Giải tích trong không gian Banach có thứ tự

tại trường và đã tạo điều kiện cho em hồn thành luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Thủy MỞ ĐẦU Quan hệ thứ tự và các nguyên lý cơ bản về tập cĩ thứ tự được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của tốn học như trong lý thuyết tập hợp, trong logic học, trong Đại số, trong Giải tích, … Chẳng hạn, trong lĩnh vực Giải tích, bổ đề Zorn và các dạng tương đương của nĩ được sử dụng để chứng minh những kết quả phức tạp như định lí Tychonoff, định lí Hahn- Banach, một số định lí về điểm bất động,…Trong các ứng dụng nêu trên các thứ tự được xét trong một tập hợp khơng cĩ cấu trúc vectơ và cấu trúc tơpơ. Việc nghiên cứu thứ tự trong các khơng gian cĩ cấu trúc vectơ và cấu trúc tơpơ đưa đến việc xây dựng lý thuyết về các khơng gian Banach cĩ thứ tự và các ánh xạ tác động trong chúng. Lý thuyết này được khởi đầu từ những năm 1940 trong các cơng trình của M.Krein, A.Rutman, M.Krasnoselskii,… và tiếp tục được phát triển cho tới gần đây. Nĩ tìm được những ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực Giải tích phi tuyến, Phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, Tốn kinh tế,… Trong luận văn này chúng tơi sẽ giới thiệu những khái niệm và kết quả ban đầu về khơng gian Banach cĩ thứ tự, về một số lớp ánh xạ đặc biệt tác động trong các khơng gian Banach cĩ thứ tự và tính chất của chúng, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ trong khơng gian Banach cĩ thứ tự. Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả về mối liên hệ giữa thứ tự và sự hội tụ trong tập số thực  cũng như một số tính chất của hàm tăng, hàm lồi trên  cũng đúng cho khơng gian Banach cĩ thứ tự và các ánh xạ đơn điệu tăng, ánh xạ lồi. Vì khả năng và thời gian hạn chế nên bản luận văn chắc chắn khơng thể thiếu những sai sĩt, rất mong nhận được sự gĩp ý của quí thầy cơ và các bạn học viên. Chương 1: KHƠNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NĨN Khi ta muốn đưa thứ tự vào một tập hợp đã cĩ cấu trúc vectơ và cấu trúc tơpơ thì thứ tự này cần phải tương thích với cấu trúc đã cĩ trong tập hợp đĩ. Nhà tốn học Nga M.Krien đã dùng khái niệm mặt nĩn để định nghĩa thứ tự trong các khơng gian định chuẩn. Các định nghĩa này tỏ ra rất thích hợp để xây dựng Giải tích trong các khơng gian Banach cĩ thứ tự. 1.1 Nĩn và thứ tự sinh bởi nĩn. Định nghĩa 1.1.1: Cho X là khơng gian Banach trên trường số thực  và K là tập con của X. Khi đĩ K được gọi là nĩn nếu nĩ thoả mãn các điều kiện sau: i) K đĩng, khác rỗng, và khác { }θ , ii) Nếu , ∈a b , , 0, , K thì K,≥ ∈ + ∈a b x y ax by iii) Nếu K và K∈ − ∈x x thì θ=x . Ví dụ: Cho { }1 2X , K ( , , , ) : 0, 1.= = ≥ ∈ n n ix x x x i n thì K là nĩn trong  n . Định nghĩa 1.1.2: Cho X là khơng gian Banach với nĩn K. Thứ tự sinh bởi K được định nghĩa như sau: , K, K.∈ ≤ ⇔ − ∈x y x y y x Nếu nĩn K cĩ intK≠∅ thì ta định nghĩa x y nếu int K− ∈y x . Ở ví dụ trên, thứ tự trong  n sinh bởi nĩn K được định nghĩa như sau: 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ), 0, 1. = = ≤ ⇔ − ≥ ∈  n n i i x x x x y y y y x y y x i n Mệnh đề 1.1.3: Giả sử " "≤ là thứ tự trong X sinh bởi nĩn K. Khi đĩ : i) Nếu ≤x y thì , 0 và , Xλ λ λ≤ ∀ ≥ + ≤ + ∀ ∈x y x z y z z , ii) Nếu * n n ( ) và lim , lim thì ,n n n nx y n x x y y x y→∞ →∞≤ ∈ = = ≤ iii) Nếu { }nx là dãy tăng và hội tụ về x thì *, .≤ ∈nx x n Chứng minh: i) Ta cĩ : ( ) ( ) K nên ,+ − + = − ∈ + ≤ +y z x z y x x z y z ( ) K nên .λ λ λ λ λ− = − ∈ ≤y x y x x y ii) Do ( )*K ( ), lim , K →∞ − ∈ ∈ − = −n n n nny x n y x y x đĩng nên K hay .