Giáo trình Tín hiệu và Hệ thống - Bài 16: Đáp ứng tần số và bộ lọc tương tự - Trần Quang Việt

Ví dụ 2: 2 10( 100)( ) ( 2 100) sH s s s + = + + Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Thiết kế bộ lọc tương tự
Bộ lọc thực tế và các yêu cầu thiết kế
Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Thiết kế bộ lọc bằng cách bố trí các poles và zeros 3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 |H(j )| Gp 1 p s Gs 0 Passband Stopband |H(j )| Gp 1 ps Gs 0 PassbandStopband |H(j )| Gp 1 s1 Gs 0 Passband Stopband p1 p2s2 |H(j )| Gp 1 s1 Gs 0 Passband Stopband p1 p2 s2 Stopband Passband Bộ lọc thực tế và các yêu cầu thiết kế Lowpass filter Highpass filter Bandpass filter Bandstop filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Xét hệ thống với hàm truyền H(s): 1 1 1 1 ( )( )...( )( )( ) ( ) ( )( )...( ) n n n s z s z s zP sH s bQ s s s sλ λ λ − − − = = − − − Khảo sát đáp ứng tần số  s=jω: 1 2 1 2 ...| ( ) | ... n n r r rH j d d d ω = Im Re z1 z2 0 j r1 r1 d1 d2 1 2 1 2 ( ) ... ... n n H jω φ φ φ θ θ θ ∠ = + + + − − − − 4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Tăng độ lợi bằng một pole: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Tăng độ lợi bằng một pole: 5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Tăng độ lợi bằng một pole: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Tăng độ lợi bằng một pole: 6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Tăng độ lợi bằng một pole: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Giảm độ lợi bằng một zero: 7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Giảm độ lợi bằng một zero: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Giảm độ lợi bằng một zero: 8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Giảm độ lợi bằng một zero: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số theo poles và zeros
Giảm độ lợi bằng một zero: 9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Thiết kế bộ lọc bằng cách bố trí các poles và zeros
Bộ lọc thông thấp: Butterworth Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Thiết kế bộ lọc bằng cách bố trí các poles và zeros
Bộ lọc thông cao: 10 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Thiết kế bộ lọc bằng cách bố trí các poles và zeros
Bộ lọc thông dãi: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Thiết kế bộ lọc bằng cách bố trí các poles và zeros
Bộ lọc chắn dãi: 11 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Thiết kế bộ lọc bằng cách bố trí các poles và zeros Trên thực tế người ta tìm được các phép biến đổi để thiết kế bộ lọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào bộ lọc thông thấp  Tập trung khảo sát thiết kế bộ lọc thông thấp (xem như bộ lọc mẫu – Prototype Filter) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth
Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Butterworth bậc n: ( )2 1| ( ) | 1 c n H j ω ω ω = +  Tại tần số ωc, đáp ứng biên độ bằng 1/(2)1/2 hoặc -3dB  công suất suy giảm ½ : gọi là tần số cắt, tần số 3dB hoặc tần số ½ công suất  Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1) như sau: 2 1| ( ) | 1 n jω ω = + H 12 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth  Đáp ứng biên độ của bộ lọc chuẩn hóa:
