Giáo trình Cơ kỹ thuật

ệc học tập các môn kỹ thuật cơ sở khác và các môn chuyên môn có liên quan. Môn học được xếp ngay vào học kỳ I năm thứ nhất. - Tính chất: Cơ lý thuyết có tính chất lý luận tổng quát. Trong chuyên môn kỹ thuật nó được vận dụng để giải nhiều bài toán kỹ thuật. Cơ lý thuyết sử dụng công cụ toán là chủ yếu. Lý thuyết của các chương được sử dụng theo phương pháp tiên đề nên rất chặt chẽ. - Ý nghĩa Tính toán về các yếu tố của lực tác dụng lên vật rắn ở trạng thái tĩnh (trạng thái cân bằng) và các yếu tố động học, động lực học của vật rắn. - Vai trò Là cơ sở tính toán cho môn Sức bền vật liệu và các môn chuyên ngành khác. Mục tiêu môn học: - Trình bày được các tiên đề, định luật cơ bản về tĩnh học, động học, động lực học; - Xác định được các loại liên kết, vẽ được các phản lực liên kết; - Sử dụng thành thạo các điều kiện cân bằng để tính được giá trị của các phản lực liên kết; - Xác định được các yếu tố của các loại chuyển động cơ bản; - Giải thích được các định luật quan hệ giữa lực và chuyển động; - Phân tích được các phương pháp giải bài toán động lực học; - Giải bài toán động lực học; - Có ý thức trách nhiệm, chủ động học tập; rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư duy logic. Nội dung môn học Nội dung tổng quát và phân phối thời gian: 2 Số TT Tên các bài trong môđun Thời gian (giờ) Tổng Lý thuyết Thực hành, thí nghiệm , thảo luận, bài tập KT 1 Phần 1. Cơ lý thuyết Bài 1:Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học . 1. Các khái niệm cơ bản 1.1. Vật rắn tuyệt đối 1.2. Lực 1.3. Trạng thái cân bằng của vật rắn 1.4. Một số định nghĩa 2. Hệ tiên đề tĩnh học 2.1. Tiên đề 1: Tiên đề hai lực cân bằng 2.2. Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng 2.3. Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực 2.4. Tiên đề 4: Tiên đề lực tác dụng và lực phản tác dụng 3. Liên kết và phản lực liên kết 3.1. Khái niệm 3.2. Phản lực liên kết 3.3. Các dạng liên kết cơ bản 4. Hình chiếu của một lực lên hai trục tọa độ vuông góc. 5. Mômen của một lực lấy đối với điểm cố định. 6. Ngẫu lực 6.1. Định nghĩa 6.2. Các yếu tố của ngẫu lực 6.3. Tính chất của ngẫu lực 6.4. Hợp hệ ngẫu lực 6.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực Bài tập áp dụng Bài 2:Hệ lực phẳng 1. Hệ lực phẳng đồng quy 1.1. Định nghĩa 1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học 1.3. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích 2. Hệ lực phẳng bất kì 2.1. Định nghĩa 6 6 3 3 3 3 3 2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì 2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ 2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song Bài tập áp dụng Bài 3:Ma sát 1. Ma sát trượt 1.1. Định nghĩa 1.2. Các định luật ma sát trượt 2. Ma sát lăn 2.1. Định nghĩa 2.2. Các định luật ma sát lăn Bài tập áp dụng Bài 4: Động học điểm 1. Phương trình chuyển động của điểm bằng phương pháp tự nhiên và tọa độ 1.1. Phương trình chuyển động của điểm bằng phương tự nhiên 1.2. Phương pháp tọa độ 2. Xác định vận tốc và gia tốc trong chuyển động cong: 2.1. Xác định vận tốc của điểm trong chuyển động cong 2.2. Gia tốc của điểm trong chuyển động cong 3. Các chuyển động thường gặp 3.1. Chuyển động tròn 3.2. Chuyển động thẳng 3.3. Chuyển động cong 4. Xác định vận tốc và gia tốc theo phương pháp tọa độ 4.1. Vận tốc 4.2. Gia tốc Bài tập áp dụng Bài 5:Các chuyển động cơ bản của vật rắn 1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn 1.1. Định nghĩa 1.2. Tính chất 2.Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. 2.1. Định nghĩa 2.2. Góc quay 2.3. Vận tốc góc 2.4. Gia tốc góc 2.5. Vật quay đều 3 7 4 1 2 2 2 4 2 1 4 2.3. Vật quay biến đổi 3. Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định. 3.1. Quĩ đạo 3.2. Vận tốc 3.3. Gia tốc Bài tập áp dụng Bài 6:Chuyển động song phẳng của vật rắn 1. Khái niệm 1.1. Định nghĩa 1.2. Phương pháp khảo sát vật rắn chuyển động song phẳng 2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phương pháp tịnh tiến và quay đồng thời 2.1. Phân tích chuyển động bằng phương pháp tịnh tiến và quay đồng thời 2.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng 3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép quay tâm vận tốc tức thời: 3.1. Tâm vận tốc tức thời 3.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng 3.3. Phương pháp xác định tâm quay tức thời Bài tập áp dụng Bài 7:Hợp chuyển động điểm 1. Khái niệm – Định nghĩa 1.1. Một số khái niệm 1.2. Định nghĩa 2. Định lý hợp vận tốc 2.1. Định lý 2.2. Xác định trị số của vận tốc tuyệt đối 3. Định lý hợp gia tốc(trường hợp chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến) 3.1. Khái niệm 3.2. Định lý Bài tập áp dụng Bài 8:Cơ sở động lực học chất điểm 1. Những khái niệm cơ bản 1.1. Chất điểm 1.2. Cơ hệ 1.3. Hệ quy chiếu quán tính 2. Các định luật cơ bản của động lực học 2.1. Định luật quán tính 2.2. Định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc 2.3. Định luật cân bằng giữa lực tác dụng và phản lực 2.4. Định luật độc lập tác dụng của các lực 3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm- hai bài toán cơ bản của động lực học. 4 3 5 2 2 1 2 1 2 2 2 1 5 3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm 3.2. Hai bài toán cơ bản của động lực học Bài tập áp dụng Bài 9: Nguyên lý Đa-lăm-be 1. Lực quán tính 2. Nguyên lý Đa-lăm-be Phần 2: Sức bền vật liệu Bài 10:Khái niệm cơ bản về vật rắn biến dạng 1. Nhiệm vụ và đối tượng 1.1. Nhiệm vụ 1.2. Đối tượng 2. Các giả thuyết cơ bản về vật liệu 2.1. Giả thuyết 1 2.2. Giả thuyết 2 2.3. Giả thuyết 3 3. Các loại biến dạng và chuyển vị 4. Ngoại lực- Nội lực- Phương pháp mặt cắt- Ứng suất. 4.1. Ngoại lực 4.2. Nội lực – phương pháp mặt cắt 4.3. Ứng suất Bài 11: Kéo (nén) đúng tâm. 1. Các khái niệm cơ bản 2. Ứng suất và biến dạng 3. Đặc trưng cơ học của vật liệu 4. Ứng suất nguy hiểm – Hệ số an toàn -Ứng suất cho phép- Điều kiện bền và cứng khi kéo nén 5 . Bài tập áp dụng Bài12:Những đặc trưng hình học của hình phẳng 1. Mômen tĩnh của hình phẳng. 1.1. Mômen tĩnh 1.2. Trọng tâm của hình phẳng 2. Mômen quán tính của hình phẳng. 2.1. Mômen quán tính đối với 1 trục 2.2. Mômen quán tính độc cực 2.3. Mômen quán tính ly tâm 2.4. Mômen quán tính của một số hình đơn giản Bài 13: Cắt và dập. 1. Cắt 2. Dập Bài 14: Xoắn thuần túy thanh thẳng. 1. Khái niệm cơ bản 2. Xoắn thuần túy thanh mặt cắt tròn Bài 15: Uốn phẳng những thanh thẳng. 3 4 2 2 4 7 3 2 2 1 2 2 2 1 2 4 1 1 6 1. Những khái niệm cơ bản 2. Nội lực và biểu đồ nội lực 3. Uốn thuần túy 4. Uốn ngang phẳng Tổng 60 29 28 3 7 Phần 1. Cơ lí thuyết Bài 1. Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học Mục tiêu. - Ghi nhớ các khái niệm cơ bản về lực, mômen, ngẫu lực, các tiên đề tĩnh học và hệ quả của chúng. - Biết được các khái niệm cơ bản về lực, mômen, ngẫu lực. Biết các hệ tiên đề tĩnh học và vận dụng chúng vào chứng minh các định lý và bài tập. Biết phản lực liên kết cho từng loại và xác định được chúng. Nội dung. 1.Các khái niệm cơ bản: 1.1. Vật rắn tuyệt đối: Là vật rắn mà không thay đổi hình dáng và kích thước khi chịu tác dụng của ngoại lực. Khái niệm này chỉ có tính chất gần đúng, bởi vì vật rắn khi chịu tác dụng của ngoại lực thì đều bị biến dạng nhiều hay ít, tuy nhiên trong những trường hợp biến dạng nhỏ có thể bỏ qua, hoặc biến dạng không ảnh hưởng đến kết quả tính toán thì những vật thể đó đều có thể coi là vật rắn tuyệt đối, còn những trường hợp biến dạng lớn sẽ được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu. 1.2. Lực: Lực là một khái niệm biểu thị sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, lực được đặc trưng bởi ba yếu tố: - Điểm đặt: là phần tử vật chất thuộc vật mà ở đó lực tác dụng được truyền lên vật ấy. - Phương chiều - Độ lớn của lực Đối chiếu với các khái niệm toán học đã biết ta thấy về mặt hình học có thể biểu diễn lực dưới dạng véctơ, trong đó: - Gốc của véctơ là điểm đặt lực. - Phương và chiều của véc tơ là phương và chiều của lực. - Chiều dài của véc tơ là trị số của lực được lấy theo tỉ lệ nhất định. Đơn vị đo lực là Niutơn, kí hiệu là N và công bội của nó là kilô Niutơn, kí hiệu là kN (1kN = 103N) và mega Niutơn, kí hiệu là MN (1MN= 106N). Ví dụ: A là điểm đặt, B là chiều tác dụng, Δ là phương tác dụng. Độ dài AB chia theo một tỷ lệ nào đó là trị số của lực (hình 1.1). Hình 1.1 1.3. Trạng thái cân bằng. Là trạng thái đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng đều.  F A  F B 8 1.4. Một số định nghĩa. - Hệ lực: là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng vào một vật rắn, kí hiệu ),...,,( 21 nFFF  (Hình 1.2). Tùy thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong cùng một mặt phẳng hay không cùng một mặt phẳng chúng ta có hệ lực phẳng hay hệ lực không gian. Hình 1.2 - Hai lực trực đối: là hai lực có cùng trị số, cùng phương nhưng ngược chiều nhau (Hình 1.3). Hình 1.3 - Hệ lực tương đương: Hai hệ lực gọi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng cơ học lên một vật rắn (hình 1.4) Hai hệ lực ),...,,( 21 nFFF  và ),...,,( 21 n  tương đương đựơc kí hiệu: ),...,,( 21 nFFF  ≡ ),...,,( 21 n  Hình 1.4 - Hợp lực: là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của cả hệ lực, nghĩa là nếu ),...,,( 21 nFFF  ~ R  thì R  là hợp lực của hệ lực ),...,,( 21 nFFF  (hình 1.5) Hình 1.5 - Hệ lực cân bằng: là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn sẽ không thay đổi trạng thái động học của vật rắn (nếu vật đang đứng yên thì đứng yên, nếu vật đang chuyển động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều). Nói cách khác, hệ lực cân bằng tương đương với 0. ),...,,( 21 nFFF  ~ 0 F1 F2 F3 F4 F1 F20 F1 F2 F3 F4     F2 F4 F3 F1 R 9 N P Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở trạng thái cân bằng. Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều. 2. Hệ tiên đề tĩnh học: 2.1. Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng): Điều kiện cần và đủ cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ. Hình 1.6 2.2.Tiên đề 2 (Tiên đề về thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng): Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm vào hoặc bớt hai lực cân bằng. Hệ quả (Định lý trượt lực) Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó. Hình 1.7 2.3. Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực): Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm chung và có véc tơ lực bằng véctơ chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai véctơ biểu diễn hai lực thành phần. Hình 1.8 2.4.Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng): Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ. Hình 1.9 3. Liên kết và phản lực liên kết: 3.1. Khái niệm: - Vật tự do: là vật có thể thực hiện chuyển động tự ý theo mọi phương trong không gian mà không bị cản trở. - Vật không tự do: khi một hoặc vài phương chuyển động của nó bị cản trở: Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được là liên kết. Vật không tự do gọi là vật bị liên kết ( còn gọi là vật khảo sát). Vật cản trở sự chuyển động của vật khảo sát là vật liên kết. Ví dụ: Cuốn sách đặt trên bàn (Hình 1.10) thì cuốn sách là vật khảo sát, bàn là vật gây liên kết. A B  'F  F A B  'F  F A B  'F  F B  ' BF  BF A  AF O  2F  1F  F 10 Hình 1.10 3.2. Phản lực liên kết: Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực gọi là lực tác dụng. Theo tiên đề tương tác, vật gây liên kết tác dụng trở lại vật khảo sát một lực gọi là phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực). Ở ví dụ trên, cuốn sách tác dụng lên bàn trọng lượng P  , bàn tác dụng trở lại cuốn sách phản lực N  . Phản lực đặt vào vật khảo sát (ở nơi tiếp xúc giữa hai vật), cùng phương, ngược chiều với hướng chuyển động của vật khảo sát bị cản trở. Trị số phản lực phụ thuộc vào lực tác dụng từ vật khảo sát đến vật gây liên kết. 3.3. Các liên kết cơ bản: a. Liên kết tựa (hình 1.11): Liên kết tựa cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung giữa vật khảo sát và vật gây liên kết. Vì thế phản lực có phương vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc chung, có chiều đi về phía mặt khảo sát, kí hiệu N  . Ở phản lực này có một yếu tố chưa biết là trị số của N. Hình1.11 b. Liên kết dây mềm (hình 1.12): Liên kết dây mềm cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của dây. Phản lực có phương theo dây, kí hiệu T  . Ở phản lực này có một yếu tố chưa biết là trị số của T. Hình1.12 c.Liên kết thanh(hình 1.13): Liên kết thanh cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của thanh (bỏ qua trọng lượng thanh). N  BN  AN  A B 1T  m 2T  1T  O 2T  11 Phản lực có phương dọc theo thanh, kí hiệu S  . Trị số của S chưa biết. Hình 1.13 d. Liên kết bản lề(hình 1.14): - Gối đỡ bản lề di động: Phản lực của gối đỡ bản lề di động có phương giống như liên kết tựa, đặt ở tâm bản lề, kí hiệu Y  . Trị số của Y chưa biết. - Gối đỡ bản lề cố định: Bản lề cố định có thể cản trở vật khảo sát chuyển động theo hai phương nằm ngang và thẳng đứng. Vì vậy phản lực có hai thành phần X  và Y  , phản lực toàn phần là R  . Trị số X và Y chưa biết. Hình 1.14 e. Liên kết ngàm(hình 1.15): Khi vật gây liên kết và vật chịu liên kết được nối cứng với nhau thì được gọi là liên kết ngàm. Ví dụ: Một thanh sắt được gắn chặt vào tường, cột điện được chôn xuống đấtPhản lực liên kết gồm 1 lực 0R  và một ngẫu lực có mômen 0m  . Nếu là ngàm không gian thì 0R  được xác định bởi 3 thành phần 0X  , 0Y  , 0Z  theo 3 trục tọa độ và véc tơ mômen 0m  cũng được phân thành 3 thành phần xm , ym , zm theo 3 trục tọa độ. Nếu ngàm là ngàm phẳng thì phản lực 0R  gồm 2 thành phần 0X  và 0Y  vuông góc với nhau và một mômen phản lực 0m nằm trong mặt phẳng ngàm. O S  O A B S  0Y  O 0X  0R  N  O Y  O X  z y x Z  mm m Y  O X m 12 Hình 1.15 * Xác định hệ lực tác dụng lên vật khảo sát: Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ lực tác dụng lên vật rắn đó. Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các phản lực. Tải trọng là lực trực tiếp tác động lên vật khảo sát. Việc đặt các tải trọng lên vật khảo sát thường ít khó khăn, vấn đề quan trọng là đặt các phản lực cho đúng và đầy đủ. Muốn thế ta lần lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ứng, công việc đó gọi là giải phóng liên kết. Sau giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực. 1.4. Hình chiếu của một lực lên hai trục tọa độ vuông góc: Giả sử cho một lực F  và hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, hình chiếu của lực F lên các trục toạ độ (hình 1.16) sẽ là: - Hình chiếu của lực F  lên trục Ox: Fx = ± F. cosα - Hình chiếu của lực F  lên trục Oy: Fy = ± F. sinα Hình 1.16 Trong hai công thức trên α là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của F  và trục x. Dấu của hình chiếu là (+) khi chiếu từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút cùng với chiều dương của trục. Dấu của hình chiếu (-) trong trường hợp ngược lại. Trường hợp đặc biệt, nếu lực F  song song với trục, chẳng hạn với trục x (hình 1.17a) thì: Fx = ± F. Fy = 0 (vì F vuông góc với trục y). Nếu lực F  song song với trục y (hình 1.17b) thì: Fx = 0 Fy = ± F. a) b) Hình 1.17 Chú ý: Khi biết các hình chiếu Fx và Fy của lực F  lên các trục x và y ta hoàn toàn xác định được F. Về trị số: O F y x  Fy Fx Fx x y F O O F y x FY 13 B A F F F F A B 22 )()( yx FFF  Về phương chiều: x y F F tg  5. Mômen của một lực lấy đối với điểm cố định (hình 1.18): a. Định nghĩa: Giả sử có lực F và điểm 0 cố định, khi đó mômen của lực F  đối với điểm 0 là một véctơ có kí hiệu và được xác định như sau, m o( F  ) có: - Phương vuông góc với mặt phẳng chứa lực F  và điểm 0. - Chiều sao cho, từ đầu mút nhìn xuống thấy lực F  quay quanh 0 theo chiều dương quy ước ngược chiều kim đồng hồ. - Trị số mo( F  )= F.d, d gọi là cánh tay đòn của lực F  đối với 0, đơn vị Niutơn mét, (Nm). Hình 1.18 b. Ý nghĩa cơ học: Mômen của lực F  đối với điểm 0 là số đo tác dụng quay của lực F  gây ra đối với vật quanh 0. Có nghĩa là vật quay theo chiều nào nhanh hay chậm là tuỳ thuộc vào đại lượng mo( F  ). 6. Ngẫu lực: 6.1. Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng trị số. Kí hiệu ),( 'FF  . Hình 1.20 6.2. Các yếu tố của ngẫu lực: Ngẫu lực được đặc trưng bởi ba yếu tố: O B A d F  r  Fm 0 14 F F m=Fa a F F F F F2 F1 R Fn Fn R F1 F2 BA a m1 m2 mn - Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các thành phần của ngẫu lực. - Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên. Chiều quay là dương (+) khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm (-) khi ngược lại. - Trị số mômen của ngẫu lực: là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn, kí hiệu m. m = F.a Trong đó: - Trị số của lực F (N). - Cánh tay đòn a (m). - Đơn vị ngẫu lực (Nm). 6.3.Tính chất của ngẫu lực: - Tính chất 1: tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển vị trí trong mặt phẳng tác dụng của nó. - Tính chất 2: có thể biến đổi lực và cánh tay đòn tuỳ ý, miễn là bảo đảm trị số và chiều quay của nó. Đặc biệt có thể biến đổi hệ ngẫu lực phẳng về chung một cánh tay đòn. Từ các tính chất trên có thể rút ra: tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó (hình 1.24). Hình 1.21 6.4. Hợp hệ ngẫu lực phẳng: Giả sử cho hệ ngẫu phẳng lần lượt có mômen là m1, m2,.mn. Chúng ta biến đổi hệ lực này thành ngẫu lực ),),...(,(),,( 2211 nn FFFFFF  có cùng cánh tay đòn a (hình 1.25) Hình 1.22 Hợp lực R  của các lực nFFF  ,...,, 21 đặt tại A và B là hai lực song song, ngược chiều có cùng trị số R= RA= RB = F1 + F2 +.+ Fn tạo thành ngẫu lực ),( RR  . Ngẫu lực ),( RR  gọi là ngẫu lực tổng hợp có mômen. M= R.a = F1.a + F2.a + .+ Fn.a= m1 + m2 +..+ mn Tổng quát: M=   n k km 1 15    F1  R O A C B ˝ Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp có mômen bằng tổng đại số mômen các ngẫu lực thuộc hệ ". 6.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực: Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đaị số mômen của các lực thuộc hệ bằng không. M=   n k km 1 = 0 Bài 2: Hệ lực phẳng Mục tiêu. - Ghi nhớ các khái niệm về hệ lực phẳng, các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng - Lập được các phương trình cân băng của hệ lực phẳng để xác định các ẩn số cần tìm và biết cách giải một số bài toán đặc biệt của tĩnh học Nội dung. 1. Hệ lực phẳng đồng quy: 1.1. Định nghĩa: Hệ lực phẳng đồng qui là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm. 1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học: a. Quy tắc hình bình hành: Giả sử có hai lực 1F  và 2F  đồng qui tại O (hình 2.1). Theo tiên đề hình bình hành, chúng ta có hợp lực R  đặt tại O, phương chiều và trị số được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành lực. - Trị số của R: Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác OAB, ta có: )180cos(2 2122212  FFFFR Vì cos (180- α) = - cosα nên cos2 212221 FFFFR  cos2 212221 FFFFR  (2.1) - Phương chiều của R: Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OBC: )180sin(sinsin 2 2 1 1    RFF Hình 2.1 Vì sin (180- α) = sin α nên  sinsinsin 2 2 1 1 RFF  Suy ra:  sinsin 11 R F (2.2)  sinsin 22 R F 16 F2 F1 R O O R F1 F2 F'2 R F'3 F'2 F3 F2 F1 O F4 F'4 α1, α2 xác định phương chiều của R. Các trường hợp đặc biệt: - Hai lực F1 và F2 cùng phương, cùng chiều (hình 2.2a). α = 0, cosα = 1 R = F1+ F2, cùng phương, cùng chiều với F1 và F2. a) b) Hình 2.2 - Hai lực F1 và F2 cùng phương, ngựơc chiều (hình 2.2b). α = 180 , cosα = -1 R= F1-F2 (F1 > F2), cùng phương, cùng chiều với F1(lực lớn hơn). - Hai lực F1 và F2 vuông góc với nhau (hình 2.3). α = 90 , cosα = 0 2221 FFR  Hình 2.3 b. Quy tắc tam giác lực: Từ cách hợp lực hai lực đồng qui theo quy tắc hình bình hành lực, ta có thể suy ra: từ mút của lực 1F  , đặt nối tiếp lực '2F  song song, cùng chiều và cùng trị số với 2F  , hợp lực R  có gốc là O và có mút trùng với mút của lực 2F  (hình 2.4). Hình 2.4 Ta được: 21'21 FFFFR   . Hợp lực R  đóng kín tam giác lực hợp bởi hai lực 1F  và 2F  , trị số và phương của R xác định theo công thức (2.1) và (2.2). 1.3. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích: a. Phương pháp hình học: Giả sử cho hệ lực ),,,( 4321 FFFF  đồng qui tạo O (hình 2.5). O F1 F2 R O RF2 F1 17 RY x y O F1 F2 F3 F'2 F'3 R RX F1X F2X F3X Hình 2.5 Muốn tìm hợp lực của hệ, trước hết hợp hai lực 1F  và 2F  theo quy tắc tam giác lực (từ mút lực 1F  đặt lực '2F  song song cùng chiều và cùng trị số 2F  ) được: 21'211 FFFFR   Bằng cách tương tự, hợp hai lực 1R  và 3F  được: 321312 FFFFRR   . Cuối cùng hợp hai lực 2R  và 4F  ta được hợp lực R của hệ: 432142 FFFFFRR   . Tổng quát, hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui ),...,,( 21 nFFF  là:    n k kn FFFFR 1 21 ....  . Hợp lực R  có gốc trùng với gốc lực đầu, có mút trùng với mút của véc tơ đồng đẳng với lực cuối. Đường gãy khúc nFFF  ,...,, 21 gọi là đa giác lực. Hợp lực R  đóng kín đa giác lực lập bởi các lực đã cho. b. Phương pháp chiếu lực: Giả sử có hệ lực phẳng đồng qui ),...,,( 21 nFFF  có hình chiếu tương ứng lên các trục toạ độ vuông góc Oxy là (F1x, F2x,., Fxn ) và (F1y, F2y,., Fyn ) (hình 2.6). Hình 2.6 Ta có, hợp lực    n k kn FFFFR 1 21 ....  . Hình chiếu của véc tơ hợp lực R  lên các trục là Rx và Ry có trị số bằng tổng đại số hình chiếu các véc tơ lực thành phần: Rx = F1x + F2x +.+ Fnx =   n k kxF 1 Ry = F1y + F2y +.+ Fny =   n k kyF 1 Hợp lực R có: 18 FA A FA A F'B FB B B F'B m - Trị số:      n k n k kykxyx FFRRR 1 2 1 222 )()( (2.3) - Phương, chiều xác định bởi:     n k kx n k ky x y F F R R tg 1 1 (2.4) * Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui: a. Phương pháp hình học: Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trị số của hợp lực R  phải bằng 0, đa giác lực tự đóng kín (mút của lực cuối trùng với gốc lực đầu). Kết luận: ˝ Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là đa giác lực tự đóng kín ". b. Phương pháp chiếu lực: Tương tự như trên, muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì hợp lực R phải bằng 0. R ~ 0 Nên: 0)()( 1 2 1 2      n k n k kykx FFR (∑ Fkx)2, (∑ Fky)2 là những số dương nên R chỉ bằng 0 khi    n k kxF 1 0 (2.5) 0 1   n k kyF Kết luận: ˝ Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là tổng đại số hình chiếu các lực lên hai trục toạ độ vuông góc đều bằng 0". 2. Hệ lực phẳng bất kỳ: 2.1. Định nghĩa: Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ trong cùng một mặt phẳng. 2.2. Thu hệ lực phẳng bất kỳ: a. Định lý dời lực song song: Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không đổi phải them vào một ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đối với điểm mới dời đến. Chứng minh: Hình 2.9 19 FN O N A B F1 F2 F'2 F'1O F'N m2 mn m1 m0 O R' Thật vậy, cho lực F  đặt tại A (kí hiệu AF  ), đặt tại B bất kỳ hai lực cân bằng BF  và 'BF  thoả mãn các điều kiện sau: FA = FB = F’B = F FA // FB // F’B Rõ ràng AF  ~ ( BF  , 'BF  , AF  ) Phân tích hệ lực ( BF  , 'BF  , AF  ) BF  song song cùng chiều và cùng trị số với AF  nên có thể coi BF  là AF  dời từ A đến B. Còn 'BF  và AF  tạo thành ngẫu lực ( 'BF  , AF  ) có mômen m = F.a. Mặt khác mB( AF  ) = F.a nên m = mB ( AF  ) Như vậy: AF  ~ BF  + mB ( AF  ) Định lý đã được chứng minh Định lý đảo: Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương đương với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có mômen đối với điểm đặt của lực đã cho đúng bằng mômen của ngẫu lực. Từ định lý ta thấy lực tương đương phải có vị trí sao cho lấy mômen đối với điểm đặt lực đã cho có cùng chiều quay của ngẫu lực và có cánh tay đòn F ma  . b. Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước: Giả sử có hệ lực phẳng ),...,,( 21 nFFF  đặt ở A, B,, N (hình 2.11), cần phải thu hệ lực phẳng đó về tâm O nằm trong mặt phẳng của hệ lực. Hình 2.11 Theo định lý dời lực song song, dời các lực đã cho về tâm O (tâm thu gọn). 1F  ~ [ '1F  + ngẫu lực có mômen m1 = mo( 1F  ) ] 2F  ~ [ '2F  + ngẫu lực có mômen m2 = mo( 2F  ) ] nF  ~ [ 'nF  + ngẫu lực có mômen mn = mo( nF  ) ] Như vậy, hệ lực phẳng bất kỳ đã cho tương đương với hệ lực phẳng đồng qui ở O và một hệ ngẫu lực phẳng (hình vẽ). Thu hệ lực phẳng đồng qui được 'R  . Thu hệ ngẫu lực phẳng được ngẫu lực có mômen Mo = ∑mo( F  ) Kết quả: ),...,,( 21 nFFF  ~ ( 'R  và ngẫu lực có mômen Mo). Ta gọi R là véc tơ chính 'R  = ∑ F  . 20 Mo là mômen chính của hệ lực đối với tâm O, Mo = ∑mo( F  ). ˝ Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một hệ lực có véc tơ bằng véc tơ chính của hệ lực và một ngẫu lực có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn". Áp dụng các công thức (2.3), (2.4) và (2.9) ta có: Trị số của véc tơ chính:      n k n k kykxyx FFRRR 1 2 1 222' )()( Phương chiều của véc tơ chính:     n k kx n k ky x y F F R R tg 1 1 Trị số của mômen chính Mo = ∑mo( F  ) Từ công thức trên ta thấy: Véc tơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn. Mômen chính thay đổi theo tâm thu gọn (vì với mỗi tâm thu gọn khác nhau lực có cánh tay đòn và chiều quay khác nhau). c. Các dạng tối giản của hệ lực phẳng: Khi thu gọn hệ lực phẳng về tâm cho trước có thể xảy ra bốn trường hợp sau: - R’ ≠ 0, Mo ≠ 0 - R’ ≠ 0, Mo = 0 - R’= 0, Mo ≠ 0 - R’ = 0, Mo = 0 Như vậy hệ phẳng có thể tương đương với một trong ba dạng sau: - Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như hai trường hợp đầu thì hệ lực phẳng có hợp l ực. Trong trường hợp R’ ≠ 0 và Mo ≠ 0, áp dụng định lý đảo R’ và Mo tương đương với một lực R (R song song, cùng chiều, cùng trị số với R và đặt cách R một khoảng cách a = Mo/ R), R là hợp lực của hệ lực phẳng. Trong trường hợp R’ ≠ 0, Mo = 0, R’ là hợp lực R của hệ lực phẳng. - Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như ở trường hợp (R’= 0, Mo ≠ 0) hệ lực phẳng tương đương với một ngẫu lực có mômen là Mo. Trong trường hợp này, hệ lực phẳng thu về tâm bất kỳ nào kết quả thu được của Mo đều hoàn toàn như nhau (tính chất ngẫu lực). - Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như ở trường hợp (R’ = 0, Mo = 0) hệ lực phẳng cân bằng. 2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì: a. Điều kiện cân bằng: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kì cân bằng là véc tơ chính và mômen chính của hệ đối với một tâm bất kì đều phải bằng không. R’ = 0 (2.10) Mo = 0 b. Các dạng phương trình cân bằng: 21 * Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ vuông góc và tổng đại số mômen của các lực đối với một tâm bất kì trên mặt phẳng đều bằng không. ∑Fx =0 ∑Fy =0 (2.11) ∑mo ( F  ) =0 Thật vậy, theo điều kiện cân bằng (2.10) R’ = 0 Mo = 0      n k n k kykx FFR 1 2 1 2' )()( , mà (∑Fkx)2 và (∑Fky)2 là những số dương nên R’ chỉ bằng không khi ∑Fkx = 0 và ∑Fky = 0. Mo = ∑mo( F  ) nên Mo = 0 khi ∑mo ( F  ) =0 Ngược lại, nếu ∑Fkx = 0, ∑Fky = 0, ∑mo (F) = 0 thì R’ = 0 và Mo = 0 tức hệ lực cân bằng. * Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng đại số mômen của các lực đối với hai điểm bất kì trên mặt phẳng và tổng hình chiếu các lực lên trục x không vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm bất kì đó đều bằng không. ∑mA ( kF  ) = 0 ∑mB ( kF  ) = 0 (2.12) ∑Fkx =0 (x không vuông góc với AB) Thật vậy, hai phương trình ∑mA ( kF  ) = 0 và ∑mB ( kF  ) = 0 thỏa mãn mômen chính Mo = 0. Mặt khác, hệ có hợp lực R  phải nằm trên phương AB, nhưng trục x không vuông góc với AB nên ∑Fkx =0 thì R = 0 hệ lực cân bằng. * Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng đại số mômen của các lực đối với ba điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng đều bằng 0. ∑mA ( kF  ) = 0 ∑mB ( kF  ) = 0 (2.13) ∑mC ( kF  ) = 0 A, B, C không thẳng hàng. Thật vậy, hệ có hợp lực thì hợp lực đều phải đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, điều đó không thể xảy ra. Vậy R...A và B đó lại đi được các đoạn đường bằng nhau (AA1 = BB1) tức là cùng một thời điểm, hai điểm A và B có vận tốc bằng nhau. Từ quan sát trên, chúng ta rút ra các tính chất của chuyển động tịnh tiến: - Các điểm trên vật chuyển động tịnh tiến vạch ra các quĩ đạo đồng nhất. O2 O1 A A’ B B’ 45 A z 0   - Tại một thời điểm nào đó, mọi điểm của vật chuyển động tịnh tiến đều có cùng vận tốc và gia tốc. VA = VB aA = aB Như vậy, việc nghiến cứu chuyển động tịnh tiến của vật rắn hoàn toàn thay thế bằng việc nghiên cứu chuyển động của một điểm bất kì thuộc vật. Kết luận này cho phép ta áp dụng hoàn toàn các công thức về chuyển động của điểm đối với vật chuyển động tịnh tiến. 2. Chuyển động quya của vật rắn quanh một trục cố định: 2.1. Định nghĩa: Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà trên vật có ít nhất hai điểm nằm yên. Đường thẳng đi qua hai điểm nằm yên chính là trục quay của vật. Những điểm không nằm trên trục quay chuyển động vạch nên những đường tròn vuông góc với trục quay và có tâm nằm trên trục quay. Chuyển động của trục máy, bánh răng, puli, vôlăng là các ví dụ về chuyển động quay của vật rắn thường gặp trong kỹ thuật. 2.2. Góc quay: Giả sử vật rắn cho trên hình vẽ quay quanh trục cố định Z. Vẽ mặt phẳng π0 cố định, mặt phẳng π di động. Ban đầu cho π0 trùng với π , khi vật quay tới thời điểm t, π0 hợp với π một góc φ gọi là góc quay. Trị số góc quay φ phụ thuộc vào thời điểm t, nói cách khác φ là hàm số của t. φ = φ (t) (5.1) Phương trình (5.1) hoàn toàn xác định vị trí của vật quay theo thời gian và được gọi là phương trình chuyển động của vật quay. Hình 5.3 Đơn vị φ là radian, kí hiệu rad ( radian là góc phẳng chắn trên đường tròn một cung dài bằng bán kính). 1 rad = 2 360o = 57017’48’’. Trong kỹ thuật góc quay đựơc t ính theo số vòng quay n. Khi vật quay 1 vòng thì góc quay là 2π (rad). Khi vật quay N vòng thì góc quay là 2πN (rad). Tức là: φ = 2πN (rad) (5.2) 2.3. Vận tốc góc: Vận tốc góc là đại lượng đặc trưng cho sự quay nhanh hay chậm của vật quay, kí hiệu là ω. Giá sử tại thời điểm t, vật quay được một góc φ. Tại thời điểm t1 = t + Δt vật quay được một góc φ1 = φ + Δφ. 46 Như vậy trong khoảng thời gian Δt vật quay được 1 góc Δφ. Tỉ số t  được gọi là vận tốc góc trung bình (ωtb). ttb    Khi thời điểm t1 rất gần t, tức Δt gần bằng 0 vận tốc trung bình tiến tới vận tốc tức thời ω. Đơn vị ω = đơn vị góc quay/ đơn vị thời gian = rad/ s = 1/s = s. Trong kỹ thuật, vận tốc góc được tính theo số vòng quay trong một phút, kí hiệu n (vòng/phút). Như đã biết, cứ một vòng quay thì ứng với một góc 2π (rad), với n (vòng/ phút) thì ứng với góc quay 2πn (rad/ ph) hay )/( 60 2 sradn . Suy ra 3060 2 nn   (rad/s). (5.3) Công thức (5.3) biểu diễn mối quan hệ giữa ω và n. 2.4. Gia tốc góc: Gia tốc góc là đại lượng đặc trưng cho độ biến thiên của vận tốc góc trong chuyển động quay, kí hiệu là ε. Tương tự như trên, ta có gia tốc góc trung bình: ttb    Khi Δt → 0 thì gia tốc góc trung bình tiến tới gia tốc góc tức thời. t o  (5.4) Đơn vị ε = đơn vị vận tốc góc/ đơn vị thời gian = rad/s/s = rad/s2 = s-2. 2.5. Vật quay đều: (ω= hằng số) t   Suy ra: φ = ω. t (5.5) Phương trình (5.5) gọi là phương trình vật quay đều. 2.6. Vật quay biến đổi (ε = hằng số) Giả sử tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc góc ωo tại thời điểm t vật có vận tốc góc ω , ta có: 2   otb Mặt khác: ttb   Suy ra: 2   o t Từ (7.4) ta có ω = ωo + ε. t 47 z M OR M1  S NM O Cho nên 2 t t oo   2 2tto   . Tổng quát, ta có phương trình vật quay biến đổi đều là: ω = ωo ± ε. t (5.7) 2 2tto   . Công thức (5.7) lấy dấu (+) khi vật quay nhanh dần đều, lấy dấu (-) khi vật quay chậm dần đều. 3. Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định: 3.1. Quĩ đạo: Các điểm trên vạch nên những đường tròn vuông góc với trục quay, có tâm nằm trên trục quay, có bán kính là khoảng cách từ các điểm đó tới trục quay. 3.2. Vận tốc: Giả sử trong khoảng thời gian Δt điểm dịch chuyển được cung tròn Δs tương ứng với góc quay Δφ. Ta c ó: Δs = R. Δφ. Chia cả hai vế đẳng thức trên cho Δt: t R t s     . . Khi Δt→0, Δs/ Δt → V,     t . Đẳng thức trên trở nên: V = R. ω. (5.8) Hình 5.4 Tức là: vận tốc của điểm trên vật quay bằng tích số giữa vận tốc góc của vật quay với bán kính quay. Nói khác đi, vận tốc các điểm trên vật quay tỉ lệ với bán kính quay ( khoảng cách từ điểm đến trục quay). Quan hệ tỉ lệ đó được biểu diễn trên hình vẽ. Giả sử M và N là hai điểm trên vật, ta có:   . . ONV OMV N M   Suy ra Vận tốc của điểm trên vật quay còn có thể tính theo công thức: V= R. ω = 30 . nR . 6030 DnRnV  (5.9) 48 OM an a a V   V a a an M O Hình 5.5 3.3. Gia tốc: Một điểm trên vật quay, M chẳng hạn, thực hiên chuyển động tròn nên gia tốc của nó gồm hai thành phần: gia tốc tiếp tuyến a  và gia tốc pháp tuyến na  (Hình 5.6). Hình 5.6 a. Gia tốc tiếp tuyến aτ: t R t Va      . . Khi Δt→0,     t Đẳng thức trở nên: aτ = R. ε (5.10) Gia tốc tiếp tuyến của điểm trên vật quay bằng tích số giữa gia tốc góc với bán kính quay. b.Gia tốc pháp tuyến an: 2 22 ).(  R R R R Van  (5.11) Gia tốc pháp tuyến của điểm trên vật quay bằng tích số giữa bình phương vận tốc góc với bán kính quay. c.Gia tốc toàn phần a : naaa    Về trị số: 22 naaa   = 222 ).()(  RR  42   Ra (5.12) Chú ý: Hướng của a trùng với hướng V  , điểm trên vật quay nhanh dần. Hướng của a ngược với hướng V  , điểm trên vật quay chậm dần.  Bài tập áp dụng. 49 1: Một trục máy đang quay với vận tốc n = 600vòng/phút thì tắt máy và sau 20 giây thì dừng hẳn. Tính gia tốc góc, và số vòng quay của trục trong 20s đó Bài làm Sau khi tắt máy, trục quay chậm dần đều Ta có : 000 2 00 000 ).().(. 2 1 ).(     tttt tt (9-12) Trong đó : Khi t0 = 0s thì )/(.2030 600.14,3 30 . 0 srad n   , φ0 = 0 Khi t = 20s thì ω = 0 Thay vào (9-12) Ta Có )/(.2020.0 2srad  )(.20020..2020..2 1 2 rad  Số vòng quay của trục trong 20s là )(100 .2 .200 .2 vòngN      2: Một vật quay quanh trục cố định O (Hình 9-5). Tại thời điểm khảo sát điểm M cách trục quay một khoảng R= 0,5m; có vận tốc v = 2m/s; a = 10 m/s2. Tính vận tốc góc và gia tốc góc của vật? Bài làm *Vận tốc góc của vật là ω Ta có )/(4 5,0 2. srad R vRv   *Gia tốc góc của vật là ε - Gia tốc tiếp của điểm M là R a Ra tt   . O M a M v M Hình 9-5 aM O M  a M t ε 50 - Gia tốc pháp của điểm M là )/(85,0.4. 222 smaRa nn   Gia tốc của điểm M là )/(6810 2222222 smaaaaaa ntnt  Vậy gia tốc góc của vật là: )/(12 5,0 6 2srad * Hình vẽ (Hình 9-6) CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Nêu định nghĩa chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định? 2. Viết các biểu thức tính vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn có chuyển động quay quanh một trục cố định? 3. Vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật rắn có chuyển động quay quanh một trục cố định? BÀI TẬP Bài 1 : Một vật quay quanh trục cố định O với vận tốc góc  = 20 rad/s, gia tốc góc ε = 10π rad/s2. Tính vận tốc và gia tốc của điểm B cách trục quay một khoảng R = 0,2m? (Hình 9-7) Bài 2 : Véc tơ gia tốc của một điểm trên vành tròn chuyển động quay quanh trục O tạo với bán kính một góc 600, gia tốc tiếp của điểm đó tại thời điểm khảo sát là at = 10 3 m/s2 (Hình 9-8). Tìm gia tốc pháp của điểm M. Biết điểm M cách trục quay một khoảng r = 0,5m. Bán kính vành tròn là R= 1m ? Bài 3 : Một vật quay nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ lúc t = 1s điểm cách trục quay một khoảng R1= 2 m có gia tốc a = 2 2 m/s2 (Hình 9-9). Tìm gia tốc của điểm cách trục quay một khoảng R = 4m lúc t = 2s? 51 Bài 6: Chuyển động song phẳng của vật rắn Mục tiêu: - Ghi nhớ nững kiến thức khi khảo sát một dạng chuyển động phức tạp nhưng thường gặp trong kỹ thuật đó là chuyển động song phẳng (hay còn gọi là chuyển động phẳng). - Giải được các bài toán lien quan đến chuyển động của một số cơ cấu, bộ phận máy, thiết bị có chuyển động song phẳng 1. Khái niệm. 1.1. Định nghĩa Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm thuộc vật luôn di chuyển trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cho trước Ví dụ: Điểm M và mặt phẳng (S) cùng thuộc vật rắn có chuyển động song phẳng. Điểm M luôn luôn chuyển động trong mặt phẳng (S), mặt phẳng (S) thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) luôn song song với mặt phẳng (Q); (Q) là mặt phẳng quy chiếu cho trước (Hình 10-1) 1.2. Phương pháp khảo sát vật rắn chuyển động song phẳng. Chuyển động song phẳng của vật rắn là một chuyển động phức hợp hay gặp trong kỹ thuật. Khi nghiên cứu chuyển động phức hợp của vật rắn ta thường phân tích chuyển động phức hợp ra cácchuyển động cơ bản đã biết phương pháp tính. Phương pháp nghiên cứu vật chuyển động song phẳng tương đối tổng quát: Đầu tiên khảo sát chuyển động của toàn vật sau đó khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật rắn chuyển động song phẳng. * Mô hình - Thanh truyền AB trong cơ cấu tay quay con trượt (Hình 10-2); - Cơ cấu bốn khâu (Hình 10-3) - Bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng (Hình 10-4).. 2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phương pháp tịnh tiến và quay đồng thời. Hình 10-2 O A B 0 Hình 10-3 O A B C Hình 10-4 O M N aM Hình 9-9 52 2.1. Phân tích chuyển động của hình phẳng (S) thành chuyển động tịnh tiến và quay đồng thời. Xét hình phẳng (S) chuyển động trong mặt phẳng (P). - Trong mặt phẳng (P) chọn hệ trục tọa độ cố định x1o1y1. - Lấy một điểm O thuộc hình phẳng (S) gắn vào đó hệ trục động xoy sao cho Ox // O1x1 Oy // O1y1 Vậy hệ trục xoy có chuyển động tịnh tiến đối với hệ trục x1O1y1 - Đối với hệ trục xOy tấm phẳng có chuyển động quay quanh trục O và góc định vị là góc φ + Khi hình phẳng chuyển động thì các thông số x0, y0 , φ sẽ thay đổi theo thời gian Ta có Phương trình chuyển động của hình phẳng )( )( 00 00 tyy txx   ;  t  (10-1) Qua phân tích trên ta thấy,chuyển động của hình phẳng (S) được phân tích thành chuyển động tịnh tiến cùng với hệ trục Oxy và quay quanh trục qua O 2.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng. Định lý 1: Vận tốc của điểm B bằng tổng hình học vận tốc của điểm A và vận tốc của điểm B khi hình phẳng quay quanh cực A. (Hình 10-6) Biểu thức: BAAB vvv   (10-2) Trong đó BAv  : là vận tốc của điểm B khi hình phẳng quay quanh cực A Vận tốc BAv  có: - Phương: Vuông góc với BA - Chiều: theo chiều quay ω - Độ lớn: BAvBA . Định lý 2: Hình chiếu của các véc tơ vận tốc của hai điểm thuộc hình phẳng lên đường thẳng nối hai điểm đó bằng nhau(hình 10-7) B A vA vB vBA vAω Hình 10-6 Hình 10-5 o 1 y 1 x1 o y x φ  xo yo (S) 53 )()( AABBAB vhcvhc  (10-3) Định lý 3 :Gia tốc của điểm B bằng tổng hình học gia tốc của điểm A và gia tốc của điểm B khi hình phẳng quay quanh cực A. (Hình 10-8) Biểu thức BAAB aaa   (10-4) Trong đó: tBAnBABA aaa   (10-5) - Gia tốc tiếp tuyến tBAa  có - Phương: Vuông góc với BA tBAa  có - Chiều: theo chiều của ε - Độ lớn: BAa tBA . - Gia tốc pháp tuyến n BAa  có - Phương : Dọc theo BA nBAa  có - Chiều: Hướng về cựcA - Độ lớn: BAa nBA . 2 3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép quay tâm vận tốc tức thời. 3.1 .Tâm vận tốc tức thời - Định nghĩa: Nếu tại thời điểm khảo sát tồn tại một điểm thuộc hình phẳng có vận tốc bằng 0 thì điểm đó gọi là tâm vận tốc tức thời - Định lý 3: Tại thời điểm vận tốc góc của hình phẳng khác 0 (ω ≠ 0) thì tồn tại duy nhất một tâm vận tốc tức thời 3.2.Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng. * Khi 0 : Gọi P là tâm vận tốc tức thời tức là có vP = 0 Tính vận tốc của các điểm thuộc hình phẳng theo vP? Vận tốc của điểm M MPPM vvv   (10-6) B A a B a BA a A ω a BA n a BA t a A Hình 10-8 P M N v M v N  Hình 10-7 B A v A v B v BA ω hc AB (v A ) hc AB (v B) 54 mà có vP = 0  MPvv MPM .  Tương tự tính vận tốc của điểm N NPvv NPN .   MP NP v v N M  Định lý 4 : Tại thời điểm tồn tại tâm vận tốc tức thời, vận tốc của các điểm thuộc hình phẳng phân bố giống như trường hợp quay quanh tâm vận tốc tức thời * Khi 0 : thì ta có vM = vMP = 0 vN = vNP = 0 Vậy vật chuyển động tịnh tiến tức thời 3.3. Phương pháp tâm vận tốc tức thời * Trường hợp 1: Theo định lý 1 Ta có APPA vvv   mà vP = 0  APA vv    vA = vAP = ω.AP   AvAP  Khi đó ta tìm được Tâm vận tốc tức thời P (Hình 10-10 a) * Trường hợp 2: Biết vận tốc điểm A và B có phương cắt nhau. Từ hai điểm A và B kẻ hai đường vuông góc với các phương vận tốc của chúng. Giao điểm của hai đường này là tâm vận tốc tức thời P (Hình 10-10b) * Trường hợp 3: Biết vận tốc điểm A và B có phương song song với nhau. Nếu AB vuông góc với hai vectơ vận tốc. Giao điểm của AB và đường thẳng qua các điểm mút của các vận tốc là tâm vận tốc tức thời P (Hình 10- 10c) và (Hình 10-10d) * Trường hợp 4: Hai vectơ vận tốc của hai điểm AB có phương song song với nhau, cùng chiều, bằng nhau và cùng vuông góc với AB thì tâm vận tốc tức thời P ở vô cùng (Hình 10-10e) * Trường hợp 5: Khi một hình phẳng lăn không trượt trên đường thẳng thì điểm tiếp xúc giữa hình phẳng và đường thẳng là tâm vận tốc tức thời P (Hình 10-10g) v B v A A B ω P v A v A v PA P A ω v B v A A B  55 a, b, c, d, e, g, Hình 10-10 Bài tập ứng dụng: Bài 1: Một bánh xe có bán kính R = 0,2m lăn không trượt trên một đường thẳng cố định. (Hình 10-11). Tính vận tốc và gia tốc của điểm M trên vành bánh xe tại thời điểm tâm O của bánh xe có vận tốc là vo = 1m/s, gia tốc ao = 1,6 m/s2 Bài làm Bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng cố định. Vậy lúc này bánh xe thực hiện chuyển động song phẳng đang theo cách xác định tâm vận tốc tức thời thì điểm tiếp xúc bánh xe và đường thẳng là tâm vận tốc tức thời P Theo định lý 4 Ta có 5 2,0 1.  OP v OPv OO  (rad/s) Và có 8 2.0 6,1..  R a ROPaa OtOPO  (rad/s2) * Vận tốc của điểm M là 22.2,0.5.  MPvM  (m/s) Phương ,chiều của vận tốc của điểm M (Hình 10-12) P A B v A vB A B vA vB P  O Ma O a t aMOn a MO a M aO P ω P O M v M ω v Hình 10-12 O M v O a O ω Hình 10-11 56 * Gia tốc của điểm M là tMO n MOOM aaaa   (10-7) - Gia tốc pháp tuyến nMOa  : có - Phương :Vuông góc với MO - Chiều: theo chiều của ε -Độ lớn : 52,0.5. 22  MOa nMO  (m/s2) - Gia tốc tiếp tuyến tMOa  : có - Phương : Dọc theo MO - Chiều : Hướng về cựcP - Độ lớn : 6,12,0.8.  