− ∈ ≤y x x y iii) Giả sử { }nx là dãy tăng. Khi đĩ *( , )+≤ ∈n n mx x m n . Cho →∞m ta được ( )* .nx x n≤ ∈ 1.2 Nĩn chuẩn. Định nghĩa 1.2.1: Nĩn K gọi là nĩn chuẩn nếu tồn tại số N>0 sao cho với mọi , K, thì ta cĩ x N∈ ≤ ≤x y x y y . Ví dụ 1: i) Nĩn [ ]{ }0,1K , 0= ∈ ≥f C f là nĩn chuẩn trong [ ]0,1C . ii) Nĩn các hàm khơng âm, cĩ đạo hàm liên tục khơng là nĩn chuẩn trong [ ]0,1 1C . Chứng minh: i) Lấy , K∈f g thoả điều kiện ≤f g . Ta cĩ với [ ]0,1∈t thì 0 ( ) ( )≤ ≤f t g t . Suy ra [ ] [ ]0,1 0,1 sup ( ) sup ( ) hay . ∈ ∈ ≤ ≤ t t f t g t f g Vậy K là nĩn chuẩn với hằng số N=1. ii) Xét dãy ( ) = nnf t t và hàm ( ) 1=f t . Ta cĩ *, ,≤ ∈nf f n ' 0 1 0 1 max ( ) max ( ) 1 , 1 ≤ ≤ ≤ ≤ = + = + =n n nt t f f t f t n f . Do đĩ khơng tồn tại hằng số N sao cho bất đẳng thức N≤nf f đúng với mọi *∈n . Mệnh đề 1.2.2 : Cho K là nĩn chuẩn trong X. Khi đĩ a) Nếu , X,∈ ≤u v u v thì tập { }, X := ∈ ≤ ≤u v x u x v là tập đĩng và bị chặn. b) Nếu ( )*≤ ≤ ∈n n nx y z n và lim lim→∞ →∞= =n nn nx z x thì lim .→∞ =nn y x c) Nếu { }nx là dãy đơn điệu tăng cĩ dãy con { }knx hội tụ về x thì { }nx hội tụ về x. Chứng minh: Giả sử K là nĩn chuẩn trong X với hằng số N. a) Xét dãy { }nx tùy ý trong tập ,u v và lim .→∞ =nn x x Do *( )≤ ≤ ∈nu x v n nên theo mệnh đề 1.1.3 ta cĩ ≤ ≤u x v hay , .∈x u v Vậy ,u v là tập đĩng. Với ,∈x u v thì ≤ ≤u x v , do đĩ x u v uθ ≤ − ≤ − . Vì K là nĩn chuẩn nên N .− ≤ −x u v u Vậy N , ,≤ − + ∀ ∈x v u u x u v hay ,u v là tập bị chặn. b) Ta cĩ *( ).n n n ny x z x nθ ≤ − ≤ − ∈ Do K là nĩn chuẩn nên N .− ≤ −n n n ny x z x Vì lim( )n nn z x θ→∞ − = nên ta suy ra lim( ) .n nn y x θ→∞ − = Do đĩ [ ]lim lim ( ) . →∞ →∞ = − + =n n n nn ny y x x x c) Cố định *∈n , ta cĩ ≤ kn n x x khi k đủ lớn. Cho k →∞ ta được .≤nx x Cho 0ε > , ta chọn 00 saocho N ε − < kn k x x . Khi đĩ với mọi 0k n n≥ thì 0 0 nên . k kn n n n x x x x x x xθ≤ ≤ ≤ − ≤ − Suy ra 0 N . kn n x x x x ε− ≤ − < Vậy lim .nn x x→∞ = Mệnh đề 1.2.3: Trong khơng gian Banach X với nĩn chuẩn K, tồn tại chuẩn * . tương đương với chuẩn ban đầu . sao cho * * , K,x y x y x yθ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ . Chứng minh: Đặt ( ) ( ),1 K ,1 K .A B Bθ θ= + −       • Ta chứng minh ( ,1) ( , )B A B rθ θ⊂ ⊂ với 0r > đủ lớn. Vì K, Kθ θ∈ ∈− nên ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ),1 ,1 K và ,1 ,1 K.B B B Bθ θ θ θ⊂ + ⊂ − Do đĩ ( ),1B Aθ ⊂ . Giả sử ( , )A B rθ⊂ với 0r > đủ lớn là khơng đúng. Khi đĩ ta tìm được dãy { }nx trong A sao cho *,≥ ∀ ∈nx n n . Do định nghĩa tập A ta tìm được , ( ,1), , Kn n n ny z B u vθ∈ ∈ sao cho .n n n n nx y u z v= + = − Ta cĩ nên 2.n n n n n nu v z y u v+ = − + ≤ Do K là nĩn chuẩn nên N 2N,n n nu u v≤ + ≤ (với N là hằng số trong định nghĩa nĩn chuẩn). Do đĩ *1 2N,≤ = + ≤ + ≤ + ∀ ∈n n n n nn x y u y u n . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy tồn tại ( )0 sao cho , .r A B rθ> ⊂ • Xét phiếm hàm Minkovski của tập A : * inf 0 : ,λ λ  = > ∈    xx A ta chứng minh * . . . Thật vậy, lấy Xx∈ tùy ý, x θ≠ . Ta cĩ ( ),1 2 x B x θ∈ nên 2 ∈ x A x và do đĩ * 2 .x x≤ Bất đẳng thức này hiển nhiên cũng đúng cho x θ= . Cho 0ε > , ta tìm được 0λ > sao cho * A và .x xλ ε λ ∈ < + Ta cĩ ( ) ( )*B , hay x . x r r x rθ λ ε λ ∈ < < + Do * 0 tùy ý, ta cĩ .x r xε > ≤ Vậy * . . . • Giả sử x yθ ≤ ≤ . Ta cĩ 0 : 0 :λ λ λ λ    > ∈ ⊂ > ∈        y xA A . (1) Thật vậy lấy 0 0 y0 tùy ý sao cho λ λ > ∈ A , Ta cĩ ( ) 0 0 ,1 K.x x Bθ θ λ λ = + ∈ + Mặt khác, 0 y λ ∈ A nên cĩ ( ) 0 y,1 , K sao cho .u B v u vθ λ ∈ ∈ = − Do đĩ 0 0 0 0 0 0λ λ λ λ λ λ     = − − = − − −        x y y x y xu v ( ) 0 ,1 Ky xu v B θ λ  − = − + ∈ −    . Vậy 0 x λ ∈ A . Từ (1) ta cĩ * * .x y≤ Định nghĩa 1.2.4: Cho X là khơng gian Banach, K X⊂ là nĩn. Khi đĩ { }* * * *K X : ( ) 0, K= ∈ ≥ ∀ ∈x x x x gọi là nĩn liên hợp của K. Mệnh đề 1.2.5: Cho X là khơng gian Banach, K X⊂ là nĩn và *K là nĩn liên hợp. Khi đĩ *K ( ) 0, K∈ ⇔ ≥ ∀ ∈x f x f . Chứng minh: Dễ thấy điều kiện cần được thoả. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử ( )*0 0( ) 0 K và K.f x f x≥ ∀ ∈ ∉ Áp dụng định lí tách tập lồi cho { }0x , K ta tìm được *Xf ∈ sao cho 0 ( ) ( ), K.f x f x x< ∀ ∈ (2) Ta sẽ chứng minh *Kf ∈ và 0 ( ) 0<f x và do đĩ sẽ gặp mâu thuẫn. Thật vậy, xét Kx∈ . Ta cĩ với 00 thì ( ) ( ).t f x f tx> < Suy ra 0 1 ( ) ( ).f x f x t < Cho t →∞ ta được ( ) 0f x ≥ . Do Kx∈ tùy ý nên *K .f ∈ Thay x θ= ở (2) ta được 0 ( ) ( ) 0.f x f θ< = Vậy 0 K.x ∈ Mệnh đề 1.2.6: Cho K là nĩn chuẩn và { }nx là dãy tăng, hội tụ yếu về x. Khi đĩ { }nx hội tụ về x. Chứng minh: • Trước tiên ta chứng minh *( )≤ ∈nx x n . Theo mệnh đề 1.2.5 ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) * *, K ( ).≤ ∀ ∈ ∈nf x f x f n Lấy *Kf ∈ tùy ý. Do { }nx là dãy tăng nên , .n mx x m n≤ ∀ ≥ (3) Do đĩ ( ) ( ) .≤ ∀ ≥n mf x f x m n Vì { }nx là dãy hội tụ yếu về x nên ( ) ( )lim .nn f x f x→∞ = Ở (3) cố định n, cho m →∞ ta được ( ) ( )nf x f x≤ . Vậy *( )≤ ∈nx x n . • Cho 0ε > , do dãy { }nx hội tụ yếu về x nên theo định lí Mazur { }( )Co : , Nn y x y x ε∃ ∈ − < với N là hằng số trong định nghĩa nĩn chuẩn. Vì { }( ) 1 Co nên i k n i n i y x y xλ = ∈ =∑ , với 1 2 1 1, 0, 1. , k i i k i i k n n nλ λ = = > ∀ ∈ < < <∑  . Suy ra 1 . k k k i n n i y x xλ = ≤ =∑ Với kn ta cĩ y xk nn n x x≥ ≤ ≤ ≤ ⇒ nxx x yθ ≤ − ≤ − Nnx x x y ε⇒ − ≤ − < . Như vậy ta đã chứng minh 0 00, 0, nn n n x xε ε∀ > ∃ > ∀ ≥ ⇒ − < , hay dãy { }nx hội tụ về x. 1.3 Nĩn sinh. Định nghĩa 1.3.1: Nĩn K gọi là nĩn sinh nếu X, , K :∀ ∈ ∃ ∈ = −x u v x u v . Nĩi cách khác X K K= − . Ví dụ 2: i) Trong khơng gian [ ]0,1C , nĩn các hàm khơng âm là nĩn sinh. Chứng minh: Đặt [ ]{ }0,1K : 0= ∈ ≥f C f Lấy [ ]0,1∈f C tuỳ ý. Đặt { }( ) max ( ),0 ,=g t f t { }( ) min ( ),0= −h t f t thì ta cĩ , K∈g h và = −f g h . Vậy K là nĩn sinh. ii) Trong khơng gian  , nĩn các số thực khơng âm khơng là nĩn sinh trong  . Mệnh đề 1.3.2: Cho K là nĩn sinh. Khi đĩ tồn tại số M 0> sao cho X, , K : , , M .x u v x u v u v x∀ ∈ ∃ ∈ = − ≤ Chứng minh: Đặt ( )1K K B ,1θ= ∩ . Ta cĩ ( )1 1 1 1 1 1 1 X K K K K K K n n n n n n ∞ ∞ ∞ = = = = − = − = −   . Do X là khơng gian Banach nên theo định lí Baire tồn tại ( )*0 0 0 1 1, K K , 0∈ ∈ − >n x n r sao cho ( ) ( )0 0 1 1, K K .B x r n⊂ − Ta cĩ ( ) ( )0 0 1 1 0 0 1 1K K nên K K .x n x n∈ − − ∈ − Từ đây ta được ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 1 1 0 1 1, K K K K 2 K K .B r n n nθ ⊂ − + − ⊂ − Lấy { }X \x θ∈ tùy ý thì ( ), 2 rxy B r x θ= ∈ và do đĩ ( )0 1 12 K Ky n∈ − . Từ đây ta suy ra ( )0 1 10, 2 K K : .ε ε∀ > ∃ ∈ − − <w n y w Với 2 rε = ta tìm được 1 0 1 0 12 2w n u n v= − , với 1 1 1, Ku v ∈ sao cho 1 .2 ry w− < Khi đĩ ( ) ( ) ( )1 0 1 12 , 2y w B r n K Kθ− ∈ ⊂ − . Suy ra với 2 rε = ta tìm được ' ' '2 0 2 0 22 2w n u n v= − với ' ' 2 2 1, Ku v ∈ sao cho ( ) '1 22 2 ry w w− − < . Đặt '2 2 2 0 2 0 2 1 , ta cĩ 2 2 2 w w w n u n v= = − với 2 2 2 2 1 2 2 1, K, , , 2 2 ∈ ≤ − − < ru v u v y w w . Tiếp tục xây dựng quá trình ta xây dựng được dãy các phần tử { } { } 1 1K, K, , 2 − ⊂ ⊂ ≤n n n n nu v u v (4) sao cho 1 2 n k n k ry w = − <∑ (5) ( )02n n nw n u v= − . Từ (4) suy ra chuỗi 1 1 và n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑ hội tụ trong X. Đặt 1 1 ' , ' ∞ ∞ = = = =∑ ∑n n n n u u v v . Ta cĩ ', ' K và ' , ' 2u v u v∈ ≤ . Từ (5) suy ra ( )0 1 2 ' 'k k y w n u v ∞ = = = −∑ ( )02 ' '2 r x n u v