Giáo trình Cơ lý thuyết (Lưu hành nội bộ)

_____________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 2 MỤC LỤC Chương1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1. Các khái niệm cơ bản...................................3 2. Các tiên đề tĩnh học..........................6 3. Liên kết và phản lực liên kết.....................7 Chương 2: HỆ LỰC PHẲNG 1. Hệ lực phẳng đồng quy...........................13 2. Hệ lực phẳng song song......................16 Chương 3: MÔMEN - NGẪU LỰC 1. Mô men...................................................20 2. Ngẫu lực.. ...............22 3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ..........25 4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song............30 Chương 4: MA SÁT - TRỌNG TÂM - CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH 1. Ma sát.. ...........................................................................33 2. Trọng tâm............................................37 3. Cân bằng ổn định....................................42 Chương 5: HỆ LỰC KHÔNG GIAN 1. Chiếu một lực lên 3 trục - Mô men của một lực đối với một trục............. 46 2. Điều kiện cân bằng của một hệ lực không gian..........48 Chương 6: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM - ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 1. Động lực học chất điểm......................54 2. Động lực học vật rắn...........................63 Chương 7: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC 1. Công của lực - Công suất....................73 2. Các định lý cơ bản của động lực học..........................77 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 3 Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Thời gian: 2h 1.1. VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI. - Vật rắn tuyệt đối là một vật rắn vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Đây là mô hình đơn giản nhất của vật thể, nó được xem xét khi biến dạng của nó có thể bỏ qua được do bé quá hoặc không đóng vai trò quan trọng đối với mục tiêu khảo sát. Vật rắn tuyệt đối được gọi tắt là vật rắn. - Trong trường hợp này chúng được coi như không bị biến dạng, nói cách khác là rắn tuyệt đối. Vậy: vật rắn tuyệt đối là một vật thể mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn luôn không đổi. Cơ học quan niệm vật tuyệt đối rắn là vật khi chịu lực tác dụng của lực, có hình dạng và kích thước không đổi. 1.2. LỰC. 1.2.1. Khái niệm. Lực là tác động tương hỗ từ những vật hoặc từ môi trường chung quanh lên vật đang xét, làm cho vật thay đổi vận tốc hoặc làm cho vật biến dạng. Ví dụ: Đầu búa tác động lên vật rèn là lực tác động từ vật này sang vật khác. Trọng lực tác động vào vật là lực hấp dẫn (còn gọi là lực hút) của trái đất lên vật đó (trọng lượng là một thành phần của trọng lực, với sai số nhỏ trọng lượng của vật coi như trùng với trọng lực của vật đó). Để xác định được một lực ta cần có ba yếu tố: - Điểm đặt của lực là nơi mà tại đó vật nhận được tác dụng từ vật khác. - Hướng chỉ phương và chiều tác dụng của lực cũng là phương và chiều chuyển động của chất điểm (vật thể có kích thước vô cùng bé) từ trạng thái yên nghỉ dưới tác động cơ học. - Cường độ tác động hay còn gọi là trị số biểu thị độ mạnh hay yếu của lực. 1.2.2. Đo lực. Treo các vật có khối lượng khác nhau vào một lò xo thẳng đứng, độ giãn của lò xo tỉ lệ với khối lượng của vật. Mặt khác tại một địa điểm xác định, trọng lượng của vật tỉ lệ với khối lượng của nó: mgP  (1.1.1) P : trọng lượng; m : khối lượng; g : gia tốc trọng trường (g = 9,81 m/s2) Như vậy có thể rút ra kết luận: độ giãn của lò xo tỉ lệ với trọng lượng của vật. Căn cứ vào kết luận này người ta chế tạo các dụng cụ đo trị số của lực đó gọi là lực kế (Hình 1.1.1). Dùng lực kế đo được trọng lượng, từ đó lại suy ra khối lượng của vật. Như vậy dùng lực kế ta cũng đo được khối lượng của vật một cách gián tiếp (công thức 1.1.1) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 4 Hình 1.1.1. Đo lực Hình 1.1.2. Biểu diễn lực tác dụng lên vật thể. Đơn vị chính để đo trị số của lực là Niu tơn, kí hiệu: N. Bội số của niutơn là kilô niutơn: kN (1kN = 103N), mêga niutơn: MN (1MN = 106N) 1.2.3. Biểu diễn lực. Đối chiếu với các khái niệm toán học đã biết ta thấy về mặt hình học có thể biểu diễn lực dưới dạng một véctơ trong đó: - Gốc của véctơ là điểm đặt lực. - Phương và chiều của véctơ là phương và chiều của lực. Giá mang véctơ lực được gọi là đường tác dụng lực. - Chiều dài véctơ là trị số của lực được lấy theo một tỷ lệ nhất định (với tỉ lệ xích được chọn trước). Chẳng hạn trên hình 1.1.2, véc tơ AB biểu diễn lực tác dụng lên một vật rắn, trong đó: + Gốc A là điểm đặt của lực AB + Đường thẳng chứa lực AB là phương của lực, còn gọi là đường tác dụng của lực, mút B chỉ chiều của lực AB + Độ dài của AB biểu diễn trị số của lực AB theo một tỷ lệ xích nào đó, chẳng hạn trị số của lực AB là 200N, nếu biểu diễn lực đó theo tỉ lệ 10N trên một độ dài 1mm thì độ dài của AB là: 10 200 = 20 mm. Để đơn giản, thường kí hiệu lực bằng một chữ in hoa và ghi dấu véc tơ trên chữ in hoa đó, ví dụ: ,F ,Q ,N ,P ,R ,S 1.3. HỆ LỰC. 1.3.1. Hai lực trực đối: là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng ngược chiều nhau (Hình 1.1.3a, b). TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 5 Hình 1.1.3. Hai lực trao đổi Hình 1.1.4. Hệ lực tác dụng lên vật thể 1.3.2. Hệ lực: là tập hợp nhiều lực tác dụng lên một vật rắn (Hình 1.1.4):  421 ,,, FFFF Tuỳ thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong cùng một mặt phẳng hay không cùng một mặt phẳng chúng ta có hệ lực mặt phẳng hay hệ lực không gian. Cũng tuỳ thuộc đường tác dụng gặp nhau hoặc song song với nhau ta có hệ lực đồng quy (hình 1.1.5), hệ lực song song (hình 1.1.6). Hình 1.1.5 Hình 1.1.6 1.3.3. Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng gây cho cùng một vật rắn các trạng thái chuyển động cơ học như nhau (hình 1.1.7). Kí hiệu:    kNFFF  ,...,,,...,, 2121  , dấu ≡ đọc là tương đương. Hình 1.1.7 Hình 1.1.8 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 6 1.3.4. Hợp lực: Hợp lực của hệ là một lực duy nhất tương đương với hệ lực. Gọi R là hợp lực của hệ lực  NFFF ,...,, 21 thì  NFFFR ,...,, 21 (hình 1.1.8). 1.3.5. Hệ lực cân bằng: là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn sẽ không làm thay đổi trạng thái động học của vật rắn (nếu vật đang đứng yên thì đứng yên, nếu vật đang chuyển động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều). Nói cách khác, hệ lực cân bằng tương đương với 0:   0,...,, 21 NFFF + Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở trạng thái cân bằng; + Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều. 2. CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC. Thời gian: 1h Tiên đề là những mệnh đề đơn giản, cơ bản và được rút ra từ thực tiễn (không chứng minh). Chúng ta nghiên cứu hệ tiên đề tĩnh học làm cơ sở cho việc nghiên cứu về sự cân bằng của vật rắn. 2.1. TIÊN ĐỀ 1: (tiên đề về hai lực cân bằng). Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn được cân bằng là chúng phải trực đối nhau. (hình 1.2.1) Hình 1.2.1 2.2. TIÊN ĐỀ 2: (tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng). Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng. Như vậy nếu:  ', FF  là hai lực cân bằng thì (hình 1.2.2a): Hình 1.2.2    ',,,...,',..., 2121 FFFFFFFF NN    hoặc nếu hệ lực có hai lực 1F  và 2F  cân bằng thì (hình 1.2.2b):    NN FFFFFF ,...,",..., 4321    TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 7 Hệ quả: (định lý trượt lực): Tác dụng của lực lên vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó (hình 1.2.3). Hình 1.2.3 Hình 1.2. Thực vậy, khi thêm hai lực cân bằng ( BB FF ',  ) tại B có cùng cường độ với lực AF  ta có (hình 1.2.4):    ABBA FFFF ,',  . Hai lực AB FF ,' là hai lực cân bằng nên dựa vào định luật 2 có thể bớt hai lực này. Vậy: BF   AF  Như vậy trong trường hợp vật rắn (chỉ đối với vật rắn) điểm đặt của lực không cần chú ý. Chỉ có đường tác dụng của lực là quan trọng. Lực trong tĩnh học vật rắn có tính chất của véctơ trượt. 2.3. TIÊN ĐỀ 3. (tiên đề về quy tắc hình bình hành lực): Hai lực tác dụng lên vật rắn tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại cùng điểm đó và có véctơ lực bằng véctơ chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai véc tơ lực của các lực đã cho (hình 1.2.5) Hình 1.2.5 Hình 1.2.6 Nhờ tiên đề này cho phép sử dụng phép tính cộng véc tơ để cộng lực. Do hệ quả trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể mở rộng thành điều kiện hai đường tác dụng của hai lực gặp nhau. 2.4. TIÊN ĐỀ 4. (tiên đề tác dụng và phản tác dụng): Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng cường độ, cùng đường tác dụng và hướng ngược chiều nhau (Hình 1.2.6) Chú ý rằng lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì chúng không tác dụng lên cùng một vật rắn. Tiên đề phản tác dụng đúng cho mọi hệ quy chiếu (quán tính và không quán tính) và làm cơ sở cho việc mở rộng các kết quả đã khảo sát đối với một vật cho vật khác trong bài toán hệ vật. 3. LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT. Thời gian: 3h 3.1. KHÁI NIỆM. Vật tự do và vật chịu liên kết. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 8 + Vật tự do là vật không có liên quan gì đến các vật khác và có thể thực hiện được mọi di chuyển trong không gian tại thời điểm đang xét. + Một vật trong không gian ba chiều có thể có 6 di chuyển khác nhau gọi là 6 bậc tự do (dọc theo ba trục và quay quanh ba trục). Mọi chuyển động của vật trên thực tế đều có thể quy về sự tổng hợp của một trong các chuyển động đó. Liên kết là những điều kiện ràng buộc di chuyển của vật. Trong tĩnh học các điều kiên ràng buộc được thực hiện bằng sự tiếp xúc hoặc nối (bản lề, dây...hình 1.3.1a, b) trực tiếp giữa các vật. Hình 1.3.1 + Vật chịu liên kết là vật có một hay nhiều phương di chuyển bị hạn chế hay cản trở bởi những vật khác. Các vật chịu liên kết được gọi là những vật không tự do. Lực tác dụng tương hỗ giữa các vật liên kết với nhau được gọi là lực liên kết. Các lực không phải là lực liên kết được gọi là lực đặt vào (lực hoạt động). + Vật gây liên kết: Tất cả những đối tượng có tác dụng khống chế dịch chuyển của vật đang khảo sát được gọi là các liên kết. 3.2. PHẢN LỰC LIÊN KẾT. 3.2.1. Định nghĩa. Những lực mà các vật khác tác dụng lên vật đang khảo sát làm hạn chế hay cản trở chuyển động của nó gọi là các phản lực liên kết (lực phản tác dụng do các liên kết gây ra). Đối với một vật thì lực do các vật khác tác dụng lên nó được gọi là các phản lực liên kết, còn các lực do nó tác dụng lên vật liên kết với nó (thường là liên kết tựa) được gọi là áp lực (hình 1.3.2 a, b). 3.2.2. Nguyên tắc xác định phản lực liên kết. - Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật thể khảo sát tại điểm tiếp xúc giữa nó và vật gây liên kết. - Phản lực liên kết cùng phương nhưng ngược chiều với chuyển động bị cản trở. Nói cách khác nó vuông góc với phương của chuyển động. - Trị số của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực chủ động tác dụng lên vật. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 9 Hình 1.3.2 3.2.3. Giải phóng liên kết. Vật không tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng, bằng cách giải phóng tất cả các liên kết và thay thế tác dụng các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết thích hợp. (Hình 1.3.3) Hình 1.3.3 Chú ý rằng các phản lực liên kết sinh ra để ứng phó với các lực đặt vào. Chúng là các ẩn trong bài toán tĩnh học. Trong một số trường hợp dựa vào kết cấu của các liên kết có thể đoán nhận được phương và chiều của các phản lực liên kết, còn trong mọi trường hợp trị số của chúng là chưa biết. 3.2.4. Các loại liên kết. Một số quy tắc xác định các đặc trưng (phương và chiều) của phản lực liên kết đối với một số liên kết thường gặp. a. Liên kết tựa (không ma sát): hai vật trưc tiếp tựa lên nhau, tiếp xúc theo bề mặt hoặc đường hoặc điểm: phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa (hoặc đường tựa), có chiều cản trở (theo phương pháp tuyến) di chuyển của vật ký hiệu là N (hình 1.3.4a, b, c). b. Liên kết dây mềm, thẳng và không giản. Phản lực của dây tác dụng lên vật khảo sát đặt vào điểm buộc dây và hướng vào dây. Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi là sức căng dây, ký hiệu là T. Sức căng dây hướng dọc dây và hướng ra đối với mặt cắt dây, làm dây luôn ở trạng thái căng (hình 1.3.5). TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 10 Hình 1.3.4 Hình 1.3.5 c. Liên kết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay đối với nhau. Trong trường hợp này hai vật tựa vào nhau theo đường nhưng điểm tựa chưa được xác định. Phản lực liên kết R đi qua tâm của trục và có phương, chiều chưa được xác định. Phản lực được phân thành hai thành phần vuông góc với nhau  yx RR   , nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tâm của bản lề (hình 1.3.6). Hình 1.3.6 d. Liên kết gối: dùng để đỡ các dàn, khung,...Có loại gối cố định và gối con lăn. Phản lực liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phản lực liên kết của gối con lăn được tìm theo quy tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1.3.7). Hình 1.3.7 e. Liên kết gối cầu: Được thực hiện nhờ một quả cầu gắn vào đầu một vật gây liên kết. Phản lực gối đầu đi qua tâm O của vỏ cầu, còn phương và chiều chưa được xác định. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 11 Thường phản lực gối cầu được phân thành ba thành phần vuông góc ( ),,( zyx RRR  (hình 1.3.8). Hình 1.3.8 Hình 1.3.9 Trường hợp liên kết cối (ổ chặn) tương tự như liên kết gối cầu đã trình bày trên, nghĩa là chỉ biết điểm đặt của phản lực liên kết, còn phương chiều của nó chưa được xác định. Do vậy phản lực được chia thành ba thành phần vuông góc với nhau, trong đó có một thành phần hướng theo phương bị chặn, còn hai thành phần khác nằm trong mặt phẳng vuông góc với các phương bị chặn (hình 1.3.9). g. Liên kết ngàm: là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ trường hợp hai vật được hàn cứng với nhau). Trong trưòng hợp ngàm phẳng (hệ lực khảo sát là hệ lực phẳng), phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa hai thành phần lực và cũng là mặt phẳng tác dụng của hệ lực (hình 1.3.10). Hình 1.3.10 Hình 1.3.11 Đối với ngàm không gian (hệ lực khảo sát là hệ lực không gian) phản lực liên kết gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau (dọc 3 trục toạ độ) và ba thành phần ngẫu lực trong 3 mặt phẳng toạ độ (hình 1.3.11). h. Liên kết thanh. Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện sau: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực nào tác dụng và trọng lượng thanh được bỏ qua (ví dụ các thanh không trọng lượng, liên kết bằng liên kết trụ hoặc cầu). Phản lực có phương qua hai điểm chịu lực (hình 1.3.12). TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 12 Nói chung liên kết có thể có kết cấu đa dạng, xác định phương chiều của phản lực liên kết trong trường hợp chung theo quy tắc sau: tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị ngăn trở có phản lực ngược chiều, tương ứng với hướng di chuyển quay bị ngăn trở có ngẫu lực ngược chiều. Hình 1.3.12 Hình 1.3.13 3.2.5. Xác định hệ lực tác dụng lên vật khảo sát. - Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ lực tác dụng lên vật rắn đó. Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các phản lực. Tải trọng trực tiếp tác động lên vật khảo sát. Việc đặt các tải trọng lên vật khảo sát thường ít khó khăn, vấn đề quan trọng là các phản lực cho đúng và đầy đủ. Muốn thế chúng ta lần lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ứng, công việc đó được gọi là giải phóng liên kết. - Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực. Ví dụ 1.3.1: Cần trục có trọng lượng P đặt ở điểm C, mang vật nặng Q  . (hình 1.3.13). Trục thẳng đứng AB của cần trục được liên kết bằng ổ trục B và ổ chặn A. Xác định hệ lực tác dụng lên cần trục. Bài giải Tách cần trục khỏi ổ trục B và ổ chặn A, nó chịu tác dụng bởi hệ lực: - Các tải trọng P và Q  và các phản lực: + Phản lực do ổ trục tác dụng vào B là BN . + Phản lực do ổ chặn tác dụng vào A là AX  và AY  . Như vậy cần trục cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng bất kỳ ,,,,, AAB YXNQP  ). Tức là: ( ,,,,, AAB YXNQP  ) ~ 0. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 13 Chương 2: HỆ LỰC PHẲNG 1. HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY. Thời gian: 4h 1.1. CHIẾU MỘT LỰC LÊN HAI TRỤC TỌA ĐỘ. 1.1.1. Định nghĩa. * §Þnh nghÜa: HÖ lùc ph¼ng ®ång quy lµ hÖ lùc gåm c¸c lùc cã ®-êng t¸c dông cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng vµ c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. 1.1.2. Chiếu một lực lên hệ tọa độ vuông góc. Gi¶ sö lùc F cã ®-êng t¸c dông hîp víi trôc Ox mét gãc nhän , cÇn x¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña lùc F lªn c¸c trôc Ox vµ Oy. H×nh chiÕu lùc F lªn trôc nµo lµ ®é dµi ®¹i sè cña ®o¹n th¼ng giíi h¹n bëi h×nh chiÕu cña gèc vµ mót lùc lªn trôc ®ã. H×nh chiÕu cña lùc F lªn trôc Ox vµ Oy ®-îc ký hiÖu lµ Fx, Fy. Fx =  F.cos Fy =  F.sin Trong ®ã: : gãc hîp bëi ®-êng t¸c dông cña lùc F víi trôc Ox. LÊy dÊu (+) khi ®i tõ ®iÓm chiÕu gèc ®Õn ®iÓm chiÕu ngän cña vÐct¬ lùc cïng chiÒu víi chiÒu d-¬ng cña trôc. LÊy dÊu (-) khi ®i tõ ®iÓm chiÕu gèc ®Õn ®iÓm chiÕu ngän cña vÐct¬ lùc ng-îc chiÒu víi chiÒu d-¬ng cña trôc. * Tr-êng hîp ®Æc biÖt: +) F  Ox th×: Fx =  F Fy = 0  Fy O x Fx C D y F y  Fy O x Fx B A F y Fy O x Fx F 'F TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 14 +) F  Oy th×: Fy =  F Fx = 0 Ng-îc l¹i khi biÕt h×nh chiÕu Fx vµ FY cña F lªn trôc Ox vµ Oy ta hoµn toµn x¸c ®Þnh ®-îc lùc F b»ng c«ng thøc sau: - TrÞ sè: F = 22 yx FF  - H-íng: cos = F Fx , sin = F Fy 1.2. THU GỌN HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY. 1.2.1. Hợp lực của hai lực đồng quy. Quy tắc hình bình hành lực. Giả sử có hai lực F 1 và F 2 đồng quy tại O (Hình 2.1.5) Hình 2.1.5 Theo tiên đề hình bình hành lực, chúng ta có hợp lực R đặt tại O, phương chiều và trị số được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành lực. - Trị số của R : Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác OAC, ta có:   180cos2 21 2 2 2 1 2 FFFFR Vì:    cos180cos  Nên: cos2 21 2 2 2 1 2 FFFFR  - Phương chiều của R : Áp dụng định lí hàm số sin cho tam giác OBC ta có: 1 1 sin F = 2 2 sin F = )180sin(  R TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 15 Vì sin(180-α) = sinα nên: 1 1 sin F = 2 2 sin F = sin R . Suy ra: sinα1 = R F1 sinα, sinα2 = R F2 sinα 1, 2 xác định phương chiều của R . 