Đường tròn mật tiếp và mặt cầu mật tiếp của đường cong trong E3, E2

. . . . . . . . 5 Chương 2. Đường tròn mật tiếp và mặt ầu mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3, E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 I. Công thứ Frnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II. Đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3. . . . . . 17 III. Mặt ầu mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3 . . . . . . . . 23 IV. Đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E2 . . . . . 25 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2Mở đầu Lý thuyết đường là một phần quan trọng ủa môn họ Hình họ vi phân đã đượ trình bày trong nhiều giáo trình hình họ vi phân, hẳng hạn [1℄, [2℄, [3℄, ... Trong khóa luận này, m đí h hính húng tôi là trình bày một á h hi tiết và ó hệ thống về đường tròn mật tiếp và mặt ầu mật tiếp ủa đường ong trong E3, E2. Khóa luận đượ trình bày trong 2 hương: Chương 1. Đường ong trong En (n = 2, 3). Trong hương này, húng tôi trình bày một á h hệ thống về á khái niệm ơ bản ủa đường ong trong E3, E2, trình bày á h tìm tham số hóa tự nhiên và mặt phẳng mật tiếp. Chương 2. Đường tròn mật tiếp và mặt ầu mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3, E2. I. Công thứ Frnet. Trong phần này, húng tôi trình bày á h xây dựng trường m tiêu Frnet, ông thứ Frnet và đã hỉ ra á ví d về việ tìm trường m tiêu Frnet và ông thứ Frnet ủa đường ong trong E3, E2. II. Đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3. Bằng việ sử dng ông thứ Frnet, húng tôi đã trình bày á h tìm tâm ủa đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3. III. Mặt ầu mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3. Trong m này, húng tôi trình bày khái niệm mặt ầu mật tiếp và á h tìm quỹ tí h tâm á mặt ầu mật tiếp ủa đường ong trong E3. IV. Đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E2. Trong m này, húng tôi trình bày khái niệm đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong và á h tìm tâm ủa đường tròn mật tiếp. Khóa luận đượ hoàn thành tại trường Đại họ Vinh dưới sự hướng dẫn ủa thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này tá giả xin đượ tỏ lòng biết ơn sâu sắ tới thầy và á thầy ô giáo trong khoa Toán đã hỉ bảo ho tôi trong suốt thời gian họ tập và nghiên ứu. Cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi ho tôi hoàn thành khóa luận này. Vinh, tháng 5 năm 2008. Tá giả 3Chương 1. Đường ong trong En (n=2, 3) I. Đường ong trong En (n=2, 3). 1.1. Định nghĩa. Mỗi ánh xạ khả vi ρ : J → En t 7→ ρ(t) trong đó J là một khoảng trong R, đượ gọi là một ung tham số trong En 1.2. Ví d. Trong tọa độ Des artes vuông gó (x, y, z), với a, b là hằng số; a > 0, b 6= 0. Khi đó, ánh xạ ρ : R → E3 t 7→ ρ(t) = (x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) = bt) là một ung tham số trong E3. Thật vậy, ta dễ dàng hứng minh đượ x(t), y(t), z(t) là á hàm khả vi. Do đó ρ là ánh xạ khả vi. Từ đó suy ra ρ là một ung tham số trong E3. 1.3. Định nghĩa. Hai ung tham số ρ : J → En t 7→ ρ(t) và r : I → En u 7→ r(u) đượ gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi λ : J → I t 7→ u = λ(t) sao ho r ◦ λ = ρ. Ta ký hiệu ρ ∼ r Nhận xt. Quan hệ "∼" là quan hệ tương đương. Thật vậy, ta ần kiểm tra á điều kiện sau: 4• Tính phản xạ: ρ ∼ ρ vì php đồng nhất id : J → J là vi phôi • Tính đối xứng: Giả sử ρ ∼ r. Ta ần hứng minh r ∼ ρ. Thật vậy, vì ρ ∼ r nên tồn tại vi phôi λ : J → I t 7→ u = λ(t) thỏa mãn ρ = r ◦ λ Do λ là vi phôi nên ó ánh xạ ngượ λ−1 : I → J u 7→ λ−1(u) = t ũng là vi phôi và ρ ◦ λ−1 = r. Do đó r ∼ ρ. • Tính bắ ầu: Giả sử ρ ∼ r; r ∼ r˜. Ta ần hứng minh ρ ∼ r˜. Thật vậy, vì ρ ∼ r nên tồn tại vi phôi λ : J → I t 7→ u = λ(t) thỏa mãn ρ = r ◦ λ Vì r ∼ r˜ nên tồn tại vi phôi λ˜ : I → I˜ u 7→ u˜ = λ˜(t) thỏa mãn r = r˜ ◦ λ˜ ⇒ ρ = (r˜ ◦ λ˜) ◦ λ = r˜ ◦ (λ˜ ◦ λ). Ta ó γ : J → I˜ t 7→ u˜ = γ(t) = (λ˜ ◦ λ)(t) là vi phôi và thỏa mãn ρ = r˜ ◦ γ ⇒ ρ ∼ r˜. Vậy quan hệ "∼" là quan hệ tương đương. 