Giáo trình Xử lí số tín hiệu - Chương 6: Tổng hợp bộ lọc số IIR

ng pháp biến đổi song tuyến + Phương pháp tương đương vi phân • Nội dung các phương pháp để tổng hợp bộ lọc số IIR trên cơ sở bộ lọc tương tự, tức là tổng hợp bộ lọc tương tự trước, sau đó dùng các phương pháp chuyển đổi tương đương một cách gần đúng từ bộ lọc tương tự sang bộ số. Nội dung tổng hợp các bộ lọc tương tự xem như đã được học trong các học phần trước. 2 Ví dụ về cấu trúc mạch lọc số và mạch lọc tương tự x(n) y(n) + z-1b R C x(t) y(t) Bộ lọc số thông thấp:  Biến thời gian rời rạc  Phương trình sai phân: y(n) - by(n-1) = x(n)  Mô tả trong mặt phẳng Z Bộ lọc thông thấp analog:  Biến thời gian liên tục  Phương trình vi phân: y(t) + RC.dy(t)/dt = x(t)  Mô tả trong mặt phẳng S • Có 3 phương pháp tổng hợp bộ lọc tương tự:  Butterworth  Chebyshev  Elliptic 3 6.2.1 PHƯƠNG PHÁP BẤT BiẾN XUNG       N i ci i a ss k sH 1 )( • Giả thiết hàm truyền đạt Ha(s) của bộ lọc tương tự có dạng: • Hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số được chuyển tương đương theo phương pháp bất biến xung sẽ là:       N i Ts i ze k zH sci 1 1)1( Nội dung phương pháp là xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số bằng cách lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc tương tự ha(t):   nTstas thnTh   )( 6.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP LỌC SỐ TỪ LỌC TƯƠNG TỰ 4 SO SÁNH TÍNH ỔN ĐỊNH Bộ lọc tương tự Bộ lọc số • Nếu tất cả các điểm cực của Ha(s) nằm bên trái mặt phẳng s thì hệ sẽ ổn định • Nếu tất cả các điểm cực của H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị thì hệ sẽ ổn định 0   sci  Tính ổn định của bộ lọc 0 Im(z) Re(z)1zci 5       N i ci i a ss k sH 1 )(       N i Ts i ze k zH sci 1 1)1( • Các điểm cực của Ha(s) cũng chính là các điểm cực H(z): Hay các điểm cực sci=  + j của Ha(s) lọc tương tự được chuyển thành các điểm cực zci= e sciTs của H(z) lọc số:   ssci TjTs ci eez    jci TjT ezee ss       s T ci T ez s   với: Nếu:  <0 haycác điểm cực của Ha(s) sẽ nằm bên trái mặt phẳng s  /zci / <1 hay các điểm cực của H(z) sẽ nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Như vậy điều kiện ổn định vẫn được đảm bảo khi chuyển Ha(s) thành H(z) 6 0Im(z) Re(z)1zci 0   sci  >0 < 0 -/Ts /Ts 7 •Ví dụ 6.2.1: Hãy chuyển sang mạch số bằng phương pháp bất biến xung, biết mạch điện tương tự cho như sau: )()/1( /1 )( )( )( 1 1 1 2 c a ss k RCs RC sU sU sH     R CU1 U2 • Hàm truyền đạt của mạch tương tự: RC s RC k c 1 ; 1 11 Với:  hàm truyền đạt của mạch số tương ứng là: )1( /1 )1( )( 1 11 1 1        ze RC ze k zH s sc T RC Ts 8 )1( )1( /1 )( 1 1 0 1 1        za b ze RC zH sT RC sT RCe RC b 1 10 a ; 1  Với: )()1()( 01 nxbnyany Phương trình sai phân: x(n) y(n) b0 + z-1 - a1 Sơ đồ thực hiện hệ thống: 9 6.2.2 PHƯƠNG PHÁP BiẾN ĐỔI SONG TUYẾN )1( )1( . 2 1 1      z z T s s  Hàm truyền đạt của bộ lọc số H(z) có thể nhận được từ hàm truyền đạt bộ lọc tương tự Ha(s), nếu ta thay:  Hay quan hệ giữa các hàm truyền đạt Ha(s) và H(z) là: Nội dung phương pháp là phép ánh xạ mặt phẳng s của bộ lọc tương tự sang mặt phẳng z của bộ lọc số. )1( )1( . 