CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
VI TÍCH PHÂN A2
CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN
CBGD. Lê Hoài Nhân
Ngày 12 tháng 5 năm 2013
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
l
208 trang |
Chia sẻ: huongnhu95 | Lượt xem: 546 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Giáo trình Vi tích phân A2 - Chương 1: Hàm nhiều biến - Lê Hoài Nhân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ớn nhất
Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến
1 Khái niệm
2 Hàm nhiều biến
3 Giới hạn và tính liên tục
4 Đạo hàm riêng
5 Vi phân
6 Cực trị
7 Cực trị có điều kiện
8 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Khái niệm
1 Không gian Rn: là tập hợp gồm các phần tử có dạng
x = (x1, x2, ..., xn) với xi ∈ R.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Khái niệm
1 Không gian Rn: là tập hợp gồm các phần tử có dạng
x = (x1, x2, ..., xn) với xi ∈ R.
2 Khoảng cách trong Rn: Cho x , y ∈ Rn. Khoảng các giữa
x và y được xác định bởi công thức
d(x , y) =
√
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + ...+ (yn − xn)2.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Khái niệm
1 Không gian Rn: là tập hợp gồm các phần tử có dạng
x = (x1, x2, ..., xn) với xi ∈ R.
2 Khoảng cách trong Rn: Cho x , y ∈ Rn. Khoảng các giữa
x và y được xác định bởi công thức
d(x , y) =
√
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + ...+ (yn − xn)2.
3 Các tập hợp phẳng (xem giáo trình trang 4): Lân cận,
điểm trong, điểm biên, tập mở, tập đóng, phần trong, sự
liên thông, miền và miền hữu hạn.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa
Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ:
f : D 7−→ R
x 7−→ u = f (x)
Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa
Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ:
f : D 7−→ R
x 7−→ u = f (x)
Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn).
n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x , y là z = f (x , y).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa
Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ:
f : D 7−→ R
x 7−→ u = f (x)
Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn).
n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x , y là z = f (x , y).
n = 3 ta ký hiệu hàm ba biến x , y , z là u = f (x , y , z).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa
Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ:
f : D 7−→ R
x 7−→ u = f (x)
Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn).
n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x , y là z = f (x , y).
n = 3 ta ký hiệu hàm ba biến x , y , z là u = f (x , y , z).
Tập xác định của hàm nhiều biến là tập hợp tất cả các
điểm trong Rn sao cho biểu thức u = f (x1, x2, ..., xn) có
nghĩa.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có
miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0}
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có
miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0}
Ví dụ 2. Hàm số z =
√
1− x2 − y2 là hàm hai biến xác
định trên hình tròn đóng D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có
miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0}
Ví dụ 2. Hàm số z =
√
1− x2 − y2 là hàm hai biến xác
định trên hình tròn đóng D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
Ví dụ 3. Hàm số u = ln(4− x2 − y2 − z2) là hàm ba biến
xác định trên miền
Ω = {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 4}.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có
miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0}
Ví dụ 2. Hàm số z =
√
1− x2 − y2 là hàm hai biến xác
định trên hình tròn đóng D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
Ví dụ 3. Hàm số u = ln(4− x2 − y2 − z2) là hàm ba biến
xác định trên miền
Ω = {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 4}.
F Hãy biểu diễn hình học các tập xác định trên.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x , y) thường là mặt
cong S trong không gian mà hình chiếu của S trên mặt
phẳng Oxy là tập xác định D của hàm số.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x , y) thường là mặt
cong S trong không gian mà hình chiếu của S trên mặt
phẳng Oxy là tập xác định D của hàm số.
Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số z = sin x + sin y + sin(x + y)
với miền xác định 0 ≤ x ≤ pi
2
, 0 ≤ y ≤ pi
2
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x , y) thường là mặt
cong S trong không gian mà hình chiếu của S trên mặt
phẳng Oxy là tập xác định D của hàm số.
Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số z = sin x + sin y + sin(x + y)
với miền xác định 0 ≤ x ≤ pi
2
, 0 ≤ y ≤ pi
2
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 5. Đồ thị của hàm số z = 1− x − y với 0 ≤ x ≤ 1
và 0 ≤ y ≤ 1− x là một tam giác có các đỉnh là
A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C (0, 0, 1). Hình chiếu của tam
giác ABC trên mặt phẳng Oxy là tam giác OAB .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 5. Đồ thị của hàm số z = 1− x − y với 0 ≤ x ≤ 1
và 0 ≤ y ≤ 1− x là một tam giác có các đỉnh là
A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C (0, 0, 1). Hình chiếu của tam
giác ABC trên mặt phẳng Oxy là tam giác OAB .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số z =
√
x2 + y2 là mặt nón
tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số z =
√
x2 + y2 là mặt nón
tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 7. Đồ thị của hàm số z = x2 + y2 là mặt
Paraboleloid tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 7. Đồ thị của hàm số z = x2 + y2 là mặt
Paraboleloid tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 8. Đồ thị của hàm số z =
√
1− x2 − y2 là nửa
trên của mặt cầu tâm O bán kính 1.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 8. Đồ thị của hàm số z =
√
1− x2 − y2 là nửa
trên của mặt cầu tâm O bán kính 1.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 9. Đồ thị của hàm số z = 1
2
x2 là mặt trụ Parabol
có đường sinh song song với trục Oy .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Ví dụ 9. Đồ thị của hàm số z = 1
2
x2 là mặt trụ Parabol
có đường sinh song song với trục Oy .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Đường mức
Định nghĩa Cho hàm số z = f (x , y), C là số thực thuộc
miền giá trị của hàm số. Phương trình f (x , y) = C xác
định một đường cong trong mặt phẳng Oxy , đường cong
này được gọi là đường mức (đẳng trị) của hàm số.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn đường mức
Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x =
√
x2 + y2
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn đường mức
Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x =
√
x2 + y2
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn đường mức
Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x =
√
x2 + y2
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn đường mức
Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong
x2 + (y − z)2 = 2z2 với z ≥ 0.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn đường mức
Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong
x2 + (y − z)2 = 2z2 với z ≥ 0.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Biểu diễn đường mức
Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong
x2 + (y − z)2 = 2z2 với z ≥ 0.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Mặt mức
Định nghĩa Cho hàm số u = f (x , y , z) và C là số thực
thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình
f (x , y , z) = C xác định một mặt cong trong không gian
Oxy , mặt cong này được gọi là mặt mức.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Mặt mức
Định nghĩa Cho hàm số u = f (x , y , z) và C là số thực
thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình
f (x , y , z) = C xác định một mặt cong trong không gian
Oxy , mặt cong này được gọi là mặt mức.
Biểu diễn mặt mức Các mặt mức của hàm số
f (x , y , z) = x2 − z .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Mặt mức
Định nghĩa Cho hàm số u = f (x , y , z) và C là số thực
thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình
f (x , y , z) = C xác định một mặt cong trong không gian
Oxy , mặt cong này được gọi là mặt mức.
Biểu diễn mặt mức Các mặt mức của hàm số
f (x , y , z) = x2 − z .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa
Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y), số L được gọi là giới
hạn của hàm f khi x → x0, y → y0 nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 :
với mọi (x , y) thỏa
√
(x − x0)2 − (y − y0)2 < δ ta có
|f (x , y) − L| < ε.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa
Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y), số L được gọi là giới
hạn của hàm f khi x → x0, y → y0 nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 :
với mọi (x , y) thỏa
√
(x − x0)2 − (y − y0)2 < δ ta có
|f (x , y) − L| < ε.
Tính chất Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
lim
(x,y)→(a,b)
x2y = a2b.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
lim
(x,y)→(a,b)
x2y = a2b.
lim
(x,y)→( pi3 ,2)
x . sin
x
y
= 2 sin
pi
6
= 1.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
lim
(x,y)→(a,b)
x2y = a2b.
lim
(x,y)→( pi3 ,2)
x . sin
x
y
= 2 sin
pi
6
= 1.
Ví dụ 13. lim
(x ,y)→(0,a)
sin xy
x
?
