Độ đo - Tích phân và dung lượng

uan trọng của sinh viờn ngành toỏn. Là một mụn học khú nhưng tài liệu tiếng Việt để học tập mụn Độ đo - Tớch phõn khụng nhiều, tài liệu bài tập để tham khảo lại cũn hiếm hơn. Từ thực tế đú, mục đớch chớnh của đề tài này là biờn soạn một quyển sỏch về Độ đo và Tớch phõn cú thể sử dụng làm giỏo trỡnh giảng dạy cho sinh viờn, tham khảo cho học viờn cao học. Quyển sỏch đó được Nhà xuất bản Giỏo dục phỏt hành rộng rói, phục vụ bạn đọc toàn quốc. Quyển sỏch Độ đo và Tớch phõn cũng cú thể coi là kiến thức chuẩn bị để nghiờn cứu về Dung lượng, một biến dạng của Độ đo. Trong khuụn khổ đề tài, chỳng tụi đó nghiờn cứu dung lượng trong khụng gian tụpụ tổng quỏt, đúng gúp mới của chỳng tụi là đưa ra và khảo sỏt khỏ triệt để dung lượng cú giỏ trị rời rạc. Kết quả này đó viết thành một bài bỏo đó được nhận đăng ở tạp chớ Khoa học, trường Đại học Sư phạm TP.Hồ chớ Minh. Chỳng tụi đang bổ sung thờm để gửi cụng bố ở một tạp chớ chuyờn ngành. Liờn quan đến đề tài, chỳng tụi đó hướng dẫn hai học viờn cao học làm luận văn tốt nghiệp, một người đó bảo vệ, người cũn lại sẽ bảo vệ vào thỏng 9/2008. Đề tài đó thực hiện đỳng tiến độ và cỏc chỉ tiờu đăng ký. 4 II. Cỏc kết quả đó thực hiện Đ1. Cỏc sản phẩm 1. Giỏo trỡnh “Độ đo và Tớch phõn” Giỏo trỡnh cú ba chương: Chương 1: Độ đo; Chương 2: Tớch phõn; Chương 3: Cỏc vấn đề bổ sung. Giỏo trỡnh đó trỡnh bày cỏc vấn đề lý thuyết cơ bản của Độ đo và Tớch phõn với chứng minh đầy đủ và ngắn gọn. Giỏo trỡnh cú phần bài tập chọn lọc gồm 95 bài, cú hướng dẫn giải tương đương với một quyển sỏch bài tập. Giỏo trỡnh đó được Nhà Xuất bản Giỏo dục ấn hành, gồm 164 trang khổ 14.3ì20.3 cm. 2. Bài bỏo “ Dung lượng trong khụng gian tụpụ” (Capacities in topological spaces) Bài bỏo này cú sự cộng tỏc của Th.S.Bựi Đỡnh Thắng, trường Đại học Sài Gũn. Bài bỏo trỡnh bày lý thuyết dung lượng trong khụng gian tụpụ Hausdorff tổng quỏt. Phần dung lượng cú giỏ trị rời rạc trong bài toỏn theo chỳng tụi là mới và cú ý nghĩa. Cụng việc tiếp theo của chỳng tụi là khảo sỏt tớch phõn Choquet theo dung lượng cú giỏ trị rời rạc. Bài bỏo gồm 10 trang đó được nhận đăng ở Tạp chớ Khoa học Tự nhiờn trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chớ Minh. 5 3.Luận văn thạc sỹ Theo hướng đề tài chỳng tụi đó hướng dẫn hai luận văn cao học 1) Định lý giới hạn trung tõm và ứng dụng trong Xỏc suất – Thống kờ, của học viờn cao học Nguyễn Đỡnh Ụng, đó bảo vệ tại trường Đại học