2 1.4. Ví d. Xt á ung tham số ρ : R → E3 t 7→ O + t.−→n r : R → E3 u 7→ O + 2u.−→n 5trong đó O là một điểm ố định−→n là một v tơ khá −→0 ho trướ . Khi đó ρ ∼ r. Thật vậy, xt λ : R → R t 7→ u = t 2 ta ó λ là vi phôi và ρ = r ◦ λ. 2 1.5. Định nghĩa. a) Γ = [ρ] ={ρ˜ | ρ˜ là ung tham số trong En và ρ˜ ∼ ρ} đượ gọi là một ung trong En. Mỗi ung tham số ρ ủa ung Γ đượ gọi là một tham số hoá ủa ung. Vi phôi λ như trong định nghĩa 1.3 đượ gọi là php đổi tham số hoá ủa ung. b) ảnh ủa một ung tham số trong En đượ gọi là đường ong trong En. 1.6. Chú ý. - Khi ta nói ho Γ xá định bởi tham số hoá ρ, ta hiểu Γ là ảnh ủa [ρ]. - Mỗi tập on H ⊂ [ρ] đượ gọi là một hướng ủa Γ nếu á php đổi tham số λ trong H ó λ ′ (t) > 0, ∀t ∈ J. Như vậy mỗi đường ong Γ ó hai hướng. - Đường ong Γ đượ gọi là định hướng nếu ta đã họn ho nó một hướng xá định. II. Tham số hóa tự nhiên ủa đường ong. 1.7. Định nghĩa. a) Giả sử đường ong Γ xá định bởi tham số hoá ρ : J → En t 7→ ρ(t) Khi đó, điểm p = ρ(t0) ủa Γ đượ gọi là điểm hính quy ủa Γ nếu ρ ′(t0) 6= 0 b) Đường ong mà mọi điểm ủa nó là điểm hính quy đượ gọi là một đường ong hính quy. 1.8. Ví d. a) Trong tọa độ Des artes vuông gó (x, y, z) ủa E3 ho đường 6đinh ố tròn trong E3, đượ xá định bởi tham số hoá: ρ : R → E3 t 7→ (x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) = bt); trong đó a, b là hằng số; a > 0, b 6= 0. Khi đó ung đinh ố tròn trong E3 là một ung hính quy vì: −−→ ρ′(t) = (−a sin t, a cos t, b) 6= −→0 ; ∀t ∈ R. b) Trong tọa độ afin (x, y) ủa mặt phẳng E2, giả sử đường ong Γ đượ xá định bởi tham số hoá ρ : R → E2 t 7→ (x(t) = t, y(t) = f(t)); trong đó f là hàm số khả vi trên R. Khi đó Γ là đường ong hính quy vì: −−→ ρ′(t) = (1, f ′(t)) 6= −→0 ; ∀t ∈ R 1.9. Định nghĩa. Giả sử Γ đượ xá định bởi tham số hoá ρ : J → En t 7→ ρ(t) a) Tiếp tuyến ủa đường ong Γ tại điểm hính quy ứng với t0 là đường thẳng đi qua điểm ρ(t0) với v tơ hỉ phương ρ ′(t0). b) Siêu phẳng trong En đi qua ρ(t0), vuông gó với tiếp tuyến ủa Γ tại t0 đượ gọi là pháp diện ủa Γ tại điểm đó. Chú ý. Nếu Γ là một đường ong hính quy định hướng xá định bởi ung tham số ρ : J → En t 7→ ρ(t) thì trường ve tơ T : t 7→ T (t) = ρ′(t)‖ρ′(t)‖ là một trường ve tơ tiếp xú dọ đường ong Γ (Xá định hướng ủa Γ). Khi xt đến ảnh ủa ung tham số t 7→ ρ(t), ần để ý rằng nếu ρ không phải là đơn ánh, hẳng hạn ρ(t0) = ρ(t1); t0 6= t1 và á điểm ứng với t0, t1 đều hính quy thì rất ó thể á tiếp tuyến ủa ung tại á điểm đó là khá nhau. 7Chẳng hạn: Với tọa độ Des artes vuông gó (x, y) trong mặt phẳng, đường ong Strophoid đượ xá định bởi tham số hóa ρ : R → E2 t 7→ (x(t) = at 2 − 1 t2 + 1 , y(t) = a t(1 − t2) 1 + t2 ); a > 0 Khi đó: • ρ không phải là đơn ánh vì ρ(1) = ρ(−1) = −→0 . • Cá điểm ủa ung Strophoid xá định bởi t = −1 và t = 1 là hính quy vì −→ ρ′ (−1) = (−2a, a) 6= −→0 và −→ρ′ (1) = (2a, a) 6= −→0 . Như vậy á tiếp tuyến ủa ung tại á điểm ứng với t = −1 và t = 1 là khá nhau ( vì −→ ρ′ (−1) 6= −→ρ′ (1).) 