Giáo trình Vi tích phân A2 - Chương 3: Tích phân mặt - Lê Hoài Nhân

ông gian. Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diện tích của nó là ∆Si . CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 2 / 18 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên mặt cong S trong không gian. Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diện tích của nó là ∆Si . Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng In = n∑ i=1 f (Mi )∆Si . CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 2 / 18 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên mặt cong S trong không gian. Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diện tích của nó là ∆Si . Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng In = n∑ i=1 f (Mi )∆Si . Cho n→∞ sao cho max∆Si −→ 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 2 / 18 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên mặt cong S trong không gian. Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diện tích của nó là ∆Si . Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng In = n∑ i=1 f (Mi )∆Si . Cho n→∞ sao cho max∆Si −→ 0. Nếu lim n→∞ = I hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S, cách chọn các điểm Mi thì I được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm f (x , y , z) trên mặt cong S. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 2 / 18 Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên mặt cong S trong không gian. Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diện tích của nó là ∆Si . Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng In = n∑ i=1 f (Mi )∆Si . Cho n→∞ sao cho max∆Si −→ 0. Nếu lim n→∞ = I hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S, cách chọn các điểm Mi thì I được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm f (x , y , z) trên mặt cong S. Ký hiệu là I = ∫∫ S f (x , y , z)dS. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 2 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 1 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 3 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 1 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 3 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 1 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 3 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 1 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). Yếu tố diện tích mặt dS = √ 1+ z ′2x + z ′2y dxdy CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 3 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 1 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). Yếu tố diện tích mặt dS = √ 1+ z ′2x + z ′2y dxdy Công thức ∫∫ S f (x , y , z) = ∫∫ D f (.). √ 1+ z ′2x + z ′2y dxdy CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 3 / 18 Tích phân mặt loại 1 Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫ S (x2 + y2)dS với S là nửa trên của mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 4 / 18 Tích phân mặt loại 1 Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫ S (x2 + y2)dS với S là nửa trên của mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2. Hình: Mặt S : z = √ a2 − x2 − y2 và miền D : x2 + y2 ≤ a2 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 4 / 18 Tích phân mặt loại 1 Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫ S (x2 + y2)dS với S là biên của miền V : √ x2 + y2 ≤ z ≤ 1. Đs: pi √ 2 2 + pi 2 Hình: Mặt S : z = √ x2 + y2, z = 1 và miền D : x2 + y2 ≤ 1 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 5 / 18 Một số ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt cong. S = ∫∫ S dS. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 6 / 18 Một số ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt cong. S = ∫∫ S dS. Khối lượng mặt cong. Mặt cong S có khối lượng riêng tại mỗi điểm là δ(x , y , z) thì khối lượng của mặt là CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 6 / 18 Một số ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt cong. S = ∫∫ S dS. Khối lượng mặt cong. Mặt cong S có khối lượng riêng tại mỗi điểm là δ(x , y , z) thì khối lượng của mặt là m = ∫∫ S δ(x , y , z)dS CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 6 / 18 Tích phân mặt loại 2 Định nghĩa Mặt định hướng là mặt cong được trang bị một trường vector pháp tuyến đơn vị, biến thiên liên tục trên nó. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 7 / 18 Tích phân mặt loại 2 Định nghĩa Mặt định hướng là mặt cong được trang bị một trường vector pháp tuyến đơn vị, biến thiên liên tục trên nó. Biểu thức tích phân mặt loại 2. I = ∫∫ S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 7 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 2 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 8 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 2 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 8 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 2 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). Công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 8 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 2 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). Công thức ∫∫ S Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫ D ( P ( −∂z ∂x ) + Q. ( −∂z ∂y ) + R ) dxdy CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 8 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 2 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x , y) với (x , y) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy). Công thức ∫∫ S Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫ D ( P ( −∂z ∂x ) + Q. ( −∂z ∂y ) + R ) dxdy với dấu "+" tương ứng tích phân lấy theo phía trên của S và dấu "−" tương ứng tích phân lấy theo phía dưới của S. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 8 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = ∫∫ S xdydz + dzdx + xz2dxdy với S là phần tám thứ nhất của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1. Tích phân lấy theo phía trên của S. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 9 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = ∫∫ S xdydz + dzdx + xz2dxdy với S là phần tám thứ nhất của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1. Tích phân lấy theo phía trên của S. Hình: Mặt S : z = √ 1− x2 − y2 và miền D : x2 + y2 ≤ 1, (x , y ≥ 0) CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 9 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = ∫∫ S (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy với S là biên của hình nón giới hạn bởi z = √ x2 + y2 và z = 1. Tích phân lấy theo phía ngoài của S. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 10 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = ∫∫ S (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy với S là biên của hình nón giới hạn bởi z = √ x2 + y2 và z = 1. Tích phân lấy theo phía ngoài của S. Hình: Mặt S : z = √ x2 + y2, z = 1 và miền D : x2 + y2 ≤ 1 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 10 / 18 Định lý Gauss - Ostrogradski Định lý Nếu P ,Q,R là các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên miền hữu hạn V thì ∫∫ © S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ V ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ) dxdydz trong đó S là biên của miền V và tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 11 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫ © S xydydz + yzdzdx + zxdxdy với S là biên của hình chóp giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 12 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫ © S xdydz + ydzdx + zdxdy với S là mặt cầu tâm O, bán kính a. Tích phân lấy theo phía ngoài của S. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 13 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫ © S x3dydz + y3dzdx + z3dxdy với S là nửa trên của mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, tích phân lấy theo phía trên của S. Hình: Mặt S : z = √ a2 − x2 − y2 và miền D : x2 + y2 ≤ a2 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 14 / 18 Định lý Stokes Định lý Nếu P ,Q,R là các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên mặt cong hữu hạn S thì ∮ L Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ S ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) dydz + ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) dzdx + ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy trong đó L là biên của mặt cong S, hướng lấy tích phân mặt và chiều lấy tích phân đường tuân thủ quy tắc vặn nút chai. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 15 / 18 Định lý Stokes Ví dụ Tính tích phân I = ∮ L (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz với L là giao tuyến của mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 và mặt phẳng x + y + z = 0. Tích phân lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương của trục Oz. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 16 / 18 Định lý Stokes CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 17 / 18 HẾT CHƯƠNG 3 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 2013 18 / 18