Độ sâu lọc của IĐÊAN

Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 18. Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường Sĩ quan Không Quân nơi tôi công tác, Ban cán bộ và Chi bộ Tiểu đoàn 1 ở Trường Sĩ quan Kỹ thuật Quân sự Winhempich và tất cả các bạn cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt. Nguyễn Thị Mai Vân 1 Lời Nói Đầu Cho (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan thực sự của R và M là R - môđun hữu hạn sinh. Khái niệm dãy chính quy, độ sâu của iđêan, cùng với những tính chất và những đặc trưng của nó thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul đã được các nhà toán học tìm hiểu rất chi tiết và được trình bày rất cụ thể trong các giáo trình về vành giao hoán. Đặc biệt, kết quả độ sâu của I trên M , kí hiệu bởi depth(I,M), là chiều dài của một M - dãy chính quy tối đại trong I và cũng là số nguyên nhỏ nhất r sao cho môđun đối đồng điều địa phương HrI (M) 6= 0 được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và mở rộng. Năm 1978, Nguyễn Tự Cường và Ngô Việt Trung đã trình bày khái niệm về dãy chính quy lọc xem như là mở rộng của dãy chính quy và họ đã nghiên cứu một lớp môđun gọi là f − module. G. Faltings (1978) đã chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r để HrI (M) không hữu hạn sinh là min {depth (Mp) + ht ((I + p) /p)| I 6⊂ p}. L. Melkerson (1995) đã trình bày một kết quả tương tự như Faltings trong đó tính hữu hạn được thay bằng tính Artin. Ông chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r để HrI (M) không Artin là min{depth (IRp,Mp)| p ∈ Supp(M/IM)\ {m}}. Năm 2001, R. L .. u và Z. Tang đã chỉ ra rằng số r này chính là độ sâu lọc của I trên M , kí hiệu là f − depth(I,M), là chiều dài của một M - dãy chính quy lọc tối đại trong I . Kết qủa mà họ đạt được trong bài báo này là chứng minh một số tính chất cơ bản của dãy chính quy 4 lọc và độ sâu lọc, đưa ra một số đặc trưng của độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul, những kết quả này xem như là những kết quả mở rộng của dãy chính quy và độ sâu của iđêan. Rồi từ những kết quả này khá nhiều nghiên cứu được mở rộng. Chẳng hạn, Lê Thanh Nhàn (2004) đã định nghĩa độ sâu suy rộng của I trong M , kí hiệu là gdepth(I,M). Bà chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r sao cho Supp (HrI (M)) vô hạn và Ass (H r I (M)) là tập hữu hạn với mọi i 6 gdepth(I,M). L. Chu và Z. Tang (2007) đã chứng minh f − depth(I + Ann(M), N) là số nguyên nhỏ nhất r sao cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng HrI (M,N) không Artin và khá nhiều mở rộng khác nữa .v.v... Điều này cho thấy, khái niệm độ sâu lọc trở thành một công cụ hữu ích cho khá nhiều nghiên cứu gần đây liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng với mục đích giải quyết các vấn đề về tính triệt tiêu, tính hữu hạn, tính Artin và tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của chúng. Vì những kết quả này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản của dãy chính quy lọc và độ sâu lọc, bên cạnh đưa ra một số đặc trưng của độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul. Ngoài ra, chúng tôi còn xét một số kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương. Cuối cùng, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm về f −module và 5 mối liên hệ giữa f −module và f − depth. Kết quả này được mở rộng tương tự như mối liên hệ giữa môđun Cohen - Macaulay và độ sâu. Nội dung của luận văn chia làm ba chương cụ thể như sau: Chương I: Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số mệnh đề dùng sử dụng trong chương II. Chương II: Độ sâu lọc của iđêan. Đầu tiên, chúng tôi định nghĩa dãy chính quy lọc. Sau đó đưa ra một số tính chất của dãy chính quy lọc được trình bày trong các mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4. Từ kết quả của mệnh đề 2.2.1, ta định nghĩa độ sâu lọc của iđêan: Cho I là một iđêan thực sự của R. Độ sâu lọc của I trên M là độ dài của bất kì một M - dãy chính quy lọc tối đại trong I , kí hiệu là f − depth(I,M), ta có: f − depth(I,M) = min {n|dim (ExtnR (R/I,M)) > 0} f − depth(I,M) = ∞ khi dim (ExtnR (R/I,M)) 6 0, ∀n > 0 Vì nếu x1, x2, ..., xn là M - dãy chính quy thì nó cũng là M - dãy chính quy lọc. Do đó dựa trên những tính chất của độ sâu ta cũng có những tính chất cơ bản của độ sâu lọc trong các mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5. Bên cạnh những tính chất cơ bản, độ sâu lọc còn có những đặc trưng thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul được trình bày trong các định lí: Định lí 2.4.1 Cho I là iđêan thực sự của R. Lấy y1, y2, ..., yn ∈ I sao 6 cho I = (y1, y2, ..., yn). Khi đó f − depth(I,M) = n− Sup {i |dim(Hi(y1, y2, ..., yn;M)) > 0} Nếu không tồn tại i để dim(Hi(y1, , ..., yn;M)) > 0 thì vế phải bằng ∞. Định lí 2.4.2 Cho I là iđêan thực sự của R sao cho Supp(M/IM) 6⊂ {m}. Khi đó f − depth(I,M) = min {depth (IRp,Mp) : p ∈ SuppM/IM\ {m}} Định lí 2.4.3 Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó f − depth(I,M) = min{i : dim SuppH iI (M) > 0} Định lí 2.4.4 Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó f − depth(I,M) = min{i ∈ N : SuppH iI (M) 6⊂ {m}} Định lí 2.4.6 Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó f − depth(I,M) = min{r |HrI (M) không là mô đun Artin} Đồng thời, chúng tôi còn xét kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương, đó là AssH iI(M) là tập hữu hạn với mọi i 6 f − depth(I,M). Chương III: f −module Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm về f −module và các tính chất của nó. Cuối cùng trình bày định lí thể hiện mối quan hệ giữa f −module và f − depth. 7 Định lí 3.2.1: M là f − module nếu và chỉ nếu f − depth(p,M) = dim(M)− dim(R/p) với mọi p ∈ Supp(M/IM)\ {m}. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và đối dãy chính quy lọc là những vấn đề mới nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tìm hiểu thêm ... Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy Trần Tuấn Nam. Mặt dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với số lượng thời gian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong những ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý Thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Nguyễn Thị Mai Vân 8 Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số kết quả cần thiết được sử dụng trong luận văn. Đó là kiến thức về iđêan, độ dài, chiều Krull, độ cao của môđun, hàm tử Hom, Ext, dãy chính quy và độ sâu, môđun Cohen - macaulay, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul. Chúng tôi không chứng minh chi tiết các mệnh đề. Đọc giả có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [4], [10], [11] ... 