Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

í Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin cảm ơn các quý thầy đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu. Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian vectơ tôpô.......................................................................... 3 1.2. Không gian vectơ khả mêtric ................................................................ 4 1.3. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc ........................................... 6 1.4. Không gian đầy đủ ................................................................................ 7 1.5. Ánh xạ tuyến tính.................................................................................. 7 1.6. Không gian lồi địa phương ................................................................... 7 1.7. Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều ............................... 11 Chương 2. LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU 2.1. Không gian đối ngẫu........................................................................... 12 2.2. Hệ đối ngẫu ......................................................................................... 15 2.3. Pôla...................................................................................................... 19 2.4. Song pôla............................................................................................. 21 2.5. Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu ................................................... 23 2.6. Tôpô trên không gian đối ngẫu. Định lí Mackey-Arens..................... 25 2.7. Tôpô mạnh .......................................................................................... 30 Chương 3. MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT 3.1. Không gian thùng................................................................................ 35 3.2. Không gian phản xạ ............................................................................ 40 3.3. (DF) - Không gian............................................................................... 43 3.4. Đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet (F - không gian) và (DF) - không gian................................................................................ 48 KẾT LUẬN .................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 55 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và không gian vectơ tôpô nói riêng. Do đó, việc nghiên cứu một cách đầy đủ và phát triển lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương là một vấn đề quan trọng và cần thiết. 2. Mục đích Tìm hiểu về lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt như : không gian phản xạ, không gian thùng và (DF) – không gian. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến, trong phương trình đạo hàm riêng và nhiều ngành toán học khác. 5. Cấu trúc của luận văn. Gồm ba chương Chương đầu giới thiệu các kiến thức cơ bản về không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương, đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương sau. Chương thứ hai trình bày các khái niệm của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương như : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫu, mà kết quả quan trọng nhất là định lý Mackey-Arens. Chương cuối của luận văn nhằm mục đích trình bày một số lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ và đặc biệt là (DF) - không gian, lớp các không gian chứa các không gian đối ngẫu của các không gian Frechet. Các kết quả quan trọng trong các không gian đó được xây dựng dựa trên các kết quả của lý thuyết đỗi ngẫu. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày các kiến thức cơ bản và một số kết quả trong không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương được sử dụng trong các các chương sau . 1.1. Không gian vectơ tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ trên trường K ( K  R hoặc K C ). Một tôpô  trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E ) nếu phép cộng : E E E   và phép nhân vô hướng . : K E E  liên tục. Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ tôpô. 1.1.2. Định lý Cho E là một không gian vectơ tôpô. Khi đó: a) Với mọi a E , phép tịnh tiến x  x + a là phép đồng phôi từ E lên E. Đặc biệt, U là một cơ sở lân cận của 0 E thì a + U = {a U, U  U} là cơ sở lân cận của a E . b) Với mọi K, 0   , ánh xạ x x là phép đồng phôi E lên E. Đặc biệt, U là lân cận của 0 E thì U, 0   là lân cận của 0. Theo định lý 1.1.2, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ sở lân cận của 0. Sau này lân cận của 0 được gọi vắn tắt là lân cận. 1.1.3. Định nghĩa Tập con A của không gian vectơ E gọi là hút nếu n 1 nA E   U . Gọi là cân nếu x A thì với mọi K, 1   đều có x A  . 1.1.4. Định lý Nếu U là một cơ sở lân cận trong E thì với mọi UU ta có: a) U là tập hút b) Tồn tại VU sao cho V V U  c) Tồn tại lân cận cân W sao cho W U 1.1.5. Hệ quả Trong không gian vectơ tôpô, mọi lân cận U đều chứa một lân cận đóng. 1.1.6. Hệ quả Cho U là một cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô E. Khi đó E là Hausdorff nếu và chỉ nếu   U U 0   U I 1.1.7. Định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn Giả sử E là không gian vectơ. Hàm p xác định trên E và nhận giá trị thực gọi là nửa chuẩn trên E nếu i) p(x) 0, x E.   ii) p( x) p(x), x E.     iii) p(x y) p(x) p(y), x, y E     . Nửa chuẩn p gọi là một chuẩn nếu p(x) 0 x 0   . 1.1.8. Định nghĩa Một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó gọi là không gian định chuẩn. 1.2. Không gian vectơ khả mêtric 1.2.1. Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian khả mêtric nếu tồn tại một mêtric d sinh ra tôpô của E. 1.2.2. Định lý Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric nếu và chỉ nếu E có một cơ sở lân cận đếm được. Trong trường hợp đó tồn tại hàm x x từ E lên R thỏa mãn : a) x x , x E, K, 1       ; b) x y x y , x, y E     ; c) x 0 x 0   ; d) Mêtric d(x,y) = x y sinh ra tôpô của E. Chứng minh Giả sử  nV là một cơ sở lân cận cân của E thỏa mãn n 1 n 1 nV V V   với mọi nN . (1) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng H  , đặt H n n H V V   . Ta có HV là lân cận cân. Đặt nH n H p 2    . Từ (1) , bằng quy nạp theo số phần tử của H dễ dàng chứng minh nH H np 2 n H V V      (2) (ở đây n H nghĩa là n k với mọi k H ) . Đặt :   H H H H 1 khi x V , H x inf p : x V khi H,x V       ta có hàm x xa từ E vào . Dễ thấy  x 0;1 . Do HV cân nên 1) thỏa mãn. Hiển nhiên 2) đúng nếu x y 1  . Bây giờ giả sử x y 1  . Chọn 0  sao cho x y 2 1    . Khi đó tồn tại các tập con hữu hạn H và K của N sao cho Hx V , Ky V và H Kp x ,p y      . Vì H Kp p 1  nên tồn tại tập M sao cho H K Mp p p  . Do (1) ta có H K MV V V  . Từ đó suy ra Mx y V  và M H Kx y p p p x y 2        . Vậy có 2). Với mọi 0  , đặt  S x : x    . Ta có n 1 nn2 2S V S    với mọi nN . (3) Thật vậy, nx V thì nx 2 , do đó nn 2V S  . Mặt khác nếu n 1x 2  thì tồn tại H sao cho Hx V và nHp 2 . Từ đó theo (2) ta có nx V . Do E Hausdorff nên theo hệ quả 1.4 và (3) ta có tính chất 3) trong định lý. Theo (3) ta cũng có   0S  là cơ sở lân cận của 0 trong E. Vậy có tính chất 4) trong định lý. 1.3. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc 1.3.1. Định nghĩa Giả sử E là không gian vectơ tôpô. Tập con X E gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận U của 0 E , tồn tại 0  sao cho X V  . 1.3.2. Mệnh đề Giả sử E là không gian vectơ tôpô. Khi đó : a) Bao đóng của tập bị chặn là bị chặn b) Bội vô hướng của tập bị chặn là bị chặn c) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn là bị chặn 1.3.3. Định nghĩa Giả sử E là không gian vectơ tôpô tập con X E là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận U của 0 E , tồn tại tập hữu hạn B E để X B U  . 1.3.4. Định nghĩa Giả sử E là không gian vectơ tôpô và X E ta nói là tập compăc nếu mọi phủ mở của X, tồn tại một phủ con hữu hạn. 1.4. Không gian đầy đủ Cho không gian vectơ tôpô E. Dãy  nx E gọi là dãy Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tại 0n , sao cho m nx x U  , với mọi 0m,n n . Lưới Dx  gọi là lưới Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tại 0 sao cho : 0x x U, ,       . Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều hội tụ, gọi là đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Tập con A của E gọi là đầy đủ (đầy đủ theo dãy) nếu mọi lưới (dãy) Cauchy trong A đều hội tụ đến một điểm thuộc A. 1.5. Ánh xạ tuyến tính 1.5.1. Mệnh đề Nếu E và F là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính của E vào F thì f là liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc. 1.5.2. Định nghĩa Đặt (E,F)L là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, T  L (E,F). Ta nói T là đồng liên tục nếu với mỗi lân cận V trong F, tồn tại một lân cận U trong E sao cho f (U) V với mọi f T . 1.6. Không gian lồi địa phương Tập con A của một không gian vectơ gọi là tập lồi nếu  x, y A, 0,1   , đều có (1 )x y A     . Tập A lồi và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi. 1.6.1. Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian lồi địa phương nếu E Hausdorff và E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi. 1.6.2. Bổ đề Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff. Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương đương: a) E là không gian lồi địa phương. b) E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lồi. c) E có một cơ sở lân cận gồm các tập đóng tuyệt đối lồi. 1.6.3. Định nghĩa Cho A là tập con của không gian vectơ E. Khi đó:  A Ap (x) x inf 0 : x A     xác định một hàm từ E vào R , gọi là hàm cỡ, hay phiếm hàm Minkowski của tập A. 1.6.4. Bổ đề Với mọi tập con cân và hút A của không gian vectơ E, A  là một nửa chuẩn trên E. 1.6.5. Mệnh đề Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là một tập bị chặn trong E. Khi đó bao tuyệt đối lồi n n i i i i i 1 i 1 (A) x x : 1, x A, i 1,n,n                của A cũng bị chặn. 1.6.6. Bổ đề Cho E là một không gian lồi địa phương và p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó : a) p liên tục nếu và chỉ nếu p liên tục tại 0 E . b) U p . , U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục nếu và chỉ nếu U là lân cận của 0 E và    oU x E : p(x) 1 ,U x E : p(x) 1      . 