Dung lượng của đa giác

H - 2011 LỜI MỞ ĐẦU Nội dung của luận văn là trình bày lại bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons” của các tác giả Alexander Yu. Solynin và Victor A. Zalgaller. Bài báo này chứng minh bài toán được đưa ra bởi Polya và Szego: Dung lượng loga của n-giác đều là nhỏ nhất trong các dung lượng loga của n-giác với diện tích không đổi. Năm 1951, Polya và Szego đã sử dụng phép đối xứng Steiner để chứng minh bài toán trong trường hợp 3,4n = . Với 5n ≥ , phương pháp này không giải quyết được. Năm 2004, Alexander Yu. Solynin và Victor A. Zalgaller đã chứng minh được bài toán trong trường hợp tổng quát 3n ≥ qua bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”. Ý tưởng chứng minh của bài báo này là quay về phương pháp cổ điển tìm diện tích của một đa giác: chia một đa giác thành các tam giác và sử dụng tính chất cộng tính của diện tích. Luận văn được chia thành 2 chương Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho chương 2, bao gồm các kiến thức về dung lượng loga, hàm Euler, hàm lõm và mođun rút gọn. Chương 2: Trình bày chứng minh kết quả của bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”, gồm có: • Mục 2.1: Giới thiệu bài toán (định lý 2.1). • Mục 2.2: Mối liên hệ giữa mođun rút gọn của một miền đơn liên D chứa ∞ trong ∞ với các mođun rút gọn của các tam giác tạo thành D . • Mục 2.3: Nội dung chính là chứng minh định lý 2.3.5: “nếu một n-giác D có bao lồi D có số cạnh lớn hơn hoặc bằng 3 thì có ít nhất một hệ các tam giác tỉ lệ phủ D ”. • Mục 2.4: Trình bày chứng minh định lý 2.1 • Mục 2.5: Trình bày một số áp dụng định lý 2.1 cho một số trường hợp cụ thể. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã gặp rất nhiều khó khăn, nhưng với sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Đông đã giúp tôi sáng tỏ nhiều vấn đề. Thầy không chỉ tìm giúp tôi những tài liệu tham khảo mà còn hướng dẫn chi tiết cách trình bày và chỉnh sửa luận văn.Tôi vô cùng cám ơn thầy. Tôi cũng xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán trường ĐH Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như phòng sau đại học của trường. Tôi cảm ơn bố mẹ và những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cám ơn một số bạn đã giúp tôi rất nhiều trong suốt khóa học cũng như đã cùng tôi tìm tài liệu. Một lần nữa, tôi xin chân thành cám ơn. MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................. 2 MỤC LỤC ................................................................................................... 4 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị .................................................................. 5 1.1.Dung lượng .......................................................................................................... 5 1.2.Hàm Euler .......................................................................................................... 12 1.3.Hàm lõm ............................................................................................................ 15 1.4.Mođun rút gọn ................................................................................................... 19 Chương 2: Dung lượng của đa giác ........................................................ 27 2.1.Giới thiệu bài toán ............................................................................................. 27 2.2.Mođun rút gọn của miền ngoài đa giác đều ...................................................... 