Giáo trình Toán kinh tế

là một công cụ quan trong vì nó cung cấp phương pháp luận các phương pháp mô hình hóa, các phương pháp tính tối ưu. Do đó , nó không chỉ là công cụ để tư duy về định tính mà cả về định lượng , giúp giải quyết các vấn đề một cách có hiệu quả. Việc lập kế hoạch phát trển kinh tế và việc nâng cao hiệu quả của sản suất xã hội là các vấn đề quan trọng của bất kì một quốc gia nào. Để giải quyết tốt các vấn đề đó thì phải không ngừng các phương pháp điều khiển, quản lý và đẩy nhanh tốc độ tiến bộ khoa học kĩ thuật, thực hiện các biện pháp khoa học cơ bản. Đây là giáo trình dành cho sinh viên ngành kế toán doanh nghiệp được viết theo chương trình khung của bộ lao động thương binh và xã hội, trường cao đẳng nghề Nam Định. Nội dung của giáo trình bao gồm những kết quả cơ bản của toán cao cấp và của lí thuyết tối ưu tuyến tính, đảm bảo cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ bản về bản chất của lĩnh vực này. Giáo trình bao gồm các chương : 1, Đại số tuyến tính. 2, Xác suất của biến cố. 3, Quy hoạch tuyến tính. 4, Bài toán vận tải. Mỗi chương đều tập trung trình bày những kiến thức lý thuyết cơ bản và các bài tập phù hợp với năng lực của sinh viên. Đại số tuyến tính là chương cơ bản, tiền đề để sinh viên có thể tìm hiểu về các chương tiếp theo. Việc nghiên cứu các hệ thống những hiện tượng ngẫu nhiên để từ đó rút ra những quy luật ngẫu nhiên , đó là mục tiêu của môn xác suất . Trong các ngành thực nghiệm như vật lý , hoá học sinh học , nông , lâm ngư nghiệp , thuỷ hải sản , giao dục ,xã hội học , kinh tế học , đều sử dụng tích cực các mô hình xác suất toán học. Hai chương cuối tập trung trình bày về phương pháp đơn hình, bài toán đối ngẫu, và bài toán vận tải là một trường hợp, dạng đặc biệt của quy hoạch tuyến tính. Để hiểu rão được hai chương này sinh viên phải nắm vững kiến thức về đại số tuyến tính. Do hạn chế về thời lượng môn học nên giáo trình không tham vọng là một cuốn giáo trình đầy đủ về lý thuyết, mà chỉ trình bày một cách cơ bản và ngắn gọn, dễ hiểu. Bạn đọc muốn tìm hiểu sâu các vấn đề thì có thể tham khảo một số giáo trình trong phần sách tham khảo Giáo trình được biên soạn lần đầu, trên cơ sở tập hợp những bài giảng , và tham khảo một số giáo trình đang được giảng dạy ở các trường cao đẳng và đại học với mục đích làm tài liệu học tập cho sinh viên nên chắc chắn không tránh Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 3 khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến phê bình phản hồi từ bạn đọc. Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo Nguyễn Ngọc Thiện cùng các thầy cô giáo trong ban thẩm định giáo trình đã giúp tôi hoàn thành cuốn giáo trình này. Nam Định, tháng 06 – 2009. Tác giả Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 4 Chương I : Đại số tuyến tính Bài 1: Vectơ nguoc chiều 1. Không gian vec tơ. Định nghĩa Cho V là tập khác rỗng, các phần tử kí hiệu    và K là trường ( Q , R, C ). Giả sử V trang bị hai phép toán a, Phép cộng : V.V→ V (  )     b, Phép nhân : K.V → V (  )   Thoả mãn các điều kiện( hay tiên đề) sau đây: T1 :                    V T2 :               0 V :0 0 . V T3 :                 V, V : T4 : V           T5 : V           T6 : V            T7 :      V T8 :1. V         Khi đó V cùng hai phép toán cộng và nhân là một không gian vectơ trên trường K, hay gọi là K_không gian vectơ V. 2. Vectơ n chiều . Định nghĩa Cho trường K, n ≥ 1. Xét tích đề