Giáo trình Bất đẳng thức lượng giác

hính là chương 1: “Các bước đầu cơ sở”. Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần cĩ để chứng minh bất đẳng thức lượng giác. Theo kinh nghiệm cá nhân của mình, tác giả cho rằng những kiến thức này là đầy đủ cho một cuộc “hành trình”. Trước hết là các bất đẳng thức đại số cơ bản ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev ) Tiếp theo là các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác. Cuối cùng là một số định lý khác là cơng cụ đắc lực trong việc chứng minh bất đẳng thức (định lý Largare, định lý về dấu của tam thức bậc hai, định lý về hàm tuyến tính ) Mục lục : 1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản 4 1.1.1. Bất đẳng thức AM – GM............................................... 4 1.1.2. Bất đẳng thức BCS.. 8 1.1.3. Bất đẳng thức Jensen.... 13 1.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev..... 16 1.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác.. 19 1.2.1. ðẳng thức... 19 1.2.2. Bất đẳng thức..... 21 1.3. Một số định lý khác. 22 1.3.1. ðịnh lý Largare ... 22 1.3.2. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai.. 25 1.3.3. ðịnh lý về hàm tuyến tính.. 28 1.4. Bài tập.. 29 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 4 1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản : 1.1.1. Bất đẳng thức AM – GM : Với mọi số thực khơng âm naaa ,...,, 21 ta luơn cĩ n n n aaa n aaa ... ... 21 21 ≥ +++ Bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là một bất đẳng thức quen thuộc và cĩ ứng dụng rất rộng rãi. ðây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nĩ sẽ là cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức. Sau đây là hai cách chứng minh bất đẳng thức này mà theo ý kiến chủ quan của mình, tác giả cho rằng là ngắn gọn và hay nhất. Chứng minh : Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy Với 1=n bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Khi 2=n bất đẳng thức trở thành ( ) 0 2 2 2121 21 ≥−⇔≥ + aaaa aa (đúng!) Giả sử bất đẳng thức đúng đến kn = tức là : k k k aaa k aaa ... ... 21 21 ≥ +++ Ta sẽ chứng minh nĩ đúng với kn 2= . Thật vậy ta cĩ : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) k kkk k kkk k k kkkkkkkk aaaaa k aaakaaak k aaaaaa k aaaaaa 2 2121 22121 2212122121 ...... ...... ...... 2 ...... + ++ ++++ = ≥ ++++++ ≥ +++++++ Tiếp theo ta sẽ chứng minh với 1−= kn . Khi đĩ : ( ) 1 121121 1 121 1 121121 1 121121 ...1... ... ............ − −− − − − −− − =− −≥+++⇒ = ≥++++ k kk k k k k kk k kk aaakaaa aaak aaaaaakaaaaaa Như vậy bất đẳng thức được chứng minh hồn tồn. ðẳng thức xảy ra naaa ===⇔ ...21 Cách 2 : ( lời giải của Polya ) Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 5 Gọi n aaa A n +++ = ...21 Khi đĩ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n n Aaaa ≤...21 (*) Rõ ràng nếu Aaaa n ==== ...21 thì (*) cĩ dấu đẳng thức. Giả sử chúng khơng bằng nhau. Như vậy phải cĩ ít nhất một số, giả sử là Aa 2 tức là 21 aAa << . Trong tích naaaP ...21= ta hãy thay 1a bởi Aa =1' và thay 2a bởi Aaaa −+= 212' . Như vậy 2121 '' aaaa +=+ mà ( ) ( )( ) 0'' 2121212221 >−−=−−+=− AaAaaaAaaAaaaa 2121 '' aaaa >⇒ nn aaaaaaaa ...''... 321321 <⇒ Trong tích naaaaP ...''' 321= cĩ thêm thừa số bằng A . Nếu trong 'P cịn thừa số khác A thì ta tiếp tục biến đổi để cĩ thêm một thừa số nữa bằng A . Tiếp tục như vậy tối đa 1−n lần biến đổi ta đã thay mọi thừa số P bằng A và được tích nA . Vì trong quá trình biến đổi tích các thừa số tăng dần. nAP <⇒ .⇒ đpcm. Ví dụ 1.1.1.1. Cho A,B,C là ba gĩc của một tam giác nhọn. CMR : 33tantantan ≥++ CBA Lời giải : Vì ( ) C BA BACBA tan tantan1 tantan tantan −= − + ⇔−=+ CBACBA tantantantantantan =++⇒ Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương. Theo AM – GM ta cĩ : ( ) ( ) 33tantantan tantantan27tantantan tantantan3tantantan3tantantan 2 33 ≥++⇒ ++≥++⇒ ++=≥++ CBA CBACBA CBACBACBA ðẳng thức xảy ra ⇔==⇔ CBA ∆ABC đều. Ví dụ 1.1.1.2. Cho ∆ABC nhọn. CMR : 3cotcotcot ≥++ CBA Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 6 Lời giải : Ta luơn cĩ : ( ) CBA cotcot −=+ 1cotcotcotcotcotcot cot cotcot 1cotcot =++⇔ −= + − ⇔ ACCBBA C BA BA Khi đĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3cotcotcot 3cotcotcotcotcotcot3cotcotcot 0cotcotcotcotcotcot 2 222 ≥++⇒ =++≥++⇔ ≥−+−+− CBA ACCBBACBA ACCBBA Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC đều. Ví dụ 1.1.1.3. CMR với mọi ∆ABC nhọn và *Nn ∈ ta luơn cĩ : 2 1 3 tantantan tantantan −≥ ++ ++ nnnn CBA CBA Lời giải : Theo AM – GM ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) 213 33 3 33 3333tantantan3 tantantan tantantan tantantan3tantantan3tantantan − − − =≥++≥ ++ ++ ⇒ ++=≥++ n nn nnn nnnnn CBA CBA CBA CBACBACBA ⇒đpcm. Ví dụ 1.1.1.4. Cho a,b là hai số thực thỏa : 0coscoscoscos ≥++ baba CMR : 0coscos ≥+ ba Lời giải : Ta cĩ : ( )( ) 1cos1cos1 0coscoscoscos ≥++⇔ ≥++ ba baba Theo AM – GM thì : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 7 ( ) ( ) ( )( ) 0coscos 1cos1cos1 2 cos1cos1 ≥+⇒ ≥++≥+++ ba baba Ví dụ 1.1.1.5. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ nhọn ta cĩ : 2 3 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 3 2 2 cos 2 cos coscos 2 cos 2 cos coscos 2 cos 2 cos coscos +      ++≤++ ACCBBA AC AC CB CB BA BA Lời giải : Ta cĩ             = = BABA BA BA AA A A cotcot 4 3 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos4 coscos 4 3 2 cot 2 sin 2 cos2 cos Theo AM – GM thì :       +≤⇒             + ≤ BABA BA BA BABA BA BA cotcot 4 3 2 sin 2 sin 3 2 2 cos 2 cos coscos 2 cotcot 4 3 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos4 coscos 4 3 2 Tương tự ta cĩ :       +≤       +≤ ACAC AC AC CBCBCB CB cotcot 4 3 2 sin 2 sin 3 2 2 cos 2 cos coscos cotcot 4 3 2 sin 2 sin 3 2 2 cos 2 cos coscos Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 8 ( )ACCBBAACCBBA AC AC CB CB BA BA cotcotcotcotcotcot 2 3 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 3 2 2 cos 2 cos coscos 2 cos 2 cos coscos 2 cos 2 cos coscos +++      ++≤ ++ 2 3 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 3 2 +      ++= ACCBBA ⇒đpcm. Bước đầu ta mới chỉ cĩ bất đẳng thức AM – GM cùng các đẳng thức lượng giác nên sức ảnh hưởng đến các bất đẳng thức cịn hạn chế. Khi ta kết hợp AM – GM cùng BCS, Jensen hay Chebyshev thì nĩ thực sự là một vũ khí đáng gờm cho các bất đẳng thức lượng giác. 1.1.2. Bất đẳng thức BCS : Với hai bộ số ( )naaa ,...,, 21 và ( )nbbb ,...,, 21 ta luơn cĩ : ( ) ( )( )222212222122211 ......... nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ Nếu như AM – GM là “cánh chim đầu đàn” trong việc chứng minh bất đẳng thức thì BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) lại là “cánh tay phải” hết sức đắc lực. Với AM – GM ta luơn phải chú ý điều kiện các biến là khơng âm, nhưng đối với BCS các biến khơng bị ràng buộc bởi điều kiện đĩ, chỉ cần là số thực cũng đúng. Chứng minh bất đẳng thức này cũng rất đơn giản. Chứng minh : Cách 1 : Xét tam thức : ( ) ( ) ( )2222211 ...)( nn bxabxabxaxf −++−+−= Sau khi khai triển ta cĩ : ( ) ( ) ( )222212211222221 ......2...)( nnnn bbbxbababaxaaaxf +++++++−+++= Mặt khác vì Rxxf ∈∀≥ 0)( nên : ( ) ( )( ) ⇒++++++≤+++⇔≤∆ 222212222122211 .........0 nnnnf bbbaaabababa đpcm. ðẳng thức xảy ra n n b a b a b a ===⇔ ... 2 2 1 1 (quy ước nếu 0=ib thì 0=ia ) Cách 2 : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 9 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta cĩ : ( )( )222212222122221 2 22 2 2 1 2 ...... 2 ...... nn ii n i n i bbbaaa ba bbb b aaa a ++++++ ≥ +++ + +++ Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng vế cả n bất đẳng thức lại ta cĩ đpcm. ðây cũng là cách chứng minh hết sức ngắn gọn mà bạn đọc nên ghi nhớ! Bây giờ với sự tiếp sức của BCS, AM – GM như được tiếp thêm nguồn sức mạnh, như hổ mọc thêm cánh, như rồng mọc thêm vây, phát huy hiệu quả tầm ảnh hưởng của mình. Hai bất đẳng thức này bù đắp bổ sung hỗ trợ cho nhau trong việc chứng minh bất đẳng thức. Chúng đã “lưỡng long nhất thể”, “song kiếm hợp bích” cơng phá thành cơng nhiều bài tốn khĩ. “Trăm nghe khơng bằng một thấy”, ta hãy xét các ví dụ để thấy rõ điều này. Ví dụ 1.1.2.1. CMR với mọi α,,ba ta cĩ : ( )( ) 2 2 1cossincossin       + +≤++ baba αααα Lời giải : Ta cĩ : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )12cos12sin1 2 1 2 2cos12sin 22 2cos1 coscossinsincossincossin 22 αα α α α αααααααα −++++= + + + + − = +++=++ abbaab abba abbaba Theo BCS ta cĩ : ( )2cossin 22 BAxBxA +≤+ Áp dụng ( )2 ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )31112cos12sin 2222 ++=−++≤−++ baabbaabba αα Thay ( )3 vào ( )1 ta được : ( )( ) ( )( )( ) ( )4111 2 1 cossincossin 22 ++++≤++ baabba αααα Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đây với mọi a, b : ( )( )( ) ( )5 2 1111 2 1 222       + +≤++++ babaab Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 10 Thật vậy : ( ) ( )( ) ( )( ) 2 211 24 111 2 1 22 15 22 22 22 22 ++≤++⇔ + + +≤++++⇔ baba abbabaab ( )( ) ( ) ( ) ( )6 2 1111 22 22 +++≤++⇔ baba Theo AM – GM thì ( )6 hiển nhiên đúng ( )5⇒ đúng. Từ ( )1 và ( )5 suy ra với mọi α,,ba ta cĩ : ( )( ) 2 2 1cossincossin       + +≤++ baba αααα ðẳng thức xảy ra khi xảy ra đồng thời dấu bằng ở ( )1 và ( )6 ( )     ∈+ − + = = ⇔      − + = = ⇔      − = + = ⇔ Zkk ab ba arctg ba ab ba tg ba abba ba 212 1 12cos 1 2sin 22 pi αα