Giáo trình Lý thuyết gia công kim loại bằng áp lực

điều kiện dẻo gần đúng 1.4. Phương pháp lưới đường trượt 10 1.4.1. Những khái niệm cơ bản về đường trượt 10 1.4.2. Các tính chất của đường trượt 14 1.4.3. Một số ví dụ về sử dụng phương pháp lưới đường trượt 17 1.5. Phương pháp định trị trên 20 1.5.1. Khái niệm về sơ đồ cứng dẻo 20 1.5.2. Gián đoạn ứng suất và tốc độ 21 1.5.3. Phương pháp định trị trên 23 1.6. Phương pháp cân bằng công 26 1.7. Phương pháp trở lực biến dạng 28 1.8. Phương pháp biến phân 30 1.9. So sánh các phương pháp tính lực và công biến dạng 35 Chương 2. Các phương pháp thực nghiệm 36 xác định lực và công biến dạng 2.1. Xác định lực dập toàn phần 36 2.2. Đo biến dạng bằng Tenzomet 37 2.3. Phương pháp quang học để xác định trạng thái ứng suất 41 biến dạng 2.4. Xác định biến dạng và ứng suất trong vật thể biến dạng 46 2.5. Phương pháp vật tương tự 47 2.6. Cơ sở mô hình hóa quá trình gia công áp lực. 49 Định luật đồng dạng Chương 3. Các nguyên công rèn và dập thể tích 53 3.1. Chồn kim loại 53 3.1.1. Chồn phôi dài không hạn chế có tiết diện chữ nhật 53 3.1.2. Chồn phôi lăng trụ đều và phôi trụ 61 3.1.3. Chồn phôi dài hạn chế 62 3.1.4. Sự biến dạng không đồng nhất khi chồn 64 3.1.5. Công biến dạng khi chồn 67 3.2. Vuốt kim loại 69 3.2.1. Vuốt phôi có tiết diện hình chữ nhật dưới đe phẳng 69 3.2.2. Vuốt phôi có tiết diện tròn 71 3.3. ép chảy kim loại 76 3.3.1. Những vấn đề chung 76 3.3.2. Xác định áp lực riêng khi ép chảy 77 3.4. Đột lỗ 81 3.4.1. Khái niệm chung 81 3.4.2. áp lực riêng khi chày nén vào bán không gian 82 3.4.3. áp lực riêng khi đột hở 82 3.4.4. áp lực biến dạng khi đột kín 85 3.5. Dập thể tích trong khuôn hở 91 3.5.1. Khái niệm chung 91 3.5.2. áp lực riêng để biến dạng bavia 92 3.5.3. áp lực riêng để biến dạng kim loại trong khuôn 95 3.5.4. Lực dập toàn phần 97 3.6. Dập trong khuôn kín 98 Chương 4. Các nguyên công dập tấm 101 4.1. Khái niệm chung 101 4.2. Cắt hình và đột lỗ 104 4.3. Uốn tấm kim loại 105 4.3.1. Uốn tấm rộng 105 4.3.2. Uốn có lực dọc 110 4.3.3. Uốn kim loại bằng lực ngang 112 4.3.4. Sự đàn hồi của chi tiết sau khi uốn 113 4.4. Dập vuốt 115 4.5. Tóp miệng 130 4.6. Nong lỗ 135 Tài liệu tham khảo 138 lời nói đầu Gia công kim loại bằng áp lực là một trong những phương pháp gia công kim loại phổ biến và có hiệu quả nhất, dựa trên khả năng biến dạng dẻo của kim loại. Biến dạng dẻo đã được sử dụng như một biện pháp hữu ích để không chỉ tạo được hình dạng chi tiết mà còn nâng cao cơ tính kim loại, nhất là chất lượng bề mặt. Tuy nhiên, để làm chủ được các quá trình biến dạng dẻo của vật liệu một cách tích cực, cần phải đẩy mạnh việc nghiên cứu lý thuyết về trạng thái ứng suất, biến dạng của vật liệu trong những quá trình cụ thể. Tài liệu "Lý thuyết Gia công kim loại bằng áp lực" cung cấp cho học viên chuyên ngành "Gia công kim loại bằng áp lực", "Công nghệ chế tạo vũ khí, đạn" những phương pháp xác định trường ứng suất, biến dạng làm cơ sở cho việc tính toán lực công nghệ của các nguyên công rèn - dập. Tài liệu được trình bày trong bốn chương: Chương 1. Các phương pháp giải tích xác định lực và công biến dạng Chương 2. Các phương pháp thực nghiệm xác định lực và công biến dạng. Chương 3. Các nguyên công rèn và dập thể tích Chương 4. Các nguyên công dập tấm. Trong quá trình biên soạn tài liệu này, không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của các đọc giả. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn bộ môn Gia công áp lực, HVKTQS vì những đóng góp về nội dung và phương pháp trình bày tài liệu này. Chương 1 Các phương pháp giải tích xác định lực và công biến dạng 1.1. Những vấn đề chung ở hầu hết các thiết bị dùng cho nguyên công rèn - dập, bộ phận công tác (đầu trượt) và dụng cụ được gá trên nó, trong giai đoạn biến dạng thực hiện chuyển động thẳng tịnh tiến. Lực tích cực mà thiết bị tác động lên vật biến dạng thông qua dụng cụ ở từng thời điểm luôn để thắng trở lực biến dạng của vật liệu và ma sát trên bề mặt tiếp xúc giữa dụng cụ và vật thể. Lực đó được gọi là lực biến dạng và cần phải được xác định làm cơ sở cho việc thiết kế hoặc lựa chọn máy. Lực biến dạng được truyền cho vật biến dạng có thể theo hai hình thức: trực tiếp qua bề mặt tiếp xúc với dụng cụ (ở các nguyên công chồn, vuốt, ép chảy,dập khối...) hoặc gián tiếp thông qua các vùng biến dạng đàn hồi của vật thể (các nguyên công dập vuốt, uốn, kéo...). Đối với hình thức truyền thứ nhất, lực biến dạng có thể được xác định nếu biết giá trị của ứng suất pháp, ứng suất tiếp tuyến ở từng điểm trên bề mặt tiếp xúc và hình dáng, kích thước của bề mặt này. Đối với hình thức truyền thứ hai, lực biến dạng sẽ được xác định nếu biết giá trị và hướng của ứng suất trên gianh giới giữa vùng biến dạng dẻo và biến dạng đàn hồi. Trong cả hai trường hợp, khi chiếu các thành phần ứng suất lên toàn bộ bề mặt tiếp xúc hoặc toàn bộ bề mặt gianh giới theo hướng chuyển động của dụng cụ sẽ xác định được lực toàn phần. Để thuận tiện cho việc tính lực biến dạng, khi các vật thể có hình dạng khác nhau, song có kích thước, trở lực biến dạng và hệ số ma sát giống nhau, người ta sử dụng áp lực đơn vị. áp lực đơn vị (p) là tỷ số giữa lực toàn phần và diện tích hình chiếu của bề mặt tiếp xúc lên mặt phẳng vuông góc với hướng tác dụng của lực toàn phần. p = F P (H/mm2 ) (1.1) áp lực đơn vị, tính toán cho một quá trình cụ thể được xác định phụ thuộc vào trở lực biến dạng, hệ số ma sát và kích thước của vật biến dạng. Về phần mình, trở lực biến dạng phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ, tốc độ và mức độ biến dạng. Tóm lại để xác định được lực biến dạng, trước tiên cần xác định được giá trị và sự phân bố ứng suất trên bề mặt tiếp xúc. Các phương pháp xác định chúng sẽ được trình bày cụ thể trong chương 1. 1.2. Giải kết hợp phương trình vi phân cân bằng và điều kiện dẻo Nội dung của phương pháp này bao gồm việc giải kết hợp các phương trình vi phân cân bằng (ptvpcb) được viết cho từng trạng thái ứng suất trong các hệ trục toạ độ Đềcác, trụ, cầu... ứng với các điều kiện cụ thể của bài toán với phương trình biểu diễn điều kiện dẻo. Các hằng số tự do xuất hiện khi giải các ptvpcb được xác định từ các điều kiện biên. Trong trường hợp có ma sát, cần phải coi ma sát là yếu tố gây nên ứng suất tiếp tuyến trên bề mặt tiếp xúc. Điều kiện ma sát sẽ được chấp nhận dưới hai dạng: hoặc ứng suất tiếp được coi là không phụ thuộc vào toạ độ mà nó hướng theo, nghĩa là ứng suất tiếp không đổi, hoặc coi ứng suất tiếp luôn tỷ lệ với ứng suất pháp trên bề mặt tiếp xúc. Nếu như bài toán là chưa xác định, cần phải sử dụng thêm các phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, phương trình liên tục. Về mặt lý thuyết, phương pháp này sẽ cho lời giải chính xác, có khả năng cho chúng ta biết không chỉ sự phân bố ứng suất trên bề mặt tiếp xúc mà cả bên trong vật thể biến dạng. Tuy nhiên phương pháp này gặp rất nhiều khó khăn về mặt toán học khi giải các ptvpcb. Nó chỉ cho những lời giải khép kín ở một vài trường hợp đơn giản khi điều kiện ma sát được giả