Độ đo và tích phân trên trường số P-Adic

với quý thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, TS. Trần Huyên và TS. Nguyễn Viết Đông, quý thầy đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành nhiều thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn. Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, quý thầy cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và UBND Tỉnh Cà Mau, quý thầy cô Trường CĐSP Cà Mau đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn. Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua. TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2003. Nguyễn Quốc Huy MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU ....................................................................................................................... 1 LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC ........................................................... 3 1.1. Các khái niệm cơ bản. ................................................................................................. 3 1.2. Xây dựng trƣờng số p-adic. ........................................................................................ 6 1.3. Biểu diễn p-adic của số α trong Qp. ............................................................................ 9 1.4. Bổ đề Hensel. ............................................................................................................ 11 1.5. Tính chất tô pô của Qp. ............................................................................................. 16 CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC.................................................................................... 25 2.1. Hàm hằng địa phƣơng. .............................................................................................. 25 2.2. Phân phối p-adic. ...................................................................................................... 27 2.3. Một số phân phối p-adic thƣờng dùng. ..................................................................... 31 2.4. Phân phối Bernoulli. ................................................................................................. 34 CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC ............................ 39 3.1. Khái niệm về độ đo và tích phân trong Qp. ............................................................... 39 3.2. Mở rộng khái niệm tích phân. ................................................................................... 47 3.3. Độ đo và tích phân Bernoulli. ................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 61 1 BẢNG KÝ HIỆU N : Tập các số tự nhiên. Z : Tập các số nguyên. Q : Tập các số hữu tỷ. R : Tập các số thực. Zp : Tập các số nguyên p-adic. : Tập các phần tử khả nghịch trong Zp. | | : Giá trị tuyệt đối thông thƣờng. Qp : Trƣờng số p-adic. | |p : Giá trị tuyệt đối p-adic. ordp a : số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố. B(a,r) : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong Qp. B[a,r] : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong Qp. D(a,r) : Mặt cầu tâm a bán kính r trong Qp. a + (p N ) : Khoảng trong Qp. Bk : Số Bernoulli thứ k . Bk (x) : Đa thức Bernoulli thứ k . [x] : Phần nguyên của x. : Hàm đặc trƣng của tập A. Haar : Phân phối Haar. : Phân phối Dirac. Mazar : Phần Phối Mazur. B, k : Phân phối Bernoulli thứ k . k, α : Độ đo Bernoulli. xa,N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (p N ). SN,{xa,N}(f) : Tổng Riemann của hàm f. ∫ : Tích phân của hàm, f ứng với độ đo μ. 2 LỜI NÓI ĐẦU Nhờ định lý Oxtropxki ta biết rằng trên trƣờng các số hữu tỷ Q chỉ có hai loại chuẩn, đó là giá trị tuyệt đối thông thƣờng | | và chuẩn phi Archimede | |P . Làm đầy đủ trƣờng số hữu tỷ Q theo chuẩn | | ta đƣợc trƣờng các số thực R và làm đầy đủ Q theo chuẩn | |P ta đƣợc trƣờng các số p-adic Qp. Bộ môn toán học nghiên cứu các hàm với biến số là số p-adic gọi là giải tích p-adic. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng độ đo và tích phân trên trƣờng số Qp . Luận văn gồm 3 chƣơng. Chƣơng 1: XÂY DƢNG TRƢỜNG SỐ P-ADIC Qp Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic và một số tính chất tô pô của nó. Cách xây dựng trƣờng số p-adic đã đƣợc nhiều tác giả trình bày bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp bằng phƣơng pháp giải tích của NEAL KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một cách "tự nhiên" nhất. Sau khi xây dựng trƣờng Qp chúng tôi đƣa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của Qp nhằm phục vụ cho chƣơng 2. Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến các chƣơng chính của luận văn đó là chƣơng 2 và 3. Chƣơng 2: PHÂN PHỐI P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nhƣ: Định nghĩa hàm hằng địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Từ đó chúng tôi chứng minh đƣợc một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chƣơng 3. Chƣơng 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC Trong chƣơng này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày khái niệm độ đo, từ đó chúng tôi định nghĩa tổng Riemann và định nghĩa tích phân p-adic cho hàm liên tục ứng với độ đo bất kỳ. Trên cơ sở đó, chúng tôi mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối rộng hơn độ đo. Vì thời gian có hạn, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lƣợng thứ. 3 CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic và một số tính chất tô pô của nó. Cách xây dựng trƣờng số p-adic đã đƣợc nhiều tác giả trình bày bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp bằng phƣơng pháp giải tích của N.KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một cách "tự nhiên" nhất. Sau khi xây dựng trƣờng Qp chúng tôi đƣa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của Qp. Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chƣơng chính của luận văn đó là chƣơng 2 và 3. 1.1. Các khái niệm cơ bản. 1.1.1. Định nghĩa. Cho K là một trường. Giá trị tuyệt đối trên K là một ánh xạ (kí hiệu là | | ) từ tập K vào tập các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau: Từ định nghĩa ta thấy |1| = |-1| = 1. 1.1.2. Ví dụ về giá trị tuyệt đối trên trƣờng. Ví dụ 1. Trƣờng các số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thƣờng thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa. Ví dụ 2. Cho K là một trƣờng tùy ý. Anh xạ là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K và đƣợc gọi là giá trị tuyệt đối tầm thƣờng. 1.1.3. Chú ý. Giả sử | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K. Ta có thể chứng minh hàm d từ K x K vào tập các số thực không âm xác định bởi d(x,y) = |x - y| là một mêtric trên trƣờng K và đƣợc gọi là mêtric tƣơng ứng với giá trị tuyệt đối | |. Tô pô sinh bởi mêtric tƣơng ứng đƣợc gọi là tô pô tƣơng ứng của giá trị tuyệt đối. 4 1.1.4. Định nghĩa. Hai giá trị tuyệt đối | |1 và | |2 trên trƣờng K đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu tô pô tƣơng ứng của chúng là nhƣ nhau. Kí hiệu | |1 ~ | |2 . 