Giáo trình Trường điện từ

      xyyxzxxzyzzy zyx zyx babakbabajbabai bbb aaa kji ba       b,acosbab.a    cba   Phương:  b,ac   Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn:  b,asinbac         b.a.cc.a.bcba   2. Toán tử nabla Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 2              z , y , x 3. Gradient z U k y U j x U iU.gradU           4. Divergence z a y a x a a.adiv z yx           5. Rotary                                          y a x a k x a z a j z a y a i aaa zyx kji aarot x yzxyz zyx    Số phức Hàm mũ  ysiniycoseee xiyxz   Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2i. Thực vậy, ta có 1k2sinik2cose ik2  Suy ra zik2zik2z ee.ee   Công thức Euler eiy = cosy +isiny Khi đó số phức z = r ei = r(cos +isin) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21  (1) Trong đó: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 3 a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a1, a2  const  (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0yayay 21  (2) a1, a2 là các hàm của biến x Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi     const xy xy 2 1  , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21  (3) Trong đó: a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x)  0 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 4 Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất )x(f)x(fyayay 2121  (4) Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 121  (5) và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 221  (6) thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0qyypy  (7) p, q là các hằng số Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng kxey  (8) Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định Suy ra kxkey  , kx2eky  (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có   0qpkke 2kx  (10) Vì ekx  0 nên 0qpkk2  (11) Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1 và k2 như sau - k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 5 xk 1 1ey  , xk2 2ey  (12) Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì   conste y y xkk 2 1 21   (13) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là xk 2 xk 121 21 eCeCyyy  (14) - k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: xk1 1ey  , xk2 1xey  Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là   xk21 xk 2 xk 1 111 exCCxeCeCy  (15) - k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 =  + i và k2 =  - i Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là     xixxi 2 xixxi 1 eeey eeey       (16) Theo công thức Euler ta có xsinixcose xsinixcose xi xi     (17) Suy ra    xsinixcoseeey xsinixcoseeey xxix 2 xxix 1       (18) Nếu  1y và  2y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm xsine i2 yy y xcose 2 yy y x21 2 x21 1           (19) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 6 constxtg y y 2 1  (20) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là  xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21 xx 2 x 1   (21) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 7 Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1. Vector cường độ điện trường  Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường EqF   (1.1) Hay: q F E    (1.2)  Cđđt E  tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó  Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q 2 0 0 r r 4 Qq F    (1.3) - m/F10.854,8 120  - hằng số điện -  - độ điện thẩm tương đối - 0r  - vector đơn vị chỉ phương  Hệ đt điểm n21 q,...,q,q     n 1i 2 i i0i 0 n 1i i r rq 4 1 EE  (1.4) i0r  - các vector đơn vị chỉ phương  Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:   l 2l 0 l r r dl 4 1 E  (1.5) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 8   S 2S 0 S r r dS 4 1 E  (1.6)   V 2V 0 V r r dV 4 1 E  (1.7) 1.1.2. Vector điện cảm  Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm D  ED 0   (1.8) 1.1.3. Vector từ cảm  Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz BvqF   (1.9)  Từ trường do phần tử dòng điện lId  tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL  rlId r4 Bd 2 0      (1.10) - m/H10.257,110.4 670   - hằng số từ -  - độ từ thẩm tương đối  Từ trường của dây dẫn có chiều dài l      l 2 0 r rlId 4 B  (1.11) 1.1.4. Vector cường độ từ trường  Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường H  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 9 0 B H     (1.12) 1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân  Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian dt dq I  (1.13) Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm  Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện EvvenJ 0   (1.14) dạng vi phân của định luật Ohm - n0 - mật độ hạt điện có điện tích e -  - mật độ điện khối - v  - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện -  - điện dẫn suất  Dòng điện qua mặt S được tính theo   SSS SdESdJdII  (1.15)  Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có (lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và LS L R   ) R U LU)EL)(L(ESEdSI S   (1.16) dạng thông thường của định luật Ohm Vì E  và Sd  cùng chiều, đặt Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 10 RL 1  (1.17)  - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích  Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện.  Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ thể tích V đó.  Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có  V dVQ (1.18) sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ  V dV dt d dt dQ I (1.19) Mặt khác  S SdJI  (1.20) Suy ra     VS dV t SdJ  (1.21) Theo định lý OG       VVS dV t dVJ.SdJ  (1.22) Suy ra 0 t J.      (1.23) Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục. 1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 11  Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , ,   Các phương trình: ED 0   (1.24)   0 B H   (1.25) gọi là các phương trình vật chất  , ,   cường độ trường : môi trường tuyến tính  , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng  , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng hướng. Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ  , ,   vị trí : môi trường không đồng nhất Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính. Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến  > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm  < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ  >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.  Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện:  > 104 1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10-10 <  < 104 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 12 Chất cách điện:  < 10-10,  = 0 : điện môi lý tưởng Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0 1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường  Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell  Thông lượng của vector điện cảm D  qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân  S E SdD  (1.26) Sd  : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài dS.cos( D  , Sd  ) : hình chiếu của S lên phương D   Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D  do q tạo ra qua mặt kín S, ta có        d 4 q r4 Sd,Dcos.dS.q SdDd 2   (1.27) d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS Thông lượng của D  qua toàn mặt kín S là qd 4 q SdD S       (1.28)  Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' D  Sd  S d r  q Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 13 (có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau. Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông lượng của D  qua toàn mặt kín S bằng 0.  Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn đặt trong mặt kín S, ta có    n 1i iDD  (1.29) Thông lượng của D  do hệ q1, q2, ..., qn gây ra qua toàn mặt kín S QqSdDSdD n 1i i n 1i S i S     (1.30) Vậy: Thông lượng của vector điện cảm D  qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, ..., qn, do đó  có thể âm hoặc dương  Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối  thì  được tính theo QdVSdD VS E    (1.31) Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski- Gauss đối với điện trường. Nguyên lý liên tục của từ thông  Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này D  Sd  A B q Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 14  Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B  . Thông lượng của B  qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của B  được tính theo 0SdB S M    (1.32) Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương trình cơ bản của trường điện từ 1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E  có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó. Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !). Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là 0ldEq l   (1.33) và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy. Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng tạo ra một điện trường xoáy. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 15 Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday: Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây dt d ec   (1.34) Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông   S SdB  (1.35) là thông lượng của vector từ cảm B  qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra                   SSS c Sd t B Sd dt Bd SdB dt d dt d e      (1.36) Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng ec theo lưu số của vector cường độ điện trường E   l c ldEe  (1.37) Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn của B  Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta có Sd  B  ld  S Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 16           Sl Sd t B ldE    (1.38) Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ. Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó. Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)    Sl SdEldE  (1.39) Theo các phương trình (1.38) và (1.39) t B E      (1.40) Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên. 1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II: Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường. (Đã chứng minh bằng thực nghiệm) Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường. Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 17 Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần: Lưu số của vector cường độ từ trường H  dọc theo một đường cong kín bất kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này IIldH n 1i i l     (1.41) Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn. Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện J  thì   Sl SdJldH  (1.42) Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Khái niệm về dòng điện dịch Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch. Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức dP0d0d JJ t P t E t D J              (1.43) Trong đó: J  ld  Sd  Ii S Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 18 t P JdP      - mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các điện tích t E J 00d      - điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng điện dịch Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên E  và dòng điện biến thiên chạy qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: t E SI 00d     (1.44) Theo định luật Gauss SESdEq 0 S 0    (1.45) SSd S   vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1 Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng S S' +q -q E  ~ Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 19 t E SSdE dt d dt dq I 0 S 0       (1.46) Suy ra I = Id0 (1.47) Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch ngoài tụ điện. Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta có (bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện dẫn)     SSl Sd t D SdJldH    (1.48) Hay           Sl Sd t D JldH    (1.49) Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)    Sl SdHldH  (1.50) Suy ra dJJ t D JH        (1.51) Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Nếu môi trường có điện dẫn suất  = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) thì do 0EJ   , ta có: 0d0 J t E H        (1.52) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 20 Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn. 1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ. Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện. - Phương trình Maxwell-Faraday Dạng tích phân           Sl Sd t B ldE    (1.53) Dạng vi phân t B E      (1.54) Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến thiên và điện trường xoáy. - Phương trình Maxwell-Ampere Dạng tích phân           Sl Sd t D JldH    (1.55) Dạng vi phân t D JH      (1.56) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 21 Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra từ trường như dòng điện dẫn. - Định lí OG đối với điện trường Dạng tích phân qSdD S   (1.57) Theo giải tích vector:   VS dVD.SdD  và   V dVq , ta có Dạng vi phân D.  (1.58) Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn - Định lí OG đối với từ trường Dạng tích phân 0SdB S   (1.59) Dạng vi phân 0B.   (1.60) Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình Maxwell t B E      t D JH      (1.61) D.  0B.   - Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 22 Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian. Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài OJ  . Đ.luật Ohm dạng vi phân:  OO EEJJ   (1.62) Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại t B E      t D JJH O      (1.63) D.  0B.   Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là môi trường điện môi: ED 0   môi trường dẫn điện: EJ   môi trường từ hoá: HB 0   , ta có t H E 0      t E JEH 0O      (1.64) 0 E.     0H.   - Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 23  Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài 0JJ O   t H E 0      t E H 0      (1.65) 0E.   0H.   Nhận xét: E  và H  đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau  Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức MJ  - mật độ dòng từ ngoài M - mật độ từ khối Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài t H JE 0M      t E JH 0E      , JE  JO (1.66) 0 E.     0 MH.     Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn điện), mà không cần phải giải cả hai. - Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 24 Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc  nên có thể biểu diễn dưới dạng phức, ta có   EreE    HreH  (1.67)   JreJ    re Với: Trong đó:   zyx imz i my i mxmm eEkeEjeEiz,y,xEE     gọi là biên độ phức của  E  ; x, y, z là các pha ban đầu Khi đó m0m HiE    Emm0m JEiEH    (1.69) 0 m mE.      0H.   1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được - đối với thành phần pháp tuyến của điện trường D1n - D2n = S S mật độ điện mặt (1.70) ti m e    ; tim eEE     ; tim eHH     ; tim eJJ     (1.68) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 25 Khi S = 0 ta có: D1n = D2n hay 1 2 n2 n1 E E    - đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường E1 = E2, 1 2 2 1 D D      (1.71) - đối với thành phần pháp tuyến của từ trường B1n = B2n, 1 2 n2 n1 H H    (1.72) - đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường H1 - H2 = IS IS dòng điện mặt Khi IS = 0 ta có: H1 = H2 hay 1 2 2 1 B B      (1.73) - Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có 2 = . Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là 0HE 22   . Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ 0H;E 22   thì dưới tác dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn. Khi đó ta được E1n = 1 S   E1 = 0 H1n = 0 H1 = IS (1.74) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 26 Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành phần pháp tuyến của E  và thành phần tiếp tuyến của H  1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting - Năng lượng của trường điện từ W = WE + WM =    V ME dV =           V 2 0 2 0 dV 2 H 2 E - Định lí Umov Poynting Đã chứng minh được Ot S PP dt dW Sd   (1.75) Trong đó HE   (W/m2) vector Poynting Phương trình =   V 2 V dVEdVEJ  công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn J  gây ra trong V PO =  V E dVEJ  công suất của nguồn ngoài trong thể tích V (1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ trong thể tích V Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó. Vector Poynting   biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ. 1.10. Định lí nghiệm duy nhất Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn các điều kiện sau Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 27 1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t0 = 0 ở tại bất kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu, tức là  0,z,y,xEE0   khi t = 0  0,z,y,xHH0   (1.76) 2. Biết thành phần tiếp tuyến của E  và thành phần tiếp tuyến của H  tại mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t <  hay còn gọi là điều kiện biên E = E|S hoặc H = H|S với 0 < t <  (1.77) Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất. 1.11. Nguyên lí tương hỗ Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian. 1. Bổ đề Lorentz Dạng vi phân                       m1m2Mm2m1M m1m2Em2m1Em1m2m2m1 HJHJ EJEJHE.HE.   (1.78) Dạng tích phân                                     V m1m2Mm2m1Mm1m2Em2m1E S m1m2m2m1 dVHJHJEJEJ dSHEHE   (1.79) V  , ta có Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 28 0dVHJHJEJEJ V m1m2Mm2m1Mm1m2Em2m1E                (1.80) 2. Nguyên lí tương hỗ Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân bố trong V1, nguồn điện và...ym dS r eI 4 A (2.104) Vì dòng điện mặt IESx hướng theo trục x nên ExmA  cũng chỉ có thành phần này, tương tự dòng từ mặt IMSy hướng theo trục y nên MymA  cũng chỉ có thành phần này Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể đưa các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài r4 eIS A ikr ESxm0 Exm       (2.105) r4 eIS A ikr MSym0 Mym       (2.106) Trong đó: r là khoảng cách từ điểm quan sát trường đến gốc toạ độ S = ab là diện tích của yếu tố mặt Các thành phần của thế vector trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ Decac liên hệ với nhau như sau  cosAsinsinAcossinAA zyxr  sinAsincosAcoscosAA zyx (2.107)  cosAsinAA yx Do chỉ có ExmA  và MymA  khác 0, ta có   cossinAA ExmErm Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 56     coscosAA ExmmE (2.108)     sinAA ExmmE   sinsinAA MymMrm     sincosAA MymmM (2.109)     cosAA MymmM Áp dụng các công thức (2.6) và công thức 1 của (2.15) cho (2.108) và (2.109), ta được           Em 0 A 1 H            Mm 0 A 1 E  Khảo sát trường bức xạ của yếu tố diện tích ở vùng xa Khi tính trường ta chỉ quan tâm đến số hạng suy giảm r 1 , bỏ qua các số hạng bậc cao hơn n r 1       . Do đó khi tính rot trong hệ toạ độ cầu của (2.108) và (2.109) ta chỉ giữ lại các thành phần với đạo hàm r A m 0       và r A m 0       được giữ lại, còn các số hạng bậc cao hơn được bỏ qua và ta có ikrESxm mE e r4 coscosIikS H        ikrESxm mE e r4 sinIikS H        (2.110) ikrMSym mM e r4 sincosIikS E        Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 57 ikrMSym mM e r4 cosIikS E        Sử dụng các phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai           Em 0 Em H i 1 E            Mm 0 Mm E i 1 H  cho các biểu thức (2.110) ta có ikrESxm00 mE e r4 sinISik E        ikrESxm00 mM e r4 coscosISik E        (2.111) ikr 00 MSym mM e r4 cosIikS H        ikr 00 MSym mM e r4 sincosIikS H        Lấy tổng các biểu thức của (2.110) và (2.111) theo các thành phần của E và E ta được              cos1e r4 sinIikS EEE ikr ESxm00 mMmEm (2.112) Trong đó: 00ESxm MSym I I   Tương tự, theo các thành phần của H và H ta được                     cos 1 1e r4 cosIikS HHH ikr 00 MSym mMmEm Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 58              cos1e r4 sinIikS HHH ikr ESxm mMmEm (2.113) Nhận xét: - Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng dạng đường cong cardioid - Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung điểm giữa mặt phẳng C(1+cos) z Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 59 Chương 3 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG  Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng  Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ  Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu  Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ.  Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện từ là điều hoà với  và rất xa với điểm khảo sát. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) - Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của E  và H  bằng nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất - Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của E  và H  trong hệ toạ độ Decac có dạng xmP ymzm Ei z H y H         (1) ymP zmxm Ei x H z H         (2) zmP xmym Ei y H x H         (3) xm0 ymzm Hi z E y E         (4) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 60 ym0 zmxm Hi x E z E         (5) zm0 xmym Hi y E x E         (6) Trong đó:  Oz  phương truyền sóng  mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P // mặt phẳng xOy và có phương trình z = l          0 0P i1 E  và H  có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và  x, y; chỉ  z, t. Khi đó: 0 y H x H y E x E             (3.1) 0HE zmzm   (3.2) Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của E  và H  . Các E  và H  nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có: P O l y z Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 61 0Ek z E xm 2 P2 xm 2      (7) 0Ek z E ym 2 P2 ym 2      (8) 0Hk z H xm 2 P2 xm 2      (9) 0Hk z H ym 2 P2 ym 2      (10) Trong đó: 0 0 00PP i1k          - số sóng phức Nhận xét: - vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm nghiệm của một trong số các phương trình sóng này. - đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là zik xmpx zik xmtxm PP eEeEE     (3.3) Trong đó: - zikxmt PeE   biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P P O l y z Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 62 - zikxmpx PeE  biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt phẳng P - xmtE  , xmpxE  là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là zik ympx zik ymtym zik xmpx zik xmtxm zik ympx zik ymtym PP PP PP eHeHH eHeHH eEeEE             (3.4) Suy ra                                     zik ympx zik ymt zik xmpx zik xmtymxmm zik ympx zik ymt zik xmpx zik xmtymxmm PPPP PPPP eHeHjeHeHiHjHiH eEeEjeEeEiEjEiE   (3.5) Để tìm mối liên hệ giữa mE  và mH  cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x // E  , do đó trục y // H  , ta có mxmymxmm EiEiEjEiE    vì 0E ym   mymymxmm HjHjHjHiH    vì 0Hxm   (3.6) Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có mối liên hệ giữa mE  và mH  cho sóng tới và sóng phản xạ như sau x y mH  mE  ymH  xmE  O Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 63 mpxPympx P 0ympx P xmpxmpx mtPymt P 0ymt P xmtmt HZH z H i 1 EE HZH z H i 1 EE                       (3.7) Trong đó:   EE0 0 P 0 P itg1 1 Z itg1 Z         (3.8) Từ (3.7) dạng của mE  và mH  cho sóng phẳng TEM được viết lại zik mpx zik mtm zik mpx zik mtPm PP PP eHeHH ekHekHZE                             (3.9) Hoặc        zkti mpx zkti mt ti m zkti mpx zkti mtP ti m PP PP eHeHeHH ekHekHZeEE                                   (3.10) Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong môi trường rộng vô hạn.    O x y z l Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 64 Dạng của mE  và mH  của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy và Oz tạo thành các góc ,  và . Ta có:  lkti mtt PeHH     (3.11) mtH  nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Và  lkti mtPt PelHZE           (3.12) l  là vector đơn vị của phương truyền sóng l. Số sóng phức kP và trở sóng phức ZP có thể viết lại   i PP P eZZ ik (3.13) Trong đó ,  và  là các số thực  là hệ số tổn hao của môi trường  là hệ số pha của sóng  argument của trở sóng phức Khi đó , , PZ và  biểu diễn qua , ,  và thời gianE như sau E 2 00 tg1 2 1 2 1  (3.14) E 2 00 tg1 2 1 2 1  (3.15) 4 E 2P tg1 Z Z   (3.16) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 65 E 2 E 2 tg11 tg11 arctgarctg       (3.17) Vận tốc pha vph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao  = 0, mặt đồng pha của sóng tới có dạng constzt  (3.18) Suy ra 0dzdtd  (3.19) Cho nên vận tốc pha vph được xác định bởi E 2 E 200 ph tg1 2 1 2 1 v tg1 2 1 2 1 1 . 1 dt dz v         (3.20) Trong đó v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được tính là P 2 mt2 mtPmt * mttb Z E 2 1 kHZ 2 1 kHEre 2 1 re          (3.21) Lưu ý: Vì  E  và  H  đồng pha nên  = 0  1ei  3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng  Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 66  Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên  = 0, 0 0 0P i1          , kP = k và ZP = Z. Từ các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có Z E 2 1 HZ 2 1 v 1 v ZZ k 0,0 2 mt2 mttb 00 ph 0 0 P 00           (3.22) mE  và mH  có dạng là zi mtm zi mtm ekHZE eHH               (3.23) Hoặc    zti mt ti m zti mt ti m ekHZeEE eHeHH                   (3.24) Nhận xét:  E  và H  vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng  E  và H  luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng  Vận tốc pha vph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường  Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng Z là một số thực Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 67 3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện  Trong môi trường dẫn điện   0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức,          ii1k 0 0 00PP                iP 0 0 0 P 0 P eZ i1 Z Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13)  E  và  H  có dạng       zzti mt zizti mt zkti mt eeHeHeHH P         .......       