thiết là không có trên bề mặt tiếp xúc. Chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn những khó khăn này trong những trường hợp cụ thể dưới đây. a. Đối với trạng thái ứng suất khối Chúng ta có 3 ptvpcb với một phương trình dẻo chứa 6 ẩn số (3 ứng suất pháp, 3 ứng suất tiếp). Như vậy bài toán trở thành hai lần bất định. Các phương trình có thể sử dụng thêm gồm: 6 phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất biến dạng, 3 phương trình biến dạng liên tục. Các phương trình này chứa thêm 7 ẩn số (6 đại lượng biến dạng và môđun dẻo). Như vậy đối với bài toán trạng thái ứng suất khối sẽ có 13 phương trình với 13 ẩn số. Giải một hệ gồm nhiều phương trình dưới dạng đạo hàm riêng như vậy trên thực tế là hết sức khó khăn . b. Đối với trạng thái ứng suất đối xứng trục Chúng ta có 2 ptvpcb và phương trình dẻo chứa tất cả 4 ẩn số. Các phương trình sử dụng thêm gồm: 4 phương trình mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, 1 phương trình biến dạng liên tục. Các phương trình này chứa thêm 4 ẩn. Như vậy ta có một hệ gồm 8 phương trình với 8 ẩn số. c. Đối với bài toán phẳng Có 2 ptvpcb và 1 phương trình dẻo. Mặc dầu với 3 phương trình chứa 3 ẩn số, song việc giải khép kín chỉ đạt được khi ứng suất tiếp trên bề mặt tiếp xúc chấp nhận hoặc bằng không, hoặc không phụ thuộc vào một trong hai tọa độ. Để minh họa cho phương pháp giải trên chúng ta xét ví dụ: xác định giá trị áp lực tác dụng bên trong ống, có bán kính trong là r, bán kính ngoài là R sao cho toàn bộ tiết diện ống nằm trong trạng thái biến dạng dẻo. Biến dạng dọc theo trục ống coi bằng không. Trạng thái ứng suất ở bài toán này vừa là đối xứng trục, vừa là phẳng. PTVPCB được viết như sau: 0        d d Phương trình điều kiện dẻo:  -  =  S * Giải kết hợp hệ trên, có lưu ý tới điều kiện khi  = R;  = 0 ta sẽ thu được  =  S * ln  R , khi  = r thì:  = p =  S * ln r R (1.2) 1.3. Phương pháp giải các phương trình vi phân cân bằng và điều kiện dẻo gần đúng Do những khó khăn khi giải chính xác các ptvpcb và điều kiện dẻo, nên đã hình thành phương pháp giải các phương trình cân bằng và điều kiện dẻo gần đúng. Phương pháp này dựa trên những cơ sở sau: 1. Bài toán được đưa về dạng đối xứng trục hoặc phẳng. Trong trường hợp hình dáng vật biến dạng phức tạp, cần phải phân chúng ra những khối đơn giản để có thể đặt điều kiện đối xứng trục hoặc phẳng. Bằng cách làm này có thể giảm đáng kể số lượng các ptvpcb. 2. Các ptvpcb để cho bài toán phẳng, hoặc đối xứng trục sẽ được đơn giản hóa bằng cách chấp nhận: ứng suất pháp chỉ phụ thuộc vào một tọa độ, nhờ đó chỉ còn lại một ptvpcb trong đó đạo hàm riêng được thay bằng đạo hàm thường. 3. Điều kiện dẻo thông thường cũng được viết gần đúng. Phương pháp giải trên sử dụng chỉ để xác định ứng suất trên bề mặt tiếp xúc để tính lực biến dạng mà không cần xác định ứng suất bên trong vật biến dạng. Chúng ta hãy xét những khả năng viết các phương trình dẻo gần đúng. Khi phân tích các nguyên công rèn - dập, hầu hết các ptvpcb được thành lập từ các thành phần tenxơ ứng suất, nghĩa là các ứng suất được viết không phải ở trong các mặt tọa độ chính. Do vậy điều kiện dẻo cũng được thành lập từ các thành phần tenxơ ứng suất. Với cách viết đó sẽ làm cho các phương trình hết sức phức tạp và không tuyến tính. Để đơn giản hóa, cần phải biến phương trình dẻo trở thành tuyến tính gần đúng bằng cách sử dụng hệ số Lôđê . Khi đó phương trình có dạng: max - min =  S (1.3) Hệ số  = 1 khi hai trong ba ứng suất chính bằng nhau  = 1,155 và trong trường hợp trạng thái biến dạng phẳng. Trong trường hợp ứng suất tiếp  nhỏ, các phương trình dẻo gần đúng có thể nhận được bằng cách thay các ứng suất chính của (1.3) bằng các thành phần tenxơ ứng suất. Cụ thể các phương trình dẻo gần đúng cho một số các trường hợp được viết như sau: a, Trạng thái ứng suất đối xứng trục, khi     z.  -  =  S hoặc  - z =  S (1.4) b, Trạng thái ứng suất đối xứng trục, khi  =   - z =  S (1.5) c, Trạng thái biến dạng phẳng, khi y là ứng suất trung gian x - z =  *S (1.6) d, Trạng thái ứng suất phẳng: x - z =  S (khi x .z <0 ) x =  S (khi x. z >0 và zx  ) z =  S (khi x. z >0 và xz  ) (1.7) Trong các phương trình trên, nếu chấp nhận  = 1 chúng ta sẽ chuyển từ điều kiện dẻo năng lượng sang điều kiện dẻo ứng suất tiếp chính không đổi. Khi ứng suất tiếp có giá trị gần cực đại (  k), nếu sử dụng các phương trình (1.4)  (1.7) sẽ gây nên sai số rất lớn. Trong trường hợp này E.. YHKCOB đưa ra điều kiện dẻo gần đúng sau: Đối với trạng thái ứng suất đối xứng trục: 2 2 z S 2 z 2 z 2 k 1 .2 )()()(     (1.8) và đối với trạng thái biến dạng phẳng: 2 2 xz * S zx k 1    (1.9) Từ (1.8) và (1.9) cho thấy: nếu  = 0 dễ dàng nhận được các phương trình (1.4); (1.5) và (1.6). Nếu  = k sẽ thu được:  =  = z (1.8a) x = z = y (1.9a) Như vậy (1.8a) và (1.9a) sẽ là phương trình chính xác khi  = k và gần đúng khi  gần tới k. Tóm lại theo E.. YHKCOB, khi o  k  0,7k với sai số cho phép có thể sử dụng các phương trình (1.8); (1.9). Rất thường xuyên khi giải các bài toán thực tế, người ta cần phải biểu diễn đạo hàm của một ứng suất theo tọa độ cho trước qua đạo hàm của ứng suất khác cũng theo tọa độ đó. Nội dung của cách biểu diễn đó như sau: Ta có phương trình dẻo cho trạng thái ứng suất đối xứng trục (khi  =  ) và cho trạng thái biến dạng phẳng : ( - z)2 + 3 2S 2 z  (1.10) (x - z)2 + 4 2xz = 4k 2 (1.11) Giả sử lấy đạo hàm phương trình (1.10) theo  và (1.11) theo x, ta sẽ nhận được:                    z z z z 3   x 4 xx z xz zx zx                Nếu  không phụ thuộc vào tọa độ  hoặc x chúng ta sẽ thu được:      z hay   = z (1.12a) và: xx zx      hay  x = z (1.12b) Tương tự như vậy các phương trình (1.10) và (1.11) cũng có thể đạo hàm theo các tọa độ khác. Các phương trình (1.12a); (1.12b) có thể coi là biểu thức của điều kiện dẻo ở dưới dạng vi phân và nó sẽ là điều kiện dẻo đúng nếu  không phụ thuộc vào tọa độ cho trước, còn trong trường hợp ngược lại nó được coi là điều kiện dẻo gần đúng. Việc sử dụng phương pháp này chúng ta sẽ đề cập tỷ mỷ ở các chương sau. 1.4. Phương pháp lưới đường trượt 1.4.1. Những khái niệm cơ bản về đường trượt Khi chúng ta kéo một mẫu trụ, ở giai đoạn đầu của biến dạng dẻo, trên bề mặt của nó phát hiện thấy lưới các đường cắt nhau dưới một góc vuông và chúng nghiêng 450 so với trục mẫu. Các đường này chính là vết cắt nhau giữa mặt mẫu và mặt ứng suất tiếp lớn nhất và chúng được gọi là đường trượt. Các thí nghiệm khác cũng cho thấy đường trượt trùng với quỹ đạo của ứng suất tiếp lớn nhất. Đường trượt có một số tính chất quan trọng, mà nếu sử dụng chúng cho phép xác định được ứng suất theo thể tích vật thể chịu biến dạng phẳng và đối xứng trục. Bởi đường trượt là quỹ đạo của ứng suất tiếp lớn nhất và khi biến dạng phẳng tồn tại hai mặt ứng suất đó, do vậy sẽ có hai họ đường trượt trực giao nhau và cắt với quỹ đạo của ứng suất pháp chính dưới góc 450. (hình 1.1) Hình 1.1. Đường trượt ,  và quỹ đạo của ứng suất pháp chính Từ hình 1.1 có thể viết phương trình vi phân của hai họ đường trượt như sau: để cho