Bỏch khoa TP Hồ Chớ Minh, đó bảo vệ năm 2007. Luận văn đó sử dụng biến đổi Fourier và biến diễn tớch phõn để chứng minh định lý giới hạn trung tõm tổng quỏt. Sau đú luận văn trỡnh bày cỏc ứng dụng của định lý trong Xỏc suất – Thống kờ cả trong lý thuyết cũng như cỏc vấn đề cụ thể. 2) Lý thuyết dung lượng trong khụng gian tụpụ, của học viờn cao học Phan Phụng Hiệp, sẽ bảo vệ tại trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chớ Minh trong năm 2008. Luận văn trỡnh bày lý thuyết dung lượng trong khụng gian tụpụ, định nghĩa tớch phõn Choquet theo dung lượng. Chứng minh cỏc định lý tương tự dung lượng trong nĂ . Cho nhiều kết quả về dung lượng cú giỏ trị hữu hạn, dung lượng đặc trưng và tớch phõn Choquet theo chỳng. Đ2. Địa chỉ ứng dụng Giỏo trỡnh Độ đo và Tớch phõn đó được phỏt hành và được đụng đảo bạn đọc đún nhận. Chương 1 và chương 2 của giỏo trỡnh này cú thể làm tài liệu giảng dạy cho sinh viờn ngành toỏn, chương 3 của giỏo trỡnh này cú thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viờn và học viờn cao học. Bài bỏo “ Dung lượng trong khụng gian tụpụ ” cú thể làm tiền đề để nghiờn cứu tiếp về dung lượng theo hướng đú. 6 III. Cỏc văn bản 1. Trang bỡa, lời núi đầu, mục lục của sỏch “Độ đo và Tớch phõn”. 2. Toàn văn bài bỏo “ Dung lượng trong khụng gian tụpụ ” sẽ in ở Tạp chớ Khoa học Tự nhiờn trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chớ Minh, số 14(48). 3. Thuyết minh đề tài khoa học và cụng nghệ cấp trường. DUNG LìẹNG TRONG KHặNG GIAN TặPặ Dau The Cap a 1 , Bui Dinh Thang b a University of Pedagogy of HoChiMinh city, HoChiMinh city, VietNam. b SaiGon University, HoChiMinh city, VietNam. Abstract. In this note we introduce a notion of capacities in Hausdorff topological spaces, that generalizes the notion of capacity in IRn. The capacities for discrete support will also be investigated. 1 Mð Ưu Lỵ thuyát dung lữủng ữủc ữa ra bði G.Choquet [1] v  ữủc tiáp tửc phĂt triºn bði nhiãu tĂc giÊ (xem t i liằu tham khÊo). Dung lữủng  ữủc x²t trong khổng gian o ữủc bĐt ký nhữ l  mởt khĂi quĂt cừa ở o v  gƯn Ơy l  trong IRn vợi σ-Ôi số Borel. Trong b i n y chúng tổi ữa ra khĂi niằm dung lữủng trong khổng gian tổpổ Hausdorff tờng quĂt. Sau õ chúng tổi  khÊo sĂt khĂ triằt º trữớng hủp dung lữủng cõ giĂ l  têp rới rÔc. Trong IRn cụng mợi x²t trữớng hủp dung lữủng cõ giĂ hỳu hÔn (xem [9]), do õ kát quÊ cừa chúng tổi l  mợi cÊ trong trữớng hủp khổng gian l  IRn. 2 Dung lữủng trong