2 1 1)()(       z z T s a s sHzH 10 •Ví dụ 6.3.1: Hãy chuyển sang mạch số bằng phương pháp biến đổi song tuyến, biết mạch điện tương tự cho: 1 1 )( )( )( 1 2   RCssU sU sHa R CU1 U2 • Hàm truyền đạt của mạch tương tự:  hàm truyền đạt của mạch số tương ứng là: 1 1 1 1 ) 2 (11 )1( )1(2 . 1 )(             z K RCT z K T K T z z T RC zH s ss s sTRCK  2Với: 11 1 1 1 10 1 )(      za zbb zH K RCT a K T b K T b sss 2 ; ; 110  Với: )1()()1()( 101  nxbnxbnyanyPhương trình sai phân: Sơ đồ thực hiện hệ thống: x(n) y(n) b0 + z-1 - a1 + z-1 b1 12 6.2.3 PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG VI PHÂN sT z s 11    Hàm truyền đạt của bộ lọc số H(z) có thể nhận được từ hàm truyền đạt bộ lọc tương tự Ha(s), nếu ta thay:  Hay quan hệ giữa các hàm truyền đạt Ha(s) và H(z) là: Nội dung phương pháp là chuyển phương trình vi phân của bộ lọc tương tự tương đương thành phương trình sai phân của bộ lọc số. sT z s a sHzH 11)()(    13 •Ví dụ 6.4.1: Hãy chuyển sang mạch số bằng phương pháp tương đương vi phân, biết mạch điện tương tự cho: 1 1 )( )( )( 1 2   RCssU sU sHa R CU1 U2 • Hàm truyền đạt của mạch tương tự:  hàm truyền đạt của mạch số tương ứng là: 1 1 1 / 1 )1( . 1 )(        z K RC KT T z RC zH s s sTRCK Với: 14 1 1 0 1 )(   za b zH K RC a K T b s  10 ;Với: )()1()( 01 nxbnyany Phương trình sai phân: Sơ đồ thực hiện hệ thống: x(n) y(n) b0 + z-1 - a1 15 1/Ha(j)/ 0 p s  1-p s 6.3 CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP  Đáp ứng biên độ phải thỏa mãn điều kiện: Trong dải thông: 1- ≤ /H(j)/ ≤1 hay 1/(1+2)1/2 ≤ /H(j)/ ≤1 Trong dải chắn: /H(j)/ ≤ p hay /H(j)/ ≤ 1/A 6.3.1 QUI ĐỊNH ĐỐI VỚI CÁC BỘ LỌC THÔNG THẤP TƯƠNG TỰ 1 /Ha(j)/ 0 p s  1/A 2 1 1 16  Bộ lọc tương tự Butterworth là bộ lọc thông thấp có đáp ứng biên độ giảm đơn điệu trong dải thông và dải chắn. Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa:   2 2 1 1 a N c H ( j ) /      N - bậc của bộ lọc c - tần số cắt + /H(0)/2 =1 + /H(c)/ 2 =1/2 + /H()/2 ->0 khi N-> 8 1 /Ha(j)/ 2 N=2 N=3 N=4 0 c  1/2 6.3.2 BỘ LỌC BUTTERWORTH 17 6.3.3 BỘ LỌC CHEBYSHEV  Bộ lọc tương tự Chebyshev có 2 loại: - Loại 1: đáp ứng biên độ gợn sóng trong dải thông, giảm đơn điệu trong dải chắn - Loại 2: đáp ứng biên độ giảm đơn điệu trong dải thông, gợn sóng trong dải chắn   2 2 2 1 1 a N c H ( j ) T /      a. Bộ lọc Chebyshev loại 1 Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa: •  - Thông số xác định độ gợn sóng trong dải thông • TN(/p) - Đa thức Chebyshev bậc N • c - Tần số cắt 18       cos N ch N x        p p N p p p arccos / : T ( / ) arcch / :           o Đa thức Chebyshev TN(/p) bậc N được định nghĩa: /TN(/p / ≤ 1 khi // ≤ p /TN(/p)/ tăng đơn điệu khi //>p Do : gợn sóng khi // ≤ p /Ha( / giảm đơn điệu khi //>p 2 2 1 1 1    aH ( ) 1 2 1 1 1     o Thông số  liên quan đến độ gợn trong dải thông:   2 2 1 1 1 1      19 Đáp ứng biên độ của bộ lọc Chebyshev loại 1 1 /Ha(j)/ 2 0 c  2 1 1 N lẽ (N=5) 1 /Ha(j)/ 2 0 c  2 1 1 N