Giáo trình Hình học hoạ hình

một công trình xây dựng (nhà cửa, cầu, cống,... ) hay các chi tiết máy móc, trước hết phải biết cách biễu diễn các không gian hình học chứa những đối tượng trên. Một không gian hình học được cấu tạo bởi những yếu tố hình học cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) liên quan với nhau bởi những mệnh đề cơ bản. Ðể biễu diễn một không gian hình học người ta có nhiều cách. Ví dụ: Biễu diễn các yếu tố hình học của không gian Euclide 3 chiều. và các tương quan liên thuộc tương ứng giữa các đối tượng trên. Trong các trường đại học, việc học Hình học họa hình, nhằm 3 mục đích: + Giúp học sinh nắm được cách biễu diễn các hình không gian lên mặt phẳng và giải các bài toán hình học không gian bằng các hình biễu diễn trên mặt phẳng. + Rèn luyện khả năng tư duy, trừu tượng. Khả năng này đóng một vai trò quan trọng trong việc phát minh sáng tạo sau này của người cán bộ kỹ thuật. + Chuẩn bị cơ sở lí luận cho môn vẽ kỹ thuật sau này. Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình học. Mô hình được xây dựng bằng những hình, những phép biến đổi hình học... được gọi là mô hình hình học. Do đó có thể nói rằng hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình học. Vậy Hình học họa hình là môn học nghiên cứu cách biểu diễn các không gian bằng những yếu tố hình học của không gian khác thường có chiều thấp hơn (cụ thể là mặt phẳng), rồi dùng các hình biểu diễn ấy để nghiên cứu các không gian ban đầu. 2. CÔNG CỤ ÐỂ THÀNH LẬP MÔ HÌNH 2.1.     TẬP HỢP 2.2. PHÉP ÁNH XẠ Ðể xây dựng các mô hình người ta dùng phép ánh xạ. Ðịnh nghĩa: Giả sử có hai tập hợp X và Y. Nếu có một qui luật f sao cho theo quy luật ấy, ứng với mỗi phần tử x bất kỳ của X thì có một phần tử y hoàn toàn xác định của Y. Thì f được gọi là một ánh xạ của tập hợp X vào Y. Trong phép biến đổi những yếu tố trùng với ảnh của nó được gọi là những bất biến hay những yếu tố kép của phép biến đổi. Dưới đây ta nghiên cứu một loại ánh xạ thường dùng để xây dựng bản vẽ. Ðó là phép chiếu. 3. PHÉP CHIẾU 3.1 ÐỊNH NGHĨA 3.2. TÍNH CHẤT 4. MỞ RỘNG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3 CHIỀU BẰNG CÁCH BỔ SUNG NHỮNG YẾU TỐ VÔ TẬN TOP Ta dùng phép chiếu làm công cụ để xây dựng các bản vẽ, tức là xây dựng các mô hình phẳng của không gian. Ðể làm được điều đó, trước hết mỗi điểm trong không gian phải có hình chiếu. Theo định nghĩa phép chiếu nói trên thì có những điểm của không gian sẽ không có hình chiếu trên mặt phẳng (P). Ðó là những điểm thuộc đường thẳng đi qua tâm S và song song với mặt phẳng (P). (Vì đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng). Ðể khắc phục nhược điểm này,đáng lẽ nói rằng đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì ta nói rằng đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung ở vô tận. Như vậy ta đã qui ước: thêm vào mỗi đường thẳng một điểm vô tận. Như ta sẽ thấy, điều ấy chẳng những không có mâu thuẫn gì mà còn làm đơn giản rất nhiều cách phát biểu những mệnh đề hình học. Vậy: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cắt nhau ở điểm vô tận. Ðường thẳng song song với mặt phẳng không thể chung nhau hai điểm vô tận (mà chỉ một mà thôi). Vì nếu có chung hai điểm vô tận thì sẽ dẫn đến điều là hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khác nhau mà lại có hai điểm chung. Mỗi đường thẳng được thêm một điểm vô tận, hai đường thẳng cắt nhau có hai điểm vô tận khác nhau