1.1 Các khái niệm về vành và iđêan Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành giao hoán và I là một iđêan của R. Radical của I , kí hiệu là √ I , là tập các phần tử x ∈ R sao cho tồn tại số nguyên dương n để xn ∈ I . Gọi V (I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R chứa I . Khi đó √ I = ⋂ p∈ V (I) p. Jacobson radical của R, kí hiệu là rad(R), là giao của tất cả các iđêan tối đại của R. 9 Định nghĩa 1.1.2. Cho R là vành giao hoán, M là một R - môđun và N , N ′ là các các môđun con của M . Tập {x ∈ R | xN ′ ⊆ N } là một iđêan của R, kí hiệu là (N :R N ′). Tương tự, nếu I là iđêan của R thì {a ∈ M | aN ⊆ I } là một môđun con của M , kí hiệu là (I :M N). Iđêan (0 :R M) : = {x ∈ R | xM = 0} gọi là linh tử hóa của M , kí hiệu là AnnRM (hoặc đơn giản AnnM nếu không sợ nhầm lẫn về vành R). Nếu R là vành giao hoán, M là một R - môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R thì √ AnnR(M/IM) = √ I + AnnRM . Định nghĩa 1.1.3. Cho R là vành giao hoán, S là một tập con nhân của R và M là một R - môđun. Trên tập M × S ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau: Với mọi (m, s) , (m′, s′) ∈ M × S: (m, s) ∼ (m′, s′) ⇔ ∃t ∈ S : (ms′ −m′s)t = 0 Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S. Kí hiệu tập thương M × S/∼ là S−1M và lớp tương đương của (m, s) là m/s. Tập S−1M có cấu trúc môđun trên vành S−1R với phép toán sau: m s + m′ s′ = s′m + sm′ ss′ , r s m′ s′ ′ = rm′ ss′ thì S−1M là S−1R - môđun được gọi là môđun các thương của M đối với S. Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun S−1M thường được kí hiệu là Mp. 10 Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một môđun trên vành giao hoán R. Tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp 6= 0 gọi là giá của M và được kí hiệu là SuppR(M) (hoặc đơn giản là Supp(M) nếu không sợ nhầm lẫn về vành R). Mệnh đề 1.1.1. Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó: i) SuppR(M) = {p ∈ spec(R) : (0 : M) ⊆ p} = V (annR(M)). ii) Với S là tập con nhân của R thì SuppS−1R ( S−1M ) = SuppR(M)∩ Spec(S−1R) iii) Với I là iđêan của R, ta có: SuppR(M) ⊂ V (I) ⇔ ∃ k ∈ N∗ : IkM = 0 iv) Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì SuppR(R/I) = V (I). v) Với I là iđêan của R thì SuppR(M/IM) = V (I) ∩ V (Ann(M) = V (I + Ann(M)). Định nghĩa 1.1.5. Cho M là một môđun trên vành Noether giao hoán R và p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó p gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại m ∈ M mà (0 :M m) = Ann(m) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M , kí hiệu AssR(M) (hoặc đơn giản Ass(M) nếu không sợ nhầm lẫn về vành R). Mệnh đề 1.1.2. Cho M là một môđun khác không trên vành Noether giao hoán R. Nếu p là phần tử tối đại của tập {Ann(m) |m ∈ M,m 6= 0} thì p ∈ AssR(M). 11 Mệnh đề 1.1.3. Cho M là một môđun trên vành Noether giao hoán R và S là tập nhân con của R. Khi đó AssS−1R(S −1M) = AssRM ∩ Spec(S−1R) Mệnh đề 1.1.4. Cho M là một môđun trên vành Noether R. Khi đó AssR(M) ⊆ SuppR(M) và phần tử tối tiểu của SuppR(M) thuộc vào AssR(M). Mệnh đề 1.1.5. Cho R vành Noether, M là R - môđun hữu hạn sinh và I là iđêan nguyên tố bất kì của R. Khi đó các kết quả sau tương đương: i) p ∈ SuppR(M). ii) Tồn tại p′ ∈ AssR(M) sao cho p′ ⊆ p. iii)AnnR(M) ⊆ p. Mệnh đề 1.1.6. Nếu 0 → L → M → N → 0 là dãy khớp các R - môđun thì AssR(M) ⊆ AssR(L)∪ AssR(N). Mệnh đề 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó AssRM là tập hữu hạn. 1.2 Độ dài, chiều Krull và độ cao của môđun Định nghĩa 1.2.1. Cho M là môđun khác không trên vành giao hoán R. Chuỗi tăng ngặt M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn−1 ⊂ Mn các môđun con của M sao cho M0 = 0 và Mn = M gọi là chuỗi hữu hạn các môđun con của M . 