Giáo trình môn Cơ kỹ thuật

ơ kỹ thuật gồm kiến thức của hai môn học Cơ học lý thuyết và Sức bền vật liệu như một số trường Đại học và Cao đẳng khác đang sử dụng. Giáo trình được chia làm hai phần: Phần 1: Cơ học lý thuyết (cơ học vật rắn) trình bày những kiến thức về tĩnh học của cơ hệ. Phần 2: Sức bền vật liệu. Trong phần này Học sinh – Sinh viên được trang bị những kiến thức cơ bản về tính toán các kết cấu (chủ yếu là thanh) về độ bền, độ cứng. Giáo trình này được dùng để giảng dạy cho sinh viên Cao đẳng và Trung cấp Nghề của trường CDN BR - VT, đồng thời cũng có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ kỹ thuật. Khi biên soạn quyển giáo trình này chúng tôi đã cố gắng cập nhật những kiến thức mới về ngành cơ học. Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, chắc chắn sẽ không thiếu những sai sót. Rất mong đồng nghiệp và sinh viên góp ý kiến cho lần tái bản sau. Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về theo địa chỉ: Khoa Cơ Khí, Trường Cao đẳng Nghề Bà Rịa – Vũng Tàu Tác giả Thạc sĩ: Nguyễn Hữu Tuấn MỤC LỤC Lời nói đầu 1 Mục lục 2 CHƯƠNG 1: CƠ HỌC LÝ THUYẾT – TĨNH HỌC 4 BÀI 1: Các khái niệm cơ bản 4 1.1. Những khái niệm cơ bản 4 1.2. Các tiên đề tĩnh học 7 1.3. Liên kết và phản lực liên kết 9 BÀI 2: Hệ lực phẳng 15 A. HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY 15 2.1. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học 15 2.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích 20 B. HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG 23 2.3. Thu gọn hệ lực phẳng song song 23 BÀI 3: Momen của một lực đối với một điểm – Ngẫu lực 27 3.1. Momen của một lực đối với một điểm 27 3.2. Ngẫu lực 28 BÀI 4 : Hệ lực phẳng bất kỳ 30 4.1. Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ 30 4.2. Điều kiện cân bằng – Các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng 33 BÀI 5 :Masat 40 5.1. Định luật masat trượt 40 5.2. Định luật masat lăn 42 BÀI 6 :Trọng Tâm 45 6.1. Tâm của hệ lực phẳng song song 45 6.2. Trọng tâm của vật rắn 46 6.3. Trọng tâm của các vật đồng chất 46 6.4. Phương pháp xác định trọng tâm của vật rắn 47 6.5. Trọng tâm của một số vật rắn thường gặp 50 BÀI 7 :Động học điểm 51 7.1. Một số khái niệm 51 7.2. Khảo sát chuyển động bằng phương pháp tự nhiên 51 7.3. Khảo sát chuyển động bằng phương pháp tọa độ 56 BÀI 8 :Chuyển động cơ bản của vật rắn 61 8.1. Chuyển động tịnh tiến 61 8.2. Chuyển động quay quanh trục cố định 62 8.3. Chuyển động của điểm thuộc vật quay quanh trục cố định 64 BÀI 9 :Chuyển động song phẳng của vật rắn 68 9.1. Khái niệm 68 9.2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phương pháp tịnh tiến và quay 69 9.3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép quay quanh tâm quay tức thời 72 CHƯƠNG 2: SỨC BỀN VẬT LIỆU 77 BÀI 1: Các khái niệm cơ bản về sức bền vật liệu 77 1.1. Đối tượng, mục tiêu nghiên cứu 77 1.2. Nội lực - Ứng suất 78 1.3. Các giả thiết cơ bản của sức bền vật liệu 82 BÀI 2: Kéo – nén đúng tâm 83 2.1. Kéo - nén đúng tâm 83 2.2. Ba bài toán cơ bản của thanh chịu kéo-nén đúng tâm 91 3.3. Bài toán siêu tĩnh 91 BÀI 3: Cắt – Dập 98 3.1. Cắt 98 3.2. Dập 99 3.3. Bài tập áp dụng 100 BÀI 4: Xoắn thuần túy thanh thẳng mặt cắt tròn 102 4.1. Định nghĩa – nội lực 102 4.2. Ứng suất trên thanh mặt cắt tròn chịu xoắn 103 4.3. Biến dạng của thanh mặt cắt tròn chịu xoắn 105 4.4. Điều kiện bền và điều kiện cứng của thanh mặt cắt tròn chịu xoắn 106 BÀI 5: Uốn phẳng 112 5.1. Định nghĩa – nội lực 112 5.2. Uốn phẳng thuần túy 117 5.3. Uốn ngang phẳng 122 5.4. Điều kiện bền 124 BÀI TẬP THAM KHẢO 127 PHỤ LỤC 133 TÀI LIỆU THAM KHẢO 137 CHƯƠNG 1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT – TĨNH HỌC Mục tiêu: Học xong chương này người học có khả năng: - Trình bày đầy đủ các tiên đề, các khái niệm và cách biểu diễn lực, các loại liên kết cơ bản. - Biểu diễn và tính toán chính xác lực tác dụng và các phản lực liên kết. - Trình bày được các khái niệm về mômen của lực đối với một điểm, ngẫu lực - Lập được phương trình mô men tính toán hệ lực tác dụng đúng 90% - Tính toán chính xác các bài toán hệ lực phẳng song song - Giải thích rõ nguyên nhân sinh ra ma sát trượt, ma sát lăn - Trình bày được đầy đủ các khái niệm, các phương trình biểu diễn động lực học, công, công suất, động năng, thế năng - Tính toán đúng lực, công, công suất, động năng, thế năng của vật chuyển động. BÀI 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Vật rắn tuyệt đối là một tập hợp vô số các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật rắn tuyệt đối là mô hình đơn giản của vật thể khi biến dạng của nó có thể bỏ qua được do quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát.Vật rắn tuyệt đối được gọi tắt là vật rắn. Cân bằng là trạng thái đứng yên của vật rắn so với một vật rắn khác được chọn làm chuẩn ( hệ qui chiếu ). Trong tĩnh học hệ qui chiếu được chọn phải làm thoả mãn định luật quán tính của Galilê (hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối). Cân bằng như vậy được gọi là cân bằng tuyệt đối. Lực là tương tác giữa các vật mà kết quả là gây ra sự biến đổi trạng thái chuyển động cơ học (tức là sự thay đổi vị trí, bao gồm cả biến dạng) mà cân bằng chỉ là trường hợp riêng. Thí dụ 1: Hộp phấn đặt trên bàn sẽ tác dụng lên bàn một lực ép, ngược lại bàn cũng sẽ tác dụng lên hộp phấn một lực đẩy, kết quả hộp phấn không bị rơi, tức là thay đổi trạng thái của chuyển động . Kinh nghiệm và thực nghiệm xác minh rằng lực được đặc trưng bởi các yếu tố sau : Điểm đặt của lực là điểm mà tại đó vật nhận được tác dụng cơ học từ vật khác Phương chiều của lực biểu thị khuynh hướng chuyển động của lực gây cho vật Cường độ của lực là độ lớn của lực, là số đo mạnh yếu của tương tác cơ học. Đơn vị lực là Niutơn, kí hiệu là N, cùng các bội số của nó như KiloNiutơn, kí hiệu kN. 1KN = 1000N, 1MG = 1000KN = 1.000.000N Biểu diễn lực: Lực là một đại lượng Vector. Vector có gốc trùng với điểm đặt của lực, phương chiều trùng với phương chiều của lực, độ dài tỷ lệ với trị số của lực. Mô hình toán học của lực là vectơ lực, kí hiệu . Điểm đặt của vectơ lực là điểm đặt của lực. Phương chiều của vectơ lực là phương chiều tác dụng của lực. Mođun của vectơ lực biểu diễn cường độ tác dụng của lực (với tỉ lệ xích được chọn) . Giá mang vectơ lực được gọi là đường tác dụng của lực (hình 1-1) Hình 1-1 Hình 1-2 1.1.4. Các định nghĩa khác Hệ lực là một tập hợp nhiều lực tác lên một vật rắn, được kí hiệu hình (1-2). Hai hệ lực gọi là tương đương khi chúng gây cho cùng một vật rắn các trạng thái chuyển động cơ học như nhau, kí hiệu (hình 1-3) : Hình 1-3 Hợp lực của hệ lực là một lực duy nhất tương đương với hệ lực. Gọi là hợp lực của hệ lực thì (hình 1-4) : Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó vật rắn nằm ở vị trí cân bằng (hình 1-5) : Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ. Một ngẫu lực được đặc trưng bởi các yếu tố sau Mặt phẳng tác dụng ngẫu lực là mặt phẳng P chứa hai lực thành phần của ngẫu lực (hình 1-6) Hình 1-4 Hình 1-5 Hình 1-6 Chiều quay của ngẫu lực nằm trong mặt phẳng của nó. Cường độ tác dụng của ngẫu lực được đặc trưng bằng tích số F.d, trong đó F là giá trị của các lực thành phần, d là khoảng cách vuông góc giữa hai lực thành phần được gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực. Đơn vị ngẫu lực là Niutơn.mét, kí hiệu Nm,và các bội của nó như kNm, MNm Trong không gian, khi các ngẫu lực nằm trong những mặt phẳng khác nhau, ngẫu lực được biểu diễn bằng vectơ momen ngẫu lực, kí hiệu là ; được xác định như sau (hình 1-7): Phương vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực. Chiều : nhìn từ ngọn xuống thấy chiều quay ngẫu lực ngược chiều quay kim đồng hồ. Mođun của vectơ momen ngẫu lực bằng momen ngẫu lực, tức bằng F.d. Qui ước gốc của vectơ tại mặt phẳng ngẫu lực. Trong trường hợp khi các ngẫu lực nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc trong các mặt phẳng song song nhau, ngẫu lực được biểu diễn qua momen đại số ngẫu lực, kí hiệu là : , lấy “+” khi ngược chiều quay kim đồng hồ và lấy dấu “-” trong trường hợp ngược lại, ví dụ (hình 1-8), . Hình 1-7 Hình 1-8 CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.2.1. Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để một vật rắn nằm cân bằng dưới tác dụng của hai lực là hai lực đó có cùng đường tác dụng, ngược chiều và cùng cường độ. Hai lực thoả mãn điều kiện này được gọi là hai lực cân bằng (hình 1-9a,b) Hình 1-9 1.2.2. Tiên đề 2 (Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng) Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng Như vậy nếu () là hai lực cân bằng thì (hình 1-10a) : Hoặc nếu hệ lực có hai lực và cân bằng nhau thì (hình 1-10b) : Hình 1-10a Hình 1-10b Hệ quả (định lý trượt lực): Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó. Thực vậy thêm hai lực cân bằng nhau () tại B có cùng cường độ với lực , ta có (hình 1-11) : Hình 1-11 Như vậy trong trường hợp lực tác dụng lên vật rắn (và chỉ đối với vật rắn) điểm đặt lực không quan trọng, chỉ có đường tác dụng là quan trọng. Lực trong tĩnh học vật rắn được biểu diễn bằng vectơ trượt. 1.2.3. Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực) Hai lực tác dụng tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại cùng điểm đó và có vectơ lực bằng vectơ chéo của hình bình hành với hai cạnh là hai vectơ lực đã cho (hình 1-12). Hình 1-12 Nhờ tiên đề 3 phép cộng vectơ được sử dụng cho phép tính lực. Cần lưu ý rằng nhờ hệ quả trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể thay thể bằng điều kiện hai đường tác dụng của hai lực gặp nhau. 1.2.4. Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng) Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng và hướng ngược chiều nhau (hình 1-13). Hình 1-13 Chú ý rằng lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì chúng không tác dụng lên cùng một vật rắn. Tiên đề tác dụng và phản tác dụng đúng cho mọi hệ qui chiếu (hệ qui chiếu quán tính và không quán tính) và là cơ sở cho phép mở rộng các kết quả đã khảo sát đối với bài toán một vật sang bài toán hệ vật. 1.2.5. Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn) Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hoá rắn nó vẫn cân bằng (hình 1-14). Vậy hệ lực tác dụng lên “vật biến dạng cân bằng” phải thoả mãn các điều kiện như hệ lực tác dụng lên vật rắn cân bằng. Do đó có thể sử dụng các kết quả khảo sát đối với vật rắn cân Hình 1-14 bằng cho trường hợp vật biến dạng cân bằng. Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ. Để khảo sát bài toán cân bằng của vật biến dạng ngoài các kết quả nhận được khi khảo sát vật rắn cân bằng cần thêm vào các giả thiết về biến dạng (ví dụ, định luật Húc trong sức bền vật liệu). 1.2.6. Tiên đề 6 (Tiên đề thay thế tương đương liên kết) Vật không tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng bằng cách giải phóng tất cả các liên kết và thay thế tác dụng các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết thích hợp (hình 1-15). Hình 1-15 Qui tắc tìm các đặc trưng của phản lực liên kết đối với một số liên kết thường gặp (các liên kết không ma sát). LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT Khái niệm về vật liên kết và vật tự do Vật A đặt trong không gian có 6 khả năng chuyển động độc lập: Tịnh tiến theo 3 trục và quay quanh 3 trục, được gọi là 6 bậc tự do (hình 1.16a) Khi vật chịu những điều kiện làm cản trở chuyển động của nó, ta nói vật đã chịu liên kết. Vật gây ra cản trở chuyển động gọi là vật gây liên kết. Hình 1-16a Vậy liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật. Trong tĩnh học liên kết được thực hiện bằng sự tiếp xúc, nối (bản lề, hàn, dây..) giữa các vật. y A 0 z x Khái niệm về phản lực liên kết Phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực) là lực từ vật gây liên kết tác dụng lên vật chịu liên kết (hình 1.16b) có tác dụng cản trở chuyển động của vật. Phản lực liên kết có phương là phương mà nó ngăn cản chuyển động của vật, có chiều ngược với chuyển chuyển động của vật bị ngăn cản. Nói chung xác định phương, chiều của phản lực liên kết theo quy tắc sau: tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị cản trở có phản lực ngược chiều; tương ứng với hướng di chuyển quay bị cản trở có ngẫu lực ngược chiều. Các lực không phải là lực liên kết gọi là lực chủ động (lực hoạt động). Các lực do vật tác dụng lên vật liên kết với nó gọi là áp lực. Trong ví dụ hình 1.16b, vật B gây liên kết, vật A chịu liên kết. Vật A tác dụng lên vật B một lực ; theo tiên đề tác dụng và phản tác dụng, vật B cũng tác dụng lên vật A lực và , là phản lực liên kết. B A N P Hình 1-16b Các loại liên kết thường gặp Liên kết tựa : Hai vật tựa trực tiếp lên nhau, chỗ tiếp xúc là bề mặt hoặc đường hoặc điểm. Phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa (hoặc đường tựa ) (hình 1-17) Hình 1-17 Liên kết dây mềm, thẳng : phản lực của dây tác dụng lên vật khảo sát đặt vào điểm buộc dây và hướng vào dây. Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi là sức căng dây, kí hiệu là T. Sức căng của dây hướng dọc và hướng ra đối với mặt cắt dây (hình 1-18a,b). Hình 1-18 Liên kết bản lề. Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung. Trong trường hợp này hai vật tựa vào nhau theo đường nhưng điểm tựa chưa được xác định. Phản lực liên kết đi qua tâm của trục và có phương chiều chưa xác định. Phản lực được phân thành hai thành phần vuông góc với nhau (), nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tâm của bản lề (hình 1-19a,b) Hình 1-19 d) Liên kết gối: dùng để đỡ các dầm, khung v..vcó loại gối cố định và gối có con lăn (gối di động). Phản lực liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phản lực liên kết của gối có con lăn được tìm theo qui tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1-20). Hình 1-20 e) Liên kết gối cấu được thực hiện nhờ một quả cầu gắn vào đầu của vật chịu liên kết và được đặt trong một vỏ cầu gắn liền với vật gây liên kết. Phản lực gối cầu đi qua tâm O của vỏ cầu, có phương chiều chưa xác định. Thường phản lực gối cầu được phân thành ba thành phần vuông góc () đặt tại tâm O của vỏ cầu (hình 1-21). Trường hợp tương tự liên kết gối cầu là liên kết cối (ổ chắn)(hình 1-22). Hình 1-21 Hình 1-22 g) Liên kết ngàm là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ, hàn). Trong trường hợp ngàm phẳng phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa hai lực (hình 1-23). Đối với ngàm không gian, phản lực liên kết gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau (dọc ba trục toạ độ) và ba thành phần ngẫu lực trong ba mặt phẳng toạ độ (hình 1-24). Hình 1-23 Hình 1-24 h) Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện sau : chỉ có lực tác dụng ở hai đâu, còn dọc thanh không có lực tác dụng và trọng lượng thanh được bỏ qua (ví dụ, các thanh không trọng lượng, liên kết bằng các liên kết trụ hoặc cầu). Phản lực có phương đi qua hai điểm chịu lực (hình 1-25). Nói chung, liên kết có thể có kết cấu đa dạng. Xác định phương chiều của phản lực liên kết trong trường hợp chung theo qui tắc sau: tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị ngăn trở có phản lực ngược chiều, tương ứng với hướng di chuyển quay bị ngăn trở có ngẫu lực ngược chiều. Hình 1-25 NHẬN ĐỊNH VỀ LỰC TÁC DỤNG LÊN VẬT RẮN Khi khảo sát vật rắn ta phải tách riêng vật rắn đó ra và đặt các lực đã cho cũng như phản lực liên kết lên vật rắn. Việc đặt các phản lực đã cho thường không quá khó khăn, vấn đề quan trọng là đặt các lực liên kết cho đúng và đầy đủ. Để đặt các phản lực liên kết lên vật khảo sát ta tách các vật đó ra khỏi các vật xung quanh, nghĩa là bỏ các liên kết đi và thay bằng các phản lực liên kết tương ứng, công việc đó được gọi là giải phóng liên kết. Sau khi đặt các phản lực và cho các phản lực liên kết ta có thể xem vật khảo sát như vật tự do cân bằng dưới tác dụng của các lực ấy. Thí dụ 2: Qủa cầu đồng chất trọng lượng P treo vào mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây OA. Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu? CÂU HỎI LIÊN QUAN Tại sao xem các vật rắn là rắn tuyệt đối? Khi nào vật rắn được gọi là cân bằng? Lực là gì? Các yếu tố để xác định một lực? Cách biểu diễn lực như thế nào? Hợp lực của hệ lực là lực như thế nào? Hai lực trực đối là 2 lực như thế nào? Hai lực cân bằng là hai lực như thế nào? Cho ví dụ và giải thích tiên đề tác dụng và phản tác dụng. Xác định hợp lực của 2 lực cùng điểm đặt? Nêu các loại liên kết thường gặp? (Cách biểu diễn và tính chất phản lực). Bài tập: Một vật có khối lượng m nằm yên trên mặt phẳng nghiêng nhờ lực song song với mặt phẳng nghiêng đó (hình 1-26a). Tìm hệ lực tác dụng lên vật. Vật A có khối lượng m chịu liên kết như hình 1-26b. Tìm hệ lực tác dụng lên vật. a Hình 1-26a Hình 1-26b Thanh AB có khối lượng m, đầu A có liên kết bản lề cố định, đầu B tựa lên mặt trụ như hình 1-26c. Tìm hệ lực tác dụng lên thanh. Trụ có khối lượng m được đặt lên bộ đỡ như hình 1-26d. Tìm hệ lực tác dụng lên trụ. Cho hệ dầm cân bằng chịu lực như trên hình 1.26e, 1.26f. Hãy giải phóng các liên kết cho từng dầm. Hình 1-26d O A B Hình 1-26c A B D C Hình 1-26e Hình 1-26f BÀI 2: HỆ LỰC PHẲNG Hệ lực phẳng là một tập hợp các lực có đường tác dụng nằm trong cùng một mặt phẳng (hình 2-1). HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY KHẢO SÁT HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Xác định hợp lực của hai lực đồng quy Định nghĩa Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng của các lực nằm trên cùng một mặt phẳng và cắt nhau tại 1 điểm. (Hình 2-1) Hình 2 -1: Hệ lực phẳng đồng quy Quy tắc hình bình hành lực Giả sử có 2 lực 1 và 2 đồng quy tại A, phương của 2 lực hợp với nhau một góc α, theo tiên đề 3 hợp lực là đường chéo hình bình hành. Hình 2.2 Quy tắc tam giác lực Phân một lực thành hai lực đồng quy theo hai hướng đã cho. Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học. KHẢO SÁT HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Khảo sát hệ lực đồng quy bằng phương pháp giải tích , phương pháp xét quay hình chiếu của vector lực lên trục tọa độ. Vì vậy trước tiên ta phải nghiên cứu phép chiếu vector lực. Chiếu một lực lên hai trục tọa độ Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích Ví dụ: Cho hệ lực phẳng đồng quy ( , ,,), có == 100N, = 150N, = 200N. Góc giữa các hợp lực cho như hình vẽ 3. Xác định hợp lực của các hệ lực đó? Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích Ví dụ: HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG THU GỌN HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG Trường hợp hai lực phẳng song song cùng chiều Trường hợp hai lực phẳng song song ngược chiều BÀI 3: MOMEN CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM VÀ NGẪU LỰC Dưới tác động của một lực vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay, hoặc vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay đồng thời. Tác dụng của lực làm vật rắn quay sẽ được đánh giá bởi đại lương moment của lực. 3.1. MOMEN CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM Khảo sát lực F tác động lên vật rắn tại điểm A trên vật. Giả sử rằng lực có xu hướng làm vật rắn quay quanh tâm O như hình. Dựng vectơ Gọi α là góc hợp bởi vectơ và lực : d: cánh tay đòn của lực F đối với tâm O Hình 3.1 Vậy: Mômen của lực đối với điểm O là một vectơ lực F, ký hiệu là và được xác định bằng công thức: +: là véctơ định vị của điểm đặt lực so với điểm O. + d: là cánh tay đòn của lực đối với điểm O. a. Các đặc trưng của vector momen lực đối với một điểm + Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa điểm O và lực F + Chiều: Xác định theo quy tắc bàn tay phải, quay theo chiều từ r đến F. + Độ lớn: b. Ký hiệu moment. Có 3 cách ký hiệu Moment Cách 1: Ký hiệu Moment bằng một vector thẳng hai đầu. (Dùng trong bài toán không gian 3 chiều). Hình 3.2 Cách 2: Ký hiệu moment bằng một ngẫu hai lực nằm trong mặt phẳng tác dụng vuông góc với vector moment (Dùng trong bài toán không gian 2 chiều) Hình 3.3 Cách 3: Biễu diễn moment bằng một vector cong, phẳng nằm trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực. Chiều của vector cong được xác định tuân theo quy tắc bàn tay. (Dùng trong bài toán không gian 2 chiều.) Hình 3.4 3.2. NGẪU LỰC 3.2.1. Định nghĩa Ngẫu lực là hệ gồm hai lực song song ngược chiều, cùng cường độ và không cùng đường tác dụng. Chú ý: Mặt phẳng chứa hai lực gọi là mặt phẳng tác dụng. Khoảng cách d giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn. Chiều quay vòng của các lực theo đường khép kín trong mặt phẳng tác dụng gọi là chiều quay của ngẫu lực. Hình 3.5 Hình 3.5 3.2.2. Các yếu tố của ngẫu lực a. Các đặc trưng của ngẫu lực + Mặt phẳng tác dụng + Chiều quay + Cường độ tác dụng: m = F.d (d: được gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực) Ký hiệu ngẫu lực: b. Tính chất của ngẫu lực - Ngẫu lực là một hệ lực không cân bằng, nghĩa là dưới tác động của ngẫu lực một vật rắn tự do hoàn toàn, đang đứng yên sẽ thực hiện chuyển động quay. - Ngẫu lực là loại hệ lực không bao giờ có hợp lực. Nghĩa là ngẫu lực là một dạng tối giản của các hệ lực. 3.2.3. Hợp hệ ngẫu lực. Hợp một hệ ngẫu lực ta được một ngẫu lực có vecto momen bằng tổng các vecto momen của các ngẫu lực thành phần Trong đó: : momen tổng hợp : các momen ngẫu lực thành phần Hình 3.6 * Tính chất: Hợp các ngẫu lực nằm trong một mặt phẳng được một ngẫu lực nằm trong cùng mặt phẳng, có momen đại số bằng tổng đại số các momen của các ngẫu lực đã cho. Hình 3.7 BÀI 4: HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ Hệ lực phẳng bất kỳ là trường hợp tổng quát của hệ lực phẳng. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu cách thu gọn và điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ và có thể sử dụng kết quả đó để suy ra kết quả thu gọn và điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song. 4.1. THU GỌN HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ Để thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cần phải dời song các lực đến một điểm. Vì vậy trước khi nghiên cứu cách thu gọn hệ lực ta nghiên cứu định lý dời lực song song. Định lý dời lực ( Định lý thuận): có thể dời song song một lực tới một điểm tùy ý mà không làm thay đổi tác dụng cơ học nếu ta thêm vào một ngẫu lực phụ có momen bằng momen của lực đối với điểm mới dời đến. 4.1.1. THU GỌN HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ VỀ MỘT TÂM CHO TRƯỚC 4.1.2. CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HỆ LỰC PHẲNG Dạng chuẩn là dạng đơn giản nhất nhận được khi thu gọn hệ lực. Từ kết quả thu gọn hệ lực phẳng về một tâm, ta nhận được dạng chuẩn sau đây : Hệ lực phẳng cân bằng là hệ lực khi vectơ chính và momen chính đều triệt tiêu : = 0 , = 0 () 0 Hệ lực phẳng thu về một ngẫu lực khi vectơ chính triệt tiêu, còn momen chính không triệt tiêu : = 0 , 0 () Hai trường hợp trên vì = 0 nên momen chính đối với mọi tâm đều bằng nhau: trong trường hợp a) momen chính bằng không, còn trường hợp b) momen chính bằng đối với mọi tâm. Hệ lực phẳng có hợp lực. Khi 0, = 0 thì () tức là hệ lực đã cho có hợp lực được biểu diễn bằng vectơ chính đặt tại O (hình 4.2). Khi 0, 0 thì thu gọn hệ lực về tâm O ta được một lực () và một ngẫu lực , theo định lý dời lực song song có thể đưa về một lực có phương chiều và giá trị của vectơ chính nhưng đặt tại điểm O’ khác O, cách O một đoạn (hình 4.2) : Hình 4.1 Hình 4.2 sao cho momen của hợp lực đối với điểm O bằng (hình 4.1), tức ()= = . Vậy trong trường hợp hệ lực có hợp lực ta có định lý sau : Định lý Varinhông Hệ lực có hợp lực thì momen của hợp lực đối với một điểm bất kỳ bằng tổng momen các lực của hệ lực đối với cùng điểm đó. () = (4.4) Từ đây dễ dàng suy ra rằng: Hệ lực đồng qui phẳng có hai dạng chuẩn : Cân bằng nếu vectơ chính của hệ lực triệt tiêu. Hợp lực nếu vectơ chính của hệ lực không triệt tiêu. Hệ ngẫu lực phẳng có hai dạng chuẩn : Cân bằng nếu momen chính của hệ ngẫu lực triệt tiêu. Ngẫu lực nếu momen chính của hệ ngẫu lực không triệt tiêu. Hệ lực song song phẳng cùng chiều chỉ có một dạng chuẩn là hợp lực vì vectơ chính không triệt tiêu. Hệ lực song song phẳng ngược chiều có thể có ba dạng chuẩn : cân bằng, ngẫu lực và hợp lực. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG - CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG Điều kiện cân bằng. Định lý 1. Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và momen chính cả hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu : () 0 (4.5) Chứng minh . Điều kiện cần được chứng minh dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực vì nếu điều kiện (4.5) không thoản mãn thì hệ lực phẳng hoặc tương đương với một lực hoặc một ngẫu lực, không thoả mãn Tiên đề 1 (chương 1). Điều kiện đủ là hiển nhiên vì khi vectơ chính bằng không, hệ lực thu gọn về tâm O sẽ được một ngẫu lực, tức thu về hai lực. Nếu ngẫu lực bằng không thì hai lực đó là hai lực cân bằng. Các dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng. Điều kiện (4.5) có thể viết dưới dạng các phương trình được gọi là các phương trình cân bằng. Có ba dạng phương trình cân bằng. 1) Dạng 1. Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên hai trục toạ độ vuông góc và tổng momen các lực đối với một điểm bất kỳ đồng thời triệt tiêu. ; ; (4.6) Hai phương trình đầu tương đương với . Phương trình cuối tương đương với mo = 0 2)Dạng 2. Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên trục và tổng momen các lực đối với các tâm A , B tuỳ ý triệt tiêu với điều kiện AB không vuông góc với trục (hình 4.3): (4.7) với điều kiện trục không vuông góc với đoạn AB. Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh dựa vào dạng chuẩn : nếu một trong ba điều kiện không Hình 4.3 được thoả mãn thì hệ đã cho hoặc tương đương với một lực hoặc một ngẫu lực, tức không thể cân bằng theo Tiên đề 1 (chương 6). Để chứng minh điều kiện đủ ta nhận xét rằng nếu ba điều kiện trên thoả mãn thì hệ lực không có hợp lực, cũng không thể tương đương ngẫu lực. Thực vậy hệ lực không thể có hợp lực vì nếu hệ lực có hợp lực thì dựa vào hai điều kiện cuối và dựa vào định lý Varinhông (định lý 1) : tức hợp lực phải đi qua hai điểm A và B. Điều này mâu thuẫn với điều kiện đầu : Vì R ; (do AB không vuông góc với trục x) nên R không thể triệt tiêu. Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực nào khác không vì trong trường hợp này (do vectơ chính triệt tiêu). 3) Dạng 3.Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng momen của các lực đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng triệt tiêu (hình 4.4) ;; (4.8) Chứng minh.Điều kiện cần là hiển nhiên vì nếu một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì hệ lực tương đương với ngẫu lực khác không, hệ lực sẽ không cân bằng. Để chứng minh điều kiện đủ, tương tự cách chứng minh cho dạng 2, nếu ba điều kiện được thoả mãn thì hệ lực không có lực cũng như không thể tương đương với ngẫu lực khác không. Hình 4.4 Hệ lực không thể có hợp lực vì dựa vào định lý Varinhông nếu ba điều kiện đều thoả mãn thì hợp lực phải đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Điều này vô lý . Vậy =0 tức . Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực nào khác không vì khi ta có : = = Ví dụ 2-1. Cột OA = 2a, trọng lượng P thẳng đứng và được chôn sâu (ngàm) xuống nền đất. Cột chịu tác dụng nằm ngang đặt tại A và ngẫu lực m (hình 4.5). Tìm: Phản lực tại ngàm Trạng thái lực tại mặt cắt ngang cách chân trụ khoảng cách x BÀI GIẢI Khảo sát cân bằng của cột AB dưới tác dụng của hệ lực gồm : trọng lực ,lực và ngẫu lực , phản lực ngàm (gồm hai thành phần lực vuông góc )(hình 4.5). Vậy ta có : (,, ) = 0 Viết các phương trình cân bằng của hệ lực theo dạng 1 : = Xo + F = 0 = Yo – P = 0 = mo –m – F.2a =0 Khi giải ra ta nhận được : Xo = -F ; Yo = P; mo = m + 2aF Hình 4.5 Trong các kết quả nhận được thì Yo và mo lấy giá trị dương, nên chiều đã giả sử như trên hình 2-11 là chiều đúng , còn Xo lấy giá trị âm : chiều đã giả sử như hình 2-11 là không đúng. Muốn có chiều đúng cần lấy chiều ngược lại. Bây giờ để xác định trạng thái lực (nội lực) tại một tiết diện cách chân trụ một đoạn x, ta tưởng tượng cắt trụ bằng một mặt cắt vuông góc với trục y tại tiết diện x và xét một trong hai phần của trụ,ví dụ, ta xét phần dưới (hình 4.6). Tác dụng của phần trên lên phần dưới được thay thế bằng một lực và một ngẫu lực. Lực được phân tích thành hai lực: + Lực theo phương ngang, kí hiệu , được gọi là lực cắt. +Lực theo phương đứng (phương dọc trục của trụ), kí hiệu được gọi là lực kéo (nếu hướng ra khỏi mặt cắt) hoặc lực nén (nếu hướng vào mặt cắt) Ngẫu lực thu gọn, kí hiệu M, được gọi là momen uốn. Các đại lượng , , (hình 4.6 ) được gọi là các thành phân nội lực tại tiết diện x-x. Hình 4.6 Để tính chúng ta có thể thành lập phương trình cân bằng cho hệ lực tác dụng lên phần dưới của cột: () 0 Trong đó Px là trọng lượng của phần cột dưới. Nếu xem cột là đồng chất và có tiết diện không đổi suốt chiều dài cột thì: Px = P Phương trình cân bằng trong dạng 1 đối với hệ lực trên được viết như sau : = - Xo + Q = 0 = Yo – P–N = 0 = –Xox + mo – M =0 Giải các phương trình ta có : Q = Xo = F; N = Yo - P = P (1- ); M = mo - Xox = m + 2aF – Fx = m + F(2a-x) Ví dụ 2-2. Cho một dầm AB có kích thước và chịu lực như hình 4.7. Xác định các phản lực tại A và B BÀI GIẢI Đầu tiên ta thay thế lực phân bố trên đoạn AB bằng lực tập trung, kí hiệu F, có giá trị bằng 2aq, hướng thẳng đứng xuống. Tại A phản lực có hai thành phần đứng và ngang () vì A là gối cố định, còn B là gối di động, ta đặt phản lực theo hướng thẳng đứng . Hình 4.7 Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực sau: ()= 0 Khi viết phương trình cân bằng cho hệ lực này trong dạng 1, ta có : = XA = 0 = YA – P + NB - F= 0 = –Fa – Mo – P.2a + NB.3a=0 Với Mo= qa2, P = qa; F= 2qa, ta tìm được XA = 0 ; NB = ; YA = Chiều các phản lực được vẽ trên hình 4.7. Ví dụ 2-3. Thanh đồng chất OA=6a, trọng lượng P1 được gắn vào tường nhờ bản lề O được đỡ nằm ngang nhờ thanh đồng chất BC = 4a, có trọng lượng P2, bị ngàm ở C và nghiêng 30o với tường. Điểm A chịu lựcthẳng đứng. Tìm phản lực tại O, B và C (hình 4.8). BÀI GIẢI Xét hệ hai thanh chịu lực như hình 2-14 : Thanh OA chịu các lực , . Thanh CB chịu các lực , . Chú ý rằng các lực có modun bằng nhau, kí hiệu N. Hệ gồm hai thanh OA và BC. Ta xét trạng thái cân b...