x ⇒ = − ( )04 ' 'n xx u v r ⇒ = − . Đặt 0 0 4 4 ', '= = n x n x u u v v r r , ta cĩ 0 8 , , K, ,= − ∈ ≤ n x x u v u v u v r . Vậy số 08M n r = là cần tìm. Mệnh đề 1.3.3: Nếu nĩn K cĩ intK≠∅ thì K là nĩn sinh. Chứng minh: Giả sử int Ke∈ . Khi đĩ ( )0 : , K∃ > ⊂r B e r . Do đĩ X, thì Krxx x e x θ∀ ∈ ≠ + ∈ . Đặt 1 1, 2 2     = + = −        x x u e x v e x r r . Ta cĩ , , K.x u v u v= − ∈ Vậy K là nĩn sinh. 1.4 Nĩn chính qui. Định nghĩa 1.4.1: Nĩn K gọi là nĩn chính qui nếu mọi dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên trong X đều hội tụ. Ví dụ 3: i) Nĩn các hàm khơng âm hầu khắp nơi trong [ ]0,1L là nĩn chính qui. ii) Nĩn các hàm khơng âm trong [ ]0,1C khơng là nĩn chính qui. Chứng minh: i) Giả sử { }nf là dãy tăng, bị chặn trên bởi g trong [ ]0,1L . Ta cĩ thể coi ( ), ( )nf t g t hữu hạn tại mọi [ ]0,1∈t . Bằng cách xét dãy 1−nf f nếu cần, ta cĩ thể coi 0≥nf . Lấy [ ]0,1∈t tuỳ ý, ta cĩ 1 20 ( ) ( ) ( ) ( )≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ nf t f t f t g t . Do đĩ { }( )nf t là dãy số tăng, bị chặn trên nên hội tụ. Lập hàm [ ]: 0,1 → f định bởi ( ) lim ( ) →∞ = n n f t f t . Vì { }nf là dãy hàm đo được, khơng âm hầu khắp nơi, bị chặn trên bởi g và ( ) lim ( ) →∞ = n n f t f t nên f cũng là hàm đo được, khơng âm hầu khắp nơi, bị chặn trên bởi [ ]0,1∈g L nên [ ]0,1∈f L . Bây giờ ta chứng minh 1→nf f trong [ ]0,1L . Ta cĩ 1( ) ( ) 0− →nf t f t trên [ ]0,1 và 1( ) ( ) 2 ( )− ≤nf t f t g t . Do đĩ, theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta cĩ [ ]0,1 lim 0µ →∞ − =∫ nn f f d . Từ đĩ suy ra lim 0 →∞ − =nn f f . Vậy nĩn các hàm khơng âm hầu khắp nơi trong [ ]0,1L là nĩn chính qui. ii) Xét dãy { }nf trong [ ]0,1C , với ( ) 1= − n nf t t . Ta cĩ { }nf là dãy hàm tăng, bị chặn trên bởi 1 trong [ ]0,1C và [ ]0lim ( ) ( ), 0,1 →∞ = ∈n n f t f t t , với hàm [ ] [ ]0 : 0,1 0,1→f định bởi 0 0 nếu 1 ( ) 1 nếu 0 1 t f t t  = =  ≤ ≤ . Ta cĩ [ ]0 0,1∉f C nên dãy { }nf khơng hội tụ trong [ ]0,1C . Vậy nĩn các hàm khơng âm trong [ ]0,1C khơng là nĩn chính qui Mệnh đề 1.4.2: Nĩn chính qui là nĩn chuẩn. Chứng minh: Giả sử K là nĩn chính qui nhưng khơng là nĩn chuẩn. Khi đĩ 0, , K : và .∀ > ∃ ∈ ≤ >N x y x y x N y Suy ra với *∈n tùy ý, tồn tại 2, K sao cho ,∈ ≤ >n n n n n nx y x y x n y . Đặt ' ',= =n nn n n n x yx y x x . Ta cĩ ( )' ' ' *2 1 và ≤ < ∈n n nx y y nn . Chuỗi ' 1 n n y ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối nên hội tụ. Gọi ' ' 1 1 , n n n k n k u y S x ∞ = = = =∑ ∑ . Ta cĩ ' 1 n n k k S y u = ≤ ≤∑ , '1 1 K.n n nS S x+ +− = ∈ Suy ra { }nS tăng và bị chặn trên. Do K là nĩn chính qui nên { }nS sẽ hội tụ hay chuỗi ' 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ. Suy ra 'lim 0nn x→∞ = , mâu thuẫn với ( ) ' *1= ∈nx n . Vậy K là nĩn chuẩn. Mệnh đề 1.4.3: Cho X là khơng gian Banach phản xạ và K là nĩn chuẩn. Khi đĩ K là nĩn chính qui. Chứng minh: Xét dãy { }nx tăng, bị chặn trên. Ta chứng minh { }nx hội tụ. Thật vậy, do K là nĩn chuẩn và dãy { }nx tăng, bị chặn trên nên { }nx là dãy bị chặn (theo chuẩn). X là khơng gian Banach phản xạ nên tồn tại dãy con { }knx hội tụ yếu về x nào đĩ. Do dãy { }nx tăng nên dãy{ }knx cũng tăng. Mà K là nĩn chuẩn nên theo mệnh đề 1.2.6 thì { }knx hội tụ về x. Ta cĩ { }nx là dãy tăng cĩ dãy con { }knx hội tụ về x nên theo mệnh đề 1.2.2 thì { }nx hội tụ về x. Vậy K là nĩn chính qui. 1.5 Nĩn minihedral. Định nghĩa 1.5.1: Nĩn K được gọi là nĩn minihedral nếu với mọi cặp , Xx y∈ tồn tại cận trên đúng z x y= ∨ nghĩa là ,z x y≥ và z v≤ với bất kì ,v x y≥ . Cận dưới đúng u của hai phần tử , Xx y∈ được định nghĩa tương tự và kí hiệu z x y= ∧ . Mệnh