27 2.3.Phủ tam giác của một đa giác ............................................................................ 34 2.4.Chứng minh định lý 2.1 ..................................................................................... 49 2.5.Áp dụng: Tính dung lượng của những đa giác đều. .......................................... 56 KẾT LUẬN ............................................................................................... 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 60 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1.Dung lượng Chứng minh các kết quả sau có thể xem trong [7]. Đầu tiên ta sẽ nhắc lại khái niệm và một số định lý cơ bản của dung lượng. Định nghĩa 1.1.1: Dung lượng loga của một tập E ⊂  được xác định bởi: ( ) ( ): sup Ic E e µ µ = , ở đây sup lấy trên mọi độ đo xác suất Borel µ trên  với giá của nó là một tập con compact của E. Đặc biệt nếu K là một tập compact với độ đo cân bằng v, thì ( ) ( ): Ic K e ν= . Có rất nhiều dung lượng khác thỏa tính chất này nhưng dung lượng loga có thuận lợi hơn do nó kết nối gần gũi với giả tích phức nhất. Trong luận văn này ta gọi tắt dung lượng loga là dung lượng. Định lí 1.1.2 a) Nếu 1 2E E⊂ thì ( ) ( )1 2c E c E≤ b) Nếu E ⊂  thì ( ) ( ){ }sup : , compactc E c K K E K= ⊂ c) Nếu E ⊂  thì ( ) ( )c E c Eα β α+ = với mọi ,α β ∈ d) Nếu K là một tập con compact của  thì ( ) ( )ec K c K= ∂ . Ta có dung lượng là một hàm tập hợp đơn điệu. Định lí 1.1.3 a) Nếu 1 2 3 ...K K K⊃ ⊃ ⊃ là các tập con compact của  và n n K K=  thì: ( ) ( )lim nnc K c K→∞= b) Nếu 1 2 3 ...B B B⊂ ⊂ ⊂ là các tập con Borel của  và n n B B=  thì: ( ) ( )lim nnc B c B→∞= Dung lượng không là hàm tập hợp cộng tính như độ đo. Tuy nhiên ta có mối liên hệ giữa dung lượng và hợp các tập hợp như sau. Định lí 1.1.4 Cho ( )nB là một dãy các tập con Borel của  , lấy n n B B=  và 0d > . a) Nếu ( )diam B d≤ thì khi đó ( )c B d≤ và ( ) 1 1 log log( ) n n d d c B c B ≤             ∑ b) Nếu ( ),j kdist B B d≥ với j k≠ thì ( ) 1 1 log log( ) n n d d c B c B + + ≥             ∑ . Mặc dù định nghĩa 1.1.1 là tốt trong việc đưa ra nhiều tính chất lý thuyết của dung lượng nhưng nó chưa thực sự đáp ứng cho việc tính dung lượng các tập đặc biệt. Ngay cả các trường hợp đơn giản nhất, như một đĩa, việc tính toán cũng cần đòi hỏi phải làm việc cật lực và hầu hết các tập hợp khác hầu như không thể. Tuy nhiên việc tính toán dung lượng các tập compact có phần đơn giản hơn vì nó dựa vào mối liên hệ giữa dung lượng và các hàm Green. Định lí 1.1.5 Cho K là một tập compact không là tập cực và D là thành phần của \ K∞ mà chứa ∞ . Khi đó: ( ) ( ) ( ), log log 1Dg z z c K o∞ = − + khi z →∞ Hệ quả 1.1.6 Nếu ω∈ và 0r > thì ( )( ),c B r rω = . Định lí 1.1.7 Cho 1 2,K K là những tập compact của  và 1 2,D D lần lượt là thành phần chứa ∞ của 1 2\ , \K K∞ ∞  . Nếu 1 2:f D D→ là một hàm phân hình thỏa: ( ) ( )1f z z ο= + khi z →∞ Khi đó: ( ) ( )2 1c K c K≤ ,đẳng thức xảy ra khi f là ánh xạ bảo giác của 1D lên 2D . Hệ quả 1.1.8 Nếu a b≤ thì [ ]( ), 4 b ac a b −= . Định lí 1.1.9 Cho K là một tập compact và ( ) 0 d j jj q z a z = =∑ ở đây 0da ≠ . Khi đó: ( )( ) ( ) 1/ 1 d d c K c q K a −  =      . Hệ quả 1.1.10 Nếu 0 a b≤ ≤ thì [ ] [ ]( ) 2 2, , / 2c b a a b b a− − = − . Định lí 1.1.11 Cho K là tập con compact của  và :T K → là ánh xạ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ,T z T A z z Kαω ω ω− ≤ − ∈ ở đây A và α là các hằng