Giáo trình môn Đại số tuyến tính

. Ma trận vuông có n dòng, n cột gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không. Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta gọi đường chéo chính của A là đường chứa các phần tử a11, a22, . . ., ann. Đường chéo phụ là đường chứa các phần tử a1n, a2(n-1), . . ., an1. Đường chéo chính Đường chéo phụ Ma trận vuông chỉ có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 còn các phần tử khác bằng 0 thì gọi là ma trận đơn vị. Kí hiệu : I Tập hợp tất cả các ma trận cấp m ´ n có phần tử lấy trên trường số K được kí hiệu là : Mm´n(K) Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Cho ma trận A, nếu ta đổi tất cả các dòng của A thành các cột theo thứ tự thì ta được một ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A. Kí hiệu là AT. Vậy, nếu A = (aij) thì AT = (aji). Phép nhân một số với một ma trận. Cho ma trận A = (aij) và số c. Ta định nghĩa : c.A = (c.aij) _ nhân c vào tất cả phần tử của ma trận A. Phép cộng ma trận Cho hai ma trận A = (aij) và B = (bij), ta định nghĩa A + B = (aij + bij)_ cộng tương ứng từng phần tử của hai ma trận. Tính chất của phép cộng ma trận Phép cộng ma trận có tính chất : giao hoán, kết hợp, 0 + A = A + 0 = A; A + (-A) = 0; (A+B)T = AT + BT; c(A +B) = cA + cB ; (c + d). A = cA + dA. Phép nhân ma trận Cho hai ma trận (A)m´n và (B)n´p, kí hiệu AB = (C)m´p là tích của A và B, là ma trận được định nghĩa bởi: (ab)ij = (a)i1.(b)1j + (a)i2.(b)2j + . . . + (a)in.(b)nj. Ví dụ ; thì Chú ý : Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Tính chất của phép nhân ma trận T/C1 : (AB).C = A(BC) T/C2 : A.0 = 0.A = 0 T/C 3 : A(B ± C) = AB ± AC ; (A ± B).C = AC ± BC T/C 4 : (AB)T = BT.AT. T/C 5 : c(AB) = (cA).B = A(cB). Một số ma trận vuông đặc biệt Ma trận đường chéo : Là ma trận vuông có tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Kí hiệu ma trận đường chéo cấp n là: diag(a1, a2, . . ., an). Ma trận tam giác : Ma trận vuông A gọi là ma trận tam giác nếu aij = 0 với mọi i > j hoặc i < j, tức là : hoặc Ma trận đối xứng : Ma trận A là đối xứng nếu AT = A ( tức aij = aji). Nhận xét Tổng, hiệu, tích của hai ma trận đường chéo là một ma trận đường chéo. Nếu A = diag(a1, a2, . . ., an) thì Ak = diag(a1k, a2k, . . ., ank). Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Cho A là ma trận cấp m´n, kí hiệu di là dòng thứ i của A. Ta có các phép biến đổi sơ cấp sau: Đổi chỗ hai dòng cho nhau : di « dj Nhân một dòng nào đó với một số : di ® c.di Thay một dòng nào đó bởi tổng của dòng đó với tích của một số với dòng khác : di ® di + c.dj. Hạng của ma trận Ma trận bậc thang : Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang nếu A có dạng Kí hiệu RA là ma trận bậc thang của ma trận A. Hạng của A là số dòng khác 0 của RA. Kí hiệu hạng của ma trận A là : rank(A) hay r(A). Ví dụ Þ r(A) = 2. Ma trận khả nghịch Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta nói : A là khả ngịch trái nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho B.A = In. A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho A.B = In. A là khà nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In. ( B được gọi là ma trận nghịch đảo của A). Kí hiệu : A-1. Mệnh đề. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Khi đó Nếu A có 1 dòng (hay 1 cột) bằng 0 thì A không khả nghịch. Nếu A khả nghịch thì A-1, AT, cA (c ≠ 0) cũng khả nghịch và (A-1)-1 = A; (AT)-1 = (A-1)T; (cA)-1 = . Nếu A, B khả nghịch thì tích AB cũng khả nghịch và (AB)-1 = B-1.A-1. Định lí Cho A là ma trận vuông cấp n và A khả nghịch. Khi đó, những phép biến đổi sơ cấp nào biến A thành In thì cũng chính phép biến đổi đó biến In thành A-1 theo thứ tự đó. Cách tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phép biến đổi sơ cấp B1 : Viết ma trận I bên phải ma trận A dạng A|I B2 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp, biến A thành I. Khi đó ma trận bên phải thu được chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận d2 -2d3 d1-3d2 -d2 d3 +4d2 d2 – 2d1 d3 + 7d1 d1 -d3 d2-2d3 d3-2d2 Khi đó ma trận nghịch đảo của A là PHÉP THẾ ( HOÁN VỊ) Định nghĩa Cho một tập hợp S = { 1;2;3; . . .; n}. Một song ánh T : S ® S được gọi là một phép thế. Nếu đặt T(i) = ji thì phép thế T có thể viết dưới dạng. hay ngắn gọn là T = (j1, j2, . . . , jn) Tập hợp tất cả các phép thế trên S = {1,2,. . ., n} kí hiệu là : Sn Ví dụ 1. Một phép thế T được gọi là một phép chuyển vị nếu có hai thành phần đổi chỗ cho nhau còn những phần tử khác giữ nguyên. Phép chuyển vị đổi i cho j kí hiệu là Tij. Ví dụ 2. Nghịch đảo của phép thế T là ánh xạ ngược của T, kí hiệu : T-1 Phép thế đồng nhất là ánh xạ đồng nhất , kí hiệu là I. Ta có I(x) = x. Nhận xét : , do đó Tij = Tji ; Tij ° Tji = I hay Tij = (Tji)-1. Ví dụ 3. thì Do đó : Chu trình Cho tập { i1, i2, . . ., ir} Ì {1,2,3, . . ., n}. Phép thế P thỏa P(i1) = i2, P(i2) = i3, . . ., P(ir) = i1 thì ta nói P là một chu trình độ dài r. Kí hiệu : P = (i1 i2 . . .ir). Ví dụ Các phép thế trong ví dụ 3 là các chu trình, cụ thể : P = ( 123), Q = (13), PQ = (23), QP = (12) Định lí : Mọi phép thế đều biểu diễn được thành tích các chu trình Hệ quả : Mọi phép thế đều được biểu diễn thành tích các chuyển vị và (i1i2. . .ir) = (i1ir)(i1i2). Ví dụ Cho phép thế , ta nói rằng ji và jk tạo thành một nghịch thế nếu i jk . Gọi N(T) là số các nghịch thế của T. Đặt s(T) = (-1)N(T) : gọi là dấu của phép thế T. Nếu T là một r – chu trình thì ta có : s(T) = (-1)r-1. ĐỊNH THỨC Định nghĩa Cho A là ma trận vuông cấp n Ta gọi định thức A là số : detA = . Trong đó, ji = T(i), T Î Sn . Kí hiệu : |A| = detA. Trường hợp n = 2, S2 = {e, (1 2) } Trường hợp n = 3, S3 = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} * * * * * * * * * * * * * * * * * * Quy tắc : Hoặc nhớ cách tính detA bằng công thức Sarrus như sau : Viết cột 1 và 2 vào bên phải cột 3. Khi đó, detA bằng tổng các tích trên đường chéo chính trừ đi tổng các tích trên đường chéo phụ. Ví dụ Tính Ta có detA = . Các tính chất cơ bản của định thức Tính chất 1 : det(AT) = detA Tính chất 2 : Nếu ma trận A có ít nhất một dòng là dòng 0 thì detA = 0 Tính chất 3 : Nếu đổi chỗ 2 dòng (hoặc 2 cột) thì định thức đổi dấu. Tính chất 4 : Nếu hai dòng (hoặc 2 cột) của ma trận có các phần tử tương ứng tỷ lệ thì detA = 0. Tính chất 5 : Nếu nhân một dòng ( hoặc 1 cột) với một số k thì detA tăng lên k lần. Tính chất 6 : Nếu aij = bj + cj , (j = 1,2, . . ., n) thì detA = det B + detC Với B, C là ma trận có được bằng cách thay dòng i bởi các giá trị bj, cj tương ứng. Tính chất 7. Nếu một cột của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của những cột khác thì detA = 0. Tính chất 8. Nếu cộng thêm vào cột nào đó một tổ hợp tuyến tính của các cột khác thì định thức không đổi. Khai triển định thức Cho ma trận vuông A cấp n. Kí hiệu A(i|j) là ma trận có được bằng cách xóa đi dòng i và cột j của ma trận A. Ví dụ thì ta có A(2|3) = Bổ đề : Cho A = (aij) là ma trận cấp n. Nếu tồn tại i, j sao cho aik = 0 , "k ≠ j thì detA = (-1)i + j .aij. detA(i|j). Ví dụ Phần bù đại số ĐN : Cho ma trận vuông A = (aij) cấp n. Với mỗi i, j, phần tử cij = (-1)i+jdetA(i|j) được gọi là phần bù đại số của aij. Định lí Cho ma trận vuông A = (aij) cấp n, cij là phần bù đại số của aij. Khi đó detA = ap1.cp1 + ap2.cp2 + . . . + apn.cpn = (1) = a1q.c1q + a2q.c2q + . . . + anq.cnq = (2) Công thức (1) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng p; công thức (2) được gọi là công thức khai triển định thức theo cột q. Ví dụ Cho Khai triển detA theo dòng 1 ta có: detA = a11.c11 + a12.c12 + a13.c13 Trong đó : . Do đó : detA = - 13 Nhận xét Khi tính định thức bằng cách khai triển, ta chọn dòng ( hoặc cột) có nhiều phần tử 0. Định lí Laplace Định nghĩa phần bù đại số của một ma trận Cho A = (aij) là ma trận cấp n. Chọn trong A các dòng i1, i2, . . ., ik ( 1 ≤ i1 < i2 < ik ≤ n) và các cột j1, j2, . . ., jk (1 ≤ j1 < j2 < jk ≤ n). Kí hiệu A(i1,. . .,ik|j1, . ..,jk) là ma trận có được bằng cách xóa đi các dòng và các cột trên. Khi đó được gọi là một định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng và các cột nêu trên. được gọi là phần bù đại số của M trong A. Định lí Laplace Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n. Chọn trong A các dòng i1, i2, . . ., ik . Khi đó trong đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1, i2, . . ., ik và các cột j1, . . ., jk ; M’ là phần bù đại số của M. Ví dụ . Tính Nhận thấy dòng 1 và dòng 4 có nhiều số 0 nên ta chọn khai triển d theo dòng 1 và dòng 4. + = = (-1)(-5).5 = 25 Vài định thức có dạng đặc biệt Dạng 1. Theo định lí Laplace ta có Dạng 2. Ma trận tam giác. hoặc . Khi đó ta có : detA = a11.a22ann Dạng 3. Tính định thức cấp n Ví dụ. Tính . Khai triển theo dòng đầu ta được Định thức thứ nhất cấp n-1, khai triển định thức thứ hai theo dòng đầu ta được định thức cấp n – 2. Do đó ta có : An = 2An-1 – An-2. Vì D1 = 2, D2 = 3 nên bằng quy nạp ta được : An = 2n – (n-1) = n + 1. Định thức và ma trận khả nghịch Cho ma trận vuông A = (aij)n. Gọi cij là phần bù đại số của aij và đặt C = (cij)n. Khi đó ta có: A.CT = CT.A = |A|.In . Do đó, nếu A khả nghịch thì : A-1 = |A|-1.CT. Ma trận CT được gọi là ma trận phụ hợp của A, kí hiệu : PA. Vậy : A-1 = |A|-1.PA Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Ta có : |A| = 2 ≠ 0 nên A khả nghịch. c11 = 6, c12 = -5, c13 = 1 ; c21 = -6, c22 = 8, c23 = -2 ; c31 = 2, c32 = -2, c33 = 1 Suy ra ma trận phụ hợp của A là : Do đó : HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Cho một hệ gồm n phương trình tuyến tính n ẩn (*) Đặt và Với mỗi , ta gọi Aj là ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bằng cột của B. Hệ (*) được gọi là hệ phương trình Crame nếu |A| ≠ 0. Ví dụ thì Định lí Xét hệ phương trình tuyến tính (*) Nếu |A| ≠ 0 thì (*) có duy nhất nghiệm X = (x1, x2, . . ., xn) với Nếu |A| = 0 và tồn tại jÎ{1,2,. . .,n} sao cho |Aj| = 0 thì hệ (*) vô nghiệm. Nếu |A| = 0 và |Aj| = 0 với mọi j Î{1,2,. . .,n} thì hệ có nghiệm không duy nhất. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình : Ví dụ 2. Giải và biện luận hệ phương trình : CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG 1 Thực hiện các phép toán ma trận : cộng, trừ hai ma trận; nhân một số với một ma trận; nhân hai ma trận; lập ma trận chuyển vị. Tìm hạng của một ma trận Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp và vằng định thức. Tính định thức Dùng quy tắc Sarrus Dùng khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột. Giải hệ phương trình Crame --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương 2. KHÔNG GIAN VECTƠ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa không gian vectơ Kí hiệu: K là trường số thực R hoặc trường số phức C. Ta gọi X là không gian vectơ trên K, nếu mỗi cặp phần tử x,y Î X được đặt tương ứng với phần tử duy nhất, kí hiệu là x + y Î X, gọi là tổng của x và y. Mỗi l Î K, x Î X đặt tương ứng với phần tử duy nhất, kí hiệu là lx Î X, gọi là tích của l và x, thỏa mãn các điều kiện sau: Với x, y, z Î X; l, m Î K thì (1). x + y = y + x (2). (x + y) + z = x + (y + z) (3). Tồn tại 0 Î X sao cho: x + 0 = x ( 0 gọi là phần tử 0) (4). Tồn tại (-x) Î X sao cho : x + (-x) = 0 ( -x gọi là phần tử đối của x) (5). (l + m)x = lx + mx (6). l.(x + y) = lx + ly (7). (lm)x = l(mx) (8). 