đề 1.5.2: Nếu K là nĩn minihedral thì K là nĩn sinh. Chứng minh: Với mỗi Xx∈ , đặt , ( )x x x xθ θ+ −= ∨ = − ∨ . Ta cĩ , Kx x+ − ∈ và x x x+ −= − . Vậy K là nĩn sinh. Bổ đề 1.5.3: Nếu K là nĩn chuẩn và minihedral thì với mọi hãy hội tụ { }nx của khơng gian X và Xy∈ tùy ý, ta cĩ: ( ) ( )lim limn nn nx y x y→+∞ →+∞∨ = ∨ . Chứng minh: Đặt , ( )x x x xθ θ+ −= ∨ = − ∨ . Ta cĩ , Kx x+ − ∈ và x x x+ −= − và đối với biểu diễn tùy ý ' ''x x x= − với ', '' Kx x ∈ ta cĩ ' , ''x x x x+ −≥ ≥ . a) Chứng minh: nếu lim nn y θ→+∞ = thì lim nn y θ + →+∞ = . Thật vậy, mỗi nĩn minihedral là một nĩn sinh nên tồn tại số 0M > sao cho với mỗi Xny ∈ cĩ ( ) Knu y ∈ thoả mãn: ( )n ny u y≤ và ( ) .n nu y M y≤ Do đĩ ( )n ny u y + ≤ . Vì nĩn K là nĩn chuẩn nên tồn tại số 0m > sao cho: ( )n ny m u y + ≤ . ( ) .n n ny m u y m M y +⇒ ≤ ≤ Vậy lim nn y θ + →+∞ = . b) Chứng minh: nếu lim nn x x→+∞ = thì lim nn x x + + →+∞ = . Ta cĩ: ( ) ( )n n nx x x x x x x + ++ + = − + ≤ − +  và ( ) ( )n n n nx x x x x x x + ++ + = − + ≤ − +  . Do đĩ ( )n nx x x x ++ +− ≤ − và ( )n nx x x x ++ +− ≤ − nghĩa là ( ) ( )n nx x x x + ++ +− ≤ − và ( ) ( )n nx x x x + ++ + − − ≤ −  . Theo chứng minh a), ( )lim nn x x θ + →+∞ − = và ( )lim nn x x θ + →+∞ − = . Vì nĩn K là nĩn chuẩn nên ( )lim nn x x θ ++ + →+∞ − = và ( )lim nn x x θ + + + →+∞  − − =  Mà ( ) ( )n n nx x x x x x +++ + + + + + − = − − − −  . Do đĩ ( )lim nn x x θ + + →+∞ − = . Vậy ( ) ( )lim limn nn nx y x y yθ→+∞ →+∞  ∨ = − ∨ +  ( )x y y x yθ= − ∨ + = ∨ . Bổ đề được chứng minh. Chương 2: ÁNH XẠ GIỮA CÁC KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Trên tập số thực  với thứ tự thơng thường ta đã biết các tính chất sau đây của hàm đơn điệu tăng 1. Hàm cĩ đạo hàm dương thì đơn điệu tăng. 2. Tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu tăng là khơng quá đếm được. Trong chương này chúng ta thấy các kết quả tương tự cũng đúng cho ánh xạ đơn điệu tăng trong các khơng gian Banach cĩ thứ tự. Ngồi ra chúng ta cịn tìm thấy những mối liên hệ của đạo hàm theo nĩn với tính đơn điệu, tính lồi và nghiên cứu thêm tính phổ của ánh xạ tuyến tính dương. 2.1 Tính liên tục của ánh xạ tuyến tính, ánh xạ tăng Định nghĩa 2.1.1: Cho X,Y là các khơng gian Banach, X YK ,K tương ứng là các nĩn trong X,Y và M X⊂ . i) Ánh xạ : M YA → được gọi là ánh xạ tăng nếu , M, ( ) ( )x y x y A x A y∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ . ii) Ánh xạ : M YA → được gọi là ánh xạ dương nếu M, ( ) .x x A xθ θ∀ ∈ ≥ ⇒ ≥ Nếu intKY ≠∅ và { }( )K \ int KX YA θ ⊂ thì A được gọi là dương mạnh. Nhận xét: Đối với ánh xạ tuyến tính thì tính dương và tính đơn điệu tăng là tương đương. Định lí 2.1.2: Cho X,Y là các khơng gian Banach, XK là nĩn sinh, YK là nĩn chuẩn và : X YT → là ánh xạ tuyến tính dương. Khi đĩ T liên tục. Chứng minh: Gọi N là hằng số trong định nghĩa nĩn chuẩn và M là hằng số nĩi trong mệnh đề 1.3.2 ( chương 1). * Trước tiên ta chứng minh X0 : K∃ > ∀ ∈ ⇒ ≤L x Tx L x (6) Giả sử ngược lại, khi đĩ * 3X, K : .∀ ∈ ∃ ∈ > n n nn x Tx n x Chuỗi số 2 1 1 n n n x n x ∞ = ∑ hội tụ nên chuỗi phần tử 2 1 1 n n n x n x ∞ = ∑ hội tụ. Gọi 0 2 1 1 n n n x x n x ∞ = =∑ thì *02 1 n n x x n n x θ ≤ ≤ ∀ ∈ 0 2 ( )( ) n n T xT x n x θ⇒ ≥ ≥ ( )*0 2 ( ) N ( )⇒ ≥ > ∈n n T x T x n n n x . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy (6) đúng. Xét tùy ý Xx∈ . Do XK là nĩn sinh nên tìm được X, Ku v∈ sao cho , , Mx u v u v x= − ≤ . Do đĩ ( )( ) ( ) ( ) 2 MT x T u T v L u v L x≤ + ≤ + ≤ . Vậy T là ánh xạ liên tục. Định lí 2.1.3 (định lí Hahn- Banach trong khơng gian cĩ thứ tự): Cho X là khơng gian vectơ trên trường số thực  , M là khơng gian con của X sao cho X, M :x y x y∀ ∈ ∃ ∈ ≤ . (7) Giả sử : Mf →  là phiếm hàm tuyến tính và ( ) 0, M Kf x x≥ ∀ ∈ ∩ . Khi đĩ tồn tại phiếm hàm tuyến tính : XF →  sao cho ( ) ( ) M ( ) 0 K. = ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ F x f x x F x x Chứng minh: Xét ánh xạ : Xp →  { }( ) inf ( ) : , Mx p x f y x y y= ≤ ∈ . Trước tiên ta chứng minh ( ) ( ) 0, X,p tx tp x t x= ∀ > ∀ ∈ (8) ( ) ( ) ( ) , X.p x y p x p y x y+ ≤ + ∀ ∈ (9) Thật vậy, lấy Xx∈ tùy ý, 0t > . Ta cĩ { }( ) inf ( ) : , Mp tx f y tx y y= ≤ ∈ ( ){ } inf : , M inf : , M ( ).   = ≤ ∈      = ≤ ∈ = y y ytf x t t t t f z x z z t p x Lấy , Xx y∈ tùy ý. Với , , , Mu x v y u v≥ ≥ ∈ thì x y u v+ ≤ + nên ( ) ( )p x y f u v+ ≤ + . Do đĩ ( ) ( ) ( )p x y f u f v+ ≤ + { } { } { } ( ) inf ( ) ( ) : , , , M inf ( ) : , M inf ( ) : , M ( ) ( ) p x y f u f v x u y v u v f u x u u f v y v v p x p y ⇒ + ≤ + ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ + ≤ ∈ ≤ + Do giả thuyết (7) nên số [ )( ) ,p x ∈ −∞ ∞ . Ta sẽ chứng minh ( )p x ≠ −∞ bằng phản chứng. Giả sử tồn tại 0 0X sao cho ( )x p x∈ = −∞ . Khi đĩ { }0inf ( ) : , Mf u x u u≤ ∈ = −∞ . ( )1 0 1 1M, và 1x x x f x⇒∃ ∈ ≤ ≤ − . Đặt 1 0u x x= − thì 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )p x p u x p x p u= + ≤ + nên 1( )p x = −∞ . Do đĩ { }1inf ( ) : , Mf u x u u≤ ∈ = −∞ ( )2 1 2 2M: và 2⇒∃ ∈ ≤ ≤ −x x x f x . Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng dãy { }nx thoả mãn * 1 2 , M, n , ( )  ≤ ≤ ≤ ≤ ∈ ∀ ∈  ≤ −   n n n x x x x f x n Từ đĩ ta gặp mâu thuẫn vì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 lim n nn f x f x f x f x →∞  ≤ ≤ ≤ ≤  = −∞   là điều khơng thể xảy ra. Vậy ( ) , Xp x x≠ −∞ ∀ ∈ (10) Từ (8), (9), (10) ta cĩ p là phiếm hàm lồi. Theo định nghĩa của p ta được ( ) ( ) Mf x p x x≤ ∀ ∈ . Áp dụng định lí Hahn- Banach cho phiếm hàm lồi p ta tìm được phiếm hàm tuyến tính : MF →  thoả ( ) ( ) M, ( ) ( ) XF x f x x F x p x x= ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ . Ta cần chứng minh ( ) 0 KF x x≥ ∀ ∈ . Thật vậy, lấy K, ta cĩ x x θ∈ − ≤ nên ( ) ( ) 0.p x f θ− ≤ = Mà ( ) ( ) n ên ( ) ( ) 0 K.F x p x F x p x x− ≤ − ≥ − − ≥ ∀ ∈ Định lí được chứng minh đầy đủ. Bổ đề 2.1.4: Giả sử X là khơng gian Banach, M là khơng gian con của X và một trong các điều kiện sau được thoả mãn 1) K là nĩn sinh, M K⊃ . 2) K là nĩn cĩ intK≠∅ và M int K∩ ≠∅ . Khi đĩ M cĩ tính chất sau: , :x X y M x y∀ ∈ ∃ ∈ ≤ . Chứng minh: 1) Nếu K là nĩn sinh, M K⊃ thì với x X∈ tùy ý ta cĩ , Ku v∃ ∈ : x u v= − ( )M do M K, Kx u u⇒ ≤ ∈ ⊃ ∈ . Vậy K, M: .∀ ∈ ∃ ∈ ≤x u x u 2) Giả sử int K ≠∅ , M int K∩ ≠∅ . Lấy M int Ke∈ ∩ và chọn 0r > để ( , ) KB e r ⊂ . Khi đĩ với X, x x θ∈ ≠ thì Kxe r x ± ∈ . Đặt 1 1, 2 2 x x u e x v e x r r     = + = −        . Ta cĩ , , K.x u v u v= − ∈ M (do M) x x u v e e r ⇒ ≤ + = ∈ ∈ . Vậy K, M: .x w x w∀ ∈ ∃ ∈ ≤ Định lí 2.1.5: Giả sử: i) M là khơng gian con của khơng gian Banach X, K là nĩn cĩ intK≠∅ và M int K∩ ≠∅ . ii) : Mf →  là phiếm hàm tuyến tính và ( ) 0 K Mf x x≥ ∀ ∈ ∩ . Khi đĩ tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục : X sao cho→ F ( ) 0 K ( ) ( ) M. ≥ ∀ ∈ = ∀ ∈ F x x F x f x x Chứng minh: Từ giả thuyết i) và bổ đề 2.1.4 ta thấy các điều kiện của định lí 2.1.3 được thoả mãn. Do đĩ ta tìm được phiếm hàm tuyến tính F thoả các điều kiện ( ) 0 K, ( ) ( ) MF x x F x f x x≥ ∀ ∈ = ∀ ∈ . Vì nĩn K là nĩn sinh và nĩn [ )0, trong ∞  là nĩn chuẩn nên F liên tục theo định lí 2.1.2. Định nghĩa 2.1.6: Cho X là khơng gian tơpơ, A X⊂ . 1) Tập A gọi là khơng đâu trù mật nếu int A ≠∅ . 