1.1.5. Định lý. Giả sử | |1, | |2 là hai giá trị tuyệt đối trên trƣờng K, các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: với mọi với mọi x K với mọi với mọi x K. 3. Tồn tại hằng số dƣơng C > 0 sao cho |x|1 = | | với mọi x K. 4. (xn) là dãy Cauchy đối với | |1 ⟺ (xn) là dãy Cauchy đối với | |2 5. | |1 ~ | |2 Chứng minh. 1) ⇒ 2) Với mọi x K, giả sử |x|1 ≤ 1 ta cần chứng minh |x|2 ≤ 1. Giả sử ngƣợc lại, tức là |x|2 > 1. Ta có suy ra Điều này vô lý vì |x|1 ≤ 1 .Vậy |x|2 ≤ 1. 2) ⇒ 1) Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên. 1) ⇒3) • Nếu chuẩn | |1 tầm thƣờng thì chuẩn | |2 cũng tầm thƣờng. Thật vậy, với mọi x K, x ≠ 0 ta giả sử |x|1 = 1. Nếu |x|2 ≠ 1 thì ta xét hai trƣờng hợp sau |x|2 < 1 ⇒ |x|1 < 1 (vô lý) |x|2 > 1⇒ | 1 x |2 < 1⇒ | 1 x |1 <1 (vô lý) Do đó |x|2 = 1 hay chuẩn | |2 là tầm thƣờng. Vậy | |1 ≡ | |2 5 • Nếu chuẩn | |1 không tầm thƣờng thì tồn tại x0 K sao cho |x0|1 > 1, do đó |x0|1 > 1. Đặt |x0|1 = a và |x0|2 = b. Khi đó, với mọi x K ta viết |x|1=a α , a = logα |x|1. Ta chứng minh |x|2 = b α . Thật vậy, xét m n > α ta có do đó suy ra |x|2 < . Khi m n → α ta có |x|2 ≤ b α . Tƣơng tự nếu lấy α > m n . Ta có |x|2 ≥ b α . Vậy |x|2 = b α. Do đó 3) ⇒ 4) Giả sử {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |1 , nghĩa là |xn - xm |1 → 0 khi m,n → ∞ hay Do đó |xn - xm |2 → 0 khi m,n → ∞ Vậy {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |2. 4) ⇒1) Giả sử |x|1 < 1 ta cần chứng minh |x|2 < 1. Từ giả thiết |x|1 < 1 suy ra x n → 0 đối với chuẩn | |1. Do đó {x n } là dãy Cauchy đối với | |1 hay là dãy Cauchy đối với | |2. Điều này có nghĩa là x n+1 - x n → 0 đối với chuẩn | |2 hay x n (x - 1) → 0 đối với chuẩn | |2. Do đó |xn|2 |1-x|2 → 0. Mà |1 - x|2 ≠ 0 suy ra |x n |2 → 0 hay |x|2 <1 3) ⇒ 5) Giả sử A , với mọi x A thì tồn tại Bx (x,r) ⊂ A. Lấy 6 Điều này có nghĩa là tồn tại 5) ⇒ 1) Giả sử |x|1 < 1 suy ra |x n |1 → 0. Do | |1 ~ | |2 nên |x n |2 → 0. Vậy |x|2 < 1. □ 1.1.6. Định nghĩa. Nếu giá trị tuyệt đối | | trên trường K thỏa mãn điều kiện mạnh hơn GT3 là GT3: |x + y| ≤ max {|x|, |y|} thì nó được gọi là giá trị tuyệt đối phi Archimede. 1.1.7. Ví dụ về giá trị tuyệt đối phi Archimede. Ví dụ 1. Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng trên trƣờng K là phi Archimede. Ví dụ 2. Nếu K là trƣờng hữu hạn thì mọi giá trị tuyệt đối trên K đều tầm thƣờng, vì vậy nó là giá trị tuyệt đối phi Archimede. 1.1.8. Mệnh đề ( nguyên lý tam giác cân ). Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K. Nếu |x| ≠ |y| thì |x + y| = max {|x|,|y|} 1.1.9. Mệnh đề. Cho | |là giá trị tuyệt đối phi Archimede trên trường K. Nếu dãy {xn}→ x ≠ 0 thì tồn tại n0 N : ∀ n > n0 ⇒ |xn| = |x|. Một dãy hội tụ thì dãy các giá trị tuyệt đối tương ứng là dãy dừng. 1.1.10. Định lý. Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K, các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: 1. | | là giá trị tuyệt đối phi Archimede. 2. |2| ≤ 1. 3. |n| ≤ 1, ∀ n N. 1.2. Xây dựng trƣờng số p-adic. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi a Z, a ≠ 0 ta gọi ordpa là số mũ của p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố. 7 Nếu a = 0 thì ta quy ước ordpa = ∞. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi x Q, ta giả sử x = a b trong đó a, b Z, (a, b) = 1. Ta định nghĩa ordpx = ordpa - ordpb. 1.2.3. Mệnh đề. Trên trường Q nếu ta định nghĩa ánh xạ | |P như sau thì | |P là một giá trị tuyệt đối phi Archimede. 1.2.4. Định lý (Oxtropxki). Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường || || trên trường Q đều tương đương với | |P với p là một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên Q. Chứng minh. 1. Nếu ||2|| > 1 thì || || là chuẩn Archimede. Lấy n N, giả sử n = a0 +aa2 + ... +as2 s, trong đó Ta có ≤ 2sα.C ( Vì tổng trong dấu ngoặc hội tụ) ≤ nα. C Suy ra Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≤ nα. Mặt khác, do 2S ≤ n < 2S+1 nên ta có Suy sa hay 8 Suy ra Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≥ nα . Vậy ||n|| = nα với mọi n Do đó ||x|| = |x|α với mọi x Q. 2. Nếu ||2|| ≤ 1 thì || || là chuẩn phi Archimede. Từ giả thiết ||2|| ≤ 1 ta có ||n|| ≤ 1 với mọi n N. Do || || là chuẩn không tầm thƣờng nên tồn tại n N sao cho ||n|| < 1. Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa ||p|| < 1. Khi đó p là số nguyên tố. Gọi q là số nguyên tố khác p. Ta chứng minh ||p|| = 1. Giả sử ||p|| < 1 vì (qk,pk) = 1 nên tồn tại m,n Z sao cho mpk + nqk = 1. Ta có Cho k → ∞ ta đƣợc 1≤ 0 , điều này vô lý. Vậy ||q|| = 1. Lấy n N, giả sử x = pα p1 α1 ...pk αk . Ta có 1.2.5. Xây dựng trƣờng số số p-adic Qp. Từ định lý Oxtropxki ta thấy giá trị tuyệt đối không tầm thƣờng trên Q là giá trị tuyệt đối thông thƣờng | |, hoặc là giá trị tuyệt đối phi Archimede | |p. Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ Q theo | | ta đƣợc trƣờng số thực R. Vậy làm đầy đủ Q theo | |p ta sẽ đƣợc trƣờng mới mà ta gọi là trƣờng các số p-adic Qp . Cụ thể cách xây dựng nhƣ sau: Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo | | . Trên S ta xác định một quan hệ tƣơng đƣơng nhƣ sau Ta gọi Qp là tập hợp tất cả các lớp tƣơng đƣơng theo quan hệ trên và ta trang bị cho Qp hai phép toán cộng và nhân nhƣ sau: Phép cộng: { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ } 9 Phép nhân: { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ } Khi đó, ta có thể chứng minh (Qp, + ,.) là một trƣờng, trƣờng này gọi là trƣờng số p- adic Qp. Trƣờng Q có thể xem là trƣờng con của Qp nhờ ánh xạ i : Q → Qp , a { ̅} Giá trị tuyệt đối trên Qp xác định nhƣ sau 1.2.6. Định nghĩa đổng dƣ trong Q . Với a, b Qp ta nói a = b (mod p N ) nếu |a-b|p < p -N . Từ định nghĩa ta có nhận xét: Nếu a, b Z thì định nghĩa đồng dƣ trong Qp sẽ trùng với định nghĩa đồng dƣ thông thƣờng trên tập hợp số nguyên Z. 1.2.7. Vành các số nguyên p-adic. Tập hợp Zp = {a Qp / |a|p ≤ 1} cùng với phép toán cộng và nhân trong Qp lập thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic. Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành Zp là 1.3. Biểu diễn p-adic của số α trong Qp. Ta biết rằng nếu α Qp thì ta có thể viết α = { ̅} với {ai} là dãy Cauchy nào đó trong Q. Tuy nhiên nếu| α |p ≤ 1 thì ta có thể chọn {ai} thỏa mãn định lý sau đây. 1.3.1. Định lý. Với mỗi dãy α Qp mà | α |p ≤ 1 có duy nhất một đại diện là dãy Cauchy các số tự nhiên {ai} thỏa mãn: 1. 0 ≤ ai < p i , ∀i=1,2,... 2. ai ≡ ai+1 (mod p i ). 1.3.2. Bổ đề. Nếu α = { ̅} Qp thì = α 10 Chứng minh. Ta có do đó Do {ai} là dãy Cauchy trong Q nên với mọi > 0 tốn tại N sao cho với moi i, i'> N ta có |ai - ai'| < ε. Suy ra Chọn n > N, khi đó với mọi i > N sao cho |ai- an|p < ε Do đó (khi i đủ lớn) Vậy 1.3.3. Biểu diễn p-adic của số a trong Qp . i) Với các {ai} thỏa mãn các điều kiện trong định lý 1.3.1, ta có thể viết ai=b0+b1p + ... + bi- 1 p i-1 đó 0 ≤ bi ≤ p - 1 với i=1,2,3,... Khi đó với mỗi α Zp ta có Theo bổ đề 1.3.2 ta có thể viết a dƣới dạng Công thức này đƣợc gọi là biểu diễn p-adic của a trong Zp. ii) Nếu α Qp không thỏa mãn điều kiện thì |α|p ≤ 1 thì ta sẽ nhân α với một số p m thích hợp sao cho số α’ = α pm thỏa mãn | α’| ≤ 1. Sau đó theo định lý 1.3.1 chúng ta chọn đƣợc một dãy {bi} sao cho Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của α có dạng 11 Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của