1.6.7. Định nghĩa Cho không gian lồi địa phương E. Một họ U các lân cận của E gọi là một hệ cơ bản các lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện : a) x E,x 0,   tồn tại U , 0U   sao cho x U . b) Mọi lân cận V của 0 E , tồn tại UU và 0  sao cho U V  . Họ   I .   các nửa chuẩn trên E gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ các tập  U x : x 1   là một hệ cơ bản các lân cận của E. 1.6.8. Định lý Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn. Mọi hệ cơ bản các nửa chuẩn   I .   của E có tính chất sau a) Mọi x E,x 0,  tồn tại I sao cho x 0  b) Mọi , I  tồn tại I và C > 0 sao cho:  max , C      . 1.6.9. Bổ đề Nếu   I .   là một họ các nửa chuẩn có các tính chất a) và b) trong định lý 1.6.7 thì họ các tập  ,U (a) x E : x a , a E, I, 0           là cơ sở của tôpô lồi địa phương duy nhất trên E nhận   I .   làm hệ cơ bản các nửa chuẩn. Nếu họ các các nửa chuẩn có tính chất b) mà không có tính chất a) thì với tôpô trên, E có một cơ sở lân cận lồi nhưng không Hausdorff. 1.6.10. Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương Giả sử   Ip  là một họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Kí hiệu (I) là họ các tập hữu hạn khác rỗng của I. Với mọi M (I) , đặt M M p (x) max p (x) ta được họ các nửa chuẩn  M M (I)p  thỏa mãn tính chất b) trong định lý 1.6.8. Do đó theo bổ đề 1.6.9, họ các tập có dạng:  M, MU (a) x E : p (x a)      =   M x E : p (x a)     I = , M U (a)   I với mọi M (I) , 0, a E   là một cơ sở của một tôpô trên E. Với tôpô này, E là một không gian vectơ có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không Hausdorff. Tôpô này là tôpô yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn p , I  liên tục, gọi là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn   Ip  . Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) trong định lý 1.6.7 thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương. Bây giờ giả sử U là một họ khác rỗng các tập con tuyệt đối lồi và hút của không gian vectơ E. Khi đó tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn  U U U gọi là tôpô sinh bởi họ các tập tuyệt đối lồi và hút U . Nếu   U U 0  I U thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương. 1.6.11. Định lý Cho E và F là các không gian vectơ tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn tương ứng là   I Jp và q   . Khi đó, ánh xạ tuyến tính A : E F liên tục nếu và chỉ nếu mọi J tồn tại M (I) và c > 0 sao cho: M q (A(x)) c p (x),     với mọi x E . 1.6.12. Định nghĩa Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là : a) Không gian Frechet (hay còn gọi là F-không gian) nếu nó khả mêtric và đầy đủ. b) Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy đủ. 1.6.13. Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương. Ánh xạ tuyến tính f : E F gọi là bị chặn địa phương nếu f biến tập bị chặn trong E thành tập bị chặn trong F. 1.7. Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều 1.7.1. Định lý tách các tập lồi Giả sử F là không gian vectơ tôpô thực. A, B là hai tập lồi rời nhau trong E và A là mở. Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E và R sao cho: f (x) , x A    và f (x) , x B    . 1.7.2. Định lý Giả sử p là một nửa chuẩn trong không gian vectơ thực E và f là dạng tuyến tính trên một không gian con M của E sao cho f (x) p(x), x M   . Khi đó, tồn tại dạng tuyến tính g trên E thỏa mãn g(x) f (x), x M   và g(x) p(x), x E   . 