BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP VÀ THƯƠNG MẠI
GIÁO TRÌNH
Tên môn học: Cơ kỹ thuật
NGHỀ: CÔNG NGHỆ KỸ THUẬT CƠ KHÍ
TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG
Ban hành kèm theo Quyết định số: ngày tháng năm của Hiệu
trưởng Trường Cao đẳng Công nghiệp và Thương mại
Vĩnh Phúc, năm 2018
1
TÊN MÔN HỌC: CƠ KỸ THUẬT
Mã môn học : MHTC17011011
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học
- Vị trí:
Môn học cơ lý thuyết là môn học kỹ thuật cơ sở. Nội dung kiến thức của
nó hỗ trợ cho vi
143 trang |
Chia sẻ: Tài Huệ | Ngày: 19/02/2024 | Lượt xem: 77 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Giáo trình Cơ kỹ thuật, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ệc học tập các môn kỹ thuật cơ sở khác và các môn chuyên môn
có liên quan.
Môn học được xếp ngay vào học kỳ I năm thứ nhất.
- Tính chất:
Cơ lý thuyết có tính chất lý luận tổng quát. Trong chuyên môn kỹ thuật
nó được vận dụng để giải nhiều bài toán kỹ thuật.
Cơ lý thuyết sử dụng công cụ toán là chủ yếu. Lý thuyết của các chương
được sử dụng theo phương pháp tiên đề nên rất chặt chẽ.
- Ý nghĩa
Tính toán về các yếu tố của lực tác dụng lên vật rắn ở trạng thái tĩnh
(trạng thái cân bằng) và các yếu tố động học, động lực học của vật rắn.
- Vai trò
Là cơ sở tính toán cho môn Sức bền vật liệu và các môn chuyên ngành
khác.
Mục tiêu môn học:
- Trình bày được các tiên đề, định luật cơ bản về tĩnh học, động học, động lực
học;
- Xác định được các loại liên kết, vẽ được các phản lực liên kết;
- Sử dụng thành thạo các điều kiện cân bằng để tính được giá trị của các phản
lực liên kết;
- Xác định được các yếu tố của các loại chuyển động cơ bản;
- Giải thích được các định luật quan hệ giữa lực và chuyển động;
- Phân tích được các phương pháp giải bài toán động lực học;
- Giải bài toán động lực học;
- Có ý thức trách nhiệm, chủ động học tập; rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư
duy logic.
Nội dung môn học
Nội dung tổng quát và phân phối thời gian:
2
Số
TT Tên các bài trong môđun
Thời gian (giờ)
Tổng Lý thuyết
Thực
hành,
thí
nghiệm
, thảo
luận,
bài tập
KT
1 Phần 1. Cơ lý thuyết
Bài 1:Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh
học .
1. Các khái niệm cơ bản
1.1. Vật rắn tuyệt đối
1.2. Lực
1.3. Trạng thái cân bằng của vật rắn
1.4. Một số định nghĩa
2. Hệ tiên đề tĩnh học
2.1. Tiên đề 1: Tiên đề hai lực cân bằng
2.2. Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng
2.3. Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực
2.4. Tiên đề 4: Tiên đề lực tác dụng và lực phản
tác dụng
3. Liên kết và phản lực liên kết
3.1. Khái niệm
3.2. Phản lực liên kết
3.3. Các dạng liên kết cơ bản
4. Hình chiếu của một lực lên hai trục tọa độ vuông
góc.
5. Mômen của một lực lấy đối với điểm cố định.
6. Ngẫu lực
6.1. Định nghĩa
6.2. Các yếu tố của ngẫu lực
6.3. Tính chất của ngẫu lực
6.4. Hợp hệ ngẫu lực
6.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực
Bài tập áp dụng
Bài 2:Hệ lực phẳng
1. Hệ lực phẳng đồng quy
1.1. Định nghĩa
1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương
pháp hình học
1.3. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương
pháp giải tích
2. Hệ lực phẳng bất kì
2.1. Định nghĩa
6
6
3
3
3
3
3
2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song
song
Bài tập áp dụng
Bài 3:Ma sát
1. Ma sát trượt
1.1. Định nghĩa
1.2. Các định luật ma sát trượt
2. Ma sát lăn
2.1. Định nghĩa
2.2. Các định luật ma sát lăn
Bài tập áp dụng
Bài 4: Động học điểm
1. Phương trình chuyển động của điểm bằng phương
pháp tự nhiên và tọa độ
1.1. Phương trình chuyển động của điểm bằng
phương tự nhiên
1.2. Phương pháp tọa độ
2. Xác định vận tốc và gia tốc trong chuyển động
cong:
2.1. Xác định vận tốc của điểm trong chuyển động
cong
2.2. Gia tốc của điểm trong chuyển động cong
3. Các chuyển động thường gặp
3.1. Chuyển động tròn
3.2. Chuyển động thẳng
3.3. Chuyển động cong
4. Xác định vận tốc và gia tốc theo phương pháp tọa
độ
4.1. Vận tốc
4.2. Gia tốc
Bài tập áp dụng
Bài 5:Các chuyển động cơ bản của vật rắn
1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
1.1. Định nghĩa
1.2. Tính chất
2.Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố
định.
2.1. Định nghĩa
2.2. Góc quay
2.3. Vận tốc góc
2.4. Gia tốc góc
2.5. Vật quay đều
3
7
4
1
2
2
2
4
2
1
4
2.3. Vật quay biến đổi
3. Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh
một trục cố định.
3.1. Quĩ đạo
3.2. Vận tốc
3.3. Gia tốc
Bài tập áp dụng
Bài 6:Chuyển động song phẳng của vật rắn
1. Khái niệm
1.1. Định nghĩa
1.2. Phương pháp khảo sát vật rắn chuyển động song
phẳng
2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phương
pháp tịnh tiến và quay đồng thời
2.1. Phân tích chuyển động bằng phương pháp
tịnh tiến và quay đồng thời
2.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng
3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép
quay tâm vận tốc tức thời:
3.1. Tâm vận tốc tức thời
3.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng
3.3. Phương pháp xác định tâm quay tức thời
Bài tập áp dụng
Bài 7:Hợp chuyển động điểm
1. Khái niệm – Định nghĩa
1.1. Một số khái niệm
1.2. Định nghĩa
2. Định lý hợp vận tốc
2.1. Định lý
2.2. Xác định trị số của vận tốc tuyệt đối
3. Định lý hợp gia tốc(trường hợp chuyển động theo
là chuyển động tịnh tiến)
3.1. Khái niệm
3.2. Định lý
Bài tập áp dụng
Bài 8:Cơ sở động lực học chất điểm
1. Những khái niệm cơ bản
1.1. Chất điểm
1.2. Cơ hệ
1.3. Hệ quy chiếu quán tính
2. Các định luật cơ bản của động lực học
2.1. Định luật quán tính
2.2. Định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc
2.3. Định luật cân bằng giữa lực tác dụng và phản
lực
2.4. Định luật độc lập tác dụng của các lực
3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm-
hai bài toán cơ bản của động lực học.
4
3
5
2
2
1
2
1
2
2
2
1
5
3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất
điểm
3.2. Hai bài toán cơ bản của động lực học
Bài tập áp dụng
Bài 9: Nguyên lý Đa-lăm-be
1. Lực quán tính
2. Nguyên lý Đa-lăm-be
Phần 2: Sức bền vật liệu
Bài 10:Khái niệm cơ bản về vật rắn biến dạng
1. Nhiệm vụ và đối tượng
1.1. Nhiệm vụ
1.2. Đối tượng
2. Các giả thuyết cơ bản về vật liệu
2.1. Giả thuyết 1
2.2. Giả thuyết 2
2.3. Giả thuyết 3
3. Các loại biến dạng và chuyển vị
4. Ngoại lực- Nội lực- Phương pháp mặt cắt- Ứng
suất.
4.1. Ngoại lực
4.2. Nội lực – phương pháp mặt cắt
4.3. Ứng suất
Bài 11: Kéo (nén) đúng tâm.
1. Các khái niệm cơ bản
2. Ứng suất và biến dạng
3. Đặc trưng cơ học của vật liệu
4. Ứng suất nguy hiểm – Hệ số an toàn -Ứng suất
cho phép- Điều kiện bền và cứng khi kéo nén
5 . Bài tập áp dụng
Bài12:Những đặc trưng hình học của hình phẳng
1. Mômen tĩnh của hình phẳng.
1.1. Mômen tĩnh
1.2. Trọng tâm của hình phẳng
2. Mômen quán tính của hình phẳng.
2.1. Mômen quán tính đối với 1 trục
2.2. Mômen quán tính độc cực
2.3. Mômen quán tính ly tâm
2.4. Mômen quán tính của một số hình đơn giản
Bài 13: Cắt và dập.
1. Cắt
2. Dập
Bài 14: Xoắn thuần túy thanh thẳng.
1. Khái niệm cơ bản
2. Xoắn thuần túy thanh mặt cắt tròn
Bài 15: Uốn phẳng những thanh thẳng.
3
4
2
2
4
7
3
2
2
1
2
2
2
1
2
4
1
1
6
1. Những khái niệm cơ bản
2. Nội lực và biểu đồ nội lực
3. Uốn thuần túy
4. Uốn ngang phẳng
Tổng 60 29 28 3
7
Phần 1. Cơ lí thuyết
Bài 1. Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học
Mục tiêu.
- Ghi nhớ các khái niệm cơ bản về lực, mômen, ngẫu lực, các tiên đề tĩnh
học và hệ quả của chúng.
- Biết được các khái niệm cơ bản về lực, mômen, ngẫu lực. Biết các hệ tiên
đề tĩnh học và vận dụng chúng vào chứng minh các định lý và bài tập. Biết phản
lực liên kết cho từng loại và xác định được chúng.
Nội dung.
1.Các khái niệm cơ bản:
1.1. Vật rắn tuyệt đối:
Là vật rắn mà không thay đổi hình dáng và kích thước khi chịu tác dụng của
ngoại lực.
Khái niệm này chỉ có tính chất gần đúng, bởi vì vật rắn khi chịu tác dụng của
ngoại lực thì đều bị biến dạng nhiều hay ít, tuy nhiên trong những trường hợp
biến dạng nhỏ có thể bỏ qua, hoặc biến dạng không ảnh hưởng đến kết quả tính
toán thì những vật thể đó đều có thể coi là vật rắn tuyệt đối, còn những trường
hợp biến dạng lớn sẽ được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu.
1.2. Lực:
Lực là một khái niệm biểu thị sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng, lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:
- Điểm đặt: là phần tử vật chất thuộc vật mà ở đó lực tác dụng được
truyền lên vật ấy.
- Phương chiều
- Độ lớn của lực
Đối chiếu với các khái niệm toán học đã biết ta thấy về mặt hình học có thể
biểu diễn lực dưới dạng véctơ, trong đó:
- Gốc của véctơ là điểm đặt lực.
- Phương và chiều của véc tơ là phương và chiều của lực.
- Chiều dài của véc tơ là trị số của lực được lấy theo tỉ lệ nhất định.
Đơn vị đo lực là Niutơn, kí hiệu là N và công bội của nó là kilô Niutơn, kí
hiệu là kN (1kN = 103N) và mega Niutơn, kí hiệu là MN (1MN= 106N).
Ví dụ: A là điểm đặt, B là chiều tác dụng,
Δ là phương tác dụng. Độ dài AB chia
theo một tỷ lệ nào đó là trị số của lực (hình 1.1).
Hình 1.1
1.3. Trạng thái cân bằng.
Là trạng thái đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng đều.
F
A
F
B
8
1.4. Một số định nghĩa.
- Hệ lực: là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng vào một
vật rắn, kí hiệu ),...,,( 21 nFFF
(Hình 1.2).
Tùy thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong
cùng một mặt phẳng hay không cùng một mặt phẳng
chúng ta có hệ lực phẳng hay hệ lực không gian.
Hình 1.2
- Hai lực trực đối: là hai lực có cùng trị số, cùng
phương nhưng ngược chiều nhau (Hình 1.3).
Hình 1.3
- Hệ lực tương đương: Hai hệ lực gọi là tương đương khi chúng có cùng tác
dụng cơ học lên một vật rắn (hình 1.4)
Hai hệ lực ),...,,( 21 nFFF
và ),...,,( 21 n
tương đương đựơc kí hiệu:
),...,,( 21 nFFF
≡ ),...,,( 21 n
Hình 1.4
- Hợp lực: là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của cả hệ lực, nghĩa là
nếu ),...,,( 21 nFFF
~ R
thì R
là hợp lực của hệ lực ),...,,( 21 nFFF
(hình 1.5)
Hình 1.5
- Hệ lực cân bằng: là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn sẽ không thay đổi trạng
thái động học của vật rắn (nếu vật đang đứng yên thì đứng yên, nếu vật đang
chuyển động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều). Nói cách khác, hệ lực cân
bằng tương đương với 0.
),...,,( 21 nFFF
~ 0
F1 F2
F3
F4
F1
F20
F1 F2
F3
F4
F2
F4 F3
F1 R
9
N
P
Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở trạng thái cân bằng.
Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng
đều.
2. Hệ tiên đề tĩnh học:
2.1. Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng):
Điều kiện cần và đủ cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác
dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ.
Hình 1.6
2.2.Tiên đề 2 (Tiên đề về thêm vào hoặc bớt đi hai
lực cân bằng):
Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm
vào hoặc bớt hai lực cân bằng.
Hệ quả (Định lý trượt lực)
Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên
đường tác dụng của nó.
Hình 1.7
2.3. Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực):
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm
tương đương với một lực đặt tại
điểm chung và có véc tơ lực bằng
véctơ chéo hình bình hành mà hai
cạnh là hai véctơ biểu diễn hai lực thành phần. Hình 1.8
2.4.Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng):
Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng
ngược chiều nhau và có cùng cường độ.