nên mặt phẳng có vô số điểm vô tận. Tập hợp những điểm vô tận trong mặt phẳng là hình gì? Ta thấy tập hợp này có chung với mỗi đường thẳng một điểm (điểm vô tận của đường thẳng) và vì trong mặt phẳng chỉ có đường thẳng mới cắt một đường thẳng bất kì tại một điểm. Nên tập hợp này là một đường thẳng. Ta gọi đường thẳng đó là đường thẳng vô tận của mặt phẳng. Vậy: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng vô tận. Trong không gian mỗi đường thẳng có một điểm vô tận; mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận. Tập hợp mọi yếu tố vô tận của không gian là hình gì? Tập hợp này có chung với mỗi đường thẳng một điểm (điểm vô tận của đường thẳng), có chung với mỗi mặt phẳng một đường thẳng (đường thẳng vô tận của mặt phẳng) và chỉ có mặt phẳng mới cắt đường thẳng bất kì ở một điểm, cắt một mặt phẳng bất kì theo một đường thẳng. Nên tập hợp các yếu tố vô tận của không gian được xem là một mặt phẳng. Ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng vô tận của không gian. Kết luận: * Không gian quen thuộc lâu nay được bổ sung thêm những yếu tố mới (những yếu tố vô tận. Tập hợp những yếu tố vô tận ấy làm thành một mặt phẳng, gọi là mặt phẳng vô tận của không gian. Mỗi mặt phẳng có thêm một đường thẳng ( đường thẳng vô tận của mặt phẳng. Mỗi đường thẳng có thêm một điểm ( điểm vô tận của đường thẳng. * Những điểm, đường thẳng, mặt phẳng không phải là vô tận gọi là những điểm, đường thẳng, mặt phẳng hữu hạn. * Sau khi bổ sung những yếu tố vô tận, những mệnh đề về liên thuộc được phát biểu gọn và cân đối hơn. Ví dụ: Mệnh đề: Trong không gian, một đường thẳng hoặc cắt mặt phẳng ở một điểm hoặc song song với mặt phẳng hoặc hoàn toàn nằm trong mặt phẳng có thể thay bằng: Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có ít nhất một điểm chung (điểm hữu hạn hay điểm vô tận). * Ðiểm, đường thẳng và mặt phẳng hữu hạn và điểm, đường thẳng, mặt phẳng vô tận có vai trò hoàn toàn như nhau. Ví dụ1: Hai điểm A, B xác định một đường thẳng d duy nhất. a) A và B đều là điểm hữu hạn: Ðường thẳng d được vẽ như ta đã biết. b) A là điểm hũu hạn, B là điểm vô tận được xác định bởi đường thẳng b: Ðường thẳng d là đường thẳng đi qua A và song song với b. c) A và B đều là điểm vô tận, xác định bởi các đường thẳng a và b: Ðường thẳng d là đường thẳng vô tận (đi qua hai điểm vô tận). Ðó cũng là đường thẳng vô tận của mọi mặt phẳng song song với hai đường thẳng a, b. Ví dụ2: Ba điểm A, B, C xác định một mặt phẳng (P) duy nhất. a) A, B và C đều là điểm hữu hạn: Mặt phẳng (P) được vẽ như ta đã biết. b) A, B là điểm hữu hạn, C là điểm vô tận được xác định bởi đường thẳng c: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với c. c)       A là điểm hữu hạn, B và C là điểm vô tận, xác định bởi hai đường thẳng b, c: Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với b, c. d)       A, B, C đều là điểm vô tận: Mặt phẳng (P) là mặt phẳng vô tận của không gian. 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG TOP Tính chất: Vì phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm nên nó có mọi tính chất của phép chiếu xuyên tâm như: * Hình chiếu song song của một đường thẳng nói chung là một đường thẳng, nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của đường thẳng suy biến thành một điểm. * Mặt phẳng song song với hướng chiếu (mặt phẳng chiếu) có hình chiếu suy biến thành một đường thẳng. * Trong một phép chiếu song song thì tính liên thuộc của điểm với đường thẳng được bảo toàn. Ngoài ra phép chiếu song song còn có những tính chất riêng sau: Hệ quả. Trong phép chiếu song song tỉ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỉ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng Chứng minh. Chú ý: Nếu AB và CDø cùng thuộc một đường thẳng thì tính chất này vẫn hoàn toàn đúng. Phép chiếu thẳng góc. 6.     ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU TOP 7.     NHỮNG YÊU CẦU CỦA BẢN VẼ KỸ THUẬT 1. Tính tương đương hình học: Tính tương đương hình học: Yêu cầu cơ bản của bản vẽ kỹ thuật là bản vẽ phải thỏa mãn tính tương đương hình học, tức là phải xây dựng sao cho theo đó người ta có thể dựng lại hình không gian mà nó biểu diễn. Những phép chiếu - công cụ để xây dựng bản vẽ - không thiết lập mối liên hệ một đối một giữa các yếu tố trong không gian với các yếu tố trên mặt phẳng, bởi vì trong một phép chiếu những điểm trên cùng một tia chiếu thì có hình chiếu trùng nhau, và ngược lại, một điểm bất kỳ trên mặt phẳng hình chiếu có thể xem là hình chiếu của vô số điểm của đường thẳng đi qua điểm ấy và tâm chiếu. Vì vậy để xây dựng các bản vẽ người ta dùng hai hoặc ba phép chiếu hoặc bên cạnh phép chiếu người ta dùng cách ghi chú bằng số. 2. Tính trực quan: Ngoài tương đương hình học, trong kỹ thuật người ta còn muốn bản vẽ phải có tính trực quan, tức là những hình biễu diễn trên bản vẽ phải gây nên một ấn tượng giống như ấn tượng người ta có được khi quan sát trực tiếp trong thực tế. Muốn có tính trực quan ấy những điểm và đường thẳng trong thực tế phải được biễu diễn bằng những điểm và đường thẳng trong bản vẽ. Người ta chứng minh được rằng một ánh xạ của không gian lên mặt phẳng trong đó điểm có ảnh là một điểm, đường thẳng có ảnh là đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng thì ảnh của điểm thuộc ảnh của đường thẳng, đồng thời một điểm trong mặt phẳng ảnh có thể coi là ảnh của nhiều điểm nằm trên một đường cong nào đó là một phép chiếu. Ðó cũng là điều cắt nghĩa tại sao các bản vẽ dùng trong kỹ thuật hiện nay được xây dựng bằng phép chiếu. Tuy nhiên tính trực quan không phải là yêu cầu bắt buộc của bản vẽ. Bản vẽ có tính trực quan thì càng tốt, không có cũng được. Bản vẽ càng tổng quát thì càng ít tính trực quan nhưng càng được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học. Với sự phát triển mạnh mẽ của các ngành toán học và khoa học hiện đại, các bản vẽ được xây dựng bằng phép chiếu sẽ dần dần trở nên ít hiệu lực vì các bản vẽ ấy dùng không được thuận lợi trong các quá trình sản xuất cơ giới hóa và tự động hóa. Vì vậy, hiện nay ở nhiều nước việc xây dựng các bản vẽ mới đang là một vấn đề nghiên cứu khoa học sôi nổi. Một trong những hướng nghiên cứu vấn đề ấy là xây dựng các bản vẽ trong đó mỗi phép vẽ tương ứng với một toán tử nào đó. Những bản vẽ như vậy dĩ nhiên sẽ không có tính trực quan như các bản vẽ đã có trước đây. 8. NHỮNG PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN THƯỜNG GẶP. TOP 1. Phương pháp hai hình chiếu thẳng góc (phương pháp Môngjơ). 2. Phương pháp hình chiếu trục đo. 3. Phương pháp hình chiếu phối cảnh. 4. Phương pháp hình chiếu có số PHƯƠNG PHÁP HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC CHƯƠNG 1 : ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG CHƯƠNG I: ÐIỂM - ÐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG NỘI DUNG: BÀI 1:   BIỂU DIỄN ÐIỂM, ÐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG PHƯƠNG PHÁP HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC I ÐIỂM            1.   BIỂU DIỄN ÐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC TOP           2.  BIỂU DIỄN ÐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP BA HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC TOP II ÐƯỜNG THẲNG. TOP           1 ÐƯỜNG THẲNG THƯỜNG TOP           2 ÐƯỜNG THẲNG ÐẶC BIỆT TOP Vậy một đường thẳng chiếu (chiếu đứng hay chiếu bằng) được biểu diễn trên mặt phẳng hình vẽ bằng một điểm và một đường thẳng đi qua điểm ấy và vuông góc với trục x. Ngược lại, trên mặt phẳng hình vẽ, một điểm bất kỳ và một đường thẳng đi qua điểm ấy và vuông góc với trục x là hình biểu diễn của một đường thẳng chiếu xác định (đường thẳng chiếu đứng hay chiếu bằng, tùy chỗ ta xem điểm ấy là hình chiếu đứng hay hình chiếu bằng của đường thẳng). Người ta dùng danh từ đường cạnh để gọi những đường thẳng đặc biệt mà không phải là đường thẳng chiếu.           3 SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ÐIỂM VÀ ÐƯỜNG THẲNG TOP Ðịnh lí 2: Ðiều kiện cần và đủ để một điểm C thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu đứng của A, B, C bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu bằng của chúng.           4 VÍ TRÍ TƯƠNG ÐỐI CỦA HAI ÐƯỜNG THẲNG TOP Trong không gian hai đường thẳng khác nhau thì hoặc là không có điểm chung nào (hai đường thẳng chéo nhau), hoặc có một điểm chung: nếu là điểm hữu hạn (hai đường thẳng cắt nhau); nếu là điểm điểm vô tận (hai đường song song). Từ điều kiện liên thuộc của điểm với đường thẳng ta dễ dàng suy ra cách biểu diễn hai đường thẳng cắt nhau hay song song nhau hay chéo nhau. 1) HAI ÐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU HOẶC SONG SONG a) Hai đường thẳng thường: Ðịnh lý: Ðiều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường cắt nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại những điểm nằm trên cùng một đường dóng. Trên hình sau biểu diễn: III MẶT PHẲNG TOP Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi: ba điểm không thẳng hàng, hoặc hai đường thẳng cắt nhau, hoặc hai đường thẳng song song, hoặc một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó. Vì vậy để biểu diễn một mặt phẳng người ta biểu diễn bằng đồ thức của: ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau (hoặc song song); một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó .            1. MẶT PHẲNG THƯỜNG TOP           2      MẶT PHẲNG ÐẶC BIỆT TOP Mặt phẳng đặc biệt là những mặt phẳng đi qua ít nhất một tâm chiếu chính, tức là những mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu (P1) hoặc (P2). Cụ thể là những mặt phẳng sau đây:           3 SỰ LIÊN THUỘC CỦA ÐIỂM VÀ ÐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG TOP Hai mệnh đề làm cơ sở cho tương quan liên thuộc giữa điểm và đường thẳng với mặt phẳng là: 1. Ðường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) nếu d có hai điểm thuộc mặt phẳng (P). 2. Ðiểm A thuộc mặt phẳng (P) nếu A thuộc đường thẳng nào đó của (P). Từ đó ta thấy rằng việc biểu diễn sự liên thuộc của điểm với mặt phẳng hay của đường thẳng với mặt phẳng đều đưa về việc biểu diễn sự liên thuộc của điểm với đường thẳng mà ta đã nghiên cứu ở trên. Ðể làm sáng tỏ ta xét một vài ví dụ: BÀI 2:  NHỮNG BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ Trong §2 này ta nghiên cứu các bài toán vị trí giữa các yếu tố hình học cơ bản: giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng và giao tuyến của 2 mặt phẳng. I. GIAO ÐIỂM CỦA ÐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG CHIẾU TOP Một cách tổng quát người ta gọi vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu. Trường hợp đường thẳng là đường cạnh, việc tìm vết của nó cũng không có gì khó khăn, nếu nhớ điều kiện để một điểm thuộc đường cạnh là các hình chiếu của nó chia các đoạn thẳng hình chiếu tương ứng của đường cạnh theo cùng một tỷ số. II. GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT PHẲNG CHIẾU TOP III. GIAO ÐIỂM CỦA ÐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG TOP Ở trên khi tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu và giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu, một hình chiếu của giao điểm hay giao tuyến biết được ngay. Trường hợp đường thẳng và mặt phẳng đều là đường thẳng và mặt phẳng thường, để vẽ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng người ta thường làm như sau: Tóm lại, để xác định giao điểm I của đường thẳng d với mặt phẳng (P) ta tiến hành lần lượt: - Vẽ qua d một mặt phẳng chiếu (Q) (mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng). - Xác định giao tuyến MN của (P) và (Q). -  Xác định giao điểm I của d và MN. IV. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG THƯỜNG TOP Muốn xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ cần biết hai điểm chung của chúng. Ta có thể có một điểm chung như vậy bằng cách tìm giao điểm của một đường thẳng bất kỳ của mặt phẳng này với mặt phẳng kia. Do đó việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có thể đưa về việc giải liên tiếp hai lần bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng mà ta vừa nghiên cứu trên. Dưới đây ta xét một phương pháp khác để tìm các điểm chung của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng song song a và b; mặt phẳng (Q) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau c và d. Ðể có một điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) ta cắt (P) và (Q) bằng một mặt phẳng (R) (gọi là mặt phẳng phụ trợ). V. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TOP Bài toán 2: Vẽ đường thẳng d song song với đường thẳng l và cắt cả hai đường thẳng chéo nhau a, b. Giải: Dễ dàng thấy rằng bài toán này là một trường hợp riêng của bài toán trên khi A là điểm vô tận. Do đó đường thẳng d phải vẽ là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng (P) chứa a và song song với l và mặt phẳng (Q) chứa b và song song với l. VI. QUY ƯỚC VỀ THẤY, KHUẤT TRÊN ÐỒ THỨC TOP Từ trước tới nay ta xem điểm, đường thẳng, mặt phẳng một cách thuần túy hình học. Trong kỹ thuật, một tấm phẳng cho ta một hình ảnh của mặt phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng là một hình ảnh của đường thẳng. Giao của ba tấm phẳng là một hình ảnh của điểm. Khi quan sát các hình thực tế, chẳng hạn khi nhìn hai tấm phẳng cắt nhau, một tấm màu xanh một tấm màu đỏ, ta chỉ thấy một phần của tấm màu xanh và một phần của tấm màu đỏ, còn những phần còn lại thì bị khuất. Ðể hình biểu diễn cũng gây cho người xem ấn tượng giống như ấn tượng có được khi quan sát trong thực tế về mặt hình dáng, trên đồ thức người ta cũng biểu diễn sự thấy, khuất theo quy ước sau đây: 1. Người quan sát đứng ở phía trước mặt phẳng hình chiếu đứng và phía trên mặt phẳng hình chiếu bằng. Khi xét sự thấy, khuất trên mỗi mặt phẳng hình chiếu, người quan sát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt phẳng ấy, tức là xem như mắt người quan sát đặt ở tâm chiếu tương ứng. 2.        