1.10. Mệnh đề. Giả sử đường ong Γ ó tham số hoá (x(t), y(t)) trong E2. a) Đường ong hính quy Γ không đi qua gố tọa độ O mà tiếp tuyến tại mọi điểm đều đi qua O và x ′ (t) 6= 0; ∀t thì Γ là một phần ủa đường thẳng đi qua O. b) Đường ong hính quy Γ không đi qua điểm gố tọa độ O mà pháp tuyến tại mọi điểm đều đi qua O và x ′ (t) 6= 0, y′(t) 6= 0; ∀t thì Γ là một phần ủa đường tròn tâm O. Chứng minh. Giả sử đường ong hính quy Γ đượ xá định bởi tham số hoá: ρ : J → E2 t 7→ ρ(t) = (x(t), y(t)) a) Tiếp tuyến tại điểm ρ(t) ủa Γ ó ve tơ hỉ phương là −→ ρ′ (t) = (x′(t), y′(t)). Để tiếp tuyến tại ρ(t) ủa Γ đi qua gố tọa độ O thì điều kiện ần là 2 ve tơ−→ Oρ(t) và −→ Oρ′(t) phải ộng tuyến, mặt khá x ′ (t) 6= 0. Khi đó, ta ó: y(t) x(t) = y ′ (t) x ′(t) = k Từ đó ta suy ra y(t) = kx(t). 8Vậy đường ong hính quy trong E2 không đi qua O mà tiếp tuyến tại mọi điểm đều đi qua O là một phần ủa đường thẳng đi qua O. b) Tiếp tuyến tại điểm ρ(t) ủa Γ ó ve tơ hỉ phương là −→ ρ′ (t) = (x′(t), y′(t)). Do đó pháp tuyến tại điểm ρ(t) ủa ung Γ là −→n = (−y′(t), x′(t)). Để pháp tuyến tại điểm ρ(t) ủa ung Γ đi qua gố tọa độ O thì điều kiện ần là 2 ve tơ −→ Oρ(t) và −→n phải ộng tuyến, mặt khá x′(t) 6= 0, y′(t) 6= 0. Khi đó, ta ó: x(t) −y′(t) = y(t) x′(t) ⇔ x′(t)x(t) + y′(t)y(t) = 0 ⇔ x2(t) + y2(t) = R2; R là hằng số. Từ đó ta suy ra đường ong hính quy Γ trong E2 không đi qua gố tọa độ O mà pháp tuyến tại mọi điểm đều đi qua O là một phần ủa đường tròn tâm O bán kính R. 1.11.Định nghĩa. a) Một điểm ủa đường ong Γ trong En ứng với t0 trong tham số hóa t 7→ ρ(t) ủa nó, đượ gọi là một điểm song hính quy nếu hệ hai ve tơ {−→ρ′ (t0), −→ ρ′′(t0)} độ lập tuyến tính. b) Đường ong Γ trong En gọi là song hính quy nếu mọi điểm ủa Γ là điểm song hính quy. ) Mặt phẳng đi qua điểm song hính quy ρ(t0) ủa Γ với á ve tơ hỉ phương {−→ρ′ (t0), −→ ρ′′(t0)} đượ gọi là mặt phẳng mật tiếp với đường ong Γ tại ρ(t0). 1.12. Ví d. Trong hệ tọa độ Des artes vuông gó Oxyz. Xt đường ong Γ trong E3 đượ xá định bởi tham số hóa: ρ : R → E3 t 7→ ρ(t) = (x(t) = a cos2 t, y(t) = a sin t cos t, z(t) = a sin t); a > 0 Khi đó Γ là song hính quy. Thật vậy, ta ần hứng minh hệ hai ve tơ {−→ρ′ (t),−→ρ′′(t)} độ lập tuyến tính với mọi t ∈ R. Ta ó: ρ′(t) = (−a sin 2t, a cos 2t, a cos t) 9ρ′′(t) = (−2a cos 2t,−2a sin 2t,−a sin t) và ∣∣∣∣ −a sin 2t a cos 2t−2a cos 2t −2a sin 2t ∣∣∣∣ = 2a2 sin2 2t + 2a2 cos2 2t = 2a2 > 0. Vậy {−→ρ′ (t),−→ρ′′(t)} là hệ hai ve tơ độ lập tuyến tính với mọi t ∈ R. 2 1.13. Định nghĩa. Giả sử Γ là đường ong hính quy trong En. Một tham số hoá r : I → En s 7→ r(s) ủa Γ đượ gọi là một tham số hóa tự nhiên ủa nó nếu ‖ r′ ‖= 1. 1.14. Ví d. Xt đường đinh ố tròn Γ trên En đượ xá định bởi tham số hóa ρ : R → E3 t 7→ ρ(t) = O + a.−→e (t) + bt−→k trong đó: −→e (t) = cos t.−→i + sin t.−→j {−→i ,−→j ,−→k } là một ơ sở trự huẩn ủa E3. a, b là những hằng số, a > 0. Khi đó tham số hóa ủa Γ : r : R → E3 s 7→ r(s) = O + a.−→e ( s√ a2 + b2 ) + b√ a2 + b2 s −→ k là tham số hóa tự nhiên ủa đường đinh ố tròn Γ. Thật vậy, ta ần kiểm tra á điều kiện sau: • Γ là ung hính quy vì: −→ ρ′ (t) = a(− sin t.−→i + cos t.−→j ) + b−→k = a−→e (t + pi 2 ) + b −→ k 6= −→0 ; ∀t ∈ R. 10 • ‖ r′ ‖= 1 vì, ta ó: r′(s) = a ( − 1√ a2 + b2 sin( s√ a2 + b2 ) −→ i + + 1√ a2 + b2 cos( s√ a2 + b2 ) −→ j ) + b√ a2 + b2 −→ k = a√ a2 + b2 −→e ( s√ a2 + b2 + pi 2 ) + b√ a2 + b2 −→ k ⇒‖ r′ ‖ = √( a√ a2 + b2 )2 + ( b√ a2 + b2 )2 = 1. Vậy r : s 7→ r(s) là tham số hóa tự nhiên ủa ung đinh ố tròn Γ. 1.15. Mệnh đề. Mọi đường ong hính quy trên đoạn [a, b] = J đều ó tham số hóa tự nhiên. Chứng minh. Xt đường ong hính quy Γ trong En đượ xá định bởi tham số hóa ρ : J → En t 7→ ρ(t) Ta ần hứng minh Γ ó tham số hóa tự nhiên. Thật vậy, ta xt hàm số λ : J → R t 7→ λ(t) = ∫ t a ‖ ρ′(t) ‖ dt Ta ó λ′(t) =‖ ρ′(t) ‖> 0; ∀t ∈ J (Vì Γ hính quy nên −→ρ′ (t) 6= −→0 ; ∀t ∈ J) nên λ là một vi phôi từ J lên một đoạn I ⊂ R, (I = [0, ∫ b a ‖ ρ′(t) ‖ dt]). Khi đó, tham số hóa r : I → En s 7→ r(s) = ρ(λ−1(s)) 11 là tham số hóa tự nhiên ủa ung Γ trong En. Thật vậy, ta ó: r = ρ ◦ λ−1 ⇒ ρ = r ◦ λ ⇒ ρ′ = (r′ ◦ λ)λ′ ⇒ ‖ ρ′ ‖=‖ r′ ◦ λ ‖ .