họ :  tg dx dz để cho họ :  ctg dx dz (1.13) Trong đó  =  + /4 (,  được biểu diễn như trên hình vẽ). Chúng ta biểu diễn ứng suất x, Z, xz khi biến dạng phẳng qua ứng suất pháp chính và góc  giữa trục x và trục chính 1 như sau :       2cos31TB z x xz = 31 . sin2 Nếu thay  qua  và lưu ý tới: khi biến dạng phẳng 31 = k, ta sẽ thu được:  4   =  + 4   + 2   - 4  ' =  + 2  1 3 a  1 3 z x 0       2sin.kTB z x xz = - k . cos2 (1.14) Trong các công thức trên:    TB  1 3 2 Cần lưu ý rằng (1.14) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện dẻo khi biến dạng là phẳng:   22xz2zx k44  Điều kiện dễ dàng kiểm chứng nếu thay các giá trị ứng suất từ (1.14) vào phương trình trên. Lấy đạo hàm riêng của các ứng suất xác định theo (1.14) rồi thay vào ptvpcb sau: 0 zx ;0 zx zxzxzx             Ta sẽ nhận được: 0 z 2sin x 2cosk2 x TB               0222               x sin z cosk z TB (1.15) Các phương trình (1.15) được xác định trong hệ tọa độ x, z và chúng có thể biểu diễn trong hệ tọa độ cong của hai họ đường trượt bằng cách chuyển gốc tọa độ về một điểm a nào đó - là điểm giao nhau của hai họ đường trượt. Các trục tọa độ, được hướng theo phương tiếp tuyến tới các đường trượt họ ,  (hình 1.2). Trong một lân cận vô cùng nhỏ của điểm a có thể coi các cung của họ ,  trùng với tiếp tuyến x ', z'. Khi đó có thể chấp nhận: dx = d; dz = d;           z ; x Mặc dù bây giờ góc  = 0 (do các trục trùng với tiếp tuyến của đường trượt) song     ;  0 bởi  luôn thay đổi dọc theo đường cong. Nếu tính đến các yếu tố kể trên vào (1.15) ta sẽ thu được:   02    kTB   02    kTB (1.16) Sau khi tích phân (1.16) theo ,  ta thu được: TB + 2k = C1 TB - 2k = C2 (1.17) Hình 1.2. Sơ đồ chuyển trục toạ độ Bởi (1.16) là phương trình đạo hàm riêng, nên các hằng số tự do trong (1.17) sẽ có chứa một phần nào đó của các hàm , . Giả sử ta chọn các hằng số tự do đó là 2k() và 2k(), khi đó (1.17) được viết lại là: TB + 2k = 2k () (dọc theo ). TB - 2k = 2k () (dọc theo ) (1.18) (1.18) còn có tên gọi là tích phân Henki. Các giá trị 2k(), 2k() có giá trị không đổi, khi điểm dịch chuyển dọc theo các đường tương ứng của họ ,  và sẽ thay đổi nếu chuyển sang đường khác cùng họ. Giả sử tại một điểm A nào đó của đường trượt  có TB = TBA và  = A. Tại một điểm B khác của đường trượt cùng họ có: TB = TBB và  = B. Khi đó nếu thay vào (1.18) ta sẽ thu được: TBA + 2kA = 2k() TBB + 2kB = 2k() Do vậy sau khi so sánh và biến đổi hai phương trình trên ta thu được: TBA - TBB =  2k(A - B). Đặt A - B = AB - góc quay của đường trượt khi dịch chuyển từ điểm A tới B, do đó: TBA - TBB =  2kAB (1.19) Công thức (1.19) cho thấy: sự thay đổi của ứng suất trung bình tỷ lệ với góc quay của đường trượt và hệ số tỷ lệ là 2k. Phân tích (1.19) cho chúng ta rút ra một số vấn đề sau: - Nếu biết được đường trượt và giá trị ứng suất trung bình của một điểm nào đó trên nó, thì có thể biết được ứng suất trung bình trên toàn bộ đường trượt. - Nếu biết được lưới đường trượt và ứng suất trung bình tại một điểm nút thì có thể xác định được ứng suất trung bình của toàn lưới. - Nếu biết được ứng suất trung bình và góc quay thì có thể sử dụng hệ (1.14) để xác định các ứng suất thành phần. - Nếu một đoạn đường trượt nào đó là thẳng thì trạng thái ứng suất sẽ không thay đổi dọc theo đoạn thẳng đó. - Nếu một vùng nào đó có hai họ đường trượt là thẳng thì trạng thái ứng suất trong vùng đó là đồng nhất và ngược lại. 1.4.2. Các tính chất của đường trượt Định lý thứ nhất của Henki Góc giữa tiếp tuyến tới hai đường trượt của một họ tại những điểm cắt nhau với mỗi đường trượt họ khác là không đổi. Để chứng minh định lý trên, ta tách ra từ lưới đường trượt một tứ giác cong bất kì MNPQ giới hạn bởi đường MN, PQ họ  và MP, NQ họ  (h.1.3). Trên cơ sở của (1.18) ta có thể viết: TBQ - TBM = (TBQ - TBN) + (TBN - TBM) = 2k (Q + M - 2N) Hình 1.3. Phần tử tách từ lưới đường trượt Nếu đi từ điểm Q tới M theo hướng khác, ta sẽ có: TBQ - TBM = (TBQ - TBP) + (TBP - TBM) = 2k (2P + Q - M) Từ hai phương trình trên ta có thể rút ra là: Q - N = P - M =  (1.20) Từ định lý trên có thể rút ra hệ quả sau: Nếu như một đoạn đường trượt nào đó của một họ cho trước là thẳng, thì tất cả các đoạn đường trượt của họ đó cắt cùng bằng những đường trượt họ khác cũng là đường thẳng (h1.3). Định lý thứ hai của Henki Khi dịch chuyển một điểm dọc theo đường trượt cho trước của một họ, bán kính cong của đường trượt họ khác thay đổi một lượng bằng khoảng cách dịch chuyển. Để chứng minh định lý, ta lấy trong lưới đường trượt một tứ giác cong vô cùng nhỏ tạo bởi cặp ab, cd, của đường trượt họ  và ac, bd của họ  (h1.4) Vì tứ giác được coi là nhỏ, nên cạnh của nó có thể coi là cung tròn. Độ dài cung ab = dS1 = R d Độ dài cung cd = dS2 = (R + dS) d Mặt khác, do độ cong của cung họ  giảm khi chuyển từ 1 tới 2 nên bán kính của cung cd lớn hơn bán kính cung ab một số gia dR. Nghĩa là: Hình 1.4. Phần tử tách từ lưới đường trượt cO ' (R + dR) d. So sánh với biểu thức trên ta nhận được: dR = dS .Tương tự như thế: dR = dS (1.21) Qua những vấn đề nêu ra ở trên, có thể tóm tắt một số tính chất cơ bản của đường trượt như sau: 1. Lưới đường trượt gồm hai họ trực giao nhau và cắt quỹ đạo ứng suất chính dưới một góc 450. 2. Sự thay đổi ứng suất pháp trung bình khi dịch chuyển dọc theo đường trượt tỷ lệ với góc quay của nó và hệ số tỷ lệ là 2k. 3. Góc giữa tiếp tuyến tới hai đường trượt của một họ tại những điểm giao nhau với đường trượt họ khác là không đổi. 4. Bán kính cong của đường trượt thay đổi bằng khoảng cách đi qua của đường trượt họ khác. ds2 ds1 ds 2  c a b 1 R  + dR  R  d d O' O O O1 O2 O4 O3 A' B' B A  d2 d1 d 5. Góc nghiêng của đường trượt khi thoát ra biên phụ thuộc vào ứng suất tiếp trên biên, nó dao động từ 0  900. Khi biên là mặt tự do hoặc mặt tiếp xúc không có ma sát (xZ = 0), đường trượt sẽ nghiêng dưới một góc 450. Trong trường hợp mặt tiếp xúc có ma sát cực đại )k( xZ  khi đó cos2 = 1 hay  = 0 hoặc  = 900, nghĩa là : Một họ đường trượt thoát ra trên bề mặt tiếp xúc dưới một góc 900, còn họ kia tiếp tuyến với mặt tiếp xúc. 1.4.3. Một số ví dụ về sử dụng phương pháp lưới đường trượt Ví dụ 1: Xác định lực nén chày vào khối kim loại có kích thước không hạn chế và không có ma sát tiếp xúc.(h1.5). Hình 1.5. Lưới đường trượt khi nén chày vào vật có kích thước không hạn chế Theo chiều vuông góc với hình vẽ, chày có kích thước không hạn chế nên biến dạng được coi là phẳng. Do không có ma sát trên bề mặt tiếp xúc nên đường trượt nghiêng 450 với bề mặt công tác BE của chày. Lưới đường trượt nằm dưới các mặt đó là những tam giác vuông ABC, BDE, EFG. ở các vùng chuyển tiếp BCD, EDF, lưới đường trượt gồm một họ là những đường thẳng xuất phát từ B, E, họ kia là các cung tròn. Như vậy, ACDFG là gianh giới của lưới đường trượt. Do đường trượt nghiêng với mặt chày và mặt tự do một góc 450, nên góc quay của đường trượt khi đi dọc từ điểm a (trên bề mặt tự do) tới điểm m (trên mặt chày) am = /2. Tại điểm a có: za = 0; xa - ứng suất nén. Điều kiện dẻo tại đây được viết: 0 - xa = 2k; xa = -2k ứng suất trung bình: TBa = 2 0 xa = -k Khi đi từ a tới m, ứng suất trung bình thay đổi như sau: p b A B C D F E m TBa - TBm = 2k . am = k .  