khổng gian tổpổ Trong suốt b i n y ta kỵ hiằu X l  mởt khổng gian tổpổ Hausdorff. K(X), F(X), G(X), B(X) theo thự tỹ l  hồ cĂc têp con compact, têp con õng, têp con mð v  têp con Borel cừa X. Ta cõ K(X) ⊂ F(X) ⊂ F(X) ∪ G(X) ⊂ B(X) ffiành nghắa 2.1. H m têp T : B(X) |→ [0; +∞) gồi l  mởt dung lữủng trản X náu thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau (C1) T (∅) = 0. 1 Corresponding author. E-mail addresses: dauthecap@yahoo.com (Dau The Cap), buidinhthang1975@yahoo.com.vn (Bui Dinh Thang). 1 (C2) T an dĐu cĐp hỳu hÔn, tực l  vợi cĂc têp A1, A2, . . . An ∈ B(X), n ≥ 2, ãu cõ T ( n⋂ i=1 Ai) ≤ ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1T ( ⋃ i∈I Ai) (2.1) trong õ I(n) = {I : I ⊂ {1, . . . n}, I 6= ∅}, #I l  số phƯn tỷ cừa têp I. (C3) T (A) = sup{T (C) : C ∈ K(X), C ⊂ A} vợi mồi A ∈ B(X). (C4) T (A) = inf{T (G) : G ∈ G(X), G ⊃ C} vợi mồi C ∈ K(X). Kỵ hiằuM l  mởt σ-Ôi số trản X. Bờ ã 2.1. Cho à : M |→ [0; +∞) l  mởt h m têp thọa mÂn iãu kiằn sau Ơy: Vợi mồi A,B ∈ M à(A ∩B) = à(A) + à(B)− à(A ∪B). (2.2) Khi õ vợi mồi hồ cĂc têp A1, . . . An ∈ M, n ≥ 2 ta ãu cõ à( n⋃ i=1 Ai) = ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1à( ⋃ i∈I Ai). (2.3) Chựng minh. Ta chựng minh bơng qui nÔp theo n. Theo giÊ thiát (2.2) ta cõ (2.3) úng vợi n = 2. GiÊ sỷ (2.3) úng vợi n ≥ 2, ta s³ chựng minh nõ úng vợi n + 1. Kỵ hiằu I(n + 1) = I(n) ∪ {n + 1} ∪ (In, n + 1), ð Ơy (In, n+ 1) = {I ∪ {n+ 1} : I ∈ I(n)}. ffi°t A = n⋂ i=1 Ai. Theo giÊ thiát 2 qui nÔp ta cõ à( n+1⋂ i=1 Ai) = à(A ⋂ An+1) = à(A) + à(An+1)− à(A ⋃ An+1) = à(A) + à(An+1)− à ( ( n⋂ i=1 Ai) ⋃ An+1 ) = à( n⋂ i=1 Ai) + à(An+1)− à( n⋂ i=1 (Ai ∪ An+1)) = ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1à( ⋃ i∈I Ai) + à(An+1)− ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1à( ⋃ i∈I′ Ai) = ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1à( ⋃ i∈I Ai) + à(An+1) + ∑ I ′ ∈ (I(n), n + 1) (−1)#I′+1à( ⋃ i∈I′ Ai) = ∑ I ∈ I(n + 1) (−1)#I+1à( ⋃ i∈I Ai), trong õ I ′ = I ∪ {n + 1}, I ∈ I(n). Vêy (2.3) úng vợi n + 1. ffiành nghắa 2.2. Mởt ở o à trản B(X) gồi l  ở o Borel chẵnh qui náu vợi mồi E ∈ B(X) ãu cõ 1. à(E) = inf{à(U) : U ∈ G(X), U ⊃ E}; 2. à(E) = sup{à(C) : C ∈ K(X), C ⊂ E}. Tứ bờ ã 2.1 v  tẵnh chẵnh qui cừa ở o Lebesgue trản IRn ta cõ ffiành lỵ 2.1. a) H m têp à : B(X) |→ [0,+∞) thoÊ mÂn (C1), (C3), (C4) v  (2.2) l  mởt dung lữủng trản X. b) Mồi ở o chẵnh qui trản B(X) ãu l  dung lữủng trản X. ffi°c biằt ở o Lebesgue m