1.x = x Mỗi phần tử của không gian vectơ được gọi là một vectơ. Ta viết : x + (-y) = x – y ( đọc : “ x trừ y”) Phép toán : x + y gọi là phép cộng vectơ ; phép toán lx gọi là phép nhân với vô hướng. Không gian vetơ trên R gọi là không gian vectơ thực; trên C gọi là không gian vectơ phức. Một số ví dụ Ví dụ 1. Kn = {(x1, x2, . . ., xn): x1, x2, . . ., xn Î K}, với mọi x = (x1, . . ., xn), y = (y1, . . ., yn), l Î K Ta định nghĩa x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . .; xn + yn) lx = (lx1; lx2; . . .,lxn) Kn cùng với các phép toán trên là một không gian vectơ, gọi là không gian vectơ Kn. Ví dụ 2. Tập K[x] các đa thức hệ số trong K là một không gian vectơ với phép cộng và phép nhân một số với một đa thức thông thường. Ví dụ 3. Tập Kn[x] các đa thức bậc ≤ n là không gian vectơ với phép toán trên K[x]. Ví dụ 4. Tập hợp các vectơ tự do trong mặt phẳng với phép cộng và nhân vectơ với 1 số thực đã biết là một không gian vectơ trên R. Tập hợp các vectơ tự do trong không gian với phép cộng và nhân vectơ với 1 số thực đã biết là một không gian vectơ trên R. Tính chất đơn giản của không gian vectơ T/c 1 : Phần tử 0 là duy nhất T/c 2 : 0x = 0 với mọi x Î X; l.0 = 0 với mọi l Î K. T/c 3 : -x là duy nhất và –x = (-1).x Từ các tính chất trên ta có x = y nếu và chỉ nếu x – y = 0. x + z = y + z nếu và chỉ nếu x = y. T/c 4 : lx = 0 Û l = 0 hoặc x = 0 T/c 5 : T/c 6 : "x Î X, "l Î K, -(lx) = (-l)x = l(-x). KHÔNG GIAN VECTƠ CON Định nghĩa Cho X là một không gian vectơ và M là tập con khác rỗng của X. Khi đó, M được gọi là không gian vectơ con của X nếu M là một không gian vectơ ứng với phép cộng và phép nhân vô hướng của X khi ta hạn chế chúng trên M. Định lí Định lí 1 Tập M khác rỗng của không gian vectơ X là một không gian vectơ con của X khi và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa. "x, y Î M thì x + y Î M "l Î K, "x Î M thì lx Î M Chứng minh Chiều thuận : hiển nhiên Chiều đảo : Giả sử tập con M có hai tíính chất (i), (ii) thì M có các tính chất của định nghĩa không gian vectơ, ngoại trừ việc kiểm tra trong M có vectơ 0. Thật vậy, do M ≠ Æ nên tồn tại x Î M. Theo (ii), 0 = 0.x Î M. Hiển nhiên x + 0 = x, mọi x Î M.(đpcm) Nhận xét Tập con M của không gian vectơ X là không gian vectơ con nếu và chỉ nếu thỏa hai điều kiện sau: Đ/k 1 : 0 Î M Đ/k 2 : lx + y Î M với mọi x, y Î M, l Î K. Ví dụ 1. 0 º {0} Ì X là không gian vectơ con của X Ví dụ 2. V = { (x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} là không gian vectơ con của R3. Ví dụ 3. Cho X = R2 và M = { x = (x1, 0): x1 Î R} thì mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) Î M, l Î R, ta có: 0 = (0,0) Î M lx + y = (lx1 + y1, 0 + 0) = (lx1 + y1, 0) Î M Vậy M là một không gian vectơ con của X. Ví dụ 4. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số trên K như sau: (1) Giả sử X = ( x1, x2, . . ., xn) và Y = (y1, y2, . . ., yn) là hai nghiệm của hệ (1) thì ta có : X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, . . ., xn + yn) và kX = (kx1, kx2, . . ., kxn) cũng là các nghiệm của hệ. Do đó, tập hợp các nghiệm của hệ (1) tạo thành một không gian vectơ con của không gian vectơ n chiều Kn. Ký hiệu không gian này là S và gọi là không gian nghiệm của hệ (1). Định lí 2 Giao của một họ tùy ý các không gian con của X là một không gian con của X. Chứng minh Giả sử , trong đó {Mi }iÎI là họ các không gian con của X. Khi đó, với x,y Î M và l Î K thì x, y Î Mi, iÎI nên x + y Î Mi và lx Î Mi, "iÎ I. Do đó, x + y Î M và lx Î M. Suy ra đpcm. Không gian con sinh bởi một tập. Định nghĩa tổ hợp tuyến tính Cho S là một tập con tùy ý của không gian vectơ X.Cho v1, v2, . . ., vk Î S, l1, l2, ..., lkÎ K. Một tổ hợp tuyến tuyến tính của các vectơ v1, v2, . . ., vk Î S là một tổng có dạng : x = l1v1 + l2v2 + . . . + lkvk (1) Vectơ x viết dưới dạng (1) được gọi là biểu diễn tuyến tính được qua v1, v2, . . ., vk. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S kí hiệu là = { l1v1 + l2v2 + . . . + lkvk | v1, v2, . . ., vk Î S, l1, l2, ..., lkÎ K} Quy ước : = {0} º 0. Bổ đề Với mọi tập con S của không gian vectơ X, là không gian con nhỏ nhất chứa S. ĐN hệ sinh : Tập S được gọi là một hệ sinh của không gian vectơ X nếu = X Nhận xét S là hệ sinh của X nếu và chỉ nếu mọi x Î X đều là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc S. Nếu x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1, v2, . . ., vk thì x cũng là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1, v2, . . ., vk, vk+1 . ( vì ta có thể coi x = l1v1 + l2v2 + . . . + lkvk + 0.vk+1. ) Ví dụ Trong Kn, đặt ei = (0,0,. . ., 1, 0, . . .,0), 1 ở vị trí thứ i. Tập { e1, e2, . . ., en} là hệ sinh của Kn. Trong K3 , cho v = (1,0,1), u = (1,1,0) Khi đó = { (a, 0, a)| a Î K} và = { av + bu| a, b Î K} = {(a + b, b, a) | a, b Î K} {xn, n Î N*} là hệ sinh của không gian vectơ K[x]. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính. Định nghĩa Họ các vectơ v1, v2, . . ., vk của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số l1, l2, ..., lkÎ K không đồng thời bằng 0 sao cho : l1v1 + l2v2 + . . . + lkvk = 0 Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là họ độc lập tuyến tính. Tính chất Tính chất 1. Nếu các vectơ v1, v2, . . ., vk là phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại một hệ số khác 0, giả sử là lk. Khi đó : . Do đó, nếu họ : v1, v2, . . ., vk là phụ thuộc tuyến tính thì có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Tính chất 2 Cho các hệ S, T là các không gian vectơ con của X và S Ì T. Khi đó (i). S phụ thuộc tuyến tính thì T phụ thuộc tuyến tính (ii). T độc lập tuyến tính thì S độc lập tuyến tính Tính chất 3 ( bổ đề cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính) Cho S = { v1, v2, . . ., vk} là một hệ vectơ và T = { u1, u2, . . ., um} là một hệ vectơ độc lập tuyến tính sao cho T Ì . Khi đó m ≤ k. Chứng minh Giả sử ngược lại, m > k. Vì u1 Î nên tồn tại l1, l2, . . ., lk không đồng thời bằng 0 sao cho u1 = l1v1 + l2v2 + . . . + lkvk Giả sử l1 ≠ 0 , chia (*) cho l1 ta được : v1 = b1u1 + b2v2 + . . . + bkvk (*) Ta lại có u2 = l’1v1 + l’2v2 + . . . + l’kvk . Thay (*) vào ta được u2 = c1u1 + c2v2 + . . . + ckvk và các hệ số c1, c2, . . ., ck không đồng thời bằng 0 ( Vì T là độc lập tuyến tính). Giả sử c2 ≠ 0 thì ta có u3 là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, v3, . . ., vk. Tiếp tục quá trình này sau k + 1 bước ta được uk+1 là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . ., um. Điều này mâu thuẫn với T là hệ độc lập tuến tính. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại. Cho S = { v1, v2, . . ., vk} là hệ trong không gian vectơ X. Hệ S’ Ì S được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại của S nếu S’ là độc lập tuyến tính và nếu bổ sung thêm một vectơ bất kì ta được hệ phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ Trong mặt phẳng, hai vectơ không cùng phương bất kì là độc lập tuyến tính. Hai vectơ cùng phương hoặc 3 vectơ bất kì là phụ thuộc tuyến tính. Do đó hệ S gồm hai vecto không cùng phương là hệ độc lập tuyến tính tối đại của không gian vectơ trong mặt phẳng. Trong không gian R3, các vectơ (1,2,1), (1,1,2), (1,4,-1) là phụ thuộc tuyến tính vì 3(1,2,1) – 2(1,1,2) – (1,4,-1) = 0. Hệ {e1, e2, . . ., en} trong Kn là độc lập tuyến tính. Vì giả sử l1e1 + l2e2 + . . . + lkek = 0 Thì l1 = l2 = . . . = ln = 0. Một hệ chứa vectơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính. Vì 0 = l.0 với l ≠ 0. Hệ có hai vectơ trùng nhau là hệ phụ thuộc tuyến tính. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU Định nghĩa số chiều Không gian vectơ X trên K được gọi là n chiều nếu X có n vectơ độc lập tuyến tính và không tồn tại một họ độc lập tuyến tính bào chứa nhiều hơn n vectơ. Vậy số chiều của không gian vectơ X là số vectơ của hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của X. Không gian vectơ có số chiều hữu hạn thì gọi là không gian vectơ hữu hạn chiều. Kí hiệu số chiều của X là : dim(X). Định nghĩa cơ sở Họ n vectơ độc lập tuyến tính của một không gian vectơ n chiều gọi là một cơ sở của X. Hay nói cách khác : Tập con B của không gian vectơ X là cơ sở của X nếu B độc lập tuyến tính và = X. Ví dụ Æ là cơ sở của không gian O chỉ gồm một vectơ 0. Kn có cơ sở là hệ { e1, e2, . . ., en}, gọi là cơ sở chính tắc của Kn. { 1, x, . . ., xn} là một cơ sở của Kn[x]. Do đó dim(Kn[x]) = n + 1. {xn, n Î N*} là cơ sở của K[x]. Do đó dim(K[x]) = ¥. Hạng của một hệ vectơ Cho một hệ vectơ S. Ta gọi hạng của S là số vectơ độc lập tuyến tính tối đại của S. Kí hiệu : r(S). Vậy r(S) = dim(S) Gọi A là ma trận có các dòng là các vectơ của hệ vectơ S. Khi đó, hạng của hệ S bằng hạng của ma trận A. Ví dụ Trong R4 cho các vectơ : v1 = (1;1;-2;1), v2=(1;-2;3;0), v3=(2;1;0;3), v4=(2;4;-5;4) Tìm số chiều và một cơ sở của V = . Giải dim(V) = r(V) = r(A), với A là ma trận có các dòng là các vectơ của hệ V. r(A) = = 3 Vậy dim(V) = 3 và một cơ sở của V là {v1, v2, v3} Định lí ( về cơ sở không toàn vẹn) Trong không gian vectơ hữu hạn chiều, mọi họ vectơ độc lập tuyến tính đều có thể bổ túc thành một cơ sở. Tọa độ của một vectơ trong cơ sở. Cho B = {vi}iÎI là cơ sở của không gian vectơ X. Khi đó với mỗi x Î X, tồn tại duy nhất bộ số (li)iÎI trong K sao cho : Ta gọi bộ (li)iÎI là tọa độ của x trong cơ sở B. Kí hiệu : , với X là không gian n chiều. Ví dụ. Trong R3, cho các vectơ v1 = (1;3;0), v2 = (-2;2;1), v3 = (0;1;2). Chứng minh rằng B = { v1, v2, v3} là một cơ sở của R3. Tìm tọa độ của vectơ v = (1;1;-1) trong cơ sở trên. Giải Vì B có 3 vectơ ( bằng với số chiều của R3) nên ta chỉ cần chứng minh hệ B là độc lập tuyến tính. Thật vậy, xét định thức của ma trận tạo thành từ 3 vectơ của B như sau: . Suy ra hệ B là độc lập tuyến tính và r(B) = 3. Ta cần tìm x = (x1, x2, x3) sao cho : v = x1v1 + x2v2 + x3v3 (*) Từ (*) ta có hệ pt : . Vậy tọa độ của v đối với cơ sở B là : Ma trận đổi cơ sở. Công thức đổi tọa độ Trong không gian vectơ X cho các cơ sở : U = { u1, u2, . . ., un} và V = { v1, v2, . . ., v} Giả sử : . Khi đó ma trận : gọi là ma trận đổi cơ sở từ U sang V. Kí hiệu là : CU,V hoặc C : U ® V. Kí hiệu : [x]U và [x]V lần lượt là tọa độ của x đối với cơ sở U và V. Khi đó ta có [x]U = CU,V[x]V Ví dụ. Trong R3 cho các hệ vectơ U = {u1, u2, u3} và V = { v1, v2, v3}, trong đó u1 = (1,1,1); u2 = (1,1,2) ; u3 = (1,2,3) v1 = (2,1,-1) ; v2 = (3,2,5) ; v3 = (1,-1,m), m Î R. Chứng minh U là cơ sở của R3, tìm tọa độ của vectơ u = (a,b,c) trong cơ sở U. Tìm m để V là một cơ sở của R3. Tìm ma trận đổi cơ sở từ U sang V với m = 1. Giải Ta chỉ cần chứng minh U là hệ độc lập tuyến tính.Thật vậy Do đó U là hệ độc lập tuyến tính nên U là một cơ sở của R3. Giải sử u có tọa độ là (x1, x2, x3) trong cơ sở U. Khi đó, u = x1u1 + x2u2 + x3u3 Û (a,b,c) = (x1, x1, x1) + (x2, x2, 2x2) + (x3, 2x3, 3x3) Giải hệ ta được x1 = a + b – c ; x2 = a – 2b + c ; x3 = b – a Do đó, tọa độ của u trong hệ U là : V là cơ sở của R3 Khi m = 1 thì V = { v1 = (2,1,-1) ; v2 = (3,2,5) ; v3 = (1,-1,1)} Áp dụng kết quả câu (a) ta có: [v1]U = (4, -1, -1) ; [v2]U = (0,4,-1) ; [v3]U = (-1,4,2). Từ đó, ta có ma trận đổi cơ sở CU,V là Tổng của các không gian con ĐN : Cho M1, M2 là các không gian con của không gian vectơ X. Ta gọi M1 + M2 = { x1 + x2 | x1 Î M1, x2 Î M2 } là tổng của các không gian con M1 và M2. Nếu M1 Ç M2 = {0} thì