Giáo trình Xử lí số tín hiệu - Chương 5: Tổng hợp bộ lọc số FIR

trình tổng hợp lọc số: - Xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra - Lượng tử hóa các thông số bộ lọc - Kiểm tra, chạy thử trên máy tính • Trong chương trình Tổng hợp Lọc số chỉ xét đến giai đọan đầu, tức là xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra, thông thường các chỉ tiêu cho trước là các thông số của Đáp ứng tần số. 2 ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CỦA BỘ LỌC SỐ THÔNG THẤP  0 s 1- p 1+ p P s p 1 H(ej) Các chỉ tiêu kỹ thuật: p – độ gợn sóng dải thông s – độ gợn sóng dải chắn P – tần số giới hạn dải thông S – tần số giới hạn dải chắn Các phương pháp tổng hợp lọc số FIR: Phương pháp cửa sổ Phương pháp lấy mẫu tần số Phương pháp tối ưu 3 1-p - c 0 c p  H(ej) a) Lọc thông thấp lý tưởng 1 -p - c 0 c p  H(ej) a) Lọc thông cao lý tưởng 1 -p -c2 -c1 0 c1 c2 p  H(ej) a) Lọc thông dải lý tưởng 1 -p -c2 -c1 0 c1 c2 p  H(ej) a) Lọc chắn dải lý tưởng 5.2 ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CÁC LỌC SỐ LÝ TƯỞNG : Dải thông : Dải chắnKý hiệu: 4 Ví dụ 5.2.1: Tìm h(n) của lọc thông thấp lý tưởng, biết:    p p   p deeHnh njj )( 2 1 )(    c c de nj     p2 1       khác :0 2 :1 )(  p  ccjeH n n c c  sin 2 1  1/p 1/2 h(n) 0 1 2 n 1/5p -1/3p Đáp ứng xung của lọc số lý tưởng: - Có độ dài vô hạn - Không nhân quả 5 5.3 CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT LỌC SỐ FIR       1 0 )()( N nn nhnh a. Bộ lọc số FIR luôn ổn định do độ dài L[h(n)]=N: b. Nếu h(n) không nhân quả, dịch h(n) sang phải n0 đơn vị thành h(n-n0), nhưng đáp ứng biên độ vẫn không đổi: ])([arg 0 )(arg 00 )()()( )()()(     neHjjjjnF eHjjjF j j eeHeHennh eeHeHnh    6 5.4 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BỘ LỌC SỐ FIR CÓ PHA TUYẾN TÍNH  Đáp ứng tần số của bộ lọc: )()()(  jjj eeAeH           d d )(  Thời gian lan truyền tín hiệu:  )(  Để thời gian lan truyền  không phụ thuộc vào  thì: 7 Trường hợp 1:  = 0, () = -   Đáp ứng tần số của bộ lọc:      1 0 )( )()()()( N n njjjjjj enheeAeeAeH         1 0 sincos)(sincos)( N n j njnnhjeA      1 0 cos)(cos)( N n j nnheA      1 0 sin)(sin)( N n j nnheA  8      1 0 1 0 cos)( sin)( cos sin N n N n nnh nnh           1 0 1 0 sin)(coscos)(sin N n N n nnhnnh    0sincoscossin)( 1 0    N n nnnh     0sin)( 1 0    N n nnh         )nN(h)n(h N 1 2 1 9 •Ví dụ 5.4.1: Hãy vẽ đồ thị h(n) của lọc số FIR có pha tuyến tính ()= -: a) N=7; h(0)=1; h(1)=2; h(2)=3; h(3)=4 b) N=6; h(0)=1; h(1)=2; h(2)=3 • Tâm đối xứng:=(N-1)/2=3 • h(n) = h(6-n) • h(0)=h(6)=1; h(1)=h(5)= 2 • h(2)=h(4)=3 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 n h(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 n h(n) • Tâm đối xứng:=(N-1)/2=2.5 • h(n) = h(5-n) • h(0)=h(5)=1; h(1)=h(4)=2; • h(2)=h(3)=3 10 Trường hợp 2:   0, () = -  +   Tương tự trường hợp 1, ta được:    0sin)( 1 0    N n nnh         )nN(h)n(h N 1 2 1 Bộ lọc loại 1: h(n) đối xứng, N lẽ Bộ lọc loại 2: h(n) đối xứng, N chẵn Bộ lọc loại 3: h(n) phản đối xứng, N lẽ Bộ lọc loại 4: h(n) phản đối xứng, N chẵn 11 5.5 PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ 5.5.1 KHÁI NiỆM  Đáp ứng xung h(n) của lọc số lý tưởng là không nhân quả và có độ dài vô hạn  không thể thực hiện được về mặt vật lý.  