Mọi hình được biểu diễn đều là vật thể đục (không trong suốt). Những mặt phẳng hình chiếu cũng là những mặt phẳng đục. Vậy mọi điểm nằm phía sau mặt phẳng hình chiếu đứng và phía dưới mặt phẳng hình chiếu bằng đều là điểm khuất. Hai điểm cùng nằm trên một tia quan sát (tia chiếu) (gọi là hai điểm cùng tia, thì điểm nào gần mắt sẽ được nhìn thấy, điểm còn lại khuất. Do đó, nếu có hai điểm cùng tia chiếu đứng thì điểm nào có độ xa lớn hơn sẽ là điểm đuợc nhìn thấy trên mặt phẳng hình chiếu đứng. Nếu có hai điểm cùng tia chiếu bằng thì điểm nào có độ cao lớn hơn sẽ được nhìn thấy trên mặt phẳng chiếu bằng. 3.         Những phần thấy được vẽ bằng nét liền, những phần khuất được vẽ bằng nét đứt. Ðể xét sự thấy, khuất của đoạn thẳng ta chú ý rằng điểm I là điểm thấy trên các hình chiếu. BÀI 3:  NHỮNG BÀI TOÁN VỀ LƯỢNG TOP Ðể giải những bài toán về lượng (xác định diện tích của một hình phẳng, độ lớn của một góc, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng v.v... ) ta cần giải quyết hai vấn đề cơ bản: xác định độ dài của một đoạn thẳng và vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. I. XÁC ÐỊNH ÐỘ DÀI CỦA ÐOẠN THẲNG TOP Biết cách xác định độ dài của một đoạn thẳng ta có thể xác định diện tích của một tam giác, một đa giác và do đó, của một hình phẳng nói chung. II. VẼ ÐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG TOP Ðịnh lí cơ sở để giải bài toán vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là định lí về hình chiếu thẳng góc của một góc vuông mà ta đã nói đến trong phần mở đầu. Ở đây ta phát biểu định lí ấy dưới một dạng khác, nhằm phục vụ trực tiếp cho việc giải quyết vấn đề được nêu ra: Ðịnh lí: Ðiều kiện cần và đủ để một góc có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu là một góc vuông là hình chiếu thẳng góc của nó trên mặt phẳng hình chiếu ấy cũng là một góc vuông. III. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TOP Bài toán 2: Xác định khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Bài toán sẽ được giải đơn giản hơn nhiều nếu các đường thẳng p, q có những vị trí đặc biệt. Bài toán 5: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Giải: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc phẳng của nhị diện (P, Q), tức là góc (OM, ON), ở đây OM, ON lần lượt là giao tuyến của (P) và (Q) với mặt phẳng (R) vuông góc với chúng. Do đó trình tự xác định góc nghiêng giữa (P) và (Q) như sau: - Vẽ giao tuyến d của (P), (Q). - Vẽ mặt phẳng (R) vuông góc với d. - Xác định giao tuyến OM, ON của (R) với (P) và (Q). - Xác định góc bằng cách dựng tam giác OMN theo ba cạnh của nó. Ðó là những việc làm ta đã quen thuộc. Chú ý: 1. Ðộ lớn của góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) có thể xác định bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng vẽ qua một điểm nào đấy và lần lượt vuông góc với (P) và (Q). 2. Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) cũng chính là góc của OM đối với (Q). Ðường thẳng OM và những đường thẳng song song với nó, hợp với mặt phẳng (Q) một góc lớn nhất so với mọi đường thẳng khác của mặt phẳng (P). Người ta gọi OM là đường dốc nhất của mặt phẳng (P) đối với mặt phẳng (Q). Một cách tổng quát, đường dốc nhất của mặt phẳng (P) đối với mặt phẳngø (Q) là một đường thẳng của mặt phẳng (P) mà hợp với (Q) một góc lớn nhất. Dễ dàng thấy rằng điều kiện cần và đủ để cho một đường thẳng của mặt phẳng (P) là đường dốc nhất đối với mặt phẳng (Q) là đường thẳng ấy vuông góc với giao tuyến l của (P) và (Q). Trên hình vẽ, dĩ nhiên ON cũng là đường dốc nhất của (Q) đối với (P). Người ta dùng đường dốc nhất để xác định góc giữa hai mặt phẳng. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 TOP CHƯƠNG 2 :    CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU Trong chương I, ta đã xét cách biểu diễn các yếu tố cơ bản của không gian (điểm, đường thẳng, mặt phẳng), các tương quan liên thuộc giữa các yếu tố ấy và cách giải những bài toán cơ bản về vị trí và về lượng. Từ đấy suy ra cách giải mọi bài toán của không gian được biểu diễn. Tuy vậy, trong nhiều trường hợp quá trình giải các bài toán ấy khá phức tạp, đòi hỏi phải thực hiện nhiều động tác vẽ. Trong khi đó ta nhận thấy rằng cùng một bài toán nhưng việc giải sẽ đơn giản hơn nhiều nếu một số yếu tố hoặc có hình dáng đặc biệt hoặc cho ở vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu. Chẳng hạn, cũng là vẽ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P) nhưng nếu mặt phẳng (P) là mặt phẳng chiếu thì một hình chiếu của giao điểm thấy được ngay và do đó giao điểm được xác định dễ dàng. Nếu (P) là mặt phẳng thường thì phải dùng mặt phẳng phụ trợ (Q) vẽ qua d rồi vẽ giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) v.v... Vì vậy, khi giải một số bài toán, thường người ta không giải trực tiếp trên hình đã cho mà dùng các phép biến đổi để biến những hình ấy thành những hình hoặc có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu hoặc có dạng đặc biệt. Giải bài toán đặt ra trên hình được biến thành này, rồi bằng phép biến đổi ngược ta đưa các kết quả tìm được về hình cho ban đầu. Phương hướng dùng các phép biến đổi để biến những hình đã cho thành những hình có dạng đặc biệt thường được dùng khi giải những bài toán trong đó có những mặt phức tạp. Dưới đây ta xét một vài phép biến đổi đơn giản theo hướng thứ nhất, tức là hướng biến những hình đã cho có vị trí bất kỳ trở thành có vị trí đặc biệt đối với các mặt phẳng hình chiếu. BÀI 1:   PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU I. THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BẰNG TOP II. THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ÐỨNG TOP III. THAY LIÊN TIẾP CÁC MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU TOP Ðể giải những bài toán phức tạp ta không thể chỉ thay một mặt phẳng hình chiếu mà phải thay cả hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ. Chẳng hạn ta không thể bằng một lần thay mặt phẳng hình chiếu đưa một đường thẳng bất kỳ trở thành đường thẳng chiếu hoặc đưa một mặt phẳng bất kỳ trở thành song song với mặt phẳng hình chiếu. Lý do là khi thay mặt phẳng hình chiếu, mặt phẳng được chọn làm mặt phẳng hình chiếu mới phải vuông góc với mặt phẳng hình chiếu khác tên trong hệ thống cũ. Muốn thay cả hệ thống mặt phẳng hình chiếu ta lần lượt thay từng mặt phẳng hình chiếu. Vì vậy vấn để chỉ là thực hiện liên tiếp các phép thay mặt phẳng hình chiếu bằng và thay mặt phẳng hình chiếu đứng đã trình bày ở trên. BÀI 2: PHÉP QUAY HÌNH PHẲNG QUANH ÐƯỜNG BẰNG HAY ÐƯỜNG MẶT CỦA NÓ. TOP I. QUAY MẶT PHẲNG QUANH ÐƯỜNG BẰNG CỦA NÓ TOP II. QUAY HÌNH PHẲNG QUANH ÐƯỜNG MẶT CỦA NÓ TOP BÀI TẬP CHƯƠNG 2 TOP