12 Chuỗi hữu hạn gồm n + 1 các môđun con của M : M0 = 0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M trong đó Mi/Mi+1 là môđun đơn với mọi i = 1, ..., n, được gọi là chuỗi hợp thành độ dài n của M . Nếu M có chuỗi hợp thành thì hai chuỗi hợp thành bất kì của M có cùng độ dài. Cho M là một môđun khác không trên vành giao hoán R. Môđun M có chuỗi hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của chuỗi hợp thành được gọi là độ dài của môđun M , kí hiệu là l(M). Qui ước: i) Nếu M = 0 thì l(M) = 0. ii) Nếu M không có chuỗi hợp thành thì l(M) = ∞. Mệnh đề 1.2.1. Cho R là vành giao hoán và 0 → L → M → N → 0 là dãy khớp ngắn các R - môđun và R - đồng cấu. Khi đó: + M có độ dài hữu hạn ⇔ L, N có độ dài hữu hạn. + Nếu L, M, N cùng có chiều dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N). Mệnh đề 1.2.2. Cho R là vành Noether giao hoán, M là một R - môđun hữu hạn sinh và N là một R - môđun bất kì. Nếu l(M) < ∞ thì l(Hom(M,N)) < ∞. Do đó nếu N là một R - môđun Artin thì Hom(M,N) cũng là môđun Artin. Mệnh đề 1.2.3. Vành R có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi R là Artin. Định nghĩa 1.2.2. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Một dây chuyền các iđêan nguyên tố của R là một dãy tăng thực sự của những iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn−1 ⊂ pn của R. Số nguyên n được gọi là độ 13 dài của dây chuyền. Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của R gọi là chiều Krull của R (hoặc đơn giản gọi là chiều của R). Chiều Krull của R được kí hiệu là dimR. Định nghĩa 1.2.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R - môđun khác không. Khi đó chiều của M , kí hiệu dimM , là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của SuppM . Nếu M là một R - môđun hữu hạn sinh thì dimM còn được xác định như sau: + Nếu M khác môđun không thì dimM = dim(R/AnnM). + Nếu M là môđun không thì dimM = −1. Mệnh đề 1.2.4. Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị và M là một R - môđun khác không hữu hạn sinh. Khi đó: i) l(M) < ∞⇔ dimM = 0. ii) Nếu R là vành địa phương thì dim(M) < ∞. Mệnh đề 1.2.5. Cho (R,m) là vành Noether địa phương. Nếu x ∈ m khác ước không thì dimR/(x) = dimR − 1. Định nghĩa 1.2.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và p là một iđêan nguyên tố của R. Chiều cao của p, kí hiệu là htRp (hoặc đơn giản là htp nếu không sợ nhầm về vành R), là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn−1 ⊂ pn = p của R. 14 Cho M là một R - môđun khác không. Chiều cao của M , kí hiệu là htRM(hoặc đơn giản là htM nếu không sợ nhầm về vành R), là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyên các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn−1 ⊂ pn = p của Supp(M). Chú ý: - Nếu htRM = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R. - dimR = sup{htRp : p ∈ Spec(R)}. - Với p ∈ Spec(R) thì htRp = dimRp và htMp = dimMp. - Với I là iđêan thực sự của R, ta có htRI = min{htRp : p ∈ V (I)}. Định nghĩa 1.2.5. Cho R là vành giao hoán và I là iđêan của R. T là tập các iđêan của R sao cho với I1, I2 là hai iđêan bất kì thuộc T luôn tồn tại iđêan I3 thuộc T chứa trong I1 ∩ I2. Khi đó ta xác định được một tôpô trên R. Nếu M là R - môđun tương tự ta cũng xác định được một tôpô trên M (bằng cách thay iđêan bởi môđun con). Cho R là vành, I là iđêan của R và M là R - môđun. Tô pô trên M xác định bởi tập các môđun con {InM | n = 1, 2, ...} gọi là tô pô I - adic. Nếu với mọi dãy x1, x2, ..., xn các phần tử trong M thỏa xi−xi+1 ∈ I iM với mọi i, luôn tồn tại duy nhất x ∈ M sao cho x− xi ∈ I iM với mọi i thì tô pô I - adic trên M là đầy đủ và đầy đủ của M kí hiệu là M̂ . Mệnh đề 1.2.6. Cho (R,m) là vành Noether địa phương và R̂ là đầy đủ m - adic của R. Khi đó dimR = dimR̂. 