ân tố thanh bất kỳ có chiều dài ban đầu dz vô cùng bé, ta có: hay * Thay giá trị theo (a) và chú ý đến (2-1) ta nhận được biểu thức tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh (2-2) Tích số EF gọi là độ cứng của thanh khi kéo hoặc nén. Nếu hàm dưới dấu tích phân không liên tục suốt chiều dài l mà chỉ liên tục trong từng đoạn thì biểu thức (2-2) được viết như sau: (2-3) Trong đó n là đoạn , là chiều dài của đoạn thứ i. Trong trường hợp hằng số trên suốt chiều dài l, hoặc có trị số không đổi trong từng đoạn, tương ứng với (2-2), (2-3) ta có các công thức tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh là : (2-4) (2-5) Ví dụ 2-3. Tính biến dạng dài tuyệt đối của một cột có bậc chịu lực như trên hình 2-9a, biết = 50 cm; = 60 cm; ;;kN/cm2. BÀI GIẢI Biểu đồ lực dọc được vẽ trên hình 2-9b. Vì tỷ số thay đổi dọc theo chiều dài thanh, nên muốn tính biến dạng dài tuyệt đối ta phải chia thanh thành bốn đoạn AB, BC, CD và DE, trong đó ở mỗi đoạn tỷ số là hằng số. Áp dụng công thức (2-5) ta có: = = - 0,5.10-4 cm ∆l mang dấu âm chứng tỏ cột bị co lại. Ta nhận thấy rằng, khi một thanh chịu kéo thì chiều dài của nó bị giãn dài ra, còn bề ngang bị co lại; thanh chịu nén thì chiều dài ngắn lại còn bề ngang thì phình ra. Như vậy khi thanh chịu kéo, nén phương ngang cũng bị biến dạng. Giữa biến dạng ngang tỷ đối và biến dạng dọc tỷ đối có liên hệ sau (2 -6 ) Trong đó là hệ số biến dạng ngang hay hệ số Poatxông. Nó là hằng số phụ thuộc vào từng loại vật liệu và nằm trong giới hạn từ 0 đến 0,5. Dấu trừ (-) trong Hình 2-9 (2-6) chứng tỏ luôn luôn ngược dấu nhau, nghĩa là nếu theo phương dọc thanh bị giãn thì theo phương ngang thanh bị co và ngược lại. Bảng 2-1 Giá trị của hệ số Poatxông đối với một số loại vật liệu Vật liệu Thép 0,25 – 0,33 Gang 0,23 – 0,27 Đồng 0,31 – 0,34 Nhôm 0,32 – 0,36 Đá hộc 0,16 – 0,14 Bêtông 0,012 – 0,18 2.1.5. ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU Để đưa ra lý thuyết tính toán độ bền, độ cứng của thanh trước hết ta cần nghiên cứu đặc trưng cơ học của vật liệu. Muốn hiểu rõ các tính chất cơ học của vật liệu ta thường làm các thí nghiệm để quan sát các tính chất và quá trình biến dạng của các loại vật liệu khác nhau kể từ lúc bắt đầu chịu lực cho đến khi bị phá hỏng Vật liệu trong tự nhiên là đa dạng, nhưng căn cứ vào biến dạng của mẫu thí nghiệm cho tới khi mẫu bị phá hỏng ta có thể chia vật liệu ra làm hai loại: Vật liệu dẻo là những vật liệu bị phá hoại sau khi đã biến dạng lớn, chẳng hạn như thép, đồng, nhôm v.v Vật liệu giòn là những vật liệu bị phá hoại ngay khi vừa biến dạng rất nhỏ, ví dụ như gang, đá, bê tông v.v... Trước hết ta hãy làm thí nghiệm về kéo và nén. Thí nghiệm được tiến hành trên các máy thử kéo – nén. Các mẫu thí nghiệm, qui trình thí nghiệm và các phương pháp xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu đều được tiêu chuẩn hoá theo TCVN. Sau đây sẽ trình bày kết quả thí nghiệm kéo và nén với hai loại vật liệu thường được dùng trong ngành chế tạo máy là gang và thép. Thép đặc trưng cho loại vật liệu dẻo và gang đặc trưng cho loại vật liệu giòn. a. Thí nghiệm kéo. Trên hình 2-10 biểu diễn đồ thị của mẫu kéo bằng thép CT-3, còn trên hình 2-11 biểu diễn đồ thị của mẫu kéo bằng gang. Kí hiệu P là trị số lực kéo, ∆l là độ giãn dài của mẫu thí nghiệm. Đối với thép CT-3 đồ thị liên hệ giữa lực và độ biến dạng có ba giai đoạn cơ bản sau: - Giai đoạn đàn hồi được biểu diễn bằng đoạn đường thẳng OA và đoạn đường cong AB. Đoạn đường thẳng OA được gọi là giai đoạn đàn hồi tuyến tính hay giai đoạn tỷ lệ. Trong giai đoạn này sự liên hệ giữa lực kéo P và độ giãn dài tuyệt đối có quan hệ bậc nhất. Vật liệu làm việc tuân theo định luật Húc. Đoạn AB rất bé được gọi là giai đoạn đàn hồi phi tuyến. Vật liệu làm việc không còn tuân theo định luật Húc. Hình 2-10 Hình 2-11 - Giai đoạn chảy, được biểu diễn bằng đoạn BC trên đồ thị hình 2-10. Đặc điểm của giai đoạn này là lực kéo không tăng trong khi đó biến dạng vẫn tiếp tục tăng. - Giai đoạn củng cố Sau khi qua giai đoạn chảy, lực có tăng thì biến dạng mới tăng nhưng đồ thị biểu diễn sự liên giữa lực kéo P và độ biến dạng dài tuyệt đối ∆l là một đường cong. Ta tiếp tục tăng cho đến khi lực đạt tới giá trị lớn nhất thì tại một nơi nào đó của mẫu thử, mặt cắt ngang bị thắt lại. Sau đó lực giảm dần nhưng mẫu vẫn tiếp tục dài cho đến khi đứt ngay tại chỗ thắt. Kí hiệu: - lực tỷ lệ ứng với lực kéo lớn nhất trong giai đoạn tỷ lệ. - lực ứng với lực kéo ở giai đoạn chảy. - lực ứng với lực kéo lớn nhất ở giai đoạn củng cố. - diện tích mặt cắt ngang của mẫu trước khi thí nghiệm. - chiều dài của phần mẫu thí nghiệm trước khi thí nghiệm. - diện tích mặt cắt ngang của mẫu tại chỗ thắt lúc mẫu bị đứt. - chiều dài của phần mẫu thí nghiệm sau khi thí nghiệm. Người ta gọi các đại lượng sau đây là các đặc trưng cơ học của vật liệu và các đặc trưng này có tính chất qui ước: Giới hạn tỷ lệ, kí hiệu , được xác định bởi tỷ số Giới hạn chảy, kí hiệu ; đây là một đặc trưng quan trọng của vật liệu dẻo. Giới hạn bền, kí hiệu ; Độ giãn dài tỷ đối của mẫu sau khi kéo đứt, kí hiệu , được tính theo % : Độ thắt tỷ đối sau khi mẫu kéo bị đứt, kí hiệu , cũng được tính theo % Đối với gang, đồ thị P-∆l là một đường cong ngay khi lực kéo P còn rất thấp. Vật liệu xem như không giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy, mà chỉ có giới hạn bền . - giá trị lực ứng với lúc mẫu bị đứt. Giới hạn này rất thấp so với giới hạn bền của vật liệu dẻo. Trong thời gian chịu lực thông thường một số vật liệu giòn làm việc không sai định luật Húc mấy nên ta có thể thay đoạn đường cong trong giới hạn đó bằng một đoạn thẳng (hình 2-11). Như vậy việc tính toán sẽ đơn giản mà vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết. b. Thí nghiệm nén. Mẫu thí nghiệm thường là hình trụ hay hình lập phương (bêtông). Trên hình 2-12 biểu diễn đồ thị nén mẫu thép, còn trên hình 2-13 biểu diễn đồ thị nén mẫu gang. Hình 2-12 Hình 2-13 Đối với thép khi nén chỉ xác định được giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy. Đối với gang thì xác định được giới hạn bền. Giới hạn chảy của thép khi nén và khi kéo coi như bằng nhau, còn giới hạn bền khi nén của gang lớn hơn rất nhiều giới hạn bền khi kéo. Các đặc trưng cơ học của vật liệu trên thực tế còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: nhiệt độ, tốc độ biến dạng (liên quan đến tải trọng tĩnh và động), thời gian v.vmà ở đây ta chưa kể đến. 2.1.6. ĐIỀU KIỆN BỀN a. Ứng suất cho phép. Khi tính sức bền các chi tiết, các kết quả tính toàn phải đảm bảo cho chúng không bị phá hỏng. Ví dụ, đối với vật liệu giòn chưa phát sinh các vết nứt, đối với vật liệu dẻo – chưa có biến dạng lớn. Muốn vậy ứng suất tính toán lớn nhất tại một điểm nào đó trong quá trình chịu lực không được vượt quá giới hạn qui định cho từng loại vật liệu. Ta gọi đó là ứng suất giới hạn nguy hiểm, ký hiệu là . Trong bài toán kéo nén đúng tâm, đối với vật liệu giòn ta chọn là giới hạn bền còn đối với vật liệu dẻo ta chọn là giới hạn chảy vì khi đạt tới giới hạn đó tuy vật liệu chưa bị phá huỷ nhưng biến dạng đã quá lớn so với biến dạng đàn hồi. Để đảm bảo an toàn, trong thực tế người ta thường sử dụng một giá trị ứng suất bé hơn ứng suất nguy hiểm gọi là ứng suất cho phép, kí hiệu là (2-7) n- là hệ số an toàn, nó nhận giá trị lớn hơn 1. Như vậy, đối với vật liệu dẻo Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo, nên ta có Trong đó : - ứng suất cho phép khi nén. - ứng suất cho phép khi kéo. - giới hạn bền khi nén, khi kéo. - giới hạn chảy. Việc chọn các hệ số an toàn thích hợp là một việc rất khó và rất quan trọng. Nếu chọn hệ số an toàn bé thì tiết kiệm được nguyên vật liệu, nhưng chi tiết có thể không được bền lâu. Trái lại nến chọn hệ số an toàn lớn, chi tiết có thể bền lâu, nhưng lại tốn nhiều vật liệu, hoặc chi tiết quá cồng kềnh, mất mỹ thuật công nghiệp,.Trong thực tế, để chọn hệ số an toàn thích hợp, người ta thường dựa vào những kinh nghiệm thực tế trong thiết kế cũng như sử dụng. Trong các quy trình chuyên môn của từng ngành sẽ cho ta các số liệu tham khảo phù hợp. b. Điều kiện bền của thanh chịu kéo- nén đúng tâm. Hiện nay có những phương pháp khác nhau để tính toán điều kiện bền. Trong giáo trình này chỉ trình bày phương pháp tính toán điều kiện bền theo ứng suất cho phép. Theo phương pháp này thì thanh chịu kéo – nén đúng tâm đủ bền khi : Đối với vật liệu dẻo: (2-9) Còn đối với vật liệu giòn là: (2-10) Trong đó: - ứng suất kéo lớn nhất. - ứng suất nén có trị số bé nhất (có giá trị tuyệt đối lớn nhất khi nén) Ý nghĩa của phương pháp đã nêu là tìm những điểm có trị số ứng suất pháp lớn nhất khi kéo hoặc nén, đó là các điểm nguy hiểm. Khi điểm nguy hiểm đã thoả mãn điều kiện bền thì tất cả các điểm còn lại đều thoả mãn. Rõ ràng phương pháp này đơn giản nhưng độ an toàn là lớn. .2ng đoạn BC trên đồ thị hình 151.2. BA BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA THANH CHỊU KÉO NÉN ĐÚNG TÂM 1. Kiểm tra bền (nghiệm bền) Giả sử đã biết vật liệu (tức biết ứng suất cho phép [s]), biết kích thước mặt cắt ngang và lực tác dụng thì ta có thể kiểm tra được độ bền của thanh. Muốn vậy đầu tiên ta xác định lực dọc trong thanh sau đó tính trị số ứng suất pháp lớn nhất theo công thức (2-1). Nếu giá trị ứng suất này không vượt quá ứng suất cho phép thì ta có thể kết luận là thanh đủ bền, ngược lại nếu vượt quá ứng suất cho phép luật là thanh đủ bền. Trình tự kiểm tra bền của thanh như sau: * Tính ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong thanh * So sánh smax với [s]k, smin với [s]n Nếu smax £ [s]k và½smin½£ [s]n: kết luận thanh đủ bền. Nếu smax > [s]k hoặc½smin½ > [s]n kết luận thanh không đủ bền. Chú ý: nếu thanh bằng vật liệu dẻo chỉ cần so sánh giá trị lớn nhất trong hai giá trị smax và½smin½ với [s] 2. Chọn kích thước mặt cắt ngang Để thiết kế một chi tiết về phương diện bền, sau khi chọn vật liệu, xác định lực tác dụng người thiết kế phải tính kích thước mặt cắt ngang cần thiết để chi tiết làm việc đủ bền. Khi xác định được dọc từ công thức (2-9) ta suy ra điều kiện để chọn mặt cắt: (2-11) Với đoạn thanh chịu kéo: Với đoạn thanh chịu nén: 3. Xác định lực tác dụng Khi biết vật liệu (biết [s]n, [s]k), kích thước mặt cắt ngang, cần phải xác định giá trị các lực tác dụng lớn nhất vào thanh mà thanh vẫn đủ bền. Nghĩa là xác định các lực tác dụng vào thanh sao cho nội lực lớn nhất sinh ra trong các mặt cắt ngang của thanh phải đảm bảo điều kiện: Với vật liệu dẻo: (2-12) Với vật liệu giòn: Với đoạn thanh chịu kéo: NZmax F.[s]k Với đoạn thanh chịu nén: ½NZmin½ F.[s]n Ví dụ 2-4: Thanh thép có kích thước và chịu lực như hình 2-14a. Hãy: a. Vẽ biểu đồ lực dọc Nz. b. Tính ứng suất trong từng đoạn của thanh. c. Tính Dl của toàn thanh. d. Nghiệm bền thanh nếu [s] = 1,5.108 N/m2. Biết P1 = 30 KN; P2 = 70 KN; P3 = 10 KN; P4 = 50 KN; F1 = 2.10-4 m2; F2 = 4.10-4 m2; E = 2.1011 N/m2. Bài giải: a. Vẽ biểu đồ lực dọc Nz. Tính nội lực từng đoạn thanh. Đoạn AB dùng mặt cắt 1-1. Điều kiện cân bằng cho phần giữ lại A-1 là: å Zi =- P1- Nz1 = 0 vậy Nz1 = - P1 = - 30 KN (đoạn thanh chịu nén) Đoạn BC dùng mặt cắt 2-2. Điều kiện cân bằng phần A-2 là: å Zi = - P1 + P2 - Nz2 = 0 Nz2 = P2 - P1 = 70- 30 = 40 KN (đoạn thanh chịu kéo) Đoạn CD dùng mặt cắt 3-3. Điều kiện cân bằng phần D-3 là: å Zi = Nz3 – P4 = 0. Vậy Nz3 = P4 = 50 KN (đoạn thanh chịu kéo) Biểu đồ lực dọc Nz vẽ như hình5-9b. b. Tính ứng suất trong từng đoạn thanh. Đoạn AB: Đoạn BC: Đoạn CD: c. Tính biến dạng tuyệt đối Dl của thanh Thanh giãn dài là 0,05 mm. d. Nghiệm bền thanh Căn cứ vào tính toán ở phần trên ta thấy: . Vậy có: . Do đó thanh đảm bảo điều kiện bền. A B C D P1 P3 Nz3 P4 F1 1 2 3 3 F2 0,2m 0,6m 0,5m 2 Nz1 Nz2 30KN Z 40KN 50KN a) + + - b) Hình 2-14 P2 1 2.3. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH Bài toán tĩnh định là các bài toán chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học hoặc phương pháp mặt cắt ta có thể xác định được nội lực trong hệ, như phần trên chúng ta đã làm. Nếu không thể xác định được các phản lực hoặc nội lực trong hệ nhờ các phương trình cân bằng tĩnh học hoặc phương pháp mặt cắt thì bài toán đó được gọi là bài toán siêu tĩnh. Để giải bài toán kéo- nén siêu tĩnh, ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học ta phải thêm vào các phương trình phụ nhờ các điều kiện thực về biến dạng hay chuyển vị. Số phương trình phụ này công với các phương trinh cân bằng tĩnh học đúng bằng số ẩn số cần tìm. Ta sẽ lấy một số ví dụ để minh hoạ: Ví dụ 2-5 Vẽ biểu đồ lực dọc cho một thanh chịu lực như hình 2-15. BÀI GIẢI Dưới tác dụng của lực P tại ngàm A, B sẽ có các phản lực và . Điều kiện cân bằng của thanh chỉ cho ta một phương trình với hai ần số và (a) Để tìm phương trình phụ ta dựa vào điều kiện bại B, chẳng hạn, chuyển vị là bằng không. Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay thế vào đó phản lực ZB (hình 2-15a). Rõ ràng dưới tác dụng của lực P và ZB chuyển vị tại B phải bằng không. Nói cách khác, chiều và trị số của ZB phải bằng bao nhiêu để độ giãn dài tuyệt đối của thanh do P và ZB gây ra là bằng không. Ta có: (b) Hình 2-15 Nhờ phương trình phụ về biến dạng đó ta rút ra: (c) Thay (c) vào (a) ta tính được: Biều đồ lực dọc được vẽ trên hình 2-15b. Ví dụ 2-6 Dầm tuyệt đối cứng AB được giữ bởi các thanh bằng thép có giới hạn chảy . Xác định trị số cho phép của tải trọng tác dụng lên dầm. Hệ số an toàn n=1,6, môdun đàn hồi của thép E=2.104kN/cm2 (hình 2-16) BÀI GIẢI Gọi lực dọc trong thanh 1 và 2 là N1 và N2. Lấy tổng mômen các lực đối với điểm A. Ta có Hình 2-16 (a) Điều kiện cân bằng chỉ cho một phương trình với hai ẩn số N1, N2. Nếu tách nút A thì ta lại thêm hai ẩn số nữa là (hình 2-16) Phương trình phụ được tìm từ điều kiện hai tam giác đồng dạng ABB’~ ACC’ ta có: Hay (b) trong đó E1=E2=E; F1=F2=F l1=1,8l ; l2=l Từ hai phương trình (a) và (b) với hai ẩn số N1, N2 giải ra ta được: ; Ta thấy N2> N1. Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N2. Theo (2-12) ta có N2 F Tra bằng thép góc có F = 4,11 cm2; Vậy . Câu hỏi: Thế nào là một thanh chịu kéo (nén) đúng tâm ? Cho ví dụ thực tế. Viết và giải thích công thức tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm ? Định nghĩa biến dạng dọc tuyệt đối, tương đối ? Tại sao phải đưa ra khái niệm biến dạng dọc tương đối ? Khả năng chịu kéo (nén) của vật liệu dẻo, dòn như thế nào ? Trình bày khái niệm về ứng suất cho phép và hệ số an toàn ? Nêu điều kiện bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm. Khi tính toán về kéo (nén) đúng tâm, thường gặp những bài toán cơ bản nào ? Bài tập: Cho thanh có kich thước và chịu lực như hình hình 2-17. Hãy: - Vẽ biểu đồ lực dọc của thanh. - Tính ứng suất trong từng phần của thanh. - Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh. Nghiệm bền thanh. Biết: K1 = 2.104 N; E = 2.1011 N/m2; F1 = 2 cm2. K2 = 5.104 N; [s] = 150 MN/m2; F2 = 3 cm2. Một thanh hình trụ gồm 2 phần: Phần trên bằng thép, phần dưới bằng gang (hình 2-18). Biết phần thép có diện tích mặt cắt F1=1cm2; phần gang có diện tích mặt cắt F2=3cm2. Môđun đàn hồi Ethép = 2.105 MN/m 2; Egang = 1,2.105 MN/m2. Dưới tác dụng của lực nén đúng tâm K thanh bị co lại một đoạn 0,2 mm. Hãy tìm độ lớn của lực K. Cho một kết cấu chịu lực như hình 2-19. Biết các thanh AB và CB làm bằng gang: có [s]k = 30 MN/m2; [s]n = 90 MN/m2. Thanh AB có diện tích mặt cắt bằng 10 cm2; Thanh CB có diện tích mặt cắt bằng 6,5 cm2. Xác định trị số lớn nhất tải trọng Q theo điều kiện bền của thanh AB và CB. F2 F1 K2 K1 A D 0,2m 0,2m 0,3m B C Hình 2-17 Hình 2-18 F1 (thép) F2 (gang) 0,2m 0,4m K C A B Q Hình 2-19 600 Cột điện AB có chiều cao h, đầu A chịu liên kết bản lề với đất. Trọng lượng Q của xà, sứ, dây đặt tại D cách AB khoảng e. Dây néo BC hợp với cột AB một góc a (hình 2-20). Dây BC bằng thép có [s] = 120 MN/m2. Biết: h = 8m ; e =1,5 m; a = 300; Q = 16.103 N. Tính đường kính dây néo BC sao cho cột điện không bị lật. Một mắt xích có kích thước và chịu lực như hình 2-21. Mắt xích làm bằng thép có: [s] = 150 MN/m2. Hãy xác định lực kéo lớn nhất của xích theo điều kiện bền trên đoạn thẳng của mắt xích. h D e B a A C Một cột điện mặt cắt hình vành khăn bằng BTCT, tiết diện không đổi trên toàn bộ chiều dài cột) có đường kính ngoài d1 = 20 cm, đường kính trong d2 = 15 cm, chiều cao cột h = 5m chôn chặt xuống đất (liên kết ngàm). Cột điện ở giữa tuyến; xà, sứ, dây đều đối xứng qua tâm cột. Trọng lượng mỗi nhánh dây truyền vào cột bằng 1,4KN (hình 2-22). Tính ứng suất tại mặt cắt ở chân cột (biết tỉ trọng của bê tông là 2,5 T/m3) d =20mm h Q e e Q K K f 10 Hình 5-22 Hình 5-21 Hình 5-20 Cho các thanh chịu lực như trên hình bài 2-23 a, b, c, d, e, f. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị của các mặt cắt ngang. Một cần cẩu gồm một giá chứ A và một cáp giằng, nâng một vật nặng P = 20kN. Giá chữ A bằng gỗ tròn đường kính d = 20cm, dây cáp có diện tích mặt cắt ngang 400mm2. Tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang cột gỗ và dây cáp (hình 2-24) Hình 2-23. BÀI 3: CẮT – DẬP 3.1 CẮT 3.1.1: Định nghĩa BÀI 4: XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG MẶT CẮT TRÒN 4.1. ĐỊNH NGHĨA – NỘI LỰC 4.1.1 Định nghĩa Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (hình 4-1a). Dấu của Mz được quy ước: nhìn vào mắt cắt thấy momen xoắn có chiều quay thuận chiều kim đồng hồ thì được coi là dương, ngược lại là âm (hình 4.1b). Hình 3-1a Mz>0 Mz<0 Hình 4-1b Ngoại lực tác dụng làm cho thanh chịu xoắn là các ngẫu lực tập trung hoặc ngẫu lực phân bố tác dụng trong những mặt phẳng vuông góc với trục thanh. Thực tế, ta thường gặp thanh chịu xoắn như: trục truyền chuyển động quay, trục động cơ, trục turbin, mũi khoan.. 4.1.2 Biểu đồ momen xoắn Cùng như trường hợp thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, để vẽ biểu đồ nội lực thanh chịu xoắn, ta chia thanh thành các đoạn. Việc chia đoạn chỉ phụ thuộc tải trọng tác động vào chúng. Ở mỗi đoạn, sử dụng phương pháp mặt cắt và lập phương trình cân bằng momen quay quanh trục thanh cho toàn bộ ngoại lực và nội lực về một phía của mặt cắt, ta sẽ có biểu thức nội lực Mz cho mỗi đoạn. Vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ Mz với tọa độ mặt cắt z ta sẽ có biểu đồ nội lực Mz. Ví dụ: Vẽ biểu đồ momen xoắn nội lực của thanh AF có kích thước và chịu lực tác dụng như hình 4.2. Bỏ qua ma sát trong hai ổ đỡ B, E. BÀI GIẢI: Chia thanh thành 4 đoạn AB, BC, CD và DF và lần lượt sử dụng phương pháp mặt cắt cho từng đoạn thanh: Đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1, chọn A làm gốc, 0 £ z £ 0,5m. Xét phần trái: MAB + M1 = 0 ® MAB = - M1 = - 15 kNm Đoạn BC: Dùng mặt cắt 2-2, chọn A làm gốc, 0,5 £ z £ 1,5m. Xét phần trái: MBC + M1 – m(z-0,5)= 0 ® MBC = - 15 + 5 (z-0,5)= 5z-17,5 (kNm) Đoạn CD: Dùng mặt cắt 3-3, 1,5 £ z £ 2,3 m. Xét phần phải: MCD - M3 = 0 ® MCD = 10 kNm Đoạn EF: MEF = 0 Từ các biểu thức trên ta vẽ được biểu đồ momen xoắn nội lực của thanh như sau: M1 = 15 kNm m =5kNm/m M2=20 kNm M3=10 kNm A 1 B 2 C 3 D E F 1 2 3 0,5m 1,0m 0,8m 0,2m 0,5m M1 MAB M1 MBC MCD M3 Mz 10 kNm 15 kNm 10 kNm Hình 4-2 Với các trục truyền lực, nếu momen xoắn ngoại lực được tính qua công suất truyền động W và số vòng quay của trục n (vòng/phút), ta có công thức quy đổi sau: , W cho bằng KW. , W cho bằng mã lực. 4.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH MẶT CẮT TRÒN CHỊU XOẮN Trước hết ta hãy quan sát thanh tròn chịu xoắn thuần tuý. Trên mặt ngoài của thanh trước khi chịu lực, ta kẻ các vạch song song và vuông góc với trục thanh (hình 4-3a). Những vạch vuông góc với trục thanh được xem là các vết của mặt cắt. Sau khi chịu lực ta thấy: Các đường vuông góc với trục thanh vẫn giữ nguyên hình là đường tròn và vẫn vuông góc với trục thanh, khoảng cách giữa chúng vẫn không đổi. Các đường song song với trục thanh trở thành các đường xoắn ốc, mạng lưới ô vuông trở thành gần như mạng lưới hình bình hành (hình 4-3b). 4.2.1 Các giả thiết. Trên cơ sở kết quả quan sát ta đưa ra các giả thiết sau làm cơ sở cho tính toán: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng. Giả thiết về thớ dọc. Nội dung hai giả thiết này như ở chương kéo- nén đúng tâm. Giả thiết chiều dài không đổi. Khoảng cách giữa các mặt cắt ngang vẫn giữ nguyên trong quá trình biến dạng. Giả thiết về bán kính thẳng và không đổi. Sau khi biến dạng, bán kính của mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi. Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố (hình 4-4a), giới hạn bởi hai mặt phẳng cách nhau bởi một đoạn dz vô cùng bé, hai mặt trụ đồng tâm có bán kính ρ và ρ+dρ, hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc . Sau khi biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ xoay đi một góc φ so với mặt cắt ngàm. Mặt cắt ngang 2-2 có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc ρ+dρ so với mặt cắt ngàm. Hình 4-3 Vậy góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 là dρ (hình 4-4b) Hình 4-4 Theo giả thuyết 1,2,3 các mặt cắt 1-1 và 2-2 chỉ xoay đi đối với nhau, nhưng vẫn phẳng và khoảng cách không đổi. Do đó trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp, không có thành phần ứng suất pháp . Phân tố tách ra như trên rõ ràng ở trạng thái trượt thuần tuý. Gọi là góc trượt tỷ đối của phân tố cách trục một bán kính bằng dρ. Từ hình 4-4b ta có: Trong đó qq’= do giả thuyết 1 và 4. Xét vật liệu làm việc trong miền đàn hồi nên biến dạng được xem là rất bé, có thể coi: Theo định luật Húc (Hooke) ta có Từ hai biểu thức đối với γρ ta có: (4-1) Trong đó là hằng số đối với một mặt cắt ngang và được gọi là góc xoắn tỷ đối. G- mô đun đàn hồi khi trượt. Hình 4-5 Như vậy, trên mặt cắt ngang ứng suất tiếp phân bố bậc nhất theo bán kính. Hình 4-5 biểu diễn luật phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang. 3.2.2. Biểu thức liên hệ giữa ứng suất tiếp với thành phần mômen xoắn nội lực : Quan hệ giữa ứng suất và mô men xoắn (4.1a) Thay giá trị từ biểu thức (3-1) vào (3.1a) ta được (4.1b) Với Ip = chính là mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang tròn : So sánh (3-1a) và (3.1b) ta rút ra biểu thức ứng suất tiếp tính theo nội lực có dạng Ứng suất tiếp lớn nhất tại các điểm ngoài chu vi là: Hay (4-2) Hình 4-6 Trong đó là mômen chống xoắn, có thứ nguyên (chiều dài)3 Với mặt cắt ngang tròn: (4-3) Với mặt cắt ngang hình vành khăn : hoặc (4-4) Ở đây (d - đường kính trong; D - đường kính ngoài) Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên hình vành khăn được biểu diễn trên hình 4-6 4.