Xác định hàm truyền của bộ lọc chuẩn hóa: s jω= Các poles của H(s)H(-s) phải thỏa: 2 2( )n ns j= − (2 1)1 j ke pi −− = / 2jj e pi= 2 (2 1)n j k ns e pi + −= 2 1| ( ) | 1 n jω ω = + H 2 1( ) ( ) 1 n j jω ω ω − = + H H 2 1( ) ( ) 1 ( / ) ns s s j− = +H H Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Re Im -1 1 j -j Bộ lọc Butterworth ( 2 1) 2 ; 1, 2, 3, ..., 2 j k n n ks e k n pi + − = = Kết luận: n poles của H(s): Vậy các poles của H(s)H(-s) là: ( 2 1) 2 ; 1, 2, 3, ..., j k n n ks e k n pi + − = = Re Im -1 1 j -j H(-s)H(s) H(-s)H(s) 13 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth Vậy H(s) có dạng: ( 2 1) 2 ; 1, 2, 3, ..., j k n n ks e k n pi + − = = 1 2 3 1( ) ( )( )( )...( )n s s s s s s s s s = − − − − H Ví dụ: xét trường hợp n=4 5 /8 1 0.3827 0.9239 js e jpi= = − + 7 /8 2 0.9239 0.3827 js e jpi= = − + 9 /8 2 0.9239 0.3827 js e jpi= = − − 11 /8 1 0.3827 0.9239 js e jpi= = − − Re Im -1 j -j s1 s2 s3 s4 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth 1( ) ( 0.3827 0.9239)( 0.3827 0.9239)( 0.9239 0.3827)( 0.9239 0.3827)s s j s j s j s j= + − + + + − + +H 2 2 1( ) ( 0.7654 1)( 1.8478 1)s s s s s= + + + +H⇒ ⇒ 4 3 2 1( ) 2.6131 3.4142 2.6131 1 s s s s s = + + + + H Làm tương tự ta có thể tính được cho trường hợp bậc n bất kỳ: 1 1 1 1 1( ) ( ) ... 1n n n n s B s s a s a s− − = = + + + + H Bn(s): Gọi là đa thức Butterworth!!! 14 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1++a1s+1 n 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth Butterworth Polynominal in Factorized Form n ( )nB s 15 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth
Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc: ( )sH / cs s ω← ( )H s Thiết kế bộ lọc Butterworth bậc 2 với ωc=10 2 1( ) 2 1 s s s = + + H ( ) ( )210 10 1( ) 2 1s s H s = + + / cs s ω← 2 100( ) 10 2 100 H s s s = + + ⇒ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth
Xác định bậc n của bộ lọc và ωc theo các yêu cầu thiết kế:  Độ lợi (dB) tại tần số ωx: ( )21 010 log 1 xc nxG ωω = − +    Độ lợi (dB) tại tần số ωp: ( )21 01 0 log 1 0pc npG ωω ≤ − + ≤    Độ lợi (dB) tại tần số ωs: ( )2100 10 log 1 sc nsG ωω ≥ ≥ − +   ( )2 / 1 01 0 1s s c n Gω ω −≥ − ( )2 /1010 1p p c n Gω ω −≤ − ⇒ ( ) /102 /1010 110 1 s s p p Gn G ω ω − − −≥ − ⇒ /10/10log (10 1) /(10 1) 2 log ( / ) ps GG s p n ω ω − −  − − ≥⇒ /10 1 / 2(10 1)p p c G n ω ω − ≥ − /10 1/ 2(10 1)s s c G n ω ω − ≤ − ⇒ 16 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth
Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth: Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa mãn các yêu cầu sau: Độ lợi dãi thông (0≤ω<10) không nhỏ hơn -2dB; độ lợi dãi chắn (ω≥20) không vượt quá -20dB  Bước 1: Xác định  Bước 2: Xác định ωc: /10/10log (10 1) /(10 1) 2 log ( / ) ps GG s p n ω ω − −  − − ≥ /10 1 / 2(10 1)p p c G n ω ω − ≥ − /10 1/ 2(10 1)s s c G n ω ω − ≤ − và  Bước 3: Xác định H(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính)  Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / cs s ω← ( )H s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bộ lọc Butterworth  Bước 1:  Bước 2: 2 0 .2lo g (1 0 1) / (1 0 1) 3 .7 0 1 2 lo g 2 n  − − ≥ = 0 .2 1 / 8 1 0 1 0 .6 9 4(1 0 1)cω ≥ =−  Bước 3:  Bước 4:  chọn n=4 2 1 / 8 2 0 1 1 .2 6(1 0 1)cω ≤ =−  chọn ωc=11 ( ) ( )81010 1110 log 1 1 .66 2p designG dB dB = − + = − > −  ( ) ( )8201 0 1110 log 1 20 .8 20s d esignG dB dB = − + = − < −  2 2 1( ) ( 0 .76536686 1)( 1.84775907 1)s s s s s= + + + +H ( ) ( ) ( ) ( )2 211 11 11 11 1( ) [ 0.76536686 1][ 1.84775907 1]s s s s H s = + + + + 2 2 14641( ) ( 8.41903546 121)( 20.32534977 121)H s s s s s= + + + +⇒