1.7.3. Hệ quả Giả sử E là không gian vectơ trên trường K, a không thuộc E, p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho : f(a) = p(a) và f (x) p(x) với mọi xE 1.7.4. Nguyên lý bị chặn đều Giả sử E là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và   If  là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Khi đó nếu với mọi x E , I sup f (x)   thì I sup f   . Chương 2. LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU Chương này chúng ta sẽ trình bày các vấn đề của lý thuyết đối ngẫu bao gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫu. Bằng cách coi rằng các lân cận của điểm gốc là pôla của những tập nào đó trong không gian lồi địa phương, ta sẽ xác định được các tôpô lồi địa phương khác nhau trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương. Các tập hợp được sử dụng cho mục đích ấy là : lớp các tập hợp bị chặn. Định lý Mackey – Arens đặc trưng cho tất cả các tôpô lồi địa phương xác định cùng một hệ đối ngẫu cho trước, đó là các tôpô lồi địa phương mạnh hơn tôpô yếu và yếu hơn tôpô Mackey. 2.1. Không gian đối ngẫu 2.1.1. Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K. Ta kí hiệu *E L(E,K) là không gian các dạng tuyến tính trên E, E (E,K)  L là không gian các dạng tuyến tính liên tục trên E. Khi đó, *E và E là các không gian vectơ trên K. *E gọi là không gian đối ngẫu đại số của E và Egọi là không gian đối ngẫu của E. Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không gian lồi địa phương 2.1.2. Bổ đề Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Nếu q(x) < 1 kéo theo p(x) 1 thì p(x) q(x) với mọi x E . Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại 0x E và 0  sao cho 0 00 q(x ) p(x )    Khi đó: 0xq( ) 1 nhưng 0xp( ) 1 , (mâu thuẫn). Vậy p(x) q(x) với mọi x E . 2.1.3. Định lý Cho E là một không gian lồi địa phương, 1f là một dạng tuyến tính liên tục trên một không gian con M của E. Khi đó, tồn tại f E sao cho 1Mf f . Chứng minh Do 1f liên tục trên M nên tập  1V x : f (x) 1  là một lân cận của 0. Từ đó, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi U sao cho U M V  . Với mọi U x M, x 1  ta có: x U nên 1x U M V f (x) 1     . Theo bổ đề 2.1.2 ta có: 1 Uf (x) x , x M   . Theo định lí Hahn- Banach 1.7.2 tồn tại *f E sao cho: 1M f f và U f (x) x , x E   . Ta chứng minh f E . Thật vậy, với mọi 0 : x U   thì U f (x) x   nên f liên tục tại 0 suy ra f liên tục trên E hay f E . 2.1.4. Hệ quả Cho E là một không gian lồi địa phương. Khi đó với mọi a E, a 0  , tồn tại f E sao cho f (a) 1 . Chứng minh Đặt M a là không gian sinh bởi a, 1f là phiếm hàm trên M xác định bởi 1f ( a)   . Khi đó, với mọi 1 2, , , K     : 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2f ( a a) f (( )a) f ( a) f ( a)               1 1 1f ( ( a)) f (( )a) f ( a)         Vậy 1f là phiếm hàm tuyến tính trên M. Do E Hausdorff nên tồn tại lân cận tuyệt đối lồi U sao cho a U . Với mọi 0, a U    thì 1f ( a)   nên 1f liên tục tại 0, do đó, 1f liên tục trên M. Theo định lý 2.1.3, tồn tại f E sao cho 1Mf f . Từ đó ta có: f ( a) , K f (a) 1      . 