trản B(IRn) l  dung lữủng trản IRn. 3 ffiành nghắa 2.3. H m têp T : M |→ [0,+∞) gồi l  cỹc Ôi náu T (A ∪B) = max{T (A), T (B)} vợi mồi A,B ∈ M. Bờ ã 2.2. Náu T l  h m têp cỹc Ôi thẳ mồi hồ A1, . . . An ∈ M ta ãu cõ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1T ( ⋃ i∈I Ai) = min{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n} Chựng minh. Ta chựng minh bơng qui nÔp theo n. Vợi mồi A1, A2 ∈ M ta cõ T (A1) + T (A2)− T (A1 ∪ A2) = T (A1) + T (A2)−max{T (A1), T (A2)} = min{T (A1), T (A2)}, tực l  kh¯ng ành úng vợi n = 2. GiÊ sỷ kh¯ng ành úng vợi n ≥ 2. Vợi mồi hồ A1, . . . An+1 ∈ M, khổng mĐt tờng quĂt ta cõ thº giÊ thiát T (A1) = min{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n + 1} T (An+1) = max{T (Ai) : 1 ≤ i ≤ n + 1}. Bði giÊ thiát qui nÔp ta cõ∑ I ∈ I(n + 1) (−1)#I+1T ( ⋃ i∈I Ai) = ∑ I ∈ I(n) (−1)#I+1T ( ⋃ i∈I Ai) + T (An+1) + ∑ I ′ ∈ (In, n + 1) (−1)#I′+1T ( ⋃ i∈I′ Ai) = T (A1) + T (An+1) +(−C1n + C2n − ã ã ã+ (−1)nCnn)T (An+1) = T (A1) + (1− 1)nT (An+1) = T (A1). Vêy kh¯ng ành úng vợi n + 1. ffiành nghắa 2.4. H m têp T : B(X) |→ [0,+∞) gồi l  ở o cỹc Ôi náu nõ l  h m têp cỹc Ôi v  thọa mÂn cĂc iãu kiằn (C1), (C3), (C4). Tứ bờ ã 2.2 ta cõ ành lỵ sau 4 ffiành lỵ 2.2. Mồi ở o cỹc Ôi trản X l  dung lữủng trản X. ffiành lỵ 2.3. Cho T l  mởt dung lữủng trản X. Khi õ a) T l  h m têp khổng giÊm, tực l  mồi A, B ∈ B(X), A ⊂ B thẳ T (A) ≤ T (B). b) Vợi mồi A, B ∈ B(X), A ∩B = ∅ ãu cõ T (A) + T (B) ≥ T (A ∪B). Chựng minh. a) Theo (C3) T (A) = sup{T (C) : C ⊂ A, C ∈ K(X)} ≤ sup{T (C) : C ⊂ B, C ∈ K(X)} = T (B). b) 0 = T (A ∩B) ≤ T (A) + T (B)− T (A ∪B). Do õ T (A) + T (B) ≥ T (A ∪B). Hằ quÊ 2.1. Náu A, B ∈ B(X) v  T (A) = 0 thẳ T (A ∪B) = T (B). ffiành nghắa 2.5. Ta gồi giĂ cừa dung lữủng T , kỵ hiằu supp T l  têp õng S nhọ nhĐt cừa X sao cho T (X \ S) = 0. Hằ quÊ 2.2. Vợi mồi dung lữủng T trản X ta cõ a) T (supp T ) ≥ T (B) ∀B ∈ B(X) b) T (supp T ) = T (X). Chựng minh. a) ffi°t A = B \ supp T , ta cõ A ⊂ X \ supp T nản T (A) = 0. Vẳ B = A ∪ (B ∩ supp T ) nản theo hằ quÊ 2.1 T (B) = T (B ∩ supp T ) ≤ T (supp T ). b) Theo a) ta cõ T (supp T ) ≥ T (X) v  do tẵnh khổng giÊm nản T (supp T ) ≤ T (X). Vêy T (supp T ) = T (X). ffiành nghắa 2.6. Mởt dung lữủng T trản X gồi l  dung lữủng xĂc suĐt náu T (supp T ) = T (X) = 1. 