Hình 1.9
3. Liên kết và phản lực liên kết:
3.1. Khái niệm:
- Vật tự do: là vật có thể thực hiện chuyển động tự ý theo mọi phương trong
không gian mà không bị cản trở.
- Vật không tự do: khi một hoặc vài phương chuyển động của nó bị cản trở:
Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được là liên kết.
Vật không tự do gọi là vật bị liên kết ( còn gọi là vật khảo sát).
Vật cản trở sự chuyển động của vật khảo sát là vật liên kết.
Ví dụ: Cuốn sách đặt trên bàn (Hình 1.10) thì cuốn sách là vật khảo sát, bàn là
vật gây liên kết.
A B
'F
F
A B
'F
F
A B
'F
F
B
'
BF
BF
A
AF
O
2F
1F
F
10
Hình 1.10
3.2. Phản lực liên kết:
Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực gọi
là lực tác dụng. Theo tiên đề tương tác, vật gây liên kết tác dụng trở lại vật khảo
sát một lực gọi là phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực).
Ở ví dụ trên, cuốn sách tác dụng lên bàn trọng lượng P
, bàn tác dụng trở lại
cuốn sách phản lực N
.
Phản lực đặt vào vật khảo sát (ở nơi tiếp xúc giữa hai vật), cùng phương,
ngược chiều với hướng chuyển động của vật khảo sát bị cản trở. Trị số phản lực
phụ thuộc vào lực tác dụng từ vật khảo sát đến vật gây liên kết.
3.3. Các liên kết cơ bản:
a. Liên kết tựa (hình 1.11):
Liên kết tựa cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương vuông góc với mặt
tiếp xúc chung giữa vật khảo sát và vật gây liên kết.
Vì thế phản lực có phương vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc chung, có chiều
đi về phía mặt khảo sát, kí hiệu N
.
Ở phản lực này có một yếu tố chưa biết là trị số của N.
Hình1.11
b. Liên kết dây mềm (hình 1.12):
Liên kết dây mềm cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của dây.
Phản lực có phương theo dây, kí hiệu T
.
Ở phản lực này có một yếu tố chưa biết là trị số của T.
Hình1.12
c.Liên kết thanh(hình 1.13):
Liên kết thanh cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của thanh (bỏ
qua trọng lượng thanh).
N
BN
AN
A
B
1T
m
2T
1T
O
2T
11
Phản lực có phương dọc theo thanh, kí hiệu S
. Trị số của S chưa biết.
Hình 1.13
d. Liên kết bản lề(hình 1.14):
- Gối đỡ bản lề di động:
Phản lực của gối đỡ bản lề di động có phương giống như liên kết tựa, đặt ở
tâm bản lề, kí hiệu Y
. Trị số của Y chưa biết.
- Gối đỡ bản lề cố định:
Bản lề cố định có thể cản trở vật khảo sát chuyển động theo hai phương nằm
ngang và thẳng đứng. Vì vậy phản lực có hai thành phần X
và Y
, phản lực toàn
phần là R
. Trị số X và Y chưa biết.
Hình 1.14
e. Liên kết ngàm(hình 1.15):
Khi vật gây liên kết và vật chịu liên kết được nối cứng với nhau thì được gọi
là liên kết ngàm.
Ví dụ: Một thanh sắt được gắn chặt vào tường, cột điện được chôn xuống
đấtPhản lực liên kết gồm 1 lực 0R
và một ngẫu lực có mômen 0m
.
Nếu là ngàm không gian thì 0R
được xác định bởi 3 thành phần 0X
, 0Y
, 0Z
theo 3 trục tọa độ và véc tơ mômen 0m
cũng được phân thành 3 thành phần xm ,
ym , zm theo 3 trục tọa độ.
Nếu ngàm là ngàm phẳng thì phản lực 0R
gồm 2 thành phần 0X
và 0Y
vuông
góc với nhau và một mômen phản lực 0m nằm trong mặt phẳng ngàm.
O
S
O
A B
S
0Y
O
0X
0R
N
O
Y
O
X
z
y
x
Z
mm
m
Y
O X
m
12
Hình 1.15
* Xác định hệ lực tác dụng lên vật khảo sát:
Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ
lực tác dụng lên vật rắn đó.
Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các phản lực.
Tải trọng là lực trực tiếp tác động lên vật khảo sát. Việc đặt các tải trọng lên
vật khảo sát thường ít khó khăn, vấn đề quan trọng là đặt các phản lực cho đúng
và đầy đủ.
Muốn thế ta lần lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ứng, công việc
đó gọi là giải phóng liên kết.
Sau giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng dưới
tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực.
1.4. Hình chiếu của một lực lên hai trục tọa độ vuông góc:
Giả sử cho một lực F
và hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, hình chiếu của lực F
lên các trục toạ độ (hình 1.16) sẽ là:
- Hình chiếu của lực F
lên trục Ox:
Fx = ± F. cosα
- Hình chiếu của lực F
lên trục Oy:
Fy = ± F. sinα
Hình 1.16
Trong hai công thức trên α là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của F
và trục
x. Dấu của hình chiếu là (+) khi chiếu từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của
mút cùng với chiều dương của trục. Dấu của hình chiếu (-) trong trường hợp
ngược lại.
Trường hợp đặc biệt, nếu lực F
song song với trục, chẳng hạn với trục x
(hình 1.17a) thì:
Fx = ± F.
Fy = 0 (vì F vuông góc với trục y).
Nếu lực F
song song với trục y (hình 1.17b) thì:
Fx = 0
Fy = ± F.
a) b)
Hình 1.17
Chú ý: Khi biết các hình chiếu Fx và Fy của lực F
lên các trục x và y ta hoàn
toàn xác định được F.
Về trị số:
O
F
y
x
Fy
Fx
Fx
x
y
F
O O
F
y
x
FY
13
B
A
F
F
F
F
A
B
22 )()( yx FFF
Về phương chiều:
x
y
F
F
tg
5. Mômen của một lực lấy đối với điểm cố định (hình 1.18):
a. Định nghĩa: Giả sử có lực F và điểm 0 cố định, khi đó mômen của lực F
đối
với điểm 0 là một véctơ có kí hiệu và được xác định như sau, m o( F
) có:
- Phương vuông góc với mặt phẳng chứa lực F
và điểm 0.
- Chiều sao cho, từ đầu mút nhìn xuống thấy lực F
quay quanh 0 theo chiều
dương quy ước ngược chiều kim đồng hồ.
- Trị số mo( F
)= F.d, d gọi là cánh tay đòn của lực F
đối với 0, đơn vị
Niutơn mét, (Nm).
Hình 1.18
b. Ý nghĩa cơ học:
Mômen của lực F
đối với điểm 0 là số đo tác dụng quay của lực F
gây ra đối
với vật quanh 0. Có nghĩa là vật quay theo chiều nào nhanh hay chậm là tuỳ
thuộc vào đại lượng mo( F
).
6. Ngẫu lực:
6.1. Định nghĩa:
Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng trị số. Kí hiệu
),( 'FF
.
Hình 1.20
6.2. Các yếu tố của ngẫu lực:
Ngẫu lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:
O
B
A
d
F
r
Fm 0
14
F
F
m=Fa
a
F
F F
F
F2
F1
R
Fn
Fn
R
F1
F2
BA
a
m1 m2 mn
- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các thành phần của ngẫu
lực.
- Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên.
Chiều quay là dương (+) khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm (-)
khi ngược lại.
- Trị số mômen của ngẫu lực: là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn, kí
hiệu m.
m = F.a
Trong đó: - Trị số của lực F (N).
- Cánh tay đòn a (m).
- Đơn vị ngẫu lực (Nm).
6.3.Tính chất của ngẫu lực:
- Tính chất 1: tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển vị trí
trong mặt phẳng tác dụng của nó.
- Tính chất 2: có thể biến đổi lực và cánh tay đòn tuỳ ý, miễn là bảo đảm trị số
và chiều quay của nó. Đặc biệt có thể biến đổi hệ ngẫu lực phẳng về chung một
cánh tay đòn.
Từ các tính chất trên có thể rút ra: tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng
hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó (hình 1.24).
Hình 1.21
6.4. Hợp hệ ngẫu lực phẳng:
Giả sử cho hệ ngẫu phẳng lần lượt
có mômen là m1, m2,.mn.
Chúng ta biến đổi hệ lực này thành
ngẫu lực ),),...(,(),,( 2211 nn FFFFFF
có cùng cánh tay đòn a (hình 1.25)
Hình 1.22
Hợp lực R
của các lực nFFF
,...,, 21 đặt tại A và B là hai lực song song, ngược
chiều có cùng trị số R= RA= RB = F1 + F2 +.+ Fn tạo thành ngẫu lực ),( RR
.
Ngẫu lực ),( RR
gọi là ngẫu lực tổng hợp có mômen.
M= R.a = F1.a + F2.a + .+ Fn.a= m1 + m2 +..+ mn
Tổng quát: M=
n
k
km
1
15
F1
R
O
A C
B
˝ Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp có mômen bằng
tổng đại số mômen các ngẫu lực thuộc hệ ".
6.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực:
Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đaị số
mômen của các lực thuộc hệ bằng không.
M=
n
k
km
1
= 0
Bài 2: Hệ lực phẳng
Mục tiêu.
- Ghi nhớ các khái niệm về hệ lực phẳng, các phương trình cân bằng của hệ
lực phẳng
- Lập được các phương trình cân băng của hệ lực phẳng để xác định các ẩn số
cần tìm và biết cách giải một số bài toán đặc biệt của tĩnh học
Nội dung.
1. Hệ lực phẳng đồng quy:
1.1. Định nghĩa:
Hệ lực phẳng đồng qui là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm trong
một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm.
1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học:
a. Quy tắc hình bình hành:
Giả sử có hai lực 1F
và 2F
đồng qui tại O (hình 2.1).
Theo tiên đề hình bình hành, chúng ta có hợp lực R
đặt tại O, phương chiều
và trị số được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành lực.
- Trị số của R:
Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác OAB, ta có:
)180cos(2 2122212 FFFFR
Vì cos (180- α) = - cosα
nên cos2 212221 FFFFR
cos2 212221 FFFFR (2.1)
- Phương chiều của R:
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OBC:
)180sin(sinsin 2
2
1
1
RFF Hình 2.1
Vì sin (180- α) = sin α
nên
sinsinsin 2
2
1
1 RFF
Suy ra:
sinsin 11 R
F (2.2)
sinsin 22 R
F
16
F2
F1
R
O
O
R
F1
F2
F'2
R
F'3
F'2
F3
F2
F1
O
F4
F'4
α1, α2 xác định phương chiều của R.
Các trường hợp đặc biệt:
- Hai lực F1 và F2 cùng phương, cùng chiều (hình 2.2a).
α = 0, cosα = 1
R = F1+ F2, cùng phương, cùng chiều với F1 và F2.
a) b)
Hình 2.2
- Hai lực F1 và F2 cùng phương, ngựơc chiều (hình 2.2b).
α = 180 , cosα = -1
R= F1-F2 (F1 > F2), cùng phương, cùng chiều với F1(lực lớn hơn).
- Hai lực F1 và F2 vuông góc với nhau (hình 2.3).
α = 90 , cosα = 0
2221 FFR
Hình 2.3
b. Quy tắc tam giác lực:
Từ cách hợp lực hai lực đồng qui theo quy tắc hình bình hành lực, ta có thể
suy ra: từ mút của lực 1F
, đặt nối tiếp lực '2F
song song, cùng chiều và cùng trị số
với 2F
, hợp lực R
có gốc là O và có mút trùng với mút của lực 2F
(hình 2.4).
Hình 2.4
Ta được: 21'21 FFFFR
. Hợp lực R
đóng kín tam giác lực hợp bởi hai
lực 1F
và 2F
, trị số và phương của R xác định theo công thức (2.1) và (2.2).
1.3. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích:
a. Phương pháp hình học:
Giả sử cho hệ lực ),,,( 4321 FFFF
đồng qui tạo O (hình 2.5).
O
F1 F2 R O RF2 F1
17
RY
x
y
O
F1
F2
F3
F'2
F'3
R
RX
F1X F2X F3X
Hình 2.5
Muốn tìm hợp lực của hệ, trước hết hợp hai lực 1F
và 2F
theo quy tắc tam
giác lực (từ mút lực 1F
đặt lực '2F
song song cùng chiều và cùng trị số 2F
) được:
21'211 FFFFR
Bằng cách tương tự, hợp hai lực 1R
và 3F
được:
321312 FFFFRR
.
Cuối cùng hợp hai lực 2R
và 4F
ta được hợp lực R của hệ:
432142 FFFFFRR
.
Tổng quát, hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui ),...,,( 21 nFFF
là:
n
k
kn FFFFR
1
21 ....
.
Hợp lực R
có gốc trùng với gốc lực đầu, có mút trùng với mút của véc tơ
đồng đẳng với lực cuối. Đường gãy khúc nFFF
,...,, 21 gọi là đa giác lực.
Hợp lực R
đóng kín đa giác lực lập bởi các lực đã cho.
b. Phương pháp chiếu lực:
Giả sử có hệ lực phẳng đồng qui ),...,,( 21 nFFF
có hình chiếu tương ứng lên
các trục toạ độ vuông góc Oxy là (F1x, F2x,., Fxn ) và
(F1y, F2y,., Fyn ) (hình 2.6).
Hình 2.6
Ta có, hợp lực
n
k
kn FFFFR
1
21 ....
.
Hình chiếu của véc tơ hợp lực R
lên các trục là Rx và Ry có trị số bằng tổng
đại số hình chiếu các véc tơ lực thành phần:
Rx = F1x + F2x +.+ Fnx =
n
k
kxF
1
Ry = F1y + F2y +.+ Fny =
n
k
kyF
1
Hợp lực R có:
18
FA
A
FA
A
F'B
FB
B B
F'B
m
- Trị số:
n
k
n
k
kykxyx FFRRR
1
2
1
222 )()( (2.3)
- Phương, chiều xác định bởi:
n
k
kx
n
k
ky
x
y
F
F
R
R
tg
1
1 (2.4)
* Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui:
a. Phương pháp hình học:
Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trị số của hợp lực R
phải bằng 0, đa
giác lực tự đóng kín (mút của lực cuối trùng với gốc lực đầu).