số dương. Khi đó: ( )( ) ( )c T K Ac K α≤ . Định lí 1.1.12 Cho K là một tập compact của  . (a) Nếu K liên thông và có đường kính là d thì: ( ) / 4c K d≥ (b) Nếu K là một đường cong khả trường có độ dài l thì: ( ) / 4c K l≤ (c) Nếu K là một tập con của trục thực có độ đo Lelesgue bằng m thì: ( ) / 4c K m≥ (d) Nếu K là một tập con của đường tròn đơn vị có độ đo cung là a , thì: ( ) ( )sin / 4c K a≥ Định lí 1.1.13 (Định lí một phần tư Koebe) Nếu f là một đơn ánh chỉnh hình trên ( )0,1B với ( )0 0f = và ( )' 0 1f = , thì: ( )( ) ( )0,1 0,1/ 4f B B⊃ . Định lí 1.1.14 Nếu K là một tập con compact của  với đường kính d thì ( ) / 2c K d≤ Sau đây ta sẽ trình bày một vài ví dụ về tính dung lượng của các tập compact . Ví dụ 1 : Tính dung lượng của K với K là một elip với bán kính trục a, b. Ta có thể đặt: ( )1 1, 1 .a r b r r r r = + = − > Xét: ( ): \ 0, \f B r K∞ ∞→  1z z z + Với ( )\ 0, 1.iz e B r rθρ ρ∞= ∈ ⇔ > > ( ) 1 1 1 1os sini if z z e e c i z θ θρ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ −    = + = + = + + −        Ta có: ( ) 1t t t ϕ = + và ( ) 1t t t ψ = − là các hàm tăng trên ( )1,+∞ . Mà 1rρ > > nên 1 1 1 1;r r r r ρ ρ ρ ρ + > + − > − . Vậy nếu ( )\ 0,z B r∞∈ thì ( ) \f z K∞∈ , do đó ( ): \ 0, \f B r K∞ ∞→  là ánh xạ chỉnh hình. Ta có: ( ) ( ) 2 1 1' 1 .f z z f z z z = + ⇒ = − ( )' 0f z ≠ với ( )\ 0,z B r∞∀ ∈ . Vậy f là ánh xạ bảo giác và ( ) ( )1f z z ο= + khi z →∞ . Theo định lý trên ta có: ( ) ( )( )0, .2 a bc K c B r r += = =  Ví dụ 2: Tính dung lượng của tập ( ) ( ) 2 1 0, 0,R .e , kn i n k K B r r R π = ∪       = ∪ < . Để tính ( )c K ta sẽ đi chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.15: Cho ( ) [ ]1 0,1 0, , 1K B R R= ∪ ≥ . Chứng minh rằng ( )1 2 1/ 4 R Rc K + += . Chứng minh: Đặt 1 1: \ \ 2,f K R R∞ ∞  → − +     , ( ) 1z f z z z = + . Ta chứng minh f là ánh xạ bảo giác. Thật vậy: Xét ( ) [ ]1\ 0,1 0,z K z R∞∈ ⇔ ∉ ∪ : Nếu ( ) 1 1,z z R f z z R z R +∈ > ⇒ = + > + nên ( ) 1\ 2,f z R R∞  ∈ − +    . Nếu , iz z re θ∉ = với 0 2 , 1,rθ π θ π ≠ , khi đó: ( ) 1 1 1os sin .f z z r c i r z r r θ θ   = + = + + −        Vì 1r > nên ( )Imf 0z ≠ suy ra ( ) 1\ 2,f z R R∞  ∈ − +    . Nếu z −∈ thì 1z < − . Ta có: ( ) 1f z z z = + nên ( ) 2 1' 1f z z = − . Bảng biến thiên: Do đó ( ) 1 12 2,f z z R z R  = + < − ∉ − +   , suy ra ( ) 1\ 2,f z R R∞  ∈ − +    . Nên 1 1: \ \ 2,f K R R∞ ∞  → − +     là ánh xạ chỉnh hình. Lại có: ( )' 0f z ≠ với ( ) [ ]\ 0,1 0,z B R∞∀ ∈ ∪ . Nên 1 1: \ \ 2,f K R R∞ ∞  → − +     là ánh xạ bảo giác, ( ) ( )1f z z ο= + khi .z →∞ Theo định lý 1.1.7 và hệ quả 1.1.8, ta có: ( )1 1212, 4 R Rc K c R R + +  = − + =     . Trở lại bài toán tìm ( )c K với ( ) ( ) 2 1 0, 0,R .e , kn i n k K B r r R π = ∪   = ∪ <    . Sử dụng phép vị tự tâm O, tỉ số 1k r = , đưa K về ( ) ( ) 2 2 0 1 11 1 R0,1 0, .e 0,1 0, . k kn ni i n n k k RK B B R e R r r π π = = ∪ ∪      = ∪ = ∪ =           . Xét ( ) nq z z= , ( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) [ ]( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 0,1 0, 0,1 0, 0,1 0, kn i n n k q K q B R q B q R B R e π − − − − = ∪ ∪ ∪= =   = ∪     Với 1 1 1 nnR R R R= ⇒ = , nên: ( ) ( ) ( )( ) 12 0 11 0,1 0, . kn i n n k c K c B R e c K π = ∪    = ∪ =      (Định lý 1.2.1.5) Do bổ đề 1.1.15, ta có ( ) ( ) ( ) 111 1 1 0 1 0 11 2 22 4 4 4 2 . 