Giáo trình Cơ lưu chất - Chương 3: Đông học - Nguyễn Thị Bảy

⎧ = = = ⇔= dt dzu dt dyu dt dxu dt rdu z y x GG ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔== 2 2 z 2 2 y 2 2 x 2 2 dt zda dt yda dt xda dt rd dt uda GGG ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ⇔= )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu zz yy xxGG Caùc ñöôøng doøng taïi thôøi ñieåm t (x,y,z) ¾Phöông trình ñöôøng doøng: zyx u dz u dy u dx == (L. Euler, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Thuïy Só, 1707-1783) 2. Phöông phaùp Euler PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 2 Ví duï 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y); )y2xy( dy x2yx dx 22 +−=+ Trong tröôøng hôïp naøy ta khoâng theå chuyeån caùc soá haïng coù cuøng bieán x, y veà cuøng moät phía, neân khoâng theå laáy tích phaân hai veá ñöôïc, ta seõ giaûi baøi toaùn naøy sau trong chöông theá löu Ví duï 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0 xy6 dy x3 dx 2 −= Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng: y dy x dx2 y dy x xdx2 2 −=⇔−= Chuyeån caùc soá haïng coù bieán x veà veá traùi, bieán y veà veá phaûi: CyxCln)yln()xln(2 y dy x dx2 2 =⇔+−=⇔ −= ∫∫Tích phaân hai veá: Vaäy phöông trình ñöôøng doøng coù daïng: Cyx2 = Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng: II. CAÙC KHAÙI NIEÄM THÖÔØNG DUØNG 3. Löu löôïng Q, Vaän toác trung bình m/ caét öôùt V: A QV udAdAuQ uot.c/AmAbatky n = == ∫∫ Abaát kyø u Am/c öôùtø 1. Ñöôøng doøng, doøng nguyeân toá dA oáng doøng A A A P Doøng coù aùp Doøng khoâng aùp Doøng tia 2. Dieän tích maët caét öôùt A, Chu vi öôùt P, Baùn kính thuûy löïc R=A/P Nhận xeùt: Löu löôïng chính laø theå tích cuûa bieåu ñoà phaân boá vaän toác : Bieåu ñoà phaân boá vaän toác PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 3 ¾Thí nghieäm Reynolds III. PHAÂN LOAÏI CHUYEÅN ÑOÄNG: 1. Theo ma saùt nhôùt: Chuyeån ñoäng chaát loûng lyù töôûng, : khoâng coù ma saùt Chuyeån ñoäng chaát loûng thöïc: coù ma saùt - Re=VD/ν=V4R/ν:taàng(Re2300) 2. Theo thôøi gian: oån ñònh-khoâng oån ñònh. 3 Theo khoâng gian: ñeàu-khoâng ñeàu. 4 Theo tính neùn ñöôïc: soá Mach M=u/a a: vaän toác truyeàn aâm; u:vaän toác phaàn töû löu chaát döôùi aâm thanh (M<1) - ngang aâm thanh (M=1) treân aâm thanh (M>1) - sieâu aâm thanh (M>>1) masat quantinh F F Re = N    löuñoáiphaànthaønhboä-t.ph.cuïc z uu y uu x uu t u dt dua z u u y u u x u u t u dt du a z uu y uu x uu t u dt dua z z z y z x zz z y z y y y x yy y x z x y x x xx x ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂== ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂== ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂== t u dt uda)t,z,y,x(uu 000 ∂ ∂==⇒= GGGG IV. GIA TOÁC PHAÀN TÖÛ LÖU CHAÁT : •Theo Euler: •Theo Lagrange: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 4 V. PHAÂN TÍCH CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT: Trong heä truïc toaï ñoä O(x,y,z), xeùt vaän toác cuûa hai ñieåm M(x,y,z) vaø M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai ñieåm raát saùt nhau, neân ta coù: vaän toác bieán daïng daøi vaän toác bieán daïng goùc vaø vaän toác quay vaän toác chuyeån ñoäng tònh tieán dz z udy y udx x uuu dz z u dy y u dx x u uu dz z udy y udx x uuu zzz z1z yyy y1y xxx x1x ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+= ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+= ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+= 1. Tònh tieán Chuyeån ñoäng 2. Quay 3. Bieán daïng Vaän toác quay: uRot GG 2 1=ω ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zyx uuu zyx kji GGG 2 1= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= z u y u yz x 2 1ω ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= x u z u zx y 2 1ω ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= y u x u xy z 2 1ω Bieán daïng daøi Suaát bieán daïng daøi x u ε xxx ∂ ∂= y u ε yyy ∂ ∂= z u ε zzz ∂ ∂= Bieán daïng goùc Suaát bieán daïng goùc ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂== z u y u 2 1 εε yzyzzy ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂== x u z u 2 1 εε zxzxxz ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂== y u x u 2 1 εε xyyxxy ¾Ñònh lyù Hemholtz PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 5 •Chuyeån ñoäng quay cuûa phaàn töû löu chaát: uyΔt x y dy dx uxΔt β α ∂ux/∂ydyΔ t ∂uy/∂xdxΔ t +z xy yx rotu 2 1 y u x u 2 1 dx tΔdx x u dy tΔdy y u tΔ2 1 tΔ 1 2 βα ω =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂− +∂ ∂ −=+−= 0)u(rot =G 0)u(rot ≠G chuyeån ñoäng khoâng quay (theá) chuyeån ñoäng quay Ví duï 2: Xaùc ñònh ñöôøng doøng cuûa moät doøng chaûy coù : ux = 2y vaø uy = 4x yx u dy u dx = x dy y dx 42 = ydyxdx 24 = ydyxdx =2 Cyx +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 22 2 22 Cyx =− 222 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 6 Doøng chaûy qua moät ñoaïn oáng thu heïp daàn vôùi vaän toác doøng vaøo vaø ra laàn löôït laø 10 m/s vaø 50 m/s. Chieàu daøi cuûa oáng laø 0,5m Haõy tìm quy luaät bieán thieân cuûa vaän toác vaø gia toác theo truïc oáng. Töø ñoù suy ra gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra cuûa voøi Giaû thieát doøng moät chieàu, vaø vaän toác bieán ñoåi tuyeán tính doïc theo truïc ngang cuûa oáng. Ví duï 3: Quy luaät bieán thieân vaän toác tuyeán tính doïc theo truïc oáng: u = ax + b. a, b laø haèng soá Choïn truïc x nhö hình veõ, vôùi goác “0” ôû ñaàu oáng, ta coù taïi x=0, u =10 m/s; taïi x=0,5m, u = 50 m/s. Theá caù ñieàu kieän treân vaøo ta suy ra ñöôïc a=80; b=10. Suy ra quy luaät bieán thieân vaän toác doïc theo truïc x laø: u = (80x + 10) m/s Töø ñoù suy ra quy luaät bieán thieân gia toác nhö sau: Theá giaù trò x=0 vaø x=0,5 vaøo ta suy ra ñöôïc gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra cuûa oáng laàn löôït laø: 800 m/s2 vaø 4000m/s2. Lôøi Giaûi: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 7 VI ÑÒNH LYÙ VAÄN TAÛI REYNOLDS- PHÖÔNG PHAÙP THEÅ TÍCH KIEÅM SOAÙT A W u dw CV W: theå tích kieåm soaùt X : Ñaïi löôïng caàn nghieân cöùu k : Ñaïi löôïng ñôn vò ( ñaïi löôïng X treân 1 ñôn vò khoái löôïng) uk G= ∫∫∫ρ= W dWX ∫∫∫ ρ= W dWuX KK ∫∫∫ ρ= W 2 dW 2 uX Ví duï: X laø khoái löôïng: k=1 ; X laø ñoäng löôïng: X laø ñoäng naêng: k=u2/2 ; 1. Theå tích kieåm soaùt, vaø ñaïi löôïng nghieân cöùu: ∫∫∫= W dWρkX Xeùt theå tích W trong khoâng gian löu chaát chuyeån ñoäng. W coù dieän tích bao quanh laø A. Ta nghieân cöùu ñaïi löôïng X naøo ñoù cuûa doøng löu chaát chuyeån ñoäng qua khoâng gian naøy. Ñaïi löôïng X cuûa löu chaát trong khoâng gian W ñöôïc tính baèng: A B C Dieän tích A1 Dieän tích A2 W W1 nn . Ñònh lyù vaän taûi Reynolds- phöông phaùp theå tích kieåm soaùt: Taïi t: löu chaát vaøo chieám ñaày theå tích kieåm soaùt W. Taïi t+Δt: löu chaát töø W chuyeån ñoäng ñeán vaø chieám khoaûng khoâng gian