α trong Qp. 1.4. Bổ đề Hensel. Nhƣ chúng ta đã biết các phép toán số học nhƣ: cộng, trừ, nhân và chia trong Qp đƣợc thực hiện một cách khá dễ (xem [6]). Tuy nhiên, việc khai căn của một số nguyên và việc tìm nghiệm của một phƣơng trình nào đó trong Qp nói chung là vấn đề không phải lúc nào chúng ta cũng thực hiện đƣợc. Bổ đề Hensel và bổ đề Hensel mở rộng đƣợc trình bày dƣới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết một phần nào về vấn đề trên. 1.4.1.Bổ đề Hensel. Cho F(x) = c0 +C1x + ... + cnx n Zp có đạo hàm F'(x) = c1+2c2x + ... + ncnx n-1 ] Zp. Giả sử a0 Zp thỏa F(a0) = 0(mod p) và F'(a0) (mod p). Khi đó, tồn tại duy nhất a Zp sao cho F(a) = 0 và a ≡ a0 (mod p). 1.4.2. Bổ đề. Nếu x Q và |x|p ≤ 1 thì với mọi i N, tồn tại α Z sao cho |α - x|p ≤ p -i . Hơn nữa, số α có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Chứng minh. Giả sử x = a b Q, (a,b) =1. Do |x|p ≤ 1 nên (b,p) =1 từ đó ta thấy b và p i là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó tồn tai m,n Z sao cho mb +npi =1 Đặt α = am Z, khi đó: Hơn nữa, số a có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Thật vậy, ta viết α dƣới dạng α = p iq + r trong đó 0 ≤ 1 ≤ pi -1. Do đó Vậy ta có thể tìm đƣợc r {0,1,2,..., pi-1} sao cho | α - x|p ≤ p i 1.4.3. Bổ đề Hensel mở rộng. Cho F(x) là đa thức với hệ số trong ZP, nếu có a0 trong ZP thỏa 12 thì tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a sao cho F(a) = 0 và Chứng minh. Trƣớc hết ta cần xây dựng dãy số nguyên a1, a2,..., an thỏa Ta xây dựng bằng quy nạp theo n. • Với n = 1 Ta chọn ̃ {0,1,..., p m+1 -1 } sao cho ̃ ≡ a0 (mod p m+1 ) khi đó ̃ thỏa (1),(2) và (3), tức là : Đặt a1 = ̃ +b1p m+1, trong đó b1 {0,1,..., p-1}. Khi đó: * a1 thỏa (1) Do đó a1 ≡ a0 (mod p m+1 ) * a1 thỏa (2) Hiển nhiên a1 ≥ 0 và a1 < p m+2 vì nếu a1 ≥ p m+2 thì ̃ +b1p m+1 ≥ pm+2 hay ̃ ≥ p m+2 - (p - 1) p m+1 = p m+1 > p m+1 - 1 Điều này trái với giả thiết về cách trọn ̃ * a1 thỏa (3) Ta có 13 Từ giả thiết suy ra theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại α {0,1 ,...,p-1} sao cho do đó Mặt khác, từ giả thiết bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có suy ra Vậy Ta chọn sao cho Từ giả thiết suy ra do đó 14 theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất b1 {0, 1,..., p-1} sao cho từ đó ta có đồng dƣ thức sau Vậy • Giả sử ta đã chọn đƣợc a1 a2,..., an-1 thỏa các điều kiện (1), (2) và (3). Ta cần tìm an thỏa các điều kiện trên. Đặt an = an-1 + bnp m+n , với cách đặt nhƣ vậy ta thấy an thỏa (1) và (2) ta cần chứng minh an thỏa (3). Tức là F(an) ≡ 0 (mod p 2m+n+1 ). Từ cách đặt an, ta có Ta có an-1 ≡ a0 (mod p m+1 ) nên Mặt khác, vì ,suy ra Theo giả thiết quy nạp, ta có Bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ phần chứng minh trong trƣờng hợp n = 1. thì tồn tại duy nhất α’ {0,1..., p-1} sao cho 15 Mặt khác, từ Áp dụng bổ đề 1 .4.2, tồn tại duy nhất β {0,1,..., p-1}sao cho hay Từ giả thiết suy ra Áp dụng bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất bn {0, 1,..., p-1} thỏa hay Vậy Từ đó bằng cách chọn Khi đó, a là duy nhất vì ̃ và bi ,i =1,2... đƣợc chọn là duy nhất và , với mọi n suy ra ,với mọi n do đó Vậy F (an) = 0. Từ cách chọn a ta có a ≡ ̃ ≡ a0 (mod p m+1 ). Ta thấy rằng với m = 0 thì cách chứng minh bổ đề Hensel mở rộng trùng với cách chứng minh bổ đề Hensel. 