4 n n nnn n n n n n R rRR R r RRc K R r r Rc K r c K r         + + + + + +            = = =                  + +         ⇒ = =        Ví dụ 3: Tính dung lượng của { }0: .... .ddK z a z a r= + + ≤ Gọi D là thành phần của \ K∞ và chứa ∞ . Đặt: ( ) 1/ 0..., log dd da z ag z r  + +  ∞ =     . Vì ( ) 1/ 0... dd da z aq z r  + +  =     là hàm chỉnh hình, ( ) 0q z ≠ trên miền D nên ( ) 1/ 0..., log dd da z ag z r  + +  ∞ =     là hàm điều hòa trên { }\D ∞ , bị chặn bên ngoài mỗi lân cận của ∞ . Khi z →∞ thì ( ) ( ) 1/ 1/ 0, log ... log log 1 d d d d d a rg z z z a a ο     ∞ = + + − = +           . ( ), 0g z ∞ → khi z ζ→ với Dζ ∞∈∂ gần khắp nơi (vì Kζ ∈∂ ). Do đó: ( ) 1/ 0..., log dd da z ag z r  + +  ∞ =     là hàm Green của D . Mà ( ) ( ) ( ), log log 1Dg z z c K ο∞ = − + nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 0 1/ 1/ 0 1/ 1/ ... log log log 1 log ... log log log 1 log log dd d d d d d d d d d d a z a z c K r a rz z c K a a r rc K c K a a ο ο  + +   = − +         + + − = − +               ⇒ = ⇔ =           Vậy ( ) 1/d d r c K a   =     .  1.2.Hàm Euler Chứng minh các kết quả này có thể xem trong [6]. 1.2.1 Hàm Euler Gamma Định nghĩa 1.2.1.1 Hàm Euler Gamma được xác định bởi công thức: ( ) ( )1 0 :Re 0z tz t e dt z z ∞ − − ∞Γ = ∈ >∫  . Tính chất 1.2.1.2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 . 1 1, 1 !. 1 . . 2 1 1 1 ... 1 . . 1 , sin 1. 2 2 . 2 n n z i n n n n z z z ii z n z z z z z z z z z n iii z z z iv z z z π π π− Γ = Γ + = Γ = Γ + = Γ  ⇒ Γ + = Γ Γ + = + Γ +  = + + − Γ − Γ =  Γ Γ + = Γ    Cho F là hàm xác định bởi ( ) ( ) ( )( )0 , , , . ! n n n n n a b tF a b c t c n ∞ = =∑ , ( ) ( ) ( )( )1 .... 1na a a n a= + − + , ta có các công thức sau: .v Công thức Gauss: Với ( )Re 0a b c+ − < thì ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ; ;1 . c c a b F a b c c a c b Γ Γ − − = Γ − Γ − .vi Công thức Kummer: Nếu Re 1, 0b a b< − ≥ thì ( ) ( ) ( ) 1 1 2, ;1 ; 1 . 1 1 2 aa b F a b a b a b a  Γ + − Γ +   + − − =  Γ + − Γ +    .vii Công thức Dougall: Nếu ,a b không là những số nguyên và ( ) ( )1 Re Rea b c d+ + < + thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 . sinn a n b n c d a b c n d n a sin b c a c b d a d b π π π ∞ =−∞ Γ + Γ + Γ + − − − = Γ + Γ + Γ − Γ − Γ − Γ −∑ . Ví dụ: 3 5 3 2 2 2 4 1 7 15 2 2 8 π π ππ    Γ = Γ =           Γ = Γ =        Với số thực z đồ thị của hàm Gamma có dạng như sau 1.2.2 Hàm Euler Beta: • Hàm Beta của ,p q∈ , ký hiệu ( ),B p q , xác định bởi: . ( ) ( ) ( ) 1 11 0 , 1 Re 0, Re 0qpB p q t t dt p q−−= − > >∫ . Vì ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 0 1 1 , 1 1 2 .... ! q nn n n q t t q q q n q n ∞ − = − − = − = − − −∑ hội tụ đều với 0 1t≤ ≤ , nên khi thế vào tích phân ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , 1 ! 1 ! 1 1. ! 11 . 1 , ; 1;1 ! 1 11 1 qp p nn n p nn n n n n n n n q B p q t t dt t t dt n q t dt n q n p n q p F q p p p n p p q p q p p q p q ∞ −− − = ∞ + − = ∞ = ∞ = −  = − =     − = − = + − = = − + + Γ + Γ Γ Γ = = Γ + Γ Γ + ∑∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ Với ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 ... , 1 .. 1 .n nq q q n q p p p n p− = − − − = + − + • Những biểu diễn khác của hàm Beta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 22 0 1 0 1 11 0 , 2 sin os sin , 1 , 1 1 . 1 p q p qp p q p q B p q c d t d t d t π θ θ θ θ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ − − ∞ − −− − − + = =   = + = +   + = = +  +   ∫ ∫ ∫ 1.2.3 Đạo hàm của hàm Euler Gamma ( ký hiệu: ( )zψ ) Công thức: ( ) ( )( ) ( ) 1 ' 1 1 1' 1 2 n z z z n z n ψ ∞ = Γ  = = − −Γ + − Γ +  ∑ . Do đó: ( ) ( ) ( ) , 2 1 0 1 1 1 1' ' 1 . 