nguyên dương cố định tuỳ ý. Dễ thấy  2 1 N n n n a   r2n tăng đơn điệu theo r và bị chặn. Vì thế, lấy giới hạn khi r → 1 của (1.2), ta được  2 1 N n n n a   ≤ M . Vì tổng riêng 2 1 N n n n a   bị chặn nên 2 1 n n n a    hội tụ. Cho N →  ta được A = 1 lim rr A =  2 1 n n n a    . - Nếu A r không bị chặn khi r → 1 thì  2 1 n n n a    không hội tụ. Khi đó diện tích của f(D) không xác định. Ví dụ: Xét hàm w = z1-z = z + z 2 + z3 +… Ánh xạ từ D r = {z: | |z < r, 0 < r < 1} vào hình tròn  r = {w: 2 21 rw r   < 21 r r } có A r = 2 2 2(1 ) r r   =  2 1 n n nr    . Rõ ràng, khi r → 1 thì A r → . Chú ý rằng khi r → 1 thì hình tròn  r tiến tới phủ nửa mặt phẳng Re(w) > 12 như hình vẽ. Hình 2 Nhận xét: A =  (1 + 2 22a + …) ≥  . Đẳng thức xảy ra khi f(z) = z. 1.2.2. Định lí diện tích ngoài Định lí 2: Nếu f giải tích, đơn diệp trên D* = {z: | |z > 1} và có khai triển f(z) = z + b 0 + b 1 z + b 2 z2 + … + b n zn + … (1.3) Và gọi E = C\f(D* ) thì diện tích của E là B =  [1 - 2 1 n n n b    ] (1.4) Chứng minh Với r > 1, gọi r là đường cong ảnh theo f của đường tròn | |z = r. Vì f đơn diệp nên r là một đường cong trơn Jordan có định hướng dương. Hình 3 Nếu E r được bao quanh bởi r thì E r  E. Áp dụng Định lí Green, diện tích B r của E r là: B r = 12 ( ) r udv vdu   = 1 w2 r wd i   = 1 ( ) '( ) 2 z r f z f z dz i   = 2 0 ( ) '( ) 2 i i ir f re f re e d      (1.5) Từ khai triển (1.3) ta có: ( )if re  = re-i + b 0 + 1 inn n n b e r    , f’(rei )= 1 - ( 1)1 1 i mm m m b m e r       Sử dụng kết quả 2 0 ike d    = 0, 02 , k=0k  và từ (1.5) suy ra B r = r2 [2 r - 2 2 1 1 n n n n b r     (2 )] =  (r2 - 2 2 1 n n n n b r    ), r > 1. Cho r giảm đến 1 ta được B = m(E) =  (1 - 2 1 n n n b    ) (m(E) là độ đo ngoài của E) (đpcm). Nhận xét: - Gọi  là lớp các hàm f giải tích, đơn diệp trên D* và có khai triển (1.3). Mỗi hàm f   là một ánh xạ từ D* lên phần bù của một tập E compact, liên thông. Gọi  là lớp con của tất cả các hàm f   mà tập E có độ đo Lebesgue theo hai hướng bằng không. Hàm f   được gọi là ánh xạ đầy (full mapping). Như vậy, dễ thấy rằng B = 0 khi f   . - Khi f(D* ) = D* thì f(z) = z, z  D* . Thật vậy: Theo (1.4) suy ra  =  (1 - 2 1 n n n b    ). Do đó b n = 0,  n ≥ 1. Vậy f(z) = z + b 0 . Mặt khác, theo giả thiết ta cũng thấy rằng | |f(z) →1 khi | |z →1. Ta có | |f(z) 2 = | |z+b 0 2 = | |z 2 + 2Re(b 0 z ) + | |b 0 2 . Cho z → 1: | |z 2 + 2Re(b 0 z ) + | |b 0 2 → 1 + 2Re(b 0) + | |b 0 2 . Suy ra 1+2Re(b 0) + | |b 0 2 = 1. Từ đó ta có 2Re(b 0) + | |b 0 2 = 0 (1.6) Cho z → -1 : | |z 2 +(b 0. z ) + | |b 0 2 → 1 - 2Re(b 0) + | |b 0 2 . Suy ra 