15 1.3 Hom và Ext Định nghĩa 1.3.1. Cho X , Y là các R - môđun. Tập tất cả các đồng cấu từ môđun X tới môđun Y , kí hiệu là Hom(X, Y ) . Cho đồng cấu α : A → B và X là một môđun cố định. Xét các ánh xạ cảm sinh từ α là α∗ và α∗ được xác định như sau: α∗ : Hom(X,A) → Hom(X,B) mà α∗(f) = αf, ∀f ∈ Hom(X,A). α∗ : Hom(B,X) → Hom(A,X) mà α∗(g) = gα, ∀f ∈ Hom(B,X). các ánh xạ cảm sinh α∗ và α∗ là các đồng cấu nhóm. Khi đó ta có hàm tử Hom(X,−) : ModR → Ab là hiệp biến và hàm tử Hom(−, X) : ModR → Ab là phản biến. Mệnh đề 1.3.1. Với mỗi môđun X và với bất kì dãy khớp ngắn các R - môđun 0 −→ A χ−→ B σ−→ C −→ 0 ta luôn có các dãy sau đây là khớp: Hom(X,A) χ∗−→ Hom(X,B) σ∗−→ Hom(X,C) Hom(C,X) σ∗−→ Hom(B,X) χ∗−→ Hom(A,X) Mệnh đề 1.3.2. Cho R là vành giao hoán, S là tập con nhân của R và A là R - môđun hữu hạn sinh. Với mọi R - môđun B ta có: S−1HomR(A, B) ∼= HomS−1R(S−1A, S−1B) Mệnh đề 1.3.3. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R và M là R - môđun. Khi đó HomR(R/I, M) ∼= 0 :M I . Định nghĩa 1.3.2. Cho R là vành giao hoán, A, C là các R - môđun. Xét phép giải xạ ảnh của C: X : ... → Xn ∂n−→ Xn−1 → ... → X1 ∂1−→ X0 ε−→ C → 0 16 Phức thu gọn tương ứng của X là: X : ... → Xn ∂n−→ Xn−1 → ... → X1 ∂1−→ X0 → 0 Đưa hàm tử Hom(X,−) vào phức trên ta có dãy nửa khớp sau: Hom(X,A) : 0 → Hom(X0, A) δ 0−→ Hom(X1, A) δ 1−→ ... → → Hom(Xn−1, A) δ n−1−−→ Hom(Xn, A) → ... Trong đó các đồng cấu δn = (−1)n+1∂∗n+1; ∀n > 0. Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này Hn ( Hom ( X,A )) = ker δn/imδn−1 gọi là mở rộng bậc n của môđun A bởi C, kí hiệu là Extn(C, A). Extn(C, A) = Hn ( Hom ( X,A )) = ker δn/imδn−1 Mệnh đề 1.3.4. Cho R là vành giao hoán và A, C là các R - môđun. Khi đó Ext0(C,A) ∼= Hom(C,A). Mệnh đề 1.3.5. Cho R là vành giao hoán. Với mỗi R - môđun G và với bất kì dãy khớp ngắn các R - môđun 0 → A χ−→ B σ−→ C → 0 ta luôn có các khớp dài sau: ... → Extn(C,G) σ∗−→ Extn(B,G) χ∗−→ Extn(A,G) E∗−→ Extn+1(C,G) → ... (1) ... → Extn(G,A) σ∗−→ Extn(G,B) χ∗−→ Extn(G,C) E∗−→ Extn+1(G,A) → ... (2) Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là 0 → Hom(C,G) = Ext0(C,G) (đối với dãy (1)), 0 → Hom(G,A) = Ext0(G,A) (đối với dãy (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n = 0, 1, 2, .... 17 Mệnh đề 1.3.6. Cho R là vành Noether giao hoán, S là tập con nhân của R và A là R - môđun hữu hạn sinh. Với mọi R - môđun B ta có: S−1ExtnR(A, B) ∼= ExtnS−1R(S−1A, S−1B), n > 0 1.4 Dãy chính quy và độ sâu Định nghĩa 1.4.1. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là một R - môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là M - phần tử chính quy nếu xz = 0 thì z = 0. Nói cách khác, phần tử x ∈ R được gọi là M - phần tử chính quy nếu x khác ước không của M . Định nghĩa 1.4.2. Cho M là môđun trên vành Noether địa phương giao hoán R. Dãy x1, x2, ..., xn các phần tử của R được gọi là M - dãy chính quy nếu nó thỏa hai điều kiện sau: i) xi là M/(x1, x2, ..., xi−1)M - phần tử chính quy với mọi i = 1, 2, ..., n. ii) M/(x1, x2, ..., xn)M 6= 0 - Nếu dãy x1, x2, ..., xn chỉ thỏa điều kiện i) thì nó gọi là một M - dãy chính quy yếu. - Cho I là iđêan thực sự của R, nếu x1, x2, ..., xn thuộc I thì x1, x2, ..., xn gọi là M - dãy chính quy trong I . Các tính chất cơ bản của dãy chính quy: Mệnh đề 1.4.1. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh và x1, x2, ..., xn là M - dãy chính quy. Khi đó ta có các kết quả sau: 18 i) với mọi p ∈ SuppM mà x1, x2, ..., xn ∈ p thì x1/1, x2/1, ..., xn/1 là một Mp - dãy chính quy. ii) x1, x2, ..., xn cũng là một M̂ - dãy chính quy. iii) mỗi hoán vị của x1, x2, ..., xn cũng là một M - dãy chính quy. iv) xe11 , x e2 2 , ..., x en n cũng là M - dãy chính quy với mọi ei > 0. Định nghĩa 1.4.3. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R. M - dãy chính quy x1, x2, ..., xn trong I gọi là tối đại nếu x1, x2, ..., xn, xn+1 không là M - dãy chính quy với bất kì xn+1 ∈ I . Mọi M - dãy chính quy trong I đều có thể mở rộng đến một M - dãy chính quy tối đại trong I . Mệnh đề 1.4.2. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R sao cho IM 6= M và x1, x2, ..., xn là M - dãy chính quy tối đại trong I . Khi đó ExtiR(R/I,M) = 0 , ∀i < n và ExtnR(R/I,M) ∼= Hom(R/I,M/ (x1, x2, ..., xn)M) 6= 0. Mệnh đề 1.4.3. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R sao cho IM 6= M . Khi đó tất cả các M - dãy chính quy tối đại trong I có cùng chiều dài là n được xác định như sau: n = min { i : ExtiR (R/I,M) 6= 0 } Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R sao cho IM 6= M thì chiều dài chung của tất cả các M - dãy chính quy tối đại trong I được gọi là độ sâu của 19 I trên M , kí hiệu depth(I,M). Nếu IM = M thì depth(I,M) = ∞. depth(I,M) = min { i : ExtiR (R/I,M) 6= 0 } depth(I,M) = ∞ ⇔ ExtiR (R/I,M) = 0, ∀i. Định nghĩa 1.4.5. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh thì độ sâu của m trên M được gọi là độ sâu của M , kí hiệu là depth(M). Chú ý: - depth(M) = 0 ⇔ m ∈ AssRM . Hơn nữa, depth(Mp) = 0 ⇔ pRp ∈ AssRpMp ⇔ p ∈ AssRM ⇒ depth(p,M) = 0 - depth(Mp) > depth(p,M). Mệnh đề 1.4.4. Cho R là vành Noether giao hoán, Ivà J là hai iđêan của R, M là R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó: i) depth(I,M) = inf {depthMp : p ∈ V (I)}. ii) depth(I,M) = depth {√ I,M } iii) depth(I ∩ J,M) = min {depth(I,M); depth(J,M)}. iv) nếu x = x1, x2, ..., xn là M - dãy chính quy trong I thì depth(I/(x),M/xM) = depth {I,M/xM} = depth(I,M)− n Định nghĩa 1.4.6. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều n. Hệ {x1, x2, ..., xn} các phần tử của m gọi là hệ các tham số của M nếu l (M/ (x1, x2, . . . , xn)M) < ∞. 20 Mệnh đề 1.4.5. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều n. Nếu {x1, x2, . . . , xn} là hệ các tham số của M thì dim (M/ (x1, x2, ..., xt)M) = n− t với mọi t 6 n. Định nghĩa 1.4.7. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều n. Hệ {x1, x2, ..., xt} (t 6 n) các phần tử của m gọi là một bộ phận của hệ các tham số của M nếu dim (M/ (x1, x2, ..., xt)M) = n− t. Mệnh đề 1.4.6. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó mọi M - dãy chính quy là một bộ phận của hệ các tham số của M . Hệ quả 1.4.1. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh. Nếu x1, x2, ..., xn là M - dãy chính quy thì dim (M/ (x1, x2, ..., xn)M) = dimM − n. Định nghĩa 1.4.8. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, R - môđun M hữu hạn sinh khác không gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu depthM = dimM . Nếu R là R - môđun Cohen-Macaulay thì R gọi là vành Cohen-Macaulay. Mệnh đề 1.4.7. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun hữu hạn sinh. Nếu M là R - môđun Cohen-Macaulay thì ta có các kết quả sau: i) depthM = dimR/p với mọi p ∈ AssM . ii) Mp là Rp - môđun Cohen - Macaulay với mọi p ∈ SpecR. Hơn nữa, nếuMp 6= 0 thì depthMp = depth(p,M) và dimM = dimMp+ dimM/pM . 21 Mệnh đề 1.4.8. Cho (R,m) là một vành Cohen - Macaulay địa phương. Khi đó: i) với mọi iđêan I thực sự của R, ta có: ht(I) = depth(I) ; htI + dimR/I = dimR ii) với mọi p, q là các iđêan của R mà q ⊆ p, ta có htp = htq + htp/q. Mệnh đề 1.4.9. Cho (R,m) là một vành Noether địa phương giao hoán và M là R - môđun hữu hạn sinh và M̂ là đầy đủ m - adic của M . Khi đó: i) depthRM = depthR̂M̂ . ii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M̂ là môđun Cohen- Macaulay. depthRM = depthR̂M̂ . 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.5.