Kết luận: ˝ Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là đa
giác lực tự đóng kín ".
b. Phương pháp chiếu lực:
Tương tự như trên, muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì hợp lực R phải
bằng 0.
R ~ 0
Nên:
0)()(
1
2
1
2
n
k
n
k
kykx FFR
(∑ Fkx)2, (∑ Fky)2 là những số dương nên R chỉ bằng 0 khi
n
k
kxF
1
0 (2.5)
0
1
n
k
kyF
Kết luận: ˝ Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là tổng
đại số hình chiếu các lực lên hai trục toạ độ vuông góc đều bằng 0".
2. Hệ lực phẳng bất kỳ:
2.1. Định nghĩa:
Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ
trong cùng một mặt phẳng.
2.2. Thu hệ lực phẳng bất kỳ:
a. Định lý dời lực song song:
Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không đổi phải them vào một
ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đối với điểm mới dời đến.
Chứng minh:
Hình 2.9
19
FN
O
N
A
B
F1
F2
F'2
F'1O
F'N
m2
mn m1
m0
O
R'
Thật vậy, cho lực F
đặt tại A (kí hiệu AF
), đặt tại B bất kỳ hai lực cân bằng
BF
và 'BF
thoả mãn các điều kiện sau:
FA = FB = F’B = F
FA // FB // F’B
Rõ ràng AF
~ ( BF
, 'BF
, AF
)
Phân tích hệ lực ( BF
, 'BF
, AF
)
BF
song song cùng chiều và cùng trị số với AF
nên có thể coi BF
là AF
dời từ
A đến B.
Còn 'BF
và AF
tạo thành ngẫu lực ( 'BF
, AF
) có mômen m = F.a. Mặt khác
mB( AF
) = F.a nên m = mB ( AF
)
Như vậy: AF
~ BF
+ mB ( AF
)
Định lý đã được chứng minh
Định lý đảo: Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương
đương với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có
mômen đối với điểm đặt của lực đã cho đúng bằng mômen của ngẫu lực.
Từ định lý ta thấy lực tương đương phải có vị trí sao cho lấy mômen đối với
điểm đặt lực đã cho có cùng chiều quay của ngẫu lực và có cánh tay đòn
F
ma .
b. Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước:
Giả sử có hệ lực phẳng ),...,,( 21 nFFF
đặt ở A, B,, N (hình 2.11), cần phải
thu hệ lực phẳng đó về tâm O nằm trong mặt phẳng của hệ lực.
Hình 2.11
Theo định lý dời lực song song, dời các lực đã cho về tâm O (tâm thu gọn).
1F
~ [ '1F
+ ngẫu lực có mômen m1 = mo( 1F
) ]
2F
~ [ '2F
+ ngẫu lực có mômen m2 = mo( 2F
) ]
nF
~ [ 'nF
+ ngẫu lực có mômen mn = mo( nF
) ]
Như vậy, hệ lực phẳng bất kỳ đã cho tương đương với hệ lực phẳng đồng qui
ở O và một hệ ngẫu lực phẳng (hình vẽ).
Thu hệ lực phẳng đồng qui được 'R
.
Thu hệ ngẫu lực phẳng được ngẫu lực có mômen Mo = ∑mo( F
)
Kết quả: ),...,,( 21 nFFF
~ ( 'R
và ngẫu lực có mômen Mo).
Ta gọi R là véc tơ chính 'R
= ∑ F
.
20
Mo là mômen chính của hệ lực đối với tâm O, Mo = ∑mo( F
).
˝ Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một hệ lực có véc tơ bằng véc tơ chính
của hệ lực và một ngẫu lực có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm
thu gọn".
Áp dụng các công thức (2.3), (2.4) và (2.9) ta có:
Trị số của véc tơ chính:
n
k
n
k
kykxyx FFRRR
1
2
1
222' )()(
Phương chiều của véc tơ chính:
n
k
kx
n
k
ky
x
y
F
F
R
R
tg
1
1
Trị số của mômen chính Mo = ∑mo( F
)
Từ công thức trên ta thấy:
Véc tơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn.
Mômen chính thay đổi theo tâm thu gọn (vì với mỗi tâm thu gọn khác
nhau lực có cánh tay đòn và chiều quay khác nhau).
c. Các dạng tối giản của hệ lực phẳng:
Khi thu gọn hệ lực phẳng về tâm cho trước có thể xảy ra bốn trường hợp sau:
- R’ ≠ 0, Mo ≠ 0
- R’ ≠ 0, Mo = 0
- R’= 0, Mo ≠ 0
- R’ = 0, Mo = 0
Như vậy hệ phẳng có thể tương đương với một trong ba dạng sau:
- Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như hai
trường hợp đầu thì hệ lực phẳng có hợp l ực.
Trong trường hợp R’ ≠ 0 và Mo ≠ 0, áp dụng định lý đảo R’ và Mo tương
đương với một lực R (R song song, cùng chiều, cùng trị số với R và đặt cách R
một khoảng cách a = Mo/ R), R là hợp lực của hệ lực phẳng.
Trong trường hợp R’ ≠ 0, Mo = 0, R’ là hợp lực R của hệ lực phẳng.
- Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như ở
trường hợp (R’= 0, Mo ≠ 0) hệ lực phẳng tương đương với một ngẫu lực có
mômen là Mo.
Trong trường hợp này, hệ lực phẳng thu về tâm bất kỳ nào kết quả thu được
của Mo đều hoàn toàn như nhau (tính chất ngẫu lực).
- Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như ở
trường hợp (R’ = 0, Mo = 0) hệ lực phẳng cân bằng.
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì:
a. Điều kiện cân bằng:
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kì cân bằng là véc tơ chính và
mômen chính của hệ đối với một tâm bất kì đều phải bằng không.
R’ = 0 (2.10)
Mo = 0
b. Các dạng phương trình cân bằng:
21
* Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng hình
chiếu của các lực lên hai trục tọa độ vuông góc và tổng đại số mômen của các
lực đối với một tâm bất kì trên mặt phẳng đều bằng không.
∑Fx =0
∑Fy =0 (2.11)
∑mo ( F
) =0
Thật vậy, theo điều kiện cân bằng (2.10)
R’ = 0
Mo = 0
n
k
n
k
kykx FFR
1
2
1
2' )()( , mà (∑Fkx)2 và (∑Fky)2 là những số dương nên R’
chỉ bằng không khi ∑Fkx = 0 và ∑Fky = 0.
Mo = ∑mo( F
) nên Mo = 0 khi ∑mo ( F
) =0
Ngược lại, nếu ∑Fkx = 0, ∑Fky = 0, ∑mo (F) = 0 thì R’ = 0 và Mo = 0 tức hệ lực
cân bằng.
* Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng đại số
mômen của các lực đối với hai điểm bất kì trên mặt phẳng và tổng hình chiếu
các lực lên trục x không vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm bất kì đó
đều bằng không.
∑mA ( kF
) = 0
∑mB ( kF
) = 0 (2.12)
∑Fkx =0
(x không vuông góc với AB)
Thật vậy, hai phương trình ∑mA ( kF
) = 0 và ∑mB ( kF
) = 0 thỏa mãn mômen
chính Mo = 0. Mặt khác, hệ có hợp lực R
phải nằm trên phương AB, nhưng trục
x không vuông góc với AB nên ∑Fkx =0 thì R = 0 hệ lực cân bằng.
* Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng đại số
mômen của các lực đối với ba điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng đều bằng
0.
∑mA ( kF
) = 0
∑mB ( kF
) = 0 (2.13)
∑mC ( kF
) = 0
A, B, C không thẳng hàng.
Thật vậy, hệ có hợp lực thì hợp lực đều phải đi qua 3 điểm A, B, C không
thẳng hàng, điều đó không thể xảy ra. Vậy R...A và B đó
lại đi được các đoạn đường bằng nhau (AA1 = BB1) tức là cùng một thời điểm,
hai điểm A và B có vận tốc bằng nhau.
Từ quan sát trên, chúng ta rút ra các tính chất của chuyển động tịnh tiến:
- Các điểm trên vật chuyển động tịnh tiến vạch ra các quĩ đạo đồng nhất.
O2 O1
A
A’
B
B’
45
A
z
0
- Tại một thời điểm nào đó, mọi điểm của vật chuyển động tịnh tiến đều có cùng
vận tốc và gia tốc.
VA = VB
aA = aB
Như vậy, việc nghiến cứu chuyển động tịnh tiến của vật rắn hoàn toàn thay
thế bằng việc nghiên cứu chuyển động của một điểm bất kì thuộc vật.
Kết luận này cho phép ta áp dụng hoàn toàn các công thức về chuyển động của
điểm đối với vật chuyển động tịnh tiến.
2. Chuyển động quya của vật rắn quanh một trục cố định:
2.1. Định nghĩa:
Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà
trên vật có ít nhất hai điểm nằm yên.
Đường thẳng đi qua hai điểm nằm yên chính là trục quay của vật.
Những điểm không nằm trên trục quay chuyển động vạch nên những đường
tròn vuông góc với trục quay và có tâm nằm trên trục quay.
Chuyển động của trục máy, bánh răng, puli, vôlăng là các ví dụ về chuyển
động quay của vật rắn thường gặp trong kỹ thuật.
2.2. Góc quay:
Giả sử vật rắn cho trên hình vẽ quay quanh
trục cố định Z. Vẽ mặt phẳng π0 cố định, mặt
phẳng π di động. Ban đầu cho π0 trùng với π ,
khi vật quay tới thời điểm t, π0 hợp với π một
góc φ gọi là góc quay.
Trị số góc quay φ phụ thuộc vào thời điểm t,
nói cách khác φ là hàm số của t.
φ = φ (t) (5.1)
Phương trình (5.1) hoàn toàn xác định vị trí
của vật quay theo thời gian và được gọi là
phương trình chuyển động của vật quay.
Hình 5.3
Đơn vị φ là radian, kí hiệu rad ( radian là góc phẳng chắn trên đường tròn một
cung dài bằng bán kính).
1 rad =
2
360o = 57017’48’’.
Trong kỹ thuật góc quay đựơc t ính theo số vòng quay n.
Khi vật quay 1 vòng thì góc quay là 2π (rad).
Khi vật quay N vòng thì góc quay là 2πN (rad).
Tức là: φ = 2πN (rad) (5.2)
2.3. Vận tốc góc:
Vận tốc góc là đại lượng đặc trưng cho sự quay nhanh hay chậm của vật quay,
kí hiệu là ω.
Giá sử tại thời điểm t, vật quay được một góc φ.
Tại thời điểm t1 = t + Δt vật quay được một góc φ1 = φ + Δφ.
46
Như vậy trong khoảng thời gian Δt vật quay được 1 góc Δφ.
Tỉ số
t
được gọi là vận tốc góc trung bình (ωtb).
ttb
Khi thời điểm t1 rất gần t, tức Δt gần bằng 0 vận tốc trung bình tiến tới vận
tốc tức thời ω.
Đơn vị ω = đơn vị góc quay/ đơn vị thời gian = rad/ s = 1/s = s.
Trong kỹ thuật, vận tốc góc được tính theo số vòng quay trong một phút, kí
hiệu n (vòng/phút).
Như đã biết, cứ một vòng quay thì ứng với một góc 2π (rad), với n (vòng/
phút) thì ứng với góc quay 2πn (rad/ ph) hay )/(
60
2 sradn .
Suy ra
3060
2 nn (rad/s). (5.3)
Công thức (5.3) biểu diễn mối quan hệ giữa ω và n.
2.4. Gia tốc góc:
Gia tốc góc là đại lượng đặc trưng cho độ biến thiên của vận tốc góc trong
chuyển động quay, kí hiệu là ε.
Tương tự như trên, ta có gia tốc góc trung bình:
ttb
Khi Δt → 0 thì gia tốc góc trung bình tiến tới gia tốc góc tức thời.
t
o (5.4)
Đơn vị ε = đơn vị vận tốc góc/ đơn vị thời gian = rad/s/s = rad/s2 = s-2.
2.5. Vật quay đều: (ω= hằng số)
t
Suy ra: φ = ω. t (5.5)
Phương trình (5.5) gọi là phương trình vật quay đều.
2.6. Vật quay biến đổi (ε = hằng số)
Giả sử tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc góc ωo tại thời điểm t vật có vận
tốc góc ω , ta có:
2
otb
Mặt khác:
ttb
Suy ra:
2
o
t
Từ (7.4) ta có
ω = ωo + ε. t
47
z
M OR
M1
S
NM O
Cho nên
2
t
t
oo
2
2tto .
Tổng quát, ta có phương trình vật quay biến đổi đều là:
ω = ωo ± ε. t
(5.7)
2
2tto .
Công thức (5.7) lấy dấu (+) khi vật quay nhanh dần đều, lấy dấu (-) khi vật
quay chậm dần đều.
3. Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định:
3.1. Quĩ đạo:
Các điểm trên vạch nên những đường tròn vuông góc với trục quay, có tâm
nằm trên trục quay, có bán kính là khoảng cách từ các điểm đó tới trục quay.
3.2. Vận tốc:
Giả sử trong khoảng thời gian Δt điểm dịch chuyển được cung tròn Δs tương
ứng với góc quay Δφ.
Ta c ó: Δs = R. Δφ.
Chia cả hai vế đẳng thức trên cho Δt:
t
R
t
s
. .
Khi Δt→0, Δs/ Δt → V,
t
.
Đẳng thức trên trở nên:
V = R. ω. (5.8) Hình 5.4
Tức là: vận tốc của điểm trên vật quay bằng tích số giữa vận tốc góc của vật
quay với bán kính quay.
Nói khác đi, vận tốc các điểm trên vật quay tỉ lệ với bán kính quay ( khoảng
cách từ điểm đến trục quay).