các Kn = { x=( x1, x2, , xn) | xi  R , i = 1,2... ,n}, với hai phép toán cộng và nhân +, ( x1, x2, , xn) +( y1, y2, yn) = ( x1+y1 , x2+y2, , xn+yn), Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 5 +, k . ( x1, x2, , xn) = (k x1,k x2, , kxn) Thì Kn cùng hai phép toán trên là một không gian vec tơ n chiều trên trường K. Mỗi vectơ u  (x1,x2,.., xn)  R n là một vectơ n chiều.Các xi là các toạ độ (i=1,2,....., n) Ví dụ 1: K=R và n =1 : thì R1_ là không gian vectơ 1 chiều : hình ảnh là trục số. n=2 : thì R2 _ là không gian vectơ 2 chiều : hình ảnh là toàn bộ mặt phẳng. n=3 : thì R3 _ là không gian vectơ 3 chiều : hình ảnh là toàn bộ không gian thực 3 chiều . 3. Các phép toán vectơ . a, Phép cộng: ( x1, x2, ..., xn) +( y1, y2, , yn) = ( x1+y1, x2+y2,, xn+yn), b, Phép nhân vectơ với một số : k . ( x1, x2, xn) = (k x1,k x2, ,kxn) c, tích vô hướng của hai vectơ : ( x1, x2, ,xn) .( y1, y2, ,yn) = x1y1 + x2y2+... +xnyn Trong đó   1 nx (x ,..,x ) ,    n 1 ny (y,...,y ) K , k K ------------------o0o------------------------ Bài 2 : Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính. Định nghĩa Cho K_không gian vectơ V a, Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ       n V là một biểu thức dạng: n i i 1 1 2 2 n n i 1 ...               trong đó 1 2 n, ,..., K    . b, Với V  , nếu                1 1 2 2 n n ... thì ta nói vectơ   được biểu diễn tuyến tính được qua hệ vectơ 1 n ( ,...., )    và đẳng thức 1 1 2 2 n n ...               gọi là một biểu thị tuyến tính của vectơ   qua các vectơ 1 n ,....,    . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 6 c, (định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính) * Hệ vectơ 1 n ( ,...., )    được gọi là hệ độc lập tuyến tính nếuhệ thức 1 1 2 2 n n ... 0             chỉ xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n 0      * Hệ vectơ 1 n ( ,...., )    được gọi là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu hệ vectơ đó không độc lập tuyến tính . 2. Ví dụ Trong không gian vectơ thực R2 cho hệ 3 vectơ : 1 2 3 (2,0), (0,4), (4,4)         thì hệ 1 2 ( , )    là hệ vectơ độc lập tuyến tính vì : 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 (2 ,0) (0,4 ) 0 (2 ,4 ) (0,0) 0                       Còn hệ 1 2 3( , , )      là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính vì cũng như trên ta biểu diễn được 1 2 3 2 0         . 3. Một số tính chất. a, Hệ ( 1 n ,....,    ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có các vô hướng 1 2 n , ,...,   không đồng thời bằng 0 sao cho : 1 1 2 2 n n ... 0             . b, Hệ gồm 1 vectơ (  ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 0   . c, Với n >1 hệ n vectơ 1 n ( ,...., )    là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. d, Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Ví dụ : Giả sử hệ vectơ 1 n ( ,...., )    độc lập tuyến tính thì hệ vectơ con 1 n i ( ,...., )      là độc lập tuyến tính , với i = 1,2,..n-1. --------------------o0o------------------------ Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 7 Bài 3 : Ma trận. I. Định nghĩa. Cho K là một trường tuỳ ý .Một bảng gồm m.n phần tử aij thuộc trường K có dạng: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a a a a                    (1) được gọi là một ma trận kiểu (m,n) . Mỗi aij được gọi là một thành phần của ma trận , vectơ dòng  i1 i2 ina a a được gọi là dòng thứ i của ma trận . Vectơ cột: 1j 2 j mj a a a                được gọi là cột thứ j của ma trận . Ta thường kí hiệu các ma trận bằng các chữ cái A,B,C,.. Ma trận (1) có thể kí hiệu đơn giản bởi A=(aij)mxn. Ta cũng nói ma trận A có m dòng , n cột. Khi m = n thì ma trận A=(aij)nxn được gọi là ma trận vuông cấp n. Tập hợp các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường K được kí hiệu là Mat(m x n,K). II. Các loại ma trận thường gặp. 1.Ma trận không : Là ma trận mà các phần tử đều bằng không. O = 0 0 0 0                Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 8 2. Ma trận đối : Ma trận đối của ma trận A là ma trận mà các pgần tử của nó là đối của các phần tử tương ứng của ma trận A. Đối của ma trận A kí hiệu là -A. A= 11 1n m1 mn a a a a                11 1n m1 mn a a A a a                   . 3. Ma trận vuông : Là ma trận có số dòng bằng số cột (m=n) A= 11 1n n1 nn a a a a                Chú ý : + Các phần tử 11 22 nna ,a ,...,a của ma trận vuông cấp n được gọi là các phần tử chéo . Tổng 11 22 nna a ... a .   gọi là vết của ma trận + Từ nay dùng kí hiệu Ai,Aj lần lượt là hàng thứ i và cột thứ j . 4. Ma trận đơn vị. Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo đều bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0. I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1                    . 5. Ma trận chéo : Là ma trận mà các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0 A= 1 2 n 0 0 0 0 0 0                   6. Ma trận tam giác trên , ma trận tam giác dưới. - Ma trận vuông mà các phần tử nằm dưới đường chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác trên. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 9 A = 11 12 1n 22 2n nn a a a 0 a a 0 0 a                    - Ma trận vuông mà các phần tử nằm trên đường chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác dưới. B = 11 21 22 n1 n2 nn a 0 0 a a 0 a a a                    . III. Các phép toán: 1. Ma trận bằng nhau : Hai ma trận A=(aij)mxn và B=(bij)mxn được gọi là bằng nhau nếu aij= bij với i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. Kí hiệu A = B 2.Phép cộng ma trận a. Định nghĩa: Cho A=(aij)mxn và B=(bij)mxn là hai ma trận thuộc Mat(mxn,K) và K .Ta gọi tổng của hai ma trận A và B là ma trận C =(cij)mxn xác định bởi : cij= aij + bij i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. Kí hiệu C = A + B. b. Các tính chất: A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C 3. Tích của ma trận với một số. a. Định nghĩa: Ta gọi tích của ma trận A với vô hướng  là một ma trận D= (dij)mxn xác định bởi: dij = aij , i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. b. Các tính chất:  ( A+B) = A +B 1.A = A Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 10 (-1).A = -A 0.A = 0  .0 = 0  (A) = (  )A 4. Tích của hai ma trận . a. Định nghĩa: Cho ma trận A=(aij)mxn thuộc Mat(m x n, K) và B=(bj k)nxp thuộc Mat(nxp, K) . Ta gọi tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận C=(cjk)m x p thuộc Mat (m x p , K) mà các phần tử được xác định bởi : n ik ij jk j 1 c a b    i = 1..m , k = 1... p, Kí hiệu C=A.B Có thể mô tả cách tìm thành phần cik của ma trận tích A.B bằng sơ đồ sau: Cột k cột k Dòng thứ i k1 k2 i1 i2 in kn b b a a a . b                       = ik c                         dòng i Ví dụ a, 1 2 2 3 0 2( 1) 3.3 0.4 2.2 3.0 0.3 7 4 . 3 0 1 5 1 1( 1) 5.3 ( 1)4 1.2 5.0 ( 1)3 10 1 4 3                                      b, a b c x t ax by cz at bu cv d e f . y u dx ey fz dt eu fv g h i z v gx hy iz gt hu iv                                        Chú ý : Điều kiện để có tích A.B là số cột của A bằng số dòng của B .Như vậy có thể có tích A.B nhưng cũng có thể không có tích B.A Trường hợp đặc biệt khi cả A và B đều là ma trận vuông thì có cả tích A.B và B.A nhưng nói chung là A.B khác B.A (không có tính chất giao hoán) Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 11 ví dụ : 1 0 0 1 0 1 . 0 0 0 0 0 0                   còn 0 1 1 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0                   b. Các tính chất của phép nhân ma trận : + Nâng một ma trận vuông cấp n lên một luỹ thừa: Cho ma trận A vuông cấp n , thì luỹ thừa bậc p ( nguyên dương ) của A là biểu thức có dạng Ap = A.A... A (có n ma trận A) Có tính chất sau : Ap Aq =Ap+q ; (Ap)q=Ap.q Với các ma trận A,B,C và với K các đẳng thức sau là đúng theo nghĩa : Nếu một vế được xác định thì vế kia cũng vậy và hai vế bằng nhau: (A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB;  (AB)= ( A)B=A( B) Chúng ta dễ dàng chứng minh được các mệnh đề này. IV. Ma trận chuyển vị. 1. Định nghĩa : Cho A=(aij)mxn = 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a ... a a a ... a ... a a ... a                thì ma trận 11 21 m1 12 22 m2 1n 2n mn a a ... a a a ... a ... a a ... a                được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, Kí hiệu là At . Rõ ràng , At nhận được bằng cách đổi các dòng của ma trận A thành các cột. Ta có tính chất sau: (At)t = A (A+B)t = At+Bt (A.B)t = Bt..At 2. Ma trận đối xứng : Ma trận vuông cấp n được gọi là đối xứng nếu At = A hay aịj = aji i, j Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 12 A=          1 3 4 3 6 5 4 5 7 3. Ma trận phản đối xứng : Ma trận vuông cấp n được gọi là phản đối xứng nếu At = -A A=           0 3 4 3 0 5 4 5 0 Nhận xét: các phần tử trên đường chéo của ma trận phản đối xứng đều bằng 0. --------------------o0o------------------------ Bài 4: Định thức của ma trận . Tất cả các ma trận được xét trong mục này đều là những ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc trường K. I. Định nghĩa Cho A=(aij)nxn . Ta gọi định thức của ma trận A là một phần tử thuộc trường K , kí hiệu là detA , gọi là định thức cấp n và còn được kí hiệu là |A| hay : detA = |A| = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a a a a        . 1.Định thức cấp 1: det(a) = a. 2.Định thức cấp 2 : Det 11 12 11 12 11 22 12 21 21 22 21 22 a a a a a .a a .a a a a a         3.Định thức cấp 3 : det 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                  Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 13 Ta có cách tính định thức đối với định thức cấp 3 như sau: Viết thêm vào bên phải của định thức cấp 3 hai cột 1 và 2 . ta tính các tích theo đường chéo và lấy đường chéo chính trừ đường chéo phụ , đường chéo chính mang dấu cộng, đường chéo phụ mang dấu trừ : _ _ _ 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a  + + + 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23a a a a a a a a a a a a a a a a a a      . II. Định thức cấp cao. 1.Hoán vị và phép thế. Định nghĩa 1. Cho tập số A = {a1,a2,, ,an}, một cách xắp xếp các phần tử của tập này theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của tập A . Ví dụ : A={1,2,3} có các hoán vị là : 123, 132, 213, 231, 312, 321. Định nghĩa 2. Trong hoán vị a1a2... an ta nói ai làm với aj một nghịch thế nếu i<j mà có ai>aj . Định nghĩa 3. Một hoán vị gọi là chẵn nếu tổng số nghịch thế trong hoán vị là chẵn, ngược lại là hoán vị lẻ. Ví dụ : Trong hoán vị 1543 có 3 nghịch thế nên là hoán vị lẻ. Định nghĩa 4. Phép đổi chỗ : Cho hoán vị a1a2... an cho hai phần tử đổi chỗ cho nhau tức là ai đổi chỗ cho aj còn các phần tử khác giữ nguyên vị trí thì ta được 1 phép đổi chỗ. Định lý: + Một phép đổi chỗ làm thay đổi tính chẵn lẻ của hoán vị. + Cho hai hoán vị bất kỳ của tập A thì bằng một số phép đổi chỗ ta sẽ biến hoán vị nay thành hoán vị kia. Định nghĩa 5. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 14 Phép thế: cho tập N={a1,a2, ...,an},ánh xạ p : N N gọi là phép thế bậc n Kí hiệu p=         1 n , , 1 n a a a a biến ai thành ai  1 na a gọi là dòng trên,  , ,1 na a gọi là dòng dưới . Định nghĩa 6. Một phép thế gọi là chẵn nếu tính chẵn , lẻ của dòng trên và dòng dưới là như nhau. 2. Định thức : Cho ma trận vuông A=(aij)nxn ứng với mỗi phép thế p=         1 n , , 1 n a a a a ta lập Tích gồm n phần tử của ma trận ở các hàng và cột khác nhau lập thành tích ai1aj1.ai2aj2... ainajn (*) ta đặt trước (*) đấu (+) nếu phép thế p là chẵn và đấu (- ) nếu phép thế là lẻ. Tổng tất cả các tích dạng (*) với dấu theo quy ước của chúng được gọi là định thức của ma trận A . Tính chất của định thức : a, Định thức của ma trận là bất biến đối với phép chuyển vị |A| = |At| b, Det(AB) = DetA . DetB = DetB. DetA c, Det Ak = (detA)k. d, Khi đổi chỗ 2 cột (dòng) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. e, Nếu định thức có hai cột (dòng) giống nhau thì bằng 0. f, Có thể đưa ra ngoài thừa số chung của một cột ( dòng) của định thức 11 1n 11 1n n1 nn n1 nn ka a a a k. ka a a a            g, Mỗi phần tử của một cột bằng tổng của hai số thì ta có dạng phân tích: 11 1 1n 11 1n 1 1n n1 n nn n1 nn n nn a k a a a k a a k a a a k a                    h, Nếu nhân các phần tử của một cột (dòng) với một số khác 0 rổi cộng với các phần tử cùng dòng (cột ) khác thì định thức không thay đổi. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 15 3. Các cách tính định thức cấp n. -Định nghĩa . Định thức con : định thức con úng với phần tử nào đó của định thức |A| là định thức cấp nhỏ hơn 1 đơn vị suy ra từ |A| bằng cách bỏ hàng và cột chứa phần tử đó . Kí hiệu : Dịj là định thức con ừng vời phần tử aij Từ đó ta có cách tính định thức như sau: |A| = n i j ij ij i,j 1 ( 1) .a .D   Như vậy ta có cách tính định thức bằng cách khai triển theo hàng hoặc cột của định thức 4. Hạng của ma trận : -Định nghĩa . Cho ma trận A = (aij )n x n . Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A . Kí hiệu R(A) = r .Nghĩa là nếu có một định thức con cấp r của A khác 0 con các định thức con khác của A cấp >r đều bằng 0. 5. Chứng minh độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính : Cho hệ vectơ 1 n( ,...., )    .Ta viết các vectơ theo dạng cột , và đưa vào thành ma trận A.Ta tìm hạng của ma trận A : R(A) = r. Nếu r= n thì hệ vectơ 1 n( ,...., )    độc lập tuyến tính Nếu r < n thì hệ vectơ 1 n( ,...., )    phụ thuộc tuyến tính --------------------------o0o------------------------------- Bài 5 : Ma trận nghịch đảo I. Các định nghĩa Định nghĩa 1 Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử hàng i và cột j aij của |A| là định thức con ứng với phần tử ấy kèm theo dấu (+ ) nếu ( i+j) chẵn và dấu(-) nếu (i+j ) lẻ Kí hiệu Aij là phần bù đại số của aij Định nghĩa 2: Ma trận phụ hợp : Cho ma trận A = (aij )n x n và Aij là phần bù đại số của aij . Lập ma trận Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 16 B = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn A A A A A A A A A                    Thì Bt được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Kí hiệu PA = B t Định nghĩa 3: Ma trận nghịch đảo : Định lý : Cho ma trận A = (aij )n x n thì phương trình ma trận AX=I và XA=I có nghiệm thì nghiệm cho bởi công thức X = A P | A | nếu |A|  0. Định nghĩa 4 Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu |A|  0. Định nghĩa 5 Ma trận X tìm được của 2 phương trình trên là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Kí hiệu : Ma trận nghịch đảo của A là A-1 .  cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A :  Tính |A|.  Nếu |A| = 0 thì kết lụân không có ma trận nghịch đảo . Nếu |A|  0 thì chuyển sang bước tiếp theo  Tìm PA  Kết luận : A-1 = A P | A | --------------------o0o------------------------ Bài 6 : Hệ phương trình tuyến tính. I . Khái niệm Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: 1. Định nghĩa 1 : Một hệ thống m phương trình tuyến tính với n ẩn có dạng : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 17 11 1 12 2 1n n 1 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b               (1) Các aij là các số cho trước thuộc trường K, xj là các ẩn . Các ma trận A = 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a ... a a a ... a ... a a ... a                ; B = 1 m b b            ; AB = 11 1n 1 21 2n 2 m1 mn m a a b a a b a a b                    Lần lượt là ma trận hệ số , ma trận hệ số tự do , ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính (1). Nếu viết theo công thức theo ma trận thì ta có : AX = B . với X = 1 2 n x x x              . 2. Định nghĩa 2. hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là thuần nhất nếu các bi = 0 (i=1,2,..,n). Ngược lại thì không là thuần nhất. II. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . 1. Định nghĩa 1. Bộ n số 1 n,..,  với i K  gọi là 1 nghiệm của hệ phương trình tuyến tính nếu thay i ix   thì ta được mệnh đề đúng. Tức là  A B với 1 n            , 2. Định nghĩa 2: Hệ (1) được gọi là tương thích nếu nó co nghiệm , ngược lại gọi là không tương thích . Nếu (1) tương thích và có nghiệm duy nhất thì gọi là hệ xác định., ngược lại gọi là hệ vô định. Chú ý : Mọi hệ thuần nhất luôn là hệ tương thích vì luôn có nghiệm x=0 là nghiệm tầm thường. III. Hệ n phương trình và n ẩn : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 18 1. Dạng phương trình: AX = B với A = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn nxn a a ... a a a ... a ... a a ... a                , X = 1 2 n x x x              , B = 1 n b b            . 2. Hệ phương trình tuyến tính Cramer : là hệ phương trình tuyến tính với A không suy biến . 3. Nghiệm của hệ Cramer : Hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi công thức (i) i A x A  , i=1,2, ... n . với A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bằng cột ma trận B. Chứng minh : Ta có AX = B 1 1A AX A B   do |A| khác 0 nên A khả nghịch . Khi đó 1 A 11 21 n1 1 1n 2n nn n i 1j 1 2 j 2 nj n (i) P X A B B A A A A b A A A b A 1 x (A b A b ... A b ) A |A | = A                              Ta có điều phải chứng minh. IV. Giải hệ phương trình tuyến tính . 1. Điều kiện tương thích của hệ phương trình tuyến tính . Định lý Kronecker - Capelly. Cho hệ phương trình tuyến tính (1) , Điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là R(A) = R(AB). 2. Biện luận : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 19 Hệ phương trình tuyến tính (1 ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R(A)=R(AB)= n . Hệ phương trình tuyến tính (1 ) có vô số nghiệm khi và chỉ khi R(A)=R(AB) < n . Hệ phương trình tuyến tính (1 ) vô nghiệm khi và chỉ khi R(A)≠R(AB). 3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Dạng AX = 0 - Luôn có nghiệm tầm thường X=0 . - Nếu R(A) = n thì đó là nghiệm duy nhất. Định lý : Điều kiện cần và đủ để AX = 0 có nghiệm không tầm thường là R(A) < n . Hệ quả 1 : Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính n ẩn , n phương trình co nghiệm không tầm thường là |A| = 0 . Hệ quả 2 : Cho hệ phương trình tuyến tính AX = 0 . A  Mat (m,n) co m<n thì có nghiệm không tầm thường. 4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss. Giả sử ta giải hệ phương trình tuyến tính sau: 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4 a x a x a x a b x b x b x b c x c x c x c            Với điều kiện hệ tương thích dùng các biến đổi tương đương đưa về dạng: 1 12 2 13 3 14 2 23 3 24 3 34 x x x x x x               Ta giải hệ này thay cho hệ ban đầu . Định lý : Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thay đổi nếu thực hiện các phép biến đỏi sau đây: a, Đổi chỗ hai phương trình của hệ. b, Nhân một phương trình của hệ với một vô hương khác 0. c, Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình khác của hệ. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 20 Do đó khi giải hệ bằng phương pháp Gauss ta viết hệ phương trình đề bài , sau đó viết ma trận mở rộng . áp dụng các biến đổi trên để đưa về dạng ma trận tam giác trên. Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4x 2x x 7 x x 3x 5 3x 2x x 6            Lời giải : Ta có ma trận mở rộng : (1) (2) B (3) 4 2 1 7 1 1 3 5 A = 1 1 3 5 = 4 2 1 7 3 2 1 6 3 2 1 6 1 1 3 5 1 1 3 5 0 -2 -11 -13 0 -2 -11 -13 0 -1 -8 -9 0 0 1 1                                         Bước (1) : Ta đổi dòng 1 cho dòng 2 Bước (2) : Ta nhân dòng 1 với -4 rồi cộng vào dòng 2, nhân dòng 1 với -3 rồi cộng vào dòng 3. Bước (3) : Ta nhân dòng 2 với rồi cộng vào dòng 3. Cuối cùng ta được ma trận tam giác trên. Nên có x3 = 1 ,thay vào phương trình thứ 2 có x2 = 1 .Thay vào phương trình 1 thì nhận được x1 = 1. Vậy nghiệm của hệ là ( 1;1;1). Bài tập chương 1 1. Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : a, 1  =( -1,-2,1,2), 2  =(0,-1,2,3), 3  =(1, ,3)4,1,2), 4  =(-1,0,1) b, 1  =(-1,1,0,1), 2  =(1,0,1,1), 3  =(-3,1,-2,-1). 2. Trong K - không gian vectơ cho hệ vectơ ( 1  , 2  ,.., n  ) Xét xem hệ này có độc lập tuyến tính hay không trong mỗi trường hợp sau : a, Có một vectơ của hệ bằng vectơ không. b, Có hai vectơ của hệ bằng nhau. c,                        1 1 2 1 2 n 1 2 n , ,..., ... mà hệ (      1 2 n , ,..., ) độc lập tuyến tính. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 21 3. Cho các ma trận với các phần tử thuộc trường số thực R: A =       1 3 2 0 2 1 1 3 ; B =             1 0 0 2 1 1 2 1 ; C =          1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 ; D =             1 2 1 3 0 1 0 1 0 1 0 1 Hãy tìm các ma trận : a, 2A - 3BT và 3CT + 2D . b, A.B và B.A . c, C.D và D.C . 4. Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau : a,        cos -sin sin cos b,           2 5 7 6 3 4 5 2 3 c,                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d,                          1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 e,                      0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5. Tính hạng của ma trận sau: a,          25 67 35 2001 155 26 98 23 234 66 24 56 32 45 66 b,           5 6 3 2 8 5 3 7 4 Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 22 c,           4 5 5 6 3 8 4 12 2 5 3 8 6. Tính các định thức sau: a, 4 5 2 6 b,     5 6 8 5 4 6 2 4 6 c, 1 2 5 a b c 4 6 5 d,    2 5 4 3 3 5 4 6 8 2 6 5 4 5 6 8 e,       5 4 6 4 2 5 7 6 6 3 6 5 4 6 4 6 7. Giải hệ phương trình sau bằng các phương pháp đã học ( Cramer, Gauss): a,            2x 2y 3z 7 x y z 1 2x y 3z 4 b,                      2x 6y 3z 4t 17 4x 5y 2z t 6 x y z 3t 3 x y 5z 3t 1 c,                        3x 4y z 2t 3 0 3x 5y 3z 5t 6 0 3x 5y 3z 7t 8 0 6x 8y z 5t 8 0 d,                        2x 2y z t 4 0 4x 3y z 2t 6 0 8x 5y 3z 4t 12 0 3x 3y 2z 2t 6 0 --------------------o0o------------------------ Chương 2 : Toán xác suất Bài 1 : Giải tích tổ hợp 1. Tính giai thừa . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 23 Định nghĩa : Giai thừa : Cho n  N thì n giai thừa kí hiệu là n! và n! = 1.2....n. Quy ước 0! = 1 2. Hoán vị . Định nghĩa: Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp của n phần tử của tập M theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Kí hiệu Pn và Pn = n! Ví dụ: Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập từ các số {1,2,3} ? Lời giải . Số các số được lập là hoán vị của 3 phần tử của tập {1,2,3} = 3! =6. Nhận xét : Hai hoán vị là khác nhau nếu thứ tự của các phần tử là khác nhau. 3. Chỉnh hợp đơn . Định nghĩa: Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp k phần tử của n phần tử của tập M theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử . Kí hiệu Pn k và P kn = n! (n k)! với 0 k n  Ví dụ : Có bao nhiêu sốcó 2 chữ số và các chữ số khác nhau được lập từ các số {1,2,3}? Số các số là chỉnh hợp đơn chập 2 của 3 chữ số : 23P = 6 số . Nhận xét : Hai chỉnh hợp là khác nhau nếu nếu chúng có thứ tự khác nhau hoặc phần tử khác nhau. 4. Chỉnh hợp lặp . Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử trong tập Mlà một tập hợp có thứ tự gồm k phần tử lấy từ tập M mà mỗi phần tử có thể có mặt k lần . Ví dụ . Cho tập M ={1,2} . Lập số chỉnh hợp lặp chập 3 của 2 phần tử ? Số các chỉnh hợp lặp là : 111, 112, 121, 211, 122, 212, 221, 222. Nhận xét : số chỉng hợp lặp chập k của n phần tử là : nk Ví dụ : Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 tặng phẩm cho 3 người ? Số cách là chỉnh hợp lặp chập 12 của 3 tức là có 312 cách . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 24 5. Tổ hợp . Định nghĩa: Cho tập M gồm n phần tử . Một tập con của M ( không kể thứ tự ) gồm k phần tử là một tổ hợp chập k của n phần tử . Kí hiệu là knC và k n n! C k!(n k)!   với 0 k n Ví dụ 1 . Có bao nhêiu cách chọn 5 ngưới trong 50 người đi lao động ? Số cách là một tổ hợp chập 5 của 50 phần tử tức là 550C =  50! 5!(50 5)! . Ví dụ 2 . Có bao nhiêu cách phân 12 hành khách lên 3 toa tàu , mà toa 1 có đúng 3 hành khách ? Đầu tiên chọn 3 hành khách lên toa 1 : 312C cách chọn . Còn lại phân lên 2 toa là chỉnh hợp lặp chập 9 của 2 : 29 cách . Vậy có 312C . 2 9 cách phân chia . Nhận xét : Hai tổ hợp khác nhau nếu có một phần tử khác nhau .  Công thức nhị thức Newton : (a+b)n = n k n k k n k 0 C a b  