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH MẶT CẮT TRÒN CHỊU XOẮN Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng của thanh được đặc trưng bởi góc xoắn tỷ đối : (4-5) Từ (4.1b) ta có: (4-6) Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt có chiều dài l là. Ta có: Vậy (4-7) Trong đó GIp gọi là độ cứng khi xoắn. Nếu trong suốt chiều dài l, tỷ số không đổi thì ta có: (4-8) Nếu tỷ số không đổi trong từng đoạn của thanh thì ta chia thanh ra làm nhiều đoạn li sao cho trong từng đoạn tỷ số không đổi, khi đó: (4-9) Góc tính bằng radian. Còn thứ nguyên của góc xoắn tỷ đối là rad/chiều dài Ví dụ 4-1. Cho trục chịu lực như hình 4-7a. Tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tại mặt cắt A và B của trục. Cho G=8.106 N/cm2; đường kính trục d= 5cm. BÀI GIẢI Vẽ biểu đồ mômen xoắn (hình 4-7b). Giá trị mômen xoắn Mz(max) =90000Ncm Ứng suất tiếp cực đại có giá trị Góc xoắn tại mặt cắt B so với ngàm C. Trong đó Mz(CB)=Mc(l-) Ncm Hình 4-7 Khi thay vào ta được Góc xoắn của mặt cắt A so với ngàm C 4.4. ĐIỀU KIỆN BỀN VÀ ĐIỀU KIỆN CỨNG CỦA THANH MẶT CẮT TRÒN CHỊU XOẮN 4.4.1. Điều kiện bền Tại các điểm ở ngoài chu vi, phân tố thanh ở trạng thái trượt thuần tuý. Nếu mặt cắt ngang không đổi thì điều kiện bền có dạng: (4-10) Trong đó được gọi là ứng suất cho phép khi xoắn. Trị số ứng suất cho phép được xác định bằng thực nghiệm theo tiêu chuẩn (tương tự như thí nghiệm kéo). Đối với vật liệu dẻo: Đối với vật liệu giòn: Trong đó : - giới hạn chảy khi xoắn - giới hạn bền khi xoắn n- hệ số an toàn Giữa và tuỳ theo các thuyết bền cũng có các mối quan hệ sau: Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng thì Trường hợp đường kính của thanh thay đổi (ví dụ đối với trục bậc), điều kiện bền có dạng: (4-11) 4.4.2. Điều kiện cứng Các chi tiết máy chịu xoắn khi truyền động phải có độ cứng đủ lớn, tức là góc xoắn tỷ đối lớn nhất về trị số tuyệt đối không vượt quá một trị số cho phép nào đó. rad/ chiều dài (4-12) Trong đó là góc xoắn tỷ đối cho phép. Điều kiện (4-12) gọi là điều kiện cứng. Nếu có đơn vị là độ/chiều dài thì khi tính toán sử dụng công thức biến đổi như sau: rad/chiều dài = độ/chiều dài Từ điều kiện bền và điều kiện cứng, ta cũng suy ra ba bài toán cơ bản sau: Kiểm tra thanh thoả mãn điều kiện bền và điều kiện cứng theo (4-10), (4-12). Chọn kích thước mặt cắt ngang: * Theo điều kiện bền (4-13) * Theo điều kiên cứng (4-14) Ta sẽ chọn đường kính có trị số lớn nhất từ (4-13) và (4-14) Tìm tải trọng cho phép: * Theo điều kiện bền (4-15) * Theo điều kiện cứng (4-16) Từ đó sẽ chọn tải trọng có trị số bé hơn, để đảm bảo mômen xoắn nội lực thoả mãn đồng thời cả hai bất đẳng thức trên. Ví dụ 4-2. Cho một trục chịu lực như hình 4-8a. Các puli 1, 2, 3 là bị động, có công suất là N1=40 mã lực, N2=20 mã lực; N3= 30 mã lực, puli 0 là chủ động. Biết trục quay có n = 1000vg/ph, α= d/D=0,6; vật liệu có ; ; G=8.106 N/cm2. Xác định D, d. BÀI GIẢI Biểu đồ công suất vẽ trên hình 4-8b. Từ biểu đồ công suất ta thấy mặt cắt nguy hiểm có Np=50 mã lực. Vậy mômen xoắn là : Chọn kích thước theo điều kiện bền ta có: Hình 4-8 Từ đó suy ra đường kính ngoài. => Chọn kích thước theo điều kiện cứng Từ (7-8) ta suy ra => So sánh ta chọn D = 3,64; d=0,6 cm Ví dụ 4-3. Chọn trục chịu các ngẫu lực như ở hình 4-9. Biết d = 4cm; giây; G =8. 104 MN/m2; ;rad/m Tính công suất chủ động No(kW) theo điều kiện bền BẢI GIẢI Biểu đồ mômen xoắn được vẽ trên hình 4-9b. Mặt cắt nguy hiểm có Mz(max) = 5M và M0 = 10M Tính tải trọng theo điều kiện bền. Từ công thức (4-15) và chú ý tới (4-1) ta có : Trong đó Np là công suất tương với Mz(max)=5M Gọi N0 là công suất tương ứng với mômen chủ động Mo, ta có : N0=2Np. Vậy ta chọn công suất cho phép. N0=260,3=120,6kW Hình 4-9 Câu hỏi ôn tập: Định nghĩa thanh chịu xoắn thuần tuý. Phát biểu quy tắc tìm mômen xoắn nội lực MZ ở một mặt cắt. Nêu cách vẽ biểu đồ nội lực MZ ? Vì sao trên mặt cắt ngang thanh chịu xoắn thuần tuý chỉ có ứng suất tiếp mà không có ứng suất pháp ? Vẽ biểu đồ phân bố trên một mặt cắt đang xét. Viết và giải thích các đại lượng trong công thức tính tmax ở mặt cắt đang xét. Viết và giải thích các đại lượng trong công thức tính góc xoay tuyệt đối j; góc xoay tương đối q. Nêu điều kiện bền và điều kiện cứng của thanh chịu xoắn ? Tại sao phải có hai điều kiện này ? Bài tập: Một trục có đường kính không đổi d = 7,5 cm chịu lực như hình 4-11. Biết: m1 = 1 KNm; m2 = 0,6 KNm; m3 = m4 = 0,2 KNm. a. Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực của trục ? b. Tính góc xoắn tuyệt đối của trục ? c. Kiểm tra trục theo điều kiện bền và điều kiện cứng với: [t] = 90 MN/m2; [q] = 0,4 độ/m; G = 8.104 MN/m2. 2. Một trục đặc có mặt cắt tròn, đường kính thay đổi và chịu lực như hình 4-12. Biết trục có: [t] = 80 MN/m2; d1 = 2,5 cm; d2 = 4 cm; G = 8.104 MN/m2. Hãy: a. Vẽ biểu đồ mômen nội lực MZ của trục. b. Kiểm tra trục theo điều kiện cường độ. 1m 1,5m 2m m4 m3 m2 m1 Hình 4-11 m2 = 600Nm m1 = 400Nm 2m 1m d2 d1 Hình 4-12 c. Tính góc xoắn tuyệt đối của trục. 3. Để giảm trọng lượng một trục đặc xuống, người ta gia công thành trục rỗng có đường kính ngoài bằng 2 lần đường kính trong. Hỏi trục rỗng có đủ bền không nếu ứng suất tiếp lớn nhất trên trục đặc bằng 5600 N/cm2 và ứng suất tiếp cho phép [t]= 6000 N/cm2. 4. Hai đoạn trục đặc và rỗng nối với nhau bằng khớp ly hợp (hình 4-13). Trục nhận được công suất truyền N = 7,5 KW và có số vòng quay n = 100 v/ph. Biết trục có [t] = 2000 N/cm2. d1 d D Hình 4-13 Tỷ số giữa đường kính trong và ngoài của trục rỗng bằng 1/2. Tính kích thước mặt cắt ngang của 2 trục. 5. Vẽ biều đồ mômen xoắn, tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn giữa hai đầu thanh. Cho G = 8.106 N/cm2 (hình bài 4-14) Hình 4-14 6. Xác định m để trục cân bằng. Vẽ biểu đồ mômen xoắn, tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn giữa hai đầu trục (hình 4-15) Hình 4-15 7. Kiểm tra độ bền và độ cứng của trục tròn biết =3000 N/cm2, , G=8.106 N/cm2 (hình 4-16). Tính góc xoắn tại B và C. Hình 4-16 8. Người ta đem một trục đặc đường kính 20cm gia công thành rỗng có đường kính trong bằng 0,6 lần đường kính ngoài. Xác định đường kính ngoài của trục rỗng sao cho ứng suất tiếp lớn nhất của chúng bằng nhau. So sánh trọng lượng giữa hai trục. BÀI 5: UỐN PHẲNG 5.1. ĐỊNH NGHĨA – NỘI LỰC 5.1.1. Phân loại và định nghĩa Ngoại lực tác dụng lên một thanh có thể là lực tập trung, lực phân bố hoặc mômen tập trung. Trong giáo trình này ta chỉ xét các lực tác dụng trên mặt phẳng, mặt phẳng chứa các ngoại lực đó gọi là mặt phẳng tải trọng. Đường tải trọng là giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của thanh. Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là mặt phẳng tạo bởi trục của thanh và một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình 5-1) Hình 5-1 Thanh chịu uốn thuần túy thường được gọi là dầm. Nếu trục của dầm sau khi bị uốn vẫn nằm trong một mặt phẳng quán tính chính trung tâm, thì trạng thái chịu uốn đó được gọi là uốn phẳng. Trong thực tế thông thường mặt cắt ngang dầm chịu uốn có ít nhất một trục đối xứng và mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng của dầm, nghĩa là đường tải trọng trùng với trục đối xứng của mặt cắt ngang, khi đó ta gọi trạng thái chịu lực của dầm là chịu uốn phẳng. Trong chương này của giáo trình ta chỉ nghiên cứu các loại dầm chịu uốn phẳng. Uốn phẳng được chia thành hai loại và sẽ được xét lần lượt như sau: Uốn thuần tuý phẳng Uốn ngang phẳng. 5.1.2. Nội lực Xét một dầm chịu lực biểu diễn trên hình 5-2. Các ngoại lực tác dụng lên dầm gồm lực tập trung, lực phân bố, mômen tập tru