1 - 2Re(b 0) + | |b 0 2 = 1. Từ đó ta có -2Re(b 0) + | |b 0 2 = 0 (1.7) Từ (1.6) và (1.7) suy ra b 0 = 0. Vậy f(z) = z. Từ Định lí 2 ta thu được hệ quả quan trọng. Hệ quả này đóng vai trò làm nền tảng cơ bản cho lý thuyết hàm đơn diệp. Hệ quả 1 (định lí Gronwall-Bieberbach): Nếu f   thì 2 1 n n n b    ≤ 1. Đẳng thức xảy ra khi B = 0. Chứng minh Vì B =  (1- 2 1 n n n b    ) ≥ 0 nên 2 1 n n n b    ≤ 1 (đpcm). Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi B = 0. Một kết quả trực tiếp được suy ra từ hệ quả 1 là | |b n ≤ n -1 2 , n = 1, 2, 3,….Tuy nhiên, bất đẳng thức này không thoả mãn với mọi n ≥ 2 vì f(z) = z + n -1 2 z-n không đơn diệp. Thật vậy, f’(z)=1 - n 1 2 .z-n-1 triệt tiêu tại những điểm chắc chắn nằm trong D* nếu n ≥ 2. Nhưng khi n = 1 thì bất đẳng thức thoả mãn . Ta có hệ quả quan trọng: Hệ quả 2: Nếu f   thì | |b 1 ≤ 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi E = C\f(D* ) là một đoạn thẳng có chiều dài là 4. Khi đó f(z) = z + b 0 + b 1 z , | |b 1 =1 và E= [-2e i 2 + b 0 ; 2e i 2 + b 0]. Chứng minh Khi | |b 1 =1 thì b n = 0,  n ≥ 2. Vì thế f(z) = z + b 0 + b 1 z , | |b 1 =1. Ta có thể xem f(z)= z + b 0 + ei z . Đây là ánh xạ bảo giác từ D * vào phần bù của đoạn thẳng E = [-2e i 2 + b 0 ; 2e i 2 + b 0 ]. Đoạn thẳng này có độ dài bằng 4. Thật vậy, từ f(z) = z + b 0 + e i z suy ra f(z) - b 0 = z + ei z . Do đó e -i 2 [f(z) - b 0] = e -i 2 z + 1 e -i 2 z = u + 1u , u = e -i 2 z. Khi đó | |u > 1 vì | |z > 1 và w = u + 1u, | |u > 1 là ánh xạ bảo giác từ | |u > 1 vào phần bù của đoạn thẳng [-2; 2] trong mặt phẳng w. Vì thế, f(z) = e i 2 w + b 0 = z + b 0 + ei z cũng là ánh xạ bảo giác từ | |z > 1 vào phần bù của đoạn thẳng [-2e i 2 + b 0 ; 2e i 2 + b 0]. Rõ ràng, đoạn thẳng này có độ dài bằng 4. Hình 4 Ngược lại, giả sử E là đoạn thẳng có độ dài bằng 4. Khi đó E có dạng: E = [-2 +  0 ; 2 +  0] với  0 và   C, | | = 1. Nếu g(z) = z +  0 +  2 z thì g   và g(D * ) = C\E = f(D* ). Vì thế 1f g   , ánh xạ này từ D* vào D* . Vì vậy theo nhận xét thứ hai bên trên thì f  g. Suy ra b 0 =  0, b 1 = 2 . Do đó | |b 1 = 1. Hệ quả 3: Nếu f   thì 0b ≤ 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(z) = z + 2 2 i e  + ie z  . Khi đó f là ánh xạ bảo giác từ D* vào C\[0,4 2ie  ]. Chứng minh Ta lấy một hàm h  sao cho [h(z)]2 = f(z2 ), z  D* và hàm h có khai triển h(z) = z +  0 +  1 z + …Khi đó [h(z)] 2 = z2 + 2 0z + ( 02 + 2 1) + …và f(z2 ) = z2 + b 0 + b 1 z2 + …Từ đó suy ra  0 = 0 và b 0 = 2 1 . Vì 1 ≤ 1 (theo Hệ quả 2) nên 0b ≤ 2. Ta thấy 0b = 2  1 = 1  h(z) = z + 2 i e z   [h(z)]2 = z2 + 2 2ie  + 2 ie z   f(z2 ) = z2 + 2 2ie  + 2 ie z   f(z) = z + 2 2ie  + ie z  . Dễ thấy f là ánh xạ bảo giác từ D* vào C\[0,4 2ie  ] (theo Hệ quả 2). 