Do vậy: TBm = TBa - k .  = - k (1+) Mặt khác: TBm = 2 zmxm  Điều kiện dẻo tại m: xm - zm = 2k Giải kết hợp các yếu tố trên sẽ thu được kết quả: zm = - k(2 + ) = - 5,14k. với k = 3 S nên zm  - 2,97S Như vậy áp lực riêng cần thiết để nén chày vào vật thể có kích thước không hạn chế sẽ là: p = 2,97S *S,  62 Và lực toàn phần trên một đơn vị chiều dày chày là: P = p . BE Ví dụ 2: Xác định giá trị áp lực tác dụng bên trong ống để toàn bộ tiết diện ống nằm trong trạng thái biến dạng dẻo (ví dụ của 1.2). Hình 1.6. Sơ đồ xác định áp lực tác dụng bên trong để biến dạng dẻo ống R r   a b ab ab 0 p a Biến dạng được coi là phẳng theo hướng trục z. Do không có ứng suất tiếp ở mặt trong nên ,  là ứng suất pháp chính. Quỹ đạo của chúng là những vòng tròn đồng tâm và các bán kính trực giao với nhau. Như đã biết, đường trượt nghiêng với quỹ đạo ứng suất pháp chính một góc 450 nên từ lý thuyết đường cong nhận thấy: đường cong cắt các tia xuất phát từ một điểm dưới một góc  không đổi sẽ là đường xoắn lôgarit và phương trình đường cong đó sẽ là:  = r . exp A Trong đó: A = ctg. Trong trường hợp của bài toán A = ctg450 = 1 do vậy  = r .e Trên hình, phía bên trái là một phần của lưới đường trượt. Tại điểm b (ở mặt ngoài ống) có b = 0. Điều kiện dẻo tại đây như sau: b - b = 2k  b = 2k TBb = 2 bb   = k Đường trượt khi dịch chuyển từ b tới a đã quay một góc ab. Từ mối quan hệ hình học như trên hình vẽ, có thể chứng minh được: ab= ab do vậy ab = ln r R Ta có: TBa - TBb =  2kln r R Do ứng suất nén hướng kính  tăng theo giá trị tuyệt đối từ 0 tại điểm b tới giá trị max tại a, còn ứng suất kéo hướng tiếp tuyến giảm theo chiều từ b tới a. Do vậy TBa < TBb Và ta có: TBa - TBb = -2kln r R TBa = TBb - 2kln r R = k - 2kln r R Tại điểm a ta có: TBa = 2 aa   Theo điều kiện dẻo: a - a = 2k do vậy a = a + 2k Và như vậy TBa = 2 2kaa   = a + k Kết hợp với các phương trình trên ta thu được: a + k = k - 2k ln r R a = - 2kln r R Hay p =  S * ln r R Kết quả giải theo phương pháp này cũng trùng với biểu thức (1.2) . 1.5. Phương pháp định trị trên Bài toán xây dựng trường đường trượt nói chung không có lời giải duy nhất. Việc xây dựng đúng trường đường trượt có thể chỉ đáp ứng điều kiện cân bằng, điều kiện biên, phương trình liên hệ ứng suất và biến dạng mà có thể không đáp ứng được điều kiện động học. Lý thuyết biến dạng dẻo đã chứng minh, trường đường trượt nếu chỉ thỏa mãn điều kiện tĩnh mà không thoả mãn điều kiện động thì chỉ cho phép xác định lực biến dạng ở giới hạn dưới. Để xác định lực biến dạng thực, trường đường trượt cần phải thoả mãn cả điều kiện động. Đó là lập luận để hình thành phương pháp định trị trên. Để nắm được nội dung của phương pháp, chúng ta cần hiểu rõ một số khái niệm sau: 1.5.1 Khái niệm về sơ đồ cứng dẻo Nếu so sánh lưới đường trượt trên hình 1.5 và 1.6 có thể thấy sự khác nhau giữa chúng thể hiện: ở trường hợp thứ nhất (h1.5) lưới đường trượt không chiếm toàn bộ thể tích vật dập. Do vậy có thể coi thể tích kim loại được chia thành hai vùng: vùng dẻo chứa toàn bộ đường trượt và vùng kia được coi là vùng cứng. Tại gianh giới giữa hai vùng, kim loại chuyển đột biến sang trạng thái dẻo. Sơ đồ như thế được gọi là sơ đồ cứng dẻo. Gianh giới phân chia vùng dẻo và vùng cứng chính là các đường trượt và thông thường nó không cho trước việc xác định nó là một phần lời giải của phương pháp lưới đường trượt. Cần phải