|λ′| =‖ r′ ◦ λ ‖ . ‖ ρ′ ‖ ( Vì λ′(t) =‖ ρ′(t) ‖; ∀t ∈ J) ⇒ ‖ r′ ‖= 1. . 1.16. Ví d. Giả sử Γ đượ xá định bởi tham số hóa ρ : [0, pi 4 ] → E3 t 7→ (cos 3t, sin 3t, 4t) Ta ần tìm tham số hoá tự nhiên ủa Γ. - Ta ó: s = λ(t) = ∫ t 0 5dt = 5t ⇒ t = s5. - I = [0, ∫ pi 4 0 5dt] = [0, 5pi 4 ]. Suy ra r(s) = (cos 3s5 , sin 3s 5 , 4s 5 ) là một tham số hoá tự nhiên ủa Γ. Bây giờ, ta xt đường ong Γ trong E3 đượ xá định bởi tham số hóa ρ : R → E3 t 7→ ρ(t) = (x(t), y(t), z(t)) Khi đó phương trình mặt phẳngmật tiếp với Γ tại điểm song hính quy ( x(t), y(t), z(t) ) ủa Γ ứng với t là: ∣∣∣∣∣∣ X − x(t) Y − y(t) Z − z(t) x′(t) y′(t) z′(t) x′′(t) y′′(t) z′′(t) ∣∣∣∣∣∣ = 0 Trong đó (X, Y, Z) là tọa độ ủa điểm thay đổi trong E3. Chẳng hạn ho Γ là đường ong trong E3 đượ xá định bởi tham số hóa ρ : R → E3 t 7→ ρ(t) = (x(t) = cos t, y = sin t, z = 1) 12 Ta ó, mặt phẳng mật tiếp với Γ tại điểm song hính quy ủa Γ ứng với t là:∣∣∣∣∣∣ X − x(t) Y − y(t) Z − z(t) x′(t) y′(t) z′(t) x′′(t) y′′(t) z′′(t) ∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ ∣∣∣∣∣∣ X − cos t Y − sin t Z − 1 − sin t cos t 0 − cos t − sin t 0 ∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ (Z − 1) sin2 t + (Z − 1) cos2 t = 0 ⇔ Z − 1 = 0. 1.17. Mệnh đề. Giả sử P là mặt phẳng trong E3. Khi đó P là mặt phẳng mật tiếp ủa Γ tại điểm song hính quy ứng với t0 khi và hỉ khi: lim t→t0 d ( ρ(t), (P ) ) (t− t0)2 = 0 Trong đó d ( ρ(t), (P ) ) là khoảng á h từ điểm ρ(t) đến mặt phẳng (P ). Chứng minh. Γ ρ(t0) ρ(t) −→n −→ h P Ta ký hiệu −→n là ve tơ pháp tuyến đơn vị ủa (P ). Khi (P ) đi qua ρ(t0), ta ó: h = d ( ρ(t), (P ) ) = ∣∣−−−−−→ρ(t0)ρ(t).−→n ∣∣ 13 Sử dng khai triển Taylo đối với hàm f(t) = −−−−−→ ρ(t0)ρ(t). −→n tại t = t0, ta ó: h = ∣∣∣(t− t0)−→ρ′ (t0).−→n + (t− t0)2 2! −→ ρ′′(t0).−→n + à.−→n ∣∣∣ (trong đó à là phần sau ủa huỗi ó hệ số mũ bậ ao hơn 2) Vậy lim t→t0 d ( ρ(t), (P ) ) (t− t0)2 = 0 ⇔ ρ ′ (t0) −→n = ρ′′(t0)−→n = 0 ⇔ {ρ′(t0), ρ′′(t0)} là á vt tơ hỉ phương ủa P ⇔ P là mặt phẳng mật tiếp ủa Γ. 2 14 Chương 2 Đường tròn mật tiếp và mặt ầu mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3, E2 Trong hương này, ta luôn giả thiết Γ là một đường ong song hính quy trong E3 với tham số hóa tự nhiên ρ : s 7→ ρ(s); S là một mặt ầu tâm q bán kính R trong E3. I. Công thứ Frnet. Ta ký hiệu: N = DT ds ‖ DT ds ‖ Khi đó, trường v tơ đơn vị N dọ Γ đượ gọi là trường ve tơ pháp tuyến hính đơn vị dọ Γ. 2.1. Định nghĩa. Giả sử Γ là một đường ong định hướng trong E3, T và N tương ứng là trường ve tơ tiếp xú đơn vị và trường ve tơ pháp tuyến hính đơn vị, B = T ∧ N là trường ve tơ trùng pháp tuyến đơn vị dọ Γ. Khi đó {T,N,B} đượ gọi là trường m tiêu Frnet dọ Γ. B N T {T,N,B} Γ Nhận xt. DB ds ùng phương với N (tại mọi điểm). Thật vậy: Do B.B = 1 nên DB ds .B = 0; Do B.T = 0 nên DB ds .T +B.DT ds = 0, mà DT ds = kN và B.N = 0 nên suy ra DB ds .T = 0. Vậy DB ds trự giao với T và B, vì thế nó ùng phương với N (tại mọi điểm). Từ đó ó hàm số τ dọ Γ gọi là (hàm) độ xoắn ủa Γ để DB ds = −τ.N 2.2. Mệnh đề (Công thứ Frnet.) Giả sử {T,N,B} là trường m tiêu Frnet 15 dọ ung song hính quy định hướng Γ trong E3 ( ó hướng). Khi đó tồn tại á hàm số k, τ sao ho: DT ds = kN DB ds = −τN DN ds = −kT + τB. Chứng minh. • DT ds = kN • DB ds = −τN (nhận xt trong định nghĩa 2.1). • Ta ó: N.N = 1 nên DN ds .N = 0. Do đó DN ds biểu diễn đượ qua T và B. Do T.N = 0, suy ra T. DN ds = −DT ds .N = −kN.N = −k Do N.B = 0 suy ra DN ds .B = −N.DB ds = −N.