Giáo trình hình họa vẽ kỹ thuật 1

+ Thước tê + Eke + Thước cong + Thước chữ Bút vẽ + Bút chì + Bút mực Compa 3.1.2 Vật liệu Giấy vẽ Mực vẽ 3.2. CÁC QUI CHUẨN TRÌNH BÀY BẢN VẼ KỸ THUẬT Giấy vẽ Khổ giấy: Giấy vẽ kỹ thuật được dùng là khổ giấy A với 5 khổ giấy chính A0(1189x841), A1(594x841), A2(594x420), A3(297x420) và A4(297x210), ngoài ra chúng ta còn có thể có khổ giấy phụ bằng cách nối 1 khổ giấy chính với 1 khổ giấy chính nhỏ hơn 1 cấp. Cách thành lập khổ giấy chính: Khung bản vẽ: là quy chuẩn bắt buộc cho mỗi bản vẽ kỹ thuật để giới hạn diện tích thể hiện nội dung bản vẽ. Khung bản vẽ được vẽ bằng nét liền đậm và cách mép tờ giấy một khoảng cách theo quy định sau. a = 5 : khổ giấy A2, A3, A4 10 : khổ giấy A1,A0 b = a : hồ sơ của 1 tờ giấy khổ giấy A3,A4 25 : khổ giấy A2, giấy A1, A0 Khung tên: được đặt phía dưới góc bên phải tờ giấy vẽ cũng là một quy định bắt buộc cho mỗi bản vẽ kỹ thuật với các thông tin, hình dạng và độ lớn tuỳ thuộc các đơn vị thành lập bản vẽ. Khung tên được vẽ bằng nét liền đậm xung quanh và nét cơ bản ở bản trong. Chữ viết trong khung tên là chữ kỹ thuật Khung tên dành cho trường học Đường nét Nét vẽ: bao gồm 7 loại nét cơ bản để thể hiện nội dung hình vẽ theo TCVN Tên nét Hình dạng nét Độ lớn Ứng dụng Nét liền cơ bản b 0.3-0.5 Vẽ đường bao thấy của vật thể Nét đứt (nét khuất) b/2-b/3 Vẽ đường bao khuất của vật thể Nét chấm gạch mảnh b/2-b/3 Vẽ đường trục,đường tâm Nét liền mảnh b/2-b/3 Vẽ đường dóng, đường kích thước, đường ghi chú Nét liền đậm 2b - 3b Vẽ đường bao cắt của vật thể Nét dích dắc b/2-b/3 Giới hạn phần vật thể còn lại sau khi cắt bỏ phần không cần thể hiện Nét lượn sóng b/2-b/3 Giới hạn phần vật thể còn lại sau khi cắt bỏ phần không cần thể hiện Một vài chú ý: Nét đứt (nét khuất) được bắt đầu từ nét cơ bản và kết thúc ở nét cơ bản, 2 nét đứt gặp nhau tại đường gạch Nét chấm gạch mảnh luôn luôn được vẽ ló ra khỏi đường bao vật thể từ 3 – 5mm, 2 nét chấm gạch mảnh gặp nhau tại đường gạch. Mức độ ưu tiên giữa các nét theo thứ tự: * Nét liền đậm * Nét cơ bản * Nét khuất * Nét chấm gạch mảnh * Nét dóng Tỉ lệ bản vẽ : là tỉ số giữa kích thước hình vẽ trên bản vẽ và kích thước thật của vật thể Có 3 loại tỷ lệ : Tỷ lệ nguyên hình : 1:1 Tỷ lệ phóng to : 2:1 , 4:1 , 5:1 , 10:1 , 20:1 Tỷ lệ thu nhỏ : 1:2 , 1:5 , 1:10 , 1:20 , 1:25 , 1:50 , 1:100 , 1:200 , 1:400 , 1:500 , 1:1000 , 1:Nx1000 Chữ và số: chữ và số trong bản vẽ kỹ thuật phải được viết theo chữ kỹ thuật được quy định bởi tiêu chuẩn VN, chữ kỹ thuật có thể được viết đứng hoặc nghiêng 75 độ so với phương nằm ngang Các thông số: Chiều cao chữ in: H Chiều cao chữ kỹ thuật được chọn trongcác số sau 2.5; 3,5 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 Bề rộng chữ: b Thông thường bề rộng chữ được lấy bằng 6/10 chiều cao chữ trừ 1 số ngoại lệ sau: * Bề rộng chữ A = 7/10 chiều cao chữ * Bề rộng chữ M, W = 10/10 chiều cao chữ * Bề rộng chữ J, L = 4/10 chiều cao chữ * Bề rộng chữ số = 5/10 chiều cao chữ * Bề rộng chữ I vàsố 1 = 1/10 – 2/10 chiều cao chữ Độ dày nét chữ : d = 1/10 chiều cao chữ Khoảng cách 2 mẫu tự : a = 1/10 chiều cao chữ Khoảng cách giữa 2 từ : e = 10/10 chiều cao chữ Chiều cao chữ thường: c = 6/10 – 8/10 chiều cao chữ Khoảng cách giữa 2 dòng chữ : f = 1,5 – 2 chiều cao chữ Ghi kích thước Thành phần ghi kích thước Đường dóng: đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng được ghi kích thước,vẽ ở 2 đầu đoạn thẳng được ghi kích thước Đường kích thước: đường thẳng song song với đoạn thẳng được ghi kích thước Con số kích thước: con số thể hiện độ lớn của đoạn vật thể được ghi kích thước. Nguyên tắc ghi kích thước Đường dóng vuông góc với đoạn thẳng được ghi kích thước, không chạm vào đường bao hình biểu diễn. Đường dóng được vẽ ló ra khỏi đường kích thước về phía ngoài từ 2 – 4mm, về phía trong 8mm Đường kích thước song song với đoạn thẳng được ghi kích thước, hai đường kich thước song song cách nhau từ 6 đến 8 mm, đường kích thước đầu tiên cách vật thể từ 10 đến 15 mm. Đường kích thước được vẽ ló ra khỏi 2 đầu đường dóng từ 2 – 4mm Giao điểm giữa đường dóng và đường kích thước phải được đánh dấu bằng dấu giới hạn. Con số kích thước là con số thể hiện độ lớn của đoạn vật thể được ghi kích thước, con số này luôn luôn là con số thực bất chấp tỉ lệ bản vẽ. Con số kích thước được ghi phía trên đường kích thước ngang và bên trái đường kích thước đứng, cách đường kích thước 0.5 – 1mm Đơn vị trong bản vẽ thường được qui định chung (thường là mm) nên không ghi đơn vị phía sau con số kích thước, trong trường hợp có dùng 1 đơn vị khác thì phải ghi đơn vị phía sau con số kích thước. Thông thường kích thước được ghi bên ngoài hình biểu diễn, kích thước chi tiết ghi trước, kích thước tổng quát ghi sau. Ghi kích thước các hình đặc biệt Dấu giới hạn Mũi tên: thường được sử dụng nhiều trong vẽ cơ khí vì yêu cầu có độ chinh xác cao. Dấu chéo: được vẽ chéo 45 độ bằng nét liền đậm từ trên xuống dưới, từ phải qua trái đối với đường kích thước ngang và từ trên xuống dưới, từ trái qua phải đối với đường kích thước đứng. Dấu chấm: không được sử dụng cho bản vẽ kết cấu và bản vẽ các hệ thống kỹ thuật. Ghi kích thước đường tròn Ghi kích thước cung tròn Ghi kích thước góc Hình có nhiều chi tiết giống nhau Khi một hình có nhiều chi tiết giống nhau, để tránh làm rối bản vẽ, ta có thể chỉ ghi kích thước cho 1 chi tiết và ghi số lượng chi tiết vào phía trước con số kích thước. Ghi tắt bằng chữ ký hiệu: để tiết kiệm bản vẽ, ta có thể dùng một số chữ ký hiệu cho một chiều kích thước của vật thể, chẳng hạn: D : Đường kính đường tròn R : Bn kính cung tròn L : Chiều dài S : độ dày Cốt cao độ: là con số chỉ độ cao của một bề mặt so với một bề mặt chuẩn, bề mặt chuẩn này được gọi là cốt chuẩn hay cốt 0.000, ký hiệu 0.000 , thông thường trong xây dựng công trình người ta xác định cốt chuẩn là mặt nền nhà, trong xây dựng cầu đường hay quy hoạch ta lấy cốt chuẩn là cốt chuẩn quốc gia. Bề mặt nào cao hơn bề mặt chuẩn là cốt dương (ký hiệu + trước con số kích thước), thấp hơn bề mặt chuẩn l cốt âm (ký hiệu – trước con số kích thước) Chuyển chú: là một ký hiệu dùng để ghi chú hay để tách riêng 1 chi tiết nào đó trong một hình vẽ chính ra khỏi hình vẽ chính và di chuyển, phóng lớn chi tiết đó ra ở 1 vị trí khác trong cùng 1 bản vẽ hay qua 1 bản vẽ khác. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KÝ HIỆU 4.1. Khái Niệm Chung Hình học họa hình cung cấp những kiến thức, những phương pháp biểu diễn để giải những bài toán không gian trên mặt phẳng. Nó là cơ sở của vẽ kỹ thuật và nó giúp phát triển khả năng tư duy không gian cho học sinh – một nhân tố có tính quyết định trong hoạt động sáng tạo của người cán bộ kỹ thuật sau này. Người cán bộ kỹ thuật phải nắm vững những khái niệm của Hình học họa hình thì mới biểu diễn được các vật thể trên bản vẽ và đọc được các bản vẽ do người khác vẽ. Các ký hiệu thường dùng trong Hình học hoạ hình: Điểm: dùng chữ cái in hoa hoặc số: A, B, C... 1, 2, 3... Đoạn thẳng: đặt tên hai điểm ở đầu mút AB, CD... Đường thẳng: dùng chữ thường: a, b, c, d... Hình phẳng: ký hiệu thường các điểm góc ABC, DFEH... Mặt phẳng: dùng các chữ: mp Q, mp a, Mặt phẳng hình chiếu: P1, P2, P3 Các thuộc tính hình học. Cắt nhau (x): AB x CD, EF x IK, MN Ç IH... Song song (//): a // P1, AB // CD Trùng nhau (º): A º B ; CD º EF Liên thuộc (Î): D Î AB; A Î mp a Vuông góc (^): AB ^ MP HCP2, CD ^ EF Chữ viết tắt thường dùng MPHC: Mặt phẳng hình chiếu HCTĐ: Hình chiếu trục đo B. PHẦN 2:HÌNH HỌC HOẠ HÌNH CHƯƠNG I PHÉP CHIẾU- HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU 1.1. Khái Niệm Về Phép Chiếu Phép ánh xạ không gian lên mặt phẳng được thực hiện bằng cách chiếu những điểm của không gian lên mặt phẳng gọi là phép chiếu. Ví dụ: Chiếu điểm A qua tâm S lên mặt phẳng hình chiếu P . Trong không gian lấy mặt phẳng P và một điểm S không thuộc P. Chiếu một điểm A bất kỳ của không gian từ tâm S lên mặt phẳng P là: Hình 1.1 P 1. Vẽ đường thẳng SA 2. Xác định giao điểm A’ của đường SA với mặt phẳng P (hình 1.1) Ta có các yếu tố của phép chiếu: S: Tâm chiếu. P : mặt phẳng hình chiếu. A: vật chiếu SA: Đường thẳng chiếu hay tia chiếu. A’: hình chiếu của điểm A từ tâm chiếu S lên mặt phẳng P, chúng ta thấy A’ không chỉ là hình chiếu của một điểm A mà còn là hình chiếu của 1 điểm bất kỳ của đường thẳng SA. Ví dụ: A’ cũng là hình chiếu của B,C (hình 1.2). Hình 1.2 Những Tính Chất Của Phép Chiếu  +Tính chất 1: Hình chiếu của đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng. AÎd thì hình chiếu A’ của A cũng thuộc hình chiếu d’ của d, nhưng ngược lại nếu A’Î d’ thì chưa chắc AÎ d. Phép chiếu bảo tồn tính liên thuộc của điểm và đường thẳng. Tính chất 2: Phép chiếu bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng (hình 1.4). P Ta sẽ dùng phép chiếu làm công cụ để xây dựng các bản vẽ, tức là xây dựng các mô hình phẳng của không gian. Hình 1.4 Hình 1.3 P Hình 1.4 1.2. Các Loại Phép Chiếu Hình 1.4 Phép chiếu xuyên tâm: Là phép chiếu mà tất cả các tia chiếu đều xuất phát từ 1 điểm (hữu hạn).Trong đó: S: tâm chiếu P: mặt phẳng hình chiếu A, B,C: các điểm chiếu (nằm giữa tâm chiếu và MPHC) A’,B’,C’: là hình chiếu của điểm A, B,C lên mặt phẳng hình chiếu p (A’, B’, C’ ÎP) Hình 1.5 SA, SB,SC: đường thẳng chiếu hay tia chiếu. Ứng dụng: do có sự biến dạng nên trong kỹ thuật chỉ dùng để vẽ phối cảnh và vẽ minh họa. Phép chiếu song song: Là phép chiếu có tâm chiếu là một điểm vô tận, khi đó tất cả các tia chiếu đều song song với nhau theo một hướng (s) đã chọn, lập với mặt phẳng hình chiếu một góc a nào đó. + Có hai loại: Hình 1.6 - a < 90 o : Là phép chiếu song song xiên góc (dùng để vẽ hình chiếu trục đo). - a = 90 o : Là phép chiếu song song vuông góc (Đây là phép chiếu duy nhất được ứng dụng để lập bản vẽ kỹ thuật trong mọi ngành kỹ thuật). s: hướng chiếu P: mặt phẳng hình chiếu A’, B’: hình chiếu của điểm A và B lên mặt phẳng hình chiếu P . a: góc giữa tia chiếu với mặt phẳng hình chiếu Phép chiếu song song là phép chiếu xuyên tâm khi tâm chiếu ở vô cực. Ứng dụng: do không có sự biến dạng dài nên phép chiếu song song được dùng để vẽ hình chiếu trục đo và hình chiếu thẳng góc (a=90 o) trong minh họa. Phép chiếu song song có những tính chất riêng: Tính chất 1: Bảo tồn tính song song của hai đường thẳng song song. ( hình 1.6) Hình 1.7 AB // CD ® A’B’ // C’D’ nếu AB và CD cùng thuộc một mặt phẳng chiếu thì A’B’ º C’D’ Tính chất 2: Bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng (hình 1.7) Từ hai tính chất ta suy ra hệ quả. Hệ quả: Trong phép chiếu song song tỷ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng. thì Hình 1.8 + Phép chiếu vuông góc (hình 1.8) là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, do đó nó có mọi tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn có những tính chất riêng ta chú ý tính chất quan trọng sau: Hình 1.9 Điều kiện ắt có và đủ để một góc vuông chiếu thẳng góc thành một góc vuông là góc vuông có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu (hình1.9) 1.3. Hệ Thống Các Mặt Phẳng Hình Chiếu – Đồ Thức 1.3.1. Hệ Thống Các Mặt Phẳng Hình Chiếu a. Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu Hình 1.10 + Trong không gian người ta lấy 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng P1 có vị trí thẳng đứng (mặt phẳng hình chiếu đứng), mặt phẳng P2 có vị trí nằm ngang (mặt phẳng hình chiếu bằng). Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến x. + Hai mặt phẳng P1 và P2 tạo nên 4 góc vuông được gọi là 4 góc vuông và được ký hiệu số thứ tự như hình vẽ. Hình 1.11 + Mặt phẳng P1 và P2 được coi là mặt phẳng chuẩn, với trục x là gốc, phía trên mặt phẳng P2 được gọi là độ cao. Phía trước mặt phẳng P1 được gọi là độ xa (hoặc độ sâu). Độ cao dương: các yếu tố ở phía trên mặt phẳng P2 (góc phần tư I) Độ cao âm: các yếu tố thuộc phía dưới mặt phẳng hình chiếu P2 (góc phần tư IV) Độ xa dương: các yếu tố thuộc phía trước mặt phẳng hình chiếu P1 (góc phần tư I) Độ xa âm: các yếu tố thuộc phía sau mặt phẳng hình chiếu P1 (góc phần tư II) Các mặt phẳng phân giác: + Mặt phẳng chia đôi góc vuông I và góc vuông III là mặt phẳng phân giác thứ 1, ký hiệu G1. + Mặt phẳng chia đôi góc vuông II và góc vuông IV là mặt phẳng phân giác thứ 2, ký hiệu G2. Nhìn dọc theo trục x từ bên trái ta có các ký hiệu qui ước góc vuông ; độ cao (+) và (-); độ xa (+) và (-) và vị trí mặt phẳng phân giác G 1 và G 2 (hình 1.11) b. Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu Người ta sử dụng thêm một mặt phẳng hình chiếu thứ 3 vuông góc với trục x, ký hiệu là P3 (mặt phẳng hình chiếu cạnh). – (hình 1.12) Hình 1.12 Mặt phẳng P1 cắt mặt phẳng P2 theo trục X (Trục chiều rộng) Mặt phẳng P3 cắt mặt phẳng P1 theo trục Z (Trục chiều cao) Mặt phẳng P3 cắt mặt phẳng P2 theo trục Y (Trục chiều sâu, hoặc xa) + Ba trục x, y, z cắt nhau tại: điểm O (gốc tọa độ) + Ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc từng đôi một: MPHC P1^ MPHC P2 , MPHC P2^ MPHC P3 và MPHC P3^ MPHC P1. + Qui ước dùng sáu mặt phẳng của hình hộp lập phương làm sáu mặt phẳng hình chiếu cơ bản. Mỗi mặt phẳng hình chiếu (MPHC) chỉ cho phép thực hiện một lần phép chiếu Trong bản vẽ kỹ thuật xây dựng người ta chỉ sử dụng hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu (góc tư I) hoặc hai MPHC.(hình 1.13) 1.3.2. Đồ Thức : Hình 1.13 Các hệ thống MPHC ở dạng không gian. Sau khi thực hiện xong phép chiếu vuông góc, hệ thống mặt phẳng hình chiếu được xoay để đưa về cùng một mặt phẳng, biểu diễn bằng các trục gọi là đồ thức. a. Đồ thức của hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu: + Giữ nguyên vị trí mặt phẳng hình chiếu P1 quay MPHC P2 quanh Ox và mặt phẳng hình chiếu P3 quanh Oz đến khi P1 º P2 º P3 (cùng trên một mặt phẳng) ta có đồ thức như hình vẽ 1.14. Hình 1.14a Hình 1.14 b. Đồ thức của hệ thống 2 mặt phẳng hình chiếu: + Giữ nguyên MPHC P1 quay MPHC P2 đến cùng mặt phẳng với MPHC P1 ta có đồ thức nhị diện như hình vẽ (hình 1.15). Hình 1.15 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 CHƯƠNG II BIỂU DIỄN ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Phương pháp biểu diễn vật thể bằng phép chiếu thẳng góc được dùng rộng rãi trong kỹ thuật nhất là bản vẽ kỹ thuật xây dựng và bản vẽ cơ khí. Phương pháp này do nhà toán học người Pháp G. Môngjơ (1746-1818) đề ra nên còn gọi là phương pháp Môngiơ. 2.1. BIỂU DIỄN ĐIỂM 2.1.1 Nguyên tắc biểu diễn điểm: Biểu diễn điểm là tìm hình chiếu của điểm trong hệ thống MPHC với các quy tắc * Các tia chiếu vuông góc với MPHC * Tia chiếu đi qua điểm * Lần lượt: Chiếu thẳng góc điểm A lên MPHC P1 ta được hình chiếu đứng A1 Chiếu thẳng góc điểm A xuống MPHC P2 ta được hình chiếu bằng A2 Chiếu thẳng góc điểm A sang MPHC P3 ta được hình chiếu cạnh A3 Như vậy một điểm trong không gian thường được biểu diễn bằng 3 hình chiếu trên 3 mặt phẳng hình chiếu A (A1, A2, A3). Ta xét các vị trí của điểm trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu. 2.1.2 Điểm có vị trí đặc biệt a. Điểm thuộc một mặt phẳng hình chiếu Hình 2.1 + Điểm thuộc mặt phẳng hình chiếu nào thì hình chiếu của nó lên mặt phẳng hình chiếu ấy là chính nó. Hai hình chiếu còn lại thuộc hai trục tạo mặt phẳng hình chiếu ấy (hình 2.1). A Î MPHC P1 ® A º A1 A2 Î Ox A3 Î Oz D Î MPHC P2 ® D º D2 D1 Î Ox D3 Î Oy b. Điểm thuộc trục (thuộc hai mặt phẳng hình chiếu) Điểm thuộc trục nào thì hình chiếu của nó lên hai mặt phẳng hình chiếu tạo nên trục ấy là chính nó, hình chiếu thứ ba thuộc gốc tọa độ O (hình 2.2). Hình 2.2 M Î Ox ® M1 º M2 M3 º O N Î Oy ® N3 º N2 N1 º O c. Điểm thuộc gốc tọa độ O Điểm thuộc gốc tọa độ thì các hình chiếu của nó đều trùng gốc tọa độ. 2.1.3. Điểm có vị trí bất kỳ Dùng các tia chiếu vuông góc với các MPHC lần lượt chiếu điểm A lên các mặt P1, P2, P3 ta có A1, A2, A3 ® A (A1, A2, A3) nằm trên đường dóng khép kín (hình 2.3). Hình 2.3 A1A2 ^ OX tại xA OxA: độ rộng của điểm A A1A3 ^ OZ tại zA OzA: độ cao của điểm A A2A3 ^ OY tại yA OyA: độ xa (hoặc độ sâu) của điểm A Ta có thể tìm hình chiếu thứ 3 của điểm khi biết 2 hình chiếu của nó bằng phương pháp dóng (đường dóng là hình chiếu của tia chiếu trong hệ thống MPHC) – (hình 2.4). Hình 2.4 Biết C1, C2 dóng tìm C3 Biết D1 và D3 dóng tìm D2 Kết luận: Mỗi điểm A trong không gian được biểu diễn bằng các cặp điểm (A1, A2, A3) cùng nằm trên đường dóng thẳng góc với Ox, Oy, Oz. Ngược lại các cặp điểm (A1, A2, A3) bất kỳ cùng nằm trên đường dóng khép kín là hình biểu diễn của một điểm A xác định trong không gian. 2.1.4. Tọa độ điểm Hình 2.5 + Qua ví dụ điểm bất kỳ ở phần 3 ta thấy một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định được khi ta biết được các khoảng cách từ điểm đến các mặt phẳng hình chiếu. Nghĩa là ta có thể xác định được điểm trong không gian khi xác định được các khoảng cách độ rộng, độ cao, độ xa so với mốc là gốc tọa độ và được qui ước ghi: A (XA, YA, ZA) ® A (X, Y, Z) Vậy toạ độ điểm là đơn vị đo chiều dài trên các trục biểu thị khoảng cách của điểm đến các mặt phẳng hình chiếu, nó gồm có 3 thành phần ứng với 3 trục hình chiếu Ox, Oy, Oz. Biết toạ độ điểm thì vẽ được hình chiếu của điểm trên các mặt phẳng hình chiếu và xác định được điểm trong không gian. Ví dụ: Dựng đồ thức điểm A (3, 1, 2) Cách dựng: Trên các trục tọa độ định ra các đơn vị dài (tỷ lệ giống nhau cho các trục) sau đó xác định vị trí hình chiếu điểm theo tọa độ đã biết: XA = 3, YA = 1, ZA = 2 ® kẻ đường dóng vuông góc với trục, để xác định vị trí A1,A2,A3. Khi biết tọa độ của điểm ta có thể nhận xét được vị trí của điểm trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu: + Điểm có vị trí bất kỳ có ba tọa độ khác không. + Điểm thuộc mặt phẳng hình chiếu có một tọa độ bằng không. + Điểm thuộc trục có hai tọa độ bằng không. Ví dụ: M ( 4, 0, 2) ® Điểm có YM = 0 ® điểm thuộc MPHC P1 N (0, 0, 5) ® Điểm có XN = 0, YN = 0 ® điểm thuộc trục OZ 2.2. Biểu Diễn Đoạn Thẳng, Đường Thẳng 2.2.1 Nguyên tắc chung: Trong không gian qua hai điểm xác định một đường thẳng, phần đường thẳng được giới hạn bởi 2 điểm gọi là đoạn thẳng. Để biểu diễn đoạn thẳng ta biểu diễn hình chiếu của hai điểm xác định đoạn thẳng đó rồi nối các hình chiếu cùng tên lại với nhau. Ta qui ước gọi đường thẳng không song song với MPHC nào và không vuông góc với trục x là đường thẳng bất kỳ (đường thẳng thường). Các đường thẳng song song với ít nhất một MPHC hoặc vuông góc với trục x gọi là đường thẳng có vị trí đặc biệt. 2.2.2. Vị trí của đường thẳng với các MPHC a. Đường thẳng có vị trí bất kỳ (đường thẳng thường) Hình 2.6 Đường thẳng AB bất kỳ trong không gian thì hình chiếu của nó là những đoạn thẳng có vị trí bất kỳ trong hệ trục. Hoặc nói: đường thẳng thường l có đồ thức là một cặp (l 1, l 2) không vuông góc với trục x. Ngược lại mỗi cặp đường thẳng bất kỳ của đồ thức mà không vuông góc với trục x đều là hình biểu diễn của một đường thẳng xác định trong không gian. A (XA, YA, ZA) B (XB, YB, ZB) l(A,B) ® Nhận xét: Khi đường thẳng có vị trí bất kỳ thì các tọa độ tương ứng ở hai điểm đầu nút khác nhau từng đôi một (XA ¹ XB ; YA ¹ YB; ZA ¹ ZB) Đường bất kỳ luôn có hai giao điểm với hai mặt phẳng hình chiếu gọi là vết (Hình 1.29 biểu diễn đoạn AB cắt mặt phẳng hình chiếu P1 và P2) Hình 2.8: biểu diễn đđoạn AB x MPHC P2 = M (vết bằng) AB x MPHC P1 = N (vết đứng) Hình 2.7 b. Đoạn (đường) thẳng có vị trí đặc biệt - Đoạn thẳng song song với một MPHC Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu nào, thì hình chiếu của nó trên mặt phẳng hình chiếu ấy nguyên hình (song song và bằng chính nó). Hai hình chiếu còn lại là hai đoạn song song với hai trục tạo nên mặt phẳng hình chiếu ấy. Hình 2.9 AB ¤¤ MPHC P2 ® A2B2 = AB ; A1B1 ¤¤ Ox ; A3B3 ¤¤ Oy Hình 2.10 a) m ¤¤ MPHC P1 b) b ¤¤ MPHC P2 c) c ¤¤ MPHC P3 (đường mặt) (đường bằng) (đường cạnh) Nhận xét: Đường mặt ® hai điểm đầu nút có cùng độ xa (Oy) Đường bằng ® hai điểm đầu nút có cùng độ cao (Oz) Đường cạnh ® hai điểm đầu nút có cùng độ rộng (Ox) Nếu tọa độ hai điểm đầu nút của một đoạn thẳng có một cặp cùng tên bằng nhau thì đoạn thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu. Ví dụ: A (6, 2, 3), B (1, 3, 3) ® ZA = ZB = 3 ® AB // MPHC P2 C (4, 3, 2), D (2, 3, 2) ® YC = YD = 3 ® CD // MPHC P1 E (4, 2, 5), F (4, 1, 3) ® XE = XF = 4 ® EF // MPHC P3 - Đoạn (đường thẳng) vuông góc với một MPHC (hoặc song song với 2 MPHC kia) Đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu nào thì hình chiếu của nó lên mặt phẳng hình chiếu ấy là một điểm. Hai hình chiếu còn lại là hai đoạn thẳng vuông góc với hai trục nên mặt phẳng hình chiếu ấy. Hình 2.11 CD MPHC P2 ® C2 º D2 ; C1D1 Ox ; C3D3 Oy Hình 2.12 d MPHC P1 l MPHC P2 h MPHC P3 (đường thẳng chiếu đứng) (đường thẳng chiếu bằng (đường thẳng chiếu cạnh) Nhận xét: Đường thẳng chiếu đứng: tọa độ hai điểm đầu nút có cùng độ rộng và độ cao. Đường thẳng chiếu bằng: tọa độ hai điểm đầu nút có cùng độ rộng và độ xa. Đường thẳng chiếu cạnh: tọa độ hai điểm đầu nút có cùng độ cao và độ xa. Nếu tọa độ 2 điểm đầu nút của đoạn thẳng có hai cặp cùng tên bằng nhau từng đôi một thì đoạn thẳng đó vuông góc với một MPHC. Ví dụ: Đoạn thẳng MN: M(4, 2, 5), N(4, 5, 5) ® XM = XN = 4; ZM = ZN = 5® MN ^ MPHC P1 2.2.3. Sự liên thuộc của điểm và đoạn thẳng (đường thẳng) a. Đối với đường thẳng thường, đường thẳng song song với MPHCP1, song song MPHCP2, đường thẳng chiếu: Quy tắc 1: Điều kiện cần và đủ để điểm A thuộc đường thẳng thường d là các hình chiếu của A thuộc các hình chiếu cùng tên của d hoặc trong không gian điểm thuộc đoạn thẳng thì các hình chiếu của nó cũng thuộc các hình chiếu cùng tên của đoạn thẳng và chúng cùng nằm trên đường dóng khép kín. Hình 2.13 IÎAB ® I1ÎA1B1 ; I2ÎA2B2 ; I 3ÎA3B3 Hình 2.14 AÎd ® A1Îd1; A2Îd2 AÎg ® A1Îg1; A2Îg2 AÎh ® A1Îh1; A2Îh2 Hình 2.15 NÎ đường bằng CD. IÎ đường mặt EF N1ÎC1D1; N2ÎC2D2 I1ÎE1F1; I2ÎE2F2 Hình 2.15 b. Sự liên thuộc của điểm với đường thẳng cạnh Khi AB là đường thẳng cạnh và C là một điểm thuộc AB thì và . Nhưng ngược lại khi có điều kiện và thì trong không gian chưa chắc C đã thuộc AB. Muốn biết C có thuộc AB hay không ta phải sử dụng tính chất của phép chiếu song song. Định lý: Điều kiện cần và đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu đứng của A, B, C bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu bằng của chúng. Quy tắc 1: Điều kiện cần: CÎAB ® C1ÎA1B1; C2ÎA2B2 ® (A1B1C1) = (A2B2C2) Hình 2.16 Điều kiện đủ: Nếu AB là đường cạnh và C là một điểm sao cho (A1B1C1) = (A2B2C2) thì CÎAB. Ví dụ: Cho điểm IÎMN biết M1N1; M2N2 và I1 ( hình 1.35b) Tìm hình chiếu bằng I2. Ap dụng tỉ số đơn ba điểm hình chiếu đứng bằng tỉ số đơn của ba điểm hình chiếu bằng (M1 I1 N1 = M2 I2 N2) (cách tìm như hình 2.17) Quy tắc 2: Điểm chia đoạn thẳng trong không gian theo tỷ số nào thì trên các hình chiếu tỷ số đó không đổi. IÎAB® I1 Î A1B1 I2 Î A2B2 Hình 2.17 I3 Î A3B3 Nhận xét: Điểm thuộc đoạn thẳng kéo dài thì hình chiếu của điểm cũng thuộc hình chiếu của đoạn thẳng kéo dài. Hình 2.18 IÎMN Kéo dài ® I1ÎM1N1 Kéo dài ; I2ÎM2N2 Kéo dài (hình 2.19) Hình 2.19 Điểm thuộc đường thẳng, nếu biết một hình chiếu của điểm sẽ tìm được hình chiếu kia bằng phương pháp dóng. Hình 2.19 Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB xác định điểm MAB sao cho (m, n là các độ dài cho trước). Giải: Vì tỷ số đơn của ba điểm thằng hàng bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu của chúng, nên trên đồ thức, muốn xác định điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số ta chỉ cần xác định trên một hình chiếu của AB, ví dụ trên AB một điểm Msao cho Mchia ABtheo tỷ số . Cách xác định Mxem trên hình vẽ: Vẽ qua Amột đường thẳng bất kỳ, trên đó đặt = m và = n. Nối . Đường thẳng qua và song song với sẽ cắt AB ở điểm M phải tìm, từ dóng tìm M A1B1. 2.2.4. Vị trí tương đối của 2 đoạn thẳng (đường thẳng) Trong không gian hai đường thẳng khác nhau thì hoặc là: Có một điểm chung hữu hạn hai đường thẳng cắt nhau Có một điểm chung vô hạn hai đường thẳng song song Không có điểm chung nào hai đường thẳng chéo nhau. Từ điều kiện liên thuộc của điểm và đường thẳng ta suy ra cách biểu diễn vị trí tương đối của hai đường thẳng. Hai đường thẳng (đoạn thẳng) cắt nhau Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại một điểm trên cùng một đường dóng. Trường hợp cả hai đường thẳng thường Hình 2.20 Hình 2.21 axb = I ® a1 x b1 = I1; a2 x b2 = I2 n(3,4) x m(1,2) = J ® 3141 x 1121 = J1 ® I1I2 vuông góc với Ox 3242 x 1222 = J2® J1J2 vuông góc với Ox Trường hợp một trong hai đường thẳng là đường cạnh Ví dụ: Có và Muốn biết CD có cắt AB hay không ta phải xét K có thuộc CD hay không. Cách 1: Hình 2.22 Sử dụng hình chiếu thứ 3 nếu . Cách 2: Sử dụng tính chất bảo toàn tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu () Hình 2.22 * Hình 2.22: AB và CD không cắt nhau vì điểm K không thuộc CD hoặc các hình chiếu của K không chia các hình chiếu cùng tên của CD theo cùng một tỉ số. b. Hai đường thẳng song song nhau Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là hình chiếu cùng tên của chúng cũng song song nhau hoặc: hai đường thẳng song song nhau thì hình chiếu của chúng trên cùng một MPHC cũng song song nhau. Hình 2.23 a // b ® a1 // b1; a2 // b2 m (3,4) // n (1,2) ® 3141 // 1121; 3242 // 1222 Khi cả hai đường thẳng đều là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh AB và CD song song nhau là: AB // CD ® A1B1 // C1D1 ; Hình 2.24 A2B2 // C2D2 Và (I1; I2 cùng thuộc một đường dóng) c. Hai đường thẳng chéo nhau (hai đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng) Nếu đồ thức của hai đường thẳng không thoả mãn các điều kiện cắt nhau (hay song song nhau) thì hai đường thẳng chéo nhau. Khi hai đường thẳng có một đường thẳng là đường cạnh, ta sử dụng tính chất của phép chiếu song song để xác định hai đường ở vị trí chéo nhau hay cắt nhau trên đồ thức. Hình 2.25 (a) (b) (c) Hình 2.26 khi hai đường thẳng có một đường thẳng là đường cạnh, ta sử dụng tính chất của phép chiếu song song để xác định hai đường ở vị trí chéo nhau hay cắt nhau trên đồ thức (hình 2.25b, hình2.25c) Hình 2.26 minh họa không gian của hai đường thẳng chéo nhau và diễn tả điểm có hình chiếu thấy, điểm có hình chiếu bị che khuất. 2.3. Biểu Diễn Hình Phẳng, Mặt Phẳng 2.3.1. Khái niệm chung Trong không gian một mặt phẳng được xác định bởi các yếu tố: Ba điểm không thẳng hàng. Một đường và một điểm không thuộc đường. Hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng song song nhau. Muốn biểu diễn mặt phẳng, ta biểu diễn các yếu tố xác định mặt phẳng. Hình 2.27 (a) (b) (c) (d) mpa (A,B,C) mpă (C,a) mp Q (AB x AC) mp P ( AB // CD) Ngoài ra người ta còn biểu diễn mặt phẳng bằng giao tuyến của nó với hệ thống mặt phẳng hình chiếu gọi là vết. Ký hiệu: v1; v2 (hình 2.28) Hình 2.28 mpa (v1a;v2a) 2.3.2.Vị trí của mặt phẳng với các MPHC a. Hình phẳng, mặt phẳng bất kỳ Trong không gian hình phẳng (mặt phẳng) có vị trí bất kỳ thì trên đồ thức hình chiếu của chúng là những hình phẳng (mặt phẳng) có vị trí bất kỳ so với hệ trục ( hình 2.27 và hình 2.28) Hình 2.29 Khi vẽ đồ thức hình phẳng có số đỉnh , chú ý thỏa mãn điều kiện giao điểm các đường chéo thuộc đường dóng khép kín (hình 2.29) b. Hình phẳng (mặt phẳng) vuông góc với mặt phẳng hình chiếu Hình phẳng vuông góc với MPHC nào thì hình chiếu của nó lên MPHC ấy là một đoạn thẳng. Hai hình chiếu còn lại là hai hình phẳng có vị trí bất kỳ trong hệ trục. Mặt phẳng có vị trí vuông góc với MPCH P1: gọi là mặt phẳng chiếu đứng. Mặt phẳng có vị trí vuông góc với MPCH P2: gọi là mặt phẳng chiếu bằng. Mặt phẳng có vị trí vuông góc với MPCH P3: gọi là mặt phẳng chiếu cạnh. Hình 2.30 A1B1C1: là một đoạn thẳng mp(ABC) ^ MPHC P1 (mặt phẳng chiếu đứng) Hình 2.31 mp(GEF) ^ MPHC P2 G2E2F2: là 1 đoạn thẳng (mặt phẳng chiếu bằng) Hình 2.32 mp(ABC) ^ MPHC P3 (mặt phẳng chiếu cạnh) Ví dụ: Biểu diễn mặt phẳng chiếu đứng, chiếu bằng và mặt phẳng chiếu cạnh bằng vết (hình 2.33) Hình 2.33 c. Hình phẳng (mặt phẳng) song song với một MPHC (Vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại) Hình phẳng song song với MPHC nào thì hình chiếu của nó lên MPHC đó song song và bằng chính nó (bằng hình thật). Hai hình chiếu còn lại là hai đoạn thẳng song song với hai trục tạo nên MPHC đó. Mặt phẳng có vị trí song song với MPCH P1: gọi là mặt phẳng mặt Mặt phẳng có vị trí song song với MPCH P2: gọi là mặt phẳng bằng Mặt phẳng có vị trí song song với MPCH P3: gọi là mặt phẳng cạnh Hình 2.34 Hình 2.35 Biểu diễn mặt phẳng mặt, mặt phẳng bằng, mặt phẳng cạnh bằng vết. Hình 2.36 mpa // MPHC P2 mpa(v1a,x) // P2 mpă(v1ă,v2ă) // P3 mpâ(v1â,x) // P2 Chú ý: mặt phẳng phân giác g2 là mặt phẳng duy nhất mà mọi điểm của nó có hai hình chiếu trùng nhau. 2.3.3. Sự Liên Thuộc Của Điểm, Đoạn Thẳng, Mặt Phẳng Có hai mệnh đề làm cơ sở cho tương quan liên thuộc giữa điểm và đường thẳng với mặt phẳng: Đường thẳng d thuộc mặt phẳng Q nếu d có hai điểm thuộc mặt phẳng Q Điểm A thuộc mặt phẳng Q nếu A thuộc một đường thẳng nào đó của mặt phẳng Q Từ đó để biểu diễn sự liên thuộc của điểm với mặt phẳng hay của đường thẳng với mặt phẳng được đưa về việc biểu diễn sự liên thuộc của một điểm với đường thẳng đã học. Ứng dụng: Dựng các điểm hoặc đoạn thẳng trong hình phẳng, mặt phẳng Tìm hình chiếu còn lại của điểm hoặc đoạn thẳng khi biết một hình chiếu của chúng. Ví dụ 1: Cho điểm biết E1 tìm E2 ? Giải: Gắn E vào AN của ABC. Nối A1E1 kéo dài có N1ÎB1C1 Dóng tìm N2 ÎB2C2 ® nối A2N2 Hình 2.37 Dóng tìm E2ÎA2N2. Ví dụ 2: Cho điểm biết A1 tìm A2 ? Giải: Gắn A vào CD (CD Î mpR) với CÎP1 và DÎP2® trên đồ thức qua A1 kẻ C1D1 (với C1º C º v1R và D1 º Ox) ® dóng tacó C2D2 ( với C2º Ox và D2ºv2R) Hình 2.38 ® dóng tìm A2ÎC2D2. Ví dụ 3: Cho dựng đường thẳng MN bất kỳ thuộc mặt phẳng. - Đoạn MN phải thỏa mãn: có MNÎ(ABC) và vị trí MN phải bất kỳ so với hệ thống MPHC. MÎ(ABC) ® NÎ(ABC) ® MN bất kỳ ® bất kỳ so với trục. Lấy hai điểm M,N bất kỳ của mặt phẳng. Ví dụ MÎAB; NÎBC ® nối MN. Trên đồ thức lấy: M1ÎA1B1 ; N1ÎB1C1 Dóng tìm M2N2 (M2ÎA2B2; N2ÎB2C2) Nối M1N1; M2N2 Hình 2.39 ta có MN(M1N1;M2N2) phải dựng. Ví dụ 4: Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau p, q. Dựng một đường bằng của mặt phẳng (pxq). Giải: Đường bằng của mặt phẳng làđường thẳng thuộc mặt phẳng và song so...mặt phẳng R và khối nón. Giao tuyến phụ S34 cắt AB cho ta hai giao điểm I và J (hình 3.20b) a hình 3.20 b Ví dụ 4: Tìm giao của đoạn AS và khối lăng trụ xiên DEF D’E’F’ Dùng mp phụ trợ chứa AS và vuông góc MPHC P2 tìm giao tuyến phụ 123 -> tìm I và J (Hình 3.21) Ví dụ 5: Hình 3.21 Cho hình chiếu khối đa diện ABCD. Tìm giao của đường thẳng l cắt khối đa diện (hình 3.22) Giải: Chọn mặt phẳng phụ trợ K chứa l và vuông góc với MPHC P1 . Vẽ giao của K và khối đa diện: giao tuyến phụ là tứ giác MNIQ. Vẽ giao của đường l với giao phụ vừa tìm, ta có hai giao điểm K và H. Xét thấy khuất: Giao điểm thấy trên một MPHC khi nó thuộc mặt bên thấy trên hình chiếu đó: - Trên MPHC P1 ta có K1 thấy; H1 thấy. Hình 3.22 - Trên MPHC P2 ta có K2 khuất; H2 thấy. Như vậy đường l cắt khối tại hai điểm vào và ra khối là K và H. Ví dụ 6: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ. (hình 3.23) Giải : Sử dụng MP phụ trợ K chứa l và song song với các đường sinh của mặt trụ. - mp K (l x t = A) với t song song với các đường sinh của trụ. - mp K cắt các đường chuẩn của trụ ở hai điểm 1 và 2, giao phụ sẽ là hai đường sinh đi qua 1 và 2. - Các giao điểm K và H của các đường sinh này với l sẽ là giao của l với trụ. - Xét thấy khuất : Hình 3.23 Trên MPHC P2 : điểm K thấy; điểm H khuất. Trên MPHC P1 : điểm H thấy; điểm K khuất. 3.6 Giao tuyến mặt phẳng và khối : Là tập hợp các điểm vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt ngoài khối. 3.6.1. Khi khối có mặt ngoài là các đa diện phẳng : Giao của mặt phẳng và khối đa diện là một hay nhiều đa giác, có cạnh là các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng và các đỉnh là các giao điểm của các cạnh khối đa diện với mặt phẳng. Hình3.24 Phương pháp xác định giao tuyến: - Xác định đỉnh của giao bằng cách tìm các giao điểm của các cạnh thuộc khối đa diện với mặt phẳng đã cho. - Xác định các cạnh của giao bằng cách tìm các giao tuyến của các mặt bên thuộc khối đa diện với mặt phẳng đã cho. Như vậy vấn đề vẽ giao thực chất là vấn đề tìm giao tuyến của hai mặt phẳng hoặc tìm giao điểm của đoạn thẳng và hình phẳng. Sau khi tìm được các điểm chung của mặt phẳng và mặt ngoài khối, ta nối chúng lại để tạo thành giao. Khi nối chú ý: chỉ được nối hai điển chung cùng thuộc một mặt phẳng của khối đa diện. - Xét thấy khất: Hai điểm chung cùng nằm trên hai hình phẳng thấy thì giao tuyến thấy. Nếu có một hình phẳng khuất thì giao tuyến khuất. Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng R và khối chóp SABC (hình 3.25) Giải: Hình 3.25 Vì mp R ^ MPHCP1 nên ta có ngay hình chiếu đứng của giao tuyến ® 112232 º v1R. Dóng tìm 122232 (12ÎS2A2; 22ÎS2B2 và 23ÎS3C3) Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng Q và khối chóp SABC (Hình 3.26) Giải : Hình 3.26 Ta lần lượt tìm giao tuyến của mặt phẳng Q và các mặt bên của khối: mp Q x SAC; mp Q x SAB; mp Q x SBC. Hoặc ta tìm các giao điểm của các cạnh khối cắt mặt phẳng Q :SA x mp Q = K; SB x mp Q = N và SC x mp Q = I. Nối K,N,I Ta có giao tuyến cần tìm. (Để tìm giao điểm ta áp dụng bài toán tìm giao của đường thẳng và mặt phẳng.) Hình vẽ 3.26 diễn giải cách tìm giao của khối cắt mpQ. Ví dụ: SA x mp Q ® phụ trợ chứa SA và vuông góc với MPHC P1 có giao tuyến phụ 1122 (1121 º S1A1) ® dóng tìm 1222 1222 x S2A2 = K2 ® dóng tìm K1; ta có K(K1,K2) - Các điểm N và I tìm tương tự. Xét thấy khuất: ( Hình 3.26) 3.6.2. Trường hợp khối có mặt ngoài cong : Giao của mặt phẳng với một mặt cong là một đường cong, nếu mặt cong là bậc đại số bậc n, thì giao của mặt phẳng với mặt đó là đường đại số bậc n. Để tìm các điểm chung thuộc giao ta thường dùng Phương pháp 1: dùng mặt phẳng phụ trợ cắt cả hai yếu tố đã cho (phụ trợ cắt mặt phẳng theo đường thẳng g và cắt mặt cong theo đường cong l) giao của đường cong l và đường thẳng g sẽ là điểm chung phải tìm. Dùng một số mặt phẳng phụ trợ, ta sẽ được một số điểm chung – nối các điểm chung ta có giao phải tìm. Phương pháp 2: Chọn trên mặt phẳng ngoài khối đã cho những đường có vị trí đặc biệt, đặc trưng rồi tìm các giao điểm của chúng với mặt phẳng đã cho. Như vậy vấn đề vẽ giao của một mặt phẳng và một khối có mặt ngoài cong quy về vấn đề vẽ giao điểm của một đường với một mặt cong. Chú ý: các vị trí đặc biệt thường sử dụng: Các điểm ranh giới giữa phần thấy và phần khuất của giao trên từng MPHC. Các điểm thấp nhất, cao nhất (so với MPHC P2) Hình 3.27 Các điểm gần nhất, xa nhất (so với MPHC P1) Ví dụ 1: Vẽ giao tuyến mặt phẳng chiếu đướng K và mặt phẳng nón tròn xoay đỉnh S (h3.28) Giải: Ta nhận thấy mặt phẳng chiếu đứng K cắt tất cả các đường sinh của nón. Vậy giao tuyến cần tìm là đường êlíp có hình chiếu đứng là một đoạn thẳng thuộc mặt phẳng K1. Dựng hình chiếu bằng của giao bằng phương pháp gắn điểm vào đường sinh, hoặc gắn vào đường tròn nằm trên mặt phẳng nón.(hình 3.28). Hình 3.29 Hình 3.28 Ví dụ 2 : Tìm giao của mặt phẳng chiếu đứng K với khối trụ (hình vẽ 3.29) Chú ý: Nếu tìm càng nhiều điểm chung thì nối đường giao tuyến độ chính xác càng cao. Tuy nhiên phải luôn xác định các điểm chung ở vị trí đặc biệt như điểm cao nhất, điểm thấp nhất và điểm giữa của AB, có trục dài A2B2 và trục ngắn C2D2 để vẽ êlíp. Nếu mặt nón có đáy là đường tròn thì: Mặt phẳng cắt qua tất cả các đường sinh nón ® giao là đường êlíp. Mặt phẳng cắt qua tất cả các đường sinh nón và song song với đáy nón ® giao là đường tròn. Mặt phẳng song song với hai đường sinh của nón ® giao là hypecbol Mặt phẳng đi qua đỉnh nón và đáy nón ® giao là hai đường sinh khác nhau của nón Mặt phẳng cắt qua đỉnh nón và tiếp xúc với đáy nón ® giao là một đường sinh của nón. Nếu là trụ đáy tròn : Mặt phẳng cắt qua tất cả các đường sinh trụ và song song với đáy trụ ® giao là một đường tròn. Mặt phẳng cắt qua tất cả các đường sinh trụ mà không song song đáy trụ ® giao là một êlíp. Mặt phẳng cắt song song với tất cả đường sinh hình trụ và cắt đáy trụ tại hai điểm ® giao là hai đường sinh của trụ. Hình 3.30 Mặt phẳng cắt song song với tất cả với đường sinh trụ và tiếp xúc với đáy trụ ® giao là một đường sinhh trụ. Ví dụ 3 : Vẽ giao mặt phẳng chiếu đứng K với mặt cầu (hình 3.30) Để làm tốt các bài tập liên quan đến các mặt phẳng như giao điểm đoạn thẳng và khối, giao tuyến mặt phẳng khốiTa cần biết xác định một điểm trên mặt ngoài khối và biết các dạng giao tuyến giữa mặt phẳng và khối. Hình3.31 trình bày các dạng giao tuyến giữa mặt nón, mặt trụ và mặt phẳng. Hình 3.31 3.7 Giao tuyến hai khối Là tập hợp các điểm chung thuộc mặt ngoài của cả hai khối. Nó là đường gấp khúc, có thể là các đoạn thẳng hoặc các đoạn cong hoặc cả hai. Hai khối có thể cắt nhau hoàn toàn hoặc không hoàn toàn. 3.7.1. Các phương pháp thường sử dụng để tìm giao tuyến a. Phương pháp 1 : Tìm giao điểm của cạnh khối này cắt khối kia hoặc ngược lại. Hoặc tìm mặt phẳng bên khối này cắt mặt phẳng bên khối kia hoặc phối hợp cả hai loại trên. Tóm lại đó chính là thực hiện bài toán cơ bản tìm giao điểm của đọan thẳng và hình phẳng. Sau khi có các điểm chung, nối chúng lại ta có giao tuyến. b. Phương pháp 2 : Tìm các điểm chung nhờ một số mặt cắt. Sử dụng mặt phẳng cắt phụ trợ cắt cả hai khối đã cho (mặt phẳng cắt phụ trợ có thể là mặt phẳng hoặc mặt cong). Trên hình 3.33 chỉ rõ cách tìm điểm chung của mặt I và II - Dùng mặt phẳng phụ trợ III cắt cả hai mặt I và mặt II - Mặt phẳng phụ trợ cắt mặt I theo đường AB - Mặt phẳng phụ trợ cắt mặt II theo đường CD - Giao điểm K của AB cắt CD là điểm chung cho cả mặt I và mặt II do đó K thuộc giao tuyến của chúng. Lập lại cách vẽ như