Quan hệ tỉ lệ đó được biểu diễn trên hình vẽ. Giả sử M và N là hai điểm trên
vật, ta có:
.
.
ONV
OMV
N
M
Suy ra
Vận tốc của điểm trên vật quay còn có thể tính theo công thức:
V= R. ω =
30
. nR .
6030
DnRnV (5.9)
48
OM an
a a
V
V
a a
an
M O
Hình 5.5
3.3. Gia tốc:
Một điểm trên vật quay, M chẳng hạn, thực hiên chuyển động tròn nên gia
tốc của nó gồm hai thành phần: gia tốc tiếp tuyến a
và gia tốc pháp tuyến na
(Hình 5.6).
Hình 5.6
a. Gia tốc tiếp tuyến aτ:
t
R
t
Va
. .
Khi Δt→0,
t
Đẳng thức trở nên:
aτ = R. ε (5.10)
Gia tốc tiếp tuyến của điểm trên vật quay bằng tích số giữa gia tốc góc với bán
kính quay.
b.Gia tốc pháp tuyến an:
2
22 ).( R
R
R
R
Van (5.11)
Gia tốc pháp tuyến của điểm trên vật quay bằng tích số giữa bình phương vận
tốc góc với bán kính quay.
c.Gia tốc toàn phần a :
naaa
Về trị số: 22 naaa = 222 ).()( RR
42 Ra (5.12)
Chú ý: Hướng của a trùng với hướng V
, điểm trên vật quay nhanh dần.
Hướng của a ngược với hướng V
, điểm trên vật quay chậm dần.
Bài tập áp dụng.
49
1: Một trục máy đang quay với vận tốc n = 600vòng/phút thì tắt máy và sau 20
giây thì dừng hẳn. Tính gia tốc góc, và số vòng quay của trục trong 20s đó
Bài làm
Sau khi tắt máy, trục quay chậm dần đều
Ta có :
000
2
00
000
).().(.
2
1
).(
tttt
tt
(9-12)
Trong đó :
Khi t0 = 0s thì )/(.2030
600.14,3
30
.
0 srad
n , φ0 = 0
Khi t = 20s thì ω = 0
Thay vào (9-12) Ta Có
)/(.2020.0 2srad
)(.20020..2020..2
1 2 rad
Số vòng quay của trục trong 20s là
)(100
.2
.200
.2
vòngN
2:
Một vật quay quanh trục cố định O
(Hình 9-5). Tại thời điểm khảo sát điểm M cách
trục quay một khoảng R= 0,5m; có vận tốc
v = 2m/s; a = 10 m/s2. Tính vận tốc góc và gia
tốc góc của vật?
Bài làm
*Vận tốc góc của vật là ω
Ta có )/(4
5,0
2. srad
R
vRv
*Gia tốc góc của vật là ε
- Gia tốc tiếp của điểm M là
R
a
Ra tt .
O M
a M
v M
Hình 9-5
aM
O M
a M t
ε
50
- Gia tốc pháp của điểm M là
)/(85,0.4. 222 smaRa nn
Gia tốc của điểm M là
)/(6810 2222222 smaaaaaa ntnt
Vậy gia tốc góc của vật là: )/(12
5,0
6 2srad
* Hình vẽ (Hình 9-6)
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Nêu định nghĩa chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định?
2. Viết các biểu thức tính vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn có chuyển động
quay quanh một trục cố định?
3. Vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật rắn có chuyển động quay quanh một trục
cố định?
BÀI TẬP
Bài 1 : Một vật quay quanh trục cố định O với vận tốc góc = 20 rad/s, gia
tốc góc ε = 10π rad/s2. Tính vận tốc và gia tốc của điểm B cách trục quay một
khoảng R = 0,2m? (Hình 9-7)
Bài 2 : Véc tơ gia tốc của một điểm trên vành tròn chuyển động quay quanh trục
O tạo với bán kính một góc 600, gia tốc tiếp của điểm đó tại thời điểm khảo sát
là at = 10 3 m/s2 (Hình 9-8). Tìm gia tốc pháp của điểm M. Biết điểm M cách
trục quay một khoảng r = 0,5m. Bán kính vành tròn là R= 1m ?
Bài 3 : Một vật quay nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ lúc t = 1s điểm cách trục
quay một khoảng R1= 2 m có gia tốc a = 2 2 m/s2 (Hình 9-9). Tìm gia tốc của
điểm cách trục quay một khoảng R = 4m lúc t = 2s?
51
Bài 6: Chuyển động song phẳng của vật rắn
Mục tiêu:
- Ghi nhớ nững kiến thức khi khảo sát một dạng chuyển
động phức tạp nhưng thường gặp trong kỹ thuật đó là
chuyển động song phẳng (hay còn gọi là chuyển động
phẳng).
- Giải được các bài toán lien quan đến chuyển động của
một số cơ cấu, bộ phận máy, thiết bị có chuyển động
song phẳng
1. Khái niệm.
1.1. Định nghĩa
Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm thuộc
vật luôn di chuyển trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cho
trước
Ví dụ: Điểm M và mặt phẳng (S) cùng thuộc vật rắn có chuyển động song
phẳng. Điểm M luôn luôn chuyển động trong mặt phẳng (S), mặt phẳng (S)
thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) luôn song song với mặt phẳng (Q); (Q) là
mặt phẳng quy chiếu cho trước (Hình 10-1)
1.2. Phương pháp khảo sát vật rắn chuyển động song phẳng.
Chuyển động song phẳng của vật rắn là một chuyển động phức hợp hay
gặp trong kỹ thuật. Khi nghiên cứu chuyển động phức hợp của vật rắn ta thường
phân tích chuyển động phức hợp ra cácchuyển động cơ bản đã biết phương pháp
tính. Phương pháp nghiên cứu vật chuyển động song phẳng tương đối tổng quát:
Đầu tiên khảo sát chuyển động của toàn vật sau đó khảo sát chuyển động của
các điểm thuộc vật rắn chuyển động song phẳng.
* Mô hình
- Thanh truyền AB trong cơ cấu tay quay con trượt (Hình 10-2);
- Cơ cấu bốn khâu (Hình 10-3)
- Bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng (Hình 10-4)..
2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phương pháp tịnh tiến và quay
đồng thời.
Hình 10-2
O
A
B
0
Hình 10-3
O
A
B
C
Hình 10-4
O M N
aM
Hình 9-9
52
2.1. Phân tích chuyển động của hình phẳng (S) thành chuyển động tịnh tiến và
quay đồng thời.
Xét hình phẳng (S) chuyển động trong mặt phẳng (P).
- Trong mặt phẳng (P) chọn hệ trục tọa độ cố định x1o1y1.
- Lấy một điểm O thuộc hình phẳng (S) gắn vào đó hệ trục động xoy sao cho
Ox // O1x1
Oy // O1y1
Vậy hệ trục xoy có chuyển động tịnh tiến đối với hệ trục x1O1y1
- Đối với hệ trục xOy tấm phẳng có chuyển động quay quanh trục O và góc
định vị là góc φ
+ Khi hình phẳng chuyển động thì các thông số x0, y0 , φ sẽ thay đổi theo
thời gian
Ta có
Phương trình chuyển động của hình phẳng
)(
)(
00
00
tyy
txx
; t (10-1)
Qua phân tích trên ta thấy,chuyển động
của hình phẳng (S) được phân tích thành
chuyển động tịnh tiến cùng với hệ trục Oxy
và quay quanh trục qua O
2.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng.
Định lý 1: Vận tốc của điểm B bằng tổng
hình
học vận tốc của điểm A và vận tốc của điểm B
khi hình phẳng quay quanh cực A. (Hình 10-6)
Biểu thức: BAAB vvv
(10-2)
Trong đó BAv
: là vận tốc của điểm B
khi hình phẳng quay quanh cực A
Vận tốc BAv
có: - Phương: Vuông góc với BA
- Chiều: theo chiều quay ω
- Độ lớn: BAvBA .
Định lý 2: Hình chiếu của các véc tơ vận tốc của hai điểm thuộc hình phẳng lên
đường thẳng nối hai điểm đó bằng nhau(hình 10-7)
B
A
vA
vB
vBA
vAω
Hình 10-6
Hình 10-5
o 1
y 1
x1
o
y
x
φ
xo
yo
(S)
53
)()( AABBAB vhcvhc (10-3)
Định lý 3 :Gia tốc của điểm B bằng tổng hình học gia tốc của điểm A và gia
tốc của điểm B khi hình phẳng quay quanh cực A. (Hình 10-8)
Biểu thức BAAB aaa
(10-4)
Trong đó: tBAnBABA aaa
(10-5)
- Gia tốc tiếp tuyến tBAa
có
- Phương: Vuông góc với BA
tBAa
có - Chiều: theo chiều của ε
- Độ lớn: BAa tBA .
- Gia tốc pháp tuyến
n
BAa
có
- Phương : Dọc theo BA
nBAa
có - Chiều: Hướng về cựcA
- Độ lớn: BAa nBA .
2
3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép quay tâm vận tốc tức thời.
3.1 .Tâm vận tốc tức thời
- Định nghĩa: Nếu tại thời điểm khảo sát tồn tại một điểm thuộc hình phẳng có
vận tốc bằng 0 thì điểm đó gọi là tâm vận tốc tức thời
- Định lý 3: Tại thời điểm vận tốc góc của hình phẳng khác 0 (ω ≠ 0) thì tồn
tại duy nhất một tâm vận tốc tức thời
3.2.Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng.
* Khi 0 : Gọi P là tâm vận tốc tức thời tức là có vP = 0
Tính vận tốc của các điểm thuộc hình phẳng theo vP?
Vận tốc của điểm M
MPPM vvv
(10-6)
B
A
a B
a BA
a A
ω
a BA
n
a BA t
a A
Hình 10-8
P
M
N
v M
v N
Hình 10-7
B
A
v A
v B
v BA
ω
hc AB (v A )
hc AB (v B)
54
mà có vP = 0 MPvv MPM .
Tương tự tính vận tốc của điểm N
NPvv NPN .
MP
NP
v
v
N
M
Định lý 4 : Tại thời điểm tồn tại tâm vận tốc tức thời, vận tốc của các điểm
thuộc hình phẳng phân bố giống như trường hợp quay quanh tâm vận tốc tức
thời
* Khi 0 : thì ta có vM = vMP = 0
vN = vNP = 0
Vậy vật chuyển động tịnh tiến tức thời
3.3. Phương pháp tâm vận tốc tức thời
* Trường hợp 1: Theo định lý 1 Ta có
APPA vvv
mà vP = 0 APA vv
vA = vAP = ω.AP
AvAP
Khi đó ta tìm được Tâm vận tốc tức thời P (Hình 10-10 a)
* Trường hợp 2: Biết vận tốc điểm A và B có phương cắt nhau. Từ hai
điểm A và B kẻ hai đường vuông góc với các phương vận tốc của chúng. Giao
điểm của hai đường này là tâm vận tốc tức thời P (Hình 10-10b)
* Trường hợp 3: Biết vận tốc điểm A và B có phương song song với
nhau. Nếu AB vuông góc với hai vectơ vận tốc. Giao điểm của AB và đường
thẳng qua các điểm mút của các vận tốc là tâm vận tốc tức thời P (Hình 10-
10c) và (Hình 10-10d)
* Trường hợp 4: Hai vectơ vận tốc của hai điểm AB có phương song
song với nhau, cùng chiều, bằng nhau và cùng vuông góc với AB thì tâm vận
tốc tức thời P ở vô cùng (Hình 10-10e)
* Trường hợp 5: Khi một hình phẳng lăn không trượt trên đường thẳng
thì điểm tiếp xúc giữa hình phẳng và đường thẳng là tâm vận tốc tức thời P
(Hình 10-10g)
v B
v A
A
B
ω
P
v A
v A
v PA
P
A
ω
v B
v A
A
B
55
a, b, c,
d, e, g,
Hình 10-10
Bài tập ứng dụng:
Bài 1: Một bánh xe có bán kính R = 0,2m
lăn không trượt trên một đường thẳng cố định.
(Hình 10-11). Tính vận tốc và gia tốc của điểm
M trên vành bánh xe tại thời điểm tâm O của
bánh xe có vận tốc là vo = 1m/s, gia tốc
ao = 1,6 m/s2
Bài làm
Bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng cố
định. Vậy lúc này bánh xe thực hiện chuyển
động song phẳng đang theo cách xác định tâm
vận tốc tức thời thì điểm tiếp xúc bánh xe và
đường thẳng là tâm vận tốc tức thời P
Theo định lý 4 Ta có
5
2,0
1.
OP
v
OPv OO (rad/s)
Và có
8
2.0
6,1..
R
a
ROPaa OtOPO (rad/s2)
* Vận tốc của điểm M là
22.2,0.5. MPvM (m/s)
Phương ,chiều của vận tốc của điểm M
(Hình 10-12)
P
A
B
v A
vB
A
B
vA
vB
P
O Ma O
a t
aMOn
a MO a M
aO
P
ω
P
O M
v M
ω
v
Hình 10-12
O M
v
O
a
O
ω
Hình 10-11
56
* Gia tốc của điểm M là
tMO
n
MOOM aaaa
(10-7)
- Gia tốc pháp tuyến nMOa
:
có - Phương :Vuông góc với MO
- Chiều: theo chiều của ε
-Độ lớn : 52,0.5. 22 MOa nMO (m/s2)
- Gia tốc tiếp tuyến tMOa
:
có - Phương : Dọc theo MO
- Chiều : Hướng về cựcP
- Độ lớn : 6,12,0.8. MOa tMO (m/s2)
Chiếu biểu thức (10-7)lên hệ trục xOy theo hình vẽ ta có
6,1
4,356,1
t
MOMY
n
MOOMX
aa
aaa
75,312,14)6,1()4,3( 2222 MYMXM aaa (m/s2)
Phương ,chiều của gia tốc của điểm M (Hình 10-13)
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Nêu định nghĩa chuyển động song phẳng của vật rắn, phân tích các chuyển
động của hình phẳng và nêu các thông số động
học của chuyển động?