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
lim
(x,y)→(a,b)
x2y = a2b.
lim
(x,y)→( pi3 ,2)
x . sin
x
y
= 2 sin
pi
6
= 1.
Ví dụ 13. lim
(x ,y)→(0,a)
sin xy
x
?
Ví dụ 14. lim
(x ,y)→(∞,a)
(
1+
1
x
) x2
x+y
?
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
lim
(x,y)→(a,b)
x2y = a2b.
lim
(x,y)→( pi3 ,2)
x . sin
x
y
= 2 sin
pi
6
= 1.
Ví dụ 13. lim
(x ,y)→(0,a)
sin xy
x
?
Ví dụ 14. lim
(x ,y)→(∞,a)
(
1+
1
x
) x2
x+y
?
Ví dụ 15. lim
(x ,y)→(∞,∞)
(
xy
x2 + y2
)x2
?
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ về tính giới hạn
Ví dụ 12.
lim
(x,y)→(2,3)
(2x − y2) = 4− 9 = −5.
lim
(x,y)→(a,b)
x2y = a2b.
lim
(x,y)→( pi3 ,2)
x . sin
x
y
= 2 sin
pi
6
= 1.
Ví dụ 13. lim
(x ,y)→(0,a)
sin xy
x
?
Ví dụ 14. lim
(x ,y)→(∞,a)
(
1+
1
x
) x2
x+y
?
Ví dụ 15. lim
(x ,y)→(∞,∞)
(
xy
x2 + y2
)x2
?
Ví dụ 16. lim
(x ,y)→(∞,∞)
x + y
x2 − xy + y2 ?
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại
Ví dụ 17. lim
(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại
Ví dụ 17. lim
(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
Ví dụ 18. lim
(x ,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại
Ví dụ 17. lim
(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
Ví dụ 18. lim
(x ,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
.
Ví dụ 19. lim
(x ,y)→(0,0)
y(x2 + y2)
y2 + (x2 + y2)2
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Chứng minh giới hạn không tồn tại
Ví dụ 17. lim
(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
Ví dụ 18. lim
(x ,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
.
Ví dụ 19. lim
(x ,y)→(0,0)
y(x2 + y2)
y2 + (x2 + y2)2
.
Ví dụ 20. lim
(x ,y)→(0,0)
3
√
x3 + y3 − x − y√
x2 + y2
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Hàm số liên tục
Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y) xác định trong tại
(x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x , y) liên tục tại (x0, y0) nếu
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Hàm số liên tục
Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y) xác định trong tại
(x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x , y) liên tục tại (x0, y0) nếu
lim
(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Hàm số liên tục
Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y) xác định trong tại
(x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x , y) liên tục tại (x0, y0) nếu
lim
(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0).
Một hàm số không liên tục tại (x0, y0) thì ta nói hàm số
gián đoạn tại (x0, y0).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0):
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0):
f (x , y) =
x2y
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0):
f (x , y) =
x2y
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Hàm số liên tục - Chú ý
Hàm số z = f (x , y) gián đoạn tại (x0; y0) nếu một trong các
điều kiện sau đây xảy ra:
f (x , y) không xác định tại (x0; y0).
lim
(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) không tồn tại.