2) Tập A gọi là tập thưa nếu A là hợp của đếm được tập khơng đâu trù mật. Định lí 2.1.7: Cho các khơng gian Banach ( ) ( )1 21 2X , . , X , . với các nĩn 1 1 2 2K X ,K X⊂ ⊂ thoả mãn 1int K ≠∅ , 2K là nĩn chính qui. Nếu 1 2:A X X→ là tốn tử tăng thì tập các điểm gián đoạn của A là tập thưa. Chứng minh: Giả sử 0 1 0 1int K , 1.u u∈ ≤ Vì 2K là nĩn chuẩn (do 2K là nĩn chính qui) nên theo mệnh đề 4, chương 1 ta cĩ thể xem 2 . thoả các điều kiện 2 2 x y x yθ ≤ ≤ ⇒ ≤ . Với mỗi 1Xx∈ , ta định nghĩa: ( ) ( )0 0 20( ) limw x A x u A x uδ δ δ+→= + − − . Với 1 20 δ δ< < ta cĩ 2 0 1 0 1 0 2 0và x u x u x u x uδ δ δ δ− ≤ − + ≤ + . Vì A đơn điệu tăng nên ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 0 1 0 2 0 và A x u A x u A x u A x uδ δ δ δ− ≤ − + ≤ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 2 02 2 0 A x u A x u A x u A x u A x u A x u A x u A x u δ δ δ δ δ δ δ δ ⇒ ≤ + − − ≤ + − − ⇒ + − − ≤ + − − Suy ra hàm ( ) ( )0 0 2A x u A x uδ δ δ+ − − là hàm tăng nên giới hạn ( ) ( )0 0 20lim A x u A x uδ δ δ+→ + − − tồn tại. Vậy ( )w x xác định. Ta sẽ chứng minh rằng (A liên tục tại x) Bước 1 ( ) 0w x⇔ = . Thật vậy, nếu A liên tục tại x thì ( ) ( )0 0 220( ) lim ( ) ( ) 0w x A x u A x u A x A xδ δ δ+→= + − − = − = . Giả sử ( ) 0w x = . Ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2 0 0 02 2 0 ( ) , 0 ( ) . ( ) , (11) ( ) . A x u A x A x u A x u A x A x u A x u A x u A x u A x A x u A x u A x A x u A x u A x u δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ  ≤ + − ≤ + − −  ≤ − − ≤ + − −  + − ≤ + − −⇒  − − ≤ + − − Mà ( ) 0w x = nên từ (11) ta cĩ ( ) ( )0 00 0lim ( ) lim .A x u A x A x uδ δδ δ+ +→ →+ = = − Do 0 1int Ku ∈ nên cĩ 0r > để 0 1( , ) int K .B u r ⊂ Với 1Xv∈ tùy ý, ta cĩ ( )0 0 1 ,v xu r B u r v u − ± ∈ − ( )1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 K v x u v x r v x v x u v x u r r v x v x x u v x u r r − ⇒ ± − ∈ − − ⇒ − ≤ − ≤ − − ⇒ − ≤ ≤ + Đặt 1 v x r δ − = . Khi + thì 0v x δ→ → nên ( ) ( )0 00 0lim lim ( ) limv xA x u A v A x uδ δδ δ+ −→→ →− ≤ ≤ + lim ( ) ( ) v x A v A x → ⇒ = . Vậy A liên tục tại x. Gọi B là tập các điểm gián đoạn của A, Bước 2: 1 1X : ( )nB x w x n  = ∈ ≥    . Theo bước 1, ta cĩ 1 n n B B ∞ = =  . Ta sẽ chứng minh nB ( )*∈n là khơng đâu trù mật bằng phản chứng. Giả sử ngược lại ( ) 0 * 0 0 1 0, 0, X : , .∃ ∈ ∃ > ∃ ∈ ⊂ nn R x B x R B Chọn dãy ( )nε thoả 1 1 0, , . 4 n n n n n R ε ε ε α ε + ∞ =   >  >   <  ∑ Trong đĩ 1 r α = và r là số thoả ( )0 1, int KB u r ⊂ và ta cĩ thể coi 1r < . • Ta xây dựng dãy ( ) 0n n x B⊂ thoả ( ) ( ) 1 0 11 0 0 , (12) , . n n n n n n x x u x u B x R ε ε ε + +  − + ≤  + ∈ + Xây dựng 1x : Ta cĩ ( )0 0 0 ,2 Rx u B x R+ ∈ nên tồn tại 01 n x B∈ thoả mãn 1 0 0 1 12 Rx x u ε − + <    . + Xây dựng 2x : Ta cĩ ( )1 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 2 2 2 R Rx u x x x u u R R ε ε ε ε    + − ≤ − + + +        < + + < nên ( )1 1 0 0 ,x u B x Rε+ ∈ . Do đĩ tồn tại 02 nx B∈ sao cho ( )2 1 1 0 21x x uε ε− + < . + Xây dựng 3x : Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 0 2 1 1 0 1 1 0 0 2 01 11 1 2 1 2 2 2 0 0 3 3 2 2 0 31 2 2 , : .n x u x x x u x u x u R R x u B x R x B x x u ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε + − ≤ − + + + − + ≤ + + + < ⇒ + ∈ ⇒∃ ∈ − + < Tiếp tục quá trình ta xây dựng được dãy ( )nx thoả (12) • Ta xây dựng dãy ( )nδ sao cho ( )0 1 1 0 1 0 1hay n n n n n n n nx u x u u x xδ δ δ δ+ + + ++ ≤ − + ≤ − . Với *∈n tùy ý thì ( ) 1 0 11 0 0 1K .n n nn n n x x u x x u u r ε ε ++ − − − + + ∈ ( Do ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 0 1 , int Kn n n n n n x x u u r B u r x x u ε ε + + − + ± ∈ ⊂ − + ) Do đĩ ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 01 1 0 1 1 0. n n n n n n n n n n n x x u x x u u u x x u ε α ε αε ε αε + + + + + − + ≥ − − + ≥ − ⇒ − ≥ − Đặt ' 1n n nε ε αε += − ( *∈n ). Ta chọn ' 1 2 1 1 ' ' 1 2 2 ' ' 2 3 3 ' ' 1 , 2 2 min , , 2 2 min , , 2 2 min , . 2 2 n n n ε αε εδ ε εδ ε εδ ε εδ − − = =   =       =       =      Thế thì ta cĩ: ' 1 2 1 ' 2 3 2 ' 1 , , .n n n δ δ ε δ δ ε δ δ ε+ + ≤ + ≤ + ≤  Như vậy ta đã xây dựng được dãy ( )nδ thoả ( ) *1 0 1 .δ δ + ++ ≤ − ∀ ∈n n n nu x x n • Ta cĩ 0n n x B∈ nên ( ) ( )0 0 2 0 1( ) .n n n n nA x u A x u w x n δ δ+ − − ≥ ≥ (13) Do ( )0 0 0 0 1, nên ε ε+ ∈ + − <n n n nx u B x R x u x R và do ( )0 00 0 1 0 0 1 , int Kn n n n x u xu r B u r x u x ε ε + − ± ∈ ⊂ + − nên 0 0 0 0 0 0 0 01 1 * 0 0 0 0 * 0 0 0 , , . α ε ε α ε α ε α ε α − + − ≤ + − ≤ + − ⇒− ≤ + − ≤ ∀ ∈ ⇒ + ≤ + ∀ ∈   n n n n n n n n n n x u x u x u x x u x u Ru x u x Ru n x u x Ru n Do cách chọn nδ ta cĩ ' 2 2 n n n ε εδ ≤ ≤ . Do đĩ ( ) ( ) * 0 0 0 * 0 0 0 , . δ α δ α + ≤ + ∀ ∈ ⇒ + ≤ + ∀ ∈   n n n n x u x Ru n A x u A x Ru n Ta cĩ 1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 0 0n n n nx u x u x u x u x u x uδ δ δ δ δ δ− ≤ + ≤ − ≤ + ≤ ≤ − ≤ + ≤  Do đĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 δ δ δ δ δ δ α − ≤ + ≤ − ≤ + ≤ ≤ − ≤ + ≤ ≤ +  n n n n A x u A x u A x u A x u A x u A x u A x Ru (14) Do 2K là nĩn chính qui nên dãy (14) hội tụ. Điều này mâu thuẫn với (13). Vậy A là tập thưa. 2.2 Đạo hàm theo nĩn của ánh xạ, liên hệ với tính đơn điệu, tính lồi. Định nghĩa 2.2.1: Cho khơng gian Banach X với nĩn K. 1) Với 0 X, 0x r∈ > , ta kí hiệu [ ]{ }0 0K( , ) : 0, , K, 1x r x tu t r u u= + ∈ ∈ = . 2) Cho ánh xạ 0: K( , ) XA x r → . Ta nĩi A khả vi Gateaux theo nĩn K tại 0x nếu tồn tại ánh xạ ( , )B L X X∈ sao cho ( ) ( )0 0 0 lim ( ), K t A x tu A x B u u t+→ + − = ∀ ∈ . Kí hiệu ' 0( )B A x= . Bổ đề 2.2.2: Nếu hàm [ ]: 0,1g →  liên tục cĩ [ )' ( ) 0 0,1g t t+ > ∀ ∈ thì (0) (1).g g≤ Chứng minh: Đặt [ ]{ }0,1 : ( ) (0)B t g t g= ∈ > . Đầu tiên ta chứng minh B ≠∅ . Ta cĩ ' (0) 0g+ > nên ( ) (0)0, 1: (0, ) 0g t gt t δ δ δ −∃ > hay ( )( ) (0) 0,g t g t δ> ∀ ∈ . Đặt 0 supt B= . Ta nhận thấy 0( ) (0)g t g≥ . Thật vậy, ta tìm được dãy { }nt B⊂ sao cho 0lim nn t t→∞ = . Qua giới hạn trong bất đẳng thức ( ) (0)ng t g≥ , do tính liên tục của g ta cĩ 0( ) (0)g t g≥ . Ta sẽ chứng minh 0 1t = . Giả sử ngược lại 0 1t < . Do ' 0( ) 0g t+ > nên 0 '0 0 0 ( ) ( )lim ( ) 0 t g t g t g t t tδ + +→ − = > − ( ) [ ] ' '00 0 0 0 0 ( ) ( )0 : , 0,1 ( ) ( )g t g tt t t g t g t t t δ δ + + − ⇒ ∃ > ∀ ∈ + ∩ ⇒ − < − ' '0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g t t t + + − ⇒ − > − − ( ) [ ] 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) (0) , 0,1 . g t g t t t g t g t g t t t δ − ⇒ > − ⇒ > ≥ ∀ ∈ + ∩ Ta gặp mâu thuẫn với 0 supt B= . Vậy 0 1t = và do đĩ (1) (0)g g≥ . Bổ đề 2.2.3: Nếu hàm [ ]: 0,1g →  liên tục cĩ [ )' ( ) 0 0,1g t t+ ≥ ∀ ∈ thì (0) (1).g g≤ Chứng minh: Cho 0ε > , xét ( ) ( )k t g t tε= + . Ta cĩ ' '( ) ( ) 0k t g t ε+ += + > . Do đĩ (0) (1)k k≤ (theo bổ đề 2.2.2) hay (0) (1) ε≤ +g g . Cho 0ε → , ta cĩ (0) (1)g g≤ . Bổ đề 2.2.3 được chứng minh. Định lí 2.2.4: Giả sử: i) XM ⊂ tập lồi, ii) : XA M ⊂ liên tục, cĩ đạo hàm Gateux theo nĩn K tại mọi x M∈ và ' ( )A x là ánh xạ tuyến tính dương tại mọi x M∈ . Khi đĩ A là ánh xạ tăng trên M. Chứng minh: Lấy ,x y M∈ tùy ý, x y≤ . Theo mệnh đề 1.2.5, chương 1, để chứng minh Ax Ay≤ ta chỉ cần chứng minh *( ) ( ) K .f Ax f Ay f≤ ∀ ∈ Đặt h y x θ= − ≥ . Cố định *Kf ∈ . Xét hàm [ ]: 0,1g →  [ ]( ) ( ) .= +t g t f A x th Ta cĩ g liên tục, cĩ đạo hàm [ ]' ( ) 0 0,1g t t+ ≥ ∀ ∈ . Thật vậy • Do M là tập lồi nên [ ](1 ) 0._.