Để bộ lọc thiết kế được thì đáp ứng xung hd(n) phải là nhân quả và hệ ổn định, bằng cách: - Dịch h(n) đi n0 đơn vị -> h(n-n0): nhân quả - Giới hạn số mẫu của h(n): hd(n)= h(n-n0). w(n)N -> hệ ổn định. 12 5.5.2 MỘT SỐ HÀM CỬA SỔ :0 01-N :1 )(      n n nwR còn lại  Cửa sổ chữ nhật:  Cửa sổ tam giác (Bartlett):                :0 1-N 2 1-N : 1 2 2 2 1-N 0 : 1 2 )( n N n n N n nwT còn lại 0 1 (N-1)/2 N-1 1 n wT(n) -1 0 1 2 N-1 N 1 n wR(n) 13 : 0 10 : 1 2 cos5,05,0 )(               n Nn N n nwHan p còn lại  Cửa sổ Hanning: : 0 10 : 1 2 cos46,054,0 )(               n Nn N n nwHam p còn lại  Cửa sổ Hamming: 0 1 (N-1)/2 N-1 1 n WHan(n) 0 1 (N-1)/2 N-1 1 n WHam(n) 14 : 0 10 : 1 4 cos08,0 1 2 cos5,042,0 )(                      n Nn N n N n nwB pp còn lại  Cửa sổ Blackman: 0 1 (N-1)/2 N-1 1 n WB(n) 15  Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật: p, s,P ,S  Chọn hàm cửa sổ w(n)N và độ dài N  Chọn đáp ứng xung h(n) của lọc số lý tưởng có tâm đối xứng và dịch h(n) đi đơn vị để được h’(n)=h(n-n0) nhân quả.  Nhân hàm cửa sổ w(n)N với h(n): hd(n)= h(n- n0). w(n)N  Kiểm tra lại các chỉ tiêu kỹ thuật có thỏa mãn không, nếu không thì tăng N hoặc thay đổi hàm cửa sổ. 5.5.3 CÁC BƯỚC TỔNG HỢP LỌC FIR CÓ PHA TUYẾN TÍNH BẰNG P2 CỬA SỔ 2 1  N  2 1 0   N n 16 Ví dụ 5.5.1: Hãy tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR có pha tuyến tính ()= - = - (N-1)/2 với các chỉ tiêu kỹ thuật: p= p0 ; s= s0 ; p= p0 ; s= s0; c= (p0+ s0)/2=p/2 và vẽ sơ đồ bộ lọc.  Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật: p=p0 ; s=s0 ; p= p0 ; s= s0  Chọn hàm cửa sổ chữ nhật WR(n)9 với độ dài N=9: :0 08 :1 )(      n n nWR còn lại  Chọn bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c= p/2 và đáp ứng xung h(n) có tâm đối xứng tại  = (N-1)/2 = 4. 17 • Theo ví dụ 8.2.1, h(n) của lọc thông thấp lý tưởng có tâm đối xứng n=0 và • Do pha tuyến tính ()= - = - (N-1)/2 nên h(n) sẽ có tâm đối xứng tại  = (N-1)/2=4, bằng cách dịch h(n) sang phải n0=4 đơn vị: • Nhân cửa sổ chữ nhật W9(n) với h(n-4) ta được hd(n): hd(n)=h(n-4) W9(n) 2/ 2/sin 2 1 )( n n nh p p  2/)4( 2/)4(sin 2 1 )4()('    n n nhnh p p 18 -1 0 1 2 3 4 8 9 1 n W9(n) -1 0 1 2 3 4 8 9 1/2 n h(n-4) 1/p -1/3p 1/5p -1/3p 1/5p -1 0 1 2 3 4 8 9 1/2 n hd(n) 1/p -1/3p-1/3p 19 • Thử lại xem Hd(e j) có thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật không? ')()(' 2 1 )(*)(')( )'('   p p   p deWeHeWeHeH jR jj R jj d • Nếu không, ta cần tăng N và làm lại các bước từ đầu. • Nếu tăng độ dài N mà không thỏa mãn thì chúng ta cần thay đổi hàm cửa sổ. • Giả sử với N=9, các chỉ tiêu kỹ thật đã thỏa mãn, ta có: )7( 3 1 )5( 1 )4( 2 1 )3( 1 )1( 3 1 )(      nnnnnnhd  p  p  p  p )7( 3 1 )5( 1 )4( 2 1 )3( 1 )1( 3 1 )(      nxnxnxnxnxny pppp 20 )7( 3 1 )5( 1 )4( 2 1 )3( 1 )1( 3 1 )(      nxnxnxnxnxny pppp Z-1 + x(n) y(n) Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 + + Z-1 Z-1 + -1/3p 1/p 1/2 1/p -1/3p 21 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp thiết kế  0 s 1- p 1+ p P c s p 1 /H(ej)/ N=9  0 s 1- p 1+ p P c s p 1 /H(ej)/ N=61 22 5.5.4 SO SÁNH CÁC HÀM CỬA SỔ dB , )( )( log20 010 1 j j eW eW     Các thông số đặc trưng cho phổ các hàm cửa số  Bề rộng đỉnh trung tâm của phổ cửa sổ : tỷ lệ với bề rộng dải quá độ  Tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp đầu tiên và đỉnh trung tâm: tỷ lệ với độ gợn sóng dải thông và dải chắn.  