2 n n z n z n z n ψ ∞ ∞ = =   = − + Γ + − =  +  +  ∑ ∑ 1.2.4 Hằng số Euler ( ký hiệu γ ) Ta có: ( ) ( )( ) 1 ' 1 1 γ ψ Γ = − = − Γ , theo tính toán thì 0.5772156649......γ = Ngoài ra hàm γ còn được biểu diễn dưới dạng: ( ) 1 1 1 11 1 1 1 1lim 1 .... . 2 n n Log Log Log n Log n n n n Log n n γ γ ∞ = →∞       = − + + = + −               ⇒ = + + + −    ∑ Khi đó, theo Weierstrass ta có dạng biểu diễn của hàm Gamma: ( ) 1 1 1 . zz n n e zz e z n γ −− ∞ =  Γ = ∏ +    1.3.Hàm lõm Đầu tiên ta sẽ nhắc lại một vài khái niệm liên quan tới hàm lõm. Khái niệm Cho nX R⊂ 3.1.1 : ,f X R→ là hàm lõm tại x X∈ nếu với điểm y X∈ bất kỳ và [ ]0,1λ∈ thì ( ) ( ) ( ) ( )1 1 .f x y f x f yλ λ λ λ− + ≥ − +   3.1.2 : ,f X R→ là hàm lõm trên X nếu với hai điểm bất kỳ [ ], , 0,1x y X λ∈ ∈ thì ( ) ( ) ( ) ( )1 1 .f x y f x f yλ λ λ λ− + ≥ − +   3.1.3 f là lồi tại x X∈ nếu f− lõm tại x X∈ . 3.1.4 f là lồi trên X nếu f− lõm trên X . 3.1.5 ( ): , nf X R X R→ ⊂ là hàm lõm ngặt trên X nếu ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,f x y f x f yλ λ λ λ− + > − +   với [ ], 0,1x y λ≠ ∈ 3.1.6 Với mỗi z nằm giữa x và y , điểm ( )( ),z f z trên đồ thị của f nằm trên đường thẳng nối hai điểm ( )( ) ( )( ), , ,x f x y f y . Ta sẽ trình bày một số định lý được sử dụng ở chương 2. Định lí 1.3.7 Một hàm liên tục lõm trên nX R⊂ nếu và chỉ nếu ( ) ( ) 2 2 f x f yx yf ++  ≥    , , .x y X∈ Định lí 1.3.8 f lõm trên X ⇔ ( ) ( )( ) ( ) f y f xf t f x t x y x −− ≥ − − , với mọi , ,x t y X∈ thỏa x t y≤ ≤ . Chứng minh Với ,x y bất kỳ trong X ( )x y≠ . Vì x t y≤ ≤ nên tồn tại [ ]0,1t x y x λ −= ∈ − thỏa ( )1t x yλ λ= − + . Ta có: ( ) ( )( ) ( ) f y f xf t f x t x y x −− ≥ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 t xf t f x f y f x y x f t f x f y f x f x y f x f y f x f x y f x f y λ λ λ λ λ λ λ λ λ − ⇔ − ≥ −  − ⇔ − ≥ −   ⇔ − + ≥ + − ⇔ − + ≥ − + f⇔ là hàm lõm trên X .  Định lí 1.3.9 Cho f là hàm xác định trên tập mở nX R⊂ và f khả vi bậc hai tại x X∈ . Nếu f lõm tại x thì ( )''f x là nửa xác định âm ( )0≤ với mọi ny R∈ . ( ( )''f x là đạo hàm bậc hai của f tại x ) Chứng minh Có thể xem trong [3]. Định lí 1.3.10: (Bất đẳng thức Jensen) Cho f là hàm lõm trên X , với [ ]0,1iλ ∈ thỏa 1 1 n i i λ = =∑ và 1 2, ,..., nx x x X∈ thì ( ) 1 1 n n i i i i i i f x f xλ λ = =   ≥    ∑ ∑ . ( )1.3.10.1 Chứng minh Xét 2n = , ta có 1 2 1λ λ+ = nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 2 * 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 f x x f x x f x f x f x f x λ λ λ λ λ λ λ λ + = − +   ≥ − + = + ( bất đẳng thức (*) xảy ra do f là hàm lõm) Suy ra ( )1.3.10.1 đúng. Giả sử ( )1.3.10.1 đúng tới n k= nghĩa là ( ) 1 1 k k i i i i i i f x f xλ λ = =   ≥    ∑ ∑ . Ta sẽ chứng minh ( )1.3.10.1 đúng với 1n k= + . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k i i k k i i i i k i k k k i i k k i k k k i i k f x f x f x f x f x f x f x λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + = = + + + = + + + + = + = + = + − −   ≤ + −  −  ∑ ∑ ∑ ∑ ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k i k k k i i k k k k k i i i i i i f x x f x x f x λ λ λ λ λ λ λ + + + = + + + + = =   ≤ + − −      ≤ + =        ∑ ∑ ∑ Suy ra ( )1.3.10.1 đúng.  