tổng M1 + M2 được gọi là tổng trực tiếp và kí hiệu : M1 Å M2 Tính chất Bổ đề 5.1. Cho M1, M2 là các không gian con của không gian vectơ X. Khi đó M1 + M2 = nên ta cũng có M1 + M2 là không gian con của X. Bổ đề 5.2. Cho M1, M2 là các không gian con của không gian vectơ X. Khi đó M = M1 Å M2 nếu và chỉ nếu mọi x Î M đều viết được một cách duy nhất dưới dạng : x = x1 + x2, trong đó x1 Î M1, x2 Î M2. Định lí Nếu M1 và M2 là các không gian con hữu hạn chiều của X thì (M1 + M2 ) hữu hạn chiều và Dim(M1 + M2) = dimM1 + dimM2 – dim(M1 Ç M2). ---------------------------------------------------------------------- CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG II Chứng minh một tập M là không gian vectơ con của một không gian vectơ X. Chứng minh một vectơ là tổ hợp tuyến tính của một hệ hữu hạn vectơ cho trước. Chứng minh một hệ (hữu hạn) vectơ là độc lập tuyến tính. Tính hạng của một hệ vectơ Chứng minh một hệ vectơ hữu hạn là cơ sở của một không gian vectơ. Tìm tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở. Tìm ma trận đổi cơ sở . Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính trên K là một hệ gồm m phương trình bậc nhất với n ẩn, có dạng: (*) trong đó, aij Î K là các hệ số, bi Î K gọi là các hệ số tự do. xi là các ẩn. Định lí về sự tồn tại nghiệm (Định lí Kronecker – Capelli) Xét hệ phương trình tuyến tính (*), đặt và Hệ (*) có nghiệm nếu và chỉ nếu: r(A) = Chứng minh Phương trình (*) có thể viết dạng : x1a1 + x2a2 + . . . + xnan = b. Do đó (*) có nghiệm Û b Î Û r(a1, a2,. . ., an) = r(a1, a2,. . ., an, b) Û r(AT) = Û r(A) = . Nhận xét Nếu r(A) < thì hệ (*) vô nghiệm. Nếu r(A) = = n thì hệ (*) có nghiệm duy nhất. Nếu r(A) = = r < n thì hệ (*) có vô số nghiệm phụ thuộc (n – r) tham số. THUẬT TOÁN GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình (*) viết gọn : AX = B ( trong đó : A là ma trận hệ số; B là ma trận cột hệ số tự do; X là ẩn) Thuật toán Gauss B1 : Lập ma trận mở rộng B2 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa ma trận về dạng bậc thang B3 : Tính các ẩn xi, từ ma trận bậc thang thu được. Chú ý : Trong quá trình biến đổi sơ cấp trên dòng Nếu xuất hiện dòng 0 thì xóa bỏ, nếu thấy hai dòng bằng nhau hoặc tỷ lệ thì xóa bỏ một dòng. Nếu thấy một dòng có dạng [ 0 0 . . . 0 | a], a ≠ 0 thì kết luận ngay hệ vô nghiệm. Ví dụ. Giải hệ phương trình . Chia dòng 3 cho 13 rồi đổi chỗ dòng 2 với 3 . Dòng 3 và 4 tỷ lệ nên xóa bỏ dòng 4 ta được * . Ẩn x2 có đánh dấu (*) không phải bậc thang nên là ẩn phụ thuộc tham số. Khi đó ta có thể viết lại hệ như sau : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính có cột hệ số tự do: b1 = b2 = . . . = bm = 0 được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nhiệm tầm thường hoặc vô số nghiệm ( Nghiệm tầm thường là nghiệm : ( 0, 0 , . . ., 0)). Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tạo thành một không gian vectơ và được gọi là không gian nghiệm. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : AX = 0 (**) có không gian nghiệm là SA . Nếu r(A) = r < n thì hệ (**) có vô số nghiệm phụ thuộc ( n – r ) tham số. Khi đó nghiệm của phương trình (*) có dạng: X = ( x1, x2, . . ., xr, tr+1, tr+2, . . ., tn), trong đó, ti, (i = r + 1, r + 2, . . ., n) là các ẩn phụ thuộc tham số gọi là nghiệm tổng quát. Từ nghiệm tổng quát ta tìm được các nghiệm cơ bản của (**) có dạng: Hệ nghiệm cơ bản trên đây là một hệ độc lập tuến tính và do đó tạo thành một cơ sở của không gian nghiệm SA. Vậy : dim(SA) = n – r , r(A) = r. Ví dụ. Tìm số chiều và cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau: Giải Xét . Ta có : Suy ra : r(A) = 2 . Do đó : dim(SA) = 2. Nghiệm tổng quát X = (8x3 – 7x4 , 5x4 – 6x3, x3, x4 ) Các nghiệm cơ bản : X1 = (8, -6, 1, 0) ; X2 = ( -7, 5, 0, 1) lập thành một cơ sở của SA. Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ĐỊNH NGHĨA , TÍNH CHẤT VÀ SỰ XÁC ĐỊNH ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. Định nghĩa Cho V và W là các không gian vecto trên K. Ánh xạ f : V ® W là ánh xạ tuyến tính(AXTT) nếu thỏa hai điều kiện sau: "v1, v2, v Î V, l Î K f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2) f(lv) = lf(v). Nhận xét Điều kiện (i) và (ii) ở trên có thể được thay bởi chỉ một điều kiện : f(lv1 + v2) = lf(v1) + f(v2). Ta có : f(-v) = -f(v) Ví dụ. Các ánh xạ sau là các AXTT f : R ® Rm , f(x) = (x, 0, . . ., 0) Với mỗi i, g : Rn ® R , g(x1, x2, . . ., xn) = xi ( g được gọi là phép chiếu thứ i) Ánh xạ đồng nhất h : R2 ® R2, h(x, y) = (2x + y, x – 2y) j : R2 ® R1, j(x,y) = 3x – 2y j : K[x] ® K[x], j(P) = P’ ( trong đó P’ là đạo hàm của P). Tính chất Tính chất 1 ( Tính cộng tính): Cho f : V ® W là AXTT. Khi đó (a). f(0) = 0 (b). f(u – v) = f(u) – f(v) (c). Tính chất 2 : AXTT f : V ® W là đơn ánh nếu và chỉ nếu f-1(0) = 0 Chứng minh Nếu f đơn ánh thì hiển nhiên f-1(0) = 0 Nếu f-1(0) = 0 thì với mọi x1, x2 Î V sao cho f(x1) = f(x2) Û f(x1 – x2) = 0 Û x1 – x2 Î f-1(0) Û x1 – x2 = 0 Û x1 = x2. Tính chất 3 : Cho f : V ® W là AXTT. Khi đó Nếu E là một không gian con của V thì f(E) là không gian con của W Nếu F là không gian con của W thì f-1(F) là không gian con của V. Tính chất 4 : Cho f : V ® W là AXTT. Khi đó Nếu A = {a1, a2, . . ., an} sinh ra V thì f(A) = {f(a1), . . ., f(an)} sinh ra f(V) Nếu A độc lập tuyến tính và f là đơn ánh thì f(A) cũng độc lập tuyến tính Nếu B = {b1, . . ., bk} là độc lập tuyến tính và ci = f-1(bi), i = 1, 2, . . .,k thì C = {c1, . . ., ck} độc lập tuyến tính. Sự xác định ánh xạ tuyến tính. Định lí Cho V và W là hai không gian vecto trên cùng một trường K, E = {vi}iÎI là một cơ sở của V và {wi}iÎI là một hệ vecto tùy ý của W. Khi đó ánh xạ f : V ® W thỏa , với mọi là ánh xạ TT. Ví dụ Trong R3 cho cơ sở {e1 = (1,-1,2); e2 = (2,-1,5); e3 = (-1,1,-1)}. Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 ® R3 thỏa mãn f(e1) = (1,1,1) ; f(e2) = (1,1,0) ; f(e3) = (1,0,0). Giải B1 : Lấy x = (x1, x2, x3) Î R3 tùy ý. B2 : Tìm l1, l2, l3 theo x1, x2, x3 sao cho : x = l1e1 + l2e2 + l3e3 B3 : f(x) = l1(1,1,1) + l2(1,1,0) + l3(1,0,0) = (-4x1 – 3x2 + x3).(1,1,1) + (x1 + x2)(1,1,0) + (-3x1 – x2 + x3)(1, 0, 0) Vậy f(x) = (-6x1 – 3x2 + 2x3; -3x1 – 2x2 + x3; -4x1 – 3x2 + x3), " x = (x1, x2, x3) Î R3 là AXTT cần tìm. ẢNH, NHÂN VÀ ĐẲNG CẤU Ảnh và hạt nhân. Cho AXTT f : V ® W. Khi đó ta gọi Ảnh của ánh xạ f là tập Imf = f(X) = {w = f(v) : v Î V} Ì W Nhân của ánh xạ f là tập Kerf = f-1(0) = {v Î V : f(v) = 0} Ì V V Kerf W 0 f V W Imf f f Nhận xét Ánh xạ f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = W Ánh xạ f là đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {0} Ví dụ Cho f : R2 ® R3, f(x,y) = (x,y, x + y). Ta có Kerf = {(x,y) : f(x,y) = 0 } = {(x,y) : x = 0, y = 0, x + y = 0} = {(0,0)} Imf = { f(x,y) : (x,y) Î R2 } = {f(x(1,0) + y(0,1)) : (x,y) Î R2} = {xf(1,0) + yf(0,1): (x,y) Î R2} = {x(1,0,1) + y(0,1,1) : (x,y) Î R2} = là không gian vecto con sinh bởi (1,0,1) và (0,1,1). Cho f : Kn[x] ® Kn[x], f(P) = P’ Ta có Kerf = {P Î Kn[x] : P’ = 0} = {P Î Kn[x] : P = const} = K Imf = f(Kn[x]) = Kn-1[x] là không gian các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng (n – 1). Nhận xét Từ tính chất 3 và tính chất 4 của AXTT, ta có Nếu f : V ® W là AXTT thì Kerf là không gian con của f và Imf là không gian con của W · Liên hệ giữa dim(Imf) và dim(Kerf) Định lí : Cho f : V ® W là một AXTT. Khi đó nếu dimV < ¥ thì dim(Imf) + dim(Kerf) = dimV. Ví dụ Cho AXTT f : R3 ® R3 , f(x1, x2, x3) = (x1 – x2, x1 – x3, -x2 + x3). Xác định Imf. Giải Chọn cơ sở chính tắc của R3 là e1 = (1,0,0), e2 =