Xét với cửa sổ chữ nhật: :0 01-N :1 )(      n n nWR còn lại 23 e ω ωN (eW(n)w N- -jω jω R F R 2 1 2 sin 2 sin )   0 2p/N 1 4p/N N / WR(e j) / R = 4p/N  1= 3p/N  R = 4p/N 24 Loại cửa sổ Bề rộng đỉnh trung tâm  Tỷ số  Chữ nhật 4p/N -13 Tam giác 8p/N -27 Hanning 8p/N -32 Hamming 8p/N -43 Blackman 12p/N -58 CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG PHỔ CÁC HÀM CỬA SỔ  Để mạch lọc làm việc tốt thì cả 2 thông số  và  đều cần phải nhỏ, nhưng theo bảng ở trên thì thường 2 thông số này là tỉ lệ nghịch, nên chúng ta cần chọn hàm cửa sổ nào cho phù hợp với yêu cầu đề ra. 25 5.6 PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU TẦN SỐ 5.6.1 KHÁI NiỆM  Phương pháp cửa sổ có hạn chế là thường độ dài N của bộ lọc lớn, hơn nữa để tìm hàm cửa sổ thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật là không đơn giản.              k N N jN k Nd j d e k N N kH N eH p   p  2 11 0 ) 2 sin( 2 sin )( 1 )(  Gọi: hd(n) - đáp ứng xung của lọc số thiết kế Hd(e j) - đáp ứng tần số của lọc số thiết kế Hd(k) - DFT của hd(n)  Theo mối quan hệ giữa FT và DFT: 26 )( 1 0 2 1 )( ) 2 sin( 2 sin )( 1 )(  p  p  jj d k N jN k Nd N j j d eeAe k N N kH N eeH                Trong phương pháp lấy mẫu tần số, chúng ta sẽ làm gần đúng H(ej) của lọc số lý tưởng bằng 1 hàm Hd(e j) của lọc số thiết kế, Hd(e j) nhận được từ các mẫu H(k) bằng cách lấy mẫu H(ej) tại các tần số k=2pk/N                  2 1 )( ) 2 sin( 2 sin )( 1 )( 1 0 N e k N N kH N eA k N jN k Nd j d  p  p  27 5.7 PHƯƠNG PHÁP LẶP (TỐI ƯU) 5.7.1 KHÁI NIỆM  Phương pháp lặp cho phép chúng ta thiết kế bộ lọc với bậc N tối thiểu, nhờ phép tính gần đúng các hệ số của đáp ứng xung.  Độ lớn của đáp ứng tần số bộ lọc thiết kế có thể được biểu diễn bởi tích của 2 hàm: j j j dA ( e ) Q( e ).P( e )     Trong đó: Q(ej) - là 1 hàm cố định P(ej) - đối với các bộ lọc FIR có dạng sau: 0 os R j n P( e ) ( n )c ( n )      28 Độ lớn đáp ứng tần số của 4 loại lọc số FIR Loại bộ lọc Q(ej) P(ej) 1 1 2 cos(/2) 3 sin() 4 sin(/2) j j j dA ( e ) Q( e ).P( e )    1 2 0 os ( N )/ n a ( n )c ( n )    2 1 0 os ( N / ) n b ( n )c ( n )    [ 1 2]-1 0 os ( N )/ n c ( n )c ( n )    2 1 0 os ( N / ) n d ( n )c ( n )    29 5.7.2 TỐI ƯU THEO CHEBYSHEV 1 Ad(e j) 0 p c s  1-p s 1+p - s  Theo Chebyshev, cần tìm các hệ số (n) của P(ej) sao cho sai số giữa (độ lớn) đáp ứng biên độ của bộ lọc thiết kế và bộ lọc lý tưởng là nhỏ nhất 30 Wj j j jdE( e ) ( e ) A( e ) A ( e )         Sai số giữa bộ lọc thiết kế và lý tưởng được đánh giá: Trong đó: E(ej) – Hàm sai số W(ej) – Hàm trọng số A(ej) – Độ lớn đáp ứng tần số của lọc lý tưởng Ad(e j) – Độ lớn đáp ứng tần số của lọc thiết kế Wj j j jˆˆE( e ) ( e ) A( e ) P( e )        Nếu thay Ad(e j) = Q(ej).P(ej) vào hàm sai số, ta được: Với: W W và j j j j j j A( e )ˆˆ ( e ) ( e ).Q( e ) A( e ) Q( e )         31  axj jE( e ) min m E( e )   Tối ưu theo Chebyshev là tìm các hệ số (n) sao cho tối thiểu hóa giá trị sai số tuyệt đối lớn nhất theo biểu thức: Trong đó: /E(ej)/ – Sai số tuyệt đối //E(ej)// – Giá trị nhỏ nhất của sai số tuyệt đối cực đại 32