2. Phát biểu định lý quan hệ vận tốc giữa hai điểm
và định lý quan hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc
hình phẳng có chuyển động song phẳng?
3. Nêu định nghĩa, định lý tâm vận tốc tức thời?
Các quy tắc tìm tâm vận tốc tức thời?
BÀI TẬP
A B
ε
ω
O
2
1
Hình 10-14
57
Bài 1: Cơ cấu tay quay OA quay xung quanh trục O làm bánh 2 lăn không trượt
theo vành bánh 1 cố định.Biết r1 = 0,2m, r2 = 0,3m (Hình 10-14). Lúc tay quay
có vận tốc góc ω= 1rad/s và gia tốc góc ε = 4 rad/s2. Tìm:
a) Vận tốc góc của bánh 2, vận tốc điểm B trên vành bánh 2; biết AB
OA?
b) Gia tốc góc bánh 2 và gia tốc điểm B?
Bài 2: Một đĩa phẳng có bán kính R = 0,5m lăn
không trượt trên mặt phẳng nghiêng (Hình 10-15),
tại thời điểm khảo sát tâm của đĩa có vận tốc
vA = 1m/s và gia tốc aA = 3m/s2 .
Tìm :
a. Vận tốc góc của đĩa, vận tốc các điểm C, D, E?
b. Gia tốc góc của đĩa, gia tốc các điểm B, C?
A
B
E
D
C
Hình 10-15
58
Bài 7: Hợp chuyển động điểm
Mục tiêu:
- Ghi nhớ những kiến thức về chuyển động cơ bản của vật rắn, của chất điểm
thuộc vật rắn. Từ đó ứng dụng vào một số chuyển động đơn giản gặp trong kỹ
thuật, trong một số cơ cấu máy.
- Tính toán được các chuyển động thường gặp trong kỹ thuật.
Nội dung.
1. Khái niệm - Định nghĩa
1.1. Một số khái niệm.
Nếu một điểm tham gia đồng thời nhiều chuyển động thì điểm đó thực
hiện tổng hợp chuyển động của điểm
* Mô hình
Chất điểm M có chuyển động đối với hệ
quy chiếu động (B), hệ quy chiếu động
(B) có chuyển động đối với hệ quy chiếu
cố định (A). Vậy chuyển động của điểm
M đối với hệ quy chiếu cố định (A) được
gọi là tổng hợp chuyển động từ hai
chuyển động trên
- Chuyển động của điểm M đối với hệ
quy chiếu động (B) là chuyển động tương
đối
- Chuyển động của hệ quy chiếu động (B) đối với hệ quy chiếu cố định (A)gọi là
chuyển động theo
- Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu cố định (A) được gọi là chuyển
động tuyệt đối
1.2. Định nghĩa.
a. Vận tốc tuyệt đối của điểm: Ký hiệu: av
Vận tốc tuyệt đối của điểm là vận tốc chuyển động của điểm đó đối với
hệ quy chiếu cố định
dt
MOdva 1
(11-1)
b.Vận tốc tương đối: Ký hiệu: rv
Vận tốc tương đối là vận tốc chuyển động của điểm đối với hệ quy chiếu động
z
(A)
(B)
x
y
y 1
z 1
x 1
M
O
O 1
Hình 11-1
59
dt
OMdvr
(11-2)
c.Vận tốc theo: Ký hiệu: ev
Vận tốc theo là vận tốc chuyển động của hệ quy chiếu động đối với hệ
quy chiếu cố định
Xét điểm M* thuộc hệ quy chiếu động (B). Tại thời điểm khảo sát có M* ≡M
Ta có :
dt
OMdve
*
(11-3)
2. Định lý hợp vận tốc.
2.1. Định lý: Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học
vận tốc tương đối và vận tốc theo
Ta có : era vvv
(11-4)
2.2. Xác định trị số của vận tốc tuyệt đối.
Ví dụ : Một ống tròn bán kính R quay quanh trục cố
định O với vận tốc ω. Một chất điểm (viên bi) chuyển
động đều trong ống tròn với vận tốc không đổi vo. Tính
vận tốc tuyệt đối của chất điểm khi nó ở vị trí M?
(Hình 11-2) Biết O1O = 2R
Bài giải
Chọn ống tròn làm hệ quy chiếu động, trục quay là hệ
quy chiếu cố định vậy ta có các chuyển động tương đối sau:
- Chuyển động của chất điểm đối với ống tròn là chuyển động tương đối
or vv
- Chuyển động của ống tròn đối với trục
quay là chuyển động theo
+ Phương: vuông góc với OM
ev có : + Chiều: Theo chiều của
+ Độ lớn: ve = .OM
- Chuyển động của chất điểm đối với trục
quay là chuyển động tuyệt đối
rea vvv (1)
Lập hệ trục tọa độ xMy , chiếu biểu thức (1)
Hình 11-2
M O
ω
uo
O1
Hình 11-3
O1
x
ω
uo
ve
vavrα
O
M y
60
lên hệ trục ta được:
0sin.
cos.
vvvvv
vvvv
eryeyay
erxexax
Từ hình vẽ ta có :
5
1
5.
sin;
5
2
5
.2cos
5.
R
R
R
R
ROM
Thay vào ta có
oay
ax
vRv
Rv
.
..2
22 ).()..2( oa vRRv
3. Định lý hợp gia tốc (trường hợp chuyển động theo là chuyển động tịnh
tiến).
3.1. Khái niệm.
Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc.
3.2. Định lý: Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học
vận tốc tương đối và vận tốc theo
Ta có : era vvv
(11-4)
Ví dụ : Một ống tròn bán kính R quay quanh trục cố
định O với vận tốc ω. Một chất điểm (viên bi) chuyển
động đều trong ống tròn với vận tốc không đổi vo. Tính
vận tốc tuyệt đối của chất điểm khi nó ở vị trí M?
(Hình 11-2) Biết O1O = 2R
Bài giải
Chọn ống tròn làm hệ quy chiếu động, trục quay là hệ
quy chiếu cố định vậy ta có các chuyển động tương đối
sau:
- Chuyển động của chất điểm đối với ống
tròn là chuyển động tương đối
or vv
- Chuyển động của ống tròn đối với trục
quay là chuyển động theo
+ Phương: vuông góc với OM
ev có : + Chiều: Theo chiều của
+ Độ lớn: ve = .OM
Hình 11-2
M O
ω
uo
O1
Hình 11-3
O1
x
ω
uo
ve
vavrα
O
M y
61
- Chuyển động của chất điểm đối với trục quay là chuyển động tuyệt đối
rea vvv (1)
Lập hệ trục tọa độ xMy , chiếu biểu thức (1)
lên hệ trục ta được:
0sin.
cos.
vvvvv
vvvv
eryeyay
erxexax
Từ hình vẽ ta có :
5
1
5.
sin;
5
2
5
.2cos
5.
R
R
R
R
ROM
Thay vào ta có
oay
ax
vRv
Rv
.
..2
22 ).()..2( oa vRRv
62
Bài 8: Cơ sở động lực học chất điểm
Mục tiêu.
- Ghi nhớ các khái niệm, các định luật cơ bản về động lực học, phương trình vi
phân và hai bài toán cơ bản của động lực học.
- Biết được các khái niệm, định luật cơ bản về động lực học, phương trình vi
phân. Giải được hai bài toán cơ bản của động lực học.
Nội dung.
1. Những khái niệm cơ bản:
1.1. Chất điểm:
Chất điểm còn được gọi là vật điểm, là một điểm hình học có mang khối
lượng. Chất điểm là mô hình của các vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua
được do nhỏ so với các vật thể khác hoặc không đóng vai trò gì trong quá trình
khảo sát chuyển động, ví dụ khi xác định tầm xa của viên đạn hoặc khi khảo sát
chuyển động của các vật tịnh tiến có thể xem chúng là chất điểm.
1.2. Cơ hệ:
Cơ hệ là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm trong đó chuyển động của
một chất diểm bất kỳ phụ thuọcc vào chuyển động của chất điểm còn lại, nghĩa
là chuyển động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Nói khác đi, giữa các
chất điểm của cơ hệ tồn tại các tương tác cơ học. Tùy thuộc vào bản chất của
tương tác cơ học giữa các chất điểm cơ hệ được phân thành cơ hệ tự do và cơ hệ
không tự do.
- Cơ hệ tự do là tập hợp các chất điểm mà mối tương tác cơ học giữa chúng
được biểu hiện thuần túy qua lực tác dụng. Nói khác đi, cơ hệ tự do, là tập hợp
các chất điểm tự do, tức là chất điểm mà di chuyển của nó (di chuyển vô cùng
bé) từ vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào cũng không bị cản trở.
- Cơ hệ không tự do, còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là tập hợp các chất
điểm mà trong chuyển động của chúng, ngoài lực tác dụng, vị trí và vận ttốc của
các chất điểm bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trước
được gọi là những liên kết. Cơ cấu máy là một ví dụ về cơ hệ không tự do.
Vật rắn tuyệt đối: là mmột cơ hệ gồm vô số các chất điểm mà khoảng cách
giữa hái chất điểm bất kỳ của nó không đổi trong suốt thời gian chuyển động.
Trong thực tế các vật mà biến dạng của nó có thể bỏ qua do bé hoặc do không
đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát chuyển động, được xem là vật
rắn tuyệt đối, thường gọi tắt là vật rắn.
1.3. Hệ quy chiếu quán tính:
Muốn khảo sát chuyển động của các vật thể trước hết phải chọn hệ quy
chiếu. Trong động lực học hệ quy chiếu đượcc chọn là hệ quy chiếu quán tính,
đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật quán tính của Galilê được nghiệm
đúng. Trong thực tê, tùy thuộc yêu cầu của độ chính xác của bài toán khảo sát,
người ta chọn hệ quy chiếu quán tính gần đúng. Trong thiên văn hệ quy chiếu
quán tính được chọn là hệ trục tọa độ có gốc ở tâm mặt trời và ba trục hướng
đến ba ngôi sao cố định. Trong kỹ thuật hệ quy chiếu quán tính được chọn
thường là hệ trục tọa độ gắn liền với quả đất
2. Các định luật cơ bản của động lực học:
63
M
a F
2.1. Định luật quán tính:
Nếu không chịu tác dụng của lực nào vào chất điểm thì chất điểm sẽ nằm yên
hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều.
Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là
trạng thái quán tính.
Như vậy, nếu ta gọi lực tác dụng vào chất điểm là F
, vận tốc của chất điểm là
v ; theo định luật quán tính thì:
Khi F
= 0, ta có: v = hằng số, đặc biệt có thể v = 0.
Định luật quán tính cho ta thấy rằng nếu không có lực nào tác dụng vào các
chất điểm thì các chất điểm nói chung có xu hướng muốn giữ nguyên trạng thái
chuyển động của nó; nói khác đi nếu không có lực nào tác dụng vào chất điểm
thì vận tốc của chất điểm sẽ được bảo toàn cả về hướng lẫn trị số.
Tính chất bảo toàn vận tốc của các chất điểm như thế gọi là quán tính và trạng
thái nằm yên hay chuyển động thẳng đều được gọi là chuyển động quán tính. Vì
thế định luật quán tính còn có thể phát biểu:
Nếu không có lực nào tác dụng vào chất điểm thì chất điểm sẽ chuyển động
quán tính.
Trong thực tế các chất điểm luôn tác dụng tương hỗ lẫn nhau do đó chuyển
động quán tính thường ít xuất hiện. Vì thế dễ dàng thấy rằng muốn có chuyển
động quán tính ta cần cô lập chất điểm với các vật thể xung quanh.
Ta biết rằng lực và chuyển động liên hệ với nhau rất mật thiết, chính lực là
nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động. Định luật quán tính chưa cho
biết cụ thể sự liên hệ đó, khi khảo sát đên định luật tỷ lệ giữa lực vag gia tốc sẽ
nói rõ sự liên hệ này.
2.2. Định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc:
Lực tác dụng lên một chất điểm có phương và chiều trùng với phương và
chiều của gia tốc, có trị số bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm và trị số
của gia tốc.
Giả sử có chất điểm M có khối lượng là m chuyển động theo một đường cong
nào đó (hình 8.1 ), nếu gọi lực tác dụng là F
; gia tốc là a , thì biểu thức toán học
của định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc là:
amF
. (8.2)
Về trị số, ta có:
F = ma (8.3)
Hình 8.1
Phương trình (8.2) thiết lập mối liên hệ cơ bản giữa lực và chuyển động, được
gọi là phương trình có bản của động lực học.
Từ (8.3) ta thấy với cùng một lực tác dụng, nếu chất điểm có khối lượng càng
lớn thì gia tốc a càng nhỏ, vận tốc biến thiên càng ít, chuyển động sẽ càng gần
chuyển động quán tính.
Như vậy, khối lượng của một chất điểm biểu thị cho số đo quán tính của chất
điểm đó.
64
A
a F
F' a'
B
(m)
(m')
Cũng từ (8.3), ứng dụng cho chất điểm có khối lượng m chuyển động rơi tự do
với gia tốc rơi là gia tốc trọng trường g; trọng lượng P của chất điểm được tính
theo:
P = m.g
Hay:
g
Pm (8.4)
Hình 8.2
Như vậy: khối lượng của một chất điểm bằng tỷ số giữa trọng lượng của nó với
gia tốc trọng trường.
Nó thiết lập mối quan hệ giữa trọng lượng và khối lượng của chất điểm.
2.3. Định luật cân bằng giữa lực tác dụng và phản lực:
Các lực mà hai chất điểm tác dụng tương hỗ bao giờ cũng bằng nhau về trị
số, cùng đường tác dụng và ngược chiều.
Như vậy nếu chất điểm B tác dụng lên chất điểm A một lực F
(hình ) thì
ngược lại chất điểm A cũng sẽ tác dụng lên chất điểm B một lực 'F
bằng nhau
và ngược chiều với lực F.