5 3 Dung lữủng cõ giĂ rới rÔc ffiành nghắa 3.1. Têp con D cừa X gồi l  rới rÔc náu mồi x ∈ D, tỗn tÔi lƠn cên mð Ux cừa x trong X sao cho D ∩ Ux = {x}. Bờ ã 3.1. Cho D l  têp con õng, rới rÔc cừa X. Khi õ a) Mồi têp con cừa D õng trong X. b) Têp con cừa D l  compact náu v  ch¿ náu nõ l  têp con hỳu hÔn. Chựng minh. a) A ⊂ D thẳ A õng trong D. Vẳ D õng trong X nản A õng trong X. b) Náu C l  têp con vổ hÔn cừa D thẳ C khổng compact trong D do õ cụng khổng compact trong X. ffiành nghắa 3.2. Hồ số thỹc khổng Ơm {ti}, i ∈ I gồi l  khÊ tờng v  cõ tờng bơng s náu ∑ i ∈ I ti = sup{ ∑ i ∈ J ti, J ⊂ I,#J < +∞} = s < +∞. Bờ ã 3.2. Náu ∑ i ∈ I ti 0} l  ám ữủc. Chựng minh. ffi°t An = {i ∈ I0 : ti > 1 n }. Ta cõ I0 = ∞⋃ n=1 An Náu I0 khổng ám ữủc thẳ tỗn tÔi n0 sao cho An0 vổ hÔn. Khi õ ∑ i ∈ I ti = ∑ i ∈ I ti ≥ ∑ i ∈ An0 ti = +∞. Bờ ã 3.3. Náu à : B(X) |→ [0,+∞) l  dung lữủng ở o, cõ giĂ l  têp rới rÔc D thẳ D l  têp ám ữủc. 6 Chựng minh. Mồi x ∈ D ãu cõ à({x}) > 0 vẳ náu tỗn tÔi x ∈ D, à({x}) = 0 thẳ D′ = D \ {x} l  têp õng ( bờ ã 3.1 ) v  à(X \D′) = 0, mƠu thuăn vợi D l  têp õng nhọ nhĐt cõ tẵnh chĐt n y. Mồi têp hỳu hÔn A ⊂ D à(A) = ∑ x ∈ A à({x}) ≤ à(D) < +∞ nản ∑ x ∈ D à({x}) < +∞. Tứ õ theo bờ ã 3.2, D ám ữủc. ffiành nghắa 3.3. Cho T l  mởt dung lữủng trản X cõ giĂ l  têp rới rÔc D. ffi°t tx = T ({x}) vợi mồi x ∈ D, ta gồi T∞ v  T1 l  cĂc h m trản B(X) xĂc ành bði T∞(A) = { sup{tx : x ∈ A ∩D} náu A ∩D 6= ∅ 0 náu A ∩D = ∅, T1(A) =  ∑ x ∈ A ∩D tx náu A ∩D 6= ∅ 0 náu A ∩D = ∅. ffiành lỵ 3.1. Cho T l  mởt dung lữủng trản X cõ giĂ l  têp rới rÔc D. Khi õ T∞ l  dung lữủng trản X v  T∞(A) ≤ T (A) vợi mồi A ∈ B(X) Chựng minh. Hiºn nhiản T∞ thọa mÂn (C1), (C3). Vợi mồi C ∈ K(X), G = ( ⋃ x∈C∩D Ux )⋃ (X \ D) l  têp mð chựa C, T∞(C) = T∞(C ∩ D) = T∞(G ∩D) = T∞(G) nản cõ (C4). ffiº chựng minh T∞ thọa mÂn (C2), theo bờ ã 2.2 ta s³ chựng minh T∞ l  h m cỹc Ôi. Thêt vêy, mồi A, B ∈ B(X) ãu cõ T∞(A ∪B) = sup{tx : x ∈ (A ∪B) ∩D} = max{sup{tx : x ∈ A ∩D}, sup{tx : x ∈ B ∩D}} = max{T∞(A), T∞(B)} Cuối cũng, mồi A ∈ B(X) T∞(A) = sup{tx : x ∈ A ∩D} = sup{T ({x}) : x ∈ A ∩D} ≤ T (A) 7 Hằ quÊ 3.1. Cho D l  mởt têp rới rÔc trong X, mội x ∈ D chồn mởt giĂ trà dx > 0. Vợi mồi A ∈ B(X) °t T (A) = { sup{dx : x ∈ A ∩D} náu A ∩D 6= ∅ 0 náu A ∩D 6= ∅. Khi õ T l  dung lữủng náu v  ch¿ náu sup{dx : x ∈ D} < ∞. Vợi dung lữủng n y ta cõ T = T∞. ffiành lỵ 3.2. Cho T l  mởt dung lữủng cõ giĂ l  têp rới rÔc D. Khi õ T1 l  dung lữủng náu v  ch¿ náu D ám ữủc v  ∑ x ∈ D tx < ∞. Vợi mồi A ∈ B(X) ta cõ T (A) ≤ T1(A). Chựng minh. Náu T1 l  dung lữủng thẳ T1(D) = ∑ x ∈ D tx < ∞ v  theo bờ ã 3.2, D ám ữủc. Ngữủc