vậy ta được một loạt điểm của đường cần tìm. Hình 3.33 Chú ý: Mặt phẳng cắt phụ trợ thường chọn ở vị trí đặc biệt và ở vị trí tổng quát. Chọn mặt phẳng cắt phụ trợ sao cho chúng cắt cả hai mặt khối theo những đường sinh của khối, hoặc giao tuyến phụ phải có đồ thức dễ tìm, dễ vẽ (thường chọn mặt phẳng cắt phụ trợ là mặt phẳng chiếu hoặc song song với đáy khối, hoặc chứa đỉnh nón, đỉnh tháp hoặc các mặt phẳng cắt phụ trợ song song với các MPHC). Các hình chiếu của giao tuyến thu được trong giới hạn của phần chung các hình chiếu của hai măt khối. Khi vẽ hình chiếu các điểm của giao tuyến trước tiên cần tìm những điểm thường được gọi là điểm đặc trưng. Đó là những điểm mà hình chiếu tách phần thấy, phần khuất của hình chiếu giao tuyến, đó là hình chiếu các điểm của giao tuyến có độ cao nhất hoặc thấp nhất so với MPHC P2 (trục OZ). Các điểm gần nhất và xa nhất đối với người quan sát (độ sâu, trục OY). Các điểm tận cùng bên phải và bên trái trên các hình chiếu của giao tuyến (trục OZ). Khi nối các điểm chung để tạo thành giao tuyến của hai khối : Chỉ được nối hai điểm chung khi chúng cùng nằm ở một mặt bên khối này và một mặt bên khối kia. 3.7.2. Các bước thực hiện dựng giao tuyến hai khối Bước 1 : Vẽ hình chiếu các khối trên cùng một đồ thức. Bước 2 : Nhận xét đường giao tuyến của các khối như sau : Nếu hai khối cắt nhau hoàn toàn trong không gian (khối nọ chui hoàn toàn vào khối kia) sẽ tạo ra hai giao tuyến khép kín tách rời nhau. Nếu chúng cắt nhau không hoàn toàn trong không gian (một phần khối này cắt một phần khối kia) sẽ tạo ra một giao tuyến khép kín. Bước 3 : Tìm hình chiếu của giao tuyến, có hai trường hợp: Mặt ngoài khối phẳng: Ta chọn sử dụng phương pháp tìm các điểm chung rồi nối lại (thường ta sử dụng tìm giao của cạnh khối này cắt khối kia). Giao tuyến của trường hợp này là những đoạn thẳng khép kín. Mặt ngoài khối có 1 hoặc 2 là cong: Tìm giao điểm của các đường sinh với nhau, hoặc đường sinh khối này cắt mặt phẳng khối kia rồi nối lại, hoặc dùng mặt phẳng cắt phụ trợ để tìm điểm chung của hai khối. Độ chính xác của giao tuyến càng cao khi ta chọn số điểm càng nhiều. Chú ý phải tìm trước các điểm chung đặc trưng. Giao tuyến trong trường hợp này cũng là những đường cong. Bước 4 : Xét thấy khuất : Qui tắc: Phần giao tuyến nằm trên hai mặt thấy sẽ thấy Phần giao tuyến nằm trên hai mặt khuất hoặc một mặt thấy một mặt khuất sẽ khuất. Để tránh nhầm lẫn khi nối giao tuyến ta làm như sau: Khai triển hai khối trên cùng một mặt phẳng. Tìm ngay giao điểm và nối trên sơ đồ. Đánh dấu mặt thấy (+) và mặt khuất (-) trên sơ đồ. Trên sơ đồ hai điểm cùng nằm trong ô vuông thì nối được với nhau. Lúc đó ta sẽ có ngay phần giao tuyến thấy và phần giao tuyến khuất để vẽ vào đồ thức. 3.7.3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giao tuyến hai khối lăng trụ ABCA’B’C’ cắt DEFD’E’F’ Hình 3.34 Giải: Bước 1: Vẽ đồ thức hai khối. Bước 2: Nhận xét hai khối cắt nhau hoàn toàn, ta sẽ có hai giao tuyến khép kín. Bước 3: Tìm hình chiếu của giao tuyến. Vì khối lăng trụ trụ ABCA’B’C’ có các mặt bên vuông góc với P2 nên ta có ngay hình chiếu bằng của giao tuyến. DD’ x ABB’A’=1 EE’ x ABB’A’=2 FF’ x ABB’A’=3 DD’ x BCB’C’=4 EE’ x BCB’C’=5 FF’ x BCB’C’=6 Ta có các giao tuyến 12 22 32 và 42 52 62 dóng lên MPHCP1 ta được 11 21 31 và 41 51 61 Bước 4: Xét thấy khuất ta khai triển mặt ngoài hai khối như hình 3.34 Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của hai tháp SABC và TDEF cho như hình vẽ. Giải: Bước 1: Vẽ đồ thức hai khối. Bước 2: Nhận xét : Hai khối giao nhau không hòan toàn như vật giao tuyến là một đường gấp khúc khép kín. Bước 3: Tìm hình chiếu của giao tuyến. Hình 3.35 Ta tìm giao của cạnh khối này với mặt ngoài khối kia như: SBxTDEF tại 1 và 2 (SBxTDF = 1, SDxTEF = 2) bài tóan giao đoạn thẳng và hình phẳng. TD x SABC tại 5 và 6 (TD x SAB = 5, TD x SBC = 6) TE x SABC tại 3 và 4 (TE x SAB = 3, TE x SBC = 4) Nối các điểm chung ta có giao tuyến Bước 4: Xét thấy khuất, ta trải liên tiếp các mặt bên của hai tháp lên cùng một mặt phẳng, ghi các điểm tìm được vào vị trí tương ứng ® đánh dấu mặt thấy (+) mặt khuất (-); nối giao tuyến và xét thấy khuất của giao tuyến. Ví dụ 3: Vẽ giao của lăng trụ ABCA’B’C’ và khối nón đỉnh S Bước 1: Vẽ đồ thức hai khối Bước 2: Nhận xét: Trong hai khối có khối nón mặt ngoài cong, như vậy giao tuyến là đường cong và hai khối giao nhau hoàn toàn nên giao tuyến là hai tập hợp đường cong khép kín. Bước 3: Vẽ giao tuyến Hình 3.36 Khối lăng trụ ABCA’B’C’có các mặt bên có vị trí vuông góc với MPHC P1 nên ta có ngay hình chiếu đứng của giao tuyến (hình chiếu đứng của giao trùng với hình chiếu đứng của khối lăng trụ) Tìm hình chiếu bằng của giao tuyến bằng phương pháp gắn điểm vào đường sinh của nón hoặc mặt phẳng cắt phụ trợ song song với đáy nón. Bước 4: Xét thấy khuất (Hình vẽ) Hình 3.36 Ví dụ 4 : Hình 3.37 Vẽ giao của hai mặt trụ, có các đường sinh của trụ thứ 1 là những đường thẳng chiếu bằng, các đường sinh của mặt trụ thứ hai là những đường mặt. Giải: Vì trụ 1 có đường sinh là đường thẳng chiếu bằng nên ta có ngay hình chiếu bằng của giao tuyến (hình chiếu bằng giao tuyến º đoạn cong B2A2). Tìm hình chiếu đứng của giao tuyến bằng phương pháp gắn điểm vào đường sinh khối 2. Ví dụ : Gắn điểm E vào đường sinh 62 dóng tìm 61 E2 Î 62 ® E1 Î 61 Tương tự cho các điểm khác. Chú ý tìm các điểm đặc trưng như đã phân tích ở phần lý thuyết, như cao nhất D thấp nhất C. Tận cùng bên phải điểm A, tận cùng bên trái H và K, nối các điểm ta có hình chiếu đứng của giao tuyến . Xét thấy khuất như hình vẽ 3.37 3.7.4. Dựng các hình chiếu của vật thể bị cắt xuyên Khi khối vật thể bị một số hình phẳng có vị trí vuông góc với MPHC P1 cắt xuyên qua, hoặc hai khối giao nhau nhưng một khối có mặt ngoài ở vị trí vuông góc với MPHC P1 (chỉ thể hiện hình chiếu khối trên đồ thức ở MPHC mà khối vuông góc). Với dạng bài toán này ta có tên gọi khác là hình xuyên. Ở đây ta chỉ xét hình xuyên đơn có hình chiếu đầy đủ của bốn vật thể có dạng các mặt hình học cơ bản (đa diện, trụ, nón, cầu) bị cắt xuyên bởi các mặt khác vuông góc với MPHC P1(như vậy ta đã có hình chiếu đứng của giao tuyến). Nhiệm vụ vẽ hai hình chiếu còn lại của các vật thể đó. Hoàn thành hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của vật thể đã cho bằng cách : Gắn điểm của giao tuyến vào các đường sinh của khối, hoặc các đọan thẳng thuộc mặt ngoài khối, hoặc các vĩ tuyến của nón của cầu hoặc các mặt phẳng phụ trợ vuông góc MPHC, hoặc song song đáy khối trên cơ sở đã biết hình chiếu đứng của các điểm đó, dùng phương pháp dóng điểm để tìm các hình chiếu còn lại. Xét thấy khuất : Xét thấy khuất trên MPHC P2 và MPHC P3 trên cơ sở lý thuyết hình họa về giao tuyến hai mặt và ở đây ta coi một mặt – tượng trưng bởi các mặt cắt xuyên – là phần bị cắt bỏ đi của mặt kia. Ngoài các đoạn thẳng, đường cong của giao tuyến ta chú ý đến các đoạn thẳng là giao tuyến của các mặt cắt xuyên. Trên bản vẽ hoàn thành không được duy trì mọi đường dóng, đường dựng hình và ký hiệu, vì vậy trong quá trình thực hiện bản vẽ nên tận dụng động tác đo. Đường dóng vẽ bằng nét chì mảnh, mờ. Ví dụ 1: Hình 3.38 Hoàn thiện đồ thức của khối vật thể bị xuyên một lần. Giải: Ta có ngay hình chiếu đứng của giao tuyến. Sử dụng mặt phẳng phụ trợ R chức các điểm 11 21 31 41® Tìm giao tuyến phụ ® dóng tìm các điểm 12 22 32 42 Sử dụng phương pháp dóng tìm các điểm 52 62 72 82 ; 51Î A1B1® 52Î A2B2 Các điểm còn lại tương tự. Nối các giao điểm chú ý : Chỉ nối hai giao điểm trên cùng một mặt bên của khối và