αα Ví dụ 1.1.2.2. Cho 0,, >cba và cybxa =+ cossin . CMR : 33 222 11sincos ba c bab y a x + −+≤+ Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )*cossin 11cos1sin1 33 222 33 222 ba c b y a x ba c bab y a x + ≥+⇔ + −+≤−+− Theo BCS thì : ( ) ( )( )2221222122211 bbaababa ++≤+ với      == == bbbaab b y a a x a 21 21 ; cos ; sin ( ) ( )23322 cossincossin ybxaba b y a x +≥+      +⇒ do 033 >+ ba và ( )*cossin ⇒=+ cybxa đúng ⇒ đpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 11 ha x y z N Q P A B C M ðẳng thức xảy ra 22 2 2 1 1 cossin b y a x b a b a =⇔=⇔       + = + = ⇔     =+ = ⇔ 33 2 33 2 22 cos sin cossin cossin ba cby ba ca x cybxa b y a x Ví dụ 1.1.2.3. CMR với mọi ABC∆ ta cĩ : R cba zyx 2 222 ++≤++ với zyx ,, là khoảng cách từ điểm M bất kỳ nằm bên trong ABC∆ đến ba cạnh ABCABC ,, . Lời giải : Ta cĩ : ( )       ++++=++⇒ =++⇔ =++⇔ ++= cba cbacba abc ABC MCA ABC MBC ABC MAB MCAMBCMABABC h z h y h xhhhhhh h x h y h z S S S S S S SSSS 1 1 Theo BCS thì : ( ) cba cba cba c c b b a a hhhh z h y h xhhh h zh h y h h xhzyx ++=      ++++≤++=++ mà BahAchCbhCabahS cbaa sin,sin,sinsin2 1 2 1 ===⇒== ( ) R ca R bc R abAcCbBahhh cba 222 sinsinsin ++=++=++⇒ Từ đĩ suy ra : ⇒ ++≤++≤++ R cba R cabcab zyx 22 222 đpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 12 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC zyx cba ∆⇔    == == đều và M là tâm nội tiếp ABC∆ . Ví dụ 1.1.2.4. Chứng minh rằng :       ∈∀≤+ 2 ;08sincos 4 pixxx Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức BCS liên tiếp 2 lần ta cĩ : ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 4 2222222 2224 8sincos 8sincos1111 sincos11sincos ≤+⇒ =+++≤ ++≤+ xx xx xxxx ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 pi =x . Ví dụ 1.1.2.5. Chứng minh rằng với mọi số thực a và x ta cĩ ( ) 1 1 cos2sin1 2 2 ≤ + +− x axax Lời giải : Theo BCS ta cĩ : ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 cos2sin1 1cos2sin1 21421 cossin21cos2sin1 2 2 2222 42242 2222222 ≤ + +− ⇔ +≤+−⇒ ++=++−= ++−≤+− x axaa xaxax xxxxx aaxxaxax ⇒đpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 13 1.1.3. Bất đẳng thức Jensen : Hàm số )(xfy = liên tục trên đoạn [ ]ba, và n điểm nxxx ,...,, 21 tùy ý trên đoạn [ ]ba, ta cĩ : i) 0)('' >xf trong khoảng ( )ba, thì :       +++≥+++ n xxx nfxfxfxf nn ...)(...)()( 2121 ii) 0)('' <xf trong khoảng ( )ba, thì :       +++≥+++ n xxx nfxfxfxf nn ...)(...)()( 2121 Bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức BCS thật sự là các đại gia trong việc chứng minh bất đẳng thức nĩi chung. Nhưng riêng đối với chuyên mục bất đẳng thức lượng giác thì đĩ lại trở thành sân chơi riêng cho bất đẳng thức Jensen. Dù cĩ vẻ hơi khĩ tin nhưng đĩ là sự thật, đến 75% bất đẳng thức lượng giác ta chỉ cần nĩi “theo bất đẳng thức Jensen hiển nhiên ta cĩ đpcm”. Trong phát biểu của mình, bất đẳng thức Jensen cĩ đề cập đến đạo hàm bậc hai, nhưng đĩ là kiến thức của lớp 12 THPT. Vì vậy nĩ sẽ khơng thích hợp cho một số đối tượng bạn đọc. Cho nên ta sẽ phát biểu bất đẳng thức Jensen dưới một dạng khác : Cho RRf →+: thỏa mãn +∈∀      +≥+ Ryxyxfyfxf , 2 2)()( Khi đĩ với mọi +∈ Rxxx n,...,, 21 ta cĩ bất đẳng thức :       +++≥+++ n xxx nfxfxfxf nn ...)(...)()( 2121 Sự thật là tác giả chưa từng tiếp xúc với một chứng minh chính thức của bất đẳng thức Jensen trong phát biểu cĩ )('' xf . Cịn việc chứng minh phát biểu khơng sử dụng đạo hàm thì rất đơn giản. Nĩ sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy tương tự như khi chứng minh bất đẳng thức AM – GM. Do đĩ tác giả sẽ khơng trình bày chứng minh ở đây. Ngồi ra, ở một số tài liệu cĩ thể bạn đọc gặp khái niệm lồi lõm khi nhắc tới bất đẳng thức Jensen. Nhưng hiện nay trong cộng đồng tốn học vẫn chưa quy ước rõ ràng đâu là lồi, đâu là lõm. Cho nên bạn đọc khơng nhất thiết quan tâm đến điều đĩ. Khi chứng minh ta chỉ cần xét )('' xf là đủ để sử dụng bất đẳng thức Jensen. Ok! Mặc dù bất đẳng thức Jensen khơng phải là một bất đẳng thức chặt, nhưng khi cĩ dấu hiệu manh nha của nĩ thì bạn đọc cứ tùy nghi sử dụng . Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 14 Ví dụ 1.1.3.1. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta cĩ : 2 33 sinsinsin ≤++ CBA Lời giải : Xét xxf sin)( = với ( )pi;0∈x Ta cĩ ( )pi;00sin)('' ∈∀<−= xxxf . Từ đĩ theo Jensen thì : ( ) ( ) ( ) ⇒==      ++≤++ 2 33 3 sin3 3 3 piCBAfCfBfAf đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.3.2. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ đều ta cĩ : 3 2 tan 2 tan 2 tan ≥++ CBA Lời giải : Xét ( ) xxf tan= với       ∈ 2 ;0 pix Ta cĩ ( )       ∈∀>= 2 ;00 cos sin2 '' 3 pi x x x xf . Từ đĩ theo Jensen thì : ⇒==             ++ ≥      +      +      3 6 sin3 3 2223 222 pi CBA fCfBfAf đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.3.3. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta cĩ : 21 222222 3 2 tan 2 tan 2 tan −≥      +      +      CBA Lời giải : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 15 Xét ( ) ( ) 22tan xxf = với       ∈ 2 ;0 pix Ta cĩ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1221221222 tantan22tantan122' +−− +=+= xxxxxf ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) 0tantan1122tantan112222'' 2222222 >++++−= − xxxxxf Theo Jensen ta cĩ : ⇒=      =             ++ ≥      +      +      − 21 22 3 6 3 3 2223 222 pi tg CBA fCfBfAf đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.3.4. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta cĩ : 3 2 3 2 tan 2 tan 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin +≥+++++ CBACBA Lời giải : Xét ( ) xxxf tansin += với       ∈ 2 ;0 pix Ta cĩ ( ) ( )       ∈∀>−= 2 ;00 cos cos1sin '' 4 4 pi x x xx xf Khi đĩ theo Jensen thì : ⇒+=      +=             ++ ≥      +      +      3 2 3 6 tan 6 sin3 3 2223 222 pipi CBA fCfBfAf đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.3.5. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ nhọn ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 2 33 sinsinsin 3 2 sinsinsin      ≥CBA CBA Lời giải : Ta cĩ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 16     ++≥++ +=++ CBACBA CBACBA 222 222 sinsinsinsinsinsin coscoscos22sinsinsin và 2 33 sinsinsin ≤++ CBA 2 33 sinsinsin2 ≤++<⇒ CBA Xét ( ) xxxf ln= với ( ]1;0∈x Ta cĩ ( ) 1ln' += xxf ( ) ( ]1;001'' ∈∀>= x x xf Bây giờ với Jensen ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin sinsinsin 3 2 3 2 3 2 sinsinsin sinsinsin 3 sinsinsin sinsinsinln 3 sinsinsinln sinlnsinlnsinln 3 sinsinsinln 3 sinlnsinsinlnsinsinlnsin 3 sinsinsinln 3 sinsinsin      ≥      =≥⇒ ≤++⇔ ≤               ++ ⇔ ++≤      ++ ⇔ ++≤      ++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBACBA CBACBA CBACBA CCBBAACBaCBA ⇒đpcm. 1.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev : Với hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 thì ta cĩ : ( )( )nnnn bbbaaa n bababa ++++++≥+++ ......1... 21212211 Theo khả năng của mình thì tác giả rất ít khi sử dụng bất đẳng thức này. Vì trước hết ta cần để ý tới chiều của các biến, thường phải sắp lại thứ tự các biến. Do đĩ bài tốn cần cĩ yêu cầu đối xứng hồn tồn giữa các biến, việc sắp xếp thứ tự sẽ khơng làm mất tính tổng quát của bài tốn. Nhưng khơng vì thế mà lại phủ nhận tầm ảnh hưởng của bất đẳng thức Chebyshev trong việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, mặc dù nĩ cĩ một chứng minh hết sức đơn giản và ngắn gọn. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 17 Chứng minh : Bằng phân tích trực tiếp, ta cĩ đẳng thức : ( ) ( )( ) ( )( ) 0......... 1, 21212211 ≥−−=++++++−+++ ∑ = n ji jijinnnn bbaabbbaaabababan Vì hai dãy naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 đơn điệu cùng chiều nên ( )( ) 0≥−− jiji bbaa Nếu 2 dãy naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức đổi chiều. Ví dụ 1.1.4.1. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta cĩ : 3 pi≥ ++ ++ cba cCbBaA Lời giải : Khơng mất tính tổng quát giả sử : CBAcba ≤≤⇔≤≤ Theo Chebyshev thì : 33 333 pi = ++≥ ++ ++ ⇒ ++≤      ++       ++ CBA cba cCbBaA cCbBaACBAcba ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.4.2. Cho ABC∆ khơng cĩ gĩc tù và A, B, C đo bằng radian. CMR : ( ) ( )       ++++≤++ C C B B A ACBACBA sinsinsinsinsinsin3 Lời giải : Xét ( ) x x xf sin= với      ∈ 2 ;0 pix Ta cĩ ( ) ( )      ∈∀≤−= 2 ;00tancos' 2 pi x x xxx xf Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 18 Vậy ( )xf nghịch biến trên      2 ;0 pi Khơng mất tổng quát giả sử : C C B B A ACBA sinsinsin ≤≤⇒≥≥ Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta cĩ : ( ) ( )⇒++≥      ++++ CBA C C B B A ACBA sinsinsin3sinsinsin đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.4.3. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta cĩ : 3 tantantan coscoscos sinsinsin CBA CBA CBA ≤ ++ ++ Lời giải : Khơng mất tổng quát giả sử CBA ≥≥    ≤≤ ≥≥ ⇒ CBA CBA coscoscos tantantan Áp dụng Chebyshev ta cĩ : 3 tantantan coscoscos sinsinsin 3 costancostancostan 3 coscoscos 3 tantantan CBA CBA CBA CCBBAACBACBA ++≤ ++ ++ ⇔ ++≥      ++       ++ Mà ta lại cĩ CBACBA tantantantantantan =++ ⇒đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Ví dụ 1.1.4.4. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta cĩ : ( ) CBA CBACBA coscoscos 2sin2sin2sin 2 3 sinsinsin2 ++ ++≥++ Lời giải : Khơng mất tổng quát giả sử cba ≤≤ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 19    ≥≥ ≤≤ ⇒ CBA CBA coscoscos sinsinsin Khi đĩ theo Chebyshev thì : ( ) CBA CBACBA CCBBAACBACBA coscoscos 2sin2sin2sin 2 3 sinsinsin2 3 cossincossincossin 3 coscoscos 3 sinsinsin ++ ++≥++⇔ ++≥      ++       ++ ⇒đpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. 1.2. Các đẳng thức bất đẳng thức trong tam giác : Sau đây là hầu hết những đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác và trong lượng giác được dùng trong chuyên đề này hoặc rất cần thiết cho quá trình học tốn của bạn đọc. Các bạn cĩ thể dùng phần này như một từ điển nhỏ để tra cứu khi cần thiết.Hay bạn đọc cũng cĩ thể chứng minh tất cả các kết quả như là bài tập rèn luyện. Ngồi ra tơi cũng xin nhắc với bạn đọc rằng những kiến thức trong phần này khi áp dụng vào bài tập đều cần thiết được chứng minh lại. 1.2.1. ðẳng thức : R C c B b A a 2 sinsinsin === Cabbac Bcaacb Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 −+= −+= −+= AbBac CaAcb BcCba coscos coscos coscos += += += ( ) ( ) ( ) ( )( )( )cpbpapp rcprbprap prCBAR R abc CabBcaAbc hchbhaS cba cba −−−= −=−=−= === === === sinsinsin2 4 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 2 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 20 4 22 4 22 4 22 222 2 222 2 222 2 cba m bac m acb m c b a −+ = −+ = −+ = ba C ab l ac B ca l cb Abc l c b a + = + = + = 2 cos2 2 cos2 2 cos2 ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 sin4 2 tan 2 tan 2 tan CBAR C cp Bbp A apr = −= −= −=       +       − = + −       +       − = + −       +       − = + − 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan AC AC ac ac CB CB cb cb BA BA ba ba S cbaCBA S cbaC S bacB S acbA 4 cotcotcot 4 cot 4 cot 4 cot 222 222 222 222 ++ =++ −+ = −+ = −+ = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bpapC ca apcpB bc cpbpA −− = −− = −− = 2 sin 2 sin 2 sin ( ) ( ) ( ) ab cppC ca bppB bc appA − = − = − = 2 cos 2 cos 2 cos ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )cpp bpapC bpp apcpB app cpbpA − −− = − −− = − −− = 2 tan 2 tan 2 tan ( ) CBACBA R rCBACBA CBACBA CBACBA R pCBACBA coscoscos21coscoscos 1 2 sin 2 sin 2 sin41coscoscos coscoscos12sinsinsin sinsinsin42sin2sin2sin 2 cos 2 cos 2 cos4sinsinsin 222 222 −=++ +=+=++ +=++ =++ ==++ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 21 1cotcotcotcotcotcot 1 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot tantantantantantan =++ =++ =++ =++ ACCBBA ACCBBA CBACBA CBACBA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kCkBkAkCkBkA kCkBkAkCkBkA CkBkAkCkBkAk AkCkCkBkBkAk kAkCkCkBkBkA kCkBkAkCkBkA kCkBkAkCkBkA CkBkAkCkBkAk kCkBkAkCkBkA CkBkAkCkBkAk k k k k k k coscoscos212sinsinsin coscoscos211coscoscos 2 12cot 2 12cot 2 12cot 2 12cot 2 12cot 2 12cot 1 2 12tan 2 12tan 2 12tan 2 12tan 2 12tan 2 12tan 1cotcotcotcotcotcot tantantantantantan coscoscos4112cos2cos2cos 2 12sin 2 12sin 2 12sin41112cos12cos12cos sinsinsin412sin2sin2sin 2 12cos 2 12cos 2 12cos4112sin12sin12sin 1222 222 1 + + −+=++ −+=++ +++=+++++ =++++++++ =++ =++ −+−=++ +++−+=+++++ −=++ +++−=+++++ 1.2.2. Bất đẳng thức : acbac cbacb bacba +<<− +<<− +<<− ACac CBcb BAba ≤⇔≤ ≤⇔≤ ≤⇔≤ 3cotcotcot 33tantantan 2 33 sinsinsin 2 3 coscoscos ≥++ ≥++ ≤++ ≤++ CBA CBA CBA CBA 33 2 cot 2 cot 2 cot 3 2 tan 2 tan 2 tan 2 3 2 sin 2 sin 2 sin 2 33 2 cos 2 cos 2 cos ≥++ ≥++ ≤++ ≤++ CBA CBA CBA CBA Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 22 1cotcotcot 9tantantan 4 9 sinsinsin 4 3 coscoscos 222 222 222 222 ≥++ ≥++ ≤++ ≥++ CBA CBA CBA CBA 2 cot 2 cot 2 cot 1 2 tan 2 tan 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 222 CBA CBA CBA CBA ++ ≥++ ++ ++ 33 1 cotcotcot 33tantantan 8 33 sinsinsin 8 1 coscoscos ≤ ≥ ≤ ≤ CBA CBA CBA CBA 33 2 cot 2 cot 2 cot 33 1 2 tan 2 tan 2 tan 8 1 2 sin 2 sin 2 sin 8 33 2 cos 2 cos 2 cos ≥ ≤ ≤ ≤ AAA AAA CBA CBA 1.3. Một số định lý khác : 1.3.1. ðịnh lý Lagrange : Nếu hàm số ( )xfy = liên tục trên đoạn [ ]ba ; và cĩ đạo hàm trên khoảng ( )ba ; thì tồn tại 1 điểm ( )bac ;∈ sao cho : ( ) ( ) ( )( )abcfafbf −=− ' Nĩi chung với kiến thức THPT, ta chỉ cĩ cơng nhận định lý này mà khơng chứng minh. Ví chứng minh của nĩ cần đến một số kiến thức của tốn cao cấp. Ta chỉ cần hiểu cách dùng nĩ cùng những điều kiện đi kèm trong các trường hợp chứng minh. Ví dụ 1.3.1.1. Chứng minh rằng baRba <∈∀ ,, thì ta cĩ : abab −≤− sinsin Lời giải : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 23 Xét ( ) ( ) xxfxxf cos'sin =⇒= Khi đĩ theo định lý Lagrange ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) abcabab cabafbfbac −≤−≤−⇒ −=−∈∃ cossinsin cos:; : ⇒đpcm. Ví dụ 1.3.1.2. Với ba <<0 . CMR : a ab a b b ab − << − ln Lời giải : Xét ( ) xxf ln= , khi đĩ ( )xf liên tục trên [ ]ba ; khả vi trên ( )ba ; nên : ( ) ( ) c cf ab abbac 1'lnln:; == − − ∈∃ vì bca << nên acb 111 << Từ đĩ ⇒−<<−⇒< − − < a ab a b b ab aab ab b ln1lnln1 đpcm. Ví dụ 1.3.1.3. Cho 2 0 piαβ <<< . CMR : α βαβαβ βα 22 cos tantan cos − <−< − Lời giải : Xét ( ) xxf tan= liên tục trên [ ]αβ ; khả vi trên ( )αβ ; nên theo định lý Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 cos 1tantan ':; 2 c cfffc = − − ⇒= − − ∈∃ βα βα βα βα αβ Vì αβ << c nên ( )2 cos 1 cos 1 cos 1 222 αβ << c Từ ( )( )⇒21 đpcm. Ví dụ 1.3.1.4. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 24 CMR nếu 0>x thì xx xx       +>      + + + 11 1 11 1 Lời giải : Xét ( ) ( )( ) 0ln1ln11ln >∀−+=      += xxxx x xxf Ta cĩ ( ) ( ) 1 1ln1ln' + −−+= x xxxf Xét ( ) ttg ln= liên tục trên [ ]1; +xx khả vi trên ( )1; +xx nên theo Lagrange thì : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1ln1ln' 1 1 ' 1 ln1ln :1; > + −−+=⇒ + >= −+ −+ +∈∃ x xxxf x cg xx xx xxc với ⇒> 0x ( )xf tăng trên ( )∞+;0 ( ) ( ) xx xx xx xx xfxf       +>      + +⇒       +>      + +⇒>+⇒ + + 11 1 11 11ln 1 11ln1 1 1 ⇒đpcm. Ví dụ 1.3.1.5. Chứng minh rằng +∈∀ Zn ta cĩ : 1 1 1 1 arctan 22 1 222 + ≤      ++ ≤ ++ nnnnn Lời giải : Xét ( ) xxf arctan= liên tục trên [ ]1; +nn ( ) 21 1 ' x xf + =⇒ trên ( ) +∈∀+ Znnn 1; Theo định lý Lagrange ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )       ++ = + ⇒       ++ −+ =−+= + ⇒ −+ −+ =+∈∃ 1 1 arctan 1 1 11 1 arctanarctan1arctan 1 1 1 1 ':1; 22 2 nnc nn nn nn c nn nfnf cfnnc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước đầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 25 ðể ý ( ) 111; +<<≤⇒+∈ ncnnnc ( ) 1 1 1 1 arctan 22 1 1 1 1 1 22 1 2211 1 222 222 222 222 + <      ++ < ++ ⇔ + < + < ++ ⇔ ++<+<+⇔ +<<⇒ nnnnn ncnn nncn ncn .đpcm⇒ 1.3.2. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai : Cho tam thức ( ) ( )02 ≠++= acbxaxxf và acb 42 −=∆ - Nếu 0<∆ thì ( )xf cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x. - Nếu 0=∆ thì ( )xf cùng dấu với a với mọi a b x 2 −≠ . - Nếu 0>∆ thì ( )xf cĩ hai nghiệm 21 , xx và giả sử 21 xx < .Thế thì ( )xf cùng dấu với a với mọi x ngồi đoạn [ ]21 ; xx (tức là 1xx ) và ( )xf trái dấu với a khi x ở trong khoảng hai nghiệm (tức là 21 xxx << ). Trong một số trường hợp, định lý này là một cơng cụ hế...ờng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 51 Ví dụ 2.4.4. CMR trong mọi tam giác ta cĩ : 3 3 21 sin 11 sin 11 sin 11       +≥      +      +      + CBA Lời giải : Ta sử dụng bổ đề sau : Bổ đề : Cho 0,, >zyx và Szyx ≤++ thì : ( )121111111 3       +≥      +      +      + Szyx Chứng minh bổ đề : Ta cĩ : ( ) ( )2111111111 xyzzxyzxyzyx VT +      +++      +++= Theo AM – GM ta cĩ : ( )399111 Szyxzyx ≥ ++ ≥++ Dấu bằng xảy ra trong ( ) 3 3 Szyx ===⇔ Tiếp tục theo AM –GM thì : 33 xyzzyxS ≥++≥ ( )4271 27 3 3 Sxyz xyzS ≥⇒≥⇒ Dấu bằng trong ( )4 xảy ra 3 S zyx ===⇔ Vẫn theo AM – GM ta lại cĩ : ( )513111 3 2       ≥++ xyzzxyzxy Dấu bằng trong ( )5 xảy ra 3 S zyx ===⇔ Từ ( )( )54 suy ra : ( )627111 2Szxyzxy ≥++ Dấu bằng trong ( )6 xảy ra ⇔ đồng thời cĩ dấu bằng trong ( )( ) 3 54 Szyx ===⇔ Từ ( )( )( )( )6432 ta cĩ : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 52 ( ) 3 32 312727911       +=+++≥ SSSS VT Bổ đề được chứng minh. Dấu bằng xảy ra ⇔ đồng thời cĩ dấu bằng trong ( )( )( )643 3 S zyx ===⇔ Áp dụng với 0sin,0sin,0sin >=>=>= CzByAx mà ta cĩ 2 33 sinsinsin ≤++ CBA vậy ở đây 2 33 =S Theo bổ đề suy ra ngay : 3 3 21 sin 11 sin 11 sin 11       +≥      +      +      + CBA Dấu bằng xảy ra 2 3 sinsinsin ===⇔ CBA ABC∆⇔ đều. Ví dụ 2.4.5. CMR trong mọi tam giác ta cĩ : 3plll cba ≤++ Lời giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( )1222 cos2 app cb bc bc app cb bc cb Abc la −+ = − + = + = Theo AM – GM ta cĩ 12 ≤ + cb bc nên từ ( )1 suy ra : ( ) ( )2appla −≤ Dấu bằng trong ( )2 xảy ra cb =⇔ Hồn tồn tương tự ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( )4 3 cppl bppl c b −≤ −≤ Dấu bằng trong ( )( )43 tương ứng xảy ra cba ==⇔ Từ ( )( )( )432 suy ra : ( ) ( )5cpbpapplll cba −+−+−≤++ Dấu bằng trong ( )5 xảy ra ⇔ đồng thời cĩ dấu bằng trong ( )( )( ) cba ==⇔432 Áp dụng BCS ta cĩ : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 53 ( ) ( ) ( )63 33 2 pcpbpap cbapcpbpap ≤−+−+−⇒ −−−≤−+−+− Dấu bằng trong ( )6 xảy ra cba ==⇔ Từ ( )( )65 ta cĩ : ( )73plll cba ≤++ ðẳng thức trong ( )7 xảy ra ⇔ đồng thời cĩ dấu bằng trong ( )( ) cba ==⇔65 ABC∆⇔ đều. Ví dụ 2.4.6. Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : R r abc cba 24 333 −≥++ Lời giải : Ta cĩ : ( )( )( )cpbpapppr R abcS −−−=== 4 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) abc abccbacaacbccbabba abc cbabacacb abc cpbpap pabc cpbpapp pabc S R r 2 222222882 333222222 2 −−−−+++++ = −+−+−+ = −−− = −−− ==⇒ abc cba c a a c b c c b a b b a abc cba R r 333333 624 ++≤      +++++−+ ++ =−⇒ ⇒đpcm. Ví dụ 2.4.7. Cho ABC∆ nhọn. CMR : abcb A a C c a C c B b c B b A a 27 coscoscoscoscoscos ≥      −+      −+      −+ Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : CBAB A A C CA C C B BC B B A A sinsinsin27sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin ≥      −+      −+      −+ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 54 27 coscos coscos1 coscos coscos1 coscos coscos1 sinsinsin27sin coscos sin sin coscos sin sin coscos sin ≥−⋅−⋅−⇔ ≥      −      −      −⇔ AC AC CB CB BA BA CBAB AC BA CB AC BA C ðặt          + − = + − = + − = ⇒           << = = = 2 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1,,0 2 tan 2 tan 2 tan z zC y yB x xA zyx C z By A x và          − = − = − = 2 2 2 1 2 tan 1 2 tan 1 2 tan z zC y yB x xA Ta cĩ : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 22 22 22 22 22 11 2 11 11 11 111 coscos coscos1 yx yx yx yx yx yx BA BA −− + = ++ −− ++ −− − = − Mặt khác ta cĩ : xyyx 222 ≥+ ( )1tantan 1 2 1 2 coscos coscos1 22 BAy y x x BA BA = − ⋅ − ≥−⇒ Tương tự : ( )2tantan coscos coscos1 CB CB CB ≥− ( )3tantan coscos coscos1 AC AC AC ≥− Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ( )( )( )321 ta được : CBA AC AC CB CB BA BA 222 tantantan coscos coscos1 coscos coscos1 coscos coscos1 ≥−⋅−⋅− Ta đã biết : 27tantantan33tantantan 222 ≥⇒≥ CBACBA Suy ra : 27 coscos coscos1 coscos coscos1 coscos coscos1 ≥−⋅−⋅− AC AC CB CB BA BA ⇒đpcm. Ví dụ 2.4.8. CMR ABC∆∀ ta cĩ :       +≥++ p abcpcba 2222 35 36 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 55 Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với : ( ) ( ) ( ) cba abc cbacba cba abccba cba ++ +++≥++⇔         ++ + ++≥++ 72935 2 435 36 2222 2 222 Theo BCS thì : ( ) ( )2222 3 cbacba ++≤++ ( ) ( ) ( )1279 2222 cbacba ++≤++⇒ Lại cĩ :       ≥++ ≥++ 3 222 222 3 3 3 cbacba abccba ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2728 728 9 222 222 222 cba abc cba abccbacba abccbacba ++ ≥++⇔ ≥++++⇔ ≥++++⇒ Lấy ( )1 cộng ( )2 ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cba abc cbacba cba abc cbacbacba ++ +++≥++⇔ ++ +++≥+++++ 72935 729827 2222 2222222 ⇒đpcm. Ví dụ 2.4.9. CMR trong ABC∆ ta cĩ : 6 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos ≥ − + − + − C BA B AC A CB Lời giải : Theo AM – GM ta cĩ : ( )1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 3 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 3 C BA B AC A CB C BA B AC A CB − ⋅ − ⋅ − ≥ − + − + − Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 56 mà : ( )( )( ) CBA BAACCB CC BABA BB ACAC AA CBCB C BA B AC A CB sinsinsin sinsinsinsinsinsin 2 sin 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 sin 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 sin 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos +++ = −+ ⋅ −+ ⋅ −+ = − ⋅ − ⋅ − Lại theo AM – GM ta cĩ :       ≥+ ≥+ ≥+ ACAC CBCB BABA sinsin2sinsin sinsin2sinsin sinsin2sinsin ( )( )( ) ( )( )( ) ( )28 sinsinsin sinsinsinsinsinsin sinsinsin8sinsinsinsinsinsin ≥+++⇒ ≥+++⇒ CBA BAACCB CBABAACCB Từ ( )( )21 suy ra : 683 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 3 =≥ − + − + − C BA B AC A CB ⇒đpcm. Ví dụ 2.4.10. CMR trong mọi ABC∆ ta cĩ : 2 9sinsinsinsinsinsin      ≥++ R rACCBBA Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 2 2 2 36 9 222222 9sinsinsinsinsinsin rcabcab r accbba rACRCBRBAR ≥++⇔ ≥⋅+⋅+⋅⇔ ≥++ Theo cơng thức hình chiếu :       +=      +=      += a BA rc a AC rb a CB ra cot 2 cot;cot 2 cot;cot 2 cot Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 57       +      ++ +      +      ++      +      +=++⇒ 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 22 CBBA r BAAC r ACCB rcabcab Theo AM – GM ta cĩ : ( )1cotcotcot4 2 cot 2 cot2 2 cot 2 cot2 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 BACACCBACCB =               ≥      +      + Tương tự : ( ) ( )3cotcotcot4 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2cotcotcot4 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 2 ACBCBBA CBABAAC ≥      +      + ≥      +      + Từ ( )( )( )321 suy ra : ( )4 2 cot 2 cot 2 cot12 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 3 222 CBABAAC BAACBAAC ≥      +      ++ +      +      ++      +      + Mặt khác ta cĩ : ( )527 2 cot 2 cot 2 cot33 2 cot 2 cot 2 cot 222 ≥⇒≥ CBACBA Từ ( )( )54 suy ra : ( )6363.12 2 cot 2 cot 2 cot123 222 =≥CBA Từ ( )( )64 suy ra đpcm. 2.5. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số : Chương này khi đọc thì bạn đọc cần cĩ kiến thức cơ bản về đạo hàm, khảo sát hàm số của chương trình 12 THPT. Phương pháp này thực sự cĩ hiệu quả trong các bài bất đẳng thức lượng giác. ðể cĩ thể sử dụng tốt phương pháp này thì bạn đọc cần đến những kinh nghiệm giải tốn ở các phương pháp đã nêu ở các phân trước. Ví dụ 2.5.1. CMR : pi x x 2 sin > với       ∈ 2 ;0 pix Lời giải : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 58 Xét ( ) pi 2sin −= x x xf với       ∈ 2 ;0 pix ( ) 2 sincos' x xxx xf −=⇒ Xét ( ) xxxxg sincos −= với       ∈ 2 ;0 pix ( ) ( )xgxxxxg ⇒      ∈∀<−=⇒ 2 ;00sin' pi nghịch biến trên khoảng đĩ. ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=      >⇒<⇒=<⇒ 0 2 0'00 pifxfxfgxg đpcm. Ví dụ 2.5.2. CMR : x x x cos sin 3 >      với       2 ;0 pi Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( ) ( ) 0cossin cos sin 3 1 3 1 >−⇔ > − xx x x Xét ( ) ( ) xxxxf −= −31cossin với       ∈ 2 ;0 pix Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 1cossin 3 1 cos' 3 4 23 2 −−= − xxxxf ( ) ( ) ( ) ( )       ∈∀>+−= −− 2 ;00cossin 9 4 sin1cos 3 2 '' 4 7 33 1 pi xxxxxxf ( )xf '⇒ đồng biến trong khoảng đĩ ( ) ( ) 00'' =>⇒ fxf ( )xf⇒ cũng đồng biến trong khoảng đĩ ( ) ( ) ⇒=>⇒ 00fxf đpcm. Ví dụ 2.5.3. CMR nếu a là gĩc nhọn hay 0=a thì ta cĩ : 1tansin 222 +≥+ aaa Lời giải : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 59 Áp dụng AM – GM cho hai số dương asin2 và atan2 ta cĩ : aaaaaa tansintansintansin 2222222 +=≥+ Như vậy ta chỉ cần chứng minh : aaa 2tansin >+ với 2 0 pi<< a Xét ( ) xxxxf 2tansin −+= với       ∈ 2 ;0 pix Ta cĩ : ( ) ( ) ( )[ ]       ∈∀>−+−=+−=−+= 2 ;00 cos cos1cos1cos1 cos 1cos2cos2 cos 1 cos' 22 23 2 pi x x xxx x xx x xxf ( )xf⇒ đồng biến trên khoảng đĩ ( ) ( )0faf >⇒ với aaaa 2tansin 2 ;0 >+⇒      ∈ pi 12tansin 22222 ++ =≥⇒ aaaa 1tansin 222 +≥+⇒ aaa (khi 0=a ta cĩ dấu đẳng thức xảy ra). Ví dụ 2.5.4. CMR trong mọi tam giác ta đều cĩ : ( ) CBACBABABABA coscoscoscoscoscos 12 13 coscoscoscoscoscos1 +++≤+++ Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( ) ( )CBABABABACBA coscoscos 6 131coscoscoscoscoscos2coscoscos21 ++≥++++− ( ) ( )CBABABABACBA coscoscos 6 131coscoscoscoscoscos2coscoscos 222 ++≥++++++⇔ ( ) ( )CBACBA coscoscos 6 131coscoscos 2 ++≤+++⇔ 6 13 coscoscos 1 coscoscos ≤ ++ +++⇔ CBA CBA ðặt 2 31coscoscos ≤<⇒++= tCBAt Xét hàm đặc trưng : ( ) t ttf 1+= với      ∈ 2 3 ;1t Ta cĩ : ( ) ( )xft x xf ⇒     ∈∀>−= 2 3 ;1011' 2 đồng biến trên khoảng đĩ. ( ) ⇒=     ≤⇒ 6 13 2 3fxf đpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 60 Ví dụ 2.5.5. Cho ABC∆ cĩ chu vi bằng 3. CMR : ( ) 2222 4 13 sinsinsin8sinsinsin3 R CBARCBA ≥+++ Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )( )( ) 13sin2sin2sin24sin4.3sin4.3sin4.3 222222 ≥+++ CRBRARCRBRAR 134333 222 ≥+++⇔ abccba Do vai trị của cba ,, là như nhau nên ta cĩ thể giả sử cba ≤≤ Theo giả thiết : 2 3133 −⇒>+⇒=++ ccccbacba Ta biến đổi : ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cabcc cabcc ababccc abccabba abccba abccbaT 232333 322333 64333 4323 433 4333 22 22 22 22 222 222 −−+−= −++−= −++−= ++−+= +++= +++= vì 023032 2 3 >−⇒<−⇒< ccc và 222 2 322 2 3 2       − −≥−⇒      − =      +≤ cabcbaab Do đĩ : ( ) ( )ccccT 23 2 32333 2 22 −      − −+−≥ ( )cfcc =+−= 2 27 2 3 23 Xét ( ) 2 27 2 3 23 +−= cccf với 2 31 <≤ c ( ) ( )cfccccf ⇒     ∈∀≥−=⇒ 2 3 ;1033' 2 đồng biến trên khoảng đĩ. ( ) ( ) ⇒=≥⇒ 131fcf đpcm. Ví dụ 2.5.6. Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 33 282 ≥+ r p S r Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 61 Lời giải : Ta cĩ : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) p cp p bp p apCBA cpp bpapC bpp apcpB app cpbpA − ⋅ − ⋅ − =⇒           − −− = − −− = − −− = 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan và ( )( )( ) p cp p bp p ap p cpbpapp p S S r − ⋅ − ⋅ − = −−− == 22 2 Do đĩ : 2 tan 2 tan 2 tan 2 CBA S r = Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cot 2 cot 2 cot 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 tansinsinsin2 sinsinsin2 2 tan 2 tan2 CBA A A CBA CBA AACBR CBAR A acb cba A ap cba r p == −+ ++ = −+ ++ = − ++ = Khi đĩ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 33 28 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 1 33 28 2 cot 2 cot 2 cot 2 tan 2 tan 2 tan ≥+⇔ ≥+ CBA CBA CBACBA ðặt 33 2 cot 2 cot 2 cot ≥⇒= tCBAt Xét ( ) t ttf 1+= với 33≥t ( ) 33011' 2 ≥∀>−=⇒ tttf ( ) ( ) ⇒=+==⇒ 33 28 33 13333min ftf đpcm. Ví dụ 2.5.7. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 62 CMR với mọi ABC∆ ta cĩ : ( )( )( ) 2 33 38222 eRcRbRaR <+++ Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )( )( ) 2 33 2 33 2 33 sin1sin1sin1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 eCBA e R c R b R a e R cR R bR R aR <+++⇔ <      +      +      +⇔ < + ⋅ + ⋅ + Xét ( ) ( ) xxxf −+= 1ln với 10 << x ( ) ( )1;00 1 1 1 1 ' ∈∀< + −=− + =⇒ x x x x xf ( )xf⇒ nghịch biến trên khoảng đĩ ( ) ( ) 00 =<⇒ fxf ( ) xx <+⇒ 1ln Lần lượt thay { }CBAx sin,sin,sin= vào bất đẳng thức trên rồi cộng lại ta được : ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) CBAeCBA CBACBA CBACBA sinsinsinsin1sin1sin1 sinsinsinsin1sin1sin1ln sinsinsinsin1lnsin1lnsin1ln ++<+++⇔ ++<+++⇔ ++<+++++ mà ( )( )( ) ⇒<+++⇒≤++ 2 33 sin1sin1sin1 2 33 sinsinsin eCBACBA đpcm. Ví dụ 2.5.8. Cho ABC∆ . CMR : ( )( )( ) 16 125 cos1cos1cos1 222 ≥+++ CBA Lời giải : Khơng mất tổng quát giả sử { }CBAC ,,min= .Ta cĩ : ( )( )       + +      + +=++ 2 2cos11 2 2cos11cos1cos1 22 BABA Xét ( )( ) ( )( )BABAP 2cos32cos3cos1cos14 22 ++=++= ( ) BABAP 2cos2cos2cos2cos39 +++=⇒ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BABABABA 22cos22cos 2 1 coscos69 −+++−++= Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 63 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 1coscoscoscos69 2cos2cos2 2 1 coscos69 22 22 −+++−−= −++++−−= BACBAC BABABAC do ( ) 1cos ≤− BA ( )22 cos3coscos69 CCCP −=+−≥⇒ mà 0cos >C ( ) ( ) ( )CCCP 222 cos1cos3cos1 +−≥+⇒ Mặt khác ta cĩ : 2 1 cos600 0 ≥⇒≤< CC Xét ( ) ( ) ( )22 13 xxxf +−= với      ∈ 1; 2 1 x ( ) ( )( )( )      ∈∀≥−−−=⇒ 1; 2 1012132' xxxxxf ( )xf⇒ đồng biến trên khoảng đĩ. ( ) ( )( )( ) ⇒≥+++⇒=     ≥⇒ 16 125 cos1cos1cos1 16 125 2 1 222 CBAfxf đpcm. Ví dụ 2.5.9. Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : ( ) 32cotcot sin 1 sin 12 ≤+−      + CB CB Lời giải : Xét ( ) x x xf cot sin 2 −= với ( )pi;0∈x ( ) ( ) 3 0' sin cos21 sin 1 sin cos2 ' 222 pi =⇔=⇒ − =+−=⇒ xxf x x xx x xf ( ) 3cot sin 23 3 max ≤−⇒=      =⇒ x x fxf pi Thay x bởi CB, trong bất đẳng thức trên ta được : ⇒       ≤− ≤− 3cot sin 2 3cot sin 2 C C B B đpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 64 Ví dụ 2.5.10. CMR : 20 720sin 3 1 0 << Lời giải : ðặt 2 1030sin020sin 00 <<⇒<<⇒= aaa Ta cĩ : 2 34320sin420sin320.3sin60sin 2 3 303000 =−⇒−=== aa aaa ⇒=+−⇒ 0 2 334 3 là nghiệm của phương trình : 0 2 334 3 =+− xx Xét đa thức : ( ) 2 334 3 +−= xxxf Ta cĩ : ( ) 0 2 23 2 311 <−=+−=−f ( ) ( ) ( ) 0010 2 30 = fff Bởi vì ( )xf liên tục trên tồn trục số .Do đĩ đa thức ( )xf cĩ một nghiệm thực trên khoảng ( )0;1− Lại cĩ : 0 20 7 3 1 0 2000 175731000 20 7 0 54 46327 3 1 <            ⇒        < − =      > − =      ff f f ⇒ đa thức ( )xf cĩ một nghiệm thực trên khoảng       20 7 ; 3 1 Lại cĩ : 0 2 23 2 1 < − =     f và ( ) ( ) 01 2 10 2 231 <      ⇒> + = fff ⇒ đa thức ( )xf cĩ một nghiệm thực trên khoảng       1; 2 1 Bởi vì aa ⇒      ∈ 2 1 ;0 là nghiệm thực trên khoảng ⇒      20 7 ; 3 1 đpcm. 2.6. Bài tập : Cho ABC∆ . CMR : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 65 2.6.1. ( ) 2 5 cos2cos2cos3 ≤+− BCA 2.6.2. 42cos322cos22cos3 −≥++ CBA 2.6.3. ( )( ) ( ) 542cos532cos2cos15 +≤+−++ CBA 2.6.4. 34 2 tan 2 tan 2 tan −≥++ CBA với ABC∆ cĩ một gĩc 3 2pi≥ 2.6.5. 2222 4 1111 rcba ≤++ 2.6.6. cba r c r b r a r abc 333 ++≥ 2.6.7. ( )( )( ) 2 3 < +++ + + + + + + accbba abc ba c ac b cb a 2.6.8. CBA CBA tantantan 2 1 2 3 2sin 1 2sin 1 2sin 1 +≥++ 2.6.9. 32 tan 2 tan 2 tan cbaC c BbAa ++≥++ 2.6.10. ( ) 36 1 sinsinsin sinsinsin 2 ≤++ CBA CBA 2.6.11. 2 sin 2 sin 2 sin9coscoscos1 CBACBA ≥+ 2.6.12. rRmmm cba +≤++ 4 2.6.13. 2phhhhhh accbba ≤++ 2.6.14. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22222 Rpbpapcapcpbcpbpa ≤−−+−−+−− 2.6.15. ( )( )( ) CBACBA coscoscoscos1cos1cos1 ≥−−− Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 66 Chương 3 : Áp dụng vào một số vấn đề khác “Cĩ học thì phải cĩ hành” Sau khi đã xem xét các bất đẳng thức lượng giác cùng các phương pháp chứng minh thì ta phải biết vận dụng những kết quả đĩ vào các vấn đề khác. Trong các chương trước ta cĩ các ví dụ về bất đẳng thức lượng giác mà dấu bằng thường xảy ra ở trường hợp đặc biệt : tam giác đều, cân hay vuơng Vì thế lại phát sinh ra một dạng bài mới : định tính tam giác dựa vào điều kiện cho trước. Mặt khác với những kết quả của các chương trước ta cũng cĩ thể dẫn đến dạng tốn tìm cực trị lượng giác nhờ bất đẳng thức. Dạng bài này rất hay : kết quả được “giấu” đi, bắt buộc người làm phải tự “mị mẫm” đi tìm đáp án cho riêng mình. Cơng việc đĩ thật thú vị ! Và tất nhiên muốn giải quyết tốt vấn đề này thì ta cần cĩ một “vốn” bất đẳng thức “kha khá”. Bây giờ chúng ta sẽ cùng kiểm tra hiệu quả của các bất đẳng thức lượng giác trong chương 3 : “Áp dụng vào một số vấn đề khác” Mục lục : 3.1. ðịnh tính tam giác67 3.1.1. Tam giác đều..67 3.1.2. Tam giác cân..70 3.1.3. Tam giác vuơng..72 3.2. Cực trị lượng giác.....73 3.3. Bài tập...76 Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 67 3.1. ðịnh tính tam giác : 3.1.1. Tam giác đều : Tam giác đều cĩ thể nĩi là tam giác đẹp nhất trong các tam giác. Ở nĩ ta cĩ được sự đồng nhất giữa các tính chất của các đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp tam giác Và các dữ kiện đĩ lại cũng trùng hợp với điều kiện xảy ra dấu bằng ở các bất đẳng thức lượng giác đối xứng trong tam giác. Do đĩ sau khi giải được các bất đẳng thức lượng giác thì ta cần phải nghĩ đến việc vận dụng nĩ trở thành một phương pháp khi nhận dạng tam giác đều. Ví dụ 3.1.1.1. CMR ABC∆ đều khi thỏa : Rmmm cba 2 9 =++ Lời giải : Theo BCS ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBARmmm cbammm mmmmmm cba cba cbacba 22222 2222 2222 sinsinsin9 4 9 3 ++≤++⇔ ++≤++⇔ ++≤++ mà : 4 9 sinsinsin 222 ≤++ CBA ( ) Rmmm RRmmm cba cba 2 9 4 81 4 99 222 ≤++⇒ =⋅≤++⇒ ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều ⇒đpcm. Ví dụ 3.1.1.2. CMR nếu thỏa c abBA 42 sin 2 sin = thì ABC∆ đều. Lời giải : Ta cĩ : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 68 ( ) 2 cos8 1 2 sin8 2 cos 2 cos 2 sin2.8.2 2 cos 2 sin2.2 sin8.2 sinsin2 84 BAC BA CCR BABAR CR BAR c ba c ab + ≤ − = −+ = + = +≤ 0 2 sin 2 cos 2 cos2 01 2 cos 2 cos4 2 cos4 01 2 cos 2 cos 2 cos4 1 2 sin 2 sin 2 cos8 2 cos8 1 2 sin 2 sin 2 2 2 ≥−+      − − + ⇔ ≥+−+−+⇔ ≤−      + − −+ ⇔ ≤+⇔ + ≤⇒ BABABA BABABA BABABA BABA BA BA ⇒đpcm. Ví dụ 3.1.1.3. CMR ABC∆ đều khi nĩ thỏa : ( ) ( ) 32 cbahhh cba ++=++ Lời giải : ðiều kiện đề bài tương đương với : ( ) 2 3 2 cot 2 cot 1 2 cot 2 cot 1 2 cot 2 cot 1 2 3 32.2 = + + + + + ⇔ =++⇔ ++=      ++ ACCBBA c r b r a r cba c r b r a rp Mặt khác ta cĩ :       +=             +≤ + 2 tan 2 tan 4 1 2 cot 1 2 cot 1 4 1 2 cot 2 cot 1 BA BABA Tương tự : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 69       +≤ +       +≤ + 2 tan 2 tan 4 1 2 cot 2 cot 1 2 tan 2 tan 4 1 2 cot 2 cot 1 AC AC CB CB 3 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 1 2 3 2 tan 2 tan 2 tan 2 1 2 cot 2 cot 1 2 cot 2 cot 1 2 cot 2 cot 1 ≥++⇔      ++≤⇒       ++≤ + + + + + ⇒ CBACBA CBA ACCBBA ⇒đpcm. Ví dụ 3.1.1.4. CMR nếu thỏa 2 33RrS = thì ABC∆ đều. Lời giải : Ta cĩ : RrRr CBARrCBARCBAR CBACBARCBARS 2 33 8 334 2 cos 2 cos 2 cos4 2 cos 2 cos 2 cos4 2 sin 2 sin 2 sin4 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin.2.2.2.2sinsinsin2 22 =≤ == == ⇒đpcm. Ví dụ 3.1.1.5. CMR ABC∆ đều khi nĩ thỏa pSmmm cba = Lời giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 2 coscos1 2 1 cos2 4 122 4 1 2222222 AbcAbcAbccbacbma =+≥++=−+= mà : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 70 ( ) ( ) ( )appm bc app bc acb bc bcacbA bc acbA bc acbA a −≥⇒ − = −+ = +−+ =⇒ −+ =−⇒ −+ = 44 2 cos 2 1 2 cos2 2 cos 22222 2 222 2 222 Tương tự : ( ) ( ) ( )( )( ) pScpbpapppmmm cppm bppm cba c b =−−−≥⇒     −≥ −≥ ⇒đpcm. 3.1.2. Tam giác cân : Sau tam giác đều thì tam giác cân cũng đẹp khơng kém. Và ở đây thì chúng ta sẽ xét những bất đẳng thức cĩ dấu bằng xảy ra khi hai biến bằng nhau và khác biến thứ ba. Ví dụ 3 2 ; 6 pipi === CBA . Vì thế nĩ khĩ hơn trường hợp xác định tam giác đều. Ví dụ 3.1.2.1. CMR ABC∆ cân khi nĩ thỏa điều kiện 2 tan2tantan 222 BABA +=+ và nhọn. Lời giải : Ta cĩ : ( ) ( )( ) ( ) ( ) CBA C BABA BA BA BABA coscos sin2 coscos sin2 coscos sin tantan −− = −++ + = + =+ vì ( ) ( ) 2 sin2cos1coscos1cos 2 CCCBABA =−≤−−⇒≤− ( ) 2 tan2tantan 2 tan2 2 cot2 2 sin2 2 cos 2 sin4 2 sin2 sin2 coscos sin2 22 BABA BAC C CC C C CBA C +≥+⇒ + ===≥ −− ⇒ Từ giả thiết : 2 222 2 tantan2 2 tan2tantan       +≤+=+ BABABA ( ) BABABA tantan2tantantantan2 2222 ++≤+⇔ Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 71 ( ) BA BA BA =⇔ =⇔ ≤−⇔ tantan 0tantan 2 ⇒đpcm. Ví dụ 3.1.2.2. CMR ABC∆ cân khi thỏa 2 cos Abcha = Lời giải : Trong mọi tam giác ta luơn cĩ : 2 cos 2 A cb bclh aa + =≤ mà bc bc bc cb bcbccb =≤ + ⇒≥+ 22 2 cos 2 cos 2 cos 2 AbchAbcA cb bc a ≤⇒≤+ ⇒ ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ cân ⇒đpcm. Ví dụ 3.1.2.3. CMR nếu thỏa 2 sin4 BRrr a =+ thì ABC∆ cân. Lời giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin4 2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos4 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin sinsin2 2 tan 2 tan2 2 tan 2 tan BRCABR B B CABR B B CACAR B B CARBcaBbpBpBbprr a ≤−=⋅−=⋅−+= +=+=−=+−=+ 2 sin4 BRrr a ≤+⇒ ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ cân ⇒đpcm. Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 72 Ví dụ 3.1.2.4. CMR nếu ( )22 4 1 baS += thì ABC∆ cân. Lời giải : Ta cĩ : ( ) SCababbaabba =≥≥+⇒≤+ sin 2 1 2 1 4 12 2222 ( ) ⇒≥+⇒ Sba 22 4 1 ABC∆ cân nếu thỏa điều kiện đề bài. Ví dụ 3.1.2.5. CMR ABC∆ cân khi thỏa 4 9 coscoscos2 =++ CBA Lời giải : Ta cĩ : 4 9 4 9 2 sin 4 1 2 cos 2 1 2 sin2 4 9 4 1 2 cos 4 1 2 cos 2 1 2 sin2 4 9 4 1 2 cos 2 sin2 2 sin4 2 cos 2 cos2 2 sin212coscoscos2 2 2 2 2 2 2 ≤+ − −      − −−= +− − +      − −−=+− − +−= −+ +      −=++ CBCBA CBCBACBAA CBCBACBA ðẳng thức xảy ra khi ⇒= CB đpcm. 3.1.3. Tam giác vuơng : Cuối cùng ta xét đến tam giác vuơng, đại diện khĩ tính nhất của tam giác đối với bất đẳng thức lượng giác. Dường như khi nhận diện tam giác vuơng, phương pháp biến đổi tương đương các đẳng thức là được dùng hơn cả. Và ta hiếm khi gặp bài tốn nhận diện tam giác vuơng mà cần dùng đến bất đẳng thức lượng giác. Ví dụ 3.1.3.1. CMR ABC∆ vuơng khi thỏa 15cos8sin4sin6cos3 =+++ CBCB Lời giải : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 73 Theo BCS ta cĩ : ( )( ) ( )( )    =++≤+ =++≤+ 10cossin86cos8sin6 5sincos43sin4cos3 2222 2222 CCCC BBBB 15cos8sin6sin4cos3 ≤+++⇒ CCBB ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2 cottan 3 4 cot 3 4 tan 8 cos 6 sin 4 sin 3 cos 10cos8sin6 5sin4cos3 pi =+⇔=⇔       = = ⇔       = = ⇔    =+ =+ CBCB C B CC BB CC BB ⇒đpcm. 3.2. Cực trị lượng giác : ðây là lĩnh vực vận dụng thành cơng và triệt để bất đẳng thức lượng giác vào giải tốn. ðặc biệt trong dạng bài này, gần như ta là người đi trong sa mạc khơng biết phương hướng đường đi, ta sẽ khơng biết trước kết quả mà phải tự mình dùng các bất đẳng thức đã biết để tìm ra đáp án cuối cùng. Vì lẽ đĩ mà dạng tốn này thường rất “khĩ xơi”, nĩ địi hỏi ta phải biết khéo léo sử dụng các bất đẳng thức cũng như cần một vốn liếng kinh nghiệm về bất đẳng thức khơng nhỏ. Ví dụ 3.2.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( ) ydxc ybxa ydxc ybxayxf 22 44 22 44 sincos sincos cossin cossin , + + + + + = với dcba ,,, là các hằng số dương. Lời giải : ðặt ( ) 21, bfafyxf += với ydxc x ydxc xf 22 4 22 4 1 sincos cos cossin sin + + + = ydxc x ydxc xf 22 4 22 4 2 sincos sin cossin cos + + + = Ta cĩ : ( ) ( )yydxxcdc 2222 cossincossin +++=+ Do đĩ : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn đề khác The Inequalities Trigonometry 74 ( ) ( ) ( )[ ] 1 sincos cos sincos cossin sin cossin sincos cos cossin sin sincoscossin 2 22 2 22 22 2 22 22 4 22 4 2222 1 =         + ++ + +≥       + + + +++=+ ydxc xydxc ydxc xydxc ydxc x ydxc xydxcydxcfdc dc f + ≥⇒ 11 Tương tự : dc f + ≥ 12 . Vậy ( ) dc babfafyxf + +≥+= 21, Ví dụ 3.2.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : CBAP 3cos3cos3cos −+= Lời giải : Ta cĩ : ( )[ ] ( )[ ] ( )BABABAC +−=+−=+−= 3cos33cos3cos3cos pipi nên ( ) 1 2 3cos2 2 3cos 2 3cos23cos3cos3cos 2 −      + +      −       + =+++= BABABABABAP ( )yxfBABABAP , 2 1 2 3cos 2 3cos2 2 3cos2 2 3 2 =+      +       − +      + =+⇒ 2 301 2 3cos' 2 −≥⇒≤−      − =∆ PBA              = = = ⇔     −= = ⇔              − −=      + =      − ⇔            − −=      + =∆ ⇔−= 9 4 9 2 2 13cos 2 3cos 2 1 2 3cos 1 2 3cos 2 3cos 2 1 2 3cos 0' 2 3 2 pi pi A A BA A BA BABA BA BABAP Vậy       === === ⇔−= 9 , 9 4 9 5 , 9 2 2 3 min pipi pipi CBA CBA P Truịng THPT chuyên Lý Tự T... Ta luơn cĩ: Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 87 ( )222 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n a a aaa a b b b b b b + + + + + + ≥ + + + Dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 ... n n aa a b b b ⇔ = = = . 3.Bất đẳng thức Cheb yshev: Cho 2 dãy ( )1 2, ,..., na a a và ( )1 2, ,..., nb b b cùng tăng hoặc cùng giảm, tức là: 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤  ≤ ≤ ≤ hoặc 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≥ ≥ ≥  ≥ ≥ ≥ , thì ta cĩ: 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ... . n n n n a b a b a b a a a b b b n n n + + + + + + + + + ≤ Dấu “ = ” xảy ra 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b = = =  = = = . Nếu 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì đổi chiều dấu bất đẳng thức. Xét trong tam giác ABC cĩ A B≥ (A,B số đo hai gĩc A,B của tam giác theo radian). ● A B≥ ⇒ sin sin A B A B ≥ ( theo chứng minh trên thì hàm ( ) xf x = sinx ) 2 2 A B a b R R ⇒ ≥ ⇒ A a B b ≥ , mà A B≥ ⇔ a b≥ . Như vậy ta suy ra nếu a b≥ thì A a B b ≥ (i). • Hồn tồn tương tự : a b c≥ ≥ ⇒ A B C a b c ≥ ≥ và như vậy ta cĩ ( ) A 0Ba b a b   − − ≥    , ( ) 0B Cb c b c   − − ≥    và ( ) 0C Ac a c a   − − ≥    .Cộng 3 bất đẳng thức ta được ( ) 0 cyc A B a b a b   − − ≥    ∑ ⇔ ( ) ( )2 cyc AA B C b c a + + ≥ +∑ (1). - Cộng A B C+ + vào 2 vế của (1) ta thu được: ( ) ( )3 A B CA B C a b c a b c   + + ≥ + + + +    (2) - Trừ A B C+ + vào 2 vế của (1) ta thu được: ( ) ( )2 cyc AA B C p a a + + ≥ −∑ (3). Chú ý rằng A B C pi+ + = và 2a b c p+ + = nên (2) ⇔ 3 2 cyc Ap a pi ≥ ∑ ⇔ 3 2cyc A a p pi≤∑ (ii), và (3) ( ) 2cyc Ap a a pi ⇔ − ≤∑ (iii). Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 88 ● Mặt khác ta cĩ thể áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ số , , A B C a b c       và ( ), , .p a p b p c− − − Ta cĩ: a b c≥ ≥ ⇒ A B C a b c p a p b p c  ≥ ≥   − ≤ − ≤ − ( ) ( ) 3 3 3 cyc A A B Cp a p a p b p ca a b c   − + +  − + − + −  ⇒ ≤ ∑ ⇔ ( ) 3 cyc cyc Ap aAp a a − ≤ ∑ ∑ . Mà 3 2cyc A a p pi≤∑ ta suy ra: ( ) 3 2 3 3 cyc cyc Ap p aA pp a a pi − ≤ ≤ ∑ ∑ hay ( ) 3 2 cyc cyc Ap aAp a a pi − ≤ ≤ ∑ ∑ (iv). ● Ta chú ý đến hai bất đẳng thức (ii) và (iii): -Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số , ,A B C a b c ta được: 1 3 . .3 . .cyc A A B C a a b c  ≥     ∑ kết hợp với bất đẳng thức (ii) ta suy ra 1 3 . . 33 . . 2 A B C a b c p pi  ≤    ⇔ 3 . . 2 . . a b c p A B C pi  ≥     (v). Mặt khác, ta lại cĩ 1 3 . .3 . .cyc a a b c A A B C  ≥     ∑ , mà theo (v) ta dễ dàng suy ra 1 3 . . 2 . . abc p ABC pi   ≥    , từ đĩ ta cĩ bất đẳng thức 6 cyc a p A pi ≥∑ (vi). -Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta cĩ : ( )22 2 cyc cyc A B CA A a aA Aa Bb Cc Aa Bb Cc pi+ + = ≥ = + + + + ∑ ∑ (vii), mà ta đã tìm được ( ) ( )2 8 2 2p R r Aa Bb Cc p R rpi pi pi− + < + + < − + (bài tập a/ phần trước) nên ( ) 2 2cyc A a p R r pi pi > − − ∑ (viii) (chỉ đúng với tam giác nhọn). -Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ( ) ( ) ( ), ,A B Cp a p b p c a b c − − − ta được: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 3 3 . . . . . . .3 3 3 . . 4 . 4 . A B C ABC S ABC S ABCp a p b p c p a p b p c a b c abc p S R p R − + − + − ≥ − − − = = ⇒ ( ) 2 3 . .3 4 .cyc A S A B Cp a a p S R − ≥∑ (4)mà ( ) 3 2 cyc cyc Ap aAp a a pi − ≤ ≤ ∑ ∑ (theo iv) nên từ (4) 32 43 . . 729 . . .3 4 . 3 2 4 cyc cyc Ap aS A B C S A B C Ap p S R R a pi   ⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤     ∑ ∑ ⇒ 3 4729 . . . 3 4 2 S A B C p R p pi ≤     ⇔ 354 . . . . .S A B C p Rpi≤ (ix). Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 89 ● Xét tổng 2 22 y yx z x zT b By a Ax a Ax c Cz c Cz b By      = + + + + +              . Ta cĩ: 0T ≥ ⇔ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . 2 0y z z x x y x a A y b B z c C ab AB bc BC ca CA + + +   + + − + + ≥    . ⇔ . . . 2 0y z bc z x ca x y ab c a b x aA y bB z cC AB BC CA + + +   + + − + + ≥    ⇔ . . . 2y z bc z x ca x y ab a b c x aA y bB z cC BC CA AB + + +   + + ≥ + +    (5). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: 1 3 63a b c abc p ABCBC CA AB pi   + + ≥ ≥    (6). Từ (5) và (6) ta được: 6. . .y z bc z x ca x y ab p x aA y bB z cC pi + + + + + ≥ (7). Thay (x, y, z) trong (7) bằng (p-a, p-b, p-c) ta được: ( ) ( ) ( ) 12bc ca ab p A p a B p b C p c pi + + ≥ − − − (x) Thay (x, y, z) trong (7) bằng (bc, ca, ab) ta được: 12b c c a a b p A B C pi + + + + + ≥ (xi). 3/ Chúng ta xét bất đẳng thức sau: 2xsinx π ≥ với     x pi∀ ∈ 0, 2 (phần chứng minh bất đẳng thức này dành cho bạn đọc). Theo định lí hàm số sin ta cĩ sin 2 aA R = và kết hợp với bất đẳng thức trên ta được 2 4 2 a A a R R Api pi ≥ ⇔ ≥ , từ đĩ ta dễ dàng suy ra 12 cyc a R A pi >∑ . 4/ Bất đẳng thức: 2 2 2 2 sin x π - x x π + x ≥ với ( ]x∀ ∈ 0,pi (bất đẳng thức này xem như bài tập dành cho bạn đọc). Bất đẳng thức trên tương đương 2 2 2 sin 21x x x xpi ≥ − + ⇔ 3 2 2 2 sin xx x xpi ≥ − + (1). Trong tam giác ta cĩ: 3 3sin sin sin 2 A B C+ + ≤ (2) (bạn đọc tự chứng minh).Từ (1) và (2) ta thu được 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 sin 2 2 cyc A B CA A B C A B Cpi pi pi   ≥ > + + − + +  + + +  ∑ ⇒ 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 A B C A B C pi pi pi pi   > − + +  + + +  ⇔ 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 4 A B C A B C pi pi pi pi + + > − + + + . Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 90 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cho 3 gĩc A, B, C ta thu được 2 2 2 2 sin A A A A pi pi − > + , 2 2 2 2 sin B B B B pi pi − > + và 2 2 2 2 sin C C C C pi pi − > + , cộng các bất đẳng thức ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sinA B C A B C A B C A B C pi pi pi pi pi pi − − − + + > + + + + + , từ đây áp dụng định lí hàm số sin sin 2 aA R = ta cĩ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c A B CR R R A B C A B C pi pi pi pi pi pi − − − + + > + + + + + hay 2 2 2 22 cyc a AR A A pi pi − > + ∑ ∑ . Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 91 Thử trở về cội nguồn của mơn lượng giác Lê Quốc Hán ðại học Sư phạm Vinh “Lượng giác học” cĩ nguồn gốc từ Hình học. Tuy nhiên phần lớn học sinh khi học mơn Lượng giác học (giải phương trình lượng giác, hàm số lượng giác ), lại thấy nĩ như là một bộ phận của mơn ðại số học, hoặc như một cơng cụ để giải các bài tốn hình học (phần tam giác lượng) mà khơng thấy mối liên hệ hai chiều giữa các bộ mơn ấy. Trong bài viết này, tơi hy vọng phần nào cĩ thể cho các bạn một cách nhìn “mới” : dùng hình học để giải các bài tốn lượng giác. Trước hết, ta lấy một kết quả quen thuộc trong hình học sơ cấp : “Nếu G là trọng tâm tam giác ABC và M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác đĩ thì” : ( ) ( )2222222 9 1 3 1 cbaMCMBMAMG ++−++= (ðịnh lý Lép-nít) Nếu OM ≡ là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC∆ thì 2222 3RMBMBMA =++ nên áp dụng định lý hàm số sin, ta suy ra : ( )CBARROG 222222 sinsinsin 9 4 ++−= ( ) ( )1sinsinsin 4 9 9 4 22222       ++−=⇒ CBAROG Từ đẳng thức ( )1 , suy ra : ( )2 4 9 sinsinsin 222 ≤++ CBA Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OG ≡ , tức là khi và chỉ khi ABC∆ đều. Như vậy, với một kiến thức hình học lớp 10 ta đã phát hiện và chứng minh được bất đẳng thức ( )2 . Ngồi ra, hệ thức ( )1 cịn cho ta một “nguồn gốc hình học” của bất đẳng thức ( )2 , điều mà ít người nghĩ đến. Bằng cách tương tự, ta hãy tính khoảng cách giữa O và trực tâm H của ABC∆ . Xét trường hợp ABC∆ cĩ 3 gĩc nhọn. Gọi E là giao điểm của AH với đường trịn ngoại tiếp ABC∆ . Thế thì : ( ) HAHEROHOH . 22 / =−=℘ Do đĩ : ( )*.22 HEAHROH −= với : AR C ACR C AAB C AFAH cos2 sin cos sin2 sin cos . sin ==== và CBABCBKHKHE cotcos2cot22 === CBR C CBCR coscos4 sin cos cossin2.2 == Thay vào ( )* ta cĩ : ( )3coscoscos 8 18 22       −= CBAROH Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 92 Nếu 090=∠BAC chẳng hạn, thì ( )3 là hiển nhiên. Giả sử ABC∆ cĩ gĩc A tù. Khi đĩ ( ) HEHAOHROH . 22 / =−=℘ trong đĩ ARAH cos2−= nên ta cũng suy ra ( )3 . Từ cơng thức ( )3 , ta suy ra : ( )4 8 1 coscoscos ≤CBA (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều). Cũng như bất đẳng thức ( )2 , bất đẳng thức ( )4 đã được phát hiện và chứng minh chỉ với kiến thức lớp 10 và cĩ một “nguồn gốc hình học” khá đẹp. Cần nhớ rằng, “xưa nay” chưa nĩi đến việc phát hiện, chỉ riêng việc chứng minh các bất đẳng thức đĩ, người ta thường phải dùng các cơng thức lượng giác (chương trình lượng giác lớp 11) và định lý về dấu tam thức bậc hai. Cĩ được ( )1 và ( )3 , ta tiếp tục tiến tới. Ta thử sử dụng “đường thẳng Ơle”. Nếu O, G, H là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm ABC∆ thì O, G, H thẳng hàng và : OHOG 3 1 = . Từ 22 9 1 OHOG = . Từ ( )( )31 ta cĩ : ( ) ( )CBACBA coscoscos81 4 1 sinsinsin 4 9 222 −=++− hay CBACBA coscoscos22sinsinsin 222 +=++ Thay α2sin bằng α2cos1− vào đẳng thức cuối cùng, ta được kết quả quen thuộc : ( )51coscoscos2coscoscos 222 =+++ CBACBA Chưa nĩi đến việc phát hiện ra ( )5 , chỉ riêng việc chứng minh đã làm “nhức ĩc” khơng biết bao nhiêu bạn trẻ mới làm quen với lượng giác. Qua một vài ví dụ trên đây, hẳn các bạn đã thấy vai trị của hình học trong việc phát hiện và chứng minh các hệ thức “thuần túy lượng giác”. Mặt khác, nĩ cũng nêu lên cho chúng ta một câu hỏi : Phải chăng các hệ thức lượng giác trong một tam giác khi nào cũng cĩ một “nguồn gốc hình học” làm bạn đường ? Mời các bạn giải vài bài tập sau đây để củng cố niềm tin của mình. 1. Chứng minh rằng, trong một tam giác ta cĩ       −= 2 sin 2 sin 2 sin8122 CBARd trong đĩ d là khoảng cách giữa đường trịn tâm ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đĩ. Từ đĩ hãy suy ra bất đẳng thức quen thuộc tương ứng. • 2. Cho ABC∆ . Dựng trong mặt phẳng ABC các điểm 1O và 2O sao cho các tam giác ABO1 và ACO2 là những tam giác cân đỉnh 21 ,OO với gĩc ở đáy bằng 030 và sao cho 1O và C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, 2O và B ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AC. a) Chứng minh : ( )ScbaOO 34 6 1 2222 21 −++= b) Suy ra bất đẳng thức tương ứng : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 93 CBACBA sinsinsin32sinsinsin 222 ≥++ 3. Chứng minh rằng nếu ABC∆ cĩ 3 gĩc nhọn, thì : 2 coscoscos sinsinsin < ++ ++ CBA CBA 4. Cho tứ diện OABC cĩ gĩc tam diện đỉnh O ba mặt vuơng, OCOBOA += . Chứng minh rằng : ( ) BACOACOAB ∠=∠+∠ cossin (Hãy dùng phương pháp ghép hình) Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 94 Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác Nguyễn Lái GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên Giả sử ( )CBAf ,, là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các gĩc trong ABC∆ Giả sử các gĩc CBA ,, thỏa mãn hai điều kiện : 1) ( ) ( )       +≥+ 2 2 BAfBfAf hoặc ( ) ( ) ( )1 2 2       +≥ BAfBfAf đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BA = 2) ( )             + ≥      + 2 32 3 pi pi C ffCf hoặc ( ) ( )2 2 3 3 2             + ≥      pi pi C ffCf đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 pi =C Khi cộng hoặc nhân ( )( )21 ta sẽ cĩ bất đẳng thức : ( ) ( ) ( )      ≥++ 3 3 pifCfBfAf hoặc ( ) ( ) ( )      ≥ 3 3 pifCfBfAf ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CBA == . Tương tự ta cũng cĩ bất đẳng thức với chiều ngược lại. ðể minh họa cho phương pháp trên ta xét các bài tốn sau đây : Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta luơn cĩ : 4 32 23 sin1 1 sin1 1 sin1 1 + ≥ + + + + + CBA Lời giải. Ta cĩ : ( ) 2 sin1 2 sinsin22 4 sinsin2 4 sin1 1 sin1 1 BABABABA + + ≥ ++ ≥ ++ ≥ + + + ( )3 2 sin1 2 sin1 1 sin1 1 BABA + + ≥ + + + ⇒ Tương tự ta cĩ : ( )4 2 3sin1 2 3 sin1 1 sin1 1 pipi + + ≥ + + + CC Cộng theo vế ( )3 và ( )4 ta cĩ : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 95 3 sin1 4 2 3sin1 1 2 sin1 12 3 sin1 1 sin1 1 sin1 1 sin1 1 pipipi + ≥                   + + + + + ≥ + + + + + + + CBACBA 4 32 23 sin1 1 sin1 1 sin1 1 + ≥ + + + + + ⇒ CBA ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Thí dụ 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ : 3 3 21 sin 11 sin 11 sin 11       +≥      +      +      + CBA Lời giải. Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 2 222 2 2 sin 11 cos1 21 coscos 21 sinsin 11 sinsin 1 sinsin 21 sinsin 1 sin 1 sin 11 sin 11 sin 11             + +=        +− +≥        +−− +=      +=       ++≥+++=      +      + BABABABABA BABABABABA ( )5 2 sin 11 sin 11 sin 11 2             + +≥      +      +⇒ BABA Tương tự : ( )6 2 3sin 11 3 sin 11 sin 11 2                 + +≥             +      + pipi CC Nhân theo vế của ( )5 và ( )6 ta cĩ : 4 2 2 3 sin 11 2 3sin 11 2 sin 11 3 sin 11 sin 11 sin 11 sin 11             +≥                 + +             + +≥             +      +      +      + pipipi CBACBA Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 96 3 3 21 sin 11 sin 11 sin 11       +≥      +      +      +⇒ CBA ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta cĩ : 64 3 2 sin 2 sin 2 sin 666 ≥++ CBA Lời giải. Trường hợp tam giác ABC tù hoặc vuơng. Giả sử { } 2 ,,max pi≥= CBAA , lúc đĩ 0 2 cos > − BA và 0 2 3cos >             + piC . Ta cĩ : ( )7 4 sin2 2 sin 2 sin 4 sin 2 cos1 8 1 2 cos 2 cos1 8 1 2 coscos1 8 1 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 6666 3 3 3 2266 BABABABA BABABA BABA +≥+⇒+=      + −≥       −+ −=      + −=             + ≥ + Tương tự ta cĩ : ( )8 4 3sin2 2 3sin 2 sin 666 pipi + ≥+ CC Cộng theo vế của ( )7 và ( )8 ta được : ( )9 64 3 6 sin3 2 sin 2 sin 2 sin 8 3sin4 4 3sin 4 sin2 2 3sin 2 sin 2 sin 2 sin 6666 6666666 =≥++⇒ +++ ≥             + + +≥+++ pi pipipi CBA CBACBACBA Trường hợp tam giác ABC nhọn, các bất đẳng thức ( ) ( ) ( )9,8,7 luơn đúng. Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ : ( )( )( ) 3 4 6 4 222sincossincossincos        +≤+++ CCBBAA Lời giải. Ta cĩ : ( )( )( )       −      −      −=+++ 4 cos 4 cos 4 cos22sincossincossincos pipipi CBACCBBAA nên bất đẳng thức đã cho tương đương với : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 97 ( )* 4 6 4 2 4 cos 4 cos 4 cos 3         +≤      −      −      − pipipi CBA - Nếu { } 4 3 ,,max pi≥CBA thì vế trái của ( )* khơng dương nên bất đẳng thức đã cho luơn đúng. - Nếu { } 4 3 ,,max pi <CBA thì : 0 4 cos,0 4 cos,0 4 cos >      −>      −>      − pipipi CBA nên ( )      −+      −+=      −      − BABABA cos 2 cos 2 1 4 cos 4 cos pipipi ( )10 42 cos 4 cos 4 cos 42 cos 2 cos1 2 1 2 2       − +≤      −      −⇒       − +≤            −++≤ pipipi pipi BABA BABA Tương tự : ( )11 42 3cos 43 cos 4 cos 2             − + ≤      −      − pi pi pipipi C C Do đĩ nhân theo vế của ( )10 và ( )11 ta sẽ cĩ :       −≤             − +       − +≤      −      −      −      − 43 cos 42 3cos 42 cos 43 cos 4 cos 4 cos 4 cos 422 pipipi pi pipipipipipi CBACBA 3 3 4 6 4 2 43 cos 4 cos 4 cos 4 cos         +=      −≤      −      −      −⇒ pipipipipi CBA Do đĩ : ( )( )( ) 3 4 6 4 222sincossincossincos        +≤+++ CCBBAA ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Mời các bạn tiếp tục giải các bài tốn sau đây theo phương pháp trên. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta cĩ : ( )NnCBA CBA n nnn ∈≥++ ≤++ 2.3 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1)2 3 1 2 tan 2 tan 2 tan)1 333 Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 98 ( )31 4 2 4 cos 4 cos 4 cos)3 +≤++ piCCBBAA ( ) CBACBA coscoscos31 22 1 4 cos 4 cos 4 cos)4 3+≥      −      −      − pipipi với ABC∆ nhọn. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 5 Bất đẳng thức như thế nào là hay ? Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? The Inequalities Trigonometry 99 Chương 5 : Bất đẳng thức như thế nào là hay ? Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? Bạn đọc đã làm quen với bất đẳng thức từ THCS. Bước đầu các bạn cĩ thể chỉ học các bất đẳng thức kinh điển : AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev, hay bắt đầu đọc SOS, ABC,Vậy đã bao giờ bạn đọc tự hỏi Bất đẳng thức như thế nào là hay? Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? ðĩ thực sự là những vấn đề thú vị đáng để quan tâm và bình luận. Sau đây là một số ý kiến của giáo viên tốn, học sinh chuyên tốn về vấn đề này : Thầy ðặng Bảo Hịa (GV chuyên tốn Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) : Bất kỳ bất đẳng thức nào cũng đều cĩ cái hay và cái đẹp riêng của nĩ. ðặc biệt những bất đẳng thức vận dụng nhiều khía cạnh của cái bất biến trong bất đẳng thức là bất đẳng thức hay!!! Thầy Trần Diệu Minh (GV chuyên tốn Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) : Từ bất đẳng thức ban đầu mà suy ra được nhiều bất đẳng thức khác là bất đẳng thức hay!!! Cơ Tạ Thanh Thủy Tiên(GV chuyên tốn Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) Bất đẳng thức là một trong những đề tài được nhiều người quan tâm nhất. Quan hệ của chúng rất rộng, đi sâu vào là rất khĩ.Việc chứng minh bất đẳng thức lỏng là tương đối dễ, cịn việc làm chặt chúng mới là một cơng việc khĩ khăn và đầy ký thú!!! Thầy Trần Phương (Gð Trung tâm hỗ trợ nghiên cứu và phát triển các sản phẩm trí tuệ, là tác giả nhiều cuốn sách hay về tốn học sơ cấp) : Chứng minh bất đẳng thức là cơng việc địi hỏi trí thơng minh sáng tạo và sự khéo léo. Phạm Kim Hùng (SV khĩa 9 Cử nhân tài năng – Trường ðHKHTN – ðHQGHN, là tác giả cuốn sách “Secrets in Inequalities”(Sáng tạo bất đẳng thức) nổi tiếng) : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 5 Bất đẳng thức như thế nào là hay ? Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? The Inequalities Trigonometry 100 ðiều khĩ khăn nhất khi chúng ta tiếp cận với bất đẳng thức là sự khẳng định nĩ cĩ đúng hay khơng. Thực tế thì khi giải một bài tốn mang tính “giả thuyết” là một việc khá mạo hiểm và mất nhiều thời gian, thậm chí sau những cố gắng như vậy thì kết quả thu được chỉ là một phản ví dụ chứng minh bất đẳng thức sai. Nhưng trong tốn học thì những điều như thế này hồn tồn rất bình thường và các bạn khơng cần phải e ngại khi tự phủ định một bài tốn mình đặt ra như vậy cả, vì đĩ sẽ là bước đầu tiên để bạn sáng tạo ra được một bài tốn hay và cĩ ý nghĩa. Lê Hồng Anh (HS chuyên tốn khĩa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Bất đẳng thức là một mảng tốn rất khĩ, nhưng lại là sân chơi để cho những học sinh giỏi tốn thể hiện năng lực của mình. Nguyễn Huỳnh Vĩnh Nghi (HS chuyên tốn khĩa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Bất đẳng thức hay là bất đẳng thức cĩ những phát biểu đẹp và cách chứng minh thật đặc sắc, cĩ thể khơi gợi trong những học sinh giỏi tốn phát triển và tổng quát bài tốn. Lê Ngọc Anh (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Sáng tạo bất đẳng thức là tập hợp các nghiên cứu rời rạc, các bất đẳng thức đơn lẻ rồi “biến hố” ra một bất đẳng thức mới. Khi đĩ ta sẽ càng ngày càng làm chặt nĩ hơn. Cuối cùng ta sẽ cĩ một bất đẳng thức nhìn vào là hết biết đường làm. ☺ Trần ðăng Khuê (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Lấy ý tưởng từ một bất đẳng thức khác (khĩ!) và phát biểu dưới một cách khác sau khi đã áp dụng một số bổ đề.Tất nhiên khi đĩ trình độ phải cao hơn, cách làm phải khĩ hơn, thế mới là sáng tạo !!! Lê Phước Duy (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Bất đẳng thức cĩ tính tổng quát, khĩ, đẹp là bất đẳng thức hay!!! Huỳnh Hữu Vinh (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ) : Những bất đẳng thức ở dạng tổng quát mà trường hợp đặc biệt của nĩ là những bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc là bất đẳng thức hay!!! Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 101 Chương 6 : Hướng dẫn giải bài tập 1.4.1. Chứng minh ( ) 9 cotcotcot cotcotcot 3 333 CBACBA ++≥++ và 3cotcotcot ≥++ CBA 1.4.2. Xét hàm ( ) 4 sin xxf = với ( )pi;0∈x Chứng minh ( ) 0'' <xf và 2 32 12 sin −=pi Cuối cùng sử dụng Jensen. 1.4.3. Ta đã cĩ : 2 33 sinsinsin ≤++ CBA và theo AM – GM thì : ( ) 9 sin 1 sin 1 sin 1 sinsinsin ≥      ++++ CBA CBA 1.4.4 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( ) 8 1 2 sin 2 sin 2 sin 4 7 2 sin 2 sin 2 sin2coscoscos3 ≤⇔ ≥+++− CBA CBACBA 1.4.5. Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 102 Chứng minh CBA CBACBA sinsinsin2 sinsinsin cotcotcot 222 ++ =+++ và 4 9 sinsinsin 222 ≤++ CBA 1.4.6. ðể ý 0 2 cos 2 cos 2 cos > CBA nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )( )( ) CBAACCBBA CBAACCBBACBA sinsinsin8sinsinsinsinsinsin sinsinsin8 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos8 ≥+++⇔ ≥−−− Tiếp theo dùng AM – GM để chứng minh tiếp. 1.4.7. ðặt 1 2 tan; 2 tan; 2 tan =++⇒=== zxyzxyCzByAx Theo BCS thì : ( ) ( )22222223 zxyzxyxzzyyx ++≥++ ( )1 3 1222222 ≥++⇒ xzzyyx Theo AM – GM thì : ( )2133 33 1 3 3 222 ≤⇔≤⇒≥++ xyzxyzzyxzxyzxy Từ ( )1 suy ra : 3 41 222222 ≥+++ xzzyyx và theo ( )2 cĩ xyz34 3 4 ≥ Dẫn đến : ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBA z z y y x x z z y y x x xyzzyxzyx xyzxzzyyx xyzxzzyyx sinsinsin3coscoscos1 1 2 1 2 1 23 1 1 1 1 1 11 38111111 3822 341 2222 2 2 2 2 2 222222 222222 222222 ≥+⇔ + ⋅ + ⋅ + ≥ + − ⋅ + − ⋅ + − +⇔ ≥−−−++++⇔ ≥+++⇔ ≥+++ 1.4.8. Theo AM – GM chứng minh được :       + − + − + − ≥      − + − + − pcpbpapcpbpap 311131114 Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 103 và ⇒≥      + − + − + − Spcpbpap 3 3431113 đpcm. 1.4.9. & 1.4.10. Ta cĩ : ( ) ( ) ( )22222 232 cbaama ++=+ 32 1 32 222 222 cba am cba am a a ++ ≥⇒ ++≤⇒ ( ) ( )     ++ ≥ ++ ≥ ⇒ 232 132 222 2 222 2 cba m a m cba a m a aa a Tương tự ( )1 : 222 2 222 2 32 32 cba c m c cba b m b c b ++ ≥ ++ ≥ 32≥++⇒ cba m c m b m a Tương tự ( )2 : 222 2 222 2 32 32 cba m c m cba m b m cc bb ++ ≥ ++ ≥ 2 33≥++⇒ c m b m a m cba 1.4.11. Chứng minh : ( )( )( )2 222 22 cb bcacbaplm aa + −+− = và ( ) ( ) ( ) 4 22 224 222 cbacbbcacb +−+≥−+ ( )applm aa −≥⇒ Tương tự cho bblm và cclm rồi cộng các bất đẳng thức lại ⇒đpcm. 1.4.12. Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 104 Ta cĩ : 2 1 1 2 2 2 cb a ma cb m a a + >⇒ + < ⇒≥ + + + + +       ++ >++⇒ abcbaaccb cba mcmbma cba 3 222 111 111 222 222 đpcm. 1.4.13. Theo AM – GM thì : ( )( ) ⇒≤−− 4 2cbpap đpcm. 1.4.14. Chứng minh : rhhh aaa 1111 =++ rồi dùng AM – GM. 1.4.15. Xét hàm ( ) ( )pi;0sin ∈∀= xxxf cĩ ( ) 0'' <xf Áp dụng Jensen thì : 4 sin3sin 4 3 sin BABA +≥+ Áp dụng AM – GM thì : 4 3sinsin 4 sin3sin BABA ≥+ Từ đĩ suy ra đpcm. 2.6.1. Chú ý ( ) 03 2 ≥−+ OCOBOA với O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC∆ . 2.6.2. Chú ý ( ) 032 2 ≥++ OCOBOA 2.6.3. Chú ý ( )( ) 0215 2 ≥−++ OCOBOA 2.6.4. Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 105 Giả sử 3 2pi≥A Chứng minh :       −+≥++ 44 tan2 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan AACBA pi Xét ( )       −+= 44 tan2 2 tan AAAf pi Dễ thấy : ( ) ( )xfxf ⇒> 0'' đồng biến trên      pi pi ; 3 2 mà ( ) 34 3 232 12 tan2 −=     ≥⇒−= pipi fAf 2.6.5. Dễ thấy : ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )2222222 2 2 111 16 4 4 1 acbcbabacbacacbcba bacacbcba S p r −− + −− + −− = −+−+−+ −++−++−+ == ⇒đpcm. 2.6.6. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0222 ≥−−+−−+−− bcaccabcbbcabaa 2.6.7. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )( )( ) 0>−+−+−+ bacacbcba 2.6.8. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 3cotcotcot ≥++ CBA 2.6.9 Chứng minh ( ) xxf tan= tăng trên       2 ;0 pi     ≥≥ ≥≥ ⇒ 2 tan 2 tan 2 tan CBA cba Tiếp theo sử dụng Chebyshev ⇒đpcm. Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 106 2.6.10. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 33 1 2 tan 2 tan 2 tan ≤CBA 2.6.11. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )( ) abccbacba 9222 ≥++++ 2.6.12. Ta cĩ : ( )( ) ( )AARACBARma 22222 coscos21coscoscos21 ++≤+−+= ( )ARma cos1+≤⇒ ( ) rRCBARRmmm cba +=+++≤++⇒ 4coscoscos3 2.6.13. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 8 1 2 sin 2 sin 2 sin ≤CBA 2.6.14. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( ) 02cos22cos2cos2 222 ≥++++ zyAyzBzCyxx với cpzbpyapx −=−=−= ,, Xét ⇒∆' đpcm. 2.6.15. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : ( )* 2 tan 2 tan 2 tantantantan 2 cot 2 cot 2 cottantantan BAACCBCBA CBACBA + + + + +≥++⇔ ≥ Xét ( )       ∈∀= 2 ;0tan pixxxf Theo Jensen thì : ⇒+≤+ 2 tantan 2 tan BABA đpcm. Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 107 Chứng minh các bất đẳng thức sau rồi xét khi dấu bằng xảy ra : 3.3.1. 4 3 coscoscoscoscoscos ≤++ ACCBBA 3.3.2. CBACBA sinsinsin2sin2sin2sin ++≤++ 3.3.3. CBA CBA tantantan 2 1 2 3 2sin 1 2sin 1 2sin 1 +≥++ 3.3.4. 2 tan 2 tan 2 tancotcotcot 2222222 CBA cba CBA cba ≤      ++ ++ 3.3.5. 2 1coscoscos ≤ ++ ++ cba CcBbAa 3.3.6. 2 cos 2 cos 2 cos CBA abcmmm cba ≥ 3.3.7. 2 cos 2 cos 2 cos CBA abclll cba ≤ 3.3.8. SCabBcaAbc 12 2 cot 2 cot 2 cot ≥++ 3.3.9. 9 3265 sin 11 sin 11 sin 11 +≥      +      +      + CBA 3.3.10. ( ) 36 1 sinsinsin sinsinsin 2 ≤++ CBA CBA