Giáo trình Vi tích phân A2 - Chương 4: Phương trình vi phân - Lê Hoài Nhân

ố hằng CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 2 / 31 Phương trình tách biến CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31 Phương trình tách biến Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31 Phương trình tách biến Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0. Tích phân tổng quát. ∫ M(x)dx + ∫ N(y)dy = C CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31 Phương trình tách biến Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0. Tích phân tổng quát. ∫ M(x)dx + ∫ N(y)dy = C Ví dụ 1. Giải phương trình: x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31 Phương trình tách biến Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0. Tích phân tổng quát. ∫ M(x)dx + ∫ N(y)dy = C Ví dụ 1. Giải phương trình: x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0. Ví dụ 2. Giải phương trình: y ′ = xy(y + 2). CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31 Phương trình tách biến Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0. Tích phân tổng quát. ∫ M(x)dx + ∫ N(y)dy = C Ví dụ 1. Giải phương trình: x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0. Ví dụ 2. Giải phương trình: y ′ = xy(y + 2). Ví dụ 3. Giải phương trình: y ′ = cos(x − y − 1). CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31 Phương trình thuần nhất CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0 CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0 Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì f (x , y) = f (1, y x ) = g( y x ), ∀x 6= 0 CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0 Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì f (x , y) = f (1, y x ) = g( y x ), ∀x 6= 0 Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm thuần nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0 Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì f (x , y) = f (1, y x ) = g( y x ), ∀x 6= 0 Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm thuần nhất. Cách giải. Đổi biến u = y x hay y = ux . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0 Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì f (x , y) = f (1, y x ) = g( y x ), ∀x 6= 0 Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm thuần nhất. Cách giải. Đổi biến u = y x hay y = ux . Suy ra: y ′ = dy dx = u + x . du dx CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0 Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì f (x , y) = f (1, y x ) = g( y x ), ∀x 6= 0 Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm thuần nhất. Cách giải. Đổi biến u = y x hay y = ux . Suy ra: y ′ = dy dx = u + x . du dx Thay y và y ′ vào phương trình ban đầu ta thu được phương trình tách biến theo u. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31 Phương trình thuần nhất Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x 2 − xy + y2 xy . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31 Phương trình thuần nhất Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x 2 − xy + y2 xy . Ví dụ 2. Giải phương trình: dy dx = y + √ x2 − y2 x với x > 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31 Phương trình thuần nhất Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x 2 − xy + y2 xy . Ví dụ 2. Giải phương trình: dy dx = y + √ x2 − y2 x với x > 0. Ví dụ 3. Giải phương trình: (2x + 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31 Phương trình thuần nhất Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x 2 − xy + y2 xy . Ví dụ 2. Giải phương trình: dy dx = y + √ x2 − y2 x với x > 0. Ví dụ 3. Giải phương trình: (2x + 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. Ví dụ 4. Giải phương trình: (x + y + 2)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31 Phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa. Phương trình P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 với ∂P ∂y = ∂Q ∂x được gọi là phương trình vi phân toàn phần. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 6 / 31 Phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa. Phương trình P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 với ∂P ∂y = ∂Q ∂x được gọi là phương trình vi phân toàn phần. Tích phân tổng quát. φ(x , y) = C với φ(x , y) là hàm thế của trường −→ F = P −→ i + Q −→ j CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 6 / 31 Phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa. Phương trình P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 với ∂P ∂y = ∂Q ∂x được gọi là phương trình vi phân toàn phần. Tích phân tổng quát. φ(x , y) = C với φ(x , y) là hàm thế của trường −→ F = P −→ i + Q −→ j Hàm φ(x , y) được xác định nhờ định lý bốn mệnh đề tương đương. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 6 / 31 Phương trình vi phân toàn phần Ví dụ 1. Giải phương trình: (3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 7 / 31 Phương trình vi phân toàn phần Ví dụ 1. Giải phương trình: (3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0. Ví dụ 2. Giải phương trình: (x + y − 1)dx + (ey + x)dy = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 7 / 31 Thừa số tích phân Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương trình vi phân toàn phần. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31 Thừa số tích phân Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương trình vi phân toàn phần. Định nghĩa. Hàm số µ = µ(x , y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình trên nếu phương trình µ(x , y).M(x , y)dx + µ(x , y).N(x , y)dy = 0 CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31 Thừa số tích phân Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương trình vi phân toàn phần. Định nghĩa. Hàm số µ = µ(x , y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình trên nếu phương trình µ(x , y).M(x , y)dx + µ(x , y).N(x , y)dy = 0 là phương trình vi phân toàn phần. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31 Thừa số tích phân Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương trình vi phân toàn phần. Định nghĩa. Hàm số µ = µ(x , y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình trên nếu phương trình µ(x , y).M(x , y)dx + µ(x , y).N(x , y)dy = 0 là phương trình vi phân toàn phần. Ví dụ. Hàm số µ(x , y) = ey là thừa số tích phân của phương trình dx + xdy = 0 vì phương trình eydx + xeydy = 0 là phương trình vi phân toàn phần. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31 Thừa số tích phân Trường hợp 1. Nếu M ′y − N ′ x N = f (x) - hàm một biến x thì phương trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(x) và µ(x) = e ∫ f (x)dx CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 9 / 31 Thừa số tích phân Trường hợp 1. Nếu M ′y − N ′ x N = f (x) - hàm một biến x thì phương trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(x) và µ(x) = e ∫ f (x)dx Ví dụ. Giải phương trình (2xy + x2y + y3 3 )dx + (x2 + y2)dy = 0 bằng cách tìm thừa số tích phân. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 9 / 31 Thừa số tích phân Trường hợp 2. Nếu N ′x −M ′ y M = f (y) - hàm một biến y thì phương trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(y) và µ(y) = e ∫ f (y)dy CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 10 / 31 Thừa số tích phân Trường hợp 2. Nếu N ′x −M ′ y M = f (y) - hàm một biến y thì phương trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(y) và µ(y) = e ∫ f (y)dy Ví dụ. Giải phương trình y(1 + xy)dx − xdy = 0 bằng cách tìm thừa số tích phân. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 10 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 11 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một Dạng thuần nhất. y ′ + P(x).y = 0 CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 11 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một Dạng thuần nhất. y ′ + P(x).y = 0 Nghiệm. y = C .e− ∫ P(x)dx CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 11 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng nhất 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng nhất 0. Nghiệm. y = e− ∫ P(x)dx (∫ Q(x)e ∫ P(x)dxdx + C ) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng nhất 0. Nghiệm. y = e− ∫ P(x)dx (∫ Q(x)e ∫ P(x)dxdx + C ) Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ − y sin x = 2xe− cos x với y(0) = 1. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31 Phương trình tuyến tính cấp một Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng nhất 0. Nghiệm. y = e− ∫ P(x)dx (∫ Q(x)e ∫ P(x)dxdx + C ) Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ − y sin x = 2xe− cos x với y(0) = 1. Ví dụ 2. Giải phương trình: y ′ − y tan x = sin x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31 Phương trình Bernulli CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31 Phương trình Bernulli Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là hằng số. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31 Phương trình Bernulli Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là hằng số. Cách giải. Chia hai vế của phương trình cho yα CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31 Phương trình Bernulli Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là hằng số. Cách giải. Chia hai vế của phương trình cho yα Đổi biến z = y1−α CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31 Phương trình Bernulli Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là hằng số. Cách giải. Chia hai vế của phương trình cho yα Đổi biến z = y1−α Thu được phương trình tuyến tính cấp một ẩn hàm z. Giải phương trình này và suy ra nghiệm y . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31 Phương trình Bernulli Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ + 1 x y = xy2. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 14 / 31 Phương trình Bernulli Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ + 1 x y = xy2. Ví dụ 2. Giải phương trình: dy dx .x3 sin y + 2y = x dy dx . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 14 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′ CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′ Dạng. y ′′ = f (x). CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′ Dạng. y ′′ = f (x). Cách giải. Lấy tích phân hai lần theo x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′ Dạng. y ′′ = f (x). Cách giải. Lấy tích phân hai lần theo x . Ví dụ. Giải phương trình y ′′ = x4. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y Dạng. F (x , y ′, y ′′) = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y Dạng. F (x , y ′, y ′′) = 0. Cách giải. Đặt z = y ′. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa y Dạng. F (x , y ′, y ′′) = 0. Cách giải. Đặt z = y ′. Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + 2y ′ = ex .y ′2. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa x CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa x Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa x Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0. Cách giải. Đặt z = y ′. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa x Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0. Cách giải. Đặt z = y ′.Suy ra: y ′′ = dz dx = dz dy . dy dx = z . dz dy . Thay vào phương trình, với y là biến tự do và ẩn hàm là z . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31 Phương trình giảm cấp được - không chứa x Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0. Cách giải. Đặt z = y ′.Suy ra: y ′′ = dz dx = dz dy . dy dx = z . dz dy . Thay vào phương trình, với y là biến tự do và ẩn hàm là z . Ví dụ. Giải phương trình y .y ′′ − y ′2 = 0 với y(0) = 1 và y ′(0) = 2. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0 CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0 Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = C1y1 + C2y2 CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0 Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = C1y1 + C2y2 với y1, y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính và C1,C2 là các hằng số. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0 Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = C1y1 + C2y2 với y1, y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính và C1,C2 là các hằng số. Công thức cầu phương Nếu y1 là một nghiệm riêng của phương trình thì y2 = y1. ∫ e− ∫ a1(x)dx y2 1 dx CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Ví dụ. hãy viết nghiệm tổng quát của phương trình x2(ln x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0 biết một nghiệm riêng của nó là y = x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 19 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = y + Y CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = y + Y với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một nghiệm riêng. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = y + Y với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một nghiệm riêng. Các bước giải. 1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = y + Y với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một nghiệm riêng. Các bước giải. 1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất. 2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = y + Y với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một nghiệm riêng. Các bước giải. 1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất. 2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. 3 Tổng hợp nghiệm. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x) Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng y = y + Y với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một nghiệm riêng. Các bước giải. 1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất. 2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. 3 Tổng hợp nghiệm. Ví dụ. Giải phương trình: y ′′ − y ′ x = x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số. Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số. Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2) Nghiệm tổng quát. 1 Nếu (2) có hai nghiệm k1, k2 phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là y = C1e k1x + C2e k2x CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số. Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2) Nghiệm tổng quát. 1 Nếu (2) có hai nghiệm k1, k2 phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là y = C1e k1x + C2e k2x 2 Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là y = ek0x(C1 + C2x) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số. Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2) Nghiệm tổng quát. 1 Nếu (2) có hai nghiệm k1, k2 phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là y = C1e k1x + C2e k2x 2 Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là y = ek0x(C1 + C2x) 3 Nếu (2) có hai nghiệm phức α± iβ thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là y = eαx(C1. cosβx + C2 sinβx) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. 2 y ′′ − 4y = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. 2 y ′′ − 4y = 0. 3 y ′′ + 2y ′ = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. 2 y ′′ − 4y = 0. 3 y ′′ + 2y ′ = 0. 4 y ′′ + 2y ′ + y = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. 2 y ′′ − 4y = 0. 3 y ′′ + 2y ′ = 0. 4 y ′′ + 2y ′ + y = 0. 5 y ′′ + 2y ′ + 2y = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. 2 y ′′ − 4y = 0. 3 y ′′ + 2y ′ = 0. 4 y ′′ + 2y ′ + y = 0. 5 y ′′ + 2y ′ + 2y = 0. 6 y ′′ + 9y = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0. 2 y ′′ − 4y = 0. 3 y ′′ + 2y ′ = 0. 4 y ′′ + 2y ′ + y = 0. 5 y ′′ + 2y ′ + 2y = 0. 6 y ′′ + 9y = 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x) Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x) Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát 1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x) Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát 1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất. 2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình (3) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x) Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát 1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất. 2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình (3) 3 Tổng hợp nghiệm. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 1. α không là nghiệm của phương trình đặc trưng. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 1. α không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxQn(x) với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 1. α không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxQn(x) với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = 4x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt và α là nghiệm của phương trình đặc trưng. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 25 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt và α là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxxQn(x) với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 25 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt và α là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxxQn(x) với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = ex(3− 4x). CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 25 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép và α là nghiệm của phương trình đặc trưng. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 26 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép và α là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxx2Qn(x) với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 26 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x) Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép và α là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxx2Qn(x) với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 4y ′ + 4y = 4.e2x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 26 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) Trường hợp 1. α± i .β không là nghiệm của phương trình đặc trưng. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) Trường hợp 1. α± i .β không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx) với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) Trường hợp 1. α± i .β không là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx) với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + y ′ − 2y = cos x − 3 sin x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) Trường hợp 2. α± i .β là nghiệm phức của phương trình đặc trưng. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) Trường hợp 2. α± i .β là nghiệm phức của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx) với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31 Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx) Trường hợp 2. α± i .β là nghiệm phức của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng Y = eαxx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx) với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất. Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + y = 4x . sin x . CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng