Giáo trình Toán cao cấp C1 (Chuẩn kiến thức)

ảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp (bậc Cao đẳng) – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2 (Dùng cho SV Cao đẳng) –NXB Giáo dục.
Chương 1. Hàm số một biến số §1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục . §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho ,X Y ⊂ ℝ khác rỗng. Ánh xạ :f X Y→ với ( )x y f x=֏ là một hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: { }( )G y f x x X= = ∈ .
Chương 1. Hàm số một biến số – Nếu 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x= ⇒ = thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. a) Hàm số :f →ℝ ℝ thỏa ( ) 2xy f x= = là đơn ánh. b) Hàm số : [0; )f → +∞ℝ thỏa 2( )f x x= là toàn ánh. c) Hsố : (0; )f +∞ → ℝ thỏa ( ) lnf x x= là song ánh. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− = ∀ ∈ • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− =− ∀ ∈
Chương 1. Hàm số một biến số Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g f G D⊂ . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x= = được gọi là hàm số hợp của f và g. Chú ý ( )( ) ( )( ).f g x g f x≠  VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x= + − − là hàm hợp của 2( ) 2f x x x= − và 2( ) 1g x x= + .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngược • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu 1g f −= , nếu ( ), f x g y y G= ∀ ∈ . Nhận xét – Đồ thị hàm số 1( )y f x−= đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x= qua đường thẳng y x= . VD 3. Cho ( ) 2xf x = thì 1 2 ( ) logf x x− = , mọi x > 0. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 2
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π −   là 1 : [ 1; 1] ; 2 2 f −  π π − → −   arcsinx y x=֏ . VD 4. arcsin 0 0= ; arcsin( 1) 2 π − = − ; 3 arcsin 2 3 π = .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x= có hàm ngược trên [0; ]π là 1 : [ 1; 1] [0; ]f − − → π arccosx y x=֏ . VD 5. arccos 0 2 π = ; arccos( 1)− = π; 3 arccos 2 6 π = ; 1 2 arccos 2 3 − π = . Chú ý arcsin arccos , [ 1; 1]. 2 x x x π + = ∀ ∈ −
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π−     là 1 : ; 2 2 f −  π π→ −     ℝ arctanx y x=֏ . VD 6. arctan 0 0= ; arctan( 1) 4 π − =− ; arctan 3 3 π = . Quy ước. ( ) ( )arctan , arctan . 2 2 π π +∞ = −∞ =−
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x= có hàm ngược trên (0; )π là 1 : (0; )f − → πℝ cotx y arc x=֏ . VD 7. cot0 2 arc π = ; 3 cot( 1) 4 arc π − = ; cot 3 6 arc π = . Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc+∞ = −∞ = π
Chương 1. Hàm số một biến số §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x L− < ε . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = , nếu mọi dãy {xn} trong 0( ; ) \ { }a b x mà 0n x x→ thì lim ( ) n n f x L →∞ = .
Chương 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ , ký hiệu lim ( ) x f x L →+∞ = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( )f x L− < ε . • Tương tự, ký hiệu lim ( ) x f x L →−∞ = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì ( )f x L− < ε . Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi 0 x x→ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x → = +∞ , nếu 0M∀ > lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x M> . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 3
Chương 1. Hàm số một biến số • Tương tự, ký hiệu 0 lim ( ) x x f x → = −∞ , nếu 0M∀ < có trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x M< . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0 x x→ với 0 x x> thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L → + = hoặc 0 lim ( ) x x f x L +→ = . • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0 x x→ với 0 x x< thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L → − = hoặc 0 lim ( ) x x f x L −→ = . Chú ý. 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L − +→ → → = ⇔ = =
Chương 1. Hàm số một biến số 2.2. Tính chất Cho 0 lim ( ) x x f x a → = và 0 lim ( ) x x g x b → = . Khi đó: 1) 0 lim [ . ( )] . x x C f x C a → = (C là hằng số). 2) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x a b → ± = ± . 3) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x ab → = ; 4) 0 ( ) lim , 0 ( )x x f x a b g x b→ = ≠ ; 5) Nếu 0 0 ( ) ( ), ( ; )f x g x x x x≤ ∀ ∈ − ε + ε thì a b≤ . 6) Nếu 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x L → → = = thì 0 lim ( ) x x h x L → = .
Chương 1. Hàm số một biến số Định lý • Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x a v x b → → = > = thì: 0 ( )lim [ ( )] .v x b x x u x a → = VD 1. Tìm giới hạn 2 12 lim 3 x x x x L x − →∞  =   +  . A. 9L = ; B. 4L = ; C. 1L = ; D. 0L = . Các kết quả cần nhớ 1) 0 0 1 1 lim , lim x xx x− +→ → = −∞ = +∞.
Chương 1. Hàm số một biến số 2) Xét 1 1 0 1 1 0 ... lim ... n n n n m mx m m a x a x a L b x b x b − − −→∞ − + + + = + + + , ta có: a) n n a L b = nếu n m= ; b) 0L = nếu n m< ; c) L =∞ nếu n m> . 3) 0 0 sin tan lim lim 1 x x x x x xα → α → α α = = α α . 4) Số e: ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 . x x x x x e x→±∞ →   + = + =   
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2. Tìm giới hạn 2 2 3 lim 1 2 1 x x x L x→∞  = +    + . A. L =∞; B. 3L e= ; C. 2L e= ; D. 1L = . VD 3. Tìm giới hạn ( ) 1 2 4 0 lim 1 tan x x L x +→ = + . A. L =∞; B. 1L = ; C. 4L e= ; D. L e= .
Chương 1. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa • Hàm số ( )xα được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) 0 x x x → α = (x0 có thể là vô cùng). VD 1. ( )3( ) tan sin 1x xα = − là VCB khi 1x −→ ; 2 1 ( ) ln x x β = là VCB khi x →+∞. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 4
Chương 1. Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB 1) Nếu ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ thì ( ) ( )x xα ± β và ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 2) Nếu ( )xα là VCB và ( )xβ bị chận trong lân cận 0 x thì ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 3) 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x a f x a x → = ⇔ = +α , trong đó ( )xα là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x x k x→ α = β . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )xα là VCB cấp cao hơn ( )xβ , ký hiệu ( ) 0( ( ))x xα = β . – Nếu k = ∞, ta nói ( )xα là VCB cấp thấp hơn ( )xβ . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x xα β∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2. • 1 cosx− là VCB cùng cấp với 2x khi 0x → vì: 2 2 20 0 2 sin 1 cos 12lim lim 2 4 2 x x x x x x → → − = =       . • 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x− −∼ khi 1x → .
Chương 1. Hàm số một biến số • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x xα β ⇔ α − β = α = β∼ . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β β γ∼ ∼ thì ( ) ( )x xα γ∼ . 3) Nếu 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β α β∼ ∼ thì 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )x x x xα α β β∼ . 4) Nếu ( ) 0( ( ))x xα = β thì ( ) ( ) ( )x x xα + β β∼ . • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x xα β là tổng các VCB khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x x x→ α β bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 3. Tìm giới hạn 3 4 20 cos 1 lim x x x L x x→ − + = + . Chú ý. Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên. • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x x∼ ; 2) tanx x∼ ; 3) arcsin x x∼ ; 4) arctan x x∼ 5) 2 1 cos 2 x x− ∼ ; 6) 1xe x− ∼ ; 7) ln(1 )x x+ ∼ ; 8) 1 1n xx n + − ∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. VD 6. 2 20 0 2 ( 1) ( 1) lim lim x x x x x x e e e e x x − − → → + − − + − = 20 ( ) lim 0 x x x x→ + − = = (Sai!). VD 4. Tính giới hạn 2 20 ln(1 2 sin ) lim sin .tanx x x L x x→ − = . VD 5. Tính ( ) 2 2 30 sin 1 1 3 tan lim sin 2x x x x L x x→ + − + − = + . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 5
Chương 1. Hàm số một biến số 3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ (x0 có thể là vô cùng). VD 7. 3 cos 1 2 sin x x x + − là VCL khi 0x → ; 3 2 1 cos 4 3 x x x x + − − + là VCL khi x → +∞. Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0 x x→ thì 1 ( )f x là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số b) So sánh các VCL • Định nghĩa Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x f x k g x→ = . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x . – Nếu k =∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 8. • 3 3 x là VCL khác cấp với 3 1 2x x+ khi 0x → vì: 3 3 3 3 30 0 0 3 1 2 lim : 3 lim 3 lim 2x x x x x x x x x x x→ → →   +  = = = ∞   + . • 3 32 1 2x x x+ − ∼ khi x →+∞.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 9. Tính các giới hạn: 3 3 cos 1 lim 3 2x x x A x x→∞ − + = + ; 3 2 7 2 2 1 lim 2 sinx x x B x x →+∞ − + = − . • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x→ bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm số một biến số §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1. Định nghĩa • Số 0 f x D∈ được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu 0 0 0 0 : ( ; ) \ { }x x x x∃ε > ∀ ∈ − ε + ε thì f x D∉ . • Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . • Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi điểm 0 x X∈ . Quy ước • Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x).
Chương 1. Hàm số một biến số 4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x −→ = ( 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x +→ = ). • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ). x x x x f x f x f x − +→ → = = 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại x0 là hàm số liên tục tại x0. • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 6
Chương 1. Hàm số một biến số VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x  + >=  α ≤ . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 0α = ; B. 1 2 α = ; C. 1α = ; D. 3 2 α = . VD 2. Cho hàm số 2 2 ln(cos ) , 0 ( ) arctan 2 2 3, 0 x x f x x x x  ≠=  + α − = . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 17 12 α = ; B. 17 12 α =− ; C. 3 2 α =− ; D. 3 2 α = .
Chương 1. Hàm số một biến số 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm số ( )f x không liên tục tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm gián đoạn của ( )f x . • Nếu tồn tại các giới hạn: 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x − − → = , 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x + + → = nhưng 0 ( )f x− , 0 ( )f x+ và 0 ( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói 0 x là điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, 0 x là điểm gián đoạn loại hai.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. ĐẠO HÀM §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc L’Hospital 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận ( ; )a b của 0 ( ; )x a b∈ . Giới hạn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x∆ → ∆ → +∆ −∆ = ∆ ∆ (nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x′ hay 0 ( )y x′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do 0 x x x∆ = − nên: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x→ − ′ = − Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi 0 0 0 ( ) ( ) ( ).f x f x f x− +′ ′ ′= = b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận phải 0 ( ; )x b của 0 x . Giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x+→ − − (nếu có) được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x+′ . Tương tự, 0 ( )f x−′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f ′= ⇒ = ∞, ( ) (0 )f x x f +′= ⇒ = +∞. c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số y x ∆ →∞ ∆ khi 0x∆ → thì ta nói ( )y f x= có đạo hàm vô cùng tại 0 x . • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. Chú ý Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0 x thì tiếp tuyến tại 0 x của đồ thị ( )y f x= song song với trục Oy .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v′ ′ ′± = ± ; ( )uv u v uv′ ′ ′= + ; 2 , k kv k v v ′  ′− = ∈    ℝ; 2 u u v uv v v ′  ′ ′− =    . 2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x= : ( ) ( ). ( )f x y u u x′ ′ ′= hay ( ) ( ). ( )y x y u u x′ ′ ′= . 3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x= : 1 ( ) ( ) x y y x ′ = ′ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 7
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) ( ) 1.x xα α−′ = α ; 2) ( ) 1 2 x x ′ = ; 3) ( )sin cosx x′ = ; 4) ( )cos sinx x′ = − ; 5) ( ) 2 1 tan cos x x ′ = 6) ( ) 2 1 cot sin x x ′ = − ; 21 tan x= + ;
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 7) ( )x xe e′ = ; 8) ( ) .lnx xa a a′ = ; 9) ( ) 1ln x x ′ = ; 10) ( ) 1log .lna x x a ′ = ; 11) ( ) 2 1 arcsin = 1 x x ′ − ; 12)( ) 2 1 arccos = 1 x x −′ − ; 13) ( ) 2 1 arctan 1 x x ′ = + ; 14) ( ) 2 1 cot 1 arc x x −′ = + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số • Cho hàm số ( )y f x= có phương trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t= = . Giả sử ( )x x t= có hàm số ngược và hàm số ngược này có đạo hàm thì: ( ) ( ) . ( ) t x t yy t y x hay y x t x ′′ ′ ′= = ′ ′ VD 2. Tính ( )y x′ của hàm số cho bởi 2 3 2 1 , 0 4 x t t y t  = − ≠ = . VD 3. Tính (1) x y ′ của hàm số cho bởi 2 2 tx e y t t  = = − .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x′ và ( )f x′ có đạo hàm thì ( )( ) ( )f x f x′′ ′′= là đạo hàm cấp hai của ( )f x . • Tương tự ta có: ( )( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x− ′= là đạo hàm cấp n của ( )f x . VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x= . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f = ; B. (6)(0) 32f =− ; C. (6)(0) 16f =− ; D. (6)(0) 0f = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x += − . VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2 1 3 4 y x x = − − .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình ( , ) 0F x y = (*). Nếu ( )y y x= là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0 x y x F F y′ ′ ′+ = . Vậy , 0.xx y y F y F F ′ ′ ′= − ≠ ′ ( ) x y x y′ ′= được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y x . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 8
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Ta có thể xem hàm ẩn ( )y x như hàm hợp ( )u x và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp. VD 10. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 3 2 4( 1) 0y x y x+ + + = . Tính ( )y x′ . VD 8. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: ln 0xxy e y− + = (*). Tính (0)y ′ . VD 7. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi 0x yxy e e− + = . Tính ( )y x′ . VD 9. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 2 2ln arctan y x y x + = . Tính ( )y x′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp một • Hàm số ( )y f x= được gọi là khả vi tại 0 f x D∈ nếu 0 0 0 ( ) ( ) ( )f x f x x f x∆ = +∆ − có thể biểu diễn dưới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ với A là hằng số và 0( )x∆ là VCB khi 0x∆ → . Khi đó, đại lượng .A x∆ được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x= tại x0. Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x . Nhận xét • 0 ( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ 0 ( ) 0( )f x x A x x ∆ ∆ ⇒ = + ∆ ∆
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 00 0 ( ) ( )x f x A f x A x ∆ →∆ ′⇒ → ⇒ = ∆ . 0 0 ( ) ( ).df x f x x′⇒ = ∆ hay ( ) ( ).df x f x x′= ∆ . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . Vậy ( ) ( ) .df x f x dx hay dy y dx′ ′= = VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e= tại 0 1x = − . VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy = . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x= + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao • Giả sử ( )y f x= có đạo hàm đến cấp n thì 1 ( )( )n n n nd y d d y y dx−= = được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x= . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x= . VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e= . Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức ( )n n nd y y dx= không còn đúng nữa. VD 6. Tính vi phân cấp 2 của ( ) tanf x x= tại 0 4 x π = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b∈ . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại 0 x trong ( ; )a b thì 0 ( ) 0f x′ = . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b= thì ( ; )c a b∃ ∈ sao cho ( ) 0f c′ = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b′ ≠ ∀ ∈ . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c ′− = ′− 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ). f b f a f c b a − ′= − ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 9
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2. Cực trị của hàm số 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b . Khi đó: • ( )f x được gọi là tăng (đồng biến) trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − > − , 1 2 , ( ; )x x a b∀ ∈ và 1 2 x x≠ . • ( )f x được gọi là giảm (nghịch biến) trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − < − , 1 2 , ( ; )x x a b∀ ∈ và 1 2 x x≠ . • ( )f x được gọi là đơn điệu trong ( ; )a b nếu ( )f x tăng hay giảm trong ( ; )a b .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • Nếu ( )f x đơn điệu trong ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì ( )f x đơn điệu trong ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự). b) Định lý Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; )a b . Khi đó: • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ > ∀ ∈ thì ( )f x tăng trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ < ∀ ∈ thì ( )f x giảm trong ( ; )a b . VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của 2ln( 1)y x= + . VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của 2 2 1 ( ) ( 1) x f x x + = − . VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của 2 1 2 y x x = − . VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của 3 4xy e −= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.2. Cực trị a) Định nghĩa Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0 x và 0 ( ) ( )f x f x< hay 0 ( ) ( )f x f x> , 0 ( ; ) \ { }x a b x∀ ∈ thì ( )f x đạt cực tiểu hay cực đại tại 0 x . b) Định lý Cho ( )f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )a b chứa 0 x thỏa (2 1) 0 0 ( ) ... ( ) 0nf x f x−′ = = = và (2 ) 0 ( ) 0nf x ≠ . • Nếu (2 ) 0 ( ) 0nf x > thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0 x . • Nếu (2 ) 0 ( ) 0nf x < thì ( )f x đạt cực đại tại 0 x . VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của 4( )f x x= , 3( )f x x= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x= có MXĐ D và X D⊂ . • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0 : ( )x X f x M∃ ∈ = và ( ) , f x M x X≤ ∀ ∈ . Ký hiệu là: max ( ) x X M f x ∈ = . • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0 : ( )x X f x m∃ ∈ = và ( ) , f x m x X≥ ∀ ∈ . Ký hiệu là: min ( ) x X m f x ∈ = . Chú ý • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D⊂ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • Nếu max ( ) x X M f x ∈ = và min ( ) x X m f x ∈ = thì: ( ) ,m f x M x X≤ ≤ ∀ ∈ . b) Phương pháp tìm max – min  Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b . Để tìm [ ; ] max ( ) x a b f x ∈ và [ ; ] min ( ) x a b f x ∈ , ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x′ = . Giả sử có n nghiệm 1 ,..., [ ; ] n x x a b∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ). • Bước 2. Tính 1 ( ), ( ),..., ( ), ( ) n f a f x f x f b . • Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 23( ) 3 2 f x x x x= − − + trên đoạn [0; 2]. Chú ý • Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. • Có thể đổi biến số ( )t t x= và viết ( ) ( ( ))y f x g t x= = . Gọi T là miền giá trị của hàm ( )t x thì: max ( ) max ( ) x X t T f x g t ∈ ∈ = , min ( ) min ( ) x X t T f x g t ∈ ∈ = . VD 7. Tìm max, min của 2( ) 5 6f x x x= − + + . VD 8. Tìm max, min của 2 sin 1 sin sin 1 x y x x + = + + . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 10
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) Cho hàm ( )y f x= liên tục trên ( ; )a b ( ,a b có thể là ∞). Để tìm ( ; ) max ( ) x a b f x ∈ và ( ; ) min ( ) x a b f x ∈ , ta thực hiện các bước: • Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x′ = . Giả sử có n nghiệm 1 ,..., [ ; ] n x x a b∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ). • Bước 2. Tính 1 ( ),..., ( ) n f x f x và hai giới hạn 1 2 lim ( ), lim ( ) x a x b L f x L f x + −→ → = = . • Bước 3. Kết luận: 1) Nếu 1 1 2 max{ ( ),..., ( )} max{ , } n f x f x L L> thì 1( ; ) max max{ ( ),..., ( )} nx a b f f x f x ∈ = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Ta có thể lập bảng biến thiên của ( )f x thay cho bước 3. VD 10. Tìm max, min của 2 ( ) 2 1 x f x x = + − . 2) Nếu 1 1 2 min{ ( ),..., ( )} min{ , } n f x f x L L< thì 1( ; ) min min{ ( ),..., ( )} nx a b f f x f x ∈ = . 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt max (hoặc min). VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 ( ) 1 x f x x = − trên khoảng (1; )+∞ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §4. CÔNG THỨC TAYLOR 4.1. Công thức khai triển Taylor a) Khai triển Taylor với phần dư Peano • Cho hàm ( )f x liên tục trên [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp 1n + trên ( ; )a b với 0 , ( ; )x x a b∈ ta có: ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (( ) ). ! kn k n k f x f x x x O x x k= = − + −∑ b) Khai triển Maclaurin • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại 0 0x = được gọi là khai triển Maclaurin.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Vậy: ( ) 0 (0) ( ) ( ). ! kn k n k f f x x O x k= = +∑ • Khai triển Maclaurin được viết lại: / // 2 ( ) (0) (0) ( ) (0) ... 1! 2! (0) ... ( ). ! n n n f f f x f x x f x O x n = + + + + + VD 1. Khai triển Maclaurin của ( ) tanf x x= đến 3x .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ 1) 21 1 ... 0( ) 1 n nx x x x x = + + + + + − . 2) 2 1 ... 0( ) 1! 2! ! n x nx x xe x n = + + + + + . 3) 2 3 4 ln(1 ) ... 0( ) 1 2 3 4 nx x x xx x+ = − + − + + . 4) 2 4 6 cos 1 ... 0( ) 2! 4 ! 6! nx x xx x= − + − + + . 5) 3 5 7 sin ... 0( ) 1! 3! 5! 7 ! nx x x xx x= − + − + + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý • Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta thay x trong các công thức trên bởi ( )u x . VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số 2 1 1 3 y x = + đến 6x . VD 3. Khai triển Maclaurin của 2ln(1 2 )y x= − đến 6x . VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số 2xy = đến 4x . VD 5. Cho hàm số ( ) cos2f x x x= . Tính (7)(0)f . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 11
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §5. QUY TẮC L’HOSPITAL VD 1. Tìm giới hạn 20 2 lim x x x e e L x − → + − = . Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x khả vi trong lân cận của điểm 0 x và ( ) 0g x′ ≠ trong lân cận của 0 x (có thể 0 ( ) 0g x′ = ). Nếu 0 ( ) lim ( )x x f x g x→ có dạng 0 0 hoặc ∞ ∞ thì: 0 0 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( )x x x x f x f x g x g x→ → ′ = ′ Chú ý  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 3. Tìm giới hạn ( )3 0 lim ln x L x x +→ = (dạng 0×∞). VD 4. Tìm giới hạn 1 1 1 lim x x L x − → = (dạng 1∞). VD 2. Tìm giới hạn 2 2 2 20 sin lim .arctanx x x L x x→ − = . A. 0L = ; B. L =∞; C. 1 2 L = ; D. 1 3 L = .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định §4. Tích phân suy rộng §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa • Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b′ = ∀ ∈ . Ký hiệu ( )f x dx∫ (đọc là tích phân). Nhận xét • Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C+ cũng là nguyên hàm của ( )f x .
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k= ∈∫ ∫ ℝ 2) ( ) ( )f x dx f x C′ = +∫ 3) ( ) ( )d f x dx f x dx =∫ 4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ . MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C= + ∈∫ ℝ 2) 1 , 1 1 x x dx C α+ α = + α ≠− α +∫
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3) lndx x C x = +∫ ; 4) 2 dx x C x = +∫ 5) x xe dx e C= +∫ ; 6) ln x x aa dx C a = +∫ 7) cos sinxdx x C= +∫ ; 8) sin cosxdx x C=− +∫ 9) 2 tan cos dx x C x = +∫ ; 10) 2 cotsin dx x C x =− +∫ 11) 2 2 1 arctan dx x C a ax a = + + ∫ 12) 2 2 arcsin , 0 dx x C a aa x = + > − ∫
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 13) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a − = + +− ∫ 14) ln tan sin 2 dx x C x = +∫ 15) ln tan cos 2 4 dx x C x  π= + +   ∫ 16) 2 2 ln dx x x a C x a = + + + + ∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Toán cao cấp C1 Cao đẳng 12
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 24 dx I x = − ∫ . A. 1 2ln 4 2 x I C x + = + − ; B. 1 2ln 4