2.1.5. Định lý Cho E là một không gian lồi địa phương, A là tập con tuyệt đối lồi và a A . Khi đó, tồn tại f E sao cho: a) f(a) > 1 b) f (x) 1, x A   . Chứng minh Do a A , E là Hausdorff nên có lân cận tuyệt đối lồi U sao cho (a U) A   . Đặt 1B A U 2   . Vì A tuyệt đối lồi nên 1 U B 2  , suy ra B tuyệt đối lồi, hút và 1B U 2    . Theo hệ quả 1.7.3, tồn tại *f E sao cho B f (a) a và B f (x) x với mọi x E . Do B x x liên tục nên f liên tục tức là f E . Ta chứng minh B f (a) a 1  . Giả sử B f (a) a 1  . Vì a B nên a B với mọi 1  . Lấy r > 1 sao cho U r 1 1a 1 r 2    ( do r 1 0 r   khi r 1 nên ta có thể lấy được như vậy). Do 1a rB rA r U 2    nên tồn tại 1x A, y U 2   sao cho: a rx ry  hay 1x a y r   . Vì x A nên x a U x a U     nên U U U U 1 r 1 r 1 11 x a a y a a y a 1 r r r 2            (mâu thuẫn). Vậy f(a) >1. Vì U hút nên với mọi x A , chọn 0  sao cho 1x U 2   . Ta có : 1(1 )x A U B 2      nên B B (1 ) x (1 )x 1      suy ra B x 1 . Vì B f (x) x nên f (x) 1, x A   . 2.1.6. Hệ quả Cho A là tập con tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E và a A . Khi đó, có f E sao cho f (a) f (A) . Chứng minh Theo định lý 2.1.5, tồn tại f E sao cho: f(a) > 1 và f (x) 1, x A   . Vì  f (A) K : 1 B     , mà B là tập đóng nên f (A) B nên f (a) B f (a) f (A)   . 2.2. Hệ đối ngẫu 2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường vô hướng K. .,. : E F K  là một dạng song tuyến tính. Ta gọi cặp ( E, F) là một hệ đối ngẫu nếu thỏa mãn hai điều kiện sau : 1) Với mỗi 0 x E  , tồn tại x F sao cho x,x 0  2) Với mỗi 0 x F  , tồn tại x E sao cho x,x 0  2.2.2. Chú ý Cho ( E, F) là hệ đối ngẫu thì với mọi x F , x x,xa là dạng tuyến tính trên E và với x ,x F, x x x E        để: x,x x 0 x,x x,x       Như vậy, ánh xạ x x,x  từ F vào *E là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất F là không gian con của *E . 2.2.3. Nhận xét 1) Nếu (E, F) là một hệ đối ngẫu. Khi đó, (F,E) với dạng song tuyến tính (x ,x) x,x a sẽ xác định hệ đối ngẫu (F, E). 2) Giả sử E là một không gian vectơ và *E là đối ngẫu đại số của nó. Khi đó, *(E,E ) với dạng song tuyến tính (x,f ) f (x)a trong đó *x E, f E  sẽ xác định hệ đối ngẫu *(E,E ) . 3) Giả sử E là một không gian lồi địa phương với không gian đối ngẫu là E’. Xét dạng song tuyến tính (x,f ) f (x), x E, f E a . Theo hệ quả 2.1.4, điều kiện 1) được thỏa mãn, còn điều kiện 2) là hiển nhiên, do đó (E, E) cùng với ( E , E) là các hệ đối ngẫu. 4) Cho E là một không gian lồi địa phương, F là không gian con của *E , E *F E  thì ( E, F) cũng là một hệ đối ngẫu. 2.2.4. Tôpô của hệ đối ngẫu. Tôpô yếu Cho ( E, F) là một hệ đối ngẫu. Tôpô lồi địa phương  trên E sao cho (E, ) F  gọi là tôpô của hệ đối ngẫu. Kí hiệu (E,F) là tôpô yếu nhất để mọi y F liên tục. Tôpô đó là tôpô lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn x y(x)a , hay là tôpô xác định bởi các hệ cơ bản các nửa chuẩn: M y M p (x) sup y(x) , M (F)   U ( (F)U là tập hợp các lân cận của 0 F ). 2.2.5. Định lý Cho (E, F) là một hệ đối ngẫu. Khi đó (E,F) là một tôpô của hệ đối ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó. Chứng minh Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 2.2.6. Bổ đề Cho E là một không gian vectơ và *0 1 2 ny , y , y ,..., y E . Khi đó, hoặc 0y là tổ hợp tuyến tính của 1 2 ny , y ,..., y hoặc tồn tại a E sao cho: 0 1 2 ny (a) 1, y (a) y (a) ... y (a) 0     . Chứng minh bổ đề Ta có thể giả sử 1 2 ny , y ,..., y độc lập tuyến tính và chứng minh bổ đề bằng quy nạp. Với n = 1: 1y 0 . Chọn 1a E sao cho 1 1y (a ) 1, x E   ta có: 1 1 1 1 1 1 1y (x y (x)a ) y (x) y (x)y (a ) 0     11 1 1 1x y (x)a y (0) N   . Do đó, hoặc tồn tại 1a N sao cho 0 1y (a) 1, y (a) 0  hoặc 0 1y (a) 0, a N   . Nếu 0 1y (a) 0, a N   thì 0 1 1y (x y (x)a ) 0, x E     0 0 1 1y (x) y (a )y (x), x E   hay 0 1y y  . Giả sử kết quả đúng cho n 1 1  . Khi đó, với mỗi i = 1,…,n , tồn tại ia E sao cho i i j iy (a ) 1, y (a ) 0  với mọi j i . Từ đó với mọi j i, x E   ta có nn 1 j i i i 1 i 1 x y (x)a y (0) N      I . Do đó, hoặc tồn tại 0a N, y (a) 1  , và hiển nhiên 1 2 ny (a) y (a) ... y (a) 0    hoặc 0y (a) 0, a N   . Trong trường hợp này, n 0 1 i i 1 x E, y (x y (x)a ) 0      ta được n 0 0 i i i 1 y (x) y (a )y (x)   tức là n0 i i i 1 y y    . Chứng minh định lý Vì với tôpô (E,F) thì f liên tục f F F E    . Mặt khác, y E  , do y liên tục theo tôpô (E,F) nên 1 2 ny , y ,..., y F  và 0  sao cho: y(x) 1   trên một lân cận có dạng  i 1 i n U x :sup y (x) 1     . Nếu tồn tại a F sao cho y(a) 1 và 1 2 ny (a) y (a) ... y (a) 0    thì a U và y(a) 1 (mâu thuẫn) . Vì vậy, theo bổ đề 2.2.6, n i i i 1 y y F E F       . Vậy F E . Rõ ràng (E,F) là tôpô yếu nhất trong các tôpô của hệ đối ngẫu (E, F) Nhận xét Một số tính chất chỉ phụ thuộc vào hệ đối ngẫu mà không phụ thuộc vào tôpô cụ thể của hệ đối ngẫu. Việc nghiên cứu các tính chất ấy trong một không gian lồi địa phương có thể tiến hành với tôpô yếu, nếu điều đó thuận lợi. Mệnh đề sau là một ví dụ. 2.2.7. Mệnh đề Nếu (E,F) là một hệ đối ngẫu và A là một tập con tuyệt đối lồi của E thì A có cùng bao đóng A trong mọi tôpô của hệ đối ngẫu (E,F). Chứng minh Giả sử  là một tôpô tùy ý của hệ đối ngẫu (E,F). Ta chứng minh bao đóng A của A trong tôpô  trùng với bao đóng A trong tôpô (E,F) . Bởi  mạnh hơn  nên A A  . Giả sử a A , theo hệ quả 2.1.6 , tồn tại y E F  sao cho y(a) y(A) . Khi đó, 0  sao cho y(a x) , x A     . Đặt  U x : y(x)   , ta có U là lân cận trong (E,F) và (a U) A I nên a A A A     Vậy A A  . 2.3. Pôla 2.3.1. Định nghĩa pôla Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và A E . Ta gọi pôla của A trong F là tập:  0 x A A y F: sup y(x) 1     . 2.3.2. Mệnh đề Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu A,B,A ( I)  là các tập con của E. Khi đó: a) 0A là tập tuyệt đối lồi và (E,F) đóng ; b) A B thì 0 0B A ; c) 10 0( A) A ( K, 0)      ; d) 0 0 I I A A        U I . Chứng minh a) 01 2 1 2 1 2y , y A , , K, 1         ta có 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 x A x A x A sup ( y y )(x) sup( y (x) ) sup( y (x) ) 1                0 0 1 1 2 2y y A A     tuyệt đối lồi. Lại có:  0 x A A y F: y(x) 1    I là giao của các tập (E,F) - đóng nên 0A là (E,F) - đóng. b) Ta có: 0 y B B y F:sup y(x) 1        , 0 y A A y F:sup y(x) 1       nên 0 0B A . c) 0 x A x A y ( A) sup y(x) 1 sup y( x) 1          10 0 x A sup y(x) 1 y A y A           d) Vì I A A , I    U nên 0 0 I A A       U 0 0 0 I I A A         I I . Giả sử 0 I y A  I ta có y(x) 1, x A , I    tức là: I 0 x A I sup y(x) 1 y A          U U nên 0 0 I I A A        I U . Vậy 0 0 I I A A        I U . Nhận xét Nếu E là một không gian lồi địa phương thì một tập hợp con Acủa đối ngẫu E là đồng liên tục khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U trong E sao cho y(x) 1 với mọi x U và mọi y A , như vậy A là đồng liên tục khi và chỉ khi nó được chứa trong pôla của một lân cận nào đó. Sự khảo sát pôla, lấy trong đối ngẫu đại số, của các lân cận cho ta một đặc trưng đơn giản và tiện lợi của đối ngẫu tôpô. 2.3.3. Mệnh đề Nếu E là một không gian lồi địa phương và U là một cơ sở lân cận, thì đối ngẫu của E là tập 0 U U  U U (các pôla trong hệ đối ngẫu (E, *E )). Chứng minh Dạng tuyến tính *y E liên tục khi và chỉ khi tồn tại một lân cận UU sao cho 0 U y(x) 1, x U y U       U U . 