zzti mtP zizti mt i P zkti mtP eekHZ ekHeZekHZE P                             (3.25) H  E  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 68 Nếu môi trường có điện dẫn suất  rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một cách gần đúng xem   , do đó thời gian E >> 1 nên theo các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có 0 EE 2 tgtg1    2 tg1 2 1 2 1 0 E 2 00   2 tg1 2 1 2 1 0 E 2 00      0P ZZ 0 E 2 00 ph 2 tg1 2 1 2 1 v            4 1arctg tg11 tg11 arctgarctg E 2 E 2         (3.26)  góc tổn hao   0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của  E  và  H  suy giảm theo quy luật hàm mũ e-z dọc theo phương truyền sóng z.   E  và  H  lệch pha nhau một góc  = argZP 0mE z 0mm eEE  z x y Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 69  vph là hàm số phụ thuộc tần số , có nghĩa là  thay đổi trong quá trình lan truyền sóng điện từ  sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc. 3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn Nhận xét: Theo công thức 2 0 nhận thấy rằng  Trong vật dẫn điện tốt  rất lớn và nếu tần số sóng điện từ  càng cao thì  càng lớn. Do đó biên độ của E  và H  suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt.  Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài. Chẳng hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm. Ứd: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần  Hiện tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay hiệu ứng skin  Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay độ dày lớp skin , đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu     B  B  cB  cB  Thép Cu Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 70 bên trong vật dẫn mà tại đó biện độ của E  và H  giảm đi e = 2,718... lần so với giá trị tại bề mặt. Theo (3.25) và (3.26) ta có z 0mm z 0mm eHH eEE     (3.27) Trong đó: Em0 và Hm0 là biên độ của E  và H  tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định nghĩa độ thấm sâu của trường ta có ee E E m 0m   (3.28) Suy ra       00 2 2 11 (3.29) Nhận xét:  Trong công thức (3.29),  và  là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ thấm sâu của trường  tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số  và điện dẫn suất  của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al ... có độ thấm sâu của trường rất bé cỡ  = 0,5 m ở dải sóng vô tuyến f = 106 Hz. Do đó các kim loại này dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt.  Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều trong cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không đều nhau tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở kháng mặt riêng của vật dẫn  Trở kháng mặt riêng của vật dẫn, kí hiệu ZS, là tỉ số điện áp của trường rơi trên một đơn vị chiều dài theo chiều dòng điện và giá trị dòng điện chạy qua một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 71 Xét vật dẫn phẳng, rộng vô hạn và bề dày đủ lớn. Chọn hệ toạ độ Decac có trục z trùng với phương truyền sóng, mặt phẳng vật dẫn trùng với mặt phẳng xOy. Giả sử E   Ox. Theo định luật Ohm ta có:         i E dzeEdzJSdJI 0mzi 0 0m 0 x S  (3.30) Lưu ý: Tích phân (3.30) được lấy từ 0  , mặt dù bề dày vật dẫn là hữu hạn nhưng dòng điện cao tần chỉ chạy trên lớp bề mặt rất mỏng nên bề dày vật dẫn có thể xem là vô hạn. Cường độ điện trường E  tại bề mặt vật dẫn bằng điện áp rơi trên một đơn vị chiều dài dọc theo chiều dòng điện nên ta có     SS0 0m 0m S iRi1 2 i1 i1 E E I U Z                   do  =  (3.31) Trong đó:    2 R 0S là điện trườngở mặt riêng của vật dẫn. (3.32) x y z E  J  O   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 72 RS chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn. Năng lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn. S là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn ZS. Nhận xét: Biểu thức (3.32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện tốt như Au, Ag, Cu ... 3.4. Sự phân cực của sóng phẳng Sóng điện từ có các vector E  và H  dao động theo phương xác định gọi là sóng phân cực. Ngược lại nếu các vector E  và H  dao động theo mọi phương ngẫu nhiên gọi là sóng không phân cực. Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực tròn và phân cực thẳng. 