1.3. Cận trên đối với môđun hệ số z2 trong khai triển hàm đơn diệp Bây giờ, ta lấy g   sao cho g(z) = [f(z-1 )]-1 , z  D* , f  S. Khi đó g có khai triển g(z) = z - a 2 + (a 22 - a 3 )z-1 + …Thật vậy: Ta có 1 ( )f z = 2 2 3 1 (1 ...)z a z a z   = 1z [1 - ( 2 2 3 .a z a z  ..) + ( 22 3 ...a z a z  )2 -…] = 1z - a 2 + (a 22 - a 3)z + … Suy ra g(z) = [f(z-1 )]-1 = z - a 2 + (a 22 - a 3 )z-1 + … Vì g   và có khai triển (1.3) nên theo Hệ quả 3 ta có | |a 2 ≤ 2. Khi | |a 2 = 2 thì g(z)= z - 2ei  2 + e i z = 22( ) i z e z   . Suy ra f(z) = 22(1 ) i z e z   . Như trên ta đã tìm được cận trên đối với môđun hệ số z2 của bất kỳ hàm đơn diệp f  S. Định lí 3: Nếu f  S thì | |a 2 ≤ 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(z) = 22(1 ) i z e z   . Khi đó f là ánh xạ bảo giác từ D vào phần bù của tia có góc nghiêng  - 2 , xuất phát từ điểm 21 4 i e  đến vô cực (không đi qua gốc toạ độ 0) như hình vẽ.  - 2 o 21 4 i e  v u Hình 5 Thật vậy, ta chỉ cần thực hiện liên tiếp các phép biến hình bảo giác sau sẽ có ngay kết quả: z 1 = - 2ie  z; z 2 = 1 1 1 1( ) 2 z z  ; z 3 = -2 2ie  (z 2 + 1); w = 1 z 3 = f(z). 1.3.1. Hằng số Koebe Một ứng dụng quan trọng của định lí trên là dùng để chứng minh định lí sau. Định lí 4: Nếu f  S thì f(D) chứa hoàn toàn đĩa {z: z < 14 }, và nếu tồn tại những điểm trên đường tròn | |z = 14 không thuộc vào f(D) thì f(z) = 22(1 ) i z e z   . Số 14 được gọi là hằng số Koebe. Chứng minh Lấy c  D nhưng c  f(D). Ta sẽ phải chỉ ra rằng | |c ≥ 14 . Vì 0  f(D) nên c ≠ 0 và vì thế g(z):= f(z) 11[1- ( )]f z c  là một hàm giải tích trên D. Ta sẽ chứng minh g  S. Thật vậy: - Dễ thấy g(0) = 0; g’(0) = 0 ( )lim z g z z = f’(0) = 1. - Lấy z 1, z 2  D sao cho g(z 1) = g(z 2). Tức là f(z 1) 111[1- ( )]f zc  = f(z 2) 12 1[1- ( )]f z c  . Suy ra f( 1z ) = f(z 2 ). Vì thế 1z = z 2 (vì f đơn diệp). Do đó g đơn diệp. Như vậy, g  S. Vì f(0) = 0 nên tồn tại r > 0 đủ nhỏ sao cho | |f(z) < | |c , | |z < r. Trong lân cận này của 0 ta có 11[1- ( )]f z c  = 1 + 1cf(z) + 1 c2 [f(z)]2 +… Suy ra g(z) = f(z) 11[1- ( )]f z c  = z + (1c + a 2)z2 +…, z  D (chuỗi này hội tụ hoàn toàn trong D). Theo Định lí 3 ta có    1 c+a 2 ≤ 2 mà | |a 2 ≤ 2 (cũng theo Định lí 3). Do đó 1 c ≤ 2 + | |a 2 ≤ 4. Vậy | |c ≥ 14 (đpcm). Khi | |c = 14 thì | |a 2 =2. Khi đó f(z) = 22(1 ) i z e z   (theo Định lí 3). Kết quả dưới đây cũng thường được gọi là định lí biến dạng (distortion theorem). 1.3.2. Định lí biến dạng Định lí 5: Nếu f  S thì._.