2.4. Song pôla 2.4.1. Định nghĩa song pôla Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. Với mọi A E thì 0A F . Do (F, E) cũng là một hệ đối ngẫu nên  000 0A A chứa trong E. Ta gọi 00A là song pôla của A. Nhận xét. Với mọi 0x A : y(x) 1, y A    nên 00x A do đó 00A A . 2.4.2. Định lý song pôla Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và A E . Khi đó, song pôla 00A là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi của A. Chứng minh Rõ ràng theo nhận xét ở định nghĩa thì 00A là (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A. Giả sử B là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A. Ta có, 00B A . Nếu a B theo định lí 2.1.5, y F  sao cho y(a) 1 và y(x) 1, x B   . Do A B nên 0 0 00y B A a A    . Vậy 00 00A B A B   . 2.4.3. Hệ quả Cho E là một không gian lồi địa phương và A E . Khi đó, 00A trong hệ đối ngẫu  E,E là bao đóng tuyệt đối lồi của A. Chứng minh Theo 2.4.2, 00A là (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A. Theo mệnh đề 2.2.7 đó cũng chính là bao đóng, tuyệt đối lồi của A. 2.4.4. Hệ quả Cho E là không gian lồi địa phương và A E . Khi đó, pôla trong Ecủa 00A là 0A . Chứng minh Theo định lý 2.4.2, pôla của 00A là (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa 0A . Nhưng 0A là (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi nên  000 0A A . 2.4.5. Hệ quả Cho E là không gian lồi địa phương và   IA  là họ các tập con (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi của E. Khi đó, 0 I A     I là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi của tập 0 I A  U . Chứng minh Ta có: 0 0 00 I I I A A A           U I I do đó 00 0 0 I I A A             U I , theo hệ quả 2.4.4 : 0 I A     I là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi của 0 I A  U . 2.4.6. Định lý Cho U lân cận tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E. Khi đó: 0 Uy U sup y(x) x , x E     . Chứng minh Nếu 0y U thì y(x) 1 với mọi x U , do đó U x 1 kéo theo y(x) 1 . Theo bổ đề 2.1.2 ta có U y(x) x với mọi x thuộc E, từ đó 0 Uy U sup y(x) x   .Với mọi x E cố định, theo định lý Hahn - Banach tồn tại 0y E sao cho 0 Uy (x) x và 0 Uy (z) z với mọi z E . Do đó ta có 0y (z) 1 với mọi z thuộc U, tức là 00y U . Vậy 0 0 U y U sup y(x) y (x) x    . Suy ra 0 Uy U sup y(x) x , x E     . 2.5. Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu 2.5.1. Định nghĩa Cho  1 1E ,F và  2 2E ,F là các hệ đối ngẫu 1 2A : E E là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ánh xạ t * *2 1A : E E , xác định bởi: t *2A (y) y A, y E  o gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ A. Dễ thấy tA là một ánh xạ tuyến tính. 2.5.2. Định lý Giả sử  1 1E ,F và  2 2E ,F là hai hệ đối ngẫu, A là ánh xạ tuyến tính từ  1 1 1E , (E ,F ) vào  2 2 2E , (E ,F ) . Khi đó A liên tục khi và chỉ khi t 2 1A (F ) F . Trong trường hợp đó, ánh xạ      t 2 2 2 1 1 1A : F , F ,E F , F ,E   cũng liên tục. Chứng minh Giả sử A liên tục, khi đó, t2 0y F , A (y) y A   liên tục theo tôpô  1 1F ,E nên t 1A (y) F . Vậy t 2 1A (F ) F . Ngược lại, giả sử t 2 1A (F ) F . Đặt  i i 2 1 i n V y : sup f (y) ,f F , i 1,...,n       là một  2 2E ,F – lân cận. Khi đó nếu  tU x :sup A (y)(x) 1  thì U là một 1 1(E ,F ) - lân cận và  A U V . Vậy A liên tục. Trong trường hợp đó ta có    tt 1 2A E E nên theo lập luận trên, thay A bởi tA ta có tA liên tục. 2.5.3. Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính A gọi là liên tục yếu nếu nó liên tục theo các tôpô  1 1E ,F._.