cùng một mặt phẳng cắt. Xét thấy khuất như hình vẽ 3.38 Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến trên mặt khối nón đỉnh S bị xuyên một lần. Giải : Ta có hình chiếu đứng của giao tuyến. Sử dụng mặt phẳng phụ trợ R1 chứa 21 31 61 và song song đáy nón (hoặc gắn vào vĩ tuyến của nón) tìm giao tuyến phụ ® tìm các điểm hình chiếu bằng 22 32 62 Sử dụng mặt phẳng phụ trợ R2 (tương tự) tìm được 52 Dóng điểm tìm 12 và 42 Hình 3.39 Gắn điểm vào đường sinh tìm được 72 Nối các điểm để tạo thành giao tuyến (chú ý các điểm nối trên cùng một mặt phẳng) Hình 3.39 Xét thấy khuất (hình 3.39) 3.8 Cách dựng hình chiếu thứ ba của khối vật thể. Đây là bài phục vụ cho luyện tập hình dung vật thể từ hai hình chiếu thẳng góc đã cho. Chính là quá trình đọc bản vẽ. Từ hai hình chiếu đã cho ta dựng hình chiếu thứ ba là để nắm chắc quan hệ đường nét, kích thước giữa các hình chiếu cơ bản. Việc dựng hình chiếu thứ ba của khối vật thể không thể giải quyết bằng cách dóng thông thường theo phương pháp đã biết trong các bài toán hình họa, mà phải trải qua các bước sau : Hình dung khối vật thể từ hai hình chiếu đã cho, tưởng tượng được hình dạng vật thể trong không gian, vẽ phác nhanh hình khối không gian của nó. Đây là bước quan trọng và quyết định để xác định đúng hướng đi tìm hình chiếu thứ ba. Vẽ hình chiếu thứ ba đúng với quan hệ đường dóng với hai hình chiếu đã cho (bề cao của khối vật thể trên MPHC P1 và MPHC P3 bằng nhau. Bề sâu của vật thể trên MPHC P2 và MPHC P3 bằng nhau. Bề rộng của vật thể trên MPHC P1 và MPHC P2 bằng nhau) Chú ý nét thấy, nét khuất của khối trên các MPHC Ví dụ : Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của khối vật thể . Dựng hình chiếu cạnh của khối.(Hình 3.40) Hình 3.40 Để hổ trợ cho việc thực hiện làm bài tập tìm giao tuyến hai khối hoặc bài tập khối vật thể bị xuyên 1 lần Hình 3.41 trình bày các dạng : Giao tuyến của mặt trụ và mặt lăng trụ (hình a;b) Giao tuyến giữa 2 trụ (hình c) Giao tuyến giữa mặt trụ và mặt nón (hình d) Hình 3.41 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 CHƯƠNG IV HÌNH CHIẾU TRỤC ĐO 4.1. Khái Niệm. 4.1.1. Các nguyên tắc Hình chiếu trục đo (HCTĐ) hay thường gọi là hình không gian là loại hình biểu diễn nổi, dễ nhìn, được xây dựng trên cơ sở các phép chiếu song song, do đó nó có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song. Hình 4.1 Hai đường thẳng song song nhau thì ở hình chiếu trục đo cũng song song nhau. Hai đường thẳng cắt nhau thì ở hình chiếu trục đo cũng cắt nhau. Hình chiếu trục đo bảo toàn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Hình chiếu trục đo thường được vẽ cạnh hình chiếu thẳng góc của nó để giúp người đọc bản vẽ dễ hình dung vật thể. Phương pháp chiếu trục đo như sau: Gắn vào vật thể hệ trục toạ độ thẳng góc, rồi chiếu song song theo hướng chiếu s cả hệ trục và vật thể lên một MPHC trục đo. Trong HCTĐ tính song song của các đoạn thẳng được bảo toàn – các đoạn thẳng OA, OB, OC thuộc 3 trục toạ độ chiếu thành OA’, OB’, OC’ Các tỷ số: ® Gọi là các hệ số biến dạng theo trục. Tuỳ theo góc j tạo bởi hướng chiếu s với MPHC trục đo, người ta phân ra các loại HCTĐ: Hướng chiếu s không vuông góc với MPHC trục đo thì HCTĐ thu được là hướng chiếu trục đo xiên góc. Hướng chiếu vuông góc với MPHC trục đo thì HCTĐ thu được là HCTĐ thẳng góc. Hướng chiếu có thể tạo với MPHC trục đo một góc nhọn hoặc góc vuông. Để đảm bảo tính nổi của hình biểu diễn, hướng chiếu không nên chọn song song với một trong các mặt phẳng toạ độ. Như vậy HCTĐ là hình chiếu lên chỉ một mặt phẳng hình chiếu gồm ba trục cùng gốc toạ độ O và hợp với nhau thành ba góc có tổng bằng 360° gọi là hệ trục đo. Các hệ số biến dạng p, q, r nói chung đôi một không bằng nhau, trong trường hợp đó gọi là HCTĐ thường. Nếu có hai trong ba hệ số biến dạng đó bằng nhau thì HCTĐ được gọi là HCTĐ cân. Nếu cả ba hệ số biến dạng đều bằng nhau (p = q = r) thì HCTĐ được gọi là HCTĐ đều Các loại hình chiếu trục đo 4.2.1. HCTĐ xiên góc (): gồm có các loại: HCTĐ xiên góc thường, HCTĐ xiên góc cân, HCTĐ xiên góc đều 4.2.2. HCTĐ thẳng góc (): cũng có các loại: HCTĐ thẳng góc thường, HCTĐ thẳng góc cân và HCTĐ thẳng góc đều Ta thường sử dụng 2 loại: HCTĐ cân: p = r ¹ q( nhị trắc) HCTĐ đều: p = q = r ( đẳng trắc) HCTĐ không thể thay thế được hình chiếu vuông góc vì nó không phản ánh chính xác hình dạng và kích thước của vật thể). Biến dạng hệ trục xOz trong các loại HCTĐ STT Tên gọi Hệ trục trục đo Hệ số biến dạng theo các trục 1 2 3 4 1 Hình chiếu trục đo vuông góc đều (HCTĐ vuông góc đẳng trắc) p = q = r = 1 2 Hình chiếu trục đo vuông góc cân (HCTĐ vuông góc nhị trắc) p = r = 1 q = 0.5 3 Hình chiếu trục đo xiên góc đứng đều (HCTĐ xiên góc đẳng trắc) cho phép lấy góc nghiêng của trục y, là 300 hoặc 600 p = q = r =1 4 Hình chiếu trục đo xiên góc bằng đều cho phép lấy góc nghiêng của trục y, là 450 hoặc 600 p = q = r =1 1 2 3 4 5 Hình chiếu trục đo xiên góc đứng cân (HCTĐ xiên góc nhị trắc) cho phép lấy góc nghiêng của trục y, là 300 hoặc 600 p = r = 1 q = 0.5 Chú ý: Trong HCTĐ xiên góc cũng như trong HCTĐ nhị trắc thẳng góc trục O’y’ có thể nghiêng trái hoặc sang phải. Trong HCTĐ thẳng góc đẳng trắc hệ số biến dạng theo các trục là 0,82 nhưng để tiện cho việc vẽ người ta lấy theo qui ước p = q= r = 1. ® Như vậy hình vẽ được phóng to lên 1,22 lần. Trong HCTĐ thẳng góc nhị trắc các hệ số biến dạng theo trục 0x và Oz bằng 0,47 theo Oy là 0,94, nhưng theo qui ước người ta vẽ p = r = 1 và q = 0,5 như vậy hình vẽ được phóng to lên là 1,06 lần. 4.3. Lưu ý khi dựng HCTĐ Hình chiếu trục đo có thể vẽ theo tỷ lệ khác với tỷ lệ vẽ hình chiếu vuông góc. Trên hình chiếu trục đo không cần vẽ các nét khuất của khối. Hình 4.2 (ở bài tập trong nhà trường các nét khuất được thể hiện bằng nét mảnh, mờ để thể hiện các bước thực hiện). Hình chiếu trục đo có thể tô bóng đậm nhạt để dễ nhìn (Hình 4.2) Khi chọn hình chiếu trục đo lưu ý: Thường chọn loại hình chiếu trục đo vuông góc đều vì loại này cho hình biểu diễn cân đối (chú ý với khối vuông không nên chọn loại này vì nó làm một số bề mặt của vật thể bị suy biến). Loại khối vuông nên chọn hình chiếu trục đo nhị trắc. Loại khối có đường tròn song song với MPHC P1 nên chọn loại hình chiếu HCTĐ cân, vì loại này không làm biến dạng khi hình biểu diễn song song với MPHC P1 nên dễ vẽ. Hình chiếu trục đo xiên góc bằng đều thường sử dụng cho vẽ tổng mặt bằng khu xây dựng ( Hình 4.3) Hình 4.3 Loại này thường sử dụng cho loại vẽ tổng mặt bằng khu xây dựng hoặc mặt bằng ngôi nhà. 4.4. Các Bước Dựng Hình Chiếu Trục Đo Từ Hình Chiếu Thẳng Góc 4.4.1. Bước 1: Chọn loại hình chiếu trục đo hợp lý , sao cho hình biểu diễn nỗi, dễ nhìn, đẹp và không bị biến dạng. Hình 4.4 4.4.2. Bước 2: Gắn vào vật thể hệ trục toạ độ vuông góc khi vẽ hình chiếu trục đo của khối. Thường chọn gốc tọa độ ở góc phải phía sau khối vật thể. Cũng có thể chọn trục Oz trùng với trục đối xứng của vật the. Việc qui định chiều của các trục trên hình chiếu trục đo rất quan trọng. Khi cần thể hiện rõ chi tiết nào ta ưu tiên tầm quan sát cho mặt phẳng chứa chi tiết đo. Ví dụ muốn thể hiện mặt đáy ta chọn chiều trục như hình vẽ 4.4 Để chọn hướng nhìn thuận lợi trong giai đoạn này ta vẽ phác một vài kiểu trục đo khác nhau, sau đó chọn hướng nào thích hợp nhất (Hình 4.5) Hình 4.5 4.4.3. Bước 3: Dựng hình chiếu trục đo của hình chiếu bằng sau đó dựng cao độ các điểm (theo trục Oz) hoặc dựng hình chiếu trục đo của hình chiếu đứng sau đó dựng độ sâu (theo trục Oy) của các điểm (đối với hình chiếu trục đo xiên góc thường vẽ hình chiếu trục đo của hình chiếu đứng trước vì loại này ở hình chiếu đứng không bị biến dạng còn các loại khác thường sử dụng hình chiếu bằng làm mặt xuất phát). Hình 4.6 Khi dựng hình chiếu trục đo thường dựng các bộ phận lớn trước sau đó mới vẽ các bộ phận nhỏ, khi các bộ phận có chỗ vát, chỗ lượn phải dựng hình khối tổng quát (hình chữ nhật ngoại tiếp) rồi đi sâu vào chi tiết. Với vật thể phức tạp có nhiều lộ đục khoét cần dựa vào toạ độ các điểm đặc biệt để xác định các giao tuyến, trong quá trình vẽ dựa vào đường sinh, các tiết diện đồng dạng Sau khi xác định được hình chiếu trục đo của các điểm ta nối chúng lại theo đúng sự liên hệ của các điểm ở hình chiếu vuông góc. 4.4.4. Bước 4: Tô đậm các nét thể hiện vật thể có thể sử dụng đậm nhạt đánh bóng để hình vẽ nổi, dễ quan sát hơn 4.5. Một Số Qui Định Trong Hình Chiếu Trục Đo Hình 4.7 Để thể hiện các phần khuất bên trong của khối người ta dựng hình chiếu trục đo cắt bỏ ¼ hoặc ½ vật thể gọi là hình cắt trục đo. Mặt phẳng cắt này trên hình chiếu trục đo thường lấy trùng với các mặt phẳng đối xứng của vật thể. Có hai cách dựng hình cắt trên hình chiếu trục đo, có thể vẽ toàn bộ hình chiếu trục đo sau đó cắt bỏ đi ¼ hoặc ½ hoặc vẽ hình chiếu trục đo khi đã bị cắt bỏ. Các nét gạch trên hình cắt của hình chiếu trục đo không vẽ nghiêng 45° so với đường bằng của bản vẽ mà phải kẻ song song với hình chiếu trục đo của đường chéo hình vuông nằm trên các mặt phẳng toạ độ tương ứng và có các cạnh song song với Ox, Oy, Oz. Trên bản vẽ bên cạnh hình chiếu trục đo phải vẽ sơ đồ hệ trục và hệ số biến dạng. Ta nghiên cứu cách dựng hình chiếu trục đo từ các yếu tố cơ bản. 4.6. Dựng Hình Chiếu Trục Đo Của Điểm, Đoạn, Hình Phẳng Từ Hình Chiếu Thẳng Góc Trong phương pháp HCTĐ các điều kiện tương quan như điểm thuộc đường thẳng, hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song về cơ bản được bảo toàn tương tự như trong hình chiếu thẳng góc. 4.6.1. Dựng hình chiếu trục đo điểm: Ví dụ: Cho hình chiếu vuông góc của điểm A (2, 4, 3) dựng hình chiếu trục đo của điểm A. Phương pháp toạ độ để chuyển từ đồ thức 1 điểm sang hình chiếu trục đo. Hình 4.8 Theo ba tọa độ thẳng góc của A là XA,YA,ZA và các hệ số biến dạng theo ba trục tọa độ là p = q = r =1 (Hoặc p = r = 1 ; q = 0,5) Suy ra ba tọa độ trục đo tương ứng của A là: ( Hoặc X’A = XA ; Y’A = 0,5.YA ; Z’A = ZA) Trên trục O’x’ đặt O’A’X = X’A. Qua A’X kẻ đường song song với O’y’ và đặt trên đó đoạn Ax’A’2 = Y’A. Qua A’2 kẻ đường thẳng song song với O’Z’ và đặt trên đó đoạn A’2A’ = Z’A. Điểm A’ là hình chiếu trục của A phải dựng. Hình 4.8 vẽ hình chiếu trục đo của A theo hai loại: HCTĐ vuông góc đều và HCTĐ xiên góc đứng cân. 4.6.2. Dựng hình chiếu trục đo của đoạn thẳng Để vẽ hình chiếu trục đo của đoạn thẳng ta lần lượt vẽ hình chiếu trục đo của hai điểm xác định đoạn thẳng đó. Ví dụ: Dựng hình chiếu trục đo của AB biết toạ độ A (Ax, Ay, Az) B (Bx, By, Bz) Hình 4.9 Cách dựng: - Dựng hình chiếu trục đo của điểm A từ hai hình chiếu đã cho; Dựng hình chiếu trục đo của điểm B (theo cách dựng HCTĐ của điểm như đã biết ). Nối A’ và B’ ta có hình chiếu trục đo của đoạn AB. - Khi chưa biết toạ độ cụ thể của các điểm ta sử dụng phương pháp đo từ hình chiếu thẳng góc đã cho. - Hình 4.9 dựng HCTĐ của AB theo hai loại HCTĐ. 4.6.3. Dựng hình chiếu trục đo của hình phẳng Để vẽ HCTĐ của đa giác phẳng, người ta vẽ HCTĐ các đỉnh của nó Ta dựng hình chiếu trục đo của các điểm thuộc đỉnh của hình phẳng rồi nối lại theo đúng sự liên hệ như hình chiếu thẳng góc. Ví dụ: Dựng hình chiếu trục đo của hình chiếu ABCD biết hình chiếu vuông góc của nó Dựng hình chiếu trục đo của tam giác MNQ từ hình chiếu vuông góc đã cho Hình 4.10 Hình chiếu trục đo của hình phẳng có vị trí song song với một mặt phẳng hình chiếu Hình 4.11 4.11 - Khi hình phẳng là hình tròn ta cho nó nội tiếp hình vuông và vẽ hình chiếu trục đo theo phương pháp 8 điểm. Dựng hình chiếu trục đo của hình vuông, đó là một hình bình hành Dựng lại hình chiếu trục đo của bốn đường kính (đường chéo của hình vuông) Ta có bốn điểm 1, 2, 3, 4. Vừa thuộc hình vuông vừa thuộc hình tròn. Bốn điểm còn lại 5, 6, 7, 8 thuộc êlíp nội tiếp hình bình hành. Nối 8 điểm ta có hình chiếu trục đo của hình tròn. Hình 4.12 Trên hình 4.12 trình bày HCTĐ của các đường tròn nằm trong các mặt phẳng tọa độ theo hai dạng vuông góc đều và xiên góc đứng cân. Hình 4.13 vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình tròn tâm I nằm trong một mặt phẳng chiếu đứng. Ngoại tiếp hình tròn này bằng một hình vuông và vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình vuông này, đó là một hình bình hành. Vẽ êlíp nội tiếp hình bình hành (bằng phương pháp 8 điểm), đó là hình chiếu trục đo của hình tròn. - Chú ý: Khi hình phẳng có hình dạng đa giác ta cho nó nội hoặc ngoại tiếp hình chữ nhật sau đó xác định vị trí gần đúng của đỉnh đa giác rồi nối lại. 4.6.4. Dựng Hình Chiếu Trục Đo Của Khối Vật Thể Từ Hình Chiếu Thẳng Góc Sau khi đọc và nghiên cứu kỹ đồ thức vật thể, hình dung được khối vật thể ta dựng hình chiếu trục đo của các điểm thuộc đỉnh khối vật thể theo bốn bước như đã học. Ví dụ 1: Dựng hình chiếu trục đo của hinh khối biết hai hình chiếu thẳng góc như hình vẽ. Hình 4.13 Giải: - Bước 1: Chọn hệ trục HCTĐ vuông góc đều có hệ số biến dạng p = q = r = 1 và ba trục O’x’, O’y’, O’x’, lập với nhau một góc 120°. Dựng hình chiếu thứ ba của vật thể từ hai hình chiếu đã cho. - Bước 2: Di dời hệ trục vuông góc của khối, chọn điểm O’ trùng với góc sau bên phải của khối. Hình 4.14 - Bước 3: a. Dựng hình chiếu trục đo của hình chiếu bằng khối vật thể (có thể chọn dựng hình chiếu trục đo của hình chiếu đứng). b. Dựng độ cao các điểm từ chân HCTĐ của hình chiếu bằng, ta có HCTĐ của các điểm thuộc đỉnh khối và nối các HCTĐ của các điểm có liên hệ với nhau theo đúng hình chiếu vuông góc (chú ý có hai đường cong là ½ đường tròn phải dùng phương pháp 8 điểm để xác định, phần mặt vát cho nội tiếp khối chữ nhật). - Bước 4: Để giúp học sinh theo dõi các bước dựng HCTĐ, những nét phụ trợ dựng hình để lại bằng nét liền mảnh, mờ những nét thấy biểu diễn vật thể được tô đậm. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 CHƯƠNG V CẮT VẬT THỂ 5.1. Khái Niệm Các hình chiếu vuông góc chỉ diễn tả hình dáng bên ngoài của khối vật thể. Với vật thể cấu tạo bên trong phức tạp thì số lượng nét đứt nhiều dễ làm rối bản vẽ gây ra nhầm lẫn, để khắc phục vấn đề này và cần xem xét cấu tạo bên trong vật thể, người ta dùng một loại hình biểu diễn gọi là hình cắt, mặt cắt. Tưởng tượng cắt vật thể bằng một mặt phẳng, bỏ phần vật thể giữa người quan sát và mặt phẳng cắt đi, chiếu phần vật thể còn lại lên MPHC song song với mặt phẳng cắt. Hình biểu diễn thu được trên MPHC này gọi là hình cắt. Hình biểu diễn giới hạn bởi giao tuyến của vất thể với mặt phẳng cắt gọi là mặt cắt. Như vậy trên hình cắt có vẽ cả mặt cắt và hình chiếu của phần vật thể nằm phía sau mặt phẳng cắt. Hình cắt 1-1 Chú ý: Việc cắt vật thể chỉ là giả tưởng và chỉ liên quan đến một hình cắt (mặt cắt) tương ứng. Lập xong hình cắt vật thể lại coi như nguyên vẹn. Sau đó muốn vẽ hình cắt khác, phải dùng mặt phẳng cắt tưởng tượng khác. Hình 5.1 Vị trí của mặt phẳng cắt được xác định bằng vết cắt, có mũi tên chỉ hướng nhìn, đầu mũi tên chạm vào vết cắt – có ghi tên đặt cho mặt phẳng cắt. Vết cắt không đựơc chạm vào đường bao của hình biểu diễn. Hình 5.2 Nếu mặt phẳng cắt trùng với mặt phẳng đối xứng của vật thể và các hình biểu diễn đặt gần nhau, có liên hệ hình chiếu thì không cần ghi vị trí