Trường hợp 1 2 1.... n n λ λ λ= = = = , { }( )1,..,ix i n∈ bất kỳ trong X thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 11.3.10.1 n i n n i i i i i n i n i i i x f f x f x n n n x nf f x n = = = = =      ⇔ ≥ =            ⇔ ≥       ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Trường hợp 1 2 1.... n n λ λ λ= = = = , 1 1 n i i x = =∑ thì ( ) ( ) 1 1 1.3.10.2 . n i i nf f x n =   ≥    ∑ 1.4.Mođun rút gọn Mođun rút gọn đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh kết quả bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”. Tuy nhiên trước khi nói về mođun rút gọn, ta sẽ trình bày khái niệm và các tính chất mođun của họ đường cong. Trước hết ta đưa ra khái niệm mođun của họ đường cong { }γΓ = trong ∞ . Định nghĩa 1.4.1: Cho họ đếm được các đường cong khả trường địa phương { }γΓ = trong ∞ , ( )zρ là hàm đo được không âm trên ∞ . Gọi LP là tập những metric bất biến bảo giác ( )z dzρ xác định trên ∞ thỏa: ( ) ( ) ( ) ( )2 1.4.1). 1 , , ; 1.4.2). Lz dz P A z dxdy z x iy γ ρ ρ γ ρ ρ ≥ ∀ ∈ ∈Γ = < ∞ = + ∫ ∫∫  Các metric ( ) Lz dz Pρ ∈ này được gọi là chấp nhận được đối với Γ . Nếu LP ≠ ∅ thì mođun của họ đường cong Γ , ký hiệu ( )mod Γ , là đại lượng: ( ) ( ) ( )mod inf , .LA z dz Pρ ρΓ = ∈ Nếu tồn tại một metric ( )* Lz dz Pρ ∈ sao cho ( ) ( )*mod A ρΓ = thì metric này được gọi là metric cực đại. Giả sử 1 2, ,..., nΓ Γ Γ là họ các đường cong trong ∞ . Ta ký hiệu 1 n i i= Γ∑ họ tất cả các đường cong { }γ , mà mỗi đường cong này đều chứa những thành phần ( )1,..., , .i i ii nγ γ= ∈Γ Định lý 1.4.2: Cho họ đường cong ( ),i i iD D ∞Γ ⊂ ⊂  , i jD D∩ =∅ với , ii j D≠ là các miền. Nếu 0iα ≥ và 1 1 n i i α = =∑ , thì ( )2 1 1 mod mod n n i i i i i α = =   Γ ≤ Γ    ∑ ∑ ( )1.4.3 Nếu ( )* Lz dz Pρ ∈ là metric cực đại đối với , 1,...,i i nΓ = thì đẳng thức trong ( )1.4.3 xảy ra khi và chỉ khi metric ( ) ( )* * 1 n i i i z dz z dzρ α ρ = =∑ là metric cực đại đối với 1 n i i= Γ = Γ∑ . Chứng minh: Giả sử metric ( )i z dzρ là chấp nhận được đối với họ đường cong iΓ . Không giảm tính tổng quát, giả sử ( )i zρ xác định trên iD . Khi đó metric  ( ) ( )* 1 n i i i z dz z dzρ α ρ = =∑ là chấp nhận được đối với .Γ Thật vậy nếu 1 n i i γ = ∈Γ = Γ∑ thì 1 n i i γ γ = =∑ với .i iγ ∈Γ Ta có:  ( ) ( ) 1 1 i n i i i z dz z dz γ γ ρ α ρ = = ≥∑∫ ∫ , và ( )  ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 1 mod 1.4.4 i i n n i i i i i iD D z dxdy z dxdy z dxdyρ α ρ α ρ ∞ = = Γ ≤ = = < ∞∑ ∑∫∫ ∫∫ ∫∫  . Lấy infimum hai vế, ta được ( ) ( )2 1 mod mod n i i i α = Γ ≤ Γ∑ . Đẳng thức xảy ra trong ( )1.4.3 được suy ra từ ( )1.4.4 khi ta thay metric  ( )z dzρ bằng metric ( )* z dzρ .  Sau khi đã có khái niệm về mođun của họ đường cong, ta sẽ đi vào phần quan trọng của mục 1.4 này. Cho E là tập compact của  , gọi ( )EΩ là thành phần liên thông chứa ∞ của \ E∞ . Nếu E là tập compact liên thông thì ( )EΩ là miền đơn liên chứa ∞ . Định nghĩa 1.4.3 Giả sử { }:RC z z R= = . Với 0R > đủ lớn, ( )R EΩ là miền hai liên nằm giữa E và RC . Ta gọi mođun của ( )R EΩ là mođun của họ đường cong tách các thành phần biên của ( )R EΩ , ký hiệu là ( )( )mod R EΩ . Khi đó có một giới hạn hữu hạn ( )( ) ( )( ) 1, lim mod log 2RR m E E R π→∞  Ω ∞ = Ω −    gọi là mođun rút gọn của ( )R EΩ tại z = ∞ . Giả sử ( )0 1 2, ,D D a a a= là một hình ba cạnh với các đỉnh 0 1 2, ,a a a , D ∞⊂  là miền đơn liên, D có một đỉnh 0a ≡ ∞ . Đặt: { }:RU z z R= < , R RD D U= ∩ , R Rl D C= ∩ , Ở đây Rl chỉ chứa một thành phần liên thông khi 0R > đủ lớn, RD là một tứ giác với 1 2a a và Rl là hai cạnh không có điểm chung. Gọi ( )mod RD : mođun của RD với họ đường cong tách cạnh 1 2a a ra khỏi Rl trong RD . Giả sử ( )0 2ϕ ϕ π< < là góc trong tại đỉnh 0a ≡ ∞ của D . Giới hạn ( ) ( ) ( )( )1 2; | , lim mod 1/ logRRm D a a D Rϕ→∞∞ = − được gọi là mođun rút gọn của D tại ∞ . (Giới hạn trên tồn tại và hữu hạn . Một điều kiện đủ để giới hạn trên tồn tại được chứng minh trong [10]). Ví dụ: Xét ( ) { }, : ,0 argD P P z z zρ α ρ α= = = > < < có đỉnh 0 1 2, ,a a a tương ứng lần lượt là , ,ie αρ ρ∞ . Gọi { }:RD D z z R= ∩ = , { } { }, : ,RD z z r r Rγ γ ρ∞Γ = ⊂ = ∩ = < < . Ta thấy metric 1 dz zα là chấp nhận được. Thật vậy, đặt ( )( )0,iz re ϕ ϕ α= ∈ ta có với đường cong khả trường tách các biên γ thì 2 2 21 1 1 1dz dr r d d z rγ γ γ ϕ ϕ α α α = + ≥ ≥∫ ∫ ∫ , Ngoài ra 2 2 2 1 1 1 1 log . R Rrdrd dr d r r γρ ϕ ϕ α α α ρ ∞ = =∫∫ ∫ ∫  Cho  ( )z dzρ là metric bất kỳ chấp nhận được đối với Γ . Đặt ( )( )0,iz re ϕ ϕ α= ∈ Ta có:  ( )  ( )  ( ) 11 .z dz z rd z d rγ γ γ ρ ρ ϕ ρ ϕ= ≥ ⇒ ≥∫ ∫ ∫ Do đó:  1 1 1 1 1 log . R R Rdrd dr d dr rγρ ρ ρ ϕ ρ ϕ α α α α ρ ∞ = ≥ =∫∫ ∫ ∫ ∫  Lại có:    2 2 2 1 2 10 rdrd rdrd drd drd r r ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ α α α ∞ ∞ ∞ ∞  ≤ − = − +   ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫          2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 1log 2 1log log 1 log R drd drd rdrd r R d dr rdrd r R R d rdrd R rdrd γ ρ α ρ ϕ ϕ ρ ϕ α α ϕ ρ ϕ α ρ α ϕ ρ ϕ α ρ α ρ ρ ϕ α ρ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≤ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫       Do đó ( ) ( ) 1 1 1mod mod log log log .R RD R ρ α ρ α α = Γ = = − ( ) ( )1 2 1; | , lim mod log 1 1 1lim log log log 1 log . RR R m D a a D R R R α ρ α α α ρ α →∞ →∞  ∞ = −     = − −    = −  Tính tương tự ta có ( ) 1 4; | 0, logm H ρ π ρ ∞ = với { }: Im 0H z z= > có các đỉnh là ,0,ρ∞ . Sự thay đổi của các mođun rút gọn qua các ánh xạ bảo giác được thể hiện qua các kết quả sau. Định lý 1.4.4 Cho ke lần lượt là các đỉnh của tam giác D , ϕ góc trong của D tại đỉnh 0e ≡ ∞ . Nếu ( ) ( ): ,ff D D f D z f zς→ = = là đồng cấu bảo giác, ( ) , 0, 1, 2k kf e kς = = và nếu trong lân cận 0 1, \ RB e CR ∞  = ⊂     ,( R đủ lớn) ta có: ( ) ( ) ( )( )0 0 1 1f z a z e ας ο= + − + với ( )1 0ο → khi 0z e→ , 0α > thì ( ) ( )0 1 2 0 1 2 1; | , ; | , logm D m D e e e aς ς ς ϕα = − . Chứng minh: Qua ánh xạ f , góc trong ϕ tại đỉnh 0e ≡ ∞ có ảnh là αϕ tại đỉnh 0ς ≡ ∞ . Lấy z B∈ , ( ) ( ) ( )( )0 1 0 1 1f z a z e ας ο= + − + ( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 0 0 1 1 1 1 1 a z e a R α α ς ς ο ς ς ο ⇔ − = − + ⇔ − = + 0 1 1 10 : 1 1a a R R R R Rα α δ δ ς ς δ        ∃ > − ≤ − ≤ +                  , trong đó, 1 0 R δ   →    khi R →∞ . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 mod mod mod 1.4.5R Rf R f a a R R D D D α α δ δ      + −                      ≤ ≤            Thêm 21 1log 1a R R α δ αϕ   − −       vào ( )1.4.5 , ta được ( ) ( )2 2 11 1 1 1 1mod log 1 mod log 1Rf R a R D a R D a R R Rα α α δ δ δ αϕ αϕ  +                − − ≤ − −                  ( ) 2 11 1 1mod log 1Rf a R D a R Rα α δ δ αϕ  −            ≤ − −           Ta có : ( ) ( )2 21 1 1 1 1mod log 1 mod log log 1R RD a R D a RR R α δ δ αϕ αϕ ϕ       − − = − − −              ( )1 2 1: | , log khim D e e a R αϕ = ∞ − →∞ Và khi R →∞ , ( ) ( ) 21 2 11 1 1; | , mod log 1Rf f a R m D D a R Rα α δ ς ς δ αϕ  +            ∞ = − −           ( ) ( ) 21 2 11 1 1; | , mod log 1Rf f a R m D D a R Rα α δ ς ς δ αϕ  −            ∞ = − −           Dẫn đến: ( ) ( )1 2 1 2 1; | , ; | , log .fm D m