16 1.4.4. Ứng dụng của bổ đề Hensel. Áp dụng bổ đề Hensel mở rộng ta có thể tìm √ trong Q2 . Xét đa thức F(x) = x2+7, F'(x) = 2x và p = 2. Chọn a0 =1 Z2 và m =1. Ta có Chọn ̃ {0,1,..., 2 2 -1 } sao cho ̃ ≡ 1 (mod 2 2 ). Ta thấy ̃ =1 Đặt a1 = ̃ + b1p m+1 = 1 + b12 2 . Ta có b1 {0,1} sao cho hay từ đó ta tìm đƣợc b1 = 1 thỏa điều kiện trên. Đặt a2 = a1 + b2 2 3 . Chọn b2 {0,1} sao cho F(a2) ≡ 0 (mod 2 5 ), từ đó ta tìm đƣợc b2 = 0 thỏa mãn điều kiện trên. Đặt a3 = a2 +b32 4 . Chọn b3 {0,1} sao cho F (a3) ≡ 0 (mod 2 6). Phƣơng trình có nghiệm b3 =1. Quá trình cứ tiếp tục nhƣ vậy ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình F(x) = 0 là a = l + 1.2 2 +0.2 3 +1.2 4 + ... Vậy giá trị của √ trong Q2 chính là a. Nghĩa là, √ = l + 1.22+0.23+1.24+ ... 1.5. Tính chất tô pô của Qp. Vì tô pô trong Qp là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính chất khác lạ so với tô pô thông thƣờng. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của Qp nhằm mục đích phục vụ cho chƣơng 2 và chƣơng 3. Các mệnh đề, bổ đề cơ bản đƣợc chứng minh chi tiết để thấy đƣợc các tính chất khác lạ nhƣ: mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm, mọi hình cầu đều có vô số bán kính... 17 1.5.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong Qp . • Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp • Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp • Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp Từ định nghĩa ta thấy Zp là hình cầu mở tâm 0 bán kính bằng 1 và Z * p là mặt cầu tâm 0 bán kính bằng 1. 1.5.2. Mệnh đề. 1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều là những tập vừa mở, vừa đóng. 2. Hai hình cầu bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. 4. Qp chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Chứng minh. 1. Giả sử a Qp , r R + xét hình cầu mở: Hiển nhiên B(a,r) là tập mở. Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là B(a,r)\Qp là tập mở. Thật vậy, lấy bất kỳ b B (a,r) \ Qp điều này có nghĩa là |b - a|p ≥ r . Khi đó, luôn tồn tại hình cầu mở S (b,r) nằm hoàn toàn trong B(a,r)\Qp vì với mọi y S(b,r) suy ra |y - b|p < b. Mặt khác Theo nguyên lý tam giác cân, ta phải có do đó suy ra Vậy B(a,r)\Qp là tập mở. 18 Tƣơng tự, ta cũng có là những tập vừa mở vừa đóng. 2. Xét hai hình cầu mở B1 (a,r) và B2 (b,s). Giả sử ta chứng minh chúng phải lồng nhau. Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r < s. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh Từ giả thiết suy ra tồn tại hay Bây giờ với mọi Do đó suy ra y B2 (b,s). Vậy B1 (a,r) ⊂ B2(b,s). Ngƣợc lại, nếu s ≤ r thì bằng cách chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có B1 (a,r) ⊂ B2(b,s). Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tƣơng tự. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. • Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số Tâm. Bây giờ với a Qp, r R + ta xét một điểm b bất kỳ b ≠ a trong hình cầu mở 19 Ta có |b - a|p < r (do cách chọn b). Hơn thế nữa, ta còn có B(a,r) = B(b,r) vì Nếu x B (a,r) thì |x - a|p < r. Khi đó, Do đó Ngƣợc lại, chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có Vậy với mọi b B (a,r). Nói cách khác B(b,r) có vô số tâm. Bằng cách chứng minh tƣơng tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm. • Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính. Trƣớc hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Nhƣ ta đã biết hàm chuẩn | |p chỉ nhận các giá trị trong tập {pn /n Z} ∪{0} nên tồn tại n Z sao cho p n < r ≤ pm+1. Ta chứng minh B(a,s) = B( a,p n+1 ) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1 Thật vậy, với mọi x B (a,r) ta có |x - a|p < s ≤ p n+1 do đó x B(a, pn+1). Ngƣợc lại, với mọi suy ra hay Vậy 20 Nhƣ vậy, với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa pn < r ≤ pn+1 ta đều có Do đó B(a,r) = B( a,s) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1. Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính. Đối với hình cầu đóng B[a,r] luôn tồn tại n sao cho pn ≤ r < pn+1. Ta sẽ chứng minh B[a,s] =B [a,p n ] với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1. Thật vậy, với mọi x B [a,s] ta có |x - a|p ≤ s mà p n ≤ s < pn+1. nên |x - a|p ≤ p n Vậy x B [a,pn] Ngƣợc lại, với mọi suy ra y B [a,s]. Do đó B[a,s] = B[a,p n ]. Với pn ≤ r < pn+1, ta có B[a,r] = B[a,p n ], nên với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1 thì B[a,r] = B[a,s]. Vậy hình cầu đóng B[a,r] có vô số bán kính. 4. Ta chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó. Dùng tính chất này ta sẽ chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Thật vậy, lấy bất kỳ a Qp, r R + . Theo (3) tồn tại n Z sao cho B(a,r) = B(a,p n ) Vậy 21 là tập đêm đƣợc. Mặt khác, mọi hình cầu trong Q đều có thể chọn tâm là một số hữu tỷ. Chẳng hạn, đối với hình cầu mở B(a, pn). Do a Qp nên ta giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = amp m + am+1p m+1 +...+ anp n +...(n < m, m Z). Đặt suy ra nên b B (a,pn) do đó B (a,p n ) = B (b,p n ). Vậy mọi hình cầu trong Qp đều có dạng B(b,p n) trong đó b Q và n Z, do đó số hình cầu trong Qp là tập đếm đƣợc. Tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong Qp đều là những tập đếm đƣợc. Ta đã biết vành số nguyên p-adic Zp chính là hình cầu mở B (0,1) nên Zp là tập mở. Hơn thế nữa, B (0,1) còn là tập compact. Đó là nội dung của mệnh đề 1.5.3 sau đây. 1.5.3. Mệnh đề. Hình cầu mở B(0, 1) là tập compact. Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh Zp là tập compact. Giả sử {xn} là một dãy tùy ý trong Zp và trong đó 0 ≤ ain ≤ p -1, với mọi i = 0,1,2,... Xét các phần tử a0n (n = 1, 2, 3,..., p-1), ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1}. 22 Vậy phải tồn tại b0 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con {x0n} của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b0. Trong dãy {x0n} các số hạng thứ 2: a1n (n = 0, 1, 2,...,p-1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1). Vậy phải tồn tại b1 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần, từ đó ta lấy dãy con {x1n} của dãy {x0n} sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử trong dãy con bằng b1 . Nhƣ vậy với mỗi m N tồn tại dãy con {xm,n} của dãy {xm-1,n} sao cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng bm {0,1,2,..., p-1}. Đặt b = b0+b1p+b2p 2 +...+ bmp m +bm+1 p m+1 +... Xét dãy các đƣờng chéo {xmn} với phần tử x0m có khai triển p-adic mà số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1,... Phần tử xmn có số hạng thứ nhất là b0,số hạng thứ hai là b1,..., số hạng thứ m + 1 là bm .Ta có Do đó {xmn} là một dãy con lấy ra từ dãy {xn) mà {xmn) hội tụ về b. Vậy Zp là tập compact. Nhận xét. Chúng ta đã chứng minh đƣợc B(0,1) là tập compact điều này có nghĩa là Zp là tập compact. Do đó với mọi a Qp thì a +Zp là lân cận compact của a trong Qp vậy Qp là tập compact địa phƣơng. 1.5.4. Khoảng trong Qp Khoảng trong Qp là hình cầu đóng tâm a bán kính 1 p N với N Z Kí hiệu: Từ mệnh đề 1.5.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric Qp có một cơ sở gồm các tập mở có dạng khoảng. Một khoảng bất kỳ luôn đƣợc phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và mọi tập mỡ compact trong Zp luôn phân tích đƣợc thành hợp rời nhau của các khoảng. Điều này đƣợc thể hiện trong mệnh đề 1.5.5 sau đây. 1.5.5. Mệnh đề. Cho a + (p N ) là khoảng bất kỳ trong Qp. Khi đó, 23 2. Mọi tập mở trong Zp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng trong Qp . Chứng minh. 1. Giả sử a + (pN ) là khoảng bất kỳ trong Qp . Với mọi x a+ (pN), x có thể đƣợc viết dƣới dạng x = a + pNq Ta viết q = pq1 + b trong đó 0 ≤ b ≤ p -1 suy ra Ngƣợc lại, với mọi thì tồn tại sao cho Khi đó, X đƣợc viết dƣới dạng x = a +bp N +qp N+1 hay x = a + (b +qp) p N a +(pN). 