FF
' ( về trị số F’ = F) (8.5)
Định luật này trình bày cho vật rắn đứng yên, đên đây ta thấy nó vẫn đúng cho
cả trường hợp hợp vật rắn chuyện động và kết luận về lực không xuất hiện một
chiều chẳng những chỉ dùng cho vật đứng yên mà vẫn còn đúng cho trường hợp
tổng quát – vật chuyển động.
Nếu gọi m và m’ là khối lượng của hai chất điểm A và B, a và a’ là trị số các
gia tốc tương ứng của chúng theo (8.3) ta có:
F = ma; F’ = m’a’
Nhưng
F = F’
Nên
ma = m’a’
Do đó:
m
m
a
a '
' (8.6)
Vậy: Gia tốc mà các chất điểm truyền cho nhau tỷ lệ nghich với khối lượng
của chúng.
Trong thực tế đôi khi ta không thấy rõ điều này vì sự chênh lệch khối lượng
giữa các chất điểm truyền gia tốc cho nhau quá lớn. Ví dụ quả đất hút một vật
với gia tốc g thì ngược lại quả đất cũng bị hút về phía vật, nhưng do khối lượng
65
M
a F
y
z
x
của vật không đáng kể so với khối lượng quả đất nên gia tốc mà vật gây ra cho
qủa đất quá nhỏ đến nỗi ta không cảm thấy được.
2.4. Định luật độc lập tác dụng của các lực:
Gia tốc mà các chất điểm nhận được khi chịu tác dụng đồng thời của nhiều
lực bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm nhận được khi chịu tác dụng
riêng biệt của từng lực:
naaaa
...21 (8.7)
Từ đó, ta có thể chứng minh rằng hợp lực R
của hệ xác định theo công thức:
nFFFR
...21 (8.8)
Sẽ có tác dụng tương đương với cả hệ, nghĩa là cũng gây ra cho chất điểm gia
tốc a .
Thật vậy, vì lực 1F
gây gia tốc 1a
, lực 2F
gây gia tốc 2a
nên theo (8.2) ta
có:
nn amFamFamF
;....;; 2211
Do đó từ (8.8) ta có:
namamamR
....21
amaaam n
)....( 21
Biểu thức đó chứng tỏ rằng khi chịu tác dụng của lực R
, chất điểm cũng nhận
được gia tốc a .
Như vậy, khi gặp trường hợp chất điểm chịu tác dụng của một hệ lực thì ta có
thể thay hệ lực bằng hợp lực của chúng mà không thay đổi trạng thái chuyển
động của chất điểm đó.
3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm- Hai bài toán cơ bản
của động lực học:
3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm:
Giả sử có chất điểm M, khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực F
(
hình 8.3).
Ta có:
amF
.
Hình 8.3
Chiếu đẳng thức véc tơ đó lên các trục của hệ qui chiếu quán tính Oy ta có:
X = m . ax
Y = m. ay (8.9)
Z = m. az
Trong đó X, Y, Z và ax, ay , az là hình chiếu của lực và gia tốc lên các trục toạ
độ tương ứng.
66
Ta biết:
2
2
''
2
2
2
2
)(;)('';)(''
dt
zdtza
dt
ydtya
dt
xdtxa zyx
Trong đó x = f1(t), y = f2(t) , z = f3(t) là phương trình chuyển động của chất
điểm ( theo phương pháp toạ độ) thay vào (8.9)
Ta được:
2
2
2
2
2
2
;.;.
dt
zdmZ
dt
ydmY
dt
xdmX (8.10)
Hay X = m.x’’(t); Y = m.y’’(t) ; Z =...ới trục của thanh đặc trưng cho thớ
dọc và vạch các đường vuông góc với trục của thanh đặc trưng cho mặt cắt
ngang. Các đường này tạo nên lưới hình ô vuông (hình vẽ).
H.a
M
M
l
M
x
Qy
B A
a a P
H.
bb
P
Pa
P
P
+
-
B
M=4qa2
YB= qa
10
1
2
2
z
Mx
Qy
0
117
Tác dụng mômen uốn ta thấy các đường vuông góc với trục của thanh bị
xoay đi 1 góc nhưng vẫn là các đường thẳng vuông góc với trục của thanh. Các
đường song song với trục của thnh trở thành các đường cong nhưng vẫn song
song với trục của thanh. Ta làm thí nghiệm nhiều lần nhưng vẫn thu được kết
quả như trên, từ đó ta có các giả thuyết.
- Giả thuyết:
+ Giả thuyết 1: Các mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng luôn phẳng
và vuông góc với trục của thanh.
+ Giả thuyết 2: Các thớ dọc của dầm trong quá trình biến dạng không chèn ép
hoặc đẩy xa nhau.
Ngoài ra ta có giả thuyết: Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là tuân
theo định luật Húc. E ; G
* Ứng suất trên mặt cắt ngang:
- Đường trung hòa:
Xét biến dạng của đoạn thanh
khi nó chịu uốn thuần túy (hình vẽ).
Khi chịu uốn thì các thớ ở phía trên
bị co lại, các thớ phía dưới bị giãn ra.
Như vậy chứng tỏ sẽ tồn tại một thớ
mà kích thước của nó không bị thay
đổi (nó chỉ bị uốn tù thẳng sang cong).
Các thớ đó được gọi là thớ trung hòa,
các thớ trung hòa sẽ tạo nên 1 lớp
trung hòa. Giao tuyến giữa lớp trung
hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa (trục x).
Trục y là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang của dầm gọi là
đường tải trọng. Ta thấy đường trung hòa x luôn vuông góc với đường tải trọng
y.
- Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang:
Dựa vào các giả thuyết ta thấy rằng trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần
là ứng suất pháp (σz).
Xét một mặt cắt ngang bất kỳ, trên mặt cắt ngang có nội lực là mômen uốn Mx.
Lập hệ trục tọa độ xoy trong đó trục x là đường trung hòa (hình vẽ).
M M
§êng t¶i
träng
Thí trung
hoµ
y
x
§êng trung
hoµ
118
Tại một điểm K(x,y) bất kỳ có giá trị
Suất là σz. Xung quanh điểm K ta xét một
Phân tố diện tích vô cùng bé dF. Nội lực
Trên dF là σz. dF và tổng mômen của nó
Lấy đối với trục x là:
F
zx dF..yM (6.1)
Để tích phân được ta đi xác định quy luật
biến thiên của σz.
Ta xét một đoạn dầm có chiều dài vô
Cùng bé dz. Xét thớ AB cách thớ trung
hòa O1O2 một đoạn là y. Trước khi biến dạng các thớ đều có chiều dài là dz. Sau
khi biến dạng thớ AB có chiều dài là dy .
Sau khi biến dạng trục thanh bị cong đi
nhưng chiều dài của thớ trung hòa vẫn là
dz.
d.OO 21 dz
Trong đó ρ là bán khính cong của thớ
trung hòa.
Ta có:
y
d
ddy
z
Vậy ta có:
yEE zz (6.2)
Thay (6.2) vào (6.1) có:
x
x
x
F
2
x EJ
M1J.EdFyEM
Ta có: y.
J
M
x
x
z
Đây chính là công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn
thuần túy.
Dấu của σz phụ thuộc vào 2 đại lượng đó là Mx và My. Đối với Mx được quy
ước dấu như sau: Mx được xem là dương nếu nó làm căng thớ về phía chiều
dương của trục y và ngược lại. Trong công thức trên ta phải xét dấu của cả hai
đại lượng là Mx và y.
Để đơn giản ta có công thức kỹ thuật:
y
J
M
x
x
z
Trong đó σz lấy dấu (+) nếu điểm đang tính ứng suất
ở vùng kéo (dãn ra) và lấy dấu (-) nếu điểm đang tính
ứng suất ở vùng nén (co lại).
Ví dụ: Trên hình vẽ ta thấy mọi điểm nằm trên trục
Mx
Z
dF
F
z
y
x
K
y
x
d
y
02 01
B A
Mx Mx
Mx
x
y
+
z - -
+
119
trung hòa x đều ở vùng kéo nên ứng suất lấy dấu (+),
còn mọi điểm nằm phía dưới trục trung hòa đều ở vùng
nén nên ứng suất lấy dấu (-).
Nhận xét:
+ Trục trung hòa x trong trường hợp uốn thuần túy chính là trục quán tính
chính trung tâm của mặt cắt hay trục trung hòa x luôn đi qua trọng tâm của mặt
ngang. Thực vậy:
Gọi σz.dF là vi phân nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF→ Tổng các vi
phân nội lực đó là Nz.
F
zz dF.N = 0
0S0S.E0ydFEdFyEN xx
FF
z , nghĩa là đường trung
hòa chính là một trục trung tâm của mặt cắt.
Mặt khác: 0S0S.E0ydFEdFyEN xx
FF
z
Hệ trục xoy là hệ trục quán tính chính trung tâm.
+ Từ công thức
x
x
EJ
M1
ta thấy nếu EJx càng lớn thì độ cong
1 của dầm càng
nhỏ, tức là bán kính cong ρ càng lớn. Nghĩa là nếu EJx càng lớn thì trục dầm
càng ít bị uốn cong đi. Do đó người ta gọi tích số EJx là độ cứng khi uốn của
dầm.
- Biểu đồ ứng suất pháp:
Từ công thức y.
J
M
x
x
z ta thấy ứng suất pháp σz phân bố bậc nhất trên mặt
cắt ngang theo trục y (vì tại một mặt cắt Mx và Jx là hằng số).
Biểu đồ ứng suất pháp dùng để biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp dọc
theo chiều cao của mặt cắt.
+ Khi y = 0 (ứng với các điểm trên đường trung hòa) thì σz = 0.
+ Khi kmaxy thì đạt ứng suất
lớn nhất vùng chịu kéo:
kmax
x
x
max y.J
M
+ Khi nmaxyy thì đạt ứng suất
Lớn nhất vùng chịu nén:
nmax
x
x
min y.J
M
Biểu đồ ứng suất pháp được
biểu diễn trên hình vẽ.
c. Điều kiện bền:
Mx
min
zσ
max
zσ
n
maxy
z
k
maxy
y
x
+
-
120
Tại một mặt cắt ngang bất kỳ ứng với 1 trị số Mx xác định ta luôn có 2 giá trị
ứng suất pháp cực trị là max và min. Để đảm bảo độ bền thì ứng suất lớn nhất
trên mọi mặt cắt ngang đều phải nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất cho phép. Để
thuận tiện, người ta thường xác định mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt có ứng suất
cực trị lớn nhất so với tất cả mặt cắt, nếu ứng suất cực trị trên mặt cắt nguy hiểm
mà thỏa mãn điều kiện bền thì tất cả các mặt cắt khác cũng thỏa mãn.
Mặt cắt nguy hiểm được xác định:
- Nếu dầm có mặt cắt không thay đổi thì mặt cắt có Mxmax là mặt cắt nguy hiểm.
- Nếu dầm có mặt cắt thay đổi thì ta phải tính ứng suất cực trị cho 1 số mặt cắt
có khả năng ứng suất lớn nhất rồi so sánh tìm mặt căt nguy hiểm.
* Mặt cắt bất kỳ: Tại mặt cắt nguy hiểm ta tìm thấy điểm nguy hiểm có 2 giá trị
ứng suất pháp cực trị là max và min .
k
x
xk
W
M
max
x
x
max y.J
M
n
x
xn
W
M
max
x
x
min y.J
M
Mặt cắt bất kỳ có đặc điểm nk yy maxmax nên minmax cho nên: Tùy theo vật
liệu là dẻo hay dòn mà điều kiện bền được viết theo nguyên tắc chung đã trình
bày trong chương kéo nén:
Vật liệu dẻo: minmax ;max
Vật liệu dòn:
n
k
min
max
* Mặt cắt có đường trung hòa là trục đối xứng (mặt cắt chữ nhật, mặt cắt tròn,
chữ I,). Ta xét mặt cắt nguy hiểm:
Ta thấy maxnmaxkmax yyy cho nên có:
x
x
W
M
max
x
x
minmax yJ
M
σσ
Đặt
max
x
x
y
JW gọi là mômen chống uốn của mặt cắt. Ta có:
Mx
min
zσ
max
zσ
n
maxy
z
k
maxy
y
x
+
-
0
B
A
(B)
max
(A)
min
121
x
x
max W
M
σ
Wx có thứ nguyên là [chiều dài]3 và có đơn vị thường dung là cm3 .
Tại các điểm A và B đều có trị số tuyệt đối ứng suất như nhau và chúng đều
ở trạng thái ứng suất đơn. Dựa vào nguyên tắc chung, ta có điều kiện bền đối với
cả vật liệu dẻo và dòn.
k][W
M
x
x
max
Sau đây ta sẽ đi xét mômen chống uốn của một số hình phẳng đơn gián
thường gặp:
- Hình chữ nhật có kích thước là bxh:
Ta có:
6
bhW
12
bhJ;
2
hyy
2
x
3
x
max
n
max
k
- Hình tròn có đường kính D = 2R:
3x
4
x
max 0,1DW0,05DJ;
2
Dy
- Hình vành khăn có đường kính ngoài là D và đường kính trong là d:
Tương tự có:
43x η10,1DW với D
dη
d. Mặt cắt hợplý:
* Định nghĩa: Mặt cắt hợp lý là mặt cắt chịu lực tố nhất nhưng cũng tiết kiệm
vật liệu nhất.
Dựa vào biểu đồ phân bố
ứng suất pháp trên mặt cắt
ngang ta thấy càng gần đường
trung hòa thì vật liệu chịu lực
càng ít, cho nên người ta có xu
hướng khoét bỏ bớt vật liệu bên
trong tạo nên các mặt cắt như
hình chữ I, chữ C ghép,
Mặt khác, một mặt cắt hợp lý
Phải được tạo sao cho điểm chịu kéo lớn nhất đạt đến ứng suất cho phép về kéo
thì đồng thời điểm chịu nén lớn nhất cũng đạt đến ứng suất cho phép về nén.