MOa tMO  (m/s2) Chiếu biểu thức (10-7)lên hệ trục xOy theo hình vẽ ta có 6,1 4,356,1   t MOMY n MOOMX aa aaa  75,312,14)6,1()4,3( 2222  MYMXM aaa (m/s2) Phương ,chiều của gia tốc của điểm M (Hình 10-13) CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Nêu định nghĩa chuyển động song phẳng của vật rắn, phân tích các chuyển động của hình phẳng và nêu các thông số động học của chuyển động? 2. Phát biểu định lý quan hệ vận tốc giữa hai điểm và định lý quan hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc hình phẳng có chuyển động song phẳng? 3. Nêu định nghĩa, định lý tâm vận tốc tức thời? Các quy tắc tìm tâm vận tốc tức thời? BÀI TẬP A B ε ω O 2 1 Hình 10-14 57 Bài 1: Cơ cấu tay quay OA quay xung quanh trục O làm bánh 2 lăn không trượt theo vành bánh 1 cố định.Biết r1 = 0,2m, r2 = 0,3m (Hình 10-14). Lúc tay quay có vận tốc góc ω= 1rad/s và gia tốc góc ε = 4 rad/s2. Tìm: a) Vận tốc góc của bánh 2, vận tốc điểm B trên vành bánh 2; biết AB OA? b) Gia tốc góc bánh 2 và gia tốc điểm B? Bài 2: Một đĩa phẳng có bán kính R = 0,5m lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng (Hình 10-15), tại thời điểm khảo sát tâm của đĩa có vận tốc vA = 1m/s và gia tốc aA = 3m/s2 . Tìm : a. Vận tốc góc của đĩa, vận tốc các điểm C, D, E? b. Gia tốc góc của đĩa, gia tốc các điểm B, C? A B E D C Hình 10-15 58 Bài 7: Hợp chuyển động điểm Mục tiêu: - Ghi nhớ những kiến thức về chuyển động cơ bản của vật rắn, của chất điểm thuộc vật rắn. Từ đó ứng dụng vào một số chuyển động đơn giản gặp trong kỹ thuật, trong một số cơ cấu máy. - Tính toán được các chuyển động thường gặp trong kỹ thuật. Nội dung. 1. Khái niệm - Định nghĩa 1.1. Một số khái niệm. Nếu một điểm tham gia đồng thời nhiều chuyển động thì điểm đó thực hiện tổng hợp chuyển động của điểm * Mô hình Chất điểm M có chuyển động đối với hệ quy chiếu động (B), hệ quy chiếu động (B) có chuyển động đối với hệ quy chiếu cố định (A). Vậy chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu cố định (A) được gọi là tổng hợp chuyển động từ hai chuyển động trên - Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu động (B) là chuyển động tương đối - Chuyển động của hệ quy chiếu động (B) đối với hệ quy chiếu cố định (A)gọi là chuyển động theo - Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu cố định (A) được gọi là chuyển động tuyệt đối 1.2. Định nghĩa. a. Vận tốc tuyệt đối của điểm: Ký hiệu: av  Vận tốc tuyệt đối của điểm là vận tốc chuyển động của điểm đó đối với hệ quy chiếu cố định dt MOdva 1  (11-1) b.Vận tốc tương đối: Ký hiệu: rv  Vận tốc tương đối là vận tốc chuyển động của điểm đối với hệ quy chiếu động z (A) (B) x y y 1 z 1 x 1 M O O 1 Hình 11-1 59 dt OMdvr   (11-2) c.Vận tốc theo: Ký hiệu: ev  Vận tốc theo là vận tốc chuyển động của hệ quy chiếu động đối với hệ quy chiếu cố định Xét điểm M* thuộc hệ quy chiếu động (B). Tại thời điểm khảo sát có M* ≡M Ta có : dt OMdve *  (11-3) 2. Định lý hợp vận tốc. 2.1. Định lý: Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học vận tốc tương đối và vận tốc theo Ta có : era vvv   (11-4) 2.2. Xác định trị số của vận tốc tuyệt đối. Ví dụ : Một ống tròn bán kính R quay quanh trục cố định O với vận tốc ω. Một chất điểm (viên bi) chuyển động đều trong ống tròn với vận tốc không đổi vo. Tính vận tốc tuyệt đối của chất điểm khi nó ở vị trí M? (Hình 11-2) Biết O1O = 2R Bài giải Chọn ống tròn làm hệ quy chiếu động, trục quay là hệ quy chiếu cố định vậy ta có các chuyển động tương đối sau: - Chuyển động của chất điểm đối với ống tròn là chuyển động tương đối or vv  - Chuyển động của ống tròn đối với trục quay là chuyển động theo + Phương: vuông góc với OM ev có : + Chiều: Theo chiều của  + Độ lớn: ve = .OM - Chuyển động của chất điểm đối với trục quay là chuyển động tuyệt đối rea vvv  (1) Lập hệ trục tọa độ xMy , chiếu biểu thức (1) Hình 11-2 M O ω uo O1 Hình 11-3 O1 x ω uo ve vavrα O M y 60 lên hệ trục ta được: 0sin. cos. vvvvv vvvv eryeyay erxexax     Từ hình vẽ ta có : 5 1 5. sin; 5 2 5 .2cos 5.   R R R R ROM  Thay vào ta có oay ax vRv Rv     . ..2  22 ).()..2( oa vRRv   3. Định lý hợp gia tốc (trường hợp chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến). 3.1. Khái niệm. Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc. 3.2. Định lý: Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học vận tốc tương đối và vận tốc theo Ta có : era vvv   (11-4) Ví dụ : Một ống tròn bán kính R quay quanh trục cố định O với vận tốc ω. Một chất điểm (viên bi) chuyển động đều trong ống tròn với vận tốc không đổi vo. Tính vận tốc tuyệt đối của chất điểm khi nó ở vị trí M? (Hình 11-2) Biết O1O = 2R Bài giải Chọn ống tròn làm hệ quy chiếu động, trục quay là hệ quy chiếu cố định vậy ta có các chuyển động tương đối sau: - Chuyển động của chất điểm đối với ống tròn là chuyển động tương đối or vv  - Chuyển động của ống tròn đối với trục quay là chuyển động theo + Phương: vuông góc với OM ev có : + Chiều: Theo chiều của  + Độ lớn: ve = .OM Hình 11-2 M O ω uo O1 Hình 11-3 O1 x ω uo ve vavrα O M y 61 - Chuyển động của chất điểm đối với trục quay là chuyển động tuyệt đối rea vvv  (1) Lập hệ trục tọa độ xMy , chiếu biểu thức (1) lên hệ trục ta được: 0sin. cos. vvvvv vvvv eryeyay erxexax     Từ hình vẽ ta có : 5 1 5. sin; 5 2 5 .2cos 5.   R R R R ROM  Thay vào ta có oay ax vRv Rv     . ..2  22 ).()..2( oa vRRv   62 Bài 8: Cơ sở động lực học chất điểm Mục tiêu. - Ghi nhớ các khái niệm, các định luật cơ bản về động lực học, phương trình vi phân và hai bài toán cơ bản của động lực học. - Biết được các khái niệm, định luật cơ bản về động lực học, phương trình vi phân. Giải được hai bài toán cơ bản của động lực học. Nội dung. 1. Những khái niệm cơ bản: 1.1. Chất điểm: Chất điểm còn được gọi là vật điểm, là một điểm hình học có mang khối lượng. Chất điểm là mô hình của các vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua được do nhỏ so với các vật thể khác hoặc không đóng vai trò gì trong quá trình khảo sát chuyển động, ví dụ khi xác định tầm xa của viên đạn hoặc khi khảo sát chuyển động của các vật tịnh tiến có thể xem chúng là chất điểm. 1.2. Cơ hệ: Cơ hệ là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm trong đó chuyển động của một chất diểm bất kỳ phụ thuọcc vào chuyển động của chất điểm còn lại, nghĩa là chuyển động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Nói khác đi, giữa các chất điểm của cơ hệ tồn tại các tương tác cơ học. Tùy thuộc vào bản chất của tương tác cơ học giữa các chất điểm cơ hệ được phân thành cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. - Cơ hệ tự do là tập hợp các chất điểm mà mối tương tác cơ học giữa chúng được biểu hiện thuần túy qua lực tác dụng. Nói khác đi, cơ hệ tự do, là tập hợp các chất điểm tự do, tức là chất điểm mà di chuyển của nó (di chuyển vô cùng bé) từ vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào cũng không bị cản trở. - Cơ hệ không tự do, còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển động của chúng, ngoài lực tác dụng, vị trí và vận ttốc của các chất điểm bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trước được gọi là những liên kết. Cơ cấu máy là một ví dụ về cơ hệ không tự do. Vật rắn tuyệt đối: là mmột cơ hệ gồm vô số các chất điểm mà khoảng cách giữa hái chất điểm bất kỳ của nó không đổi trong suốt thời gian chuyển động. Trong thực tế các vật mà biến dạng của nó có thể bỏ qua do bé hoặc do không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát chuyển động, được xem là vật rắn tuyệt đối, thường gọi tắt là vật rắn. 1.3. Hệ quy chiếu quán tính: Muốn khảo sát chuyển động của các vật thể trước hết phải chọn hệ quy chiếu. Trong động lực học hệ quy chiếu đượcc chọn là hệ quy chiếu quán tính, đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật quán tính của Galilê được nghiệm đúng. Trong thực tê, tùy thuộc yêu cầu của độ chính xác của bài toán khảo sát, người ta chọn hệ quy chiếu quán tính gần đúng. Trong thiên văn hệ quy chiếu quán tính được chọn là hệ trục tọa độ có gốc ở tâm mặt trời và ba trục hướng đến ba ngôi sao cố định. Trong kỹ thuật hệ quy chiếu quán tính được chọn thường là hệ trục tọa độ gắn liền với quả đất 2. Các định luật cơ bản của động lực học: 63 M a F 2.1. Định luật quán tính: Nếu không chịu tác dụng của lực nào vào chất điểm thì chất điểm sẽ nằm yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều. Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính. Như vậy, nếu ta gọi lực tác dụng vào chất điểm là F  , vận tốc của chất điểm là v ; theo định luật quán tính thì: Khi F  = 0, ta có: v = hằng số, đặc biệt có thể v = 0. Định luật quán tính cho ta thấy rằng nếu không có lực nào tác dụng vào các chất điểm thì các chất điểm nói chung có xu hướng muốn giữ nguyên trạng thái chuyển động của nó; nói khác đi nếu không có lực nào tác dụng vào chất điểm thì vận tốc của chất điểm sẽ được bảo toàn cả về hướng lẫn trị số. Tính chất bảo toàn vận tốc của các chất điểm như thế gọi là quán tính và trạng thái nằm yên hay chuyển động thẳng đều được gọi là chuyển động quán tính. Vì thế định luật quán tính còn có thể phát biểu: Nếu không có lực nào tác dụng vào chất điểm thì chất điểm sẽ chuyển động quán tính. Trong thực tế các chất điểm luôn tác dụng tương hỗ lẫn nhau do đó chuyển động quán tính thường ít xuất hiện. Vì thế dễ dàng thấy rằng muốn có chuyển động quán tính ta cần cô lập chất điểm với các vật thể xung quanh. Ta biết rằng lực và chuyển động liên hệ với nhau rất mật thiết, chính lực là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động. Định luật quán tính chưa cho biết cụ thể sự liên hệ đó, khi khảo sát đên định luật tỷ lệ giữa lực vag gia tốc sẽ nói rõ sự liên hệ này. 2.2. Định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc: Lực tác dụng lên một chất điểm có phương và chiều trùng với phương và chiều của gia tốc, có trị số bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm và trị số của gia tốc. Giả sử có chất điểm M có khối lượng là m chuyển động theo một đường cong nào đó (hình 8.1 ), nếu gọi lực tác dụng là F  ; gia tốc là a , thì biểu thức toán học của định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc là: amF   . (8.2) Về trị số, ta có: F = ma (8.3) Hình 8.1 Phương trình (8.2) thiết lập mối liên hệ cơ bản giữa lực và chuyển động, được gọi là phương trình có bản của động lực học. Từ (8.3) ta thấy với cùng một lực tác dụng, nếu chất điểm có khối lượng càng lớn thì gia tốc a càng nhỏ, vận tốc biến thiên càng ít, chuyển động sẽ càng gần chuyển động quán tính. Như