D e e aς ς αϕ∞ = ∞ −  Nhận xét: Áp dụng định lý 1.4.4, nếu :f H D→ là ánh xạ bảo giác thỏa: ( ) ( )( ) ( )1 1 , 0, 0, 1 0f A Aας ς ο α ο= + > ≠ → khi ς →∞ , ( ) ( ) ( )1 2., 0 , 1f f a f a∞ = ∞ = = thì: ( ) ( )1 2 1; | , ; | 0,1 logm D a a m H A απ ∞ = ∞ − 1 1log 4 log .A π απ = − Mối liên hệ giữa mođun rút gọn và dung lượng được thể hiện qua kết quả sau. Định lý 1.4.5 Cho E là một tập compact, ( )EΩ là miền đơn liên với ( ) \E E∞∞∈Ω ⊂  . Khi đó ( )( ) ( )( )1, log 2 m E c E π Ω ∞ = − . Chứng minh: Chứng minh định lý này, ta sử dụng bổ đề sau (có thể xem chứng minh trong [5]) . Bổ đề 1.4.6 Cho K là một tập compact của  , \B K∞⊂  , B là miền đơn liên ( )B∞∈ , khi đó môđun rút gọn của B liên quan tới điểm z = ∞ bằng ( ) 1, 2 m B γ π ∞ = trong đó γ được xác định qua công thức của hàm Green ( ) ( ), log 1 ,Bg z z zγ ο∞ = − + + →∞ Trở lại chứng minh định lý Ta có: ( )EΩ là thành phần của \ E∞ mà chứa ∞ . Khi đó định lý 1.1.5: ( ) ( ) ( ) ( ), log log 1Eg z z c E oΩ ∞ = − + khi z →∞ Theo bổ đề 1.4.6 ta có ( )( ) ( )1, log . 2 m E c E π Ω ∞ = −  Kết quả sau kết nối mođun rút gọn của D với mođun rút gọn của các tam giác được phân tích từ miền đơn liên D . Định lý 1.4.7 Cho 1,...., nT T là những tam giác rời nhau trong miền đơn liên D, D ∞∞∈ ⊂  sao cho kT có một đỉnh 0ka tại ∞ và cạnh đối diện  1 2 k ka a trên D∂ . Giả sử kT có một góc ( )2 0, 2kπα π∈ tại đỉnh 0ka và với mọi 1,...,k n= mođun rút gọn của kT tại ∞ tồn tại. Nếu 1 1n kk α= =∑ thì ( ) ( ) ( )2 1 2 1 , ; | , 1.4.6 n k k k k k m D m T a aα = ∞ ≤ ∞∑ Giả sử f là ánh xạ bảo giác từ D lên { }* \ : 1U z z∞= < sao cho ( )f ∞ = ∞ . Khi đó đẳng thức trong ( )1.4.6 xảy ra nếu và chỉ nếu với mọi 1,...,k n= , ( )kf T là hình quạt tròn vô hạn (góc mở 2 kπα ) và ( )( )1,2kif a i = lần lượt là các đỉnh hình quạt này. Chứng minh: Giả sử ( )*k Lz dz Pρ ∈ là metric cực đại xác định ( )1 2; | ,k kkm T a a∞ với 1, 2,...., .k n= Khi đó metric  ( ) ( )* 1 n k k i z dz z dzρ α ρ = =∑ là metric chấp nhận được xác định ( );m D ∞ . Ta có ( ) ( ) ( )2mod inf , R R D D z dxdyρ= ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2* 1 2 1; | , lim log 2 k R k k k kR kT m T a a z dxdy Rρ πα→∞    ∞ = −     ∫∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2*mod , k R k kR T T z dxdyρ= ∫∫ Suy ra ( ) ( ) 1; lim mod log 2RR m D D R π→∞  ∞ = −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 * 1 222 * 1 2 1 2 1 1lim log 2 1lim log 2 lim log 2 ; | , R k R k R R D n k kR k kT n k k kR k kT n k k k k k z dxdy R z dxdy R z dxdy R m T a a ρ π α ρ πα α α ρ πα α →∞ →∞ = →∞ = =   ≤ −        ≤ −          ≤ −      ≤ ∞ ∫∫ ∑ ∫∫ ∑ ∫∫ ∑ Chứng minh điều kiện để đẳng thức xảy ra có thể xem trong [10]. ( Trên hình vẽ điểm tại ∞được biểu diễn bằng điểm hữu hạn 0a ) . Chương 2: Dung lượng của đa giác 2.1.Giới thiệu bài toán Nội dung chính của chương này là trình bày lại chứng minh của bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons” của các tác giả Alexander Yu. Solynin và Victor A. Zalgaller. Nội dung của bài báo là kết quả sau Định lý 2.1 Nếu nD là đa giác có số cạnh 3n ≥ cho trước, thì ( ) ( ) ( ) ( ) * * 222 4 2 1tan 1 Area Area 1 1.2 2 n n nn nD D DD ncc n n n π π                  Γ + ≥ = Γ + trong đó ( ).Γ ký hiệu của hàm gamma Euler, *nD là n-giác đều có tâm tại 0z = và có một đỉnh tại 1z = , ( )Area nD là diện tích của đa giác nD , ( )nc D là dung lượng của bao đóng đa giác nD . Đẳng thức xảy ra khi đa giác nD là đa giác đều. ._.