Nghĩa là:
Khi max đạt tới []k thì lúc đó |min| cũng đạt tới []n . Tức là phải thỏa mãn
biểu thức:
n
max
n
x
x
min
k
max
k
x
x
max
y
J
M
y
J
M
Chia 2 vế của phương trình trên cho nhau ta được:
122
n
k
n
k
y
y
max
max
Mặt cắt hợp lý phải thỏa mãn biểu thức trên, nghĩa là chiều cao của mặt cắt
phải được chia theo tỷ lệ trên.
+ Với vật liệu dẻo thì α = 1 cho nên trọng tâm mắt cắt chia đều theo chiều cao,
tức là: maxmax nk yy . Đó là các mặt cắt có 2 trục đối xứng như mặt cắt chữ I,
chữ C ghép cân,
+ Với vật liệu dòn do []k < []n
nên α < 1. Do đó mặt cắt hợp lý
của loại vật liệu này là mặt cắt
sao cho maxmax nk yy . Đó là các
mặt cắt chỉ có một trục đối xứng
như mặt cắt chữ T, chữ L ghép,
4. Uốn ngang phẳng:
a. Định nghĩa:
Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên mọi mặt cắt ngang
của nó xuất hiện các thành phần nội lực là lực cắt Qy và mômen xoắn Mx nằm
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Mômen uốn Mx gây ứng suất pháp còn lực cắt Qy gây ứng suất tiếp.
b. Ứng suất trên mặt cắt ngang:
Sau khi làm thí nghiệm nhiều lần (giống như khi uốn thuần túy) và bằng lý
thuyết đàn hồi, người ta đã chứng minh được rằng mặt cắt ngang của dầm chịu
uốn ngang phẳng không còn phẳng và vuông góc với trục của thanh như khi uốn
thuần túy nữa. Điều đó chứng tỏ trên mặt cắt ngang không những chỉ có ứng
suất pháp mà còn có ứng suất tiếp.
* Ứng suất pháp:
Do sự biến dạng của mặt cắt ngang khi chịu uốn ngang phẳng là không đáng
kể nên có thể dung công thức ứng suất pháp của uốn thuần túy là:
y
J
M
x
x
z
Hoặc có thể dung công thức kỹ thuật: y
J
M
x
x
z
*Ứng suất tiếp:
Lực cắt gây nên ứng suất tiếp được xác định theo công thức Jurapski. Nội
dung của phương pháp này như sau:
Xét 1 mặt cắt có riêng lực cắt Qy tác dụng (hình vẽ). Ta phải xác định ứng suất
tiếp tai điểm M trên mặt cắt có tung độ là y. Jurapski tiến hành như sau:
Kẻ qua M một đoạn ab. Chiều dài ab ứng với điểm M gọi là bề rộng cắt (bc).
Phần diện tích nắm dưới đoạn ab gọi là diện tích cắt (Fc). Theo Jurapski thì ứng
123
suất tiếp tại mọi điểm trên đoạn ab có phương song song với trục y (ký hiệu là
zy), có chiều theo chiều của lực cắt Qy và có trị sô đều bằng nhau và bằng:
cx
c
xy
zy b.J
S.Q
Trong đó:
+ Qy là lực cắt tại mọi điểm đang
xét.
+ Jx là mômen quán tính của toàn
bộ mặt cắt lấy đối với trục trung hòa.
+ bc là bề rộng cắt.
+ cxS là mômen tĩnh của phần diện tích
Fc lấy đối với trục x.
Nếu biết tung độ yc của trọng tâm phần diện tích Fc thì ta có thể tính được:
cc
c
x .FyS
Dựa vào công thức tính ứng suất trên ta có thể tính được ứng suất tiếp của một
số mặt cắt sau (hình vẽ):
- Mặt cắt hình chữ nhật: có đáy là b, chiều cao là h. Ứng suất tiếp phân bố bậc 2
theo chiều cao và có giá trị ứng suất lớn nhất là:
F
Qy
.2
.3
max
- Mặt cắt hình tròn: có đường kính là D
Tương tự có:
F
Qy
3
4
max
- Mặt cắt chữ I:
dJ
SQ
x
xy
.
.
max
Trong đó F là diện tích mặt cắt ngang.
c. Điều kiện bền:
Trong dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất pháp còn có ứng suất tiếp.
Trong tính toán bền vì ảnh hưởng của ứng suất tiếp so với ứng suất pháp là
không đáng kể cho nên ta thường bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất tiếp mà chỉ
quan tâm đến ứng suất pháp.
Ta xét một trường hợp đơn giản sau (hình vẽ):
zy
o
yc y
Qy
a
M
C
b
y
x
Fc
bc
ma
y
x
ma
y
x x
y
d
zy
ma
124
Biểu đồ nội lực được xác định như hình vẽ. Ta thấy mặt cắt nguy hiểm tại
ngàm có: qlQqlM yx ;2
2
max
Ứng suất pháp cực đại:
2
2max
max
3max
bh
ql
W
M
x
x
Ứng suất tiếp cực đại:
bh
ql
bh
Qy
2
3
2
3 2
max
Xét tỷ số:
l
h
2max max
max
Ta biết rằng dầm có dạng thanh cho nên chiều cao h của mặt cắt ngang nhỏ
hơn rất nhiều so với chiều dài l. Vậy tỷ số
2l
h
là rất bé, điều này có nghĩa là ứng
suất tiếp bé hơn nhiều so với ứng suất pháp, cho nên có thể bỏ qua.
Vậy tính toán bền cho uốn ngang phẳng cũng tương tự như tính toán bền cho
uốn thuần túy.
Chú ý: Nếu khi tính bền mà gặp những mặt cắt có bề rộng hẹp hoặc mặt cắt
thay đổi đột ngột theo chiều cao (như mặt cắt chữ I,) thì ứng suất tiếp có trị số
khá lớn không thể bỏ qua. Ta phải tính bền cho 3 điểm: ứng suất pháp, tiếp lớn
nhất và điểm sát chân đế.
min
zσ
max
zσ
+
-
m
ax
Q
y
max
xM
y
x
2
ql2
ql
q
l
M
x
Q
y
+
125
126
127
128
129
CHƯƠNG 13: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM.
Mã chương: MH09-13
Chương trước chúng ta mới khảo sát động lực học chất điểm. Nhưng
trong thực tế chúng ta cũng gặp rất nhiều các bài toán động lực học đối với vật
rắn (là tập hợp của vô số các chất điểm).
Mục tiêu:
- Trình bày được phương trình động lực học cơ bản của vật quay;
- Giải được bài toán động lực học của vật quay;
- Rèn luyện cho người học tính cẩn thận, chính xác và tư duy lôgic.
1. Hệ chất điểm, nội lực - ngoại lực
Mục tiêu:
- Trình bày được các định nghĩa về hệ chất điểm, nội lực và ngoại lực;
- Phân tích được nội lực, ngoại lực tác dụng.
1.1. Định nghĩa hệ chất điểm:
Cơ hệ là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm, trong đó chuyển động
của một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển động của các chất điểm còn lại,
tức chuyển động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Có cơ hệ tự do và cơ hệ
không tự do.
Cơ hệ tự do và cơ hệ chịu liên kết: Cơ hệ tự do là tập hợp (hữu hạn hoặc vô
hạn) các chất điểm mà tương tác cơ học giữa chúng được biểu hiện chỉ thuần
tuý qua lực tác dụng. Về mặt động học nó gồm các chất điểm tự do, là những
chất điểm mà di chuyển (vô cùng bé) của chúng từ vị trí đang xét theo bất kỳ
phương nào cũng không bị cản trở, ví dụ thái dương hệ là một cơ hệ tự do.
Cơ hệ không tự do còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là cơ hệ mà ngoài
tương tác lực, vị trí và vận tốc của các chất điểm thuộc cơ hệ bị ràng buộc bởi
một số điều kiện hình học và động học cho trước, được gọi là những liên kết.
Trong kỹ thuật các liên kết như vậy được thực hiện bằng sự nối kết giữa các
phần tử của cơ hệ, thường là các vật. Cơ cấu máy hoặc một kết cấu của công
trình xây dựng là những ví dụ về cơ hệ chịu liên kết. Vật rắn tuyệt đối cũng là
một cơ hệ chịu liên kết. Nếu các điều kiện ràng buộc chỉ đối với vị trí các phần
tử (chất điểm) của cơ hệ thì liên kết được gọi là liên kết hình học.
1.2. Định nghĩa nội lực - ngoại lực
Việc khảo sát điều kiện cân bằng điều kiện cân bằng của hệ lực có thể
dựa vào hai đặc trưng hình học của nó là véc tơ chính và mômen chính của hệ
lực. Dựa trên điều kiện triệt tiêu vectơ chính và mômen chính của hệ lực ta thiết
lập được phương trình cân bằng của hệ lực (trong phần Tĩnh học ta đãthiết lập
được các phương trình cân bằng đối với vật rắn).
130
Phương pháp thiết lập phương trình cân bằng cho hệ lực (12-3) dựa vào
tính chất triệt tiêu của vectơ chính và mômen chính của nó được gọi là phương
pháp tĩnh - động lực hình học.
Để áp dụng phương pháp này các lực tác dụng lên cơ hệ được phân tích
thành những ngoại lực và những nội lực
lk
e
kk FFF (13-1)
Vì vectơ chính và mômen chính đối với một điểm bất kỳ của hệ nội lực luôn
luôn triệt tiêu, tức là :
0 lki FR ; 0 lkolo Fmm (13-12)
Nên phương trình cân bằng của hệ lực (12-3) có dạng sau:
0 qtkek FF
0 qtkoeko FmFm (13-3)
2. Động lực học vật rắn
Mục tiêu
- Trình bày được phương trình động lực học cơ bản của vật quay.
- Giải được bài toán động lực học của vật quay.
2.1. Khối tâm.
2.1.1.Khối tâm của cơ hệ
Xét một cơ hệ gồm n chất điểm Mk (k = 1, 2, ... , n) có khối lượng m K ,
véctơ định vị kr . Điểm hình học C được gọi là khối tâm cơ hệ nếu vị trí của nó
được xác định theo công thức sau (Hình 13-1)
k
kk
C
k
kk
C
k
kk
C
k
n
k
kk
C m
zm
z
m
ym
y
m
xm
x
m
rm
r ;;
.
1 (13-4)
2.1.2. Khối tâm của vật rắn :
Xét một vật rắn và chia nó thành nhiều phần tử nhỏ Mk (k = 1, 2, ... , n),
mỗi phần có trọng lượng Pi và trọng tâm là Ck (Xk, Yk, Zk). Như vậy C là trọng
tâm của vật thì tọa độ của điểm C (XC, YC, ZC) được xác định bằng biểu thức
sau:
P
XP
X
n
k
kk
C
1
.
;
P
YP
Y
n
k
kk
C
1
.
;
P
ZP
Z
n
k
kk
C
1
.
(13-5)
Trong đó : Pk - là trọng lực của phần tử thứ k
131
P - là trọng lực của cả vật thể được xác định bằng công thức
n
k
kPP
1
Xk, Yk, Zk - là tọa độ của phần tử thứ k
Như vậy trọng tâm của vật là một điểm C trên vật và chính là điểm đặt
của trọng lực của vật.
Định lý 8-1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì
khối tâm (trọng tâm) của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng.
Định lý 8-2: Nếu vật rắn gồm các phần mà khối tâm (trọng tâm) của chúng
nằm trên một đường thẳng (mặt phẳng) thì khối tâm (trọng tâm) của vật cũng
nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó.
Áp dụng các định lý trên ta tìm ngay được:
- Khối tâm (trọng tâm) của một thanh thẳng đồng chất tại điểm giữa của
thanh.
- Khối tâm (trọng tâm) của tam giác đồng chất là giao điểm của các trung
tuyến (Hình 13-2).
- Khối tâm (trọng tâm) của cung tròn đồng chất AB có bán kính R và góc tại
tâm OAB = 2 được tính theo công thức (Hình 13-3a).
sinRxC
z
z C
C
x
x C
y C
y
O
M 1 (m 1 )
M 2 (m 2 )
M 3 (m 3 )
M N ( Nr )
Cr
1r
2r
Nr
Hình 13-1
132
Nếu cung AB là nửa đường tròn ( =
2
) (Hình 13-3b) thì khối tâm (trọng
tâm) tính theo công thức :
RxC
2
Khối tâm (trọng tâm) của một quạt tròn đồng chất AOB tâm O, có bán
kính R và góc tại tâm AOB = 2 được tính theo công thức (Hình13-4a).
3
sin2 RxC
Nếu quạt tròn AOB là nửa mặt tròn ( =
2
) (Hình 13-6b) thì khối tâm
(trọng tâm) tính theo công thức:
3
4RxC
Định lý 8-3: Nếu tấm phẳng đồng
chất được ghép từ m phần, mỗi phần có
diện tích F i , có mô men tĩnh đối với các
trục x,y tương ứng là S xi ,S yi thì khối tâm
(trọng tâm) của nó được tính theo công
thức :
X C =
m
i
m
i
Fi
Syi
1
1 ; Y C =
m
i
i
m
i
F
Sxi
1
1 (13-6)
Ví dụ 1: Tìm khối tâm (trọng tâm)
của tấm đồng chất hình chữ L có kích thước cho trên ( hình 13-5)
Bài làm: Chia tầm hình chữ L thành hai tấm hình chữ nhật có khối tâm
(trọng tâm): C 1và C 2 , ta có x 1=1cm; y1=5cm; x 2 =3cm; y 2 =1cm;
F 1 = 20 cm 2 ; F 2 = 4 cm 2
Theo công thức (6-13) ta dễ dàng tính được :
b)
Hình 13-2 Hình 13-3
A1
A 2 A 3
C
B
O
A
C x α
α
B
O
A
C x
a)
a) b)
Hình 13-4
B
O
A
C x
B
O
A
C x
133
S 1x = F 1y 1 =20.5=100 cm3
S 1y = F1 x 1= 20.1=20 cm3
S 2x =F 2 y 2 =4.1= 4 cm3
Sy2 = F 2 x2 = 4.3 = 12 cm3
Vậy :
x C =
21
21
FF
SS yy
=
420
1220
=
24
32 =
3
4 cm
y C =
21
21
FF
SS xx
=
420
4100
=
24
104 =4,3 cm
Ví dụ 2 : Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm tròn đồng chất tâm O, bán kính R,
bị khuyết mảnh tròn tâm A, bán kính r. Biết OA= a, a+ r < R (hình 13-6 )
Bài làm :
Xem tấm bị khuyết là kết quả của việc ghép tấm tròn nguyên có khối tâm
(trọng tâm) tại O (0;0), diện tích F 1 = r 2 với mảnh tròn có khối tâm (trọng tâm)
là A (0,0) ,diện tích âm F 2 = - r 2 .