τN = −τ Vậy DN ds = −kT + τB. 2.3. Mệnh đề. Giả sử đường ong định hướng Γ trong E3 đượ xá định bởi tham số hóa ρ : J → E3, t 7→ ρ(t) và {T,N,B} là trường m tiêu Frnet dọ Γ. Ta ó: k(t) = ‖ ρ′(t) ∧ ρ′′(t) ‖ ρ′(t) ‖3 τ(t) = ( ρ′(t) ∧ ρ′′(t)).ρ′′′(t) ‖ ρ′(t) ∧ ρ′′(t) ‖2 Chứng minh. Giả sử Γ ó tham số hóa tự nhiên r : I → E3, s 7→ r(s) với php đổi tham số λ : J → I để ρ = r ◦ λ, (λ′ > 0). Ta ó: ρ′ = λ′(r ◦ λ) = λ′(T ◦ λ) 16 ρ′′ = λ′′(T ◦ λ) + λ′2(DT ds ◦ λ) = λ′′(T ◦ λ) + λ′2(k ◦ λ)(N ◦ λ) ⇒ ρ′ ∧ ρ′′ = λ′3(k ◦ λ) ∧ (N ◦ λ) =‖ ρ′ ‖3 (k ◦ λ)(B ◦ λ) ⇒ k ◦ λ = ‖ ρ ′ ∧ ρ′′ ‖ ‖ ρ′ ‖3 ∗ Để tính độ xoắn τ , ta ấn tính (ρ′ ∧ ρ′′).ρ′′′. Do ρ′ ∧ ρ′′ ùng phương với B ◦ λ nên để tính (ρ′ ∧ ρ′′).ρ′′′, ta hỉ ần xt thành phần hứa B ◦λ trong khai triển ρ′′′ theo {T ◦ λ,N ◦ λ,B ◦ λ}. C thể là từ ρ′′ = λ′′(T ◦ λ) + λ′2(k ◦ λ)(N ◦ λ) ⇒ (ρ′ ∧ ρ′′).ρ′′′ =‖ ρ′ ‖6 (k ◦ λ)2(τ ◦ λ) ⇒ τ ◦ λ = (ρ ′ ∧ ρ′′).ρ′′′ ‖ ρ′ ∧ ρ′′ ‖2 ⇒ τ(t) = ( ρ′(t) ∧ ρ′′(t)).ρ′′′(t) ‖ ρ′(t) ∧ ρ′′(t) ‖2 .2 2.4. Ví d. Cho Γ đượ xá định bởi ρ : R → E3 t 7→ ρ(t) = (cos t, sin t, t); t ∈ (0, pi) Khi đó, ông thứ Frnet dọ ung Γ trong E3 là: DT dt = √ 2 2 .N DB dt = −√2 2 .N DN dt = √ 2 2 (−N + B) Thật vậy, ta ó: DT dt = ‖ ρ′ ‖ (k.N) DB dt = ‖ ρ′ ‖ (−τ.N) DN dt = ‖ ρ′ ‖ (−k.T + τ.B) 17 • ρ′(t) = (− sin t, cos t, 1) • ρ′′(t) = (− cos t,− sin t, 0) ρ′(t)∧ρ′′(t) = ( ∣∣∣∣ cos t 1− sin t 0 ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣1 − sin t0 − cos t ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣− sin t cos t− cos t sint ∣∣∣∣ ) = (sin t,− cos t, 1) • ρ′′′(t) = (sin t,− cos t, 0) • ‖ ρ′(t) ∧ ρ′′(t) ‖= √ sin2 t + cos2 t + 1 = √ 2 • ‖ ρ′(t) ‖3= ( √ sin2 t + cos2 t + 1)3 = ( √ 2)3 = 2 √ 2 ⇒ k(t) = ‖ ρ ′(t) ∧ ρ′′(t) ‖ ‖ ρ′(t) ‖3 = √ 2 2 √ 2 = 1 2 • (ρ′(t) ∧ ρ′′(t)).ρ′′′(t) = sin2 t + cos2 t = 1 τ(t) = ( ρ′(t) ∧ ρ′′(t)).ρ′′′(t) ‖ ρ′(t) ∧ ρ′′(t) ‖2 = 1 ( √ 2)2 = 1 2 Vậy ta ó ông thứ Frnet dọ Γ là: DT dt = √ 2.( 1 2 .N) = √ 2 2 .N DB dt = √ 2.(−1 2 .N + 1 2 .B) = −√2 2 .N DN dt = √ 2.(−1 2 .N) √ 2 2 (−N + B).2 II. Đường tròn mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3. Như ta đã biết với A là một tập hợp trong En, x là một điểm bất kỳ trong En. Khi đó: d(x,A) = inf{d(x, y); y ∈ A}, đượ gọi là khoảng á h từ x đến tập A. Giả sử S là mặt ầu tâm q và d đường thẳng qua điểm p và q ắt S tại M,N . Khi đó: d ( p, S ) = min ( ‖ −→pM ‖, ‖ −→pN ‖ ). 2.5. Bổ đề. Giả sử Γ đường ong đượ ho bởi tham số hoá tự nhiên s 7→ ρ(s), S là mặt ầu tâm q và đi qua điểm ρ(s0) ủa Γ. Khi đó lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0) = 0 18 khi và hỉ khi ϕ′(s0) = 0. Trong đó ϕ(s) = −→qρ2(s) − −→qρ2(s0) là phương tí h ủa điểm ρ(s) đối với mặt ầu S. S Γ qρ(s0) ρ(s) Chứng minh. Ta ó: lim s→s0 d(ρ(s), S) (s− s0) = 0 ⇔ lim s→s0 d(ρ(s), q)− d(ρ(s0), q) (s− s0) = 0 ⇔ lim s→s0 (d(ρ(s), q)− d(ρ(s0), q))(d(ρ(s), q) + d(ρ(s0), q)) (s− s0)(d(ρ(s), q) + d(ρ(s0), q)) = 0 ⇔ lim s→s0 d2(ρ(s), q)− d2(ρ(s0), q) 2d(ρ(s0), q)(s− s0) = 0 ⇔ lim s→s0 −→qρ2(s)−−→qρ2(s0) (s− s0) = 0 ⇔ lim s→s0 ϕ(s) (s− s0) = 0 ⇔ lim s→s0 ϕ(s)− ϕ(s0) (s− s0) = 0, (do ϕ(s0) = 0) ⇔ ϕ′(s0) = 0. 