f (x , y) xác định tại (x0; y0) và lim
(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) tồn tại
nhưng
lim
(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) 6= f (x0, y0).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0):
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0):
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Ví dụ
Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0):
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Các ví dụ
Ví dụ 23. Nên định nghĩa giá trị f (0, 0) bằng bao nhiêu
để hàm số f (x , y) =
x2 + y2 − x3y3
x2 + y2
, (x , y) 6= (0, 0) liên
tục tại gốc.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định lý Weierstrass
Định lý Weierstrass. Nếu hàm số f (x , y) liên tục trên
tập D đóng bị chặn thì f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất trên D.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa đạo hàm riêng
Cho hàm số f (x , y) xác định tại (x0, y0) và lân cận. Đạo hàm
riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định
nhờ biểu thức:
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa đạo hàm riêng
Cho hàm số f (x , y) xác định tại (x0, y0) và lân cận. Đạo hàm
riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định
nhờ biểu thức:
∂f
∂x
(x0, y0) = f
′
x(x0, y0) = lim
∆x→0
f (x0 +∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Định nghĩa đạo hàm riêng
Cho hàm số f (x , y) xác định tại (x0, y0) và lân cận. Đạo hàm
riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định
nhờ biểu thức:
∂f
∂x
(x0, y0) = f
′
x(x0, y0) = lim
∆x→0
f (x0 +∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
∂f
∂y
(x0, y0) = f
′
y(x0, y0) = lim
∆y→0
f (x0, y0 +∆y)− f (x0, y0)
∆y
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Các ví dụ
Ví dụ 24. Cho hàm số
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
Tính
∂f
∂x
(0, 0) và
∂f
∂y
(0, 0).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Các ví dụ
Ví dụ 24. Cho hàm số
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
Tính
∂f
∂x
(0, 0) và
∂f
∂y
(0, 0).
Ví dụ 25. Tính z ′x và z ′y nếu z = x2. sin y .
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Các ví dụ
Ví dụ 24. Cho hàm số
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
Tính
∂f
∂x
(0, 0) và
∂f
∂y
(0, 0).
Ví dụ 25. Tính z ′x và z ′y nếu z = x2. sin y .
Ví dụ 26. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
z = exy cos(x + y).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Các ví dụ
Ví dụ 24. Cho hàm số
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
Tính
∂f
∂x
(0, 0) và
∂f
∂y
(0, 0).
Ví dụ 25. Tính z ′x và z ′y nếu z = x2. sin y .
Ví dụ 26. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
z = exy cos(x + y).
Ví dụ 27. Cho hàm số u = 1
x2 + y2 + z2
. Chứng minh:
x .u′x + y .u
′
y + z .u
′
z = −2u.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Chú ý
Tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm riêng của hàm nhiều
biến là độc lập với nhau, tức là có những hàm số gián
đoạn tại (x0, y0) nhưng vẫn tồn tại đạo hàm tại điểm đó.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Chú ý
Tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm riêng của hàm nhiều
biến là độc lập với nhau, tức là có những hàm số gián
đoạn tại (x0, y0) nhưng vẫn tồn tại đạo hàm tại điểm đó.
Ví dụ 28. Hàm số
f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0
gián đoạn tại (0, 0) nhưng nó vẫn có các đạo hàm riêng
tại (0, 0).
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp
Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và
v = v(x , y). Hãy tính
∂f
∂x
và
∂f
∂y
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp
Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và
v = v(x , y). Hãy tính
∂f
∂x
và
∂f
∂y
.
Điều kiện tồn tại Định lý 5.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp
Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và
v = v(x , y). Hãy tính
∂f
∂x
và
∂f
∂y
.
Điều kiện tồn tại Định lý 5.
Công thức
∂f
∂x
=
∂f
∂u
.
∂u
∂x
+
∂f
∂v
.
∂v
∂x
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp
Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và
v = v(x , y). Hãy tính
∂f
∂x
và
∂f
∂y
.
Điều kiện tồn tại Định lý 5.
Công thức
∂f
∂x
=
∂f
∂u
.
∂u
∂x
+
∂f
∂v
.
∂v
∂x
∂f
∂y
=
∂f
∂u
.
∂u
∂y
+
∂f
∂v
.
∂v
∂y
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
lớn nhất
Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ
Ví dụ 29. Cho z = sin(u2v) và u = xy2, v = x2 + 1
y
. Hãy
tính
∂z
∂x
và
∂z
∂y
.
CHƯƠNG 1.
HÀM NHIỀU
BIẾN
CBGD. Lê
Hoài Nhân
Mục lục
Khái niệm
Hàm nhiều
biến
Giới hạn và
tính liên tục
Đạo hàm riêng
Vi phân
Cực trị
Cực trị có điều
kiện
Giá trị nhỏ
nhất và giá trị
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- giao_trinh_vi_tich_phan_a2_chuong_1_ham_nhieu_bien_le_hoai_n.pdf