2. Với mọi tập mở U trong Zp , giả sử U là tập compact. Do U là tập mở trong Zp nên U là hợp của các khoảng Ii:U = ∪ Ii . Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử U = ∪ Ii, trong đó Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho U = Ngƣợc lại, giả sử U = trong đó I là tập hữu hạn và Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do ZP là tập compact và Ii là tập đóng nên Ii là tập compact. Vậy U là tập compact. 24 Tổng quát: Tập mở U trong Qp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii. Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên. Ngƣợc lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii và Ii = a + (p N ). Do Zp là tập compact nên Ii là lân cận compact của a trong Qp. Vậy U = ∪ Ii là tập compact trong Qp. Đặc biệt: , với mọi số tự nhiên n. 25 CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nhƣ: khái niệm hàm hằng địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Từ đó chúng tôi chứng minh đƣợc một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chƣơng 3. 2.1. Hàm hằng địa phƣơng. Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phƣơng trên không gian tô pô bất kỳ. Khái niệm hàm hằng địa phƣơng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân trên trƣờng số p-adic. 2.1.1. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f: X → Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f(U) là một một điểm của Y. Từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng chúng ta rút ra đƣợc nhận xét sau. 2.1.2. Nhận xét. 1. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm số liên tục. Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng. 2. Nếu Y là T1 không gian và f: R → Y là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm hằng trên R. Thật vậy, lấy a f(R). Ta chứng minh f-1(a) là tập mở trong R. Lấy x f-1 (a) suy ra f(x) = a. Do f là hàm hằng địa phƣơng nên tồn tại lân cận Ux của x sao cho f(Ux) = {a}, do đó Ux ⊂ f -1 (a). Vậy f-1(a) là tập mở. Mặt khác, do Y là T1 không gian và f là hàm số liên tục nên f-1 (a) là tập đóng. Ta có ∅ =f-1 (a) ⊂ R suy ra f-1 (a) = R. Vậy f là hàm hằng trên R. Từ nhận xét 2.1.2 ta thấy trên R không có hàm hằng địa phƣơng, nếu có thì nó là hàm hằng nhƣ chúng ta đã biết. Tuy nhiên trên trƣờng số P-adic Qp thì có rất nhiều thí dụ về hàm hằng địa phƣơng. Sau đây là một thí dụ. 2 1.3 Ví dụ. Cho U là tập mở compact của Zp và f : Zp → Qp là hàm đặc trưng được định nghĩa bởi 26 khi đó f là hàm hằng địa phương. Chứng minh. Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U. Ta chọn Ux = U, khi đó f(Ux) ={1}. Nếu f(x) = thì x X\U. Đặt Ux = X \U. Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f -1 (Ux) = {0}. Vậy f là hằng địa phƣơng. Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy hàm đặc trƣng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa phƣong. Dựa vào các hàm đặc trƣng này, ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phƣơng trên Zp. Cụ thể ta có mệnh đề sau. 2.1.4. Mệnh đề. Giả sử X là một tập mở compact của Qp. Khi đó f : X → Qp là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X. Chứng minh. • Chiều thuận, giả sử f là hàm hằng địa phƣơng. Khi đó, với mọi x X ta chọn Ux là một lân cận của x sao ch._.