2.6. Mệnh đề. Giả sử S là mặt ầu đi qua điểm ρ(s0) ủa Γ. Khi đó tiếp tuyến ủa Γ tại ρ(s0) là tiếp tuyến ủa mặt ầu S khi và hỉ khi lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0) = 0 Chứng minh. 19 Ta ó: ϕ(s) = −→qρ2(s)−−→qρ2(s0) ⇒ ϕ′(s) = 2−→qρ(s).−→ρ′ (s) ⇒ ϕ′(s) = 2−→qρ(s).−→T (s). Theo bổ đề 2.5, ta ó lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0) = 0 ⇔ ϕ′(s0) = 0 ⇔ −→qρ(s0).−→T (s0) = 0 ⇔ −→T (s0) là ve tơ hỉ phương ủa một tiếp tuyến với mặt ầu S tại ρ(s0) ⇔ Tiếp tuyến ủa Γ tại ρ(s0) là tiếp tuyến ủa mặt ầu S. 2 2.7. Bổ đề. Giả sử S đi qua điểm ρ(s0) ủa Γ. Khi đó lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0)2 = 0 khi và hỉ khi ϕ′(s0) = ϕ′′(s0) = 0. Trong đó ϕ(s) = −→qρ2(s) − −→qρ2(s0) là phương tí h ủa điểm ρ(s) đối với mặt ầu S. Chứng minh. Ta ó: lim s→s0 d(ρ(s), S) (s− s0)2 = 0 Ta ó ⇔ lim s→s0 d(ρ(s), q)− d(ρ(s0), q) (s− s0)2 = 0 ⇔ lim s→s0 (d(ρ(s), q)− d(ρ(s0), q))(d(ρ(s), q) + d(ρ(s0), q)) (s− s0)2(d(ρ(s), q) + d(ρ(s0), q)) = 0 ⇔ lim s→s0 d2(ρ(s), q)− d2(ρ(s0), q) 2d(ρ(s0), q)(s− s0)2 = 0 ⇔ lim s→s0 −→qρ2(s)−−→qρ2(s0) (s− s0)2 = 0 ⇔ lim s→s0 ϕ(s) (s− s0)2 = 0(∗) Do ρ(s) khả vi nên ϕ(s) khả vi. 20 Khai triển Taylor ủa ϕ(s) trong lân ận ủa s0, ta ó: ϕ(s) = 0 + ϕ ′ (s0).(s− s0) + 1 2! ϕ ′′ (s0).(s− s0)2 + à trong đó à là phần sau ủa huỗi ó bậ ao hơn (s− s0)2. Vậy (∗) ⇔ ϕ′(s0) = ϕ′′(s0) = 0.2 2.8. Mệnh đề. Giả sử Γ là ung song hính quy trong E3 với tham số hóa tự nhiên ρ : s 7→ ρ(s), N là trường ve tơ pháp tuyến hính đơn vị, k là độ ong ủa nó. S là một mặt ầu tâm q bán kính R trong E3 đi qua điểm ρ(s0) ủa Γ. Khi đó: lim s→s0 d(ρ(s), S) (s− s0)2 = 0 khi và hỉ khi q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + b −→ B (s0). Chứng minh. Theo bổ đề 2.7 lim s→s0 d(ρ(s), S) (s− s0)2 = 0 khi và hỉ khi ϕ ′ (t0) = ϕ ′′ (t0) = 0. Màϕ ′ (t) = 2. −−→ qρ(t). −−→ ρ ′ (t) = 2. −−→ qρ(t). −−→ T (t) ϕ ′′ (t) = 2 −−→ T (t)2 + 2 −−→ qρ(t). −−→ T ′ (t) = 2 + 2k(t) −−→ qρ(t). −−→ N(t) (Do −→ T ′ (t) = k(t) −−→ N(t)) Nên ϕ ′ (t0) = ϕ ′′ (t0) = 0 ⇔ {−−−→ qρ(t0). −−−→ T (t0) = 0 2 + 2k(t0) −−−→ qρ(t0). −−−→ N(t0) = 0 ⇔ {−−−→ qρ(t0) ⊥ −−−→ T (t0) (1) 2 + 2k(t0) −−−→ qρ(t0). −−−→ N(t0) = 0 ((1) ⇔ −−−→qρ(t0) đượ biểu diễn qua −−−→ N(t0), −−−→ B(t0) ) ⇔ {−−−→ qρ(t0) = λ. −−−→ N(t0) + a. −−−→ B(t0) 2 + 2k(t0) −−−→ qρ(t0). −−−→ N(t0) = 0 ⇔ {−−−→ qρ(t0) = λ. −−−→ N(t0) + a. −−−→ B(t0) 2 + 2k(t0).(λ. −−−→ N(t0) + a −−−→ B(t0)) −−−→ N(t0) = 0 ⇔  −−−→ qρ(t0) = λ. −−−→ N(t0) + a. −−−→ B(t0) λ = − 1 k(t0) . 21 ⇔ −−−→qρ(t0) = − 1 k(t0) . −−−→ N(t0) + a. −−−→ B(t0) ⇔ q = ρ(t0) + 1 k(t0) −→ N (s0) − a. −−−→ B(t0) ⇔ q = ρ(t0) + 1 k(t0) −→ N (s0) + b. −−−→ B(t0) với b=-a 2 Vậy tất ả á mặt ầu S đi qua ρ(s0), ó tâm q nằm trên một đường thẳng song song với trùng pháp tuyến ủa Γ tại ρ(s0), đường thẳng này gọi là tr ong ủa Γ tại ρ(s0). Cá mặt ầu đó ùng ắt mặt phẳng mật tiếp ủa Γ tại ρ(s0) theo đường tròn ó tâm tại điểm ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0). 2.9. Định nghĩa. Đường tròn nằm trong mặt phẳng mật tiếp ủa Γ tại ρ(s0) ó tâm tại điểm ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) và đi qua ρ(t0) đượ gọi là đường tròn mật tiếp với Γ tại ρ(s0). Γ ρ(s0) q B N T Nhận xt. Đường tròn mật tiếp với Γ tại ρ(t0) ó bán kính | 1 k(t0) |. Ví d. Cho đường ong Γ trong E3 xá định bởi tham số hóa r : R → E3 s 7→ r(s) = (cos s, sin s, s) Khi đó đường tròn mật tiếp với Γ tại r(0) ó phương trình:{ (x + 1)2 + y2 + z2 − 4 = 0 −y + z = 0 Thật vậy, ta ó Lấy tham số hóa tự nhiên 22 ρ : s 7→ ρ(s) = ( cos s√ 2 , sin s√ 2 , s√ 2 ) Khi đó: T (s) = ρ′(s) = 1√ 2 ( − sin s√ 2 , cos s√ 2 , 1 ) . T ′ (s) = 1 2 ( − cos s√ 2 ,− sin s√ 2 , 0 ) N(s) = T ′(s) ‖ T ′(s) ‖ = ( − cos s√ 2 ,− sin s√ 2 , 0 ) Suy ra k(s) = 1 2 . Tại s = 0, ta ó: N(0) = (−1, 0, 0), ρ(0) = (1, 0, 0). Ta xt mặt ầu S ó tâm I = ρ(0) + 1 k(0) N(0) = (−1, 0, 0) và bán kính R = 1 k(0) = 2. Khi đó S ó phương trình: (x + 1)2 + y2 + z2 − 4 = 0. Mặt khá ρ ′ (0) = (0, 1√ 2 , 1√ 2 ) và ρ ′′ (0) = (−1 2 , 0, 0) nên mặt phẳng mật tiếp với Γ tại ρ(0) là mặt phẳng qua ρ(0) = (1, 0, 0) ó v tơ pháp tuyến−→n = (0,−1, 1). Vậy đường tròn mật tiếp (với Γ) tại điểm ứng với r(0) = ρ(0) ó phương trình: { (x + 1)2 + y2 + z2 − 4 = 0 −y + z = 0 23 III. Mặt ầu mật tiếp tại mỗi điểm ủa đường ong trong E3. 2.10. Định nghĩa. Giả sử đường ong Γ đượ ho bởi tham số hóa ρ : s 7→ ρ(s). Mặt ầu S tâm q đi qua ρ(s0) đượ gọi là mặt ầu mật tiếp với Γ tại ρ(s0) nếu lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0)3 = 0 N B T q Γ ρ(s0) Bằng việ hứng minh tương tự như bổ đề 2.7, ta ó bổ đề sau 2.11. Bổ đề. Giả sử S là mặt ầu tâm q và đi qua điểm ρ(s0) ủa Γ. Khi đó lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0)3 = 0 khi và hỉ khi ϕ ′(s0) = ϕ′′(s0) = ϕ′′′(s0) = 0. Trong đó ϕ(s) = −→qρ2(s) −−→qρ2(s0). 2.12. Định lý. Giả sử Γ là đường ong trong E3 với tham số hóa tự nhiên ρ : s 7→ ρ(s), N là trường ve tơ pháp tuyến hính đơn vị, k là độ ong ủa nó và τ(s0) 6= 0. Khi đó mặt ầu S tâm q đi qua điểm ρ(s0) là mặt ầu mật tiếp ủa Γ tại ρ(s0) khi và hỉ khi q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + (1 k )′ (s0). 1 τ(s0) −→ B (s0) Chứng minh. Từ Bổ đề 2.11 ta ó: lim s→s0 d ( ρ(s), S ) (s− s0)3 = 0 ⇔ ϕ ′(s0) = ϕ′′(s0) = ϕ′′′(s0) = 0. Từ hứng minh Mệnh đề 2.8, ta ó: ϕ′′(s) = 2 + 2k(s)−→qρ(s).−→N (s) ⇒ ϕ′′′(s) = 2(k(s).−→qρ(s))′.−→N (s) + 2k(s).−→qρ(s).DN ds = 2 ( k′(s).−→qρ(s) + k(s).−→T (s))−→N (s)+ 24 +2k(s).−→qρ(s)(− k(s)−→T (s) + τ(s)−→B (s)) = 2 ( k′(s).−→qρ(s).−→N (s) + k(s)−→qρ(s)(− k(s)−→T (s) + τ(s)−→B (s))) Theo mệnh đề 2.8, thì: ϕ′(s0) = ϕ′′(s0) = 0 ⇔ q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0). (Từ đó suy ra S tiếp xú với Γ.) Mặt khá ϕ′(s0) = ϕ′′(s0) = ϕ′′′(s0) = 0 ⇔ ⇔ q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) k′(s0).−→qρ(s0).−→N (s0) + k(s0)−→qρ(s0) (− k(s0)−→T (s0) + τ(s0)−→B (s0)) = 0 ⇔ q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) k′(s0).−→qρ(s0).−→N (s0) + k(s0)−→qρ(s0)τ(s0)−→B (s0) = 0 ⇔  q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) −→qρ(s0) ( k′(s0) −→ N (s0) + k(s0).τ(s0). −→ B (s0) ) = 0 ⇔  q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0)( 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) )( k′(s0) −→ N (s0) + k(s0)τ(s0) −→ B (s0) ) = 0 ⇔  q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) k′(s0) k(s0) + ak(s0)τ(s0) = 0 ⇔  q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) a = − k ′(s0) k2(s0) . 1 τ(s0) , (do τ(s0) 6= 0) ⇔  q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + a −→ B (s0) a = (1 k )′ (s0). 1 τ(s0) . ⇔ q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + (1 k )′ (s0). 1 τ(s0) −→ B (s0) 25 Vậy S là mặt ầu đi qua ρ(s0) và ó tâm tại điểm q = ρ(s0) + 1 k(s0) −→ N (s0) + (1 k )′ (s0). 1 τ(s0) −→ B (s0) 2.13. Ví d. Đường đinh ố tròn trong E3 đượ xá định bởi ung tham số ρ : R → E3 t 7→ (cos s√ 2 , sin s√ 2 , s√ 2 ) Khi đó, quỹ tí h tâm á mặt ầu mật tiếp ủa ung đinh ố tròn đó ó phương trình q(s) = (− cos s√ 2 ,− sin s√ 2 , s√ 2 ). Chứng minh. Ta ó: T (s) = ρ′(s) = 1√ 2 ( − sin s√ 2 , cos s√ 2 , 1 ) . T ′ (s) = 1 2 ( − cos s√ 2 ,− sin s√ 2 , 0 ) N(s) = T ′(s) ‖ T ′(s) ‖ = ( − cos s√ 2 ,− sin s√ 2 , 0 ) B(s) = T (s) ∧N(t) = 1√ 2 ( sin s√ 2 ,− cos s√ 2 , 1 ) . B′(s) = 1 2 ( cos s√ 2 , sin s√ 2 , 0 ) . Do DT ds = k.N và DB ds = −τ.N, nên k(s) = τ(s) = 1 2 . Vậy quỹ tí h tâm mặt ầu mật tiếp ủa ρ là đường ong ó phương trình: q(s) = ρ(s) + 1 k(s) N(s) = (− cos s√ 2 ,− sin s√ 2 , s√ 2 ). IV. Đường tròn mật tiếp ủa đường ong trong E2. 