lÔi hiºn nhiản T1 thọa mÂn (C1), (C3). Vợi mồi C ∈ K(X), do G = ( ⋃ x∈C∩D Ux )⋃ (X \D) l  mð chựa C v  T1(C) = T1(C ∩D) = T1(G ∩D) = T1(G) nản T thọa mÂn (C4). Vợi mồi A, B ∈ B(X) ta cõ T1(A ∪B) = ∑ x ∈ (A ∪B) ∩D tx = ∑ x ∈ A ∩D tx + ∑ x ∈ B ∩D tx − ∑ x ∈ A ∩B ∩D tx = T1(A) + T1(B)− T1(A ∩B). Vêy T1 thọa mÂn (2.1) v  do õ l  mởt dung lữủng theo ành lỵ 2.1. Vợi mồi a, b ∈ D, a 6= b theo ành lỵ 2.3 b) T ({a, b}) ≤ T ({a}) + T ({b}) 8 tứ õ tiáp tửc sỷ dửng ành lỵ 2.3 b) v  qui nÔp theo số phƯn tỷ cừa C ta cõ T (C) ≤ ∑ x ∈ C T ({x}) = T1(C) vợi mồi C ⊂ D, #C < ∞. BƠy giớ vợi mồi A ∈ B(X) ta cõ T (A) = T (A ∩D) = sup{T (C) : C ⊂ A ∩D, C compact} (do C4) = sup{T (C) : C ⊂ A ∩D, #C < ∞} (do bờ ã 3.1 b) ≤ sup{T1(C) : C ⊂ A ∩D, #C < ∞} = T1(A ∩D) = T1(A). Hằ quÊ 3.2. Náu T l  dung lữủng cõ giĂ D l  têp rới rÔc v  ∑ x ∈ D T ({x}) < ∞ thẳ T∞ v  T1 l  cĂc dung lữủng v  T∞(A) ≤ T (A) ≤ T1(A) vợi mồi A ∈ B(X). Hằ quÊ 3.3. Cho D l  têp rới rÔc v  õng trong X, vợi mội x ∈ D, chồn dx > 0. Vợi mồi A ∈ B(X) °t T (A) =  ∑ x ∈ A ∩D dx náu A ∩D 6= ∅ 0 náu A ∩D = ∅. Khi õ T l  dung lữủng cõ giĂ D náu v  ch¿ náu D ám ữủc v  ∑ x ∈ D dx < ∞. Vợi dung lữủng n y ta cõ T = T1. 9 T i liằu tham khÊo [1] G.Choquet, Theory of capacities, Ann.Inst.Fourier 5(1953-1954), 131-295. [2] S.Graf, A Radon-Nikodym theorem for capacities, J.Reine und Ange- wandte Mathematik 320(1980), 192-214. [3] P.J.Huber, The use of Choquet capacities in statistics, Bull.Internat.Statist. 45(1973), 181-191. [4] P.J.Huber, V.Strassen, Minimax test and Neyman-Pearson lemma for ca- paciti, Ann.Statist. 1(1973), 251-263. [5] N.T.Hung, N.T.Nhu, Tonghui Wang, On capacities functionals in inter- val probabilities, Inter.J.Uncertainty, Fuzziness and Knowleged-Based System 5(1997), 359-377. [6] N.T.Hung, B.Bouchon-Meunier, Random sets and large deviations prin- ciple as a foundation for possibility measures, Soft Computing 8(2003), 61-70. [7] J.B.Kodane, L.Wasserman, Symmetic coherent, Choquet capacities, Ann.Statist.24(1996), 1250-1264. [8] G.Matheron, Random sets and integral geometry, J.Wiley, 1975. [9] N.Nhuy, L.X.Son, Probability capacities in IRd and the Choquet integral for capacities, Acta.Math.Vietnam.29(2004), 41-56. [10] N.Nhuy, L.X.Son, The weak topology on the space of probability capaci- ties in IRd, Vietnam J.Math.33(2005), 241-251. [11] T.Norberg, Random capacities and their distributions, Prob.Theory Re- lat.Fields 73(1986), 281-297. 10 ._.