3.4.1. Phân cực elip Trong quá trình truyền sóng nếu ngọn của vector E  vạch một hình elip trong không gian gọi là sóng phân cực elip. Sóng phân cực elip chính là tổng hợp của 2 sóng thành phần cùng tần số, cùng phương truyền, nhưng phương của E  vuông góc nhau. Giả sử có 2 sóng phẳng như sau:      ztcosEjE ztcosEiE my2 mx1   (3.33) Sóng tổng hợp có dạng                2 mymx 21 2 my 2 2 mx 1 sin EE EE cos2 E E E E (3.34) Đây là phương trình mô tả đường elip trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trục lớn của elip hợp với trục Ox một góc  được tính theo:    cos EE EE2 2tg 2 my 2 mx mymx (3.35) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 73 Trong đó: Emx > Emy Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector E  tổng hợp vạch nên một đường elip xoắn trong không gian 3.4.2. Phân cực tròn Nếu 2 sóng thành phần có biên độ bằng nhau: Emx = Emy = Em và lệch pha nhau một góc 2   . Suy ra 1sin 2  , 0cos  và phương trình (3.34) trở thành 2 m 2 2 2 1 EEE  (3.36) Đây là phương trình mô tả đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector E  tổng hợp vạch nên một đường tròn xoắn trong không gian, gọi là sóng phân cực tròn. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector E  tổng hợp quay thuận chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay phải. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector E  tổng hợp quay ngược chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay trái. Chiều quay của vector E  tổng hợp phụ thuộc vào dấu của góc lệch pha 2  3.4.3. Phân cực thẳng (tuyến tính) Trong quá trình truyền sóng theo trục z, vector E  luôn hướng song song theo một đường thẳng gọi là sóng phân cực thẳng hay sóng phân cực tuyến tính. trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần có giá trị  = 0, , 2, ... Suy ra sin = 0, cos = 1 và phương trình (3.34) trở thành 0 E E E E 2 my 2 mx 1          (3.37) Hay Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 74 1 mx my 2 E E E E  (3.38) Đây là phương trình mô tả đường thẳng đi qua gốc toạ độ hợp với trục Ox một góc ’ được tính theo mx my E E tg  (3.39) Nhận xét: Tuỳ thuộc vào hướng của vector E  người ta còn phân thành 2 trường hợp phân cực ngang và phân cực đứng. 3.5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng Mục tiêu phần này nghiên cứu qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách rộng vô hạn giữa 2 môi trường có tham số điện khác nhau. Để đơn giản ta chỉ xét đối với sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng. 3.5.1. Sóng tới phân cực ngang Nếu vector E  của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực ngang. Trong trường hợp này vector E  của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ? Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy  mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Hai môi trường là điện môi có các tham số điện 1, 1, 2, 2 tương ứng. Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương zt, lập với pháp tuyến z một góc t nên có thể quay trục toạ độ quanh trục z để cho trục x của nó chỉ phương của vector E  của sóng tới. Tại mặt phẳng phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi x y ’ E  Emx Emy O Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 75 trường 1 với góc phản xạ phản xạ truyền theo hướng zpx, còn sóng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách với góc khúc xạ  đi vào môi trường 2 theo phương zkx. Theo h.vẽ nhận thấy rằng E  của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn H  của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Áp dụng các biểu thức (3.4) và (3.5) ta có: Sóng tới t1 t1 zik mz1my11 zik mx11 eHkHjH eEiE               (3.40) Sóng phản xạ px1 px1 zik mz1my11 zik mx11 eHkHjH eEiE               (3.41) Sóng khúc xạ kx2 kx2 zik mz2my22 zik mx22 eHkHjH eEiE               (3.42) Trong đó: 01011k  và 02022k  là số sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng. Các phương truyền sóng zt, zpx và zkx biểu diễn qua x, y, z như sau:    coszsinyz coszsinyz coszsinyz kx pxpxpx ttt (3.43) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 76 Vì các môi trường đều là điện môi nên áp dụng điều kiện biên cho E  và H  tại mặt phẳng phân cách xOy (z = 0) ta có: my22my1my11 mx22mx1mx11 HHHHH EEEEE             (3.44) Thay các biểu thức (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có:               sinyik my2 sinyik my1 sinyik my1 sinyik mx2 sinyik mx1 sinyik mx1 2px1t1 2px1t1 eHeHeH eEeEeE (3.45) (3.45) luôn thoả mãn y ta lại có:       sinyiksinyiksinyik my2my1my1 mx2mx1mx1 2px1t1 eee HHH EEE (3.46) Từ biểu thức cuối của (3.46) suy ra: pxt  (3.47)  sinksink 2t1 (3.48) Nhận xét: (3.47) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt phẳng phân cách. (3.48) mô tả định luật khúc xạ sóng điện từ. Đặt px t  1E  1E  1H  1H  zpx zt zkx y z 2E  2H  O Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 77 011n  và 022n  (3.49) lần lượt là chiết suất của môi trường 1 và 2. Giả sử 1 = 2 =  thì định luật khúc xạ của sóng điện từ phẳng có dạng giống như trong quang học  sinnsinn 2t1 (3.50) Để mô tả giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ. Hệ số phản xạ (reflective modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng phản xạ và sóng tới tính cho E  , kí hiệu R. Hệ số khúc xạ (refractive modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng khúc xạ và sóng tới tính cho E  , kí hiệu T. Đối với sóng phân cực ngang ta có: m1 m1 ng E E R     và m1 m2 ng E E T    (3.51) Theo hvẽ đối với sóng phân cực ngang ta có:       cosHH ,cosHH cosHH ,EE EE ,EE m2my2tm1my1 tm1my1mx2m2 mx1m1mx1m1 (3.52) và 2 m2 m2 1 m1 m1 1 m1 m1 Z E H Z E H Z E H           (3.53) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 78 Trong đó: 01 01 1Z    và 02 02 2Z    là trở sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng. Thay các biểu thức (3.52) và (3.53) vào (3.46) rồi chia cả 2 vế của chúng cho m1E  ta có   2 ng 1 t ng ngng Z cos T Z cos R1 TR1      (3.54) Suy ra:       cosZcosZ cosZ2 T cosZcosZ cosZcosZ R 1t2 t2 ng 1t2 1t2 ng (3.55) (3.55) gọi là công thức Fresnel Góc khúc xạ  có thể tính được qua góc tới t theo định luật khúc xạ (3.48) như sau: t 2 2 1 2 t 2 1 sin1sin k k 1cos           (3.56) Nếu 2 môi trường là điện môi có 1 = 2 =  thì (3.55) được viết lại t 2 2 1 2t1 t1 ng t 2 2 1 2t1 t 2 2 1 2t1 ng sin1cos cos2 T sin1cos sin1cos R                (3.57) 3.5.2. Sóng tới phân cực đứng Nếu vector E  của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực đứng. Trong trường hợp này vector H  của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ? Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 79 Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy  mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường và trục x chỉ phương của vector H  của sóng tới. Theo h.vẽ nhận thấy rằng H  của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn E  của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Tiến hành tương tự như đối với sóng phân cực ngang ta có:       cosZcosZ cosZ2 T cosZcosZ cosZcosZ R 2t1 t2 đ 2t1 2t1 đ (3.58) Tđ và Rđ liên hệ với nhau theo công thức: 2 1 đđ Z Z TR1  (3.59) Nếu 2 môi trường là điện môi có 1 = 2 =  thì (3.58) được viết lại t 2 2 1 1t2 t1 đ t 2 2 1 1t2 t 2 2 1 1t2 đ sin1cos cos2 T sin1cos sin1cos R                (3.60) px t  1E  1E  1H  1H  zpx zt zkx y z 2E  2H  O Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 80 3.5.3. Sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách Khi sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách 2 môi trường, tức là t = 0, theo định luật khúc xạ ta có cos = 1 và do đó góc khúc xạ  = 0. Hệ số khúc xạ và hệ số phản xạ trong các biểu thức của (3.55) và (3.58) có dạng đơn giản như sau: 21 2 đ 21 21 đ 12 2 ng 12 12 ng ZZ Z2 T , ZZ ZZ R ZZ Z2 T , ZZ ZZ R           (3.61) 3.5.4. Sự phản xạ toàn phần Nếu môi trường 1 có chiết suất lớn hơn môi trường 2 n1 > n2, theo (3.50) ta có: t 2 1 sin n n sin  (3.62) có nghĩa là  > t. Khi đó ta sẽ có góc tới giới hạn 0 < 0 < 2  để đạt được điều kiện: 1sin n n sin 0 2 1  (3.63) và  = 2  . Khi đó sóng khúc xạ sẽ truyền sát mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Nếu tiếp tục tăng t > 0 thì sóng khúc xạ không đi vào môi trường 2 mà quay trở lại môi trường 1 (ứng với  > 2  ), gọi là hiện tượng phản xạ toàn phần. Góc 0 gọi là góc giới hạn được xác định theo công thức: 1 2 0 n n arcsin (3.64) Hiện tượng phản xạ toàn phần được ứng dụng để truyền ánh sáng trong sợi quang. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 81 3.5.5. Sự khúc xạ toàn phần Nếu sóng tới truyền đến mặt phẳng phân cách vào môi trường 2 mà không phản xạ trở lại môi trường 1 gọi là sự khúc xạ toàn phần. Trong trường hợp này hệ số phản xạ bằng 0. Góc tới ứng với hiện tượng khúc xạ toàn phần gọi là góc Brewster, kí hiệu là b. Từ (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster đối với 2 trường hợp phân cực ngang và đứng của sóng tới như sau: 0sin1ZcosZ 0R 0sin1ZcosZ 0R b 2 2 1 2b1đ b 2 2 1 1b2ng         (3.65) Nhận xét: - 2 phương trình trong (3.65) không thể có nghiệm đồng thời, tức là chỉ có 1 trong 2 trường hợp xảy ra hiện tượng khúc xạ toàn phần. LT và TN đã chỉ ra rằng chỉ có sóng phân cực đứng mới có hiện tượng khúc xạ toàn phần và góc Brewster b được xác định như sau: 2 1 btg    (3.66) - Các kết quả đã nhận được đối với sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường là điện môi cũng đúng đối với các môi trường bất kì có điện dẫn suất   0. Khi đó các công thức Fresnel trong (3.55) và (3.58) chỉ cần thay  = P và Z = ZP. 3.6. Điều kiện biên gần đúng Leontovic Xét sóng phẳng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường từ điện môi (môi trường 1) vào môi trường có điện dẫn suất lớn 2 (môi trường 2), ta có: 2E212P1 tg hay kk  (3.67) Theo định luật khúc xạ (3.48) ta có: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. 82 t 2E2 1 sin tg sin     (3.68) Như vậy: với mọi góc tới t khi thoả mãn điều kiện (3.67) thì góc khúc xạ   0, có nghĩa là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có điện dẫn suất lớn theo phương pháp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường không phụ thuộc vào góc tới t. Nếu chọn trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt phẳng phân cách thì E  và H  của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạ