Giáo trình Cơ lưu chất - Chương 6: Thế lưu - Nguyễn Thị Bảy

theá khi: ∫ B A dsuG chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. Ta coù: BA B A B A B A )1(thoaûtoàntaïi y B A x B A d )dy y dx x (dsu)dyudxu(dsu ϕ−ϕ=ϕ= ∂ ϕ∂+∂ ϕ∂=+= ∫ ∫∫⇒∫∫ ϕ GG chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B.Roõ raøng töø chöùng minh treân, ∫ B A dsuG Vaäy: (1) A B n u un us 0dyudxu0d yx =+⇔=ϕ2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: 3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: ABAB ϕ−ϕ=Γ ∫=Γ B A sAB dsu laø löu soá vaän toác 4. Tính chaát haøm theá: Töø ptr lieân tuïc, ta coù: 0 yx 0 yyxx 0 y u x u 2 2 2 2 yx =∂ ϕ∂+∂ ϕ∂⇔=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ ∂ ∂⇔=∂ ∂+∂ ∂ ⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 2 5. Haøm doøng: Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noù thoaû ptr lieân tuïc : r u; r 1uhay x u; y u/0 y u x u ryx yx ∂ ψ∂−=θ∂ ψ∂=∂ ψ∂−=∂ ψ∂=ψ∃⇔=∂ ∂+∂ ∂ θ ψ goïi laø haøm doøng. Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy, coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá. 6. Haøm doøng trong theá phaúng: Vì laø doøng chaûy theá neân: 0 yx 0 yyxx 0 y u x u 2 2 2 2 xy =∂ ψ∂+∂ ψ∂⇔=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ψ∂ ∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ψ∂ ∂ ∂−⇔=∂ ∂−∂ ∂ Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace.7. Ñöôøng doøng vaø ptr: Töø ptr ñöôøng doøng: 0d0dxx dy y 0dxudyu yx =ψ⇔=∂ ψ∂+∂ ψ∂⇔=− x y O n nx ny dx dy ds α (-dx=ds.sinα) Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá. 8. YÙ nghóa haøm doøng: Ta coù: ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ψ−ψ=ψ=∂ ψ∂−∂ ψ∂=−= α+α=+=== B A AB B A B A yx B A yx B A yyxx B A B A nAB ddx x dy y dxudyu dssinudscosudsnudsnudsnudsuq GG Vaäy: ABABq ψ−ψ= 9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá: 0)u(u)u(u yyxx xyyx =+−=∂ ψ∂ ∂ ϕ∂+∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau. 10. Coäng theá löu: ... ... 21 21 +ψ+ψ=ψ +ϕ+ϕ=ϕ 11. Bieãu dieãn doøng theá: vôùi z = x+iy = eiα . Theá phöùc f(z): ψ+ϕ= i)z(f Nhö vaäy: dy di dx diuu dz df yx ψ+ϕ=−= Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, ta cuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau:: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 3 II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU xO y ϕ=0ϕ=1 ϕ=2 ϕ=3 ϕ=-1ϕ=-2ϕ=-3 ψ=0 ψ=1 ψ=2 ψ=3 ψ=-3 ψ=-2 ψ=-1 V0 α 1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâ cöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùc α. ux = V0cosα; uy = V0sinα dψ = uxdy - uydx ψ = V0ycosα - V0xsinα + C Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä ⇒ C=0. Vaäy: ψ = V0ycosα - V0xsinα Töông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα) = x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα) = az vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc. 2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä. (q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt). ⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O. )yxln( 4 q )rln( 2 q 1rkhi0choïn;C)rln( 2 q dr r2 q drudrudruddr r d 22 rr +π=π=ϕ⇒ ==ϕ+π=ϕ⇒ π==θ+=θθ∂ ϕ∂+∂ ϕ∂=ϕ θ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π=θπ=ψ⇒ =θ=ψ+θπ=ψ⇒ θ=θ+−=θθ∂ ψ∂+∂ ψ∂=ψ⇒ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = π θ θ x yarctg 2 q 2 q 0khi0choïn;C 2 q drudrudruddr r d 0u r2 qu rr r= Haøm doøng: Haøm theá vaän toác: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =π=π= +π=θ+π= +π=π=ϕ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π=θπ=ψ θ θ zlnazln 2 q )reln( 2 q )elnr(ln 2 q )ir(ln 2 q )z(f )yxln( 4 q )rln( 2 q x y arctg 2 q 2 q i i 22 Keát luaän: O ϕ ψ=0 ψ=(q/4) ψ=q/2 ψ=3q/ 4 Ghi chuù: Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä, ví duï ñaët taïi A(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0). PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 4 3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác ∫ ==Γ C constdsuG ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =π Γ−=π Γ−= θ+π Γ−=−θπ Γ= +π Γ−=π Γ−=ψ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π Γ=θπ Γ=ϕ ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =π Γ= = θ θ zlnazln 2 i)reln( 2 i )ir(ln 2 i)rlni( 2 )z(f )yxln( 4 )rln( 2 x yarctg 22 const r2 u 0u i 22 r O ψ ϕ=0 ϕ=Γ/4 ϕ = Γ/2 ϕ=3Γ/4 Γ>0: xoaùy döông Ghi chuù: Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà; Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0). Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåm baát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghi chuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt. 4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh: Tìm haøm doøng: ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +ε− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− π= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε−⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε+ + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε− − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε+ π= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε− −ε+π =θ−θπ=ψ+ψ=ψ 2 2 2 hnhn y 4 x 2 xy 2 xy arctg 2 q 2 x y 2 x y 1 2 x y 2 x y arctg 2 q 2 x y arctg 2 x y arctg 2 q )( 2 q Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát: 22 0 2 2 22 2 2 yx y 2 m y 4 x y 2 q y 4 x 2 xy 2 xy 2 q +π −→ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +ε− ε− π=⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +ε− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− π=ψ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 5 +q -q ψ Tìm haøm theá vaän toác: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− ε+π= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+ π= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε+π=ϕ+ϕ=ϕ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hn y 2 x x21ln 4 q y 2 x y 2 x ln 4 q y 2 xlny 2 xln 4 q Trieån khai ... 2 xx)x1ln( 2 +−=+ vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù: 0khi yx x 2 m y 2 x x2 2 q 22 0 2 2 →ε+π→ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε− ε π=ϕ Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì: z 1 2 m )sini(cosr sincos 2 m r sinicos 2 m )z(f r cos 2 m yx x 2 m r sin 2 m yx y 2 m 0 22 00 0 22 0 0 22 0 π=θ+θ θ+θ π= θ−θ π= θ π=+π=ϕ θ π −=+π −=ψ Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q) 5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå: θπ+θ=π+=ψ π+θ=+π+=ϕ 2 q sinru) x y (arctg 2 q yu rln 2 q cosru)yxln( 4 q xu 00 0 2 0 2 Ñieåm döøng A: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⇔=+π=∂ ϕ∂ π−=⇔=+π+=∂ ϕ∂ ⇔ ==⇔= ⇑ 0y0 yx y2 4 q y u2 qx0 yx x2 4 qu x 0u;0u0u A22 0 A220 yAxAA A Ñieåm döøng PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 6 6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +π+=ψ +− ++ π+=ϕ ax yarctg ax yarctg 2 qyu y)ax( y)ax(ln 4 qxu o 22 22 o Coù hai ñieåm döøng A vaø B: { ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎩⎨ ⎧ +π±=⇔=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π+⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+π+⇔= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− −−++ + π+=∂ ϕ∂ =⇔=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−++π=∂ ϕ∂ ⇔ ⎩⎨ ⎧ = =⇔= 2 0 220 0 22220 2222 y x a u aqx0 ax a4 4 qu 0 )ax( 2 )ax( 2 4 q u0ytheá 0 y)ax( )ax(2 y)ax( )ax(2 4 q u x 0y0 y)ax( y2 y)ax( y2 4 q y 0u 0u 0u Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúng ngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q). Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïc hoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn, A B u0 +q -q 2a 7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0) Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π−θ= θ π−θ=+π −+=ψ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π+θ= θ π+θ=+π+=ϕ 2 0 0 o 0 o22 0 o 2 0 0 o 0 o22 0 o ru2 m 1sinru r sin 2 m sinru yx y 2 m yu ru2 m 1cosru r cos 2 m cosru yx x 2 m xu Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 ⇔ θ = 0 vaø 0 0 u2 m r π= 0 0 u2 m R π= baèng ñöôøng troøn Do khoâng coù söï trao ñoåi löu chaát giöõa trong vaø ngoaøi ñöôøng doøng ψ=0 0 0 u2 m r π= Thay ñöôøng troøn thì baûn chaát doøng chaûy vaãn khoâng ñoåi Ta coù hình aûnh cuûa doøng chaûy bao quanh truï troøn. (truï khoâng xoay) Ñieåm döøng ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −θ=ψ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +θ=ϕ 2 2 o 2 2 o r R1sinru r R1cosru PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 7 )θsin41( 2 uρp 2 2 0 −=dötr ¾Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R: A B C D uC = -2u0 uD = 2u0 pA = pB = ρu02/2 pC = pD = -3ρu02/2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = θ−=θ∂ ϕ∂=⇒θ=ϕ⇒ =θ 0u sinu2 r 1u cosRu2 r 0 Rr0 ¾Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï: πθ0θ0uθ ==⇔= vaø ⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï. ¾Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï: 0D0C max u2u;u2u 2 3; 2 uu =−= π=θπ=θ⇔=θ ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát. ¾Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï: AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï: 2 u p 2 u p 2 tr tr 2 0 ρ+=ρ+∞ Giaû sö û p∝=pa )u θsinu41( 2 uρ) u u1( 2 uρp 2 0 22 0 2 0 2 0 2 tr 2 0 −=−=dötr Taïi A, B: 2 u pp 2 0 BA ρ== Taïi C, D: 2 u3 pp 2 0 DD ρ−== Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neân toång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0Nhaän xeùt: 7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0): Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +) rln 2r R1sinru 2r R1cosru 2 2 o 2 2 o π Γ−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −θ=ψ θπ Γ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +θ=ϕ ¾Phaân boá vaän toác treân maët truï : π Γ+θ−== θ 2R 1sinu2u;0u 0rVì r = R neân suy ra: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ →π>Γ →π=Γ →π<Γ ⇒π Γ=θ⇔π Γ=θ⇔= döøng.ñieåm.0Ru4 döøng.ñieåm.1Ru4 döøng.ñieåm.2Ru4 Ru4 sin R2 sinu20u 0 0 0 0 0 ¾Phaân boá aùp suaát treân maët truï : 2 u p 2 u p 2 tr tr 2 0 ρ+=ρ+∞ vôùi π Γθθ 2 12 0 R sinuu +−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=−= 2 0 2 0 2 0 2 tr 2 0 Ruπ2 Γ θsin21 2 uρ) u u1( 2 uρp dötrGiaû sö û p∝=pa ¾Löïc taùc duïng treân maët truï: 0 2 0 try Ud.sinRpF Γρ−=θθ−=⇒ ∫ π dö Phöông x: Fx =0 Phöông y: ---Æ Löïc naâng Jukovs Löu yù : 0d.sin 2 0 n∫π =θθ Doøng ñeàu L cöïc Xoaùy töï do PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 8 Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ>0 Γ/2πRu0=2 Γ/2πRu0=3 Γ/2πRu0=1 Fy Ñieåm döøng Ñieåm döøng Ñieåm döøng y | Γ | /2πRu0=3 Stagnation Point r Γ Fy | Γ | /2πRu0=1 Stagnation Point y r Γ | Γ | /2πRu0=2 Stagnation Point y r Γ Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ< 0 Ñieåm döøng Ñieåm döøng Ñieåm döøng PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 9 Ví duï 1: Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s. 1. Tìm a, b. 2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng rieâng loûng baèng 1300kg/m3 Giaûi: Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù: 2 y 22 x by3axy2y u;ayx12,0 x u +=∂ ϕ∂=+=∂ ϕ∂= Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân: 0by6x)a224,0(0by6ax2x24,00 y u x u yx =++⇔=++⇔=∂ ∂+∂ ∂ Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0 (x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12 Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù: ⇔−ρ=−⇔+ρ=+ρ 2 )uu()pp( 2 up 2 up 2A 2 B BA 2 BB 2 AA ⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s 2 2 AB m/KN85,52 )3(1300 p ==Δ Ví duï 2: Giaûi: )xy( 2 1)y,x( 22 −=ϕ x y Doøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toác ñöôïc cho nhö sau: (x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noái hai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2) x yu x ; u yx y ∂φ ∂φ= = − = =∂ ∂ yu y xx yx C(y) ∂ψ = − ⇒ ∂ψ = − ∂∂ ⇒ ψ = − + xu x C'(y) xy C(y) const xy const ∂ψ = ⇒ − + = −∂ ⇒ = ⇒ ψ = − + 22 2 1 1 3AB B Aq * * m / s⇒ = ψ − ψ = − + = − -5 0 5 10 15 20 25 -30 -20 -10 0 10 20 30 y(phi=70) y(phi=60) y(phi=50) y(phi=40) y(phi=30) y(phi=20) y(phi=10) y(phi=0) y(phi=-10) y(phi=-20) y(phi=-30) PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 10 AÙp suaát dö treân maët truï baèng: )θsin41(2 uρp 2 2 0 −=dötr Fy dF θ 0Rd)cos()sin41( 2 u)cos(pdsdFF 0 2 2 0 00 xx =θθθ−ρ−=θ−==⇒ ∫∫∫ πππ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θθ−θ−θρ−=θθ−θρ−=⇒ θθθ−−ρ−=θ−==⇒ ∫ ∫∫ ∫∫∫ π ππ πππ 0 0 2 2 0 0 2 2 0 y 0 2 2 0 00 yy d)sin(3))(cos(d(cos4( 2 uRd)sin()3cos4( 2 uRF Rd)sin())cos1(41( 2 u)sin(pdsdFF 3 uR5 3 43 3 43 2 uRcos 3 4cos3 2 uRF 2 0 2 0 0 3 2 0 y ρ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−ρ−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θ−θρ−=⇒ π Giaûi: Ví duï 3: Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùi V=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieâng baèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân 1m beà daøi leàu. Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieân tích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân (dFy) treân toaøn baùn truï N2320Fy =⇒ Giaûi: Ví duï 4: Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trong nöôùc vôùi vaän toác u0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. Tìm u0 ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C A B C D uC = -2u0 uD = 2u0 pA = pB = ρu02/2 pC = pD = -3ρu02/2 ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùc Ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc thì ptru tñ > pbh = 0,25m nöôùc ⇒ ptru ck - 9,75m nöôùc AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõ bieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: pC = pD = -3ρu02/2 Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïc xaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr : pC = pD = 10γn -3ρu02/2Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì : Ptru dö = 10γn -3ρu02/2 > - 9,75 γn ⇔ 3ρu02/2 < 19,75 γn ⇔ u0 < 11,365 m/s PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 11 Giaûi: Ví duï 5: Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûy ñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trí goùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaû thieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøi xi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûa maët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toång löïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2: AÙp suaát dö treân maët truï: )θsin41( 2 uρp 2 2 0 −=dötr Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maët truï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ 6 Rusin 3 4sin 2 RuRdcos)sin41( 2 uF 2 0 2/ 0 3 2 0 2/ 0 2 2 0 nx ρ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ θ−θρ−=θθθ−ρ−=⇒ ππ∫ 0 π/2 α dF dFxθ ds [ ] RpsinRpRdcospdspF 2/02/ 0 2/ 0 tx α π α π α π α =θ=θθ==⇒ ∫∫ Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: )sin41(2 up 2 2 0 α−ρ=αdö )sin41( 2 RuF 2 2 o tx α−ρ=⇒ Ta coù: Fnx + Ftx = 0 Suy ra: 3 1sin 3 1sin 3 4sin4 )sin41( 2 Ru 6 RuFF 22 2 2 o 2 o txnx =α⇒ =α⇒=α⇒ α−ρ−=ρ⇒−= 026,35=α Nhaän xeùt: Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theo chieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng 0 π/2 α FnxFtx PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 12 Ví dụ 6 (tự giải) Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ở xa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh. Tính áp suất tại điểm A(3,4) ĐS: pckA=0,512 N/m2 HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A Ví dụ 7 (tự giải) Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ 2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng B ĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất. HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu) Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ. Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng Ví dụ 8 (tự giải) Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 . ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2 HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0