1.2.2. Hợp lực của một hệ lực phẳng đồng quy. a. Phương pháp hình học Ta xÐt tr-êng hîp hÖ gåm ba lùc 1F , 2F , 3F . ¸p dông quy t¾c céng vÐct¬ theo h×nh tam gi¸c ta cã: BO1 = 1F + 2F BO1 + 3F = R = 1F + 2F + 3F . V× R  ( 1F , 2F , 3F ) nªn lµ hîp lùc cña hÖ. Tr-êng hîp tæng qu¸t: R = 1F + 2F + ... + nF =   n i iF 1 = F NÕu gäi Rx, Ry lµ h×nh chiÕu cña hîp lùc R lªn c¸c trôc Ox vµ Oy. Gäi F1x, F2x, F3x vµ F1y, F2y, F3y lµ h×nh chiÕu cña c¸c lùc 1F , 2F , 3F lªn c¸c trôc t-¬ng øng th× theo ®Þnh lý h×nh chiÕu cña vÐct¬ tæng ta cã: Rx = F1x+ F2x+ F3x =  xF Ry = F1y+ F2y+ F3y =  yF Tæng qu¸t tr-êng hîp cã n lùc th×: Rx = F1x+ F2x+ ... Fnx =  xF Ry = F1y+ F2y+ ... Fny =  yF Ta cã: - TrÞ sè: R = 22 yx RR  =   22 )()( yx FF (2.1) - H-íng: cos = R Rx = F Fx (2.2) Ry Rx C O1 y 1F F1 y B A O x 2F 3F R F1 x F2 x F3 x F2 y F3 y TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 16 sin = R Ry = F Fy Nh- vËy: hÖ lùc ph¼ng ®ång quy cã hîp lùc. Hîp lùc ®ã cã trÞ sè vµ h-íng ®-îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (2.1) vµ (2.2). 1.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY. HÖ lùc ph¼ng ®ång quy c©n b»ng khi hîp lùc R = 0. Theo c«ng thøc (2.1) th×: R =   22 )()( yx FF  muèn R = 0 th×:  xiF = 0  yiF = 0 C«ng thøc (3.1) lµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc ph¼ng ®ång quy. VËy: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc ph¼ng ®ång quy c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu c¸c lùc lªn hai trôc to¹ ®é ®Òu ph¶i b»ng kh«ng. VD1: P = 25KN,  = 140. X¸c ®Þnh N, S? Gi¶i: Pist«ng c©n b»ng d-íi t¸c dông cña lùc ®· cho P , ph¶n lùc cña xilanh N lªn pist«ng vµ ph¶n lùc cña thanh truyÒn S . ViÕt ph-¬ng tr×nh c©n b»ng cho hÖ ta cã:  xF = N - S.sin = 0 (1)  yF = S.cos - P = 0 (2) tõ (2)  S = cos P = 014cos 25 = 25,8KN thay S vµo (1)  N = S.sin = 25,8.sin140 = 6,2KN VËy ¸p lùc cña pist«ng lªn thµnh xilanh cã trÞ sè 6,2KN cïng ph-¬ng, ng-îc chiÒu víi N , cßn lùc t¸c dông lªn thanh truyÒn cã trÞ sè 25,8KN, cïng ph-¬ng, ng-îc chiÒu víi S VD2. P = 80KN, rßng räc A cã b¸n kÝnh kh«ng ®¸ng kÓ. X¸c (3. 1)  A B P x y N S P  600 A B P C 300 D x y T=P SAB P SAC 300 600 A TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 17 ®Þnh ph¼n lùc cña thanh AB, AC (SAB,SAC?). Bá qua ma s¸t ë rßng räc, träng l-îng cña c¸c thanh vµ d©y. Gi¶i: XÐt sù c©n b»ng cña rßng räc A, c¸c lùc t¸c dông lªn rßng räc cã: Träng l-îng P , søc c¨ng d©y T = P (v× bá qua ma s¸t) vµ c¸c ph¶n lùc cña liªn kÕt thanh ABS , ACS cã chiÒu gi¶ ®Þnh nh- trªn h×nh vÏ. Rßng räc cã b¸n kÝnh kh«ng ®¸ng kÓ ta cã thÓ xem P ,T , ABS , ACS lµ hÖ lùc ph¼ng ®ång quy. Chän hÖ trôc xAy nh- h×nh vÏ, ta cã c¸c ph-¬ng tr×nh c©n b»ng:  xF = T.cos300 - P.cos600 - SAC = 0 (1)  yF = SAB - P.sin600 - T.sin300 = 0 (2) Tõ ph-¬ng tr×nh (1) cã: SAC = T.cos300 - P.cos600 = P(cos300 - cos600) SAC = 80( 2 3 - 2 1 ) = 29,3KN Tõ ph-¬ng tr×nh (2): SAB = P.sin600 + T.sin300 = (sin600 + sin300) SAB = ( 2 1 + 2 3 ) = 109,3KN SAB, SAC tÝnh ra lµ sè d-¬ng chøng tá chiÒu gi¶ thiÕt cña ABS , ACS lµ ®óng víi chiÒu thùc. 2. HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG. Thời gian: 4h 2.1. Khái niệm. Hệ lực phẳng song song là một trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng (có các đường tác dụng song song và nằm trong một mặt phẳng) 2.2. Thu gän hai lùc song song. Hai lùc song song cïng chiÒu. Gi¶ sö cã hai lùc song song cïng chiÒu 1F ®Æt ë A vµ 2F ®Æt ë O B F1 C R N A F2 I K Q2 Q1 R2 R’ 1 Q’ 2 Q’ 1 R1 R’ 2 M F’ 1 F’ 2 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 18 B, cÇn ph¶i chøng tá hÖ cã hîp lùc vµ x¸c ®Þnh hîp lùc Êy. T¹i A vµ B ta thªm vµo hai lùc c©n b»ng 1Q vµ 2Q . Hîp 1Q vµ 1F ®-îc 1R , hîp 2Q vµ 2F ®-îc 2R . Ta cã: ( 1F , 2F )  ( 1F , 2F , 1Q , 2Q )  ( 1R , 2R ) V× 1R , 2R lµ lùc ®ång quy cã hîp lùc nªn hÖ 1F , 2F cã hîp lùc. Tr-ît 1R vµ 2R vÒ ®iÓm ®ång quy O ®-îc 1'R vµ 2'R . Sau ®ã ph©n tÝch 1'R vµ 2'R thµnh hai lùc nh- cò, c¸c lùc 1'Q , 2'Q c©n b»ng nhau cã thÓ bá ®i, 1'F vµ 2'F cïng ph-¬ng chiÒu ®Æt ë O. 1'F + 2'F = R v× F1 = F’1 vµ F2 = F’2 nªn R = F1 + F2 Tr-ît R vÒ C trªn AB: ACO  INO  CO CA = 1 1 F Q (1) BCO  KMO  CO CB = 2 2 F Q = 2 1 F Q (2) Chia (1) cho (2): CB CA = 1 2 F F (3)  2F CA = 1F CB = 12 FF CBCA   Hay: 2F CA = 1F CB = R AB Nh- vËy: Hai lùc song song cïng chiÒu cã hîp lùc, hîp lùc ®ã song song cïng chiÒu víi c¸c lùc ®· cho, cã trÞ sè b»ng tæng trÞ sè c¸c lùc, cßn ®iÓm ®Æt chia trong ®-êng nèi ®iÓm ®Æt hai lùc thµnh hai ®o¹n th¼ng tû lÖ nghÞch víi trÞ sè cña hai lùc Êy. VD1. AB = 0,6m; P1 = 60KN; P2 = 20KN. X¸c ®Þnh AC = ? ®Ó AB n»m ngang. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 19 Gi¶i: §Ó thanh AB n»m ngang th× ®iÓm ®ì C ph¶i trïng víi ®iÓm ®Æt cña hîp lùc R cña 1P vµ 2P . R = P1 + P2 =60 + 20 = 80KN Ta cã: 2P AC = R AB  R ABP .2 = 80 6,0.20 = 0,15m VD2. LAB = 7m; P = 14KN; LAD= ? §Ó FA= 5KN. Gi¶i: Ta cã: FB = P – FA = 14 - 5 = 9KN Vµ: B AD F L = ABL P  LAD = AB B L PF .  LAD = 7 14.9 = 4,5m. Thu gän hai lùc song song ng-îc chiÒu. Gi¶ sö cã hai lùc 1F , 2F song song ng-îc chiÒu vµ kh«ng cïng trÞ sè (F1, F2). Ta cÇn chøng tá r»ng hÖ ( 1F , 2F ) cã hîp lùc vµ x¸c ®Þnh hîp lùc Êy. Ph©n tÝch 1F thµnh hai lùc song song cïng chiÒu 1'F vµ 2"F víi 1'F = - 2F Nh- vËy: ( 1F , 2F )  ( 1'F , 2"F , 2F )  1'F = R 1'F t-¬ng ®-¬ng víi hÖ lùc 1F , 2F nªn 1'F chÝnh lµ hîp lùc R cña hÖ lùc nµy. F’1 + F”1 = F1  F’1 = F1 - F” v× 1'F = R , F2 = F”1  R = F1 - F2 A P2 C B P1 R P1 P2 A C B A D B P FA FB A 1F B 2F C A B 1'F 1"F 2F C A B RF 1' TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 20 Ta cã: AB CA = 1 1" F F = R F2 , ¸p dông tÝnh chÊt cña lÖ thøc ta cã:  ABCA CA  = RF F 2 2 hay CB CA = 1 2 F F (4)  2F CA = 1F CB = 21 FF CACB   hay 2F CA = 1F CB = R AB (5) Nh- vËy: hai lùc song song ng-îc chiÒu kh«ng cïng trÞ sè cã hîp lùc. Hîp lùc song song cïng chiÒu víi lùc cã trÞ sè lín, cã trÞ sè b»ng hiÖu trÞ sè hai lùc vµ ®iÓm ®Æt chia ngoµi ®iÓm ®Æt nèi hai lùc ®· cho thµnh h... ma sát lăn. Từ thực nghiệm ta có các định luật ma sát lăn: - Ngẫu lực ma sát lăn có trị số mô men giới hạn từ 0 đến mmax 0 < m  mmax (4.1.6) - Trị số ma sát lăn lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 38 mmax = kN (4.1.7) Hệ số tỉ lệ k gọi là hệ số ma sát lăn có thứ nguyên là chiều dài và được xác định bằng thực nghiệm. Dưới đây là hệ số ma sát lăn của một vài loại vật liệu thường gặp: Vật liệu k(m) Thép thường với thép thường Thép tôi với thép tôi Gang với gang Gỗ với thép Gỗ với gỗ 0,005 0,001 0,005 0,03-0,04 0,05-0,08 Khi con lăn sắp lăn: mmax = kN = Nd hay: k = d (4.1.8) Hệ số ma sát lăn bằng cánh tay đòn của ngẫu lực ma sát lăn lớn nhất. Từ các công thức (4.1.6) và (4.1.7) suy ra điều kiện để con lăn không lăn (tự hãm) là trị số mô men ma sát lăn nhỏ hơn hoặc bằng trị số mô men ma sát lăn lớn nhất. m  kN (4.1.9) và điều kiện để con lăn không lăn và không trượt là: fNF kNm   (4.1.10) Ví dụ 4.1.1: Con lăn hình trụ đường kính d = 0,6m, trọng lượng P = 3kN lăn đều trên mặt phẳng ngang nhờ tác dụng của lực S theo hướng của tay đẩy AO (Hình 4.1.5) Cho biết AO dài 1,5m, độ cao của điểm A là h = 1,05 m. Xác định lực S , biết hệ số ma sát lăn k = 0,005 m. Bài giải TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 39 Dời lực S trên đường tác dụng của nó về O và phân tích thành hai lực thành phần Q và T . Ta có: Q = Scos, T = Ssin. Mà sin = 5,1 3,005,1 1    rh = 0,5   = 30. Con lăn chịu tác dụng của hệ hai ngẫu lực. T và P gây ra phản lực N tạo thành ngẫu lực ma sát lăn có mô men m = kN = k(T+P) = k(Ssin + P). Q và F tạo thành ngẫu lực gây nên sự lăn của con lăn có mô men là Qr. Khi lăn đều hệ hai ngẫu lực trên cân bằng, tức là: k(Ssin + P) = Qr  kSsin + kP = rScos và rScos - kSsin = kP  S(rcos - ksin) = kP. Thay số: S = 5,0.005,0886,0.3,0 005,0.3000 sincos     kr kP = 58,3N 2. TRỌNG TÂM. Thời gian: 2h 2.1. KHÁI NIỆM. Trọng tâm là khối tâm của vật rắn mà tại đó điểm đặt của hợp lực của hệ trọng lực do trái đất tác dụng lên vật rắn. 2.2. TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM HÌNH PHẲNG. 2.2.1. Khối tâm của cơ hệ: Xét một cơ hệ gồm N chất điểm  NkM k ...3,2,1 , có khối lượng Mk, véctơ định vị kr . Điểm hình học C được gọi là khối tâm cơ hệ nếu vị trí của nó được xác định theo công thức sau (hình 4.2.1):            k kk C k kk C k kk C k N k kk C m zm z m ym y m xm x m rm r ;;1 (4.2.1) Hình 4.2.1 Hình 4.2.2 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 40 2.2.2. Khối tâm của vật rắn: Xét một vật rắn và chia nó thành nhiều phần tử nhỏ Mk (số phần tử tiến đến vô tận), có khối lượng mk, véctơ định vị kr . Điểm hình học C mà vị trí của nó được xác định theo công thức:            v N k k N N k kk N C dmr M m rm r 1 lim lim 1 1 (4.2.2) Được gọi là khối tâm của vật rắn (hình 4.2.2), trong đó:     N k k N mM 1 lim là khối lượng vật rắn. Từ đó ta nhận được các công thức xác định khối tâm của vật rắn:        v N k kk N C xdm MM mx x 1 lim 1        v N k kk N C ydm MM my y 1 lim 1 (4.2.3)        v N k kk N C zdm MM mz z 1 lim 1 Trong trường hợp vật rắn nằm gần trái đất thì khối tâm trùng với trọng tâm (là điểm đặt của hợp lực của hệ trọng lực do trái đất tác dụng lên vật rắn). Nếu vật là một khối đồng chất có thể tích V và có khối lượng riêng (khối lượng của một đơn vị thể tích) là  thì M = V, dm = dV. Do đó ta có:     V C V C V C V C zdV V zydV V yxdV V x dVr v r 1 ; 1 ; 1 1 )( )( (4.2.4) Đặc biệt đối với một tấm phẳng đồng chất có tiết diện F thì: F S ydF F y F S xdF F x x F C y F C   1 ; 1 (4.2.5) trong đó:   )()( ; F y F x xdFSydFS (4.2.6) được gọi là mômen tĩnh của tiết diện F đối với trục x và y tương ứng (hình 4.2.3). Dựa vào định nghĩa có thể suy ra tiếp các định lý sau: TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 41 Định lý 4.1: Nếu vật rắn đồng nhất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì khối tâm (trọng tâm) của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng. Định lý 4.2: Nếu vật rắn gồm các phần mà khối tâm (trọng tâm) của chúng nằm trên một đường thẳng (mặt phẳng) thì khối tâm (trọng tâm) của vật cùng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng ) đó. Hình 4.2.3 Áp dụng các định lí trên ta tìm ngay được: Hình 4.2.4 Hình 4.2.5 - Khối tâm (trọng tâm) của một thanh thẳng đồng chất tại điểm giữa của thanh. - Khối tâm (trọng tâm) của tam giác đồng chất là giao điểm của các trung tuyến (hình 4.2.4) - Khối tâm (trọng tâm) của cung tròn đồng chất AB có bán kính R và góc tại tâm 2OAB được tính theo công thức (hình 4.2.5a):  sinR xc  (4.2.7) - Nếu cung AB là nữa đường tròn 2    thì khối tâm (trọng tâm) tính theo công thức (hình 4.2.5b):  R xC 2  (4.2.8) - Khối tâm (trọng tâm) của một quạt tròn đồng chất AOB tâm O, có bán kính R và góc tại tâm 2AOB được tính theo công thức (hình 4.2.6a) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 42 Hình 4.2.6 3 sin2 R xC  (4.2.9) - Nếu quạt AOB là nữa mặt tròn ( 2    ) thì khối tâm (trọng tâm) tính theo công thức (hình 4.2.7b): 3 4R xC  (4.2.10) - Khối tâm (trọng tâm) của vật ghép, ta có định lý sau: Định lý 4.3: Nếu tấm phẳng đồng chất được ghép từ m phần, mỗi phần có diện tích Fi, có mômen tĩnh đối với các trục x, y tương ứng là Sxi, Syi thì khối tâm (trọng tâm) của nó được tính theo công thức:          m i i m i xi Cm i i m i yi C F S y F S x 1 1 1 1 ; (4.2.11) Ví dụ 4.2.2: Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm đồng chất hình chữ L có kích thứoc cho trên (hình 4.2.8). Bài giải Chia tấm hình chữ L thành hai tấm hình chữ nhật có khối tâm (trọng tâm) C1 và C2, ta có: x1 = 1cm; y1 = 5cm; x2 = 3cm; y2 = 1cm; F1 = 20cm; F2 = 4cm2. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 43 Hình 4.2.8 Theo công thức 4.2.11 ta dễ dàng tìm được: 2 111 100520 cmyFS x  2 111 20120 cmxFS y  2 222 414 cmyFS x  2 111 20120 cmxFS y  Vậy: cm FF SS x yy C 3 4 24 32 420 1220 21 21       cm FF SS yC 3,4 24 104 420 4100 21 21       Ví dụ 4.2.3: Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm tròn đồng chất tâm O, bán kính R, bị khuyết mảnh tròn tâm A, bán kính r. Biết OA = a, a + r < R (hình 4.2.9) Hình 4.2.9 Bài giải Xem tấm bị khuyết là kết quả của việc ghép tấm tròn nguyên có khối tâm (trọng tâm) tại O (0, 0), diện tích 21 RF  với mảnh tròn có khối tâm (trọng tâm) là A (0, 0) với diện tích âm 22 RF  . TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 44 Do tấm có trục Ox đối xứng nên khối tâm (trọng tâm) nằm trên trục này (yc = 0) còn: 22 2 22 22 21 2211 21 21 0 rR ar rR arR FF yFyF FF SS x yy C             Dấu "-" chứng tỏ C nằm bên trái tâm O. 3. CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH. Thời gian: 2h 3.1. KHÁI NIỆM CHUNG. Vật rắn có ba trạng thái cân bằng: cân bằng ổn định, cân bằng không ổn định và cân bằng phiếm định. 3.1.1. Cân bằng ổn định. Hình 4.3.1 Hình 4.3.2 Hình 4.3.3 Chẳng hạn vật có trọng tâm thấp hơn tâm quay O (Hình 4.3.1). Ở vị trí ban đầu trọng lượng P và phản lực R cân bằng. Nếu nghiêng vật, xuất hiện ngẫu lực ( R , P ) có khuynh hướng quay vật trở về vị trí ban đầu, vật ở trạng thái cân bằng ổn đinh. Điều kiện để vật cân bằng ổn định là trọng tâm của vật phải thấp hơn tâm quay. 3.1.2. Cân bằng không ổn định. Chẳng hạn vật có trọng tâm ở trên tay quay, nếu vật lệch không nhiều so với vị trí cân bằng thì xuất hiện ngẫu lực ( P , R ) có khuynh hướng quay vật xa vị trí ban đầu, vật ở trạng thái cân bằng không ổn định. (Hình 4.3.2). Cân bằng không ổn định xảy ra khi trọng tâm của vật ở trên tâm quay. 3.1.3. Cân bằng phiếm định. Chẳng hạn vật có trọng tâm trùng với tâm quay, trọng tâm của vật vẫn giữ nguyên, vật rắn được cân bằng ở mọi vị trí. (Hình 4.3.3) Vật ở trạng thái cân bằng phiếm định. 3.2. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH CỦA VẬT TỰA TRÊN MẶT PHẲNG NGANG. HỆ SỐ ỔN ĐỊNH. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 45 Giả sử vật tựa trên mặt phẳng ngang, dưới tác dụng của lực ngang Q , vật có khuynh hướng lật quanh điểm A (Hình 4.3.4). Gọi mô men của các lực đối với điểm A có khuynh hướng làm cho vật lật là mô men lật, ký hiệu Mlật . Ở ví dụ đang xét Mlật = Q.h. Gọi mô men của các lực đối với điểm A có khuynh hướng giữ cho vật ổn định gọi là mô men ổn, ký hiệu Mổn . Ở ví dụ đang xét Mồn = Pa. Hình 4.3.4 Hình 4.3.5 Khi Mồn = Mlật thì vật ở trạng thái cân bằng giới hạn. Muốn làm cho vật cân bằng ổn định thì: Mồn > Mlật Hay: k = Mồn/ Mlật > 1 K gọi là hệ số ổn định về lật, k > 1 Hệ số ổn định về lật k được quy định trong các quy phạm thiết kế, thường lấy k = 1,5 - 2 Ví dụ 4.3.4: Cần trục tháp thẳng đứng chạy trên hai bánh xe A và B và dàn nằm ngang CD với đối trọng C. Biết trọng lượng của tháp là P1 = 20 kN đặt ở C1 của dàn kể cả đối trọng là: P2 = 10 kN, đặt ở C2. Tìm trọng lượng lớn nhất Q mà cần trục mang được, biết hệ số ổn định k = 1,5. Các kích thước cho trên hình 4.3.5. Bài giải Khi nâng một vật cần trục có khả năng bị lật quanh B. Ta có: Mồn = P1 x 0,5 + P2 x 1,5 = 20 x 0,5 + 10 x 1,5 = 25 kNm Mlật = Q . 1,5 k = Mồn / Mlật = 1,5 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 46 hay 1,5 Mlật = Mồn 1,5 . Q . 1,5 = 25 Q = 5,1.5,1 25 = 11 Kn BÀI TẬP Thời gian: 1 h TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VẬT RẮN CÂN BẰNG DƯỚI TÁC DỤNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG 1. Bài toán tìm phản lực liên kết. Mô hình của bài toán là cho vật rắn cân bằng ở một vị trí xác định, biết các tải trọng, tìm các phản lực liên kết tác dụng lên vật rắn đó. Bài giải gồm trình tự các bước sau: a. Chọn vật cân bằng vật chịu tác dụng của các tải trọng và các phản lực cần tìm. b. Đặt lực. Trước hết đặt đầy đủ các tải trọng, sau đó đặt các phản lực ở các liên kết. Phải nắm chắc đặc điểm của các liên kết để xác định phương chiều của các phản lực. Cuối cùng là giải phóng các liên kết, vật khảo sát được coi là vật tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực. c. Lập phương trình cân bằng và giải bài toán. Ở đây chỉ nêu phương pháp hình chiếu vì thường dùng hơn cả. - Chọn hệ trục tọa độ thích hợp sao cho bài toán được giải đơn giản nhất (các trục song song hoặc vuông góc với nhiÒu lực nhất của hệ). - Lập hệ phương trình cân bằng. Với hệ lực phẳng bất kỳ có ba dạng phương trình cân bằng nhưng thường áp dụng dạng 1 và dạng 2. Hệ lực phẳng song song có 2 dạng phương trình cân bằng giải theo dạng 1 thường nhanh chóng hơn. Hệ lực phẳng đồng qui chỉ có một dạng phương trình cân bằng. - Giải các phương trình cân bằng, tìm ra kết quả của bài toán. - Nhận định kết quả: Khi đã tìm được kết quả cần thử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp không, trường hợp giải ra lực có trị số âm cần đổi chiều ngược lại. 2. Bài toán tìm điều kiện cân bằng. Mô hình của bài toán là cho một vật rắn chịu tác dụng của một hệ lực phẳng, phải tìm vị trí cân bằng của vật hoặc phải tìm điều kiện ràng buộc các lực để đặt vật cân bằng ở một vị trí nào đó. Phương pháp giải cũng như bài toán tìm các phản lực liên kết, nghĩa là cũng khảo sát vị trí cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các tải trọng và các phản lực, do đó ta TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 47 nhận được một hệ lực phẳng cân bằng, viết phương trình cân bằng và giải quyết bài toán đề ra. Điều chú ý ở đây là chọn phương trình cân bằng sao cho tránh được các phản lực, lập được phương trình cân bằng cho phép tìm ngay ra điều kiện cân bằng. Ngoài bài toán tìm điều kiện cân bằng tổng quát, còn hai loại bài toán thường gặp là bài toán cân bằng đòn và bài toán cân bằng vật lật. Chương 5: HỆ LỰC KHÔNG GIAN 1. CHIẾU MỘT LỰC LÊN 3 TRỤC - MÔMEN CỦA MỘT LỰC ĐỐI VỚI MỘT TRỤC: Thời gian: 2h 1.1. CHIẾU MỘT LỰC LÊN 3 TRỤC TỌA ĐỘ. Gi¶ sö lùc F lµm víi c¸c trôc Ox, Oy, Oz nh÷ng gãc nhän lµ , , . CÇn x¸c ®Þnh c¸c h×nh chiÕu X, Y, Z cña F lªn c¸c trôc Êy. Trªn h×nh vÏ ta thÊy c¸c h×nh chiÕu X, Y, Z cã trÞ sè lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña h×nh hép cã F lµ ®-êng chÐo. XÐt vu«ng OBA cã: OB = Y = F.cos vu«ng OAD cã: OD = X = F.cos  y x   z O X D B E Z Y F A TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 48 vu«ng OAE cã: OE = Z = F.cos Hình 5.1.1 Nh-ng h×nh chiÕu cã thÓ cã dÊu ©m hay d-¬ng nªn ta cã: X = Fcos X = Fcos (5.1) Z = Fcos Trong ®ã: - H×nh chiÕu cã dÊu (+) hay (-) nÕu ®i tõ ®iÓm chiÕu gèc ®Õn ®iÓm chiÕu ngän cña lùc nÕu cïng chiÒu hay ng-îc chiÒu víi trôc täa ®é. - , ,  :lµ gãc nhän hîp bëi ®-êng t¸c dông cña lùc víi c¸c trôc täa ®é Ox, Oy, Oz. Trong thùc tÕ nhiÒu khi ®Ó x¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña lùc F lªn ba trôc ®Çu tiªn chiÕu lªn trôc Oz vµ mÆt ph¼ng xOy: OE = Z = F.cos F’ = F.cos Sau ®ã chiÕu vÐct¬ 'F lªn hai trôc Ox vµ Oy: OD = F’cos = F.cos.cos OB = F’.sin = F.cos.sin Tõ ®ã ta cã c«ng thøc x¸c ®Þnh h×nh chiÕu X, Y, Z nh- sau: X =  F.cos.cos Y =  F.cos.sin (5.2) Z =  F.cos Trong ®ã: Hình 5.1.2 - : gãc nhän hîp bëi ®-êng t¸c dông lùc F vµ mÆt ph¼ng xOy. - : gãc nhän hîp bëi h×nh chiÕu cña lùc F lªn mÆt ph¼ng xOy ( 'F ) víi trôc Ox. - : gãc nhän hîp bëi ®-êng t¸c dông cña lùc F vµ trôc Oz,  = 900 -  y x  z O X D B E Z Y F A 'F   TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 49 - DÊu () lÊy nh- trªn. * C¸c tr-êng hîp ®Æc biÖt: - NÕu lùc song song víi trôc nµo th× ®é lín cña h×nh chiÕu lùc lªn trôc ®ã b»ng trÞ sè cña lùc, cßn h×nh chiÕu lªn trôc kia b»ng kh«ng. VD: Nh- h×nh vÏ a ta cã: F1  Oz  Z1 = -F1, X1 = 0, Y1 = 0 F2  Oy  X2 = 0, Y2 = F2, Z2 = 0 - NÕu lùc n»m trªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc nµo th× h×nh chiÕu cña lùc lªn trôc ®ã b»ng kh«ng. VD: Nh- h×nh vÏ b ta cã: Z1 = 0, Y2 = 0 Hình 5.1.3 1.2. MÔ MEN CỦA 1 LỰC ĐỐI VỚI MỘT TRỤC. Cho lùc F vµ mét trôc nµo ®ã, dùng mÆt ph¼ng (P) bÊt kú vu«ng gãc víi trôc z vµ c¾t trôc t¹i O. Gäi 'F lµ h×nh chiÕu cña F lªn mÆt ph¼ng (P), ta cã ®Þnh nghÜa: M«men cña lùc F ®èi víi trôc z lµ m«men cña h×nh chiÕu lùc lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc ®èi víi giao ®iÓm cña trôc vµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc ®ã. aFFm z '.)(  (5.3) Trong ®ã: Hình 5.1.4 - )(Fm z : lµ ký hiÖu m«men cña lùc F ®èi víi trôc z. (b) 1F y 2F x z O Z1 1F y Y2 2F x z O (a) P O z a 'F F TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 50 - F’: lµ trÞ sè h×nh chiÕu cña lùc F lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc z - a: kháang c¸ch tõ O ®Õn F’ - )(Fm z cã dÊu (+) khi nh×n tõ chiÒu d-¬ng trôc z thÊy lùc cã khuynh h-íng lµm vËt quay ng-îc chiÒu kim ®ång hå, )(Fm z cã dÊu (-) trong tr-êng hîp ng-îc l¹i. Nh- vËy: m«men cña lùc ®èi víi mét trôc lµ ®¹i l-îng ®Æc tr-ng cho t¸c dông quay quanh trôc do lùc ®ã g©y ra. 1.2.1. C¸ch tÝnh m«men cña mét lùc ®èi víi mét trôc. Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra c¸ch tÝnh m«men cña mét lùc ®èi víi mét trôc nh- sau: - X¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña lùc lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc (thuËn lîi nhÊt lµ lÊy mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc chøa ®iÓm ®Æt lùc). - Tõ giao ®iÓm cña trôc víi mÆt ph¼ng vu«ng gãc h¹ ®-êng vu«ng gãc víi h×nh chiÕu lùc ®Ó x¸c ®Þnh c¸nh tay ®ßn a. - TÝnh m«men theo c«ng thøc (5.3) 1.2.2. C¸c tr-êng hîp ®Æc biÖt - Khi lùc F song song víi trôc z th×: 0)( Fm z v× F’ = 0 - Khi lùc F cã ®-êng t¸c dông c¾t trôc z th×: 0)( Fm z v× a = 0 - Khi lùc F n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc z th×: aFFm z .)(  1.2.3. §Þnh lý Varih«ng NÕu mét hÖ lùc kh«ng gian cã hîp lùc th× m«men cña hîp lùc Êy ®èi víi mét trôc b»ng tæng m«men cña c¸c lùc thµnh phÇn ®èi víi cïng trôc ®ã.    n i izz RmRm 1 )()( (5.4) 2. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA MỘT HỆ LỰC KHÔNG GIAN: Thời gian: 3h 2.1. HỆ LỰC KHÔNG GIAN BẤT KỲ. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 51 HÖ lùc kh«ng gian bÊt kú khi t¸c dông lªn vËt r¾n cã thÓ lµm vËt di chuyÓn theo ba trôc vµ quay quanh ba trôc. S¸u chuyÓn ®éng ®éc lËp ®ã ®-îc gäi lµ s¸u bËc tù do cña vËt r¾n trong kh«ng gian. VËt r¾n c©n b»ng khi c¸c chuyÓn ®éng ®ã kh«ng cã hoÆc ®Òu, muèn vËy ph¶i cã s¸u ph-¬ng tr×nh: 0 X 0Y 0Z (5.5) 0)( Fmx 0)( Fmy 0)( Fmz Nh- vËy: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian bÊt kú c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu cña c¸c lùc lªn c¸c trôc vµ m«men cña c¸c lùc ®èi víi c¸c trôc ®Òu ph¶i b»ng kh«ng. 2.2. HỆ LỰC KHÔNG GIAN SONG SONG. HÖ lùc kh«ng gian song song lµ tr-êng hîp ®Æc biÖt cña hÖ lùc kh«ng gian bÊt kú nªn cã thÓ suy ra ®iÒu kiÖn c©n b»ng cho hÖ lùc kh«ng gian song song tõ hÖ ph-¬ng tr×nh c©n b»ng (4.5) cña hÖ lùc kh«ng gian bÊt kú. Gi¶ sö cã hÖ lùc kh«ng gian song song ( 1F , 2F ,..., nF ). Chän hÖ trôc täa ®é Oz song song víi c¸c lùc th× ta cã: 0 X 0Y 0)(  Fmz Hình 5.1.5 Do vËy tõ ®iÒu kiÖn (5.5) ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian song song nh- sau: 0Z 0)( Fmx (5.6) 0)( Fmy Nh- vËy ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian song song c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu cña c¸c lùc lªn y x z O 1F ... 2F nF TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 52 c¸c trôc song song víi c¸c lùc vµ tæng m«men cña c¸c lùc ®èi víi c¸c trôc cßn l¹i ®Òu ph¶i b»ng kh«ng. 2.3. HỆ LỰC KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY. Gi¶ sö cã hÖ lùc kh«ng gian ®ång quy ( 1F , 2F ,..., nF ). Chä hÖ trôc täa ®é cã gèc trïng víi ®iÓm ®ång quy cña c¸c lùc, khi ®ã ta lu«n cã: 0)( Fmx 0)( Fmy 0)( Fmz Do ®ã ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian ®ång quy: 0 X 0Y (5.7) 0Z VËy ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian ®ång quy c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu cña c¸c lùc lªn c¸c trôc täa ®é ®Òu ph¶i b»ng kh«ng. Ví dụ 5.2.1: Một trục kéo AB có đường trục nằm ngang và được đỡ trên hai ổ trục (bản lề trụ) A và B. Hai nhánh đai của puli có đường kính D = 0,6m, chịu các lực căng T1 = 5kN, T2 = 2kN. Vật được kéo có trọng lượng P = 5kN và tang tời có đường kính d = 0,3 m. Trục tời chịu tác dụng ngẫu lực cản có mômen M. Xác định ngẫu lực cản M cần thiết để ngẫu lực cân bằng và các phản lực tại các gối trục A và B. Bỏ qua ma sát. Các kích thước được cho trên hình 5.2.1. Bài giải Trục kéo được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực: 0),,,,,,,( 21 BABA ZZXXTTMP  Chọn hệ trục toạ độ như trên hình 5.2.1, các phương trình cân bằng của hệ lực có dạng: TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 53       0X433 0 222 04 0 0 B21 21 21           aaTaTFm M d P D T D TFm aZaPFm ZZPF XXTTF z y Bx BAz BAx Thay các giá trị bằng số vào hệ phương trình trên và giải chúng, ta nhận được : xA = -1,75kN; ZA = 3,75kN; XB = -5,25kN. ZB = 1,25kN; M = 0,15kN. Hình 5.2.6 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 54 Hình 5.2.7 Ví dụ 5.2.2: TÊm ch÷ nhËt träng l-îng P ®-îc gi÷ n»m ngang nhê liªn kÕt cÇu A, b¶n lÒ B vµ thanh CE t¹o víi ph-¬ng th¼ng ®øng mét gãc 300. T×m ph¶n lùc t¹i A,B vµ øng lùc trong thanh CE (h×nh vÏ 5.2.7) 1, Chän vËt kh¶o s¸t vµ ®Æt lùc ho¹t ®éng vµ lùc liªn kÕt: - XÐt tÊm ABCD: T¹i A cã liªn kÕt cÇu, t¹i B liªn kÕt b¶n lÒ, t¹i C cã lªn kÕt thanh. - HÖ lùc c©n b»ng: oSZXZYXP BBAAA   ),,,,,,( 2, HÖ ph-¬ng tr×nh c©n b»ng:                            n i Bz n i y n i Bx BAz Ay BAx SbXbm SaPam SbZbPbm PSZZR YR SXXR 1 0 __ 1 0 __ 1 0 __ 0 0 060cos..2.2 060cos..32. 060sin.2.2. 060sin 0 060cos Gi¶i ra ta ®-îc: 0; 6 3 ; 2 ;0;0; 3 3  BBAAA Z P X P ZYX P S Ví dụ 5.2.3: TÊm ph¼ng ®ång chÊt h×nh ch÷ nhËt, träng l-îng 200N, l¾p vµo t-êng nhê gèi cÇu A vµ b¶n lÒ B vµ ®-îc gi÷ c©n b»ng ë vÞ trÝ n»m ngang nhê d©y CE nghiªng 60o so víi ®-êng th¼ng ®øng AE. BiÕt ®-êng chÐo AC nghiªng 45o víi c¹nh AD, T×m ph¶n lùc ë A,B vµ søc c¨ng d©y CE ( Hình 5.2.8 ) 45 o o 60 A B C D z y x XA ZA YA ZB XB TCE P TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 55 Hình 5.2.8 1. Kh¶o s¸t c©n b»ng tÊm ph¼ng d-íi t¸c dông c¸c lùc: - Lùc cho: P =200 N; - Ph¶n lùc liªn kÕt: T¹i gèi cÇu A: AAA ZYX  ;; T¹i b¶n lÒ B: BB ZX  ; T¹i d©y CE:  EFT HÖ lùc t¸c dông vµo hÖ gåm: 0);;;;;;(   CEBBAAA TZXZYXP 2. Ph-¬ng tr×nh c©n b»ng: Rx = XA + XB - TCE cos300 cos450 = 0 Ry = YA – TCE .cos300 cos450 = 0 Rz = ZA + ZB + TCE cos600 – P = 0 ΣmOX = ZB .AB + TCE cos600 .CD – P.AB/2 = 0 ΣmOY = - TCE cos600 .BC + P.BC/2 = 0 ΣmOZ = - XB .AB = 0 + Gi¶i hÖ ta ®-îc: TCE = 200N; XA = 86,6N; YA = 150N; ZA = 100N; XB = 0; ZB = 0; Ví dụ 5.2.4: Trôc AB n»m ngang trªn hai æ ®ì A vµ B (b¶n lÒ), mang ®Üa C vµ thanh DE (®Òu cã träng l-îng kh«ng ®¸ng kÓ). Trôc c©n b»ng d-íi t¸c dông cña hai vËt nÆng : Q = 250 N treo ë ®Çu d©y quÊn quanh vµnh ®Üa vµ P = 1 KN g¾n vµo ®Çu E. BiÕt DE nghiªng 30o so víi ®-êng th¼ng ®øng, b¸n kÝnh ®Üa b»ng 20 cm, c¸c kÝch th-íc kh¸c ghi nh- h×nh vÏ. T×m chiÒu dµi DE vµ ph¶n lùc c¸c æ ®ì. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 56 Hình 5.2.9 1. Kh¶o s¸t c©n b»ng cña trôc AB d-íi t¸c dông c¸c lùc: - Lùc cho: P =1K N; Q = 250N - Ph¶n lùc liªn kÕt: T¹i æ ®ì A: AA ZX  ; T¹i æ ®ì B: BB ZX  ; HÖ lùc t¸c dông vµo hÖ gåm: 0);;;;;(   BBAA ZXZXQP 2. Ph-¬ng tr×nh c©n b»ng: (1®) Rx = XA + XB = 0 (1) Rz = ZA + ZB – P - Q = 0 (2) ΣmOX = ZB .AB - Q .CA – P.DA = 0 (3) ΣmOZ = - XB .AB = 0 (4) Ph-¬ng tr×nh c©n b»ng ®èi víi trôc quay OY: ΣmOY = - Q .20 – P.DE.sin300 = 0 (5) + Gi¶i hÖ ta ®-îc: (1®) XA = XB = 0; ZA = 300N; ZB = 950N; DE = 10cm Chương 6: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN D C A B o 30 20cm 70cm 30cm yz x Q P E ZA XA ZB XB TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 57 1. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM. Thời gian: 3h 1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VÀ CÁC TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC. 1.1.1. Những khái niệm mở đầu. a. Chất điểm: Là mô hình đơn giản nhất của vật thể khi kích thước của nó có thể bỏ qua được do quá nhỏ so với các vật thể khác (như kích thước của viên đạn so với quả đất khi xét chuyển động của viên đạn so với quả đất) hoặc không đóng vai trò quan trọng trong chuyển động được khảo sát (như chuyển động của vật rắn tịnh tiến). Trong chuyển động nhất điểm có thể ở trạng thái tự do (được gọi là chất điểm tự do) hoặc không tự do (được gọi là chất điểm không tự do). Chất điểm tự do là chất điểm mà tại thời điểm khảo sát các di chuyển (vô cùng bé) của nó từ vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào cũng không bị cản trở. Chất điểm không tự do còn được gọi là chất điểm đang xét các di chuyển (vô cùng bé) của nó từ vị trí đang xét bị cản trở ít nhất theo một phưpơng trình nào đó. Đối với chất điểm không tự do tồn tại các điều kiện ràng buộc về vị trí, vận tốc đối với chuyển động của chất điểm tự do (định luật thay thế liên kết chương 1) nhờ giải phóng liên kết và thêm những phản lực liên kết (hình 6.1.1b). Hình 6.1.1 Chất điểm không tự do có thể được thay thế bằng chất điểm tự do nhờ giải phóng liên kết và thêm những phản lực liên kết (hình 6.1.1b). b. Cơ hệ: Là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm, trong đó chuyển động của một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển động của các chất điểm còn lại, tức chuyển động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Có cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. Cơ hệ tự do gồm chỉ các chất điểm tự do. Cơ hệ không tự do gồm các chất điểm không tự do, ví dụ các cơ cấu máy, các vật rắn tuyệt đối ... Cơ hệ không tự do có thể được khảo sát như cơ hệ tự do nhờ định luật thay thế liên kết. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 58 c. Lực. Khái niệm lực đã được đĩnh nghĩa trong tĩnh học. Tuy nhiên trong tĩnh học chỉ đề cập đến lực bằng cả phương, chiều và trị số. Trong động lực học, lực nói chung là đại lượng biến đổi theo thời gian cả về độ lớn và hướng: F = F(t,r,v) d. Hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó định luật quán tính được nghiệm đúng. Trong kỹ thuật hệ quy chiếu gắn liền với trái đất được xem là hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu quán tính gần đúng). 1.1.2. Các tiên đề động lực học. a. Tiên đề 1. Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ chuyển động thẳng đều. Trạng thái đứng yê...n xe). Do định luật tác dụng và phản tác dụng ta có: F = - F = ma = Fqt Vậy lực quán tính của xe không phải là lực tác dụng lên xe mà lực từ xe tác dụng lên tay đẩy (Hình 6.1.7) Hình 6.1.7 Hình 6.1.8 TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 65 Ta khảo sát một ví dụ khác: một chất điểm có khối lượng m buộc vào đầu một sợi dây, nó quay điều với vận tốc 0. Gia tốc chất điểm là gia tốc hướng tâm. Lực quán tính của chất điểm là lực ly tâm. Lực này không đặt lên chất điểm mà chính là lực chất điểm tác dụng lên dây và nhờ nó mà dây luôn luôn căng. Lực tác dụng lên chất điểm. Ngoài trọng lực có lực do dây tác dụng lên chất điểm (phản lực của dây có tác dụng lên chất điểm). Lực này hướng về tâm (lực hướng tâm) ngược chiều với lực quán tính (Hình 6.1.8) 1.3.2. Nguyên lý Đalămbe. a. Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm: Tại mỗi thời điểm lực quán tính của chất điểm cân bằng với lực tác dụng lên chất điểm. qtF = ± F = 0 (6.1.3) Để khẳng định sự đúng đắn của nguyên lý ta dựa vào định luật của Niutơn. Thực vậy theo định luật 2 Niutơn ta có (Hình 6.1.9): ma = F từ đó: F + (- ma ) = 0 → F + qtF = 0 Hình 6.1.9 Chú thích: 1. Nguyên lý chỉ khẳng định sự cân bằng về lực (hai lực cùng phương, ngược chiều và cùng cường độ) chứ không phải sự cân bằng của chất điểm. 2. Trong trường hợp của chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất điểm là hợp lực của lực hoạt động và lực liên kết. 3. Trạng thái cân bằng về lực được thiết lập ở một thời điểm. Do đó có thể thiết lập điều kiện cân bằng (các phương trình cân bằng) đối với hệ trục động bất kỳ. Ví dụ 6.1.5: Một quả cầu nhỏ trọng lượng P được treo vào toa xe chuyển động thẳng với gia tốc a. Dây treo quả cầu bị lệch một góc α = const so với đường thẳng đứng. Xác định gia tốc a của toa xe (Hình 6.1.10). TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 66 Hình 6.1.10 Bài giải Xem quả cầu như một chất điểm chịu tác dụng của trọng lực và phản lực dây T do dây tác dụng lên quả cầu. Lực quán tính của chất điểm do gia tốc của chất điểm (tức gia tốc của xe) sẽ bằng: qtF = - ma = - g p a Còn lực thật tác dụng lên quả cầu là hợp lực của trọng lực P và phản lực dây. Theo nguyên lý Đalămbe ta có: P + T + qtF = 0 Chiếu hai vế của đẳng thức này lên phương ∆ thẳng góc dây. Ta nhận được: qtF cosα - P sinα = 0 → g p acosα - P sinα = 0 2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN. Thời gian: 2h 2.1. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN TỊNH TIẾN. 2.1.1. Định nghĩa. Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến khi một đoạn thẳng bất kì thuộc vật giữ phương không đổi trong quá trình chuyển động. Ví dụ 6.2.1: Chuyển động của một thùng xe trên đoạn đường thẳng (hình 6.2.1), chuyển động của thanh truyền AB trong cơ cấu hình bình hành (hình 6.2.2), chuyển động của tay biên AB của tàu hoả (hình 6.2.3). Hình 6.2.1 Hình 6.2.2 Hình 6.2.3 2.1.2. Định lý 6.1: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, các điểm thuộc vật vẽ nên những quỹ đạo đồng nhất (có thể đặt trùng khít lên nhau), tại mỗi thời điểm các điểm thuộc vật có vận tốc bằng nhau và gia tốc bằng nhau. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 67 Chứng minh: Lấy hai điểm bất kì A, B thuộc vật. Các véctơ định vị của chúng liên hệ thức sau: ABrr AB  Hình 6.2.4 Trong đó: AB là véctơ hằng: có modun không đổi (do tính chất vật rắn tuyện đối) và phương, chiều không đổi (do vật rắn chuyển động tịnh tiến). Do đó vị trí của điểm B có được bằng cách trượt điểm A trên giá của véctơ AB với véctơ bằng AB . Trong phép trượt này quỹ đạo điểm A sẽ đến trùng với quỹ đạo điểm B, tức quỹ đạo điểm A có thể đặt trùng lên quỹ đạo điểm B (hình 6.2.4) Do AB là véctơ hằng nên: 0 dt ABd Vậy: AB AB vv dt rd dt rd  AB AB aa td rd td rd  2 2 2 2 Như vậy về mặt động học vật rắn chuyển động tịnh tiến được thay thế bằng một chất điểm. 2.2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH. 2.2.1. Định nghĩa. Chuyển động của vật rắn có hai điểm luôn luôn cố định được gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định. Đường thẳng qua hai điểm cố định được gọi là trục quay (hình 6.2.5) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 68 Hình 6.2.5 Khi một vật quay quanh một trục cố định, mỗi điểm thuộc vật chuyển động trên một đường tròn có tâm nằm trên trục quay, có bán kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay (bán kính quay của điểm). Để khảo sát chuyển động của vật chỉ cần khảo sát chuyển động của một tiết diện phẳng bất kì vuông góc với trục quay. 2.2.2. Khảo sát chuyển động của vật. a. Phương trình chuyển động: Góc định vị  của tiết diện phẳng là góc giữa trục cố định Ix với bán kính quay IM của tiết diện phẳng:  t  (6.2.1) được gọi là phương trình chuyển động của vật quay. b. Vận tốc góc của vật, kí hiệu  : )( . t dt d     (6.2.2) Dấu của  biểu diễn chiều quay:  > 0 - vật quay theo chiều dương  < 0 - vật quay theo chiều âm. - Giá trị của vận tốc góc   biểu diễn tốc độ quay của vật, được tính bằng rad/s (hoặc 1/s): )/( 30 srad n   (6.2.3) trong đó: n là số vòng quay trong một phút của vật. c. Gia tốc góc của vật: , kí hiệu  :     dt d (rad/s2 hoặc 1/s2) (6.2.4) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 69 d. Dấu hiệu chuyển động quay nhanh dần, chậm dần: chuyển động quay được gọi nhanh dần (chậm dần) nếu  tăng theo thời gian (giảm theo thời gian). Do đó dấu hiệu của chuyển động nhanh dần, chậm dần sẽ là:       0 0   (6.2.5) Dấu ">" ứng với chuyển động nhanh dần, còn dấu : "<" ứng với chuyển động chậm dần. e. Các chuyển động quay đặc biệt (chọn chiều dương thuận chiều quay) * Chuyển động quay đều: 0)(;0; 000   ttconst (6.2.6) trong đó:  00 t  . * Chuyển động quay biến đổi đều: 000 2 000000 )()( 2 1 ;)(;   ttttttconst (6.2.7) trong đó:  0000 );( tt   . Dấu "+" ứng với chuyển động nhanh dần đều, còn dấu "-" ứng với chuyển động chậm dần đều. 2.2.3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật. Khảo sát một điểm M có bán kính quay R (R = IM). a. Phương trình chuyển động của điểm M dọc theo quỹ đạo: )(tRs  (6.2.8) b. Vận tốc của chất điểm M: dt OMd vM  - Phương: vuông góc với bán kính quay R. - Chiều: thuận chiều quay (thuận với  ). - Giá trị: vM = R (2.2.9) c. Gia tốc của điểm M: ntM aaa  trong đó: ta là thành phần gia tốc tiếp, còn na là gia tốc pháp. * Gia tốc tiếp ta : - Phương vuông góc với bán kính quay. - Chiều: thuận chiều v nếu vật quay nhanh dần và ngược chiều v nếu vật quay chậm dần (thuận chiều với  ). TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 70 - Giá trị: Rat  (6.2.10) * Gia tốc pháp na : - Phương: dọc bán kính quay. - Chiều: hướng về trục quay (gia tốc hướng tâm). - Giá trị: 2Ran  (6.2.11) 2.3. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN. 2.3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dạng véctơ. Như đã biết, trong hệ quy chiếu quán tính chuyển động của chất điểm tuân theo quy luật cơ bản của động lực học. Nếu gọi r là véctơ định vị của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính, ta có: ),,( . rrtFrm  (6.2.12) Phương trình (6.2.12) được gọi là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dạng véctơ. 2.3.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dạng toạ độ Đềcác. Chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc gắn vào hệ quy chiếu quán tính. Khi chiếu hai vế của đẳng thức véctơ (6.2.12) lên trục toạ độ, ta được: ),,,,,,( zyxzyxtFxm x   ),,,,,,( zyxzyxtFym y   (6.2.13) ),,,,,,( zyxzyxtFzm z   Đó là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dạng toạ độ Đề các. Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc dọc theo đường thẳng thì số phương trình giảm xuống còn tương ứng hai hoặc một. 2.4. MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI MỘT TRỤC. 2.4.1. Các định nghĩa. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 71 Hình 6.2.6 - Mômen quán tính của vật rắn đối với trục z, kí hiệu Iz, là đại lượng vô hướng được xác định theo công thức (hình 6.2.6): dmmI V kk N Z    )( 22lim  (6.2.14) trong đó: k là khoảng cách của phần tử Mk đối với trục z. - Mômen quán tính của vật rắn đối với các trục toạ độ: chúng được tính theo công thức:    )( 22 V Z dmyxI    )( 22 V y dmxzI (6.2.15)    )( 22 V x dmzyI - Mômen quán tính tích là các đại lượng sau:     V N k kkk N xy xydmmyxI 1 lim     V N k kkk N yz yzdmmzyI 1 lim (6.2.16)     V N k kkk N xz zxdmmxzI 1 lim Rõ ràng là: xzIzxzyyzyxxy IIIII  ,, (6.2.17) Trục quán tính chính: Trục x được gọi là trục quán tính chính, nếu: 0 xzxy II (6.2.18) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 72 Tương tự trục y là trục quán tính chính nếu 0 yzyx II , còn trục z là quán tính chính khi 0 zyzx II . Rõ ràng nếu hai trục là trục quán tính thì trục thứ ba cũng là trục quán tính chính. - Trục quán tính chính trung tâm: trục quán tính chính qua khối tâm được gọi là trục quán tính chính trung tâm. - Mômen quán tính của vật rắn đối với một điểm      N k V kk N dmrrmI 1 22 0 lim (6.2.19) Dễ dàng chỉ ra rằng:  zyx IIII  2 1 0 (6.2.20) - Bán kính quán tính: M I z qt  2 (6.2.21) Đại lượng M I z qt  2 được gọi là bán kính quán tính của vật rắn đối với trục z. Đơn vị của mômen quán tính kgm2 (kilôgam mét bình phương), đơn vị của bán kính quán tính là m (mét). Trong trường hợp đối với tiết diện phẳng F (hình 6.2.7) Hình 6.2.7   F xy F y F x xydFIdFxIdFyI ;; 22 (6.2.22) - Mômen quán tính độc cực I0: yx F IIdFrI   2 0 (6.2.23) Hệ trục có Ixy = 0 được gọi là hệ trục chính. Hệ trục có: Ixy = 0; Sx = Sy = 0. (6.2.24) được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 73 Tương ứng với hệ trục quán tính chính (hệ trục quán tính chính trung tâm) ta có các mômen quán tính chính (các mômen quán tính chính trung tâm). 2.4.2. Các định lý. Định lý 6.2.1: Mômen quán tính của vật rắn đối với trục  bằng tổng mômen quán tính của nó đối với trục song song với trục  qua khối tâm C của vật và tích của khối lượng vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục (hình 6.2.8): I = Ic + Md2 (6.2.25) Hình 6.2.8 Hình 6.2.9 Hình 6.2.10 Định lý 6.2.3: Nếu vật rắn đồng chất có một trục đôí xứng thì trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng là trục quán tính chính tại giao điểm của mặt phẳng đối xứng và trục (hình 6.2.9). Định lý 6.2.4: Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung tâm (hình 6.2.10) Mômen quán tính của một số đồng chất: - Thanh đồng chất có chiều dài L, khối lượng m (hình 6.2.11) 0; 3 ; 12 22  yzxc I mL II mL I (6.2.26) Hình 6.2.11 - Vành tròn đồng chất có bán kính R, khối lượng m (hình 6.2.12): TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 74 2 ; 2 2 mRIImRI zyx  (6.2.27) Hình 6.2.12 Hình 6.2.13 - Mặt tròn đồng chất, bán kính R, khối lượng m (hình 6.2.13) 4 ; 2 22 mR II mR I zyx  (6.2.28) - Tấm chữ nhật đồng chất, có các cạnh 2a, 2b, khối lượng m (hình 6.2.14): 12 ; 12 22 mb I mb I yx  (6.2.29) Hình 6.2.14 - Trụ tròn xoay đồng chất, có khối lượng m, bán kính R, chiều cao h: + Trụ rỗng (hình 6.2.15):        62 ; 2 22 hR m IImRI yxz (6.2.30) + Trụ đặc (hình 6.2.16):        34 ; 2 2 2 2 h R m II mR I yxz (6.2.31) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 75 Hình 6.2.15 Hình 6.2.16 Các kết quả trên có thể áp dụng để tính trực tiếp cho truờng hợp của tiết diện phẳng có tiết diện F, ví dụ ta có: - Vành tròn đồng chất: 22 ; 42 42 RFRIIRFRI zyx    (6.2.32) - Mặt tròn đồng chất: 4 ; 2 44 R II R I zyx   (6.2.33) - Tấm chữ nhật đồng chất: 12 ; 12 33 ba I ab I yx   (6.2.34) VÝ dô øng dông: * VÝ dô 1: ( C¬ cÊu ph¼ng) §Üa ph¼ng cã b¸n kÝnh R = 0,5m l¨n kh«ng tr-ît theo mÆt ph¼ng nghiªng. T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t t©m cña ®Üa cã vËn tèc VA = 1m/s vµ gia tèc WA = 3m/s2. T×m: - VËn tèc gãc cña ®Üa, vËn tèc c¸c ®iÓm C, D, E - Gia tèc gãc cña ®Üa, gia tèc c¸c ®iÓm B, C. BiÕt BD ┴ CE; CE song song víi mÆt ph¼ng nghiªng. Bµi gi¶i: TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 76 §Üa l¨n kh«ng tr-ît trªn mÆt ph¼ng nghiªng nªn c¸c ®iÓm thuéc ®Üa chuyÓn ®éng song ph¼ng (trõ ®iÓm A). + TÝnh ω, VC , VD , VE : T©m vËn tèc cña ®Üa trïng víi ®iÓm tiÕp xóc B. Do ®ã vËn tèc gãc cña ®Üa lµ: )/(2 5,0 1 . srad AP VA  MÆt kh¸c: EP V DP V CP V AP V EDCA . )/(2 2 .1. sm R R AP CP VV AC  )/(2 2 .1. sm R R AP DP VV AD  )/(2 2 .1. sm R R AP EP VV AE  + TÝnh gia tèc gãc cña ®Üa ε, vµ WB, WC: - Gia tèc gãc cña ®Üa: )/(6 5,0 3 . 2srad AP WA  - TÝnh WB: Chän ®iÓm A lµm cùc ta cã ph-¬ng tr×nh gia tèc:   nBABAA n BB WWWWW  (a)   BW : ph-¬ng vu«ng gãc víi AB, chiÒu gi¶ thiÕt  n BW : ph-¬ng AB, chiÒu tõ B → A   BAW : ph-¬ng vu«ng gãc víi AB, chiÒu gi¶ thiÕt, trÞ sè : )/(35,0.6. 2smBAWB     n BAW : ph-¬ng AB, chiÒu tõ B → A, trÞ sè: A WA VA B C E D P VC VD VE A WA C E D B WBA n t WBA WB t WB n TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 77 )/(25,0.2. 222 smBAW nB   Nh- vËy trong ph-¬ng tr×nh (a) cã hai Èn sè   BW vµ  n BW . ChiÕu (a) lªn ph-¬ng cña   BW ta cã: 033   BAAB WWW ChiÕu (a) lªn ph-¬ng cña  n BW ta cã: )/(2 2smWW nBA n B  Do ®ã: )/(2)()( 222 smWWWW nB n BBB   - TÝnh WC: H×nh ph¼ng quay tøc thêi quanh t©m vËn tèc nªn ta cã thÓ viÕt ph-¬ng tr×nh gia tèc ®iÓm C d-íi d¹ng sau: 22 )()( nCCC WWW   Trong ®ã:   CW - Ph-¬ng vu«ng gãc víi PC, chiÒu thuËn víi ε vµ cã trÞ sè: )/(232.5,0.6. 2smPCWC      n CW Ph-¬ng PC, h-íng tõ P→C vµ cã trÞ sè: )/(222.5,0.2. 