Do tấm có trục O x đối xứng nên khối tâm (trọng tâm) nằm trên trục này
(Y C =O), còn
X C =
21
21
FF
SS yy
X C =
21
2211
FF
YFYF
= 22
22
..
....
rR
arOR
X C = - 22
2.
rR
ra
Dấu (-) chứng tỏ C nằm bên trái tâm O.
Hình13-6
y
O C x
r
A
4,
3
cm
x
y
2 cm
10
c
m
4/3 cm 2cm
2
cm
Hình13-5
134
2.1.3. Mômen quán tính của vật rắn
- Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z (hình 13-7)
Kí hiệu: J z là đại lượng vô
- Mô men quán tính của vật rắn đối với
các trục toạ độ:
Kí hiệu: Jx ; Jy ; J z
- Mô men quán tính ly tâm là các đại
lượng sau:
Kí hiệu: Jxy ; Jxz ; Jyz
Trục quán tính chính:
- Trục x được gọi là trục quán tính chính nếu
J xy = J xz = O
- Trục y được gọi là trục quán tính chính nếu J yx =J yz = O
- Trục z là trục quán tính chính khi J zx = J zy = O
Mô men quán tính của vật rắn đối với 1 điểm. Kí hiệu: JO
Bán kính quán tính : 2qt = M
J z
Đại lượng 2qt = M
J z được gọi là bán kính quán tính của vật rắn đối với trục z.
Đơn vị của mô men quán tính là kgm 2 , đơn vị của bán kính quán tính là m
Mô men quán tính độc cực: J O = J x + J y
- Mô men quán tính của vật rắn đối với trục
bằng tổng mô men quán tính của nó đối với trục song
song với trục qua khối tâm C của vật và tích của khối
lượng vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục
(hình 13-8):
J = J C + Md 2
Hệ trục quán tính chính:
- Nếu vật rắn đồng chất có một mặt phẳng đối
xứng thì trục thẳng góc với
mặt phẳng đối xứng là trục quán tính chính tại giao điểm của mặt phẳng đối
xứng và trục (hình 13-9).
- Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính
chính trung tâm (hình 13-10).
C
d
C
Hình 13-8
rk
k
yk
Xk
Zk
mk
z
x
y
Hình13-7
c
135
Mô men quán tính của một số vật đồng chất:
- Thanh đồng chất có chiều dài L, khối lượng m (hình 13-11):
J C = 12
2mL ; J x = J z = 3
2mL ; J y = O (13-7)
- Vành tròn đồng chất có bán kính R, khối lượng m (hình 13-12):
J x = mR 2 ; J y = J z = 2
2mR (13-8)
- Mặt tròn đồng chất. Bán kính R, khối lượng m (hình 13-13):
J x = 2
2mR ; J y = J z = 4
2mR (13- 9)
z
C
A
x
C
B
L/2 y
L
C
R
z
y
Hình13-11 Hình13-12
c
C
C
Hình13-9 Hình 13-10
136
- Tấm chữ nhật đồng chất, có các cạnh 2a, 2b, khối lượng m (hình 13-14):
J x = 12
2mb ; J y = 12
2ma (13-10)
- Trụ tròn xoay đồng chất, có khối lượng m, bán kính R, chiều cao h
+ Trụ rỗng (hình 13-15):
J z = mR 2 ; J x = J y = 2
m ( R 2 +
6
2h ) (13-11)
+ Trụ đặc (hình 13-16):
J z = 2
2mR ; J x = J y = 4
m ( R 2 +
3
2h ) (13-12)
Các kết quả trên có thể áp dụng trực tiếp cho trường hợp của tiết diện
phẳng có tiết diện F, ví dụ tương ứng với công thức (13-8), (13-9), (13-10) ta
có:
- Vành tròn đồng chất :
z
x
y
x C
Hình13-13 Hình 13-14
h
y
x
z z
h
y
C
x
Hình13-15 Hình13-16
137
J x = FR 2 = R 4 ; J y = J z = 2
2FR =
2
4R (13-13)
- Mặt tròn đồng chất :
J x = 2
4R ; J y = J z = 4
4R (13-14)
- Tấm chữ nhật đồng chất :
J x = 12
3ab ; J y = 12
3ba (13-15)
2.2. Vật chuyển động tịnh tiến.
Với vật rắn có chuyển động bất kỳ, véctơ chính của hệ lực quán tính của
nó luôn luôn bằng
C
qt aMR .
Trong đó: M là khối lượng của vật
Ca là gia tốc của khối tâm của vật rắn
Mômen chính của hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động phụ thuộc
vào dạng chuyển động cụ thể của vật rắn.
Vật rắn chuyển động tịnh tiến: Mômen chính của hệ lực quán tính đối với
khối tâm vật rắn được tính như sau:
kkkqtkkqtkCqtC amrFrFmm . (13-16)
Trong đó: kr là véc tơ định vị của chất điểm Mk đối với khối tâm C, tức là:
kk CMr ; 0Cr
Chú ý:
Ck aa ; 0Ckk rMrm
Ckk
qt
k amamF
kk
qt
k wmF
Vậy :
0 CCkkCkkCkkkkkkqtC rMarmarmarmaamrm
Do đó thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động tịnh tiến về khối tâm
C ta được một lực đặt tại khối tâm C.
C
qt aMR
Hình 13-17
Cqt W k
r
Fqt
W C
Mk
k
k
(m )k
138
2.3. Vật quay quanh trục cố định.
2.3.1. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn
Vật quay quanh một trục cố định với vận tốc góc và gia tốc góc là
(Hình 13-18)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn liền vào vật quay, trong đó Oz trùng với
trục quay của vật. Lấy phần tử Mk có khối lượng mk và véc tơ định vị
kkkk zyxr ,, . Gia tốc của điểm Mk bằng:
kk
n
kk
t
kk vraaa ; kk rv
Lực quán tính của chất điểm Mk sẽ là:
kkkkqtk vmrmF
Vậy mômen chính của hệ lực quán tính của vật
rắn đối với gốc tọa độ O sẽ bằng:
qtkOqtO Fmm
kkkkkkqtO vmrrmrm
Trong hệ trục tọa độ đã chọn, các véc tơ
;;kr được xác định theo các véctơ đơn vị
kji
,, trên các trục tọa độ như sau:
kzjyixr kkkk
; k
; k
Sau khi thực hiện các phép tính chú ý :
0;;;
kkjjiiijkikjkji
Ta được :
kJjJJiJJm zzyxzzxxyqtO
22 (13-17)
Trong đó :
kkkxz zxmJ ; kkkyz zymJ ; )( 22 kkkz yxmJ (13-18)
Véc tơ chính của hệ lực quán tính ,như trên đã nêu, bằng
CCCqt rrMaMR '
Sau khi thay : kzjyixr CCCC
Ta có: jxyMiyxMR CCCCqt 22' (13-19)
y
A
O
B
z
ε
ω
x
M k
F qt Hình 13-1
t
k r k
a t a n
F qtn k
Hình 13-18
139
Như vậy thu gọn hệ lực quán tính của vật quay quanh một trục cố định về
một điểm nằm trên trục quay của vật ta được một lực tính theo công thức
(13-17) và một ngẫu lực tính theo công thức (13-19)
2.3.2. Phương trình xác định phản lực trục quay
Khảo sát vật rắn chuyển động quay quanh
một trục cố định dưới tác dụng của các lực hoạt
động NFFF ,....,, 21 có vận tốc góc và gia tốc
góc .
Các ngoại lực tác dụng lên vật rắn bao
gồm các lực hoạt động NFFF ....,, 21 và các
phản lực tại ổ trục AR và BR
Chọn hệ trục tọa độ Axyz gắn liền vào
vật, có trục Az trùng với trục quay. (Hình13-19)
Hệ lực quán tính của vật rắn thu gọn về
tâm A được qtAR và ngẫu lực qtAm được tính theo
công thức (13-17) và (13-19)
Dựa trên phương pháp Tĩnh - Động lực hình
học, ta viết các phương trình tĩnh học cho hệ lực
qtAqtABAN mRRRFFF ,,,,,....,, 21 ta nhận được:
02 CCBxAxkx MxMyRRF
02 CCByAyky MyMxRRF
0 Azkz RF
02 zxyzBxAxkx JJRmRmFm
02 yzxzByAyky JJRmRmFm
0 zkz JFm
Vì hệ trục tọa độ gắn liền vào vật quay nên các đại lượng xC, yC, zC, Jzx, Jz
là không đổi
Như vậy ta nhận được sáu phương trình, trong đó phương trình cuối cùng
không chứa các phản lực ổ trục, cho phép xác định chuyển động của vật quay,
được gọi là phương trình vi phân vật quay quanh một trục cố định.
Năm phương trình còn lại cho phép ta xác định các phản lực ở ổ trục tại A
và B.
Chú ý rằng các phản lực ở ổ trục phụ thuộc vào các lực hoạt động và các
yếu tố động học của vật rắn, tức vận tốc góc ω và gia tốc góc ε.
x
RAz
RBx RBy
B
z
CO
F2
FN
F3
F1
RAx
RAy Cy
Cx
Hình 13-19
y
140
Thành phần của phản lực ổ trục chỉ phụ thuộc vào các yếu tố động học
của vật quay (ω, ε) gọi là phản lực động lực của ổ trục.
Phản lực ở ổ trục được biểu diễn dưới dạng :
đA
t
AA RRR ;
đ
B
t
BB RRR
Trong đó : - tAR ,
t
BR là các thành phần không phụ thuộc vào chuyển động, tức
không chứa và được gọi là phản lực tĩnh
- đAR ,
đ
BR là các thành phần phụ thuộc vào chuyển động, tức có chứa
và được gọi là phản lực động lực
Các thành phần phản lực động được xác định nhờ hệ phương trình sau:
02 CCđBxđAx MyMxRR
02 MyxMyRR CđByđAy
2 0đ dx A x B yz xzm R m R J J
2 0đ dy A y B xz yzm R m R J J
Các phương trình này được gọi là các phương trình xác định phản lực động lực.
Việc xuất hiện các phản lực động lực làm giảm độ bền, độ chính xác,
năng suất và gây hư hỏng máy. Chính vì vậy cần phải triệt tiêu hoặc làm giảm
các phản lực động lực. Điều kiện cần và đủ để triệt tiêu các phản lực động lực là
trục quay phải thỏa mãn các điều kiện sau:
xC = yC = 0
Jxy = Jzx = 0
Tức là trục quay phải qua trọng tâm của vật rắn và là trục quán tính chính. Nói
cách khác để triệt tiêu hoàn toàn phản lực động lực, trục quay phải là trục quán
tính chính trung tâm.
Trong trường hợp trục quay không phải là trục quán tính chính trung tâm
thì bằng cách thêm hoặc bớt khối lượng của vật quay, nó có thể trở thành trục
quán tính chính trung tâm.
141
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Định nghĩa hệ chất điểm, nội lực - ngoại lực?
2. Các đặc trưng hình học khối tâm cơ hệ và vật rắn: khối tâm, mômen quán tính
của vật rắn đối với một trục? Công thức xác định chúng?
3. Tìm trọng tâm của một vật rắn đồng chất khi cúng có một tâm, một trục hoặc
một mặt phẳng đối xứng?
4. Công thức tính mômen quán tính của vật rắn đối một trục khi biết mômen
quán tính của vật đối với một trục song song với trục đã cho và đi qua khối tâm?
5. Công thức thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động tịnh tiến về khối
tâm C?
6. Viết công thức thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn quay quanh một trục cố
định và phương trình xác định phản lực của trục quay?
BÀI TẬP
Bài 1: Trục máy là một trụ tròn đồng chất khối lượng m, quay đều với vận tốc
góc ω0. Trục quay của trục máy song song và cách trục đối xứng một đoạn e.
Xác định phản lực tại ổ trục A và B? (Hình 13-23)
Bài 2: Trục máy là một trụ tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R quay đều
với vận tốc góc ω0 quanh trục đi qua khối tâm C và lệch với trục đối xứng một
góc α. Xác định phản lực tại ổ trục A và B? (Hình 13-24)
A
P
C
B
α
Hình 13-23
Hình 13-24
A
P
C
e
B
a
a
142
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phùng Văn Hồng. Giáo trình Cơ kỹ thuật. Nhà xuất bản Lao động xã hội
2005
2. Nguyễn Trọng. Cơ học cơ sở Tập 1, 2. Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật
2001
3. Đỗ Xanh. Cơ học ứng dụng. Nhà xuất bản giáo dục 2004
4. GS-TS.Đỗ Xanh. Giáo trình Cơ kỹ thuật. Nhà xuất bản giáo dục 2005
5. GS-TS.Đỗ Xanh. Giáo trình Cơ học Tập 1, 2. Nhà xuất bản giáo dục 2003
6. GS-TS.Đỗ Xanh. Bài tập cơ học Tập 1, 2. Nhà xuất bản giáo dục 2008
Các file đính kèm theo tài liệu này:
giao_trinh_co_ky_thuat.pdf