2.14. Định nghĩa. Giả sử Γ là ung hính quy định hướng trongE2 xá định bởi tham số hóa tự nhiên s 7→ r(s), T là trường ve tơ tiếp xú đơn vị và {T,N} là trường m tiêu thuận ủa E2. Bộ {T,N} xá định như thế đượ gọi là trường m tiêu Frnet dọ ung hính quy Γ. 2.15. Mệnh đề. Cho Γ là ung hính quy định hướng trong E2 xá định bởi tham số hóa tự nhiên s 7→ r(s), {T,N} là trường m tiêu Frnet. Khi đó tồn 26 tại k sao ho: DT ds = kN DN ds = −kT Chứng minh. Do T.T = 1 nên DT ds .T = 0. Do đó: DT ds = kN Trong đó k là một hàm số dọ Γ gọi là hàm độ ong ủa Γ. Do T.N = 0 nên DT ds .N + T.DN ds = 0 hay DN ds = −kT . Vậy ta ó á ông thứ DT ds = kN DN ds = −kT Cá ông thứ trên gọi là ông thứ Frnet ủa Γ trong E2. Ví d. Trong mặt phẳng định hướng Oxy ho ung định hướng Γ với tham số hóa ρ(t) = (2t2,−t), ∀t ∈ R. Khi đó ông thứ Frnet dọ ung Γ là: DT dt = 4 16t2 + 1 .N DN dt = − 4 16t2 + 1 .T Chứng minh. Ta ó: ρ(t) = (2t2,−t) Đặt: { x(t) = 2t2 y(t) = −t ⇒ { x′(t) = 4t y′(t) = −1 ⇒ { x′′(t) = 4 y′′(t) = 0 27 ⇒ k(t) = x ′(t).y′′(t) − x′′(t).y′(t)(( x′(t) )2 + ( y′(t) )2)32 = x′(t).y′′(t) − x′′(t).y′(t)(√( x′(t) )2 + ( y′(t) )2)3 = 4t.0− 4(−1) ( √ 16t2 + 1)3 = 4 (16t2 + 1) 3 2 ⇒‖ ρ′ ‖ .k(t) = √ 16t2 + 1. 4 (16t2 + 1) 3 2 = 4 16t2 + 1 Do DT dt =‖ ρ′ ‖ (kN) DN dt = − ‖ ρ′ ‖ (kT ) Từ đó suy ra ông thứ Frnet dọ ung Γ là: DT dt = 4 16t2 + 1 .N DN dt = − 4 16t2 + 1 .T 2 Định nghĩa 2.16. Giả sử đường ong Γ định hướng, song hính quy trong E2 đượ xá định bởi tham số hoá tự nhiên ρ. Đường tròn C tâm q đi qua điểm ρ(t0) đượ gọi là đường tròn mật tiếp ủa Γ tại điểm ρ(t0) nếu lim t→0 d(ρ(t), C) (t− t0)2 = 0. Mệnh đề 2.17.Đường tròn C tâm q bán kính d(q, ρ(t0)) là đường tròn mật tiếp ủa Γ tại điểm ρ(t0) khi và hỉ khi q = ρ(t0) + 1 k(t0) −→ N (s0). Chứng minh. Ta ó: lim s→s0 d(ρ(s), S) (s− s0)2 = 0 ⇔ lim s→s0 d(ρ(s), q)− d(ρ(s0), q) (s− s0)2 = 0 28 ⇔ lim s→s0 (d(ρ(s), q)− d(ρ(s0), q))(d(ρ(s), q) + d(ρ(s0), q)) (s− s0)2(d(ρ(s), q) + d(ρ(s0), q)) = 0 ⇔ lim s→s0 d2(ρ(s), q)− d2(ρ(s0), q) 2d(ρ(s0), q)(s− s0)2 = 0 ⇔ lim s→s0 −→qρ2(s)−−→qρ2(s0) (s− s0)2 = 0 ⇔ lim s→s0 ϕ(s) (s− s0)2 = 0. Do ρ(s) khả vi nên ϕ(s) khả vi. Khai triển Taylor ủa ϕ(s) trong lân ận ủa s0, ta ó: ϕ(s) = 0 + ϕ ′ (s0).(s − s0) + 1 2! ϕ ′′ (s0).(s − s0)2 + ... (bậ ao hơn ủa (s− s0)2). Nên lim t→0 d(ρ(t), C) (t− t0)2 = 0 khi và hỉ khi ϕ ′ (t0) = ϕ ′′ (t0) = 0. Màϕ ′ (t) = 2. −−→ qρ(t). −−→ ρ ′ (t) = 2. −−→ qρ(t). −−→ T (t) ϕ ′′ (t) = 2 −−→ T (t)2 + 2 −−→ qρ(t). −−→ T ′ (t) = 2 + 2k(t) −−→ qρ(t). −−→ N(t). Nên ϕ ′ (t0) = ϕ ′′ (t0) = 0 khi và hỉ khi{−−−→ qρ(t0). −−−→ T (t0) = 0 2 + 2k(t0) −−−→ qρ(t0). −−−→ N(t0) = 0 ⇔ {−−−→ qρ(t0) ⊥ −−−→ T (t0) 2 + 2k(t0) −−−→ qρ(t0). −−−→ N(t0) = 0 ⇔ {−−−→ qρ(t0) = λ. −−−→ N(t0) 2 + 2k(t0) −−−→ qρ(t0). −−−→ N(t0) = 0 ⇔ {−−−→ qρ(t0) = λ. −−−→ N(t0) = 0 2 + 2k(t0).λ. −−−→ N(t0) −−−→ N(t0) = 0 ⇔  −−−→ qρ(t0) = λ. −−−→ N(t0) λ = − 1 k(t0) . ⇔ −−−→qρ(t0) = − 1 k(t0) . −−−→ N(t0) ⇔ q = ρ(t0) + 1 k(t0) −→ N (s0) 2 Nhận xt. Giả sử t 7→ ρ(t) = (x(t), y(t)) là tham số hóa ủa ung song hính quy Γ trong hệ toạ độ Des artes vuông gó thuận Oxy. Khi đó tâm ủa đường 29 tròn mật tiếp với Γ tại t ó tọa độ: X(t) = x(t)− y′(t). x ′(t)2 + y′(t)2 x′(t)y′′(t) − x′′(t)y′(t) Y (t) = y(t) + x′(t). x′(t)2 + y′(t)2 x′(t._.