Giáo trình Vi tích phân A2 - Chương 2: Tích phân bội - Lê Hoài Nhân

Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý TÍCH PHÂN BỘI 1 Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực 2 Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu 3 Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Cho hàm số z = f (x , y) xác định trên miền D. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Phân hoạch miền D thành n miền con, diện tích của mỗi miền con là ∆Si với i = 1, 2, ..., n. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Phân hoạch miền D thành n miền con, diện tích của mỗi miền con là ∆Si với i = 1, 2, ..., n. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Trên mỗi miền con ∆Si TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Trên mỗi miền con ∆Si ta chọn tùy ý điểm Mi(xi , yi ) và TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Trên mỗi miền con ∆Si ta chọn tùy ý điểm Mi(xi , yi ) và lập tổng In = n∑ i=1 f (xi , yi)∆Si . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Cho n → ∞ sao cho max∆Si → 0. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Cho n → ∞ sao cho max∆Si → 0. Nếu lim n→∞ In = I tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn Mi thì: TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Cho n → ∞ sao cho max∆Si → 0. Nếu lim n→∞ In = I tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn Mi thì: Ta nói hàm f khả tích trên D và I là tích phân của f trên D. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Định nghĩa Cho n → ∞ sao cho max∆Si → 0. Nếu lim n→∞ In = I tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn Mi thì: Ta nói hàm f khả tích trên D và I là tích phân của f trên D. Ký hiệu: I = ∫∫ D f (x , y)dA = ∫∫ D f (x , y)dxdy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát Ý tưởng cơ bản là chuyển tích phân hai lớp về tích phân xác định với số biến giảm dần và thứ tự lấy tích phân khác nhau. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát Ý tưởng cơ bản là chuyển tích phân hai lớp về tích phân xác định với số biến giảm dần và thứ tự lấy tích phân khác nhau. Ta xét ba trường hợp của miền D: Hình chữ nhật, Hình thang loại 1 và hình thang loại 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , và y = d . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , và y = d . Một điểm M(x , y) ∈ D có tính chất: TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , và y = d . Một điểm M(x , y) ∈ D có tính chất: { a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , và y = d . Một điểm M(x , y) ∈ D có tính chất: { a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d . Công thức: TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , và y = d . Một điểm M(x , y) ∈ D có tính chất: { a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d . Công thức: ∫∫ D f (x , y)dxdy = b∫ a dx d∫ c f (x , y)dy = d∫ c dy b∫ a f (x , y)dx TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: x = a, x = b, y = c , và y = d . Một điểm M(x , y) ∈ D có tính chất: { a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d . Công thức: ∫∫ D f (x , y)dxdy = b∫ a dx d∫ c f (x , y)dy = d∫ c dy b∫ a f (x , y)dx Đặc biệt nếu f (x , y) = f1(x).f2(y) thì ∫∫ D f (x , y)dxdy = b∫ a f1(x)dx d∫ c f2(y)dy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Ví dụ Ví dụ 1. Tính I = ∫∫ D (4− x − y)dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình chữ nhật - Ví dụ Ví dụ 1. Tính I = ∫∫ D (4− x − y)dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2. Ví dụ 2. Tính J = ∫∫ D x ln ydxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = ϕ(x) TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = ϕ(x) y = ψ(x) TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = ϕ(x) y = ψ(x) x = a TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = ϕ(x) y = ψ(x) x = a x = b TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = ϕ(x) y = ψ(x) x = a x = b TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Nếu Điểm M(x , y) ∈ D thì { a ≤ x ≤ b ψ(x) ≤ y ≤ ϕ(x) . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Nếu Điểm M(x , y) ∈ D thì { a ≤ x ≤ b ψ(x) ≤ y ≤ ϕ(x) . Công thức tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 Nếu Điểm M(x , y) ∈ D thì { a ≤ x ≤ b ψ(x) ≤ y ≤ ϕ(x) . Công thức tích phân trên hình thang loại 1 ∫∫ D f (x , y)dxdy = b∫ a dx ϕ(x)∫ ψ(x) f (x , y)dy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫ D (4x + 2)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x , y = x2, x = 1 và x = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫ D (4x + 2)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x , y = x2, x = 1 và x = 2. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫ D (4x + 2)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x , y = x2, x = 1 và x = 2. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫ D (x3 + xy)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 và y = √ x . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫ D (x3 + xy)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 và y = √ x . Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫ D (x3 + xy)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 và y = √ x . Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 3. Tính ∫∫ D 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 3. Tính ∫∫ D 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 3. Tính ∫∫ D 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ Ví dụ 3. Tính ∫∫ D 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Hình thang loại 2 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Hình thang loại 2 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = ϕ(y) TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Hình thang loại 2 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = ϕ(y) x = ψ(y) TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Hình thang loại 2 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = ϕ(y) x = ψ(y) y = c TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Hình thang loại 2 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = ϕ(y) x = ψ(y) y = c y = d TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Điểm M(x , y) ∈ D thì (x , y) thỏa { c ≤ y ≤ d ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Điểm M(x , y) ∈ D thì (x , y) thỏa { c ≤ y ≤ d ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) Công thức tích phân trên hình thang loại 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức Điểm M(x , y) ∈ D thì (x , y) thỏa { c ≤ y ≤ d ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) Công thức tích phân trên hình thang loại 2. ∫∫ D f (x , y)dxdy = d∫ c dy ψ(y)∫ ϕ(y) f (x , y)dx TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân ∫∫ D (x − y)dxdy , trong đó, D là miền giới hạn bởi các đường y = −1, y = 1, x = y2 và y = x + 1. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân ∫∫ D (x − y)dxdy , trong đó, D là miền giới hạn bởi các đường y = −1, y = 1, x = y2 và y = x + 1. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân ∫∫ D (x − y)dxdy , trong đó, D là miền giới hạn bởi các đường y = −1, y = 1, x = y2 và y = x + 1. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Hãy tính tích phân kép sau: 2∫ 0 dx 4−x2∫ 0 x .e2y 4− y dy . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Hãy tính tích phân kép sau: 2∫ 0 dx 4−x2∫ 0 x .e2y 4− y dy . Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Hãy tính tích phân kép sau: 2∫ 0 dx 4−x2∫ 0 x .e2y 4− y dy . Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 3. Tính ∫∫ D 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 3. Tính ∫∫ D 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Miền D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích ... Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 D là hình thang loại 2 thì V :   c ≤ y ≤ d ψ(y) ≤ x ≤ ϕ(y) z1(x , y) ≤ z ≤ z2(x , y) Công thức: ∫∫∫ V f (x , y , z)dxdydz = d∫ c dy ϕ(y)∫ ψ(y) dx z2(x ,y)∫ z1(x ,y) f (x , y , z)dz TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. Miền V và hình chiếu D trên mặt phẳng Oxy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. Miền V và hình chiếu D trên mặt phẳng Oxy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. Miền V và hình chiếu D trên mặt phẳng Oxy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. Miền V và hình chiếu D trên mặt phẳng Oxy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. Miền V và hình chiếu D trên mặt phẳng Oxy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Cách tính tổng quát - D là hình thang loại 2 - Ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, y = 0 và z = 0. Miền V và hình chiếu D trên mặt phẳng Oxy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật V là hình hình hộp chữ nhật thì V :   a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d g ≤ z ≤ h . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật V là hình hình hộp chữ nhật thì V :   a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d g ≤ z ≤ h . Công thức: ∫∫∫ V f (x , y , z)dxdydz = b∫ a dx d∫ c dy h∫ g f (x , y , z)dz TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật và hàm f tách biến V có dạng V :   a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d g ≤ z ≤ h . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật và hàm f tách biến V có dạng V :   a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d g ≤ z ≤ h . và f (x , y , z) = f1(x).f2(y).f3(z) TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật và hàm f tách biến V có dạng V :   a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d g ≤ z ≤ h . và f (x , y , z) = f1(x).f2(y).f3(z) ta có công thức: ∫∫∫ V f (x , y , z)dxdydz = b∫ a f1(x)dx d∫ c f2(y)dy h∫ g f3(z)dz TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật - Ví dụ Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz với miền V thỏa 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 5 và 2 ≤ z ≤ 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Trường hợp đặc biệt - V là miền hình hộp chữ nhật - Ví dụ Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ V 1 1− x − y dxdydz với miền V thỏa 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 5 và 2 ≤ z ≤ 4. Ví dụ 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ V xyzdxdydz với miền V thỏa 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2pi và 0 ≤ z ≤ 1. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Đổi biến tổng quát Giả sử, hệ phương trình  x = x(u, v ,w) y = y(u, v ,w) z = z(u, v ,w) xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ V ′ vào V; TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Đổi biến tổng quát Giả sử, hệ phương trình  x = x(u, v ,w) y = y(u, v ,w) z = z(u, v ,w) xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ V ′ vào V; x , y , z là những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên V ′ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Đổi biến tổng quát Giả sử, hệ phương trình  x = x(u, v ,w) y = y(u, v ,w) z = z(u, v ,w) xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ V ′ vào V; x , y , z là những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên V ′ và J = ∣∣∣∣∣∣ x ′u x ′ v x ′ w y ′u y ′ v y ′ w z ′u z ′ v z ′ w ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Đổi biến tổng quát Giả sử, hệ phương trình  x = x(u, v ,w) y = y(u, v ,w) z = z(u, v ,w) xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ V ′ vào V; x , y , z là những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên V ′ và J = ∣∣∣∣∣∣ x ′u x ′ v x ′ w y ′u y ′ v y ′ w z ′u z ′ v z ′ w ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 thì∫∫∫ V f (x , y , z)dxdydz =∫∫∫ V ′ f (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))|J|dudvdw . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Công thức đổi biến Tọa độ trụ của điểm M(x , yz) có dạng M(r , ϕ, z), trong đó điểm (r , ϕ) là tọa độ cực của M ′(x , y , 0) trong mặt phẳng Oxy . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Công thức đổi biến Tọa độ trụ của điểm M(x , yz) có dạng M(r , ϕ, z), trong đó điểm (r , ϕ) là tọa độ cực của M ′(x , y , 0) trong mặt phẳng Oxy . Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ trụ thể hiện qua phép biến đổi: TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Công thức đổi biến Tọa độ trụ của điểm M(x , yz) có dạng M(r , ϕ, z), trong đó điểm (r , ϕ) là tọa độ cực của M ′(x , y , 0) trong mặt phẳng Oxy . Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ trụ thể hiện qua phép biến đổi:   x = r cosϕ y = r sinϕ z = z TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Công thức đổi biến Tọa độ trụ của điểm M(x , yz) có dạng M(r , ϕ, z), trong đó điểm (r , ϕ) là tọa độ cực của M ′(x , y , 0) trong mặt phẳng Oxy . Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ trụ thể hiện qua phép biến đổi:   x = r cosϕ y = r sinϕ z = z Phép biến đổi này có Jacobian J = r . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Công thức đổi biến Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Công thức đổi biến Công thức đổi biến∫∫∫ V f (x , y , z)dxdydz = ∫∫∫ V ′ f (r cosϕ, r sinϕ, z).r .drdϕdz . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 1. Tính ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, y = x (phần x > 0), z = 0 và z = 2. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫∫ V zdxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫∫ V zdxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫∫ V zdxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫∫ V zdxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫∫ V zdxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 2. Tính ∫∫∫ V zdxdydz biết V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ trụ - Ví dụ Ví dụ 3. Tính tích phân lặp I = 2a∫ 0 dx √ 2ax−x2∫ − √ 2ax−x2 dy √ 4a2−x2−y2∫ 0 dz . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ cầu Tọa độ cầu của một điểm M trong không gian gồm (r , θ, ϕ) với r = OM θ = ( −→ Oz , −−→ OM) ϕ = ( −→ Ox , −−→ OM ′), M ′ là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ cầu Tọa độ cầu của một điểm M trong không gian gồm (r , θ, ϕ) với r = OM θ = ( −→ Oz , −−→ OM) ϕ = ( −→ Ox , −−→ OM ′), M ′ là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy . Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ cầu   x = r cosϕ sin θ y = r sinϕ sin θ z = r cos θ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tọa độ cầu Tọa độ cầu của một điểm M trong không gian gồm (r , θ, ϕ) với r = OM θ = ( −→ Oz , −−→ OM) ϕ = ( −→ Ox , −−→ OM ′), M ′ là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy . Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ cầu   x = r cosϕ sin θ y = r sinϕ sin θ z = r cos θ Phép biến đổi này có Jacobian: J = r2 sin θ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Công thức tích phân trong tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Công thức tích phân trong tọa độ cầu Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Công thức tích phân trong tọa độ cầu Công thức ∫∫∫ V f (x , y , z)dxdydz = ∫∫∫ V ′ f (r cosϕ sin θ, r sinϕ sin θ, r cos θ).r2 sin θdϕdθdr TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ V zdxdydz với V là miền giới hạn bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 và mặt nón z = √ x2 + y2 (phần phía trong mặt nón). TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫∫∫ V (x2 + y2 + z2)dxdydz với V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 và x2 + y2 + z2 = b2 (a < b), phần nằm phía trên mặt phẳng Oxy . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ V √ x2 + y2 + z2dxdydz với V là miền hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ z . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ V √ x2 + y2 + z2dxdydz với V là miền hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ z . BTVN. Hãy tính tích phân trên với V là một trong các miền hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ x và x2 + y2 + z2 ≤ y . TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng Diện tích miền D trong hệ tọa độ Oxy SD = ∫∫ D dxdy TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng Diện tích miền D trong hệ tọa độ Oxy SD = ∫∫ D dxdy Diện tích miền D trong tọa độ cực SD = ∫∫ D r .drdϕ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4y − y2 và x + y = 6. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4y − y2 và x + y = 6. TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x , x = 2y , x + y = 2 và x + 3y = 2. TÍCH