W1. ¾Nghieân cöùu söï bieán thieân cuûa ñaïi löôïng X theo thôøi gian khi doøng chaûy qua W t )XX()XX(lim t XX lim t XXlim t Xlim dt dX tB t A tt C tt B 0t WW 0t ttt 0t0t 1 Δ +−+=Δ −=Δ −=Δ Δ= Δ+Δ+ →Δ→Δ Δ+ →Δ→Δ t XXlim t XXlim t XXlim t )XX()XX(lim tt A tt C 0t t W tt W 0t tt A tt C 0t t B t A tt A tt B 0t Δ −+Δ −= Δ −+Δ +−+= Δ+Δ+ →Δ Δ+ →Δ Δ+Δ+ →Δ Δ+Δ+ →Δ ∫∫ ∫∫∫∫ +∂ ∂= + +∂ ∂= → A n W A n A n 0tΔ W dAuρk t X tΔ dAuρktΔdAuρktΔ lim t X 12 ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 8 0 z u y u x u0)u(div zyx =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂⇔= 0dW)u(divdW t Adu t dW dt dX WWGauss.d.bA n W =ρ+∂ ρ∂=ρ+∂ ρ∂ = ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ 0)u(div t =ρ+∂ ρ∂ Hay: : daïng vi phaân cuûa ptr lieân tuïc VII AÙP DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TTKS •Neáu ρ=const→ ptr vi phaân lieân tuïc cuûa löu chaát khoâng neùn ñöôïc: ƒDoøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh: → ptr lieân tuïc cuûa doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh: 222111 A n dAudAu0Adu ρ=ρ⇔=ρ∫∫ dA1 u1 u2 dA2 X laø khoái löôïng: theo ñ. luaät baûo toaøn khoái löôïng: 0 dt dX = 1. PHÖÔNG TRÌNH LIEÂN TUÏC ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX •Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra), löu chaát khoâng neùn ñöôïc: → ptr lieân tuïc cho toaøn doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh: constQhayQQ 21 == = iQQ ññeán •Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra) → ptr lieân tuïc cho toaøn doøng löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh daïng khoái löôïng: 21222 2A 111 A MMdAudAu 1 =⇔ρ=ρ ∫∫ M1: khoái löôïng löu chaát vaøo m/c A1 trong 1 ñv t.gian M2: khoái löôïng löu chaát ra m/c A2 trong 1 ñv t.gian •Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu maët caét vaøo vaø ra, c. ñoäng oån ñònh, löu chaát khoâng neùn ñöôïc, taïi moät nuùt, ta coù: → ptr lieân tuïc taïi moät nuùt cho toaøn doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 9 2. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG Khi X laø naêng löôïng cuûa doøng chaûy coù khoái löôïng m (kyù hieäu laø E, bao goàm noäi naêng, ñoäng naêng vaø theá naêng (theá naêng bao goàm vò naêng laãn aùp naêng), ta coù: X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ vôùi Z=z+p/γ Nhö vaäy, naêng löôïng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng löu chaát k baèng: ρ+++= pgzuek u 2 2 1 trong ñoù: eu laø noäi naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. 1/2u2 laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. gz laø vò naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. p/ρ laø aùp naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. Ñònh luaät I Nhieät ñoäng löïc hoïc: soá gia naêng löôïng ñöôïc truyeàn vaøo chaát loûng trong moät ñôn vò thôøi gian (dE/dt) , baèng suaát bieán ñoåi trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa nhieät löôïng (dQ/dt) truyeàn vaøo khoái chaát loûng ñang xeùt, tröø ñi suaát bieán ñoåi coâng (dW/dt) trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa khoái chaát loûng ñoù thöïc hieân ñoái vôùi moâi tröôøng ngoaøi (ví duï coâng cuûa löïc ma saùt): dt dW dt dQ dt dE −= ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX Nhö vaäy ∫∫∫∫∫ ρρ++++ρρ+++∂∂=− A nuw u dAu) pgzue(dw)pgzue( tdt dW dt dQ 22 2 1 2 1 Daïng toång quaùt cuûa P. tr NL 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG uk G= ∫∫∫ ρ= W dWuX KKKhi X laø ñoäng löôïng: Ñònh bieán thieân ñoäng löôïng: bieán thieân ñoäng löôïng cuûa löu chaát qua theå tích W (ñöôïc bao quanh bôûi dieän tích A) trong moät ñôn vò thôøi gian baèng toång ngoaïi löïc taùc duïng leân khoái löu chaát ñoù: ∫∫∫∫∫∑ +∂∂= A nw dAuρ)u(dwρ)u(tFngoaïilöïc Daïmg toångquaùt cuûa p.tr ÑL Nhö vaäy, töø keát quaû cuûa pp TTKS: ; ta coù: ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX ngoaïilöïc∑= FdtXd PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 10 Ví duï 4: Moät doøng chaûy ra khoûi oáng coù vaän toác phaân boá daïng nhö hình veõ, vôùi vaän toác lôùn nhaát xuaát hieän ôû taâm vaø coù giaù trò Umax = 12 cm/s . Tìm vaän toác trung bình cuûa doøng chaûy Giaûi: Löu löôïng : 3 Ruπ 3 r 2 Rr R uπ2rdrπ2)rR( R uQ 2 max Rr 32 max R 0 max =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−= = ∫ Taïi taâm oáng, u=umax; taïi thaønh oáng, u=0. Ta coù treân phöông r,; vaän toác doøng chaûy phaân boá theo quy luaät tuyeán tính: )rR( R uu max −= Umax dr dA=2πrdr r 3 u A QV max== s/cm4V = Ví duï 5: ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 2 2 1 R r1uu Löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh trong ñöôøng oáng coù ñöôøng kính D. ÔÛ ñaàu vaøo cuûa ñoaïn oáng, löu chaát chuyeån ñoäng taàng, vaän toác phaân boá theo quy luaät : u1: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy taàng. r : ñöôïc tính töø taâm oáng (0 ≤ r ≤ D/2) u2: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy roái y : ñöôïc tính töø thaønh oáng (0 ≤ y ≤ D/2) Tìm quan heä giöõa u1 vaø u2 Giaûi: dy)yR(π2 R yuQ;rdrπ2 R r1uQ 7 1R 0 22 R 0 2 2 11 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ∫∫ Theo phöông trình lieân tuïc: 21 QQ = Khi löu chaát chuyeån ñoäng vaøo saâu trong oáng thì chuyeån sang chaûy roái, vôùi phaân boá vaän toác nhö sau : r u1 o u2 R r o dr dA=2π rdr ( ) 2 Ruπ )R(4 r 2 ruπ2rdrπ2 R r1uQ 2 1 Rr 2 42 1 R 0 2 2 11 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= = ∫ 2 2 Ry 7 17 15 7 67 8 2 7 1R 0 7 1R 0 22 Ruπ60 49R 15 y7R 8 y7uπ2dy R yydy R yRuπ2Q =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= = −∫∫ 7/1 2 R yuu ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 21 u30 49u =⇒ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 11 Ví duï 5: Giaûi: Chaát loûng lyù ltöôûng quay quanh truïc thaúng ñöùng (oz). Giaû söû vaän toác quay cuûa caùc phaân toá chaát loûng tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch töø truïc quay treân phöông baùn kính (V=a/r; a>0 laø haèng soá. Chuùng minh raèng ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá. Tìm phöông trình caùc ñöôøng doøng 0 y u x u xy =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂0)u(rot z =Gchuyeån ñoäng khoâng quay (theá) O r u y x 222y 222x yx ax r ax r x r a)oy,ucos(uu ; yx ay r ay r y r a)ox,ucos(uu +==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== + −=−=−== Suy ra: 222 22 222 22 22 x 222 22 222 22 22 y )yx( )xy(a )yx( )y2(ay)yx(a yx ay yy u ; )yx( )xy(a )yx( )x2(ax)yx(a yx ax xx u + −=+ ++−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − ∂ ∂=∂ ∂ + −=+ −+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂=∂ ∂ Vaäy: 0)u(rot0 y u x u z xy =⇔=∂ ∂−∂ ∂ Ñaây laø chuyeån ñoäng Moät chuyeån ñoäng theá treân maët phaúng xOy Phöông trình caùc ñöôøng doøng: C)yx( dx yx axdy yx aydxudyu 22 2222yx =+⇔ +=+ −⇔=