chẵn (N=6) 20     2 22 1 1 a N s c N s H ( j ) T / T /           b. Bộ lọc Chebyshev loại 2 Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa: • N - Bậc của bộ lọc •  - Thông số xác định độ gợn sóng trong dải thông • TN - đa thức Chebyshev bậc N. • c - Tần số cắt • s - Tần số giới hạn dải chắn 21 Đáp ứng biên độ của bộ lọc Chebyshev loại 2  N lẽ (N=5) 1 /Ha(j)/ 2 1/A  N chẵn (N=6) 1 /Ha(j)/ 2 1/A 22 6.3.4 BỘ LỌC ELLIPTIC   2 2 2 1 1 a N c H ( ) U /       Bộ lọc Elliptic là bộ lọc thông thấp có đáp ứng biên độ gợn sóng trong dải thông và dải chắn. Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa: • c - Tần số cắt • UN(/p) - Hàm Jacobian elliptic 8 1 /Ha()/ 2 N=4 0 p s  23 6.4.1 BiẾN ĐỔI TẦN SỐ TRONG MiỀN TƯƠNG TỰ  Ở phần trước chúng ta đã xem xét các dạng bộ lọc tương tự thông thấp mà chưa đề cập đến các bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải.  Thực chất chúng ta không cần phương pháp riêng để tổng hợp các bộ lọc này mà chỉ cần dùng phương pháp biến đổi tần số để chuyển gần đúng từ bộ lọc thông thấp ban đầu sang thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải với các chỉ tiêu mong muốn.  Gọi : Ha(s) – Hàm truyền đạt của lọc tương tự thông thấp Ha(s’) – Hàm truyền đạt của lọc tương tự mong muốn Nghĩa là sẽ thay thế biến s bởi 1 hàm theo biến số s’ s = f(s’) 6.4 BiẾN ĐỔI TẦN SỐ 24 Bảng biến đổi tần số từ bộ lọc thông thấp cơ bản Biến đổi tần số s = f(s’) Tần số cắt mới Thông thấp Thông cao Thông dải Chắn dải c ' c s s'    ' c cs s'    2 1 2 2 1 ' ' c c c ' ' c c s' s s'( )         2 1 2 1 2 ' ' c c c ' ' c c s'( ) s s'         ' c ' c 1 2 ' ' c c ,   1 2 ' ' c c ,   25 6.4.2 BiẾN ĐỔI TẦN SỐ TRONG MiỀN SỐ  Cũng giống như các bộ lọc tương tự, các bộ lọc số thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải mong muốn sẽ nhận được bằng cách biến đổi tần số từ mạch lọc số thông thấp  Gọi : Ha(z -1) – Hàm truyền đạt của lọc số thông thấp Ha(z’ -1) – Hàm truyền đạt của lọc số mong muốn Nghĩa là sẽ thay thế biến z-1 bởi 1 hàm theo biến số z’-1 z-1 = f(z’-1) 26 Bảng biến đổi tần số từ bộ lọc thông thấp cơ bản Biến đổi tần số z-1 = f(z’-1) Các thông số thiết kế Thông thấp ’c - tần số cắt mới Thông cao ’c - tần số cắt mới 1 1 11 ' ' z z z         1 1 11 ' ' z z z         2 2 ' c c ' c c sin [( ) / ] sin [( ) / ]         2 2 ' c c ' c c cos[( ) / ] cos[( ) / ]         27 Bảng biến đổi tần số từ bộ lọc thông thấp cơ bản Biến đổi tần số z-1 = f(z’-1) và các thông số thiết kế Thông dải ’c1 và ’c2 – các tần số cắt mới Chắn dải ’c1 và ’c2 – các tần số cắt mới 2 1 2 1 2 2 ' ' c c ' ' c c cos[( ) / ] cos[( ) / ]         2 1 2 2 ' ' c c ccotg[( ) / ].tg( / )             2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ' ' ' ' z / ( ) z ( ) / ( ) z ( ) / ( ) z / ( ) z                         1 2 1 2 2 2 ' ' c c ' ' c c cos[( ) / ] cos[( ) / ]         2 1 2 2 ' ' c c ctg[( ) / ].tg( / )             2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ' ' ' ' z / ( ) z ( ) / ( ) z ( ) / ( ) z / ( ) z                         28