vậy, khối lượng của một chất điểm biểu thị cho số đo quán tính của chất điểm đó. 64 A a F F' a' B (m) (m') Cũng từ (8.3), ứng dụng cho chất điểm có khối lượng m chuyển động rơi tự do với gia tốc rơi là gia tốc trọng trường g; trọng lượng P của chất điểm được tính theo: P = m.g Hay: g Pm  (8.4) Hình 8.2 Như vậy: khối lượng của một chất điểm bằng tỷ số giữa trọng lượng của nó với gia tốc trọng trường. Nó thiết lập mối quan hệ giữa trọng lượng và khối lượng của chất điểm. 2.3. Định luật cân bằng giữa lực tác dụng và phản lực: Các lực mà hai chất điểm tác dụng tương hỗ bao giờ cũng bằng nhau về trị số, cùng đường tác dụng và ngược chiều. Như vậy nếu chất điểm B tác dụng lên chất điểm A một lực F  (hình ) thì ngược lại chất điểm A cũng sẽ tác dụng lên chất điểm B một lực 'F  bằng nhau và ngược chiều với lực F. FF  ' ( về trị số F’ = F) (8.5) Định luật này trình bày cho vật rắn đứng yên, đên đây ta thấy nó vẫn đúng cho cả trường hợp hợp vật rắn chuyện động và kết luận về lực không xuất hiện một chiều chẳng những chỉ dùng cho vật đứng yên mà vẫn còn đúng cho trường hợp tổng quát – vật chuyển động. Nếu gọi m và m’ là khối lượng của hai chất điểm A và B, a và a’ là trị số các gia tốc tương ứng của chúng theo (8.3) ta có: F = ma; F’ = m’a’ Nhưng F = F’ Nên ma = m’a’ Do đó: m m a a ' '  (8.6) Vậy: Gia tốc mà các chất điểm truyền cho nhau tỷ lệ nghich với khối lượng của chúng. Trong thực tế đôi khi ta không thấy rõ điều này vì sự chênh lệch khối lượng giữa các chất điểm truyền gia tốc cho nhau quá lớn. Ví dụ quả đất hút một vật với gia tốc g thì ngược lại quả đất cũng bị hút về phía vật, nhưng do khối lượng 65 M a F y z x của vật không đáng kể so với khối lượng quả đất nên gia tốc mà vật gây ra cho qủa đất quá nhỏ đến nỗi ta không cảm thấy được. 2.4. Định luật độc lập tác dụng của các lực: Gia tốc mà các chất điểm nhận được khi chịu tác dụng đồng thời của nhiều lực bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm nhận được khi chịu tác dụng riêng biệt của từng lực: naaaa   ...21 (8.7) Từ đó, ta có thể chứng minh rằng hợp lực R  của hệ xác định theo công thức: nFFFR   ...21 (8.8) Sẽ có tác dụng tương đương với cả hệ, nghĩa là cũng gây ra cho chất điểm gia tốc a . Thật vậy, vì lực 1F  gây gia tốc 1a  , lực 2F  gây gia tốc 2a  nên theo (8.2) ta có: nn amFamFamF   ;....;; 2211 Do đó từ (8.8) ta có: namamamR   ....21 amaaam n   )....( 21 Biểu thức đó chứng tỏ rằng khi chịu tác dụng của lực R  , chất điểm cũng nhận được gia tốc a . Như vậy, khi gặp trường hợp chất điểm chịu tác dụng của một hệ lực thì ta có thể thay hệ lực bằng hợp lực của chúng mà không thay đổi trạng thái chuyển động của chất điểm đó. 3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm- Hai bài toán cơ bản của động lực học: 3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm: Giả sử có chất điểm M, khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực F  ( hình 8.3). Ta có: amF   . Hình 8.3 Chiếu đẳng thức véc tơ đó lên các trục của hệ qui chiếu quán tính Oy ta có: X = m . ax Y = m. ay (8.9) Z = m. az Trong đó X, Y, Z và ax, ay , az là hình chiếu của lực và gia tốc lên các trục toạ độ tương ứng. 66 Ta biết: 2 2 '' 2 2 2 2 )(;)('';)('' dt zdtza dt ydtya dt xdtxa zyx  Trong đó x = f1(t), y = f2(t) , z = f3(t) là phương trình chuyển động của chất điểm ( theo phương pháp toạ độ) thay vào (8.9) Ta được: 2 2 2 2 2 2 ;.;. dt zdmZ dt ydmY dt xdmX  (8.10) Hay X = m.x’’(t); Y = m.y’’(t) ; Z =...ới trục của thanh đặc trưng cho thớ dọc và vạch các đường vuông góc với trục của thanh đặc trưng cho mặt cắt ngang. Các đường này tạo nên lưới hình ô vuông (hình vẽ). H.a M M l M x Qy B A a a P H. bb P Pa P P + - B M=4qa2 YB= qa 10 1 2 2 z Mx Qy 0 117 Tác dụng mômen uốn ta thấy các đường vuông góc với trục của thanh bị xoay đi 1 góc nhưng vẫn là các đường thẳng vuông góc với trục của thanh. Các đường song song với trục của thnh trở thành các đường cong nhưng vẫn song song với trục của thanh. Ta làm thí nghiệm nhiều lần nhưng vẫn thu được kết quả như trên, từ đó ta có các giả thuyết. - Giả thuyết: + Giả thuyết 1: Các mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục của thanh. + Giả thuyết 2: Các thớ dọc của dầm trong quá trình biến dạng không chèn ép hoặc đẩy xa nhau. Ngoài ra ta có giả thuyết: Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là tuân theo định luật Húc.  E ;  G * Ứng suất trên mặt cắt ngang: - Đường trung hòa: Xét biến dạng của đoạn thanh khi nó chịu uốn thuần túy (hình vẽ). Khi chịu uốn thì các thớ ở phía trên bị co lại, các thớ phía dưới bị giãn ra. Như vậy chứng tỏ sẽ tồn tại một thớ mà kích thước của nó không bị thay đổi (nó chỉ bị uốn tù thẳng sang cong). Các thớ đó được gọi là thớ trung hòa, các thớ trung hòa sẽ tạo nên 1 lớp trung hòa. Giao tuyến giữa lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa (trục x). Trục y là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang của dầm gọi là đường tải trọng. Ta thấy đường trung hòa x luôn vuông góc với đường tải trọng y. - Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang: Dựa vào các giả thuyết ta thấy rằng trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần là ứng suất pháp (σz). Xét một mặt cắt ngang bất kỳ, trên mặt cắt ngang có nội lực là mômen uốn Mx. Lập hệ trục tọa độ xoy trong đó trục x là đường trung hòa (hình vẽ). M M §­êng t¶i träng Thí trung hoµ y x §­êng trung hoµ 118 Tại một điểm K(x,y) bất kỳ có giá trị Suất là σz. Xung quanh điểm K ta xét một Phân tố diện tích vô cùng bé dF. Nội lực Trên dF là σz. dF và tổng mômen của nó Lấy đối với trục x là:  F zx dF..yM  (6.1) Để tích phân được ta đi xác định quy luật biến thiên của σz. Ta xét một đoạn dầm có chiều dài vô Cùng bé dz. Xét thớ AB cách thớ trung hòa O1O2 một đoạn là y. Trước khi biến dạng các thớ đều có chiều dài là dz. Sau khi biến dạng thớ AB có chiều dài là    dy . Sau khi biến dạng trục thanh bị cong đi nhưng chiều dài của thớ trung hòa vẫn là dz.  d.OO 21  dz Trong đó ρ là bán khính cong của thớ trung hòa. Ta có:     y d ddy z   Vậy ta có:   yEE zz  (6.2) Thay (6.2) vào (6.1) có: x x x F 2 x EJ M1J.EdFyEM    Ta có: y. J M x x z  Đây chính là công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn thuần túy. Dấu của σz phụ thuộc vào 2 đại lượng đó là Mx và My. Đối với Mx được quy ước dấu như sau: Mx được xem là dương nếu nó làm căng thớ về phía chiều dương của trục y và ngược lại. Trong công thức trên ta phải xét dấu của cả hai đại lượng là Mx và y. Để đơn giản ta có công thức kỹ thuật: y J M x x z  Trong đó σz lấy dấu (+) nếu điểm đang tính ứng suất ở vùng kéo (dãn ra) và lấy dấu (-) nếu điểm đang tính ứng suất ở vùng nén (co lại). Ví dụ: Trên hình vẽ ta thấy mọi điểm nằm trên trục Mx Z dF F z y x K y x d  y 02 01 B A Mx Mx Mx x y + z - - + 119 trung hòa x đều ở vùng kéo nên ứng suất lấy dấu (+), còn mọi điểm nằm phía dưới trục trung hòa đều ở vùng nén nên ứng suất lấy dấu (-). Nhận xét: + Trục trung hòa x trong trường hợp uốn thuần túy chính là trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt hay trục trung hòa x luôn đi qua trọng tâm của mặt ngang. Thực vậy: Gọi σz.dF là vi phân nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF→ Tổng các vi phân nội lực đó là Nz.  F zz dF.N  = 0 0S0S.E0ydFEdFyEN xx FF z    , nghĩa là đường trung hòa chính là một trục trung tâm của mặt cắt. Mặt khác: 0S0S.E0ydFEdFyEN xx FF z    Hệ trục xoy là hệ trục quán tính chính trung tâm. + Từ công thức x x EJ M1   ta thấy nếu EJx càng lớn thì độ cong  1 của dầm càng nhỏ, tức là bán kính cong ρ càng lớn. Nghĩa là nếu EJx càng lớn thì trục dầm càng ít bị uốn cong đi. Do đó người ta gọi tích số EJx là độ cứng khi uốn của dầm. - Biểu đồ ứng suất pháp: Từ công thức y. J M x x z  ta thấy ứng suất pháp σz phân bố bậc nhất trên mặt cắt ngang theo trục y (vì tại một mặt cắt Mx và Jx là hằng số). Biểu đồ ứng suất pháp dùng để biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp dọc theo chiều cao của mặt cắt. + Khi y = 0 (ứng với các điểm trên đường trung hòa) thì σz = 0. + Khi kmaxy thì đạt ứng suất lớn nhất vùng chịu kéo: kmax x x max y.J M  + Khi nmaxyy  thì đạt ứng suất Lớn nhất vùng chịu nén: nmax x x min y.J M  Biểu đồ ứng suất pháp được biểu diễn trên hình vẽ. c. Điều kiện bền: Mx min zσ max zσ n maxy z k maxy y x + - 120 Tại một mặt cắt ngang bất kỳ ứng với 1 trị số Mx xác định ta luôn có 2 giá trị ứng suất pháp cực trị là max và min. Để đảm bảo độ bền thì ứng suất lớn nhất trên mọi mặt cắt ngang đều phải nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất cho phép. Để thuận tiện, người ta thường xác định mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt có ứng suất cực trị lớn nhất so với tất cả mặt cắt, nếu ứng suất cực trị trên mặt cắt nguy hiểm mà thỏa mãn điều kiện bền thì tất cả các mặt cắt khác cũng thỏa mãn. Mặt cắt nguy hiểm được xác định: - Nếu dầm có mặt cắt không thay đổi thì mặt cắt có Mxmax là mặt cắt nguy hiểm. - Nếu dầm có mặt cắt thay đổi thì ta phải tính ứng suất cực trị cho 1 số mặt cắt có khả năng ứng suất lớn nhất rồi so sánh tìm mặt căt nguy hiểm. * Mặt cắt bất kỳ: Tại mặt cắt nguy hiểm ta tìm thấy điểm nguy hiểm có 2 giá trị ứng suất pháp cực trị là max và min . k x xk W M  max x x max y.J M  n x xn W M  max x x min y.J M  Mặt cắt bất kỳ có đặc điểm nk yy maxmax  nên minmax   cho nên: Tùy theo vật liệu là dẻo hay dòn mà điều kiện bền được viết theo nguyên tắc chung đã trình bày trong chương kéo nén: Vật liệu dẻo:   minmax ;max Vật liệu dòn:    n k     min max * Mặt cắt có đường trung hòa là trục đối xứng (mặt cắt chữ nhật, mặt cắt tròn, chữ I,). Ta xét mặt cắt nguy hiểm: Ta thấy maxnmaxkmax yyy  cho nên có: x x W M  max x x minmax yJ M σσ Đặt max x x y JW  gọi là mômen chống uốn của mặt cắt. Ta có: Mx min zσ max zσ n maxy z k maxy y x + - 0 B A (B) max (A) min 121 x x max W M σ  Wx có thứ nguyên là [chiều dài]3 và có đơn vị thường dung là cm3 . Tại các điểm A và B đều có trị số tuyệt đối ứng suất như nhau và chúng đều ở trạng thái ứng suất đơn. Dựa vào nguyên tắc chung, ta có điều kiện bền đối với cả vật liệu dẻo và dòn. k][W M x x max   Sau đây ta sẽ đi xét mômen chống uốn của một số hình phẳng đơn gián thường gặp: - Hình chữ nhật có kích thước là bxh: Ta có: 6 bhW 12 bhJ; 2 hyy 2 x 3 x max n max k  - Hình tròn có đường kính D = 2R: 3x 4 x max 0,1DW0,05DJ; 2 Dy  - Hình vành khăn có đường kính ngoài là D và đường kính trong là d: Tương tự có:  43x η10,1DW  với D dη d. Mặt cắt hợplý: * Định nghĩa: Mặt cắt hợp lý là mặt cắt chịu lực tố nhất nhưng cũng tiết kiệm vật liệu nhất. Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta thấy càng gần đường trung hòa thì vật liệu chịu lực càng ít, cho nên người ta có xu hướng khoét bỏ bớt vật liệu bên trong tạo nên các mặt cắt như hình chữ I, chữ C ghép, Mặt khác, một mặt cắt hợp lý Phải được tạo sao cho điểm chịu kéo lớn nhất đạt đến ứng suất cho phép về kéo thì đồng thời điểm chịu nén lớn nhất cũng đạt đến ứng suất cho phép về nén. Nghĩa là: Khi max đạt tới []k thì lúc đó |min| cũng đạt tới []n . Tức là phải thỏa mãn biểu thức:            n max n x x min k max k x x max y J M y J M   Chia 2 vế của phương trình trên cho nhau ta được: 122        n k n k y y max max  Mặt cắt hợp lý phải thỏa mãn biểu thức trên, nghĩa là chiều cao của mặt cắt phải được chia theo tỷ lệ trên. + Với vật liệu dẻo thì α = 1 cho nên trọng tâm mắt cắt chia đều theo chiều cao, tức là: maxmax nk yy  . Đó là các mặt cắt có 2 trục đối xứng như mặt cắt chữ I, chữ C ghép cân, + Với vật liệu dòn do []k < []n nên α < 1. Do đó mặt cắt hợp lý của loại vật liệu này là mặt cắt sao cho maxmax nk yy  . Đó là các mặt cắt chỉ có một trục đối xứng như mặt cắt chữ T, chữ L ghép, 4. Uốn ngang phẳng: a. Định nghĩa: Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên mọi mặt cắt ngang của nó xuất hiện các thành phần nội lực là lực cắt Qy và mômen xoắn Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Mômen uốn Mx gây ứng suất pháp còn lực cắt Qy gây ứng suất tiếp. b. Ứng suất trên mặt cắt ngang: Sau khi làm thí nghiệm nhiều lần (giống như khi uốn thuần túy) và bằng lý thuyết đàn hồi, người ta đã chứng minh được rằng mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng không còn phẳng và vuông góc với trục của thanh như khi uốn thuần túy nữa. Điều đó chứng tỏ trên mặt cắt ngang không những chỉ có ứng suất pháp mà còn có ứng suất tiếp. * Ứng suất pháp: Do sự biến dạng của mặt cắt ngang khi chịu uốn ngang phẳng là không đáng kể nên có thể dung công thức ứng suất pháp của uốn thuần túy là: y J M x x z  Hoặc có thể dung công thức kỹ thuật: y J M x x z  *Ứng suất tiếp: Lực cắt gây nên ứng suất tiếp được xác định theo công thức Jurapski. Nội dung của phương pháp này như sau: Xét 1 mặt cắt có riêng lực cắt Qy tác dụng (hình vẽ). Ta phải xác định ứng suất tiếp tai điểm M trên mặt cắt có tung độ là y. Jurapski tiến hành như sau: Kẻ qua M một đoạn ab. Chiều dài ab ứng với điểm M gọi là bề rộng cắt (bc). Phần diện tích nắm dưới đoạn ab gọi là diện tích cắt (Fc). Theo Jurapski thì ứng 123 suất tiếp tại mọi điểm trên đoạn ab có phương song song với trục y (ký hiệu là zy), có chiều theo chiều của lực cắt Qy và có trị sô đều bằng nhau và bằng: cx c xy zy b.J S.Q  Trong đó: + Qy là lực cắt tại mọi điểm đang xét. + Jx là mômen quán tính của toàn bộ mặt cắt lấy đối với trục trung hòa. + bc là bề rộng cắt. + cxS là mômen tĩnh của phần diện tích Fc lấy đối với trục x. Nếu biết tung độ yc của trọng tâm phần diện tích Fc thì ta có thể tính được: cc c x .FyS  Dựa vào công thức tính ứng suất trên ta có thể tính được ứng suất tiếp của một số mặt cắt sau (hình vẽ): - Mặt cắt hình chữ nhật: có đáy là b, chiều cao là h. Ứng suất tiếp phân bố bậc 2 theo chiều cao và có giá trị ứng suất lớn nhất là: F Qy .2 .3 max  - Mặt cắt hình tròn: có đường kính là D Tương tự có: F Qy 3 4 max  - Mặt cắt chữ I: dJ SQ x xy . . max  Trong đó F là diện tích mặt cắt ngang. c. Điều kiện bền: Trong dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất pháp còn có ứng suất tiếp. Trong tính toán bền vì ảnh hưởng của ứng suất tiếp so với ứng suất pháp là không đáng kể cho nên ta thường bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất tiếp mà chỉ quan tâm đến ứng suất pháp. Ta xét một trường hợp đơn giản sau (hình vẽ): zy o yc y Qy a M C b y x Fc bc ma y x ma y x x y d zy  ma 124 Biểu đồ nội lực được xác định như hình vẽ. Ta thấy mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có: qlQqlM yx  ;2 2 max Ứng suất pháp cực đại: 2 2max max 3max bh ql W M x x  Ứng suất tiếp cực đại: bh ql bh Qy 2 3 2 3 2 max  Xét tỷ số: l h 2max max max    Ta biết rằng dầm có dạng thanh cho nên chiều cao h của mặt cắt ngang nhỏ hơn rất nhiều so với chiều dài l. Vậy tỷ số 2l h là rất bé, điều này có nghĩa là ứng suất tiếp bé hơn nhiều so với ứng suất pháp, cho nên có thể bỏ qua. Vậy tính toán bền cho uốn ngang phẳng cũng tương tự như tính toán bền cho uốn thuần túy. Chú ý: Nếu khi tính bền mà gặp những mặt cắt có bề rộng hẹp hoặc mặt cắt thay đổi đột ngột theo chiều cao (như mặt cắt chữ I,) thì ứng suất tiếp có trị số khá lớn không thể bỏ qua. Ta phải tính bền cho 3 điểm: ứng suất pháp, tiếp lớn nhất và điểm sát chân đế. min zσ max zσ + - m ax Q y max xM y x 2 ql2 ql q l M x Q y + 125 126 127 128 129 CHƯƠNG 13: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. Mã chương: MH09-13 Chương trước chúng ta mới khảo sát động lực học chất điểm. Nhưng trong thực tế chúng ta cũng gặp rất nhiều các bài toán động lực học đối với vật rắn (là tập hợp của vô số các chất điểm). Mục tiêu: - Trình bày được phương trình động lực học cơ bản của vật quay; - Giải được bài toán động lực học của vật quay; - Rèn luyện cho người học tính cẩn thận, chính xác và tư duy lôgic. 1. Hệ chất điểm, nội lực - ngoại lực Mục tiêu: - Trình bày được các định nghĩa về hệ chất điểm, nội lực và ngoại lực; - Phân tích được nội lực, ngoại lực tác dụng. 1.1. Định nghĩa hệ chất điểm: Cơ hệ là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm, trong đó chuyển động của một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển động của các chất điểm còn lại, tức chuyển động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Có cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. Cơ hệ tự do và cơ hệ chịu liên kết: Cơ hệ tự do là tập hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) các chất điểm mà tương tác cơ học giữa chúng được biểu hiện chỉ thuần tuý qua lực tác dụng. Về mặt động học nó gồm các chất điểm tự do, là những chất điểm mà di chuyển (vô cùng bé) của chúng từ vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào cũng không bị cản trở, ví dụ thái dương hệ là một cơ hệ tự do. Cơ hệ không tự do còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là cơ hệ mà ngoài tương tác lực, vị trí và vận tốc của các chất điểm thuộc cơ hệ bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trước, được gọi là những liên kết. Trong kỹ thuật các liên kết như vậy được thực hiện bằng sự nối kết giữa các phần tử của cơ hệ, thường là các vật. Cơ cấu máy hoặc một kết cấu của công trình xây dựng là những ví dụ về cơ hệ chịu liên kết. Vật rắn tuyệt đối cũng là một cơ hệ chịu liên kết. Nếu các điều kiện ràng buộc chỉ đối với vị trí các phần tử (chất điểm) của cơ hệ thì liên kết được gọi là liên kết hình học. 1.2. Định nghĩa nội lực - ngoại lực Việc khảo sát điều kiện cân bằng điều kiện cân bằng của hệ lực có thể dựa vào hai đặc trưng hình học của nó là véc tơ chính và mômen chính của hệ lực. Dựa trên điều kiện triệt tiêu vectơ chính và mômen chính của hệ lực ta thiết lập được phương trình cân bằng của hệ lực (trong phần Tĩnh học ta đãthiết lập được các phương trình cân bằng đối với vật rắn). 130 Phương pháp thiết lập phương trình cân bằng cho hệ lực (12-3) dựa vào tính chất triệt tiêu của vectơ chính và mômen chính của nó được gọi là phương pháp tĩnh - động lực hình học. Để áp dụng phương pháp này các lực tác dụng lên cơ hệ được phân tích thành những ngoại lực và những nội lực lk e kk FFF  (13-1) Vì vectơ chính và mômen chính đối với một điểm bất kỳ của hệ nội lực luôn luôn triệt tiêu, tức là : 0 lki FR ;   0 lkolo Fmm (13-12) Nên phương trình cân bằng của hệ lực (12-3) có dạng sau: 0 qtkek FF     0 qtkoeko FmFm (13-3) 2. Động lực học vật rắn Mục tiêu - Trình bày được phương trình động lực học cơ bản của vật quay. - Giải được bài toán động lực học của vật quay. 2.1. Khối tâm. 2.1.1.Khối tâm của cơ hệ Xét một cơ hệ gồm n chất điểm Mk (k = 1, 2, ... , n) có khối lượng m K , véctơ định vị kr . Điểm hình học C được gọi là khối tâm cơ hệ nếu vị trí của nó được xác định theo công thức sau (Hình 13-1)                   k kk C k kk C k kk C k n k kk C m zm z m ym y m xm x m rm r ;; . 1 (13-4) 2.1.2. Khối tâm của vật rắn : Xét một vật rắn và chia nó thành nhiều phần tử nhỏ Mk (k = 1, 2, ... , n), mỗi phần có trọng lượng Pi và trọng tâm là Ck (Xk, Yk, Zk). Như vậy C là trọng tâm của vật thì tọa độ của điểm C (XC, YC, ZC) được xác định bằng biểu thức sau: P XP X n k kk C   1 . ; P YP Y n k kk C   1 . ; P ZP Z n k kk C   1 . (13-5) Trong đó : Pk - là trọng lực của phần tử thứ k 131 P - là trọng lực của cả vật thể được xác định bằng công thức    n k kPP 1 Xk, Yk, Zk - là tọa độ của phần tử thứ k Như vậy trọng tâm của vật là một điểm C trên vật và chính là điểm đặt của trọng lực của vật. Định lý 8-1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì khối tâm (trọng tâm) của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng. Định lý 8-2: Nếu vật rắn gồm các phần mà khối tâm (trọng tâm) của chúng nằm trên một đường thẳng (mặt phẳng) thì khối tâm (trọng tâm) của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó. Áp dụng các định lý trên ta tìm ngay được: - Khối tâm (trọng tâm) của một thanh thẳng đồng chất tại điểm giữa của thanh. - Khối tâm (trọng tâm) của tam giác đồng chất là giao điểm của các trung tuyến (Hình 13-2). - Khối tâm (trọng tâm) của cung tròn đồng chất AB có bán kính R và góc tại tâm OAB = 2 được tính theo công thức (Hình 13-3a).  sinRxC  z z C C x x C y C y O M 1 (m 1 ) M 2 (m 2 ) M 3 (m 3 ) M N ( Nr ) Cr 1r 2r Nr Hình 13-1 132 Nếu cung AB là nửa đường tròn (  = 2  ) (Hình 13-3b) thì khối tâm (trọng tâm) tính theo công thức :  RxC 2 Khối tâm (trọng tâm) của một quạt tròn đồng chất AOB tâm O, có bán kính R và góc tại tâm AOB = 2 được tính theo công thức (Hình13-4a). 3 sin2 RxC  Nếu quạt tròn AOB là nửa mặt tròn (  = 2  ) (Hình 13-6b) thì khối tâm (trọng tâm) tính theo công thức: 3 4RxC  Định lý 8-3: Nếu tấm phẳng đồng chất được ghép từ m phần, mỗi phần có diện tích F i , có mô men tĩnh đối với các trục x,y tương ứng là S xi ,S yi thì khối tâm (trọng tâm) của nó được tính theo công thức : X C =     m i m i Fi Syi 1 1 ; Y C =     m i i m i F Sxi 1 1 (13-6) Ví dụ 1: Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm đồng chất hình chữ L có kích thước cho trên ( hình 13-5) Bài làm: Chia tầm hình chữ L thành hai tấm hình chữ nhật có khối tâm (trọng tâm): C 1và C 2 , ta có x 1=1cm; y1=5cm; x 2 =3cm; y 2 =1cm; F 1 = 20 cm 2 ; F 2 = 4 cm 2 Theo công thức (6-13) ta dễ dàng tính được : b) Hình 13-2 Hình 13-3 A1 A 2 A 3 C B O A C x α α B O A C x a) a) b) Hình 13-4 B O A C x B O A C x 133 S 1x = F 1y 1 =20.5=100 cm3 S 1y = F1 x 1= 20.1=20 cm3 S 2x =F 2 y 2 =4.1= 4 cm3 Sy2 = F 2 x2 = 4.3 = 12 cm3 Vậy : x C = 21 21 FF SS yy   = 420 1220   = 24 32 = 3 4 cm y C = 21 21 FF SS xx   = 420 4100   = 24 104 =4,3 cm Ví dụ 2 : Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm tròn đồng chất tâm O, bán kính R, bị khuyết mảnh tròn tâm A, bán kính r. Biết OA= a, a+ r < R (hình 13-6 ) Bài làm : Xem tấm bị khuyết là kết quả của việc ghép tấm tròn nguyên có khối tâm (trọng tâm) tại O (0;0), diện tích F 1 =  r 2 với mảnh tròn có khối tâm (trọng tâm) là A (0,0) ,diện tích âm F 2 = -  r 2 . Do tấm có trục O x đối xứng nên khối tâm (trọng tâm) nằm trên trục này (Y C =O), còn X C = 21 21 FF SS yy    X C = 21 2211 FF YFYF   = 22 22 .. .... rR arOR      X C = - 22 2. rR ra  Dấu (-) chứng tỏ C nằm bên trái tâm O. Hình13-6 y O C x r A 4, 3 cm x y 2 cm 10 c m 4/3 cm 2cm 2 cm Hình13-5 134 2.1.3. Mômen quán tính của vật rắn - Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z (hình 13-7) Kí hiệu: J z là đại lượng vô - Mô men quán tính của vật rắn đối với các trục toạ độ: Kí hiệu: Jx ; Jy ; J z - Mô men quán tính ly tâm là các đại lượng sau: Kí hiệu: Jxy ; Jxz ; Jyz Trục quán tính chính: - Trục x được gọi là trục quán tính chính nếu J xy = J xz = O - Trục y được gọi là trục quán tính chính nếu J yx =J yz = O - Trục z là trục quán tính chính khi J zx = J zy = O Mô men quán tính của vật rắn đối với 1 điểm. Kí hiệu: JO Bán kính quán tính : 2qt = M J z Đại lượng 2qt = M J z được gọi là bán kính quán tính của vật rắn đối với trục z. Đơn vị của mô men quán tính là kgm 2 , đơn vị của bán kính quán tính là m Mô men quán tính độc cực: J O = J x + J y - Mô men quán tính của vật rắn đối với trục bằng tổng mô men quán tính của nó đối với trục song song với trục qua khối tâm C của vật và tích của khối lượng vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục (hình 13-8): J  = J C + Md 2 Hệ trục quán tính chính: - Nếu vật rắn đồng chất có một mặt phẳng đối xứng thì trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng là trục quán tính chính tại giao điểm của mặt phẳng đối xứng và trục (hình 13-9). - Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung tâm (hình 13-10).   C d C Hình 13-8 rk k yk Xk Zk mk z x y Hình13-7 c 135 Mô men quán tính của một số vật đồng chất: - Thanh đồng chất có chiều dài L, khối lượng m (hình 13-11): J C = 12 2mL ; J x = J z = 3 2mL ; J y = O (13-7) - Vành tròn đồng chất có bán kính R, khối lượng m (hình 13-12): J x = mR 2 ; J y = J z = 2 2mR (13-8) - Mặt tròn đồng chất. Bán kính R, khối lượng m (hình 13-13): J x = 2 2mR ; J y = J z = 4 2mR (13- 9) z  C A x C B L/2 y L C R z y Hình13-11 Hình13-12  c C C Hình13-9 Hình 13-10 136 - Tấm chữ nhật đồng chất, có các cạnh 2a, 2b, khối lượng m (hình 13-14): J x = 12 2mb ; J y = 12 2ma (13-10) - Trụ tròn xoay đồng chất, có khối lượng m, bán kính R, chiều cao h + Trụ rỗng (hình 13-15): J z = mR 2 ; J x = J y = 2 m ( R 2 + 6 2h ) (13-11) + Trụ đặc (hình 13-16): J z = 2 2mR ; J x = J y = 4 m ( R 2 + 3 2h ) (13-12) Các kết quả trên có thể áp dụng trực tiếp cho trường hợp của tiết diện phẳng có tiết diện F, ví dụ tương ứng với công thức (13-8), (13-9), (13-10) ta có: - Vành tròn đồng chất : z x y x C Hình13-13 Hình 13-14 h y x z z h y C x Hình13-15 Hình13-16 137 J x = FR 2 =  R 4 ; J y = J z = 2 2FR = 2 4R (13-13) - Mặt tròn đồng chất : J x = 2 4R ; J y = J z = 4 4R (13-14) - Tấm chữ nhật đồng chất : J x = 12 3ab ; J y = 12 3ba (13-15) 2.2. Vật chuyển động tịnh tiến. Với vật rắn có chuyển động bất kỳ, véctơ chính của hệ lực quán tính của nó luôn luôn bằng C qt aMR . Trong đó: M là khối lượng của vật Ca là gia tốc của khối tâm của vật rắn Mômen chính của hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động phụ thuộc vào dạng chuyển động cụ thể của vật rắn. Vật rắn chuyển động tịnh tiến: Mômen chính của hệ lực quán tính đối với khối tâm vật rắn được tính như sau:      kkkqtkkqtkCqtC amrFrFmm . (13-16) Trong đó: kr là véc tơ định vị của chất điểm Mk đối với khối tâm C, tức là: kk CMr  ; 0Cr Chú ý: Ck aa  ;   0Ckk rMrm Ckk qt k amamF  kk qt k wmF  Vậy : 0   CCkkCkkCkkkkkkqtC rMarmarmarmaamrm Do đó thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động tịnh tiến về khối tâm C ta được một lực đặt tại khối tâm C. C qt aMR  Hình 13-17 Cqt W k r Fqt W C Mk k k (m )k 138 2.3. Vật quay quanh trục cố định. 2.3.1. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn Vật quay quanh một trục cố định với vận tốc góc  và gia tốc góc là  (Hình 13-18) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn liền vào vật quay, trong đó Oz trùng với trục quay của vật. Lấy phần tử Mk có khối lượng mk và véc tơ định vị  kkkk zyxr ,, . Gia tốc của điểm Mk bằng: kk n kk t kk vraaa   ; kk rv  Lực quán tính của chất điểm Mk sẽ là:    kkkkqtk vmrmF    Vậy mômen chính của hệ lực quán tính của vật rắn đối với gốc tọa độ O sẽ bằng:   qtkOqtO Fmm        kkkkkkqtO vmrrmrm  Trong hệ trục tọa độ đã chọn, các véc tơ  ;;kr được xác định theo các véctơ đơn vị kji  ,, trên các trục tọa độ như sau: kzjyixr kkkk   ; k    ; k    Sau khi thực hiện các phép tính chú ý : 0;;;   kkjjiiijkikjkji Ta được :     kJjJJiJJm zzyxzzxxyqtO    22 (13-17) Trong đó :  kkkxz zxmJ ;  kkkyz zymJ ; )( 22  kkkz yxmJ (13-18) Véc tơ chính của hệ lực quán tính ,như trên đã nêu, bằng   CCCqt rrMaMR   ' Sau khi thay : kzjyixr CCCC   Ta có:     jxyMiyxMR CCCCqt    22' (13-19) y A O B z ε ω x M k F qt Hình 13-1 t k r k a t a n F qtn k Hình 13-18 139 Như vậy thu gọn hệ lực quán tính của vật quay quanh một trục cố định về một điểm nằm trên trục quay của vật ta được một lực tính theo công thức (13-17) và một ngẫu lực tính theo công thức (13-19) 2.3.2. Phương trình xác định phản lực trục quay Khảo sát vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định dưới tác dụng của các lực hoạt động  NFFF ,....,, 21 có vận tốc góc  và gia tốc góc  . Các ngoại lực tác dụng lên vật rắn bao gồm các lực hoạt động NFFF ....,, 21 và các phản lực tại ổ trục AR và BR Chọn hệ trục tọa độ Axyz gắn liền vào vật, có trục Az trùng với trục quay. (Hình13-19) Hệ lực quán tính của vật rắn thu gọn về tâm A được qtAR và ngẫu lực qtAm được tính theo công thức (13-17) và (13-19) Dựa trên phương pháp Tĩnh - Động lực hình học, ta viết các phương trình tĩnh học cho hệ lực  qtAqtABAN mRRRFFF ,,,,,....,, 21 ta nhận được: 02   CCBxAxkx MxMyRRF 02   CCByAyky MyMxRRF 0 Azkz RF       02   zxyzBxAxkx JJRmRmFm       02   yzxzByAyky JJRmRmFm   0 zkz JFm Vì hệ trục tọa độ gắn liền vào vật quay nên các đại lượng xC, yC, zC, Jzx, Jz là không đổi Như vậy ta nhận được sáu phương trình, trong đó phương trình cuối cùng không chứa các phản lực ổ trục, cho phép xác định chuyển động của vật quay, được gọi là phương trình vi phân vật quay quanh một trục cố định. Năm phương trình còn lại cho phép ta xác định các phản lực ở ổ trục tại A và B. Chú ý rằng các phản lực ở ổ trục phụ thuộc vào các lực hoạt động và các yếu tố động học của vật rắn, tức vận tốc góc ω và gia tốc góc ε. x RAz RBx RBy B z CO F2 FN F3 F1 RAx RAy Cy Cx Hình 13-19 y 140 Thành phần của phản lực ổ trục chỉ phụ thuộc vào các yếu tố động học của vật quay (ω, ε) gọi là phản lực động lực của ổ trục. Phản lực ở ổ trục được biểu diễn dưới dạng : đA t AA RRR  ; đ B t BB RRR  Trong đó : - tAR , t BR là các thành phần không phụ thuộc vào chuyển động, tức không chứa  và  được gọi là phản lực tĩnh - đAR , đ BR là các thành phần phụ thuộc vào chuyển động, tức có chứa  và  được gọi là phản lực động lực Các thành phần phản lực động được xác định nhờ hệ phương trình sau: 02   CCđBxđAx MyMxRR 02   MyxMyRR CđByđAy     2 0đ dx A x B yz xzm R m R J J          2 0đ dy A y B xz yzm R m R J J      Các phương trình này được gọi là các phương trình xác định phản lực động lực. Việc xuất hiện các phản lực động lực làm giảm độ bền, độ chính xác, năng suất và gây hư hỏng máy. Chính vì vậy cần phải triệt tiêu hoặc làm giảm các phản lực động lực. Điều kiện cần và đủ để triệt tiêu các phản lực động lực là trục quay phải thỏa mãn các điều kiện sau: xC = yC = 0 Jxy = Jzx = 0 Tức là trục quay phải qua trọng tâm của vật rắn và là trục quán tính chính. Nói cách khác để triệt tiêu hoàn toàn phản lực động lực, trục quay phải là trục quán tính chính trung tâm. Trong trường hợp trục quay không phải là trục quán tính chính trung tâm thì bằng cách thêm hoặc bớt khối lượng của vật quay, nó có thể trở thành trục quán tính chính trung tâm. 141 CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Định nghĩa hệ chất điểm, nội lực - ngoại lực? 2. Các đặc trưng hình học khối tâm cơ hệ và vật rắn: khối tâm, mômen quán tính của vật rắn đối với một trục? Công thức xác định chúng? 3. Tìm trọng tâm của một vật rắn đồng chất khi cúng có một tâm, một trục hoặc một mặt phẳng đối xứng? 4. Công thức tính mômen quán tính của vật rắn đối một trục khi biết mômen quán tính của vật đối với một trục song song với trục đã cho và đi qua khối tâm? 5. Công thức thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động tịnh tiến về khối tâm C? 6. Viết công thức thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn quay quanh một trục cố định và phương trình xác định phản lực của trục quay? BÀI TẬP Bài 1: Trục máy là một trụ tròn đồng chất khối lượng m, quay đều với vận tốc góc ω0. Trục quay của trục máy song song và cách trục đối xứng một đoạn e. Xác định phản lực tại ổ trục A và B? (Hình 13-23) Bài 2: Trục máy là một trụ tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R quay đều với vận tốc góc ω0 quanh trục đi qua khối tâm C và lệch với trục đối xứng một góc α. Xác định phản lực tại ổ trục A và B? (Hình 13-24) A P C B α Hình 13-23 Hình 13-24 A P C e B a a 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phùng Văn Hồng. Giáo trình Cơ kỹ thuật. Nhà xuất bản Lao động xã hội 2005 2. Nguyễn Trọng. Cơ học cơ sở Tập 1, 2. Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật 2001 3. Đỗ Xanh. Cơ học ứng dụng. Nhà xuất bản giáo dục 2004 4. GS-TS.Đỗ Xanh. Giáo trình Cơ kỹ thuật. Nhà xuất bản giáo dục 2005 5. GS-TS.Đỗ Xanh. Giáo trình Cơ học Tập 1, 2. Nhà xuất bản giáo dục 2003 6. GS-TS.Đỗ Xanh. Bài tập cơ học Tập 1, 2. Nhà xuất bản giáo dục 2008