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Với mỗi R - môđun M , tập ΓI(M) = ⋃ n∈N (0 :M I n) = {x ∈ M : ∃n ∈ N, Inx = 0} gọi là tập các phần tử của M được linh hóa bởi lũy thừa nào đó của I . Khi đó ΓI(M) là một môđun con của M . Cho f : M → N là đồng cấu R - môđun thì ta có f (ΓI(M)) ⊆ ΓI(N). Do đó có ánh xạ cảm sinh ΓI(f) : ΓI(M) → ΓI(N) là ánh xạ thu hẹp của f trên ΓI(M). Hơn nữa, với g : M → N và h : N → L là hai đồng cấu R - môđun và 22 r ∈ R thì ΓI(h◦f) = ΓI(h)◦ΓI(f), ΓI(f+g) = ΓI(f)+ΓI(g), ΓI(rf) = rΓI(f), ΓI(IdM ) = IdΓI(M ). Do đó hàm tử ΓI(−) là hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R - môđun vào chính nó. Hàm tử ΓI(−) được gọi là hàm tử I - xoắn. Bổ đề 1.5.1. Nếu 0 → L f−→ M g−→ N → 0 là một dãy khớp của các R - môđun và các R - đồng cấu thì 0 → ΓI(L) ΓI(f)−−−→ ΓI(M) ΓI(g)−−−→ ΓI(N) cũng là một dãy khớp. Định nghĩa 1.5.2. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R môđun. + M gọi là I - không xoắn khi ΓI(M) = 0. + M gọi là I - xoắn khi ΓI(M) = M . Bổ đề 1.5.2. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R - môđun. i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì M là I - không xoắn khi và chỉ khi I chứa một M - phần tử chính quy. ii) M/ΓI(M) là I - không xoắn. Định nghĩa 1.5.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R - môđun. Nếu M là môđun nội xạ thì dãy khớp chính tắc sau đây là chẻ: 0 → ΓI(M) → M → M/ΓI(N) → 0 Định nghĩa 1.5.4. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R - môđun. 23 Xét phép giải nội xạ của M : N : 0 −→ M α−→ N0 d0−→ N1 −→ ... −→ N i di−→ N i+1 −→ ... Phức thu gọn tương ứng của N là: N∗ : 0 d −1−−→ N0 d0−→ N1 −→ ... −→ N i di−→ N i+1 −→ ... Đưa hàm tử ΓI(−) vào phức này ta được dãy nửa khớp sau: ΓI(N ∗) : 0 ΓI(d−1)−−−−→ ΓI(N0) ΓI(d0)−−−−→ ... −→ ΓI(N i) ΓI(di)−−−→ ΓI(N i+1) −→ ... gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương tương ứng với I , kí hiệu là H iI . Với mọi số tự nhiên i, môđun đối đồng điều thứ i của phức này H i(ΓI(N ∗)) = Ker ( ΓI ( di ))/ Im ( ΓI ( di−1 )) gọi là môđun đối đồng điều địa phương bậc i của M đối với I , kí hiệu là H iI(−). Ta có ΓI(M) = H 0 I (M). Mặt khác do hàm tử ΓI(−) là hiệp biến nên H iI(−) cũng là hàm tử hiệp biến. Mệnh đề 1.5.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I và J là hai iđêan khác không của R sao cho √ I = √ J thì với mọi R - môđun M , H iI(M) = H i J (M) với mọi i > 0. Mệnh đề 1.5.2. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Nếu 0 → L f−→ M g−→ N → 0 là một dãy khớp của các R - môđun và các R - đồng cấu thì với mỗi i ta luôn có dãy sau đây là khớp: 0 → H0I (L) H0I (f)−−−→ H0I (M) H0I (g)−−−→ H0I (N) → H1I (L) H1I (f)−−−→ ... ... → H iI(L) HiI(f)−−−→ H iI(M) HiI(g)−−−→ H iI(N) → H i+1I (L) Hi+1I (f)−−−−→ ... 24 Mệnh đề 1.5.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác không của R và M là R - môđun. Nếu M là I - xoắn thì H iI(M) = 0 với mọi i > 0. Mệnh đề 1.5.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Với mỗi R - môđun M , phép chiếu pi : M → M/ΓI(M) cảm sinh đẳng cấu H iI(pi) : H i I (M) → H iI(M/ΓI(M)) với mọi i > 0. Mệnh đề 1.5.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Với mỗi R - môđun M , H iI(ΓI(M)) = 0 với mọi i > 0. Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan khác không của R. Khi đó: i) Với mỗi R - môđun M , SuppH iI (M) ⊂ V (I) với mọi i. ii) Supp(M) ⊂ V (I) ⇔ H0I (M) ∼= M và H iI(M) = 0 với mọi i > 1. Mệnh đề 1.5.7. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđun khác không hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM 6= M thì depth(I,M) = min { i : H iI(M) 6= 0 } . Mệnh đề 1.5.8. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, I là iđêan hữu hạn sinh của R và M là R - môđun. Nếu 0 :M I là Artin và M là môđun I - xoắn thì M là Artin. Mệnh đề 1.5.9. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R - môđun khác không hữu hạn sinh. Khi đó H im(M) là Artin với mọi i > 0. Mệnh đề 1.5.10. Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là R 25 - môđun hữu hạn sinh. Nếu với mọi i > 0 mà H iI(M) là hữu hạn sinh với mọi j < i thì Ass H iI(M) là tập hữu hạn. Mệnh đề 1.5.11. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, I là iđêan của R và M là R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó: i)AssH iI(M) = Ass(HomR(R/I,H i I(M) ii) AssHnI (M) = Ass(Ext n R(R/I,M)) với n = depth(M) 1.6 Đồng điều Kozul Định nghĩa 1.6.1. Cho R là vành địa phương giao hoán và x ∈ R. Phức 0 → R x−→ R → 0 gọi là phức Koszul sinh trên R bởi x và được kí hiệu là K(x;R). Nếu x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn là K(x1;R)⊗K(x2;R)⊗ ...⊗K(xn ;R) và được kí hiệu là K(x1, x2, ...xn;R). Cho M là R - môđun và x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn theo M là K(x1;R) ⊗ K(x2;R)⊗ ... ⊗K(xn;R)⊗M và được kí hiệu là K(x1, x2, ...xn;M). Đồng điều của phức Koszul K(x1, x2, ...xn;M) gọi là đồng điều Kozul và được kí hiệu là Hi(x1, x2, ...xn;M). Mệnh đề 1.6.1. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và M là R - môđun. Khi đó ta có các kết quả sau: i) H0(x1, x2, ..., xn;M) ∼= M/ (x1, x2, ..., xn)M . ii)Hn(x1, x2, ..., xn;R) ∼= (0 :M (x1, x2, ..., xn)). 26 iii) Nếu I = (x1, x2, ..., xn) là iđêan của R thì IHi(x1, x2, ..., xn;M) = 0 với mọi i > 0. Mệnh đề 1.6.2. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và 0 → U → M → N → 0 là dãy khớp các R - môđun. Khi đó dãy sau là khớp: ... → Hi(x1, ..., xn;U) → Hi(x1, ..., xn;M) → Hi(x1, ..., xn;N) → → Hi−1(x1, ..., xn;U) → ... Hệ quả 1.6.1. Cho R là vành, x1, x2, ... , xn là dãy trong R và M là R - mô đun. Khi đó dãy sau là khớp: ... ±xn−−→ Hi(x1, ..., xn−1;M) → Hi(x;M) → Hi−1(x1, ..., xn−1;M) ±xn−−→ ±xn−−→ Hi−1(x1, ..., xn−1;M) → ... Mệnh đề 1.6.3. Cho R là vành, x = x1, x2, ..., xn là dãy trong R, M là R - môđun. Nếu I = (x) chứa M - dãy chính quy yếu y = y1, y2, ..., ym thì Hn+1−i(x,M) = 0 với mọi i = 0, ...,m và Hn−m(x;M) ∼= HomR(R/I,M/yM) ∼= ExtmR (R/I,M). Mệnh đề 1.6.4. Cho R là vành Noether, x1, x2, ..., xn là dãy trong R, M là R - môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sinh bởi x1, x2, ..., xn. Khi đó: i) Hi(x,M) = 0, ∀i = 0, ..., n ⇔ M = IM . ii) Nếu tồn tại i sao cho Hi(x,M) 6= 0 thì depth(I,M) = n− Sup {i |(Hi(y1, y2, ..., yn;M)) 6= 0} 27 Mệnh đề 1.6.5. Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M là R - môđun khác không hữu hạn sinh và I ⊂ m là iđêan sinh bởi các phần tử x1, x2, ... , xn Khi đó các điều sau là tương đương: i) depth(I,M) = n ii) Hi(x1, ..., xn;M) = 0, ∀i > 0 iii)H1(x1, ..., xn;M) = 0 iv) x1, x2, ... , xn là M - dãy chính quy. 28 Chương 2 Độ sâu lọc của iđêan Dãy chính quy lọc được Nguyễn Tự Cường và Ngô Việt Trung trình bày vào năm 1978, khái niệm này được xem như là mở rộng của dãy chính quy. Năm 1995, L. Melkerson đã chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r sao cho HrI (M) không Artin là min{depth (IRp,Mp)| p ∈ Supp(M/IM)\ {m}}. Sau đó năm 2001, R. L .. u và Z. Tang đã chỉ ra rằng số r này chính là độ sâu lọc của I trên M , kí hiệu là f − depth(I,M). Khái niệm này là sự mở rộng của độ sâu và nó trở thành một công cụ hữu ích cho khá nhiều nghiên cứu gần đây liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản của dãy chính quy lọc và độ sâu lọc. Bên ._.