thấy rằng khái niệm sơ đồ cứng dẻo chỉ mang tính chất toán học thuần tuý, còn về phương diện vật lý thì không tồn tại một gianh giới cứng dẻo cụ thể nào. 1.5.2. Gián đoạn ứng suất và tốc độ Khi uốn dẻo thuần tuý, biểu đồ ứng suất có dạng như hình 1.7. Như vậy sẽ tồn tại một bề mặt mà ở đó ứng suất thay đổi đột ngột từ  S * tới -  S * . Ta gọi tại đó có gián đoạn ứng suất. Hình 1.7. Biểu đồ ứng suất khi uốn dẻo thuần tuý Đường gián đoạn ứng suất có thể coi như một trường hợp tới hạn mà ở đó có một màng mỏng đàn hồi chia vật thành hai vùng dẻo. Lí thuyết dẻo đã chứng minh một loạt đặc trưng của gián đoạn ứng suất. +S* -S* -S* -S +S* +S a b Trên đường gián đoạn, sự gián đoạn xảy ra đối với ứng suất pháp hướng dọc theo đường trượt, còn ứng suất pháp vuông góc với đường trượt và ứng suất tiếp thay đổi liên tục. Nếu trên đường gián đoạn L, ta tách ra một phần tử nhỏ và kí hiệu các ứng suất ở về các phía khác nhau bằng dấu +; - thì: t+  t-; n+ = n- = n n+ = n- = n Đường gián đoạn ứng suất là phân giác của góc tạo bởi các đường trượt cùng họ  và ';  và '. Độ cong của đường trượt khi vượt qua đường gián đoạn thay đổi đột biến. Hình 1.8. Sơ đồ gián đoạn ứng suất Nếu một chất điểm dịch chuyển, thì tốc độ và hướng dịch chuyển của nó hoàn toàn xác định nếu biết các thành phần tốc độ . xU ; . yU trong hệ tọa độ Đề Các, GâyRinger đã xây dựng các phương trình biểu diễn tốc độ dịch chuyển của chất điểm dọc theo đường trượt. d . U - . U d = 0 (dọc theo ). d . U - . U d = 0 (dọc theo ) (1.22) (1.22) cho thấy: Nếu trường đường trượt là đơn giản (d = 0) thì thành phần tốc độ dọc theo từng đường trượt đó là không đổi. Bây giờ chúng ta giả sử chất điểm cắt đường trượt tại P và tốc độ dịch chuyển của nó trước khi cắt là . U , sau khi cắt là . 'U . Các thành phần tốc độ của . U và . 'U biểu diễn như hình 1.9 Để z x n +n  + n -n -n 0 +t -t /2 /2  ' ' l  thỏa mãn điều kiện liên tục đòi hỏi thành phần pháp tuyến của tốc độ khi cắt đường trượt ở cả hai phía phải có giá trị như nhau. Hình 1.9. Gián đoạn tốc độ Trong trường hợp ngược lại tính liên tục bị phá vỡ. Như vậy . U = . 'U .Trên cơ sở của (1.22) có thể viết d . U = . U d; d . 'U = . 'U d do đó dọc theo đường trượt họ  đang xét có thể viết: d . U = d . 'U hay . U - . 'U = const Tương tự như vậy: . U - . 'U = const (1.23) (1.23) cho thấy: trong trường hợp dọc theo đường trượt xuất hiện gián đoạn tốc độ thì lượng gián đoạn là không thay đổi. 1.5.3. Phương pháp định trị trên Phương pháp định trị trên sử dụng cho bài toán biến dạng phẳng do Jonson và Kudo khởi xướng. Nội dung của phương pháp như sau: Thể tích ổ biến dạng được coi như gồm những khối cứng và giả thiết các khối này trượt tương đối với nhau hoặc tương đối theo gianh giới với vùng cứng. Như vậy trường đường trượt được thay bằng trường gồm hệ thống các đoạn thẳng tạo nên các khối (hình tam giác). Dọc theo gianh giới của các khối - cạnh các tam giác, các thành phần tốc độ dịch chuyển chịu gián đoạn, bên trong mỗi khối trường tốc độ là đồng nhất, nghĩa là chỉ cần một véc tơ tốc độ để biểu diễn tốc độ cho tất cả các điểm. Như vậy từ trường đường trượt sẽ xây dựng trường vận tốc. Số lượng và kích thước các khối tam giác ban đầu lựa chọn tuỳ ý. Khi giả thiết các khối trượt, thì dọc theo gianh Đường trượt  . u . u  . u ' . u ' . u . u Gián đoạn ' . u giới giữa các khối xuất hiện ứng suất tiếp và đạt giá trị cực đại n = k. Trên bề mặt tự do n = 0, còn trên bề mặt tiếp xúc n =  . S. Do các khối được coi là cứng nên công suất tức thời của nội lực