222 smPCW nC   Do ®ã: )/(1,526)22()23()()( 22222 smWWW nCCC   Chương 7: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 1. CÔNG CỦA LỰC - CÔNG SUẤT. Thời gian: 3h 1.1. CÔNG CỦA LỰC - CÔNG SUẤT. 1.1.1. Công của lực. Công của lực là đại lượng đánh giá tác dụng của lực theo di chuyển của điểm đặt lực. Khi có lực tác dụng làm cho chất điểm di chuyển được một đoạn, nó liên hệ với một đại lượng được gọi là công của lực. C P D E A t WC n WC WC TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 78 * Công của lực không đổi và điểm đặt lực di chuyển dọc theo đường thẳng trùng với phương của lực tác dụng, ký hiệu A được tính theo công thức: FsA  (7.1.1) lấy dấu "+" khi điểm của lực di chuyển cùng chiều lực, lấy dấu "-" trong trường hợp ngược laị (hình 7.1.1 a, b) Hình 7.1.1 * Trường hợp phương của lực hợp với phương di chuyển một góc  (hình 7.1.2 a, b) ta phân lực F ra hai thành phần 1F và 2F . Thành phần 1F không gây chuyển động theo phương di chuyển 2F dọc phương di chuyển. Lực 1F không gây chuyển động theo phương của nó, nên công ứng với nó bằng không, công thành phần 2F hướng dọc phương di chuyển, công của nó được tính theo công thức (7.1.1). Vậy công của lực F bằng công của lực 2F : sFsFA cos2  (7.1.2) Hình 7.1.2 Khi 2 0    thì A > 0 và khi đó ta có công động. Khi    2 thì A < 0 và khi đó ta có công cản. Đơn vị công bằng đơn vị lực x đơn vị độ dài. Đơn vị công thường được dùng là Niutơn.mét (Nm) và các bội số của nó. Đơn vị Nm còn được gọi là jun (J). * Trường hợp khi lực có phương, chiều và giá trị thay đổi (hình 7.1.3): TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 79 Hình 7.1.3 Trong trường hợp này ta tính công của lực ứng với di chuyển bé (di chuyển vô cùng bé). Khi đó có thể xem đoạn đường di chuyển là thẳng và lực có phương, chiều và giá trị không đổi (bỏ qua sự thay đổi bé của chúng) và nhờ vậy có thể sử dụng công thức (7.1.1). Công của lực trong di chuyển vô cùng bé của điểm đặt lực được gọi là công nguyên tố, ký hiệu dA được tính theo công thức: dsFdA t Trong đó: tF là hình chiếu của lực F trên phương tiếp tuyến của quỹ đạo điểm đặt lực, còn ds là đoạn di chuyển. Dễ dàng nhận được: rdsdFFt  ;cos Trong đó:  là góc giữa lực F và phương dương tiếp tuyến (phương dương của tiếp tuyến được chọn phù hợp với phương dương của quỹ đạo của điểm đặt lực), rd là véctơ di chuyển vô cùng bé, do đó:   dzFdyFdxFrdFrdFrdFdA zyx  ,cos (7.1.3) Để tính công A của lực khi điểm đặt lực di chuyển từ vị trí M1 đến vị trí M2 ta cần chia cung M1M2 thành nhiều cung nhỏ và tính công (công nguyên tố) trong các đoạn di chuyển nhỏ cộng lại. Bằng cách ta có:   2 1 2 1 M M zy r r dzFdyFFxdxrdFA (7.1.4) 1.1.2. Công suất. Công suất của lực là công của lực ứng với một đơn vị thời gian. Ký hiệu W. * Trong trường hợp lực có phương, chiều và giá trị không đổi, điểm đặt lực di chuyển theo đường thẳng thì: 12t A W t  A là công của lực sinh ra trong khoảng thời gian (t2 - t1) ứng với điểm đặt lực di chuyển từ M1 đến M2, nó được tính theo công thức (7.1.2) hoặc công thức (7.1.3) Đơn vị của công suất là jun/giây, ký hiệu J/s, còn được gọi là oát, ký hiệu là W. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 80 * Trong trường hợp lực thay đổi theo thời gian về phương, chiều và giá trị, còn điểm đặt lực di chuyển theo đường cong thì: zFyFxFvF dt rd F zyx   dt dA W (7.1.5) Công suất của hệ lực ),...,,( 21 NFFF được tính theo công thức:     N k kkzkkykkx N k kk zFyFxFvF 11dt dA W  (7.1.6) Công A của lực có thể tính theo công thức:  WdtA (7.1.7) ở đây cận lấy tích phân được lấy ứng với vị trí của cơ hệ của vị trí đầu và vị trí cuối của cơ hệ trong di chuyển. 1.2. HIỆU SUẤT. 1.2.1. Định nghĩa hiệu suất. Trong giai đoạn chuyển động bình ổn của máy, ngoài lực phát động do động cơ phát ra còn có lực cản có ích tiêu hao vào việc thực hiện các yêu cầu của quá trình công tác và lực cản vô ích không tránh khỏi như lực ma sát trong các khớp. Gọi công của các lực đó trong một chu kỳ làm việc của máy lần lượt là công động Ad, công cản có ích i cA và công cản vô ích v cA . Theo định lý biến thiên động năng (định lý 7.1.1), ta có: T2 - T1 = Ad - i cA - v cA (7.1.8) Trong đó: T1 và T2 là trị giá động năng của máy ứng với điểm đầu và cuối của một chu kỳ làm việc của máy. Vì sau một chu kỳ làm việc máy trở lại vị trí xuất phát nên T1 = T2. Do đó từ (7.1.7), ta có: Ad - i cA - v cA = 0 Vậy: Ad = i cA - v cA (7.1.9) Như vậy toàn bộ công động do động cơ cung cấp trong một chu kỳ tiêu hao một phần vào việc thực hiện các yêu cầu của quá trình công tác và một phần để thắng công cản vô ích. Phần sau cùng là điều không mong muốn. Do đó phần công vô ích càng bé càng tốt. Vì lý do đó người ta đưa ra một chỉ số đánh giá chất lượng của máy:  = dA c i A < 1 (7.1.10)  được gọi là hiệu suất của máy. Hiệu suất càng lớn máy được đánh giá càng có chất lượng tốt. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 81 Khái niệm hiệu suất được sử dụng trong ý nghĩa rộng rãi. Đó là tỉ số giữa lượng được sử dụng có ích và lượng được cung cấp để thực hiện một công việc nào đó. Trong lĩnh vực khảo sát động lực ta có hiệu suất cơ cấu, hiệu suất của một phần tử, hiệu suất của dãy các phần tử máy. 1.2.2. Hiệu suất của các phần tử nối tiếp. Khảo sát dãy các phần tử nối tiếp: công phát ra các phần đứng trước là công nhận vào của phần tử đứng tiếp sau (hình 7.1.4). Cơ cấu bánh răng (hình 7.1.5a,b) là một ví dụ về dãy phần tử nối tiếp. Hình 7.1.4 Gọi i là hiệu suất của phần tử thứ i và  là hiệu suất của toàn dãy: i = i i A A 1 ;  = d c A A (7.1.11) Hình 7.1.5 Trong đó: Ad là công đưa vào phần tử đầu và Ac là công phát ra của phần tử cuối. Dựa vào định nghĩa nêu trên, ta có thể viết:  = 1-n n s 1s 2 3 1 2 d 1 d c A A ... A A ... A A A A A A A A  = 12n =   n 1 i i  (7.1.12) Như vậy, hiệu suất của một dãy phần tử nối tiếp bằng tích các hiệu suất của các phần tử trong dãy. 1.2.3. Hiệu suất của dãy phần tử nối song song. Dãy phần tử song song là một dãy gồm các phân tử mà mỗi phần tử đều nhận công từ một phần tử gốc không qua bất kỳ phần tử nào. Gọi i là hiệu suất của phần tử thứ i và  là hiệu suất của dãy (hình 7.1.6): TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 82 i = di ci A A ;  = d c A A (7.1.13) Vì Ad = Adi =  i ciA  , Ac = Aci Nên  = i ci ci d c A A A A     Hình 7.1.6 2. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC: Thời gian: 2h 2.1. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG. Gọi WF và Wqt lần lượt là tổng công suất của các lực tác dụng lên cơ hệ và của các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ: WF = . 1 k N k k vF  (7.2.1) Wqt =  k qt k vF = - kkk vam = - kkk v dt vd m = - dt d ( kk vm 2 2 1  ). Đại lượng 2 1 mk k v 2 được gọi là động năng của chất điểm Mk và: T = 2 1  k2k vm (7.2.2) được gọi là động năng của cơ hệ. Đơn vị của động năng là kg 2 2 s m . Vậy: Wqt = - dt dT (7.2.3) Vì hệ lực (7.2.1) cân bằng nên tổng công suất của các lực thuộc hệ triệt tiêu. Vậy: Wqt + WF = 0  dt dT = kvF (7.2.4) TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 83  Định lý 7.2.1: Đạo hàm theo thời gian động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của tất cả các lực (gồm các nội lực và ngoại lực hoặc các lực liên kết và lực hoạt động) tác dụng lên các chất điểm thuộc cơ hệ. Từ (7.2.4) ta có: dT = kvF dt = kFrF =  kdA (7.2.5)  Định lý 7.2.2: Vi phân động năng cơ hệ bằng tổng cộng nguyên tố của các lực (nội lực và ngoài lực hoặc lực hoạt động và lực liên kết) tác dụng cơ hệ. Khi tích phân hai vế của đẳng thức (7.2.5) với các cận tương ứng, ta có: T - T0 =  kA (7.2.6)  Định lý 7.2.3: Biến thiên động năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng cộng của các lực (nội lực và ngoại lực hoặc lực hoạt động và lực liên kết) sinh ra trong chuyển dời ứng với khoảng thời gian đó. Định lí động năng phản ánh sâu sắc bản chất quá trình thay đổi chuyển động của cơ hệ và nhờ nó trang thái chuyển động của cơ hệ được nghiên cứu sâu sắc. 2.2. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG. Gọi 'R =  kF +  k qtF = 0. (7.2.7) kF là hợp lực của ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm Mk. Vì véctơ chính của hệ nội lực triệt tiêu nên:  kF =  e kF +  i kF =  c kF Còn:  qt kF = -mk ka = -mk d dvk = - dt d (mk kv ). mk kv = Q được gọi là động lượng của cơ hệ, là đại lượng đặc trưng cho chuyển động cơ hệ. Vậy đẳng thức (a) có thể viết như sau:  c kF - dt Qd = 0 Từ đó ta nhận được : dt Qd =  c kF (7.2.8) Vậy ta có định lý sau:  Định lý 7.2.4: Đạo hàm động lượng của cơ hệ theo thời gian bằng tổng quát các ngoại lực (véctơ chính của hệ ngoại lực) tác dụng lên cơ hệ. Từ (7.2.8) ta có: d Q =  c kF dt Tích phân hai vế trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 ta nhận được: TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 84 2Q - 1Q =  1 2 t t e k dtF =  2 1 t t e k dtF =  e kS (7.2.9)  Định lý 7.2.5: Biến thiên của động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lực các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó. Đối với một trục Ox cố định, ta có: dt dQx =  kxeF (7.2.10) Qx(2) = Qx(2) =  2 2 t t kx e dtF =  kxeS (7.2.11) Trong đó: Chỉ số x ký hiệu hình chiếu đại lượng tương ứng trên trục x. Chú ý: 1. Nội lực không ảnh hưởng đến sự biến đổi của động lượng cơ hệ. 2. Nếu  c kF = 0, tức véctơ chính của hệ ngoại lực triệt tiêu, thì động lượng cơ hệ được bảo toàn, tức: Q = const (7.2.12) 3. Nếu  c kxF = 0, tức tổng hình chiếu các ngoại lực trên trục cố định x triệt tiêu, thì hình chiếu của động lượng trên trục x được bảo toàn, tức: Qx = const (7.2.13) Các chú ý 1 và 2 là nội dung của các định lý bảo toàn động lượng và hình chiếu động lượng trên một trục. Các định lý trên có thể được áp dụng trực tiếp đối với chất điểm. Khi xem chất điểm là cơ hệ đặc biệt gồm chỉ một chất điểm. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. C¬ häc lý thuyÕt: Chu T¹o §oan - Nhµ xuÊt b¶n GTVT, Hµ Néi 2002. 2. Gi¸o tr×nh C¬ häc: GS.TSKH §ç Sanh, GS.TS NguyÔn V¨n §×nh - GS.TSKH NguyÔn V¨n Khang - Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, Hµ Néi 2000. 3. C¬ kü thuËt: PGS.TS NguyÔn V¨n V-¬ng, TS Phan H÷u Phóc - Nhµ xuÊt b¶n GD, Hµ Néi 2001. 4. Søc bÒn vËt liÖu: TrÇn Trung DiÖm - Nhµ xuÊt b¶n §H vµ THCN, Hµ Néi 1989. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT - ĐỨC HÀ TĨNH _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Cơ lý thuyết 85